정사영(Orthogonal projection), 스펙트럼 정리(Spectral theorem)

정의1

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$V = W_1 $ $\oplus$ $ W_2$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 임의의 부분공간 $(W_1,+_V,\cdot_V,\vec{0})$, $(W_2,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대해

직합정리로 모든 $x\in V$는 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in W_1$과 $x_2\in W_2$가 유일하게 존재하므로

$T(x) = x_1$인 함수 $T : V\to V$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $W_2$에 대한 $W_1$위로의 사영(projection)으로 정의한다.

또 $V = R(T)\oplus N(T)$이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $N(T)$에 대한 $R(T)$위로의 사영인

함수 $T : V\to V$를 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영으로 정의한다.

 

 

 

정리1

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간이 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$V = W_1 $ $\oplus$ $ W_2$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 임의의 부분공간 $(W_1,+_V,\cdot_V,\vec{0})$, $(W_2,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대해

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $W_2$에 대한 $W_1$위로의 사영이 $T : V\to V$이면 다음이 성립한다.

1. $T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자이다.

2. 임의의 $x\in V$에 대해 $T(x) = x$이기 위한 필요충분조건은 $x\in W_1$인 것이다.

3. $W_1 = \{ x\in V : T(x) =x\}$

4. $W_1 = $ $R(T)$

5. $W_2 = $ $N(T)$

증명

1.

임의의 $x,y\in V$와 임의의 $c\in F$에 대해

직합정리로 $x = x_1+_V x_2$이고 $y = y_1+_Vy_2$인 $x_1,y_1\in W_1$과 $x_2,y_2\in W_2$가 유일하게 존재하여

벡터공간의 정의로 $x_1+_V c\cdot_V y_1 \in W_1$과 $x_2+_V c\cdot_V y_2 \in W_2$가 성립하고

$x+_V c\cdot_V y = (x_1+_Vx_2) +_V c\cdot_V (y_1+_Vy_2) = x_1+_V x_2 +_V c\cdot_V y_1 +_V c\cdot_V y_2 =  (x_1+_V c\cdot_V y_1) +_V (x_2+_V c\cdot_V y_2) \text{ 이므로}$

사영의 정의로 $T(x+_V c\cdot_V y) = x_1+_V c\cdot_V y_1 = T(x) +_V c\cdot_V T(y)$가 되어

선형변환 정리로 $T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자이다. 

2.

$T(x) = x$이면 

직합정리로 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in W_1$과 $x_2\in W_2$가 유일하게 존재하여 사영의 정의로 $x = T(x) = x_1 \in W_1$이다.

역으로 $x\in W_1$이면 벡터공간의 정의로 $\vec{0} \in W_2$이고 $x= x +_V \vec{0}$이므로 사영의 정의로 $T(x) = x$이다.

3.

2번으로 $W_1 = \{ x\in V : T(x) =x\}$이다.

4.

임의의 $x \in W_1$는 2번으로 $x = T(x) \in T(V) = R(T)$이므로 $W_1\subseteq R(T)$이고

임의의 $y\in R(T) = T(V)$는 $T(x) = y$인 $x\in V$가 존재하여

직합정리로 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in W_1$과 $x_2\in W_2$가 유일하게 존재하고

사영의 정의로 $y = T(x) = x_1\in W_1$이므로 $R(T)\subseteq W_1$임에 따라 집합정리로 $W_1=R(T)$이다.

5.

임의의 $x\in W_2$에 대해 벡터공간의 정의로 $\vec{0} \in W_1$이므로 $x = \vec{0}+_V x$이고

사영의 정의로 $T(x) = \vec{0}$이 되어 $x\in N(T) $이므로 $W_2\subseteq N(T)$이다.

임의의 $x\in N(T)$는 직합정리로 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in W_1$과 $x_2\in W_2$가 유일하게 존재하고

$x_1 = T(x) = \vec{0}$이므로 $x = x_1+_V x_2 = \vec{0}+_V x_2 = x_2 \in W_2$가 되어

$N(T)\subseteq W_2$이고 집합정리로 $W_2=N(T)$이다.

 

 

 

정리2

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$에 대해

$T = T $ $\circ$ $ T$이기 위한 필요충분조건은 $T$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영인 것이다.

증명

$T = T\circ T$이면

$W_1 = \{ x\in V:T(x) = x\}$에 대해 모든 $y\in R(T) = T(V)$는 $T(x) = y$인 $x\in V$가 존재하여 

$T(y) = T(T(x)) = (T\circ T)(x) = T(x) = y$이므로 $y \in W_1$임에 따라 $R(T) \subseteq W_1$이고

모든 $x \in W_1$는 $x = T(x) \in T(V) = R(T)$이므로 $W_1\subseteq R(T)$가 되어 집합정리로 $R(T) = W_1$이다.

모든 $x\in V$에 대해 선형변환 정리로

$T(x-T(x)) = T(x) - T(T(x)) = T(x) - (T\circ T)(x) = T(x)-T(x) = \vec{0}$이므로 $x-T(x) \in N(T)$이고 

$T(x) \in T(V) =R(T)$이므로 부분공간의 합 $+_W$에 대해 $x = T(x) +_V (x - T(x)) \in R(T) +_W N(T)$가 되어

$V\subseteq R(T)+_W N(T)$이고 $R(T)+_W N(T)\subseteq V$임은 자명함에 따라 집합정리로 $V=R(T)+_W N(T)$이다.

영공간과 상공간은 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이므로 $\vec{0}\in N(T)$과 $\vec{0}\in R(T)$이 성립하여 $\vec{0}\in R(T)\cap N(T)$이고

임의의 $x \in R(T)\cap N(T) = W_1\cap N(T)$는

$x = T(x) = \vec{0}$이므로 $R(T)\cap N(T) = \{ \vec{0}\}$이 되어 직합의 정의로 $V = R(T)\oplus N(T)$이다.

따라서 모든 $x\in V$에 대해 직합정리로 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in R(T) =W_1$과 $x_2\in N(T)$가 유일하게 존재하여

선형변환 정리로 $T(x) = T(x_1+_Vx_2) = T(x_1)+_V T(x_2) = x_1 +_V \vec{0} =x_1$이므로

$T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $N(T)$에 대한 $R(T)$위로의 사영이 되어 $T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영이다.

역으로 $T$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영이면

$V = R(T)\oplus N(T)$이고 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 $N(T)$에 대한 $R(T)$위로의 사영이므로

직합정리로 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in R(T)$과 $x_2\in N(T)$가 유일하게 존재하여 $T(x) = x_1$이고

영공간 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간임에 따라 $\vec{0}\in N(T)$이므로

$x_1 = x_1+_V \vec{0}$이고 $(T\circ T)(x) = T(T(x)) = T(x_1) = x_1 = T(x)$가 되어 함수의 상등으로 $T = T\circ T$이다.

 

 

 

정리6

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 $n\in \mathbb{N}$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영 $T:V\to V$에 대해

상공간 $(R(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 차원이 $k\in \mathbb{N}$일때 다음이 성립한다.

1. $k = n$이면 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 항등변환 $I_V:V\to V$에 대해 $T =I_V$이다.

2. $k = 0$이면 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 영변환 $T_0:V\to V$에 대해 $T =T_0$이다.

3. $1\le k < n$이면 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\beta$가 존재하여 $T$의 행렬표현 $[T]_\beta \in M_{n\times n}(F)$는

항등행렬 $I_k \in M_{k\times k}(F)$와 영행렬 $O_{n-k} \in M_{(n-k)\times (n-k)}(F)$와 행렬의 직합 $\oplus_M$에 대해 $[T]_\beta = I_k \oplus_M O_{n-k}$이다.

4. $n\ge 1$일때 $T$는 대각화가능하다.

증명

1.

$k = n$이고 $(R(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이므로 부분공간 정리로 $R(T) = V$가 되어

사영의 정의로 $R(T) = V = R(T)\oplus N(T)$이고 모든 $x\in V = R(T)$는 $\vec{0} \in N(T)$에 대해 $x = x +_V \vec{0}$임에 따라

사영의 정의와 항등변환의 정의로 $T(x) = x = I_V(x)$이므로 함수의 상등으로 $T = I_V$이다.

2.

차원의 정의로 $R(T) = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\operatorname{span}(\emptyset)} = \{ \vec{0}\}$이므로 모든 $x\in V$에 대해 $T(x) \in T(V) =R(T) = \{ \vec{0}\}$이고

영변환의 정의로 $T(x) = \vec{0} = T_0(x)$가 되어 함수의 상등으로 $T = T_0$이다.

3.

사영의 정의로 $V = R(T)\oplus N(T)$이고 차원정리로 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 차원은 $n-k$이므로

직합정리로 $(R(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저 $\{ v_1,v_2,\cdots, v_k\}$와 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 기저 $\{ v_{k+1},\cdots, v_n\}$이 존재하여

$\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_k,v_{k+1},\cdots, v_n)$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저이다.

모든 $j =1,2,\cdots,k$와 $\vec{0} \in N(T)$에 대해 $v_j = v_j +_V \vec{0}$이므로

사영의 정의와 행렬표현의 정의로 $1_F\cdot_V v_j=v_j = T(v_j) = \displaystyle \sum_{i = 1}^n([T]_\beta)_{i,j}\cdot_V v_i   = ([T]_\beta)_{j,j}\cdot_V v_j$이고

모든 $j = k+1,\cdots, n$에 대해

영공간의 정의와 행렬표현의 정의로 $0_F\cdot_V v_j=\vec{0} = T(v_j) = \displaystyle \sum_{i = 1}^n([T]_\beta)_{i,j}\cdot_V v_i $가 되어

행렬표현의 정의와 행렬의 직합의 정의로 $[T]_\beta = I_k \oplus_M O_{n-k}$이다.

4.

$k = n$이면 기저정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\beta$가 존재하여

항등행렬 $I_n\in M_{n\times n}(F)$에 대해 1번과 항등변환 정리로 $[T]_\beta = [I_V]_\beta = I_n$이므로 $[T]_\beta$는 대각행렬이고

$k = 0$이면 기저정리로 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\beta$가 존재하여

영행렬 $O_{n} \in M_{n\times n}(F)$에 대해 2번과 영변환 정리로 $[T]_\beta = [T_0]_\beta = O_n$이므로 $[T]_\beta$는 대각행렬이고

$1\le k< n$이면 3번으로 $[T]_\beta = I_k \oplus_M O_{n-k}$인 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저 $\beta$가 존재하여 $[T]_\beta$는 대각행렬이므로

$T$는 대각화가능하다.

 

 

 

정리7

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영 $T:V\to V$의 모든 고윳값은 $0_F$ 또는 $1_F$이다.

증명

$T$의 임의의 고윳값 $\lambda \in F$에 대해 $T(x) = \lambda \cdot_V x$인 고유벡터 $x\in V\setminus \{ \vec{0}\}$가 존재하고

사영의 정의로 $V = R(T)\oplus N(T)$이므로

직합정리로 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in R(T)$과 $x_2\in N(T)$가 유일하게 존재하여 $x_1 \ne \vec{0}$ 또는 $x_2 \ne \vec{0}$이다.

영공간와 상공간은 벡터공간이므로 $\lambda \cdot_V x_1 \in R(T)$와 $\vec{0}, \lambda \cdot_V x_2 \in N(T)$가 성립하여

사영의 정의로 $\lambda\cdot_V x_1 +_V \lambda\cdot_V x_2 = \lambda\cdot_V(x_1+_V x_2) =  \lambda \cdot_V x = T(x) = x_1 = x_1 +_V \vec{0}$이고

직합정리로 $\lambda \cdot_V x_1  = x_1 = 1_F \cdot_V x_1$과 $\lambda \cdot_V x_2  = \vec{0} = 0_F\cdot_V x_2$가 성립하므로

$x_1 \ne \vec{0}$일때 $\lambda \ne 1_F$라 가정하면 $(\lambda - 1_F) \cdot_V x_1 = \lambda\cdot_F x_1 - 1_F \cdot_V x_1 = \vec{0}$이고 $\lambda - 1_F \ne 0_F$인데

$ x_1  = (\lambda - 1_F)^{-1}\cdot_V \vec{0} = \vec{0}$이 되어 모순임에 따라 $x_1 \ne \vec{0}$이면 $\lambda = 1_F$이다.

$x_2 \ne \vec{0}$일때 $\lambda \ne 0_F$라 가정하면 $x_2  = \lambda^{-1}\cdot_V \vec{0} = \vec{0}$이 되어 모순이므로 $x_2 \ne \vec{0}$이면 $\lambda = 0_F$이다.

따라서 $T$의 모든 고윳값은 $0_F$ 또는 $1_F$이다.

 

 

 

정의2

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

영공간과 상공간의 직교여공간 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp ,+_V,\cdot_V,\vec{0})$와 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp ,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에 대해

$\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp = N(T)$와 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp = R(T)$를 만족하는

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영 $T:V\to V$를 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 정사영으로 정의한다.

 

 

 

정리3

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 유한차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$이고

영공간과 상공간의 직교여공간이 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp ,+_V,\cdot_V,\vec{0})$와 $(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp ,+_V,\cdot_V,\vec{0})$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영 $T:V\to V$에 대해 다음은 동치이다.

1. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 정사영이다.

2. $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp= N(T)$

3. $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp= R(T)$

증명

$1\to 2$

정사영의 정의로 자명하게 성립한다.

$2\to 3$

위 정리로 $T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자이므로 상공간 $(R(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이고

부분공간 정리로 $(R(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 유한차원이 되어

2번과 직교여공간 정리로 $R(T) =(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}}^\perp)^\perp= \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp$이다.

$3\to 1$

위 정리로 $T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자이므로 영공간 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 부분공간이고

부분공간 정리로 $(N(T),+_V,\cdot_V,\vec{0})$는 유한차원이 되어

3번과 직교여공간 정리로 $N(T) =(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}}^\perp)^\perp= \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp$이고 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp= R(T)$이므로

$T$가 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영임에 따라 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 정사영이다.

 

 

 

정리4

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 임의의 정사영 $T,U: V \to V$가 $R(T)$ $ = R(U)$ 또는 $N(T)$ $ = N(U)$이면 $T = U$이다.

증명

정사영의 정의로 $N(T) = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(U)}^\perp = N(U)$ 또는 $R(T) = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(U)}^\perp = R(U)$이므로

$R(T) = R(U)$와 $N(T) = N(U)$가 성립하여 사영의 정의로 $V = R(T) \oplus N(T) = R(U)\oplus N(U)$이고

임의의 $x\in V$는 직합정리로 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in R(T) =R(U)$과 $x_2\in N(T) = N(U)$가 유일하게 존재하므로

사영의 정의로 $T(x) = x_1 = U(x)$가 되어 함수의 상등으로 $T = U$이다.

 

 

 

정리5

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 정사영이기 위한 필요충분조건은

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재하고 $T $ $\circ$ $ T = T = T^*$인 것이다.

증명

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 정사영이면

$T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영이므로 위 정리로 $T = T\circ T$가 성립하고

사영의 정의와 정사영의 정의로 $V = R(T)\oplus N(T)$와 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp = N(T)$가 성립하여 직합정리로

임의의 $x,y\in V$는 $x = x_1+_V x_2$이고 $y = y_1+_V y_2$인 $x_1,y_1\in R(T)$과 $x_2,y_2\in N(T)$가 유일하게 존재하므로

내적정리와 직교여공간의 정의로 $\langle x, T(y)\rangle = \langle x_1+_V x_2, y_1\rangle = \langle x_1,y_1\rangle + \langle x_2,y_1\rangle = \langle x_1,y_1\rangle $이고

$\langle T(x), y\rangle = \langle x_1, y_1+_V y_2\rangle = \langle x_1,y_1\rangle + \langle x_1,y_2\rangle = \langle x_1,y_1\rangle = \langle x,T(y)\rangle$임에 따라

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $T$의 수반연산자 $T^*:V\to V$가 존재하고 수반연산자 정리로 $T\circ T=T = T^*$이다.

역으로 $T\circ T=T = T^*$이면

위 정리로 $T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영이므로 $V = R(T)\oplus N(T)$가 되어

$\vec{0}\in N(T)$에 대해 임의의 $x\in R(T)$는 $x = x+_V \vec{0}$이고 사영의 정의로 $T(x) = x$임에 따라

수반연산자의 정의와 영공간의 정의와 내적정리로

임의의 $y\in N(T)$에 대해 $\langle x,y\rangle = \langle T(x),y\rangle = \langle x,T^*(y)\rangle = \langle x,T(y)\rangle = \langle x,\vec{0}\rangle =0$이므로

직교여공간의 정의로 $x\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp$이고 $R(T)\subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp$이다.

임의의 $x \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp$에 대해 선형변환 정리로

$T(x-T(x)) = T(x) - T(T(x)) = T(x) - (T\circ T)(x) = T(x)-T(x) = \vec{0}$이므로 $x-T(x) \in N(T)$이고

수반연산자의 정의와 영공간의 정의와 내적정리로

$\langle T(x), x-T(x)\rangle  = \langle x,T^*(x-T(x))\rangle = \langle x,T(x-T(x))\rangle = \langle x,\vec{0}\rangle =0$이 되어

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 노름 $\lVert\cdot\rVert : V\to [0,\infty)$에 대해 내적정리와 직교여공간의 정의로

$\lVert x-T(x)\rVert^2 = \langle x-T(x),x-T(x)\rangle = \langle x,x-T(x)\rangle - \langle T(x),x-T(x)\rangle =0 - 0 = 0$임에 따라

노름정리로 $x -T(x) = \vec{0}$이고 $x = T(x) \in T(V)=R(T)$이므로

$\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp \subseteq R(T)$이고 집합정리로 $R(T) =\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp$이다.

직교여공간 정리로 $N(T) \subseteq (\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}}^\perp)^\perp = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp$이고 임의의 $v \in V$에 대해 $T(v) \in T(V) = R(T)$이므로

임의의 $x \in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp$에 대해 수반연산자의 정의와 직교여공간의 정의로

$\langle T(x),v\rangle = \langle x,T^*(v)\rangle = \langle x,T(v)\rangle = 0 = \langle \vec{0},v\rangle$가 되어 내적정리로 $T(x) = \vec{0}$이고

영공간의 정의로 $x\in N(T)$임에 따라 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp\subseteq N(T)$이므로 집합정리로 $N(T) =\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp$이다.

따라서 $R(T) =\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{N(T)}^\perp$와 $N(T) =\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp$가 성립하고

$T$는 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$에서 사영이므로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 정사영이다.

 

 

 

정리10

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 정사영 $T:V\to V$는

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 노름 $\lVert\cdot\rVert : V\to [0,\infty)$와 모든 $x\in V$에 대해 $\lVert T(x)\rVert\le \lVert x\rVert$이다.

증명

사영의 정의와 직합정리와 정사영의 정의로

모든 $x\in V =R(T)\oplus N(T)$는 $x = x_1+_V x_2$인 $x_1\in R(T)$과 $x_2\in N(T) = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T)}^\perp$가 유일하게 존재하여

사영의 정의와 직교여공간의 정의와 직교정리로

$\lVert T(x)\rVert^2 = \lVert x_1\rVert^2\le  \lVert x_1\rVert^2 + \lVert x_2\rVert^2 = \lVert x_1+_V x_2\rVert^2 = \lVert x\rVert^2$이므로 $\lVert T(x)\rVert\le \lVert x\rVert$이다.

 

 

 

정리8(스펙트럼 정리)

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$와

$(F,+,\cdot,0,1)$의 크로네커델타 $\delta$와 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$와 

선형연산자 $F$-벡터공간 $(L(V\to V),+_L,\cdot_L ,T_0)$과 선형연산자 환 $(L(V\to V),+_L,\circ ,T_0,I_V)$에 대해

$F = \mathbb{R}$이면 $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 자기수반연산자이고 $F = \mathbb{C}$이면 $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자일때

$k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 $T$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_k \in F$가 존재하여 

임의의 $i = 1,2,\cdots ,k$에 대해 $E_{\lambda_i}$ $ = R(T_i)$인 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 정사영 $T_i:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $V = E_{\lambda_1}$ $\oplus$ $E_{\lambda_2}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}$

2. $k\ge 2$일때 임의의 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{i-1}}\oplus E_{\lambda_{i+1}}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n} = $ $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp}$이다.

3. 모든 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 $T_i\circ T_j = \delta_{i,j}\cdot_L T_i$이다.

4. $I_V = T_1 +_L T_2+_L\cdots +_L T_k$

5. $T = \lambda_1\cdot_L T_1 +_L \lambda_2\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \lambda_k\cdot_L T_k$

6. 임의의 유한다항식 $f(x)\in P_\infty(F)$에 대한 다항함수가 $f : F\to F$일때

$f(x)$에 대한 $T$의 다항선형연산자는 $f(T) = f(\lambda_1)\cdot_L T_1 +_L f(\lambda_2)\cdot_L T_2+_L\cdots +_L f(\lambda_k)\cdot_L T_k$이다.

7. 모든 $i = 1,2,\cdots ,k$에 대해 다항선형연산자가 $f_i(T) = T_i$인 $k-1$차다항식 $f_i(x) \in P_{k-1}(F)$가 존재한다.

증명

1.

$F = \mathbb{R}$이면 자기수반연산자 정리로 $F = \mathbb{C}$이면 정규연산자 정리로

$T$의 고유벡터로 구성된 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 순서기저가 존재하므로 대각화 정리로 $T$는 대각화가능하여 

대각화 정리와 고유공간 정리로 $k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 $T$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_k \in F$가 존재하고

$V = E_{\lambda_1}\oplus E_{\lambda_2}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k}$이다.

2.

자기수반연산자 정리로 자기수반연산자는 정규연산자이므로 

$i\ne j$인 임의의 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 

정규연산자 정리와 고유공간의 정의와 내적정리로 모든 $x\in E_{\lambda_i}$와 모든 $y\in E_{\lambda_j}$는 $\langle x,y\rangle = 0$이 되어

직교여공간의 정의로 $y\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp}$이고 $E_{\lambda_j}\subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp}$임에 따라

1번과 직합의 정의와 부분공간의 합 정리로 $E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{i-1}}\oplus E_{\lambda_{i+1}}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n} \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp} $이다.

1번과 직합정리와 유한집합 정리와 차원의 정의로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)} = \displaystyle \sum_{r=1}^n \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_{\lambda_r})}$이고

직교여공간 정리로 $\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_{\lambda_i})} +\underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp})}$이므로

$ \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim}(E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{i-1}}\oplus E_{\lambda_{i+1}}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n}) = \displaystyle \sum_{r=1}^n \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_{\lambda_r})} - \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_{\lambda_i})} = \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(V)}- \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(E_{\lambda_i})}= \underset{(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})}{\dim(\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp})} \text{ 가 되어}$

직합의 정의와 부분공간의 합 정리와 부분공간 정리로 $E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{i-1}}\oplus E_{\lambda_{i+1}}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n} = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp}$이다.

3.

임의의 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 $i = j$이면 위 정리로 $T_i\circ T_i = T_i = 1\cdot_L T_i = \delta_{i,i}\cdot_L T_i$이다.

$i \ne j$이면 $k\ge 2$이므로 정사영의 정의와 2번으로

$N(T_i)=\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{R(T_i)}^\perp =\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp} = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{i-1}}\oplus E_{\lambda_{i+1}}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n} $가 되어

직합의 정의와 부분공간의 합 정리로 $ E_{\lambda_j} \subseteq E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{i-1}}\oplus E_{\lambda_{i+1}}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n}=N(T_i)$이고

2번으로 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_j}^\perp} = E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{j-1}}\oplus E_{\lambda_{j+1}}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n} $이므로 $E_{\lambda_i}\subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_j}^\perp} $이다.

부분공간 정리와 직교여공간 정리로 $E_{\lambda_i}\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp}=V = E_{\lambda_j}\oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_j}^\perp}$이므로

직합정리로 모든 $v \in V$는 $v=x+_V y$인 $x\in E_{\lambda_i} \subseteq \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_j}^\perp}$와 $y\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp}$가 유일하게 존재하여

직합정리로 $y = y_j +_V z$인 $y_j \in E_{\lambda_j} \subseteq N(T_i)$와 $z\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_j}^\perp}$가 유일하게 존재하므로

$v = x+_V y = x+_V y_j +_V z = y_j +_V (x+_V z)$이고 벡터공간의 정의로 $x+_V z\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_j}^\perp}$이다.

따라서 사영의 정의와 영공간의 정의로

$(T_i\circ T_j)(v) = T_i(T_j(v)) = T_i(y_j) = \vec{0} = 0\cdot_V T_i(v) = (0\cdot_L T_i)(v) = (\delta_{i,j}\cdot_L T_i)(v)$이므로

함수의 상등으로 $T_i\circ T_j = \delta_{i,j}\cdot_L T_i$이다.

4.

$k= 1$이면 1번으로 $V = E_{\lambda_1}$이고 직교여공간 정리로 $\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_1}^\perp} =\underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{V^\perp} = \{ \vec{0} \} $이므로

모든 $x\in V$는 $\vec{0}\in \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_1}^\perp}$에 대해 $x = x+_V \vec{0}$이고

사영의 정의로 $T_1(x) = x = I_V(x)$가 되어 함수의 상등으로 $I_V = T_1 $이다.

$k\ge 2$이면 임의의 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해

1, 2번과 직합정리와 부분공간 정리와 직교여공간 정리로 $E_{\lambda_1}\oplus E_{\lambda_2}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_k} = V = E_{\lambda_i} \oplus \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp}$이므로

모든 $x\in V$는 $x = x_1+_V x_2+_V\cdots +_V x_k$인 $x_i \in E_{\lambda_i} $와

$x_1 +_V \cdots +_V x_{i-1}+_V x_{i+1}+_V\cdots +_V x_n\in E_{\lambda_1} \oplus \cdots \oplus E_{\lambda_{i-1}}\oplus E_{\lambda_{i+1}}\oplus \cdots \oplus E_{\lambda_n} = \underset{(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)}{E_{\lambda_i}^\perp} $가 존재하여

사영의 정의로

$(T_1 +_L T_2+_L\cdots +_L T_k)(x) = T_1(x) +_V T_2(x) +_V \cdots +_V T_k(x) = x_1 +_V x_2+_V\cdots +_V x_k = x = I_V(x) \text{ 이고}$

함수의 상등으로 $I_V = T_1 +_L T_2+_L\cdots +_L T_k$이다.

5.

임의의 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 4번과 같이

모든 $x\in V$는 $x = x_1+_V x_2+_V\cdots +_V x_k$인 $x_i \in E_{\lambda_i} $가 유일하게 존재하여

선형변환 정리와 고유공간의 정의와 사영의 정의로

$\begin{align*} T(x) & = T(x_1+_V x_2+_V\cdots +_V x_k) \\[0.5em ]& = T(x_1)+_V T(x_2)+_V\cdots +_V T(x_k) \\[0.5em ]& = \lambda_1\cdot_V x_1 +_V \lambda_2\cdot_Vx_2+_V\cdots +_V \lambda_k\cdot_Vx_k \\[0.5em ]& = \lambda_1\cdot_V T_1(x) +_V \lambda_2\cdot_VT_2(x)+_V\cdots +_V \lambda_k\cdot_VT_k(x) \\[0.5em ]& = ( \lambda_1\cdot_L T_1 +_L \lambda_2\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \lambda_k\cdot_L T_k)(x) \text{ 이므로} \end{align*}$

함수의 상등으로 $T = \lambda_1\cdot_L T_1 +_L \lambda_2\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \lambda_k\cdot_L T_k$이다.

6.

임의의 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $T^m = \lambda_1^m\cdot_L T_1 +_L \lambda_2^m\cdot_LT_2+_L\cdots+_L \lambda_k^m\cdot_LT_k$임을 귀납법으로 증명한다.

$m = 0$이면 4번과 거듭연산의 정의로

$T^0 = I_V = T_1 +_L T_2+_L\cdots +_L T_k = 1\cdot_L T_1 +_L 1\cdot_L T_2+_L\cdots +_L 1\cdot_LT_k = \lambda_1^0\cdot_L T_1 +_L \lambda_2^0\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \lambda_k^0\cdot_LT_k \text{ 이다.}$

모든 $r\in \mathbb{N}$에 대해 $T^r = \lambda_1^r\cdot_L T_1 +_L \lambda_2^r\cdot_LT_2+_L\cdots+_L \lambda_k^r\cdot_LT_k$일때

3, 5번과 선형변환 정리와 크로네커델타의 정의로

$\begin{align*} T^{r+1} & = T^r \circ T \\[0.5em] & = \left (\sum_{i=1}^k \lambda_i^r\cdot_L T_i \right )\circ \left(\sum_{j=1}^k \lambda_j\cdot_L T_j \right) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^k (\lambda_i^r\cdot_L T_i)\circ \left(\sum_{j=1}^k \lambda_j\cdot_L T_j \right) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k (\lambda_i^r\cdot_L T_i)\circ (\lambda_j\cdot_L T_j) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k (\lambda_i^r\cdot \lambda_j) \cdot_L (T_i\circ T_j) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^k (\lambda_i^r\cdot \lambda_j) \cdot_L ( \delta_{i,j} \cdot_L T_i) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^k (\lambda_i^r\cdot \lambda_i) \cdot_L ( \delta_{i,i} \cdot_L T_i) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^k \lambda_i^{r+1} \cdot_L ( 1 \cdot_L T_i) \\[0.5em] & = \sum_{i=1}^k \lambda_i^{r+1} \cdot_L T_i \\[0.5em] & = \lambda_1^{r+1}\cdot_L T_1 +_L \lambda_2^{r+1}\cdot_LT_2+_L\cdots+_L \lambda_k^{r+1}\cdot_LT_k \text{ 이므로} \end{align*}$

모든 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $T^m = \lambda_1^m\cdot_L T_1 +_L \lambda_2^m\cdot_LT_2+_L\cdots+_L \lambda_k^m\cdot_LT_k$이다.

$(F,+,\cdot,0,1)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\bullet,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때

유한다항식의 정의로 $f(x)\in P_\infty(F)$는 어떤 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $f(x)\in P_m(F)$이므로

$f(x) = a_m \cdot_Q x^m +_Q \cdots +_Q a_1\cdot_Q x^1 +_Q a_0\cdot_Q x^0$인 $a_m,\cdots ,a_1,a_0\in F$이 존재하여

$f(x)$에 대한 다항함수 $f : F\to F$는 임의의 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $f(\lambda_i) = a_m \cdot \lambda_i^m + \cdots + a_1\cdot \lambda_i^1 + a_0\cdot \lambda_i^0$이고

위에서 보인 것과 벡터공간의 정의로 $f(x)$에 대한 $T$의 다항선형연산자는

$\begin{align*} f(T) & = a_m \cdot_L T^m +_L \cdots +_L a_1\cdot_L T^1 +_L a_0\cdot_L T^0 \\[0.5em]& = \sum_{j =0}^m a_j\cdot_L T^j \\[0.5em] & = \sum_{j = 0}^m a_j\cdot_L \left(\sum_{i= 1}^k \lambda_i^{j} \cdot_L T_i\right ) \\[0.5em] & = \sum_{j = 0}^m\sum_{i= 1}^k a_j\cdot_L (\lambda_i^{j} \cdot_L T_i ) \\[0.5em] & = \sum_{j = 0}^m\sum_{i= 1}^k (a_j\cdot \lambda_i^{j}) \cdot_L T_i \\[0.5em] & =\sum_{i= 1}^k \sum_{j = 0}^m (a_j\cdot \lambda_i^{j}) \cdot_L T_i \\[0.5em] & =\sum_{i= 1}^k \left ( \sum_{j = 0}^ma_j\cdot \lambda_i^{j} \right ) \cdot_L T_i \\[0.5em] & =\sum_{i= 1}^k f(\lambda_i)\cdot_L T_i \\[0.5em] & = f(\lambda_1)\cdot_L T_1 +_L f(\lambda_2)\cdot_L T_2+_L\cdots +_L f(\lambda_k)\cdot_L T_k \text{ 이다.} \end{align*}$

7.

$(F,+,\cdot,0,1)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\bullet,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때

임의의 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 

$f_i(x) = \begin{cases}  x^0 & (k = 1) \\[0.5em] \dfrac{(x^1-\lambda_1\cdot_Q x^0)\bullet\; \cdots \; \bullet(x^1-\lambda_{i-1}\cdot_Q x^0)\bullet(x^1-\lambda_{i+1}\cdot_Q x^0) \bullet\; \cdots \; \bullet(x^1 -\lambda_k\cdot_Q x^0)}{(\lambda_i\cdot_Q x^0 -\lambda_1\cdot_Q x^0)\bullet\;\cdots \; \bullet(\lambda_i\cdot_Q x^0 - \lambda_{i-1}\cdot_Q x^0)\bullet(\lambda_i\cdot_Q x^0 - \lambda_{i+1}\cdot_Q x^0)\bullet\;\cdots\;\bullet(\lambda_i\cdot_Q x^0 - \lambda_k \cdot_Q x^0) }& (k\ge 2) \end{cases} \text{  로 정의되는}$

라그랑주다항식 $f_i(x) \in Q(F)$는 $k-1$차다항식이고 $f_i(x)$에 대한 다항함수 $f_i : F\to F$에 대해

6번과 라그랑주다항식 정리로

$f_i(T) = f_i(\lambda_1)\cdot_LT_1 +_L f_i(\lambda_2)\cdot_L T_2 +_L\cdots +_L f_i(\lambda_k)\cdot_L T_k = f_i(\lambda_i)\cdot_L T_i = 1\cdot_L T_i = T_i$이다.

 

 

 

정리9

복소수체 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$차원 벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$위의 내적공간이 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$일때

$(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $T:V\to V$의 수반연산자 $T^*:V\to V$에 대해 다음이 성립한다.

1. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자이기 위한 필요충분조건은

다항선형연산자가 $g(T) = T^*$인 유한다항식 $g(x) \in P_\infty(\mathbb{C})$가 존재하는 것이다.

2. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 자기수반연산자이기 위한 필요충분조건은

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자이고 $T$의 모든 고윳값 $\lambda\in \mathbb{C}$가 $\lambda\in \mathbb{R}$인 것이다.

3. $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 유니타리연산자이기 위한 필요충분조건은

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자이고 $T$의 모든 고윳값 $\lambda\in \mathbb{C}$가 $|\lambda|$ $= 1$인 것이다.

증명

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$가 유한차원이므로 수반연산자 정리로 $T^*$가 존재한다.

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 $\mathbb{C}$-벡터공간이 $(L(V\to V),+_L,\cdot_L ,T_0)$이고

$(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$의 선형연산자 환이 $(L(V\to V),+_L,\circ ,T_0,I_V)$이고

$(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$의 분수다항식체가 $(Q(\mathbb{C}),+_Q,\bullet,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_Q$일때

1.

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자이면

위 정리로 $k\le n$인 $k\in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 $T$의 고윳값 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots, \lambda_k \in F$가 존재하여 

임의의 $i = 1,2,\cdots ,k$에 대해 $E_{\lambda_i}$ $ = R(T_i)$인 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 정사영 $T_i:V\to V$에 대해 

$T = \lambda_1\cdot_L T_1 +_L \lambda_2\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \lambda_k\cdot_L T_k$이고

위 정리와 수반연산자 정리로 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$에서 $T_i$의 수반연산자 $T_i^* :V\to V$에 대해

$\begin{align*} T^* & = (\lambda_1\cdot_L T_1 +_L \lambda_2\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \lambda_k\cdot_L T_k)^* \\[0.5em] & = (\lambda_1\cdot_L T_1)^* +_L (\lambda_2\cdot_L T_2)^*+_L\cdots +_L (\lambda_k\cdot_L T_k)^* \\[0.5em] & = \overline{\lambda_1}\cdot_L T_1^* +_L \overline{\lambda_2}\cdot_L T_2^*+_L\cdots +_L \overline{\lambda_k}\cdot_L T_k^* \\[0.5em] & = \overline{\lambda_1}\cdot_L T_1 +_L \overline{\lambda_2}\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \overline{\lambda_k}\cdot_L T_k \text{ 이다.} \end{align*}$

임의의 $i = 1,2,\cdots ,k$에 대해

$f_i(x) = \begin{cases}  x^0 & (k = 1) \\[0.5em] \dfrac{(x^1-\lambda_1\cdot_Q x^0)\bullet\; \cdots \; \bullet(x^1-\lambda_{i-1}\cdot_Q x^0)\bullet(x^1-\lambda_{i+1}\cdot_Q x^0) \bullet\; \cdots \; \bullet(x^1 -\lambda_k\cdot_Q x^0)}{(\lambda_i\cdot_Q x^0 -\lambda_1\cdot_Q x^0)\bullet\;\cdots \; \bullet(\lambda_i\cdot_Q x^0 - \lambda_{i-1}\cdot_Q x^0)\bullet(\lambda_i\cdot_Q x^0 - \lambda_{i+1}\cdot_Q x^0)\bullet\;\cdots\;\bullet(\lambda_i\cdot_Q x^0 - \lambda_k \cdot_Q x^0) }& (k\ge 2) \end{cases} \text{  로 정의되는}$

라그랑주다항식 $f_i(x) \in Q(\mathbb{C})$는 $k-1$차다항식이므로

$g(x) = \overline{\lambda_1}\cdot_Q f_1(x) +_Q \overline{\lambda_2}\cdot_Q f_2(x) +_Q \cdots +_Q \overline{\lambda_k}\cdot_Q f_k(x)$는 유한다항식이고

라그랑주다항식 정리로 $g(x)$에 대한 다항함수 $g: \mathbb{C}\to \mathbb{C}$는

$\begin{align*} g(\lambda_i)   = \overline{\lambda_1}\cdot f_1(\lambda_i) + \overline{\lambda_2}\cdot f_2(\lambda_i) + \cdots + \overline{\lambda_k}\cdot f_k(\lambda_i)  = \overline{\lambda_i}\cdot f_i(\lambda_i)  = \overline{\lambda_i}\cdot 1  = \overline{\lambda_i}  \end{align*}$가 되어

위 정리로 $g(x)$에 대한 $T$의 다항선형연산자는

$\begin{align*} g(T)  = g(\lambda_1)\cdot_L T_1 +_L g(\lambda_2)\cdot_L T_2 +_L \cdots +_L g(\lambda_k)\cdot_L T_k = \overline{\lambda_1}\cdot_L T_1 +_L \overline{\lambda_2}\cdot_L T_2 +_L \cdots +_L \overline{\lambda_k}\cdot_L T_k  = T^* \text{ 이다.}  \end{align*}$

역으로 다항선형연산자가 $g(T) = T^*$인 유한다항식 $g(x) \in P_\infty(\mathbb{C})$가 존재하면

다항선형연산자 정리로 $T\circ T^* = T\circ g(T) = g(T)\circ T = T^*\circ T$이므로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자이다.

2.

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 자기수반연산자이면

자기수반연산자 정리로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자이고 $T$의 모든 고윳값 $\lambda\in \mathbb{C}$는 $\lambda\in \mathbb{R}$이다.

역으로 $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자이고 $T$의 모든 고윳값 $\lambda\in \mathbb{C}$가 $\lambda\in \mathbb{R}$이면

1번에서 보인 것과 켤레복소수 정리로

$T = \lambda_1\cdot_L T_1 +_L \lambda_2\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \lambda_k\cdot_L T_k = \overline{\lambda_1}\cdot_L T_1 +_L \overline{\lambda_2}\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \overline{\lambda_k}\cdot_L T_k = T^*$이므로

$T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 자기수반연산자이다.

3.

$T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 유니타리연산자이면

유니타리연산자 정리로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자이고 $T$의 모든 고윳값 $\lambda\in \mathbb{C}$는 $|\lambda| = 1$이다.

역으로 $T$가 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 정규연산자이고 $T$의 모든 고윳값 $\lambda\in \mathbb{C}$가 $|\lambda| = 1$이면

1번에서 보인 것과 위 정리와 선형변환 정리와 복소수 정리로 $(\mathbb{C},+,\cdot,0,1)$의 크로네커델타 $\delta$에 대해

$\begin{align*} T\circ T^* & = (\lambda_1\cdot_L T_1 +_L \lambda_2\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \lambda_k\cdot_L T_k)\circ (\overline{\lambda_1}\cdot_L T_1 +_L \overline{\lambda_2}\cdot_L T_2+_L\cdots +_L \overline{\lambda_k}\cdot_L T_k) \\[0.5em] & = \left( \sum_{i= 1}^k \lambda_i\cdot_L T_i \right ) \circ \left( \sum_{j= 1}^k \overline{\lambda_j}\cdot_L T_j \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i= 1}^k (\lambda_i\cdot_L T_i) \circ \left( \sum_{j= 1}^k \overline{\lambda_j}\cdot_L T_j \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i= 1}^k \sum_{j= 1}^k (\lambda_i\cdot_L T_i) \circ ( \overline{\lambda_j}\cdot_L T_j ) \\[0.5em] & = \sum_{i= 1}^k \sum_{j= 1}^k (\lambda_i\cdot \overline{\lambda_j} )\cdot_L (T_i \circ T_j ) \\[0.5em] & = \sum_{i= 1}^k \sum_{j= 1}^k (\lambda_i\cdot \overline{\lambda_j} )\cdot_L (\delta_{i,j}\cdot_L T_i ) \\[0.5em] & = \sum_{i= 1}^k (\lambda_i\cdot \overline{\lambda_i} )\cdot_L (\delta_{i,i}\cdot_L T_i ) \\[0.5em] & = \sum_{i= 1}^k (\lambda_i\cdot \overline{\lambda_i} )\cdot_L (1\cdot_L T_i ) \\[0.5em] & = \sum_{i= 1}^k |\lambda_i|^2 \cdot_L T_i \\[0.5em] & = \sum_{i= 1}^k 1\cdot_L T_i \\[0.5em] & = \sum_{i= 1}^k T_i \\[0.5em] & = \ T_1 +_L T_2+_L\cdots +_L T_k \\[0.5em] & = I_V \text{ 이므로} \end{align*}$

유니타리연산자 정리와 유니타리연산자의 정의로 $T$는 $(V,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 유니타리연산자이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/87#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/87#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244