순서집합(Ordered set)

정의2

부분순서집합(partially ordered set) : 

반사성 : 모든 $x \in X$에 대해 $x \le_X x$이다.

반대칭성 : 임의의 $x,y \in X$가 $x \le_X y$이고 $y \le_X x$이면 $x =y$이다.

추이성 : 임의의 $x,y,z\in X$가 $x \le_X y$이고 $y \le_X z$이면 $x \le_X z$이다.

집합 $X$의 관계 $\le_{X}$가 위 성질을 모두 만족하면 순서쌍 $(X,\le_X)$를 부분순서집합으로 정의하고

관계 $\le_X$를 $X$의 순서관계(ordering relation)로 정의한다.

전순서집합(totally ordered set) : 

부분순서집합 $(X,\le_X)$와 $X$의 부분집합 $Y$에 대해

모든 $y_1,y_2 \in Y$가 $y_1\le_X y_2$ 또는 $y_2 \le_X y_1$를 만족하면 $(Y,\le_X)$를 전순서라고 정의하고

$(X,\le_X)$가 전순서이면 $(X,\le_X)$를 전순서집합 또는 사슬(chain)로 정의한다.

 

 

 

정리6

임의의 부분순서집합 $(X, \le_X)$에 대해 임의의 $Y\subseteq X$로 구성된 $(Y,\le_X)$는 부분순서집합이다.

증명

$Y \subseteq X$이므로 모든 $y \in Y$는 $y \in X$가 되어 $\le_X$에 대해 반사성, 반대칭성, 추이성이 성립하고

$X$의 관계 $\le_X \; \subseteq X\times X$를 $\le_X \cap \; (Y \times Y)$로 나타내면 $\le_X$는 $Y$의 관계이므로 $(Y,\le_X)$는 부분순서집합이다.

 

 

 

정리1

임의의 집합족 $\mathcal{F}$와 부분집합 관계 $\subseteq$에 대해 $(\mathcal{F}, \subseteq)$는 부분순서집합이다.

증명

$\subseteq$를 $\mathcal{F}$의 관계로 정의하면

집합 정리로 반사성, 반대칭성, 추이성을 만족하므로 순서관계이고 $(\mathcal{F}, \subseteq)$는 부분순서집합이다.

 

 

 

정리4

임의의 부분순서집합 $(X, \le_X)$에 대해 임의의 $Y\subseteq X$로 구성된 부분순서집합 $(Y,\le_X)$가 전순서이면

임의의 $Z\subseteq Y$로 구성된 부분순서집합 $(Z,\le_X)$는 전순서이다.

증명

$(Y,\le_X)$가 전순서이므로 모든 $y_1,y_2 \in Y$가 $y_1\le_X y_2$ 또는 $y_2 \le_X y_1$를 만족하고

$Z\subseteq Y$이므로 모든 $z_1,z_2 \in Z$는 $z_1,z_2 \in Y$가 되어 $z_1\le_X z_2$ 또는 $z_2 \le_X z_1$를 만족하므로 $(Z,\le_X)$는 전순서이다.

 

 

 

정의3

부분순서집합 $(X,\le_X)$와 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 다음을 정의한다.

상계(upper bound) :

모든 $y \in Y$에 대해 $y \le_X u$인 $u \in X$가 존재하면 $u$를 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 상계로 정의한다.

상한(supremum), 최소상계(least upper bound) :

$(X,\le_X)$에서 $Y$의 모든 상계 $u \in X$에 대해 $u_0\le_X u $인 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 상계 $u_0 \in X$이 존재하면

$u_0$을 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 상한 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Y = u_0$으로 정의한다.

극대원소(maximal element) : 

어떤 $e \in Y$에 대해 $e\le_X y$인 모든 $y \in Y$가 $e =y$일때 $e$를 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 극대원소로 정의한다.

하계(lower bound) :

모든 $y \in Y$에 대해 $w \le_X y$인 $w \in X$가 존재하면 $w$를 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 하계로 정의한다.

하한(infimum), 최대하계(greatest lower bound) :

$(X,\le_X)$에서 $Y$의 모든 하계 $w \in X$에 대해 $w \le_X w_0 $인 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 하계 $w_0 \in X$이 존재하면

$w_0$을 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 하한 $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Y = w_0$으로 정의한다.

극소원소(minimal element) : 

어떤 $e \in Y$에 대해 $y \le_X e$인 모든 $y \in Y$가 $e =y$일때 $e$를 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 극소원소로 정의한다.

 

 

 

정리8

임의의 부분순서집합 $(X, \le_X)$와 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\le_X)$에서 $Y$가 상한을 가지면 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 상한은 유일하다.

2. $(X,\le_X)$에서 $Y$가 하한을 가지면 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 하한은 유일하다.

3. $(X,\le_X)$에서 $X$의 상계가 존재하면 $(X,\le_X)$에서 $X$의 상계는 유일하고 $(X,\le_X)$에서 $X$의 상한이다.

4. $(X,\le_X)$에서 $X$의 하계가 존재하면 $(X,\le_X)$에서 $X$의 하계는 유일하고 $(X,\le_X)$에서 $X$의 하한이다.

5. 임의의 $Z\subseteq Y$에 대해 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z\in X$가 존재할때 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z\in Y$이면  $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z=\underset{(Y,\le_X)}{\sup} Z$이다.

6. 임의의 $Z\subseteq Y$에 대해 $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z\in X$가 존재할때 $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z\in Y$이면  $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z=\underset{(Y,\le_X)}{\inf} Z$이다.

증명

1.

$(X,\le_X)$에서 $Y$의 상한은 상계이므로 상한 $u_1,u_2 \in X$를 가지면 

$u_1$은 상한이고 $u_2$는 상계이므로 상한의 정의로 $u_1 \le_X u_2$이고

$u_2$은 상한이고 $u_1$는 상계이므로 상한의 정의로 $u_2 \le_X u_1$이 되어 반대칭성으로 $u_1 = u_2$이다.

2.

$(X,\le_X)$에서 $Y$의 하한은 하계이므로 하한 $w_1,w_2 \in X$를 가지면 

$w_1$은 하계이고 $w_2$는 하한이므로 하한의 정의로 $w_1 \le_X w_2$이고

$w_2$은 하계이고 $w_1$는 하한이므로 하한의 정의로 $w_2 \le_X w_1$이 되어 반대칭성으로 $w_1 = w_2$이다.

3.

$(X,\le_X)$에서 $X$의 어떤 상계 $u_0\in X$이 존재하면

$(X,\le_X)$에서 $X$의 모든 상계 $u \in X$에 대해 $u_0,u\in X$이므로 상계의 정의로 $u_0\le_X u$와 $u\le_X u_0$이 성립하여

반대칭성으로 $u_0 = u$이고 상한의 정의로 $u_0$은 $(X,\le_X)$에서 $X$의 상한이다.

4.

$(X,\le_X)$에서 $X$의 어떤 하계 $w_0\in X$이 존재하면

$(X,\le_X)$에서 $X$의 모든 하계 $w \in X$에 대해 $w_0,w\in X$이므로 하계의 정의로 $w_0\le_X w$와 $w\le_X w_0$이 성립하여

반대칭성으로 $w_0 = w$이고 하한의 정의로 $w_0$은 $(X,\le_X)$에서 $X$의 하한이다.

5.

$(X,\le_X)$에서 $Z$의 상한 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z\in X$는 $(X,\le_X)$에서 $Z$의 상계이므로

모든 $z\in Z$에 대해 $z\le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} Z$이고 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z\in Y$임에 따라 $(Y,\le_X)$에서 $Z$의 상계이다.

$(Y,\le_X)$에서 $Z$의 모든 상계 $u\in Y$는

모든 $z\in Z$에 대해 $z\le_X u$이고 $u\in Y\subseteq X$이므로 $(X,\le_X)$에서 $Z$의 상계가 되어

$(X,\le_X)$에서 $Z$의 상한 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z\in X$에 대해 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z\le_X u$이고 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z\in Y$임에 따라 

$\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z$는 $(Y,\le_X)$에서 $Z$의 상한이므로 1번으로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Z=\underset{(Y,\le_X)}{\sup} Z$이다.

6.

$(X,\le_X)$에서 $Z$의 하한 $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z\in X$는 $(X,\le_X)$에서 $Z$의 하계이므로

모든 $z\in Z$에 대해 $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z\le_X z$이고 $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z\in Y$임에 따라 $(Y,\le_X)$에서 $Z$의 하계이다.

$(Y,\le_X)$에서 $Z$의 모든 하계 $w \in Y$는

모든 $z\in Z$에 대해 $w\le_X z$이고 $w\in Y\subseteq X$이므로 $(X,\le_X)$에서 $Z$의 하계가 되어

$(X,\le_X)$에서 $Z$의 하한 $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z\in X$에 대해 $w\le_X\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z$이고 $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z\in Y$임에 따라 

$\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z$는 $(Y,\le_X)$에서 $Z$의 하한이므로 2번으로 $\underset{(X,\le_X)}{\inf} Z=\underset{(Y,\le_X)}{\inf} Z$이다.

 

 

 

정리7

집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 임의의 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$와 부분집합 관계 $\subseteq$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$의 상한은 합집합 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\sup} \mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F} \in  \mathcal{P}(X)$이다.

2. $\mathcal{F}\ne \emptyset$일때 $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$의 하한은 교집합 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\inf} \mathcal{F} = \bigcap \mathcal{F} \in \mathcal{P}(X)$이다.

3. $X \in \mathcal{F}$이면 $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$의 상한은 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\sup} \mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F} = X \in  \mathcal{F}$이다.

4. $\emptyset \in \mathcal{F}$이면 $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$의 하한은 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\inf} \mathcal{F} = \bigcap \mathcal{F} =\emptyset \in \mathcal{F}$이다.

증명

1.

합집합의 정의로

모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $\displaystyle A \subseteq \bigcup \mathcal{F}$이고 모든 $\displaystyle x \in \bigcup \mathcal{F}$에 대해 $x \in A \subseteq X$인 $A \in \mathcal{F}$가 존재하여

$\displaystyle  \bigcup \mathcal{F} \subseteq X$이므로 멱집합의 정의로 $\displaystyle  \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{P}(X)$이고 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}$는 $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$의 상계이다.

또 모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $A \subseteq U$인 $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$의 상계 $U \in \mathcal{P}(X)$가 존재하면

모든 $\displaystyle x \in \bigcup \mathcal{F}$에 대해 $x \in A \subseteq U$인 $A \in \mathcal{F}$가 존재하여 $\displaystyle  \bigcup \mathcal{F} \subseteq U$이므로 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\sup} \mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F} \in  \mathcal{P}(X)$이다.

2.

교집합의 정의로

모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F} \subseteq A \subseteq X$이므로 멱집합의 정의로 $\displaystyle  \bigcap \mathcal{F} \in \mathcal{P}(X)$이고

$\displaystyle \bigcap \mathcal{F}$는 $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$의 하계이다.

또 모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $W \subseteq A $인 $(\mathcal{P}(X), \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$의 하계 $W \in \mathcal{P}(X)$가 존재하면

$x \in W$일때 모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $x \in A$이므로 교집합의 정의로 $\displaystyle W \subseteq  \bigcap \mathcal{F}$이고 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\inf} \mathcal{F} = \bigcap \mathcal{F} \in  \mathcal{P}(X)$이다.

3.

합집합의 정의와 가정으로

모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $\displaystyle A \subseteq \bigcup \mathcal{F}$이고 $X \in \mathcal{F}$이므로 $\displaystyle X \subseteq \bigcup \mathcal{F}$이고 

모든 $\displaystyle x \in \bigcup \mathcal{F}$에 대해 $x \in A \subseteq X$인 $A \in \mathcal{F}$가 존재하여 $\displaystyle  \bigcup \mathcal{F} \subseteq X$이므로

반대칭성으로 $\displaystyle  \bigcup \mathcal{F} = X$이고 1번으로 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\sup} \mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F} = X \in \mathcal{F}$이다.

4.

 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F} \ne \emptyset$이라 가정할때

교집합의 정의로 $\displaystyle x \in \bigcap \mathcal{F}$가 존재하여 모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $x \in A$인데

가정으로 $\emptyset \in \mathcal{F}$이므로 $x \in \emptyset$인 $x$는 존재하지 않아 모순이므로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F} = \emptyset$이고

2번으로 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\inf} \mathcal{F} = \bigcap \mathcal{F} =\emptyset \in \mathcal{F}$이다.

 

 

 

정리5

임의의 부분순서집합 $(X, \le_X)$에 대해

공집합이 아닌 임의의 $Y \subseteq X$로 구성된 부분순서집합 $(Y,\le_X)$가 전순서이고 상한 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Y \in X$를 가질때

임의의 $v \in Y$에 대해 $v \ne \underset{(X,\le_X)}{\sup} Y$이면 $v\ne \overline{y}$이고 $v \le_X \overline{y}$인 $\overline{y} \in Y$가 존재한다.

증명

$v \in Y$이므로 상계의 정의로 $v \le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} Y$이고 $v \ne \underset{(X,\le_X)}{\sup} Y$를 가정하였으므로

$v$가 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 상계라고 가정하면

상한의 정의로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Y \le_X v$가 되어 반대칭성으로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Y = v$이므로 모순이다.

$v$는 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 상계가 아니므로

모든 $y \in Y$에 대해 $y \le_X v$임이 거짓이 되어 $\overline{y} \le_X v$가 거짓인 $\overline{y} \in Y$가 존재한다.

따라서 $v \in Y$이고 $(Y,\le_X)$가 전순서이므로 $\overline{y} \le_X v$가 아니면 $v\le_X \overline{y}$가 성립하고

$v = \overline{y}$이면 반사성으로 $\overline{y} \le_X v$가 되어 모순이므로 $v\ne \overline{y}$이고 $v \le_X \overline{y}$인 $\overline{y} \in Y$가 존재한다.

 

 

 

정리18

집합 $X,Y$와 집합족 $\mathcal{F},\mathcal{G}$에 대해 모든 $A \in \mathcal{F}$가 $A\subseteq X$일때 함수 $f : X \to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle f( \bigcup_{A \in \mathcal{F}}A) =  \bigcup_{A \in \mathcal{F}}f(A)$

2. $\mathcal{F}\ne \emptyset$일때 $\displaystyle f( \bigcap_{A \in \mathcal{F}}A) \subseteq  \bigcap_{A \in \mathcal{F}}f(A)$이다.

3. $\mathcal{F}\ne \emptyset$일때 $f$가 단사이면 $\displaystyle f( \bigcap_{A \in \mathcal{F}}A) = \bigcap_{A \in \mathcal{F}}f(A)$이다.

4. $\displaystyle f^{-1}( \bigcup_{B \in \mathcal{G}}B) =  \bigcup_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B)$

5. $\mathcal{G}\ne \emptyset$일때 $\displaystyle f^{-1}( \bigcap_{B \in \mathcal{G}}B) =  \bigcap_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B)$이다.

증명

1.

합집합의 정의로 임의의 $x \in \displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{F}}A$는 $x \in A \subseteq X$인 $A \in \mathcal{F}$가 존재하여 $\displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{F}}A \subseteq X$이고

함수 상의 정의로 $y \in \displaystyle f(\bigcup_{A \in \mathcal{F}} A) = \{ f(x) : x \in \bigcup_{A\in \mathcal{F}}A \}$이면

$y = f(x)$인 $x \in \displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{F}}A$가 존재하여 $x \in A$인 $A \in \mathcal{F}$가 존재하므로

$y=f(x) \in f(A) $이고 $y=f(x) \in \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}}f(A)$가 되어 $\displaystyle f( \bigcup_{A \in \mathcal{F}}A) \subseteq  \bigcup_{A \in \mathcal{F}}f(A)$이다.

$y \in \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}}f(A)$이면 $y \in f(A)$인 $A \in \mathcal{F}$가 존재하므로 $y= f(x)$인 $x \in A$가 존재하여

$x \in \displaystyle \bigcup_{A\in \mathcal{F}}A$이고 $y= f(x) \in \displaystyle f(\bigcup_{A \in \mathcal{F}} A)$가 되어 $\displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}}f(A) \subseteq f( \bigcup_{A \in \mathcal{F}}A) $이다.

따라서 집합정리로 $\displaystyle f( \bigcup_{A \in \mathcal{F}}A) =  \bigcup_{A \in \mathcal{F}}f(A)$이다.

2.

교집합의 정의로 임의의 $x \in \displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}A$는 모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $x \in A \subseteq X$이므로 $\displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}A \subseteq X$이고

함수 상의 정의로 $y \in \displaystyle f(\bigcap_{A\in \mathcal{F}}A) = \{ f(x) : x \in \bigcap_{A\in \mathcal{F}}A \}$이면

$y = f(x)$인 $x \in \displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}A$가 존재하여 모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $x \in A$이므로

모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $y = f(x) \in f(A)$가 되어 $y =f(x)\in \displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}f(A)$이고 $\displaystyle f( \bigcap_{A \in \mathcal{F}}A) \subseteq  \bigcap_{A \in \mathcal{F}}f(A)$이다.

3.

$f$가 단사이고 $y \in \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}}f(A)$이면

모든 $A\in \mathcal{F}$에 대해 $y \in f(A)$이므로 모든 $A\in \mathcal{F}$에 대해 $y= f(x_A)$인 $x_A \in A$가 존재하고 $f$가 단사임에 따라

$x_A \in A$는 유일하므로 $x_A \in \displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}A$가 되어 $y= f(x_A) \in \displaystyle f( \bigcap_{A\in \mathcal{F}}A)$이고 $ \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}}f(A) \subseteq f(\bigcap_{A\in \mathcal{F}}A)$이다.

따라서 2번으로 $\displaystyle f( \bigcap_{A \in \mathcal{F}}A) \subseteq  \bigcap_{A \in \mathcal{F}}f(A)$이므로 집합정리로 $\displaystyle f( \bigcap_{A \in \mathcal{F}}A) = \bigcap_{A \in \mathcal{F}}f(A)$이다.

4.

함수 역상의 정의로 $x \in \displaystyle f^{-1}(\bigcup_{B \in \mathcal{G}}B) = \{ x \in X : f(x) \in \bigcup_{B \in \mathcal{G}}B \}$이면 $\displaystyle f(x) \in \bigcup_{B \in \mathcal{G}}B $이므로

$f(x) \in B $인 $B \in \mathcal{G}$가 존재하여 $x \in f^{-1}(B)\subseteq\displaystyle \bigcup_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B) $이고 $\displaystyle f^{-1}( \bigcup_{B \in \mathcal{G}}B) \subseteq  \bigcup_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B)$이다.

$x \in \displaystyle \bigcup_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B)$이면 $x \in f^{-1}(B)$인 $B \in \mathcal{G}$가 존재하여 $f(x) \in B \subseteq \displaystyle \bigcup_{B \in \mathcal{G}}B$이므로

$x \in  \displaystyle f^{-1}(\bigcup_{B \in \mathcal{G}}B)$이고 $ \displaystyle \bigcup_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\bigcup_{B \in \mathcal{G}}B)$가 되어 집합정리로 $\displaystyle f^{-1}( \bigcup_{B \in \mathcal{G}}B) =  \bigcup_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B)$이다.

5.

함수 역상의 정의로 $x \in \displaystyle f^{-1}(\bigcap_{B \in \mathcal{G}}B) = \{ x \in X : f(x) \in \bigcap_{B \in \mathcal{G}}B \}$이면 $f(x) \in \displaystyle \bigcap_{B \in \mathcal{G}}B$이므로

모든 $B \in \mathcal{G}$에 대해 $f(x) \in B$가 되어 $x \in f^{-1}(B)$이고 $x \in \displaystyle \bigcap_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B)$이므로 $\displaystyle f^{-1}( \bigcap_{B \in \mathcal{G}}B) \subseteq \bigcap_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B)$이다.

 $\displaystyle x\in \bigcap_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B)$이면 모든 $B \in \mathcal{G}$에 대해 $x \in f^{-1}(B)$이므로

$f(x) \in B$이고 $f(x) \in \displaystyle \bigcap_{B \in \mathcal{G}}B$가 되어 $x \in \displaystyle f^{-1}( \bigcap_{B \in \mathcal{G}}B)$이므로 $\displaystyle \bigcap_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B) \subseteq f^{-1}(\bigcap_{B \in \mathcal{B}}B)$이다.

따라서 집합정리로 $\displaystyle f^{-1}( \bigcap_{B \in \mathcal{G}}B) =  \bigcap_{B \in \mathcal{G}}f^{-1}(B)$이다.

 

 

 

정리2(부르바키[Bourbaki]-비트[Witt] 고정점 정리)

공집합이 아닌 임의의 집합 $X$의 부분순서집합 $(X,\le_X)$에 대해

공집합이 아닌 임의의 $Y \subseteq X$로 구성된 부분순서집합 $(Y,\le_X)$가 전순서일때 상한 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Y \in X$를 가지면

모든 $x \in X$에 대해 $x \le_X f(x)$인 함수 $f : X\to X$는 $f(p)=p$가 되는 $p \in X$가 존재한다.

증명

멱집합 공리로 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$가 존재하므로 임의의 $z \in X$에 대해 분류 공리로

$\mathcal{F}_z = \{ A \in \mathcal{P}(X) : z \in A \text{ 와 } f(A) \subseteq A \text{를 만족하고 공집합이 아닌 } B \subseteq A \text{에 대해 } (B,\le_X) \text{가 전순서이면} \underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in A  \text{ 이다.}  \} \text{ 로 정의되는}$

집합족 $\mathcal{F}_z$가 존재하고 정리의 가정으로 $X \in \mathcal{F}_z$이므로 $\mathcal{F}_z$는 공집합이 아니다.

 

$S_z = \{  s \in X : z \le_X s \}$인 집합은 반사성으로 $z\le_X z$가 되어 $z \in S_z$이고

모든 $s \in S_z$는 $z \le_X s$이고 $f$의 정의로 $z \le_X s \le_X f(s)$가 되어 $f(s) \in S_z$이므로 $f(S_z) \subseteq S_z$이다.

또 공집합이 아닌 $B \subseteq S_z \subseteq X$에 대해 $(B,\le_X)$가 전순서이면 정리의 가정으로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in X$가 존재하여

상계의 정의로 모든 $b \in B \subseteq S_z$에 대해 $z \le_X b \le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$이므로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in S_z$이고 $S_z \in \mathcal{F}_z$이다.

 

교집합 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_z = \bigcap_{A \in \mathcal{F}_z} A$에 대해 모든 $A \in \mathcal{F}_z$는 $z \in A$이므로 $\displaystyle z \in \bigcap \mathcal{F}_z$가 되어 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_z$는 공집합이 아니다.

$\mathcal{F}_z$의 정의로 모든 $A \in \mathcal{F}_z$에 대해 $f(A)\subseteq A$이므로 $x \in f(A)$이면 $x \in A$가 되어

한정기호 정리로 모든 $A \in \mathcal{F}_z$에 대해 $x \in f(A)$이면 모든 $A \in \mathcal{F}_z$에 대해 $x \in A$이고

교집합의 정의로 $\displaystyle x \in \bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}f(A)$이면 $\displaystyle x \in \bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}A$이므로 $\displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}f(A) \subseteq \bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}A$이고

위 정리로 $\displaystyle f(\bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}A) \subseteq \bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}f(A) $이므로 $\displaystyle f(\bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}A) \subseteq \bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}f(A) \subseteq  \bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}A$이다.

$\mathcal{F}_z$의 정의로 모든 $A \in \mathcal{F}_z$에 대해 공집합이 아니고 $B \subseteq A$인 $(B,\le_X)$가 전순서이면 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in A$이므로

한정기호 정리로 모든 $A \in \mathcal{F}_z$에 대해 공집합이 아니고 $B \subseteq A$인 $(B,\le_X)$가 전순서이면

모든 $A \in \mathcal{F}_z$에 대해 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in A$가 되어 교집합의 정의로 $\displaystyle B \subseteq \bigcap_{A\in \mathcal{F}_z} A$인 $(B,\le_X)$가 전순서일때

$\displaystyle \underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in \bigcap_{A \in \mathcal{F}_z}A$이고 $\mathcal{F}_z$의 정의로 $\displaystyle \bigcap\mathcal{F}_z = \bigcap_{A\in \mathcal{F}_z} A \in \mathcal{F}_z$이다.

또 모든 $\displaystyle x\in  \bigcap \mathcal{F}_z$는 모든 $A \in \mathcal{F}_z$에 대해 $x \in A$이므로 $\displaystyle  \bigcap \mathcal{F}_z \subseteq  A$가 되어

$S_z \in \mathcal{F}_z$에 대해 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_z \subseteq S_z$이고 $S_z$의 정의로 모든 $\displaystyle x \in \bigcap \mathcal{F}_z $는 $z \le_X x$이다.

 

$\displaystyle C = \{ c \in \bigcap\mathcal{F}_z :  \text{ 어떤 }x \in \bigcap\mathcal{F}_z \text{ 에 대해  } x \ne c\text{이고 } x \le_X c \text{ 이면 } f(x) \le_X c \text{ 이다.}  \}$인 집합은

$\displaystyle C \subseteq \bigcap \mathcal{F}_z$이고 $\displaystyle z \in \bigcap \mathcal{F}_z $는 $(X,\le_X)$에서 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_z$의 극소원소이므로

$x \le_X z$인 모든 $\displaystyle x \in \bigcap \mathcal{F}_z$는 $x =z $가 되어 공허하게 $z \in C$이고 $C$는 공집합이 아니다.

 

임의의 $c \in C$에 대해

$\displaystyle D_c = \{ d \in \bigcap \mathcal{F}_z :d\le_X c \text{ 또는 } f(c) \le_X d  \}$인 집합은 $z\le_X c$이므로 $z\in D_c$가 되어 $D_c$는 공집합이 아니다.

임의의 $\displaystyle d \in D_c \subseteq \bigcap \mathcal{F}_z$에 대해 $\mathcal{F}_z$의 정의로 $\displaystyle f(\bigcap \mathcal{F}_z)  \subseteq  \bigcap \mathcal{F}_z$이므로 $\displaystyle f(d) \in  \bigcap \mathcal{F}_z$가 되어

$f(D_c) \subseteq D_c$임을 보이기 위해선 임의의 $d \in D_c$에 대해 $f(d) \le_X c$ 또는 $f(c) \le_X f(d)$가 성립해야 한다.

임의의 $d \in D_c$가 $d\le_X c$일때

$d = c$이면 $f$는 함수이므로 $f(d) = f(c)$가 되어 반사성으로 $f(c)\le_X f(d)$이므로 $f(d) \in D_c$이고

$d\ne c$이면 $c \in C$이므로 $C$의 정의로 $f(d) \le_X c $가 되어 $f(d) \in D_c$이다.

또 $f(c) \le_X d$이면 $f$의 정의로 $f(c) \le_X d \le_X f(d)$이므로 $f(d) \in D_c$가 되어 $f(D_c) \subseteq D_c$이다.

공집합이 아니고 $\displaystyle E \subseteq D_c \subseteq \bigcap \mathcal{F}_z$인 $(E,\le_X)$가 전순서이면 $\mathcal{F}_z$의 정의로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} E \in \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_z$가 존재하여

$\underset{(X,\le_X)}{\sup} E \in D_c$임을 보이기 위해선 $D_c$의 정의로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} E \le_X c$이거나 $f(c) \le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} E$이어야 한다.

모든 $e \in E \subseteq D_c$가 $e \le_X c$이면

$c$는 $(X,\le_X)$에서 $E$의 상계이고 상한의 정의로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} E \le_X c$이므로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} E \in D_c$이고

$f(c) \le_X e$인 $e\in E$가 존재하면 상계의 정의로 $f(c) \le_X e \le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} E$이므로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} E \in D_c$이고 $D_c \in \mathcal{F}_z$이다.

따라서 교집합의 정의로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_z \subseteq D_c$이고 $D_c$의 정의로 $\displaystyle D_c \subseteq \bigcap \mathcal{F}_z$이므로 반대칭성으로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_z = D_c$이다.

 

$C$의 정의로 임의의 $c \in C$는 어떤 $\displaystyle x \in  D_c  =\bigcap \mathcal{F}_z $에 대해 $x\ne c$이고 $x\le_X c$이면 $f(x)\le_X c$이고

임의의 $\displaystyle c \in C \subseteq \bigcap \mathcal{F}_z$에 대해 $\mathcal{F}_z$의 정의로 $\displaystyle f(\bigcap \mathcal{F}_z)  \subseteq  \bigcap \mathcal{F}_z$이므로 $\displaystyle f(c) \in  \bigcap \mathcal{F}_z$이 되어

$f(C) \subseteq C$임을 보이기 위해선

모든 $c \in C$에 대해 $x \ne f(c)$이고 $x \le_X f(c)$인 $x \in D_c$가 존재할때 $f(x) \le_X f(c)$인 명제가 참임을 보여야 한다.

임의의 $x \in D_c$는 $D_c$의 정의로 $x\le_X c$이거나 $f(c)\le_X x$이므로

$x \ne f(c)$이고 $x \le_X f(c)$일때 $f(c)\le_X x$인 $x \in D_c$는 반대칭성으로 $x = f(c)$가 되어 모순이므로 존재하지 않는다.

$x \ne f(c)$이고 $x \le_X f(c)$일때 $x\le_X c$인 $x \in D_c$가 존재하면

$c \in C$이므로 $x\ne c$일때 $C$의 정의로 $f(x)\le_X c$가 되어 $f$의 정의로 $f(x)\le_X c \le_X f(c)$이므로 $f(c) \in C$이고 

$x = c$일때 $f$가 함수임에 따라 $f(x) = f(c)$가 되어 반사성으로 $f(x) \le_X f(c)$이고 $f(c) \in C$이므로 $f(C) \subseteq C$이다.

공집합이 아니고 $\displaystyle B \subseteq C \subseteq \bigcap \mathcal{F}_z$인 $(B,\le_X)$가 전순서이면 $\mathcal{F}_z$의 정의로 $\displaystyle \underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in \bigcap \mathcal{F}_z$가 존재하여

$\underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in C$임을 보이기 위해선

$x\ne \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$이고 $x \le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$인 $\displaystyle x \in \bigcap \mathcal{F}_z$가 존재할때 $f(x) \le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$이어야한다.

임의의 $b \in B\subseteq C$에 대해 $\displaystyle D_b =  \bigcap \mathcal{F}_z = D_c$이므로 모든 $x \in \displaystyle \bigcap \mathcal{F}_z $는 $D_b$의 정의로 $x \le_X b$이거나 $f(b) \le_X x$이다.

$\displaystyle x \in \bigcap \mathcal{F}_z$가 존재하여 $x\ne \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$이고 $x \le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$일때 모든 $b \in B$에 대해 $f(b) \le_X x$이면

$f$의 정의로 $b\le_X f(b) \le_X x$가 되어 $x$는 $(X,\le_X)$에서 $B$의 상계이므로 상한의 정의로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} B \le_X x$이고

반대칭성으로 $x = \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$가 되어 모순이므로

모든 $\displaystyle x \in \bigcap \mathcal{F}_z$에 대해 $x\ne \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$이고 $x \le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$일때 $x \le_X b$인 $b \in B$가 존재한다.

$x\ne b $이면

$b \in B\subseteq C$는 $C$의 정의로 $f(x)\le_X b$가 되어 상계의 정의로 $f(x)\le_X b \le_X \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$이므로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in C$이고

$x= b \in B$이면 

$x \ne \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$이고 $(B,\le_X)$가 전순서이므로 위 정리로 $x \ne \overline{b}$이고 $x \le_X \overline{b}$인 $\overline{b} \in B$가 존재하여

$C$의 정의와 상계의 정의로 $f(x)\le_X \overline{b} \le \underset{(X,\le_X)}{\sup} B$이므로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} B \in C$이고 $C \in \mathcal{F}_z$이다.

따라서 교집합의 정의로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{F}_z \subseteq C$이고 $C$의 정의로 $\displaystyle C \subseteq \bigcap \mathcal{F}_z$이므로 반대칭성으로 $\displaystyle D_c = \bigcap \mathcal{F}_z = C$이다.

모든 $c_1, c_2 \in C = D_{c_2}$는 $D_{c_2}$의 정의와 $f$의 정의로 $c_1 \le_X c_2$이거나 $c_2\le_X f(c_2)\le_X c_1$이므로

$(C,\le_X)$는 전순서가 되어 $C \in \mathcal{F}_z$는 $\mathcal{F}_z$의 정의와 반사성 $C \subseteq C$로 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} C \in C$이다.

$p = \underset{(X,\le_X)}{\sup} C \in C$로 두면 $f$의 정의로 $p\le_X f(p)$이고

$\mathcal{F}_z$의 정의로 $f(C) \subseteq C$이므로 $f(p) \in C$가 되어 상계의 정의로 $f(p)\le_X p$이므로 반대칭성으로 $p =f(p)$이다.

 

 

 

정리10

공집합이 아닌 임의의 집합 $X$의 부분순서집합 $(X,\le_X)$에 대해

공집합이 아닌 임의의 $Y \subseteq X$로 구성된 부분순서집합 $(Y,\le_X)$가 전순서일때 상한 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Y \in X$를 가지면

$(X,\le_X)$에서 $X$는 극대원소를 갖는다

증명

귀류법으로 $(X,\le_X)$에서 $X$가 극대원소를 갖지 않는다고 가정하면

$e \le_X x$인 모든 $x \in X$가 $e = x$가 되는 $e \in X$가 존재하지 않으므로

모든 $e \in X$에 대해 $e \le_X x$이고 $e \ne x$인 $x \in X$가 존재하여

모든 $e \in X$에 대해 공집합이 아닌 집합 $A_e = \{ x \in X  : e \le_X x \text{이고 } e \ne x \}$가 유일하게 존재하므로

선택공리로 $g(e) =  x_e \in A_e$인 선택함수 $g : X \to \displaystyle \bigcup_{e \in X} A_e$가 존재하고

모든 $e \in X$에 대해 $f(e) = g(e) = x_e \in X$인 함수 $f : X \to X$는 $e \le_X f(e) $이고 $e \ne f(e)$가 된다.

따라서 정리의 가정으로 공집합이 아닌 $Y \subseteq X$로 구성된

임의의 부분순서집합 $(Y,\le_X)$가 전순서일때 상한 $\underset{(X,\le_X)}{\sup} Y \in X$가 존재하므로

위 정리로 $f(p) = p$인 $p \in X$가 존재하는데 $p \ne f(p) $임에 모순이 되어 $(X,\le_X)$에서 $X$는 극대원소를 갖는다.

 

 

 

정리3(하우스도르프[Hausdorff]의 극대원리)

공집합이 아닌 임의의 집합 $X$의 부분순서집합이 $(X,\le_X)$이고 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때

집합족 $\mathcal{F} = \{ A \in \mathcal{P}(X) : A \ne \emptyset \text{이고 부분순서집합 } (A,\le_X) \text{ 가 전순서이다.}  \}$와 부분집합 관계 $\subseteq$에 대해

부분순서집합 $(\mathcal{F}, \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$는 극대원소를 갖는다.

증명

$X$는 공집합이 아니므로 $x \in X$가 존재하여 $\{  x\} \subseteq X$이고 멱집합의 정의로 $\{ x \} \in \mathcal{P}(X)$이므로

모든 $x \in \{x\}$에 대해 반사성으로 $x \le_X x$이므로 $(\{ x\},\le_X)$는 전순서이고 $\{ x\} \in \mathcal{F}$가 되어 $\mathcal{F}$는 공집합이 아니다.

$\mathcal{F}$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathcal{F})$에 대해 집합족 $\mathbf{A} = \{ \mathcal{G} \in \mathcal{P}(\mathcal{F}) : \mathcal{G} \ne \emptyset \text{이고 부분순서집합 } (\mathcal{G},\subseteq) \text{가 전순서이다.}\}$를 정의하면

$\mathcal{F}$가 공집합이 아니므로 위에서 보인 것과 비슷하게 $\mathbf{A}$는 공집합이 아니고

임의의 $\mathcal{G} \in \mathbf{A}$의 합집합에 대해 모든 $\displaystyle y_1,y_2 \in \bigcup \mathcal{G}$는 $y_1 \in Y_1$이고 $y_2 \in Y_2$인 $Y_1,Y_2\in \mathcal{G}$가 존재하여

$\mathbf{A}$의 정의로 $(\mathcal{G},\subseteq)$는 전순서이므로 $Y_1 \subseteq Y_2$라고 가정하면 $y_1,y_2 \in Y_2$이고 $Y_2 \in \mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$이므로

$\mathcal{F}$의 정의로 $(Y_2, \le_X)$가 전순서임에 따라 $y_1 \le_X y_2$ 또는 $y_2 \le_X y_1$이 성립하여

$\displaystyle (\bigcup \mathcal{G}, \le_X)$는 전순서이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{G} \in \mathcal{F}$이고

위 정리로 부분순서집합 $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$에서 $\mathcal{G}$의 상한은 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\sup} \mathcal{G} = \bigcup \mathcal{G} \in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

따라서 공집합이 아닌 모든 $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$에 대해 $(\mathcal{G},\subseteq)$가 전순서일때 

$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(X)$이고 $\displaystyle \underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\sup} \mathcal{G}  \in \mathcal{F}$이므로 $\displaystyle \underset{(\mathcal{F},\subseteq)}{\sup} \mathcal{G}=\underset{(\mathcal{P}(X),\subseteq)}{\sup} \mathcal{G} $가 되어 상한 $\displaystyle \underset{(\mathcal{F},\subseteq)}{\sup} \mathcal{G} = \bigcup \mathcal{G} \in \mathcal{F}$를 가지므로

위 정리로 $(\mathcal{F}, \subseteq)$에서 $\mathcal{F}$는 극대원소를 갖는다.

 

 

 

정리9(초른[Zorn]의 보조정리)

공집합이 아닌 임의의 집합 $X$의 부분순서집합 $(X,\le_X)$에 대해 

공집합이 아닌 임의의 $Y \subseteq X$로 구성된 부분순서집합 $(Y,\le_X)$가 전순서일때 $(X,\le_X)$에서 $Y$가 상계를 가지면

$(X,\le_X)$에서 $X$는 극대원소를 갖는다.

증명

위 정리로 $\mathcal{F} = \{ A \in \mathcal{P}(X) : A \ne \emptyset \text{이고 부분순서집합 } (A,\le_X) \text{ 가 전순서이다.}  \}$에 대해

$(\mathcal{F},\subseteq)$에서 $\mathcal{F}$는 극대원소 $A \in \mathcal{F}$를 갖고 $(A, \le_X)$는 전순서이므로 $(X,\le_X)$에서 $A$는 상계 $u \in X$를 갖는다.

$u\le_X x$인 $x \in X$가 존재한다고 가정할때 임의의 $a_1,a_2 \in A\cup \{ x\}$는 $A$에 속하거나 $\{ x\}$에 속하므로

$a_1,a_2 \in A$이면 $(A, \le_X)$가 전순서이므로 $a_1 \le_X a_2$ 또는 $a_2 \le_X a_1$이고

$a_1,a_2 \in \{ x \}$이면 $a_1 = x = a_2$이므로 반사성으로 $a_1 \le_X a_2$ 와 $a_2 \le_X a_1$가 성립하고

$a_1 \in A$이고 $a_2 = x$이면 $u \in X$는 $(X, \le_X)$에서 $A$의 상계이므로 추이성으로 $a_1\le_X u \le_X a_2$가 되어

$(A \cup \{x\}, \le_X)$는 전순서이고 $A\cup \{ x\} \ne \emptyset$이므로 $\mathcal{F}$의 정의로 $A\cup \{ x\} \in \mathcal{F}$이다.

또 $A\subseteq A\cup \{ x\}$이고 $A \in \mathcal{F}$는 $(\mathcal{F},\subseteq)$에서 $\mathcal{F}$의 극대원소이므로 $A = A \cup \{ x \}$가 되어 $x \in A$이고

모든 $a \in A $는 $(X,\le_X)$에서 $A$의 상계 $u \in X$에 대해

$a \le u\le_X x$이므로 $a = x$일때 $x \le u\le_X x$가 되어 반대칭성으로 $u = x$이다.

따라서 $u\le_X x$인 모든 $x \in X$는 $u = x$이므로 $u \in X$는 $(X,\le_X)$에서 $X$의 극대원소이다.

 

 

 

정리12

임의의 집합 $X_1,X_2,X_3$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X_1 \subseteq X_2 \subseteq X_3$이면 $X_3\setminus X_1 = (X_3 \setminus X_2) \cup (X_2 \setminus X_1)$이다.

2. $X_1 \subseteq X_2 $이면 $X_3\setminus X_2 \subseteq X_3 \setminus X_1$이다.

증명

1.

$X_1 \subseteq X_2 \subseteq X_3$이므로 집합 정리로 $X_1 \subseteq X_3$이고 부분집합의 정의로 $(x \in X_1) \to (x \in X_3) \equiv \mathbf{T}$이다.

또 집합 정리로 $X_2 \cup X_3 = X_3$이고 $X_1 \cap X_2 = X_1$이므로

여집합, 합집합의 정의와 명제 연산 정리와 조건문 정리로

$\begin{align*} x \in  (X_3 \setminus X_2) \cup (X_2 \setminus X_1) & \equiv (x\in X_3 \setminus X_2 ) \lor (x\in X_2 \setminus X_1) \\[0.5em] & \equiv ((x\in X_3) \land (x \notin X_2) ) \lor ((x\in X_2) \land (x \notin X_1)) \\[0.5em] & \equiv ((x\in X_3) \land (x \notin X_2) ) \lor (x\in X_2)) \land (((x\in X_3) \land (x \notin X_2) )\lor (x \notin X_1)) \\[0.5em] & \equiv (((x\in X_3)\lor (x\in X_2))\land ((x \notin X_2) \lor (x\in X_2))) \land (((x\in X_3) \lor (x \notin X_1) ) \land ((x \notin X_2) \lor (x \notin X_1) )) \\[0.5em] & \equiv (((x\in X_3)\lor (x\in X_2))\land \mathbf{T} ) \land (((x\in X_3) \lor (x \notin X_1) ) \land ((x \notin X_2) \lor (x \notin X_1) )) \\[0.5em] & \equiv ((x\in X_3)\lor (x\in X_2)) \land ((x\in X_3) \lor \neg(x \in X_1) ) \land (\neg(x \in X_2) \lor \neg (x \in X_1) ) \\[0.5em] & \equiv (x\in X_3 \cup X_2) \land ( \neg(x \in X_1) \lor (x\in X_3) ) \land \neg ((x \in X_2) \land (x \in X_1) ) \\[0.5em] & \equiv (x\in X_3 ) \land ( (x \in X_1) \to (x\in X_3) ) \land \neg (x \in X_2\cap X_1) \\[0.5em] & \equiv (x\in X_3 ) \land \mathbf{T} \land \neg (x \in X_1) \\[0.5em] & \equiv (x\in X_3 ) \land \neg (x \in X_1) \\[0.5em] & \equiv x\in X_3 \setminus X_1 \text{ 이 되어} \end{align*}$

$X_3\setminus X_1 = (X_3 \setminus X_2) \cup (X_2 \setminus X_1)$이다.

2.

$X_1 \subseteq X_2$이므로 부분집합의 정의로 $(x \in X_1) \to (x \in X_2) \equiv \mathbf{T}$이고

여집합의 정의와 명제 연산 정리와 조건문 정리로

$\begin{align*} (x \in X_3\setminus X_2) \to ( x\in  X_3 \setminus X_1) & \equiv \neg (x \in X_3\setminus X_2) \lor ( x\in  X_3 \setminus X_1) \\[0.5em] & \equiv \neg ((x \in X_3) \land (x \notin X_2)) \lor ( (x\in X_3) \land (x \notin X_1) ) \\[0.5em] & \equiv (\neg (x \in X_3) \lor (x \in X_2)) \lor ( (x\in X_3) \land \neg (x \in X_1) ) \\[0.5em] & \equiv \neg (x \in X_3) \lor (x \in X_2) \lor ( (x\in X_3) \land \neg (x \in X_1) ) \\[0.5em] & \equiv \neg (x \in X_3) \lor (((x \in X_2) \lor (x\in X_3)) \land ((x \in X_2) \lor \neg (x \in X_1) ) ) \\[0.5em] & \equiv \neg (x \in X_3) \lor ((x \in X_2) \lor (x\in X_3)) \land (\neg (x \in X_1) \lor (x \in X_2) ) ) \\[0.5em] & \equiv \neg (x \in X_3) \lor ((x \in X_2) \lor (x\in X_3)) \land ( (x \in X_1) \to (x \in X_2) ) ) \\[0.5em] & \equiv \neg (x \in X_3) \lor (((x \in X_2) \lor (x\in X_3)) \land \mathbf{T} ) \\[0.5em] & \equiv \neg (x \in X_3) \lor (x \in X_2) \lor (x\in X_3) \\[0.5em] & \equiv \neg (x \in X_3) \lor (x \in X_3) \lor (x\in X_2) \\[0.5em] & \equiv \mathbf{T}\lor (x\in X_2) \\[0.5em] & \equiv \mathbf{T} \text{ 가 되어} \end{align*}$

$X_3\setminus X_2 \subseteq X_3 \setminus X_1$이다.

 

 

 

정의4

임의의 집합 $X$의 전순서집합이 $(X,\le_X)$이고 공집합이 아닌 임의의 부분집합이 $Y \subseteq X$일때

최대원소(greatest element) : 

$(X,\le_X)$에서 $Y$가 극대원소 $e\in Y$를 가지면 $e$를 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 최대원소 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y = e$로 정의한다.

최소원소(least element) : 

$(X,\le_X)$에서 $Y$가 극소원소 $e\in Y$를 가지면 $e$를 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 최소원소 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y = e$로 정의한다.

정렬집합(well-ordered set) :

공집합이 아닌 모든 부분집합 $Z \subseteq X$에 대해 $(X,\le_X)$에서 $Z$가 최소원소를 가지면

$(X,\le_X)$를 정렬집합으로 정의하고 $\le_X$를 $X$의 정렬순서관계라고 정의한다.

 

 

 

정리13

임의의 집합 $X$의 전순서집합 $(X,\le_X)$와 임의의 $Y \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $e \in X$가 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y = e$이기 위한 필요충분조건은 $e \in Y$이고 모든 $y \in Y$에 대해 $y\le_X e$인 것이다.

2. 임의의 $e \in X$가 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y = e$이기 위한 필요충분조건은 $e \in Y$이고 모든 $y \in Y$에 대해 $e\le_X y$인 것이다.

3. $(X,\le_X)$에서 $Y$가 최대원소를 가지면 최대원소는 유일하고 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y = \underset{(X,\le_X)}{\sup} Y$이다.

4. $(X,\le_X)$에서 $Y$가 최소원소를 가지면 최소원소는 유일하고 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y = \underset{(X,\le_X)}{\inf} Y$이다.

증명

1.

$\underset{(X,\le_X)}{\max} Y = e$이면

극대원소의 정의로 $e \in Y$이고 위 정리로 $(Y,\le_X)$는 전순서이므로 모든 $y \in Y$에 대해 $e\le _X y$이거나 $y\le_X e$이다.

$e\le _X y_0$이고 $y_0 \ne e$인 $y_0\in Y$이 존재한다고 가정하면 극대원소의 정의에 모순이므로

$e\ne y$인 모든 $y \in Y$에 대해 $y\le_X e$이고 반사성으로 $e\le_X e$이므로 모든 $y \in Y$에 대해 $y\le_X e$이다.

역으로 $e \in Y$이고 모든 $y \in Y$에 대해 $y\le_X e$이면

$e\le_X y$인 모든 $y \in Y$는 반사성으로 $e = y$이므로 극대원소의 정의와 최대원소의 정의로 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y = e$이다.

2.

$\underset{(X,\le_X)}{\min} Y = e$이면

극소원소의 정의로 $e \in Y$이고 위 정리로 $(Y,\le_X)$는 전순서이므로 모든 $y \in Y$에 대해 $e\le _X y$이거나 $y\le_X e$이다.

$y_0\le _X e$이고 $y_0 \ne e$인 $y_0\in Y$이 존재한다고 가정하면 극소원소의 정의에 모순이므로

$e\ne y$인 모든 $y \in Y$에 대해 $e\le_X y$이고 반사성으로 $e\le_X e$이므로 모든 $y \in Y$에 대해 $e\le_X y$이다.

역으로 $e \in Y$이고 모든 $y \in Y$에 대해 $e\le_X y$이면

$y\le_X e$인 모든 $y \in Y$는 반사성으로 $e = y$이므로 극소원소의 정의와 최소원소의 정의로 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y = e$이다.

3.

1번으로 모든 $y \in Y$에 대해 $y\le_X \underset{(X,\le_X)}{\max} Y$가 되어 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y$는 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 상계이고

$(X,\le_X)$에서 $Y$의 모든 상계 $u \in X$는 모든 $y \in Y$에 대해 $y \le_X u$이므로 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y \le_X u$가 되어

$\underset{(X,\le_X)}{\max} Y = \underset{(X,\le_X)}{\sup} Y$이고 위 정리로 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y = \underset{(X,\le_X)}{\sup} Y$는 유일하다.

4.

2번으로 모든 $y \in Y$에 대해 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y\le_X y$가 되어 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y$는 $(X,\le_X)$에서 $Y$의 하계이고

$(X,\le_X)$에서 $Y$의 모든 하계 $w \in X$는 모든 $y \in Y$에 대해 $w \le_X y$이므로 $w \le_X \underset{(X,\le_X)}{\min} Y$가 되어

$\underset{(X,\le_X)}{\min} Y = \underset{(X,\le_X)}{\inf} Y$이고 위 정리로 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y = \underset{(X,\le_X)}{\inf} Y$는 유일하다.

 

 

 

정리16

임의의 집합 $X$의 전순서집합이 $(X,\le_X)$일때 공집합이 아닌 임의의 $Y_1,Y_2 \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1$과 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2$가 존재하면 $\underset{(X,\le_X)}{\min} (Y_1 \cup Y_2) = \underset{(X,\le_X)}{\min} \{ \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1 , \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \}$이다.

2. $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1$과 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2$가 존재하면 $\underset{(X,\le_X)}{\max} (Y_1 \cup Y_2) = \underset{(X,\le_X)}{\max} \{ \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1 , \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2 \}$이다.

증명

위 정리로 부분순서집합 $(Y_1,\le_X),(Y_2,\le_X)$는 전순서이고

$\{\underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1,\underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \},\{ \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1, \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2\} \subseteq Y_1 \cup Y_2 \subseteq X$이므로

$(\{\underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1,\underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \},\le_X),(\{ \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1, \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2\},\le_X),(Y_1 \cup Y_2,\le_X)$도 전순서이다.

1.

모든 $y_1 \in Y_1$에 대해 $\underset{(X,\le_X)}{\min} \{ \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1, \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \} \le_X \min Y_1 \le_X y_1 $이고 

모든 $y_2 \in Y_2$에 대해 $\underset{(X,\le_X)}{\min} \{ \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1, \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \} \le_X \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \le_X y_2$이므로

모든 $y \in Y_1 \cup Y_2$에 대해 $\underset{(X,\le_X)}{\min} \{ \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1 , \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \} \le_X y$이다.

또 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1 \in Y_1$이고 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \in Y_2$이므로

$\underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1, \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \in Y_1 \cup Y_2$이고 $\min \{ \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1 , \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \} \in Y_1 \cup Y_2$이다.

따라서 $\underset{(X,\le_X)}{\min} (Y_1 \cup Y_2) = \underset{(X,\le_X)}{\min} \{ \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_1 , \underset{(X,\le_X)}{\min} Y_2 \}$이다.

2.

모든 $y_1 \in Y_1$에 대해 $ y_1 \le_X \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1 \le_X \underset{(X,\le_X)}{\max} \{ \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1, \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2 \} $이고

모든 $y_2 \in Y_2$에 대해 $y_2 \le_X \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2 \le_X \underset{(X,\le_X)}{\max} \{ \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1, \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2 \} $이므로

모든 $y \in Y_1 \cup Y_2$에 대해 $y \le_X \underset{(X,\le_X)}{\max} \{ \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1 , \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2 \} $이다.

또 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1 \in Y_1$이고 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2 \in Y_2$이므로

$\underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1, \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2 \in Y_1 \cup Y_2$이고 $\underset{(X,\le_X)}{\max} \{ \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1 , \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2 \} \in Y_1 \cup Y_2$이다.

따라서 $\underset{(X,\le_X)}{\max} (Y_1 \cup Y_2) = \underset{(X,\le_X)}{\max} \{ \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_1 , \underset{(X,\le_X)}{\max} Y_2 \}$이다.

 

 

 

정리17

임의의 집합 $X$의 전순서집합 $(X,\le_X)$와 임의의 $Y \subseteq X$에 대해

$Y$가 $n \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이면 $Y$는 $(X,\le_X)$에서 최대원소와 최소원소를 갖는다.

증명

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$일때 $Y$는 단일 원소집합이므로 모든 $x, y \in Y$는 $x =y$이고

반사성으로 $y\le_X x \le_X y$이므로 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y =y = \underset{(X,\le_X)}{\max} Y$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $Y$가 $k+1$개의 원소를 가지면

임의의 $y \in Y$에 대해 집합 $Y$ $\setminus$ $\{y\}$는 유한집합 정리로 $k$개의 원소를 가지고

$Y,Y\setminus \{ y\}, \{y\} \subseteq X$이므로 위 정리로 $(Y,\le_X),(Y\setminus \{ y\},\le_X), (\{y\},\le_X)$는 전순서가 되어

귀납가정으로 $\underset{(X,\le_X)}{\min} (Y\setminus \{y\})$와 $\underset{(X,\le_X)}{\max} (Y\setminus \{y\})$가 존재하고 $\underset{(X,\le_X)}{\min} \{ y\} = \underset{(X,\le_X)}{\max}\{y\}$가 존재하므로 위 정리로

$\underset{(X,\le_X)}{\min} Y = \underset{(X,\le_X)}{\min} ( (Y \setminus \{ y\} ) \cup \{ y \}) = \underset{(X,\le_X)}{\min} \{ \underset{(X,\le_X)}{\min} (Y\setminus \{ y\}) , \underset{(X,\le_X)}{\min} \{y\} \}$이고

$\underset{(X,\le_X)}{\max} Y = \underset{(X,\le_X)}{\max} ( (Y\setminus \{ y\}) \cup \{y\})  = \underset{(X,\le_X)}{\max} \{ \underset{(X,\le_X)}{\max} (Y\setminus \{ y \}) , \underset{(X,\le_X)}{\max} \{y\} \}$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 원소개수가 $n$개인 유한집합 $Y$는 $(X,\le_X)$에서 $\underset{(X,\le_X)}{\min} Y$와 $\underset{(X,\le_X)}{\max} Y$를 갖는다.

 

 

 

정리11(정렬원리)

공집합이 아닌 임의의 집합 $X$는 정렬집합 $(X,\le_X)$가 되는 정렬순서관계 $\le_X$가 존재한다.

증명

$X$가 공집합이 아니므로 $x \in X$가 존재하여 데카르트곱 $X\times X$는 $(x,x) \in X\times X$로 공집합이 아니고

$X$와 $X\times X$의 멱집합이 각각 $\mathcal{P}(X)$와 $\mathcal{P}(X\times X)$일때

분류 공리로 $\mathcal{X} = \{(Y , \le_Y)  \in (\mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X\times X)) : (Y,\le_Y) \text{가 정렬집합이다.} \}$인 집합이 존재하고

$(\{ x\} , \{ x\} \times \{ x\}) \in \mathcal{X}$이므로 $\mathcal{X}$는 공집합이 아니다.

임의의 $(X_1,\le_1),(X_2,\le_2) ,(X_3,\le_3) \in \mathcal{X}$에 대해

1. $X_1 \subseteq X_2$

2. 모든 $x,y \in X_1$에 대해 $x \le_1 y$이면 $x \le_2 y$이다.

3. $x \in X_2 \setminus X_1$이면 모든 $y \in X_1$에 대해 $y\le_2 x$이다.

1,2,3을 만족하기 위한 필요충분조건이 $(X_1,\le_1)\le_* (X_2,\le_2) $인 $\mathcal{X}$의 관계 $\le_*$를 정의하면

반사성

1. 집합 정리로 $X_1 \subseteq X_1$이다.

2. 자명하게 모든 $x,y \in X_1$에 대해 $x \le_1 y$이면 $x \le_1 y$이다.

3. 집합 정리로 $x \in X_1 \setminus X_1 =\emptyset$인 $x$는 존재하지 않으므로 공허하게 $\le_*$의 조건 3번이 성립한다.

$\le_*$의 조건 1,2,3이 성립하므로 $(X_1,\le_1)\le_* (X_1,\le_1) $이다.

반대칭성

$(X_1,\le_1)\le_* (X_2,\le_2) $이고 $(X_2,\le_2)\le_* (X_1,\le_1) $이라고 가정하면

$\le_*$의 조건 1번으로 $X_1 \subseteq X_2$이고 $X_2 \subseteq X_1$이므로 집합 정리로 $X_1 = X_2$이고

$\le_*$의 조건 2번으로 모든 $x,y \in X_1 = X_2$에 대해 $x \le_1 y$이기 위한 필요충분조건이 $x \le_2 y$이므로 관계의 정의로

$(x,y) \in \; \le_1$이면 $(x,y) \in \; \le_2$가 되어 $\le_1\; \subseteq \; \le_2$이고 

$(x,y) \in \; \le_2$이면 $(x,y) \in \; \le_1$가 되어 $\le_2 \; \subseteq \; \le_1$이고

집합 정리로 $\le_1 \; = \; \le_2$이므로 순서쌍의 상등으로 $(X_1,\le_1) = (X_2,\le_2) $이다.

추이성

$(X_1,\le_1)\le_* (X_2,\le_2) $이고 $(X_2,\le_2)\le_* (X_3,\le_3) $이라고 가정하면

$\le_*$의 조건 1번으로 $X_1 \subseteq X_2$이고 $X_2 \subseteq X_3$이므로 집합 정리로 $X_1 \subseteq X_3$이고

$\le_*$의 조건 2번으로 모든 $x,y \in X_1$에 대해 $x \le_1 y$이면 $x \le_2 y$이고 모든 $x,y \in X_2$에 대해 $x \le_2 y$이면 $x \le_3 y$이므로

모든 $x,y \in X_1 \subseteq X_2 \subseteq X_3$에 대해 $x \le_1 y$이면 $x \le_3 y$이다.

위 정리로 $x \in X_3 \setminus X_1 = (X_3 \setminus X_2) \cup (X_2 \setminus X_1) $는 $x \in X_2 \setminus X_1$이거나 $x \in X_3 \setminus X_2$가 되어

$x \in X_2 \setminus X_1$이면 $\le_*$의 조건 3번으로 모든 $y \in X_1$에 대해 $y\le_2 x$이므로 $\le_*$의 조건 2번으로 $y\le_3 x$이고

$x \in X_3 \setminus X_2$이면 $\le_*$의 조건 3번으로 모든 $y \in  X_2$에 대해 $y\le_3 x$가 성립하므로

$x \in X_3 \setminus X_1$이면 모든 $y \in X_1 \subseteq X_2$에 대해 $y\le_3 x$이다.

반사성, 반대칭성, 추이성을 만족하므로 $(\mathcal{X},\le_*)$는 부분순서집합이다.

 

$\mathcal{X}$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathcal{X})$에 대해 $\mathbf{A} = \{ \mathcal{Y} \in \mathcal{P}(\mathcal{X}) : \mathcal{Y}\ne \emptyset \text{ 이고 부분순서집합 } (\mathcal{Y},\le_*) \text{가 전순서이다.} \}$인 집합은

$\mathcal{X}$가 공집합이 아니므로 $(X_1,\le_1) \in \mathcal{X}$가 존재하여 $(\{ (X_1,\le_1) \},\le_*) \in \mathbf{A}$이므로 공집합이 아니다.

모든 $\mathcal{Y} \in \mathbf{A}$는 공집합이 아니므로 합집합의 순서쌍

$\displaystyle ( \bigcup \{ Y \in \mathcal{P}(X) : (Y,\le_Y) \in \mathcal{Y} \}, \bigcup \{ \le_Y \; \in \mathcal{P}(X\times X) : (Y,\le_Y) \in \mathcal{Y} \}) = (\bigcup_{(Y,\le_Y)\in\mathcal{Y}} Y, \bigcup_{(Y,\le_Y)\in \mathcal{Y}} \le_Y ) \text{ 가 존재하여}$

모든 $\displaystyle y_1,y_2\in \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}}Y$는 $y_1\in Y_1$이고 $y_2 \in Y_2$인 $(Y_1,\le_1), (Y_2, \le_2) \in \mathcal{Y}$가 존재한다.

$\mathbf{A}$의 정의로 $(\mathcal{Y},\le_*)$는 전순서이므로 $(Y_1,\le_1) \le_* (Y_2, \le_2)$라고 가정하면 $\le_*$의 조건 1번으로 $Y_1\subseteq Y_2$이고

$y_1,y_2 \in  Y_2$가 되어 $\mathcal{X}$의 정의로 $ (Y_2, \le_2) \in \mathcal{Y} \subseteq \mathcal{X}$가 정렬집합임에 따라 $ (Y_2, \le_2)$는 전순서집합이므로

$y_1 \le_2 y_2$ 또는 $y_2 \le_2 y_1$가 성립하고 $\displaystyle \le_2 \; \subseteq \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}}\le_Y$임에 따라 $\displaystyle  (\bigcup_{(Y,\le_Y)\in\mathcal{Y}} Y, \bigcup_{(Y,\le_Y)\in \mathcal{Y}} \le_Y ) $는 전순서집합이다.

임의의 부분집합 $\displaystyle S\subseteq \bigcup_{(Y,\le_Y)\in\mathcal{Y}} Y $가 공집합이 아니면 $y_1 \in S$가 존재하여 $y_1 \in Y_1$인 $(Y_1,\le_1) \in \mathcal{Y}\subseteq \mathcal{X}$이 존재하고

$\mathcal{X}$의 정의로 $(Y_1,\le_1)$는 정렬집합이므로 $S\cap Y_1 \subseteq Y_1$은 $(Y_1,\le_1)$에서 최소원소 $m \in S\cap Y_1$을 갖는다.

임의의 $y_2 \in S$에 대해 $y_2 \in Y_2$인 $(Y_2,\le_2) \in \mathcal{Y}$가 존재하고 $\mathbf{A}$의 정의로 $(\mathcal{Y},\le_*)$는 전순서이므로

$(Y_1,\le_1) \le_* (Y_2, \le_2)$ 또는 $(Y_2,\le_2) \le_* (Y_1, \le_1)$이 성립하여

$(Y_2,\le_2) \le_* (Y_1, \le_1)$이면

$\le_*$의 정의로 $Y_2 \subseteq Y_1$이므로 $S\cap Y_2 \subseteq S\cap Y_1$이 되어 $m,y_2 \in S\cap Y_1$이고 최소원소의 정의로 $m \le_1 y_2$이다.

$(Y_1,\le_1) \le_* (Y_2, \le_2)$이면

$\le_*$의 정의로 $Y_1 \subseteq Y_2$이므로 $m,y_2 \in S\cap Y_1 \subseteq Y_1$일때는 최소원소의 정의로 $m \le_1 y_2$이고

$\le_*$의 정의로 $y_2 \in Y_2\setminus Y_1$일때는 모든 $y_1 \in Y_1$에 대해 $y_1 \le_2 y_2$이므로 $m \in S\cap Y_1$에 대해 $m \le_2 y_2$이다.

따라서 $\displaystyle \le_1, \le_2 \; \subseteq \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}}\le_Y$이므로 모든 $y \in S$에 대해 순서관계 $\displaystyle m\, \left (\bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}}\le_Y \right )\, y$가 성립하여

공집합이 아닌 임의의 $\displaystyle  S\subseteq \bigcup_{(Y,\le_Y)\in\mathcal{Y}} Y$에 대해 $\displaystyle  (\bigcup_{(Y,\le_Y)\in\mathcal{Y}} Y, \bigcup_{(Y,\le_Y)\in \mathcal{Y}} \le_Y ) $에서 $S$의 최소원소가 존재하므로

$\displaystyle  (\bigcup_{(Y,\le_Y)\in\mathcal{Y}} Y, \bigcup_{(Y,\le_Y)\in \mathcal{Y}} \le_Y ) $는 정렬집합이고 $\displaystyle  (\bigcup_{(Y,\le_Y)\in\mathcal{Y}} Y, \bigcup_{(Y,\le_Y)\in \mathcal{Y}} \le_Y )  \in \mathcal{X}$이다.

또 $(\mathcal{X},\le_*)$의 공집합이 아닌 $\mathcal{Y} \subseteq \mathcal{X}$로 구성되는 부분순서집합 $(\mathcal{Y},\le_*)$이 전순서일때 임의의 $(Y_1,\le_1 ) \in \mathcal{Y}$에 대해

1. $Y_1 \subseteq \displaystyle \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}} Y$

2. $\displaystyle \le_1 \; \subseteq \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}}\le_Y$이므로 조건 2가 성립한다.

3. $\displaystyle x \in \left ( \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}} Y \right )\setminus Y_1$이 존재하면 $x \in Y_2$인 $(Y_2, \le_2) \in \mathcal{Y}$가 존재하여

$(\mathcal{Y},\le_*)$는 전순서이므로 $(Y_1,\le_1) \le_* (Y_2, \le_2)$ 또는 $(Y_2,\le_2) \le_* (Y_1, \le_1)$이 성립한다.

$(Y_2,\le_2) \le_* (Y_1, \le_1)$이면 $Y_2 \subseteq Y_1 \subseteq \displaystyle \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}} Y$이므로

위 정리로 $\displaystyle x \in \left ( \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}} Y \right )\setminus Y_1 \subseteq \left ( \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}}Y \right )\setminus Y_2$인 $x \in Y_2$는 존재하지 않아 $(Y_2,\le_2) \le_* (Y_1, \le_1)$일수 없고

$(Y_1,\le_1) \le_* (Y_2, \le_2)$이면 $Y_1 \subseteq Y_2$이고 $\displaystyle x \in Y_2 \setminus Y_1$일때 모든 $y_1 \in Y_1$에 대해 $y_1 \le_2 x$가 되어

$\displaystyle \le_2 \; \subseteq \bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}}\le_Y$이므로 모든 $y_1 \in Y_1$에 대해 $\displaystyle y_1 \, \left (\bigcup_{(Y,\le_Y) \in \mathcal{Y}}\le_Y \right )\, x$이고 조건 3이 성립한다.

$\le_*$의 조건 1,2,3이 성립하므로 모든 $(Y_1,\le_1 ) \in \mathcal{Y} \subseteq \mathcal{X}$에 대해

$\displaystyle (Y_1,\le_1) \le_*  (\bigcup_{(Y,\le_Y)\in\mathcal{Y}} Y, \bigcup_{(Y,\le_Y)\in \mathcal{Y}} \le_Y )$가 되어 $\displaystyle (\bigcup_{(Y,\le_Y)\in\mathcal{Y}} Y, \bigcup_{(Y,\le_Y)\in \mathcal{Y}} \le_Y ) \in \mathcal{X}$는 $(\mathcal{X},\le_*)$에서 $\mathcal{Y}$의 상계이고

초른의 보조정리로 $(\mathcal{X},\le_*)$에서 $\mathcal{X}$는 극대원소 $(X_0, \le_0) \in \mathcal{X}$을 갖는다.

 

$X \ne X_0$이라 가정하면 

$X_0 \subset X$이므로 $x \in X\setminus X_0$가 존재하여 $\le_0 \;\subseteq X_0\times X_0$이고 $x \notin X_0$이므로 $X_0\cup \{ x\}$의 관계 $\le_x$를

$\le_x \; = \; \le_0 \cup \, (X_0 \times \{x\}) \cup  (\{x\} \times \{ x\}) \subseteq (X_0\times X_0) \cup (X_0\times \{ x\}) \cup (\{x\}\times \{x\})$로 정의할때

반사성

모든 $x_0 \in X_0 \cup \{ x \}$은 $x_0 \in X_0$이거나 $x_0 = x$이므로

$x_0\in X_0$이면 $\le_0$의 반사성으로 $(x_0,x_0) \in \; \le_0 \; \subset \; \le_x  $이고 $x_0 = x$이면 $(x_0,x_0) = (x, x) \in \{x\} \times \{ x\} \subset \;\le_x$이다.

반대칭성

$x_0 \le_x y_0$이고 $y_0 \le_x x_0$인 $x_0,y_0 \in X_0 \cup \{ x\}$이 존재할때

$x_0,y_0 \in X_0$이면 $\le_0$의 반대칭성으로 $x_0 = y_0$이고 $x_0 = x = y_0$이면 자명하게 성립한다.

$x_0 = x$이거나 $y_0 = x$이면 $x \notin X_0$이므로 $(x_0,y_0),(y_0,x_0) \in \{x\} \times \{ x\}  \subset \; \le_x$가 되어 $x_0 = x = y_0$이다.

추이성

$x_0 \le_x y_0$이고 $y_0 \le_x z_0$인 $x_0,y_0,z_0 \in X_0 \cup \{ x\}$이 존재할때

$x_0,y_0,z_0 \in X_0$이면 $\le_0$의 추이성으로 $x_0 \le_x z_0$이고 $x = x_0=y_0=z_0$이면 $\le_x$의 반사성으로 $x_0 \le_x z_0$이다.

$x_0,y_0 \in X_0 \cup \{ x\}$이고 $z_0 =x$이면

$x_0 \in X_0$일때 $(x_0 , z_0) = (x_0,x) \in  X_0 \times \{ x\}  \subset \; \le_x$이고 $x_0 = x =z_0$일때는 $\le_x$의 반사성으로 $x_0 \le_x z_0$이다.

$x_0,z_0 \in X_0 \cup \{ x\}$이고 $y_0 =x$이면

$(y_0,z_0)=(x,z_0) \in \{x\} \times \{ x\}\subset\; \le_x$이므로 $z_0 = x$가 되어

$x_0 \in X_0$일때 $(x_0 , z_0) = (x_0,x) \in  X_0 \times \{ x\}  \subset \; \le_x$이고 $x_0 = x =z_0$일때는 $\le_x$의 반사성으로 $x_0 \le_x z_0$이다.

$x_0 =x$이고 $y_0,z_0 \in X_0\cup \{ x\}$이면

$(x_0 , y_0) = (x,y_0)  \in \{x\}\times \{x\} \subset \; \le_x$이므로 $y_0 = x$이고

$(y_0,z_0) = (x,z_0) \in \{x\}\times \{x\} \subset \; \le_x$이므로 $z_0 = x$가 되어

$x = x_0=y_0=z_0$이므로 $\le_x$의 반사성으로 $x_0 \le_x z_0$이다.

$\le_x$는 반사성, 반대칭성, 추이성이 성립하므로 $(X_0\cup \{ x\}, \le_x)$는 부분순서집합이다.

임의의 $x_0,y_0 \in X_0 \cup \{ x \}$에 대해

$x_0,y_0 \in X_0 $이면 $(X_0, \le_0)\in \mathcal{X}$이 전순서이므로 $(x_0,y_0) \in \; \le_0 \; \subset \; \le_x$ 또는 $(y_0,x_0) \in \; \le_0\; \subset \; \le_x$이다.

$x_0 \in X_0$이고 $y_0 =x$이면 $(x_0, y_0) = (x_0,x) \in X_0 \times \{ x\} \subset \; \le_x$이다.

$x_0 = x$이고 $y_0 \in X_0$이면 $(y_0, x_0) = (y_0,x) \in X_0 \times \{ x\} \subset \; \le_x$이다.

$x_0 = x = y_0$이면 $(x_0, y_0) = (x,x) \in \{ x\} \times \{ x\} \subset \; \le_x$이므로 $(X_0\cup \{ x\}, \le_x)$는 전순서집합이다.

공집합이 아닌 임의의 부분집합 $S \subseteq X_0 \cup \{ x \}$가 

$x \notin S$이면 $S\subseteq X_0$이고 $(X_0, \le_0)\in \mathcal{X}$이 정렬집합이므로 $(X_0,\le_0)$에서 $S$의 최소원소 $m \in S \subseteq X_0$이 존재하여

모든 $s \in S$에 대해 $(m,s) \in \; \le_0 \; \subset \; \le_x$이므로 $m$은 $(X_0\cup \{x\},\le_x)$에서 $S$의 최소원소이다.

$x \in S$이면 

$S = \{ x\}$일때 모든 $s \in S$는 $(s,x) = (x,x) \in \{ x\} \times \{ x\} \subset \; \le_x$이므로 $x$는 $(X_0\cup \{x\},\le_x)$에서 $S$의 최소원소이고

$S\ne \{x\}$일때 $(X_0,\le_0)$에서 $S\setminus \{ x\} \subseteq X_0$의 최소원소 $m \in S\setminus \{ x\}$이 존재하여

모든 $s \in S \setminus \{ x\}$에 대해 $(m,s) \in \; \le_0 \; \subset \; \le_x$이고 $x$에 대해 $(m, x) \in X_0 \times \{ x\} \subset \;\le_x$이므로

모든 $s \in S$에 대해 $(m,s) \in \;  \le_x$가 되어 $m$은 $(X_0\cup \{x\},\le_x)$에서 $S$의 최소원소이므로

$(X_0\cup \{ x\}, \le_x)$는 정렬집합이고 $(X_0\cup \{ x\},\le_x) \in \mathcal{X}$이다.

또 $\le_*$의 조건

1. $X_0 \subset X_0 \cup \{x\}$

2. 모든 $x_0,y_0 \in X_0 $에 대해 $(x_0, y_0) \in \; \le_0$이면 $(x_0 ,y_0) \in \; \le_0 \; \subset \; \le_x$이다.

3. $x \in (X_0 \cup \{ x\}) \setminus X_0 = \{ x \}$이면 모든 $x_0 \in X_0$에 대해 $(x_0 ,x) \in X_0 \times \{x\} \subset \; \le_x$이다.

1,2,3을 만족하여 $(X_0,\le_0) \le_* (X_0\cup \{ x\}, \le_x)$이고 $(X_0, \le_0) \in \mathcal{X}$은 $(\mathcal{X},\le_*)$에서 $\mathcal{X}$의 극대원소이므로

$(X_0,\le_0) = (X_0\cup \{ x\}, \le_x)$인데 $(X_0,\le_0) \ne (X_0\cup \{ x\}, \le_x)$을 가정하였으므로 모순이 되어

$X_0 = X$이고 $(X,\le_0) = (X_0, \le_0) \in \mathcal{X}$은 $\mathcal{X}$의 정의로 정렬집합이다.

 

 

 

정리14

다음은 동치이다.

1. 선택공리가 성립한다.

2. 하우스도르프의 극대원리가 성립한다.

3. 초른의 보조정리가 성립한다.

4. 정렬원리가 성립한다.

증명

$1\to 2$

선택공리를 사용하여 위 정리를 증명하고

위 정리를 사용하여 하우스도르프의 극대원리를 증명하였으므로 $1\to 2$가 성립한다.

$2\to 3$

하우스도르프의 극대원리를 사용하여 초른의 보조정리를 증명하였으므로 $2\to 3$이 성립한다.

$3\to 4$

초른의 보조정리를 사용하여 정렬원리를 증명하였으므로 $3\to 4$가 성립한다.

$4\to 1$

정렬원리로 $X \ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 정렬집합 $(X,\le_X)$가 되는 정렬순서관계 $\le_X$가 존재하므로

$S\ne \emptyset$이고 $S \subseteq X$인 $(X,\le_X)$에서 $S$의 최소원소 $\underset{(X,\le_X)}{\min} S \in S$가 존재하고 위 정리로 유일하다.

$X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$에 대해 분류 공리로 색인집합 $I = \{  S \in \mathcal{P}(X)  : S\ne \emptyset   \}$가 존재하고

$I$에 대해 색인된 집합족이 $\mathcal{F}_I = \{ S : S  \in I  \}$가 존재하여

모든 $S \in I$에 대해 $S \ne \emptyset$이고 $f(S) = \underset{(X,\le_X)}{\min} S \in S$인 선택함수 $f : I \to \displaystyle \bigcup_{S \in I} S$가 존재한다.

 

 

 

정리15(정렬집합에서 초한 귀납법[Transfinite induction])

정렬집합 $(X,\le_X)$와 $X$의 원소에 대한 명제함수 $P$가 

임의의 $n \in X$에 대해 $m\le_X n$이고 $m\ne n$인 모든 $m \in X$이 $P(m)\equiv \mathbf{T}$일때 $P(n)\equiv \mathbf{T}$인 성질을 가지면

모든 $x \in X$에 대해 $P(x)$는 참이다.

증명

귀류법으로 $P$가 위 성질을 가질때 $P(x_0)\equiv \mathbf{F}$인 $x_0 \in X$이 존재한다고 가정하면

집합 $A = \{ x \in X : P(x) \equiv \mathbf{F}\}$는 공집합이 아니고 $A \subseteq X$이므로

정렬집합의 정의로 $(X,\le_X)$에서 $A$는 최소원소 $\underset{(X,\le_X)}{\min} A \in A$를 갖고 $P(\underset{(X,\le_X)}{\min} A) \equiv \mathbf{F}$이다.

$m \le_X \underset{(X,\le_X)}{\min} A$이고 $m \ne \underset{(X,\le_X)}{\min} A$인 모든 $m \in X$은 최소원소의 정의로 $m \notin A$이 되어 $P(m) \equiv \mathbf{T}$인데

$P(\underset{(X,\le_X)}{\min} A)\equiv \mathbf{F}$이므로 가정에 모순이다.

따라서 $P$가 위 성질을 가지면 모든 $x \in X$에 대해 $P(x)\equiv \mathbf{T}$이다.

 

 

 

정리19(정렬집합에서 초한 귀납적 정의)

임의의 정렬집합 $(X,\le_X)$와 임의의 집합 $Y$에 대해 데카르트곱 $X\times Y$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X\times Y)$이고

$X$의 부분집합에서 $Y$로의 함수들의 집합족이 $\mathcal{F} = \{ f \in \mathcal{P}(X\times Y) :  \text{ 어떤 }X_0\subseteq X \text{ 에 대해 } f:X_0\to Y \}$일때

임의의 함수 $F : X\times \mathcal{F}\to Y$에 대해

함수 $f:X\to Y$가 유일하게 존재하여 모든 $x_0 \in X$이 $f(x_0) = F(x_0, $ $f|_{\{ x\in X \;: \;x\le_X x_0 \text{ 이고 } x\ne x_0 \}}$$)$이다.

증명

임의의 $x_0 \in X$보다 $\le_X$에 대해 작은 $x\in X$들의 집합이 $[X,x_0) = \{x\in X: x\le_X x_0 \text{ 이고 } x\ne x_0 \} \subseteq X$이고

$\le_X$에 대해 작거나 같은 $x\in X$들의 집합이 $[X,x_0] = [X,x_0)\cup \{ x_0\} = \{ x\in X: x\le_X x_0\} \subseteq X$이고

$x_1\le_X x_0$인 모든 $x_1 \in X$에 대해 $g(x_1) = F(x_1, g|_{[X,x_1)})$인 함수 $g: [X,x_0]\to Y$를 $x_0$-근사라고 정의할때

모든 $x_0\in X$에 대해 $x_0$-근사가 유일함을 초한귀납법으로 보인다.

임의의 $x_0$-근사가 $g,h: [X,x_0]\to Y$일때 $x_1\le_X x_0$이고 $x_1\ne x_0$인 모든 $x_1\in X$-근사가 유일하다고 가정하면

$x_2\le_X x_1$인 모든 $x_2\in X$에 대해 $[X,x_2) \subseteq [X,x_1) \subseteq [X,x_1]$이고

모든 $x_3\in [X,x_2) \subseteq [X,x_1) \subseteq [X,x_1]\subseteq X$은 축소함수의 정의로 

$g|_{[X,x_2)}(x_3) = g(x_3) = g|_{[X,x_1]}(x_3) = (g|_{[X,x_1]})|_{[X,x_2)}(x_3)$이 되어 $g|_{[X,x_2)}= (g|_{[X,x_1]})|_{[X,x_2)}$이고

$h|_{[X,x_2)}(x_3) = h(x_3) = h|_{[X,x_1]}(x_3) = (h|_{[X,x_1]})|_{[X,x_2)}(x_3)$으로 $h|_{[X,x_2)}= (h|_{[X,x_1]})|_{[X,x_2)}$이므로

$g|_{[X,x_1]}(x_2) = g(x_2) = F(x_2,g|_{[X,x_2)}) = F(x_2,(g|_{[X,x_1]})|_{[X,x_2)})$와

$h|_{[X,x_1]}(x_2) = h(x_2) = F(x_2,h|_{[X,x_2)}) = F(x_2,(h|_{[X,x_1]})|_{[X,x_2)})$가 성립함에 따라

$g_{[X,x_1]},h|_{[X,x_1]}: [X,x_1]\to Y$는 $x_1$-근사가 되어 귀납가정으로 $g|_{[X,x_1]} = h|_{[X,x_1]}$이다.

따라서 $x_1\le_X x_0$이고 $x_1\ne x_0$인 모든 $x_1\in X$에 대해

$[X,x_1)\subseteq [X,x_1]$이므로 $g(x_1) = F(x_1, g|_{[X,x_1)}) = F(x_1,h|_{[X,x_1)}) = h(x_1)$이고

$g|_{[X,x_0)}(x_1) = g(x_1) = g|_{[X,x_1]}(x_1) = h|_{[X,x_1]}(x_1) = h(x_1) = h|_{[X,x_0)}(x_1)$임에 따라 $g|_{[X,x_0)} = h|_{[X,x_0)}$이고

$g(x_0) = F(x_0, g|_{[X,x_0)}) = F(x_0,h|_{[X,x_0)}) = h(x_0)$이므로 $g = h$가 되어 모든 $x_0\in X$에 대해 $x_0$-근사는 유일하다.

모든 $x_0\in X$에 대해 $x_0$-근사가 존재함을 초한귀납법으로 보인다.

$x_1\le_X x_0$이고 $x_1\ne x_0$인 모든 $x_1\in X$에 대해 $x_1$-근사 $g_{x_1} : [X,x_1]\to Y$이 존재할때

$x_2\le_X x_1$인 모든 $x_2\in X$에 대해 $x_2\le_X x_1\le_X x_0$이므로 추이성으로 $x_2\le_X x_0$이고

$x_2 = x_0$이라고 가정하면 $x_2\le_X x_1\le_X x_0 = x_2$가 되어 반대칭성으로 $x_0=x_2 = x_1 $이므로 모순임에 따라

$x_2 \ne x_0$이고 $x_2$-근사 $g_{x_2} : [X,x_2]\to Y$가 존재한다.

또 $x_3\le x_2$인 모든 $x_3\in X$에 대해 $[X,x_3) \subseteq [X,x_3]\subseteq [X,x_2] \subseteq [X,x_1]$이므로

축소함수의 정의로 $g_{x_1}|_{[X,x_2]}(x_3) = g_{x_1}(x_3) = F(x_3, g_{x_1}|_{[X,x_3)}) = F(x_3,(g_{x_1}|_{[X,x_2]})|_{[X,x_3)}) $이 되어

$g_{x_1}|_{[X,x_2]}:[X,x_2]\to Y$는 $x_2$-근사이고 $x_2$-근사가 유일함에 따라 $g_{x_1}|_{[X,x_2]} = g_{x_2}$이다.

$x_1\le_X x_0$이고 $x_1\ne x_0$인 모든 $x_1\in X$에 대해

$x_1$-근사 $g_{x_1}$이 유일하게 존재하므로 $g(x_1) = g_{x_1}(x_1)$인 함수 $g : [X,x_0)\to Y$를 정의하고

$x_1\le_X x_0$인 모든 $x_1\in X$에 대해 $h(x_1) = \begin{cases} g(x_1) & x_1\ne x_0 \text{ 일때} \\ F(x_0, g)  & x_1 = x_0 \text{ 일때}\end{cases}$인 함수 $h: [X,x_0]\to Y$를 정의하면

$x_2\le_X x_1$이고 $x_2\ne x_1$인 모든 $x_2\in X$는 $x_2 \ne x_0$이므로

$h|_{[X,x_1)}(x_2) =h(x_2) = g(x_2) = g_{x_2}(x_2) = g_{x_1}|_{[X,x_2]}(x_2) = g_{x_1}(x_2) = g_{x_1}|_{[X,x_1)}(x_2)$가 되어 $h|_{[X,x_1)} = g_{x_1}|_{[X,x_1)}$이다.

$x_1\le_X x_0$이고 $x_1\ne x_0$인 모든 $x_1\in X$에 대해

$h(x_1) = g(x_1) = g_{x_1}(x_1) = F(x_1, g_{x_1}|_{[X,x_1)}) = F(x_1,h|_{[X,x_1)})$이고

$h|_{[X,x_0)}(x_1) = h(x_1) = g(x_1)$임에 따라 $h|_{[X,x_0)} = g$가 되어 $h(x_0) = F(x_0, g) = F(x_0,h|_{[X,x_0)})$이므로

$h$는 $x_0$-근사이다.

따라서 모든 $x_0\in X$에 대해 $x_0$-근사 $g_{x_0}: [X,x_0]\to Y$이 유일하게 존재하므로

$f(x_0) = g_{x_0}(x_0)$으로 $f: X\to Y$를 정의하면 $x_1\le_X x_0$이고 $x_1\ne x_0$인 모든 $x_1\in X$에 대해 위에서 보인 것처럼 

$f|_{[X,x_0)}(x_1) = f(x_1) = g_{x_1}(x_1) = g_{x_0}|_{[X,x_1]}(x_1) = g_{x_0}(x_1) = g_{x_0}|_{[X,x_0)}(x_1)$이므로 $f_{[X,x_0)} = g_{x_0}|_{[X,x_0)}$이 되어

$f(x_0) = g_{x_0}(x_0) = F(x_0, g_{x_0}|_{[X,x_0)}) = F(x_0, f|_{[X,x_0)}) = F(x_0,f|_{\{ x\in X\;:\; x\le_X x_0 \text{ 이고 }x\ne x_0 \}})$이고

$x_1\le_X x_0$인 모든 $x_1\in X$에 대해

$[X,x_1) \subseteq [X,x_1] \subseteq [X,x_0]$이므로 $f|_{[X,x_0]}(x_1) = f(x_1) = F(x_1, f|_{[X,x_1)}) = F(x_1, (f|_{[X,x_0]})|_{[X,x_1)})$이 되어

모든 $x_0\in X$에 대해 축소함수 $f|_{[X,x_0]}:[X,x_0]\to Y$이 $x_0$-근사임에 따라 $f$는 유일하다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/60#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/60#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662

You-Feng Lin - Set Theory : An Intuitive Approach - 9788961053778

Serge Lang - Algebra - 9780387953854

Ernest Schimmerling - A Course on Set Theory - 9781107400481