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정의1(영확장함수[extension by zero])
실수체가 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$이고 복소수체가 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$일때
임의의 집합 $X$의 부분집합 $E\subseteq X$에서 $F\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$로의 함수 $f : E\to F$에 대해
모든 $x\in X$가 $\widehat{f}(x) = \begin{cases} f(x) & x\in E\text{ 일때} \\[0.5em] 0 & x\notin E\text{ 일때} \end{cases}$인 함수 $\widehat{f} : X\to F$를 $X$에서 $f$의 영확장함수로 정의한다.
정리9
실수체가 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$이고 복소수체가 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$이고 임의의 집합이 $X$일때
임의의 $E\subseteq X$에서 $F\in \{ \mathbb{R}, \mathbb{C}\}$로의 함수 $f,g,\phi : E\to F$의 영확장함수 $\widehat{f},\widehat{g},\widehat{\phi}: X\to F$에 대해 다음이 성립한다.
1. 임의의 $M\in (0,\infty)$에 대해
모든 $x\in E$가 $|f(x)|\le M$이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in X$가 $|\widehat{f}(x)| \le M$인 것이다.
2. $f$가 $E$에서 유계이기 위한 필요충분조건은 $\widehat{f}$가 $X$에서 유계인 것이다.
3. 모든 $x\in X$에 대해 $\widehat{f}(x)\ne 0$이면 $x\in E$이다.
4. 모든 $S\subseteq E$에 대해 함수의 상은 $f(S) = \widehat{f}(S)$이다.
5. 모든 $c\in F$에 대해 스칼라곱은 $c\cdot \widehat{f}=\widehat{ c\cdot f}$이다.
6. 덧셈은 $\widehat{f} + \widehat{g}=\widehat{f+ g}$이다.
7. 제한함수는 $\left. \widehat{f}\,\right |_E = f$이고 모든 $S\subseteq E$에 대해 $\left. \widehat{f}\,\right |_S = f|_S$이다.
8. $E\subseteq B$인 임의의 $B\subseteq X$에서 $\phi$의 영확장함수가 $\Phi : B\to F$일때
$X$에서 $\Phi$의 영확장함수 $\widehat{\Phi} :X \to F$에 대해 $\widehat{\Phi} = \widehat{\phi}$이다.
9. $F = \mathbb{R}$일때 모든 $x\in E$가 $f(x)\le g(x)$이기 위한 필요충분조건은 모든 $x\in X$가 $\widehat{f}(x)\le \widehat{g}(x)$인 것이다.
10. 절댓값은 $\widehat{|f|} = \left| \widehat{f} \,\right |$이다.
증명
1.
모든 $x\in E$에 대해 $|f(x)|\le M$이면
모든 $x\in X$에 대해 영확장함수의 정의로 $x\in E$일때 $|\widehat{f}(x)| =|f(x)|\le M$이고 $x\notin E$일때 $|\widehat{f}(x)| = 0 < M$이다.
모든 $x\in X$에 대해 $|\widehat{f}(x)| \le M$이면 영확장함수의 정의로 모든 $x\in E$에 대해 $|f(x)| = |\widehat{f}(x)|\le M$이다.
2.
유계의 정의와 1번으로 $f$가 $E$에서 유계이기 위한 필요충분조건은 $\widehat{f}$가 $X$에서 유계인 것이다.
3.
$\widehat{f}(x)\ne 0$일때 $x\notin E$라고 가정하면 영확장함수의 정의로 $\widehat{f}(x) = 0$이 되어 모순이므로 $\widehat{f}(x)\ne 0$이면 $x\in E$이다.
4.
모든 $x\in S\subseteq E$에 대해 영확장함수의 정의로 $f(x) =\widehat{f}(x)$이므로 함수 정리로 $f(S) = \widehat{f}(S)$이다.
5.
모든 $x\in X$에 대해 영확장함수의 정의와 스칼라곱의 정의로
$x\in E$일때 $(c\cdot \widehat{f})(x) = c\cdot \widehat{f}(x) = c\cdot f(x) = (c\cdot f)(x) =(\widehat{ c\cdot f})(x)$이고
$x\notin E$일때 $(c\cdot \widehat{f})(x) = c\cdot \widehat{f}(x) = c\cdot 0 = 0 =(\widehat{ c\cdot f})(x)$이므로 $c\cdot \widehat{f}=\widehat{ c\cdot f}$이다.
6.
모든 $x\in X$에 대해 영확장함수의 정의와 덧셈의 정의로
$x\in E$일때 $(\widehat{f} + \widehat{g})(x) = \widehat{f}(x) + \widehat{g}(x) = f(x) +g(x)= (f+g)(x) =(\widehat{f+g})(x)$이고
$x\notin E$일때 $(\widehat{f}+\widehat{g})(x) = \widehat{f}(x) +\widehat{g}(x)= 0+0 = 0 =(\widehat{f+g})(x)$이므로 $\widehat{f} + \widehat{g}=\widehat{f+ g}$이다.
7.
제한함수의 정의와 영확장함수의 정의로 모든 $x\in S\subseteq E$에 대해 $\left.\widehat{f}\,\right |_S(x) = \widehat{f}(x) = f(x) = f|_S(x)$이므로
$\left. \widehat{f}\,\right |_S = f|_S$가 되어 제한함수 정리로 $\left. \widehat{f}\,\right |_E = f|_E = f$이다.
8.
모든 $x\in X$에 대해 영확장함수의 정의로 $x\in E$일때 $x\in E\subseteq B$이므로 $\widehat{\Phi}(x) = \Phi(x) = \phi(x) = \widehat{\phi}(x)$이고
$x\notin E$일때 $x\in B$이면 $\widehat{\Phi}(x) = \Phi(x) = 0 = \widehat{\phi}(x)$이고 $x\notin B$이면 $x\notin E$이므로 $\widehat{\Phi}(x) = 0 =\widehat{\phi}(x)$가 되어
$\widehat{\Phi} = \widehat{\phi}$이다.
9.
모든 $x\in E$가 $f(x)\le g(x)$이면 모든 $x\in X$에 대해 영확장함수의 정의로
$x\in E$일때 $\widehat{f}(x)=f(x)\le g(x) = \widehat{g}(x)$이고 $x\notin E$일때 $\widehat{f}(x)=0 = \widehat{g}(x)$이다.
모든 $x\in X$에 대해 $\widehat{f}(x)\le \widehat{g}(x)$이면 영확장함수의 정의로 모든 $x\in E$에 대해 $f(x)=\widehat{f}(x)\le \widehat{g}(x)=g(x)$이다.
10.
모든 $x\in X$에 대해 영확장함수의 정의와 절댓값의 정의로
$x\in E$일때 $\widehat{|f|}(x) = |f|(x) = |f(x)| = |\widehat{f}(x)| = \left| \widehat{f} \,\right |(x)$이고
$x\notin E$일때 $\widehat{|f|}(x) = 0 =|0| = |\widehat{f}(x)| = \left| \widehat{f} \,\right |(x)$이므로 $\widehat{|f|} = \left| \widehat{f} \,\right |$이다.
정의2
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고
임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수 $f:E\to \mathbb{R}$에 대해 $\mathbb{R}^m$에서 $f$의 영확장함수가 $\widehat{f} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$이고
$E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자가 $B$일때
하합(lower sum) :
임의의 $B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$와 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $m_k = $ $\inf$$\{ \widehat{f}(x) : x\in B_k\} = \inf \,$$\widehat{f}(B_k)$이면
$L(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n m_k \;\cdot $ $vol$$(B_k)$를 $\mathcal{G}$에 대응하는 $f$의 하합으로 정의한다.
상합(upper sum) :
임의의 $B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$와 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $M_k = $ $\sup$$\{ \widehat{f}(x) : x\in B_k\} = \sup \widehat{f}(B_k)$이면
$U(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n M_k \cdot vol(B_k)$를 $\mathcal{G}$에 대응하는 $f$의 상합으로 정의한다.
하적분(lower intergral) :
$B$의 모든 격자들의 집합이 $\mathbf{G}$이면 $L(f) = \sup \{ L(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}\}$를 $E$에서 $f$의 하적분으로 정의한다.
$E\subseteq F$인 임의의 $F\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 함수 $g : F\to \mathbb{R}$의 제한함수 $g|_E : E \to \mathbb{R}$가 $E$에서 유계이면
$L(g|_E) = \displaystyle \underline{\int_E} g\operatorname{d}\!V$와 $L(g|_E) = \displaystyle \underline{\int_E} g(x)\operatorname{d}\!x$로 표기할 수 있고 $m = 2$이면 $L(g|_E) = \displaystyle \underline{\int_E} g\operatorname{d}\!A$로 표기할 수 있다.
상적분(lower intergral) :
$B$의 모든 격자들의 집합이 $\mathbf{G}$이면 $U(f) = \inf \{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}\}$를 $E$에서 $f$의 상적분으로 정의한다.
$E\subseteq F$인 임의의 $F\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 함수 $g : F\to \mathbb{R}$의 제한함수 $g|_E : E \to \mathbb{R}$가 $E$에서 유계이면
$L(g|_E) = \displaystyle \overline{\int_E} g\operatorname{d}\!V$와 $L(g|_E) = \displaystyle \overline{\int_E} g(x)\operatorname{d}\!x$로 표기할 수 있고 $m = 2$이면 $L(g|_E) = \displaystyle \overline{\int_E} g\operatorname{d}\!A$로 표기할 수 있다.
정리1
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 임의의 조르당영역이 $E\subseteq \mathbb{R}^m$일때
유계인 함수 $f,g :E\to \mathbb{R}$와 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$에 대해
임의의 $B$의 격자 $\mathcal{G}=\{ B_k\}_{k=1}^n$와 $\mathcal{H}=\{ C_r\}_{r=1}^p$에 대응하는 $f,g$의 하합과 상합은 다음이 성립한다.
1. $L(f;\mathcal{G})\le U(f;\mathcal{G})$
2. $\mathcal{H}$가 $\mathcal{G}$의 세분이면 $L(f;\mathcal{G})\le L(f;\mathcal{H})\le U(f;\mathcal{H})\le U(f;\mathcal{G})$이다.
3. $L(f;\mathcal{G})\le U(f;\mathcal{H})$
4. 모든 $x\in E$에 대해 $f(x) \le g(x)$이면 $L(f;\mathcal{G}) \le L(g;\mathcal{G})$이고 $U(f;\mathcal{G}) \le U(g;\mathcal{G})$이다.
5. 모든 $x\in E$에 대해 $f(x) \le g(x)$이면 $L(f;\mathcal{G})\le U(g;\mathcal{H})$이다.
증명
$\mathbb{R}^m$에서 $f,g$의 영확장함수가 $\widehat{f},\widehat{g}: \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때
$f$는 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in E$에 대해 $|f(x)|\le M$이고
위 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}^m$에 대해 $|\widehat{f}(x)|\le M$임에 따라 $-M\le \widehat{f}(x)\le M$이고
모든 $x\in E$에 대해 $f(x) \le g(x)$이면 위 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}^m$에 대해 $\widehat{f}(x) \le \widehat{g}(x)$이다.
1.
모든 $k = 1,2,\cdots,n$에 대해 격자 정리로 $B_k\ne \emptyset$이므로 $\widehat{f}(B_k)\ne \emptyset$이 되어
완비성으로 $m_k = \inf \widehat{f}(B_k)$와 $M_k = \sup \widehat{f}(B_k)$가 존재하고
하한, 상한 정리로 $m_k = \inf \widehat{f}(B_k)\le \sup \widehat{f}(B_k) = M_k$이므로
닫힌상자의 부피의 정의로 $vol(B_k)\ge 0$임에 따라 $m_k\cdot vol(B_k)\le M_k\cdot vol(B_k)$가 되어
하합의 정의와 상합의 정의로 $L(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n m_k\cdot vol(B_k) \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n M_k\cdot vol(B_k)= U(f;\mathcal{G})$이다.
2.
세분 정리로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k = \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k$인 $\mathcal{B}_k \subseteq \mathcal{H}$가 유일하게 존재하여
$\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots, \mathcal{B}_n\}$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이고 $\mathcal{H}$의 분할이다.
모든 $k =1,2,\cdots,n$에 대해 $\mathcal{B}_k \subseteq \mathcal{H}$이고 $\mathcal{B}_k\ne \emptyset$이므로
유한집합 정리로 $\mathcal{B}_k$는 $p_k\le p$인 어떤 $p_k\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어
어떤 $r_1,r_2,\cdots,r_{p_k} = 1,2,\cdots,p$에 대해 $\mathcal{B}_k = \{ C_{r_1}, C_{r_2},\cdots, C_{r_{p_k}}\}$일때
세분 정리와 격자 정리로 $\displaystyle \sum_{j_k=1}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}}) = vol(B_k)$이고 모든 $j_k = 1,2,\cdots,p_k$에 대해
$C_{r_{j_k}}\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}_k = B_k$이므로 하한, 상한 정리로 $\inf \widehat{f}(B_k) \le \inf \widehat{f}(C_{r_{j_k}}) \le \sup \widehat{f}(C_{r_{j_k}})\le \sup \widehat{f}(B_k)$이다.
임의의 $k= 1,2,\cdots,n$에 대해 $\inf \widehat{f}(B_k) > 0$이면
모든 $x\in B_k$에 대해 하한의 정의로 $0< \inf \widehat{f}(B_k) \le \widehat{f}(x)$이므로 위 정리로 $x\in E$가 되어
모든 $j_k=1,2,\cdots,p_k$에 대해 $C_{r_{j_k}}\subseteq B_k\subseteq E$이고 집합 정리와 격자 정리로 $C_{r_{j_k}}\cap E = C_{r_{j_k}}\ne \emptyset$임에 따라
$\displaystyle \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) = \inf \widehat{f}(B_k)\cdot \sum_{j_k = 1}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}})= \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_k} \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(C_{r_{j_k}}) \le \sum_{\substack{j_k\ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E\ne \emptyset }}^{p_k} \inf \widehat{f}(C_{r_{j_k}})\cdot vol(C_{r_{j_k}})\text{ 이고}$
$\inf \widehat{f}(B_k) \le 0$이면 $\displaystyle \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}})\le \sum_{j_k = 1}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}}) = vol(B_k)$이므로
$\displaystyle \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) \le \inf \widehat{f}(B_k)\cdot \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}})= \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_k} \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(C_{r_{j_k}}) \le \sum_{\substack{j_k\ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E\ne \emptyset }}^{p_k} \inf \widehat{f}(C_{r_{j_k}})\cdot vol(C_{r_{j_k}})\text{ 가 되어}$
$\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\}$이 $\mathcal{H}$의 분할임에 따라 하합의 정의로
$\begin{align*} L(f;\mathcal{G}) & = \sum_{\substack{k \ge 1 \\ B_k \cap E \ne \emptyset}}^{n} \inf \widehat{f}(B_k) \cdot vol(B_k) \\[0.5em] & \le \sum_{k=1}^n \inf \widehat{f}(B_k) \cdot vol(B_k) \\[0.5em] & \le \sum_{k=1}^n \sum_{\substack{j_k\ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E\ne \emptyset }}^{p_k} \inf \widehat{f}(C_{r_{j_k}})\cdot vol(C_{r_{j_k}}) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{r \ge 1 \\ C_r \cap E \ne \emptyset}}^{p} \inf \widehat{f}(C_r) \cdot vol(C_{r}) \\[0.5em] & \qquad = L(f;\mathcal{H})\text{ 이다.} \end{align*}$
임의의 $k= 1,2,\cdots,n$에 대해 $0\le \sup \widehat{f}(B_k)$이면
$\displaystyle \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}})\le \sum_{j_k = 1}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}}) = vol(B_k)$이므로 $\displaystyle \sup \widehat{f}(B_k)\cdot \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}})\le \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k)$이고
$\sup \widehat{f}(B_k) < 0$이면
모든 $x\in B_k$에 대해 상한의 정의로 $\widehat{f}(x)\le \sup \widehat{f}(B_k) < 0$이므로 위 정리로 $x\in E$가 되어
모든 $j_k=1,2,\cdots,p_k$에 대해 $C_{r_{j_k}}\subseteq B_k\subseteq E$이고 집합 정리와 격자 정리로 $C_{r_{j_k}}\cap E = C_{r_{j_k}}\ne \emptyset$임에 따라
$\displaystyle \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}})= \sum_{j_k = 1}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}}) = vol(B_k)$이므로 $\displaystyle \sup \widehat{f}(B_k)\cdot \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}})= \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k)$이고
$B_k\cap E = \emptyset$일때
모든 $j_k=1,2,\cdots,p_k$에 대해 $C_{r_{j_k}}\cap E\subseteq B_k\cap E = \emptyset$이므로 $C_{r_{j_k}}\cap E = \emptyset$이 되어 $\displaystyle \sum_{\substack{j_k \ge 1 \\ C_{r_{j_k}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_k} vol(C_{r_{j_k}}) =0$이고
$\{ \mathcal{B}_1,\mathcal{B}_2,\cdots,\mathcal{B}_n\}$이 $\mathcal{H}$의 분할임에 따라 상합의 정의로
$\begin{align*} U(f;\mathcal{H}) & = \sum_{\substack{r \ge 1 \\ C_r \cap E \ne \emptyset}}^{p} \sup \widehat{f}(C_r) \cdot vol(C_{r}) \\[0.5em] & = \sum_{\substack{j_1 \ge 1 \\ C_{r_{j_1}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_1} \sup \widehat{f}(C_{r_{j_1}})\cdot vol(C_{r_{j_1}}) + \sum_{\substack{j_2 \ge 1 \\ C_{r_{j_2}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_2} \sup \widehat{f}(C_{r_{j_2}})\cdot vol(C_{r_{j_2}}) +\cdots +\sum_{\substack{j_n \ge 1 \\ C_{r_{j_n}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_n} \sup \widehat{f}(C_{r_{j_n}})\cdot vol(C_{r_{j_n}}) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{j_1 \ge 1 \\ C_{r_{j_1}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_1} \sup \widehat{f}(B_1)\cdot vol(C_{r_{j_1}}) + \sum_{\substack{j_2 \ge 1 \\ C_{r_{j_2}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_2} \sup \widehat{f}(B_2)\cdot vol(C_{r_{j_2}}) +\cdots +\sum_{\substack{j_n \ge 1 \\ C_{r_{j_n}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_n} \sup \widehat{f}(B_n) \cdot vol(C_{r_{j_n}}) \\[0.5em] & \qquad = \sup \widehat{f}(B_1)\cdot \sum_{\substack{j_1 \ge 1 \\ C_{r_{j_1}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_1} vol(C_{r_{j_1}}) + \sup \widehat{f}(B_2)\cdot\sum_{\substack{j_2 \ge 1 \\ C_{r_{j_2}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_2} vol(C_{r_{j_2}}) +\cdots +\sup \widehat{f}(B_n) \cdot \sum_{\substack{j_n \ge 1 \\ C_{r_{j_n}}\cap E \ne \emptyset}}^{p_n} vol(C_{r_{j_n}}) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{k \ge 1 \\ B_k \cap E \ne \emptyset}}^{n} \sup \widehat{f}(B_k) \cdot vol(B_k) \\[0.5em] & \qquad = U(f;\mathcal{G}) \text{ 이다.}\end{align*}$
따라서 1번으로 $L(f;\mathcal{G})\le L(f;\mathcal{H})\le U(f;\mathcal{H})\le U(f;\mathcal{G})$이다.
3.
격자 정리로 $\mathcal{G},\mathcal{H}$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{I}$가 존재하여 2번으로 $L(f;\mathcal{G}) \le L(f;\mathcal{I}) \le U(f;\mathcal{I}) \le U(f;\mathcal{H})$이다.
4.
모든 $k = 1,2,\cdots,n$에 대해 하한, 상한의 정의로
모든 $x\in B_k \subseteq \mathbb{R}^m$가 $\inf \widehat{f}(B_k) \le \widehat{f}(x)\le \widehat{g}(x) \le \sup \widehat{g}(B_k)$이므로
$\inf \widehat{f}(B_k) \le \inf \widehat{g}(B_k)$와 $\sup\widehat{f}(B_k) \le \sup \widehat{g}(B_k)$가 성립하여 하합, 상합의 정의로
$\displaystyle L(f;\mathcal{G})= \sum_{\substack{k \ge 1 \\ B_k \cap E \ne \emptyset}}^n \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \inf \widehat{g}(B_k)\cdot vol(B_k) = L(g;\mathcal{G})$이고
$\displaystyle U(f;\mathcal{G})= \sum_{\substack{k \ge 1 \\ B_k \cap E \ne \emptyset}}^n \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{g}(B_k)\cdot vol(B_k) = U(g;\mathcal{G})$이다.
5.
3, 4번으로 $L(f;\mathcal{G}) \le U(f;\mathcal{H}) \le U(g;\mathcal{H})$이다.
정리2
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때
임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수 $f,g:E\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.
1. 모든 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B,C$의 모든 격자들의 집합이 $\mathbf{G}_B,\mathbf{G}_C$일때 $E\subseteq B$이고 $E\subseteq C$이면
$\sup \{ L(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} = \sup \{ L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C\}$이고
$\inf \{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} = \inf \{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C\}$이다.
2. $E$에서 $f$의 하적분과 상적분 $L(f),U(f)$가 유일하게 존재하고 $L(f)\le U(f)$이다.
3. 모든 $x\in E$에 대해 $f(x) \le g(x)$이면 $L(f) \le L(g)$이고 $U(f) \le U(g)$이다.
4. 모든 $x\in E$에 대해 $f(x) \le g(x)$이면 $L(f) \le U(g)$이다.
증명
1.
$\mathbb{R}^m$에서 $f$의 영확장함수가 $\widehat{f}: \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때
$f$는 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in E$에 대해 $|f(x)|\le M$이고
위 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}^m$에 대해 $|\widehat{f}(x)|\le M$임에 따라 $-M\le \widehat{f}(x)\le M$이다.
닫힌상자의 정의와 퇴화상자의 정의로 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(B),b_i(B)]$와 $C = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(C),b_i(C)]$가 성립하고
모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해
$a_i(B)< b_i(B)$와 $a_i(C)<b_i(C)$가 성립하는 닫힌구간 $[a_i(B),b_i(B)],[a_i(C),b_i(C)]$가 존재하여
$a_i = \min \{ a_i(B), a_i(C)\}-1$이고 $b_i = \max \{ b_i(B),b_i(C)\} +1$일때 최소원소의 정의와 최대원소의 정의로
$a_i < \min \{ a_i(B),a_i(C)\} \le a_i(B) < b_i(B) \le \max\{ b_i(B),b_i(C)\}< b_i$이고
$a_i < \min \{ a_i(B),a_i(C)\} \le a_i(C) < b_i(C) \le \max\{ b_i(B),b_i(C)\}< b_i$이므로
$A = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$는 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자이고
집합 정리로 $[a_i(B),b_i(B)]\cup [a_i(C),b_i(C)] \subseteq [a_i,b_i]\cup [a_i,b_i] = [a_i,b_i]$임에 따라 데카르트곱 정리로
$\begin{align*} E \subseteq B\cup C = \left (\prod_{i=1}^m [a_i(B),b_i(B)] \right ) \cup \left (\prod_{i=1}^m [a_i(C),b_i(C)]\right) \subseteq \prod_{i=1}^m ([a_i(B),b_i(B)] \cup [a_i(C),b_i(C)]) \subseteq \prod_{i=1}^m[a_i,b_i] = A\text{ 이다.} \end{align*}$
$A$의 모든 격자들의 집합이 $\mathbf{G}_A$일때 격자 정리로 $\{ A\}\in \mathbf{G}_A$이므로
$\{ L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A \}$와 $\{ U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A \}$는 공집합이 아니고 모든 $\mathcal{G}_A \in \mathbf{G}_A$에 대해
위 정리로 $L(f;\mathcal{G}_A)\le U(f;\{ A\}) $와 $L(f;\{A\}) \le U(f; \mathcal{G}_A)$이 성립하므로
완비성으로 $\sup \{ L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$와 $\inf \{ U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A \}$가 존재한다.
비슷하게 $\sup \{ L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} , \sup \{ L(f;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_C\}$가 존재하고
$\inf \{ U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\},\inf\{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C\}$가 존재한다.
모든 $\mathcal{G}_B\in \mathbf{G}_B$는 격자의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 어떤 $n_i\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여
$[a_i(B),b_i(B)] = [x_{i,2},x_{i,3}] \cup [x_{i,3},x_{i,4}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i+1}, x_{i,n_i+2}]$이고
$a_i(B) = x_{i,2} < x_{i,3}< \cdots < x_{i,n_i+1} < x_{i,n_i+2} = b_i(B)$인
$x_{i,2},x_{i,3},\cdots, x_{i,n_i+1},x_{i,n_i+2}\in [a_i(B),b_i(B)]$가 존재하고 모든 $j_i = 1,2,\cdots,n_i$에 대해
$B(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1 +1}, x_{1, j_1+2}] \times [x_{2,j_2+1},x_{2,j_2+2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m+1},x_{m,j_m+2}]$이면
격자 정의의 전단사함수가 $\psi_B : \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$일때
$n(B) = n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \, \cdot n_m$에 대해 $\mathcal{G}_B= \{ B(\psi_B(k)) : k=1,2,\cdots,n(B)\}$이므로
$n(A) = (n_1+4)\cdot (n_2+4) \cdot \, \cdots \, \cdot (n_m+4)$이고 $N = \max \{ b_1-a_1, b_2-a_2,\cdots, b_m-a_m\}$일때
임의의 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $\delta_\epsilon =\min \{ \frac{1}{2}, \frac{\epsilon}{2\cdot n(A)\cdot M \cdot N^{m-1}} \} > 0$이고
$x_{i,0} = a_i$이고 $x_{i,1} = a_i(B) - \delta_\epsilon$이고 $x_{i,n_i+3} = b_i(B) + \delta_\epsilon$이고 $x_{i,n_i +4} = b_i$이면
$a_i = \min \{ a_i(B), a_i(C)\}-1 \le a_i(B) -1 < a_i(B) - \dfrac{1}{2} \le a_i(B) - \delta_\epsilon < a_i(B) =x_{i,2}$이고
$x_{i,n_i+2}=b_i(B)< b_i(B) + \delta_\epsilon \le b_i(B) + \dfrac{1}{2}<b_i(B) +1 \le \max \{ b_i(B),b_i(C)\} +1 =b_i$이므로
$a_i =x_{i,0}< x_{i,1} < x_{i,2} < \cdots < x_{i,n_i} < x_{i,n_i+1} < x_{i,n_i +2} < x_{i,n_i+3}<x_{i,n_i+4} = b_i$가 되어
$[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i+2}, x_{i,n_i+3}]\cup [x_{i,n_i+3},x_{i,n_i+4}]$임에 따라
모든 $j_i = 1,2,\cdots ,n_i+3,n_i +4$에 대해
$A(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1-1 }, x_{1, j_1}] \times [x_{2,j_2-1},x_{2,j_2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m-1},x_{m,j_m}]$이고
격자 정의의 전단사함수가 $\psi_A : \mathbb{Z}_{(n_1+4)\cdot (n_2+4)\cdot \, \cdots\, \cdot (n_m+4)}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1+4}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2+4}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m+4}^+$일때
$\mathcal{G}_A= \{ A(\psi_A(k)) : k=1,2,\cdots,n(A)\}$는 $A$의 격자이다.
모든 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$에 대해
$B(j_1,j_2,\cdots, j_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m[x_{i,j_i +1}, x_{i, j_i+2}]= A(j_1+2,j_2+2,\cdots, j_m +2)\in \mathcal{G}_A$가 되어 $\mathcal{G}_B\subseteq \mathcal{G}_A$이고
$A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset$인 모든 $k=1,2,\cdots,n(A)$에 대해
$\displaystyle A(\psi_A(k)) = A(j_1,j_2,\cdots, j_m)$인 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1+4}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2+4}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m+4}^+$이 존재하므로
$\displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}] = A(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathcal{G}_B$이면 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}\le b_i(B)$이고
$\displaystyle \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i -1}, x_{i, j_i}] = A(j_1,j_2,\cdots,j_m)\notin \mathcal{G}_B$이면
어떤 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} \le a_i(B) = x_{i,2}$ 또는 $x_{i,n_i +2} = b_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}$이므로
$E \subseteq B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i(B),b_i(B)]$임에 따라
$x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} \le a_i(B) = x_{i,2}$일때 $j_i < 2$라고 가정하거나
$x_{i,n_i +2} = b_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}$일때 $n_i +2 < j_i -1$이라고 가정하면
$x_{i,j_i} \le x_{i,1} = a_i(B) - \delta_\epsilon < a_i(B)$ 또는 $b_i(B) < b_i(B) + \delta_\epsilon = x_{i,n_i+3}\le x_{i,j_i-1}$이고
$[x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]\cap [a_i(B),b_i(B)] = \emptyset$인데 데카르트곱 정리와 데카르트곱 정리로
$A(\psi_A(k))\cap E\subseteq \displaystyle \left ( \prod_{i=1}^m[x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]\right )\cap \left ( \prod_{i=1}^m [a_i(B),b_i(B)]\right ) = \prod_{i=1}^m ([x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]\cap [a_i(B),b_i(B)]) = \emptyset\text{ 이므로}$
$A(\psi_A(k))\cap E= \emptyset$임에 따라 모순이 되어
$x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} \le a_i(B) = x_{i,2}$이면 $j_i= 2$이고 $x_{i,n_i +2} = b_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i}$이면 $n_i +2 = j_i -1$이므로
$[x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] = [a_i(B) -\delta_\epsilon, a_i(B)]$ 또는 $[x_{i,j_i-1}, x_{i,j_i}]=[b_i(B),b_i(B) + \delta_\epsilon]$가 되어
$0\le vol(A(\psi_A(k))) = (x_{1,j_1}- x_{1,j_1 -1 })\cdot (x_{2,j_2}-x_{2,j_2-1})\cdot\; \cdots\; \cdot (x_{m,j_m}-x_{m,j_m-1}) \le N^{m-1}\cdot \delta_\epsilon$이고
하한의 정의로 $-M \le \inf \widehat{f}(A(\psi_A(k)))$이므로
$-M\cdot N^{m-1}\cdot \delta_\epsilon\le -M\cdot vol(A(\psi_A(k)) )\le \inf \widehat{f}(A(\psi_A(k))) \cdot vol(A(\psi_A(k)))$임에 따라
$\begin{align*} n(A)\cdot (-M\cdot N^{m-1}\cdot \delta_\epsilon) &= \sum_{k=1}^{n(A)} (-M\cdot N^{m-1}\cdot \delta_\epsilon) \\[0.5em]& \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\notin \mathcal{G}_B}}^{n(A)} (-M\cdot N^{m-1}\cdot \delta_\epsilon) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k)) \cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\notin \mathcal{G}_B}}^{n(A)}\inf \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k)))\text{ 가 되어} \end{align*}$
$\begin{align*} L(f;\mathcal{G}_B) - \dfrac{\epsilon}{2} &= \sum_{\substack{k\ge 1\\ B(\psi_B(k)) \cap E\ne \emptyset}}^{n(B)} \inf \widehat{f}(B(\psi_B(k)))\cdot vol(B(\psi_B(k))) - \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] &= \sum_{\substack{k\ge 1\\ B(\psi_B(k)) \cap E\ne \emptyset}}^{n(B)} \inf \widehat{f}(B(\psi_B(k)))\cdot vol(B(\psi_B(k))) + n(A)\cdot M\cdot N^{m-1}\cdot \left (-\dfrac{\epsilon}{2\cdot n(A)\cdot M\cdot N^{m-1} }\right ) \\[0.5em] &\le \sum_{\substack{k\ge 1\\ B(\psi_B(k)) \cap E\ne \emptyset}}^{n(B)} \inf \widehat{f}(B(\psi_B(k)))\cdot vol(B(\psi_B(k))) + n(A)\cdot M\cdot N^{m-1}\cdot (-\delta_\epsilon) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{k\ge 1\\ B(\psi_B(k)) \cap E\ne \emptyset}}^{n(B)} \inf \widehat{f}(B(\psi_B(k)))\cdot vol(B(\psi_B(k))) + n(A)\cdot (- M\cdot N^{m-1}\cdot \delta_\epsilon) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{k\ge 1\\ B(\psi_B(k)) \cap E\ne \emptyset}}^{n(B)} \inf \widehat{f}(B(\psi_B(k)))\cdot vol(B(\psi_B(k))) + \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k)) \cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\notin \mathcal{G}_B}}^{n(A)}\inf \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k)) \cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\in \mathcal{G}_B}}^{n(A)}\inf \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) + \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k)) \cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\notin \mathcal{G}_B}}^{n(A)}\inf \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k)) \cap E\ne \emptyset } }^{n(A)}\inf \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] & \qquad = L(f;\mathcal{G}_A) \text{ 이고} \end{align*}$
상한의 정의로 $\sup \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\le M$이므로 최소원소의 정의로
$\begin{align*} U(f;\mathcal{G}_A) & = \sum_{\substack{k\ge 1\\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset}}^{n(A)}\sup \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] & = \sum_{\substack{k\ge 1\\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\in \mathcal{G}_B }}^{n(A)}\sup \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) +\sum_{\substack{k\ge 1\\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\notin \mathcal{G}_B }}^{n(A)}\sup \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] & = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B(\psi_B(k))\cap E\ne \emptyset}}^{n(B)} \sup\widehat{f}(B(\psi_B(k)))\cdot vol(B(\psi_B(k))) + \sum_{\substack{k\ge 1\\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\notin \mathcal{G}_B }}^{n(A)}\sup \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] & = U(f;\mathcal{G}_B) + \sum_{\substack{k\ge 1\\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\notin \mathcal{G}_B }}^{n(A)}\sup \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] &\le U(f;\mathcal{G}_B) + \sum_{\substack{k\ge 1\\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\notin \mathcal{G}_B }}^{n(A)} M \cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] &\le U(f;\mathcal{G}_B) + \sum_{\substack{k\ge 1\\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset \\ A(\psi_A(k))\notin \mathcal{G}_B }}^{n(A)} M \cdot N^{m-1}\cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] &\le U(f;\mathcal{G}_B) + n(A)\cdot M\cdot N^{m-1}\cdot \delta_\epsilon \\[0.5em] &\le U(f;\mathcal{G}_B) + n(A)\cdot M\cdot N^{m-1}\cdot \left ( \dfrac{\epsilon}{2\cdot n(A)\cdot M\cdot N^{m-1}}\right ) \\[0.5em] & \qquad = U(f;\mathcal{G}_B) + \dfrac{\epsilon}{2} \text{ 이다.}\end{align*}$
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 상한 정리로 $\sup \{ L(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} -\dfrac{\epsilon}{2}< L(f;\mathcal{G}_B)$인 $\mathcal{G}_B\in \mathbf{G}_B$가 존재하여
$L(f;\mathcal{G}_B)-\dfrac{\epsilon}{2}\le L(f;\mathcal{G}_A)$인 $\mathcal{G}_A\in \mathbf{G}_A$가 존재하므로 상한의 정의로
$\begin{align*} \sup \{ L(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} -\epsilon & = \sup \{ L(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} -\dfrac{\epsilon}{2} - \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \lt L(f;\mathcal{G}_B) - \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le L(f;\mathcal{G}_A) \\[0.5em] & \le \sup \{ L(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} \text{ 임에 따라} \end{align*}$
부등식 정리로 $\sup \{ L(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} \le \sup \{ L(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$이다.
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 하한 정리로 $U(f;\mathcal{G}_B)< \inf \{ U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} +\dfrac{\epsilon}{2}$인 $\mathcal{G}_B\in \mathbf{G}_B$가 존재하여
$U(f;\mathcal{G}_A)\le U(f;\mathcal{G}_B) + \dfrac{\epsilon}{2}$인 $\mathcal{G}_A\in \mathbf{G}_A$가 존재하므로 하한의 정의로
$\begin{align*} \inf\{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} & \le U(f;\mathcal{G}_A) \\[0.5em] & \le U(f;\mathcal{G}_B) + \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em]& \lt \inf \{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} +\dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em]& \qquad = \inf \{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} +\epsilon \text{ 임에 따라} \end{align*}$
부등식 정리로 $\inf\{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} \le \inf \{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\}$이다.
모든 $\mathcal{G}_A\in \mathbf{G}_A$는 격자의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해
어떤 $n_i\in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $[a_i,b_i] = [x_{i,0},x_{i,1}] \cup [x_{i,1},x_{i,2}]\cup \cdots \cup [x_{i,n_i-1}, x_{i,n_i}]$이고
$a_i = x_{i,0} < x_{i,1}< \cdots < x_{i,n_i-1} < x_{i,n_i} = b_i$인 $x_{i,0},x_{i,1},\cdots, x_{i,n_i-1},x_{i,n_i}\in [a_i,b_i]$이 존재하고
모든 $j_i = 1,2,\cdots,n_i$에 대해 $A(j_1,j_2,\cdots, j_m) = [x_{1,j_1 -1}, x_{1, j_1}] \times [x_{2,j_2-1},x_{2,j_2}]\times \cdots \times [x_{m, j_m-1},x_{m,j_m}]$이면
격자 정의의 전단사함수가 $\psi_A : \mathbb{Z}_{n_1\cdot n_2\cdot \, \cdots\, \cdot n_m}^+ \to \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$일때
$n = n_1\cdot n_2 \cdot \, \cdots \, \cdot n_m$에 대해 $\mathcal{G}_A= \{ A(\psi_A(k)) : k=1,2,\cdots,n\}$는 $A$의 격자이고
$Y_i = (\{ x_{i,j_i} : j_i = 0,1,2,\cdots,n_i\} \cup \{ a_i(B),b_i(B)\})\cap [a_i(B),b_i(B)]$는 $a_i(B),b_i(B)\in Y_i$인 유한집합이 되어
어떤 $p_i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $Y_i$가 $p_i+1$개의 원소를 갖는 유한집합일때
어떤 $y_{i,0},y_{i,1},\cdots, y_{i,p_i-1},y_{i,p_i}\in [a_i(B),b_i(B)]$에 대해
$a_i(B) = y_{i,0} < y_{i,1}< \cdots < y_{i,p_i-1} < y_{i,p_i} = b_i(B)$이고 $Y_i = \{ y_{i,0},y_{i,1},\cdots, y_{i,p_i-1},y_{i,p_i} \}$이므로
$[y_{i,0},y_{i,1}] \cup [y_{i,1},y_{i,2}]\cup \cdots \cup [y_{i,p_i-1}, y_{i,p_i}] =[a_i(B),b_i(B)]$이고
모든 $k_i = 1,2,\cdots,p_i$에 대해 $B(k_1,k_2,\cdots, k_m) = [y_{1,k_1 -1}, y_{1, k_1}] \times [y_{2,k_2-1},y_{2,k_2}]\times \cdots \times [y_{m, k_m-1},y_{m,k_m}]$이면
격자 정의의 전단사함수가 $\psi_B : \mathbb{Z}_{p_1\cdot p_2\cdot \, \cdots\, \cdot p_m}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$일때
$p = p_1\cdot p_2 \cdot \, \cdots \, \cdot p_m$에 대해 $\mathcal{G}_B= \{ B(\psi_B(r)) : r=1,2,\cdots,p\}$는 $B$의 격자이다.
모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해
$\displaystyle A(\psi_A(k))= A(j_1,j_2,\cdots,j_m)=\prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]$인 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$이 존재하여
$\inf \widehat{f}(A(\psi_A(k))) > 0$이면 모든 $x\in A(\psi_A(k))$에 대해 하한의 정의로 $0< \inf \widehat{f}(A(\psi_A(k))) \le \widehat{f}(x)$이므로
위 정리로 $x\in E$임에 따라 $\displaystyle \prod_{i=1}^n [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] =A(\psi_A(k))\subseteq E\subseteq B = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i(B),b_i(B)]$이고
모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} \le b_i(B)$이므로 $x_{i,j_i -1},x_{i,j_i}\in Y_i$임에 따라
$y_{i,k_i-1}=x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} = y_{i,k_i}$인 $k_i = 1,2,\cdots,p_i$가 존재하여
$\displaystyle A(\psi_A(k))=\prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] = \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i-1},y_{i,k_i}] = B(k_1,k_2,\cdots,k_m)$이고
$\inf \widehat{f}(A(\psi_A(k))) \le 0$이면 $\inf \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \le 0$이므로 하합의 정의와 상한의 정의로
$\begin{align*}L(f;\mathcal{G}_A) & = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset }}^n \inf \widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{r\ge 1 \\ B(\psi_B(r))\cap E\ne \emptyset}}^p \inf \widehat{f}(B(\psi_B(r)))\cdot vol(B(\psi_B(r))) \\[0.5em] & \qquad = L(f;\mathcal{G}_B) \\[0.5em]& \le \sup \{ L(f;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} \text{ 가 되어}\end{align*}$
상한의 정의로 $\sup \{L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} \le \sup \{ L(f;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\}$이고
$\sup \{L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} = \sup \{ L(f;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$이다.
임의의 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{n_1}^+ \times \mathbb{Z}_{n_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{n_m}^+$에 대해
$\displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i -1}, y_{i, k_i}] = B(k_1,k_2,\cdots,k_m)\subseteq A(j_1,j_2,\cdots,j_m)=\prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]$과
$\displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,q_i -1}, y_{i, q_i}] =B(q_1,q_2,\cdots,q_m) \subseteq A(j_1,j_2,\cdots,j_m) =\prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}]$이 성립하고
$(k_1,k_2,\cdots,k_m)\ne (q_1,q_2,\cdots, q_m)$인 $(k_1,k_2,\cdots,k_m),(q_1,q_2,\cdots,q_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이 존재하면
격자 정리와 거리공간 정리와 데카르트곱 정리로 $(y_{i,k_i-1},y_{i,k_i})\cap [y_{i,q_i-1},y_{i,q_i}] = \emptyset$인 $i=1,2,\cdots,m$가 존재하여
$x_{i,j_i -1} \le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le y_{i,q_i-1} < y_{i,q_i} \le x_{i,j_i}$ 또는 $x_{i,j_i -1} \le y_{i,q_i-1}< y_{i,q_i} \le y_{i,k_i-1} < y_{i,k_i} \le x_{i,j_i}$이므로
$a_i(B) \le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le y_{i,q_i-1} < y_{i,q_i} \le b_i(B)$ 또는 $a_i(B) \le y_{i,q_i-1}< y_{i,q_i} \le y_{i,k_i-1} < y_{i,k_i} \le b_i(B)$임에 따라
$y_{i,q_i-1} = x_{i,r_i}$ 또는 $y_{i,q_i} = x_{i,r_i}$인 $r_i = 0,1,2,\cdots,n_i$가 존재하는데
$x_{i,j_i -1} \le y_{i,k_i-1}< x_{i,r_i} < y_{i,q_i} \le x_{i,j_i}$ 또는 $x_{i,j_i -1} \le y_{i,q_i-1}< x_{i,r_i} < y_{i,k_i} \le x_{i,j_i}$이므로
$j_i-1 < r_i < j_i$가 되어 모순임에 따라 $(k_1,k_2,\cdots,k_m) = (q_1,q_2,\cdots, q_m)$이다.
$\sup \widehat{f}(A(j_1,j_2,\cdots,j_m)) < 0$이면
모든 $x\in A(j_1,j_2,\cdots,j_m)$에 대해 상한의 정의로 $\widehat{f}(x)\le \sup \widehat{f}(A(j_1,j_2,\cdots,j_m)) < 0$이므로
위 정리로 $x\in E$임에 따라 $\displaystyle \prod_{i=1}^n [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] =A(j_1,j_2,\cdots,j_m) \subseteq E\subseteq B = \displaystyle \prod_{i=1}^m[a_i(B),b_i(B)]$이고
모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i(B)\le x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} \le b_i(B)$이므로 $x_{i,j_i -1},x_{i,j_i}\in Y_i$임에 따라
$y_{i,k_i-1}=x_{i,j_i-1} < x_{i,j_i} = y_{i,k_i}$인 $k_i = 1,2,\cdots,p_i$가 존재하여
$B(k_1,k_2,\cdots, k_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i -1}, y_{i, k_i}] = \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] = A(j_1,j_2,\cdots,j_m)$이다.
모든 $r=1,2,\cdots,p$에 대해
$B(\psi_B(r))=B(k_1,k_2,\cdots, k_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i -1}, y_{i, k_i}]$인 $(k_1,k_2,\cdots,k_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이 존재하여
모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_{i,0}=a_i< a_i(B)\le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le b_i(B) < b_i = x_{i,n_i}$이므로
$j_i = \min\{ r_i\in \{ 0,1,2,\cdots,n_i\} : y_{i,k_i}\le x_{i,r_i} \}$가 존재하고
$x_{i,0} \le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le x_{i,j_i}$임에 따라 $0 < j_i$이므로 $0\le j_i-1$이고
$y_{i,k_i-1} < x_{i,j_i-1}$이라고 가정하면
최소원소의 정의로 $a_i(B)\le y_{i,k_i -1}< x_{i,j_i-1}< y_{i,k_i} \le b_i(B)$가 되어 $x_{i,j_i-1}\in Y_i$인데
$y_{i, q_i} = x_{i,j_i-1}$인 $q_i = 0,1,2,\cdots,p_i$가 존재하여 $y_{i,k_i -1}< y_{i,q_i}< y_{i,k_i}$이고 $k_i -1 < q_i < k_i$임에 따라 모순이므로
$x_{i,j_i -1} \le y_{i,k_i-1}< y_{i,k_i} \le x_{i,j_i}$이고
$B(\psi_B(r))=B(k_1,k_2,\cdots, k_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [y_{i,k_i -1}, y_{i, k_i}] \subseteq \prod_{i=1}^m [x_{i,j_i-1},x_{i,j_i}] = A(j_1,j_2,\cdots,j_m)$이므로
$\sup \widehat{f}(A(j_1,j_2,\cdots,j_m)) < 0$이면 $B(\psi_B(r))= A(j_1,j_2,\cdots,j_m)$이 되어
$\sup \widehat{f}(B(\psi_B(r)))\cdot vol(B(\psi_B(r))) = \sup \widehat{f}(A(j_1,j_2,\cdots,j_m))\cdot vol(A(j_1,j_2,\cdots,j_m))$이고
$\sup \widehat{f}(A(j_1,j_2,\cdots,j_m))\ge 0$이면
상한 정리로 $\sup \widehat{f}(B(\psi_B(r))) = \sup \widehat{f}(B(k_1,k_2,\cdots,k_m)) \le \sup \widehat{f}(A(j_1,j_2,\cdots,j_m))$이고
닫힌상자의 부피의 정의로 $0\le vol(B(\psi_B(r))) = vol(B(k_1,k_2,\cdots,k_m)) \le vol(A(j_1,j_2,\cdots,j_m))$임에 따라
$\sup \widehat{f}(B(\psi_B(r)))\cdot vol(B(\psi_B(r))) \le \sup \widehat{f}(A(j_1,j_2,\cdots,j_m))\cdot vol(A(j_1,j_2,\cdots,j_m))$이므로
$\begin{align*} \inf \{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} & \le U(f;\mathcal{G}_B) = \sum_{\substack{r\ge 1 \\ B(\psi_B(r))\cap E\ne \emptyset}}^p \sup \widehat{f}(B(\psi_B(r)))\cdot vol(B(\psi_B(r))) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ A(\psi_A(k))\cap E\ne \emptyset}}^n \sup\widehat{f}(A(\psi_A(k)))\cdot vol(A(\psi_A(k))) \\[0.5em] & \qquad = U(f;\mathcal{G}_A) \text{ 이고} \end{align*}$
하한의 정의로 $\inf \{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} \le \inf \{ U(f;\mathcal{G}) :\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$가 되어
$\inf \{ U(f;\mathcal{G}): \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B\} = \inf \{ U(f;\mathcal{G}) :\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$이다.
비슷하게 $\sup\{L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \} = \sup \{ L(f;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$이고
$\inf \{ U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \} = \inf \{ U(f;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\}$가 되어
$\sup\{L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \sup \{ L(f;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} = \sup\{L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \}$이고
$\inf \{U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \inf \{ U(f;\mathcal{G}):\mathcal{G}\in \mathbf{G}_A\} =\inf \{U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \} $이다.
2.
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여
$E\subseteq C$이고 퇴화상자가 아닌 모든 $m$차원 닫힌상자 $C$에 대해 $B,C$의 모든 격자들의 집합이 $\mathbf{G}_B,\mathbf{G}_C$일때 1번으로
하적분 $L(f) = \sup\{L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \sup\{L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \}$가 유일하게 존재하고
상적분 $U(f) = \inf \{U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = \inf \{U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_C \}$가 유일하게 존재한다.
격자 정리로 $\{ B\}\in \mathbf{G}_B$임에 따라 $\{L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} ,\{U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \}$는 공집합이 아니고
모든 $\mathcal{G}_1, \mathcal{G}_2\in \mathbf{G}_B$에 대해 위 정리로 $L(f;\mathcal{G}_1)\le U(f;\mathcal{G}_2)$이므로
상한, 하한 정리로 $L(f)=\sup \{L(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} \le \inf \{U(f;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}_B \} = U(f)$이다.
3.
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여
위 정리와 하적분, 상적분의 정의와 하한, 상한의 정의로
모든 $B$의 격자 $\mathcal{G}$에 대해 $L(f;\mathcal{G})\le L(g;\mathcal{G})\le L(g)$이고 $U(f) \le U(f;\mathcal{G})\le U(g;\mathcal{G})$이므로
하적분, 상적분의 정의와 하한, 상한의 정의로 $L(f)\le L(g)$이고 $U(f)\le U(g)$이다.
4.
2, 3번으로 $L(f)\le U(f)\le U(g)$이다.
정의3
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 함수가 $f:E\to \mathbb{R}$일때
리만적분가능성 :
$E$가 조르당영역이고 $f$가 $E$에서 유계일때 $f$의 하적분과 상적분이 $L(f) =U(f)$이면
$f$가 $E$에서 리만적분가능하다고 정의하고 $\displaystyle \int_{E} f \operatorname{d}\!V = L(f) = U(f)$를 $E$에서 $f$의 리만적분이라고 한다.
부분집합에서 리만적분가능성 :
임의의 $S \subseteq E$가 조르당영역일때 제한함수 $f|_S :S \to \mathbb{R}$가 $S$에서 유계이고 리만적분가능하면
$f$가 $S$에서 리만적분가능하다고 정의하고 $\displaystyle \int_{S} f \operatorname{d}\!V = \int_S f|_S\operatorname{d}\!V$를 $S$에서 $f$의 리만적분으로 정의한다.
$\displaystyle \int_{S} f \operatorname{d}\!V = \int_S f(x) \operatorname{d}\! x$로 표기할 수 있고 $m = 2$이면 $\displaystyle \int_{S} f \operatorname{d}\!V = \int_S f \operatorname{d}\!A$로 표기할 수 있다.
상수함수의 리만적분 :
$E$가 조르당영역일때 임의의 $c\in \mathbb{R}$에 대해 모든 $x\in E$가 $\phi_c(x)=c$인 함수 $\phi_c : E\to \mathbb{R}$에 대해
아래 정리로 $\phi_c$는 $E$에서 리만적분가능하므로 $\displaystyle \int_{E} \phi_c \operatorname{d}\!V = \int_E c \operatorname{d}\! V$를 $E$에서 $c$에 대한 리만적분으로 정의한다.
임의의 $S \subseteq E$가 조르당영역일때 $\displaystyle \int_S \phi_c \operatorname{d}\!V = \int_S c \operatorname{d}\! V$로 정의하고
$\displaystyle \int_S c \operatorname{d}\!V = \int_S c \operatorname{d}\! x$로 표기할 수 있고 $m = 2$이면 $\displaystyle \int_S c \operatorname{d}\!V = \int_S c \operatorname{d}\!A$로 표기할 수 있다.
정리3
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때
임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수 $f:E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $E\subseteq B_\epsilon$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_\epsilon$이 존재하여
$U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon)< \epsilon$이 되는 $B_\epsilon$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$이 존재하는 것이다.
증명
위 정리로 $f$의 하적분과 상적분 $L(f),U(f)$가 유일하게 존재하고 $L(f)\le U(f)$이다.
$f$가 $E$에서 리만적분가능하면 $L(f) =U(f)$이고
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해
하적분의 정의와 상한 정리로 $L(f) - \dfrac{\epsilon}{2} < L(f;\mathcal{H}_1)$인 $B$의 격자 $\mathcal{H}_1$이 존재하고
상적분의 정의와 하한 정리로 $U(f;\mathcal{H}_2) < U(f) + \dfrac{\epsilon}{2}$인 $B$의 격자 $\mathcal{H}_2$가 존재하므로
격자 정리로 $\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$이 존재함에 따라
위 정리로 $L(f) - \dfrac{\epsilon}{2} < L(f;\mathcal{H}_1)\le L(f;\mathcal{G}_\epsilon)\le U(f;\mathcal{G}_\epsilon)\le U(f;\mathcal{H}_2) < U(f) + \dfrac{\epsilon}{2}$가 되어
$U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon) < U(f) + \dfrac{\epsilon}{2} - L(f) +\dfrac{\epsilon}{2} = U(f) - L(f) + \epsilon = 0+ \epsilon = \epsilon$이다.
역으로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $E\subseteq B_\epsilon$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_\epsilon$이 존재하여
$U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon)< \epsilon$이 되는 $B_\epsilon$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$이 존재하면
하적분, 상적분의 정의와 위 정리와 하한, 상한의 정의로 $L(f;\mathcal{G}_\epsilon)\le L(f)\le U(f) \le U(f;\mathcal{G}_\epsilon)$이므로
$0\le U(f) - L(f) \le U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon) < \epsilon$이 되어 부등식 정리로 $U(f) = L(f)$이다.
정리4
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때
퇴화상자가 아닌 모든 $m$차원 닫힌상자 $B$의 격자 $\mathcal{G},\mathcal{H},\mathcal{I}$에 대해 다음이 성립한다.
반사성 : $\mathcal{G}$는 $\mathcal{G}$의 세분이다.
반대칭성 : $\mathcal{H}$가 $\mathcal{G}$의 세분이고 $\mathcal{G}$가 $\mathcal{H}$의 세분이면 $\mathcal{G} = \mathcal{H}$이다.
추이성 : $\mathcal{H}$가 $\mathcal{G}$의 세분이고 $\mathcal{I}$가 $\mathcal{H}$의 세분이면 $\mathcal{I}$는 $\mathcal{G}$의 세분이다.
증명
1.
모든 $B\in \mathcal{G}$에 대해 $\{ B\}\subseteq \mathcal{G}$이고 $B = \displaystyle \bigcup \{B\}$이므로 $\mathcal{G}$는 $\mathcal{G}$의 세분이다.
2.
격자 정리로 $\mathcal{G} = \mathcal{H}$이다.
3.
모든 $B\in \mathcal{G}$에 대해 $B = \displaystyle \bigcup \mathcal{H}_B$인 $\mathcal{H}_B\subseteq \mathcal{H}$가 유일하게 존재하고
모든 $C\in \mathcal{H}$에 대해 $C = \displaystyle \bigcup \mathcal{I}_C$인 $\mathcal{I}_C\subseteq \mathcal{I}$가 유일하게 존재하여 $\mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{H}_B} \mathcal{I}_C$는 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{I}$이다.
모든 $x\in B = \displaystyle \bigcup \mathcal{H}_B$에 대해 $x\in C = \displaystyle \bigcup \mathcal{I}_C$인 $C\in \mathcal{H}_B$가 존재하여 $x\in D$인 $D\in \mathcal{I}_C$가 존재하므로
$x\in D\in \mathcal{I}_C\subseteq \mathcal{B}$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$이고 $B\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$이다.
모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$에 대해 $x\in D$인 $D\in \mathcal{B} = \displaystyle \bigcup_{C\in \mathcal{H}_B} \mathcal{I}_C$가 존재하여 $D\in \mathcal{I}_C$인 $C\in \mathcal{H}_B$가 존재하므로
$x\in D\in \mathcal{I}_C$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{I}_C = C$이고 $x\in C\in \mathcal{H}_B$임에 따라 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{H}_B = B$가 되어 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B}\subseteq B$이다.
따라서 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{I}$에 대해 집합 정리로 $B=\displaystyle \bigcup \mathcal{B}$이므로 $\mathcal{I}$는 $\mathcal{G}$의 세분이다.
정의4
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고
임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수 $f:E\to \mathbb{R}$에 대해 $\mathbb{R}^m$에서 $f$의 영확장함수가 $\widehat{f} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$이고
$E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자가 $B$이고 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 $E$의 내부가 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$일때
내부 하합(interior lower sum) :
임의의 $B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$와 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $m_k = $ $\inf$$\{ \widehat{f}(x) : x\in B_k\} = \inf \,$$\widehat{f}(B_k)$이면
$L^\circ(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n m_k \;\cdot $ $vol$$(B_k)$를 $\mathcal{G}$에 대응하는 $f$의 내부하합으로 정의한다.
내부 상합(interior upper sum) :
임의의 $B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$와 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $M_k = $ $\sup$$\{ \widehat{f}(x) : x\in B_k\} = \sup \widehat{f}(B_k)$이면
$U^\circ (f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n M_k \cdot vol(B_k)$를 $\mathcal{G}$에 대응하는 $f$의 내부상합으로 정의한다.
정리5
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수 $f:E\to \mathbb{R}$에 대해
$(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 $E$의 내부 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$로의 $f$의 제한함수가 $g = f|_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} : \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\to \mathbb{R}$일때
$E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 모든 $m$차원 닫힌상자 $B$에 대해 다음이 성립한다.
1. 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해 어떤 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$이 존재하여
$\mathcal{G}_\epsilon$의 세분인 모든 $B$의 격자 $\mathcal{G}$에 대해 $\left | L(f) - L^\circ (f;\mathcal{G})\right | <\epsilon$이고 $\left | U(f) - U^\circ (f;\mathcal{G})\right | <\epsilon$이다.
2. 모든 $B$의 격자 $\mathcal{G}$에 대해 $f,g$의 내부하합과 내부상합은 $L^\circ(f;\mathcal{G}) = L^\circ(g;\mathcal{G})$이고 $U^\circ(f;\mathcal{G}) = U^\circ(g;\mathcal{G})$이다.
3. $f,g$의 하적분과 상적분은 $L(f) = L(g)$이고 $U(f) = U(g)$이다.
증명
1.
$\mathbb{R}^m$에서 $f$의 영확장함수가 $\widehat{f} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때
$f$는 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x\in E$에 대해 $|f(x)|\le M$이고
위 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}^m$에 대해 $|\widehat{f}(x)|\le M$임에 따라 $-M\le \widehat{f}(x)\le M$이다.
$(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 $E$의 경계 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$는 거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\subseteq B$이고
조르당영역의 정의와 부피 정리와 부피의 정의로 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})=vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = 0$이므로
외부피의 정의와 하한 정리로 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}; \mathcal{I}) < \dfrac{\epsilon}{2\cdot M}$인 $B$의 격자 $\mathcal{I}$가 존재한다.
하적분의 정의와 상한 정리로 $L(f) - \dfrac{\epsilon}{2} < L(f;\mathcal{H}_1)$인 $B$의 격자 $\mathcal{H}_1$이 존재하고
상적분의 정의와 하한 정리로 $U(f;\mathcal{H}_2) < U(f) + \dfrac{\epsilon}{2}$인 $B$의 격자 $\mathcal{H}_2$가 존재하므로
격자 정리로 $\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{H}$가 존재하고 격자 정리로 $\mathcal{H},\mathcal{I}$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$이 존재하여
$\mathcal{G}_\epsilon$의 세분인 모든 $B$의 격자 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$에 대해 위 정리로 $\mathcal{G}$가 $\mathcal{H}_1,\mathcal{H}_2,\mathcal{I}$의 세분임에 따라
위 정리와 하적분의 정의와 상한의 정의로 $L(f) - \dfrac{\epsilon}{2} < L(f;\mathcal{H}_1)\le L(f;\mathcal{G})\le L(f) < L(f) + \dfrac{\epsilon}{2}$이고
위 정리와 상적분의 정의와 하한의 정의로 $U(f) -\dfrac{\epsilon}{2}<U(f)\le U(f;\mathcal{G})\le U(f;\mathcal{H}_2) < U(f) + \dfrac{\epsilon}{2}$이므로
$|L(f) -L(f;\mathcal{G})| < \dfrac{\epsilon}{2}$와 $|U(f) -U(f;\mathcal{G})| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 성립하고
외합 정리로 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E};\mathcal{G}) \le \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}; \mathcal{I}) < \dfrac{\epsilon}{2\cdot M}$이다.
모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 하한, 상한의 정의로
$-M\le \inf \widehat{f}(B_k)\le \sup \widehat{f}(B_k) \le M$이므로 $|\inf \widehat{f}(B_k)|\le M$과 $|\sup \widehat{f}(B_k)|\le M$이 성립하고
경계 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}$가 되어
삼각부등식과 내부하합의 정의와 하합의 정의와 격자 정리와 외합의 정의로
$\begin{align*} \left |L(f) - L^\circ(f;\mathcal{G}) \right | & = \left |L(f) - L(f;\mathcal{G}) +L(f;\mathcal{G}) - L^\circ(f;\mathcal{G})\right | \\[0.5em]& \le \left |L(f) - L(f;\mathcal{G}) \right |+ \left |L(f;\mathcal{G}) - L^\circ(f;\mathcal{G})\right | \\[0.5em]& \lt \dfrac{\epsilon}{2}+ \left |\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \inf \widehat{f}(B_k) \cdot vol(B_k) -\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n\inf \widehat{f}(B_k) \cdot vol(B_k)\right | = \dfrac{\epsilon}{2}+ \left |\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset \\ B_k \not\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \inf \widehat{f}(B_k) \cdot vol(B_k)\right | \\[0.5em]& \le \dfrac{\epsilon}{2}+ \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset \\ B_k \not\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n |\inf\widehat{f}(B_k)| \cdot |vol(B_k)| \\[0.5em]& \le \dfrac{\epsilon}{2}+ \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\ne \emptyset}}^n |\inf \widehat{f}(B_k)| \cdot |vol(B_k)| \\[0.5em]& \le \dfrac{\epsilon}{2}+ \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\ne \emptyset}}^n M \cdot vol(B_k) = \dfrac{\epsilon}{2}+ M\cdot \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\ne \emptyset}}^n vol(B_k) = \dfrac{\epsilon}{2}+ M\cdot \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}; \mathcal{G}) \\[0.5em]& \lt \dfrac{\epsilon}{2}+ M\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot M} = \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이고}\end{align*}$
삼각부등식과 내부상합의 정의와 상합의 정의와 격자 정리와 외합의 정의로
$\begin{align*} \left |U(f) - U^\circ(f;\mathcal{G}) \right | & = \left |U(f) - U(f;\mathcal{G}) +U(f;\mathcal{G}) - U^\circ(f;\mathcal{G})\right | \\[0.5em]& \le \left |U(f) - U(f;\mathcal{G}) \right |+ \left |U(f;\mathcal{G}) - U^\circ(f;\mathcal{G})\right | \\[0.5em]& \lt \dfrac{\epsilon}{2}+ \left |\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{f}(B_k) \cdot vol(B_k) -\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n\sup \widehat{f}(B_k) \cdot vol(B_k)\right | = \dfrac{\epsilon}{2}+ \left |\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset \\ B_k \not\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \sup \widehat{f}(B_k) \cdot vol(B_k)\right | \\[0.5em]& \le \dfrac{\epsilon}{2}+ \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset \\ B_k \not\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n |\sup \widehat{f}(B_k)| \cdot |vol(B_k)| \\[0.5em]& \le \dfrac{\epsilon}{2}+ \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\ne \emptyset}}^n |\sup \widehat{f}(B_k)| \cdot |vol(B_k)| \\[0.5em]& \le \dfrac{\epsilon}{2}+ \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\ne \emptyset}}^n M \cdot vol(B_k) = \dfrac{\epsilon}{2}+ M\cdot \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\ne \emptyset}}^n vol(B_k) = \dfrac{\epsilon}{2}+ M\cdot \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}; \mathcal{G}) \\[0.5em]& \lt \dfrac{\epsilon}{2}+ M\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot M} = \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이다.}\end{align*}$
2.
$\mathbb{R}^m$에서 $g$의 영확장함수가 $\widehat{g} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때
내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이므로 $g$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$에서 유계이고 조르당영역 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$는 조르당영역이다.
$\mathbb{R}^m$에서 $f$의 영확장함수가 $\widehat{f} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$이고 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$일때
$B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$인 모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 영확장함수의 정의와 제한함수의 정의로
모든 $x\in B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$는 $\widehat{f}(x) = f(x) = f|_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}(x) = g(x) = \widehat{g}(x)$이므로
함수 정리로 $\widehat{f}(B_k) = \widehat{g}(B_k)$임에 따라 $\inf \widehat{f}(B_k) = \inf \widehat{g}(B_k)$와 $\sup \widehat{f}(B_k) = \sup \widehat{g}(B_k)$가 성립하고
내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}) = \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$가 되어 내부하합의 정의와 내부상합의 정의로
$L^\circ(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \inf \widehat{g}(B_k)\cdot vol(B_k) = L^\circ(g;\mathcal{G}) $이고
$ U^\circ(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \sup \widehat{g}(B_k)\cdot vol(B_k) = U^\circ(g;\mathcal{G}) $이다.
3.
$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E\subseteq C$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $C$가 존재하므로
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 1번으로 어떤 $C$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon,\mathcal{H}_\epsilon$이 존재하여
$\mathcal{G}_\epsilon$의 세분인 모든 $C$의 격자 $\mathcal{G}$에 대해 $|L(f)-L^\circ(f;\mathcal{G})| < \dfrac{\epsilon}{2}$와 $|U(f)-U^\circ(f;\mathcal{G})| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 성립하고
$\mathcal{H}_\epsilon$의 세분인 모든 $C$의 격자 $\mathcal{H}$에 대해 $|L(g)-L^\circ(g;\mathcal{H})| < \dfrac{\epsilon}{2}$와 $|U(g)-U^\circ(g;\mathcal{H})| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 성립하므로
격자 정리로 $\mathcal{G}_\epsilon,\mathcal{H}_\epsilon$의 세분인 $C$의 격자 $\mathcal{I}_\epsilon$이 존재하여 삼각부등식과 2번으로
$0\le |L(f) - L(g)|= |L(f) - L^\circ (f; \mathcal{I}_\epsilon) + L^\circ(g;\mathcal{I}_\epsilon) - L(g)|\le |L(f)-L^\circ(f;\mathcal{I}_\epsilon)| + |L(g) - L^\circ(g;\mathcal{I}_\epsilon)| <\dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon \text{ 이고}$
$0\le |U(f) - U(g)|= |U(f) - U^\circ (f; \mathcal{I}_\epsilon) + U^\circ(g;\mathcal{I}_\epsilon) - U(g)|\le |U(f)-U^\circ(f;\mathcal{I}_\epsilon)| + |U(g) - U^\circ(g;\mathcal{I}_\epsilon)| <\dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon \text{ 임에 따라}$
부등식 정리와 절댓값 정리로 $L(f) = L(g)$이고 $U(f) = U(g)$이다.
정리6
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때
임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수 $f:E\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 $E$의 내부가 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}=\emptyset$이면 $f$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_E f \operatorname{d}\! V = 0$이다.
2. $E$가 유한집합이면 $f$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_E f \operatorname{d}\! V = 0$이다.
3. $f$는 $E$에서 리만적분가능하면 $f$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_E f \operatorname{d}\! V = \int_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} f\operatorname{d}\!V$이다.
증명
1.
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하므로
위 정리로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하여
격자 정리로 모든 $k=1,2,\cdots, n$에 대해 $B_k\ne \emptyset$이고 $B_k\not\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} = \emptyset$임에 따라
$\mathbb{R}^m$에서 $f$의 영확장함수가 $\widehat{f} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때 내부하합의 정의와 내부상합의 정의로
$\displaystyle L^\circ(f;\mathcal{G}_\epsilon) = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) = 0 = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) = U^\circ(f;\mathcal{G}_\epsilon) $이고
$0\le |L(f)| =\left | L(f) - L^\circ(f;\mathcal{G}_\epsilon)\right | <\epsilon$과 $0\le |U(f)| =\left | U(f) - U^\circ(f;\mathcal{G}_\epsilon)\right | <\epsilon$이 성립하므로
부등식 정리와 절댓값 정리로 $L(f) = 0 = U(f)$가 되어
$f$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_E f \operatorname{d}\! V = L(f) = U(f) = 0$이다.
2.
거리공간 정리와 내부 정리와 집적점 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{E'} = \emptyset$이므로
$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} = \emptyset$이 되어 1번으로 $f$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_E f \operatorname{d}\! V = 0$이다.
3.
$f$의 제한함수가 $g = f|_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} : \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\to \mathbb{R}$일때
내부 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이므로 $g$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$에서 유계이고 조르당영역 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$는 조르당영역이다.
리만적분의 정의와 위 정리로 $L(g) = L(f) = U(f) = U(g)$이므로
$g = f|_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$에서 리만적분가능하여 $f$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$에서 리만적분가능하고
$\displaystyle \int_E f \operatorname{d}\! V =\int_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} g\operatorname{d}\!V = \int_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} f|_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\operatorname{d}\!V = \int_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} f\operatorname{d}\!V$이다.
정리7
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 다음이 성립한다.
1. 모든 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)\in \mathbb{R}^m$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해
$x\in \displaystyle \prod_{i=1}^m (x_i-\delta_\epsilon,x_i+\delta_\epsilon)\subseteq \prod_{i=1}^m[x_i-\delta_\epsilon,x_i+\delta_\epsilon] \subseteq $ $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,\epsilon)}$인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재한다.
2. 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$의 격자 $\mathcal{G}$와 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해
어떤 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하여 $\mathcal{G}_\epsilon$이 $\mathcal{G}$의 세분이고
모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k$의 지름이 존재하여 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{diam}}(B_k) < \epsilon$이다.
3. 모든 $m$차원 닫힌상자 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$는 $B\ne \emptyset$이고
$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{diam}}(B) \le \sqrt{m}\cdot \max \{ b_1-a_1, b_2-a_2,\cdots,b_m-a_m\}$이다.
4. 공상자가 아닌 $m$차원 열린상자 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m(a_i,b_i)$는
$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{diam}}(B) \le \sqrt{m}\cdot \max \{ b_1-a_1, b_2-a_2,\cdots,b_m-a_m\}$이다.
증명
1.
$\delta_\epsilon = \dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{\dfrac{\epsilon^2}{m}}>0$일때 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해
$x_i - \delta_\epsilon < x_i < x_i+\delta_\epsilon$임에 따라 $x_i \in (x_i-\delta_\epsilon,x_i+\delta_\epsilon)\subseteq [x_i-\delta_\epsilon,x_i+\delta_\epsilon]$이 되어
$x=(x_1,x_2,\cdots,x_m)\in \displaystyle \prod_{i=1}^m (x_i-\delta_\epsilon,x_i+\delta_\epsilon) \subseteq \prod_{i=1}^m [x_i-\delta_\epsilon,x_i+\delta_\epsilon]$이다.
모든 $y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)\in {\displaystyle \prod_{i=1}^m} [x_i-\delta_\epsilon,x_i+\delta_\epsilon]$는 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $y_i \in [x_i-\delta_\epsilon,x_i+\delta_\epsilon]$이므로
$x_i - \delta_\epsilon \le y_i \le x_i+\delta_\epsilon$가 되어 $- \delta_\epsilon \le y_i -x_i \le \delta_\epsilon$이고 $|x_i-y_i| = |y_i-x_i| \le \delta_\epsilon = \dfrac{1}{2}\cdot \sqrt{\dfrac{\epsilon^2}{m}} < \sqrt{\dfrac{\epsilon^2}{m}}$이므로
$|x_i-y_i|^2 < \dfrac{\epsilon^2}{m}$이고 $\displaystyle \sum_{i=1}^m|x_i-y_i|^2 < \sum_{i=1}^m \dfrac{\epsilon^2}{m} = m\cdot \dfrac{\epsilon^2}{m} = \epsilon^2$임에 따라
$d_m(x,y) = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^m|x_i-y_i|^2} < \sqrt{\epsilon^2} = \epsilon$이 되어 열린공의 정의로 $y\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,\epsilon)}$이므로
$\displaystyle \prod_{i=1}^m [x_i-\delta_\epsilon,x_i+\delta_\epsilon]\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,\epsilon)}$이다.
2.
닫힌상자의 정의와 퇴화상자의 정의로 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$이고
모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $a_i < b_i$인 닫힌구간 $[a_i,b_i]$가 존재하여
분할 정리로 $\lVert \mathcal{P}_i\rVert < \sqrt{\dfrac{\epsilon^2}{4\cdot m}}$인 $[a_i,b_i]$의 분할 $\mathcal{P}_i=\{ [z_{i,j_i -1}, z_{i,j_i}]\}_{j_i = 1}^{p_i}$가 존재하고
모든 $j_i = 1,2,\cdots, p_i$에 대해 $C(j_1,j_2,\cdots, j_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [z_{i,j_i-1},z_{i,j_i}]$일때
격자 정의의 전단사함수가 $\psi : \mathbb{Z}_{p_1\cdot p_2\cdot \, \cdots\, \cdot p_m}^+ \to \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이면
$p = p_1\cdot p_2 \cdot \, \cdots \, \cdot p_m$에 대해 $\mathcal{H}= \{ C(\psi(r)) :r=1,2,\cdots,p\}$는 $B$의 격자이다.
격자 정리로 $\mathcal{G},\mathcal{H}$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하여
격자 정리로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k \subseteq C(\psi(r))$인 $r = 1,2,\cdots, p$이 존재하므로
$C(\psi(r))=C(j_1,j_2,\cdots, j_m) = \displaystyle \prod_{i=1}^m [z_{i,j_i-1},z_{i,j_i}]$인 $(j_1,j_2,\cdots,j_m)\in \mathbb{Z}_{p_1}^+ \times \mathbb{Z}_{p_2}^+\times \cdots \times \mathbb{Z}_{p_m}^+$이 존재하고
모든 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_m),y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)\in B_k \subseteq C(\psi(r)) = \displaystyle \prod_{i=1}^m[z_{i,j_i-1},z_{i,j_i}]$는
모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $z_{i,j_i-1}\le x_i \le z_{i,j_i}$와 $z_{i,j_i-1}\le y_i \le z_{i,j_i}$가 성립하여
$z_{i,j_i -1} -z_{i,j_i} \le x_i - y_i \le z_{i,j_i} - z_{i,j_i -1}$이므로
절댓값 정리와 분할노름의 정의로 $|x_i - y_i| \le z_{i,j_i} - z_{i,j_i -1} \le \lVert \mathcal{P}_i\rVert < \sqrt{\dfrac{\epsilon^2}{4\cdot m}}$이고 $|x_i - y_i|^2 < \dfrac{\epsilon^2}{4\cdot m}$이 되어
$\displaystyle \sum_{i=1}^m|x_i-y_i|^2 < \sum_{i=1}^m \dfrac{\epsilon^2}{4\cdot m} = m\cdot \dfrac{\epsilon^2}{4\cdot m} = \dfrac{\epsilon^2}{4}$임에 따라 $d_m(x,y) = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^m|x_i-y_i|^2} < \sqrt{\dfrac{\epsilon^2}{4}} = \dfrac{\epsilon}{2}$이다.
격자 정리로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 $B_k\ne \emptyset$이므로
지름의 정의와 완비성과 상한의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{diam}}(B_k) = \sup \{ d_m(x,y) : x,y \in B_k \} \le \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$이다.
3.
닫힌상자의 정의로 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a_i\le b_i$이므로 $(b_1,b_2,\cdots,b_m)\in B$이 되어 $B\ne \emptyset$이고
모든 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_m),y=(y_1,y_2,\cdots,y_m)\in B = \displaystyle \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$는 $a_i\le x_i\le b_i$이고 $a_i\le y_i\le b_i$이므로
$M = \max \{ b_1-a_1, b_2-a_2,\cdots,b_m-a_m\}\ge 0$일때
$a_i - b_i \le x_i - y_i \le b_i - a_i$가 되어 절댓값 정리로 $|x_i- y_i|\le b_i-a_i \le M$이고
$d_m(x,y) = \displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^m |x_i-y_i|^2} \le \sqrt{\sum_{i=1}^m M^2} = \sqrt{m\cdot M^2} = \sqrt{m}\cdot M = \sqrt{m}\cdot \max \{ b_1-a_1,b_2-a_2,\cdots,b_m-a_m\} \text{ 이므로}$
$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{diam}}(B) = \sup \{ d_m(x,y) : x,y\in B\} \le \sqrt{m}\cdot \max \{ b_1-a_1, b_2-a_2,\cdots,b_m-a_m\}$이다.
4.
$\displaystyle C = \prod_{i=1}^m [a_i,b_i]$는 $m$차원 닫힌상자이고 $B = \displaystyle \prod_{i=1}^m(a_i,b_i) \subseteq \prod_{i=1}^m [a_i,b_i] = C$이므로
3번과 지름의 정의와 상한 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{diam}}(B) \le \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{diam}}(C) \le \sqrt{m}\cdot \max \{ b_1-a_1, b_2-a_2,\cdots,b_m-a_m\}$이다.
정리8
임의의 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $m,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R},d_1)$이고
임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 $(\mathbb{R}^m,d_m)$의 부분거리공간이 $(E,d_m)$일때 함수 $f:E\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $E$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계일때 $f$가 $(E,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수이면 $f$는 $E$에서 유계이다.
2. $E$가 조르당영역일때 $f$가 $(E,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수이면 $f$는 $E$에서 리만적분가능하다.
3. $E$가 조르당영역이고 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 닫힌집합일때
$f$가 $(E,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 연속함수이면 $f$는 $E$에서 유계이고 리만적분가능하다.
증명
1.
$(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R},d_1)$의 거리균등공간이 $(\mathbb{R}^m,\mathcal{D}_m),(\mathbb{R},\mathcal{D}_1)$일때
거리공간 정리로 $(\mathbb{R},d_1)$은 완비거리공간이므로 균등공간 정리로 $(\mathbb{R},\mathcal{D}_1)$은 완비균등공간이고
균등공간 정리로 $(\mathbb{R}^m,\mathcal{D}_m)$의 부분균등공간 $(E,\mathcal{D}_m|_E)$는 $(E,d_m)$의 거리균등공간이므로
균등공간 정리로 $f$가 $(E,\mathcal{D}_m|_E)$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{D}_1)$로의 균등연속함수임에 따라
균등공간 정리로 모든 $x\in E$에 대해 $\widetilde{f}(x) = f(x)$인
$(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)},\mathcal{D}_m|_\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)})$에서 $(\mathbb{R},\mathcal{D}_1)$로의 균등연속함수 $\widetilde{f} : \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\to \mathbb{R}$가 존재하여
균등공간 정리와 균등공간 정리로 $\widetilde{f}$는 $(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)},d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수이다.
거리공간 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 유계이고 닫힌집합이므로
하이네-보렐 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 콤팩트집합이다.
$E = \emptyset$이면 거리공간 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} = \emptyset$이 되어 공허하게 $\widetilde{f}$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} = \emptyset$에서 유계이고
$E\ne \emptyset$이면 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}\ne \emptyset$이므로 최소-최대 정리로 $\widetilde{f}$는 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)}$에서 유계이다.
따라서 어떤 $M\in (0,\infty)$에 대해 모든 $x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} $가 $|\widetilde{f}(x)|\le M$이므로
폐포 정리로 모든 $x\in E\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{cl}(E)} $에 대해 $|f(x)|=|\widetilde{f}(x)|\le M$이 되어 $f$는 $E$에서 유계이다.
2.
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하므로
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 위 정리로 어떤 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$이 존재하여
$\mathcal{G}_\epsilon$의 세분인 모든 $B$의 격자 $\mathcal{G}$에 대해 $|L(f)-L^\circ(f;\mathcal{G})| < \dfrac{\epsilon}{4}$와 $|U(f)-U^\circ(f;\mathcal{G})| < \dfrac{\epsilon}{4}$가 성립하고
$f$는 $(E,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수이므로
$d_m(x,y)<\delta_\epsilon$인 모든 $x,y\in E$가 $|f(x) - f(y)|=d_1(f(x),f(y)) < \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}$인 $\delta_\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하고
위 정리로 $\mathcal{G}_\epsilon$의 세분인 어떤 $B$의 격자 $\mathcal{H}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하여
모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 모든 $x,y\in B_k$가 $d_m(x,y) < \delta_\epsilon$이다.
$\mathbb{R}^m$에서 $f$의 영확장함수가 $\widehat{f} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때 $B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$인 모든 $k=1,2,\cdots,n$는
내부 정리로 $B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이므로 함수 정리로 $\inf \widehat{f}(B_k)=\inf f(B_k)$와 $\sup \widehat{f}(B_k) = \sup f(B_k)$가 성립하여
모든 $x,y\in B_k$에 대해 $d_m(x,y) < \delta_\epsilon$임에 따라 $-\dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}<f(x) - f(y) < \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}$이고
$\begin{align*}\sup \widehat{f}(B_k) - \inf \widehat{f}(B_k) & =\sup f(B_k) - \inf f(B_k) \\[0.5em] & = \sup \{ f(x) : x\in B_k\} + \sup \{ -f(y) : y\in B_k \}\\[0.5em] &= \sup \{ f(x) - f(y): x,y\in B_k\} \\[0.5em] &\le \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} \text{ 이므로} \end{align*}$
$L^\circ(f;\mathcal{H}_\epsilon)-\dfrac{\epsilon}{4} <L(f) < L^\circ(f;\mathcal{H}_\epsilon)+\dfrac{\epsilon}{4}$와 $U^\circ(f;\mathcal{H}_\epsilon) - \dfrac{\epsilon}{4}<U(f)<U^\circ(f;\mathcal{H}_\epsilon) +\dfrac{\epsilon}{4}$가 성립하여
위 정리로 $L(f)\le U(f)$임에 따라 내부하합, 내부상합의 정의와 내합의 정의와 격자 정리로
$\begin{align*} 0 & \le U(f) - L(f) \\[0.5em] & < U^\circ(f;\mathcal{H}_\epsilon) + \dfrac{\epsilon}{4} -L^\circ(f;\mathcal{H}_\epsilon) +\dfrac{\epsilon}{4} =U^\circ(f;\mathcal{H}_\epsilon) -L^\circ(f;\mathcal{H}_\epsilon)+ \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) +\dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n (\sup \widehat{f}(B_k)- \inf \widehat{f}(B_k) ) \cdot vol(B_k) +\dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} \cdot vol(B_k) +\dfrac{\epsilon}{2} = \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}\cdot \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n vol(B_k) +\dfrac{\epsilon}{2} =\dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)} \cdot\underline{vol}(E; \mathcal{H}_\epsilon) +\dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}\cdot \overline{vol}(E; \mathcal{H}_\epsilon) +\dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}\cdot \overline{vol}(B; \mathcal{H}_\epsilon) +\dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le \dfrac{\epsilon}{2\cdot vol(B)}\cdot vol(B) +\dfrac{\epsilon}{2} = \dfrac{\epsilon}{2} +\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon\text{ 이고} \end{align*}$
부등식 정리로 $L(f) = U(f)$이므로 $f$는 $E$에서 리만적분가능하다.
3.
조르당영역의 정의로 $E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 닫힌집합이므로
하이네-보렐 정리로 $(E,d_m)$은 콤팩트거리공간이 되어
콤팩트 정리로 $f$가 $(E,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수임에 따라
1, 2번으로 $f$는 $E$에서 유계이고 리만적분가능하다.
정리10
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때
임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수 $f,g:E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능하면 다음이 성립한다.
1. 스칼라곱 $c\cdot f : E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_E c\cdot f \operatorname{d}\! V = c\cdot \int_E f\operatorname{d}\!V$이다.
2. 덧셈 $f+g : E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_E f+g \operatorname{d}\! V = \int_E f\operatorname{d}\!V + \int_E g\operatorname{d}\!V$이다.
증명
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재한다.
$f,g$가 $E$에서 유계이므로 함수 정리로 $c\cdot f, f+g$는 $E$에서 유계이다.
$\mathbb{R}^m$에서 $f,g$의 영확장함수가 $\widehat{f},\widehat{g} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때
1.
$c \ge 0$이면 $f$는 $E$에서 리만적분가능하므로
임의의 $\epsilon > 0$에 대해 위 정리로 $U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f; \mathcal{G}_\epsilon) < \dfrac{\epsilon}{c +1}$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하여
$c\cdot (U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f; \mathcal{G}_\epsilon)) \le c\cdot \dfrac{\epsilon}{c +1} = \dfrac{c}{c+1}\cdot \epsilon < 1\cdot \epsilon = \epsilon$이므로
하합, 상합의 정의와 위 정리와 스칼라곱의 정의와 상한, 하한 정리로
$\begin{align*} U(c\cdot f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(c\cdot f;\mathcal{G}_\epsilon) & = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \sup \left ((\widehat{c\cdot f})(B_k) \right)\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \inf \left((\widehat{c\cdot f})(B_k)\right )\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & =\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \sup \left ((c\cdot \widehat{f})(B_k) \right )\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \inf \left ((c\cdot \widehat{f})(B_k)\right)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & =\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} c\cdot \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} c\cdot \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & =c\cdot \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) - c\cdot \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & = c\cdot U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - c\cdot L(f;\mathcal{G}_\epsilon) \\[0.5em] & = c\cdot (U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon)) \\[0.5em] & \lt \epsilon\text{ 임에 따라} \end{align*}$
위 정리로 $c\cdot f$는 $E$에서 리만적분가능하다.
상적분의 정의와 리만적분의 정의와 하한 정리로 $U(f;\mathcal{G}) < \displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V + \frac{\epsilon}{c+1}$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}$가 존재하여
$ \displaystyle \int_E c\cdot f \operatorname{d}\! V \le U(c\cdot f,\mathcal{G}) = c\cdot U(f;\mathcal{G}) \le c\cdot \int_E f\operatorname{d}\! V + c\cdot \dfrac{\epsilon}{c+1} < c\cdot \int_E f \operatorname{d}\!V +\epsilon$이므로
부등식 정리로 $ \displaystyle \int_E c\cdot f \operatorname{d}\! V \le c\cdot \int_E f\operatorname{d}\! V$이고
하적분의 정의와 리만적분의 정의와 상한 정리로 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\! V - \frac{\epsilon}{c+1} < L(f;\mathcal{G})$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}$가 존재하여
$\displaystyle c\cdot \int_E f\operatorname{d}\!V - \epsilon < c\cdot \int_E f\operatorname{d}\!V -c\cdot \dfrac{\epsilon}{c+1} \le c\cdot L(f;\mathcal{G}) = L(c\cdot f;\mathcal{G}) \le \int_E c\cdot f \operatorname{d}\! V$이므로
부등식 정리로 $ \displaystyle c\cdot \int_E f(x) \operatorname{d}\! V \le \int_E c\cdot f\operatorname{d}\!V$임에 따라 $ \displaystyle \int_E c\cdot f \operatorname{d}\! V = c\cdot \int_E f\operatorname{d}\! V$이다.
$c < 0$이면 $f$는 $E$에서 리만적분가능하므로
임의의 $\epsilon > 0$에 대해 위 정리로 $U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f; \mathcal{G}_\epsilon) < \dfrac{\epsilon}{-c}$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하여
하합, 상합의 정의와 위 정리와 스칼라곱의 정의와 상한, 하한 정리로
$\begin{align*} U(c\cdot f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(c\cdot f;\mathcal{G}_\epsilon) & = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \sup \left ((\widehat{c\cdot f})(B_k) \right)\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \inf \left((\widehat{c\cdot f})(B_k)\right )\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & =\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \sup \left ((c\cdot \widehat{f})(B_k) \right )\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \inf \left ((c\cdot \widehat{f})(B_k)\right)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & =\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} c\cdot \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} c\cdot \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & =c\cdot \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) - c\cdot \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^{n} \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & = c\cdot L(f;\mathcal{G}_\epsilon) - c\cdot U(f;\mathcal{G}_\epsilon) \\[0.5em] & = -c\cdot (U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon)) \\[0.5em] & \lt -c\cdot \dfrac{\epsilon}{-c} = \epsilon\text{ 임에 따라} \end{align*}$
위 정리로 $c\cdot f$는 $E$에서 리만적분가능하다.
상적분의 정의와 리만적분의 정의와 하한 정리로 $U(f;\mathcal{G}) < \displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V + \frac{\epsilon}{-c}$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}$가 존재하여
$\displaystyle \int_E c\cdot f \operatorname{d}\!V \ge L(c\cdot f;\mathcal{G}) =c\cdot U(f;\mathcal{G}) > c\cdot \int_E f\operatorname{d}\! V - \epsilon$이므로
부등식 정리로 $ \displaystyle c\cdot \int_E f \operatorname{d}\!V \le \int_Ec\cdot f \operatorname{d}\! V$이고
하적분의 정의와 리만적분의 정의와 상한 정리로 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V - \frac{\epsilon}{-c} < L(f;\mathcal{G})$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}$가 존재하여
$\displaystyle c\cdot \int_E f\operatorname{d}\!V + \epsilon > c\cdot L(f;\mathcal{G}) = U(c\cdot f;\mathcal{G}) \ge \int_E c\cdot f \operatorname{d}\! V$이므로
부등식 정리로 $ \displaystyle \int_E c\cdot f \operatorname{d}\!V \le c\cdot \int_E f\operatorname{d}\! V$임에 따라 $ \displaystyle \int_E c\cdot f \operatorname{d}\! V = c\cdot \int_E f\operatorname{d}\!V$이다.
2.
$f,g$는 $E$에서 리만적분가능하므로 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 위 정리로
$U(f;\mathcal{G}_f) - L(f; \mathcal{G}_f) < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $U(g;\mathcal{G}_g) - L(g; \mathcal{G}_g) < \dfrac{\epsilon}{2}$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_f,\mathcal{G}_g$가 존재하고
격자 정리로 $\mathcal{G}_f,\mathcal{G}_g$의 세분인 어떤 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하여 위 정리로
$L(f;\mathcal{G}_f)\le L(f;\mathcal{G}_\epsilon) \le U(f;\mathcal{G}_\epsilon) \le U(f;\mathcal{G}_f)$이고 $L(g;\mathcal{G}_g)\le L(g;\mathcal{G}_\epsilon) \le U(g;\mathcal{G}_\epsilon) \le U(g;\mathcal{G}_g)$이므로
하한, 상한 정리와 위 정리로 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해
$\inf \widehat{f}(B_k) + \inf \widehat{g}(B_k) \le \inf \left ((\widehat{f} + \widehat{g})(B_k) \right ) = \inf \left ( (\widehat{f+g})(B_k) \right )$이고
$\sup \left ((\widehat{f+g})(B_k)\right ) = \sup \left ( (\widehat{f}+ \widehat{g})(B_k)\right )\le \sup \widehat{f}(B_k) + \sup \widehat{g}(B_k)$임에 따라 하합, 상합의 정의로
$L(f;\mathcal{G}_f) + L(g;\mathcal{G}_g) \le L(f;\mathcal{G}_\epsilon) + L(g;\mathcal{G}_\epsilon) \le L(f+g;\mathcal{G}_\epsilon) \le U(f+g;\mathcal{G}_\epsilon) \le U(f;\mathcal{G}_\epsilon) + U(g;\mathcal{G}_\epsilon) \le U(f;\mathcal{G}_f) + U(g;\mathcal{G}_g) \text{ 가 되어}$
$U(f+g;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f+g;\mathcal{P}_\epsilon) \le U(f;\mathcal{G}_f) - L(f;\mathcal{G}_f) + U(g;\mathcal{G}_g) - L(g;\mathcal{G}_g) < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon $이고
위 정리로 $f+g$는 $E$에서 리만적분가능하다.
$U(f;\mathcal{G}_f) < \displaystyle \int_E f\operatorname{d}\! V + \frac{\epsilon}{2}$이고 $U(g;\mathcal{G}_g) < \displaystyle \int_E g\operatorname{d}\! V + \frac{\epsilon}{2}$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_f,\mathcal{G}_g$가 존재하고
위와 비슷하게 $\mathcal{G}_f,\mathcal{G}_g$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$에 대해
$\displaystyle \int_E f+g\operatorname{d}\! V \le U(f+g;\mathcal{G}_\epsilon) \le U(f;\mathcal{G}_f) + U(g;\mathcal{G}_g) < \int_E f\operatorname{d}\! V + \int_E g\operatorname{d}\!V + \epsilon$이므로
부등식 정리로 $\displaystyle \int_E f+g\operatorname{d}\! V \le \int_E f\operatorname{d}\!V + \int_Eg\operatorname{d}\!V$이고
$\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V - \frac{\epsilon}{2} < L(f;\mathcal{G}_f)$이고 $\displaystyle \int_E g\operatorname{d}\!V - \frac{\epsilon}{2} < L(g;\mathcal{G}_g)$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_f,\mathcal{G}_g$가 존재하여
위와 비슷하게 $\mathcal{G}_f,\mathcal{G}_g$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon$에 대해
$\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V + \int_Eg\operatorname{d}\!V - \epsilon < L(f;\mathcal{G}_f) + L(g;\mathcal{G}_g) \le L(f+g;\mathcal{G}_\epsilon)\le \int_E f+g\operatorname{d}\! V$이므로
부등식 정리로 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\! V + \int_E g \operatorname{d}\! V \le \int_E f+g \operatorname{d}\! V$임에 따라 $\displaystyle \int_E f+g \operatorname{d}\!V = \int_E f \operatorname{d}\! V + \int_E g \operatorname{d}\!V$이다.
정리11
임의의 $m\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $m,1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m),(\mathbb{R},d_1)$일때
임의의 $c\in \mathbb{R}$와 임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 모든 $x\in E$가 $\phi_c(x) = c$인
함수 $\phi_c :E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_{E} \phi_c \operatorname{d}\!V = \int_E c \operatorname{d}\! V = c\; \cdot $ $vol(E)$이다.
증명
거리공간 정리로 $\phi_c$는 $(E,d_m)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$로의 균등연속함수이므로
위 정리로 $\phi_c$는 $E$에서 유계이고 리만적분가능하다.
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하므로
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 위 정리로 $|L(\phi_1)-L^\circ(\phi_1;\mathcal{G}_\epsilon)| < \epsilon$인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하여
$-\epsilon < L(\phi_1)-L^\circ(\phi_1;\mathcal{G}_\epsilon) < \epsilon$이고 $\mathbb{R}^m$에서 $\phi_1$의 영확장함수가 $\widehat{\phi_1} : \mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때
$B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$인 모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 내부 정리로 $B_k \subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E$이므로
격자 정리와 위 정리로 $\widehat{\phi_1}(B_k) = \phi_1(B_k) = \{ 1\}$임에 따라 하한, 상한 정리로 $\inf \widehat{\phi_1}(B_k) = 1 = \sup \widehat{\phi_1}(B_k)$이고
$\displaystyle L^\circ(\phi_1;\mathcal{G}_\epsilon)=\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n\inf \widehat{\phi_1}(B_k)\cdot vol(B_k)=\sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n vol(B_k) =\underline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon) \le \underline{vol}(E) = vol(E)$가 되어
리만적분의 정의로 $\displaystyle \int_E \phi_1\operatorname{d}\!V= L(\phi_1) < L^\circ (\phi_1;\mathcal{G}_\epsilon) + \epsilon \le vol(E) + \epsilon$이므로
부등식 정리로 $\displaystyle \int_E \phi_1\operatorname{d}\!V\le vol(E)$이다.
조르당영역의 정의와 부피 정리와 부피의 정의로 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E})=vol(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}) = 0$이므로
거리공간 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\subseteq B$임에 따라 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해
외부피의 정의와 하한 정리로 $\overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}; \mathcal{I}_\epsilon) < \dfrac{\epsilon}{2}$인 $B$의 격자 $\mathcal{I}_\epsilon$이 존재하고
상적분의 정의와 하한 정리로 $U(\phi_1;\mathcal{H}_\epsilon) < U(\phi_1) +\dfrac{\epsilon}{2}$인 $B$의 격자 $\mathcal{H}_\epsilon$이 존재하여
리만적분의 정의로 $U(\phi_1;\mathcal{H}_\epsilon)- \dfrac{\epsilon}{2} < U(\phi_1) = \displaystyle \int_E \phi_1\operatorname{d}\! V$이고
격자 정리로 $\mathcal{H}_\epsilon,\mathcal{I}_\epsilon$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하므로
부피의 정의와 외부피의 정의와 격자 정리와 격자 정리와 내부피의 정의와 상합의 정의와 위 정리로
$\begin{align*} vol(E) -\epsilon &= \overline{vol}(E) - \epsilon = \overline{vol}(E) - \dfrac{\epsilon}{2} - \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & < \overline{vol}(E) - \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}; \mathcal{I}_\epsilon) - \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le \overline{vol}(E;\mathcal{I}_\epsilon) - \overline{vol}(\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}; \mathcal{I}_\epsilon) -\dfrac{\epsilon}{2}= \underline{vol}(E;\mathcal{I}_\epsilon)- \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le \underline{vol}(E;\mathcal{G}_\epsilon) -\dfrac{\epsilon}{2}= \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n vol(B_k)- \dfrac{\epsilon}{2} = \sum_{\substack{k\ge 1\\B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}}}^n \sup \widehat{\phi_1}(B_k)\cdot vol(B_k) -\dfrac{\epsilon}{2}\\[0.5em] & \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E \ne \emptyset}}^n \sup \widehat{\phi_1}(B_k)\cdot vol(B_k) -\dfrac{\epsilon}{2}= U(\phi_1;\mathcal{G}_\epsilon)- \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le U(\phi_1;\mathcal{H}_\epsilon) - \dfrac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \lt \int_E \phi_1\operatorname{d}\!V \text{ 이 되어}\end{align*}$
부등식 정리로 $vol(E)\le \displaystyle \int_E \phi_1\operatorname{d}\!V$임에 따라 $\displaystyle \int_E \phi_1\operatorname{d}\!V= vol(E)$이다.
따라서 위 정리로 $\phi_c = c\cdot \phi_1$은 $E$에서 리만적분가능하고
$\displaystyle \int_E c\operatorname{d}\!V = \int_E \phi_c\operatorname{d}\!V = \int_E c\cdot \phi_1 \operatorname{d}\!V = c\cdot \int_E \phi_1\operatorname{d}\! V= c\cdot vol(E)$이다.
정리12
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고 임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수가 $\phi :E\to \mathbb{R}$일때
$E\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 임의의 $m$차원 닫힌상자 $B$에서 $\phi$의 영확장함수가 $\Phi : B \to \mathbb{R}$이면
$\phi$가 $E$에서 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은 $\Phi$가 $B$에서 리만적분가능한 것이다.
이때 $\displaystyle \int_B \Phi \operatorname{d}\!V = \int_E \phi\operatorname{d}\!V$가 성립한다.
증명
$\phi$가 $E$에서 유계이므로 위 정리로 $\Phi$는 $B$에서 유계이다.
$E\subseteq B\subseteq \mathbb{R}^m$이므로 $\mathbb{R}^m$에서 $\phi,\Phi$의 영확장함수가 $\widehat{\phi},\widehat{\Phi} : \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$이면 위 정리로 $\widehat{\phi}=\widehat{\Phi}$이다.
$B$의 모든 격자들의 집합이 $\mathbf{G}$일때 임의의 $\mathcal{G} \in\mathbf{G}$가 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$이면
모든 $k = 1,2,\cdots,n$에 대해 격자 정리와 집합 정리로 $B_k\cap B = B_k\ne \emptyset$이므로 하합의 정의와 상합의 정의로
$L(\Phi; \mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap B\ne \emptyset}}^n \inf \widehat{\Phi}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{k=1}^n \inf \widehat{\Phi}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{k=1}^n\inf \widehat{\phi}(B_k)\cdot vol(B_k)$이고
$U(\Phi; \mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap B\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{\Phi}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{k=1}^n \sup \widehat{\Phi}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{k=1}^n\sup \widehat{\phi}(B_k)\cdot vol(B_k)$이다.
$B_k\cap E= \emptyset$인 모든 $k = 1,2,\cdots,n$는 집합 정리로 $B_k\subseteq \mathbb{R}^m\setminus E$이므로
모든 $x\in B_k$는 $x\notin E$가 되어 영확장함수의 정의로 $\widehat{\phi}(x) = 0$이고 $B_k\ne \emptyset$임에 따라
$\widehat{\phi}(B_k) = \{ 0\}$이므로 하한, 상한 정리로 $\inf \widehat{\phi}(B_k) = 0 = \sup \widehat{\phi}(B_k)$가 되어 하합의 정의와 상합의 정의로
$L(\Phi; \mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \inf \widehat{\phi}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \inf \widehat{\phi}(B_k)\cdot vol(B_k) = L(\phi;\mathcal{G})$이고
$U(\Phi; \mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{k=1}^n \sup \widehat{\phi}(B_k)\cdot vol(B_k) = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{\phi}(B_k)\cdot vol(B_k) = U(\phi;\mathcal{G})$임에 따라
$\{ L(\Phi;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \{ L(\phi;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\}$이고 $\{ U(\Phi;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \{ U(\phi;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\}$이므로
하적분의 정의로 $L(\Phi) = \sup \{ L(\Phi;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \sup \{ L(\phi;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = L(\phi)$이고
상적분의 정의로 $U(\Phi) = \inf \{ U(\Phi;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = \inf \{ U(\phi;\mathcal{G}) : \mathcal{G}\in \mathbf{G}\} = U(\phi)$이다.
따라서 $\phi$가 $E$에서 리만적분가능하면 $L(\Phi) = L(\phi) = U(\phi) = U(\Phi)$가 되어 $\Phi$는 $B$에서 리만적분가능하고
$\Phi$는 $B$에서 리만적분가능하면 $L(\phi) = L(\Phi) = U(\Phi) = U(\phi)$이므로 $\phi$는 $E$에서 리만적분가능하고
리만적분의 정의로 $\displaystyle \int_B \Phi \operatorname{d}\!V =L(\Phi) = U(\Phi) = U(\phi) = L(\phi) = \int_E \phi\operatorname{d}\!V$이다.
정리13
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 임의의 조르당영역 $E,F\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.
1. $F\setminus E$는 조르당영역이다
2. $E\subseteq F$이면 $vol(F\setminus E) = vol(F) - vol(E)$이고 $vol(E)\le vol(F)$이다.
3. $vol(E) = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} = \emptyset$인 것이다.
4. $vol(E) = 0$이면 $E$에서 유계인 함수 $f :E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_E f \operatorname{d}\! V = 0$이다.
5. $E\subseteq F$일때 $F$에서 유계인 함수 $g : F\to \mathbb{R}$가 $F$에서 리만적분가능하면 $g$는 $E$에서 리만적분가능하다.
6. $E\subseteq F$일때 $F \subseteq X$인 임의의 $X\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해
함수 $h : X\to \mathbb{R}$가 $F$에서 리만적분가능하면 $h$는 $E$에서 리만적분가능하다.
증명
1.
조르당영역의 정의로 $F$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $F\setminus E\subseteq F$이므로
거리공간 정리로 $F\setminus E$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이다.
조르당영역의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial F}$의 부피가 $0$이므로 부피 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cup\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial F}$의 부피는 $0$이 되어
위상공간 정리와 경계 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(F\setminus E)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cup\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial F}$임에 따라
부피 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(F\setminus E)$의 부피는 $0$이고 $F\setminus E$는 조르당영역이다.
2.
임의의 $S\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 함수 $\chi_S : S\to \mathbb{R}$가 모든 $x\in S$에 대해 $\chi_S(x) = 1$일때
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $F\subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하여
$E\subseteq F\subseteq B$이고 $F\setminus E\subseteq F\subseteq B$이므로 $B$에서 $\chi_{F\setminus E},\chi_F,\chi_E$의 영확장함수가 $\widetilde{\chi_{F\setminus E}},\widetilde{\chi_F},\widetilde{\chi_E} : B\to \mathbb{R}$이면
모든 $x\in B$에 대해 $x\in E$일때 $x\notin F\setminus E$이고 $x\in E\subseteq F$이므로
$\widetilde{\chi_{F\setminus E}}(x) = 0 = 1-1 = \chi_F(x) - \chi_E(x) = \widetilde{\chi_F}(x) - \widetilde{\chi_E}(x) = (\widetilde{\chi_F} - \widetilde{\chi_E})(x)$이고
$x\notin E$일때 $x\in F$이면 $x\in F\setminus E$이므로
$\widetilde{\chi_{F\setminus E}}(x)=\chi_{F\setminus E}(x) = 1 = 1-0 = \chi_F(x) - \widetilde{\chi_E}(x) = \widetilde{\chi_F}(x) - \widetilde{\chi_E}(x) = (\widetilde{\chi_F} - \widetilde{\chi_E})(x)$이고
$x\notin F$이면 $x\notin F\setminus E$이므로 $\widetilde{\chi_{F\setminus E}}(x)=0 = 0-0 = \widetilde{\chi_F}(x) - \widetilde{\chi_E}(x) = (\widetilde{\chi_F} - \widetilde{\chi_E})(x)$가 되어
뺄셈에 대해 $\widetilde{\chi_{F\setminus E}}= \widetilde{\chi_F}-\widetilde{\chi_E}$임에 따라 위 정리와 위 정리와 위 정리로
$\begin{align*}vol(F\setminus E)&=\int_{F\setminus E} \chi_{F\setminus E}\operatorname{d}\!V \\[0.5em] &=\int_B \widetilde{\chi_{F\setminus E}}\operatorname{d}\!V \\[0.5em]&= \int_B\widetilde{\chi_F}-\widetilde{\chi_E}\operatorname{d}\!V \\[0.5em]&= \int_B\widetilde{\chi_F}\operatorname{d}\!V - \int_B\widetilde{\chi_E}\operatorname{d}\!V \\[0.5em]&= \int_F \chi_F\operatorname{d}\!V - \int_E \chi_E \operatorname{d}\!V\\[0.5em]& = vol(F) - vol(E) \text{ 이고} \end{align*}$
부피 정리로 $0\le vol(F\setminus E) = vol(F) - vol(E)$이므로 $vol(E)\le vol(F)$이다.
3.
$vol(E) = 0$일때 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} \ne \emptyset$라고 가정하면
$x\in \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$가 존재하여 내부의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,\epsilon)}\subseteq E$인 $\epsilon\in (0,\infty)$이 존재하므로
위 정리로 $A\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{B(x,\epsilon)}\subseteq E$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $A$가 존재하는데
닫힌상자 정리와 2번으로 $0<vol(A)\le vol(E) =0$이 되어 모순이므로 $vol(E) = 0$이면 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} = \emptyset$이다.
역으로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} = \emptyset$이면 위 정리와 위 정리로 $vol(E) = \displaystyle \int_E 1\operatorname{d}\!V = 0$이다.
4.
3번과 위 정리로 $f$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_E f \operatorname{d}\! V = 0$이다.
5.
$g$의 제한함수가 $g|_E:E\to \mathbb{R}$이고 $\mathbb{R}^m$에서 $g|_E,g$의 영확장함수가 $\widehat{g|_E},\widehat{g}:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E \subseteq F \subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하므로
위 정리로 모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 어떤 $B$의 격자 $\mathcal{H}_\epsilon$이 존재하여 $\mathcal{H}_\epsilon$의 세분인 모든 $B$의 격자 $\mathcal{H}$에 대해
$|L^\circ(g;\mathcal{H}) - L(g)|=|L(g) - L^\circ(g;\mathcal{H})| < \dfrac{\epsilon}{4}$와 $|U^\circ(g;\mathcal{H}) - U(g)|=|U(g) - U^\circ(g;\mathcal{H})| < \dfrac{\epsilon}{4}$가 성립하여
$-\dfrac{\epsilon}{4} < L^\circ(g;\mathcal{H}) - L(g) < \dfrac{\epsilon}{4}$와 $-\dfrac{\epsilon}{4} < U^\circ(g;\mathcal{H}) - U(g) < \dfrac{\epsilon}{4}$가 성립하고
$L(g)-\dfrac{\epsilon}{4} < L^\circ(g;\mathcal{H})$와 $U^\circ(g;\mathcal{H}) < U(g) + \dfrac{\epsilon}{4}$가 성립하므로
$g$가 $F$에서 리만적분가능함에 따라 $U(g) = L(g)$이고 $U^\circ(g;\mathcal{H}) - L^\circ(g;\mathcal{H}) < U(g) + \dfrac{\epsilon}{4} - L(g) + \dfrac{\epsilon}{4} = \dfrac{\epsilon}{2}$이다.
위 정리로 어떤 $B$의 격자 $\mathcal{I}_\epsilon$이 존재하여 $\mathcal{I}_\epsilon$의 세분인 모든 $B$의 격자 $\mathcal{I}$에 대해
$-\dfrac{\epsilon}{4} < L(g|_E) - L^\circ(g|_E;\mathcal{I}) < \dfrac{\epsilon}{4}$와 $-\dfrac{\epsilon}{4} < U(g|_E) - U^\circ(g|_E;\mathcal{I}) < \dfrac{\epsilon}{4}$가 성립하므로
$L^\circ(g|_E;\mathcal{I})-\dfrac{\epsilon}{4} < L(g|_E)$와 $U(g|_E) < U^\circ(g|_E;\mathcal{I}) + \dfrac{\epsilon}{4}$가 성립함에 따라
$U(g|_E) - L(g|_E) < U^\circ(g|_E;\mathcal{I}) - L^\circ(g|_E;\mathcal{I}) + \dfrac{\epsilon}{2}$이다.
격자 정리로 $\mathcal{H}_\epsilon,\mathcal{I}_\epsilon$의 세분인 $B$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$가 존재하여
$B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}$인 모든 $k=1,2,\cdots,n$는 내부 정리로 $B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq E\subseteq F$이므로 $B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)}\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(F)}$이고
모든 $x\in B_k\subseteq E\subseteq F$에 대해 제한함수의 정의와 영확장함수의 정의로 $\widehat{g|_E}(x) = g|_E(x) = g(x)= \widehat{g}(x)$임에 따라
하한, 상한 정리와 함수 정리로 $0\le \sup \widehat{g|_E}(B_k) - \inf \widehat{g|_E}(B_k) = \sup \widehat{g}(B_k) - \inf \widehat{g}(B_k)$이므로
$\begin{align*} U^\circ(g|_E;\mathcal{G}_\epsilon) - L^\circ(g|_E;\mathcal{G}_\epsilon) & = \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^n \sup \widehat{g|_E}(B_k)\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^n \inf \widehat{g|_E}(B_k)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & = \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^n (\sup \widehat{g|_E}(B_k) - \inf \widehat{g|_E}(B_k) )\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & = \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(E)} }}^n (\sup \widehat{g}(B_k) - \inf \widehat{g}(B_k) )\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(F)} }}^n (\sup \widehat{g}(B_k) - \inf \widehat{g}(B_k) )\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(F)} }}^n \sup \widehat{g}(B_k)\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1\\ B_k\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\operatorname{int}(F)} }}^n \inf \widehat{g}(B_k)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & \qquad = U^\circ(g;\mathcal{G}_\epsilon) - L^\circ(g;\mathcal{G}_\epsilon) \text{ 이고} \end{align*}$
위 정리로
$0\le U(g|_E) - L(g|_E) < U^\circ(g|_E;\mathcal{G}_\epsilon) - L^\circ(g|_E;\mathcal{G}_\epsilon) + \dfrac{\epsilon}{2} \le U^\circ(g;\mathcal{G}_\epsilon) - L^\circ(g;\mathcal{G}_\epsilon) + \dfrac{\epsilon}{2} < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$임에 따라
부등식 정리로 $L(g|_E) = U(g|_E)$이므로 $g|_E$는 $E$에서 리만적분가능하여 $g$는 $E$에서 리만적분가능하다.
6.
$h$가 $F$에서 리만적분가능하므로 $h$의 제한함수 $h|_F$는 $F$에서 유계이고 리만적분가능하여
5번으로 $h|_F$는 $E$에서 리만적분가능하고 함수 정리로 $h|_E=(h|_F)|_E$가 $E$에서 리만적분가능함에 따라
$h$는 $E$에서 리만적분가능하다.
정리14
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때 임의의 조르당영역 $E,F\subseteq \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.
1. $E\cup F,E\cap F$는 조르당영역이다.
2. $E\cup F$에서 유계인 함수 $f: E\cup F\to \mathbb{R}$가 $E,F$에서 리만적분가능하면
$f$는 $E\cup F$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_{E\cup F} f\operatorname{d}\!V = \int_E f\operatorname{d}\!V +\int_F f\operatorname{d}\!V - \int_{E\cap F} f\operatorname{d}\!V$이다.
3. $E\subseteq F$일때 $F$에서 유계인 함수 $g : F\to \mathbb{R}$가 $F$에서 리만적분가능하면 $\displaystyle \int_{F\setminus E} g\operatorname{d}\!V = \int_F g\operatorname{d}\!V -\int_E g\operatorname{d}\!V$이다.
4. $vol(E) = 0$이고 $E\subseteq F$일때 $F$에서 유계인 함수 $g,h : F\to \mathbb{R}$에 대해
$g$가 $F$에서 리만적분가능하고 모든 $x\in F\setminus E$에 대해 $h(x) = g(x)$이면
$h$는 $F$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_{F} h\operatorname{d}\!V = \int_F g\operatorname{d}\!V$이다.
5. $vol(E\cup F)= vol(E) + vol(F) - vol(E\cap F)$이고 $vol(E\cup F)\le vol(E) + vol(F)$이다.
증명
1.
조르당영역의 정의로 $E,F$가 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이고 $E\cap F\subseteq E$이므로
거리공간 정리로 $E\cup F,E\cap F$는 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 유계이다.
조르당영역의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E},\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial F}$의 부피가 $0$이므로 부피 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cup\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial F}$의 부피는 $0$이 되어
$\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(E\cup F)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cup\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial F}$와 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(E\cap F)\subseteq \underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial E}\cup\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial F}$가 성립하고
부피 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(E\cup F),\underset{(\mathbb{R}^m,d_m)}{\partial}(E\cap F)$의 부피는 $0$이고 $E\cup F,E\cap F$는 조르당영역이다.
2.
$f$의 제한함수가 $f|_{E\cap F},f|_E,f|_F$일때
1번과 조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E \cup F \subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하므로
$B$에서 $f|_{E\cap F},f|_E,f|_F,f$의 영확장함수가 $\Phi_{E\cap F},\Phi_E,\Phi_F, \Phi : B\to \mathbb{R}$이면
모든 $x\in B$에 대해 제한함수의 정의와 영확장함수의 정의로
$x\in E$이고 $x\in F$이면 $x\in E\cap F$이고 $x\in E\cup F$임에 따라
$\Phi(x) = f(x) = f(x) + f(x) - f(x) = f|_E(x) + f|_F(x) - f|_{E\cap F}(x) = \Phi_E(x) + \Phi_F(x) - \Phi_{E\cap F}(x) = (\Phi_E+\Phi_F - \Phi_{E\cap F})(x) \text{ 이고}$
$x\in E$이고 $x\notin F$이면 $x\notin E\cap F$이고 $x\in E\cup F$임에 따라
$\Phi(x) = f(x) = f|_E(x) + 0 - 0 = \Phi_E(x) + \Phi_F(x) - \Phi_{E\cap F}(x) = (\Phi_E + \Phi_F - \Phi_{E\cap F})(x)$이고
$x\notin E$이고 $x\in F$이면 $x\notin E\cap F$이고 $x\in E\cup F$임에 따라
$\Phi(x) = f(x) = 0 + f|_F(x) - 0 = \Phi_E(x) + \Phi_F(x) - \Phi_{E\cap F}(x) = (\Phi_E + \Phi_F - \Phi_{E\cap F})(x)$이고
$x\notin E$이고 $x\notin F$이면 $x\notin E\cap F$이고 $x\notin E\cup F$임에 따라
$\Phi(x) = 0 = 0 + 0 - 0 = \Phi_E(x) + \Phi_F(x) - \Phi_{E\cap F}(x) = (\Phi_E + \Phi_F - \Phi_{E\cap F})(x)$가 되어
$\Phi = \Phi_E + \Phi_F - \Phi_{E\cap F}$이다.
$f$는 $E,F$에서 리만적분가능하여 $f|_E$는 $E$에서 리만적분가능하고 $f|_F$는 $F$에서 리만적분가능하므로
위 정리로 $f$가 $E\cap F$에서 리만적분가능함에 따라 $f|_{E\cap F}$는 $E\cap F$에서 리만적분가능하고
위 정리로 $\Phi_{E\cap F},\Phi_E,\Phi_F$가 $B$에서 리만적분가능하여
위 정리로 $\Phi = \Phi_E + \Phi_F - \Phi_{E\cap F}$는 $B$에서 리만적분가능하므로 위 정리로 $f$는 $E\cup F$에서 리만적분가능하고
$\displaystyle \int_{E\cup F} f\operatorname{d}\!V = \int_B \Phi \operatorname{d}\!V = \int_B (\Phi_E +\Phi_F-\Phi_{E\cap F})\operatorname{d}\!V = \int_B \Phi_E \operatorname{d}\!V + \int_B \Phi_F\operatorname{d}\!V -\int_B \Phi_{E\cap F}\operatorname{d}\!V = \int_E f\operatorname{d}\!V +\int_F f\operatorname{d}\!V - \int_{E\cap F} f\operatorname{d}\!V\text{ 이다.}$
3.
집합 정리와 집합 정리로 $F = F\cup E = (F\setminus E)\cup E$이고 $(F\setminus E)\cap E = \emptyset$이므로 2번과 위 정리와 위 정리로
$\displaystyle \int_F g\operatorname{d}\!V = \int_{(F\setminus E)\cup E} g\operatorname{d}\!V = \int_{F\setminus E}g\operatorname{d}\!V + \int_E g\operatorname{d}\!V - \int_{(F\setminus E)\cap E}g\operatorname{d}\!V = \int_{F\setminus E} g\operatorname{d}\!V + \int_Eg\operatorname{d}\!V$가 되어
$\displaystyle \int_{F\setminus E} g\operatorname{d}\!V = \int_F g\operatorname{d}\!V -\int_E g\operatorname{d}\!V$이다.
4.
위 정리로 $g$는 $F\setminus E$에서 리만적분가능하여 $g$의 제한함수가 $h|_{F\setminus E} = g|_{F\setminus E}$가 $F\setminus E$에서 리만적분가능하므로
$h$는 $F\setminus E$에서 리만적분가능하고 $vol(E) = 0$임에 따라 위 정리로 $h$는 $E$에서 리만적분가능하므로
집합 정리와 집합 정리와 2번으로 $h$는 $F = F\cup E = (F\setminus E)\cup E$에서 리만적분가능하고 3번과 위 정리로
$\displaystyle \int_{F} h\operatorname{d}\!V = \int_{F\setminus E}h\operatorname{d}\!V + \int_Eh\operatorname{d}\!V = \int_{F\setminus E}h\operatorname{d}\!V = \int_{F\setminus E}h|_{F\setminus E}\operatorname{d}\!V = \int_{F\setminus E}g|_{F\setminus E}\operatorname{d}\!V = \int_{F\setminus E} g\operatorname{d}\!V = \int_{F\setminus E}g\operatorname{d}\!V + \int_Eg\operatorname{d}\!V = \int_{F}g\operatorname{d}\!V\text{ 이다.}$
5.
위 정리와 3번으로
$\displaystyle vol(E\cup F)= \int_{E\cup F} 1\operatorname{d}\!V = \int_E 1\operatorname{d}\!V +\int_F 1\operatorname{d}\!V - \int_{E\cap F} 1\operatorname{d}\!V = vol(E) +vol(F) - vol(E\cap F)$이고
부피 정리로 $vol(E\cap F) \ge 0$이므로 $vol(E\cup F) = vol(E)+vol(F) - vol(E\cap F) \le vol(E)+vol(F)$이다.
정리15
$m\in \mathbb{Z}^+$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$이고
임의의 조르당영역 $E\subseteq \mathbb{R}^m$에서 유계인 함수 $f,g: E\to \mathbb{R}$가 $E$에서 리만적분가능할때 다음이 성립한다.
1. 모든 $x\in E$에 대해 $f(x)\le g(x)$이면 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V \le \int_E g\operatorname{d}\!V$이다.
2. 임의의 $a\in \mathbb{R}$에 대해 모든 $x\in E$가 $a\le f(x)$이면 $\displaystyle a\cdot vol(E)\le \int_E f\operatorname{d}\!V$이다.
3. 임의의 $b\in \mathbb{R}$에 대해 모든 $x\in E$가 $f(x)\le b$이면 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V \le b\cdot vol(E)$이다.
4. $f$의 절댓값 $|f|: E\to \mathbb{R}$는 $E$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \left |\int_E f\operatorname{d}\!V \right |\le \int_E |f|\operatorname{d}\!V$이다.
증명
1.
조르당영역의 정의와 거리공간 정리로 $E \subseteq B$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B$가 존재하므로
$f,g$의 영확장함수가 $\widehat{f},\widehat{g}:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$이고 임의의 $B$의 격자가 $\mathcal{G} = \{ B_k\}_{k=1}^n$일때
모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 모든 $x\in B_k$는 위 정리와 상한의 정의로
$\hat{f}(x)\le \widehat{g}(x)\le \sup \widehat{g}(B_k)$이므로 $\sup \widehat{f}(B_k)\le \sup \widehat{g}(B_k)$가 되어 부피 정리로 $vol(B_k) \ge 0$임에 따라
$\sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k)\le \sup \widehat{g}(B_k)\cdot vol(B_k)$이고 상합의 정의와 상적분의 정의와 하한의 정의로
$U(f) \le U(f;\mathcal{G}) = \displaystyle \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{g}(B_k)\cdot vol(B_k) = U(g;\mathcal{G})$이므로
상적분의 정의와 하한의 정의와 리만적분의 정의로 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V = U(f)\le U(g) = \int_E g\operatorname{d}\!V$이다.
2.
1번과 위 정리로 $\displaystyle a\cdot vol(E) = \int_E a\operatorname{d}\!V\le \int_E f\operatorname{d}\!V$이다.
3.
1번과 위 정리로 $\displaystyle \int_E f\operatorname{d}\!V \le \int_E b\operatorname{d}\!V= b\cdot vol(E)$이다.
4.
$f$는 $E$에서 유계이므로 어떤 $M\in (0,\infty)$에 대해
모든 $x\in E$가 $||f|(x)|=|f|(x) = |f(x)| \le M$이므로 $|f|$는 $E$에서 유계이다.
$f,|f|$의 영확장함수가 $\widehat{f},\widehat{|f|}:\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}$일때 위 정리로
모든 $\epsilon\in (0,\infty)$에 대해 $E\subseteq B_\epsilon$이고 퇴화상자가 아닌 $m$차원 닫힌상자 $B_\epsilon$이 존재하여
$U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon)< \epsilon$이 되는 $B_\epsilon$의 격자 $\mathcal{G}_\epsilon = \{ B_k\}_{k=1}^n$이 존재하고
모든 $k=1,2,\cdots,n$에 대해 모든 $x,y\in B_k$는 위 정리와 절댓값 정리로
$\widehat{|f|}(x) - \widehat{|f|}(y) =\left |\widehat{f}\,\right|(x) - \left |\widehat{f}\,\right |(x)=|\widehat{f}(x)| - |\widehat{f}(y)|\le |\widehat{f}(x) - \widehat{f}(y)|$이므로
절댓값의 정의로 $|\widehat{f}(x) - \widehat{f}(y)| = \widehat{f}(x) - \widehat{f}(y)$ 또는 $|\widehat{f}(x) - \widehat{f}(y)| = \widehat{f}(y) - \widehat{f}(x)$임에 따라
$0\le \sup \widehat{|f|}(B_k) -\inf \widehat{|f|}(B_k) =\sup \{\widehat{|f|}(x) - \widehat{|f|}(y) :x,y\in B_k\} \le \sup\{ \widehat{f}(x)- \widehat{f}(y) : x,y\in B_k\} = \sup \widehat{f}(B_k) -\inf \widehat{f}(B_k)\text{ 가 되어}$
하적분, 상적분의 정의와 위 정리로
$\begin{align*} U(|f|;\mathcal{G}_\epsilon) - L(|f|;\mathcal{G}_\epsilon) & = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{|f|}(B_k)\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \inf \widehat{|f|}(B_k)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n (\sup \widehat{|f|}(B_k) - \inf \widehat{|f|}(B_k))\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & \le \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n (\sup \widehat{f}(B_k) - \inf \widehat{f}(B_k))\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & \qquad = \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \sup \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) - \sum_{\substack{k\ge 1 \\ B_k\cap E\ne \emptyset}}^n \inf \widehat{f}(B_k)\cdot vol(B_k) \\[0.5em] & \qquad = U(f;\mathcal{G}_\epsilon) - L(f;\mathcal{G}_\epsilon) \\[0.5em] & < \epsilon \text{ 이고} \end{align*}$
모든 $x\in E$에 대해 $0\le |f(x)|= |f|(x)$이므로 2번으로 $0\le \displaystyle \int_E |f|\operatorname{d}\!V$이고
절댓값 정리로 $-|f|(x)=-|f(x)|\le f(x)\le |f(x)| = |f|(x)$이므로
1번과 위 정리로 $\displaystyle -\int_E|f|\operatorname{d}\!V= \int_E -|f|\operatorname{d}\!V \le \int_E f\operatorname{d}\!V \le \int_E |f|\operatorname{d}\!V$가 되어
절댓값 정리로 $\displaystyle \left |\int_E f\operatorname{d}\!V \right |\le \int_E |f|\operatorname{d}\!V$이다.
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정의의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/137#def번호
번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
정리의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/137#thm번호
번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.
틀린 내용이 존재할 수 있습니다.
출처(저자 - 제목 - ISBN13)
William R. Wade - Introduction to Analysis - 9780132296380
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