거리위상공간에 대한 정리

정리1

위상공간 $(X_1,\mathcal{T}_1),(X_2,\mathcal{T}_2),\cdots,(X_n,\mathcal{T}_n)$의 $n\in \mathbb{Z}^+$-곱공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$와 임의의 $i_1 ,\cdots, i_k \in \{ 1,2,\cdots,n\}$에 대해 $(X_{i_1},\mathcal{T}_{i_1}),\cdots,(X_{i_k},\mathcal{T}_{i_k})$의 $k$-곱공간이 $(Y,\mathcal{P})$일때

모든 $(x_1,x_2,\cdots, x_n)\in X$가 $f(x_1,x_2,\cdots, x_n) = (x_{i_1},\cdots, x_{i_k})$인 함수 $f:X\to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{P})$로의 연속함수이다.

2. 모든 $i=1,2,\cdots, n$와 모든 $A_i\subseteq X_i$에 대해 $f(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) \subseteq A_{i_1}\times \cdots \times A_{i_k}$이다.

3. $r\ne s$인 모든 $r,s = 1,\cdots, k$에 대해 $i_r\ne i_s$일때

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 임의의 $A_i\subseteq X_i$가 $A_i\ne \emptyset$이면 $f(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) = A_{i_1}\times \cdots \times A_{i_k}$이다.

4. $r\ne s$인 모든 $r,s = 1,\cdots, k$에 대해 $i_r\ne i_s$일때 모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $X_i\ne \emptyset$이면 $f$는 전사이다.

5. $r\ne s$인 모든 $r,s = 1,\cdots, k$에 대해 $i_r\ne i_s$일때 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{P})$로의 열린함수이다.

6. $\{ 1,2,\cdots,n\} = \{ i_1,\cdots,i_k\}$일때 $f$는 단사이다.

7. $\{ 1,2,\cdots,n\} = \{ i_1,\cdots,i_k\}$일때

$r\ne s$인 모든 $r,s = 1,\cdots, k$에 대해 $i_r\ne i_s$이면 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{P})$로의 위상동형사상이다.

증명

1.

임의의 $r= 1,\cdots, k$에 대해 $Y$의 $r$-좌표 사영함수가 $q_{r} : Y\to X_{i_r}$이고

임의의 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $X$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i : X\to X_i$일때 모든 $x=(x_1,x_2,\cdots, x_n)\in X$에 대해

$(q_{r} \circ f)(x) = q_{r}(f(x)) = q_{r}(x_{i_1},\cdots,x_{i_k}) = x_{i_r} = p_{i_r}(x)$가 되어 유한곱공간 정리로

$q_{r}\circ f = p_{i_r}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_{i_r},\mathcal{T}_{i_r})$로의 연속함수임에 따라 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{P})$로의 연속함수이다.

2.

임의의 $(y_{i_1},\cdots,y_{i_k}) \in f(A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n)$는

$(y_{i_1},\cdots, y_{i_k}) = f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$인 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n$이 존재하여

모든 $r=1,\cdots,k$에 대해 $y_{i_r} = x_{i_r}\in A_{i_r}$이므로 $(y_{i_1},\cdots,y_{i_k}) = (x_{i_1},\cdots, x_{i_k}) \in A_{i_1}\times \cdots \times A_{i_k}$임에 따라 

$f(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) \subseteq A_{i_1}\times \cdots \times A_{i_k}$이다.

3.

$r\ne s$인 모든 $r,s = 1,\cdots, k$에 대해 $i_r\ne i_s$이므로 $\{i_1 ,\cdots, i_k \} \subseteq \{ 1,2,\cdots,n\}$임에 따라 $k\le n$이고 

모든 $i\in \{ 1,2,\cdots, n\}\setminus \{ i_1,\cdots, i_k\}$에 대해 $A_i\ne \emptyset$이므로 $x_i\in A_i$가 존재하여 

모든 $(x_{i_1},\cdots,x_{i_k})\in A_{i_1}\times \cdots \times A_{i_k}$에 대해 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in A_1\times A_2 \times \cdots \times A_n$이고

$(x_{i_1},\cdots, x_{i_k}) = f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in f(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n)$임에 따라 

$A_{i_1}\times \cdots \times A_{i_k}\subseteq f(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n)$이고 2번으로 $f(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) \subseteq A_{i_1}\times \cdots \times A_{i_k}$이므로

집합 정리로 $f(A_1\times A_2\times \cdots \times A_n) =A_{i_1}\times \cdots \times A_{i_k}$이다.

4.

3번과 유한 곱공간의 정의로 $f(X_1\times X_2\times \cdots \times X_n) =X_{i_1}\times \cdots \times X_{i_k} =Y$이므로 함수 정리로 $f$는 전사이다.

5.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 모든 $y\in f(O)$는

$y= f(x_1,x_2,\cdots, x_n)$인 $(x_1,x_2,\cdots, x_n)\in O$이 존재하여 유한 곱공간 정리와 기저 정리로 

$(x_1,x_2,\cdots, x_n) \in O_1\times O_2\times \cdots \times O_n\subseteq O$인 $(O_1,O_2,\cdots, O_n)\in \mathcal{T}_1\times \mathcal{T}_2\times \cdots \times \mathcal{T}_n$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x_i\in O_i$임에 따라 $O_i\ne \emptyset$이므로

3번으로 $O_{i_1}\times \cdots \times O_{i_k} = f(O_1\times O_2\times \cdots \times O_n)\subseteq f(O)$이고

$y=f(x_1,x_2,\cdots, x_n) \in f(O_1\times O_2\times \cdots \times O_n)= O_{i_1}\times \cdots \times O_{i_k}$이다.

$(O_{i_1},\cdots,O_{i_k})\in \mathcal{T}_{i_1}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_k}$이므로 유한 곱공간 정리로 $O_{i_1}\times \cdots \times O_{i_k}$는 $(Y,\mathcal{P})$에서 $y$의 열린근방이 되어 

위상공간 정리로 $f(O)$는 $(Y,\mathcal{P})$에서 열린집합이고 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{P})$로의 열린함수이다.

6.

모든 $(x_1,x_2,\cdots, x_n) , (y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$에 대해

$(x_{i_1},\cdots,x_{i_k}) =f(x_1,x_2,\cdots, x_n) = f(y_1,y_2,\cdots,y_n) = (y_{i_1},\cdots,y_{i_k})$이면 

$k$-순서쌍의 상등으로 모든 $r=1,\cdots,k$에 대해 $x_{i_r} = y_{i_r}$이고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $i\in \{ 1,2,\cdots,n\} = \{ i_1,\cdots,i_k\}$이므로 $i = i_s$인 $s = 1,\cdots, k$가 존재하여 

$x_i = x_{i_s} = y_{i_s} = y_i$임에 따라 $n$-순서쌍의 상등으로 $(x_1,x_2,\cdots, x_n) = (y_1,y_2,\cdots,y_n)$이고 $f$는 단사이다.

7.

어떤 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $X_i = \emptyset$이면 $n$-데카르트곱 정리로 $X = X_1\times X_2\times \cdots \times X_n = \emptyset$이고

$i\in \{ 1,2,\cdots,n\} = \{ i_1,\cdots,i_k\}$이므로 $i= i_r$인 $r=1,\cdots,k$이 존재하여

$k$-데카르트곱 정리로 $Y = X_{i_1}\times \cdots \times X_{i_k} = \emptyset$임에 따라 공함수 정리로 $f$는 전단사이고 

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $X_i\ne \emptyset$이면 4, 6번으로 $f$는 전단사이므로 

1, 5번과 위상동형사상 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(Y,\mathcal{P})$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

정리2

복소수체가 $(\mathbb{C},+,\cdot, 0, 1)$일때

$1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{C}, d)$의 거리위상공간 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$의 $2$-곱공간이 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$이면 다음이 성립한다.

1. 모든 $z,w\in \mathbb{C}$에 대해 $\alpha(z,w) = z+w$인 함수 $\alpha :\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

2. 모든 $z,w\in \mathbb{C}$에 대해 $\beta(z,w) = z\cdot w$인 함수 $\beta :\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

3. $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$의 부분위상공간이 $(\mathbb{C}\setminus \{0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}})$일때

모든 $z\in \mathbb{C}\setminus \{ 0\}$에 대해 $\phi(z) = \dfrac{1}{z}$인 함수 $\phi :\mathbb{C}\setminus \{ 0\}\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C}\setminus \{ 0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}} )$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

4. $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$의 부분위상공간이 $(\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\}),\mathcal{P}|_{\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\})})$일때

모든 $(z,w)\in \mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{ 0\})$에 대해 $\gamma(z,w) = \dfrac{z}{w}$로 정의되는 

함수 $\gamma : \mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{ 0\})\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\}),\mathcal{P}|_{\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\})})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

5. 모든 $z\in \mathbb{C}$에 대해 $a(z) = $ $|z|$인 함수 $a : \mathbb{C}\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

6. 모든 $z\in \mathbb{C}$에 대해 $b(z) = $ $\overline{z}$인 함수 $b : \mathbb{C}\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

증명

임의의 $(x,y),(z,w)\in \mathbb{C}^2$가 $\rho((x,y),(z,w)) = \sqrt{(d(x,z))^2 + (d(y,w))^2}$인 함수 $\rho : \mathbb{C}^2\times \mathbb{C}^2 \to [0,\infty)$에 대해 

유한곱공간 정리로 $(\mathbb{C}^2,\rho)$는 거리공간이고 $(\mathbb{C}^2,\rho)$의 거리위상공간 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P}_\rho)$에 대해 $\mathcal{P} = \mathcal{P}_\rho$이다.

거리위상공간의 정의로 $\{ \underset{(\mathbb{C}^2,\rho)}{B}((z,w),r) : (z,w)\in \mathbb{C}^2, r\in (0,\infty)\}$는 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$의 기저이고

$\{ \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r) : z\in \mathbb{C}, r\in (0,\infty)\}$은 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$의 기저이다.

1.

임의의 $z_0\in \mathbb{C}$과 임의의 $r_0\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 

임의의 $(z,w)\in \alpha^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$는 $z+w=\alpha(z,w) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이므로 $|z+w - z_0| =d(z+w,z_0) < r_0$이고

$r = r_0-d(z+w,z_0) >0$일때 모든 $(x,y)\in \underset{(\mathbb{C}^2,\rho)}{B}((z,w),\frac{r}{2})$에 대해 

$ |x-z| =\sqrt{|x-z|^2} \le \sqrt{|x-z|^2 + |y-w|^2} = \sqrt{(d(x,z))^2 + (d(y,w))^2} = \rho((z,w),(x,y)) < \dfrac{r}{2}$이고

$ |y-w| =\sqrt{|y-w|^2} \le \sqrt{|x-z|^2 + |y-w|^2} = \sqrt{(d(x,z))^2 + (d(y,w))^2} = \rho((z,w),(x,y)) < \dfrac{r}{2}$이므로

거리공간의 정의와 삼각부등식으로

$\begin{align*}d(\alpha(x,y),z_0) &\le d(\alpha(x,y),\alpha(z,w)) + d(\alpha(z,w),z_0) = d(x+y,z+w) + d(z+w,z_0) = |x+y - z-w| +d(z+w,z_0) \\[0.5em] &\le | x-z| + |y-w| + d(z+w,z_0) \\[0.5em] & < \dfrac{r}{2} + \dfrac{r}{2} + d(z+w,z_0) = r + d(z+w,z_0) = r_0 - d(z+w,z_0) +d(z+w,z_0) = r_0\text{ 이 되어} \end{align*}$

$\alpha(x,y) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$임에 따라 $\alpha( \underset{(\mathbb{C}^2,\rho)}{B}((z,w),\frac{r}{2})) \subseteq \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이고

함수 정리로 $(z,w) \in \underset{(\mathbb{C}^2,\rho)}{B}((z,w),\frac{r}{2})\subseteq \alpha^{-1}(\alpha( \underset{(\mathbb{C}^2,\rho)}{B}((z,w),\frac{r}{2}))) \subseteq \alpha^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$이므로

위상공간 정리로 $\alpha^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$은 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이 되어

연속함수 정리로 $\alpha$는 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

2.

임의의 $z_0\in \mathbb{C}$과 임의의 $r_0\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 

임의의 $(z,w)\in \beta^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$는 $\beta(z,w) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이므로 $d(\beta(z, w),z_0) < r_0$이고

$r = $ $\min$$\{ 1, \frac{r_0 - d(\beta(z, w),z_0)}{|z| + |w| + 1}\} > 0$일때 모든 $(x,y)\in \underset{(\mathbb{C}^2,\rho)}{B}((z,w),r)$에 대해 

$ |x-z| =\sqrt{|x-z|^2} \le \sqrt{|x-z|^2 + |y-w|^2} = \sqrt{(d(x,z))^2 + (d(y,w))^2} = \rho((z,w),(x,y)) < r$이고

$ |y-w| =\sqrt{|y-w|^2} \le \sqrt{|x-z|^2 + |y-w|^2} = \sqrt{(d(x,z))^2 + (d(y,w))^2} = \rho((z,w),(x,y)) < r$이다.

삼각부등식으로 $|y| - |w| \le |y-w|  < r$이므로 $0\le |y|< r +|w| $이고 $r\le 1$임에 따라 $r^2\le r$이 되어

$\begin{align*}d(\beta(x,y) , \beta(z,w)) &= d(x\cdot y, z\cdot w) = |x\cdot y - z\cdot w| = |x\cdot y - z\cdot y + z\cdot y - z\cdot w| \\[0.5em]& \le |x\cdot y - z\cdot y| + | z\cdot y - z\cdot w| = |y|\cdot |x-z| + |z|\cdot |y-w|\\[0.5em] & \le (r+|w|)\cdot |x-z| + |z|\cdot |y-w|\\[0.5em]& < (r+|w|)\cdot r + |z|\cdot r = r^2 + |w|\cdot r + |z|\cdot r \le r +|w|\cdot r + |z|\cdot r = r\cdot (1+ |w|+|z|) \\[0.5em] & \le \dfrac{r_0 - d(\beta(z, w),z_0)}{|z|+|w|+1}\cdot (|z|+|w|+1) = r_0 - d(\beta(z, w),z_0) \text{ 이므로}\end{align*}$

$d(\beta(x,y),z_0) \le d(\beta(x,y),\beta(z,w)) + d(\beta(z,w),z_0) < r_0 - d(\beta(z,w),z_0) + d(\beta(z,w),z_0) = r_0$이다.

$\beta(x,y) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$임에 따라 $\beta( \underset{(\mathbb{C}^2,\rho)}{B}((z,w),\frac{r}{2})) \subseteq \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이고

함수 정리로 $(z,w) \in \underset{(\mathbb{C}^2,\rho)}{B}((z,w),\frac{r}{2})\subseteq \beta^{-1}(\beta( \underset{(\mathbb{C}^2,\rho)}{B}((z,w),\frac{r}{2}))) \subseteq \beta^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$이므로

위상공간 정리로 $\beta^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$은 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에서 열린집합이 되어

연속함수 정리로 $\beta$는 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

3.

위상공간 정리로 $(\mathbb{C}, d)$의 부분거리공간 $(\mathbb{C}\setminus \{0\},d)$의 거리위상공간은 $(\mathbb{C}\setminus \{0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}})$이다.

임의의 $z\in \mathbb{C}$와 임의의 $r\in (0,\infty)$에 대해 집합 정리로

$0\in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)$이면 $\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r) \cap (\mathbb{C}\setminus \{0\})=\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r) \setminus ( \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)\cap \{ 0\}) = \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)\setminus \{ 0\} $이고

$0\notin \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)$이면

$\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)\cap (\mathbb{C}\setminus \{0\})=\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r) \setminus ( \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)\cap \{ 0\}) = \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)\setminus \emptyset = \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r) = \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)\setminus \{0\}$이므로

위상공간 정리로 $\{ \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r) \setminus \{0\}: z\in \mathbb{C}, r\in (0,\infty)\}$은 $(\mathbb{C}\setminus \{0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}})$의 기저이다.

임의의 $z_0\in \mathbb{C}$과 임의의 $r_0\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 

임의의 $z\in \phi^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)) \subseteq \mathbb{C}\setminus \{0\}$는 $\phi(z) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이므로 $d(\phi(z),z_0) < r_0$이고

$r= \min\{ \frac{|z|}{2}, \frac{(r_0-d(\phi(z),z_0))\cdot |z|^2)}{2}\} > 0$일때

모든 $w \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r) \setminus \{0\}$에 대해 삼각부등식으로 $|z| - |w|\le |z-w| = d(z,w) < r\le \dfrac{|z|}{2}$이므로

$\dfrac{|z|}{2}-|w| =|z| -|w| - \dfrac{|z|}{2} < \dfrac{|z|}{2}-\dfrac{|z|}{2}=0$이 되어 $\dfrac{|z|}{2} < |w| $임에 따라 $\dfrac{1}{|w|} < \dfrac{2}{|z|}$이고

$\begin{align*}d(\phi(z),\phi(w)) &= d(\textstyle{\frac{1}{z},\frac{1}{w}}) = \left | \dfrac{1}{z} - \dfrac{1}{w}\right | = \left | \dfrac{w - z}{z\cdot w} \right | = \dfrac{|z-w|}{|z|\cdot |w|} \\[0.5em] & < r \cdot \dfrac{1}{|z|}\cdot \dfrac{1}{|w|} \\[0.5em]&< r\cdot \dfrac{1}{|z|}\cdot \dfrac{2}{|z|} \\[0.5em]& \le \dfrac{(r_0- d(\phi(z),z_0))\cdot |z|^2}{2}\cdot \dfrac{2}{|z|^2} = r_0-d(\phi(z),z_0)\text{ 이므로} \end{align*}$

거리공간의 정의로 $d(\phi(w),z_0) \le d(\phi(w),\phi(z)) + d(\phi(z),z_0) < r_0 - d(\phi(z),z_0) + d(\phi(z),z_0) = r_0$이다.

$\phi(w) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$임에 따라 $\phi( \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)\setminus \{0\}) \subseteq \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이고

함수 정리로 $z\in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)\setminus \{ 0\} \subseteq \phi^{-1}(\phi( \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)\setminus \{0\})) \subseteq \phi^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$이므로

위상공간 정리로 $\phi^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$은 $(\mathbb{C}\setminus \{0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}})$에서 열린집합이 되어

연속함수 정리로 $\phi$는 $(\mathbb{C}\setminus \{0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

4.

유한곱공간 정리로 $(\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\}),\mathcal{P}|_{\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\})})$은 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$와 $(\mathbb{C}\setminus \{0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}})$의 $2$-곱공간이고

$\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\})$의 좌표 사영함수가 $q_1 : \mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{ 0\}) \to \mathbb{C}$과 $q_2 : \mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{ 0\}) \to \mathbb{C}\setminus \{ 0\}$일때

유한곱공간 정리와 3번과 연속함수 정리로 $\phi \circ q_2$는 $(\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\}),\mathcal{P}|_{\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\})})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이므로

임의의 $(z,w)\in \mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\})$에 대해

$f(z,w) = (q_1(z,w), (\phi\circ q_2)(z,w)) = (z,\phi(w))$인 함수 $f : \mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{ 0\}) \to \mathbb{C}^2$는

$\mathbb{C}^2$의 좌표사영함수 $p_1 : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$과 $p_2 : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$에 대해 $p_1\circ f = q_1$이고 $p_2\circ f = \phi\circ q_2$가 되어

유한곱공간 정리로 $f$는 $(\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\}),\mathcal{P}|_{\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\})})$에서 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$로의 연속함수이고

임의의 $(z,w)\in \mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\})$에 대해

$\gamma(z,w) = \dfrac{z}{w} = z\cdot \dfrac{1}{w} = z\cdot \phi(w) = \beta(z,\phi(w)) = \beta(f(z,w)) = (\beta \circ f)(z,w)$임에 따라

2번과 연속함수 정리로 $\gamma =\beta \circ f$는 $(\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\}),\mathcal{P}|_{\mathbb{C}\times (\mathbb{C}\setminus \{0\})})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

5.

임의의 $z_0\in \mathbb{C}$과 임의의 $r_0\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 

임의의 $z\in a^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$는 $a(z) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이므로 $d(a(z),z_0) < r_0$이고

모든 $w \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r_0-d(a(z),z_0))$에 대해 거리공간의 정의와 삼각부등식으로

$\begin{align*}d(a(w), z_0) & \le d(a(w), a(z))+ d(a(z),z_0) = d(|w|,|z|) + d(a(z),z_0) = ||w|-|z|| + d(a(z),z_0)\\[0.5em]& \le |w-z| + d(a(z),z_0) = d(w,z)+d(a(z),z_0) \\[0.5em]&< r_0 -d(a(z),z_0) + d(a(z),z_0) =r_0 \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$a(w) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이고 $a( \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)) \subseteq \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이 되어

함수 정리로 $z\in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r) \subseteq a^{-1}(a( \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r))) \subseteq a^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$이므로

위상공간 정리로 $a^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$이 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 열린집합임에 따라

연속함수 정리로 $a$는 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

6.

임의의 $z_0\in \mathbb{C}$과 임의의 $r_0\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 

임의의 $z\in b^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$는 $b(z) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이므로 $d(b(z),z_0) < r_0$이고

모든 $w \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r_0-d(b(z),z_0))$에 대해 거리공간의 정의와 켤레복소수 정리와 절댓값 정리로

$\begin{align*}d(b(w), z_0) & \le d(b(w), b(z))+ d(b(z),z_0) = d(\overline{w},\overline{z}) + d(b(z),z_0) = |\overline{w}-\overline{z}| + d(b(z),z_0) = |\overline{w-z}| + d(b(z),z_0) = |w-z|+d(b(z),z_0)\\[0.5em]&< r_0 -d(b(z),z_0) + d(b(z),z_0) =r_0 \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$b(w) \in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이고 $b( \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r)) \subseteq \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0)$이 되어

함수 정리로 $z\in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r) \subseteq b^{-1}(b( \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z,r))) \subseteq b^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$이므로

위상공간 정리로 $b^{-1}(\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(z_0,r_0))$이 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 열린집합임에 따라

연속함수 정리로 $b$는 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리3

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 복소수집합 $\mathbb{C}$에 대한 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{C}, d)$의 거리위상공간 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해

함수 $f,g:X\to \mathbb{C}$가 임의의 $c\in X$에서 연속이면 다음이 성립한다.

1. $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$의 $2$-곱공간이 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$일때

모든 $x\in X$가 $\psi(x) = (f(x),g(x))$인 함수 $\psi :X\to \mathbb{C}^2$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에 대해 $c$에서 연속이다.

2. 임의의 $z,w\in \mathbb{C}$에 대해

모든 $x\in X$가 $F(x) = z\cdot f(x) + w\cdot g(x)$인 함수 $F: X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

3. 모든 $x\in X$가 $G(x) = f(x)\cdot g(x)$인 함수 $G: X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

4. 모든 $x\in X$가 $g(x)\ne 0$이면 $H(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$인 함수 $H: X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

5. 모든 $x\in X$가 $f_1(x) = |f(x)|$인 함수 $f_1:X\to \mathbb{C}$은 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

6. 모든 $x\in X$가 $f_2(x) = \overline{f(x)}$인 함수 $f_2:X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

증명

1.

$\mathbb{C}^2$의 좌표 사영함수가 $p_1 : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$과 $p_2 : \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}$일때

$p_1\circ \psi =f, p_2\circ \psi = g$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이므로

유한곱공간 정리로 $\psi$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에 대해 $c$에서 연속이다.

2.

위 정리로 모든 $z,w\in \mathbb{C}$에 대해

$\alpha(z,w) = z+w$이고 $\beta(z,w) = z\cdot w$인 함수 $\alpha,\beta :\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

연속함수 정리와 1번으로 모든 $x\in X$에 대해

$f_z(x) = (z,f(x))$이고 $g_w(x) = (w,g(x))$인 함수 $f_z,g_w : X\to \mathbb{C}^2$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에 대해 $c$에서 연속이므로 

연속 정리로 $\beta \circ f_z : X\to \mathbb{C}$와 $\beta \circ g_w : X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이 되어

1번으로 $\beta_0(x) = ((\beta\circ f_z)(x), (\beta\circ g_w)(x))$인 함수 $\beta_0 :X\to \mathbb{C}^2$은 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에 대해 $c$에서 연속이고

$\begin{align*}F(x) &= z\cdot f(x) + w\cdot g(x) \\[0.5em]&= \alpha(z\cdot f(x), w\cdot g(x)) \\[0.5em]&= \alpha(\beta(z,f(x)), \beta(w,g(x))) \\[0.5em]&= \alpha(\beta(f_z(x)),\beta(g_w(x))) \\[0.5em]&= \alpha((\beta\circ f_z)(x), (\beta\circ g_w)(x)) \\[0.5em]&= \alpha(\beta_0(x)) \\[0.5em]& = (\alpha\circ \beta_0)(x) \text{ 임에 따라}\end{align*}$

연속 정리로 $F = \alpha \circ \beta_0 : X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

3.

위 정리로 모든 $z,w\in \mathbb{C}$에 대해 $\beta(z,w) = z\cdot w$인 함수 $\beta :\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

1번으로 모든 $x\in X$가 $\psi(x) = (f(x),g(x))$인 함수 $\psi :X\to \mathbb{C}^2$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에 대해 $c$에서 연속이므로

$G(x) = f(x)\cdot g(x) = \beta(f(x), g(x)) = \beta(\psi(x)) = (\beta\circ \psi)(x)$임에 따라 

연속 정리로 $G = \beta\circ \psi : X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

4.

위 정리로 모든 $z,w\in \mathbb{C}$에 대해 $\beta(z,w) = z\cdot w$인 함수 $\beta :\mathbb{C}^2\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

$(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$의 부분위상공간이 $(\mathbb{C}\setminus \{0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}})$일때 

$\phi(z) = \dfrac{1}{z}$인 함수 $\phi :\mathbb{C}\setminus \{ 0\}\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C}\setminus \{ 0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}} )$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

모든 $x\in X$에 대해 $g(x)\ne 0$이므로 연속 정리로

$h(x) = g(x)$인 함수 $h:X\to \mathbb{C}\setminus \{ 0\}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C}\setminus \{0\},\mathcal{T}_d|_{\mathbb{C}\setminus \{0\}})$에 대해 $c$에서 연속이 되어

연속 정리로 $\phi\circ h$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이고

1번으로 $\varphi(x) = (f(x),(\phi\circ h)(x))$인 함수 $\varphi :X\to \mathbb{C}^2$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C}^2,\mathcal{P})$에 대해 $c$에서 연속이므로

$H(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x)\cdot \dfrac{1}{h(x)} = f(x)\cdot (\phi\circ h)(x) = \beta(f(x), (\phi\circ h)(x)) = \beta(\varphi(x)) = (\beta\circ \varphi)(x)$임에 따라 

연속 정리로 $H = \beta\circ \varphi : X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

5.

위 정리로 모든 $z\in \mathbb{C}$에 대해 $a(z)=|z|$인 함수 $a:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

모든 $x\in X$에 대해 $f_1(x) = |f(x)| = a(f(x)) = (a\circ f)(x)$이므로 

연속 정리로 $f_1 = a\circ f:X\to \mathbb{C}$은 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

6.

위 정리로 모든 $z\in \mathbb{C}$에 대해 $b(z)=\overline{z}$인 함수 $b:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$는 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

모든 $x\in X$에 대해 $f_2(x) = \overline{f(x)} = b(f(x)) = (b\circ f)(x)$이므로 

연속 정리로 $f_2 = b\circ f:X\to \mathbb{C}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 실수집합 또는 복소수집합 $F \in \{ \mathbb{R},\mathbb{C} \}$에 대해

$1$차원 유클리드 거리공간 $(F, d)$의 거리위상공간이 $(F,\mathcal{T}_F)$일때

$n\in \mathbb{Z}^+$개의 함수 $f_1,f_2,\cdots,f_n:X\to F$이 임의의 $c\in X$에서 연속이면 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in X$에 대해 $g(x) = $ $\min$$\{ |f_1(x)|,|f_2(x)|,\cdots, |f_n(x)|\}$인

함수 $g:X\to F$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(F,\mathcal{T}_F)$에 대해 $c$에서 연속이다.

2. 모든 $x\in X$에 대해 $h(x) = $ $\max$$\{ |f_1(x)|,|f_2(x)|,\cdots, |f_n(x)|\}$인

함수 $h:X\to F$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(F,\mathcal{T}_F)$에 대해 $c$에서 연속이다.

3. $F = \mathbb{R}$일때 모든 $x\in X$에 대해 $g(x) = \min\{ f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)\}$인 

함수 $g:X\to \mathbb{R}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에 대해 $c$에서 연속이다.

4. $F = \mathbb{R}$일때 모든 $x\in X$에 대해 $h(x) = \max\{ f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)\}$인 

함수 $h:X\to \mathbb{R}$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에 대해 $c$에서 연속이다.

증명

$F = \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$ 또는 $F = \mathbb{C}$이므로 $(F,d)$는 $(\mathbb{C},d)$의 부분거리공간이 되어 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{\mathbb{C}}|_{F} = \mathcal{T}_{F}$이다.

모든 $i = 1,2,\cdots, n$와 모든 $x\in X$에 대해 $\phi_i(x) = |f_i(x)|$이거나 $F =\mathbb{R}$일때 $\phi_i(x) = f_i(x)$인

함수 $\phi_i:X\to F$는 연속함수 정리와 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$와 $(F,\mathcal{T}_F)$에 대해 $c$에서 연속이고 $\phi_i(x)\in \mathbb{R}$이다.

$n = 1$이면

최소, 최대원소의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $g(x) = \min \{ \phi_1(x)\} = \phi_1(x) = \max \{ \phi_1(x)\} = h(x)$이므로

연속함수 정리와 위 정리로 $g,h$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(F,\mathcal{T}_F)$에 대해 $c$에서 연속이다.

$n\ge 2$이면 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

최소, 최대원소 정리로 모든 $x\in X$에 대해

$g(x) = \min \{ \phi_1(x), \phi_2(x)\} = \dfrac{1}{2}\cdot (\phi_1(x) + \phi_2(x) - |\phi_1(x) - \phi_2(x) | )$이고

$h(x) = \max \{ \phi_1(x), \phi_2(x)\} = \dfrac{1}{2}\cdot (\phi_1(x) + \phi_2(x) + |\phi_1(x) - \phi_2(x) | )$이므로

연속함수 정리와 위 정리로 $g,h$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(F,\mathcal{T}_F)$에 대해 $c$에서 연속이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때

모든 $x\in X$에 대해 $g_k(x) = \min \{ \phi_1(x),\cdots, \phi_k(x)\}$이고 $h_k(x) = \max \{ \phi_1(x),\cdots, \phi_k(x)\}$인

함수 $g_k,h_k:X\to F$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(F,\mathcal{T}_F)$에 대해 $c$에서 연속이므로

최소, 최대원소 정리로 모든 $x\in X$에 대해

$\begin{align*}g(x)& = \min \{ \phi_1(x), \cdots , \phi_k(x),\phi_{k+1}(x)\} \\[0.5em]&= \min ( \{ \phi_1(x),\cdots, \phi_k(x) \} \cup \{ \phi_{k+1}(x)\}) \\[0.5em] & = \min \{ \min \{ \phi_1(x),\cdots, \phi_k(x)\} , \min \{ \phi_{k+1}(x)\}\} \\[0.5em]& = \min \{ g_k(x) , \phi_{k+1}(x)\} \text{ 이고}\end{align*}$

$\begin{align*}h(x)& = \max \{ \phi_1(x), \cdots , \phi_k(x),\phi_{k+1}(x)\} \\[0.5em]&= \max ( \{ \phi_1(x),\cdots, \phi_k(x) \} \cup \{ \phi_{k+1}(x)\}) \\[0.5em] & = \max \{ \max \{ \phi_1(x),\cdots, \phi_k(x)\} , \max \{ \phi_{k+1}(x)\}\} \\[0.5em]& = \max \{ h_k(x) , \phi_{k+1}(x)\} \text{ 임에 따라}\end{align*}$

$g,h$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(F,\mathcal{T}_F)$에 대해 $c$에서 연속이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립하여

모든 $x\in X$에 대해 $g(x) = \min \{ \phi_1(x), \phi_2(x),\cdots, \phi_n(x)\}$이고 $h(x) = \max \{ \phi_1(x), \phi_2(x),\cdots, \phi_n(x)\}$인

함수 $g,h:X\to F$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(F,\mathcal{T}_F)$에 대해 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정의1

임의의 집합 $X$에서 복소수집합 $\mathbb{C}$의 임의의 부분집합 $Y\subseteq \mathbb{C}$로의 함수가 $f:X\to Y$일때 임의의 $E\subseteq X$에 대해

어떤 $M\in $ $(0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in E$가 $|f(x)|\le M$이면 $f$가 $E$에서 유계(bounded)라고 정의한다.

$f$가 $X$에서 유계이면 $f$를 유계라고 정의한다.

 

 

 

정리5

임의의 집합 $X$에서 실수집합 또는 복소수집합 $F \in \{ \mathbb{R},\mathbb{C} \}$로의 함수가 $f,g,h:X\to F$이고

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 함수 $g_1,g_2,\cdots, g_n:X\to F$과 $f,g$가 임의의 $E\subseteq X$에서 유계일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $z,w\in F$에 대해 모든 $x\in X$가 $h_1(x) = z\cdot f(x) + w\cdot g(x)$인 함수 $h_1: X\to F$은 $E$에서 유계이다.

2. 모든 $x\in X$가 $h_2(x) = f(x)\cdot g(x)$인 함수 $h_2: X\to F$는 $E$에서 유계이다.

3. 모든 $x\in X$에 대해 $h_3(x) = $ $\min$$\{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\}$인 함수 $h_3:X\to F$은 $E$에서 유계이다.

4. 모든 $x\in X$에 대해 $h_4(x) = $ $\max$$\{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\}$인 함수 $h_4:X\to F$는 $E$에서 유계이다.

5. $F = \mathbb{R}$일때 모든 $x\in X$에 대해 $h_5(x) = \min\{ g_1(x),g_2(x),\cdots, g_n(x)\}$인 함수 $h_5:X\to \mathbb{R}$는 $E$에서 유계이다.

6. $F = \mathbb{R}$일때 모든 $x\in X$에 대해 $h_6(x) = \max\{ g_1(x),g_2(x),\cdots, g_n(x)\}$인 함수 $h_6:X\to \mathbb{R}$은 $E$에서 유계이다.

7. 임의의 $z\in F$에 대해 모든 $x\in X$가 $f_z(x) = z$인 함수 $f_z :X\to F$는 유계이다.

8. $h$가 $E$에서 유계이기 위한 필요충분조건은 $h(E)$가 $1$차원 유클리드 거리공간 $(F, d)$에서 유계인 것이다.

증명

모든 $k= 1,2,\cdots ,n$에 대해 $g_k$와 $f,g$가 $E$에서 유계이므로 어떤 $M_k , M_f,M_g\in (0,\infty)$가 존재하여

모든 $x\in E$에 대해 $|g_k(x)|\le M_k$이고 $|f(x)|\le M_f$와 $|g(x)|\le M_g$가 성립한다.

1.

$M = \max \{|z|\cdot M_f + |w|\cdot M_g, 1\}>0$에 대해 삼각부등식으로 모든 $x\in E$는 

$|h_1(x)|=| z\cdot f(x) + w\cdot g(x)| \le |z\cdot f(x)| + |w\cdot g(x)| = |z|\cdot |f(x)| + |w|\cdot |g(x)|\le |z|\cdot M_f + |w|\cdot M_g \le M\text{ 이다.}$

2.

$M = M_f\cdot M_g > 0$에 대해 모든 $x\in E$는 $|h_2(x)|=|f(x)\cdot g(x)|= |f(x)|\cdot |g(x)| \le M_f\cdot M_g = M$이다.

3, 4

$M = \max \{ M_1,M_2,\cdots, M_n\} > 0$일때

최소, 최대원소의 정의로 모든 $x\in E$에 대해 어떤 $i,j=1,2,\cdots, n$가 존재하여

$|g_i(x)| = \min\{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\} $이고 $|g_j(x)| = \max\{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\}$이므로

$0\le \min\{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\} = |g_i(x)|\le \max \{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\}=|g_j(x)|\le M_j \le M\text{ 임에 따라}$

$|h_3(x)| = |\min\{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\} | = \min \{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\}\le M$이고

$|h_4(x)| = |\max\{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\} | = \max \{ |g_1(x)|,|g_2(x)|,\cdots, |g_n(x)|\}\le M$이다.

5, 6

$M = \max \{ M_1,M_2,\cdots, M_n\} > 0$일때

최소, 최대원소의 정의로 모든 $x\in E$에 대해 어떤 $i,j=1,2,\cdots, n$가 존재하여

$g_i(x) = \min\{ g_1(x),g_2(x),\cdots, g_n(x)\} =h_5(x)$이고 $g_j(x) = \max\{ g_1(x),g_2(x),\cdots, g_n(x)\} = h_6(x)$이므로

$\min\{ g_1(x),g_2(x),\cdots, g_n(x)\} = g_i(x)\le \max \{ g_1(x),g_2(x),\cdots, g_n(x)\}=g_j(x)$임에 따라

절댓값 정리로 $-M \le -M_i \le -|g_i(x)|\le g_i(x)= h_5(x) \le h_6(x)= g_j(x) \le |g_j(x)|\le M_j \le M$이고

$|h_5(x)|\le M$과 $|h_6(x)|\le M$이 성립한다.

7.

$0\le |z| < |z| +1$이므로 $|z|+1\in (0,\infty)$이고 모든 $x\in X$에 대해 $|f_z(x)| = |z| < |z|+1$가 되어 $f_z$는 유계이다.

8.

$h$가 $E$에서 유계이면 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in E$에 대해 $|h(x)|\le M$이므로 

$2\cdot M\in (0,\infty)$에 대해 모든 $z,w\in h(E)$는 $h(x) = z$이고 $h(y) = w$인 $x,y\in E$가 존재하고 삼각부등식으로

$d(z,w) = d(h(x),h(y)) = |h(x) - h(y)| \le |h(x)| + |h(y)| \le 2\cdot M$임에 따라 $h(E)$는 $(F, d)$에서 유계이다.

역으로 $h(E)$가 $(F, d)$에서 유계이면 

거리공간 정리로 $0\in F$에 대해 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $z\in h(E)$가 $|z|=|z-0| =d(z,0) \le M$이므로 

모든 $x\in E$에 대해 $h(x)\in h(E)$임에 따라 $|h(x)|\le M$이고 $h$는 $E$에서 유계이다.

 

 

 

정리6

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 복소수집합 $\mathbb{C}$에 대한 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{C}, d)$의 거리위상공간 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해

$X$에서 $\mathbb{C}$로의 함수열이 $(f_n)_{n=n_0}^\infty$일때

임의의 $x_0\in X$과 $n\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $f_n: X\to \mathbb{C}$이 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $x_0$에서 연속이고

모든 $x\in X$에 대해 $|f_n(x)| \le c_n$인 실수열 $(c_n)_{n=n_0}^\infty$이 존재하여 급수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=n_0}^n c_k \right )_{n=n_0}^\infty$이 $\displaystyle \sum_{k=n_0}^\infty c_k=c$로 수렴하면 

$\displaystyle f(x) =  \sum_{k=n_0}^\infty f_k(x)$인 함수 $f:X\to \mathbb{C}$가 존재하여 $|f(x)| \le c$이고 $f$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.

증명

임의의 $x\in X$와 $n\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $0\le |f_n(x)|\le c_n$이고 급수 정리로 

$\displaystyle\sum_{k=n_0}^n|f_k(x)|\le \sum_{k=n_0}^n c_k\le \sum_{k=n_0}^\infty c_k = c$이므로 실수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=n_0}^n |f_k(x)| \right )_{n=n_0}^\infty$은 수렴하여

수열 정리로 $\mathbb{C}$의 수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=n_0}^n f_k(x) \right )_{n=n_0}^\infty$은 $(\mathbb{C}, d)$에서 수렴한다.

수열 정리로 모든 $x\in X$에 대해

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(\mathbb{C},d)} \left ( \sum_{k=n_0}^nf_k(x) \right) = \sum_{k=n_0}^\infty f_k(x)$가 유일하게 존재함에 따라 $\displaystyle f(x) =  \sum_{k=n_0}^\infty f_k(x)$인 함수 $f:X\to \mathbb{C}$가 존재하고 

$n\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해

절댓값 정리로 $\displaystyle \left | \sum_{k=n_0}^n f_k(x)\right |\le \sum_{k=n_0}^n|f_k(x)|\le c$이므로 수열 정리와 수열 정리로 $\displaystyle |f(x)|= \left | \sum_{k=n_0}^\infty f_k(x)\right |\le c$이다.

모든 $x\in X$와 $n\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해

절댓값 정리로 $0\le |f_n(x) -f_n(x_0)| \le |f_n(x)| + |-f_n(x_0)| = |f_n(x)| + |f_n(x_0)|$이고

$\displaystyle \left | \sum_{k=n_0}^n (f_k(x)-f_k(x_0))\right |\le \sum_{k=n_0}^n|f_k(x) - f_k(x_0)| \le \sum_{k=n_0}^n(|f_k(x)| + |f_n(x_0)|)= \sum_{k=n_0}^n |f_k(x)| + \sum_{k=n_0}^n |f_k(x_0)| \le c + c =2\cdot c\text{ 이므로}$

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 급수 정리와 수열 정리와 수열 정리와 급수 정리로

$N(\epsilon)\ge n_0$인 어떤 $N(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재하여 $\displaystyle \left | \sum_{k=N(\epsilon)+1}^\infty (f_k(x)-f_k(x_0))\right |\le \sum_{k=N(\epsilon)+ 1}^\infty |f_k(x) -f_k(x_0)| <\dfrac{\epsilon}{2}$이다.

$n_0\le n\le N(\epsilon)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $f_n$은 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $x_0$에서 연속이므로

위상공간 정리로 $\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(f_n(x_0),\frac{\epsilon}{2\cdot (N(\epsilon)+1)})$이 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 $f_n(x_0)$의 열린근방임에 따라

모든 $x\in U_n$가 $f_n(x)\in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(f_n(x_0),\frac{\epsilon}{2\cdot (N(\epsilon)+1)})$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x_0$의 열린근방 $U_n$이 존재하여

열린공의 정의로 $|f_n(x) - f_n(x_0)| =d(f_n(x),f_n(x_0)) < \dfrac{\epsilon}{2\cdot (N(\epsilon) +1)}$이다.

$x_0\in \displaystyle \bigcap_{n=n_0}^{N(\epsilon)}U_n$이므로 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcap_{n=n_0}^{N(\epsilon)}U_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x_0$의 열린근방이 되어

모든 $x\in \displaystyle \bigcap_{n=n_0}^{N(\epsilon)}U_n$는 $n_0\le n\le N(\epsilon)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x\in U_n$임에 따라 $f_n(x)\in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(f_n(x_0),\frac{\epsilon}{2\cdot (N(\epsilon)+1)})$이고

수열 정리와 절댓값 정리로

$\begin{align*} |f(x) - f(x_0)| & = \left | \sum_{k=n_0}^\infty f_k(x) - \sum_{k=n_0}^\infty f_k(x_0) \right | = \left | \sum_{k=n_0}^\infty (f_k(x) - f_k(x_0)) \right | = \left | \sum_{k=n_0}^{N(\epsilon)} (f_k(x) - f_k(x_0)) + \sum_{k=N(\epsilon)+1}^\infty (f_k(x) - f_k(x_0)) \right | \\[0.5em] & \le \left | \sum_{k=n_0}^{N(\epsilon)} (f_k(x) - f_k(x_0)) \right | + \left | \sum_{k=N(\epsilon)+1}^\infty (f_k(x) - f_k(x_0)) \right | \\[0.5em] & \le \sum_{k=n_0}^{N(\epsilon)} |f_k(x) - f_k(x_0)| + \sum_{k=N(\epsilon)+1}^\infty |f_k(x) - f_k(x_0)| \\[0.5em] & \lt \sum_{k=n_0}^{N(\epsilon)} \dfrac{\epsilon}{2\cdot (N(\epsilon) +1)} + \dfrac{\epsilon}{2} = (N(\epsilon) - n_0+1)\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot (N(\epsilon) +1)} + \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le (N(\epsilon) +1)\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot (N(\epsilon) +1)} + \dfrac{\epsilon}{2} = \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$d(f(x),f(x_0)) = |f(x)- f(x_0)|< \epsilon$이 되어 열린공의 정의로 $f(x)\in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(f(x_0),\epsilon)$이다.

따라서 모든 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에서 $f(x_0)$의 열린근방 $V$에 대해

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{C},d)}{B}(f(x_0),\epsilon)\subseteq V$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하여

모든 $x\in \displaystyle \bigcap_{n=n_0}^{N(\epsilon)}U_n$에 대해 $f(x)\in \underset{(\mathbb{C},d)}{B}(f(x_0),\epsilon)\subseteq V$이므로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$와 $(\mathbb{C},\mathcal{T}_d)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.

 

 

 

정리7

거리공간 $(X,\rho)$의 거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,\infty),d)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$일때 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$의 $2$-곱공간 $(X^2,\mathcal{P})$에 대해 $\rho$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

2. $Y\ne \emptyset$인 임의의 $Y\subseteq X$에 대해

모든 $x_1,x_2\in X$는 $|$$\inf$$ \{ \rho(x_1,y): y\in Y\} - \inf \{ \rho(x_2,y):y\in Y\}| \le \rho(x_1,x_2)$이다.

3. $Y\ne \emptyset$인 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 모든 $x\in X$가 $f_Y(x) =\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\}$인

함수 $f_Y:X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

4. $Y\ne \emptyset$인 임의의 $Y\subseteq X$에 대해

$Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in X\setminus Y$에 대해 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} > 0$인 것이다.

5. $(X,\mathcal{T})$는 $T_6$공간이다.

증명

1.

임의의 $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in X^2$가 $\rho_2((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2 + (\rho(x_2,y_2))^2}$인

함수 $\rho_2: X^2\times X^2\to [0,\infty)$에 대해 유한곱공간 정리로 거리공간 $(X^2,\rho_2)$의 거리위상공간은 $(X^2,\mathcal{P})$이다.

임의의 $(x_1,x_2),(y_1,y_2) \in X^2$에 대해 거리공간의 정의로

$\rho(x_1,x_2)\le \rho(x_1,y_1) + \rho(y_1,x_2) \le \rho(x_1,y_1) + \rho(y_1,y_2) + \rho(y_2,x_2)$이고

$\rho(y_1,y_2)\le \rho(y_1,x_1) + \rho(x_1,y_2) \le \rho(y_1,x_1) + \rho(x_1,x_2) + \rho(x_2,y_2)$이므로

$\rho(x_1,x_2) -\rho(y_1,y_2) \le \rho(x_1,y_1) + \rho(x_2,y_2)$와 $\rho(y_1,y_2) - \rho(x_1,x_2) \le \rho(x_1,y_1)  + \rho(x_2,y_2)$가 성립하여

$-\rho(x_1,y_1)-\rho(x_2,y_2)\le \rho(x_1,x_2) -\rho(y_1,y_2) \le \rho(x_1,y_1) + \rho(x_2,y_2)$임에 따라

절댓값 정리로 $|\rho(x_1,x_2) -\rho(y_1,y_2)|\le \rho(x_1,y_1) +\rho(x_2,y_2)$이다.

임의의 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 $\sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2 + (\rho(x_2,y_2))^2} = \rho_2((x_1,x_2),(y_1,y_2))< \dfrac{\epsilon}{2}$이면

절댓값의 정의와 절댓값 정리와 부등식 정리로

$\begin{align*}d(\rho(x_1,x_2),\rho(y_1,y_2)) &= |\rho(x_1,x_2) -\rho(y_1,y_2)| \\[0.5em] & \le \rho(x_1,y_1) +\rho(x_2,y_2) = |\rho(x_1,y_1)| + |\rho(x_2,y_2)|= \sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2} + \sqrt{(\rho(x_2,y_2))^2} \\[0.5em]&\le \sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2 + (\rho(x_2,y_2))^2} + \sqrt{(\rho(x_1,y_1))^2 + (\rho(x_2,y_2))^2} \\[0.5em] & < \dfrac{\epsilon}{2} +\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이므로}\end{align*}$

$\rho$는 $(X^2,\rho_2)$에서 $([0,\infty),d)$로의 균등연속함수가 되어

거리공간 정리로 $\rho$가 $(X^2,\rho_2)$에서 $([0,\infty),d)$로의 연속함수임에 따라

거리공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $\rho$는 $(X^2,\mathcal{P})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

2, 3

모든 $x\in X$와 모든 $y\in Y$에 대해 $\rho(x,y)\ge 0$이고 $Y\ne \emptyset$임에 따라

완비성으로 $\inf \{ \rho(x,y) : y\in Y\}$가 유일하게 존재하므로 하한의 정의로 $\inf \{ \rho(x,y) : y\in Y\}\ge 0$이 되어

모든 $x\in X$에 대해 $f_Y(x) =\inf \{ \rho(x,y) : y\in Y\}$인 함수 $f_Y:X\to [0,\infty)$가 존재한다.

임의의 $x_1,x_2\in X$와 모든 $y\in Y$에 대해 하한의 정의와 거리공간의 정의로

$f_Y(x_1) \le \rho(x_1,y)\le \rho(x_1,x_2) + \rho(x_2,y)$이므로 $f_Y(x_1) -\rho(x_1,x_2)\le \rho(x_2,y)$가 되어

$f_Y(x_1)-\rho(x_1,x_2)\le f_Y(x_2)\le \rho(x_2,y)$임에 따라 $f_Y(x_1)-f_Y(x_2)\le \rho(x_1,x_2)$이고

$f_Y(x_2) \le \rho(x_2,y)\le \rho(x_2,x_1) + \rho(x_1,y)$이므로 $f_Y(x_2) -\rho(x_1,x_2)\le \rho(x_1,y)$가 되어

$f_Y(x_2)-\rho(x_1,x_2)\le f_Y(x_1)\le \rho(x_1,y)$임에 따라 $f_Y(x_2)-f_Y(x_1)\le \rho(x_1,x_2)$이고

$-\rho(x_1,x_2)\le f_Y(x_1)-f_Y(x_2)\le \rho(x_1,x_2)$이므로

절댓값 정리로 $|\inf\{ \rho(x_1,y):y\in Y \} - \inf\{ \rho(x_2,y):y\in Y\}|=|f_Y(x_1)-f_Y(x_2)|\le \rho(x_1,x_2)$이다.

임의의 $x_0\in X$과 임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\rho(x,x_0)< \epsilon$인 모든 $x\in X$는 

$d(f_Y(x),f_Y(x_0))=|f_Y(x)-f_Y(x_0)|\le \rho(x,x_0) < \epsilon$이 되어 $f_Y$는 $(X,\rho)$에서 $([0,\infty),d)$로의 연속함수이므로

거리공간 정리와 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $f_Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이다.

4.

$Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합일때 어떤 $x\in X\setminus Y$에 대해 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} =0$이라고 가정하면

모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 하한 정리로 $\rho(x,y)< \epsilon$인 $y\in Y$가 존재하여 $x\ne y$임에 따라

집적점의 정의로 $x\in \underset{(X,\rho)}{Y'}$인데 위상공간 정리와 집적점 정리로 $\underset{(X,\rho)}{Y'}\subseteq Y$가 되어

집합 정리로 $x\in X\setminus Y \subseteq X\setminus \underset{(X,\rho)}{Y'}$이고 $x\notin \underset{(X,\rho)}{Y'}$임에 따라 모순이므로 

$Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 모든 $x\in X\setminus Y$는 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} \ne 0$이 되어 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} > 0$이다.

역으로 모든 $x\in X\setminus Y$에 대해 $\inf \{ \rho(x,y): y\in Y\} >0$이면

$r = \inf \{ \rho(x,y): y\in Y\}$에 대해 어떤 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{r}{2})$가 $z\in Y$라고 가정할때

하한의 정의와 열린공의 정의로 $r = \inf \{ \rho(x,y):y\in Y\}\le \rho(x,z)< \dfrac{r}{2}$임에 따라 모순이므로

모든 $z\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{r}{2})\subseteq X$는 $z\notin Y$가 되어 $z\in X\setminus Y$이고 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,\frac{r}{2})\subseteq X\setminus Y$이므로

거리공간 정리와 위상공간 정리로 $X\setminus Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

5.

$x\ne y$인 임의의 $x,y\in X$에 대해 거리공간의 정의로 $\rho(x,y) > 0$이므로 $r = \rho(x,y)$일때

거리공간의 정의로 $\rho(x,x) = 0 = \rho(y,y)$임에 따라 열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$와 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(y,r)$가 성립한다.

$y \in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$라고 가정하면 열린공의 정의로 $\rho(x,y) < r = \rho(x,y)$임에 따라 모순이고

$x \in \underset{(X,\rho)}{B}(y,r)$라고 가정하면

열린공의 정의와 거리공간의 정의로 $\rho(x,y)=\rho(y,x) < r =  \rho(x,y)$임에 따라 모순이므로

$x\in \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$와 $y \notin \underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$가 성립하고 $x \notin \underset{(X,\rho)}{B}(y,r)$와 $y\in \underset{(X,\rho)}{B}(y,r)$가 성립하여

위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho)}{B}(x,r)$과 $\underset{(X,\rho)}{B}(y,r)$이 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이다.

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,1],d),(\mathbb{C},d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]}),(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$일때

$[0,1]\subseteq [0,\infty)\subseteq \mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}$이므로

$([0,1],d)$는 $([0,\infty),d)$의 부분거리공간이고 $([0,1],d),([0,\infty),d)$는 $(\mathbb{C},d)$의 부분거리공간임에 따라

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{[0,\infty)}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]}$이고 $\mathcal{T}_{\mathbb{C}}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]}$과 $\mathcal{T}_{\mathbb{C}}|_{[0,\infty)} = \mathcal{T}_{[0,\infty)}$가 성립한다.

연속함수 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $\phi(x) = \dfrac{1}{2}$인

함수 $\phi:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이므로

$C\cap D = \emptyset$인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C,D$가 $C = \emptyset = D$이면

$\phi(X) \subseteq \{ \frac{1}{2}\}$임에 따라 $t\ne \dfrac{1}{2}$인 모든 $t\in [0,1]$에 대해 $\phi(X)\cap \{ t\} \subseteq \{ \frac{1}{2}\}\cap \{t\} = \emptyset$이 되어

$\phi(X)\cap \{ 0\} = \emptyset = \phi(X) \cap \{1\}$이므로 함수 정리로 $C = \emptyset= \phi^{-1}(\{ 0\})$와 $D = \emptyset= \phi^{-1}(\{ 1\})$이 성립한다.

$C = \emptyset$이고 $D\ne \emptyset$이면 모든 $x\in X$에 대해 3번으로 $f_D(x) = \inf \{ \rho(x,y) : y\in D\}$인

함수 $f_D: X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이고

연속함수 정리와 위 정리로 $h_D(x) = \min \{ f_D(x) , \phi(x) \} \in [0,\frac{1}{2}]\subseteq [0,1]$인

함수 $h_D:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이므로

연속함수 정리와 연속함수 정리와 위 정리로 $h(x) = 1 - h_D(x)\in [\frac{1}{2}, 1]\subseteq [0,1]$인

함수 $h:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이다.

$h(X) \subseteq [\frac{1}{2},1]$이므로 $h(X)\cap \{ 0\}\subseteq [\frac{1}{2},1]\cap \{ 0\} = \emptyset$이 되어 함수 정리로 $C =\emptyset = h^{-1}(\{0\})$이고

모든 $x\in D$는 거리공간의 정의와 하한의 정의와 최소원소의 정의로 $0\le h_D(x) \le f_D(x) \le \rho(x,x) = 0$임에 따라

$h_D(x) = 0$이므로 $h(x) = 1- h_D(x) = 1\in \{ 1\}$이고 $x\in h^{-1}(\{1\})$이 되어 $D\subseteq h^{-1}(\{1\})$이고

어떤 $x\in h^{-1}(\{ 1\})\subseteq X$가 $x\notin D$라고 가정하면 $h(x)= 1$인데 $x\in X\setminus D$임에 따라

4번으로 $f_D(x) > 0$이 되어 최소원소의 정의로 $h_D(x) > 0$이고 $h(x) = 1 - h_D(x) < 1$이므로 모순이 되어

모든 $x\in h^{-1}(\{ 1\})$는 $x\in D$이고 $h^{-1}(\{ 1\})\subseteq D$임에 따라 집합 정리로 $D = h^{-1}(\{1\})$이다.

$C \ne \emptyset$이고 $D= \emptyset$이면 모든 $x\in X$에 대해 3번으로 $f_C(x) = \inf \{ \rho(x,y) : y\in C\}$인

함수 $f_C: X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이므로

연속함수 정리와 위 정리로 $g(x) = \min \{ f_C(x) , \phi(x) \} \in [0,\frac{1}{2}]\subseteq [0,1]$인

함수 $g :X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이고

$g(X) \subseteq [0,\frac{1}{2}]$이므로 $g(X)\cap \{ 1\}\subseteq [0,\frac{1}{2}]\cap \{ 1\} = \emptyset$이 되어 함수 정리로 $D =\emptyset = g^{-1}(\{1\})$이다.

모든 $x\in C$는 거리공간의 정의와 하한의 정의와 최소원소의 정의로 $0\le g(x) \le f_C(x) \le \rho(x,x) = 0$임에 따라

$g(x) = 0\in \{ 0\}$이므로 $x\in g^{-1}(\{0\})$이 되어 $C\subseteq g^{-1}(\{0\})$이고

어떤 $x\in g^{-1}(\{ 0\})\subseteq X$가 $x\notin C$라고 가정하면 $g(x)= 0$인데

$x\in X\setminus C$임에 따라 4번으로 $f_C(x) > 0$이고 최소원소의 정의로 $g(x) > 0$이므로 모순이 되어

모든 $x\in g^{-1}(\{ 0\})$는 $x\in C$이고 $g^{-1}(\{ 0\})\subseteq C$임에 따라 집합 정리로 $C = g^{-1}(\{0\})$이다.

$C \ne \emptyset$이고 $D\ne \emptyset$이면 모든 $x\in X$에 대해 

3번으로 $f_C(x) = \inf \{ \rho(x,y) : y\in C\}$이고 $f_D(x) = \inf \{ \rho(x,y) : y\in D\}$인

함수 $f_C,f_D: X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_{[0,\infty)})$로의 연속함수이므로

$x\in C$이면 집합 정리로 $x\in C\subseteq X\setminus D$가 되어 4번으로 $0< f_D(x) \le f_C(x) + f_D(x)$이고

$x\notin C$이면 $x\in X\setminus C$이므로 4번으로 $0< f_C(x) \le f_C(x) + f_D(x)$이고

모든 $x\in X$에 대해 $f_C(x) \le f_C(x) + f_D(x)$이므로 $0\le \dfrac{f_C(x)}{f_C(x) + f_D(x)} \le 1$임에 따라 연속함수 정리와 위 정리로

$f(x) = \dfrac{f_C(x)}{f_C(x) + f_D(x)}$인 함수 $f:X\to [0,1]$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이다.

모든 $x\in C$에 대해 거리공간의 정의와 하한의 정의로 $0\le f_C(x) \le \rho(x,x) = 0$이므로 

$f_C(x) = 0$이 되어 $f(x) = 0\in \{0\}$이고 $x\in f^{-1}(\{ 0\})$임에 따라 $C\subseteq f^{-1}(\{ 0\})$이고 

모든 $x\in f^{-1}(\{ 0\})$는 $\dfrac{f_C(x)}{f_C(x)+f_D(x)} = f(x) = 0$이므로 $f_C(x) = 0$인데

$x\notin C$이면 $f_C(x)\ne 0$임에 따라 모순이 되어 $x\in C$이고 $f^{-1}(\{ 0\})\subseteq C$이므로 집합 정리로 $C=f^{-1}(\{ 0\})$이다.

모든 $x\in D$에 대해 거리공간의 정의와 하한의 정의로 $0\le f_D(x) \le \rho(x,x) = 0$이므로 $f_D(x) = 0$이고

집합 정리로 $x \in D\subseteq X\setminus C$이므로 $x\notin C$임에 따라 $f_C(x)\ne 0$이 되어 

$f(x) = \dfrac{f_C(x)}{f_C(x)+f_D(x)} = \dfrac{f_C(x)}{f_C(x)} = 1\in \{1\}$이고 $x\in f^{-1}(\{1\})$이므로 $D\subseteq f^{-1}(\{ 1\})$이고

모든 $x\in f^{-1}(\{1\})$에 대해 $\dfrac{f_C(x)}{f_C(x)+f_D(x)} = f(x) = 1$이므로 $f_C(x) = f_C(x) + f_D(x)$가 되어 $f_D(x) = 0$인데

$x\notin D$이면 $f_D(x)\ne 0$임에 따라 모순이 되어 $x\in D$이고 $f^{-1}(\{ 1\})\subseteq D$이므로 집합 정리로 $D=f^{-1}(\{ 1\})$이다.

따라서 $(X,\mathcal{T})$는 완전정규공간이므로 $(X,\mathcal{T})$는 $T_6$공간이다.

 

 

 

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d)$의 거리위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$에 대해

함수 $f:X\to \mathbb{R}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$로의 연속함수일때 다음이 성립한다.

닫힌집합에서 상한 : $Y\ne \emptyset$인 임의의 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$에서 닫힌집합 $Y$에 대해 $\sup$ $ Y\in \mathbb{R}$가 존재하면 $\sup Y = $ $\max$ $ Y$이다.

닫힌집합에서 하한 : $Y\ne \emptyset$인 임의의 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$에서 닫힌집합 $Y$에 대해 $\inf$ $ Y\in \mathbb{R}$가 존재하면 $\inf Y = $ $\min$ $ Y$이다.

최대-최소 정리 : $E\ne \emptyset$인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $E$에 대해 $\max f(E)$와 $\min$ $f(E)$가 존재한다.

중간값 정리 : 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 연결집합 $E$에 대해

임의의 $a,b\in E$와 임의의 $y\in \mathbb{R}$가 $f(a)\le y\le f(b)$이면 $f(c) = y$인 $c\in E$가 존재한다.

증명

닫힌집합에서 상한

$\sup Y\notin Y$라고 가정하면 $\sup Y\in \mathbb{R}\setminus Y$이고 $\mathbb{R}\setminus Y$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$에서 열린집합이므로

기저 정리와 기저 정리로 $\sup Y\in (a,b)\subseteq \mathbb{R}\setminus Y$인 $a,b\in \mathbb{R}$가 존재하여 $a< \sup Y < b$인데

$\sup Y -a > 0$이고 상한 정리로 $a=\sup Y - (\sup Y - a) < y$인 $y\in Y$가 존재하므로

상한의 정의로 $a< y\le \sup Y < b$임에 따라 $y \in (a,b)\subseteq \mathbb{R}\setminus Y$이고 $y\notin Y$가 되어 모순이다.

따라서 $\sup Y\in \mathbb{R}$가 존재하면 $\sup Y\in Y$가 되어 최대원소 정리로 $\sup Y = \max Y$이다.

닫힌집합에서 하한

$\inf Y\notin Y$라고 가정하면 $\inf Y\in \mathbb{R}\setminus Y$이고 $\mathbb{R}\setminus Y$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$에서 열린집합이므로

기저 정리와 기저 정리로 $\inf Y\in (a,b)\subseteq \mathbb{R}\setminus Y$인 $a,b\in \mathbb{R}$가 존재하여 $a< \inf Y < b$인데

$b- \inf Y > 0$이고 하한 정리로 $y < \inf Y + (b-\inf Y ) = b$인 $y\in Y$가 존재하므로

하한의 정의로 $a< \inf Y\le y < b$임에 따라 $y \in (a,b)\subseteq \mathbb{R}\setminus Y$이고 $y\notin Y$가 되어 모순이다.

따라서 $\inf Y\in \mathbb{R}$가 존재하면 $\inf Y\in Y$가 되어 최소원소 정리로 $\inf Y = \min Y$이다.

최대-최소 정리

콤팩트 정리로 $f(E)$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$에서 콤팩트하고

위 정리와 위상공간 정리로 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$는 KC공간이므로 $f(E)$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$에서 닫힌집합이다.

$\mathcal{O} = \{ (-n,n): n\in \mathbb{Z}^+\}$에 대해 $\displaystyle f(E)\subseteq \mathbb{R} = \bigcup_{n = 1}^\infty (-n,n) = \bigcup\mathcal{O}$이므로

위상공간 정리로 $\mathcal{O}$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$에서 $f(E)$의 열린덮개가 되어

콤팩트 정리로 $f(E)\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 유한집합 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{O}$가 존재하고

$E\ne \emptyset$임에 따라 $f(E)\ne \emptyset$이 되어 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고 $k\le n$인 모든 $k,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(-k,k)\subseteq (-n,n)$이므로

전순서집합 정리와 최대원소 정리와 순서집합 정리로

어떤 $M\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $(-M,M)\in \mathcal{F}$이고 $f(E)\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F} = (-M,M)$이다.

모든 $x\in E$에 대해 $f(x)\in f(E)\subseteq (-M,M)$이므로 $-M<f(x)< M$이 되어

완비성으로 $\sup f(E),\inf f(E) \in \mathbb{R}$가 존재함에 따라 $\sup f(E) = \max f(E)$이고 $\inf f(E) = \max f(E)$이다.

중간값 정리

임의의 $a,b\in E$와 임의의 $y\in \mathbb{R}$에 대해 $f(a)\le y\le f(b)$일때 $f(a) = f(b)$이면 $f(a) = y=f(b)$이고

$f(a) < f(b)$이면 $f(a),f(b)\in f(E)$임에 따라 $f(E)$는 적어도 두 점을 포함하고

연결집합 정리로 $f(E)$는 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_d)$에서 연결집합이 되어

위상공간 정리로 $f(E)$는 $(\mathbb{R},d)$에서 연결집합이므로 구간 정리로 $f(E)$가 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간임에 따라

구간 정리로 $y \in [f(a),f(b)] \subseteq f(E)$가 되어 $f(c) = y$인 $c\in E$가 존재한다.

 

 

 

정의2

닫힌집합과 점의 분리(separates points from closed sets) :

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $I\ne \emptyset$인 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 유일하게 존재하고

$(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수들의 공집합이 아닌 임의의 집합 $\mathcal{F}_i$가 유일하게 존재할때 

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $x\in X\setminus C$에 대해

어떤 $i\in I$가 존재하여 $f_i(x)\notin $ $\underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}$$(f_i(C))$가 되는 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 존재하면

$\{ \mathcal{F}_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 닫힌집합과 점을 분리한다고 정의한다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $I\ne \emptyset$인 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 유일하게 존재하고

$(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수들의 공집합이 아닌 임의의 집합족 $\mathcal{F}_i$가 유일하게 존재할때 다음이 성립한다.

1. $\{ \mathcal{F}_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 닫힌집합과 점을 분리하기 위한 필요충분조건은 

$\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ f_i^{-1}(O_i) : (O_i,f_i)\in \mathcal{T}_i\times \mathcal{F}_i\}$가 $(X,\mathcal{T})$의 기저인 것이다.

2. $\{ \mathcal{F}_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 닫힌집합과 점을 분리하면

$(X,\mathcal{T})$는 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\mathcal{F}_i): i\in I\}$의 약한위상공간이다.

증명

1.

$\{ \mathcal{F}_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 닫힌집합과 점을 분리하면

모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수임에 따라

연속함수 정리로 모든 $O_i\in \mathcal{T}_i$에 대해 $f_i^{-1}(O_i)\in \mathcal{T}$이므로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ f_i^{-1}(O_i) : (O_i,f_i)\in \mathcal{T}_i\times \mathcal{F}_i\}\subseteq \mathcal{T}$이고

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$의 모든 $x\in V$에 대해 $X\setminus V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

집합 정리로 $x\in V = X\setminus (X\setminus V)$가 되어

$\{ \mathcal{F}_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 닫힌집합과 점을 분리함에 따라

어떤 $i\in I$에 대해 $f_i(x)\notin \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(X\setminus V))$인 $f_i\in \mathcal{F}_i$가 존재한다.

$f_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이므로

폐포 정리와 연속함수 정리로 $f_i(X\setminus V) =f_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus V)) \subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(X\setminus V))$가 되어

집합 정리로 $ f_i(x) \in X_i\setminus \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(X\setminus V)) \subseteq X_i \setminus f_i(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus V))=X_i \setminus f_i(X\setminus V)$이고

함수 정리로 $X\setminus V \subseteq f_i^{-1}(f_i(X\setminus V))$임에 따라 함수 정리와 집합 정리와 집합 정리로

$x \in f_i^{-1}(X_i\setminus \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(X\setminus V))) \subseteq f_i^{-1}(X_i \setminus f_i(X\setminus V)) = f_i^{-1}(X_i)\setminus f_i^{-1}(f_i(X\setminus V)) \subseteq f_i^{-1}(X_i) \setminus (X\setminus V) = X\setminus (X\setminus V) =V\text{ 이고}$

폐포 정리와 닫힌집합의 정의로 $X_i\setminus \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(X\setminus V)) \in \mathcal{T}_i$이므로

기저 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ f_i^{-1}(O_i) : (O_i,f_i)\in \mathcal{T}_i\times \mathcal{F}_i\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

역으로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ f_i^{-1}(O_i) : (O_i,f_i)\in \mathcal{T}_i\times \mathcal{F}_i\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $x\in X\setminus C$에 대해 $X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

기저 정리로 어떤 $i\in I$가 존재하여 $x\in f_i^{-1}(O_i)\subseteq X\setminus C$인 $(O_i,f_i)\in \mathcal{T}_i\times \mathcal{F}_i$가 존재하고 $f_i(x)\in O_i$이다.

$O_i\cap f_i(C)\ne \emptyset$이라고 가정하면 $y\in O_i\cap f_i(C)$가 존재하고 집합 정리로 $f_i^{-1}(O_i)\cap C = \emptyset$인데  

$y = f_i(c) \in f_i(C)$인 $c\in C$가 존재하고 $f_i(c)=y\in O_i$이므로 $c\in f_i^{-1}(O_i)\cap C = \emptyset$임에 따라 모순이 되어

$O_i\cap f_i(C)= \emptyset$이고 집합 정리로 $f_i(C)\subseteq X_i\setminus O_i$이므로

$X_i\setminus O_i$가 $(X_i,\mathcal{T}_i)$에서 닫힌집합임에 따라 폐포 정리로 $\underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(C))\subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(X_i\setminus O_i) = X_i\setminus O_i$이고

집합 정리와 집합 정리로 $f_i(x)\in O_i = X_i\setminus (X_i\setminus O_i) \subseteq X_i \setminus \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(C))$가 되어

$f_i(x)\notin \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(C))$이므로 $\{ \mathcal{F}_i : i\in I\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 닫힌집합과 점을 분리한다.

2.

약한위상공간 정리로 $\mathcal{B}=\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ f_i^{-1}(O_i) : (O_i,f_i)\in \mathcal{T}_i\times \mathcal{F}_i\}$는

$\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\mathcal{F}_i): i\in I\}$의 약한위상공간 $(X,\mathcal{W})$의 부분기저이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{W}$이고

1번으로 $\mathcal{B}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이므로 위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{O}:\mathcal{O}\subseteq \mathcal{B}\} \subseteq \mathcal{W}$이다.

모든 $i\in I$에 대해 모든 $f_i\in \mathcal{F}_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이므로 약한위상공간 정리로 $\mathcal{W}\subseteq \mathcal{T}$가 되어

집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{W}$이고 $(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{W})$는 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\mathcal{F}_i): i\in I\}$의 약한위상공간이다.

 

 

 

정의3

매장(embeddig) :

위상공간이 $(X,\mathcal{T}_X),(Y,\mathcal{T}_Y)$이고 임의의 함수가 $e :X\to Y$일때

$(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$와 모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = e(x)$인 함수 $f : X\to e(X)$가 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(e(X),\mathcal{T}_Y|_{e(X)})$로의 위상동형사상이면 $e$를 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 매장으로 정의한다.

평가함수(evaluation map) :

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $I\ne \emptyset$인 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 유일하게 존재하고

$(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수 $f_i :X\to X_i$가 유일하게 존재할때 

임의의 $i\in I$에 대해 일반 데카르트곱 $\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i$이면

모든 $i\in I$에 대해 $p_i\circ e = f_i$인 함수 $e:X\to \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{(X_i,\mathcal{T}_i,f_i): i\in I \}$의 평가함수로 정의한다.

점의 분리(separates points) :

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $I\ne \emptyset$인 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 유일하게 존재하고

$(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수 $f_i:X\to X_i$가 유일하게 존재할때

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 어떤 $i\in I$가 존재하여 $f_i(x) \ne f_i(y)$이면

$\{ f_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 점을 분리한다고 정의한다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $I\ne \emptyset$인 집합 $I$의 모든 $i\in I$에 대해 위상공간 $(X_i,\mathcal{T}_i)$가 유일하게 존재하고

$(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수 $f_i:X\to X_i$가 유일하게 존재할때

$\{ (X_i,\mathcal{T}_i): i\in I\}$의 곱공간이 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$이고 $\displaystyle \prod_{i\in I}X_i$의 $i$-좌표 사영함수가 $p_i$이면

$(X,\mathcal{T})$에서 $\{(X_i,\mathcal{T}_i,f_i): i\in I \}$의 평가함수 $e:X\to \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$에 대해 다음이 성립한다.

1. $e$가 유일하게 존재한다.

2. $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$로의 연속함수이다.

3. $e$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$로의 매장이기 위한 필요충분조건은

$(X,\mathcal{T})$가 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\{f_i\}): i\in I\}$의 약한위상공간이고

$\{ f_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 점을 분리하는 것이다.

4. $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간이고 $\{ \{f_i \} : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 닫힌집합과 점을 분리하면

$e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$로의 매장이다.

증명

1.

임의의 $x\in X$와 모든 $i\in I$에 대해 $e_x(i) = f_i(x)\in X_i$인

함수 $e_x : I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$는 일반 데카르트곱의 정의로 $e_x\in \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$이고

임의의 $x,y\in X$가 $x = y$이면 모든 $i\in I$에 대해 $e_x(i) = f_i(x) = f_i(y) = e_y(i)$가 되어 $e_x = e_y$임에 따라 

모든 $x\in X$에 대해 $e(x) = e_x$인 함수 $e:X\to \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$가 존재하고

좌표 사영함수의 정의로 모든 $i\in I$에 대해 $(p_i\circ e)(x) = p_i(e(x)) = p_i(e_x) = e_x(i) = f_i(x)$이므로

$p_i\circ e = f_i$가 되어 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{(X_i,\mathcal{T}_i,f_i): i\in I \}$의 평가함수이다.

모든 $i\in I$에 대해 $p_i\circ e_1 = f_i = p_i\circ e_2$인 함수 $e_1,e_2:X\to \displaystyle \prod_{i\in I}X_i$는

모든 $x\in X$에 대해 $e_1(x), e_2(x)\in \displaystyle \prod_{i\in I} X_i$이므로 일반 데카르트곱의 정의로 $e_1(x),e_2(x): I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}X_i$인 함수이고

좌표 사영함수의 정의로 모든 $i\in I$에 대해

$e_1(x)(i) = p_i(e_1(x)) = (p_i\circ e_1)(x) = f_i(x) = (p_i\circ e_2)(x) = p_i(e_2(x)) = e_2(x)(i)$임에 따라

$e_1(x) = e_2(x)$가 되어 $e_1 = e_2$이다.

2.

모든 $i\in I$에 대해 $p_i\circ e = f_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수이므로 

곱공간 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$로의 연속함수이다.

3.

모든 $x\in X$에 대해 $f(x) = e(x)$인 함수가 $f:X\to e(X)$이고

$(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$의 부분위상공간이 $(e(X),\mathcal{P}|_{e(X)})$이고 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\{f_i\}): i\in I\}$의 약한위상공간이 $(X,\mathcal{W})$일때

곱공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ p_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$의 부분기저이고

약한위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\{ f_i^{-1}(O_i) : O_i\in \mathcal{T}_i \}$는 $(X,\mathcal{W})$의 부분기저이고

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 모든 $(O_{i_1},O_{i_2},\cdots, O_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1}\times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_n}$에 대해

함수 정리와 함수 정리와 함수 정리와 함수 정리와 집합 정리와 평가함수의 정의로

$\begin{align*} f^{-1}(e(X) \cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})) & = e^{-1}(e(X)\cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) ) \\[0.5em] & = e^{-1}(e(X)) \cap e^{-1}(p_{i_1}^{-1}(O_{i_1}))\cap e^{-1}(p_{i_2}^{-1}(O_{i_2}))\cap \cdots \cap e^{-1}(p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) ) \\[0.5em] & = X\cap (p_{i_1}\circ e)^{-1}(O_{i_1}) \cap (p_{i_2}\circ e)^{-1}(O_{i_2}) \cap \cdots \cap (p_{i_n}\circ e)^{-1}(O_{i_n}) \\[0.5em] & = (p_{i_1}\circ e)^{-1}(O_{i_1}) \cap (p_{i_2}\circ e)^{-1}(O_{i_2}) \cap \cdots \cap (p_{i_n}\circ e)^{-1}(O_{i_n}) \\[0.5em] & = f_{i_1}^{-1}(O_{i_1}) \cap f_{i_2}^{-1}(O_{i_2}) \cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) \text{ 이다.}\end{align*}$

$e$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$로의 매장이면

$f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e(X),\mathcal{P}|_{e(X)})$로의 위상동형사상이므로 $f$의 역함수 $f^{-1} : e(X)\to X$이 존재하고

모든 $i\in I$에 대해 $f_i$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(X_i,\mathcal{T}_i)$로의 연속함수임에 따라 약한위상공간 정리로 $\mathcal{W}\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 $f(x)\in f(O)$이고 $f(O)\in \mathcal{P}|_{e(X)}$임에 따라

위상공간 정리와 부분기저의 정의와 기저 정리로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(x) \in e(X) \cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) \subseteq f(O)$인

$i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 $(O_{i_1},O_{i_2},\cdots, O_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1}\times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_n}$이 존재하고 함수 정리로

$x=f^{-1}(f(x)) \in f^{-1}(e(X) \cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})) \subseteq f^{-1}(f(O)) = O$이므로

$f^{-1}(e(X) \cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}))  = f_{i_1}^{-1}(O_{i_1}) \cap f_{i_2}^{-1}(O_{i_2}) \cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) $임에 따라

$x\in f_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap f_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(O_{i_n})\subseteq O$가 되어 부분기저의 정의와 위상공간 정리로 

$O\in \mathcal{W}$이고 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{W}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{T} = \mathcal{W}$이고

$(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{W})$는 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\{f_i\}): i\in I\}$의 약한위상공간이다.

$f$는 단사이므로 단사 정리로 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $e(x)=f(x)\ne f(y) = e(y)$가 되어

평가함수의 정의와 좌표 사영함수의 정의와 함수의 상등으로

$f_i(x)=(p_i\circ e)(x)=p_i(e(x))=e(x)(i) \ne e(y)(i) = p_i(e(y)) = (p_i\circ e)(y) = f_i(y)$인 $i\in I$가 존재함에 따라

$\{ f_i : i\in I\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 점을 분리한다.

역으로 $(X,\mathcal{T}) = (X,\mathcal{W})$이고 $\{ f_i : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 점을 분리하면

좌표 사영함수의 정의와 평가함수의 정의로 $x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 어떤 $i\in I$가 존재하여

$e(x)(i) =p_i(e(x))=(p_i\circ e)(x) = f_i(x)\ne f_i(y) = (p_i\circ e)(y) = p_i(e(y)) = e(y)(i)$이므로

$e(x)\ne e(y)$임에 따라 $e$는 단사이고 함수 정리로 $f$는 전단사이다.

2번과 연속함수 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e(X),\mathcal{P}|_{e(X)})$로의 연속함수이고

모든 $O\in \mathcal{T} = \mathcal{W}$에 대해 모든 $y\in f(O)$는 $y= f(x)$인 $x\in O$가 존재하여 부분기저의 정의와 기저 정리로

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x \in f_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap f_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) \subseteq O$인

$i_1,i_2,\cdots, i_n\in I$과 $(O_{i_1},O_{i_2},\cdots, O_{i_n})\in \mathcal{T}_{i_1}\times \mathcal{T}_{i_2}\times \cdots \times \mathcal{T}_{i_n}$이 존재하므로

$f^{-1}(e(X) \cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}))  = f_{i_1}^{-1}(O_{i_1}) \cap f_{i_2}^{-1}(O_{i_2}) \cap \cdots \cap f_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) $임에 따라

$x\in f^{-1}(e(X) \cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})) \subseteq O$이고 함수 정리로

$f(f^{-1}(e(X) \cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}))) = e(X)\cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n})$이 되어

$y =f(x)\in e(X)\cap p_{i_1}^{-1}(O_{i_1})\cap p_{i_2}^{-1}(O_{i_2})\cap \cdots \cap p_{i_n}^{-1}(O_{i_n}) \subseteq f(O)$이므로

위상공간 정리와 부분기저의 정의와 위상공간 정리로 $f(O)\in \mathcal{P}|_{e(X)}$이고

위상동형사상 정리로 $f$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(e(X),\mathcal{P}|_{e(X)})$로의 위상동형사상임에 따라

$e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$로의 매장이다.

4.

$x\ne y$인 모든 $x,y\in X$에 대해 $T_1$공간 정리로 $\{ y\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $x\in X\setminus \{ y\}$이므로

$\{ \{f_i \} : i\in I\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 닫힌집합과 점을 분리함에 따라

어떤 $i\in I$에 대해 $f_i(x) \notin \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(\{ y\}))$이고 폐포 정리로 $f_i(\{ y\})\subseteq \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(\{ y\}))$가 되어

집합 정리로 $f_i(x) \in X_i \setminus \underset{(X_i,\mathcal{T}_i)}{\operatorname{cl}}(f_i(\{ y\})) \subseteq X_i \setminus f_i(\{ y\}) = X_i \setminus \{ f_i(y)\}$이므로

$f_i(x)\ne f_i(y)$임에 따라 $\{ f_i : i\in I\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i):i\in I\}$로 점을 분리하고

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $\{ (X_i,\mathcal{T}_i,\{f_i\}): i\in I\}$의 약한위상공간이 되어

3번으로 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{i\in I}X_i, \mathcal{P})$로의 매장이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d)$의 거리위상공간 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에 대해

유계인 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 모든 연속함수들의 집합족이 $\mathcal{C}_\mathbb{R}$일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $t\in \mathbb{R}$에 대해 모든 $x\in X$가 $\phi_t(x) = t$인 함수 $\phi_t :X\to \mathbb{R}$는 $\phi_t\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$이다.

2. $\mathcal{C}_\mathbb{R}\ne \emptyset$

3. $\{ f^{-1}((0,\infty)) : \text{모든 }x\in X\text{에 대해 }f(x)\ge 0\text{인 }f\in \mathcal{C}_\mathbb{R} \}$는 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R},\mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한위상공간의 기저이다.

4. $\{ f^{-1}(V) : (V, f)\in \mathcal{T}_\mathbb{R}\times \mathcal{C}_\mathbb{R}\}$는 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R},\mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한위상공간의 기저이다.

5. $(X,\mathcal{T})$가 완비정칙공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R},\mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한위상공간인 것이다.

6. $(X,\mathcal{T})$가 티호노프 공간이기 위한 필요충분조건은

$I\ne \emptyset$인 어떤 집합 $I$가 존재하고 모든 $i\in I$에 대해 $a_i\le b_i$인 어떤 $a_i, b_i\in \mathbb{R}$가 유일하게 존재하여

$1$차원 유클리드 거리공간 $([a_i,b_i],d)$의 거리위상공간 $([a_i,b_i],\mathcal{T}_{[a_i,b_i]})$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 $\{ ([a_i,b_i] ,\mathcal{T}_{[a_i,b_i]}) : i\in I \}$의 곱공간 $(\displaystyle \prod_{i\in I}[a_i,b_i],\mathcal{P})$로의 매장이 존재하는 것이다.

증명

임의의 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해

$1$차원 유클리드 거리공간 $([a,b],d),(\mathbb{C},d)$의 거리위상공간이 $([a,b],\mathcal{T}_{[a,b]}),(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$일때

$([a,b],d)$는 $(\mathbb{R},d)$의 부분거리공간이고 $(\mathbb{R},d)$는 $(\mathbb{C},d)$의 부분거리공간이므로

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{\mathbb{R}}|_{[a,b]} = \mathcal{T}_{[a,b]}$이고 $\mathcal{T}_{\mathbb{C}}|_{\mathbb{R}} = \mathcal{T}_{\mathbb{R}}$이다.

1.

임의의 $t\in \mathbb{R}$에 대해 모든 $x\in X$가 $\phi_t(x) = t$인 함수 $\phi_t :X\to \mathbb{R}$는 위 정리로 유계이고

연속함수 정리로 $\phi_t$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 연속함수이므로 $\phi_t\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$이다.

2.

$0\in \mathbb{R}$에 대해 1번으로 $\phi_0\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$이므로 $\mathcal{C}_\mathbb{R}\ne \emptyset$이다.

3, 4

$\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R},\mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한위상공간이 $(X,\mathcal{W})$일때

약한위상공간 정리로 $\{ f^{-1}(V) : (V, f)\in \mathcal{T}_\mathbb{R}\times \mathcal{C}_\mathbb{R}\}$는 $(X,\mathcal{W})$의 부분기저이고

위상공간 정리로 $\mathcal{S}_\mathbb{R} =\{(a,\infty) : a\in \mathbb{R} \}\cup \{ (-\infty,b):b\in \mathbb{R}\}$이 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$의 부분기저이므로

$(0,\infty)\in \mathcal{S}_\mathbb{R}\subseteq \mathcal{T}_\mathbb{R}$이고

$\{ f^{-1}((0,\infty)) : \text{모든 }x\in X\text{에 대해 }f(x)\ge 0\text{인 }f\in \mathcal{C}_\mathbb{R} \}\subseteq \{ f^{-1}(V):(V,f)\in \mathcal{T}_\mathbb{R}\times \mathcal{C}_\mathbb{R}\}\subseteq \mathcal{W}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 부분기저의 정의와 기저 정리로 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$x \in h_{1}^{-1}(V_{1})\cap h_{2}^{-1}(V_{2})\cap \cdots \cap h_{n}^{-1}(V_{n}) \subseteq O$인 $V_{1},V_{2},\cdots, V_{n}\in \mathcal{T}_\mathbb{R}$과 $h_{1},h_{2},\cdots, h_{n}\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$이 존재하고

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $x\in h_i^{-1}(V_i)$이므로 $h_i(x) \in V_i$임에 따라

부분기저의 정의와 기저 정리로 어떤 $k_i\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$h_i(x)\in U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_{k_i}\subseteq V_i$인 $U_1,U_2,\cdots,U_{k_i}\in \mathcal{S}_\mathbb{R}$가 존재하고

함수 정리로 $x\in h_i^{-1}(U_1)\cap h_i^{-1}(U_2)\cap \cdots \cap h_i^{-1}(U_{k_i}) = h_i^{-1}(U_1\cap U_2\cap \cdots \cap U_{k_i})\subseteq h_i^{-1}(V_i)$이다.

모든 $j = 1,2,\cdots, k_i$에 대해 $x\in h_i^{-1}(U_j)$이고 $U_j\in \mathcal{S}_\mathbb{R} =\{(a,\infty) : a\in \mathbb{R} \}\cup \{ (-\infty,b):b\in \mathbb{R}\}$이므로

$U_j = (a_j,\infty)$인 $a_j\in \mathbb{R}$가 존재하면 $h_i\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$에 대해 $x\in h_i^{-1}(U_j)=h_i^{-1}((a_j,\infty))$이고

$U_j = (-\infty, b_j)$인 $b_j\in \mathbb{R}$가 존재하면

모든 $y\in X$에 대해 $g_i(y) = -h_i(y)$인 함수 $g_i:X\to \mathbb{R}$는 연속함수 정리와 위 정리와 위 정리로 $g_i\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$이고

모든 $y\in g_i^{-1}((-b_j,\infty))$에 대해 $-h_i(y) =g_i(y)\in (-b_j,\infty)$가 되어 $h_i(y)\in (-\infty,b_j)$이므로

$y\in h_i^{-1}((-\infty,b_j))$임에 따라 $ g_i^{-1}((-b_j,\infty))\subseteq h_i^{-1}((-\infty,b_j))$이고

모든 $y\in h_i^{-1}((-\infty,b_j))$에 대해 $-g_i(y) =h_i(y)\in (-\infty,b_j)$가 되어 $g_i(y)\in (-b_j,\infty)$이므로

$y\in g_i^{-1}((-b_j,\infty))$임에 따라 $h_i^{-1}((-\infty,b_j))\subseteq g_i^{-1}((-b_j,\infty))$이고

집합 정리로 $x\in h_i^{-1}(U_j)=h_i^{-1}((-\infty,b_j))=g_i^{-1}((-b_j,\infty))$이다.

어떤 $m\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

$x \in g_1^{-1}((a_1,\infty))\cap g_2^{-1}((a_2,\infty))\cap \cdots \cap g_m^{-1}((a_m,\infty))\subseteq h_{1}^{-1}(V_{1})\cap h_{2}^{-1}(V_{2})\cap \cdots \cap h_{n}^{-1}(V_{n}) \subseteq O$인

$a_1,a_2,\cdots, a_m\in \mathbb{R}$과 $g_{1},g_{2},\cdots, g_{m}\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$이 존재하므로

연속함수 정리와 위 정리와 위 정리와 위 정리로 모든 $i=1,2,\cdots, m$와 모든 $y\in X$에 대해 

$f_i(y) = \max \{ g_i(y) -a_i , 0 \} = \max\{ g_i(y)- \phi_{a_i}(y), \phi_0(y)\}$인 함수 $f_i: X\to \mathbb{R}$는 $f_i\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$이고 

모든 $y\in f_i^{-1}((0,\infty))$에 대해 $0<f_i(y)= g_i(y) - a_i$가 되어 $a_i< g_i(y)$이므로

$y\in g_i^{-1}((a_i,\infty))$임에 따라 $f_i^{-1}((0,\infty))\subseteq g_i^{-1}((a_i,\infty))$이고

모든 $y\in g_i^{-1}((a_i,\infty))$에 대해 $a_i < g_i(y)$이므로 $0< g_i(y) - a_i$가 되어 $0< g_i(y)-a_i=f_i(y)$임에 따라

$y\in f_i^{-1}((0,\infty))$이고 $g_i^{-1}((a_i,\infty))\subseteq f_i^{-1}((0,\infty))$이므로 집합 정리로 $f_i^{-1}((0,\infty))=g_i^{-1}((a_i,\infty))$가 되어

$x \in f_1^{-1}((0,\infty))\cap f_2^{-1}((0,\infty))\cap \cdots \cap f_m^{-1}((0,\infty)) = g_1^{-1}((a_1,\infty))\cap g_2^{-1}((a_2,\infty))\cap \cdots \cap g_m^{-1}((a_m,\infty))\subseteq O\text{ 이다.}$

최대원소의 정의와 연속함수 정리와 위 정리와 위 정리로

모든 $y\in X$에 대해 $f(y) = f_1(y)\cdot f_2(y)\cdot \; \cdots \;\cdot f_m(y)$인 함수 $f: X\to \mathbb{R}$는 

$0 =0\cdot 0 \cdot \; \cdots \; \cdot 0\le f_1(y)\cdot f_2(y)\cdot \; \cdots \;\cdot f_m(y) = f(y)$와 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$가 성립하고

모든 $y\in f^{-1}((0,\infty))$에 대해 $f(y)>0$이므로 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i(y)>0$가 되어

$y \in f_1^{-1}((0,\infty))\cap f_2^{-1}((0,\infty))\cap \cdots \cap f_m^{-1}((0,\infty))$임에 따라 

$f^{-1}((0,\infty))\subseteq f_1^{-1}((0,\infty))\cap f_2^{-1}((0,\infty))\cap \cdots \cap f_m^{-1}((0,\infty))$이고

모든 $y \in f_1^{-1}((0,\infty))\cap f_2^{-1}((0,\infty))\cap \cdots \cap f_m^{-1}((0,\infty))$는 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i(y)>0$이므로

$f(y)>0$가 되어 $y\in f^{-1}((0,\infty))$임에 따라 $ f_1^{-1}((0,\infty))\cap f_2^{-1}((0,\infty))\cap \cdots \cap f_m^{-1}((0,\infty)) \subseteq f^{-1}((0,\infty))$이고

집합 정리로 $x \in f^{-1}((0,\infty))=f_1^{-1}((0,\infty))\cap f_2^{-1}((0,\infty))\cap \cdots \cap f_m^{-1}((0,\infty)) \subseteq O$이다.

따라서 기저 정리로 $\{ f^{-1}((0,\infty)) : \text{모든 }x\in X\text{에 대해 }f(x)\ge 0\text{인 }f\in \mathcal{C}_\mathbb{R} \}$는 $(X,\mathcal{W})$의 기저이고

$\{ f^{-1}((0,\infty)) : \text{모든 }x\in X\text{에 대해 }f(x)\ge 0\text{인 }f\in \mathcal{C}_\mathbb{R} \}\subseteq \{ f^{-1}(V):(V,f)\in \mathcal{T}_\mathbb{R}\times \mathcal{C}_\mathbb{R}\}\subseteq \mathcal{W}$이므로

기저 정리로 $ \{ f^{-1}(V): (V,f)\in \mathcal{T}_\mathbb{R}\times \mathcal{C}_\mathbb{R}\}$는 $(X,\mathcal{W})$의 기저이다.

5.

$(X,\mathcal{T})$가 완비정칙공간이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $x\in X\setminus C$에 대해

$g(x) = 0$과 $g(C)\subseteq \{ 1\}$이 성립하는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $g:X\to [0,1]$가 존재하여

모든 $y\in X$에 대해 $f(y) = g(y)$인 함수 $f:X\to \mathbb{R}$는 연속함수 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 연속함수이고

$0\le |f(y)| = |g(y)| = g(y) \le 1$임에 따라 $f$는 유계이므로 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$이다.

위 정리와 위상공간 정리로 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$은 $T_1$공간이므로 $T_1$공간 정리로 $\{ 1\}$은 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$에서 닫힌집합이 되어

폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})}{\operatorname{cl}}(f(C))=\underset{(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})}{\operatorname{cl}}(g(C)) \subseteq \underset{(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})}{\operatorname{cl}}(\{ 1\}) = \{ 1\}$임에 따라 

집합 정리로 $f(x) = g(x) = 0 \in \mathbb{R}\setminus \{ 1\} \subseteq \mathbb{R}\setminus \underset{(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})}{\operatorname{cl}}(f(C))$이고 $f(x) \notin \underset{(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})}{\operatorname{cl}}(f(C))$이므로

$\{ \mathcal{C}_\mathbb{R}\}$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})\}$로 닫힌집합과 점을 분리하여

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R},\mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한위상공간이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R},\mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한위상공간이면 

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $x\in X\setminus C$에 대해 $X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

3번과 기저 정리로 $x\in h^{-1}((0,\infty)) \subseteq X\setminus C$와 모든 $y\in X$에 대해 $h(y)\ge 0$이 성립하는

$h\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$가 존재하여 $h(x) \in (0,\infty)$임에 따라 $h(x) > 0$이고

어떤 $b \in h(C)$가 $b >0$이라고 가정하면

$ h(y) =b\in (0,\infty)$인 $y\in C$가 존재하여 $y \in h^{-1}((0,\infty)) \subseteq X\setminus C$임에 따라 모순이므로

모든 $b \in h(C)$는 $b \le 0$이고 $h(y) = b$인 $y\in C$가 존재하여

$0 \le h(y) = b \le 0$이므로 $b = h(y) = 0\in \{ 0\}$임에 따라 $h(C)\subseteq \{ 0\}$이다.

연속함수 정리와 위 정리로

모든 $y\in X$에 대해 $g(y) = -h(y)$인 함수 $g : X\to \mathbb{R}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R})$로의 연속함수이고

$g(x) = -h(x) < 0$과 $g(C) = h(C) \subseteq \{ 0\}$이 성립함에 따라 위상공간 정리로

$f(\{ x\})\subseteq \{ 0\}$과 $f(C) \subseteq \{ 1\}$이 성립하는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $f:X\to [0,1]$가 존재하여

$f(x) \in f(\{ x\})\subseteq \{ 0\}$이므로 $f(x) = 0$이고 $(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이다.

6.

$(X,\mathcal{T})$가 티호노프 공간일때

모든 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$는 유계이므로 $X = \emptyset$이면 $M_f = 0$으로 두고

$X\ne \emptyset$이면 완비성으로 $M_f = \sup \{|f(x)| :x\in X\} \ge 0$가 유일하게 존재하므로

$a_f = -M_f $과 $b_f = M_f$로 둘때 $a_f= - M_f \le  0\le M_f =b_f$이고

모든 $x\in X$에 대해 $|f(x)|\le M_f$임에 따라 $a_f= - M_f \le  f(x) \le M_f =b_f$가 되어 $f(x)\in [a_f,b_f]$이고 

함수의 상등과 연속함수 정리로 $f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([a_f,b_f],\mathcal{T}_{[a_f,b_f]})$로의 연속함수이다.

$(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이므로 5번으로 $(X,\mathcal{T})$는 $\{ (\mathbb{R},\mathcal{T}_\mathbb{R},\mathcal{C}_\mathbb{R})\}$의 약한위상공간이 되어

4번으로 $\{ f^{-1}(V) : (V, f)\in \mathcal{T}_\mathbb{R}\times \mathcal{C}_\mathbb{R}\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고

모든 $O\in \mathcal{T}$의 모든 $x\in O$에 대해 기저 정리로 $x\in f^{-1}(V) \subseteq O$인 $V\in \mathcal{T}_\mathbb{R}$와 $f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}$가 존재하여

모든 $y\in f^{-1}(V)$는 $f(y)\in V$이고 $f(y)\in [a_f,b_f]$이므로

$f(y)\in V\cap [a_f,b_f]$이고 $y\in f^{-1}(V\cap [a_f,b_f])$임에 따라 $f^{-1}(V)\subseteq f^{-1}(V\cap [a_f,b_f])$이고

$V\cap [a_f,b_f]\subseteq V$이므로 $f^{-1}(V\cap [a_f,b_f])\subseteq f^{-1}(V)$가 되어 집합 정리로 $f^{-1}(V)=f^{-1}(V\cap [a_f,b_f])$이고

위상공간 정리로 $V\cap [a_f,b_f]\in \mathcal{T}_\mathbb{R}|_{[a_f,b_f]}= \mathcal{T}_{[a_f,b_f]}$와 $x\in f^{-1}(V\cap [a_f,b_f]) = f^{-1}(V) \subseteq O$가 성립함에 따라 

기저 정리로 $\displaystyle \bigcup_{f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}} \{ f^{-1}(U): U\in \mathcal{T}_{[a_f,b_f]}\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

따라서 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고

위 정리로 $\{ \{f \} : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}\}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ ([a_f,b_f],\mathcal{T}_{[a_f,b_f]}) : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}\}$로 닫힌집합과 점을 분리하므로

$\{ ([a_f,b_f],\mathcal{T}_{[a_f,b_f]}) : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}\}$의 곱공간이 $(\displaystyle \prod_{f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}}[a_f,b_f],\mathcal{P})$이고

$(X,\mathcal{T})$에서 $\{ ([a_f,b_f],\mathcal{T}_{[a_f,b_f]}, f) : f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}\}$의 평가함수가 $e: X\to \displaystyle \prod_{f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}} [a_f,b_f]$일때

위 정리로 $e$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\displaystyle \prod_{f\in \mathcal{C}_\mathbb{R}}[a_f,b_f],\mathcal{P})$의 매장이다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ ([a_i,b_i] ,\mathcal{T}_{[a_i,b_i]}) : i\in I \}$의 곱공간 $(\displaystyle \prod_{i\in I}[a_i,b_i],\mathcal{P})$로의 매장이 존재하면

위 정리와 위상공간 정리로 모든 $i\in I$에 대해 $([a_i,b_i] ,\mathcal{T}_{[a_i,b_i]})$는 티호노프 공간이므로

곱공간 정리로 $(\displaystyle \prod_{i\in I}[a_i,b_i],\mathcal{P})$는 티호노프 공간이 되어

티호노프 공간의 계승적, 위상적 성질과 매장의 정의로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이다.

 

 

 

정리12(티체 확장정리[Tietze extension theorem])

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$일때

$(X,\mathcal{T})$가 정규공간이기 위한 필요충분조건은

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $A$와 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$로의 연속함수 $f:A\to \mathbb{R}$에 대해

모든 $x\in A$가 $F(x) = f(x)$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$로의 연속함수 $F:X\to \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

증명

임의의 구간 $I$에 대해

$1$차원 유클리드 거리공간 $(I,d),(\mathbb{C},d)$의 거리위상공간이 $(I,\mathcal{T}_{I}),(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$일때

$(I,d)$는 $(\mathbb{R},d)$의 부분거리공간이고 $(\mathbb{R},d)$는 $(\mathbb{C},d)$의 부분거리공간이므로

위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{\mathbb{R}}|_{I} = \mathcal{T}_{I}$이고 $\mathcal{T}_{\mathbb{C}}|_{\mathbb{R}} = \mathcal{T}_{\mathbb{R}}$이다.

$(X,\mathcal{T})$가 정규공간이면

위상공간 정리로 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$에서 $((-1,1),\mathcal{T}_{(-1,1)})$로의 위상동형사상 $\phi:\mathbb{R}\to (-1,1)$가 존재하여

연속함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $x\in A$에 대해 $g(x) = (\phi\circ f)(x) = \phi(f(x))\in (-1,1)\subseteq [-1,1]$인

함수 $g: A\to \mathbb{R}$는 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$로의 연속함수이고 $-1\le g(x)\le 1$이다.

닫힌구간 정리와 연속함수 정리로 $g^{-1}((-\infty,-\frac{1}{3}])$과 $g^{-1}([\frac{1}{3},\infty))$은 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 닫힌집합이므로

$A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라 위상공간 정리와 위상공간 정리로

$g^{-1}((-\infty,-\frac{1}{3}])$과 $g^{-1}([\frac{1}{3},\infty))$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

함수 정리로 $g^{-1}((-\infty,-\frac{1}{3}])\cap g^{-1}([\frac{1}{3},\infty)) = g^{-1}((-\infty,-\frac{1}{3}]\cap [\frac{1}{3},\infty)) = g^{-1}(\emptyset) = \emptyset$이 되어

우리손 보조정리와 위상공간 정리로 $g_1(g^{-1}((-\infty,-\frac{1}{3}])) \subseteq \{ -\frac{1}{3}\}$과 $g_1(g^{-1}([\frac{1}{3},\infty))) \subseteq \{\frac{1}{3}\}$이 성립하는

$(X,\mathcal{T})$에서 $([-\frac{1}{3},\frac{1}{3}],\mathcal{T}_{[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}]})$으로의 연속함수 $g_1:X\to [-\frac{1}{3},\frac{1}{3}]$이 존재한다.

선택 정리로 $g_1$을 선택할때 임의의 $x\in A$가

$\dfrac{1}{3}\le g(x)$이면 $g(x) \in [\frac{1}{3},\infty)$이므로 $x\in g^{-1}([\frac{1}{3},\infty))$가 되어 $g_1(x)\in g_1(g^{-1}([\frac{1}{3},\infty))) \subseteq \{\frac{1}{3}\}$임에 따라

$g_1(x) = \dfrac{1}{3}$이고 $\dfrac{1}{3}\le g(x)\le 1$이므로 $0 = \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}\le g(x) - g_1(x)\le 1-\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$이다.

$-\dfrac{1}{3}< g(x)<\dfrac{1}{3}$이면

$-\dfrac{1}{3}\le g_1(x)\le \dfrac{1}{3}$이므로 $-\dfrac{1}{3}\le -g_1(x)\le \dfrac{1}{3}$이 되어 $-\dfrac{2}{3}=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}< g(x) - g_1(x)<\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$이다.

$g(x)\le -\dfrac{1}{3}$이면

$g(x)\in (-\infty, -\frac{1}{3}]$이므로 $x\in g^{-1}((-\infty, -\frac{1}{3}])$가 되어 $g_1(x)\in g_1(g^{-1}((-\infty,-\frac{1}{3}])) \subseteq \{-\frac{1}{3}\}$임에 따라

$g_1(x) = -\dfrac{1}{3}$이고 $-1\le g(x)\le -\dfrac{1}{3}$이므로 $-\dfrac{2}{3}=-1+\dfrac{1}{3}\le g(x) - g_1(x)\le -\dfrac{1}{3} +\dfrac{1}{3} = 0$이 되어

모든 $x\in A$에 대해 $-\dfrac{2}{3}\le g(x) - g_1(x)\le \dfrac{2}{3}$임에 따라 $|g(x) - g_1(x)|\le \dfrac{2}{3}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$와 모든 $i=1,2,\cdots, k$에 대해 모든 $x\in A$가 $\displaystyle \left | g(x) - \sum_{i=1}^k g_i(x)\right |\le \left (\dfrac{2}{3}\right )^k$인

$(X,\mathcal{T})$에서 $([-\frac{2^{i-1}}{3^i},\frac{2^{i-1}}{3^i}],\mathcal{T}_{[-\frac{2^{i-1}}{3^i},\frac{2^{i-1}}{3^i}]})$으로의 연속함수 $g_i :X\to [-\frac{2^{i-1}}{3^i},\frac{2^{i-1}}{3^i}]$가 강귀납적으로 정의될때

연속함수 정리와 위 정리로 모든 $x\in A$에 대해 $\displaystyle g_0(x) = g(x) - \sum_{i=1}^k g_i(x)$인

함수 $g_0: A\to \mathbb{R}$은 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$로의 연속함수이고 $-\dfrac{2^k}{3^k}\le g_0(x) \le \dfrac{2^k}{3^k}$이다.

닫힌구간 정리와 연속함수 정리로 $g_0^{-1}((-\infty,-\frac{2^k}{3^{k+1}}])$과 $g_0^{-1}([\frac{2^k}{3^{k+1}},\infty))$은 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 닫힌집합이므로

$A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라 위상공간 정리와 위상공간 정리로

$g_0^{-1}((-\infty,-\frac{2^k}{3^{k+1}}])$과 $g_0^{-1}([\frac{2^k}{3^{k+1}},\infty))$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

함수 정리로 $g_0^{-1}((-\infty,-\frac{2^k}{3^{k+1}}])\cap g_0^{-1}([\frac{2^k}{3^{k+1}},\infty)) = g_0^{-1}((-\infty,-\frac{2^k}{3^{k+1}}]\cap [\frac{2^k}{3^{k+1}},\infty)) = g_0^{-1}(\emptyset) = \emptyset$이 되어

우리손 보조정리와 위상공간 정리와 선택 정리로

$g_{k+1}(g_0^{-1}((-\infty,-\frac{2^k}{3^{k+1}}])) \subseteq \{ -\frac{2^k}{3^{k+1}}\}$과 $g_{k+1}(g_0^{-1}([\frac{2^k}{3^{k+1}},\infty))) \subseteq \{\frac{2^k}{3^{k+1}}\}$이 성립하는

$(X,\mathcal{T})$에서 $([-\frac{2^k}{3^{k+1}},\frac{2^k}{3^{k+1}}],\mathcal{T}_{[-\frac{2^k}{3^{k+1}},\frac{2^k}{3^{k+1}}]})$으로의 연속함수 $g_{k+1}:X\to [-\frac{2^k}{3^{k+1}},\frac{2^k}{3^{k+1}}]$을 선택할때 임의의 $x\in A$가

$\dfrac{2^k}{3^{k+1}}\le g_0(x)$이면 $g_0(x) \in [\frac{2^k}{3^{k+1}},\infty)$이므로

$x\in g_0^{-1}([\frac{2^k}{3^{k+1}},\infty))$가 되어 $g_{k+1}(x)\in g_{k+1}(g_0^{-1}([\frac{2^k}{3^{k+1}},\infty))) \subseteq \{\frac{2^k}{3^{k+1}}\}$임에 따라

$g_{k+1}(x) = \dfrac{2^k}{3^{k+1}}$이고 $\dfrac{2^k}{3^{k+1}}\le g_0(x)\le \dfrac{2^k}{3^k}$이므로

$0 = \dfrac{2^k}{3^{k+1}}-\dfrac{2^k}{3^{k+1}}\le g_0(x) - g_{k+1}(x)\le \dfrac{2^k}{3^k}-\dfrac{2^k}{3^{k+1}} = \dfrac{2^k}{3^k}\cdot \left (1-\dfrac{1}{3}\right ) = \dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}}$이다.

$-\dfrac{2^k}{3^{k+1}}< g_0(x)<\dfrac{2^k}{3^{k+1}}$이면

$-\dfrac{2^k}{3^{k+1}}\le g_{k+1}(x)\le \dfrac{2^k}{3^{k+1}}$이므로 $-\dfrac{2^k}{3^{k+1}}\le -g_{k+1}(x)\le \dfrac{2^k}{3^{k+1}}$이 되어 

$-\dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}}=-\dfrac{2^k}{3^{k+1}}-\dfrac{2^k}{3^{k+1}}< g_0(x) - g_{k+1}(x)<\dfrac{2^k}{3^{k+1}} + \dfrac{2^{k}}{3^{k+1}} = \dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}}$이다.

$g_0(x)\le -\dfrac{2^k}{3^{k+1}}$이면 $g_0(x)\in (-\infty, -\frac{2^k}{3^{k+1}}]$이므로

$x\in g_0^{-1}((-\infty, -\frac{2^k}{3^{k+1}}])$가 되어 $g_{k+1}(x)\in g_{k+1}(g_0^{-1}((-\infty,-\frac{2^k}{3^{k+1}}])) \subseteq \{-\frac{2^k}{3^{k+1}}\}$임에 따라

$g_{k+1}(x) = -\dfrac{2^k}{3^{k+1}}$이고 $-\dfrac{2^k}{3^k}\le g_0(x)\le -\dfrac{2^k}{3^{k+1}}$이므로

$-\dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}} =\dfrac{2^k}{3^k}\cdot \left ( -1 + \dfrac{1}{3} \right )=-\dfrac{2^k}{3^k}+\dfrac{2^k}{3^{k+1}}\le g_0(x) - g_{k+1}(x)\le -\dfrac{2^k}{3^{k+1}} +\dfrac{2^k}{3^{k+1}} = 0$이 되어

모든 $x\in A$에 대해 $-\dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}}\le g_0(x) - g_{k+1}(x)\le \dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}}$임에 따라

$\displaystyle \left | g(x) - \sum_{i=1}^{k+1}g_i(x)\right |= \left| \left (g(x) - \sum_{i=1}^k g_i(x) \right ) -g_{k+1}(x) \right | = |g_0(x) - g_{k+1}(x)|\le \dfrac{2^{k+1}}{3^{k+1}} = \left ( \dfrac{2}{3}\right)^{k+1}$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

강귀납적으로 정의된 $(X,\mathcal{T})$에서 $([-\frac{2^{n-1}}{3^n},\frac{2^{n-1}}{3^n}],\mathcal{T}_{[-\frac{2^{n-1}}{3^n},\frac{2^{n-1}}{3^n}]})$으로의 연속함수 $g_n : X\to [-\frac{2^{n-1}}{3^n},\frac{2^{n-1}}{3^n}]$은

급수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n\dfrac{2^{k-1}}{3^k}\right)_{n=1}^\infty$이 급수열 정리와 수열 정리로 

$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\dfrac{2^{k-1}}{3^k}= \dfrac{1}{2}\cdot \sum_{k=1}^\infty \dfrac{2^k}{3^k} = \dfrac{1}{2}\cdot \left (\sum_{k=0}^\infty\dfrac{2^k}{3^k} - \dfrac{2^0}{3^0}\right ) = \dfrac{1}{2}\cdot \left (\dfrac{1}{1-\frac{2}{3}} -1\right ) = \dfrac{1}{2}\cdot (3 -1) = 1$임에 따라

연속함수 정리와 위 정리로 모든 $x\in X$에 대해 $G(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^\infty g_k(x)$인

$(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$로의 연속함수 $G:X\to \mathbb{R}$가 존재하여 $|G(x)|\le 1$이고

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 모든 $x\in A$가 $\displaystyle \left | g(x) - \sum_{k=1}^{n}g_k(x)\right |\le \left ( \dfrac{2}{3}\right)^n$이므로

수열 정리와 수열 정리로 $G(x) = \displaystyle \sum_{k=1}^\infty g_k(x) = g(x)$이다.

$A\cap G^{-1}(\{ -1,1\})\ne \emptyset$이라고 가정하면 $x\in A\cap G^{-1}(\{ -1,1\})$가 존재하여 $x\in A$이고 $|G(x)| = 1$인데

$g(x) = \phi(f(x))\in (-1,1)$이므로 $-1<g(x)<1$이 되어 $1=|G(x)| = |g(x)| < 1$임에 따라 모순이다.

$A\cap G^{-1}(\{ -1,1\})= \emptyset$이고 위 정리와 위상공간 정리와 $T_1$공간 정리로 $\{ -1,1\}$은 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$에서 닫힌집합이므로

연속함수 정리로 $G^{-1}(\{ -1,1\})$이 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

우리손 보조정리로 $h(G^{-1}(\{ -1,1\}))\subseteq \{ 0\}$이고 $h(A)\subseteq \{1\}$인

$(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $h:X\to [0,1]$가 존재한다.

위상동형사상의 정의로 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1} : (-1,1)\to \mathbb{R}$는 $((-1,1),\mathcal{T}_{(-1,1)})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$로의 연속함수이고 

임의의 $x\in X$에 대해

$|G(x)| = 1$이면 $x\in G^{-1}(\{-1,1\})$이 되어 $h(x) = 0$이므로 $h(x)\cdot G(x) = 0$이고 

$|G(x)| \ne 1$이면 $|G(x)| < 1$이고 $0\le h(x)\le 1$이므로 $-1< h(x)\cdot G(x) < 1$이 되어

연속함수 정리와 위 정리와 연속함수 정리로

모든 $x\in X$에 대해 $F(x) = \phi^{-1}(h(x)\cdot G(x))$인 함수 $F:X\to \mathbb{R}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$로의 연속함수이고

모든 $x\in A$에 대해 $F(x) = \phi^{-1}(h(x)\cdot G(x)) = \phi^{-1}(1\cdot g(x)) = \phi^{-1}(\phi(f(x))) = f(x)$이다.

역으로 조건이 성립하면

$C\cap D= \emptyset$인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C ,D$에 대해 위상공간 정리로 $C\cup D$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

연속함수 정리와 연속함수 정리로 모든 $x\in C\cup D$에 대해 $f(x) =\begin{cases} 0& x\in C\text{일때}\\[0.5em] 1 & x\in D\text{일때} \end{cases}$인

함수 $f:C\cup D\to \mathbb{R}$는 $(C\cup D, \mathcal{T}|_{C\cup D})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$로의 연속함수가 되어

모든 $x\in C\cup D$에 대해 $F(x) = f(x)$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{T}_{\mathbb{R}})$로의 연속함수 $F:X\to \mathbb{R}$가 존재하고

$F(C)\subseteq \{ 0\}$과 $F(D)\subseteq \{1\}$이 성립함에 따라 위상공간 정리와 우리손 보조정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정규공간이다.

 

 

 

정의4

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,\infty)$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$이고

$(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수들의 임의의 집합족이 $\mathcal{F}$일때

함수족의 합 :

임의의 $x\in X$에 대해 $\{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0 \}$가 유한집합이면 $x$에서 $\mathcal{F}$의 합 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$를

$\{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0 \}$가 공집합일때 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = 0$으로 정의하고

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0 \}$가 $n$개의 원소를 가질때

$\{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0 \} = \{ f_1,f_2,\cdots,f_n\}$인 $f_1,f_2,\cdots, f_n\in \mathcal{F}$에 대해 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}} f(x) = \sum_{i=1}^n f_i(x)$로 정의한다.

함수족의 점유한 :

모든 $x\in X$에 대해 $\{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0 \}$가 유한집합이면 $\mathcal{F}$가 $X$에서 점유한이라고 정의한다.

함수의 지지집합(support) :

임의의 $f\in \mathcal{F}$에 대해

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f) =$ $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}$$(\{ x\in X: f(x)\ne 0\}) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f^{-1}((0,\infty)) )$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $f$의 지지집합으로 정의한다.

함수족의 국소유한 :

모든 $x\in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여

$\{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$가 유한집합이면 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이라 정의한다.

열린덮개의 종속(subordinate) :

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개가 $\mathcal{O}$일때

모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\subseteq O_f$인 $O_f\in \mathcal{O}$가 존재하면 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{O}$의 종속이라고 정의한다.

단위분할(partition of unity) :

$\mathcal{F}$가 $X$에서 점유한이고 모든 $x\in X$에 대해 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = 1$이면 $\mathcal{F}$를 $(X,\mathcal{T})$에서 단위분할로 정의한다.

 

 

 

정리13

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,\infty)$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$일때

$(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수들의 임의의 집합족 $\mathcal{F}$와 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $A\subseteq X$의 모든 $x\in A$에 대해 $\{ f\in \mathcal{F}:f(x)\ne 0\}\subseteq \{ f\in \mathcal{F} : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$이다.

2. $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면 $\mathcal{F}$는 $X$에서 점유한이다.

3. 임의의 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{P}(X)$의 모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}$$(\Phi(U))\subseteq U$인 전사함수 $\Phi: \mathcal{U}\to \mathcal{F}$가 존재할때

$\mathcal{U}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이면 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

4. 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $A\subseteq X$에 대해 $\{ f\in \mathcal{F} : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$가 $n$개의 원소를 갖는 유한집합일때

임의의 $f_1,f_2,\cdots, f_n\in \mathcal{F}$에 대해 $\{ f\in \mathcal{F} : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\} = \{ f_1,f_2,\cdots, f_n\}$이면

모든 $x\in A$에 대해 $x$에서 $\mathcal{F}$의 합은 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) =\sum_{i=1}^n f_i(x)$이다.

5. $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한일때

모든 $x\in X$에 대해 $F(x) =\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$인 함수 $F:X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

6. 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 임의의 $f_1,f_2,\cdots,f_n\in \mathcal{F}$이 $i\ne j$인 모든 $i,j=1,2,\cdots,n$에 대해 $f_i\ne f_j$일때

$\{ f\in \mathcal{F}:f(x)\ne 0\}$이 유한집합인 임의의 $x\in X$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=1}^nf_i(x)\le \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$이다.

증명

1.

임의의 $x\in A$에 대해 $f(x)\ne 0$인 모든 $f\in \mathcal{F}$는 $f(x) \in (0,\infty)$임에 따라 폐포 정리와 지지집합의 정의로

$x\in f^{-1}((0,\infty))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f^{-1}((0,\infty) )) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)$가 되어 $x\in A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)$이므로

$A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset$가 되어 $\{ f\in \mathcal{F}:f(x)\ne 0\}\subseteq \{ f\in \mathcal{F} : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$이다.

2.

국소유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$는 유한집합이고

$x\in O$임에 따라 1번으로 $\{ f\in \mathcal{F}:f(x)\ne 0\}\subseteq \{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$이므로

유한집합 정리로 $\{f\in \mathcal{F}:f(x)\ne 0\}$는 유한집합이 되어 $\mathcal{F}$는 $X$에서 점유한이다.

3.

국소유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\mathcal{U}(O) =\{ U\in \mathcal{U} : O\cap U\ne \emptyset\}$는 유한집합이고

$O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset$인 모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 전사함수의 정의로 $f =\Phi(U)$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

$O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f) = O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(\Phi(U))\subseteq O\cap U$이므로 $O\cap U\ne \emptyset$임에 따라 $U\in \mathcal{U}(O)$이고

$\{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\} \subseteq \{ \Phi(U) : U\in \mathcal{U}(O)\}$가 되어

함수 정리와 유한집합 정리로 $\{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\} $는 유한집합이므로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

4.

$\mathcal{F}(A)=\{ f\in \mathcal{F} : A\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$이고 임의의 $x\in A$에 대해 $\mathcal{F}(x) = \{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0\}$일때

1번으로 $\mathcal{F}(x) \subseteq \mathcal{F}(A)$가 되어 유한집합 정리로 $\mathcal{F}(x)$는 $0\le k\le n$인 $k\in \mathbb{N}$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

$\mathcal{F}(x) = \emptyset$이면 모든 $i =1,2,\cdots,n$에 대해 $f_i\notin \emptyset = \mathcal{F}(x)$이므로

$f_i(x) = 0$이 되어 함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = 0= \sum_{i=1}^n f_i(x)$이다.

$\mathcal{F}(x) \ne \emptyset$이면 $\mathcal{F}(x) = \{ f_{n_1}, f_{n_2},\cdots,f_{n_k}\}$인 $n_1,n_2,\cdots,n_k\in \{1,2,\cdots, n\}$가 존재하여

모든 $i \in \{ 1,2,\cdots, n\}\setminus \{ n_1,n_2,\cdots,n_k\}$는 $f_i\notin \mathcal{F}(x)$이므로 $f_i(x) = 0$임에 따라

함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = \sum_{j=1}^k f_{n_j}(x) = \sum_{i=1}^nf_i(x)$이다.

5.

임의의 $O\in \mathcal{T}$에 대해 $\mathcal{F}(O)=\{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$일때

$\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{T} : \mathcal{F}(O)\text{는 유한집합}\}$이면 모든 $O\in \mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $O\subseteq X$가 되어 $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}\subseteq X$이고

국소유한의 정의로 모든 $x \in X$에 대해 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\mathcal{F}(O)$는 유한집합이므로

$x\in O\in \mathcal{O}$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$임에 따라 집합 정리로 $X=\displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이다.

모든 $O\in \mathcal{O}$에 대해 함수 $F_O : O\to [0,\infty)$가 모든 $x\in O$에 대해 $\mathcal{F}(O) = \emptyset$이면 $F_O(x) = 0$이고

어떤 $n_O\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\mathcal{F}(O)$가 $n_O$개의 원소를 갖는 유한집합이면

$\mathcal{F}(O) = \{f_1,f_2,\cdots, f_{n_O} \}$인 $f_1,f_2,\cdots,f_{n_O}\in \mathcal{F}$에 대해 $F_O(x) = \displaystyle \sum_{i=1}^{n_O}f_i(x)$일때

연속함수 정리와 연속함수 정리와 유클리드 거리공간의 정의와 위상공간 정리와 위 정리로

$F_O$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

임의의 $U,V\in \mathcal{O}$가 $U\subseteq V$이면 모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\subseteq V\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)$이므로 $\mathcal{F}(U)\subseteq \mathcal{F}(V)$가 되어 

모든 $x\in U$에 대해 $\mathcal{F}(U) = \emptyset$이고 $\mathcal{F}(V) = \emptyset$일때 $F_U(x) = 0 =F_V(x)$이고

$\mathcal{F}(U) = \emptyset$이고 $\mathcal{F}(V) = \{ f_1,f_2,\cdots, f_{n_V}\}$일때 모든 $i = 1,2,\cdots, n_V$에 대해 $f_i\notin \emptyset = \mathcal{F}(U)$이므로

폐포 정리와 지지집합의 정의로 $U\cap \{ x\in X:f_i(x)\ne 0\}\subseteq U\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_i) = \emptyset$이 되어

$U\cap \{ x\in X:f_i(x)\ne 0\}= \emptyset$이고 $f_i(x) = 0$임에 따라 $F_U(x) = 0 = \displaystyle \sum_{i=1}^{n_V}f_i(x) = F_V(x)$이고

$\mathcal{F}(U) = \{ f_{m_1},f_{m_2},\cdots, f_{m_{n_U}}\}$이고 $\mathcal{F}(V) = \{ f_1,f_2,\cdots, f_{n_V}\}$일때

모든 $i \in \{ 1,2,\cdots, n_V \}\setminus \{ m_1,m_2,\cdots, m_{n_U}\}$에 대해

$f_i\notin \mathcal{F}(U)$임에 따라 $f_i(x) = 0$이므로 $F_U(x) = \displaystyle \sum_{j=1}^{n_U} f_{m_j}(x) = \sum_{i=1}^{n_V}f_i(x) = F_V(x)$이다.

임의의 $U,V\in \mathcal{O}$에 대해 위상공간의 정의로 $U\cap V\in \mathcal{T}$이고

$U\cap V\subseteq U$와 $U\cap V\subseteq V$가 성립함에 따라 $\mathcal{F}(U\cap V)\subseteq \mathcal{F}(U)\cap \mathcal{F}(V)$이므로

유한집합 정리로 $U\cap V\in \mathcal{O}$가 되어 모든 $x\in U\cap V$에 대해 $F_U(x) = F_{U\cap V}(x) = F_V(x)$이고

연속함수 정리로 모든 $O\in \mathcal{O}$의 모든 $x\in O$에 대해 $F(x) = F_O(x)$가 되는

함수 $F:X\to [0,\infty)$가 존재하여 $F$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

모든 $x\in X = \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$에 대해 $x\in O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하여 

$\mathcal{F}(O) = \emptyset$이면 1번으로 $\{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0\} \subseteq \mathcal{F}(O) = \emptyset$ 임에 따라

$\{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0\} = \emptyset$이므로 함수족의 합의 정의로 $F(x) =F_O(x) = 0 = \displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$이고

$\mathcal{F}(O) = \{ f_1,f_2,\cdots, f_{n_O}\}$이면 4번으로 $F(x) =F_O(x)  = \displaystyle \sum_{i=1}^{n_O}f_i(x) = \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$이다.

6.

$\mathcal{F}_x = \{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0\}$일때

$i\ne j$인 모든 $i,j=1,2,\cdots,n$에 대해 $f_i\ne f_j$이므로 $\{ f_1,f_2,\cdots, f_n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $f_i\notin \mathcal{F}_x$이면 $f_i(x)= 0$이므로 함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{i=1}^nf_i(x)=0 \le \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$이다.

$f_i\in \mathcal{F}_x$인 $i =1,2,\cdots,n$가 존재하면

$\{ f_1,f_2,\cdots, f_n\}\cap \mathcal{F}_x$는 유한집합 정리로 $q \le n$인 어떤 $q\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이므로

어떤 $g_1,g_2,\cdots, g_q\in \mathcal{F}$에 대해

$\{ f_1,f_2,\cdots, f_n\}\cap \mathcal{F}_x = \{ g_1,g_2,\cdots,g_q\}\subseteq \mathcal{F}_x$가 되어 함수족의 합의 정의로 $\displaystyle \sum_{j=1}^qg_j(x) \le \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$이다.

$\{ g_1,g_2,\cdots,g_q\}\subseteq \{ f_1,f_2,\cdots,f_n\}$임에 따라

$q=n$이면 유한집합 정리로 $\{ f_1,f_2,\cdots,f_n\} = \{ g_1,g_2,\cdots,g_q\}$이므로 $\displaystyle \sum_{i=1}^nf_i(x) =\sum_{j=1}^qg_j(x) \le \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$이고

$q<n$이면

$\{ f_1,f_2,\cdots,f_n\} \setminus \{ g_1,g_2,\cdots,g_q\}$는 유한집합 정리로 $r =n-q\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어

어떤 $h_1,h_2,\cdots, h_r\in \mathcal{F}$에 대해 집합 정리로

$\{ f_1,f_2,\cdots, f_n\}\setminus \mathcal{F}_x =\{ f_1,f_2,\cdots,f_n\}\setminus (\{ f_1,f_2,\cdots,f_n\}\cap \mathcal{F}_x) = \{ f_1,f_2,\cdots,f_n\} \setminus \{ g_1,g_2,\cdots,g_q\} = \{ h_1,h_2,\cdots, h_r\}\text{ 이므로}$

모든 $k=1,2,\cdots,r$에 대해 $h_k\notin \mathcal{F}_x$임에 따라 $h_k(x) = 0$이고

$\displaystyle \sum_{i=1}^nf_i(x) = \sum_{j=1}^qg_j(x) + \sum_{k=1}^rh_k(x) =\sum_{j=1}^qg_j(x) \le \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$이다.

 

 

 

정리16

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 파라콤팩트 공간이고 정규공간이면 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 단위분할 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{O}$의 종속이다.

증명

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,\infty)$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$일때

파라콤팩트 공간의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{W}$가 존재하여 $\mathcal{W}$는 $\mathcal{O}$의 세분이고

국소유한 정리로 $\mathcal{W}$가 $X$에서 점유한임에 따라

열린덮개 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{W}$의 수축인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{V}$가 존재하므로

국소유한 정리로 $\mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고 국소유한 정리로 $\mathcal{V}$는 $X$에서 점유한이므로

열린덮개 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{V}$의 수축인 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{U}$가 존재하여

국소유한 정리로 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한임에 따라 수축의 정의와 폐포 정리로

모든 $W\in \mathcal{W}$에 대해 $\phi(W)\subseteq\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\phi(W))\subseteq W$인 전사함수 $\phi:\mathcal{W}\to \mathcal{V}$가 존재하고

모든 $V\in \mathcal{V}$에 대해 $\psi(V)\subseteq\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(V))\subseteq V$인 전사함수 $\psi :\mathcal{V}\to \mathcal{U}$가 존재하여

$\psi(\phi(W))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(\phi(W))) \subseteq \phi(W)\subseteq\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\phi(W))\subseteq W$이다.

폐포 정리로 모든 $W\in \mathcal{W}$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(\phi(W)))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

열린덮개의 정의와 위상공간 정리로 $X\setminus \phi(W)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

집합 정리로 $(X\setminus \phi(W))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(\phi(W))) \subseteq (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(\phi(W))))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(\phi(W))) = \emptyset$임에 따라

$(X\setminus \phi(W))\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(\phi(W))) = \emptyset$이 되어

선택 정리와 우리손 보조정리와 유클리드 거리공간의 정의와 위상공간 정리와 연속함수 정리로

$f_W(X\setminus \phi(W))\subseteq \{0\}$이고 $f_W(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(\phi(W))))\subseteq \{ 1\}$이 되는

$(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수 $f_W: X\to [0,\infty)$를 선택한다.

$\mathcal{F} = \{ f_W:W\in \mathcal{W}\}$일때 모든 $W\in \mathcal{W}$에 대해 $\Phi(W) = f_W$인 함수 $\Phi : \mathcal{W}\to \mathcal{F}$는 전사이고

$f_W(x)\ne 0$인 어떤 $x\in X$가 존재하여 $x\notin \phi(W)$라고 가정하면 

$x\in X\setminus \phi(W)$이므로 $f_W(x)\in f_W(X\setminus\phi(W) )\subseteq \{ 0\}$이고 $f_W(x) = 0$임에 따라 모순이 되어 

$f_W(x)\ne 0$인 모든 $x\in X$는 $x\in \phi(W)$이고 $\{ x\in X : f_W(x) \ne 0 \}\subseteq \phi(W)$이므로

지지집합의 정의와 폐포 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(\Phi(W)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_W) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\{x\in X: f_W(x)\ne 0\})\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\phi(W))\subseteq W$임에 따라

위 정리로 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고

모든 $x\in X$에 대해 $F(x) =\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x)$인 함수 $F: X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

열린덮개의 정의로 모든 $x\in X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$에 대해 $x\in U$인 $U\in \mathcal{U}$가 존재하여

전사의 정의로 $U = \psi(V)$인 $V\in \mathcal{V}$가 존재하고 $V = \phi(W)$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하므로

$x\in U = \psi(V) = \psi(\phi(W))\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(\phi(W)))\subseteq W$가 되어

$f_W(x) \in f_W(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\psi(\phi(W))))\subseteq \{ 1\}$임에 따라 위 정리로 $F(x) =\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) \ge f_W(x) = 1 > 0$이다.

연속함수 정리와 유클리드 거리공간의 정의와 위상공간 정리와 위 정리로 

모든 $W\in \mathcal{W}$와 모든 $x\in X$에 대해 $g_W(x) = \dfrac{f_W(x)}{F(x)}$인

함수 $g_W:X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

$F(x)\ne 0$임에 따라 $g_W(x)\ne 0$이기 위한 필요충분조건은 $f_W(x)\ne 0$인 것이므로

$\{ x\in X : g_W(x)\ne 0\}=\{x\in X:f_W(x)\ne 0\}$이 되어 지지집합의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g_W) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_W)\subseteq W$이고

$\mathcal{G} = \{ g_W:W\in \mathcal{W}\}$일때 위 정리로 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 모든 $x\in X$가 $g(x) = \dfrac{f(x)}{F(x)}$인

함수 $g:X\to [0,\infty)$에 대해 $\Psi(f) = g$인 함수 $\Psi :\mathcal{F}\to \mathcal{G}$를 정의할때

$F(x)\ne 0$임에 따라 $\{ x\in X : f(x)\ne 0\}=\{x\in X:g(x)\ne 0\}$가 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g)$이고

모든 $g\in \mathcal{G}$에 대해 $g=g_W$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하여 $f_W\in \mathcal{F}$에 대해

$g(x) = g_W(x) = \dfrac{f_W(x)}{F(x)}$이므로 $g = g_W = \Psi(f_W)$임에 따라 $\Psi$는 전사이고

$g_1=\Psi(f_1) = \Psi(f_2) = g_2$인 임의의 $f_1,f_2\in \mathcal{F}$에 대해 $\dfrac{f_1(x)}{F(x)}=g_1(x) = g_2(x)=\dfrac{f_2(x)}{F(x)}$가 되어

$f_1(x) = f_2(x)$이므로 $f_1 = f_2$임에 따라 $\Psi$는 단사이다.

모든 $x\in X$에 대해 $x\in W$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하여 $f_W\in \mathcal{F}$가 $f_W(x) = 1$이므로 

국소유한의 정의로 $\{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$가 유한집합인 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하고

$f_W\in \{ f\in \mathcal{F} : W\cap O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}\subseteq \{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$임에 따라

어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots,n$에 대해 $f_i\ne f_j$인 $f_1,f_2,\cdots, f_n\in \mathcal{F}$이 존재하고

$\{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\} = \{ f_1,f_2,\cdots, f_n\}$이므로 위 정리로 $F(x) = \displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = \sum_{i=1}^n f_i(x)$이고

$g_i = \Psi(f_i)$에 대해 $g_i\ne g_j$와 $\{ g\in \mathcal{G} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g)\ne \emptyset\} = \{ g_1,g_2,\cdots, g_n\}$이 성립하여

위 정리로 $\displaystyle \sum_{g\in \mathcal{G}}g(x) = \sum_{i=1}^n g_i(x)$임에 따라

$\displaystyle \sum_{g\in \mathcal{G}}g(x) = \sum_{i=1}^n g_i(x) = \sum_{i=1}^n \dfrac{f_i(x)}{F(x)} = \dfrac{1}{F(x)} \cdot \sum_{i=1}^nf_i(x) = \dfrac{1}{F(x)}\cdot F(x) = 1$이고 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 단위분할이다.

모든 $g\in \mathcal{G}$에 대해 $g=g_W$인 $W\in \mathcal{W}$가 존재하여 세분의 정의로 $W\subseteq O$인 $O\in \mathcal{O}$가 존재하므로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g_W)\subseteq W\subseteq O$가 되어 $\mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{O}$의 종속이다.

 

 

 

정리14

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간일때 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간이다.

2. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 단위분할 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{O}$의 종속이다.

3. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해

$(X,\mathcal{T})$에서 단위분할 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{O}$의 종속이다.

증명

$1\to 2$

파라콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정규공간이므로 위 정리로 성립한다.

$2\to 3$

자명하게 성립한다.

$3\to 1$

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,\infty)$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$일때

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$의 임의의 $x\in X\setminus C$에 대해

$T_1$공간 정리로 $\{ x\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 $\{X\setminus \{x\},X\setminus C \}\subseteq \mathcal{T}$이고 임의의 $y\in X$에 대해

$x = y$이면 $y=x\in X\setminus C$와 $x\ne y$이면 $y\in X\setminus \{ x\}$가 성립하여 $y\in (X\setminus \{ x\})\cup (X\setminus C)$이므로

$X\subseteq (X\setminus \{x\})\cup (X\setminus C) = \displaystyle \bigcup \{ X\setminus \{x\},X\setminus C\}$이고 $\{ X\setminus \{ x\},X\setminus C\}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

$(X,\mathcal{T})$에서 단위분할 $\mathcal{H}$가 존재하여 $\mathcal{H}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\{ X\setminus \{ x\},X\setminus C\}$의 종속이고

단위분할의 정의로 $\displaystyle \sum_{h\in \mathcal{H}}h(x) =1\ne 0$이므로 함수족의 합의 정의로 $h(x)\ne 0$인 $h\in \mathcal{H}$가 존재함에 따라

폐포 정리와 지지집합의 정의와 종속의 정의로 

$x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(h) \subseteq O$인 $O\in \{ X\setminus \{ x\},X\setminus C\}$가 존재하여 $O = X\setminus C$이다.

집합 정리와 집합 정리와 지지집합의 정의와 함수 정리로

$\begin{align*}C & = X\setminus (X\setminus C) = X\setminus O \\[0.5em]& \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(h) = X\setminus h^{-1}((0,\infty)) = h^{-1}([0,\infty))\setminus h^{-1}((0,\infty)) = h^{-1}([0,\infty)\setminus (0,\infty)) = h^{-1}(\{0\})\text{ 이므로}\end{align*}$

함수 정리로 $h(C) \subseteq h(h^{-1}(\{ 0\})) \subseteq \{ 0\} $과 $h(\{ x\}) = \{ h(x)\}$가 성립하고 $0< h(x)$임에 따라 $-h(x)<0$이므로

연속함수 정리와 유클리드 거리공간의 정의와 위상공간 정리와 위 정리와 연속함수 정리로

$(X,\mathcal{T})$는 완비정칙공간이고 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간임에 따라 

$(X,\mathcal{T})$는 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이 되어 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 하우스도르프 공간이고 정칙공간이다.

임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개 $\mathcal{O}$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 단위분할 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{O}$의 종속이고

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 위상공간 정리로 $(\frac{1}{n},\infty)$는 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$에서 열린집합이므로

모든 $f\in \mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수임에 따라

연속함수 정리로 $f^{-1}((\frac{1}{n},\infty))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어 $\mathcal{U}_n = \{ f^{-1}((\frac{1}{n},\infty)): f\in \mathcal{F}\}$은 $\mathcal{U}_n \subseteq \mathcal{T}$이다.

단위분할의 정의로 임의의 $x\in X$에 대해 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = 1\ne 0$이므로

함수족의 합의 정의로 어떤 $m_x\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\{f \in \mathcal{F} :f(x)\ne 0 \}$가 $m_x$개의 원소를 갖는 유한집합임에 따라

$\{f \in \mathcal{F} :f(x)\ne 0 \} = \{ f_1,f_2,\cdots,f_{m_x}\}$인 $f_1,f_2,\cdots f_{m_x}\in \mathcal{F}$가 존재하고 $\displaystyle 1 =\sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = \sum_{i=1}^{m_x}f_i(x)$이다.

연속함수 정리와 유클리드 거리공간의 정의와 위상공간 정리와 위 정리로

모든 $y\in X$에 대해 $\displaystyle F_x(y) = \sum_{i=1}^{m_x}f_i(y)$인 함수 $F_x : X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 위상공간 정리로 $(1-\frac{1}{n},\infty)$는 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$에서 열린집합이므로

$F_x(x) = 1\in (1-\frac{1}{n},\infty)$임에 따라 $x\in F_x^{-1}((1-\frac{1}{n},\infty))$가 되어

연속함수 정리로 $F_x^{-1}((1-\frac{1}{n},\infty))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

$\mathcal{F}_x = \{ f\in \mathcal{F} : f^{-1}((\frac{1}{n},\infty))\cap F_x^{-1}((1-\frac{1}{n},\infty))\ne \emptyset \}$일때

$U_n\cap F_x^{-1}((1-\frac{1}{n},\infty)) \ne \emptyset$인 모든 $U_n\in \mathcal{U}_n$은 $U_n = f_0^{-1}((\frac{1}{n},\infty))$인 $f_0\in \mathcal{F}$이 존재하여 $f_0\in \mathcal{F}_x$이고 

$y\in U_n\cap F_x^{-1}((1-\frac{1}{n},\infty)) = f_0^{-1}((\frac{1}{n},\infty))\cap F_x^{-1}((1-\frac{1}{n},\infty))$가 존재하므로

$f_0(y)\in (\frac{1}{n},\infty)$와 $F_x(y)\in (1-\frac{1}{n},\infty)$가 성립하여 $\dfrac{1}{n}< f_0(y)$이고 $1-\dfrac{1}{n} < F_x(y) = \displaystyle \sum_{i=1}^{m_x}f_i(y)$인데

$f_0\notin \{ f_1,f_2,\cdots,f_{m_x}\}$라고 가정하면 위 정리와 단위분할의 정의로

$1=\dfrac{1}{n} +1-\dfrac{1}{n} < f_0(y) + \displaystyle \sum_{i=1}^{m_x}f_i(y)\le \sum_{f\in \mathcal{F}}f(y) = 1$임에 따라 모순이므로 $f_0\in \{ f_1,f_2,\cdots,f_{m_x}\}$이고 

$\mathcal{F}_x \subseteq \{ f_1,f_2,\cdots,f_{m_x}\}$가 되어 유한집합 정리로 $\mathcal{F}_x$는 유한집합이고 

$\{ U_n\in \mathcal{U}_n : U_n\cap F_x^{-1}((1-\frac{1}{n},\infty))\ne \emptyset\} \subseteq \{ f^{-1}((\frac{1}{n},\infty)) : f\in \mathcal{F}_x \}$이므로 

함수 정리와 유한집합 정리로 $\{ U_n\in \mathcal{U}_n : U_n\cap F_x^{-1}((1-\frac{1}{n},\infty))\ne \emptyset\}$이 유한집합임에 따라

$\mathcal{U}_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이다.

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 $\{ \mathcal{U}_n : n\in \mathbb{Z}^+\}$은 가산집합이므로

$\mathcal{U} = \displaystyle \bigcup_{n=1}^\infty\mathcal{U}_n$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $\sigma$-국소유한이고 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}$이다.

단위분할의 정의로 임의의 $x\in X$에 대해 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = 1\ne 0$이므로 $f(x)\ne 0$인 $f\in \mathcal{F}$가 존재하여

$0< f(x)$임에 따라 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}< f(x)$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고 $x\in f^{-1}((\frac{1}{n},\infty))\in \mathcal{U}_n\subseteq \mathcal{U}$이므로

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$가 되어 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{U}$이고 $\mathcal{U}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

모든 $U\in \mathcal{U}$에 대해 $U\in \mathcal{U}_n$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $U = f^{-1}((\frac{1}{n},\infty))$인 $f\in \mathcal{F}$가 존재하므로

폐포 정리와 지지집합의 정의와 종속의 정의로

$U = f^{-1}((\frac{1}{n},\infty))\subseteq f^{-1}((0,\infty)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(f^{-1}((0,\infty))) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f) \subseteq O_f$인 $O_f\in \mathcal{O}$가 존재하여

$\mathcal{U}$가 $\mathcal{O}$의 세분임에 따라 파라콤팩트 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 파라콤팩트 공간이다.

 

 

 

정리15

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간이고 파라콤팩트 공간일때

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,\infty)$$,d)$의 거리위상공간 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$와 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해

임의의 $\mathcal{C}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한이고 모든 $C\in \mathcal{C}$에 대해 임의의 $\epsilon_C\in (0,\infty)$가 유일하게 존재하면

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수 $G:X\to [0,\infty)$가 존재하여

모든 $x\in X$에 대해 $G(x) > 0$이고 모든 $C\in \mathcal{C}$의 모든 $x\in C$에 대해 $G(x)\le \epsilon_C$이다.

증명

임의의 $O\in \mathcal{T}$에 대해 $\mathcal{C}(O) = \{ C\in \mathcal{C} : O\cap C\ne \emptyset\}$일때 $\mathcal{O} = \{ O\in \mathcal{T}: \mathcal{C}(O)\text{는 유한집합}\}$이면

국소유한의 정의로 모든 $x \in X$에 대해 $\mathcal{C}(O)$가 유한집합인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여

$x\in O\in \mathcal{O}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$이고 $X\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$임에 따라 $\mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $X$의 열린덮개이다.

위 정리로 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한인 $(X,\mathcal{T})$에서 단위분할 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $\mathcal{O}$의 종속이므로

선택 정리로 모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\subseteq O_f$인 $O_f\in \mathcal{O}$를 선택할때 $\mathcal{C}(O_f) = \emptyset$이면 $\delta_f = 1$이고

$\mathcal{C}(O_f) \ne \emptyset$이면 함수 정리와 최소원소 정리로 $\delta_f = \min\{ \epsilon_C : C\in \mathcal{C}(O_f)\} > 0$인 $\delta_f\in (0,\infty)$를 정의한다.

모든 $f\in \mathcal{F}$에 대해 함수 $g_f:X\to [0,\infty)$가 모든 $x\in X$에 대해 $g_f(x) = \delta_f \cdot f(x)$로 정의되면

연속함수 정리와 유클리드 거리공간의 정의와 위상공간 정리와 위 정리로

$g_f$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

$\delta_f \ne 0$임에 따라 $g_f(x)\ne 0$이기 위한 필요충분조건은 $f(x)\ne 0$인 것이므로

$\{ x\in X : g_f(x)\ne 0\}=\{x\in X:f(x)\ne 0\}$이 되어 지지집합의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g_f) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\subseteq O_f$이다.

$\mathcal{G} = \{ g_f:f\in \mathcal{F}\}$일때 국소유한의 정의로 모든 $x\in X$에 대해

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $O$가 존재하여 $\mathcal{F}(O) = \{ f\in \mathcal{F} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f)\ne \emptyset\}$는 유한집합이고

$O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g)\ne \emptyset$인 모든 $g\in \mathcal{G}$는 $g =g_f$인 $f\in \mathcal{F}$가 존재하므로

$O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f) =O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g_f) =O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g)\ne \emptyset$임에 따라 $f\in \mathcal{F}(O)$가 되어

$\{ g\in \mathcal{G} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g)\ne \emptyset\} \subseteq \{ g_f:f\in \mathcal{F}(O)\}$이고

함수 정리와 유한집합 정리로 $\{ g\in \mathcal{G} : O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(g)\ne \emptyset\} $는 유한집합이므로 $\mathcal{G}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 국소유한임에 따라

위 정리로 $G(x) = \displaystyle \sum_{g\in \mathcal{G}}g(x)$인 함수 $G:X\to [0,\infty)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,\infty),\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이다.

단위분할의 정의로 모든 $x\in X$에 대해 $\displaystyle \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = 1\ne 0$임에 따라 $f(x)\ne 0$인 $f\in \mathcal{F}$가 존재하여

$g_f(x) = \delta_f\cdot f(x) > 0$이므로 위 정리로 $G(x) = \displaystyle \sum_{g\in \mathcal{G}}g(x)\ge g_f(x) > 0$이다.

모든 $C\in \mathcal{C}$의 모든 $x\in C$에 대해 $\mathcal{F}_x = \{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0\}$일때

단위분할의 정의로 $\mathcal{F}_x\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{F}_x$가 어떤 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이면

$\{ f\in \mathcal{F} : f(x)\ne 0\} = \{ f_1,f_2,\cdots, f_n\}$인 $f_1,f_2,\cdots, f_n\in \mathcal{F}$이 존재하고

$\mathcal{G}_x = \{ g\in \mathcal{G} : g(x)\ne 0\}$일때 모든 $g\in \mathcal{G}_x$는 $g=g_f$인 $f\in \mathcal{F}$가 존재하여

$\delta_f\cdot f(x) =g_f(x)=g(x)\ne 0$이므로 $\delta_f\ne 0$임에 따라 $f(x)\ne 0$이고 $f\in \mathcal{F}_x$가 되어 $\mathcal{G}_x\subseteq \{ g_f:f\in \mathcal{F}_x\}$이므로

함수 정리와 유한집합 정리로 $\mathcal{G}_x$가 $k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합임에 따라

$\mathcal{G}_x = \{ g_{f_{n_1}}, g_{f_{n_2}},\cdots, g_{f_{n_k}}\}$인 $n_1,n_2,\cdots,n_k\in \{ 1,2,\cdots,n\}$가 존재한다.

$i\ne j$인 어떤 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 $n_i = n_j$라고 가정하면

$f_{n_i} = f_{n_j}$이므로 $g_{f_{n_i}} = g_{f_{n_j}}$임에 따라 유한집합의 정의에 모순이 되어

 $i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 $n_i \ne n_j$이고 유한집합의 정의로 $f_{n_i}\ne f_{n_j}$이다.

모든 $j = 1,2,\cdots, k$에 대해 폐포 정리와 지지집합의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{supp}}(f_{n_j})\subseteq O_{f_{n_j}}$이므로 $x\in O_{f_{n_j}}\cap C$이고

$O_{f_{n_j}}\cap C\ne \emptyset$이 되어 $C\in \mathcal{C}(O_{f_{n_j}})$이므로 최소원소의 정의로 $\delta_{f_{n_j}} \le \epsilon_C$임에 따라

위 정리와 단위분할의 정의와 함수족의 합의 정의로

$\begin{align*}G(x) &= \sum_{g\in \mathcal{G}}g(x) =\sum_{j=1}^k g_{f_{n_j}}(x) =\sum_{j=1}^k \delta_{f_{n_j}}\cdot f_{n_j}(x)\\[0.5em]& \le \sum_{j=1}^k \epsilon_C\cdot f_{n_j}(x) = \epsilon_C \cdot \sum_{j=1}^k f_{n_j}(x)\\[0.5em]&\le  \epsilon_C\cdot \sum_{f\in \mathcal{F}}f(x) = \epsilon_C \cdot 1 = \epsilon_C\text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/119#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/119#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797

James Munkres - Topology - 9788120320468

Ernest Michael - A note on paracompact spaces - DOI: 10.1090/S0002-9939-1953-0056905-8