상한(supremum), 하한(infimum), 최대(maximum), 최소(minimum)

정의1

$S$가 실수집합 $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합일때

상계(upper bound), 위로 유계인 집합 : 

모든 $s \in S$에 대하여 $s \le u$인 $u \in \mathbb{R}$이 존재하면 

집합 $S$를 위로 유계라고 하고 $u$를 $S$의 상계라고 한다.

하계(lower bound), 아래로 유계인 집합 :

모든 $s \in S$에 대하여 $w \le s$인 $w \in \mathbb{R}$이 존재하면 

집합 $S$를 아래로 유계라고 하고 $w$를 $S$의 하계라고 한다.

유계인 집합 : 

위로 유계이고 아래로 유계인 집합을 유계(bounded)라고 한다.

위로 유계가 아니고 아래로 유계가 아닌 집합을 유계가 아니다(unbounded)라고 한다. 

상한(supremum) :

$S$가 위로 유계일때 임의의 상계 $v \in \mathbb{R}$에 대해 $u \le v$가 되는 $S$의 상계 $u \in \mathbb{R}$를

$S$의 상한 또는 최소 상계 (least upper bound) 라고 하고 $u = \sup S$로 표기한다.

하한(infimum) :

$S$가 아래로 유계일때 임의의 하계 $t \in \mathbb{R}$에 대해 $t \le w$가 되는 $S$의 하계 $w \in \mathbb{R}$를

$S$의 하한 또는 최대 하계 (greatest lower bound) 라고 하고 $w = \inf S$로 표기한다.

 

 

 

정리17(상한성의 보조정리)

공집합이 아닌 실수집합 $\mathbb{R}$의 임의의 부분집합 $S \subset \mathbb{R}$가 위로 유계일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{K}{n}$이 $S$의 상계이고 $\dfrac{L}{n}$은 $S$의 상계가 아닌 정수 $L,K \in \mathbb{Z}$가 존재하면

$\dfrac{M_n}{n}$이 $S$의 상계일때 $\dfrac{M_n -1}{n}$은 $S$의 상계가 아니고 $L < M_n \le K$인 정수 $M_n \in \mathbb{Z}$이 유일하게 존재한다.

2. 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 유리수열 $\left ( \dfrac{1}{n} \right )$은 유리수 코시수열이고 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}} $$\left ( \dfrac{1}{n} \right ) = 0$이다.

3. 유리수열 $(q_n)$과 임의의 양의 정수 $N \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n,m \ge N$인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|q_n - q_m| \le \dfrac{1}{N}$이면 $(q_n)$은 유리수 코시수열이다.

증명

1.

존재성

귀류법으로 $\dfrac{M_n}{n}$이 $S$의 상계일때 $\dfrac{M_n -1}{n}$은 $S$의 상계가 아니고 $L < M_n \le K$인

정수 $M_n \in \mathbb{Z}$이 존재하지 않는다고 가정하면 모든 $j \in \mathbb{N}$에 대해 $\dfrac{K - j}{n}$이 $S$의 상계임을 귀납법으로 보인다.

$j = 0$이면 $\dfrac{K - 0}{n} = \dfrac{K}{n}$은 정리의 가정으로 $S$의 상계이다.

모든 $p \in \mathbb{N}$에 대해 $\dfrac{K - p}{n}$가 $S$의 상계라고 가정하면

$\dfrac{L}{n}$은 $S$의 상계가 아니므로 $\dfrac{L}{n} < s_0$인 $s_0 \in S$이 존재하여 $\dfrac{L}{n} < s_0 \le \dfrac{K-p}{n}\le \dfrac{K}{n}$이고 $L < K-p \le K$이다.

$\dfrac{K - p}{n}$이 $S$의 상계일때 $\dfrac{(K - p) -1}{n}$이 $S$의 상계가 아니고 $L < K-p \le K$인

정수 $K - p = M_n \in \mathbb{Z}$은 귀류법의 가정으로 존재하지 않으므로

$\dfrac{K- (p+1)}{n} = \dfrac{K - p -1}{n}$은 $S$의 상계가 되어 귀납법이 성립하고 모든 $j \in \mathbb{N}$에 대해 $\dfrac{K - j}{n}$은 $S$의 상계이다.

하지만 $L < K$이므로 $0<K - L$은 $K -L \in \mathbb{N}$이 되어

$\dfrac{K - (K-L)}{n} = \dfrac{L}{n}$은 $S$의 상계임과 동시에 정리의 가정으로 $S$의 상계가 아니므로 모순이다.

따라서 $\dfrac{M_n}{n}$이 $S$의 상계일때 $\dfrac{M_n -1}{n}$은 $S$의 상계가 아니고 $L < M_n \le K$인 정수 $M_n \in \mathbb{Z}$이 존재한다.

유일성

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리를 만족하는 $M_n, \overline{M}_n \in \mathbb{Z}$이 존재하면

$\dfrac{M_n}{n}, \dfrac{\overline{M}_n}{n}$은 $S$의 상계이므로 모든 $s \in S$에 대해 $s\le \dfrac{M_n}{n},\dfrac{\overline{M}_n}{n}$이고

$\dfrac{M_n-1}{n}, \dfrac{\overline{M}_n-1}{n}$은 $S$의 상계가 아니므로 $\dfrac{{M}_n-1}{n}< s_1$이고 $\dfrac{\overline{M}_n-1}{n}< s_2$인 $s_1,s_2 \in S$가 존재하여

$\dfrac{{M}_n-1}{n}< s_1 \le \dfrac{\overline{M}_n}{n}$이고 $\dfrac{\overline{M}_n-1}{n}< s_2 \le \dfrac{{M}_n}{n}$이다.

따라서 ${M}_n-1< \overline{M}_n$이고 $\overline{M}_n-1< {M}_n$이므로 정수 부등식 정리로 ${M}_n \le \overline{M}_n$이고 $\overline{M}_n \le {M}_n$이 되어

정수 부등식 반대칭성으로 $\overline{M}_n = {M}_n$이다.

2.

모든 양의 유리수 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 유리수 역원 정리로 $0< \epsilon^{-1} =\dfrac{1}{\epsilon}$이고 유리수 부등식 정리로 $0<\dfrac{2}{\epsilon}$이므로

유리수 정리로 $0<\dfrac{2}{\epsilon} < N$인 자연수 $N \in \mathbb{N}$이 존재하여 정수 부등식 정리로 $N \in \mathbb{Z}^+$이다.

따라서 $0<\dfrac{1}{N} < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $n,m \ge N$인 모든 $n,m\in\mathbb{Z}^+$에 대해

$-\dfrac{1}{N}<0< \dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{N}$이고 $-\dfrac{1}{N}<0 < \dfrac{1}{m} \le \dfrac{1}{N}$이므로 $-\dfrac{1}{N}\le -\dfrac{1}{m} \le \dfrac{1}{N}$을 처음 부등식에 더하면

$-\dfrac{2}{N}\le \dfrac{1}{n} -\dfrac{1}{m} \le \dfrac{2}{N}$이므로 절댓값 정리로 $\left | \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{m} \right | \le \dfrac{2}{N} <  \epsilon$이 되어 $\left ( \dfrac{1}{n} \right )$은 유리수 코시수열이다.

비슷하게 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $0<\dfrac{1}{\epsilon} < M$인 $M \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$n \ge M$인 모든 $n\in\mathbb{Z}^+$에 대해 $\left | \dfrac{1}{n} - 0\right | = \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{M} < \epsilon$이므로 실수의 상등으로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}\left ( \dfrac{1}{n} \right ) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0) = 0$이다

3.

2번으로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}\left ( \dfrac{1}{n} \right ) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0) $이므로 실수의 상등으로

모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $n\ge K(\epsilon)$인 모든 $n \in\mathbb{Z}^+$이 $\left | \dfrac{1}{n} - 0\right | = \dfrac{1}{n} \le  \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$n,m \ge K(\epsilon)$인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|q_n - q_m| \le \dfrac{1}{K(\epsilon)}\le \epsilon$이므로 $(q_n)$은 유리수 코시수열이다.

 

 

 

정리16(상한성 또는 완비성)

공집합이 아닌 실수집합 $\mathbb{R}$의 임의의 부분집합 $S \subset \mathbb{R}$가 위로 유계이면 상한 $\sup S \in \mathbb{R}$이 존재한다.

증명

$S \ne \emptyset$이므로 $s \in S$가 존재하고 $S$는 위로 유계이므로 모든 $s \in S$에 대해 $s\le u$인 $u \in \mathbb{R}$가 존재하여

아르케메데스 성질로 임의의 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $u < \dfrac{K}{n}$이 되는 양의 정수 $K \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

또 아르케메데스 성질로 어떤 $s_0 \in S$과 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $-s_0 < \dfrac{L}{n}$인 양의 정수 $L \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$-\dfrac{L}{n}< s_0 \le u<\dfrac{K}{n}$이므로 정수의 정의로 $-L \in \mathbb{Z}$이고 부등식 정리로 $-L < K$이 성립한다.

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{K}{n}$이 $S$의 상계이고 $-\dfrac{L}{n}$은 $S$의 상계가 아니므로

위 정리로 $\dfrac{M_n}{n}$이 $S$의 상계일때 $\dfrac{M_n -1}{n}$은 $S$의 상계가 아니고 $-L < M_n \le K$인

정수 $M_n \in \mathbb{Z}$이 유일하게 존재하여 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 함수가 존재하므로 유리수열 $\left ( \dfrac{M_n}{n} \right )$을 만들 수 있다.

임의의 $N \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n,k \ge N$인 모든 $n,k \in \mathbb{Z}^+$는

$\dfrac{M_n}{n},\dfrac{M_k}{k}$가 $S$의 상계이고 $\dfrac{M_n-1}{n}, \dfrac{M_k -1}{k}$는 $S$의 상계가 아니므로

$\dfrac{M_k -1}{k}< s_1 \le \dfrac{M_n}{n}$인 $s_1 \in S$이 존재하여 $\dfrac{M_k}{k} - \dfrac{1}{k} = \dfrac{M_k -1}{k}<  \dfrac{M_n}{n}$이고 $\dfrac{M_k}{k} -  \dfrac{M_n}{n}<  \dfrac{1}{k}\le \dfrac{1}{N}$이다.

비슷하게 $\dfrac{M_n -1}{n}< s_2 \le \dfrac{M_k}{k}$인 $s_2 \in S$이 존재하여 $\dfrac{M_n}{n} - \dfrac{1}{n} = \dfrac{M_n -1}{n}<  \dfrac{M_k}{k}$이고

$\dfrac{M_n}{n} -  \dfrac{M_k}{k}<  \dfrac{1}{n}\le \dfrac{1}{N}$이므로 $-\dfrac{1}{N}<\dfrac{M_k}{k} -  \dfrac{M_n}{n}<  \dfrac{1}{N}$이 되어

절댓값 정리로 $\left |\dfrac{M_n}{n} -  \dfrac{M_k}{k} \right | <  \dfrac{1}{N}$이고 위 정리로 $\left ( \dfrac{M_n}{n} \right )$은 유리수 코시수열이다.

실수의 정의로 실수 $x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}\left ( \dfrac{M_n}{n} \right ) $가 존재하고

위 정리와 실수 뺄셈의 정의로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}\left ( \dfrac{M_n-1}{n} \right ) =\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}\left ( \dfrac{M_n}{n} \right ) -\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}\left ( \dfrac{1}{n} \right ) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}\left ( \dfrac{M_n}{n} \right ) = x $이다.

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{M_n}{n}$이 $S$의 상계이므로 임의의 $s \in S$에 대해 $s\le \dfrac{M_n}{n}$이 되어

실수 정리로 $s \le \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}\left ( \dfrac{M_n}{n} \right )=x $이므로 $x$는 $S$의 상계이다.

또 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{M_n-1}{n}$이 $S$의 상계가 아니므로

어떤 $s_0 \in S$과 $S$의 모든 상계 $u \in \mathbb{R}$에 대해 $\dfrac{M_n-1}{n}< s_0 \le u$가 되어

실수 정리로 $x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}\left ( \dfrac{M_n-1}{n} \right )\le u $이고 $x$는 $S$의 상한이다.

 

 

 

정리9

공집합이 아닌 실수집합의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $S$가 위로 유계이면 $\sup S \in \mathbb{R}$가 유일하게 존재한다.

2. $S$가 아래로 유계이면 $\inf S \in \mathbb{R}$가 유일하게 존재한다.

3. $S$가 위로 유계일때 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $u < x$인 $S$의 상계 $u \in \mathbb{R}$가 존재하면 $x \notin S$이다.

4. $S$가 아래로 유계일때 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $x<w$인 $S$의 하계 $w \in \mathbb{R}$가 존재하면 $x \notin S$이다.

5. $S$가 위로 유계일때 $z \in \mathbb{R}$가 $S$의 상계가 아니면 $z < s_0$인 $s_0 \in S$이 존재한다.

6. $S$가 아래로 유계일때 $z \in \mathbb{R}$가 $S$의 하계가 아니면 $s_0 <z$인 $s_0 \in S$이 존재한다.

증명

1.

상한성으로 $S$의 상한이 존재하므로 $S$의 상한이 $u_1 ,u_2$라고 가정하면

$u_2$는 $S$의 상계이므로 $u_1 \le u_2$이고

$u_1$ 또한 $S$의 상계이므로 $u_2 \le u_1$이 되어 부등식 정리로 $u_1 = \sup S = u_2$이다.

2.

$S$가 아래로 유계이므로 $S$의 모든 하계들의 집합이 $W = \{w \in \mathbb{R} : \text{ 모든 } s \in S \text{ 에 대해 } w \le s  \}$일때

$-S = \left \{ -s : s \in S  \right \}$인 집합은 모든 $-s \in -S$에 대해 $-s \le -w$인 $w \in W$가 존재하므로 위로 유계가 되어

$-S$의 모든 상계들의 집합 $U = \{u \in \mathbb{R} : \text{ 모든 } -s \in -S \text{ 에 대해 } -s \le u  \}$는 공집합이 아니다.

또 $-W = \{ -w : w \in W \}$인 집합에 대해

모든 $w \in W$는 모든 $s \in S$에 대해 $w \le s$이고 $-s \le -w$이므로 $-w \in U$가 되어 $-W \subseteq U$이고

모든 $u \in U$는 모든 $-s \in -S$에 대해 $-s \le u$이고 $-u \le s$이므로 $-u \in W$가 되어 $u \in -W$이고 $U \subseteq -W$이므로

집합정리로 $-W = U$이다.

따라서 상한성으로 $-S$의 상한 $\sup (-S) \in \mathbb{R}$가 존재하고

모든 $-s \in -S$와 모든 $-w \in -W$에 대해 $-s \le \sup(-S) \le -w$이므로

모든 $s \in S$와 $S$의 모든 하계 $w \in W$에 대해 $w \le -\sup(-S) \le s$가 되어

$S$의 하한은 $-\sup(-S) = \inf S$이고 1번으로 $\sup (-S)$가 유일하므로 $\inf S$도 유일하다.

3.

$S$의 상계 $u$는 모든 $s \in S$에 대해 $s \le u$인데 $u<x$일때 $x \in S$이면 $u$는 $S$의 상계가 아니게 되어 모순이다.

4.

$S$의 하계 $w$는 모든 $s \in S$에 대해 $w\le s$인데 $x<w$일때 $x \in S$이면 $w$는 $S$의 하계가 아니게 되어 모순이다.

5.

$z$가 $S$의 상계가 아니면 모든 $s \in S$에 대해 $s \le z$가 아니므로 $z < s_0$인 $s_0 \in S$이 존재한다.

6.

$z$가 $S$의 하계가 아니면 모든 $s \in S$에 대해 $z \le s$가 아니므로 $s_0 < z$인 $s_0 \in S$이 존재한다.

 

 

 

정리1

임의의 $u \in \mathbb{R}$가 공집합이 아닌 $S \subset \mathbb{R}$의 상한이기 위한 필요충분조건은 다음을 만족하는 것이다.

1. 모든 $s \in S$에 대하여 $s \le u$이다.

2. $v < u$인 임의의 $v \in \mathbb{R}$에 대해 $v < \dot{s}$가 되는 $\dot{s} \in S$이 존재한다.

증명

$u$가 $S$의 상한이면 

$u$는 $S$의 상계이므로 모든 $s \in S$에 대하여 $s \le u$이고 $u$는 $S$의 상한이므로 $v < u$인 $v \in \mathbb{R}$는 상계가 아니다.

따라서 $v$에 대해 상계의 정의로 모든 $s \in S$에 대하여 $s \le v$가 아니므로 $v < \dot{s}$인 $\dot{s} \in S$가 존재한다.

역으로 1,2를 만족하면

1번으로 $u$는 $S$의 상계이고 $v < u$인 $S$의 상계 $v \in \mathbb{R}$가 존재한다고 가정하면

2번으로 $v < \dot{s}$가 되는 $\dot{s} \in S$이 존재하므로 $v$가 $S$의 상계임에 모순이 되어 $u$보다 작은 $S$의 상계는 존재하지 않는다.

따라서 $u$는 $S$의 상한이다.

 

 

 

정리2

공집합이 아닌 $S \subset \mathbb{R}$의 상계 $u \in \mathbb{R}$가 $S$의 상한이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $u-\epsilon < s_{\epsilon}$인 $s_{\epsilon} \in S$가 존재하는 것이다.

증명

$S$의 상계 $u$와 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $u-\epsilon < s_{\epsilon}$인 $s_{\epsilon} \in S$가 존재할때

$v<u$이면 $\epsilon = u - v >0$로 정의하여 $v = u - \epsilon < s_{\epsilon}$이므로 위 정리로 $u$는 $S$의 상한이다. 

역으로 $u$가 $S$의 상한이면

임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $u - \epsilon < u$이고 위 정리로 $u - \epsilon < s_{\epsilon}$인 $s_{\epsilon} \in S$가 존재한다.

 

 

 

정리3

공집합이 아니고 위로 유계인 $S \subset \mathbb{R}$와 임의의 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $\sup \left \{ a+ s : s\in S \right \} = a + \sup S$이다.

증명

상계의 정의로 모든 $s \in S$에 대해 $s \le \sup S$이므로 $a + s \le a + \sup S$이고 

$a + \sup S$는 집합 $\left \{ a+ s : s\in S \right \}$의 상계이므로 $\sup \left \{ a+ s : s\in S \right \} \le a + \sup S$이다.

$v$가 $\left \{ a+ s : s\in S \right \}$의 임의의 상계이면 모든 $s \in S$에 대해 $a + s \le v$이고 $s \le v-a$이므로 $v - a$는 $S$의 상계이다.

따라서 상한의 정의로 $\sup S \le v-a$이고 

$v$가 $\left \{ a+ s : s\in S \right \}$의 상한일때 $a + \sup S \le \sup \left \{ a+ s : s\in S \right \}  = v$이므로 

부등식 정리로 $\sup \left \{ a+ s : s\in S \right \} = a + \sup S$이다.

 

 

 

정리4

공집합이 아니고 위로 유계인 $S \subset \mathbb{R}$와 임의의 $a \ge 0$에 대해 $\sup \left \{ a\cdot s : s\in S \right \} = a\cdot \sup S$이다.

증명

상계의 정의로 모든 $s \in S$에 대해 $s \le \sup S$이므로 $a\cdot s \le a\cdot \sup S$이고 

$a \cdot \sup S$는 집합 $\left \{ a\cdot s : s\in S \right \}$의 상계이므로 $\sup \left \{ a\cdot s : s\in S \right \} \le a \cdot \sup S$이다.

$a = 0$이면 모든 $s\in S$에 대해 $a\cdot \sup S = 0\cdot \sup S = 0 = 0\cdot s = a\cdot s \le \sup \{ a\cdot s: s\in S\}$이므로

부등식 정리로 $\sup \left \{ a\cdot s : s\in S \right \} = a \cdot \sup S$이다.

$a> 0$일때 $v$가 $\left \{ a\cdot s : s\in S \right \}$의 임의의 상계이면 

모든 $s \in S$에 대해 $a\cdot s \le v$이고 $s \le \dfrac{v}{a}$이므로 $\dfrac{v}{a}$는 $S$의 상계가 되어

상한의 정의로 $\sup S \le \dfrac{v}{a}$이고 $v$가 $\left \{ a\cdot s : s\in S \right \}$의 상한일때

 $a \cdot \sup S \le \sup \left \{ a\cdot s : s\in S \right \}  = v$임에 따라 부등식 정리로 $\sup \left \{ a\cdot s : s\in S \right \} = a \cdot \sup S$이다.

 

 

 

정리5

임의의 $b < 0$와 공집합이 아닌 임의의 $S \subset \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $S$가 위로 유계이면 $\inf \left \{ b\cdot s : s\in S \right \} = b\cdot \sup S$이고

2. $S$가 아래로 유계이면 $\sup \left \{ b\cdot s : s\in S \right \} = b\cdot \inf S$이다.

3. $X \ne \emptyset$인 함수 $f: X \to \mathbb{R}$와 임의의 $c\in \mathbb{R}$에 대해 $\{ c\cdot f(x) : x\in X \} = \{ c \cdot y : y \in f(X)\}$이다.

4. $S$가 아래로 유계이면 임의의 $a \ge 0$에 대해 $\inf \left \{ a\cdot s : s\in S \right \} = a\cdot \inf S$이다.

증명

1.

$S$가 공집합이 아니고 위로 유계이면

상계의 정의로 모든 $s \in S$에 대해 $s \le \sup S$이므로 $b\cdot s \ge b\cdot \sup S$이고 

$b \cdot \sup S$는 집합 $\left \{ b\cdot s : s\in S \right \}$의 하계이므로 $ b \cdot \sup S \le \inf \left \{ b\cdot s : s\in S \right \}$이다.

$v$가 $\left \{ b\cdot s : s\in S \right \}$의 임의의 하계이면 

모든 $s \in S$에 대해 $v \le b\cdot s$이고 $\dfrac{v}{b} \ge s$이므로 $\dfrac{v}{b}$는 $S$의 상계이다.

따라서 상한의 정의로 $\dfrac{v}{b} \ge \sup S $이고

$v$가 $\left \{ b\cdot s : s\in S \right \}$의 하한일때 $ v = \inf \left \{ b\cdot s : s\in S \right \} \le b \cdot \sup S$이므로 

부등식 정리로 $\inf \left \{ b\cdot s : s\in S \right \} = b \cdot \sup S$이다.

2.

$S$가 공집합이 아니고 아래로 유계이면

하계의 정의로 모든 $s \in S$에 대해 $\inf S \le s$이므로 $b\cdot \inf S \ge b\cdot s  $이고 

$b \cdot \inf S$는 집합 $\left \{ b\cdot s : s\in S \right \}$의 상계이므로 $ b \cdot \inf S \ge \sup \left \{ b\cdot s : s\in S \right \}$이다.

$v$가 $\left \{ b\cdot s : s\in S \right \}$의 임의의 상계이면 

모든 $s \in S$에 대해 $v \ge b\cdot s$이고 $\dfrac{v}{b} \le s$이므로 $\dfrac{v}{b}$는 $S$의 하계이다.

따라서 하한의 정의로 $\dfrac{v}{b} \le \inf S $이고

$v$가 $\left \{ b\cdot s : s\in S \right \}$의 상한일때 $ v = \sup \left \{ b\cdot s : s\in S \right \} \ge b \cdot \inf S$이므로 

부등식 정리로 $\sup \left \{ b\cdot s : s\in S \right \} = b \cdot \inf S$이다.

3.

임의의 $s \in  \{ c\cdot f(x) : x\in X \} $는 $s = c\cdot f(x)$인 $x \in X$가 존재하여 $f(x) \in f(X)$이므로

$s = c\cdot f(x) \in \{ c\cdot y : y\in f(X)\}$이고 $\{ c\cdot f(x) : x\in X \} \subseteq \{ c \cdot y : y \in f(X)\}$이다.

임의의 $s \in \{ c \cdot y : y \in f(X)\}$는 $s = c\cdot y$인 $y\in f(X)$가 존재하여 $y = f(x)$인 $x\in X$가 존재하므로

$s = c\cdot y = c\cdot f(x) \in \{ c\cdot f(x) : x\in X \}$이고 $\{ c\cdot y : y \in f(X) \} \subseteq \{ c \cdot f(x) : x \in X\}$임에 따라

집합정리로 $\{ c\cdot f(x) : x\in X \} = \{ c \cdot y : y \in f(X)\}$이다.

4.

$a = 0$이면 

하계의 정의로 모든 $s \in S$에 대해 $\inf S \le s$이므로 $a\cdot \inf S \le a\cdot s$이고 

$a \cdot \inf S$는 집합 $\left \{ a\cdot s : s\in S \right \}$의 하계이므로 $a\cdot \inf S \le \inf \left \{ a\cdot s : s\in S \right \}$이다.

또 모든 $s\in S$에 대해 $\inf \{ a\cdot s: s\in S\}\le a\cdot s = 0\cdot s = 0 = 0\cdot \inf S = a\cdot \inf S$이므로

부등식 정리로 $\inf \left \{ a\cdot s : s\in S \right \} = a \cdot \inf S$이다.

$a>0$이면

$-S = \{ -s : s\in S\}$일때 3번으로 $\{ -a\cdot y : y\in -S\} = \{ -a \cdot (-s) : s\in S\} = \{ a\cdot s : s\in S\}$이고 

$-a < 0$이므로 1, 2번으로 $\sup (-S) =\sup \left \{ -s : s\in S \right \} = - \inf S$이고

$\inf \{ a\cdot s : s\in S\} = \inf \left \{ - a \cdot y : y \in -S \right \} = -a\cdot \sup (-S) = -a\cdot (-\inf S) = a\cdot \inf S$이다.

 

 

 

정리6

임의의 $A,B \subset \mathbb{R}$가 공집합이 아닐때

모든 $a \in A$와 모든 $b \in B$에 대해 $a \le b$이면 $\sup A \le \inf B$이다.

증명

모든 $a \in A$와 모든 $b \in B$에 대해 $a \le b$이므로 $b$는 $A$의 상계이고 $\sup A \le b $이다.

또 모든 $b \in B$에 대해 $\sup A \le b $이므로 $\sup A$는 $B$의 하계이고 $\sup A \le \inf B$이다.

 

 

 

정리7

공집합이 아닌 임의의 $A,B \subset \mathbb{R}$와 $X\ne \emptyset$이고 $Y\ne \emptyset$인 함수 $f: X \to \mathbb{R}$와 $g: Y\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A,B$가 위로 유계이면 $\sup \left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \}= \sup A + \sup B$이다.

2. $A,B$가 아래로 유계이면 $\inf \left \{ a + b: a\in A, b\in B \right \}= \inf A + \inf B$이다.

3. 함수의 상 $f(X)$와 $g(Y)$에 대해 $\{ f(x) + g(y) : x\in X,y\in Y\} = \{ s_1 +s_2 : s_1 \in f(X), s_2 \in g(Y)\}$이다.

4. $f(X)$와 $g(Y)$가 위로 유계이면 $\sup \{ f(x) + g(y) : x\in X,y\in Y\} = \sup f(X) + \sup g(Y)$이다.

5. $f(X)$와 $g(Y)$가 아래로 유계이면 $\inf \{ f(x) + g(y) : x\in X,y\in Y\} = \inf f(X) + \inf g(Y)$이다.

증명

1.

모든 $a \in A$와 모든 $b \in B$에 대해 $a \le \sup A$이고 $b \le \sup B$이므로 $a + b \le \sup A + \sup B$가 되어

$\sup A + \sup B$는 집합 $\left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \}$의 상계이므로 $\sup \left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \} \le \sup A + \sup B$이다.

또 모든 $a \in A$와 모든 $b \in B$에 대해 $a+ b \le \sup \left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \}$이므로

$a \le \sup \left \{ a + b: a\in A, b\in B \right \} - b$가 되어 $\sup \left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \} - b$는 $A$의 상계이므로

$a \le \sup A \le \sup \left \{ a + b: a\in A, b\in B \right \} - b$이고 $b \le \sup \left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \} - \sup A$가 되어

$\sup \left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \} - \sup A$는 $B$의 상계이므로 $b \le \sup B \le \sup \left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \} - \sup A$이다.

따라서 $ \sup A +\sup B \le \sup \left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \}$이므로

부등식 정리로 $\sup \left \{ a + b : a\in A, b\in B \right \} = \sup A + \sup B$이다.

2.

위 정리와 1번으로

$\begin{align*} -\inf \{ a+ b  : a\in A, b\in B\} & =\sup \{ -(a + b) : a\in A, b\in B \} \\[0.5em] &= \sup \{ (-a) + (-b) : a\in A, b\in B \} \\[0.5em] &= \sup \{ -a : a\in A\} + \sup \{ -b : b\in B \} \\[0.5em] & = - \inf A - \inf B \text{ 이므로}\end{align*}$

$\inf \left \{ a + b: a\in A, b\in B \right \}= \inf A + \inf B$이다.

3.

임의의 $s\in \{ f(x) + g(y) : x\in X,y\in Y\}$는 $s = f(x) + g(y)$인 $x\in X$와 $y\in Y$가 존재하여

$f(x) \in f(X)$이고 $g(y) \in g(Y)$이므로 $s = f(x) + g(y) \in \{ s_1 +s_2 : s_1 \in f(X), s_2 \in g(Y)\}$이고

$\{ f(x) + g(y) : x\in X,y\in Y\} \subseteq \{ s_1 +s_2 : s_1 \in f(X), s_2 \in g(Y)\}$이다.

임의의 $s\in \{ s_1 +s_2 : s_1 \in f(X), s_2 \in g(Y)\}$는 $s = s_1+s_2$인 $s_1 \in f(X)$과 $s_2 \in g(Y)$가 존재하여

$s_1 = f(x)$인 $x\in X$와 $s_2 = g(y)$인 $y\in Y$가 존재하므로

$s = s_1+s_2 = f(x) + g(y) \in \{ f(x) + g(y) : x\in X,y\in Y\} $임에 따라

$ \{ s_1 +s_2 : s_1 \in f(X), s_2 \in g(Y)\} \subseteq \{ f(x) + g(y) : x\in X , y\in Y\}$이고

집합정리로 $\{ f(x) + g(y) : x\in X,y\in Y\} = \{ s_1 +s_2 : s_1 \in f(X), s_2 \in g(Y)\}$이다.

4.

1, 3번으로 $\sup \{ f(x) + g(y) : x\in X,y\in Y\} = \sup \{ s_1 + s_2 : s_1\in f(X), s_2\in g(Y)\} = \sup f(X) + \sup g(Y)$

5.

2, 3번으로 $\inf \{ f(x) + g(y) : x\in X,y\in Y\} = \inf \{ s_1 + s_2 : s_1\in f(X), s_2\in g(Y)\} = \inf f(X) + \inf g(Y)$

 

 

 

정리8

공집합이 아닌 $S \subset \mathbb{R}$의 하계 $w\in \mathbb{R}$가 $S$의 하한이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $s_{\epsilon}< w+\epsilon $인 $s_{\epsilon} \in S$가 존재하는 것이다.

증명

$w$가 $S$의 하한이면 위 정리로 $-w$는 $\left \{ -s : s \in S  \right \}$의 상한이므로

위 정리로 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $-w -\epsilon < -s_{\epsilon}$인 $s_{\epsilon} \in S$가 존재하여 $s_{\epsilon}< w+\epsilon $이다.

역으로 하계 $w$와 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $s_{\epsilon}< w+\epsilon $인 $s_{\epsilon} \in S$가 존재하면

모든 $s \in S$에 대해 $w\le s$이므로 $-s \le -w$가 되어 $-w$는 $\left \{ -s : s \in S  \right \}$의 상계이고

$-w -\epsilon < -s_{\epsilon}$이므로 위 정리로 $-w$는 $\left \{ -s : s \in S  \right \}$의 상한이 되어 위 정리로 $w$는 $S$의 하한이다.

 

 

 

정리15

$S \subseteq A \subseteq \mathbb{R}$인 집합 $S,A$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A$가 위로 유계이면 $S$도 위로 유계이고 $\sup S \le \sup A$이다.

2. $A$가 아래로 유계이면 $S$도 아래로 유계이고 $\inf A \le \inf S$이다.

3. $A$가 유계이면 $S$도 유계이고 $\inf A \le \inf S \le \sup S \le \sup A$이다.

증명

1.

모든 $a \in A$에 대해 상한 $\sup A$는 상계의 정의로 $a \le \sup A$이고

$S\subseteq A$이므로 모든 $s \in S$는 $s \in A$이고 $s \le \sup A$이다.

따라서 $\sup A$는 $S$의 상계이므로 $s \le \sup S \le \sup A$이다.

2.

모든 $a \in A$에 대해 하한 $\inf A$는 하계의 정의로 $ \inf A \le a$이고

$S\subseteq A$이므로 모든 $s \in S$는 $s \in A$이고 $ \inf A \le s $이다.

따라서 $\inf A$는 $S$의 하계이므로 $\inf A \le \inf S \le s$이다.

3.

1번과 2번으로 모든 $s \in S$에 대해 $\inf A \le \inf S \le  s \le \sup S \le \sup A$이다.

 

 

 

정의3

집합 $S$가 실수 집합 $\mathbb{R}$의 공집합이 아닌 부분집합일때

최대 원소(greatest element)  : 

모든 $s \in S$에 대하여 $s \le u$인 $u \in S$가 존재하면 $u$를 $S$의 최대 원소라 하고 $u = \max S$로 표기한다.

최소 원소(least element) :

모든 $s \in S$에 대하여 $w \le s$인 $w \in S$가 존재하면 $w$를 $S$의 최소 원소라 하고 $w = \min S$로 표기한다.

 

 

 

정리10

공집합이 아닌 실수 집합의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $S$가 아래로 유계일때 $\inf S \in S$이면 $\inf $ $S = $ $\min$ $ S$이다.

2. $S$가 위로 유계일때 $\sup S \in S$이면 $\sup $ $S = $ $\max$ $ S$이다.

3. $\min S$가 존재하면 $\inf S = \min S$이다.

4. $\max S$가 존재하면 $\sup S = \max S$이다.

증명

1.

$\inf S \in S$이고 하계의 정의로 모든 $s \in S$에 대해 $\inf S \le s$이므로 최소 원소의 정의로 $\inf S = \min S$이다.

2.

$\sup S \in S$이고 상계의 정의로 모든 $s \in S$에 대해 $s \le \sup S $이므로 최대 원소의 정의로 $\sup S = \max S$이다.

3.

최소 원소의 정의로 모든 $s \in S$에 대해 $\min S \le s$이므로 $\min S$는 $S$의 하계이고

모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $\min S < \min S + \epsilon $이고 $\min S \in S$이므로 하한 정리로 $\inf S = \min S$이다.

4.

최대 원소의 정의로 모든 $s \in S$에 대해 $s \le \max S$이므로 $\max S$는 상계이고

모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $\max S - \epsilon < \max S$이고 $\max S \in S$이므로 상한 정리로 $\sup S = \max S$이다

 

 

 

정리11

공집합이 아닌 실수 집합의 부분집합 $S_1, S_2 \subseteq \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\min$ $ S_1$과 $\min S_2$가 존재하면 $\min (S_1 \cup S_2) = \min \{ \min S_1 , \min S_2 \}$이다.

2. $\max$ $ S_1$과 $\max S_2$가 존재하면 $\max (S_1 \cup S_2) = \max \{ \max S_1 , \max S_2 \}$이다.

증명

1.

모든 $s_1 \in S_1$에 대해 $\min \{ \min S_1, \min S_2 \} \le \min S_1 \le s_1 $이고 

모든 $s_2 \in S_2$에 대해 $\min \{ \min S_1, \min S_2 \} \le \min S_2 \le s_2$이므로

모든 $s \in S_1 \cup S_2$에 대해 $\min \{ \min S_1 , \min S_2 \} \le s$이다.

또 $\min S_1 \in S_1$이고 $\min S_2 \in S_2$이므로

$\min S_1, \min S_2 \in S_1 \cup S_2$이고 $\min \{ \min S_1 , \min S_2 \} \in S_1 \cup S_2$이다.

따라서 $\min (S_1 \cup S_2) = \min \{ \min S_1 , \min S_2 \}$이다.

2.

모든 $s_1 \in S_1$에 대해 $ s_1 \le \max S_1 \le \max \{ \max S_1, \max S_2 \} $이고

모든 $s_2 \in S_2$에 대해 $s_2 \le \max S_2 \le \max \{ \max S_1, \max S_2 \} $이므로

모든 $s \in S_1 \cup S_2$에 대해 $s \le \max \{ \max S_1 , \max S_2 \} $이다.

또 $\max S_1 \in S_1$이고 $\max S_2 \in S_2$이므로

$\max S_1, \max S_2 \in S_1 \cup S_2$이고 $\max \{ \max S_1 , \max S_2 \} \in S_1 \cup S_2$이다.

따라서 $\max (S_1 \cup S_2) = \max \{ \max S_1 , \max S_2 \}$이다.

 

 

 

정리12

공집합이 아닌 실수 집합의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $S \subseteq $ $\mathbb{N}$ $ = \{ 0, 1 , 2,\cdots  \}$이면 $\inf $ $S = $ $\min$ $S$가 존재한다.

2. $S \subseteq \mathbb{Z} \setminus \mathbb{Z}^+ = \{  \cdots, -2,-1, 0  \}$이면 $\sup $ $S = $ $\max$ $ S $가 존재한다.

증명

1.

$S \subseteq \mathbb{N}$이므로 정렬성으로 최소 원소 $\min S$가 존재하여 위 정리로 $\inf S = \min S$이다.

2.

모든 $s \in S$에 대해 $ s\le 0$이므로 $S$는 위로 유계이다.

또 $S \subseteq \{ \cdots, -2, -1, 0 \}$이므로 $\{ -s : s\in S \} \subseteq \{ 0,1,2,\cdots \}$이 되어

1번과 위 정리로 $\min \{ -s : s\in S \} = \inf  \{ - s : s\in S \} = - \sup S$이다.

따라서 최소 원소의 정의로 $-\sup S \in  \{-s : s \in S \} $이므로 $\sup S \in S$가 되어 위 정리로 $\sup S = \max S$이다.

 

 

 

정리14

공집합이 아닌 실수집합의 부분집합 $S \subseteq \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $S$가 유계이고 $\inf S = \sup S \in S$이기 위한 필요충분조건은 $S$가 $1$개의 원소만 갖는 유한집합인 것이다.

2. $S$가 유한집합이면 $\min S$와 $\max S$가 존재한다.

증명

1.

$\inf S = \sup S \in S$이면

모든 $s \in S$에 대해 $\sup S= \inf S \le s$이고 $s \le \sup S = \inf S$이므로 부등식 정리로 $\inf S = s = \sup S$이다.

$s \ne x$인 $x \in S$가 존재하면 $x <  \inf S = s $이거나 $s = \sup S < x$이므로

위 정리에 모순이 되어 $S$는 $1$개의 원소만 갖는 유한집합이다.

역으로 $S$가 $1$개의 원소만 갖는 유한집합이면

모든 $s, x \in S$에 대해 $s = x$이므로 $s\le x \le s$가 되어 $s$는 $S$의 상계이고 하계이다.

또 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$s < s + \epsilon$이고 $s \in S$이므로 하한 정리로 $\inf S = s$이고

$s - \epsilon < s$이고 $s \in S$이므로 상한 정리로 $\sup S = s$가 되어 $\inf S = s = \sup S$이다.

2.

$S$의 원소개수 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$이면 1번으로 $s \in S$에 대해 $\inf S = s = \sup S$이므로 위 정리로 $\min S$와 $\max S$가 존재한다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 원소개수가 $k$개인 유한집합 $S$의 $\min S$와 $\max S$가 존재한다고 가정할때

$S$의 원소개수가 $k+1$개이면

임의의 $x \in S$에 대해 집합 $S $ $\setminus$ $\{x\}$는 유한집합 정리로 $k$개의 원소를 가지므로

$\min (S\setminus \{x\})$와 $\max (S\setminus \{x\})$가 존재하고 $\min \{ x\} = \max\{x\}$가 존재하므로 위 정리로

$\min S = \min ( (S \setminus \{ x\} ) \cup \{ x \}) = \min \{ \min (S\setminus \{ x\}) , \min \{x\} \}$이고

$\max S = \max ( (S\setminus \{ x\}) \cup \{x\})  = \max \{ \max (S\setminus \{ x \}) , \max \{x\} \}$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 원소개수가 $n$개인 유한집합 $S$는 $\min S$와 $\max S$가 존재한다.

 

 

 

정리13

임의의 실수 $a ,b \in \mathbb{R}$에 대해

$\max \{a, b\} = \dfrac{1}{2}(a + b + |a - b|)$이고 $\min \{a,b \} = \dfrac{1}{2}(a + b - |a - b|)$이다.

증명

위 정리로 $\max \{ a,b \}$와 $\min \{ a,b \}$가 존재한다.

$a = b$일때

집합의 상등으로 $\{ a,b \} = \{ a\}$이고

최소, 최대 원소의 정의로 $\max \{ a\}, \min \{ a \} \in \{ a \}$이므로 단일 원소집합의 정의로 $\min \{ a \} = a=\max \{ a\}$이다.

또 절댓값 정리로 $|a -b| = |a-a| = 0$이므로

$ \max \{a, b\} = \max \{ a \} = a =  \dfrac{1}{2} (a+ a) = \dfrac{1}{2} (a+a + |a-a|) = \dfrac{1}{2}(a + b + |a - b|)$이고

$ \min\{a, b\} = \min \{ a \} = a =  \dfrac{1}{2} (a+ a) = \dfrac{1}{2} (a+a - |a-a|) = \dfrac{1}{2}(a + b - |a - b|)$이다.

$a \ne b$일때

일반성을 잃지 않고 $a > b$라고 가정하면 

두 원소집합의 정의로 모든 $x \in \{ a,b \}$는 $x = a$ 또는 $x =b$이므로 $\min \{ a,b \} = b \le x \le a = \max \{ a,b \}$이다.

또 $a -b > 0$이므로 절댓값의 정의로

$\dfrac{1}{2}(a + b + |a - b|) = \dfrac{1}{2}(a + b + a - b) = a$이고

$\dfrac{1}{2}(a + b - |a - b|) = \dfrac{1}{2}(a + b - (a - b)) = b$가 되어

$\max \{a, b\}= a = \dfrac{1}{2}(a + b + |a - b|)$이고 $\min \{a,b \} = b = \dfrac{1}{2}(a + b - |a - b|)$이다.

 

 

 

정리18

임의의 집합 $X$와 임의의 함수 $f,g: X\to \mathbb{R}$에 대해 임의의 부분집합 $A\subseteq X$가 공집합이 아니면

함수의 상 $f(A) = \{ f(x) : x\in A\},g(A) =\{g(x) : x\in A\} \subseteq \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f(A),g(A)$가 위로 유계이면 $\sup \{ f(x) + g(x) : x\in A\} \le \sup \{ f(x) : x\in A\} + \sup \{ g(x) : x\in A\}$이다.

2. $f(A),g(A)$가 아래로 유계이면 $\inf \{ f(x) : x\in A\} + \inf \{ g(x) : x\in A\} \le \inf \{ f(x) + g(x) : x\in A\}$이다.

3. $f(A)$가 위로 유계이면 임의의 $a \ge 0$에 대해 $\sup \left \{ a\cdot f(x) : x \in A \right \} = a\cdot \sup f(A)$이다.

4. $f(A)$가 아래로 유계이면 임의의 $a \ge 0$에 대해 $\inf \left \{ a\cdot f(x) : x \in A \right \} = a\cdot \inf f(A)$이다.

5. $f(A)$가 위로 유계이면 임의의 $b < 0$에 대해 $\inf \left \{ b\cdot f(x) : x\in A \right \} = b\cdot \sup f(A)$이다.

6. $f(A)$가 아래로 유계이면 임의의 $b < 0$에 대해 $\sup \left \{ b\cdot f(x) : x \in A \right \} = b\cdot \inf f(A)$이다.

증명

1.

상계의 정의로 모든 $x \in A$에 대해 $f(x) \le \sup f(A)$이고 $g(x) \le \sup g(A)$이므로

$f(x) + g(x) \le \sup f(A) + \sup g(A)$가 되어 $\sup f(A) + \sup g(A)$는 $\{ f(x) + g(x) : x\in A\}$의 상계이고 

상한의 정의로

$f(x) + g(x) \le \sup \{ f(x) + g(x) : x\in A\} \le \sup f(A) +\sup g(A) =\sup \{ f(x) : x\in A\} + \sup \{ g(x) : x\in A\}\text{ 이다.}$

2.

위 정리와 1번으로

$\begin{align*} -\inf \{ f(x)+ g(x)  : x\in A\} & =\sup \{ -(f(x) + g(x)) : x\in A \} \\[0.5em] &= \sup \{ (-f(x)) + (-g(x)) : x\in A \} \\[0.5em] &\le \sup \{ -f(x) : x\in A\} + \sup \{ -g(x) : x\in A \}  = - \inf \{ f(x) : x\in A\} - \inf \{g(x) : x\in A\} \text{ 이므로}\end{align*}$

$\inf \{ f(x) : x\in A\} + \inf \{ g(x) : x\in A\} \le \inf \{ f(x) + g(x) : x\in A\}$이다.

3.

위 정리와 위 정리로 $\sup \left \{ a\cdot f(x) : x \in A \right \} = \sup \{ a\cdot y : y\in f(A)\}= a\cdot \sup f(A)$이다.

4.

위 정리로 $\inf \left \{ a\cdot f(x) : x \in A \right \} = \inf \{ a\cdot y : y\in f(A)\}= a\cdot \inf f(A)$이다.

5.

위 정리로 $\inf \left \{ b\cdot f(x) : x\in A \right \} = \inf \{ b\cdot y : y\in f(A)\} = b\cdot \sup f(A)$이다.

6.

위 정리로 $\sup \left \{ b\cdot f(x) : x \in A \right \} = \sup \{ b\cdot y : y\in f(A)\} = b\cdot \inf f(A)$이다.

 

 

 

정리19

공집합이 아닌 임의의 집합 $X,Y$와 임의의 함수 $h: X\times Y \to \mathbb{R}$에 대해

$h$의 치역 $h(X\times Y) = \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\}\subseteq \mathbb{R}$가 유계일때

모든 $x \in X$에 대해 $f(x) =\sup \{ h(x,y) : y\in Y\}$인 함수 $f : X\to \mathbb{R}$와

모든 $y\in Y$에 대해 $g(y) = \inf \{ h(x,y) : x\in X\}$인 함수 $g:Y\to \mathbb{R}$는

$\sup \{ g(y) : y\in Y \}\le \inf \{ f(x) : x\in X\}$이다.

증명

하계, 상계의 정의로 모든 $x_0\in X$와 모든 $y_0\in Y$에 대해

$g(y_0)=\inf \{ h(x,y_0) : x\in X\}\le h(x_0,y_0) \le \sup \{ h(x_0,y) : y\in Y \} = f(x_0)$이므로

하한, 상한의 정의로

$g(y_0) \le \sup \{ g(y) : y\in Y\} \le f(x_0)$이고 $\sup \{ g(y) : y\in Y\} \le \inf \{f(x) : x\in X\} \le f(x_0)$이다.

 

 

 

정리20

공집합이 아닌 임의의 집합 $X,Y$와 임의의 함수 $h: X\times Y \to \mathbb{R}$에 대해

$h$의 치역 $h(X\times Y) = \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\}\subseteq \mathbb{R}$가 위로 유계일때

모든 $x \in X$에 대해 $f(x) =\sup \{ h(x,y) : y\in Y\}$인 함수 $f : X\to \mathbb{R}$와

모든 $y\in Y$에 대해 $g(y) = \sup \{ h(x,y) : x\in X\}$인 함수 $g:Y\to \mathbb{R}$는

$\sup \{ g(y) : y\in Y \} = \sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} =\sup \{ f(x) : x\in X\}$이다.

증명

상계의 정의로 모든 $x_0\in X$와 모든 $y_0\in Y$에 대해

$h(x_0,y_0) \le \sup \{ h(x_0,y) : y\in Y \} = f(x_0)\le \sup \{ f(x) : x\in X\}$이고

$h(x_0,y_0)\le \sup \{ h(x,y_0) : x\in X\} = g(y_0)\le \sup \{ g(y) : y\in Y \}$이므로 상한의 정의로

$h(x_0,y_0)\le \sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} \le \sup \{ f(x) : x\in X\}$이고

$h(x_0,y_0)\le \sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} \le \sup \{ g(y) : y\in Y\}$이다.

$\sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} < \sup \{ f(x) : x\in X\}$라고 가정하면 위 정리로

$\sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} < \sup \{ h(x_0,y) :y \in Y \} =f(x_0) \le \sup \{ f(x) : x\in X\}$인 $x_0 \in X$이 존재하여

$\sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} < h(x_0,y_0) \le \sup \{ h(x_0,y) :y \in Y \} $인 $y_0 \in Y$이 존재하므로 모순이고

$\sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} < \sup \{ g(y) : y\in Y\}$라고 가정하면 위 정리로

$\sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} < \sup \{ h(x,y_0) :x \in X \} =g(y_0) \le \sup \{ g(y) : y\in Y\}$인 $y_0 \in Y$이 존재하여

$\sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} < h(x_0,y_0) \le \sup \{ h(x,y_0) :x \in X \} $인 $x_0 \in X$이 존재하므로 모순이다.

따라서 $\sup \{ g(y) : y\in Y \} = \sup \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} =\sup \{ f(x) : x\in X\}$이다.

 

 

 

정리21

공집합이 아닌 임의의 집합 $X,Y$와 임의의 함수 $h: X\times Y \to \mathbb{R}$에 대해

$h$의 치역 $h(X\times Y) = \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\}\subseteq \mathbb{R}$가 아래로 유계일때

모든 $x \in X$에 대해 $f(x) =\inf \{ h(x,y) : y\in Y\}$인 함수 $f : X\to \mathbb{R}$와

모든 $y\in Y$에 대해 $g(y) = \inf \{ h(x,y) : x\in X\}$인 함수 $g:Y\to \mathbb{R}$는

$\inf \{ g(y) : y\in Y \} = \inf \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} =\inf \{ f(x) : x\in X\}$이다.

증명

위 정리로

모든 $x \in X$에 대해 $-f(x) = -\inf \{ h(x,y) : y\in Y\} = \sup\{-h(x,y) : y\in Y\}$이고

모든 $y\in Y$에 대해 $-g(y) = -\inf \{ h(x,y) : x\in X\} = \sup \{ -h(x,y) : x\in X\}$이므로

위 정리와 위 정리로

$\begin{align*} -\inf \{ h(x,y) : x\in X,y\in Y\} & =\sup \{ -h(x,y) : x\in X,y\in Y \} = \sup \{ -f(x) : x\in X\} = - \inf \{ f(x) : x\in X\} \text{ 와}\end{align*}$

$\begin{align*} -\inf \{ h(x,y) : x\in X,y\in Y\} & =\sup \{ -h(x,y) : x\in X,y\in Y \} = \sup \{ -g(y) : y\in Y\} = - \inf \{ g(y) : y\in Y\} \text{ 가 성립하여}\end{align*}$

$\inf \{ g(y) : y\in Y \} = \inf \{ h(x,y) : x\in X, y\in Y\} =\inf \{ f(x) : x\in X\}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/11#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/11#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662