수학/선형대수학
-
쌍선형형식(Bilinear form)수학/선형대수학 2024. 10. 16. 11:51
정의1체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이고 임의의 함수가 $H: V\times V\to F$일때모든 $x,y\in V$에 대해 $L_y(x) = H(x,y)$이고 $R_x(y) = H(x,y)$인함수 $L_y,R_x:V\to F$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $1$-순서쌍 $F$-벡터공간 $(F,+_1,\cdot_1,0_F)$로의 선형변환이면$H$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 쌍선형형식으로 정의한다.이때 $L_y$를 $y$에 대한 $H$의 왼쪽 선형변환으로 정의하고 $R_x$를 $x$에 대한 $H$의 오른쪽 선형변환으로 정의한다.또 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 모든..
-
QR분해(QR factorization)수학/선형대수학 2024. 8. 24. 18:27
정리1(그람-슈미트 직교화를 이용한 QR분해) 실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 랭크가 $n\in \mathbb{Z}^+$인 행렬 $A\in M_{m\times n}(F)$와 행렬곱 $\bullet$에 대해$A = Q\bullet R$이 성립하는 $Q^*$ $\bullet \;Q = $ $I_n$인 행렬 $Q \in M_{m\times n}(F)$와 상삼각행렬 $R\in M_{n\times n}(F)$이 존재한다.$m=n$이면 $Q$는 유니타리행렬이다.증명열벡터 $F$-벡터공간 $(M_{m\times 1}(F),+_m,\cdot_m,O_m)$위의 행렬 내적공간이 $(M_{m\times 1}(F),\langle\cdot,\cdot\rangle_m)$이고$(M_{m\times 1}(F)..
-
쌍대공간(Dual space)수학/선형대수학 2024. 8. 21. 06:28
정의1체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$이고 $1$-순서쌍 벡터공간이 $(F,+_F,\cdot_F,0_F)$일때선형범함수(linear funtional) :$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $(F,+_F,\cdot_F,0_F)$로의 선형변환을 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형범함수로 정의한다.쌍대공간 :$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형범함수들의 집합 $V^* = L(V\to F)$에 대해선형변환 $F$-벡터공간 $(V^*,+_1,\cdot_1 ,f_0)$을 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 쌍대공간으로 정의한다. 이중쌍대공간(double dual) :$(V,+_..
-
특잇값(Singular value), 유사역변환(Pseudoinverse)수학/선형대수학 2024. 7. 23. 11:47
정리1(특잇값 정리)실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$가 각각 $n, m\in \mathbb{Z}^+$차원이고$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$와 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle_V)$와 $(W,\langle\cdot,\cdot \rangle_W)$이고$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)$에서 $(W,+_W,\cdot_W,\vec{0}_W)$로의 선형변환 $T:V\to W$가 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0}_V)}{\operatorna..
-
정사영(Orthogonal projection), 스펙트럼 정리(Spectral theorem)수학/선형대수학 2024. 7. 19. 08:14
정의1체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때 $V = W_1 $ $\oplus$ $ W_2$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 임의의 부분공간 $(W_1,+_V,\cdot_V,\vec{0})$, $(W_2,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대해직합정리로 모든 $x\in V$는 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in W_1$과 $x_2\in W_2$가 유일하게 존재하므로 $T(x) = x_1$인 함수 $T : V\to V$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $W_2$에 대한 $W_1$위로의 사영(projection)으로 정의한다.또 $V = R(T)\oplus N(T)$이고 $(V,+..
-
실내적공간에서의 등거리변환(Isometry), 기하학(Geometry)수학/선형대수학 2024. 7. 12. 03:18
정의1실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 노름이 $\lVert \cdot\rVert :V\to [0,\infty)$일때 모든 $x,y \in V$가 $d(x,y) = \lVert x-y\rVert$인 함수 $d : V\times V \to [0,\infty)$에 대해 노름정리로 $(V,d)$는 거리공간이므로$\lVert f(x) -f(y)\rVert = \lVert x-y\rVert$인 임의의 전단사함수 $f: V \to V$는 $(V,d)$에서 $(V,d)$로의 등거리변환이 되어$f$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 등거리..
-
양의 정부호(Positive definite), 양의 준정부호(Positive semidefinite)수학/선형대수학 2024. 7. 4. 17:38
정리1실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원인 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$이고$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$와 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해$v_i$가 $T$의 고윳값 $\lambda_i \in F$에 대응되는 $T$의 고유벡터인 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 정규직교순서기저가 $\beta = (v_1,v_2,\cdots, v_n)$일때임의의 $x \in V$에 대해 $\beta$에 대한 $x$의 좌표벡터가 $[x]_\beta = \begin{bmatrix..
-
유니타리연산자(Unitary operator)수학/선형대수학 2024. 7. 3. 21:47
정의1실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$이고$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재하고 $T$가 가역일때$T$의 역함수 $T^{-1}: V\to V$에 대해 $T^* = T^{-1}$이 성립하면 $T$를 $(V,\langle\cdot,\cdot \rangle)$의 유니타리연산자로 정의한다.$(F,+,\cdot,0,1)$가 $F = \mathbb{R}$인 실수체이면$(V,\langle\cdot,\cdot \rangle..
