분수체(Field of fractions)

정의1

$(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$가 정역일때

정역의 분수 :

$b\ne 0_D$이고 $d \ne 0_D$인 임의의 $a,b,c,d \in D$에 대해

$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이기 위한 필요충분조건이 $a\cdot_D d = c\cdot_D b$인 데카르트곱 $D \times (D\setminus \{ 0_D\})$의 관계 $\mathcal{R}$의 동치류를

$(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$의 분수 $a//b = [(a,b)]_{\mathcal{R}} = \{ (c,d) \in D \times (D \setminus \{ 0_D \}) : (a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d) \}$로 정의한다.

정역의 분수집합 :

$Q = \{ x : \text{어떤 } (a,b) \in D \times (D\setminus \{ 0_D \}) \text{ 에 대해 } x = a//b \}$를 $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$의 분수집합으로 정의한다.

분수 덧셈 :

임의의 $a//b, c//d \in Q$를 더하는 것을 $(a//b) + (c//d) = (a\cdot_D d $ $+_D$ $ b\cdot_D c) // (b\cdot_D d)$로 정의한다.

분수 곱셈 :

임의의 $a//b, c//d \in Q$를 곱하는 것을 $(a//b) \cdot (c//d) = (a\cdot_D c) // (b\cdot_D d)$로 정의한다.

분수 항등원 :

$0_Q = 0_D//1_D$를 분수 덧셈에 대한 항등원으로 정의하고

$1_Q = 1_D//1_D$를 분수 곱셈에 대한 항등원으로 정의한다.

분수 뺄셈 :

임의의 $a \in D$의 $a +_D (-a) = 0_D$인 덧셈에 대한 역원이 $-a \in D$일때

임의의 $a//b \in Q$에 대해 $-(a//b) = (-a)//b$를 $a//b$의 덧셈에 대한 역원이라 정의하고

임의의 $x,y \in Q$에 대해 $x$에 $y$를 빼는 것을 $x -y = x + (-y)$로 정의한다.

분수 나눗셈 :

$a\ne 0_D$인 임의의 $a//b \in Q$에 대해 $(a//b)^{-1} = b//a$를 $a//b$의 곱셈에 대한 역원이라 정의하고

$y\ne 0_Q$인 임의의 $x,y \in Q$에 대해 $x$를 $y$로 나누는 것을 $\dfrac{x}{y}= x / y = x \cdot y^{-1}$로 정의한다.

정역의 분수체 :

아래 정리로 $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$는 체이므로 $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$를 $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$의 분수체로 정의한다.

 

 

 

정리1

정역 $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$에 대해 다음이 성립한다.

분수의 존재성 : $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$의 분수가 존재한다.

분수집합의 존재성 : $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$의 분수집합이 존재한다.

분수의 상등 : $b\ne 0_D$이고 $d \ne 0_D$인 임의의 $a,b,c,d \in D$에 대해

$a\cdot_D d = c\cdot_D b$이기 위한 필요충분조건은 $a//b = c//d$인 것이다.

증명

분수의 존재성 

위에서 정의된 관계 $\mathcal{R}$이 $D\times (D\setminus \{ 0_D\})$의 동치관계임을 보인다.

반사성

임의의 $(a,b) \in D\times (D \setminus \{ 0_D \})$에 대해

정역의 곱셈 $\cdot_D: D \times D \to D$는 함수이므로 $a \cdot_D b = a\cdot_D b$가 되어 $\mathcal{R}$의 정의로 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (a,b)$이다.

대칭성

임의의 $(a,b),(c,d) \in D \times (D \setminus \{ 0_D \})$에 대해 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이면 $\mathcal{R}$의 정의로 $a \cdot_D d = c \cdot_D b$이고

집합 상등의 대칭성으로 $c \cdot_D b = a \cdot_D d$이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(c,d) \; \mathcal{R} \; (a,b)$이다.

추이성

임의의 $(a,b),(c,d),(e,f) \in D \times (D \setminus \{ 0_D \})$에 대해

$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이고 $(c,d) \; \mathcal{R} \; (e,f)$이면 $\mathcal{R}$의 정의로 $a \cdot_D d = c \cdot_D b$이고 $c \cdot_D f = e \cdot_D d$이므로

순서쌍의 상등으로 $(a \cdot_D d , c \cdot_D f) = (c \cdot_D b, e \cdot_D d)$이고

정역의 곱셈 $\cdot_D: D \times D \to D$은 함수이므로 $(a \cdot_D d) \cdot_D (c \cdot_D f) = (c \cdot_D b) \cdot_D (e \cdot_D d)$가 되어

정역의 정의로 $(a \cdot_D f) \cdot_D (c \cdot_D d) = (e \cdot_D b) \cdot_D (c \cdot_D d)$이다.

$c\cdot_D d = 0_D$이면 

정역의 정의로 $d\ne 0_D$이므로 $c = 0_D$가 되어 $a \cdot_D d = 0_D = c \cdot_D b$는 $a = 0_D$이고

$c \cdot_D f = 0_D = e \cdot_D d$도 $e = 0_D$가 되어 $a\cdot_D f = 0_D = e\cdot_D b$이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (e,f)$이다.

$c\cdot_D d \ne 0_D$이면 

소거법칙으로 $a \cdot_D f = e \cdot_D b $이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (e,f)$이다.

동치관계의 반사성, 대칭성, 추이성이 성립하여 관계 $\mathcal{R}$은 동치관계이므로

분류 공리로 $\mathcal{R}$에 대한 $(a,b)$의 동치류 $[(a,b)]_{\mathcal{R}} = \{ (c,d) \in D\times (D\setminus \{ 0_D \}) : (a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d) \}$가 존재하여

분수 $a//b = [(a,b)]_{\mathcal{R}}$가 존재한다.

분수집합의 존재성

임의의 $(a,b) \in D \times (D\setminus \{ 0_D \})$에 대해 분수 $a//b = [(a,b)]_{\mathcal{R}}$가 유일하게 존재하므로

치환 공리로 분수집합 $Q = \{ x : \text{어떤 } (a,b) \in D \times (D\setminus \{ 0_D \}) \text{ 에 대해 } x = a//b \}$가 존재한다.

분수의 상등

임의의 $(a,b),(c,d) \in D \times (D \setminus \{ 0_D \})$에 대해

동치류 정리로 $a//b = [(a,b)]_{\mathcal{R}} = [(c,d)]_{\mathcal{R}} = c//d$이기 위한 필요충분조건은 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$인 것이고

$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이기 위한 필요충분조건은 $a \cdot_D d = c \cdot_D b$인 것이므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리2

$(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$가 정역일때 임의의 $a_1,a_2,c \in D$와 임의의 $b_1,b_2,d \in D\setminus \{ 0_D \}$에 대해 다음이 성립한다.

덧셈의 타당성 : 

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 1,2가 성립하여 분수 덧셈은 $+ : Q\times Q \to Q$인 이항연산이다.

1. $(a_1//b_1) + (c//d) = (a_2//b_2) + (c//d)$

2. $(c//d) + (a_1//b_1) = (c//d) + (a_2//b_2)$

곱셈의 타당성 :

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 1,2가 성립하여 분수 곱셈은 $\cdot : Q\times Q \to Q$인 이항연산이다.

1. $(a_1//b_1) \cdot (c//d) = (a_2//b_2) \cdot (c//d)$

2. $(c//d) \cdot (a_1//b_1) = (c//d) \cdot (a_2//b_2)$

덧셈 역원의 타당성 :

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 $-(a_1//b_1) = -(a_2//b_2)$가 성립하여 덧셈 역원연산은 $- : Q \to Q$인 함수이다.

곱셈 역원의 타당성 :

$a_1 \ne 0_D$이고 $a_2 \ne 0_D$일때 $a_1//b_1 = a_2//b_2$이면

$(a_1//b_1)^{-1} = (a_2//b_2)^{-1}$이 성립하여 곱셈 역원연산은 $(\cdot)^{-1} : Q \setminus \{ 0_Q\} \to Q \setminus \{ 0_Q \}$인 함수이다.

정역의 원소와 분수 사이의 관계 :

1. $a_1//1_D = a_2//1_D$이기 위한 필요충분조건은 $a_1 = a_2$인 것이다.

2. $(a_1//1_D) + (a_2//1_D) = (a_1 +_D a_2)//1_D$

3. $(a_1//1_D) \cdot (a_2//1_D) = (a_1 \cdot_D a_2)//1_D $

4. $0_Q = 0_D//1_D = 0_D//d$

5. $1_Q = 1_D//1_D = d//d$

6. $\dfrac{c//1_D}{d//1_D} = c//d$ 

7. $(-c)//d=-(c//d) = c//(-d)$

8. $c//d = (-c)//(-d)$

9. $(d//1_D)^{-1} =  \dfrac{1_D//1_D}{d//1_D} = \dfrac{1_Q}{d//1_D}$

증명

덧셈의 타당성

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이므로

분수의 상등으로 $a_1\cdot_D b_2 = a_2\cdot_D b_1$이고 집합 상등의 반사성으로 $c \cdot_D d = c\cdot_D d$이다.

정역의 덧셈과 곱셈 $+_D,\cdot_D : D\times D \to D$는 함수이므로

$a_1\cdot_D b_2 = a_2\cdot_D b_1$에 $d\cdot_D d$를 곱하면 $a_1\cdot_D b_2 \cdot_D d \cdot_D d  = a_2\cdot_D b_1 \cdot_D d \cdot_D d $이고

$c \cdot_D d = c \cdot_D d$에 $b_1\cdot_D b_2$를 곱하면 $c\cdot_D d \cdot_D b_1\cdot_D b_2 = c\cdot_D d \cdot_D b_1 \cdot_D b_2$가 되어

$a_1\cdot_D b_2 \cdot_D d \cdot_D d +_D c \cdot_D d \cdot_D b_1 \cdot_D b_2 = a_2\cdot_D b_1 \cdot_D d \cdot_D d +_D c\cdot_D d \cdot_D b_1 \cdot_D b_2$이다.

또 $b_1,b_2,d \in D\setminus \{ 0_D \}$이므로 정역의 정의로 $b_1 \cdot_D d \ne 0_D$이고 $b_2 \cdot_D d \ne 0_D$이다.

1.

정역의 정의로 위 식을 정리하면 $(a_1\cdot_D d +_D b_1\cdot_D c) \cdot_D (b_2\cdot_D d) = (a_2\cdot_D d +_D b_2 \cdot_D c) \cdot (b_1 \cdot_D d)$이고

분수 덧셈의 정의로

$(a_1//b_1) + (c//d) = (a_1\cdot_D d +_D b_1\cdot_D c)//(b_1\cdot_D d)$이고

$(a_2//b_2) + (c//d) = (a_2\cdot_D d +_D b_2\cdot_D c)//(b_2 \cdot_D d)$이므로

분수의 상등으로 $(a_1//b_1) + (c//d) = (a_2//b_2) + (c//d)$이다.

2.

정역의 정의로 위 식을 정리하면 $(c\cdot_D b_1 +_D d\cdot_D a_1) \cdot_D (d\cdot_D b_2) = (c\cdot_D b_2 +_D d\cdot_D a_2) \cdot_D (d\cdot_D b_1)$이고

분수 덧셈의 정의로

$(c//d) + (a_1//b_1)  = (c\cdot_D b_1 +_D d\cdot_D a_1)//(d\cdot_D b_1)$이고

$(c//d ) + (a_2//b_2) = (c\cdot_D b_2 +_D d\cdot_D a_2)//(d\cdot_D b_2)$이므로

분수의 상등으로 $(c//d) + (a_1//b_1) = (c//d) + (a_2//b_2)$이다.

곱셈의 타당성

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 분수의 상등으로 $a_1\cdot_D b_2 = a_2\cdot_D b_1$이고

정역의 곱셈 $\cdot_D : D\times D \to D$는 함수이므로 위 식에 $c \cdot_D d$를 곱하면 $a_1\cdot_D b_2 \cdot_D c \cdot d = a_2\cdot_D b_1 \cdot_D c \cdot_D d $이다.

또 $b_1,b_2,d \in D\setminus \{ 0_D \}$이므로 정역의 정의로 $b_1 \cdot_D d \ne 0_D$이고 $b_2 \cdot_D d \ne 0_D$이다.

1.

정역의 정의로 위 식을 정리하면 $(a_1\cdot_D c) \cdot_D (b_2\cdot_D d) = (a_2\cdot_D c)\cdot_D (b_1\cdot_D d)$이고

분수 곱셈의 정의로

$(a_1//b_1) \cdot (c//d) = (a_1 \cdot_D c) //(b_1\cdot_D d)$이고

$(a_2//b_2) \cdot (c//d) = (a_2\cdot_D c) // (b_2 \cdot_D d)$이므로

분수의 상등으로 $(a_1//b_1) \cdot (c//d) = (a_2//b_2) \cdot (c//d)$이다.

2.

정역의 정의로 위 식을 정리하면 $(c\cdot_D a_1) \cdot_D (d\cdot_D b_2) = (c\cdot_D a_2)\cdot_D (d\cdot_D b_1)$이고

분수 곱셈의 정의로

$(c//d)\cdot (a_1//b_1)  = (c\cdot_D a_1) //(d\cdot_D b_1)$이고

$(c//d)\cdot (a_2//b_2) = (c\cdot_D a_2) // (d\cdot_D b_2)$이므로

분수의 상등으로 $(c//d) \cdot (a_1//b_1) = (c//d) \cdot (a_2//b_2)$이다.

덧셈 역원의 타당성

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 분수의 상등으로 $a_1\cdot_D b_2 = a_2\cdot_D b_1$이고

덧셈 역원연산 $- : D \to D$는 함수이므로

정역 정리로 $(-a_1)\cdot_D b_2 = -(a_1\cdot_D b_2) = -(a_2\cdot_D b_1) = (-a_2)\cdot_D b_1$이 되어

분수 덧셈 역원의 정의과 분수의 상등으로 $-(a_1//b_1) = (-a_1) // b_1 = (-a_2)//b_2 = -(a_2//b_2)$이다.

곱셈 역원의 타당성

$a_1//b_1 = a_2//b_2$이면 분수의 상등으로 $a_1\cdot_D b_2 = a_2\cdot_D b_1$이므로 정역의 정의로 $b_2 \cdot_D a_1 = b_1 \cdot_D a_2$이고

$a_1 ,a_2 \in D\setminus \{ 0_D \}$이므로

분수 곱셈 역원의 정의과 분수의 상등으로 $ (a_2//b_2)^{-1}= b_2//a_2 = b_1 // a_1 = (a_1//b_1)^{-1}$이고

집합 상등의 대칭성으로 $(a_1//b_1)^{-1} = (a_2//b_2)^{-1}$이다.

정역의 원소와 분수 사이의 관계

1. 

$a_1//1_D = a_2//1_D$이면

정역의 정의와 분수의 상등으로 $a_1=a_1 \cdot_D 1_D = a_2\cdot_D 1_D = a_2$이다.

역으로 $a_1 = a_2$이면

정역의 정의로 $a_1\cdot_D 1_D=a_1 = a_2 = a_2\cdot_D 1_D$이므로 분수의 상등으로 $a_1//1_D = a_2//1_D$이다.

2.

정역의 정의로 $ (a_1\cdot_D 1_D +_D 1_D\cdot_D a_2 ) \cdot_D 1_D = (a_1 +_D a_2)\cdot_D (1_D\cdot_D 1_D)$이므로

분수 덧셈의 정의와 분수의 상등으로

$(a_1//1_D) + (a_2//1_D)  = (a_1\cdot_D 1_D +_D 1_D\cdot_D a_2 )//(1_D\cdot_D 1_D)= (a_1 +_D a_2)//1_D $이다.

3. 

정역의 정의로 $(a_1\cdot_D a_2) \cdot_D 1_D = (a_1 \cdot_D a_2) \cdot_D (1_D\cdot_D 1_D)$이므로

분수 곱셈의 정의와 분수의 상등으로

$(a_1//1_D) \cdot (a_2//1_D) = (a_1\cdot_D a_2)//(1_D\cdot_D 1_D) = (a_1 \cdot_D a_2)//1_D $이다.

4.

정역 정리로 $0_D\cdot_D d = 0_D = 0_D\cdot_D 1_D$이므로 분수의 상등으로 $0_Q = 0_D//1_D = 0_D//d$이다.

5.

정역의 정의로 $1_D\cdot_D d = d = d\cdot_D 1_D$이므로 분수의 상등으로 $1_Q = 1_D//1_D = d//d$이다.

6.

정역의 정의로 $(c\cdot_D 1_D ) \cdot_D d = c \cdot_D (1_D\cdot_D d)$이므로

분수 나눗셈의 정의와 분수 곱셈의 정의와 분수의 상등으로

$\dfrac{c//1_D}{d//1_D} = (c//1_D)\cdot (d//1_D)^{-1} = (c//1_D)\cdot (1_D//d) = (c\cdot_D 1_D) // (1_D\cdot_D d) = c//d$이다.

7.

정역 정리로 $(-c)\cdot_D (-d) = c\cdot_D d$이고 $d \ne 0_D$이므로

정역의 정의로 $0_D \ne 1_D$이고 $-d = -(1_D\cdot_D d)=(-1_D)\cdot_D d \ne 0_D$이다.

따라서 분수의 상등으로 $(-c)//d= c//(-d)$이고 분수 덧셈 역원의 정의로 $-(c//d) = (-c)//d$이므로

$-(c//d) = (-c)//d = c//(-d)$이다.

8.

정역 정리로 $c\cdot_D (-d) = (-c)\cdot_D d$이고 $d \ne 0_D$이므로

정역의 정의로 $0_D \ne 1_D$이고 $-d = -(1_D\cdot_D d)=(-1_D)\cdot_D d \ne 0_D$이다.

따라서 분수의 상등으로 $c//d = (-c)//(-d)$이다.

9.

분수 나눗셈의 정의와 분수 곱셈의 정의로

$(d//1_D)^{-1} =1_D//d = (1_D \cdot_D 1_D) // (1_D \cdot_D d) = (1_D//1_D)\cdot (1_D//d) = (1_D//1_D)\cdot(d//1_D)^{-1} = \dfrac{1_D//1_D}{d//1_D} =\dfrac{1_Q}{d//1_D}\text{ 이다.}$

 

 

 

정리3

정역 $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$의 분수체 $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$는 체이다.

증명

임의의 $x,y ,z\in Q$에 대해 다음을 만족하므로 $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$는 체이다.

덧셈에 대한 교환법칙

분수의 정의로 $x = a//b$이고 $y = c//d$인 $a,c\in D$와 $b,d\in D\setminus \{ 0_D \}$가 존재하여

덧셈의 정의로

$x + y= (a//b) + (c//d) = (a \cdot_D d +_D b\cdot_D c) // (b\cdot_D d)$이고

$y + x= (c//d) + (a//b) = (c\cdot_D b +_D d\cdot_D a) // (d\cdot_D b)$이므로

정역의 정의로 $(a\cdot_D d +_Db\cdot_D c) \cdot_D (d \cdot_D b)  = (c\cdot_D b +_D d \cdot_D a) \cdot_D (b \cdot_D d)$임에 따라

분수의 상등으로 $x +y = (a\cdot_D d +_D b\cdot_D c)//(b\cdot_D d) = (c\cdot_D b +_D d\cdot_D a)//(d\cdot_D b) = y+x$이다.

곱셈에 대한 교환법칙

분수의 정의로 $x = a//b$이고 $y = c//d$인 $a,c\in D$와 $b,d\in D\setminus \{ 0_D \}$가 존재하여

곱셈의 정의로

$x \cdot y= (a//b) \cdot (c//d) = (a \cdot_D c) // (b\cdot_D d)$이고 $y \cdot x= (c//d) \cdot (a//b) = (c\cdot_D a) // (d\cdot_D b)$이므로

정역의 정의로 $(a\cdot_D c) \cdot_D (d\cdot_D b) = (c\cdot_D a) \cdot_D (b\cdot_D d)$임에 따라

분수의 상등으로 $x \cdot y  = (a\cdot_D c) // (b\cdot_D d) = (c\cdot_D a)//(d\cdot_D b) = y\cdot x$이다.

덧셈에 대한 결합법칙

분수의 정의로 $x = a_{x}//b_{x}$이고 $y = a_{y}//b_{y}$이고 $z = a_{z}//b_{z}$인 $a_{x},a_y,a_z \in D$와 $b_x,b_y,b_z \in D\setminus \{ 0_D \}$가 존재하여

덧셈의 정의와 정역의 정의로

$\begin{align*} x +(y+z) & = (a_{x}//b_{x}) + ((a_{y}//b_{y}) + (a_{z}//b_{z})) \\[0.5em] & = (a_{x}//b_{x}) + ((a_{y}\cdot_D b_z +_Db_y \cdot_D a_z )//(b_{y}\cdot_D b_z)) \\[0.5em] & = (a_{x}\cdot_D ( b_{y}\cdot_D b_z ) +_D b_x\cdot_D (a_{y}\cdot_D b_z +_Db_y \cdot_D a_z ) )//( b_x \cdot_D (b_{y}\cdot_D b_z)) \\[0.5em] & = (a_{x}\cdot_D b_{y}\cdot_D b_z +_D b_x\cdot_D a_{y}\cdot_D b_z +_D b_x\cdot_D b_y \cdot_D a_z )//( b_x \cdot_D b_{y}\cdot_D b_z) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} (x +y)+z & = ((a_{x}//b_{x}) + (a_{y}//b_{y})) + (a_{z}//b_{z}) \\[0.5em] & = ((a_{x}\cdot_D b_y +_D b_x \cdot_D a_y )//(b_{x}\cdot_D b_y)) + (a_{z}//b_{z}) \\[0.5em] & = ( (a_{x}\cdot_D b_y +_D b_x \cdot_D a_y )\cdot_D b_z +_D ( b_{x}\cdot_D b_y ) \cdot_D a_{z} )//( (b_x \cdot_D b_{y})\cdot_D b_z) \\[0.5em] & = (a_{x}\cdot_D b_{y}\cdot_D b_z +_D b_x\cdot_D a_{y}\cdot_D b_z +_D b_x\cdot_D b_y \cdot_D a_z )//( b_x \cdot_D b_{y}\cdot_D b_z) \text{ 이므로} \end{align*}$

$x +(y+z) = (x+y)+z$이다.

곱셈에 대한 결합법칙

분수의 정의로 $x = a_{x}//b_{x}$이고 $y = a_{y}//b_{y}$이고 $z = a_{z}//b_{z}$인 $a_{x},a_y,a_z \in D$와 $b_x,b_y,b_z \in D\setminus \{ 0_D \}$가 존재하여

곱셈의 정의와 정역의 정의로

$\begin{align*} x \cdot (y\cdot z) & = (a_{x}//b_{x}) \cdot ((a_{y}//b_{y}) \cdot (a_{z}//b_{z})) \\[0.5em] & = (a_{x}//b_{x}) \cdot ((a_{y}\cdot_D a_z)//(b_{y}\cdot_D b_z)) \\[0.5em] & = (a_x\cdot_D (a_{y}\cdot_D a_z) )//( b_x\cdot_D (b_{y}\cdot_D b_z) ) \\[0.5em] & = (a_x\cdot_D a_{y}\cdot_D a_z )//( b_x\cdot_D b_{y}\cdot_D b_z ) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} (x \cdot y)\cdot z & = ((a_{x}//b_{x}) \cdot (a_{y}//b_{y})) \cdot (a_{z}//b_{z}) \\[0.5em] & = ((a_{x}\cdot_D a_y)//(b_{x}\cdot_D b_y)) \cdot (a_z//b_z) \\[0.5em] & = ((a_x\cdot_D a_{y})\cdot_D a_z )//( (b_x\cdot_D b_{y})\cdot_D b_z ) \\[0.5em] & = (a_x\cdot_D a_{y}\cdot_D a_z )//( b_x\cdot_D b_{y}\cdot_D b_z ) \text{ 이므로} \end{align*}$

$x \cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z$이다.

덧셈의 항등원

분수의 정의로 $x = a//b$인 $a\in D$와 $b\in D\setminus \{ 0_D \}$가 존재하고 $0_Q = 0_D//1_D$이므로

덧셈의 정의와 정역의 정의와 정역 정리로

$x + 0_Q = (a//b) + (0_D//1_D) = (a\cdot_D 1_D +_Db\cdot_D 0_D)//(b\cdot_D 1_D) = a//b = x$이다.

따라서 덧셈에 대한 교환법칙으로 $x = x + 0_Q = 0_Q +x$이다.

덧셈의 역원

분수의 정의로 $x = a//b$인 $a\in D$와 $b\in D\setminus \{ 0_D \}$가 존재하고 $-x = -(a//b) = (-a)//b$이므로

덧셈의 정의와 정역의 정의와 위 정리로

$x + (-x) = (a//b) + ((-a)//b) = (a\cdot_D b +_D b\cdot_D (-a))//(b\cdot_D b) = 0_D//(b\cdot_D b) = 0_Q$이다.

따라서 덧셈에 대한 교환법칙으로 $0_Q = x + (-x) = (-x) +x$이다.

곱셈의 항등원

분수의 정의로 $x = a//b$인 $a\in D$와 $b\in D\setminus \{ 0_D \}$가 존재하고 $1_Q = 1_D//1_D$이므로

곱셈의 정의와 정역의 정의로 $x\cdot 1_Q = (a//b) \cdot (1_D//1_D) = (a\cdot_D 1_D)//(b\cdot_D 1_D) = a//b = x$이다.

따라서 곱셈에 대한 교환법칙으로 $x = x\cdot 1_Q = 1_Q\cdot x$이다.

곱셈의 역원

$x\ne 0_Q$이면 분수의 정의로 $x = a//b$인 $a,b\in D\setminus \{ 0_D \}$가 존재하여 $x^{-1} = (a//b)^{-1} = b//a$이고

곱셈의 정의와 정역의 정의와 위 정리로 $x \cdot x^{-1} = (a//b)\cdot (b//a) = (a\cdot_D b)//(b\cdot_D a)  = 1_Q$이다.

따라서 곱셈에 대한 교환법칙으로 $1_Q = x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x$이다.

분배법칙

분수의 정의로 $x = a_{x}//b_{x}$이고 $y = a_{y}//b_{y}$이고 $z = a_{z}//b_{z}$인 $a_{x},a_y,a_z \in D$와 $b_x,b_y,b_z \in D\setminus \{ 0_D \}$가 존재하여

덧셈의 정의와 곱셈의 정의와 정역의 정의로

$\begin{align*} x \cdot (y+z) & = (a_x//b_x) \cdot ( (a_y//b_y) + (a_z//b_z) ) \\[0.5em] & = (a_x//b_x) \cdot ( (a_y\cdot_D b_z +_D b_y\cdot_D a_z)//(b_y\cdot_D b_z) ) \\[0.5em] & = ( a_x\cdot_D (a_y\cdot_D b_z +_D b_y\cdot_D a_z) ) // ( b_x\cdot_D (b_y\cdot_D b_z)) \\[0.5em] & = ( a_x\cdot_D a_y\cdot_D b_z +_D a_x\cdot_D b_y\cdot_D a_z ) // ( b_x\cdot_D b_y\cdot_D b_z) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} x \cdot y+ x \cdot z & = ((a_x//b_x) \cdot (a_y//b_y)) + ((a_x//b_x) \cdot (a_z//b_z)) \\[0.5em] & = ( (a_x\cdot_D a_y )//(b_x \cdot_D b_y) ) + ( (a_x\cdot_D a_z )//(b_x \cdot_D b_z) ) \\[0.5em] & = ( (a_x\cdot_D a_y )\cdot_D (b_x \cdot_D b_z) +_D (b_x \cdot_D b_y) \cdot_D (a_x\cdot_D a_z ) ) //((b_x \cdot_D b_y) \cdot_D (b_x \cdot_D b_z) ) \\[0.5em] & = ( a_x\cdot_D a_y \cdot_D b_x \cdot_D b_z +_D b_x \cdot_D b_y \cdot_D a_x\cdot_D a_z ) //(b_x \cdot_D b_y \cdot_D b_x \cdot_D b_z ) \text{ 이다.} \end{align*}$

또 정역의 정의로

$ ( a_x\cdot_D a_y \cdot_D b_x \cdot_D b_z +_D b_x \cdot_D b_y \cdot_D a_x\cdot_D a_z ) \cdot_D (b_x\cdot_D b_y \cdot_D b_z)  =  ( a_x\cdot_D a_y\cdot_D b_z +_D a_x\cdot_D b_y\cdot_D a_z ) \cdot_D (b_x \cdot_D b_y \cdot_D b_x \cdot_D b_z ) \text{ 이므로}$

분수의 상등으로 $x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z $이다.

따라서 교환법칙으로 $x \cdot (y + z) = (y +z)\cdot x$이고 $ x\cdot y + x\cdot z = y\cdot x + z\cdot x$이므로

$x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z = y\cdot x + z\cdot x= (y +z)\cdot x$이다.

 

 

 

정리4

정역 $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$의 분수체가 $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$이고 $D_Q = \{ a//1_D : a\in D\}$일때

임의의 $a\in D$에 대해 $i(a) = a//1_D$인 함수가 $i:D\to D_Q$이면 다음이 성립한다.

1. $(D_Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$는 $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$의 부분환이다.

2. $i$는 $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$에서 $(D_Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$로의 동형사상이다.

증명

1.

분수의 정의로 $ 0_Q= 0_D//1_D = i(0_D) \in i(D)$이고 $1_Q = 1_D//1_D = i(1_D) \in i(D)$이다.

임의의 $x,y \in i(D)$는 $x = a//1_D$이고 $y = b//1_D$인 $a,b \in D$가 존재하여 정역의 정의로 $a-b \in D$이고 위 정리로

$x-y = (a//1_D) - (b//1_D) = (a//1_D) + ((-b)//1_D) = (a + (-b))//1_D = (a-b)//1_D = i(a-b) \in i(D) \text{ 이다.}$

또 정역의 정의로 $a\cdot_D b \in D$이고 위 정리로 $x\cdot y = (a//1_D)\cdot (b//1_D) = (a\cdot_D b)//1_D = i(a\cdot_D b)\in i(D)$이다.

따라서 $i(D) = D_Q$이므로 부분환 정리로 $(D_Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$는 $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$의 부분환이다.

2.

$i(1_D) = 1_D//1_D = 1_Q$이고 임의의 $a,b \in D$에 대해 위 정리로

$i(a+_D b) = (a+_D b)//1_D = (a//1_D) + (b//1_D) = i(a) + i(b)$와

$i(a\cdot_D b) = (a\cdot_D b)//1_D = (a//1_D) \cdot (b//1_D) = i(a)\cdot i(b)$가 성립하므로

$i$는 $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$에서 $(D_Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$로의 준동형사상이다.

또 $a//1_D=i(a) = i(b) = b//1_D$이면 위 정리로 $a=b$이므로 $i$는 단사이고 $i(D) = D_Q$이므로 $i$는 전사가 되어

$i$는 $(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$에서 $(D_Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$로의 동형사상이다.

 

 

 

정리5

임의의 체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 부분환이 $(D,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$일때

$(D,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수체 $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $a \in D$에 대해 $\psi(a//1_F) = a$인 단사함수 $\psi : Q\to F$가 존재한다.

2. $(\psi(Q),+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$는 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 부분환이다.

3. $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$와 $(\psi(Q),+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$는 동형이다.

증명

체 정리로 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$는 정역이므로 부분환 정리로 $(D,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$는 정역이 되어

$(D,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수체 $(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$가 존재한다.

1.

분수의 정의로 임의의 $x\in Q$는

$x = a//b$인 $a\in D$와 $b\in D\setminus \{ 0_F \}$가 존재하므로 $\psi(a//b) = a\cdot_F b^{-1}$로 정의하면

$a//b = c//d$인 임의의 $a,c \in D$와 임의의 $b,d\in D\setminus \{ 0_F\}$에 대해

분수의 상등으로 $a\cdot_F d = c\cdot_F b$이므로 $\psi(a//b)=a\cdot_F b^{-1} = c\cdot_F d^{-1} =\psi(c//d)$가 되어 $\psi : Q\to F$는 함수이고

체 정리와 체의 정의로 임의의 $a \in D$에 대해 $\psi(a//1_F) = a\cdot_F 1_F^{-1} = a\cdot_F 1_F = a$이다.

또 $a\cdot_F b^{-1} =\psi(a//b) =\psi(c//d) = c\cdot_F d^{-1} $이면

$a\cdot_F d = c\cdot_F b$가 되어 분수의 상등으로 $a//b = c//d$이므로 $\psi$는 단사이다.

2.

1번으로 $0_F = \psi(0_F//1_F) = \psi(0_Q) \in \psi(Q)$와 $1_F = \psi(1_F//1_F) = \psi(1_Q) \in \psi(Q)$가 성립한다.

임의의 $x,y \in \psi(Q)$는

$x =\psi(a//b) = a\cdot_F b^{-1}$이고 $y =\psi(c//d)= c\cdot_F d^{-1}$인 $a,c \in D$와 $b,d\in D\setminus \{ 0_F\}$가 존재하여

체 정리와 체의 정의로

$\begin{align*} x-y &= a\cdot_F b^{-1} - c\cdot_F d^{-1} \\[0.5em] &= a\cdot_F 1_F \cdot_F b^{-1} - 1_F\cdot_F c\cdot_F d^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F d \cdot_F d^{-1} \cdot_F b^{-1} - b \cdot_F b^{-1}\cdot_F c \cdot_F d^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F d \cdot_F b^{-1}\cdot_F d^{-1} -b\cdot_F c \cdot_F b^{-1}\cdot_F d^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F d \cdot_F (b\cdot_F d)^{-1} -b\cdot_F c \cdot_F (b\cdot_F d)^{-1} \\[0.5em]&= (a\cdot_F d -b\cdot_F c)\cdot_F (b\cdot_F d)^{-1} \\[0.5em]&= \psi( (a\cdot_F d -b\cdot_F c)// (b\cdot_F d) ) \in \psi(Q) \text{ 이고} \end{align*}$

$x\cdot_F y = a\cdot_F b^{-1} \cdot_F c\cdot_Fd^{-1} = a\cdot_F c \cdot_F b^{-1}\cdot_F d^{-1} = (a\cdot_Fc)\cdot_F (b\cdot_F d)^{-1} =\psi((a\cdot_F c)//(b\cdot_F d)) \in \psi(Q) \text{ 이다.}$

따라서 부분환 정리로 $(\psi(Q),+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$는 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 부분환이다.

3.

임의의 $x,y\in Q$는 $x =a//b$이고 $y = c//d$인 $a,c \in D$와 $b,d\in D\setminus \{ 0_F\}$가 존재하여

$x+y = (a//b) + (c//d) = (a\cdot_F d +_F b\cdot_Fc)//(b\cdot_F d)$이므로 체 정리와 체의 정의로

$\begin{align*} \psi(x+y) &= \psi((a\cdot_F d +_F b\cdot_F c)//(b\cdot_F d)) \\[0.5em]&= (a\cdot_F d +_F b\cdot_F c)\cdot_F(b\cdot_F d)^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F d \cdot_F(b\cdot_F d)^{-1} +_F b\cdot_F c \cdot_F(b\cdot_F d)^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F d \cdot_Fb^{-1}\cdot_F d^{-1} +_F b\cdot_F c \cdot_Fb^{-1}\cdot_F d^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F d \cdot_F d^{-1}\cdot_F  b^{-1} +_F b\cdot_Fb^{-1}\cdot_F c \cdot_F d^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F 1_F\cdot_F b^{-1} +_F 1_F \cdot_F c \cdot_F d^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F b^{-1} +_F c \cdot_F d^{-1} \\[0.5em]&= \psi(a//b) +_F \psi(c//d) \\[0.5em] & = \psi(x) +_F \psi(y) \text{ 이고} \end{align*}$

$x\cdot y = (a//b)\cdot (c//d) = (a\cdot_F c)//(b\cdot_F d)$이므로

$\begin{align*}\psi(x\cdot y) & = \psi ((a\cdot_F c)// (b\cdot_F d)) \\[0.5em]& = (a\cdot_F c)\cdot_F (b\cdot_F d)^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F c \cdot_F b^{-1}\cdot_F d^{-1} \\[0.5em]&= a\cdot_F b^{-1} \cdot_F c\cdot_F d^{-1} \\[0.5em]&=\psi(a//b) \cdot_F \psi(c//d) \\[0.5em]&=\psi(x)\cdot_F \psi(y) \text{ 이다.}\end{align*}$

따라서 모든 $x\in Q$에 대해 $\psi_1(x)=\psi(x)$인 함수 $\psi_1: Q\to \psi(Q)$는 1번과 함수 정리로 전단사이고

$(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$에서 $(\psi(Q),+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$로의 준동형사상이므로

$(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$에서 $(\psi(Q),+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$로의 동형사상이 되어

$(Q,+,\cdot,0_Q,1_Q)$와 $(\psi(Q),+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$는 동형이다.

 

 

 

정의2

분수다항식체 :

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환은 다항식정리로 정역이므로

유한다항식환의 분수체 $(Q(F),+_Q,\cdot, f_0(x),x^0)$를 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체로 정의하고

임의의 $f(x)\in Q(F)$를 분수다항식으로 정의한다.

유한다항식집합을 $P_\infty(F) \subseteq Q(F)$와 같이 집합사이에 관계로 표기하면

$P_\infty(F)$를 $Q(F)$의 유한다항식집합으로 정의한다.

또 임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 부정원 $x^n \in P_\infty(F) \subseteq Q(F) $은 $x^n \ne f_0(x)$이므로

곱셈에 대한 $x^n$의 역원을 $(x^n)^{-1} = x^{-n}$으로 정의한다.

분수다항함수 : 

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체 $(Q(F),+_Q,\cdot, f_0(x),x^0)$에 대해

임의의 분수다항식 $f(x) \in Q(F)$는 $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$이고 $h(x)\ne f_0(x)$인 $g(x),h(x) \in P_\infty(F)$가 존재하므로

임의의 $S \subseteq F$에 대해 $g(x),h(x)$에 대한 $S$에서 $F$로의 다항함수가 $g,h : S\to F$일때

집합 $S_h = \{s \in S : h(s) \ne 0_F \}$의 모든 $s\in S_h$에 대해

$f(s) = g(s)\cdot_F (h(s))^{-1} = \dfrac{g(s)}{h(s)} $인 함수 $f : S_h \to F$를 $f(x)$에 대한 $S_h$에서 $F$로의 다항함수로 정의한다.

분수다항식 스칼라곱 :

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체 $(Q(F),+_Q,\cdot, f_0(x),x^0)$에 대해

임의의 분수다항식 $f(x) \in Q(F)$는 $f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}$이고 $h(x)\ne f_0(x)$인 $g(x),h(x) \in P_\infty(F)$가 존재하므로

임의의 $c\in F$에 대한 유한다항식의 스칼라곱 $\cdot_P$에 대해

$c$에 대한 분수다항식 $f(x)$의 스칼라곱 $\cdot_Q$를 $c\cdot_Q f(x) = (c\cdot_P g(x))\cdot (h(x))^{-1} = \dfrac{c\cdot_P g(x)}{h(x)}$로 정의한다.

 

 

 

정리6

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,*, f_0(x),x^0)$일때

임의의 정수 $n,m\in \mathbb{Z}$에 대해 부정원 $x^n ,x^m \in Q(F)$은 다음이 성립한다.

1. $x^n = (x^1)^n$

2. $x^n * x^m = x^{n+m}$

3. $(x^n)^m = x^{n\cdot m}$

증명

1.

$n\ge 0$이면 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 0$이면 $x^0$은 $*$에 대한 항등원이므로 거듭제곱의 정의로 $x^0 = (x^1)^0$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $x^k = (x^1)^k$이면

다항식 정리와 체 정리로 $x^{k+1} = x^k * x^1 = (x^1)^k * x^1 = (x^1)^{k+1}$이므로

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $x^n = (x^1)^n$이다.

$n< 0$이면 $-n > 0$이므로 $x^{-n} = (x^1)^{-n}$이 되어

부정원의 정의와 체 정리로 $x^n = (x^{-n})^{-1} = ((x^1)^{-n})^{-1} = (x^1)^{(-n)\cdot (-1)} = (x^1)^n$이다.

2.

1번과 체 정리로 $x^n * x^m = (x^1)^n * (x^1)^m = (x^1)^{n+m}= x^{n+m}$이다.

3.

1번과 체 정리로 $(x^n)^m = ((x^1)^n)^m = (x^1)^{n\cdot m} = x^{n\cdot m}$이다.

 

 

 

정리7

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\cdot, f_0(x),x^0)$일때

분수다항식 스칼라곱 $\cdot_Q$와 유한다항식 스칼라곱 $\cdot_P$와 임의의 $c \in F$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f_1(x) = f_2(x)$인 임의의 $f_1(x),f_2(x) \in Q(F)$에 대해 $c\cdot_Q f_1(x) = c\cdot_Q f_2(x)$이다.

2. 임의의 유한다항식 $f(x) \in P_\infty(F)$에 대해 $c\cdot_Q f(x) = c\cdot_P f(x)$이다.

3. 부정원 $x^0 \in P_\infty(F)$과 임의의 $f(x) \in Q(F)$에 대해 $c\cdot_Q f(x) = (c\cdot_Q x^0)\cdot f(x)$이다.

증명

1.

분수다항식은 $f_1(x) = \dfrac{g_1(x)}{h_1(x)} = g_1(x) \cdot (h_1(x))^{-1}$이고 $f_2(x) = \dfrac{g_2(x)}{h_2(x)} = g_2(x) \cdot (h_2(x))^{-1}$인

유한다항식 $g_1(x),g_2(x) \in P_\infty(F)$와 $h_1(x),h_2(x) \in P_\infty(F)\setminus \{ f_0(x)\}$가 존재하여

$g_1(x) \cdot (h_1(x))^{-1} = f_1(x)= f_2(x)= g_2(x) \cdot (h_2(x))^{-1}$이고 $g_1(x) \cdot h_2(x) = g_2(x)\cdot h_1(x)$이므로

다항식 정리로 $(c\cdot_P g_1(x))\cdot h_2(x) = c\cdot_P (g_1(x) \cdot h_2(x)) = c\cdot_P(g_2(x)\cdot h_1(x)) = (c\cdot_P g_2(x))\cdot h_1(x)$가 되어

분수다항식 스칼라곱의 정의로

$c\cdot_Q f_1(x)= (c\cdot_P g_1(x))\cdot (h_1(x))^{-1} = (c\cdot_P g_2(x))\cdot (h_2(x))^{-1}= c\cdot_Q f_2(x)$이다.

2.

$f(x) = \dfrac{f(x)}{x^0} = f(x)\cdot (x^0)^{-1}$이므로 위 정리로 

$c\cdot_Q f(x) = (c\cdot_P f(x))\cdot (x^0)^{-1} =(c\cdot_P f(x)) \cdot x^{0\cdot (-1)}= (c\cdot_P f(x))\cdot x^0 = c\cdot_P f(x)$이다.

3.

$f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} = g(x) \cdot (h(x))^{-1}$이고 $h(x)\ne f_0(x)$인 $g(x),h(x) \in P_\infty(F)$가 존재하여 다항식 정리와 2번으로

$c\cdot_Q f(x) = (c\cdot_P g(x))\cdot (h(x))^{-1} = (c\cdot_P (x^0\cdot g(x)))\cdot (h(x))^{-1} = (c\cdot_P x^0) \cdot g(x) \cdot (h(x))^{-1} = (c\cdot_Q x^0) \cdot f(x) \text{ 이다}$

 

 

 

정리8

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 분수다항식체가 $(Q(F),+_Q,\cdot, f_0(x),x^0)$일때

스칼라곱 $\cdot_Q$와 임의의 $c,d \in F$와 임의의 $f(x),g(x) \in Q(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $0_F \cdot_Q f(x) = f_0(x)$

2. $1_F \cdot_Q f(x) = f(x)$

3. $(c\cdot_F d)\cdot_Q f(x) = c\cdot_Q (d\cdot_Q f(x))$

4. $c\cdot_Q (f(x) +_Q g(x)) = (c\cdot_Q f(x)) +_Q (c\cdot_Q g(x))$

5. $(c+_F d)\cdot_Q f(x) = (c\cdot_Q f(x)) +_Q (d\cdot_Q f(x))$

6. $c\cdot_Q (f(x)\cdot g(x)) = (c\cdot_Q f(x)) \cdot g(x) = f(x)\cdot (c\cdot_Q g(x))$

7. $g(x) \ne f_0(x)$이고 $c\ne 0_F$이면 $(c\cdot_Q g(x))^{-1} = c^{-1}\cdot_Q (g(x))^{-1}$이다.

8. $g(x) \ne f_0(x)$이고 $c\ne 0_F$이면 $\dfrac{c\cdot_Q f(x)}{c\cdot_Q g(x)} =\dfrac{f(x)}{g(x)}$이다.

9. 임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $(c\cdot_Q f(x))^n = c^n \cdot_Q (f(x))^n$이다.

10. $g(x) \ne f_0(x)$이고 $c\ne 0_F$이면 임의의 $m \in \mathbb{Z}$에 대해 $(c\cdot_Q g(x))^m = c^m \cdot_Q (g(x))^m$이다.

증명

1.

위 정리와 다항식 정리로 $0_F \cdot_Q f(x) = (0_F\cdot_Q x^0) \cdot f(x) = f_0(x) \cdot f(x) = f_0(x)$이다.

2.

위 정리와 다항식 정리로 $1_F \cdot_Q f(x) = (1_F \cdot_Q x^0)\cdot f(x) = x^0\cdot f(x)= f(x)$이다.

3.

위 정리와 다항식 정리로

$\begin{align*} (c\cdot_F d)\cdot_Q f(x) &= ((c\cdot_F d) \cdot_Q x^0 ) \cdot f(x) \\[0.5em]& = (c\cdot_Q (d\cdot_Q x^0))\cdot f(x) \\[0.5em]& = ((c\cdot_Q x^0) \cdot (d\cdot_Q x^0 )) \cdot f(x) \\[0.5em]& = (c\cdot_Q x^0) \cdot ((d\cdot_Q x^0)\cdot f(x)) \\[0.5em] & = (c\cdot_Q x^0)\cdot (d\cdot_Q f(x))  \\[0.5em]& = c\cdot_Q (d\cdot_Q f(x)) \text{ 이다.}\end{align*}$

4.

위 정리로

$\begin{align*}c\cdot_Q (f(x) +_Q g(x)) & = (c\cdot_Q x^0)\cdot (f(x) +_Q g(x)) \\[0.5em]& = ((c\cdot_Q x^0)\cdot f(x)) +_Q ((c\cdot_Q x^0) \cdot g(x)) \\[0.5em]&= (c\cdot_Q f(x)) +_Q (c\cdot_Q g(x)) \text{ 이다.}\end{align*}$

5.

위 정리와 다항식 정리로

$\begin{align*}(c+_F d)\cdot_Q f(x) & = ((c+_F d)\cdot_Q x^0) \cdot f(x) \\[0.5em] & = ((c\cdot_Q x^0) +_Q (d\cdot_Q x^0))\cdot f(x) \\[0.5em]& = ((c\cdot_Q x^0) \cdot f(x)) +_Q ((d\cdot_Q x^0) \cdot f(x)) \\[0.5em]& = (c\cdot_Q f(x)) +_Q (d\cdot_Q f(x)) \text{ 이다.}\end{align*}$

6.

위 정리로 $c\cdot_Q (f(x)\cdot g(x)) = (c\cdot_Q x^0) \cdot (f(x) \cdot g(x)) = ((c\cdot_Q x^0)\cdot f(x)) \cdot g(x) = (c\cdot_Q f(x))\cdot g(x)$이고

$\begin{align*}c\cdot_Q (f(x)\cdot g(x)) &= (c\cdot_Q x^0) \cdot (f(x) \cdot g(x)) \\[0.5em]&= ((c\cdot_Q x^0)\cdot f(x)) \cdot g(x) \\[0.5em]& = (f(x)\cdot (c\cdot_Q x^0)) \cdot g(x)\\[0.5em]& = f(x)\cdot ((c\cdot_Q x^0)\cdot g(x))\\[0.5em]& = f(x)\cdot (c\cdot_Q g(x)) \text{ 이므로} \end{align*}$

$c\cdot_Q (f(x)\cdot g(x)) = (c\cdot_Q f(x)) \cdot g(x) = f(x)\cdot (c\cdot_Q g(x))$이다.

7.

2, 3, 6번으로

$(c\cdot_Q x^0) \cdot (c^{-1} \cdot_Q x^0) = x^0 \cdot (c\cdot_Q (c^{-1} \cdot_Q x^0) ) =(c\cdot_F c^{-1})\cdot_Q x^0 = 1_F\cdot_Q x^0 =x^0 = (c\cdot_Q x^0) \cdot (c\cdot_Q x^0)^{-1} \text{ 이므로}$

$(c\cdot_Q x^0)^{-1} = c^{-1}\cdot_Q x^0$이 되어 위 정리와 체 정리로

$(c\cdot_Q g(x))^{-1} = ((c\cdot_Q x^0) \cdot g(x) )^{-1}  = (c\cdot_Q x^0)^{-1} \cdot (g(x))^{-1} = (c^{-1} \cdot_Q x^0) \cdot (g(x))^{-1}= c^{-1}\cdot_Q (g(x))^{-1}$이다.

8.

2, 3, 6, 7번으로

$\begin{align*} \frac{c\cdot_Q f(x)}{c\cdot_Q g(x)} &= (c\cdot_Q f(x)) \cdot (c\cdot_Q g(x))^{-1} \\[0.5em]&= (c\cdot_Q f(x)) \cdot (c^{-1} \cdot_Q (g(x))^{-1}) \\[0.5em]& = f(x)\cdot (c\cdot_Q (c^{-1} \cdot_Q (g(x))^{-1})) \\[0.5em] & = f(x)\cdot ( (c\cdot_F c^{-1}) \cdot_Q (g(x))^{-1}) \\[0.5em]& = f(x) \cdot (1_F \cdot_Q (g(x))^{-1}) \\[0.5em] & = f(x)\cdot (g(x))^{-1} \\[0.5em] & =\frac{f(x)}{g(x)} \text{ 이다.}\end{align*}$

9.

$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 0$이면 거듭제곱의 정의와 2번으로 $(c\cdot_Q f(x))^0 = x^0 = (f(x))^0= 1_F\cdot_Q (f(x))^0  = c^0 \cdot_Q (f(x))^0$이다.

모든 $k \in\mathbb{N}$에 대해 $(c\cdot_Q f(x))^k = c^k \cdot_Q (f(x))^k$이면 거듭제곱의 정의와 3, 6번으로

$\begin{align*}(c\cdot_Q f(x))^{k+1} &= (c\cdot_Q f(x))^k \cdot (c\cdot_Q f(x)) \\[0.5em]&= (c^k \cdot_Q (f(x))^k)\cdot (c\cdot_Q f(x)) \\[0.5em]& = (f(x))^k \cdot (c^k \cdot_Q (c\cdot_Q f(x))) \\[0.5em] & =(f(x))^k \cdot ((c^k \cdot_F c)\cdot_Q f(x)) \\[0.5em] & =(f(x))^k\cdot (c^{k+1} \cdot_Q f(x)) \\[0.5em] & = c^{k+1}\cdot_Q ((f(x))^k \cdot f(x)) \\[0.5em] & =c^{k+1}\cdot_Q (f(x))^{k+1} \text{ 이므로}\end{align*}$

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $(c\cdot_Q f(x))^n = c^n \cdot_Q (f(x))^n$이다.

10.

$m\ge 0$이면 9번으로 $(c\cdot_Q g(x))^m = c^m \cdot_Q (g(x))^m$이다.

$m < 0$이면 $-m>0$이므로 체 정리와 7, 9번으로

$(c\cdot_Q g(x))^m = ((c\cdot_Q g(x))^{-m})^{-1} = (c^{-m} \cdot_Q (g(x))^{-m})^{-1} = (c^{-m})^{-1}\cdot_Q ((g(x))^{-m})^{-1}= c^m \cdot_Q (g(x))^m$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/77#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/77#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

John B. Fraleigh - A First course in Abstract Algebra - 9788998308162

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662