아르키메데스 성질(Archimedean property)

정리5

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \ge 0$인 유리수 코시수열 $(x_n)$으로 구성된 실수는 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \ge 0$이다.

증명

$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) < 0$이라고 가정하면

음의 실수정의로 어떤 양의 유리수 $c \in \mathbb{Q}^+$이 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $y_n \le -c < 0$이고

$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$인 유리수 코시수열 $(y_n)$이 존재하여

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $-x_n \le 0$이므로 $ -|x_n -y_n | = y_n -x_n \le -c < -\dfrac{c}{2} < 0 \le x_n$이고 $\dfrac{c}{2} < |x_n -y_n|$이다.

하지만 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이므로 실수의 상등으로

$n \ge K(\frac{c}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \dfrac{c}{2}$이 되는 $K(\frac{c}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$\dfrac{c}{2} < |x_n -y_n| \le \dfrac{c}{2}$로 삼분법에 모순이므로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \ge 0$이다.

 

 

 

정리6

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \ge y_n$인 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n)$으로 구성된 실수는 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \ge \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이다.

증명

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \ge y_n$이면 $x_n - y_n \ge 0$이고

유리수 코시수열 정리로 $(x_n - y_n)$은 유리수 코시수열이므로 위 정리로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n-y_n) \ge 0$이다.

따라서 실수 뺄셈 정의로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n-y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) - \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이므로

부등식 정리로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) - \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \ge 0 + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이다.

 

 

 

정리7

임의의 양의 실수 $x \in \mathbb{R}^+$에 대해 $q\le x \le M$인 양의 유리수 $q \in \mathbb{Q}^+$와 양의 정수 $M \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

증명

양의 실수정의로 어떤 양의 유리수 $q \in \mathbb{Q}^+$에 대해

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $0< q \le x_n $이고 $x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) $인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재한다.

또 유리수 코시수열 정리로 $(x_n)$은 유계이므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $0< q \le x_n \le r$이 되는 $r \in \mathbb{Q}^+$이 존재하고

유리수 정리로 $r < M$인 자연수 $M \in \mathbb{N}$이 존재하여 $0<r < M$이므로 정수 부등식 정리로 $M \in \mathbb{Z}^+$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $0< q \le x_n \le r < M $이고 유리수 코시수열 정리로 $(q),(M)$은 유리수 코시수열이므로

위 정리와 실수의 정의로 $ q = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(q) \le x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \le \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(M) = M$이다.

 

 

 

정리8(아르키메데스 성질)

다음이 성립한다.

1. 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$와 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $N \cdot \epsilon \ge x$가 성립하는 양의 정수 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

2. 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$와 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $M\cdot \epsilon > x$가 성립하는 양의 정수 $M \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

3. 임의의 양의 실수 $x \in \mathbb{R}^+$에 대해 $0 < \dfrac{1}{N} < x$인 양의 정수 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

4. 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $N\le x < N +1$인 정수 $N \in \mathbb{Z}$이 유일하게 존재한다.

증명

1.

삼분법으로 $x \le 0$이거나 $0 < x$이므로

$x \le 0$이면 $x \le 0 < \epsilon =1 \cdot \epsilon $인 $1 \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

$0 < x$이면

$\epsilon > 0$이므로 역원 부등식 정리로 $\dfrac{1}{\epsilon} > 0$이고 부등식 연산 정리로 $\dfrac{x}{\epsilon} > 0$이 되어

위 정리로 $ 0< \dfrac{x}{\epsilon }\le N $인 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $\epsilon >0$에 대해 부등식 연산 정리로 $x = \dfrac{x}{\epsilon}\cdot \epsilon \le N\cdot \epsilon$이다.

2.

$\epsilon > 0$이므로 역원 부등식 정리로 $\dfrac{1}{\epsilon} > 0$이고

$\dfrac{x}{\epsilon } \in \mathbb{R}$과 $1 > 0$에 대해 1번으로 $\dfrac{x}{\epsilon }\le N \cdot 1 = N $인 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$ \dfrac{x}{\epsilon }\le N <N+1 = M$인 $M \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\epsilon > 0$에 대해 부등식 연산 정리로 $x = \dfrac{x}{\epsilon}\cdot \epsilon < M\cdot \epsilon$이 된다.

3.

$1 \in \mathbb{R}$과 $x > 0$에 대해 2번으로 $1 < N\cdot x$인 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

역원 부등식 정리와 부등식 연산 정리로 $0<\dfrac{1}{N}<x$이다.

4. 

존재성

삼분법으로 $x < 1$ 또는 $x = 1$ 또는 $1 < x$이므로

$1 < x$이면

$0 < x -1$이고 2번으로 집합 $E = \left \{ m\in \mathbb{Z}^+ : x-1 < m \right \}$는 공집합이 아니므로

정렬성으로 $E$의 최소 원소 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $N - 1 \notin E$은 $N-1\notin \mathbb{Z}^+$이거나 $N-1\le x-1$이다.

$N-1\notin \mathbb{Z}^+$일때

$1 \in \mathbb{Z}$이므로 정수 뺄셈의 정의로 $N -1 \in \mathbb{Z}$이고

$N \in \mathbb{Z}^+$이므로 정수 부등식 정리로 $0 < N$이고 정수 정리로 $1\le N$이다.

부등식 연산 정리로 $0\le N -1 $이고 $1\le N-1$이면 $N -1 \in \mathbb{Z}^+$이 되어 모순이므로

$0\le N -1 < 1$이고 정수 정리로 $0< N-1 <1$은 정수가 아니므로 $N -1 = 0$이다.

또 $N \in E$이므로 $N-1 = 0< x -1 < N$이 되어 부등식 연산 정리로 $N < x < N +1$이다.

$N-1\le x-1$일때

$N \in E$이므로 $N -1 \le x-1 < N$이 되어 부등식 연산 정리로 $N \le x < N +1$이다.

$x < 1$이면

$0 < 1-x$이고 1번으로 집합 $E = \left \{ m\in \mathbb{Z}^+ : 1-x \le m \right \}$는 공집합이 아니므로

정렬성으로 $E$의 최소 원소 $M \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $M - 1 \notin E$은 $M-1\notin \mathbb{Z}^+$이거나 $M-1< 1-x$이다.

$M-1\notin \mathbb{Z}^+$일때 $1 \in \mathbb{Z}$이므로 정수 뺄셈의 정의로 $M -1 \in \mathbb{Z}$이고

$M \in \mathbb{Z}^+$이므로 정수 부등식 정리로 $0 < M$이고 정수 정리로 $1\le M$이다.

부등식 연산 정리로 $0\le M -1 $이고 $1\le M-1$이면 $M -1 \in \mathbb{Z}^+$이 되어 모순이므로

$0\le M -1 < 1$이고 정수 정리로 $0< M-1 <1$은 정수가 아니므로 $M -1 = 0$이다.

또 $M \in E$이므로 $M-1 = 0< 1-x < M$이 되어

부등식 연산 정리로 $-M < x-1 <1-M$이고 $-M +1 < x < -M +2$이다.

$M-1< 1-x$일때 $M \in E$이므로 $M-1< 1-x \le M$이 되어

부등식 연산 정리로 $-M \le x-1 < -M+1$이고 $-M +1 \le x < -M +2$이다.

따라서 $-M \in \mathbb{Z}$이므로 $N = -M +1$이면 $N\le x < N +1$인 $N \in \mathbb{Z}$이 존재한다.

$x = 1$이면 $1\le x< 1+1$인 $1\in \mathbb{Z}$이 존재한다.

유일성

$N_1\le x < N_1 +1$이고 $N_2 \le x < N_2 +1$인 $N_1,N_2 \in \mathbb{Z}$가 존재하면

$N_1\le x < N_2 +1$이고 $N_1 \le x < N_2 +1$이므로 $N_1 -1< N_2$와 $N_2 -1< N_1$이 성립하여

정수 부등식 정리로 $N_1 \le N_2$이고 $N_2 \le N_1$이므로 정수 부등식 반대칭성으로 $N_1 = N_2$이다.

 

 

 

정리1(완비성을 사용한 아르키메데스 성질)

임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $x <n_{x}$가 되는 양의 정수 $n_{x} \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

증명

$x <n_{x}$인 $n_{x}$가 존재하지 않는다면 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n \le x$이므로 $x$는 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$의 상계이다.

완비성에 따라 $\mathbb{Z}^+$은 상한 $u \in \mathbb{Z}^+$를 가지므로 상한정리로 $u -1 < m$인 $m \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

하지만 $u < m+1$인 $m+1 \in \mathbb{Z}^+$은 양의 정수이므로 $u$는 $\mathbb{Z}^+$의 상계가 아니게 되어 가정에 모순이다.

따라서 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $x <n_{x}$가 되는 양의 정수 $n_{x} \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

 

 

 

정리2

집합 $S = \left \{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{Z}^+ \right \}$의 하한은 $\inf S = 0$이다.

증명

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0< \dfrac{1}{n}$이므로 $S$는 아래로 유계이고 완비성에 따라 하한 $0 \le \inf S \in \mathbb{R}$이 존재한다.

위 정리로 임의의 $\epsilon >0$에 대해 $\dfrac{1}{\epsilon} < n_{\epsilon}$인 $n_{\epsilon} \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $\dfrac{1}{n_{\epsilon}} < \epsilon$이다.

따라서 모든 $\epsilon >0$에 대해 $0 \le \inf S \le \dfrac{1}{n_{\epsilon}} < \epsilon$이므로 부등식 정리로 $\inf S = 0$이다.

 

 

 

정리3

임의의 $t > 0$에 대해 $0 < \dfrac{1}{n_{t}} < t$인 $n_{t} \in $ $\mathbb{Z}^+$가 존재한다.

증명

위 정리로 $\inf  \left \{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{Z}^+ \right \} = 0$이므로 하한 정리로 모든 $t> 0$에 대해 $\dfrac{1}{n_t} < 0 + t = t $인 $n_{t} \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

 

 

 

정리4

임의의 $y >0$에 대해 $n_{y}-1 \le y < n_{y}$인 $n_{y} \in $ $\mathbb{Z}^+$가 존재한다.

증명

위 정리로 집합 $E_{y} = \left \{ m\in \mathbb{Z}^+ : y < m \right \}$는 공집합이 아니고

$E_{y} \subseteq \mathbb{Z}^+ \subset \mathbb{N}$이므로 정렬성에 의해 $E_{y}$의 최소 원소 $n_{y} \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$n_y - 1 \notin E$은 $n_y -1\notin \mathbb{Z}^+$이거나 $n_y-1\le y$이다.

$n_y-1\notin \mathbb{Z}^+$이면 $1 \in \mathbb{Z}$이므로 정수 뺄셈의 정의로 $n_y -1 \in \mathbb{Z}$이고

$n_y \in \mathbb{Z}^+$이므로 정수 부등식 정리로 $0 < n_y$이고 정수 정리로 $1\le n_y$이다.

부등식 연산 정리로 $0\le n_y -1 $이고 $1\le n_y-1$이면 $n_y -1 \in \mathbb{Z}^+$이 되어 모순이므로

$0\le n_y -1 < 1$이고 정수 정리로 $0< n_y-1 <1$은 정수가 아니므로

$n_y -1 = 0$이 되어 $n_y \in E_y$이므로 $n_y-1 = 0<y< n_y$이다.

또 $n_y-1\le y$이면 $n_y \in E_y$이므로 $n_y -1 \le y < n_y$이다.

 

 

 

정리9

$p > 1$이고 $x>0$인 임의의 실수 $p,x \in \mathbb{R}$에 대해 $0 < \dfrac{1}{p^N} < x$인 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

증명

부등식 정리로 $0<\dfrac{1}{p}$이므로 거듭제곱의 정의와 실수 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0< \left ( \dfrac{1}{p}\right )^n = \dfrac{1}{p^n}$이고 

부등식 정리로 $0< \dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{p} \cdot 1 < \dfrac{1}{p}\cdot p = 1$이 되어 실수열 $\left (\dfrac{1}{p^n}\right )_{n=1}^\infty$은 수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left (\dfrac{1}{p^n}\right ) = 0$임에 따라 

수열 극한의 정의로 $n\ge N$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0<\dfrac{1}{p^n} = \left | \dfrac{1}{p^n} -0\right |<x$가 되는 $N\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$0<\dfrac{1}{p^{N}} <x$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/13#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/13#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662