아르키메데스 성질(Archimedean property)

정리5

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \ge 0$인 유리수 코시수열 $(x_n)$으로 구성된 실수는 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \ge 0$이다.

증명

$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) < 0$이라고 가정하면

음의 실수정의로 어떤 양의 유리수 $c \in \mathbb{Q}^+$이 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $y_n \le -c < 0$이고

$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$인 유리수 코시수열 $(y_n)$이 존재하여

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $-x_n \le 0$이므로 $ -|x_n -y_n | = y_n -x_n \le -c < -\dfrac{c}{2} < 0 \le x_n$이고 $\dfrac{c}{2} < |x_n -y_n|$이다.

하지만 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이므로 실수의 상등으로

$n \ge K(\frac{c}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \dfrac{c}{2}$이 되는 $K(\frac{c}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$\dfrac{c}{2} < |x_n -y_n| \le \dfrac{c}{2}$로 삼분법에 모순이므로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \ge 0$이다.

 

 

 

정리6

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \ge y_n$인 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n)$으로 구성된 실수는 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \ge \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이다.

증명

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \ge y_n$이면 $x_n - y_n \ge 0$이고

유리수 코시수열 정리로 $(x_n - y_n)$은 유리수 코시수열이므로 위 정리로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n-y_n) \ge 0$이다.

따라서 실수 뺄셈 정의로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n-y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) - \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이므로

부등식 정리로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) - \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \ge 0 + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이다.

 

 

 

정리7

임의의 양의 실수 $x \in \mathbb{R}^+$에 대해 $q\le x \le M$인 양의 유리수 $q \in \mathbb{Q}^+$와 양의 정수 $M \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

증명

양의 실수정의로 어떤 양의 유리수 $q \in \mathbb{Q}^+$에 대해

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $0< q \le x_n $이고 $x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) $인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재한다.

또 유리수 코시수열 정리로 $(x_n)$은 유계이므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $0< q \le x_n \le r$이 되는 $r \in \mathbb{Q}^+$이 존재하고

유리수 정리로 $r < M$인 자연수 $M \in \mathbb{N}$이 존재하여 $0<r < M$이므로 정수 부등식 정리로 $M \in \mathbb{Z}^+$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $0< q \le x_n \le r < M $이고 유리수 코시수열 정리로 $(q),(M)$은 유리수 코시수열이므로

위 정리와 실수의 정의로 $ q = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(q) \le x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \le \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(M) = M$이다.

 

 

 

정리8(아르키메데스 성질)

다음이 성립한다.

1. 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$와 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $N \cdot \epsilon \ge x$가 성립하는 양의 정수 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

2. 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$와 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $M\cdot \epsilon > x$가 성립하는 양의 정수 $M \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

3. 임의의 양의 실수 $x \in \mathbb{R}^+$에 대해 $0 < \dfrac{1}{N} < x$인 양의 정수 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

4. 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $N\le x < N +1$인 정수 $N \in \mathbb{Z}$이 유일하게 존재한다.

증명

1.

삼분법으로 $x \le 0$이거나 $0 < x$이므로

$x \le 0$이면 $x \le 0 < \epsilon =1 \cdot \epsilon $인 $1 \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

$0 < x$이면

$\epsilon > 0$이므로 역원 부등식 정리로 $\dfrac{1}{\epsilon} > 0$이고 부등식 연산 정리로 $\dfrac{x}{\epsilon} > 0$이 되어

위 정리로 $ 0< \dfrac{x}{\epsilon }\le N $인 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $\epsilon >0$에 대해 부등식 연산 정리로 $x = \dfrac{x}{\epsilon}\cdot \epsilon \le N\cdot \epsilon$이다.

2.

$\epsilon > 0$이므로 역원 부등식 정리로 $\dfrac{1}{\epsilon} > 0$이고

$\dfrac{x}{\epsilon } \in \mathbb{R}$과 $1 > 0$에 대해 1번으로 $\dfrac{x}{\epsilon }\le N \cdot 1 = N $인 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$ \dfrac{x}{\epsilon }\le N <N+1 = M$인 $M \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\epsilon > 0$에 대해 부등식 연산 정리로 $x = \dfrac{x}{\epsilon}\cdot \epsilon < M\cdot \epsilon$이 된다.

3.

$1 \in \mathbb{R}$과 $x > 0$에 대해 2번으로 $1 < N\cdot x$인 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

역원 부등식 정리와 부등식 연산 정리로 $0<\dfrac{1}{N}<x$이다.

4. 

존재성

삼분법으로 $x < 1$ 또는 $x = 1$ 또는 $1 < x$이므로

$1 < x$이면

$0 < x -1$이고 2번으로 집합 $E = \left \{ m\in \mathbb{Z}^+ : x-1 < m \right \}$는 공집합이 아니므로

정렬성으로 $E$의 최소 원소 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $N - 1 \notin E$은 $N-1\notin \mathbb{Z}^+$이거나 $N-1\le x-1$이다.

$N-1\notin \mathbb{Z}^+$일때

$1 \in \mathbb{Z}$이므로 정수 뺄셈의 정의로 $N -1 \in \mathbb{Z}$이고

$N \in \mathbb{Z}^+$이므로 정수 부등식 정리로 $0 < N$이고 정수 정리로 $1\le N$이다.

부등식 연산 정리로 $0\le N -1 $이고 $1\le N-1$이면 $N -1 \in \mathbb{Z}^+$이 되어 모순이므로

$0\le N -1 < 1$이고 정수 정리로 $0< N-1 <1$은 정수가 아니므로 $N -1 = 0$이다.

또 $N \in E$이므로 $N-1 = 0< x -1 < N$이 되어 부등식 연산 정리로 $N < x < N +1$이다.

$N-1\le x-1$일때

$N \in E$이므로 $N -1 \le x-1 < N$이 되어 부등식 연산 정리로 $N \le x < N +1$이다.

$x < 1$이면

$0 < 1-x$이고 1번으로 집합 $E = \left \{ m\in \mathbb{Z}^+ : 1-x \le m \right \}$는 공집합이 아니므로

정렬성으로 $E$의 최소 원소 $M \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $M - 1 \notin E$은 $M-1\notin \mathbb{Z}^+$이거나 $M-1< 1-x$이다.

$M-1\notin \mathbb{Z}^+$일때 $1 \in \mathbb{Z}$이므로 정수 뺄셈의 정의로 $M -1 \in \mathbb{Z}$이고

$M \in \mathbb{Z}^+$이므로 정수 부등식 정리로 $0 < M$이고 정수 정리로 $1\le M$이다.

부등식 연산 정리로 $0\le M -1 $이고 $1\le M-1$이면 $M -1 \in \mathbb{Z}^+$이 되어 모순이므로

$0\le M -1 < 1$이고 정수 정리로 $0< M-1 <1$은 정수가 아니므로 $M -1 = 0$이다.

또 $M \in E$이므로 $M-1 = 0< 1-x < M$이 되어

부등식 연산 정리로 $-M < x-1 <1-M$이고 $-M +1 < x < -M +2$이다.

$M-1< 1-x$일때 $M \in E$이므로 $M-1< 1-x \le M$이 되어

부등식 연산 정리로 $-M \le x-1 < -M+1$이고 $-M +1 \le x < -M +2$이다.

따라서 $-M \in \mathbb{Z}$이므로 $N = -M +1$이면 $N\le x < N +1$인 $N \in \mathbb{Z}$이 존재한다.

$x = 1$이면 $1\le x< 1+1$인 $1\in \mathbb{Z}$이 존재한다.

유일성

$N_1\le x < N_1 +1$이고 $N_2 \le x < N_2 +1$인 $N_1,N_2 \in \mathbb{Z}$가 존재하면

$N_1\le x < N_2 +1$이고 $N_1 \le x < N_2 +1$이므로 $N_1 -1< N_2$와 $N_2 -1< N_1$이 성립하여

정수 부등식 정리로 $N_1 \le N_2$이고 $N_2 \le N_1$이므로 정수 부등식 반대칭성으로 $N_1 = N_2$이다.

 

 

 

정리1(완비성을 사용한 아르키메데스 성질)

임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $x <n_{x}$가 되는 양의 정수 $n_{x} \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

증명

$x <n_{x}$인 $n_{x}$가 존재하지 않는다면 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n \le x$이므로 $x$는 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$의 상계이다.

완비성에 따라 $\mathbb{Z}^+$은 상한 $u \in \mathbb{Z}^+$를 가지므로 상한정리로 $u -1 < m$인 $m \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

하지만 $u < m+1$인 $m+1 \in \mathbb{Z}^+$은 양의 정수이므로 $u$는 $\mathbb{Z}^+$의 상계가 아니게 되어 가정에 모순이다.

따라서 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $x <n_{x}$가 되는 양의 정수 $n_{x} \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

 

 

 

정리2

집합 $S = \left \{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{Z}^+ \right \}$의 하한은 $\inf S = 0$이다.

증명

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0< \dfrac{1}{n}$이므로

$S$가 아래로 유계임에 따라 완비성으로 하한 $\inf S \in \mathbb{R}$가 존재하여 하한의 정의로 $0\le \inf S$이다.

위 정리로 임의의 $\epsilon >0$에 대해 $\dfrac{1}{\epsilon} < n_{\epsilon}$인 $n_{\epsilon} \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $\dfrac{1}{n_{\epsilon}} < \epsilon$이다.

따라서 모든 $\epsilon >0$에 대해 $0 \le \inf S \le \dfrac{1}{n_{\epsilon}} < \epsilon$이므로 부등식 정리로 $\inf S = 0$이다.

 

 

 

정리3

임의의 $t > 0$에 대해 $0 < \dfrac{1}{n_{t}} < t$인 $n_{t} \in $ $\mathbb{Z}^+$가 존재한다.

증명

위 정리로 $\inf  \left \{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{Z}^+ \right \} = 0$이므로 하한 정리로 모든 $t> 0$에 대해 $\dfrac{1}{n_t} < 0 + t = t $인 $n_{t} \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

 

 

 

정리4

임의의 $y >0$에 대해 $n_{y}-1 \le y < n_{y}$인 $n_{y} \in $ $\mathbb{Z}^+$가 존재한다.

증명

위 정리로 집합 $E_{y} = \left \{ m\in \mathbb{Z}^+ : y < m \right \}$는 공집합이 아니고

$E_{y} \subseteq \mathbb{Z}^+ \subset \mathbb{N}$이므로 정렬성에 의해 $E_{y}$의 최소 원소 $n_{y} \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

$n_y - 1 \notin E$은 $n_y -1\notin \mathbb{Z}^+$이거나 $n_y-1\le y$이다.

$n_y-1\notin \mathbb{Z}^+$이면 $1 \in \mathbb{Z}$이므로 정수 뺄셈의 정의로 $n_y -1 \in \mathbb{Z}$이고

$n_y \in \mathbb{Z}^+$이므로 정수 부등식 정리로 $0 < n_y$이고 정수 정리로 $1\le n_y$이다.

부등식 연산 정리로 $0\le n_y -1 $이고 $1\le n_y-1$이면 $n_y -1 \in \mathbb{Z}^+$이 되어 모순이므로

$0\le n_y -1 < 1$이고 정수 정리로 $0< n_y-1 <1$은 정수가 아니므로

$n_y -1 = 0$이 되어 $n_y \in E_y$이므로 $n_y-1 = 0<y< n_y$이다.

또 $n_y-1\le y$이면 $n_y \in E_y$이므로 $n_y -1 \le y < n_y$이다.

 

 

 

정리9

$p > 1$이고 $x>0$인 임의의 실수 $p,x \in \mathbb{R}$에 대해 $0 < \dfrac{1}{p^N} < x$인 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

증명

부등식 정리로 $0<\dfrac{1}{p}$이므로 거듭제곱의 정의와 실수 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0< \left ( \dfrac{1}{p}\right )^n = \dfrac{1}{p^n}$이고 

부등식 정리로 $0< \dfrac{1}{p}=\dfrac{1}{p} \cdot 1 < \dfrac{1}{p}\cdot p = 1$이 되어 실수열 $\left (\dfrac{1}{p^n}\right )_{n=1}^\infty$은 수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left (\dfrac{1}{p^n}\right ) = 0$임에 따라 

수열 극한의 정의로 $n\ge N$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0<\dfrac{1}{p^n} = \left | \dfrac{1}{p^n} -0\right |<x$가 되는 $N\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$0<\dfrac{1}{p^{N}} <x$이다.

 

 

 

정리10

$p > 1$인 임의의 실수 $p \in \mathbb{R}$에 대해 집합 $S = \left \{ \dfrac{1}{p^n} : n \in \mathbb{Z}^+ \right \}$의 하한은 $\inf S = 0$이다.

증명

부등식 정리로 $0<\dfrac{1}{p}$이므로 거듭제곱의 정의와 실수 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0< \left ( \dfrac{1}{p}\right )^n = \dfrac{1}{p^n}$이 되어 

$S$가 아래로 유계임에 따라 완비성으로 하한 $\inf S \in \mathbb{R}$가 존재하고 하한의 정의로 $0\le \inf S$이다.

임의의 $\epsilon >0$에 대해 위 정리로 $0< \dfrac{1}{p^N} < \epsilon$인 $N \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

하한의 정의로 $0\le \inf S \le \dfrac{1}{p^N} < \epsilon$이므로 부등식 정리로 $\inf S = 0$이다.

 

 

 

정의1

임의의 실수가 $x\in \mathbb{R}$이고 정수집합이 $\mathbb{Z}$일때

바닥(Floor) : 

$\lfloor x \rfloor = \max \{ m\in \mathbb{Z} : m\le x\}$를 $x$의 바닥으로 정의한다.

천장(Ceiling) : 

$\lceil x \rceil = \min \{ n\in \mathbb{Z} : x\le n \}$를 $x$의 천장으로 정의한다.

 

 

 

정리11

모든 실수 $x\in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x$의 바닥 $\lfloor x \rfloor$이 유일하게 존재한다.

2. $x$의 천장 $\lceil x \rceil$이 유일하게 존재한다.

3. 임의의 $M\in \mathbb{Z}$이 $M\le x< M+1$이기 위한 필요충분조건은 $M = \lfloor x \rfloor$인 것이다.

4. 임의의 $N\in \mathbb{Z}$이 $N-1< x\le N$이기 위한 필요충분조건은 $N = \lceil x \rceil$인 것이다.

5. $\lfloor x \rfloor = -\lceil -x\rceil$

6. $\lceil x \rceil = -\lfloor -x\rfloor$

7. 모든 정수 $m \in \mathbb{Z}$에 대해 $\lfloor m \rfloor = m = \lceil m \rceil$이다.

8. 모든 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\left \lfloor \dfrac{\lfloor x \rfloor}{n} \right \rfloor = \left \lfloor \dfrac{x}{n} \right \rfloor$이다.

9. 모든 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\left \lceil \dfrac{\lceil x \rceil}{n} \right \rceil = \left \lceil \dfrac{x}{n} \right \rceil$이다.

증명

1.

$S = \{ m\in \mathbb{Z} : m\le x\}$일때 위 정리로 $M \le x < M+1$인 $M\in \mathbb{Z}$이 존재하여 $M \in S$이고

어떤 $m\in S$이 $M < m$이라고 가정하면

$M <m\le x$이므로 정수 정리로 $x <M+1\le m\le x$임에 따라 모순이므로 

모든 $m\in S$은 $m\le M$이고 바닥의 정의와 최대원소의 정의로 $\lfloor x \rfloor = \max \{ m\in \mathbb{Z} : m\le x\} =\max S = M$이다.

바닥의 정의와 최대원소 정리와 상한 정리로 $x$에 대해 $\lfloor x \rfloor$은 유일하다.

2.

$S = \{ n\in \mathbb{Z} : x\le n \}$일때 위 정리로 $M \le -x < M+1$인 $M\in \mathbb{Z}$이 존재하여

$N = -M$일때 $N -1 =-M -1 =-(M +1)< x\le -M = N$이므로 $N = -M \in \mathbb{Z}$임에 따라 $N \in S$이고 

어떤 $n\in S$이 $n<N$이라고 가정하면 

$x\le n<N$이므로 정수 정리로 $n+1\le N$이고 $x \le n\le N-1 < x$임에 따라 모순이 되어 

모든 $n\in S$은 $N\le n$이고 천장의 정의와 최소원소의 정의로 $\lceil x \rceil = \min \{ n\in \mathbb{Z} : x\le n\} =\min S = N$이다.

천장의 정의와 최소원소 정리와 하한 정리로 $x$에 대해 $\lceil x \rceil$은 유일하다.

3.

$M\le x< M+1$이면 $M < \lfloor x \rfloor$이라고 가정할때

바닥의 정의와 최대원소의 정의로 $M<\lfloor x \rfloor\le x$이므로 정수 정리로 $x<M +1\le \lfloor x \rfloor\le x$가 되어 모순임에 따라

$\lfloor x \rfloor \le M$이고 바닥의 정의와 최대원소의 정의로 $M \le \lfloor x \rfloor$이므로 $M = \lfloor x \rfloor$이다.

역으로 $M = \lfloor x \rfloor$이면 

바닥의 정의와 최대원소의 정의로 $M\in \mathbb{Z}$이므로 $M +1 \in \mathbb{Z}$이고 $M+1\le x$라고 가정할때

$\lfloor x\rfloor=M<M+1\le x$가 되어 바닥의 정의와 최대원소의 정의에 모순임에 따라 $M\le x <M+1$이다.

4.

$N -1< x \le N$이면 $\lceil x \rceil < N$이라고 가정할때

천장의 정의와 최소원소의 정의로 $x\le \lceil x \rceil < N$이므로 정수 정리로 $x\le \lceil x \rceil \le N-1< x $가 되어 모순임에 따라

$N \le \lceil x \rceil$이고 바닥의 정의와 최소원소의 정의로 $\lceil x \rceil\le N$이므로 $N = \lceil x \rceil$이다.

역으로 $N = \lceil x \rceil$이면 

천장의 정의와 최소원소의 정의로 $N\in \mathbb{Z}$이므로 $N -1 \in \mathbb{Z}$이고 $x\le N-1$이라고 가정할때

$x\le N-1<N = \lceil x\rceil$이 되어 천장의 정의와 최소원소의 정의에 모순임에 따라 $N -1< x \le N$이다.

5.

$- \lfloor x \rfloor \in \mathbb{Z}$이고 3번으로 $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x\rfloor +1$이므로 

$ -\lfloor x \rfloor -1 = -(\lfloor x\rfloor +1) < -x \le - \lfloor x\rfloor$가 되어 4번으로 $\lceil -x\rceil = -\lfloor x\rfloor$임에 따라 $\lfloor x \rfloor = -\lceil -x\rceil$이다.

6.

$-x\in \mathbb{R}$이므로 5번으로 $\lceil x \rceil = -( - \lceil -(-x) \rceil ) = -\lfloor -x\rfloor$이다.

7.

$m\le m< m+1$이므로 3번으로 $\lfloor m \rfloor = m$이고 $m-1<m\le m$이므로 4번으로 $\lceil m \rceil = m$이다.

8.

$\lfloor x \rfloor ,n\in \mathbb{Z}$이고 $n> 0$이므로

나눗셈 정리로 $\lfloor x \rfloor = q\cdot n + r$이고 $0\le r < n$인 $q,r\in \mathbb{Z}$이 존재하여 정수 정리로 $0\le r \le n-1$이고

3번으로 $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x\rfloor +1$이므로 $0 \le x- \lfloor x \rfloor < 1$임에 따라 

$0\le r + x-\lfloor x\rfloor \le n-1 + x-\lfloor x\rfloor < n-1 +1 = n$이 되어 $0\le \dfrac{r + x-\lfloor x\rfloor}{n} < 1$이고 

$x = \lfloor x\rfloor  + x- \lfloor x\rfloor = q\cdot n + r + x- \lfloor x\rfloor$이므로 $ \dfrac{x}{n} = \dfrac{q\cdot n + r + x- \lfloor x\rfloor}{n} = q + \dfrac{r + x-\lfloor x\rfloor}{n}$이 되어

$q\le \dfrac{x}{n} < q +1$임에 따라 3번으로 $q = \left \lfloor \dfrac{x}{n}\right \rfloor $이고 

$\dfrac{\lfloor x \rfloor}{n} = \dfrac{q\cdot n + r}{n} = \dfrac{q\cdot n}{n} + \dfrac{r}{n} = q + \dfrac{r}{n}$이므로 $0\le \dfrac{r}{n} < 1$이 되어 $q \le \dfrac{\lfloor x \rfloor}{n}< q+1$임에 따라

3번으로 $\left \lfloor \dfrac{\lfloor x \rfloor}{n}\right \rfloor = q =\left \lfloor \dfrac{x}{n}\right \rfloor $이다.

9.

6, 8번으로 $ \left \lceil \dfrac{\lceil x \rceil}{n} \right \rceil = \left \lceil \dfrac{ - \lfloor - x \rfloor }{n} \right \rceil = - \left \lfloor -\left ( \dfrac{ - \lfloor - x \rfloor }{n} \right ) \right \rfloor = - \left \lfloor \dfrac{ \lfloor - x \rfloor }{n} \right \rfloor = - \left \lfloor \dfrac{ - x }{n} \right \rfloor = \left \lceil \dfrac{x}{n} \right \rceil $이다.

 

 

 

정리12

모든 실수 $x,y\in \mathbb{R}$와 모든 정수 $m \in \mathbb{Z}$과 모든 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\lfloor x + m\rfloor = $ $\lfloor x\rfloor$ $ +\;m$

2. $\lceil x + m\rceil = $ $\lceil x\rceil $ $+\;m$

3. $\lfloor x\rfloor < \lfloor y\rfloor$이면 $x<y$이다.

4. $\lceil x\rceil < \lceil y\rceil$이면 $x< y$이다.

5. $x\le y$이면 $\lfloor x\rfloor \le \lfloor y\rfloor$이다.

6. $x\le y$이면 $\lceil x\rceil \le \lceil y\rceil$이다.

7. $m $ $\bmod$ $ n = m - \left \lfloor \dfrac{m}{n} \right \rfloor\cdot n$

증명

1.

위 정리로 $\lfloor x \rfloor \le x < \lfloor x\rfloor +1$이므로 $\lfloor x \rfloor  +m\le x+m < (\lfloor x\rfloor +1) +m = (\lfloor x\rfloor +m) +1$이 되어

$\lfloor x \rfloor  +m\in \mathbb{Z}$임에 따라 위 정리로 $\lfloor x + m\rfloor = \lfloor x\rfloor +m$이다.

2.

위 정리로 $\lceil x \rceil -1< x \le \lceil x\rceil$이므로 $(\lceil x\rceil +m) -1 =(\lceil x \rceil -1) +m < x+m \le \lceil x\rceil+m$이 되어

$\lceil x \rceil  +m\in \mathbb{Z}$임에 따라 위 정리로 $\lceil x + m\rceil = \lceil x\rceil +m$이다.

3.

$\lfloor x\rfloor < \lfloor y\rfloor$이므로 정수 정리로 $\lfloor x\rfloor +1\le \lfloor y\rfloor$가 되어 위 정리로 $x<\lfloor x\rfloor +1\le \lfloor y\rfloor\le y$이다.

4.

$\lceil x\rceil < \lceil y\rceil$이므로 정수 정리로 $\lceil x\rceil \le \lceil y\rceil -1$가 되어 위 정리로 $x\le \lceil x\rceil \le \lceil y\rceil -1< y$이다.

5, 6

부등식 정리와 3, 4번의 대우로 성립한다.

7.

나눗셈 정리로 $m= q\cdot n + r$이고 $0\le r < n$인 $q,r\in \mathbb{Z}$이 유일하게 존재하여

$0\le \dfrac{r}{n} < 1$이고 $\dfrac{m}{n} = \dfrac{q\cdot n + r}{n} = q + \dfrac{r}{n}$이므로 $q\le \dfrac{m}{n} < q +1$임에 따라 위 정리로 $q = \left \lfloor \dfrac{m}{n}\right \rfloor $이고 

모듈로연산의 정의로 $r = m\bmod n$이므로 $m = q\cdot n+ r = \left \lfloor \dfrac{m}{n}\right \rfloor\cdot n +m\bmod n $이 되어 

$m\bmod n = m- \left \lfloor \dfrac{m}{n}\right \rfloor\cdot n $이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/13#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/13#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662