단위분할과 다변수함수의 적분에 대한 정리

정의1

거리공간이 $(X,d)$이고 실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$와 복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$에 대해 $F\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$일때 

함수의 지지집합(support) :

함수 $f:  X \to F$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f) = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : f(x)\ne 0\})$를 $(X,d)$에서 $f$의 지지집합으로 정의한다.

콤팩트 지지함수 :

함수 $f: X\to F$의 지지집합 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$가 $(X,d)$에서 콤팩트하면 $f$를 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수로 정의한다.

 

 

 

정리1

거리공간이 $(X,d)$이고 실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$와 복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$에 대해 $F\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$일때 

함수 $f,g: X\to F$의 지지집합 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f),\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(g)$와 연산 $f+g,f\cdot g : X\to F$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f+g) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)\cup \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(g)$

2. $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f\cdot g) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)\cap \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(g)$

3. 임의의 $c\in F$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(c\cdot f) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$이다.

4. $f,g$가 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이면 $f+g$는 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

5. $f$ 또는 $g$가 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이면 $f\cdot g$는 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

6. $f$가 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이면 임의의 $c\in F$에 대해 $c\cdot f$는 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

증명

1.

$(f+g)(x)\ne 0$인 임의의 $x\in X$에 대해 $f(x) = 0$이고 $g(x) = 0$이라고 가정하면

$(f+g)(x) = f(x) + g(x) = 0$임에 따라 모순이므로 $f(x)\ne 0$ 또는 $g(x) \ne 0$이 되어

$\{ x\in X :(f+g)(x)\ne 0\} \subseteq \{ x\in X : f(x)\ne 0\}\cup \{ x\in X : g(x)\ne 0\}$이고

위상공간 정리와 위상공간 정리와 지지집합의 정의로

$\begin{align*} \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f+g) & = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X :(f+g)(x)\ne 0\}) \\[0.5em] & \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : f(x)\ne 0\}\cup \{ x\in X : g(x)\ne 0\}) \\[0.5em] & \qquad = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : f(x)\ne 0\}) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : g(x)\ne 0\}) \\[0.5em] & \qquad = \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(g) \text{ 이다.}\end{align*}$

2.

$(f\cdot g)(x)\ne 0$인 임의의 $x\in X$에 대해 $f(x) = 0$ 또는 $g(x) = 0$이라고 가정하면

$(f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) = 0$임에 따라 모순이므로 $f(x)\ne 0$이고 $g(x) \ne 0$이 되어 

$\{ x\in X :(f\cdot g)(x)\ne 0\} \subseteq \{ x\in X : f(x)\ne 0\}\cap \{ x\in X : g(x)\ne 0\}$이고

위상공간 정리와 위상공간 정리와 지지집합의 정의로

$\begin{align*} \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f\cdot g) & = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X :(f\cdot g)(x)\ne 0\}) \\[0.5em] & \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : f(x)\ne 0\}\cap \{ x\in X : g(x)\ne 0\}) \\[0.5em] & \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : f(x)\ne 0\}) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : g(x)\ne 0\}) \\[0.5em] & \qquad = \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f) \cap\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(g) \text{ 이다.}\end{align*}$

3.

$(c\cdot f)(x)\ne 0$인 임의의 $x\in X$에 대해 $f(x) = 0$이라고 가정하면 

$(c\cdot f)(x) = c\cdot f(x) = 0$임에 따라 모순이므로 $f(x)\ne 0$이 되어

$\{ x\in X :(c\cdot f)(x)\ne 0\} \subseteq \{ x\in X : f(x)\ne 0\}$이고 폐포 정리와 지지집합의 정의로

$\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(c\cdot f) = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X :(c\cdot f)(x)\ne 0\}) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : f(x)\ne 0\}) = \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$이다.

4.

콤팩트 지지함수의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f),\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(g)$는 $(X,d)$에서 콤팩트하므로 

거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)\cup \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(g)$는 $(X,d)$에서 콤팩트하고 

폐포 정리와 지지집합의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f+g)$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로 

1번과 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f+g)$는 $(X,d)$에서 콤팩트하여 $f+g$는 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

5.

콤팩트 지지함수의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$ 또는 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(g)$는 $(X,d)$에서 콤팩트하고

폐포 정리와 지지집합의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f\cdot g)$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로 

2번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f\cdot g) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$이고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f\cdot g) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(g)$임에 따라 

거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f\cdot g)$는 $(X,d)$에서 콤팩트하여 $f\cdot g$는 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

6.

콤팩트 지지함수의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$는 $(X,d)$에서 콤팩트하고

폐포 정리와 지지집합의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(c\cdot f)$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로

3번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(c\cdot f) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$임에 따라 

거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(c\cdot f)$는 $(X,d)$에서 콤팩트하여 $c\cdot f$는 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

 

 

 

정리2

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의

점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$일때

임의의 $L \in \mathbb{R}^m$에 대해 

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$의 모든 $x\in U$가 $f(x) = L$인 함수가 $f:U\to \mathbb{R}^m$이면 다음이 성립한다.

1. $f$는 $U$에서 연속미분가능하고 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\dfrac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n} : U\to \mathbb{R}^m$은 

모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$가 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) = \vec{0}_m$이다.

2. $f$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하다.

증명

1.

내부 정리와 미분 정리로 $f$는 모든 $x\in U$에서 미분가능하여

$x$에서 $f$의 도함수 $Df(x) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$가 모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Df(x)(v) = \vec{0}_m$이므로 

미분 정리로 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_1},\dfrac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\dfrac{\partial f}{\partial x_n}$가 존재하고 

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$의 표준순서기저가 $\beta,\gamma$일때 

모든 $x\in U$가 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))$인 함수 $f_1,f_2,\cdots,f_m : U\to \mathbb{R}$에 대해 

$\beta,\gamma$에 대해 $Df(x)$의 행렬표현 $[Df(x)]_\beta^\gamma\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$는 행렬표현 정리로

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $0 = ([Df(x)]_\beta^\gamma)_{i,j} = \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)$이므로

편도함수 정리로 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) = \left ( \dfrac{\partial f_1}{\partial x_j}(x),\dfrac{\partial f_2}{\partial x_j}(x),\cdots, \dfrac{\partial f_m}{\partial x_j}(x) \right) = \vec{0}_m$이 되어

연속함수 정리로 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이고 $f$는 $U$에서 연속미분가능하다.

2.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 모든 $j_1,j_2,\cdots,j_k = 1,2,\cdots,n$에 대해

$k$계 편도함수 $\dfrac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots \partial x_{j_2}\partial x_{j_1}} : U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여 모든 $x\in U$가 $\dfrac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots \partial x_{j_2}\partial x_{j_1}}(x) = \vec{0}_m$임을 보인다.

$k=1$이면 1번으로 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해

$1$계 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}:U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여 모든 $x\in U$가 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) = \vec{0}_m$이다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $j_1,j_2,\cdots,j_r = 1,2,\cdots,n$에 대해

$r$계 편도함수 $\dfrac{\partial^k f}{\partial x_{j_r}\cdots \partial x_{j_2}\partial x_{j_1}} : U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여 모든 $x\in U$가 $\dfrac{\partial^k f}{\partial x_{j_r}\cdots \partial x_{j_2}\partial x_{j_1}}(x) = \vec{0}_m$이면 

$\vec{0}_m\in \mathbb{R}^m$이므로 1번으로 모든 $j_{r+1} = 1,2,\cdots,n$에 대해 

$r+1$계 편도함수 $\dfrac{\partial^{k+1} f}{\partial x_{j_{r+1}}\partial x_{j_r}\cdots \partial x_{j_2}\partial x_{j_1}} : U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여 $\dfrac{\partial^{k+1} f}{\partial x_{j_{r+1}}\partial x_{j_r}\cdots \partial x_{j_2}\partial x_{j_1}}(x) = \vec{0}_m$이다.

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$와 모든 $j_1,j_2,\cdots,j_k = 1,2,\cdots,n$에 대해

$k$계 편도함수 $\dfrac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots \partial x_{j_2}\partial x_{j_1}} : U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여 모든 $x\in U$가 $\dfrac{\partial^k f}{\partial x_{j_k}\cdots \partial x_{j_2}\partial x_{j_1}}(x) = \vec{0}_m$이므로 

모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $f$의 $k$계 편도함수가 존재하여 연속함수 정리로 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수임에 따라 

$f$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하다.

 

 

 

정리3

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의

점곱 내적공간의 노름공간 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$의 노름거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$일때

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$에 대해

함수 $f,g: U\to \mathbb{R}^m$가 $U$에서 연속미분가능하면 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해

모든 $x\in U$가 $F(x) = a\cdot_mf(x)+_m b\cdot_m g(x)$인 함수 $F:U\to \mathbb{R}^m$는 $U$에서 연속미분가능하고 

모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$가 $\dfrac{\partial F}{\partial x_j}(x) = a\cdot_m\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) +_m b\cdot_m\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x) $이다.

2. 성분곱이 $\odot$일때

모든 $x\in U$가 $G(x) = f(x)\odot g(x)$인 함수 $G:U\to \mathbb{R}^m$는 $U$에서 연속미분가능하고 

모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$가 $\dfrac{\partial G}{\partial x_j}(x) = \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) \odot g(x) +_m f(x)\odot \dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x)$이다.

3. 모든 $x\in U$에 대해 $g(x)$의 성분이 가역일때 성분 나눗셈에 대해

모든 $x\in U$가 $H(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$인 함수 $H:U\to \mathbb{R}^m$는 $U$에서 연속미분가능하고 

모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$가 $\dfrac{\partial H}{\partial x_j}(x) = \dfrac{\frac{\partial f}{\partial x_j}(x) \odot g(x) - f(x)\odot \frac{\partial g}{\partial x_j}(x)}{g(x)\odot g(x)} $이다.

증명

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$은 $n,m$차원 유클리드 거리공간이다.

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$이고 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 표준순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots,e_n)$일때 

내부 정리로 모든 $x\in U$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $U$의 내부점이므로 내부점 정리로

$0$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $\{ t\in (0,\infty) : x+_n t\cdot_n e_j\in U\}$의 집적점이고

$0$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $\{ t\in (-\infty,0) : x+_n t\cdot_n e_j\in U\} = \{ t\in (0,\infty) : x+_n t\cdot_n(-e_j)\in U \}$의 집적점이다.

연속미분의 정의로 $U$에서 $f,g$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}, \dfrac{\partial g}{\partial x_j}: U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여 

$\dfrac{\partial f}{\partial x_j}, \dfrac{\partial g}{\partial x_j}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이고

방향도함수 정리로 모든 $x\in U$에서 $f,g$의 $e_j,-e_j$방향도함수가 존재하여 

$\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) = D_{e_j}f(x) =-D_{-e_j}f(x)$이고 $\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x) = D_{e_j}g(x) =-D_{-e_j}g(x)$이다.

1.

방향도함수 정리로 모든 $x\in U$에서 $F$의 $e_j,-e_j$방향도함수가 존재하여 

$D_{e_j}F(x) = a\cdot_m D_{e_j}f(x) +_m b\cdot_m D_{e_j}g(x) = a\cdot_m\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) +_m b\cdot_m\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x)$이고 

$D_{-e_j}F(x) = a\cdot_m D_{-e_j}f(x) +_m b\cdot_m D_{-e_j}g(x) = -a\cdot_m \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) - b\cdot_m\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x)$이므로 

방향도함수 정리로 $U$에서 $F$의 편도함수 $\dfrac{\partial F}{\partial x_j}: U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여

$\dfrac{\partial F}{\partial x_j}(x) = D_{e_j}F(x) = -D_{-e_j}F(x) = a\cdot_m\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) +_m b\cdot_m\dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x) $이고

연속함수 정리로 $\dfrac{\partial F}{\partial x_j}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이다.

2.

방향도함수 정리로 모든 $x\in U$에서 $G$의 $e_j,-e_j$방향도함수가 존재하여 

$D_{e_j}G(x) = D_{e_j}f(x)\odot g(x) +_m f(x)\odot D_{e_j}g(x) = \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x)\odot g(x) +_m f(x)\odot \dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x)$이고 

$D_{-e_j}G(x) = D_{-e_j}f(x)\odot g(x) +_m f(x)\odot D_{-e_j}g(x) = -\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x)\odot g(x) - f(x)\odot \dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x)$이므로 

방향도함수 정리로 $U$에서 $G$의 편도함수 $\dfrac{\partial G}{\partial x_j}: U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여

$\dfrac{\partial G}{\partial x_j}(x) = D_{e_j}G(x) = -D_{-e_j}G(x) = \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) \odot g(x) +_m f(x)\odot \dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x) $이고

연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\dfrac{\partial G}{\partial x_j}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이다.

3.

방향도함수 정리로 모든 $x\in U$에서 $H$의 $e_j,-e_j$방향도함수가 존재하여 

$D_{e_j}H(x) = \dfrac{D_{e_j}f(x)\odot g(x) - f(x)\odot D_{e_j}g(x)}{g(x)\odot g(x)} = \dfrac{\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)\odot g(x) - f(x)\odot \frac{\partial g}{\partial x_j}(x)}{g(x)\odot g(x)}$이고 

$D_{-e_j}H(x) = \dfrac{D_{-e_j}f(x)\odot g(x) - f(x)\odot D_{-e_j}g(x)}{g(x)\odot g(x)} = \dfrac{-\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)\odot g(x) +_m f(x)\odot \frac{\partial g}{\partial x_j}(x)}{g(x)\odot g(x)}$이므로 

방향도함수 정리로 $U$에서 $H$의 편도함수 $\dfrac{\partial H}{\partial x_j}: U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여

$\dfrac{\partial H}{\partial x_j}(x) =D_{e_j}H(x) = -D_{-e_j}H(x) = \dfrac{\frac{\partial f}{\partial x_j}(x)\odot g(x) - f(x)\odot \frac{\partial g}{\partial x_j}(x)}{g(x)\odot g(x)}$이고 

연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\dfrac{\partial H}{\partial x_j}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이다.

 

 

 

정리4

$n,m \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U$에서 함수 $f,g: U\to \mathbb{R}^m$가 $k$번 연속미분가능하면 다음이 성립한다.

1. 함수 $h: U\to \mathbb{R}^m$가 $U$에서 $k$번 연속미분가능하기 위한 필요충분조건은

모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $h$의 편도함수 $\dfrac{\partial h}{\partial x_j} : U\to \mathbb{R}^m$가 $k-1$번 연속미분가능한 것이다.

2. $p \le k$인 모든 $p\in \mathbb{N}$에 대해 $f$는 $U$에서 $p$번 연속미분가능하다.

3. $m$-순서쌍의 덧셈, 스칼라곱이 $+_m,\cdot_m$일때 임의의 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해

모든 $x\in U$가 $F(x) = a\cdot_mf(x)+_m b\cdot_m g(x)$인 함수 $F:U\to \mathbb{R}^m$는 $U$에서 $k$번 연속미분가능하다.

4. $m$-순서쌍의 성분곱이 $\odot$일때

모든 $x\in U$가 $G(x) = f(x)\odot g(x)$인 함수 $G:U\to \mathbb{R}^m$는 $U$에서 $k$번 연속미분가능하다.

5. 모든 $x\in U$에 대해 $g(x)$의 성분이 가역일때 $m$-순서쌍의 성분 나눗셈에 대해

모든 $x\in U$가 $H(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$인 함수 $H:U\to \mathbb{R}^m$는 $U$에서 $k$번 연속미분가능하다.

증명

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$일때

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$의 노름거리공간이다.

$k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

1.

$k = 1$일때 $h$가 $U$에서 $1$번 연속미분가능하면 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해

$\dfrac{\partial h}{\partial x_j}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이므로 $\dfrac{\partial h}{\partial x_j}$는 $U$에서 $0$번 연속미분가능하다.

역으로 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial h}{\partial x_j}$가 $U$에서 $0$번 연속미분가능하면 

$\dfrac{\partial h}{\partial x_j}$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이므로 $h$는 $U$에서 $1$번 연속미분가능하다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $f$가 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하면

모든 $j_1,\cdots,j_{r},j_{r+1} = 1,2,\cdots,n$에 대해 $f$의 $r+1$계 편도함수 $\dfrac{\partial^{r+1} f}{\partial x_{j_{r+1}}\partial x_{j_r}\cdots \partial x_{j_1}} : U\to \mathbb{R}^m$이 존재하여

$\dfrac{\partial^{r+1} f}{\partial x_{j_{r+1}}\partial x_{j_r}\cdots \partial x_{j_1}}$은 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이므로 

모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}$의 $r$계 편도함수가 존재하여 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수임에 따라

$\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}$는 $r$번 연속미분가능하다.

역으로 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}$가 $r$번 연속미분가능하면 

모든 $j_1,\cdots,j_{r},j_{r+1} = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial^{r+1} f}{\partial x_{j_{r+1}}\partial x_{j_r}\cdots \partial x_{j_1}}$이 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이므로 

$f$는 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하다.

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다.

2.

$k = 1$이면 $p\le k$인 모든 $p\in \mathbb{N}$는 $p = 0$ 또는 $p = 1$이고

미분 정리로 $f$는 $U$에서 미분가능하여 미분 정리로 $f$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이므로

$f$는 $0$번 연속미분가능하고 자명하게 $f$는 $1$번 연속미분가능하다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $f$가 $r+1$번 연속미분가능하면 

1번으로 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}$가 존재하여 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}$는 $r$번 연속미분가능하므로 

$0\le r$임에 따라 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}$는 $0$번 연속미분가능하여 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}$가 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수임에 따라 

미분 정리와 미분 정리로 $f$는 $0$번 연속미분가능하고

$0 < p \le r+1$인 모든 $p\in \mathbb{N}$에 대해 $0\le p-1\le r$이므로 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}}$는 $p-1$번 연속미분가능하여

모든 $j_1,\cdots j_p = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j_p}\cdots \partial x_{j_1}}$이 존재하고

$\dfrac{\partial f}{\partial x_{j_p}\cdots \partial x_{j_1}}$이 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수임에 따라 

$p \le r+1$인 모든 $p\in \mathbb{N}$에 대해 $f$는 $U$에서 $p$번 연속미분가능하다.

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다.

3.

$k = 1$이면 위 정리로 $F$는 $U$에서 $1$번 연속미분가능하다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $f,g$가 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하면 

1번으로 모든 $j= 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}},\dfrac{\partial g}{\partial x_j}$는 $U$에서 $r$번 연속미분가능하여

위 정리로 모든 $x\in U$에 대해 $\dfrac{\partial F}{\partial x_j}(x) = a\cdot_m \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) +_m b\cdot_m \dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x)$이므로

귀납가정으로 $\dfrac{\partial F}{\partial x_{j}}$가 $U$에서 $r$번 연속미분가능함에 따라 1번으로 $F$는 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하다.

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다.

4.

$k = 1$이면 위 정리로 $G$는 $U$에서 $1$번 연속미분가능하다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $f,g$가 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하면 

1, 2번으로 모든 $j= 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}},\dfrac{\partial g}{\partial x_j},f,g$는 $U$에서 $r$번 연속미분가능하여

위 정리로 모든 $x\in U$에 대해 $\dfrac{\partial G}{\partial x_j}(x) = \dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) \odot g(x) +_m f(x)\odot \dfrac{\partial g}{\partial x_j}(x)$이므로

귀납가정과 3번으로 $\dfrac{\partial G}{\partial x_{j}}$가 $U$에서 $r$번 연속미분가능함에 따라 1번으로 $G$는 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하다.

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다.

5.

$k = 1$이면 위 정리로 $G$는 $U$에서 $1$번 연속미분가능하다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립할때 $f,g$가 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하면 

1, 2번으로 모든 $j= 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_{j}},\dfrac{\partial g}{\partial x_j},f,g$는 $U$에서 $r$번 연속미분가능하여

위 정리로 모든 $x\in U$에 대해 $\dfrac{\partial H}{\partial x_j}(x) = \dfrac{\frac{\partial f}{\partial x_j}(x) \odot g(x) - f(x)\odot \frac{\partial g}{\partial x_j}(x)}{g(x)\odot g(x)} $이므로

귀납가정과 3, 4번으로 $\dfrac{\partial H}{\partial x_{j}}$가 $U$에서 $r$번 연속미분가능함에 따라 1번으로 $H$는 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하다.

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다.

 

 

 

정리5

임의의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,m,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R},d_1)$일때

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$의 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$에 대해 

함수 $f:U\to \mathbb{R}^m$와 함수 $f_1,f_2,\cdots,f_m:U\to \mathbb{R}$가 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x))\in \mathbb{R}^m$이면 

임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f$가 $U$에서 $k$번 연속미분가능하기 위한 필요충분조건은 

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i$가 $U$에서 $k$번 연속미분가능한 것이다.

증명

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$일때

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$의 노름거리공간이다.

$k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$k=1$일때 $f$가 $U$에서 연속미분가능하기 위한 필요충분조건은 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해

$f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j} : U\to \mathbb{R}^m$가 존재하여 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j} $가 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수인 것이고

편도함수 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}$가 존재하기 위한 필요충분조건은

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i$의 편도함수 $\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} : U\to \mathbb{R}$가 존재하는 것이고 

이때 모든 $x\in U$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) = \left ( \dfrac{\partial f_1}{\partial x_j}(x),\dfrac{\partial f_2}{\partial x_j}(x),\cdots, \dfrac{\partial f_m}{\partial x_j}(x) \right)$이므로 

연속함수 정리로 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}$가 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로 연속함수이기 위한 필요충분조건이

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}$가 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수인 것임에 따라 

$f$가 $U$에서 연속미분가능하기 위한 필요충분조건은 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i$가 $U$에서 연속미분가능한 것이다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때

위 정리로 $f$가 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하기 위한 필요충분조건은

모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}$가 $U$에서 $r$번 연속미분가능한 것이고 

편도함수 정리와 귀납가정으로

모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}$가 $U$에서 $r$번 연속미분가능하기 위한 필요충분조건은

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}$가 $U$에서 $r$번 연속미분가능한 것이므로 

위 정리로 모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j = 1,2,\cdots,n$에 대해 

$\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}$가 $U$에서 $r$번 연속미분가능하기 위한 필요충분조건은 $f_i$가 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능한 것임에 따라

$f$가 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하기 위한 필요충분조건은

모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i$가 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능한 것이다.

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리6

$n,m,p \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R}^p,d_p)$일때 

임의의 $k\in \mathbb{Z}^+$와 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 열린집합 $V$에 대해 

$f(U)\subseteq V$인 함수 $f: U\to \mathbb{R}^m$가 $U$에서 $k$번 연속미분가능하고 함수 $g: V\to \mathbb{R}^p$가 $V$에서 $k$번 연속미분가능하면 

합성함수 $g\circ f:U\to \mathbb{R}^p$는 $U$에서 $k$번 연속미분가능하다.

증명

$k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$k = 1$이면 연속미분 정리로 $g\circ f$는 $U$에서 $1$번 연속미분가능하다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $f$가 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하고 $g$가 $V$에서 $r+1$번 연속미분가능하면 

모든 $x= (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$가 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x))$인 함수 $f_1,f_2,\cdots, f_m : U\to \mathbb{R}$과

모든 $y = (y_1,y_2,\cdots,y_m)\in V$가 $g(y) = (g_1(y),g_2(y),\cdots,g_p(y))$인 함수 $g_1,g_2,\cdots,g_p : V\to \mathbb{R}$와

모든 $i=1,2,\cdots,m$와 모든 $j=1,2,\cdots,n$와 모든 $k=1,2,\cdots,p$에 대해 편도함수 정리로

$\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) = \left ( \dfrac{\partial f_1}{\partial x_j}(x),\dfrac{\partial f_2}{\partial x_j}(x),\cdots, \dfrac{\partial f_m}{\partial x_j}(x) \right)$이고 $\dfrac{\partial g}{\partial y_i}(y) = \left ( \dfrac{\partial g_1}{\partial y_i}(y),\dfrac{\partial g_2}{\partial y_i}(y),\cdots, \dfrac{\partial g_p}{\partial y_i}(y) \right)$이므로 

위 정리로 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j},f$는 $U$에서 $r$번 연속미분가능하고 $\dfrac{\partial g}{\partial y_i}$는 $V$에서 $r$번 연속미분가능하여 

위 정리로 $\dfrac{\partial f_i}{\partial x_j},f_i$는 $U$에서 $r$번 연속미분가능하고 $\dfrac{\partial g_k}{\partial y_i}$는 $V$에서 $r$번 연속미분가능하다.

모든 $x\in U$에 대해 $(g\circ f)(x) = ((g_1\circ f)(x),(g_2\circ f)(x),\cdots, (g_p\circ f)(x))$이고

연속미분 정리와 편도함수 정리로

$\begin{align*} \dfrac{\partial (g\circ f)}{\partial x_j}(x) & = \left ( \dfrac{\partial (g_1\circ f)}{\partial x_j}(x) , \dfrac{\partial (g_2\circ f)}{\partial x_j}(x),\cdots, \dfrac{\partial (g_p\circ f)}{\partial x_j}\right ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_1}{\partial y_i}(f(x)) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x), \sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_2}{\partial y_i}(f(x))\cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x),\cdots, \sum_{i=1}^m \dfrac{\partial g_p}{\partial y_i}(f(x)) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \right ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i=1}^m (\tfrac{\partial g_1}{\partial y_i}\circ f)(x) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x), \sum_{i=1}^m (\tfrac{\partial g_2}{\partial y_i}\circ f)(x)\cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x),\cdots, \sum_{i=1}^m (\tfrac{\partial g_p}{\partial y_i}\circ f)(x) \cdot \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \right ) \text{ 이므로}\end{align*}$ 

위 정리와 귀납가정으로

모든 $j=1,2,\cdots,n$와 모든 $k=1,2,\cdots,p$에 대해 $\dfrac{\partial (g_k\circ f)}{\partial x_j}$는 $U$에서 $r$번 연속미분가능하여

위 정리로 $\dfrac{\partial (g\circ f)}{\partial x_j}$가 $U$에서 $r$번 연속미분가능함에 따라 위 정리로 $g\circ f$는 $U$에서 $r+1$번 연속미분가능하다.

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리7

$n\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$일때

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$의 모든 $x\in U$가 $f(x) =x$인 함수 $f:U\to \mathbb{R}^n$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하다.

증명

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 표준순서기저가 $\beta= (e_1,e_2,\cdots,e_n)$이면 

연속미분 정리와 연속함수 정리로 $f$는 $U$에서 연속미분가능하여 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해

$f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j} : U\to \mathbb{R}^m$은 모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$에 대해 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) = e_j$이므로

위 정리로 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}$가 $U$에서 무한번 연속미분가능함에 따라 위 정리로 $f$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하다.

 

 

 

정리8

$1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $A\subseteq \mathbb{R}$에 대해 

$c\in A$가 $A$의 집적점이기 위한 필요충분조건은 $0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $\{ h \in \mathbb{R}\setminus \{ 0\} : c+h\in A\}$의 집적점인 것이다.

2. 임의의 $A\subseteq \mathbb{R}$에 대해 

함수 $f:A\to \mathbb{R}$가 $c\in A$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $f$가 $(A,d_1)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $c$에서 연속인 것이다.

3. 임의의 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점 $c\in A$와 함수 $f:A\to \mathbb{R}$에 대해

$c$에서 $f$의 도함수 $f'(c)$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $c$에서 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial f}{\partial x}(c)$가 존재하는 것이다.

이때 $f'(c) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(c)$가 성립한다.

4. 임의의 열린구간 $I$와 함수 $f:I\to \mathbb{R}$에 대해

$f$가 $I$에서 무한번 연속미분가능하기 위한 필요충분조건은 $f$가 $I$에서 무한번 미분가능한 것이다.

증명

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $1$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R},+,\cdot,0)$일때

거리공간 정리로 $(\mathbb{R},d_1)$은 $(\mathbb{R},+,\cdot,0)$위의 점곱 내적공간의 노름공간의 노름거리공간이고

모든 $x,y\in \mathbb{R}$에 대해 $d_1(x,y) = |x-y|$이고 $(\mathbb{R},+,\cdot,0)$의 표준순서기저는 $\beta= (1)$이다.

$S = \{ h \in \mathbb{R}\setminus \{ 0\} : c+h\in A\}$일때 

1.

$c$가 $A$의 집적점이면 

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $|x -c| < \epsilon$이고 $x\ne c$인 $x\in A$가 존재하여 $x-c \ne 0$이므로 $x-c\in \mathbb{R}\setminus \{ 0\}$이고

$c + x- c=c\in A$임에 따라 $x-c\in S$가 되어

$d_1(0,x-c) = |0 - (x-c)|= |c-x| = |x-c| < \epsilon$이므로 $0$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $S$의 집적점이다.

역으로 $0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $S$의 집적점이면 

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $d_1(0,h) < \epsilon$인 $h\in S \subseteq \mathbb{R}\setminus \{0\}$가 존재하여 $c+h\in A$이고

$h\ne 0$임에 따라 $0 < |h| = |c - (c+h)|$가 되어 $c\ne c+h$이고 $|c - (c+h)| = |0 -h| = d_1(0,h) < \epsilon$이므로

$c$는 $A$의 집적점이다.

2.

모든 $x\in A$에 대해 $d_1(x,c) = |x-c|$이고 $d_1(f(x),f(c)) = |f(x)-f(c)|$이므로 

$f$가 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $f$가 $(A,d_1)$과 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $c$에서 연속인 것이다.

3.

도함수 정리로 $f'(c)$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to c} \left ( \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\right )$가 존재하는 것이고 

극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c} \left ( \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\right )$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{h\to 0} \left ( \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\right )$가 존재하는 것이므로

모든 $x\in A$에 대해 $d_1(x,c) = |x-c|$이고 $d_1(f(x),f(c)) = |f(x)-f(c)|$임에 따라

극한의 정의와 거리공간에서 극한의 정의로 

$\displaystyle \lim_{h\to 0} \left ( \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\right )$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{h\to 0}^{S,d_1,d_1} \left ( \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\right )$가 존재하는 것이고

편도함수의 정의로 $\displaystyle \lim_{h\to 0}^{S,d_1,d_1} \left ( \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\right )$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $\dfrac{\partial f}{\partial x}(c)$가 존재하는 것이므로 

$f'(c)$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $\dfrac{\partial f}{\partial x}(c)$가 존재하는 것이고

$\displaystyle f'(c) = \lim_{x\to c} \left ( \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\right ) = \lim_{h\to 0} \left ( \dfrac{f(c+h) -f(c)}{h}\right ) = \lim_{h\to 0}^{S,d_1,d_1}\left( \dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\right ) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(c)$가 성립한다.

4.

거리공간 정리와 거리공간 정리로 $I$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 열린집합이다.

$f$가 $I$에서 무한번 연속미분가능하면 3번으로 $f$는 $I$에서 무한번 미분가능하다.

역으로 $f$가 $I$에서 무한번 미분가능하면 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f$의 $k$계 도함수 $f^{(k)} : I\to \mathbb{R}$가 존재하여

3번으로 $f$의 $k$계 편도함수 $\dfrac{\partial^k f}{\partial x^k} : I\to \mathbb{R}$는 모든 $c\in I$에 대해 $f^{(k)}(c) = \dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(c)$이므로 $f^{(k)} = \dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}$이고

$f^{(k)} = \dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}$는 $I$에서 미분가능하여 도함수 정리로 $f^{(k)} = \dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}$가 $I$에서 연속임에 따라 

2번으로 $f^{(k)} = \dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}$는 $(I,d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 $f$는 $I$에서 $k$번 연속미분가능하므로

$f$는 $I$에서 무한번 연속미분가능하다.

 

 

 

정리9

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때 실지수함수 $\exp : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 다항함수 $p :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{p(x)}{\exp(x)} = 0 = \lim_{x\to 0} \dfrac{p(\frac{1}{x})}{\exp(\frac{1}{x^2})}$이다.

2. 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $f(x) = \begin{cases}\exp(-\frac{1}{x^2}) & x\ne 0\text{ 일때} \\[0.5em] 0 & x = 0 \text{ 일때}\end{cases}$인 함수 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 무한번 미분가능하고

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f$의 $k$계 도함수 $f^{(k)} : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $f^{(k)}(0) = 0$이다.

3. $a < b$인 모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 유계 열린구간과 유계 닫힌구간이 $(a,b),[a,b]$일때 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해

$\phi(x) = \begin{cases}\exp(-\frac{1}{(x-a)^2})\cdot \exp(-\frac{1}{(x-b)^2}) & x\in (a,b)\text{ 일때} \\[0.5em] 0 & x \notin (a,b) \text{ 일때}\end{cases}$인 함수 $\phi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 무한번 미분가능하고

$\phi$의 지지집합은 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{supp}}(\phi) = [a,b]$이다.

4. 모든 $\delta\in (0,\infty)$에 대해 $\mathbb{R}$에서 무한번 미분가능한 함수 $\psi_\delta : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 존재하여 

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $x\le 0$이면 $\psi_\delta(x) = 0$이고 $0 < x \le \delta$이면 $0\le \psi_\delta(x)\le 1$이고 $\delta < x$이면 $\psi_\delta(x) = 1$이다.

증명

1. 

다항함수 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} x^k = \infty$이고

지수함수 정리로 모든 $x\in (0,\infty)$에 대해 $0 < \dfrac{x^{k+1}}{(k+1)!} < 1 + \dfrac{x}{1} + \cdots + \dfrac{x^k}{k!} + \dfrac{x^{k+1}}{(k+1)!} < \exp(x)$이다.

다항함수의 정의로

어떤 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 어떤 $a_k,\cdots, a_1,a_0\in \mathbb{R}$이 존재하여 모든 $x\in \mathbb{R}$가 $p(x) = a_k\cdot x^k + \cdots + a_1\cdot x + a_0$이므로 

극한 정리와 극한 정리로 

$\begin{align*} \lim_{x\to \infty} \dfrac{p(x)}{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}} & = \lim_{x\to \infty} \left (\dfrac{a_k\cdot x^k + \cdots + a_1\cdot x + a_0 }{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}} \right ) \\[0.5em] & = \lim_{x\to \infty} \left (\dfrac{(k+1)! \cdot a_k\cdot x^k + \cdots + (k+1)! \cdot a_1\cdot x + (k+1)! \cdot a_0 }{x^{k+1}} \right ) \\[0.5em] & = \lim_{x\to \infty} \left ( \dfrac{(k+1)! \cdot a_k\cdot x^k}{x^{k+1}} +\cdots +\dfrac{(k+1)! \cdot a_1\cdot x}{x^{k+1}} +\dfrac{(k+1)! \cdot a_0 }{x^{k+1}} \right ) \\[0.5em] & = \lim_{x\to \infty} \left ( \dfrac{(k+1)! \cdot a_k}{x} +\cdots +\dfrac{(k+1)! \cdot a_1}{x^{k}} +\dfrac{(k+1)! \cdot a_0 }{x^{k+1}} \right ) \\[0.5em] & = \lim_{x\to \infty} \left ( \dfrac{(k+1)! \cdot a_k}{x} \right ) +\cdots + \lim_{x\to \infty} \left ( \dfrac{(k+1)! \cdot a_1}{x^{k}} \right ) + \lim_{x\to \infty} \left ( \dfrac{(k+1)! \cdot a_0 }{x^{k+1}} \right ) \\[0.5em] & = 0\text{ 이다.} \end{align*}$

극한의 정의로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 

$x > K(\epsilon)$인 모든 $x\in \mathbb{R}$가 $\left | \dfrac{p(x)}{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}\right | = \left |\dfrac{p(x)}{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}} -0 \right | < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in (0,\infty)$이 존재하여 

$0 < K(\epsilon) < x$임에 따라 $\dfrac{|p(x)|}{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}} = \dfrac{|p(x)|}{|\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}|} = \left | \dfrac{p(x)}{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}\right | < \epsilon$이고 $|p(x)| < \epsilon\cdot \dfrac{x^{k+1}}{(k+1)!} < \epsilon \cdot \exp(x)$이므로 

$\left | \dfrac{p(x)}{\exp(x)} - 0\right | = \left | \dfrac{p(x)}{\exp(x)}\right | = \dfrac{|p(x)|}{|\exp(x)|} = \dfrac{|p(x)|}{\exp(x)} < \epsilon$이 되어 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \dfrac{p(x)}{\exp(x)} = 0$이다.

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $q(x) = |a_k|\cdot x^k + \cdots + |a_1|\cdot x + |a_0|$인 함수 $q:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 다항함수이므로

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $x > \delta_\epsilon$인 모든 $x\in \mathbb{R}$가 $\left| \dfrac{q(x)}{\exp(x)} \right | < \epsilon$인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여 

$0 < |x - 0 |< \min \{ \frac{1}{\delta_\epsilon},1\}$인 모든 $x\in \mathbb{R}$는 

$0 < |x| < 1$임에 따라 거듭제곱 정리로 $0< x^2 = |x^2| =|x|^2 < |x| < \dfrac{1}{\delta_\epsilon}$이고

$\delta_\epsilon < \dfrac{1}{|x|} <  \dfrac{1}{x^2}$와 $1 < \dfrac{1}{|x|} < \dfrac{1}{x^2}$가 성립하여 삼각부등식과 거듭제곱 정리로

$\begin{align*} |p(\tfrac{1}{x})| &= |a_k\cdot (\tfrac{1}{x})^k + \cdots + a_1\cdot \tfrac{1}{x} + a_0| \\[0.5em] & \le |a_k|\cdot |\tfrac{1}{x}|^k +\cdots + |a_1|\cdot |\tfrac{1}{x}| + |a_0| \\[0.5em] & \qquad = |a_k|\cdot (\tfrac{1}{|x|})^k +\cdots + |a_1|\cdot \tfrac{1}{|x|} + |a_0| \\[0.5em] & \le |a_k|\cdot (\tfrac{1}{x^2})^k +\cdots + |a_1|\cdot \tfrac{1}{x^2} + |a_0| \\[0.5em] & \qquad = q(\tfrac{1}{x^2}) \text{ 이므로} \end{align*}$

$\left| \dfrac{p(\frac{1}{x})}{\exp(\frac{1}{x^2})} \right | = \dfrac{|p(\frac{1}{x})|}{|\exp(\frac{1}{x^2})|} = \dfrac{|p(\frac{1}{x})|}{\exp(\frac{1}{x^2})} \le \dfrac{q(\frac{1}{x^2})}{\exp(\frac{1}{x^2})} = \left | \dfrac{q(\frac{1}{x^2})}{\exp(\frac{1}{x^2})} \right | < \epsilon$임에 따라 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{p(\frac{1}{x})}{\exp(\frac{1}{x^2})} = 0$이다.

2.

$k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 $f$가 $\mathbb{R}$에서 $k$번 미분가능하여 $f^{(k)}(0) = 0$이고

모든 $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$에 대해 $f^{(k)}(x) = p_{3\cdot k}(\frac{1}{x})\cdot \exp(-\frac{1}{x^2})$인 $3\cdot k$차 다항함수 $p_{3\cdot k}: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 존재함을 보인다.

$k=1$일때 

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $p_3(x) = 2\cdot x^3$인 함수 $p_3:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$은 $3$차 다항함수이고

모든 $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$에 대해 $f(x) = \exp(-\frac{1}{x^2})$이므로

거리공간 정리와 거리공간 정리로 $ \mathbb{R}\setminus \{0\} = (-\infty,0)\cup (0,\infty)$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 열린집합임에 따라

내부 정리와 편도함수 정리와 위 정리와 연쇄 법칙과 지수함수 정리와 거듭제곱 정리와 미분 정리로 

$\begin{align*} f^{(1)}(x) & =f'(x) \\[0.5em] & = \exp'(-\tfrac{1}{x^2})\cdot \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}( -\tfrac{1}{x^2}) \\[0.5em] & = \exp(-\tfrac{1}{x^2})\cdot \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(-x^{-2}) \\[0.5em] & = \exp(-\tfrac{1}{x^2})\cdot (- (-2)\cdot x^{-3}) \\[0.5em] & = 2\cdot (\tfrac{1}{x})^3\cdot \exp(-\tfrac{1}{x^2}) \\[0.5em] & = p_3(\tfrac{1}{x})\cdot \exp(-\tfrac{1}{x^2}) \text{ 이고}\end{align*}$

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $p_1(x) = x$인 함수 $p_1 : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$은 다항함수이므로 미분 정리와 지수함수 정리와 위 정리로 

$\displaystyle f^{(1)}(0) =f'(0) = \lim_{x\to 0} \left (\dfrac{f(x) - f(0)}{x-0} \right ) = \lim_{x\to 0} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\dfrac{\exp(-\frac{1}{x^2})}{x} = \lim_{x\to 0} \dfrac{1}{x}\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0} \dfrac{\tfrac{1}{x}}{e^\frac{1}{x^2}} = \lim_{x\to 0}\dfrac{p_1(\frac{1}{x})}{\exp(\frac{1}{x^2})} = 0 \text{ 이다.}$

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f$가 $\mathbb{R}$에서 $r$번 미분가능하여 $f^{(r)}(0) = 0$이고

모든 $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$에 대해 $f^{(r)}(x) = p_{3\cdot r}(\frac{1}{x})\cdot \exp(-\frac{1}{x^2})$인 $3\cdot r$차 다항함수 $p_{3\cdot r}: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$이 존재하면 

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $q_2(x) = -x^2$이고 $p_3 = 2\cdot x^3$인 함수 $q_2,p_3: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$은 $2,3$차 다항함수이고 

거듭제곱 정리와 미분 정리로 $p_{3\cdot r}$의 도함수 $p_{3\cdot r}' : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$은 $3\cdot r-1$차 다항함수가 되어

$p_{3\cdot (r+1)}(x) = p_{3\cdot r}'(x)\cdot q_2(x) + p_{3\cdot r}(x)\cdot p_3(x)$인 함수 $p_{3\cdot (r+1)}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$은 $3\cdot (r+1)$차 다항함수이고

모든 $x\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$에 대해 연쇄 법칙과 지수함수 정리와 거듭제곱 정리와 미분 정리로 

$\begin{align*} f^{(r+1)}(x) & =(f^{(r)})'(x) \\[0.5em] & =p_{3\cdot r}'(\tfrac{1}{x})\cdot \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}( \tfrac{1}{x}) \cdot \exp(-\tfrac{1}{x^2}) + p_{3\cdot r}(\tfrac{1}{x})\cdot \exp'(-\tfrac{1}{x^2})\cdot \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}( -\tfrac{1}{x^2}) \\[0.5em] & =p_{3\cdot r}'(\tfrac{1}{x})\cdot (-x^{-2})\cdot \exp(-\tfrac{1}{x^2}) + p_{3\cdot r}(\tfrac{1}{x})\cdot \exp(-\tfrac{1}{x^2})\cdot (- (-2)\cdot x^{-3}) \\[0.5em] & =p_{3\cdot r}'(\tfrac{1}{x})\cdot (-(\tfrac{1}{x})^2) \cdot \exp(-\tfrac{1}{x^2}) + p_{3\cdot r}(\tfrac{1}{x})\cdot \exp(-\tfrac{1}{x^2})\cdot 2\cdot (\tfrac{1}{x})^3 \\[0.5em] & = (p_{3\cdot r}'(\tfrac{1}{x})\cdot q_2(\tfrac{1}{x}) + p_{3\cdot r}(\tfrac{1}{x})\cdot p_3(\tfrac{1}{x}) ) \cdot \exp(-\tfrac{1}{x^2}) \\[0.5em] & = p_{3\cdot (r+1)}(\tfrac{1}{x}) \cdot \exp(-\tfrac{1}{x^2}) \text{ 이므로}\end{align*}$

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $p_{3\cdot r+1}(x) = p_{3\cdot r}(x)\cdot x$인 함수 $p_{3\cdot r+1} : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$이 다항함수임에 따라 

미분 정리와 지수함수 정리와 위 정리로 

$\begin{align*} f^{(r+1)}(0) & =(f^{(r)})'(0) \\[0.5em] & = \lim_{x\to 0} \left (\dfrac{f^{(r)}(x) - f^{(r)}(0)}{x-0} \right ) \\[0.5em] & = \lim_{x\to 0} \dfrac{f^{(r)}(x)}{x} \\[0.5em] & = \lim_{x\to 0} \dfrac{ p_{3\cdot r}(\frac{1}{x})\cdot \exp(-\frac{1}{x^2}) }{x} \\[0.5em] & = \lim_{x\to 0} \left (p_{3\cdot r}(\tfrac{1}{x}) \cdot \dfrac{1}{x}\cdot e^{-\frac{1}{x^2}} \right ) \\[0.5em] & = \lim_{x\to 0} \dfrac{p_{3\cdot r}(\tfrac{1}{x}) \cdot \tfrac{1}{x}}{ e^{\frac{1}{x^2}} } \\[0.5em] & = \lim_{x\to 0}\dfrac{p_{3\cdot r+1}(\frac{1}{x})}{\exp(\frac{1}{x^2})} \\[0.5em] & = 0 \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f$는 $\mathbb{R}$에서 $k$번 미분가능하여 $f^{(k)}(0) = 0$이고 $f$는 $\mathbb{R}$에서 무한번 미분가능하다.

3.

$k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $g(x) = \begin{cases}f(x) & x > 0\text{ 일때} \\[0.5em] 0 & x \le 0 \text{ 일때}\end{cases}$인 함수 $g : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 $\mathbb{R}$에서 $k$번 미분가능하여

$x > 0$이면 $g^{(k)}(x) = f^{(k)}(x)$이고 $x\le 0$이면 $g^{(k)}(x) = 0$임을 보인다.

$k = 1$일때 

거리공간 정리로 $(-\infty,0),(0,\infty)$는 $(\mathbb{R},d_1)$에서 열린집합이므로

모든 $x\in (0,\infty)$에 대해 $g(x) = f(x)$이고 모든 $x\in (-\infty,0)$에 대해 $g(x) = 0$임에 따라

내부 정리와 편도함수 정리와 위 정리와 상수함수 정리로 

모든 $x\in (0,\infty)$에 대해 $g'(x) = f'(x)$이고 모든 $x\in (-\infty,0)$에 대해 $g'(x) = 0$이다.

2번과 미분 정리와 극한 정리로 

$\displaystyle \lim_{x\to 0+} \left (\dfrac{g(x) - g(0)}{x-0}\right ) = \lim_{x\to 0+} \left (\dfrac{f(x) - 0}{x -0}\right ) = \lim_{x\to 0+} \left ( \dfrac{f(x) - f(0)}{x-0}\right) = \lim_{x\to 0}\left ( \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\right )  = f'(0) = 0$이고 

$\displaystyle \lim_{x\to 0-} \left (\dfrac{g(x) - g(0)}{x-0}\right ) = \lim_{x\to 0-} \left (\dfrac{0 - 0}{x -0}\right ) = \lim_{x\to 0-}0 = 0$이므로 $\displaystyle g'(0) = \lim_{x\to 0} \left (\dfrac{g(x) - g(0)}{x-0}\right ) =0$이다.

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $g$가 $\mathbb{R}$에서 $r$번 미분가능하여

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $x > 0$이면 $g^{(r)}(x) = f^{(r)}(x)$이고 $x\le 0$이면 $g^{(r)}(x) = 0$일때 

$g^{(r)}(x) = \begin{cases}f^{(r)}(x) & x > 0\text{ 일때} \\[0.5em] 0 & x \le 0 \text{ 일때}\end{cases}$이므로 $g^{(r)}$은 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여

$x > 0$이면 $g^{(r+1)}(x) = (g^{(r)})'(x) = (f^{(r)})'(x) = f^{(r+1)}(x)$이고 $x\le 0$이면 $g^{(r+1)}(x)=(g^{(r)})'(x) = 0$임에 따라

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $g$는 $\mathbb{R}$에서 $k$번 미분가능하여 $g$는 $\mathbb{R}$에서 무한번 미분가능하다.

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 

$a < x < b$이면 $x\in (a,b)$이고 $0 < x - a$와 $0 < b - x$가 성립하므로 

$\phi(x) = \exp(-\frac{1}{(x-a)^2})\cdot \exp(-\frac{1}{(x-b)^2}) = \exp(-\frac{1}{(x-a)^2})\cdot \exp(-\frac{1}{(b-x)^2}) = f(x-a)\cdot f(b-x) = g(x-a)\cdot g(b-x) \text{ 이고}$

$x\le a$이면 $x\notin (a,b)$이고 $x -a \le 0$이므로 $\phi(x) = 0 = 0\cdot g(b-x) = g(x-a)\cdot g(b-x)$이고 

$b\le x$이면 $x\notin (a,b)$이고 $b-x\le 0$이므로 $\phi(x) = 0 =g(x-a)\cdot 0 = g(x-a)\cdot g(b-x)$가 되어 

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $\phi(x) = g(x-a)\cdot g(b-x)$임에 따라 

위 정리와 위 정리와 위 정리와 위 정리와 위 정리로 $\phi$는 $\mathbb{R}$에서 무한번 미분가능하고

거리공간 정리와 지지집합의 정의로 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{supp}}(\phi) = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in \mathbb{R} : \phi(x)\ne 0\}) = \underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{cl}}((a,b)) = [a,b]$이다.

4.

3번과 지수함수 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해

$x\in (0,\delta)$이면 $\phi(x) > 0$이고 $x\notin (0,\delta)$이면 $\phi(x) = 0$인 함수 $\phi : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 $\mathbb{R}$에서 무한번 미분가능하므로

미분연속성으로 $\phi$가 $\mathbb{R}$에서 연속임에 따라 위 정리와 연속함수 정리와 리만적분 정리로

$a\le b$인 모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $\phi$의 제한함수 $\phi|_{[a,b]} : [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하다.

$a < b$이고 $[a,b]\subseteq [0,\delta]$인 모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 제한함수의 정의와 함수 정리로 $\phi|_{[a,b]}([a,b]) = \phi([a,b])$이고

모든 $x\in [a,b]$에 대해 $\phi(x) \ge 0$이므로 연속함수 정리와 최소원소의 정의로 $0\le \min \phi([a,b]) \le \phi(x)$가 되어 

상자 정리와 적분 정리와 적분 정리와 닫힌구간에서 적분의 정의와 닫힌상자에서 적분의 정의로 

$\displaystyle 0 \le  \min \phi([a,b])\cdot (b-a) \le \int_a^b \phi(t)\operatorname{d}\!t \le \int_0^\delta \phi(t)\operatorname{d}\!t$이고

$[\frac{\delta}{4} ,\frac{\delta}{2}] \subseteq (0,\delta) \subseteq [0,\delta]$이므로 모든 $x\in [\frac{\delta}{4} ,\frac{\delta}{2}]$가 $\phi(x) > 0$임에 따라 

최소원소의 정의로 $\displaystyle 0 < \min \phi([\tfrac{\delta}{4},\tfrac{\delta}{2}])\cdot \frac{\delta}{4} = \min \phi([\tfrac{\delta}{4},\tfrac{\delta}{2}])\cdot (\tfrac{\delta}{2}-\tfrac{\delta}{4}) \le \int_0^\delta \phi(t)\operatorname{d}\!t$이다.

적분 정리와 미분 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $\psi_\delta(x) = \dfrac{\int_0^x\phi(t)\operatorname{d}\!t}{\int_0^\delta \phi(t)\operatorname{d}\!t}$인 함수 $\psi_\delta : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여

$\mathbb{R}$에서 $\psi_\delta$의 도함수 $\psi_\delta' :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $\psi_\delta'(x) = \dfrac{\phi(x)}{\int_0^\delta\phi(t)\operatorname{d}\!t}$이므로 

거리공간 정리와 위 정리와 위 정리로 $\psi_\delta$는 $\mathbb{R}$에서 무한번 미분가능하다.

모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $x\le 0$이면 $x\notin (0,\delta)$임에 따라 $\phi(x) = 0$이므로

적분의 정의와 적분 정리로 $\displaystyle \int_0^x \phi(t)\operatorname{d}\!t = -\int_x^0 \phi(t)\operatorname{d}\!t = -\int_x^0 0\operatorname{d}\!t = - 0\cdot (0 -x) = 0$이 되어 $\psi_\delta(x) = 0$이고 

$0 < x \le \delta$이면 $\displaystyle 0 \le \int_0^x \phi(t)\operatorname{d}\!t \le \int_0^\delta \phi(t)\operatorname{d}\!t$이므로 $0 \le \psi_\delta(x) \le 1$이고 

$\delta < x$이면 $x\notin (0,\delta)$임에 따라 $\phi(x) = 0$이므로 적분 정리와 적분 정리로

$\displaystyle \int_0^x \phi(t)\operatorname{d}\!t = \int_0^\delta \phi(t)\operatorname{d}\!t + \int_\delta^x \phi(t)\operatorname{d}\!t = \int_0^\delta \phi(t)\operatorname{d}\!t + \int_\delta^x 0\operatorname{d}\!t = \int_0^\delta \phi(t)\operatorname{d}\!t + 0\cdot (x-\delta) = \int_0^\delta \phi(t)\operatorname{d}\!t \text{ 가 되어}$

$\psi_\delta(x) = 1$이다.

 

 

 

정리10

임의의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,m,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R},d_1)$일때

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$가

$p_i(x) = x_i$인 함수 $p_i : U \to \mathbb{R}$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하고

모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $p_i$의 편도함수는 $\dfrac{\partial p_i}{\partial x_j}(x) = \begin{cases} 1 & i=j \text{ 일때} \\[0.5em] 0& i\ne j \text{ 일때} \end{cases}$ 이다.

2. 임의의 $i_1,\cdots,i_m\in \{ 1,2,\cdots,n\}$에 대해 모든 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in U$가

$f(x_1,x_2,\cdots,x_n) = (x_{i_1},\cdots,x_{i_m})$인 함수 $f: U \to \mathbb{R}^m$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하고

모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $f$의 편도함수는 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) = \left ( \dfrac{\partial p_{i_1}}{\partial x_j}(x),\cdots,\dfrac{\partial p_{i_m}}{\partial x_j}(x) \right )$이다.

증명

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고

$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n),(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$일때

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R}^m,d_m)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n),(\mathbb{R}^m,\lVert\cdot\rVert_m)$의 노름거리공간이다.

위 정리로 모든 $x\in U$에 대해 $p(x) = x$인 함수 $p : U\to \mathbb{R}^n$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하고

$p(x) =x = (x_1,x_2,\cdots,x_n) = (p_1(x),p_2(x),\cdots,p_n(x))$이므로 위 정리로 $p_i$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하여

$f(x) = (x_{i_1},\cdots,x_{i_m}) = (p_{i_1}(x),\cdots,p_{i_m}(x))$임에 따라 위 정리로 $f$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하다.

$(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$의 크로네커 델타가 $\delta$이고 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 표준순서기저가 $\beta= (e_1,e_2,\cdots,e_n)$일때

연속미분 정리로 모든 $j=1,2,\cdots,n$에 대해 $p$의 편도함수는 모든 $x \in U$에 대해 $\dfrac{\partial p}{\partial x_j}(x) = e_j$이므로

편도함수 정리로 $(\delta_{1,j},\delta_{2,j},\cdots,\delta_{n,j}) = e_j = \dfrac{\partial p}{\partial x_j}(x) = \left ( \dfrac{\partial p_1}{\partial x_j}(x),\dfrac{\partial p_2}{\partial x_j}(x),\cdots,\dfrac{\partial p_n}{\partial x_j}(x) \right )$가 되어

크로네커 델타의 정의로 $\dfrac{\partial p_i}{\partial x_j}(x) = \delta_{i,j} = \begin{cases} 1 & i=j \text{ 일때} \\[0.5em] 0& i\ne j \text{ 일때} \end{cases}$이고 $\dfrac{\partial f}{\partial x_j}(x) = \left ( \dfrac{\partial p_{i_1}}{\partial x_j}(x),\cdots,\dfrac{\partial p_{i_m}}{\partial x_j}(x) \right )$이다.

 

 

 

정리11(연속미분형태의 우리손[Urysohn] 보조정리)

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$일때

$K\subseteq U$인 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합 $K$와 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$에 대해 

$\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능한 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수 $h : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$가 존재하여 

모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $0 \le h(x) \le 1$이고 모든 $x\in K$에 대해 $h(x) = 1$이고 $h$의 지지집합이 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(h)\subseteq U$이다.

증명

$K = \emptyset$이면 

위 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $h(x) = 0$인 함수 $h: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능하고 

지지집합의 정의와 폐포 정리와 거리공간 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(h) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in \mathbb{R}^n : h(x)\ne 0\}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}(\emptyset)} = \emptyset \subseteq U$이므로

콤팩트 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(h) = \emptyset$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어 $h$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수이고 

공허하게 모든 $x\in K = \emptyset$에 대해 $h(x) = 1$이다.

$K\ne \emptyset$이면 

모든 $x\in K\subseteq U$에 대해 열린공 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,r_x)} \subseteq U$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재하여 

초입방체 정리와 상자 정리로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x,\frac{\delta_x}{\sqrt{n}}) \subseteq Q_n[x,\delta_x]\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,r_x)}\subseteq U$인 $\delta_x\in (0,\infty)$가 존재하므로 

선택 정리로 $\delta_x$를 선택할때 $\epsilon_x = \dfrac{\delta_x}{\sqrt{n}} > 0$이면 $K\subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in K}\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,\epsilon_x)}$임에 따라 

콤팩트 정리로 어떤 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $K\subseteq \displaystyle \bigcup_{k = 1}^m \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_k,\epsilon_{x_k})$인 $x_1,x_2,\cdots,x_m\in K$이 존재한다.

위 정리와 위 정리와 지수함수 정리로 지지집합이 $\underset{(\mathbb{R},d_1)}{\operatorname{supp}}(\phi) = [-1,1]$이고 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해

$t \in (-1,1)$이면 $\phi(t) > 0$이고 $t\notin (-1,1)$이면 $\phi(t) = 0$인 함수 $\phi : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 $\mathbb{R}$에서 무한번 연속미분가능하므로

거리공간 정리로 $\mathbb{R}^n$이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합임에 따라 위 정리와 위 정리와 위 정리로 모든 $k= 1,2,\cdots,m$에 대해

모든 $x = (x(1),x(2),\cdots, x(n))\in \mathbb{R}^n$가 $f_k(x) = \phi(\frac{x(1)}{\epsilon_{x_k}})\cdot \phi(\frac{x(2)}{\epsilon_{x_k}})\cdot \,\cdots \, \cdot \phi(\frac{x(n)}{\epsilon_{x_k}})$인

함수 $f_k : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능하고 모든 $x \in \mathbb{R}^n$에 대해 $f_k(x) \ge 0$이다.

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이고 모든 $k= 1,2,\cdots,m$에 대해

모든 $x = (x(1),x(2),\cdots,x(n))\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(\vec{0}_n,\epsilon_{x_k})$는 열린공의 정의와 절댓값 정리로

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $\displaystyle |x(i)| =\sqrt{|x(i)|^2}\le \sqrt{\sum_{i=1}^n |x(i)|^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x(i) - 0|^2} = d_n(x,\vec{0}_n) < \epsilon_{x_k}$이므로 

$-\epsilon_{x_k} < x(i) < \epsilon_{x_k}$가 되어 $-1 < \dfrac{x(i)}{\epsilon_{x_k}} < 1$임에 따라 $f_k(x) = \phi(\frac{x(1)}{\epsilon_{x_k}})\cdot \phi(\frac{x(2)}{\epsilon_{x_k}})\cdot \,\cdots \, \cdot \phi(\frac{x(n)}{\epsilon_{x_k}}) > 0$이고 

$\phi(\frac{x(1)}{\epsilon_{x_k}})\cdot \phi(\frac{x(2)}{\epsilon_{x_k}})\cdot \,\cdots \, \cdot \phi(\frac{x(n)}{\epsilon_{x_k}}) = f_k(x) \ne 0$인 모든 $x = (x(1),x(2),\cdots,x(n))\in \mathbb{R}^n$는 

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $\phi(\frac{x(i)}{\epsilon_{x_k}})\ne 0$이므로 $-1 < \dfrac{x(i)}{\epsilon_{x_k}} < 1$이 되어 $|x(i)| < \epsilon_{x_k}$이고 

$d_n(x,\vec{0}_n) = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^n |x(i)|^2} < \sqrt{\sum_{i=1}^n \epsilon_{x_k}^2} = \sqrt{n\cdot \epsilon_{x_k}^2} = \sqrt{n}\cdot \epsilon_{x_k} = \sqrt{n} \cdot \dfrac{\delta_{x_k}}{\sqrt{n}} = \delta_{x_k}$이므로

열린공의 정의로 $x\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(\vec{0}_n,\delta_{x_k})$가 되어 $\{ x\in \mathbb{R}^n : f_k(x)\ne 0\} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(\vec{0}_n,\delta_{x_k})$이고

지지집합의 정의와 폐포 정리와 거리공간 정리와 초입방체 정리로 

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(f_k) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in \mathbb{R}^n : f_k(x)\ne 0\}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(\vec{0}_n,\delta_{x_k})) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}[\vec{0}_n,\delta_{x_k}] \subseteq Q_n[\vec{0}_n,\delta_{x_k}]$임에 따라 

거리공간 정리와 폐포 정리와 하이네-보렐 정리로 $f_k$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수이다.

위 정리와 위 정리와 위 정리로 모든 $k=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_k = (x_k(1),x_k(2),\cdots,x_k(n))$일때

모든 $x\in \mathbb{R}^n$가 $g_k(x) = f_k(x - x_k)\ge 0$인 함수 $g_k:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능하고 

모든 $x = (x(1),x(2),\cdots,x(n))\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_k,\epsilon_{x_k})$에 대해 

$\displaystyle d_n(x-x_k, \vec{0}_n) = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x(i)-x_k(i) - 0|^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x(i) - x_k(i)|^2} = d_n(x,x_k) < \epsilon_{x_k}$이므로

$x -x_k\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(\vec{0}_n,\epsilon_{x_k})$가 되어 $g_k(x) = f_k(x - x_k) > 0$이고 

$\{ x\in \mathbb{R}^n : f_k(x)\ne 0\} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(\vec{0}_n,\delta_{x_k})$이므로 $\{ x\in \mathbb{R}^n : g_k(x)\ne 0\} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_k,\delta_{x_k})$임에 따라

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(g_k) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}[x_k,\delta_{x_k}] \subseteq Q_n[x_k,\delta_{x_k}]$가 되어 $g_k$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수이다.

위 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해

$g(x) = g_1(x) + g_2(x) + \cdots + g_m(x)\ge 0$인 함수 $g: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능하고

위 정리로 $g$는 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(g) \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^m \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(g_k) \subseteq \bigcup_{k=1}^mQ_n[x_k,\delta_{x_k}] \subseteq U$인 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수이고

모든 $x\in K\subseteq \displaystyle \bigcup_{k = 1}^m \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_k,\epsilon_{x_k})$에 대해

$x\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_k,\epsilon_{x_k})$인 $k=1,2,\cdots,m$가 존재하여 $g(x) = g_1(x) + g_2(x) + \cdots + g_m(x) \ge g_k(x) > 0$이므로 

콤팩트 정리와 최소원소의 정의로 $\min g(K) > 0$가 존재한다.

$\delta = \dfrac{\min g(K)}{2} > 0$일때 위 정리와 위 정리로 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해

$t \le 0$이면 $\psi(t) = 0$이고 $0 < t \le \delta$이면 $0\le \psi(t)\le 1$이고 $\delta < t$이면 $\psi(t) = 1$인 

함수 $\psi : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$가 $\mathbb{R}$에서 무한번 연속미분가능하여

위 정리로 $h = \psi \circ g:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능하고

모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $0\le \psi(g(x)) \le 1$이므로 $0\le h(x) \le 1$이고 

모든 $x\in K$에 대해 최소원소의 정의로 $\delta = \dfrac{\min g(K)}{2} < \min g(K)\le g(x)$이므로 $h(x)  = \psi(g(x)) = 1$이고 

$\psi(g(x)) =h(x)\ne 0$인 모든 $x\in \mathbb{R}^n$는 $g(x) > 0$이므로

$\{ x\in \mathbb{R}^n : h(x)\ne 0\} \subseteq \{ x\in \mathbb{R}^n : g(x)\ne 0 \}$이 되어 지지집합의 정의와 폐포 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(h) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in \mathbb{R}^n : h(x)\ne 0\}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in \mathbb{R}^n : g(x)\ne 0 \}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(g) \subseteq U $이고

거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(h)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합임에 따라 $h$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수이다.

 

 

 

정리12

$n\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$이고

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 임의의 집합족 $\mathcal{O}$가 $\mathcal{O}\ne \emptyset$일때

임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$가 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이면 어떤 $\mathcal{O}$의 수열 $(O_k)_{k=1}^\infty$가 존재하여 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty O_k$이다.

증명

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이므로

위상공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$의 거리위상공간 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$은 분해가능하여

위상공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$이 제2가산공간임에 따라 위상공간 정리로 $E$는 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 린델뢰프 집합이다.

$E = \emptyset$일때

$\mathcal{O}\ne \emptyset$이므로 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $O_k = O$이면 $(O_k)_{k=1}^\infty$는 $\mathcal{O}$의 수열이고 $E = \emptyset \subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty O_k$이다.

$E\ne \emptyset$일때 거리공간 정리로 모든 $O\in \mathcal{O}$는 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 열린집합이므로

$E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$임에 따라 린델뢰프 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 가산집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하고

$E\ne \emptyset$이므로 $x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F}$가 존재함에 따라 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이다.

가산집합 정리와 가산집합 정리와 함수 정리로 전사함수 $f : \mathbb{Z}^+\to \mathcal{F}$가 존재하여

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(k) = O_k$일때 $(O_k)_{k=1}^\infty$는 $\mathcal{O}$의 수열이고 집합 정리로 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \bigcup_{O\in \mathcal{F}}O = \bigcup_{k=1}^\infty O_k$이다.

 

 

 

정리13(연속미분형태의 단위분할)

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$일때

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 임의의 집합족 $\mathcal{O}$에 대해 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$가 $E\ne \emptyset$이고 $E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이면

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 함수 $\phi_k: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$가 $\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능하고 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수인

수열 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$가 존재하여 다음이 성립한다.

1. 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in \mathbb{R}^n$가 $0\le \phi_k(x) \le 1$이다.

2. $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty O_k$인 $\mathcal{O}$의 수열 $(O_k)_{k=1}^\infty$가 존재하여 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k$의 지지집합이 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)\subseteq O_k$이다.

3. 모든 $x\in E$에 대해 급수열 $\left ( \displaystyle \sum_{k=1}^m\phi_k(x) \right )_{m=1}^\infty$가 수렴하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\phi_k(x) = 1$이다.

4. 모든 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합 $K\subseteq E$에 대해

$K\subseteq U$인 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$와 어떤 $m_K\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

모든 $x\in U$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\phi_k(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0$이다.

증명

모든 $x\in E\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$에 대해

$x\in O_x$인 $O_x\in \mathcal{O}$가 존재하여 열린공 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,r_x)} \subseteq O_x$인 $r_x\in (0,\infty)$가 존재하므로

초입방체의 정의와 상자 정리로 $x\in Q_n(x,\delta_x)\subseteq Q_n[x,\delta_x]\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B(x,r_x)}\subseteq O_x$인 $\delta_x\in (0,\infty)$가 존재하고

선택 정리로 $O_x,\delta_x$를 선택할때 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{x\in E} Q_n(x,\delta_x)$이므로 상자 정리로 $Q_n(x,\delta_x)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고

$E\ne \emptyset$임에 따라 위 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_k\in E$가 유일하게 존재하여 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k =1}^\infty Q_n(x_k,\delta_{x_k})$이므로

$(O_{x_k})_{k=1}^\infty$는 $\mathcal{O}$의 수열이고 $E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty Q_n(x_k,\delta_{x_k})\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty Q_n[x_k,\delta_{x_k}]\subseteq \bigcup_{k=1}^\infty O_{x_k}$이다.

상자 정리와 상자 정리와 하이네-보렐 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Q_n[x_k,\delta_{x_k}]$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이므로

위 정리로 $\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능한 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수 $h_k : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$가 존재하여 

모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $0 \le h_k(x) \le 1$이고 모든 $x\in Q_n[x_k,\delta_{x_k}]$에 대해 $h_k(x) = 1$이고 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(h_k)\subseteq O_{x_k}$이므로

선택 정리로 $h_k$를 선택할때

위 정리와 위 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\phi_k(x) = (1- h_1(x))\cdot \, \cdots \, \cdot (1 - h_{k-1}(x))\cdot h_k(x)$인

함수 $\phi_k : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능하고 $0\le \phi_k(x)\le 1$이고 

$\phi_k(x)\ne 0$인 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $h_k(x)\ne 0$이므로 

$\{ x\in \mathbb{R}^n : \phi_k(x)\ne 0\} \subseteq \{ x\in \mathbb{R}^n : h_k(x)\ne 0 \}$이 되어 지지집합의 정의와 폐포 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in \mathbb{R}^n : \phi_k(x)\ne 0\}) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in \mathbb{R}^n : h_k(x)\ne 0 \}) = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(h_k) \subseteq O_{x_k}$이고

거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합임에 따라 $\phi_k$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수이다.

$m\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^m \phi_k(x) = 1- (1-h_1(x))\cdot \,\cdots\, \cdot (1-h_m(x))$임을 보인다.

$m = 1$이면 모든 $x\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^1 \phi_k(x) = \phi_1(x) = h_1(x) = 1 - (1- h_1(x))$이고

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in \mathbb{R}^n$가 $\displaystyle \sum_{k=1}^r \phi_k(x) = 1- (1-h_1(x))\cdot \,\cdots\, \cdot (1-h_r(x))$일때 

$\begin{align*} \sum_{k=1}^{r+1}\phi_k(x) & = \sum_{k=1}^{r}\phi_k(x) + \phi_{r+1}(x) \\[0.5em] & = 1- (1-h_1(x))\cdot \,\cdots\, \cdot (1-h_r(x)) + (1- h_1(x))\cdot \, \cdots \, \cdot (1 - h_{r}(x))\cdot h_{r+1}(x) \\[0.5em] & = 1 + (1-h_1(x))\cdot \,\cdots\, \cdot (1-h_r(x)) \cdot (-1) + (1- h_1(x))\cdot \, \cdots \, \cdot (1 - h_{r}(x)) \cdot h_{r+1}(x) \\[0.5em] & = 1 + (1-h_1(x))\cdot \,\cdots\, \cdot (1-h_r(x)) \cdot (-1 + h_{r+1}(x)) \\[0.5em] & = 1 - (1-h_1(x))\cdot \,\cdots\, \cdot (1-h_r(x)) \cdot (1 - h_{r+1}(x)) \text{ 이므로} \end{align*}$

모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in \mathbb{R}^n$가 $\displaystyle \sum_{k=1}^m \phi_k(x) = 1- (1-h_1(x))\cdot \,\cdots\, \cdot (1-h_m(x))$이다.

모든 $x \in E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k =1}^\infty Q_n(x_k,\delta_{x_k})$에 대해 $x\in Q_n(x_{m},\delta_{x_{m}})$인 $m\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

초입방체 정리로 $x\in Q_n(x_{m},\delta_{x_{m}})\subseteq Q_n[x_m,\delta_{x_m}]$이므로 $h_m(x) = 1$임에 따라 $1 - h_m(x) = 0$이고 

$m \le M$인 모든 $M\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\displaystyle \sum_{k=1}^M \phi_k(x) = 1- (1-h_1(x))\cdot \,\cdots\, \cdot (1-h_m(x))\cdot (1-h_{m+1}(x))\cdot \,\cdots \,\cdot (1-h_M(x)) = 1 -0 =1$이 되어 

꼬리수열 정리와 상수열 정리로 $\left ( \displaystyle \sum_{k=1}^m\phi_k(x) \right )_{m=1}^\infty$는 수렴하고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\phi_k(x) = 1$이다.

모든 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합 $K\subseteq E$에 대해

$K = \emptyset$이면 거리공간 정리로 $U = \emptyset$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 $m_K = 1\in \mathbb{Z}^+$일때

공허하게 모든 $x\in U = \emptyset$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\phi_k(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0$이다.

$K\ne \emptyset$이면 $K\subseteq E\subseteq \displaystyle \bigcup_{k =1}^\infty Q_n(x_k,\delta_{x_k})$이므로 콤팩트 정리로

어떤 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $K \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^r Q_n(x_{k_j},\delta_{x_{k_j}})$인 $k_1,k_2,\cdots, k_r\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$m_K = \max \{ k_1,k_2,\cdots, k_r\}\in \mathbb{Z}^+$일때 거리공간 정리로

$U = \displaystyle \bigcup_{k=1}^{m_K} Q_n(x_k,\delta_{x_k})$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 $K \subseteq \displaystyle \bigcup_{j=1}^r Q_n(x_{k_j},\delta_{x_{k_j}}) \subseteq \bigcup_{k=1}^{m_K} Q_n(x_k,\delta_{x_k}) = U$이다.

모든 $x\in U = \displaystyle \bigcup_{k=1}^{m_K} Q_n(x_k,\delta_{x_k})$에 대해

$x\in Q_n(x_{k_0},\delta_{x_{k_0}}) \subseteq Q_n[x_{k_0},\delta_{x_{k_0}}]$인 $k_0 = 1,2,\cdots,m_K$이 존재하여 $1 - h_{k_0}(x) = 0$이므로 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K} \phi_k(x) = 1$이고 

$m_K < M$인 모든 $M\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{M} \phi_k(x) = 1$이므로 

$m_K < k$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) \ge 0$임에 따라 $\phi_k(x) = 0$이다.

 

 

 

정의2

거리공간 $(X,d)$와 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$에 대해 $X$에서 $\mathbb{R}$로의 함수들의 수열이 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$일때

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해

함수 $\phi_k: X\to \mathbb{R}$가 $(X,d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이고

모든 $x\in X$에 대해 $0\le \phi_k(x)\le 1$이고 

모든 $(X,d)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해 어떤 $m_K\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 

모든 $x\in K$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K} \phi_k(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0$이면 

$(\phi_k)_{k=1}^\infty$를 $(X,d)$에서 단위분할로 정의한다.

 

 

 

정리14

거리공간 $(X,d)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty,(\psi_r)_{r=1}^\infty$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in X$에 대해 급수열 $\left ( \displaystyle \sum_{k=1}^m\phi_k(x) \right )_{m=1}^\infty$가 수렴하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\phi_k(x) = 1$이다.

2. 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in X$가 $0\le \displaystyle \sum_{k=1}^m\phi_k(x) \le 1$이다.

3. 모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k,\psi_r$의 곱셈이 $\varphi_{k,r} = \phi_k\cdot \psi_r : X\to \mathbb{R}$일때

전단사함수 $\sigma : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$에 대해 $(\varphi_{\sigma(j)})_{j=1}^\infty$는 $(X,d)$에서 단위분할이다.

4. 모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(\phi_k) \subseteq E_k$이고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(\psi_r) \subseteq F_r$인

$X$의 부분집합들의 수열 $(E_k)_{k=1}^\infty, (F_r)_{r=1}^\infty$이 $X = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_k = \bigcup_{r=1}^\infty F_r$일때 $G_{k,r} = E_k\cap F_r$이고 $\varphi_{k,r} = \phi_k\cdot \psi_r$이면

전단사함수 $\sigma : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$에 대해 $X = \displaystyle \bigcup_{j=1}^\infty G_{\sigma(j)}$이고 모든 $j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(\varphi_{\sigma(j)}) \subseteq G_{\sigma(j)}$이다.

증명

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때

1.

모든 $x\in X$에 대해 $\{ x\}\subseteq X$이고 거리공간 정리로 $\{ x\}$는 $(X,d)$에서 콤팩트집합이므로 단위분할의 정의로

어떤 $m_x\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_x} \phi_k(x) = 1$이고 $m_x < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0$임에 따라 

급수 정리로 $\left ( \displaystyle \sum_{k=1}^m\phi_k(x) \right )_{m=1}^\infty$은 수렴하고 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\phi_k(x) = \sum_{k=1}^{m_x}\phi_k(x) = 1$이다.

2.

단위분할의 정의로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in X$가 $\phi_k(x)\ge 0$이므로 

1번과 급수 정리로 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0\le \displaystyle \sum_{k=1}^m\phi_k(x) \le \sum_{k=1}^\infty\phi_k(x) = 1$이다.

3.

단위분할의 정의로 모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\phi_k,\psi_r$은 $(X,d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이므로 

연속함수 정리와 연속함수 정리와 위 정리로

$\varphi_{k,r} = \phi_k\cdot \psi_r$은 $(X,d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

단위분할의 정의로 모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in X$가 $0\le \phi_k(x)\le 1$이고 $0\le \psi_r(x)\le 1$이므로 

$\varphi_{k,r}(x) = (\phi_k\cdot \psi_r)(x) = \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)$임에 따라 $0\le \varphi_{k,r}(x)\le 1$이다.

단위분할의 정의로 모든 $(X,d)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해 어떤 $m,p\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 

모든 $x\in K$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m} \phi_k(x) = 1 = \sum_{r=1}^p\psi_r(x)$이고

$m < k$이고 $p < r$인 모든 $k,r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0 = \psi_r(x)$이므로 

모든 $q \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\sigma(q) = (\sigma_1(q),\sigma_2(q))$인 함수가 $\sigma_1,\sigma_2 : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+$일때 

$m_{q}= \max \{ \sigma_1(1), \sigma_1(2),\cdots,\sigma_1(q),m \}$와 $p_{q} = \max \{ \sigma_2(1), \sigma_2(2),\cdots,\sigma_2(q),p \}$가 존재하여

모든 $j =1,2,\cdots,q$에 대해 $\sigma_1(j)\le m_{q}$이고 $\sigma_2(j)\le p_{q}$이므로

$\{ \sigma(1),\sigma(2),\cdots, \sigma(q) \}\subseteq \{ (k,r)\in \mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+ : k\le m_{q}\text{이고 }r\le p_{q}\}$이 되어 $\sigma$가 단사임에 따라

$\begin{align*}\sum_{j=1}^{q} \varphi_{\sigma(j)}(x) & \le \sum_{k=1}^{m_{q}}\sum_{r=1}^{p_{q}} \varphi_{k,r}(x) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{k=1}^{m_{q}}\sum_{r=1}^{p_{q}} (\phi_k(x)\cdot \psi_r(x)) \\[0.5em] & \qquad = \left (\sum_{k=1}^{m_{q}}\phi_k(x) \right )\cdot \left (\sum_{r=1}^{p_{q}} \psi_r(x) \right ) \\[0.5em] & \qquad = \left (\sum_{k=1}^{m}\phi_k(x) \right )\cdot \left (\sum_{r=1}^{p} \psi_r(x) \right ) \\[0.5em] & \qquad = 1\cdot 1 \\[0.5em] & \qquad = 1 \text{ 이고} \end{align*}$

모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 전단사의 정의로 $(k,r) = \sigma(j_{k,r})$인 $j_{k,r}\in \mathbb{Z}^+$이 유일하게 존재하여 

$\mathbb{Z}_m^+ = \{ 1,2,\cdots,m\}$이고 $\mathbb{Z}_p^+ = \{ 1,2,\cdots,p\}$일때 $q = \max \{ j_{k,r} : (k,r)\in \mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_p^+\}$가 존재하므로

모든 $(k,r)\in \mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_p^+$에 대해 $j_{k,r}\le q$임에 따라 $\{ j_{k,r} : (k,r)\in \mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_p^+\} \subseteq \{ 1,2,\cdots, q\}$이고 

$\mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_p^+ =\{ \sigma(j_{k,r}) : (k,r)\in \mathbb{Z}_m^+\times\mathbb{Z}_p^+\} =\sigma(\{ j_{k,r} : (k,r)\in \mathbb{Z}_m^+\times \mathbb{Z}_p^+\}) \subseteq \sigma(\{ 1,2,\cdots, q\}) = \{ \sigma(1),\sigma(2),\cdots, \sigma(q)\} \text{ 이므로}$

$\begin{align*} 1 = 1\cdot 1  = \left (\sum_{k=1}^{m}\phi_k(x) \right )\cdot \left (\sum_{r=1}^{p} \psi_r(x) \right )  = \sum_{k=1}^{m}\sum_{r=1}^{p} (\phi_k(x)\cdot \psi_r(x)) = \sum_{k=1}^{m}\sum_{r=1}^{p}\varphi_{k,r}(x) \le \sum_{j=1}^q \varphi_{\sigma(j)}(x) & \le 1 \text{ 이 되어} \end{align*}$

$\displaystyle \sum_{j=1}^q \varphi_{\sigma(j)}(x) = 1$이고 $q < j$인 모든 $j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\sigma(j) = (k,r)$인 $k,r\in \mathbb{Z}^+$은 $m < k$ 또는 $p < r$이므로

$\varphi_{\sigma(j)}(x) = \varphi_{k,r}(x) = \phi_k(x)\cdot \psi_r(x) = 0$이 되어 $(\varphi_{\sigma(j)})_{j=1}^\infty$는 $(X,d)$에서 단위분할이다.

4.

집합 정리와 집합 정리와 집합 정리로 

$\begin{align*} \bigcup_{j = 1}^\infty G_{\sigma(j)} & = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcup_{r=1}^\infty G_{k,r} \\[0.5em] & = \bigcup_{k=1}^\infty \bigcup_{r=1}^\infty (E_k\cap F_r) \\[0.5em] & = \bigcup_{k=1}^\infty \left (E_k \cap \left (\bigcup_{r=1}^\infty F_r \right ) \right ) \\[0.5em] & = \bigcup_{k=1}^\infty \left (\left (\bigcup_{r=1}^\infty F_r \right ) \cap E_k\right ) \\[0.5em] & = \left (\bigcup_{r=1}^\infty F_r \right ) \cap \left (\bigcup_{k=1}^\infty E_k \right ) \\[0.5em] & = X\cap X \\[0.5em] &= X \text{ 이고}\end{align*}$

모든 $j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\sigma(j) = (k,r)$인 $k,r\in \mathbb{Z}^+$은 위 정리로

$\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(\varphi_{\sigma(j)}) = \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(\varphi_{k,r}) = \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(\phi_k\cdot \psi_r) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)\cap \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(\psi_r) \subseteq E_k\cap F_r = G_{k,r} = G_{\sigma(j)}$이다.

 

 

 

정리15

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$이고

$n$차원 조르당영역들의 수열 $(E_k)_{k=1}^\infty$에 대해 $\displaystyle E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 유계일때

$(E,d_n)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$와 $E \subseteq U$인 임의의 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 

함수 $f : U \to \mathbb{R}$가 $E$에서 유계이고 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f$가 $E_k$에서 리만적분가능하면 

급수열 $\left (\displaystyle \sum_{k=1}^m \left | \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x) \operatorname{d}\!x \right |\right )_{m=1}^\infty$는 수렴한다.

증명

모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E(m) = \displaystyle \bigcup_{k=1}^m E_k$일때 

모든 $k=1,2,\cdots,m$에 대해 $E_k$는 조르당영역이므로 조르당영역 정리로 $E(m) = \displaystyle \bigcup_{k=1}^m E_k$은 조르당영역이고 

단위분할의 정의로 모든 $x\in E(m) \subseteq E$에 대해 $|\phi_k(x)| = \phi_k(x)\le 1$이므로 $\phi_k$는 $E(m)$에서 유계가 되어

연속함수 정리와 르베그 판정법으로 $\phi_k$는 $E(m)$에서 리만적분가능하고

적분 정리로 $f$가 $E(m)$에서 리만적분가능함에 따라 

적분 정리로 $\displaystyle \int_{E(m)}f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x$가 존재하여 적분 정리로 $\displaystyle \int_{E_k}f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x$가 존재한다.

$E$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 유계이므로 거리공간 정리로 $E\subseteq B$인 $n$차원 닫힌상자 $B\subseteq \mathbb{R}^n$가 존재하고 

$f$는 $E$에서 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$에 대해 모든 $x\in E$가 $|f(x)|\le M$이 되어 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해

적분 정리와 적분 정리와 적분 정리와 위 정리와 적분 정리와 상자 정리와 부피 정리로 

$\begin{align*} \sum_{k=1}^m \left | \int_{E_k}f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \right | &\le \sum_{k=1}^m \int_{E_k} |f(x)\cdot \phi_k(x)|\operatorname{d}\!x \\[0.5em] &\le \sum_{k=1}^m \int_{E(m)} |f(x)\cdot \phi_k(x)|\operatorname{d}\!x =\sum_{k=1}^m \int_{E(m)} |f(x)|\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] &\le \sum_{k=1}^m \int_{E(m)} M \cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x = M\cdot \int_{E(m)}\sum_{k=1}^m \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \le M\cdot \int_{E(m)} 1 \operatorname{d}\!x = M\cdot vol(E(m)) \\[0.5em] & \le M\cdot vol(B) \text{ 임에 따라} \end{align*}$

급수 정리로 $\left (\displaystyle \sum_{k=1}^m \left | \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x) \operatorname{d}\!x \right |\right )_{m=1}^\infty$는 수렴한다.

 

 

 

정리16

양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$의 데카르트곱이 $\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$이고

모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 실수 $x_{i,j} \in \mathbb{R}$가 유일하게 존재할때 다음이 성립한다.

1. 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 급수열 $\displaystyle \left ( \sum_{j=1}^n |x_{i,j}|\right )_{n=1}^\infty$이 수렴하고 $\displaystyle \left  (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}| \right )_{m=1}^\infty$이 수렴하거나

모든 $j \in \mathbb{Z}^+$에 대해 급수열 $\displaystyle \left ( \sum_{i=1}^m |x_{i,j}|\right )_{m=1}^\infty$이 수렴하고 $\displaystyle \left  (\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty |x_{i,j}| \right )_{n=1}^\infty$이 수렴하면 

$\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}, \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}\in \mathbb{R}$가 존재하여 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}$이다.

2. 전단사함수 $\sigma : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$에 대해

$\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}| \in \mathbb{R}$ 또는 $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty |x_{i,j}| \in \mathbb{R}$ 또는 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |x_{\sigma(k)}| \in \mathbb{R}$ 중 하나가 존재하면

$\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} , \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} , \sum_{k=1}^\infty x_{\sigma(k)} \in \mathbb{R}$가 존재하여 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j}  = \sum_{k=1}^\infty x_{\sigma(k)} = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j}$이다.

증명

1.

모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|x_{i,j}| \in [0,\infty)$이므로 급수 정리로 

$\displaystyle \left ( \sum_{j=1}^n |x_{i,j}|\right )_{n=1}^\infty$이 수렴하고 $\displaystyle \left  (\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}| \right )_{m=1}^\infty$이 수렴하고

$\displaystyle \left ( \sum_{i=1}^m |x_{i,j}|\right )_{m=1}^\infty$이 수렴하고 $\displaystyle \left  (\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^\infty |x_{i,j}| \right )_{n=1}^\infty$이 수렴하여 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}| = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty |x_{i,j}|\in [0,\infty)$이다.

모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 절댓값 정리로 $-|x_{i,j}| \le x_{i,j} \le |x_{i,j}|$이므로 $0\le x_{i,j} + |x_{i,j}|$와 $0\le |x_{i,j}| - x_{i,j}$가 성립하여

$y_{i,j} = \dfrac{x_{i,j} + |x_{i,j}|}{2} \ge 0$이고 $z_{i,j} = \dfrac{|x_{i,j}| - x_{i,j}}{2} \ge 0$일때 

$y_{i,j} - z_{i,j} = \dfrac{x_{i,j} + |x_{i,j}|}{2} - \dfrac{|x_{i,j}| - x_{i,j}}{2} = \dfrac{x_{i,j} + |x_{i,j}| - |x_{i,j}| + x_{i,j}}{2} = x_{i,j}$이고

$y_{i,j} = \dfrac{x_{i,j} + |x_{i,j}|}{2} \le \dfrac{|x_{i,j}|+ |x_{i,j}|}{2} = |x_{i,j}|$와 $z_{i,j} = \dfrac{|x_{i,j}| - x_{i,j}}{2} \le \dfrac{|x_{i,j}|+ |x_{i,j}|}{2} = |x_{i,j}|$가 성립하므로 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 급수 정리로

$\displaystyle 0\le \sum_{j=1}^n y_{i,j} \le \sum_{j=1}^n |x_{i,j}| \le \sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}|$와 $\displaystyle 0\le \sum_{j=1}^n z_{i,j} \le \sum_{j=1}^n |x_{i,j}| \le \sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}|$가 성립함에 따라

급수 정리와 수열 정리로 $\displaystyle \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} = \sum_{j=1}^\infty (y_{i,j} - z_{i,j}) = \sum_{j=1}^\infty y_{i,j} - \sum_{j=1}^\infty z_{i,j}$이고 

모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 급수 정리와 수열 정리로

$\displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty y_{i,j} \le \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}| \le \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}|$와 $\displaystyle \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^\infty z_{i,j} \le \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}| \le \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}|$가 성립함에 따라

급수 정리와 수열 정리와 급수 정리로

$\begin{align*} \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty x_{i,j} & = \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty (y_{i,j}-z_{i,j}) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^\infty \left (\sum_{j=1}^\infty y_{i,j} - \sum_{j=1}^\infty z_{i,j} \right) \\[0.5em] & =\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty y_{i,j} - \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty z_{i,j} \\[0.5em] & =\sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty y_{i,j} - \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty z_{i,j} \\[0.5em] & =\sum_{j=1}^\infty \left (\sum_{i=1}^\infty y_{i,j} - \sum_{i=1}^\infty z_{i,j} \right ) \\[0.5em] & =\sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty (y_{i,j} -z_{i,j}) \\[0.5em] & =\sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} \text{ 이다.} \end{align*}$

2.

급수 정리로 $\displaystyle \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty |x_{i,j}|  = \sum_{k=1}^\infty |x_{\sigma(k)}| = \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty |x_{i,j}|$이므로 

모든 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $y_{i,j} = \dfrac{x_{i,j} + |x_{i,j}|}{2} \ge 0$이고 $z_{i,j} = \dfrac{|x_{i,j}| - x_{i,j}}{2} \ge 0$일때 1번과 수열 정리와 급수 정리로

$\begin{align*} \sum_{j=1}^\infty \sum_{i=1}^\infty x_{i,j} & =\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty x_{i,j} \\[0.5em] & =\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty (y_{i,j} - z_{i,j}) \\[0.5em] & =\sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty y_{i,j} - \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty z_{i,j} \\[0.5em] & =\sum_{k=1}^\infty y_{\sigma(k)} - \sum_{k=1}^\infty z_{\sigma(k)} \\[0.5em] & =\sum_{k=1}^\infty (y_{\sigma(k)} - z_{\sigma(k)}) \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty x_{\sigma(k)} \text{ 이다.} \end{align*} $

 

 

 

정리17

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$이고

$E = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty E_k = \bigcup_{r=1}^\infty F_r$인 $n$차원 조르당영역들의 수열 $(E_k)_{k=1}^\infty,(F_r)_{r=1}^\infty$에 대해 $E$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 유계일때

모든 $k,r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)\subseteq E_k$이고 $\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\psi_r)\subseteq F_r$인

$(E,d_n)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty ,(\psi_r)_{r=1}^\infty$과 $E \subseteq U$인 임의의 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 

함수 $f : U \to \mathbb{R}$가 $E$에서 유계이고 모든 $k,r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f$가 $E_k,F_r$에서 리만적분가능하면  

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x) \operatorname{d}\!x  = \sum_{r=1}^\infty\int_{F_r} f(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x$이다.

증명

모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $G_{k,r} = E_k\cap F_r$이고 $\phi_k,\psi_r$의 곱셈이 $\varphi_{k,r} = \phi_k\cdot \psi_r : E\to \mathbb{R}$일때

가산집합 정리로 전단사함수 $\sigma : \mathbb{Z}^+\to \mathbb{Z}^+\times \mathbb{Z}^+$가 존재하여

위 정리로 $E = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty G_{\sigma(j)}$이고 $(\varphi_{\sigma(j)})_{j=1}^\infty$는 $(E,d_n)$에서 단위분할이므로 위 정리와 위 정리로 

$\displaystyle \sum_{j= 1}^\infty \int_{G_{\sigma(j)}} f(x)\cdot \varphi_{\sigma(j)}(x)\operatorname{d}\!x = \sum_{k = 1}^\infty \sum_{r=1}^\infty \int_{G_{k,r}} f(x)\cdot \varphi_{k,r}(x)\operatorname{d}\!x = \sum_{k=1}^\infty \sum_{r = 1}^\infty \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x $이고

$\displaystyle \sum_{j= 1}^\infty \int_{G_{\sigma(j)}} f(x)\cdot \varphi_{\sigma(j)}(x)\operatorname{d}\!x = \sum_{r = 1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \int_{G_{k,r}} f(x)\cdot \varphi_{k,r}(x)\operatorname{d}\!x = \sum_{r=1}^\infty \sum_{k= 1}^\infty \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x $이다.

모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 조르당영역 정리와 조르당영역 정리로 $E_k\cap F_r, E_k\setminus F_r, F_r\setminus E_k$는 조르당영역이므로 

$f$가 $E_k,F_r$에서 리만적분가능함에 따라 적분 정리로 $f$는 $E_k\cap F_r, E_k\setminus F_r, F_r\setminus E_k$에서 리만적분가능하여

단위분할의 정의와 연속함수 정리와 르베그 판정법과 적분 정리와 적분 정리로

$f\cdot \phi_k\cdot \psi_r, f\cdot \phi_k, f\cdot \phi_r$은 $E_k,F_r,E_k\cap F_r, E_k\setminus F_r, F_r\setminus E_k$에서 리만적분가능하다.

모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)\subseteq E_k \subseteq E$와 $\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\psi_r)\subseteq F_r \subseteq E$가 성립하고

단위분할의 정의로 $\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k), \underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\psi_r)$은 $(E,d_n)$에서 콤팩트하므로 어떤 $p_k,m_r \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$와 모든 $x\in\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)$에 대해 $\displaystyle \sum_{r=1}^{p_k} \psi_r(x) = 1$이고 $p_k < r$인 모든 $r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\psi_r(x) = 0$이고

모든 $r\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x\in\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\psi_r)$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_r} \phi_k(x) = 1$이고 $m_r < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0$이다.

모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$에 대해 집합 정리로 

$E_k = (E_k\cap F_r) \cup (E_k\setminus F_r)$과 $F_r = (F_r \cap E_k)\cup (F_r\setminus E_k)$가 성립하고

$(E_k\cap F_r)\cap (E_k\setminus F_r) = \emptyset = (F_r\cap E_k)\cap (F_r\setminus E_k)$가 성립하므로

조르당영역 정리로 $vol((E_k\cap F_r)\cap (E_k\setminus F_r)) = 0 = vol((F_r\cap E_k)\cap (F_r\setminus E_k))$가 되어 

$\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k) \subseteq E_k$이고 $\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\psi_r) \subseteq F_r$임에 따라 폐포 정리와 지지집합의 정의와 적분 정리와 적분 정리로 

$\begin{align*} \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x & = \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x + \int_{E_k\setminus F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x + \int_{E_k\setminus F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot 0 \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} \int_{F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x & = \int_{F_r\cap E_k} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x + \int_{F_r\setminus E_k} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x + \int_{F_r\setminus E_k} f(x)\cdot 0\cdot \psi_r(x) \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x \text{ 이다.} \end{align*}$

모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x\in E_k\cap F_r$에 대해 $p_k < r$일때

$x\in\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)$이면 $\psi_r(x) = 0$이고 $x\notin\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)$이면 $\phi_k(x) = 0$이 되어 $f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x) = 0$이므로

$\displaystyle \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x = \int_{E_k\cap F_r}0\operatorname{d}\!x = 0$임에 따라 적분 정리와 급수 정리로

$\begin{align*} \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x) \operatorname{d}\!x & = \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x) \cdot 1 \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x) \cdot \sum_{r=1}^{p_k}\psi_r(x) \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{r=1}^{p_k} \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x) \cdot \psi_r(x) \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{r=1}^{p_k} \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x) \cdot \psi_r(x) \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{r=1}^\infty \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x) \cdot \psi_r(x) \operatorname{d}\!x \text{ 이고} \end{align*}$

모든 $k,r\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x\in E_k\cap F_r$에 대해 $m_r < k$일때

$x\in\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\psi_r)$이면 $\phi_k(x) = 0$이고 $x\notin\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\psi_r)$이면 $\psi_r(x) = 0$이 되어 $f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x) = 0$이므로

$\displaystyle \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x = \int_{E_k\cap F_r}0\operatorname{d}\!x = 0$임에 따라 적분 정리와 급수 정리로

$\begin{align*} \int_{F_r} f(x)\cdot \phi_k(x) \operatorname{d}\!x & = \int_{F_r} f(x)\cdot \psi_r(x) \cdot 1 \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{F_r} f(x)\cdot \psi_r(x) \cdot \sum_{k=1}^{m_r}\phi_k(x) \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^{m_r} \int_{F_r} f(x)\cdot \phi_k(x) \cdot \psi_r(x) \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^{m_r} \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x) \cdot \psi_r(x) \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x) \cdot \psi_r(x) \operatorname{d}\!x \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x) \operatorname{d}\!x & = \sum_{k=1}^\infty \sum_{r = 1}^\infty \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{j= 1}^\infty \int_{G_{\sigma(j)}} f(x)\cdot \varphi_{\sigma(j)}(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{r = 1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k\cap F_r} f(x)\cdot \phi_k(x)\cdot \psi_r(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \sum_{r = 1}^\infty \int_{F_r} f(x)\cdot \psi_r(x) \operatorname{d}\!x \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리18

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$이고

$n$차원 조르당영역들의 수열 $(E_k)_{k=1}^\infty$에 대해 $\displaystyle E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k$가 $n$차원 조르당영역일때

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)\subseteq E_k$인 $(E,d_n)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$와 $E \subseteq U$인 임의의 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에 대해 

함수 $f : U \to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하면 $\displaystyle \int_E f(x)\operatorname{d}\!x = \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k}f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x$이다.

증명

$f$는 $E$에서 리만적분가능하므로

$f$가 $E$에서 유계임에 따라 어떤 $M\in (0,\infty)$에 대해 모든 $x\in E$가 $|f(x)|\le M$이고 

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E_k \subseteq E$이므로 적분 정리로 $f$는 $E_k$에서 리만적분가능하여 

단위분할의 정의와 연속함수 정리와 르베그 판정법과 적분 정리로 $f\cdot \phi_k$는 $E,E_k$에서 리만적분가능하다.

조르당영역의 정의로 $E$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 유계이므로

거리공간 정리로 $E \subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $n$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여 거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E} \subseteq B$이고

조르당영역의 정의와 부피의 정의와 부피 정리로 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E}) = vol(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E}) = 0$이므로 외부피의 정의와 하한 정리로 

모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E};\mathcal{G}_\epsilon) < \dfrac{\epsilon}{M}$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_j \}_{j=1}^p$이 존재하여 

상자 정리와 조르당영역 정리와 조르당영역 정리와 상자 정리와 하이네-보렐 정리와 콤팩트 정리로

$K = \displaystyle \bigcup_{\substack{j\ge 1 \\ B_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}}}^p B_j$는 $n$차원 조르당영역이고 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이다.

조르당영역 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $E\setminus K,E\setminus E_k$는 $n$차원 조르당영역이고

내합의 정의와 내부 정리와 격자 정리와 조르당영역 정리와 조르당영역 정리로

$\displaystyle \underline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon) = \sum_{\substack{j\ge 1 \\ B_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}}}^p vol(B_j) = vol(\bigcup_{\substack{j\ge 1 \\ B_j\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)}}}^p B_j) = vol(K)$이므로 $K\subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{int}(E)} \subseteq E$임에 따라 

부피 정리와 부피의 정의와 외부피의 정의와 하한의 정의와 경계 정리로 

$vol(E\setminus K) = vol(E) - vol(K) =  \overline{vol}(E) - \underline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon) \le \overline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon) - \underline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon) = \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\partial E};\mathcal{G}_\epsilon) < \dfrac{\epsilon}{M}$이다.

위 정리로 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in E$가 $\displaystyle 0\le \sum_{k=1}^m \phi_k(x) \le 1$이고

$K$는 $(E,d_n)$에서 콤팩트집합이므로 단위분할의 정의로 어떤 $m_K\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

모든 $x\in K$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K} \phi_k(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0$임에 따라 

$m_K \le m$인 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle 1 = \sum_{k=1}^{m_K} \phi_k(x) = \sum_{k=1}^m \phi_k(x)$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(E,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)\subseteq E_k \subseteq E$이므로  

집합 정리와 집합 정리로 $E = (E\cap E_k)\cup (E\setminus E_k) = E_k\cup (E\setminus E_k)$와 $E_k\cap (E\setminus E_k) = \emptyset$이 성립하여

폐포 정리와 지지집합의 정의와 조르당영역 정리와 적분 정리와 적분 정리로 

$\begin{align*} \int_E f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x & = \int_{E_k}f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x + \int_{E\setminus E_k} f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \\[0.5em] & =\int_{E_k}f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x + \int_{E\setminus E_k} f(x)\cdot 0 \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & =\int_{E_k}f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \text{ 이고} \end{align*}$

집합 정리와 집합 정리로 $E = (E\cap K)\cup (E\setminus K) = K\cup (E\setminus K)$와 $K\cap (E\setminus K) = \emptyset$이 성립하므로 

$m_K \le m$인 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 조르당영역 정리와 적분 정리와 적분 정리로 

$\begin{align*} \int_{E} \left | 1 - \sum_{k=1}^m \phi_k(x) \right | \operatorname{d}\!x & = \int_{K} \left | 1 - \sum_{k=1}^m \phi_k(x) \right | \operatorname{d}\!x + \int_{E\setminus K} \left | 1 - \sum_{k=1}^m \phi_k(x) \right | \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_{K} \left | 1 - 1 \right | \operatorname{d}\!x + \int_{E\setminus K} \left | 1 - \sum_{k=1}^m \phi_k(x) \right | \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \le 0 + \int_{E\setminus K} 1 \operatorname{d}\!x = vol(E\setminus K) \\[0.5em] & \lt \dfrac{\epsilon}{M} \text{ 이 되어} \end{align*}$

적분 정리와 적분 정리로 

$\begin{align*} \left | \int_E f(x)\operatorname{d}\!x - \sum_{k=1}^m \int_{E_k} f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \right | & = \left | \int_E f(x)\operatorname{d}\!x - \sum_{k=1}^m \int_{E} f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_E f(x)\operatorname{d}\!x - \sum_{k=1}^m \int_{E} f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_{E} f(x) - \sum_{k=1}^m f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & \le \int_{E} \left | f(x) - \sum_{k=1}^m f(x)\cdot \phi_k(x)\right | \operatorname{d}\!x = \int_{E} | f(x)| \cdot \left | 1 - \sum_{k=1}^m \phi_k(x)\right | \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & \le \int_{E} M \cdot \left | 1 - \sum_{k=1}^m \phi_k(x)\right | \operatorname{d}\!x = M\cdot \int_{E} \left | 1 - \sum_{k=1}^m \phi_k(x)\right | \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & < M\cdot \dfrac{\epsilon}{M} = \epsilon \text{ 임에 따라}\end{align*}$

수렴의 정의로 $\displaystyle \int_E f(x)\operatorname{d}\!x = \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k}f(x)\cdot \phi_k(x)\operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

정리19

거리공간이 $(X,d_X),(Y,d_Y)$이고 실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$와 복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$에 대해 $F\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$일때 

$(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 위상동형사상 $\Psi : X\to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\underset{(X,d_X)}{\operatorname{supp}}(g\circ \Psi) = \Psi^{-1}(\underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{supp}}(g))$

2. 함수 $g : Y\to F$가 $(Y,d_Y)$에서 콤팩트 지지함수이면

합성함수 $g \circ \Psi : X\to F$는 $(X,d_X)$에서 콤팩트 지지함수이다.

3. $(Y,d_Y)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$에 대해 $(\phi_k\circ \Psi)_{k=1}^\infty$는 $(X,d_X)$에서 단위분할이다.

증명

위상동형사상의 정의로 $\Psi$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이고

$\Psi$의 역함수 $\Psi^{-1} : Y\to X$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수이고

위상동형사상 정리로 $\Psi^{-1}$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 위상동형사상이다.

1, 2

지지집합의 정의와 역상의 정의로 $\underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{supp}}(g) = \underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{cl}}(\{ y\in Y : g(y)\ne 0\}) = \underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{cl}}(g^{-1}(F\setminus \{0\}))$이고

위상공간 정리와 위상공간 정리와 거리공간 정리와 위상동형사상 정리와 역함수 정리와 함수 정리로 

$\begin{align*} \Psi^{-1}(\underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{supp}}(g))&= \Psi^{-1}(\underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{cl}}(g^{-1}(F\setminus \{0\} ) )) \\[0.5em] & = \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(\Psi^{-1}(g^{-1}(F\setminus \{ 0\}))) \\[0.5em] & = \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}((g\circ \Psi)^{-1}(F\setminus \{0\})) \\[0.5em] & = \underset{(X,d_X)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X: (g\circ \Psi)(x)\ne 0 \}) \\[0.5em] & =\underset{(X,d_X)}{\operatorname{supp}}(g\circ \Psi) \text{ 이므로} \end{align*}$

콤팩트 지지함수의 정의로 $\underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{supp}}(g)$가 $(Y,d_Y)$에서 콤팩트함에 따라

연속함수 정리로 $\underset{(X,d_X)}{\operatorname{supp}}(g\circ \Psi) = \Psi^{-1}(\underset{(Y,d_Y)}{\operatorname{supp}}(g))$는 $(X,d_Y)$에서 콤팩트하여

$g \circ \Psi$는 $(X,d_X)$에서 콤팩트 지지함수이다.

3.

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 단위분할의 정의와 연속함수 정리와 2번으로

$\phi_k \circ \Psi$는 $(X,d_X)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 $(X,d_X)$에서 콤팩트 지지함수이고 

모든 $y\in Y$에 대해 $0\le \phi_k(y)\le 1$이므로 모든 $x\in X$에 대해 $\Psi(x)\in Y$임에 따라 $0\le \phi_k(\Psi(x))\le 1$이고

모든 $(X,d_X)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해 연속함수 정리로 $\Psi(K)$는 $(Y,d_Y)$에서 콤팩트집합이므로 

어떤 $m_K\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

모든 $y\in \Psi(K)$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\phi_k(y) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(y) = 0$이므로

모든 $x\in K$에 대해 $\Psi(x)\in \Psi(K)$임에 따라 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\phi_k(\Psi(x)) = 1$이고

$m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(\Psi(x)) = 0$이 되어 $(\phi_k\circ \Psi)_{k=1}^\infty$는 $(X,d_X)$에서 단위분할이다.

 

 

 

정리20

거리공간이 $(X,d)$이고 실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$와 복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$에 대해 $F\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$일때 

함수 $f: X\to F$와 임의의 $E\subseteq X$에 대해

$f$의 제한함수가 $f|_E : E\to F$이고 $(X,d)$의 부분거리공간이 $(E,d)$이면 다음이 성립한다.

1. $\underset{(E,d)}{\operatorname{supp}}(f|_E)  \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)\cap E$

2. $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f) \subseteq E$일때 $f$가 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이면 $f|_E$는 $(E,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

3. $E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합일때 $f$가 $(X,d)$에서 콤팩트 지지함수이면 $f|_E$는 $(E,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

4. 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$가 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(\phi_k) \subseteq E$인 $(X,d)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$에 대해 $(\phi_k|_E)_{k=1}^\infty$는 $(E,d)$에서 단위분할이다.

5. $E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합일때 $(X,d)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$에 대해 $(\phi_k|_E)_{k=1}^\infty$는 $(E,d)$에서 단위분할이다.

증명

1.

지지집합의 정의와 제한함수의 정의와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리와 폐포 정리와 집합 정리로

$\begin{align*} \underset{(E,d)}{\operatorname{supp}}(f|_E) & = \underset{(E,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in E : f|_E(x)\ne 0\}) \\[0.5em] & = \underset{(E,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in E : f(x) \ne 0\}) \\[0.5em] & = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in E : f(x) \ne 0\}) \cap E \\[0.5em] & = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : f(x) \ne 0\}\cap E) \cap E \\[0.5em] & \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : f(x) \ne 0\}) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \cap E \\[0.5em] & \qquad = \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)\cap E \text{ 이다.} \end{align*}$

2.

콤팩트 지지함수의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$는 $(X,d)$에서 콤팩트하므로

$\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f) \subseteq E$임에 따라 집합 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)\cap E= \underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$는 $(E,d)$에서 콤팩트하고

폐포 정리와 지지집합의 정의로 $\underset{(E,d)}{\operatorname{supp}}(f|_E)$는 $(E,d)$에서 닫힌집합이므로

1번과 거리공간 정리로 $\underset{(E,d)}{\operatorname{supp}}(f|_E)$는 $(E,d)$에서 콤팩트하여 $f|_E$는 $(E,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

3.

폐포 정리와 지지집합의 정의와 거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)\cap E$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이고 

콤팩트 지지함수의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$는 $(X,d)$에서 콤팩트하므로

거리공간 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)\cap E$는 $(X,d)$에서 콤팩트하여 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)\cap E$는 $(E,d)$에서 콤팩트하고

폐포 정리와 지지집합의 정의로 $\underset{(E,d)}{\operatorname{supp}}(f|_E)$는 $(E,d)$에서 닫힌집합이므로

1번과 거리공간 정리로 $\underset{(E,d)}{\operatorname{supp}}(f|_E)$는 $(E,d)$에서 콤팩트하여 $f|_E$는 $(E,d)$에서 콤팩트 지지함수이다.

4, 5

$1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R},d_1)$일때 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 단위분할의 정의와 연속함수 정리와 2, 3번으로

$\phi_k|_E$는 $(E,d)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 $(E,d)$에서 콤팩트 지지함수이고

모든 $x\in X$에 대해 $0\le \phi_k(x)\le 1$이므로 모든 $x\in E$에 대해 $\phi_k|_E(x) = \phi_k(x)$임에 따라 $0\le \phi_k|_E(x) \le 1$이고 

모든 $(E,d)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해 $K\subseteq E\subseteq X$임에 따라 $K$는 $(X,d)$에서 콤팩트집합이므로

어떤 $m_K\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

모든 $x\in K$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\phi_k(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0$이므로

모든 $x\in K \subseteq E$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\phi_k|_E(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k|_E(x) = 0$임에 따라

$(\phi_k|_E)_{k=1}^\infty$는 $(E,d)$에서 단위분할이다.

 

 

 

정리21(열린집합에서 연속미분형태의 단위분할)

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$일때

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 임의의 집합족 $\mathcal{O}$이 $\mathcal{O}\ne \emptyset$이고

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $U$가 $U\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이면 

$(U,d_n)$에서 단위분할 $(\phi_k)_{k=1}^\infty$와 $U = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty (U\cap O_k) \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty O_k$인 $\mathcal{O}$의 수열 $(O_k)_{k=1}^\infty$가 존재하여

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 함수 $\phi_k:U\to \mathbb{R}$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하고 $\underset{(U,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k)\subseteq U\cap O_k\subseteq O_k$이다.

증명

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때

거리공간 정리로 $(\mathbb{R}^n,d_n)$은 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$의 노름거리공간이다.

$U = \emptyset$이면 

$\mathcal{O}\ne \emptyset$이므로 어떤 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $O_k = O$인 $(O_k)_{k=1}^\infty$는 $\mathcal{O}$의 수열이고

$U  = \emptyset = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty \emptyset =  \bigcup_{k=1}^\infty (\emptyset \cap O_k)= \bigcup_{k=1}^\infty (U\cap O_k) \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty O_k$이다.

위 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in U$가 $\phi_k(x) = 0$인 함수 $\phi_k : U\to \mathbb{R}$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하여

$\phi_k$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 지지집합의 정의와 폐포 정리와 거리공간 정리로

$\underset{(U,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k) = \underset{(U,d_n)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in U : \phi_k(x)\ne 0\}) = \underset{(U,d_n)}{\operatorname{cl}(\emptyset)} = \emptyset = \emptyset\cap O_k = U\cap O_k \subseteq O_k$이므로

콤팩트 정리로 $\underset{(U,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k) = \emptyset$은 $(U,d_n)$에서 콤팩트집합이 되어 $\phi_k$는 $(U,d_n)$에서 콤팩트 지지함수이다.

모든 $(U,d_n)$에서 콤팩트집합 $K$는 $K\subseteq U = \emptyset$이므로 $K = \emptyset$이 되어 $m_K = 1\in \mathbb{Z}^+$일때 

공허하게 모든 $x\in K = \emptyset$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\phi_k(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0$임에 따라 

$(\phi_k)_{k=1}^\infty$는 $(U,d_n)$에서 단위분할이다.

$U\ne \emptyset$이면 

거리공간 정리로 모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 $U\cap O$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}|_U = \{ U\cap O : O\in \mathcal{O}\}$일때

모든 $x\in U\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 $x\in U\cap O\in \mathcal{O}|_U$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_U$임에 따라 

$U\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}|_U$이고 위 정리로 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}$로의 함수들의 수열 $(\Phi_k)_{k=1}^\infty$가 존재하여 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\Phi_k$는 $\mathbb{R}^n$에서 무한번 연속미분가능하고 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트 지지함수이고 모든 $x\in \mathbb{R}^n$가 $0\le \Phi_k(x) \le 1$이고

$U\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty O_k|_U$인 $\mathcal{O}|_U$의 수열 $(O_k|_U)_{k=1}^\infty$가 존재하여 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(\Phi_k)\subseteq O_k|_U$이고

모든 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합 $K\subseteq U$에 대해

$K\subseteq V$인 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $V$와 어떤 $m_K\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

모든 $x\in V$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\Phi_k(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\Phi_k(x) = 0$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $O_k|_U\in \mathcal{O}|_U$이므로 선택 정리로 $O_k|_U = U\cap O_k$인 $O_k\in \mathcal{O}$를 선택하면

$(O_k)_{k=1}^\infty$는 $\mathcal{O}$의 수열이고 집합 정리로 $U\subseteq \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty O_k|_U = \bigcup_{k=1}^\infty (U\cap O_k)  = U\cap \bigcup_{k=1}^\infty O_k \subseteq U$이므로

집합 정리로 $U = \displaystyle \bigcup_{k=1}^\infty (U\cap O_k) \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty O_k$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k = \Phi_k|_U : U\to \mathbb{R}$일때 $U$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이므로

제한함수의 정의와 내부 정리와 거리공간 정리로 $\phi_k$는 $U$에서 무한번 연속미분가능하여

$\phi_k$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이고 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(\Phi_k)\subseteq O_k|_U = U\cap O_k \subseteq U$이므로 위 정리와 집합 정리로

$\phi_k = \Phi_k|_U$는 $(U,d_n)$에서 콤팩트 지지함수이고 $\underset{(U,d_n)}{\operatorname{supp}}(\phi_k) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(\Phi_k)\cap U = \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{supp}}(\Phi_k)\subseteq U\cap O_k \subseteq U$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in U\subseteq \mathbb{R}^n$는 $\phi_k(x) = \Phi_k|_U(x) = \Phi_k(x)$이므로 $0\le \phi_k(x)\le 1$이고 

모든 $(U,d_n)$에서 콤팩트집합 $K$에 대해 $K\subseteq U\subseteq \mathbb{R}^n$임에 따라 $K$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 콤팩트집합이므로

$K\subseteq V$인 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $V$와 어떤 $m_K\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

모든 $x\in V$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\Phi_k(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\Phi_k(x) = 0$이므로

모든 $x\in K \subseteq V$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^{m_K}\phi_k(x) = 1$이고 $m_K < k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi_k(x) = 0$임에 따라

$(\phi_k)_{k=1}^\infty$는 $(U,d_n)$에서 단위분할이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/142#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/142#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

William R. Wade - Introduction to Analysis - 9780132296380