위상적 성질(Topological property)과 계승적 성질(Hereditary property)

정의1

위상적 성질 :

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대한 명제함수가 $P$일때

$P(\,(X,\mathcal{T}_X)\,) $ $\equiv$ $ \mathbf{T}$이면 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $P(\,(Y,\mathcal{T}_Y)\,) \equiv \mathbf{T}$가 되는

성질 $P$를 위상적 성질이라 정의한다.

계승적 성질 :

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대한 명제함수가 $P$일때

$P(\,(X,\mathcal{T})\,) \equiv \mathbf{T}$이면 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간인 모든 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에 대해 $P(\,(Y,\mathcal{T}|_Y)\,) \equiv \mathbf{T}$가 되는

성질 $P$를 계승적 성질이라 정의한다.

 

 

 

정리1

위상공간의 분해가능성은 위상적 성질이다.

증명

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 분해가능하면

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 조밀집합이고 가산집합인 $E\subseteq X$가 존재하여

연속함수 정리와 함수 정리로 $f(E)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀집합이고 가산집합이므로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 분해가능하다.

 

 

 

정리2

위상공간의 제1,2가산성은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

제1가산성은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 제1가산공간이면

위상동형사상의 정의와 전사의 정의로 모든 $y\in Y$에 대해 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여 

제1가산공간의 정의로 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T}_X)$의 국소기저 $\mathcal{A}_x$가 존재하고 $\mathcal{A}_x$는 가산집합이다.

치환 공리로 집합 $\mathcal{B}_{f(x)} = \{ f(A) : A\in \mathcal{A}_x\}$가 존재하여 모든 $A\in \mathcal{A}_x\subseteq \mathcal{T}_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이므로

위상동형사상 정리로 $f(A)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합임에 따라 $f(A)\in \mathcal{T}_Y$가 되어 $\mathcal{B}_{f(x)}\subseteq\mathcal{T}_Y$이고

모든 $A\in \mathcal{A}_x$에 대해 $F(A) = f(A)$인 함수 $F:\mathcal{A}_x \to \mathcal{B}_{f(x)}$를 정의하면

정의로부터 $F$는 전사이고 함수 정리로 $F(\mathcal{A}_x) = \mathcal{B}_{f(x)}$이므로 함수 정리로 $F(\mathcal{A}_x) = \mathcal{B}_{f(x)}$는 가산집합이다.

모든 $B\in \mathcal{B}_{f(x)}$는 $B = f(A)$인 $A\in \mathcal{A}_x$가 존재하여 국소기저의 정의로 $x\in A$이므로 $f(x)\in f(A) = B$이다.

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $f(x)$의 열린근방 $V$에 대해

연속함수 정리로 $f(U)\subseteq V$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여

국소기저의 정의로 $A\subseteq U$인 $A\in \mathcal{A}_x$가 존재하므로 $f(A)\subseteq f(U) \subseteq V$이고 $f(A)\in \mathcal{B}_{f(x)}$임에 따라 

$\mathcal{B}_{f(x)}$는 $y=f(x)$에 대한 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 국소기저가 되어 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 제1가산공간이다.

제1가산성은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간이면

모든 $y\in Y$는 $y\in Y\subseteq X$이므로 $y$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{A}_y$가 존재하고 $\mathcal{A}_y$는 가산집합이다.

치환 공리로 집합 $\mathcal{B}_{y} = \{ A\cap Y : A\in \mathcal{A}_y\}$가 존재하여 모든 $A\in \mathcal{A}_y\subseteq \mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

위상공간 정리로 $A\cap Y$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합임에 따라 $A\cap Y\in \mathcal{T}|_Y$이고 $\mathcal{B}_y\subseteq\mathcal{T}|_Y$가 되어

모든 $A\in \mathcal{A}_x$에 대해 $F(A) = A\cap Y$인 함수 $F:\mathcal{A}_y \to \mathcal{B}_{y}$를 정의하면

정의로부터 $F$는 전사이고 함수 정리로 $F(\mathcal{A}_y) = \mathcal{B}_{y}$이므로 함수 정리로 $F(\mathcal{A}_y) = \mathcal{B}_{y}$는 가산집합이다.

모든 $B\in \mathcal{B}_y$에 대해

$B = A\cap Y$인 $A\in \mathcal{A}_y$가 존재하여 $y\in Y$이고 국소기저의 정의로 $y\in A$이므로 $y\in A\cap Y = B$이다.

모든 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방 $V$에 대해 위상공간 정리로 $V = U\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $U$가 존재하여

국소기저의 정의로 $A\subseteq U$인 $A\in \mathcal{A}_y$가 존재하므로 $A\cap Y \in \mathcal{B}_y$이고 $A\cap Y \subseteq U\cap Y = V$임에 따라

$\mathcal{B}_{y}$는 $y$에 대한 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 국소기저가 되어 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 제1가산공간이다.

제2가산성은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 제2가산공간이면

$(X,\mathcal{T}_X)$의 기저 $\mathcal{A}$가 존재하여 $\mathcal{A}$는 가산집합이다.

치환 공리로 집합 $\mathcal{B}= \{ f(A) : A\in \mathcal{A}\}$가 존재하여 모든 $A\in \mathcal{A}\subseteq \mathcal{T}_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이므로

위상동형사상 정리로 $f(A)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합임에 따라 $f(A)\in \mathcal{T}_Y$가 되어 $\mathcal{B}\subseteq\mathcal{T}_Y$이고

모든 $A\in \mathcal{A}$에 대해 $F(A) = f(A)$인 함수 $F:\mathcal{A} \to \mathcal{B}$를 정의하면

정의로부터 $F$는 전사이고 함수 정리로 $F(\mathcal{A}) = \mathcal{B}$임에 따라 함수 정리로 $F(\mathcal{A}) = \mathcal{B}$는 가산집합이다.

모든 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$는 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}_Y$이므로 위상공간의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S}\in \mathcal{T}_Y$가 되어 $\{ \bigcup \mathcal{S}:\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\} \subseteq \mathcal{T}_Y$이다.

임의의 $O\in \mathcal{T}_Y$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이므로 연속함수 정리로 $f^{-1}(O)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이 되어

$f^{-1}(O) \in \mathcal{T}_X$이고 기저의 정의로 $f^{-1}(O) = \displaystyle \bigcup \mathcal{R}$인 $\mathcal{R}\subseteq \mathcal{A}$이 존재하므로

모든 $A\in \mathcal{R} \subseteq \mathcal{A}$에 대해 $f(A)\in \mathcal{B}$임에 따라

전사 정리와 함수 정리로 $\displaystyle O = f(f^{-1}(O)) = f(\bigcup \mathcal{R})=f(\bigcup_{A\in \mathcal{R}}A )= \bigcup_{A\in \mathcal{R}} f(A)\in \left \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B} \right \}$가 되어 

$\mathcal{T}_Y \subseteq \{ \bigcup \mathcal{S}:\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\} $이고 집합 정리로 $\mathcal{T}_Y =\{ \bigcup \mathcal{S}:\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\} $이므로

$\mathcal{B}$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 기저임에 따라 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 제2가산공간이다.

제2가산성은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이면

$(X,\mathcal{T}_X)$의 기저 $\mathcal{A}$가 존재하여 $\mathcal{A}$는 가산집합이다.

치환 공리로 집합 $\mathcal{B} = \{ A\cap Y : A\in \mathcal{A}\}$가 존재하여 위상공간 정리로 $\mathcal{B}$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 기저이고

모든 $A\in \mathcal{A}$에 대해 $F(A) = A\cap Y$인 함수 $F:\mathcal{A} \to \mathcal{B}$를 정의하면

정의로부터 $F$는 전사이고 함수 정리로 $F(\mathcal{A}) = \mathcal{B}$이므로 함수 정리로 $F(\mathcal{A}) = \mathcal{B}$가 가산집합임에 따라

$(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 제2가산공간이다.

 

 

 

정리3

위상공간의 $T_0$성질은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

$T_0$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_0$공간이면

$y_1\ne y_2$인 임의의 $y_1,y_2\in Y$에 대해

전단사의 정의로 $f(x_1) = y_1\ne y_2 = f(x_2)$인 $x_1,x_2\in X$가 존재하여 $x_1\ne x_2$이므로

$x_1\in O$과 $x_2\notin O$가 성립하거나 $x_1\notin O$과 $x_2\in O$가 성립하는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $O$가 존재한다.

일반성을 잃지 않고 $x_1\in O$이고 $x_2\notin O$라고 가정할때

$f(x_2)\in f(O)$라고 가정하면 $f(x_2) = f(x)$인 $x\in O$가 존재하여 단사의 정의로 $x_2 =x \in O$임에 따라 모순이므로

$y_1=f(x_1)\in f(O)$와 $y_2 = f(x_2)\notin f(O)$가 성립하고

위상동형사상 정리로 $f(O)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합임에 따라 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_0$공간이다.

$T_0$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 $T_0$공간이면

$x\ne y$인 임의의 $x,y\in Y$는 $x,y\in Y\subseteq X$이므로 

$x\in O$과 $y \notin O$가 성립하거나 $x\notin O$과 $y \in O$가 성립하는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 존재하여

위상공간 정리로 $O\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이다.

일반성을 잃지 않고 $x\in O$이고 $y \notin O$라고 가정할때

$y\in O\cap Y$라고 가정하면 $y\in O$가 되어 모순이므로 $x\in Y$임에 따라 $x\in O\cap Y$와 $y \notin O\cap Y$가 성립하여

$(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_0$공간이다.

 

 

 

정리4

위상공간의 콤팩트성은 위상적 성질이다.

증명

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 콤팩트공간이면

위상동형사상의 정의와 콤팩트공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 콤팩트공간이다.

 

 

 

정리5

위상공간의 $T_1,T_{1\frac{1}{3}},T_{1\frac{2}{3}}$성질은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

$T_1$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_1$공간이면

$y_1\ne y_2$인 임의의 $y_1,y_2\in Y$에 대해

전단사의 정의로 $f(x_1) = y_1\ne y_2 = f(x_2)$인 $x_1,x_2\in X$가 존재하여 $x_1\ne x_2$이므로

$x_1\in U$과 $x_2\notin U$가 성립하고 $x_1\notin V$과 $x_2\in V$가 성립하는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $U,V$가 존재한다.

상의 정의와 단사의 정의로

$y_1=f(x_1)\in f(U)$과 $y_2=f(x_2)\notin f(U)$가 성립하고 $y_1=f(x_1)\notin f(V)$과 $y_2 = f(x_2)\in f(V)$가 성립하므로

위상동형사상 정리로 $f(U),f(V)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합임에 따라 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이다.

$T_1$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 $T_1$공간이면

$x\ne y$인 임의의 $x,y\in Y$는 $x,y\in Y\subseteq X$이므로 

$x\in U$와 $y\notin U$가 성립하고 $x\notin V$와 $y \in V$가 성립하는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

위상공간 정리로 $U\cap Y, V\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이고 $x,y\in Y$임에 따라

$x\in U\cap Y$와 $y\notin U\cap Y$가 성립하고 $x\notin V\cap Y$와 $y \in V\cap Y$가 성립하여 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_1$공간이다.

$T_{1\frac{1}{3}}$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이면

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하여 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이므로

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 수렴하는 $Y$의 수열 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $x,y\in Y$로 수렴할때

수열 정리로 $X$의 수열 $(f^{-1}(y_n))_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $f^{-1}(x),f^{-1}(y)\in X$로 수렴하고

$T_{1\frac{1}{3}}$공간의 정의로 $f^{-1}(x) = f^{-1}(y)$임에 따라 역함수 정리와 단사의 정의로 $x = y$가 되어 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이다.

$T_{1\frac{1}{3}}$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이면

모든 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 수렴하는 $Y$의 수열 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $x,y\in Y$로 수렴할때

$Y\subseteq X$이므로 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$은 $X$의 수열이고

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$와 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V$에 대해 

위상공간 정리로 $U\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $x$의 열린근방이고 $V\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이므로

수렴의 정의로

$n\ge N_U\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $y_n \in U\cap Y$이 되는 $N_U\in \mathbb{N}$가 존재하여

$y_n \in U\cap Y\subseteq U$임에 따라 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$로 수렴하고

$n\ge N_V\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $y_n \in V\cap Y$이 되는 $N_V\in \mathbb{N}$가 존재하여

$y_n \in V\cap Y\subseteq V$임에 따라 $(y_n)_{n=n_0}^\infty$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$로 수렴하므로

$T_{1\frac{1}{3}}$공간의 정의로 $x = y$가 되어 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_{1\frac{1}{3}}$공간이다.

$T_{1\frac{2}{3}}$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_{1\frac{2}{3}}$공간이면

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하여 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이므로

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트집합 $E$에 대해 콤팩트 정리로 $f^{-1}(E)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트이고

$T_{1\frac{2}{3}}$공간의 정의로 $f^{-1}(E)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합임에 따라

전사 정리와 위상동형사상 정리로 $E=f(f^{-1}(E))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합이 되어 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_{1\frac{2}{3}}$공간이다.

$T_{1\frac{2}{3}}$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 $T_{1\frac{2}{3}}$공간이면

모든 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 콤팩트집합 $E$에 대해 콤팩트 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합이므로 

$T_{1\frac{2}{3}}$공간의 정의로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이 되어 $E\subseteq Y$임에 따라 

집합 정리와 위상공간 정리로 $E = E\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 닫힌집합이고 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_{1\frac{2}{3}}$공간이다.

 

 

 

정리6

위상공간의 $T_2,T_{2\frac{1}{2}}$성질은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

$T_2$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_2$공간이면

$y_1\ne y_2$인 임의의 $y_1,y_2\in Y$에 대해

전단사의 정의로 $f(x_1) = y_1\ne y_2 = f(x_2)$인 $x_1,x_2\in X$가 존재하여 $x_1\ne x_2$이므로

$U\cap V = \emptyset$이 되는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x_1$의 열린근방 $U$와 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x_2$의 열린근방 $V$가 존재한다.

위상동형사상 정리로 $f(U),f(V)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고

상의 정의로 $y_1= f(x_1)\in f(U)$와 $y_2 =f(x_2)\in f(V)$가 성립하여

$f(U)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y_1$의 열린근방이고 $f(V)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y_2$의 열린근방이므로

단사 정리와 상의 정의로 $f(U) \cap f(V) = f(U\cap V) = f(\emptyset) = \emptyset$임에 따라 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_2$공간이다.

$T_2$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 $T_2$공간이면

$x\ne y$인 임의의 $x,y\in Y$는 $x,y\in Y\subseteq X$이므로 

$U\cap V = \emptyset$이 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$와 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V$가 존재하여

위상공간 정리로 $U\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $x$의 열린근방이고 $V\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방임에 따라

$(U\cap Y)\cap (V\cap Y) = (U\cap V) \cap Y = \emptyset \cap Y = \emptyset$이고 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_2$공간이다.

$T_{2\frac{1}{2}}$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이면

$y_1\ne y_2$인 임의의 $y_1,y_2\in Y$에 대해

전단사의 정의로 $f(x_1) = y_1\ne y_2 = f(x_2)$인 $x_1,x_2\in X$가 존재하여 $x_1\ne x_2$이므로

$\underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(U)\cap \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(V) = \emptyset$이 되는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x_1$의 열린근방 $U$와 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $x_2$의 열린근방 $V$가 존재한다.

위상동형사상 정리로 $f(U),f(V)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고

상의 정의로 $y_1= f(x_1)\in f(U)$와 $y_2 =f(x_2)\in f(V)$가 성립하여

$f(U)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y_1$의 열린근방이고 $f(V)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $y_2$의 열린근방이다.

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하여 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이므로

역함수 정리로 $f^{-1}$이 전단사임에 따라 함수 정리와 연속함수 정리와 단사 정리로

$ \begin{align*} f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U)) \cap \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(V))) &= f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U))) \cap f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(V))) \\[0.5em] & \subseteq \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(f^{-1}(f(U)))\cap \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(f^{-1}(f(V))) = \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(U)\cap \underset{(X,\mathcal{T}_X)}{\operatorname{cl}}(V) = \emptyset \text{ 이고} \end{align*}$

집합 정리로 $f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U)) \cap \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(V)) )= \emptyset$이므로

전사 정리와 상의 정의로 $\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U)) \cap \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(V))= f(f^{-1}(\underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(U)) \cap \underset{(Y,\mathcal{T}_Y)}{\operatorname{cl}}(f(V))) )= f(\emptyset) = \emptyset$이 되어

$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이다.

$T_{2\frac{1}{2}}$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이면

$x\ne y$인 임의의 $x,y\in Y$는 $x,y\in Y\subseteq X$이므로 

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V) = \emptyset$이 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$와 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V$가 존재하여

위상공간 정리로 $U\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $x$의 열린근방이고 $V\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이다.

위상공간 정리와 폐포 정리로

$ \begin{align*} \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(U\cap Y)\cap \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(V\cap Y) & = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U\cap Y)\cap Y)\cap (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V\cap Y) \cap Y) \\[0.5em] & \subseteq (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\cap Y)\cap (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V) \cap Y) = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(V)) \cap Y = \emptyset\cap Y = \emptyset \text{ 이므로}\end{align*}$

집합 정리로 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(U\cap Y)\cap \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(V\cap Y) = \emptyset $이 되어 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_{2\frac{1}{2}}$공간이다.

 

 

 

정리7

위상공간의 가산 콤팩트성, 점렬 콤팩트성, 극한점 콤팩트성, 린델뢰프 성질은 위상적 성질이다.

증명

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$가 가산 콤팩트공간 또는 점렬 콤팩트공간 또는 극한점 콤팩트공간 또는 린델뢰프 공간이면

위상동형의 정의와 위상공간 정리로

$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 가산 콤팩트공간 또는 점렬 콤팩트공간 또는 극한점 콤팩트공간 또는 린델뢰프 공간이다.

 

 

 

정리8

위상공간의 국소 콤팩트성은 위상적 성질이다.

증명

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$가 국소 콤팩트공간이면 국소 콤팩트공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 국소 콤팩트공간이다.

 

 

 

정리9

위상공간의 연결성과 경로연결성은 위상적 성질이다.

증명

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$가 연결공간 또는 경로연결공간이면

위상동형의 정의와 연결공간 정리와 경로연결공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 연결공간 또는 경로연결공간이다.

 

 

 

정리10

위상공간의 국소 연결성과 국소 경로연결성은 위상적 성질이다.

증명

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$가 국소 연결공간 또는 국소 경로연결공간이면

국소 연결공간 정리와 국소 경로연결공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 국소 연결공간 또는 국소 경로연결공간이다.

 

 

 

정리11

위상공간의 정칙성과 완비정칙성은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

정칙성은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 정칙공간이면

임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $y\in Y\setminus C$에 대해 전사의 정의로 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여 

$f(x) = y\in Y\setminus C$이므로 함수 정리로 $x\in f^{-1}(Y\setminus C) = f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(C) = X\setminus f^{-1}(C)$이고

연속함수 정리로 $f^{-1}(C)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합임에 따라

$x\in U$와 $f^{-1}(C)\subseteq V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $U,V$가 존재한다.

$y = f(x) \in f(U)$와 전사 정리로 $C=f(f^{-1}(C))\subseteq f(V)$가 성립하고

단사 정리로 $f(U)\cap f(V) =f(U\cap V) = f(\emptyset)= \emptyset$이므로

위상동형사상 정리로 $f(U),f(V)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합임에 따라 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 정칙공간이다.

정칙성은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 정칙공간이면

모든 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $y\in Y\setminus C$는 

위상공간 정리로 $C = D\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $D$가 존재하여

집합 정리로 $y\in Y\setminus C = Y\setminus (Y\cap D) = Y\cap (X\setminus D)\subseteq X\setminus D$이므로

$y\in U$와 $D\subseteq V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U,V$가 존재한다.

위상공간 정리로 $U\cap Y, V\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이고 $y\in Y$임에 따라

$y\in U\cap Y$와 $C =D\cap Y \subseteq V\cap Y$가 성립하고 $(U\cap Y)\cap (V\cap Y) = U\cap V\cap Y = \emptyset\cap Y = \emptyset$이 되어

$(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 정칙공간이다.

완비정칙성은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 완비정칙공간이면

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하여 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이고

임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $y\in Y\setminus C$에 대해

역함수 정리와 함수 정리로 $f^{-1}(y)\in f^{-1}(Y\setminus C) = f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(C) = X\setminus f^{-1}(C)$이므로

연속함수 정리로 $f^{-1}(C)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합임에 따라

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,1]$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_d)$일때

$\phi(f^{-1}(y)) = 0$과 $\phi(f^{-1}(C)) \subseteq \{ 1\}$이 성립하는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $([0,1],\mathcal{T}_d)$로의 연속함수 $\phi :X\to [0,1]$가 존재하여

연속함수 정리로 $\phi \circ f^{-1} : Y\to [0,1]$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $([0,1],\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

$(\phi\circ f^{-1})(y)=\phi(f^{-1}(y)) = 0$과 함수 정리로 $(\phi\circ f^{-1})(C) =\phi(f^{-1}(C)) \subseteq \{ 1\}$이 성립하므로

$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 완비정칙공간이다.

완비정칙성은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 완비정칙공간이면

모든 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 닫힌집합 $C$의 모든 $y\in Y\setminus C$는 

위상공간 정리로 $C = D\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $D$가 존재하여

집합 정리로 $y\in Y\setminus C = Y\setminus (Y\cap D) = Y\cap (X\setminus D)\subseteq X\setminus D$이므로

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,1]$$,d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_d)$일때

$\phi(y) = 0$과 $\phi(D) \subseteq \{ 1\}$이 성립하는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_d)$로의 연속함수 $\phi :X\to [0,1]$가 존재하고

연속함수 정리로 축소함수 $\phi|_Y : Y\to [0,1]$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $([0,1],\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이므로

$y\in Y$와 $C\subseteq Y$가 성립하여 $\phi|_Y(y)=\phi(y) = 0$과 $\phi|_Y(C) = \phi(C) = \phi(D\cap Y) \subseteq \phi(D) \subseteq \{ 1\}$이 성립함에 따라

$(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 완비정칙공간이다.

 

 

 

정리12

위상공간의 $T_3,T_{3\frac{1}{2}}$성질은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

$T_3$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_3$공간이면 $(X,\mathcal{T}_X)$는 $T_1$공간이고 정칙공간이므로

위 정리와 위 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이고 정칙공간이 되어 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_3$공간이다.

$T_3$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때

$(X,\mathcal{T})$가 $T_3$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 정칙공간이므로

위 정리와 위 정리로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_1$공간이고 정칙공간이 되어 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_3$공간이다.

$T_{3\frac{1}{2}}$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이면 $(X,\mathcal{T}_X)$는 $T_1$공간이고 완비정칙공간이므로

위 정리와 위 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이고 완비정칙공간이 되어 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이다.

$T_{3\frac{1}{2}}$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때

$(X,\mathcal{T})$가 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 완비정칙공간이므로

위 정리와 위 정리로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_1$공간이고 완비정칙공간이 되어 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_{3\frac{1}{2}}$공간이다.

 

 

 

정리13

위상공간의 정규성과 $T_4$성질은 위상적 성질이다.

증명

정규성은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 정규공간이면

$C\cap D = \emptyset$인 임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합 $C,D$에 대해

연속함수 정리로 $f^{-1}(C), f^{-1}(D)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이고

함수 정리로 $f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D) = f^{-1}(C\cap D) = f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$이므로

정규공간의 정의로 $f^{-1}(C)\subseteq U$와 $f^{-1}(D)\subseteq V$가 성립하고 $U\cap V = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합 $U,V$가 존재하여

전사 정리로 $C = f(f^{-1}(C))\subseteq f(U)$와 $D = f(f^{-1}(D))\subseteq f(V)$가 성립하고

단사 정리로 $f(U)\cap f(V) =f(U\cap V) = f(\emptyset)= \emptyset$이므로

위상동형사상 정리로 $f(U),f(V)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합임에 따라 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 정규공간이다.

$T_4$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_4$공간이면 $(X,\mathcal{T}_X)$는 $T_1$공간이고 정규공간이므로

위 정리와 정규성의 위상적 성질로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이고 정규공간이 되어 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_4$공간이다.

 

 

 

정리14

위상공간의 완비정규성과 $T_5$성질은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

완비정규성은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 완비정규공간이면

$(Y,\mathcal{T}_Y)$의 임의의 부분위상공간 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$에 대해

완비정규공간 정리로 $(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(f^{-1}(F),\mathcal{T}_X|_{f^{-1}(F)})$는 정규공간이고

위상동형사상 정리로 모든 $x\in f^{-1}(F)$에 대해 $h(x) = f(x)$인

함수 $h:f^{-1}(F)\to F$는 $(f^{-1}(F),\mathcal{T}_X|_{f^{-1}(F)})$에서 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$로의 위상동형사상이 되어

위 정리로 $(F,\mathcal{T}_Y|_F)$는 정규공간이고 완비정규공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 완비정규공간이다.

완비정규성은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 완비정규공간이면

$(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 임의의 부분위상공간 $(Z, (\mathcal{T}|_Y)|_Z)$에 대해 $Z\subseteq Y\subseteq X$이므로 위상공간 정리로 $(\mathcal{T}|_Y)|_Z = \mathcal{T}|_Z$가 되어

$(Z, (\mathcal{T}|_Y)|_Z) = (Z,\mathcal{T}|_Z)$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간임에 따라 완비정규공간 정리로 $(Z, (\mathcal{T}|_Y)|_Z)$는 정규공간이고

완비정규공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 완비정규공간이다.

$T_5$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_5$공간이면 $(X,\mathcal{T}_X)$는 $T_1$공간이고 완비정규공간이므로

위 정리와 완비정규성의 위상적 성질로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이고 완비정규공간이 되어 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_5$공간이다.

$T_5$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때

$(X,\mathcal{T})$가 $T_5$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 완비정규공간이므로

위 정리와 완비정규성의 계승적 성질로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_1$공간이고 완비정규공간이 되어 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_5$공간이다.

 

 

 

정리15

위상공간의 완전정규성과 $T_6$성질은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

완전정규성은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 완전정규공간이면

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하여 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이고

$C\cap D = \emptyset$인 임의의 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 닫힌집합 $C,D$에 대해

연속함수 정리로 $f^{-1}(C), f^{-1}(D)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 닫힌집합이므로

함수 정리로 $f^{-1}(C)\cap f^{-1}(D) = f^{-1}(C\cap D) = f^{-1}(\emptyset)=\emptyset$임에 따라

$1$차원 유클리드 거리공간 $($$[0,1]$$,d)$의 거리위상공간 $([0,1],\mathcal{T}_d)$에 대해

완전정규공간의 정의로 $f^{-1}(C)=\phi^{-1}(\{ 0\})$이고 $f^{-1}(D) = \phi^{-1}(\{1\})$인

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $([0,1],\mathcal{T}_d)$로의 연속함수 $\phi:X\to [0,1]$가 존재하여

연속함수 정리로 $\phi\circ f^{-1} : Y\to [0,1]$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $([0,1],\mathcal{T}_d)$로의 연속함수이고

전사 정리와 함수 정리와 함수 정리로

$C =f(f^{-1}(C)) = f(\phi^{-1}(\{ 0\})) = (f^{-1})^{-1}(\phi^{-1}(\{0\})) = (\phi\circ f^{-1})^{-1}(\{ 0\})$과

$D =f(f^{-1}(D)) = f(\phi^{-1}(\{ 1\})) = (f^{-1})^{-1}(\phi^{-1}(\{1\})) = (\phi\circ f^{-1})^{-1}(\{ 1\})$이 성립하므로

$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 완전정규공간이다.

완전정규성은 계승적

$1$차원 유클리드 거리공간 $([0,1],d),(\mathbb{C},d)$의 거리위상공간이 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]}),(\mathbb{C},\mathcal{T}_\mathbb{C})$일때

$([0,1],d)$는 $(\mathbb{C},d)$의 부분거리공간이므로 위상공간 정리로 $\mathcal{T}_{\mathbb{C}}|_{[0,1]} = \mathcal{T}_{[0,1]}$이다.

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 완전정규공간이면

$A\cap B = \emptyset$인 임의의 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 닫힌집합 $A, B$에 대해

위상공간 정리로 $A = C\cap Y$이고 $B = D\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C,D$가 존재하여

$C\cap \emptyset = \emptyset = D\cap \emptyset$이므로 위상공간 정리로 $\emptyset$이 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

$C = \phi^{-1}(\{ 0 \})$와 $\emptyset = \phi^{-1}(\{ 1 \})$이 성립하고

$D = \psi^{-1}(\{0\})$와 $\emptyset = \psi^{-1}(\{1\})$이 성립하는 $(X,\mathcal{T})$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수 $\phi,\psi :X\to [0,1]$가 존재한다.

모든 $y\in Y$에 대해

$y \in A$이면 집합 정리로 $y \in A\subseteq Y\setminus B = Y\setminus (Y\cap D) = Y\cap (X\setminus D)$이므로

함수 정리로 $y\in X\setminus D = \psi^{-1}([0,1]) \setminus \psi^{-1}(\{0\}) =\psi^{-1}([0,1]\setminus \{ 0\}) =\psi^{-1}((0,1])$이 되어

$\psi(y)\in (0,1]$임에 따라 $0 < \psi(y) \le \phi(y) + \psi(y)$이고

$y\notin A$이면 집합 정리로 $y \in Y\setminus A = Y\setminus (Y\cap C) = Y\cap (X\setminus C)$이므로

함수 정리로 $y\in X\setminus C = \phi^{-1}([0,1]) \setminus \phi^{-1}(\{0\}) =\phi^{-1}([0,1]\setminus \{ 0\}) =\phi^{-1}((0,1])$이 되어

$\phi(y)\in (0,1]$임에 따라 $0 < \phi(y) \le \phi(y) + \psi(y)$이고

모든 $y\in Y$에 대해 $\phi(y)\le \phi(y)+\psi(y)$임에 따라 $0\le \dfrac{\phi(y)}{\phi(y)+\psi(y)}\le 1$이므로 연속함수 정리와 연속함수 정리로

$\varphi(y)= \dfrac{\phi(y)}{\phi(y)+\psi(y)}$인 함수 $\varphi :Y\to [0,1]$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $([0,1],\mathcal{T}_{[0,1]})$로의 연속함수이다.

모든 $y\in A = C\cap Y \subseteq C = \phi^{-1}(\{0\})$는 $\phi(y) = 0$이므로

$\varphi(y) = \dfrac{\phi(y)}{\phi(y) + \psi(y)} = 0\in \{0\}$이 되어 $y\in \varphi^{-1}(\{ 0\})$임에 따라 $A\subseteq \varphi^{-1}(\{ 0\})$이고 

모든 $y\in \varphi^{-1}(\{ 0\})\subseteq Y$는 $\dfrac{\phi(y)}{\phi(y)+\psi(y)} = \varphi(y) = 0$이므로 $\phi(y) = 0$인데

$y\notin A$이면 $\phi(y)\ne 0$임에 따라 모순이 되어 $y\in A$이고 $\varphi^{-1}(\{ 0\})\subseteq A$이므로 집합 정리로 $A=\varphi^{-1}(\{ 0\})$이다.

모든 $y\in B \subseteq Y$는 $y\in B = D\cap Y \subseteq D = \psi^{-1}(\{0\})$이므로 $\psi(y) = 0$이고

집합 정리로 $y \in B\subseteq Y\setminus A$이므로 $y\notin A$임에 따라 $\phi(y)\ne 0$이 되어 

$\varphi(y) = \dfrac{\phi(y)}{\phi(y)+\psi(y)} = \dfrac{\phi(y)}{\phi(y)} = 1\in \{1\}$이고 $y\in \varphi^{-1}(\{1\})$이므로 $B\subseteq \varphi^{-1}(\{ 1\})$이고

모든 $y\in \varphi^{-1}(\{1\})\subseteq Y$에 대해 $\dfrac{\phi(y)}{\phi(y)+\psi(y)} = \varphi(y) = 1$이므로 $\phi(y) = \phi(y) + \psi(y)$가 되어 $\psi(y) = 0$인데

$y\notin B$이면 $\psi(y)\ne 0$임에 따라 모순이 되어 $y\in B$이고 $\varphi^{-1}(\{ 1\})\subseteq B$이므로 집합 정리로 $B=\varphi^{-1}(\{ 1\})$이다.

따라서 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 완전정규공간이다.

$T_6$성질은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$가 $T_6$공간이면 $(X,\mathcal{T}_X)$는 $T_1$공간이고 완전정규공간이므로

위 정리와 완전정규성의 위상적 성질로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_1$공간이고 완전정규공간이 되어 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 $T_6$공간이다.

$T_6$성질은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때

$(X,\mathcal{T})$가 $T_6$공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 $T_1$공간이고 완전정규공간이므로

위 정리와 완전정규성의 계승적 성질로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_1$공간이고 완전정규공간이 되어 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 $T_6$공간이다.

 

 

 

정리16

위상공간의 거리화가능성은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

거리화가능성은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 거리화가능하면

거리함수 $d_X : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 거리공간 $(X,d_X)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_{d_X})$가 $\mathcal{T}_X = \mathcal{T}_{d_X}$이고

$\mathcal{B}_{d_X} = \{ \underset{(X,d_X)}{B}(x,r):x\in X, r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_{d_X}) = (X,\mathcal{T}_X)$의 기저이다.

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$이 존재하여 역함수 정리로 $f, f^{-1}$은 전단사이므로

모든 $y_1,y_2\in Y$에 대해 $d_Y(y_1,y_2) = d_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2))$인 함수 $d_Y :Y\times Y\to [0,\infty)$는 거리함수의 정의로

모든 $y\in Y$에 대해 $d_Y(y,y) = d_X(f^{-1}(y),f^{-1}(y)) = 0$이고

$y_1\ne y_2$인 모든 $y_1,y_2\in Y$에 대해

단사 정리로 $f^{-1}(y_1)\ne f^{-1}(y_2)$가 되어 $d_Y(y_1,y_2) = d_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2))>0$이고

모든 $y_1,y_2\in Y$에 대해 $d_Y(y_1,y_2) = d_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)) = d_X(f^{-1}(y_2),f^{-1}(y_1)) = d_Y(y_2,y_1)$이고

모든 $y_1,y_2,y_3\in Y$에 대해

$d_Y(y_1,y_3) = d_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_3)) \le d_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2))+ d_X(f^{-1}(y_2),f^{-1}(y_3)) = d_Y(y_1,y_2)+d_Y(y_2,y_3)\text{ 이므로}$

$(Y,d_Y)$는 거리공간이다.

$(Y,d_Y)$의 거리위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_{d_Y})$일때 $\mathcal{B}_{d_Y} = \{ \underset{(Y,d_Y)}{B}(y,r):y\in Y, r\in (0,\infty)\}$는 $(Y,\mathcal{T}_{d_Y})$의 기저이고

$y_0 = f(x_0)$인 모든 $x_0\in X$과 모든 $y_0\in Y$과 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해

모든 $y\in f(\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r))$는 $y = f(x)$인 $x\in \underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r)$가 존재하여 $f^{-1}(y_0)= x_0$이고 $f^{-1}(y) = x$이므로

열린공의 정의로 $d_Y(y_0,y) = d_X(f^{-1}(y_0),f^{-1}(y)) = d_X(x_0,x)<r$임에 따라 $y\in \underset{(Y,d_Y)}{B}(y_0,r)$이고

$ f(\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r))\subseteq \underset{(Y,d_Y)}{B}(y_0,r)$이다.

모든 $y\in \underset{(Y,d_Y)}{B}(y_0,r)$에 대해 $x = f^{-1}(y)$일때

$x_0 = f^{-1}(y_0)$이므로 열린공의 정의로 $d_X(x_0,x)=d_Y(f^{-1}(x_0),f^{-1}(x)) = d_Y(y_0,y)<r$이 되어

$f^{-1}(y) =x \in \underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r)$이고 $y=f(f^{-1}(y))\in f(\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r))$이므로 $\underset{(Y,d_Y)}{B}(y_0,r)\subseteq f(\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r))$이 되어 

집합 정리로 $ f(\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r))= \underset{(Y,d_Y)}{B}(y_0,r) = \underset{(Y,d_Y)}{B}(f(x_0),r)$이고

단사 정리로 $\underset{(X,d_X)}{B}(f^{-1}(y_0),r)=\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r) =f^{-1}( f(\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,r))) = f^{-1}(\underset{(Y,d_Y)}{B}(y_0,r))$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}_Y$의 모든 $y\in O$에 대해 전사의 정의로 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여

위상동형사상 정리로 $f^{-1}(O)\in \mathcal{T}_X = \mathcal{T}_{d_X}$이고 $x\in f^{-1}(O)$이므로

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(X,d_X)}{B}(x,r)\subseteq f^{-1}(O)$인 $r\in (0,\infty)$이 존재함에 따라

전사 정리로 $ \underset{(Y,d_Y)}{B}(y,r)= f(\underset{(X,d_X)}{B}(x,r))\subseteq f(f^{-1}(O)) = O$이고

거리공간 정리와 위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}_{d_Y}$이므로 $\mathcal{T}_Y\subseteq \mathcal{T}_{d_Y}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}_{d_Y}$에 대해 모든 $x\in f^{-1}(O)$는 $f(x) \in O$이므로 $y = f(x)$일때

위상공간 정리와 거리공간 정리로 $\underset{(Y,d_Y)}{B}(y,r)\subseteq  O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

$\underset{(X,d_X)}{B}(x,r) = f^{-1}(\underset{(Y,d_Y)}{B}(y,r))\subseteq  f^{-1}(O)$임에 따라 거리공간 정리와 위상공간 정리로 $f^{-1}(O)\in \mathcal{T}_{d_X} = \mathcal{T}_X$이고

위상동형사상 정리와 전사 정리로 $O=f(f^{-1}(O))\in \mathcal{T}_Y$가 되어 $\mathcal{T}_{d_Y}\subseteq \mathcal{T}_{Y}$이므로

집합 정리로 $\mathcal{T}_Y=\mathcal{T}_{d_Y}$임에 따라 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 거리화가능하다.

거리화가능성은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 거리화가능하면

거리함수 $d : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_{d})$는 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{d}$이므로

$d$의 정의역을 $Y\times Y$로 제한한 함수에 대해 거리공간 정리와 위상공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 거리화가능하다.

 

 

 

정리17

위상공간의 완비거리화가능성은 위상적 성질이다.

증명

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 완비거리화가능하면

$(X,d_X)$가 완비거리공간인 거리함수 $d_X : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 $(X,d_X)$의 거리위상공간은 $(X,\mathcal{T}_{X})$이고

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$이 존재하여 역함수 정리로 $f, f^{-1}$은 전단사이다.

위 정리로 모든 $y_1,y_2\in Y$가 $d_Y(y_1,y_2) = d_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2))$인 함수 $d_Y :Y\times Y\to [0,\infty)$에 대해

$(Y,d_Y)$는 거리공간이고 $(Y,d_Y)$의 거리위상공간은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$이므로

모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $d_X(x_1,x_2) = d_X(f^{-1}(f(x_1)),f^{-1}(f(x_2))) = d_Y(f(x_1),f(x_2))$가 되어

$f$가 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 등거리변환임에 따라

거리공간 정리와 거리공간 정리로 $(Y,d_Y)$는 완비거리공간이고 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 완비거리화가능하다.

 

 

 

정리18

위상공간의 베르성질은 위상적 성질이다.

증명

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 베르공간이면

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$이 존재하여 $f^{-1}$은 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $(X,\mathcal{T}_X)$로의 연속함수이고

역함수 정리로 $f, f^{-1}$은 전단사이므로

모든 $O_Y\in \mathcal{O}_Y$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀집합이고 $\mathcal{O}_Y\ne \emptyset$인 모든 가산집합 $\mathcal{O}_Y\subseteq \mathcal{T}_Y$에 대해

연속함수 정리와 연속함수 정리로 $f^{-1}(O_Y)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 조밀집합이고 열린집합이 되어

함수 정리로 $\mathcal{O}_X = \{ f^{-1}(O_Y) : O_Y\in \mathcal{O}_Y\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 $\mathcal{O}_X\subseteq \mathcal{T}_X$임에 따라

베르공간의 정의로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{O}_X$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 조밀집합이므로 전사 정리와 함수 정리와 연속함수 정리로

$\displaystyle \bigcap\mathcal{O}_Y=\bigcap_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}O_Y= f(f^{-1}(\bigcap_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}O_Y))=f(\bigcap_{O_Y\in \mathcal{O}_Y}f^{-1}(O_Y))=f(\bigcap \mathcal{O}_X)$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 조밀집합이 되어

$(Y,\mathcal{T}_Y)$는 베르공간이다.

 

 

 

정리19

위상공간의 유사거리화가능성은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

유사거리화가능성은 위상적

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 유사거리화가능하면

유사거리함수 $\rho_X : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여

유사거리공간 $(X,\rho_X)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\rho_X})$가 $\mathcal{T}_X = \mathcal{T}_{\rho_X}$이고

$\mathcal{B}_{\rho_X} = \{ \underset{(X,\rho_X)}{B}(x,r):x\in X, r\in (0,\infty)\}$는 $(X,\mathcal{T}_{\rho_X}) = (X,\mathcal{T}_X)$의 기저이다.

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$이 존재하여 역함수 정리로 $f, f^{-1}$은 전단사이므로

모든 $y_1,y_2\in Y$에 대해 $\rho_Y(y_1,y_2) = \rho_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2))$인 함수 $\rho_Y :Y\times Y\to [0,\infty)$는

유사거리함수의 정의로 모든 $y\in Y$에 대해 $\rho_Y(y,y) = \rho_X(f^{-1}(y),f^{-1}(y)) = 0$이고

모든 $y_1,y_2\in Y$에 대해 $\rho_Y(y_1,y_2) = \rho_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)) = \rho_X(f^{-1}(y_2),f^{-1}(y_1)) = \rho_Y(y_2,y_1)$이고

모든 $y_1,y_2,y_3\in Y$에 대해

$\rho_Y(y_1,y_3) = \rho_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_3)) \le \rho_X(f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2))+ \rho_X(f^{-1}(y_2),f^{-1}(y_3)) = \rho_Y(y_1,y_2)+\rho_Y(y_2,y_3)\text{ 이므로}$

$(Y,\rho_Y)$는 유사거리공간이다.

$(Y,\rho_Y)$의 유사거리위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_{\rho_Y})$일때 $\mathcal{B}_{\rho_Y} = \{ \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y,r):y\in Y, r\in (0,\infty)\}$는 $(Y,\mathcal{T}_{\rho_Y})$의 기저이고

$y_0 = f(x_0)$인 모든 $x_0\in X$과 모든 $y_0\in Y$과 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해

모든 $y\in f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,r))$는 $y = f(x)$인 $x\in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,r)$가 존재하여 $f^{-1}(y_0)= x_0$이고 $f^{-1}(y) = x$이므로

열린공의 정의로 $\rho_Y(y_0,y) = \rho_X(f^{-1}(y_0),f^{-1}(y)) = \rho_X(x_0,x)<r$임에 따라 $y\in \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y_0,r)$이고

$ f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,r))\subseteq \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y_0,r)$이다.

모든 $y\in \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y_0,r)$에 대해 $x = f^{-1}(y)$일때

$x_0 = f^{-1}(y_0)$이므로 열린공의 정의로 $\rho_X(x_0,x)=\rho_Y(f^{-1}(x_0),f^{-1}(x)) = \rho_Y(y_0,y)<r$이 되어

$f^{-1}(y) =x \in \underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,r)$이고 $y=f(f^{-1}(y))\in f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,r))$이므로 $\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y_0,r)\subseteq f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,r))$이 되어 

집합 정리로 $ f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,r))= \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y_0,r) = \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(f(x_0),r)$이고

단사 정리로 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(f^{-1}(y_0),r)=\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,r) =f^{-1}( f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x_0,r))) = f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y_0,r))$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}_Y$의 모든 $y\in O$에 대해 전사의 정의로 $f(x) = y$인 $x\in X$가 존재하여

위상동형사상 정리로 $f^{-1}(O)\in \mathcal{T}_X = \mathcal{T}_{\rho_X}$이고 $x\in f^{-1}(O)$이므로

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,r)\subseteq f^{-1}(O)$인 $r\in (0,\infty)$이 존재함에 따라

전사 정리로 $ \underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y,r)= f(\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,r))\subseteq f(f^{-1}(O)) = O$이고

유사거리위상공간 정리로 $O\in \mathcal{T}_{\rho_Y}$이므로 $\mathcal{T}_Y\subseteq \mathcal{T}_{\rho_Y}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}_{\rho_Y}$에 대해 모든 $x\in f^{-1}(O)$는 $f(x) \in O$이므로 $y = f(x)$일때

유사거리위상공간 정리로 $\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y,r)\subseteq  O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

$\underset{(X,\rho_X)}{B}(x,r) = f^{-1}(\underset{(Y,\rho_Y)}{B}(y,r))\subseteq  f^{-1}(O)$임에 따라 유사거리위상공간 정리로 $f^{-1}(O)\in \mathcal{T}_{\rho_X} = \mathcal{T}_X$이고

위상동형사상 정리와 전사 정리로 $O=f(f^{-1}(O))\in \mathcal{T}_Y$가 되어 $\mathcal{T}_{\rho_Y}\subseteq \mathcal{T}_{Y}$이므로

집합 정리로 $\mathcal{T}_Y=\mathcal{T}_{\rho_Y}$임에 따라 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 유사거리화가능하다.

유사거리화가능성은 계승적

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때 $(X,\mathcal{T})$가 유사거리화가능하면

유사거리함수 $\rho : X\times X \to [0,\infty)$가 존재하여 유사거리공간 $(X,\rho)$의 유사거리위상공간 $(X,\mathcal{T}_{\rho})$는 $\mathcal{T} = \mathcal{T}_{\rho}$이므로

$\rho$의 정의역을 $Y\times Y$로 제한한 함수에 대해 유사거리위상공간 정리로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 유사거리화가능하다.

 

 

 

정리20

위상공간의 균등화가능성과 근접화가능성은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

증명

균등화 정리와 근접화 정리와 위 정리로 균등화가능성과 근접화가능성은 위상적 성질이고 계승적 성질이다.

 

 

 

정리21

위상공간의 콤팩트생성성질은 위상적 성질이다.

증명

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X)$와 위상동형인 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 

$(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 위상동형사상이 $f:X\to Y$일때 $(X,\mathcal{T}_X)$가 콤팩트생성공간이면

위상동형사상의 정의로 $f$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수이고 전단사이므로

모든 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트집합 $D$에 대해

$O\cap D$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 부분위상공간 $(D,\mathcal{T}_Y|_D)$에서 열린집합인 모든 $O\subseteq Y$는 

모든 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 콤팩트집합 $C$에 대해 콤팩트 정리로 $f(C)$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 콤팩트집합임에 따라 

$O\cap f(C)$는 $(f(C),\mathcal{T}_Y|_{f(C)})$에서 열린집합이므로

위상공간 정리로 $O\cap f(C) = V\cap f(C)$인 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합 $V$가 존재하여

연속함수 정리로 $f^{-1}(V)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이고 함수 정리와 단사 정리로

$f^{-1}(O)\cap C=f^{-1}(O)\cap f^{-1}(f(C)) = f^{-1}(O\cap f(C)) =f^{-1}(V\cap f(C)) = f^{-1}(V)\cap f^{-1}(f(C)) =f^{-1}(V)\cap C\text{ 이므로}$

위상공간 정리로 $f^{-1}(O)\cap C = f^{-1}(V)\cap C$는 $(X,\mathcal{T}_X)$의 부분위상공간 $(C,\mathcal{T}_X|_C)$에서 열린집합이 되어 

콤팩트생성공간의 정의로 $f^{-1}(O)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합이고

전사 정리와 위상동형사상 정리로 $O=f(f^{-1}(O))$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이므로 $(Y,\mathcal{T}_Y)$는 콤팩트생성공간이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/110#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/110#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402