베르 공간(Baire space)

정의1

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

$G_\delta$-집합 :

임의의 $E \subseteq X$에 대해 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}$가 존재하여

$E = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}$이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합으로 정의한다.

$F_\sigma$-집합 :

임의의 $E \subseteq X$에 대해 모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $\mathcal{C}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{C}$가 존재하여

$E = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합으로 정의한다. $\phantom{\displaystyle \sum_{i=1}^n}$

 

 

 

정리1

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 $A,A_1,A_2,\cdots,A_n \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 $A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

2. $A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

3. $A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이기 위한 필요충분조건은 $X\setminus A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합인 것이다.

4. $A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이기 위한 필요충분조건은 $X\setminus A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합인 것이다.

5. $A_1,A_2,\cdots,A_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이면 $A_1\cap A_2\cap \cdots\cap A_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

6. $A_1,A_2,\cdots,A_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이면 $A_1\cup A_2\cup \cdots\cup A_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

7. $A_1,A_2,\cdots,A_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이면 $A_1\cup A_2\cup \cdots\cup A_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

8. $A_1,A_2,\cdots,A_n$이 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이면 $A_1\cap A_2\cap \cdots\cap A_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

증명

1.

$\{A \}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 교집합의 정의로 $A = \displaystyle \bigcap \{ A\}$이므로

$A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라 $A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

2.

$\{A \}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 합집합의 정의로 $A = \displaystyle \bigcup \{ A\}$이므로 

$A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라 $A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

3, 4

$A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이면

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}$가 존재하여 $A = \displaystyle \bigcap \mathcal{O} = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}O$이고

위상공간 정리로 $X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

함수 정리로 $\mathcal{C} = \{ X\setminus O: O\in \mathcal{O}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 

집합 정리로 $X\setminus A= \displaystyle X\setminus \bigcap \mathcal{O} = X\setminus \bigcap_{O\in \mathcal{O}} O = \bigcup_{O\in \mathcal{O}} (X\setminus O) = \bigcup \mathcal{C}$이므로 $X\setminus A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

$A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이면

모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $\mathcal{C}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{C}$가 존재하여 $A = \displaystyle \bigcup \mathcal{C} = \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C$이고

$X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라

함수 정리로 $\mathcal{O} = \{ X\setminus C: C\in \mathcal{C}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 

집합 정리로 $X\setminus A= \displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{C} = X\setminus \bigcup_{C\in \mathcal{C}}C = \bigcap_{C\in \mathcal{C}} (X\setminus C) = \bigcap \mathcal{O}$이므로 $X\setminus A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

$X\setminus A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이면 집합 정리로 $A = X\setminus (X\setminus A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

$X\setminus A$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이면 집합 정리로 $A = X\setminus (X\setminus A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

5, 6

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $A_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이므로

모든 $O_i\in \mathcal{O}_i$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}_i\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}_i$가 존재하여 $A_i = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}_i = \bigcap_{O_i\in \mathcal{O}_i}O_i$이고

위상공간 정리로 $O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n$과 $O_1\cup O_2\cup \cdots \cup O_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

가산집합 정리와 데카르트곱 정리로 $\mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n$은 공집합이 아닌 가산집합이므로 함수 정리로

$\{ O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n: (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고

$\{ O_1\cup O_2\cup \cdots \cup O_n: (O_1,O_2,\cdots,O_n)\in \mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n\}$는 공집합이 아닌 가산집합이 되어

집합 정리로

$\begin{align*} A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n & = \left ( \bigcap_{O_1\in \mathcal{O}_1}O_1\right)\cap \left ( \bigcap_{O_2\in \mathcal{O}_2}O_2\right)\cap \cdots \cap\left ( \bigcap_{O_n\in \mathcal{O}_n}O_n\right) \\[0.5em]&  = \bigcap_{(O_1,O_2,\cdots ,O_n)\in \mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n} (O_1\cap O_2\cap \cdots \cap O_n) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n & = \left ( \bigcap_{O_1\in \mathcal{O}_1}O_1\right)\cup \left ( \bigcap_{O_2\in \mathcal{O}_2}O_2\right)\cup \cdots \cup\left ( \bigcap_{O_n\in \mathcal{O}_n}O_n\right) \\[0.5em]& = \bigcap_{(O_1,O_2,\cdots ,O_n)\in \mathcal{O}_1\times \mathcal{O}_2\times \cdots \times \mathcal{O}_n} (O_1\cup O_2\cup \cdots \cup O_n) \text{ 임에 따라} \end{align*}$

$A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$과 $A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

7, 8

모든 $i=1,2,\cdots, n$에 대해 $A_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이므로 4번으로 $X\setminus A_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이고

집합 정리와 5번으로

$X\setminus (A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n) = (X\setminus A_1)\cap (X\setminus A_2)\cap \cdots \cap (X\setminus A_n)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이 되어

4번으로 $A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이고 집합 정리와 6번으로

$X\setminus (A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n) = (X\setminus A_1)\cup (X\setminus A_2)\cup \cdots \cup (X\setminus A_n)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이 되어

4번으로 $A_1\cap A_2\cap \cdots \cap A_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathcal{G}\ne \emptyset$이고 가산집합인 집합족 $\mathcal{G}$의 모든 $E\in \mathcal{G}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이면 $\displaystyle \bigcap \mathcal{G}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

2. $\mathcal{F}\ne \emptyset$이고 가산집합인 집합족 $\mathcal{F}$의 모든 $E\in \mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이면 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

증명

1.

모든 $E\in \mathcal{G}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합임에 따라

선택 정리로 $E = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}_E$이고 모든 $O\in \mathcal{O}_E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}_E\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}_E$를 선택하면 

가산집합 정리로 $\{ \mathcal{O}_E : E\in \mathcal{G}\}$는 가산집합이 되어 가산집합 정리로 $\mathcal{O} = \displaystyle \bigcup \{ \mathcal{O}_E : E\in \mathcal{G}\}$는 가산집합이다. 

모든 $O\in \mathcal{O} = \displaystyle \bigcup_{E\in \mathcal{G}} \mathcal{O}_E$는 $O\in \mathcal{O}_E$인 $E\in \mathcal{G}$가 존재하여 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\mathcal{G}\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{O}\ne \emptyset$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{G}$에 대해 모든 $O\in \mathcal{O}$는 $O\in \mathcal{O}_E$인 $E\in \mathcal{G}$가 존재하여

$x\in E = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}_E$이므로 $x\in O$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{O}$이고 $\displaystyle \bigcap \mathcal{G}\subseteq \bigcap\mathcal{O}$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{O}$에 대해 모든 $E\in \mathcal{G}$는 $E = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}_E$이므로 

모든 $O\in \mathcal{O}_E$에 대해 $x\in O$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{O}_E = E$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{G}$이고 $\displaystyle \bigcap \mathcal{O}\subseteq \bigcap\mathcal{G}$이므로 

집합 정리로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{G} = \bigcap \mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

2.

모든 $E\in \mathcal{F}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합임에 따라

선택 정리로 $E = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_E$이고 모든 $C\in \mathcal{C}_E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $\mathcal{C}_E\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{C}_E$를 선택하면 

가산집합 정리로 $\{ \mathcal{C}_E : E\in \mathcal{F}\}$는 가산집합이 되어 가산집합 정리로 $\mathcal{C} = \displaystyle \bigcup \{ \mathcal{C}_E : E\in \mathcal{F}\}$는 가산집합이다. 

모든 $C\in \mathcal{C} = \displaystyle \bigcup_{E\in \mathcal{F}} \mathcal{C}_E$는 $C\in \mathcal{C}_E$인 $E\in \mathcal{F}$가 존재하여 $C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $\mathcal{F}\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{C}\ne \emptyset$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$에 대해 $x\in E$인 $E\in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in E = \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_E$이므로 

$x\in C$인 $C\in \mathcal{C}_E\subseteq \mathcal{C}$가 존재하고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}\subseteq \bigcup\mathcal{C}$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$에 대해 $x\in C$인 $C\in \mathcal{C}$가 존재하여 $C\in \mathcal{C}_E$인 $E\in \mathcal{F}$가 존재하므로 

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{C}_E = E$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{C}\subseteq \bigcup\mathcal{F}$이고 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \bigcup \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

 

 

 

정리2

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$와 임의의 $E\subseteq Y$에 대해 다음이 성립한다. 

1. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $G_\delta$-집합이기 위한 필요충분조건은 $E = Y\cap A$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합 $A$가 존재하는 것이다.

2. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $F_\sigma$-집합이기 위한 필요충분조건은 $E = Y\cap A$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합 $A$가 존재하는 것이다.

3. $Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이고 $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $G_\delta$-집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

4. $Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이고 $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $F_\sigma$-집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

증명

1.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $G_\delta$-집합이면

모든 $U\in \mathcal{U}$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이고 $\mathcal{U}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{U}$가 존재하여 $E = \displaystyle \bigcap \mathcal{U} = \bigcap_{U\in \mathcal{U}}U$이고

위상공간 정리로 $U = Y\cap O_U$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O_U$가 존재하므로 선택 정리로 $O_U$를 선택하면

함수 정리로 $\mathcal{O} = \{ O_U: U\in \mathcal{U}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 $A = \displaystyle \bigcap \mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이 되어

집합 정리로 $E = \displaystyle \bigcap \mathcal{U} = \bigcap_{U\in \mathcal{U}}U = \bigcap_{U\in \mathcal{U}}(Y\cap O_U) = Y\cap \bigcap_{U\in \mathcal{U}}O_U = Y\cap \bigcap \mathcal{O} = Y\cap A$이다.

역으로 $E = Y\cap A$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이 $A$가 존재하면

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{O}$가 존재하여 $A = \displaystyle \bigcap \mathcal{O} = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}O$이고

위상공간 정리로 $Y\cap O$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이므로

함수 정리로 $\mathcal{U} = \{ Y\cap O: O\in \mathcal{O}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고

집합 정리로 $E =Y\cap A =\displaystyle Y\cap \bigcap \mathcal{O} = Y\cap \bigcap_{O\in \mathcal{O}}O = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}(Y\cap O) = \bigcap\mathcal{U}$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $G_\delta$-집합이다.

2.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $F_\sigma$-집합이면

위 정리로 $Y\setminus E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $G_\delta$-집합이므로 1번으로 $Y\setminus E = Y\cap A$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합 $A$가 존재하여

위 정리로 $X\setminus A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이고 집합 정리로 $E = Y\setminus (Y\setminus E) = Y\setminus (Y\cap A) = Y\cap (X\setminus A)$이다.

역으로 $E = Y\cap A$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합 $A$가 존재하면

위 정리로 $X\setminus A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이고 집합 정리로 $Y\setminus E = Y\setminus (Y\cap A) = Y\cap (X\setminus A)$이므로 

1번으로 $Y\setminus E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $G_\delta$-집합이 되어 위 정리로 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

3.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $G_\delta$-집합이므로 1번으로 $E = Y\cap A$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합 $A$가 존재하여

$Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합임에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이다.

4.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $F_\sigma$-집합이므로 2번으로 $E = Y\cap A$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합 $A$가 존재하여

$Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합임에 따라 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $F_\sigma$-집합이다.

 

 

 

정리3

위상공간 $(X,\mathcal{T}_X), (Y,\mathcal{T}_Y)$에 대해 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 연속함수가 $f:X\to Y$일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $B\subseteq Y$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $G_\delta$-집합이면 $f^{-1}(B)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $G_\delta$-집합이다.

2. 임의의 $B\subseteq Y$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $F_\sigma$-집합이면 $f^{-1}(B)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

증명

1.

$B$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $G_\delta$-집합이므로

모든 $V\in \mathcal{V}$가 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 열린집합이고 $\mathcal{V}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{V}$가 존재하여 $B = \displaystyle \bigcap \mathcal{V} = \bigcap_{V\in \mathcal{V}}V$이고

연속함수 정리로 $f^{-1}(V)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 열린집합임에 따라

함수 정리로 $\mathcal{U} = \{ f^{-1}(V): V\in \mathcal{V}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 

함수 정리로 $f^{-1}(B) = \displaystyle f^{-1}( \bigcap \mathcal{V}) =  f^{-1}(\bigcap_{V\in \mathcal{V}} V) = \bigcap_{V\in \mathcal{V}} f^{-1}(V) = \bigcap \mathcal{U}$이므로 

$f^{-1}(B)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $G_\delta$-집합이다.

2.

$B$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $F_\sigma$-집합이므로 위 정리로 $Y\setminus B$는 $(Y,\mathcal{T}_Y)$에서 $G_\delta$-집합이 되어

함수 정리와 1번으로 $X\setminus f^{-1}(B)=f^{-1}(Y)\setminus f^{-1}(B)= f^{-1}(Y\setminus B)$가 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $G_\delta$-집합임에 따라

위 정리로 $f^{-1}(B)$는 $(X,\mathcal{T}_X)$에서 $F_\sigma$-집합이다.

 

 

 

정의2

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

제1범주집합(first category) :

임의의 $E\subseteq X$에 대해 모든 $A\in \mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없고 $\mathcal{A}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{A}$가 존재하여

$E = \displaystyle \bigcup \mathcal{A}$이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 제1범주집합으로 정의한다.

제2범주집합(second category) :

임의의 $E\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 제1범주집합이 아니면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 제2범주집합으로 정의한다.

베르공간 :

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 모든 가산집합 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$에 대해

$\displaystyle \bigcap \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이면 $(X,\mathcal{T})$를 베르공간으로 정의한다.

베르집합 :

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 베르공간이면 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합으로 정의한다.

 

 

 

정리4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$와 임의의 $E\subseteq Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 조밀집합이면 $E = Y\cap D$인 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합 $D$가 존재한다.

2. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 조밀한 열린집합이면 $E = Y\cap D$인 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 열린집합 $D$가 존재한다.

3. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 베르집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합인 것이다.

증명

1.

$D = E\cup (X\setminus Y)$일때 $O\ne \emptyset$인 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해

$O\cap Y = \emptyset$이면 집합 정리로 $O\subseteq X\setminus Y$이므로 $O\cap (X\setminus Y) = O\ne \emptyset$이 되어

$O\cap (X\setminus Y)\subseteq O\cap (E\cup (X\setminus Y))$임에 따라 $O\cap D=O\cap (E\cup (X\setminus Y))\ne \emptyset$이고 

$O\cap Y\ne \emptyset$이면 위상공간 정리로 $O\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이므로 $E\subseteq Y$임에 따라

집합 정리와 조밀집합 정리로 $O\cap E =O\cap Y\cap E\ne \emptyset$이 되어 $O\cap E\subseteq O\cap (E\cup (X\setminus Y))$이고

$O\cap D=O\cap (E\cup (X\setminus Y))\ne \emptyset$이므로 조밀집합 정리로 $D$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고

집합 정리로 $E  = E\cup \emptyset = (Y\cap E)\cup (Y\cap (X\setminus Y))= Y\cap (E\cup (X\setminus Y)) = Y\cap D$이다.

2.

위상공간 정리로 $E = Y\cap V$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$가 존재하여 

폐포 정리와 위상공간 정리로 $V\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 

$D = V\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y))$일때 $O\ne \emptyset$인 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해

$O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)= \emptyset$이면 집합 정리로 $O\subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)$이므로 $O\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)) = O\ne \emptyset$이 되어 

$O\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)) \subseteq O\cap (V\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)))$임에 따라 $O\cap D = O\cap (V\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)))\ne \emptyset$이고

$O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)\ne \emptyset$이면 $x\in O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)$가 존재하여

$O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $Y$의 밀착점이므로 $O\cap Y\ne \emptyset$이고 

위상공간 정리로 $O\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이므로

$E\subseteq Y$임에 따라 집합 정리와 조밀집합 정리로 $O\cap E=O\cap Y\cap E\ne \emptyset$이고

$O\cap E\subseteq O\cap V \subseteq O\cap (V\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)))$임에 따라 $O\cap D=O\cap (V\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)))\ne \emptyset$이 되어

조밀집합 정리로 $D= V\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y))$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고

폐포 정리로 $Y\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)$이므로 집합 정리로 $Y\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y))\subseteq Y\cap (X\setminus Y) = \emptyset$이 되어 

집합 정리로 $E  = (Y\cap V)\cup \emptyset = (Y\cap V)\cup (Y\cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y)))= Y\cap (V\cup (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(Y))) = Y\cap D$이다.

3.

$E\subseteq Y \subseteq X$임에 따라 위상공간 정리로 $(\mathcal{T}|_Y)|_E= \mathcal{T}|_E$이므로 $(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E) = (E,\mathcal{T}|_E)$이다.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 베르집합이면 $(E,(\mathcal{T}|_Y)|_E)$는 베르공간이고

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합이면 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 베르공간이므로

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 베르집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합인 것이다.

 

 

 

정리5

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 

$O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이기 위한 필요충분조건은 $X\setminus O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없는 집합인 것이다.

2. $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 제1범주집합이다.

3. $X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 제2범주집합이기 위한 필요충분조건은 

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 모든 가산집합 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$에 대해 $\displaystyle \bigcap \mathcal{O}\ne \emptyset$인 것이다.

4. $X\ne \emptyset$일때 $(X,\mathcal{T})$가 베르공간이면 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 제2범주집합이다.

5. $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합이다.

6. $(X,\mathcal{T})$가 베르공간일때 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합이다.

증명

1.

위상공간 정리로 $X\setminus O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O) = X\setminus O$이므로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus O) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O))$가 되어

조밀집합 정리로 $O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이기 위한 필요충분조건은

$\emptyset =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus O) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O))$인 것이고

$X\setminus O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없는 집합이기 위한 필요충분조건은

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus O) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus O)) = \emptyset$인 것이므로

$O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이기 위한 필요충분조건은 $X\setminus O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없는 집합인 것이다.

2.

위상공간 정리로 $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없고 $\{\emptyset \}$은 공집합이 아닌 가산집합이므로

합집합의 정의로 $\emptyset = \displaystyle \bigcup \{\emptyset\}$임에 따라 $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 제1범주집합이다.

3.

$X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 제2범주집합이면 

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 모든 가산집합 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$에 대해

$O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 1번으로 $X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없는 집합이 되어

함수 정리로 $\mathcal{C} =\{ X\setminus O: O\in \mathcal{O}\}$가 공집합이 아닌 가산집합임에 따라 $X\ne \displaystyle \bigcup \mathcal{C}$이고

집합 정리와 집합 정리로 $\displaystyle \emptyset\ne X\setminus \bigcup \mathcal{C} = X\setminus \bigcup_{O\in \mathcal{O}}(X\setminus O) = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}(X\setminus (X\setminus O)) = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}O = \bigcap\mathcal{O}$이다.

역으로 조건이 성립하면

모든 $A\in \mathcal{A}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없고 $\mathcal{A}\ne \emptyset$인 모든 가산집합 $\mathcal{A}$에 대해

위상공간 정리와 폐포 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 열린집합이 되어 

함수 정리로 $\mathcal{O} = \{X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) : A\in \mathcal{A} \}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이므로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{O}\ne \emptyset$임에 따라

집합 정리와 집합 정리로

$X\ne \displaystyle X\setminus \bigcap \mathcal{O} = X\setminus \bigcap_{A\in \mathcal{A}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)) = \bigcup_{A\in \mathcal{A}}(X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)))= \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이고

폐포 정리로 $ \displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{A}} A\subseteq \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$이므로 집합 정리로 $\emptyset \ne \displaystyle X\setminus \bigcup_{A\in \mathcal{A}}\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq X\setminus \bigcup_{A\in \mathcal{A}}A$이 되어

집합 정리로 $X\ne \displaystyle X\setminus (X\setminus \bigcup_{A\in \mathcal{A}}A) = \bigcup_{A\in \mathcal{A}}A =\bigcup\mathcal{A}$이고

$X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 제1범주집합이 아님에 따라 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 제2범주집합이다.

4.

베르공간의 정의로 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 모든 가산집합 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$에 대해

$\displaystyle \bigcap \mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이므로 $\displaystyle \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcap \mathcal{O}) = X$인데

$\displaystyle \bigcap \mathcal{O} = \emptyset$이라고 가정하면 위상공간 정리로 $\emptyset$이 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합임에 따라

폐포 정리로 $\displaystyle \emptyset =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\emptyset)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcap \mathcal{O}) = X$가 되어 $X\ne \emptyset$임에 모순이므로

$\displaystyle \bigcap \mathcal{O}\ne \emptyset$이고 3번으로 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 제2범주집합이다.

5.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(\emptyset,\mathcal{T}|_\emptyset)$에 대해 

위상공간의 정의로 $\mathcal{T}|_\emptyset = \{\emptyset \}$이고 조밀집합 정리로 $\emptyset$은 $(\emptyset,\mathcal{T}|_\emptyset)$에서 조밀집합이므로 

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(\emptyset,\mathcal{T}|_\emptyset)$에서 조밀집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 임의의 가산집합 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}|_\emptyset$는 $\mathcal{O} = \{ \emptyset\}$이 되어 

$\displaystyle \bigcap \mathcal{O} = \bigcap \{\emptyset\} = \emptyset$이 $(\emptyset,\mathcal{T}|_\emptyset)$에서 조밀집합임에 따라 $(\emptyset,\mathcal{T}|_\emptyset)$은 베르공간이고 $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$의 베르집합이다.

6.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(O,\mathcal{T}|_O)$일때

모든 $U\in \mathcal{U}$가 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 조밀집합이고 $\mathcal{U}\ne \emptyset$인 임의의 가산집합 $\mathcal{U}\subseteq \mathcal{T}|_O$에 대해 

위 정리로 $U = V_U\cap O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 열린집합 $V_U$가 존재하여 선택 정리로 $V_U$를 선택하면

함수 정리로 $\mathcal{V} = \{V_U : U\in \mathcal{U}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이므로

베르공간의 정의로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{V}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고

집합 정리로 $\displaystyle O\cap \bigcap \mathcal{V} = O\cap \bigcap_{U\in \mathcal{U}} V_U =\bigcap_{U\in \mathcal{U}}(O\cap V_U)=\bigcap_{U\in \mathcal{U}}U = \bigcap\mathcal{U} $이다.

$W_O \ne \emptyset$인 모든 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 열린집합 $W_O$는

위상공간 정리로 $W_O = O\cap W$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $W$가 존재하여

위상공간 정리로 $W_O = O\cap W$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

집합 정리와 조밀집합 정리로 $\displaystyle W_O\cap \bigcap \mathcal{U} = W_O\cap O\cap \bigcap \mathcal{V} = W_O\cap \bigcap \mathcal{V}\ne \emptyset$임에 따라 

$\displaystyle \bigcap \mathcal{U}$는 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 조밀집합이고 $(O,\mathcal{T}|_O)$는 베르공간이 되어 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합이다.

 

 

 

정리6

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$과 임의의 집합족 $\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\cdots,\mathcal{F}_n$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \bigcup ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n) = \bigcup \mathcal{F}_1\cup \bigcup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \bigcup \mathcal{F}_n$

2. $\displaystyle \bigcup ( \mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \mathcal{F}_n) \subseteq \bigcup \mathcal{F}_1\cap \bigcup \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \bigcup \mathcal{F}_n$

3. 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{F}_i\ne \emptyset$일때 $\displaystyle \bigcap ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n) = \bigcap \mathcal{F}_1\cap \bigcap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \bigcap \mathcal{F}_n$이다.

증명

1.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n)$는 $x\in A$인 $A\in \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n$가 존재하여 

$A\in \mathcal{F}_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하므로 $x\in A\in \mathcal{F}_i$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_i \subseteq \bigcup \mathcal{F}_1\cup \bigcup \mathcal{F}_2\cup\cdots\cup \bigcup \mathcal{F}_n$임에 따라 

$\displaystyle \bigcup ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n) \subseteq \bigcup \mathcal{F}_1\cup \bigcup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \bigcup \mathcal{F}_n$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_1\cup \bigcup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \bigcup \mathcal{F}_n$는 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여

$x\in A_i$인 $A_i\in \mathcal{F}_i$가 존재하므로 $x\in A_i\in \mathcal{F}_i\subseteq \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n)$이고

$\displaystyle \bigcup \mathcal{F}_1\cup \bigcup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \bigcup \mathcal{F}_n\subseteq \bigcup ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n)$이므로

집합 정리로 $\displaystyle \bigcup ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n) = \bigcup \mathcal{F}_1\cup \bigcup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \bigcup \mathcal{F}_n$이다.

2.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup ( \mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \mathcal{F}_n)$는 $x\in A$인 $A\in \mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \mathcal{F}_n$가 존재하여 

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in A\in \mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \mathcal{F}_n\subseteq \mathcal{F}_i$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_i$임에 따라

$x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_1\cap \bigcup \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \bigcup \mathcal{F}_n$이고 $\displaystyle \bigcup ( \mathcal{F}_1\cap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \mathcal{F}_n) \subseteq \bigcup \mathcal{F}_1\cap \bigcup \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \bigcup \mathcal{F}_n$이다.

3.

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{F}_i\ne \emptyset$이므로 $\mathcal{F}_i\subseteq \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n$임에 따라 $\mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n\ne \emptyset$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcap ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n)$는 모든 $A\in \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n$에 대해 $x\in A$이므로 

모든 $i=1,2,\cdots,n$와 모든 $A_i \in \mathcal{F}_i\subseteq \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n$에 대해 $x\in A_i$가 되어 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_i$이고

$x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_1\cap \bigcap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \bigcap \mathcal{F}_n$이므로 $\displaystyle \bigcap ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n) \subseteq \bigcap \mathcal{F}_1\cap \bigcap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \bigcap \mathcal{F}_n$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_1\cap \bigcap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \bigcap \mathcal{F}_n$는 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_i$이고

모든 $A\in \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n$에 대해 $A\in \mathcal{F}_i$인 $i=1,2,\cdots,n$가 존재하여 $x\in \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_i\subseteq A$임에 따라

$\displaystyle x\in \bigcap(\mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n)$이므로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_1\cap \bigcap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \bigcap \mathcal{F}_n\subseteq \bigcap(\mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n)$이고

집합 정리로 $\displaystyle \bigcap ( \mathcal{F}_1\cup \mathcal{F}_2\cup \cdots \cup \mathcal{F}_n) = \bigcap \mathcal{F}_1\cap \bigcap \mathcal{F}_2\cap \cdots \cap \bigcap \mathcal{F}_n$이다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 베르공간일때 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 $G_\delta$-집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 베르공간이다.

3. $(X,\mathcal{T})$가 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간일때 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $G_\delta$-집합이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합이다.

증명

1.

$G_\delta$-집합의 정의로 모든 $U\in \mathcal{U}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\mathcal{U}\ne \emptyset$인 가산집합 $\mathcal{U}$가 존재하여 $E = \displaystyle \bigcap \mathcal{U}$이고

$E = \displaystyle \bigcap \mathcal{U}\subseteq U$이므로 위상공간 정리로 $U$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이다.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(E,\mathcal{T}|_E)$일때

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 조밀집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 모든 가산집합 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}|_E$에 대해

위 정리로 $O = V_O\cap E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 열린집합 $V_O$가 존재하여 선택 정리로 $V_O$를 선택하면

함수 정리로 $\mathcal{V} = \{V_O : O\in \mathcal{O}\}$는 공집합이 아닌 가산집합이므로

가산집합 정리로 $\mathcal{U}\cup \mathcal{V}$는 공집합이 아닌 가산집합이고 $\mathcal{U}\cup \mathcal{V}\subseteq \mathcal{T}$임에 따라

베르공간의 정의로 $\displaystyle \bigcap (\mathcal{U}\cup \mathcal{V})$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이다.

위 정리와 집합 정리로

$\displaystyle \bigcap (\mathcal{U}\cup \mathcal{V})  = \bigcap\mathcal{U}\cap \bigcap\mathcal{V} = E\cap \bigcap \mathcal{V} = E\cap \bigcap_{O\in \mathcal{O}}V_O = \bigcap_{O\in \mathcal{O}}(E\cap V_O) = \bigcap_{O\in \mathcal{O}} O = \bigcap\mathcal{O}$이고

$\displaystyle \bigcap \mathcal{O}\subseteq E\subseteq X$이므로 위상공간 정리와 조밀집합의 정의와 집합 정리로

$\displaystyle \underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{\operatorname{cl}}(\bigcap \mathcal{O}) = E\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcap \mathcal{O}) = E\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\bigcap(\mathcal{U}\cup \mathcal{V})) = E\cap X = E$가 되어 

$\displaystyle \bigcap \mathcal{O}$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 조밀집합이고 $(E,\mathcal{T}|_E)$는 베르공간임에 따라 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합이다.

2.

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이다.

모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 $\mathcal{O}\ne \emptyset$인 모든 가산집합 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$에 대해

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리로 전사함수 $f : \mathbb{Z}^+\to\mathcal{O}$가 존재하고

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(n) = O_n\in \mathcal{O}$일때

$U\ne \emptyset$인 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U$에 대해 조밀집합 정리로 $U\cap O_1\ne \emptyset$이므로

$x\in U\cap O_1$가 존재하여 위상공간 정리로 $U\cap O_1$이 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라 

정칙공간 정리와 선택 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_1) \subseteq U\cap O_1$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U_1$을 선택하면 

$x\in U_1$이므로 $U_1\ne \emptyset$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_k) \subseteq U\cap O_k$이고

$i\le k$인 모든 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $U_k\subseteq U_i$이고 $U_k\ne \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U_k$가 귀납적으로 정의될때

조밀집합 정리로 $U_k\cap O_{k+1}\ne \emptyset$이므로 위상공간 정리와 정칙공간 정리와 선택 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_{k+1}) \subseteq U_{k}\cap O_{k+1}$이고 $U_{k+1}\ne \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U_{k+1}$를 선택하면 

폐포 정리로 $U_{k+1}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_{k+1}) \subseteq U_{k}\cap O_{k+1}\subseteq U_{k}\subseteq U_i$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_{k+1})\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_k) \subseteq U\cap O_k \subseteq U$이므로 

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_{k+1}) \subseteq U_{k}\cap O_{k+1} \subseteq O_{k+1}$임에 따라 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_{k+1}) \subseteq U\cap O_{k+1}$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_n)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 콤팩트공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_n)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하고 

폐포 정리로 $U_n \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_n)$이 되어 $U_n\ne \emptyset$임에 따라 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_n)\ne \emptyset$이고

$U_{n+1}\subseteq U_n$이므로 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_{n+1})\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_n)$임에 따라 콤팩트 정리로 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_n)\ne \emptyset$이고

집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U_n)\subseteq \bigcap_{n=1}^\infty(U\cap O_n) = U\cap \bigcap_{n=1}^\infty O_n$이므로 $\displaystyle U\cap \bigcap_{n=1}^\infty O_n\ne \emptyset$임에 따라

조밀집합 정리로 $\displaystyle \bigcap_{n=1}^\infty O_n$은 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 베르공간이다.

3.

$Y =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$에 대해 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$일때

폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = Y$이므로 집합 정리와 위 정리로 $E = Y\cap E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $G_\delta$-집합이고

$Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 콤팩트 정리와 계승적 성질로

$(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간임에 따라 2번으로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 베르공간이다.

위상공간 정리로 $E$는 $(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E),\mathcal{T}|_{\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)})=(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 조밀집합이므로 

1번으로 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 베르집합이 되어 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 베르집합이다.

 

 

 

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 하우스도르프 공간일때 임의의 $A,B,E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 $A,B$에서 국소 콤팩트하면 $(X,\mathcal{T})$는 $A\cap B$에서 국소콤팩트하다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 $E$에서 국소 콤팩트하면 $E = O\cap C$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$와 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$가 존재한다.

증명

1.

계승적 성질로 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(A,\mathcal{T}|_A),(B,\mathcal{T}|_B),(A\cap B,\mathcal{T}|_{A\cap B})$는 하우스도르프 공간이고

$(X,\mathcal{T})$는 $A,B$에서 국소 콤팩트하므로 $(A,\mathcal{T}|_A),(B,\mathcal{T}|_B)$는 국소 콤팩트공간이다.

임의의 $x\in A\cap B$에 대해 국소 콤팩트 정리로

$x\in \underset{(A,\mathcal{T}|_A)}{\operatorname{int}}(K_A)$인 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 콤팩트집합 $K_A$와 $x\in \underset{(B,\mathcal{T}|_B)}{\operatorname{int}}(K_B)$인 $(B,\mathcal{T}|_B)$에서 콤팩트집합 $K_B$가 존재하여

콤팩트 정리로 $K_A,K_B$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하므로 위상공간 정리로 $K_A\cap K_B$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하고 

$K_A\cap K_B\subseteq A\cap B$이므로 콤팩트 정리로 $K_A\cap K_B$는 $(A\cap B,\mathcal{T}|_{A\cap B})$에서 콤팩트하고 내부의 정의로

$O_A\subseteq K_A$인 $(A,\mathcal{T}|_A)$에서 $x$의 열린근방 $O_A$와 $O_B\subseteq K_B$인 $(B,\mathcal{T}|_B)$에서 $x$의 열린근방 $O_B$가 존재하여 

위상공간 정리로 $O_A = U\cap A$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $U$와 $O_B = V\cap B$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$가 존재하고 

위상공간 정리로 $U\cap V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

위상공간 정리로 $O_A\cap O_B = U\cap A \cap V\cap B = (U\cap V)\cap (A\cap B)$는 $(A\cap B,\mathcal{T}|_{A\cap B})$에서 열린집합이고 

$x\in O_A\cap O_B\subseteq K_A\cap K_B$이므로 내부의 정의로 $x\in \underset{(A\cap B,\mathcal{T}|_{A\cap B})}{\operatorname{int}}(K_A\cap K_B)$가 되어 

국소 콤팩트 정리로 $(A\cap B,\mathcal{T}|_{A\cap B})$는 $x$에서 국소 콤팩트하고

$x\in A\cap B$는 임의이므로 $(A\cap B,\mathcal{T}|_{A\cap B})$는 국소 콤팩트공간이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 $A\cap B$에서 국소 콤팩트하다.

2.

$C = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$일때 폐포 정리로 $C = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 $E\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = C$이다.

$(X,\mathcal{T})$는 $E$에서 국소 콤팩트하므로 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(E,\mathcal{T}|_E)$가 국소 콤팩트공간임에 따라

모든 $x\in E$에 대해 어떤 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여 $\underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{\operatorname{cl}}(U)$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 콤팩트하고

위상공간 정리로 $U = E\cap V$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하므로 

위상공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap V)\cap E=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\cap E = \underset{(E,\mathcal{T}|_E)}{\operatorname{cl}}(U)$는 $(E,\mathcal{T}|_E)$에서 콤팩트하여

콤팩트 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap V)\cap E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트함에 따라

위상공간 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap V)\cap E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 

집합 정리와 폐포 정리로 $E\cap V = E\cap V \cap E \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap V)\cap E$임에 따라 

폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap V) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap V)\cap E$이다.

모든 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap V$에 대해 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이고 $y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점이므로 

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $W$에 대해 위상공간 정리로 $V\cap W$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방임에 따라 

밀착점의 정의로 $(E\cap V)\cap W=E\cap (V\cap W)\ne \emptyset$가 되어 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap V)$이고

$C\cap V = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap V\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap V) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E\cap V)\cap E\subseteq E$이므로 

위상공간 정리로 $C\cap V$가 $(C,\mathcal{T}|_C)$에서 $x$의 열린근방임에 따라

위상공간 정리로 $E$는 $(C,\mathcal{T}|_C)$에서 열린집합이 되어

위상공간 정리로 $E = O\cap C$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 존재한다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 국소 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $(X,\mathcal{T})$는 $O$에서 국소 콤팩트하다.

2. 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$에 대해 $(X,\mathcal{T})$는 $C$에서 국소 콤팩트하다.

3. 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합 $D$에 대해 

$(X,\mathcal{T})$가 $D$에서 국소 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $D$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합인 것이다.

4. 스톤-체흐 콤팩트화에 나온 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이 $e_X$일때

$e_X(X)$는 $(X,\mathcal{T})$의 스톤-체흐 콤팩트화 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 열린집합이다.

증명

1.

$(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간이 $(O,\mathcal{T}|_O)$일때

위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 정칙공간이고 모든 $x\in X$에 대해 국소 콤팩트 정리로 

$x$에 대한 어떤 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$가 존재하여 모든 $B\in \mathcal{B}_x$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하다.

정칙공간 정리로 모든 $x\in O$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여

국소기저의 정의로 $B\subseteq U$인 $B\in \mathcal{B}_x$가 존재하고 폐포 정리로 $B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(U)\subseteq O$이므로

집합 정리와 위상공간 정리로

$O\cap B = B$는 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 $x$의 열린근방이고 $\underset{(O,\mathcal{T}|_O)}{\operatorname{cl}}(B) =O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하여 

콤팩트 정리로 $\underset{(O,\mathcal{T}|_O)}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(O,\mathcal{T}|_O)$에서 콤팩트하므로

$(O,\mathcal{T}|_O)$는 국소 콤팩트공간이고 $(X,\mathcal{T})$는 $O$에서 국소 콤팩트하다.

2.

계승적 성질로 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(C,\mathcal{T}|_C)$는 하우스도르프 공간이다.

모든 $x\in C\subseteq X$에 대해 국소 콤팩트 정리로 어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트집합 $K_x$가 존재하여 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(K_x)$이고

위상공간 정리로 $K_x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 위상공간 정리로 $K_x\cap C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고

$K_x\cap C\subseteq K_x$이므로 콤팩트 정리로 $K_x\cap C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 콤팩트하여

$K_x\cap C\subseteq C$임에 따라 콤팩트 정리로 $K_x\cap C$는 $(C,\mathcal{T}|_C)$에서 콤팩트하다.

내부의 정의로 $U\subseteq K_x$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U$가 존재하여 $U\cap C\subseteq K_x\cap C$이고

위상공간 정리로 $U\cap C$는 $(C,\mathcal{T}|_C)$에서 $x$의 열린근방이므로 내부의 정의로 $x\in \underset{(C,\mathcal{T}|_C)}{\operatorname{int}}(K_x\cap C)$임에 따라 

국소 콤팩트 정리로 $(C,\mathcal{T}|_C)$는 $x$에서 국소 콤팩트하여

$(C,\mathcal{T}|_C)$는 국소 콤팩트공간이고 $(X,\mathcal{T})$는 $C$에서 국소 콤팩트하다.

3.

$(X,\mathcal{T})$가 $D$에서 국소 콤팩트하면

위 정리로 $D =O\cap C$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$와 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$가 존재하여 $D =O\cap C\subseteq C$이므로

조밀집합의 정의와 폐포 정리로 $X = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(D) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C) = C \subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $C = X$이고

$O\subseteq X$이므로 집합 정리로 $D = O\cap C = O\cap X = O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

역으로 $D$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 1번으로 $(X,\mathcal{T})$는 $D$에서 국소 콤팩트하다.

4.

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이므로

콤팩트 정리로 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 국소 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$가 티호노프 공간임에 따라

스톤-체흐 콤팩트화 정리로 $e_X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장이므로

$(X,\mathcal{T})$와 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$의 부분위상공간 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$는 위상동형이고

위상적 성질로 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$는 국소 콤팩트공간이 되어 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 $e_X(X)$에서 국소 콤팩트하므로

$e_X(X)$가 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 조밀집합임에 따라 3번으로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 열린집합이다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$가 국소 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 베르공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 완비거리화가능하면 $(X,\mathcal{T})$는 베르공간이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$의 스톤-체흐 콤팩트화 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$는 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이다.

$(X,\mathcal{T})$가 국소 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이면 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이고

$(X,\mathcal{T})$가 완비거리화가능하면 위상공간 정리와 위상공간 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 티호노프 공간이므로

스톤-체흐 콤팩트화에 나온 함수 $e_X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$로의 조밀매장임에 따라

$(X,\mathcal{T})$와 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$의 부분위상공간 $(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$는 위상동형이다.

$(X,\mathcal{T})$가 국소 콤팩트공간이고 하우스도르프 공간이면

위 정리로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 열린집합이므로 위 정리로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $G_\delta$-집합이고

$(X,\mathcal{T})$가 완비거리화가능하면 완비거리화 정리로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 $G_\delta$-집합이므로

위 정리로 $e_X(X)$는 $(\beta X,\mathcal{T}_{\beta X})$에서 베르집합이 되어

$(e_X(X),\mathcal{T}_{\beta X}|_{e_X(X)})$가 베르공간임에 따라 위상적 성질로 $(X,\mathcal{T})$는 베르공간이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/129#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/129#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen Willard - General Topology - 9780486434797