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• 스털링 근사(Stirling's approximation)

  실해석학 2026.04.28 01:02

  정리1임의의 $A\subseteq \mathbb{R}$에 대해 $a\in \mathbb{R}$가 $A\cap (a,\infty)$의 집적점일때함수 $f,g: A\to \mathbb{R}$와 확장된 실수집합 $\overline{\mathbb{R}} = [-\infty,\infty]$와 확장된 실수연산에 대해 다음이 성립한다.1. $\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)\in [-\infty,\infty]$이면 모든 $c\in \mathbb{R} = (-\infty,\infty)$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to a+}(c\cdot f(x)) = c\cdot \lim_{x\to a+}f(x)$이다.2. $\displaystyle (\lim_{x\to a+}f(x), ..

• 초구면 좌표계(Hyperspherical coordinate)

  벡터해석학 2026.04.22 19:15

  정의1실삼각함수가 $\cos,\sin:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$이고 $2$차원 구면 좌표변환 $\Phi_2 :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$와 $\Phi_2$의 성분함수 $\Phi_{2,1},\Phi_{2,2}:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$가 모든 $(\rho,\varphi_1)\in \mathbb{R}^2$에 대해 $\Phi_2(\rho, \varphi_1)= (\rho\cdot \cos\varphi_1, \rho\cdot \sin\varphi_1) = (\Phi_{2,1}(\rho,\varphi_1),\Phi_{2,2}(\rho,\varphi_1))$일때$k\ge 2$인 모든 $k\in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해$k$차원 구면 좌..

• 감마함수(Gamma function)와 베타함수(Beta function)

  실해석학 2026.04.02 22:07

  정의1오일러수가 $e\in \mathbb{R}$이고 임의의 $x,t\in (0,\infty)$에 대해 함수 $f_x: (0,\infty)\to \mathbb{R}$가 $f_x(t) = t^{x-1}\cdot e^{-t}$일때무한닫힌구간 $[0,\infty]$에서 $f_x$의 영확장함수 $\widehat{f_x} : [0,\infty]\to \mathbb{R}$의 일반리만적분에 대해$\Gamma(x) = \displaystyle \int_0^\infty \widehat{f_x}(t)\operatorname{d}\!t$인 함수 $\Gamma : (0,\infty)\to \mathbb{R}$를 감마함수로 정의한다. 정리1실지수함수 $\exp : \mathbb{R}\to \mathbb{R}$와 자연로그함수 ..

• 단위분할과 다변수함수의 적분에 대한 정리

  벡터해석학 2026.03.21 07:46

  정의1 거리공간이 $(X,d)$이고 실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$와 복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$에 대해 $F\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$일때 함수의 지지집합(support) :함수 $f: X \to F$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f) = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\{ x\in X : f(x)\ne 0\})$를 $(X,d)$에서 $f$의 지지집합으로 정의한다.콤팩트 지지함수 :함수 $f: X\to F$의 지지집합 $\underset{(X,d)}{\operatorname{supp}}(f)$가 $(X,d)$에서 콤팩트하면 $f$를 $(X..

• 치환적분에 대한 정리

  벡터해석학 2026.03.16 21:08

  정의1$n \in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$일때열린 초입방체(open hypercube) :임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$와 임의의 $\delta\in (0,\infty)$에 대해$Q_n(x,\delta) = \displaystyle \prod_{i=1}^n (x_i - \delta,x_i+\delta)$를 중심이 $x$이고 변의 길이가 $2\cdot \delta$인 $n$차원 열린 초입방체로 정의한다.모든 $n$차원 열린 초입방체는 공상자가 아닌 $n$차원 열린상자이다.닫힌 초입방체(closed hypercube) :임의의 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}..

• 치환적분

  벡터해석학 2026.02.26 16:41

  정리1임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n),(\mathbb{R},d_1)$이고$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$에서 함수 $\phi : U\to \mathbb{R}^n$가 연속미분가능할때$U$에서 $\phi$의 야코비안 $J\phi : U\to \mathbb{R}$의 절댓값 $|J\phi| : U\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.1. $J\phi$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.2. $|J\phi|$는 $(U,d_n)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이다.3. $|J\phi| $는 ..

• 반복적분(Iterated integral)

  벡터해석학 2026.02.18 22:27

  정리1퇴화상자가 아닌 $m\in \mathbb{Z}^+$차원 닫힌상자 $B$에서 유계인 함수가 $f: B\to \mathbb{R}$일때$B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$에 대응하는 $f$의 하합, 상합 $L(f;\mathcal{G}),U(f;\mathcal{G})$에 대해 다음이 성립한다.1. $U(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \sup f(B_k)\; \cdot $ $vol$$(B_k)$2. $L(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \inf f(B_k)\cdot vol(B_k)$3. $U(f;\mathcal{G}) - L(f;\mathcal{G}) = \displaystyl..

• 노름공간과 다변수함수의 적분에 대한 정리

  벡터해석학 2026.02.03 00:48

  정의1$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 $\mathbb{R}^m$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathbb{R}^m)$의 임의의 부분집합이 $\mathcal{E}\subseteq \mathcal{P}(\mathbb{R}^m)$일때비중첩 집합족(non-overlapping family) : $E\ne F$인 모든 $E,F\in \mathcal{E}$에 대해 $E\cap F$의 부피가 $0$이면 $\mathcal{E}$를 비중첩집합족 또는 $m$차원 비중첩집합족으로 정의한다.서로소 집합족(pairwise family) :$E\ne F$인 모든 $E,F\in \mathcal{E}$에 대해 $E\cap F = \emptyset$이면 $\ma..

• 다변수함수의 적분

  벡터해석학 2026.01.25 15:45

  정의1(영확장함수[extension by zero])실수체가 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$이고 복소수체가 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$일때임의의 집합 $X$의 부분집합 $E\subseteq X$에서 $F\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$로의 함수 $f : E\to F$에 대해모든 $x\in X$가 $\widehat{f}(x) = \begin{cases} f(x) & x\in E\text{ 일때} \\[0.5em] 0 & x\notin E\text{ 일때} \end{cases}$인 함수 $\widehat{f} : X\to F$를 $X$에서 $f$의 영확장함수로 정의한다. 정리9실수체가 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$이고 복소수체..

• 함수공간(Function space)

  위상수학 2025.12.11 15:18

  정의1$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$-일반 곱공간이 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$일때임의의 $\mathcal{F}\subseteq Y^X$에 대해 $(Y^X,\mathcal{T}_p)$의 부분위상공간이 $(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$이면$(\mathcal{F},\mathcal{T}_p|_\mathcal{F})$를 $X$에서 $(Y,\mathcal{T}_Y)$로의 점별수렴위상공간(topology of pointwise convergence)으로 정의한다. 정리1$X\ne \emptyset$인 임의의 집합 $X$에 대해 위상공간 $(Y,\mathcal{T}_Y)$의 $X$..

• 사무엘 콤팩트화(Samuel compactification)

  위상수학 2025.12.03 04:25

  정의1근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$이고 임의의 $Y \subseteq X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(Y)$일때모든 $A,B\subseteq Y$에 대해 $A\, \pmb{\delta}|_Y \, B$이기 위한 필요충분조건이 $A\, \pmb{\delta}\, B$인 것이 되는$\mathcal{P}(Y)$의 관계가 $\pmb{\delta}|_Y \subseteq \mathcal{P}(Y)\times \mathcal{P}(Y)$이면 $(Y,\pmb{\delta}|_Y)$를 $(X,\pmb{\delta})$의 부분근접공간으로 정의한다. 정리1 근접공간이 $(X,\pmb{\delta})$일때 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 $(X,\pmb{\delta})$의 부분근접공간 $(..

• 근접공간에 대한 정리

  위상수학 2025.11.26 15:16

  정리1 균등공간 $(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이기 위한 필요충분조건은 모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$에 대해 유한집합인 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{F}$가 존재하여 $\mathcal{F}$가 $\mathcal{U}$의 세분인 것이다.증명$(X,\mathcal{D})$가 완전유계균등공간이면모든 $(X,\mathcal{D})$에서 $X$의 균등덮개 $\mathcal{U}$는 어떤 $D\in \mathcal{D}$가 존재하여 $\{ D[x]:x\in X\}$가 $\mathcal{U}$의 세분이므로$X = \emptyset$일때 $\{ D[x]:x\in X\} = \emptyset$이고 균등공간 ..