잉여류(coset), 잉여군(Factor group)

정의1

$(G,*)$가 이항구조일때 임의의 $a \in G$와 $H \subseteq G$인 임의의 집합 $H$에 대해

집합 $a*H = \{ a* h : h \in H \} $를 $a$에 대한 $H$의 좌측 잉여류(left coset)로 정의하고

집합 $H * a= \{ h*a : h \in H \}$를 $a$에 대한 $H$의 우측 잉여류(right coset)로 정의한다.

 

집합 $L$이 $H$의 좌측 잉여류이면 $L = a * H$가 되는 $a \in G$가 존재한다고 정의하고

집합 $R$이 $H$의 우측 잉여류이면 $R = H * a$가 되는 $a \in G$가 존재한다고 정의한다.

$(G,*,e)$가 군일때 아래 정리로 $(H,*,e)$가 $(G,*,e)$의 부분군이면 잉여류는 동치류이다.

 

 

 

정리1

군 $(G,*,e)$의 부분군 $(H,*,e)$와 임의의 $a,b \in G$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(a,b) \in \mathcal{L}_{H}$이기 위한 필요충분조건이 $a^{-1}*b \in H$인 관계 $\mathcal{L}_{H}$는 $G$의 동치관계이다.

2. $(a,b) \in \mathcal{R}_{H}$이기 위한 필요충분조건이 $a*b^{-1} \in H$인 관계 $\mathcal{R}_{H}$는 $G$의 동치관계이다.

3. 1번의 $\mathcal{L}_{H}$에 대한 $a$의 동치류는 $[a]_{\mathcal{L}_{H}} = \{ a* h : h \in H \} = a*H$이다.

4. 2번의 $\mathcal{R}_{H}$에 대한 $a$의 동치류는 $[a]_{\mathcal{R}_{H}} = \{ h*a : h \in H \} = H*a$이다.

증명

1.

반사성

$(H,*,e)$가 $(G,*,e)$의 부분군이므로

항등원 $e \in G$와 임의의 $a \in G$에 대해 $a^{-1}* a = e \in H$가 되어 $(a,a) \in \mathcal{L}_{H}$이다.

대칭성

임의의 $a,b \in G$에 대해 $(a,b) \in \mathcal{L}_{H}$이면 $a^{-1}*b \in H$이고 $(H,*,e)$가 군이므로

역원정리로 $a^{-1}*b$의 역원 $(a^{-1} * b)^{-1} = b^{-1} * a \in H$가 존재하여 $(b,a) \in \mathcal{L}_{H}$이다.

추이성

임의의 $a,b,c \in G$에 대해 $(a,b) \in \mathcal{L}_{H}$이고 $(b,c) \in \mathcal{L}_{H}$이면 $a^{-1}*b,b^{-1}*c \in H$이고 $(H,*,e)$가 군이므로

$(a^{-1} * b) * (b^{-1} *c) = a^{-1} * (b * b^{-1}) * c = a^{-1} * c \in H$가 되어 $(a,c) \in \mathcal{L}_{H}$이다.

2.

반사성

$(H,*,e)$가 $(G,*,e)$의 부분군이므로

항등원 $e \in G$와 임의의 $a \in G$에 대해 $a *a^{-1} = e \in H$가 되어 $(a,a) \in \mathcal{R}_{H}$이다.

대칭성

임의의 $a,b \in G$에 대해 $(a,b) \in \mathcal{R}_{H}$이면 $a*b^{-1} \in H$이고 $(H,*,e)$가 군이므로

역원정리로 $a*b^{-1}$의 역원 $(a * b^{-1})^{-1} = b * a^{-1} \in H$가 존재하여 $(b,a) \in \mathcal{R}_{H}$이다.

추이성

임의의 $a,b,c \in G$에 대해 $(a,b) \in \mathcal{R}_{H}$이고 $(b,c) \in \mathcal{R}_{H}$이면 $a*b^{-1},b*c^{-1} \in H$이고 $(H,*,e)$가 군이므로

$(a * b^{-1}) * (b *c^{-1}) = a * (b^{-1} * b) * c^{-1} = a * c^{-1} \in H$이 되어 $(a,c) \in \mathcal{R}_{H}$이다.

3.

임의의 $x \in [a]_{\mathcal{L}_{H}}$는 $(a,x) \in \mathcal{L}_{H}$이므로 $a^{-1}*x  \in H$이고

$ a* (a^{-1} * x) = (a*a^{-1}) *x = x \in a*H$가 되어 $[a]_{\mathcal{L}_{H}} \subseteq a*H$이다.

임의의 $x  \in  a*H$는 $x = a * h$인 $h \in H$가 존재하고

$(G,*,e)$가 군이므로 $a^{-1} \in G$가 존재하여 $ a^{-1} * x = a^{-1} * (a * h) = (a^{-1} *a) *h = h  \in H$이므로

$(a,x) \in \mathcal{L}_{H}$이고 $x \in [a]_{\mathcal{L}_{H}}$가 되어 $a*H \subseteq [a]_{\mathcal{L}_{H}}$이다.

따라서 $[a]_{\mathcal{L}_{H}}  = \{ a* h : h \in H \} = a*H$이다.

4.

임의의 $x \in [a]_{\mathcal{R}_{H}}$는 $(a,x) \in \mathcal{R}_{H}$이므로 $a*x^{-1} \in H$이고

$(H,*,e)$는 군이므로 $x * a^{-1}  =(a*x^{-1})^{-1} \in H$이 존재하여  

$(x *a^{-1}) * a =x*(a^{-1} * a) = x \in H*a$이고 $[a]_{\mathcal{R}_{H}} \subseteq H*a$이다.

임의의 $x  \in H*a$는 $x =  h*a$인 $h \in H$가 존재하고

$(G,*,e)$와 $(H,*,e)$가 군이므로 $a^{-1} \in G$과 $h^{-1} \in H$이 존재하여

$x * a^{-1} = (h*a) *a^{-1} = h*(a*a^{-1}) = h$이고 $h^{-1} = (x *a^{-1})^{-1} = a *x^{-1} \in H$이므로

$(a,x) \in \mathcal{R}_{H}$가 되어 $x \in [a]_{\mathcal{R}_{H}}$이고 $H*a \subseteq [a]_{\mathcal{R}_{H}}$이다.

따라서 $[a]_{\mathcal{R}_{H}} = \{  h*a : h \in H \} = H*a$이다.

 

 

 

정리2

가환군 $(G,*,e)$와 임의의 $H \subseteq G$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $a \in G$에 대해 $a * H = H * a$이다.

2. $H$의 좌측 잉여류로 구성된 $G$의 분할이 $\mathcal{P}_L$이고 $H$의 우측 잉여류로 구성된 $G$의 분할이 $\mathcal{P}_R$이면 $\mathcal{P}_L = \mathcal{P}_R$이다.

증명

1.

$H \subseteq G$이므로 모든 $h \in H$에 대해 $h \in G$이고

$(G,*,e)$는 가환군이므로 $a* h = h* a$가 성립하여 $a * H = H * a$이다.

2.

동치류 정리로 $\mathcal{P}_L$과 $\mathcal{P}_R$은 각각 유일하게 존재하고

$A_L \in \mathcal{P}_L$이면 분할의 정의로 $A_L \ne \emptyset$이므로 $a \in A_L$가 존재하여 동치류 정리로 $A_L = [a]_{\mathcal{L}_{H}} = a*H$이다.

또 분할의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{P}_R = G$이므로 $\displaystyle a\in  \bigcup \mathcal{P}_R$가 되어 $a \in A_R$인 $A_R \in \mathcal{P}_R$이 존재한다

$A_R$은 동치류 정리로 $A_R = [a]_{\mathcal{R}_{H}} = H * a$이고 1번으로 $A_L = a *H = H*a = A_R$이 되어 $ A_L \in \mathcal{P}_R$이다.

따라서 $\mathcal{P}_L \subseteq \mathcal{P}_R$이고 비슷하게 $\mathcal{P}_R \subseteq \mathcal{P}_L$이므로 $\mathcal{P}_R = \mathcal{P}_L$이다.

 

 

 

정리3

군 $(G,*,e)$와 임의의 $H \subseteq G$에 대해 다음이 성립한다.

1. $H$의 모든 좌측 잉여류는 $H$로의 전단사함수가 존재한다.

2. $H$의 모든 우측 잉여류는 $H$로의 전단사함수가 존재한다.

3. $H$가 $n \in \mathbb{N}$개의 원소를 갖는 유한집합이면 $H$의 모든 좌측 잉여류는 $n$개의 원소를 갖는다.

4. $H$가 $n \in \mathbb{N}$개의 원소를 갖는 유한집합이면 $H$의 모든 우측 잉여류는 $n$개의 원소를 갖는다.

증명

1.

$H$의 모든 좌측 잉여류는 $g * H$가 되는 $g \in G$가 존재한다.

모든 $h \in H$에 대해 $\phi(h) = g * h$인 함수 $\phi : H \to g *H$를 정의하면

$\phi$는 자명하게 전사이고 모든 $x, y \in H$에 대해 $\phi(x) = \phi(y)$일때

$g * x = g* y$이고 $x, y \in G$이므로 좌측 소거법칙으로 $x = y$가 되어 $\phi$는 단사이다.

2.

$H$의 모든 우측 잉여류는 $H * g$가 되는 $g \in G$가 존재한다.

모든 $h \in H$에 대해 $\psi(h) =  h *g$인 함수 $\psi : H \to H *g$를 정의하면

$\psi$는 자명하게 전사이고 모든 $x, y \in H$에 대해 $\psi(x) = \psi(y)$일때

$ x *g=  y*g$이고 $x, y \in G$이므로 우측 소거법칙으로 $x = y$가 되어 $\psi$는 단사이다.

3.

1번과 유한집합 정리로 정리가 성립한다.

4.

2번과 유한집합 정리로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리4(라그랑주[Lagrange] 정리)

군 $(G,*,e)$의 부분군이 $(H,*,e)$일때

$H$가 $m \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이고 $G$가 $n \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이면 $n / m \in \mathbb{Z}$이다.

증명

동치류 정리로 $H$의 좌측 잉여류로 구성되는 $G$의 분할 $\mathcal{P}$가 존재한다.

분할의 정리로 $\mathcal{P}$는 $1\le r \le n$인 $r \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖고 위 정리로 모든 $A \in \mathcal{P}$는 $m$개의 원소를 갖는다.

따라서 $\mathcal{P} = \{ A_1, A_2, \cdots, A_r \}$일때 분할의 정의로 $i\ne j$인 $i,j = 1,2,\cdots,r$에 대해 $A_i \cap A_j = \emptyset$이므로

유한집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i = 1}^r A_i = G$는 $ r\cdot m = n$개의 원소를 갖게 되어 $n / m \in \mathbb{Z}$이다.

 

 

 

정리5

$(H,*,e)$가 군 $(G,*,e)$의 부분군일때 임의의 $a,b \in G$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a*H  = b* H $이면 $b \in a*H$이다.

2. $H *a =  H*b $이면 $b \in H*a$이다.

3. $a * H = b * H$이기 위한 필요충분조건은 $H *a^{-1} = H *b^{-1}$인 것이다.

4. 좌측 잉여류들의 집합 $\{ g * H : g\in G \}$와 우측 잉여류들의 집합 $\{ H * g : g\in G \}$사이에 전단사함수가 존재한다.

5. $H,G$가 $m \le n$인 $m,n \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이면

집합 $\{ g * H : g\in G \}$와 집합 $\{ H * g : g\in G \}$는 $\dfrac{n}{m}\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

증명

1.

$(H,*,e)$는 군이므로 항등원 $e \in H$가 존재하여 $b = b * e \in b*H = a*H$이다.

2.

$(H,*,e)$는 군이므로 항등원 $e \in H$가 존재하여 $b = e *b  \in H * b = H*a$이다.

3.

$a * H = b * H$일때

$g \in H*a^{-1}$이면 $g = h_1 *a^{-1}$인 $h_1 \in H$이 존재하고 $(H,*,e)$가 군이므로 $h_1^{-1} \in H$이고

역원 정리로 $g^{-1} = (h_1* a^{-1})^{-1} = a*h_1^{-1} \in a* H = b*H$이므로 $a*h_1^{-1} = b*h_2$인 $h_2 \in H$가 존재하여

$h_2^{-1} \in H$이므로 거듭연산 정리로 $g = (g^{-1})^{-1} = (a*h_1^{-1})^{-1} = (b*h_2)^{-1} = h_2^{-1} * b^{-1} \in H * b^{-1}$이 되어

$H *a^{-1} \subseteq H *b^{-1}$이고 비슷하게 $H *b^{-1} \subseteq H *a^{-1}$이므로 $H *a^{-1} = H *b^{-1}$이다.

역으로 $H *a^{-1} = H *b^{-1}$일때

$g \in a * H$이면 $g = a * h_1$인 $h_1 \in H$이 존재하여 $h_1^{-1} \in H$이고

$g^{-1} = (a*h_1)^{-1} = h_1^{-1} * a^{-1} \in H *a^{-1} = H*b^{-1}$이므로 $h_1^{-1} * a^{-1} = h_2 * b^{-1}$인 $h_2 \in H$가 존재하여

$h_2^{-1} \in H$이므로 $g = (g^{-1})^{-1} = (h_1^{-1} * a^{-1})^{-1} = (h_2 * b^{-1})^{-1} = b*h_2^{-1} \in b *H$가 되어

$a * H \subseteq b * H$이고 비슷하게 $b * H \subseteq a * H$이므로 $a * H = b * H$이다.

4.

3번으로 임의의 $g \in G$에 대해 $\phi(g*H) = H*g^{-1}$인 함수 $\phi : \{ g * H : g\in G \} \to \{ H *g : g \in G \}$가 존재하고

임의의 $g_1,g_2 \in G$에 대해

$H*g_1^{-1} = \phi(g_1*H) = \phi(g_2*H) =H*g_2^{-1}$이면 $g_1*H = g_2*H$이므로 $\phi$는 단사이다.

또 모든 $g \in G$에 대해 $H *g = H * (g^{-1})^{-1} = \phi(g^{-1} * H)$인 $g^{-1} \in G$가 존재하므로 $\phi$는 전사이다.

따라서 $\phi$는 전단사이고 역함수 정리로 $\phi^{-1}$도 전단사이므로

$\{ g * H : g\in G \}$와 $\{ H * g : g\in G \}$사이에 전단사함수가 존재한다.

5.

위 정리로 $\{ g * H : g\in G \} = \mathcal{P}$는 $r = \dfrac{n}{m}$개의 원소를 갖는 유한집합이고 4번으로 전단사함수가 존재하므로

유한집합 정리로 $\{ H * g : g\in G \}$도 $\dfrac{n}{m}\in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

 

 

 

정리6

군 $(G_1,*_1,e_1)$에서 군 $(G_2,*_2,e_2)$로의 준동형사상 $\phi : G_1 \to G_2$와 임의의 $a \in G_1$에 대해

$\operatorname{ker}\phi$ $*_1\;a =\phi^{-1}(\{ e_2\}) *_1 a = $ $\phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$ $ = a*_1\phi^{-1}(\{ e_2\}) = $ $ a *_1 \operatorname{ker}\phi$이다.

증명

$x \in \phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$이면 $\phi(x) = \phi(a)$이므로

준동형사상 성질과 군 정리로 $\phi(x *_1 a^{-1}) = \phi(x) *_2 \phi(a^{-1})=\phi(x) *_2 (\phi(a))^{-1} =\phi(a) *_2(\phi(a))^{-1} = e_2 $이고

$x*_1a^{-1} \in \phi^{-1}(\{ e_2\}) =\operatorname{ker}\phi$가 되어 $x = (x*_1 a^{-1}) *_1 a \in \operatorname{ker}\phi *_1a$이므로 $\phi^{-1}(\{ \phi(a)\}) \subseteq \operatorname{ker}\phi *_1 a$이다.

$x \in \operatorname{ker}\phi *_1 a = \phi^{-1}(\{ e_2\}) *_1 a$이면 $x = g *_1 a$인 $g \in \phi^{-1}(\{ e_2\})$가 존재하여 $\phi(g) = e_2$이므로

준동형사상 성질로 $\phi(x) = \phi(g *_1 a) = \phi(g) *_2 \phi(a) = e_2 *_2 \phi(a) = \phi(a)$가 되어

$x \in \phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$이므로 $\operatorname{ker}\phi *_1 a \subseteq\phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$이고 $ \phi^{-1}(\{ e_2\}) *_1 a=\operatorname{ker}\phi *_1 a  = \phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$이다.

또 $x \in \phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$이면

$\phi(a^{-1} *_1 x) =\phi(a^{-1}) *_2 \phi(x) = (\phi(a))^{-1} *_2 \phi(x) = (\phi(a))^{-1}*_2 \phi(a)= e_2$이므로

$a^{-1} *_1 x \in \phi^{-1}(\{ e_2\}) =\operatorname{ker}\phi$이고 $x = a *_1(a^{-1} *_1 x) \in a*_1\operatorname{ker}\phi$가 되어 $\phi^{-1}(\{ \phi(a)\}) \subseteq a *_1 \operatorname{ker}\phi$이다.

$x \in a *_1 \operatorname{ker}\phi = a*_1 \phi^{-1}(\{ e_2\})$이면 $x = a *_1 g$인 $g \in \phi^{-1}(\{ e_2\})$가 존재하여 $\phi(g) = e_2$이므로

$\phi(x) = \phi(a *_1 g) = \phi(a) *_2 \phi(g) = \phi(a) *_2 e_2 = \phi(a)$가 되어 $x \in \phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$이므로

$a *_1 \operatorname{ker}\phi  \subseteq\phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$이고 $ a*_1 \phi^{-1}(\{ e_2\}) = a *_1\operatorname{ker}\phi  = \phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$이다.  

따라서 $\operatorname{ker}\phi *_1 a = \phi^{-1}(\{e_2\}) *_1 a= \phi^{-1}(\{ \phi(a)\}) = a*_1 \phi^{-1}(\{ e_2\})=a *_1 \operatorname{ker} \phi $가 성립한다.

 

 

 

정리8

군 $(G_1,*_1,e_1)$에서 군 $(G_2,*_2,e_2)$로의 준동형사상 $\phi : G_1 \to G_2$에 대해 다음이 성립한다.

$\phi(G_1)$과 잉여류들의 집합 $\{ a\;*_1 $ $\operatorname{ker}\phi$ $ : a\in G_1 \} = \{ \operatorname{ker}\phi *_1 a: a\in G_1\}$사이에 전단사함수가 존재한다.

증명

$a *_1 \operatorname{ker}\phi = b*_1 \operatorname{ker}\phi $인 $a,b \in G_1$에 대해 위 정리로 $\phi^{-1}(\{ \phi(a)\}) = \phi^{-1}(\{ \phi(b)\})$이므로

$x \in \phi^{-1}(\{ \phi(a)\}) = \phi^{-1}(\{ \phi(b)\})$는 $\mu(a*_1 \operatorname{ker}\phi) =\phi(a) =\phi(x) = \phi(b) = \mu(b*_1 \operatorname{ker}\phi)$가 되어

모든 $a \in G_1$에 대해 $\mu(a *_1 \operatorname{ker}\phi) = \phi(a)$인 함수 $\mu : \{ a *_1 \operatorname{ker}\phi : a\in G_1 \} \to \phi(G_1)$가 정의된다.

$\mu$는 자명하게 전사이고 $\phi(a) =\mu(a *_1 \operatorname{ker}\phi) = \mu(b*_1 \operatorname{ker}\phi)=\phi(b)$인 $a,b \in G_1$에 대해

위 정리로 $a*_1 \operatorname{ker}\phi = \phi^{-1}(\{ \phi(a)\}) = \phi^{-1}(\{ \phi(b)\}) = b*_1\operatorname{ker}\phi$이므로 $\mu$는 단사이다.

따라서 $\mu$는 전단사이고 역함수 정리로 $\mu^{-1}$도 전단사이므로

$\phi(G_1)$과 $\{ a*_1 \operatorname{ker}\phi: a\in G_1 \} = \{ \operatorname{ker}\phi *_1 a: a\in G_1\}$사이에 전단사함수가 존재한다. 

 

 

 

정의2

정규 부분군(normal subgroup) : 

$(H,*_G,e)$가 군 $(G,*_G,e)$의 부분군일때

모든 $a \in G$에 대해 잉여류가 $a*_GH = H *_Ga$이면 $(H,*_G,e)$를 $(G,*_G,e)$의 정규 부분군으로 정의한다.

정규 부분군에 대한 상집합 :

$(H,*_G,e)$가 군 $(G,*_G,e)$의 정규 부분군이고 위 정리에 나온 $G$의 동치관계가 $\mathcal{L}_H,\mathcal{R}_H$일때

모든 $a \in G$에 대해 $[a]_{\mathcal{L}_H} =a *_G H = H*_Ga =[a]_{\mathcal{R}_H}$이므로

$\mathcal{L}_H,\mathcal{R}_H$에 대한 $G$의 상집합 $G/\mathcal{L}_H = G/\mathcal{R}_H$을 

$(H,*_G,e)$에 대한 $G$의 상집합 또는 몫집합 $G/H=G/\mathcal{L}_H = G/\mathcal{R}_H$로 정의한다.

잉여군 :

군 $(G,*_G,e)$의 정규 부분군 $(H,*_G,e)$에 대한 $G$의 상집합이 $G/H$일때

아래 정리의 군 $(G/H,*,H)$를 $(H,*_G,e)$에 대한 잉여군 또는 상군(quotient group) 또는 몫군으로 정의한다.

 

 

 

정리11

군 $(G,*,e)$와 임의의 $H \subseteq G$에 대해 다음은 동치이다. 

1. 모든 $g \in G$와 모든 $h \in H$에 대해 $(g* h)*g^{-1} = g *(h *g^{-1}) \in H$이다.

2. 모든 $g \in G$에 대해 $(g * H) *g^{-1} = H = g*(H *g^{-1})$이다.

3. 모든 $g \in G$에 대해 $g * H$ $ = H *g$이다.

증명

$1\to 2$

임의의 $x  \in g * (H * g^{-1})$는 

$x =g * (h * g^{-1})$인 $h \in H$가 존재하여 $x =g * (h * g^{-1}) \in H$이므로 $g * (H *g^{-1}) \subseteq H $이고

임의의 $x  \in (g * H) * g^{-1}$는

$x =(g * h) * g^{-1}$인 $h \in H$가 존재하여 $x =(g * h) * g^{-1} \in H$이므로 $(g * H) *g^{-1} \subseteq H $이다.

임의의 $x \in H$는 $g^{-1} * x * g  \in H$이므로 $h = g^{-1} *x *g $로 두면

$ x=e * x *e = g * (g^{-1}*x*g) * g^{-1} =g * (h * g^{-1}) \in g * (H * g^{-1})$가 되어 $H \subseteq g *(H *g^{-1})$이고

$ x=e * x *e = g * (g^{-1}*x*g) * g^{-1} =(g * h) * g^{-1} \in (g * H) * g^{-1}$이므로 $H \subseteq (g *H) *g^{-1}$이다.

따라서 모든 $g \in G$와 모든 $h \in H$에 대해

$(g* h)*g^{-1}  =g * h* g^{-1} = g *(h *g^{-1}) \in H$이면 $(g * H) *g^{-1} = H = g*(H *g^{-1})$이다.

$2 \to 3$

임의의 $x \in g * H$는 $x = g* h$인 $h \in H$가 존재하여 $x * g^{-1} = (g * h) * g^{-1} \in (g * H) *g^{-1}=H$이므로

$x = x * e = x*(g^{-1} * g) = (x*g^{-1}) *g \in H * g$이고 $g * H \subseteq H *g$이다.

또 임의의 $x \in H *g$는 $x = h* g$인 $h \in H$가 존재하여 $g^{-1} * x = g^{-1} *(h *g) \in g^{-1} * (H * g) = H$이므로

$x =e * x =(g * g^{-1}) *x = g*(g^{-1} * x) \in g *H$이고 $ H*g \subseteq g *H$이다.

따라서 모든 $g \in G$에 대해 $(g * H) *g^{-1} = H = g*(H *g^{-1})$이면 $g * H = H *g$이다.

$3\to 1$

임의의 $h \in H$에 대해 $g *h  \in g *H  = H*g$이므로 $g *h = x_h*g$인 $x_h \in H$가 존재하여

$x_h = x_h * e = x_h * (g * g^{-1}) = (x_h * g)*g^{-1} = (g * h) *g^{-1} = g* (h *g^{-1})$이다.

따라서 $g * H = H *g$이면 모든 $h \in H$에 대해 $(g* h)*g^{-1} = g *(h *g^{-1}) = x_h \in H$이다.

 

 

 

정리7

군 $(G_1,*_1,e_1)$에서 군 $(G_2,*_2,e_2)$로의 준동형사상 $\phi : G_1 \to G_2$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(G_1,*_1,e_1)$가 가환군일때 $(G_1,*_1,e_1)$의 모든 부분군은 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이다.

2. $($$\operatorname{ker}\phi$$,*_1,e_1)$은 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이다.

3. $G_1$의 부분집합들의 집합족이 $\mathcal{C}$일때 모든 $H \in \mathcal{C}$에 대해

$(H,*_1,e_1)$가 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이면 $($$\displaystyle \bigcap_{H \in \mathcal{C}}H$$, *_1  ,e_1)$도 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이다.

4. $(H,*_1,e_1)$이 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군일때 이항연산 $* : $ $G_1/H$ $\times \;G_1/H \to G_1/H$가

임의의 $a,b \in G_1$에 대해 $(a*_1H)$ $ *\; (b *_1 H) = (a*_1 b)*_1 H$로 정의되면 $(G_1/H,*,H)$는 군이다.

5. $(G_1/\operatorname{ker}\phi,*, \operatorname{ker}\phi)$는 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1)$에 대한 잉여군이다.

6. 임의의 $H \subseteq G_1$와 임의의 $a \in G_1$에 대해 $\phi(a*_1H) = \phi(a) *_2 \phi(H)$이고 $\phi(H *_1 a) = \phi(H) *_2 \phi(a)$이다.

증명

1.

위 정리로 성립한다.

2.

부분군 정리로 $(\{e_2\},*_2,e_2)$는 $(G_2,*_2,e_2)$의 부분군이므로

군 정리로 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1) = (\phi^{-1}(\{ e_2\}),*_1,e_1)$은 $(G_1,*_1,e_1)$의 부분군이고

위 정리로 임의의 $a \in G_1$에 대해 $a*_1\operatorname{ker}\phi = \operatorname{ker}\phi *_1 a$이므로 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1)$는 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이다.

3.

부분군 정리로 $(\displaystyle \bigcap_{H \in \mathcal{C}} H,*_1,e_1)$은 $(G_1,*_1,e_1)$의 부분군이다.

또 모든 $h \in \displaystyle \bigcap_{H \in \mathcal{C}} H$는 모든 $H \in \mathcal{C}$에 대해 $h \in H$이고 $(H,*_1,e_1)$는 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이므로

모든 $g \in G_1$에 대해 $g *_1 H = H *_1 g$이고 위 정리로 $g*_1h*_1g^{-1} \in H$가 되어 $g *_1 h *_1g^{-1} \in \displaystyle \bigcap_{H \in \mathcal{C}} H$이다.

따라서 위 정리로 $g *_1 (\displaystyle \bigcap_{H \in \mathcal{C}} H )= (\displaystyle \bigcap_{H \in \mathcal{C}} H ) *_1 g$이므로 $(\displaystyle \bigcap_{H \in \mathcal{C}} H,*_1,e_1)$은 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이다.

4.

임의의 $a,b \in G_1$에 대해 $x\in (a*_1 b) *_1 H $이면

$x = (a*_1 b) *_1 h$인 $h \in H$가 존재하여 $b*_1 h \in b*_1 H$이고 $(G_1,*_1,e_1)$는 군이므로

$x = (a*_1 b)*_1 h =a*_1 (b *_1 h) \in a*_1 (b*_1 H)$가 되어 $(a*_1 b) *_1 H \subseteq a*_1(b *_1 H)$이고

비슷하게 $a*_1 (b *_1 H) \subseteq (a*_1b) *_1 H$이므로 $(a*_1 b) *_1 H = a*_1(b *_1 H)$이다.

또 $a*_1 (H *_1 b) = (a*_1 H) *_1 b$도 비슷하게 성립한다.

$*$의 타당성

$a *_1 H = c*_1 H$이고 $b *_1 H = d*_1 H$인 임의의 $a,b,c,d \in G_1$에 대해

$(H,*_1,e_1)$는 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이므로 $b *_1 H = H*_1 b$가 성립하여

$\begin{align*} (a*_1 H) * (b *_1 H) & = (a*_1 b)*_1 H  \\[0.5em] & = a*_1 (b*_1 H) \\[0.5em] & = a*_1 (H *_1 b) \\[0.5em] & = (a*_1 H) *_1 b \\[0.5em] & = (c*_1 H) *_1 b \\[0.5em] & = c *_1 (H *_1 b) \\[0.5em] & = c*_1 (b *_1 H) \\[0.5em] & = (c*_1 b) *_1 H \\[0.5em] & = (c*_1 H) * (b *_1 H) \text{ 이고}\end{align*}$

$\begin{align*} (a*_1 H) * (b *_1 H)  = (a*_1 b)*_1 H  = a *_1 (b *_1 H )  = a*_1 (d *_1 H)  = (a*_1 d) *_1 H  = (a*_1 H) * (d *_1 H) \text{ 이므로}\end{align*}$

$*$는 함수이다.

$*$에 대해 닫혀있음

$(G_1,*_1,e_1)$는 군이므로 임의의 $a,b \in G_1$에 대해

$a *_1 b \in G_1$가 되어 $(a*_1 H) * (b *_1 H) = (a*_1 b)*_1 H \in G/H$이다.

$*$에 대한 결합법칙

$(G_1,*_1,e_1)$는 군이므로 임의의 $a,b ,c\in G_1$에 대해

$\begin{align*}(a*_1 H) * ((b *_1 H) * (c*_1 H)) & = (a*_1 H)* ((b*_1 c)*_1 H ) \\[0.5em] & = (a*_1 (b*_1c)) *_1 H\\[0.5em] & =((a*_1 b)*_1 c)*_1 H \\[0.5em] & = ((a*_1 b) *_1 H) * (c*_1 H) \\[0.5em] & = ((a*_1 H) *(b*_1 H))*(c*_1 H) \text{ 이다.} \end{align*}$

$*$에 대한 항등원

$e_1 *_1 H = H$이고 임의의 $a \in G_1$에 대해 $a*_1 e_1 = a = e_1 *_1 a$이므로

$(a*_1 H) * H = (a*_1 H) * (e_1 *_1 H) = (a*_1 e_1) *_1 H = (e_1*_1a) *_1 H =(e_1 *_1 H) * (a*_1 H) = H * (a*_1 H)\text{ 이다.}$

$*$에 대한 역원

임의의 $a \in G_1$에 대해 $a^{-1} \in G_1$이고 $a^{-1} *_1 a = e_1 = a*_1 a^{-1}$이므로

$(a*_1 H) * (a^{-1}*_1 H) = (a*_1 a^{-1}) *_1 H = e_1 *_1 H = H = e_1 *_1 H =(a^{-1} *_1 a) *_1 H = (a^{-1} *_1 H) * (a*_1 H) \text{ 가 되어}$

$(a*_1H)^{-1}=a^{-1}*_1H\in G/H$이다.

따라서 $(G_1/H,*,H)$는 군이다.

5.

2번으로 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1)$은 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이므로

4번으로 $(G_1/\operatorname{ker}\phi,*, \operatorname{ker}\phi)$는 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1)$에 대한 잉여군이다.

6.

$x \in a *_1 H$이면

$x = a*_1 h$인 $h \in H$가 존재하고 $(G_1,*_1,e_1)$가 군이므로 $x = a*_1 h \in G_1$가 되어 $a *_1 H \subseteq G_1$이다.

$y \in \phi(a*_1 H)$이면 $y = \phi(x)$인 $x \in a*_1 H$가 존재하고 $x = a *_1 h$인 $h \in H$가 존재하므로

준동형사상 성질로 $y = \phi(a *_1h) = \phi(a) *_2 \phi(h) \in \phi(a) *_2 \phi(H)$가 되어 $\phi(a*_1 H) \subseteq \phi(a) *_2 \phi(H)$이다.

$y \in \phi(a)*_2 \phi(H)$이면 $y = \phi(a) *_2 \phi(h)$인 $h \in H$가 존재하여 

준동형사상 성질로 $y =\phi(a)*_2 \phi(h) = \phi(a *_1 h) \in \phi(a*_1 H)$이므로 $\phi(a) *_2 \phi(H) \subseteq \phi(a *_1 H)$이다.

따라서 $\phi(a*_1 H) = \phi(a) *_2 \phi(H)$이고 비슷하게 $\phi(H *_1 a) = \phi(H) *_2 \phi(a)$도 성립한다.

 

 

 

정리9

군 $(G,*_G,e)$의 정규 부분군 $(H,*_G,e)$에 대한 잉여군이 $(G/H,*,H)$일때

모든 $x \in G$에 대해 $\gamma(x) = x *_G H$로 정의되는 함수 $\gamma : G \to G/H$는 

$\operatorname{ker}\gamma$ $= H$인 $(G,*_G,e)$에서 $(G/H,*,H)$로의 준동형사상이다.

증명

모든 $x,y \in G$에 대해 $\gamma(x*_G y) = (x*_G y) *_G H = (x*_G H) * (y *_G H) = \gamma(x) * \gamma(y)$이므로

$\gamma$는 $(G,*_G,e)$에서 $(G/H,*,H)$로의 준동형사상이다.

임의의 $a \in \operatorname{ker}\gamma = \gamma^{-1}(\{H \})$에 대해

$ a*_G H = \gamma(a) = H  = e *_G H$이므로 위 정리로 $a \in e*_G H =H$가 되어 $\operatorname{ker}\gamma \subseteq H$이다.

또 임의의 $a\in H$에 대해

모든 $x \in a*_G H$는 $x = a *_Gh$인 $h \in H$가 존재하고 $(H,*_G,e)$는 군이므로

$x = a*_G h \in H$가 되어 $a*_G H\subseteq H$이고

모든 $x \in H$에 대해 $(H,*_G,e)$가 군이므로 $a^{-1} \in H$가 존재하고 $a^{-1} *_G x \in H$가 되어

$x=e *_G x = (a *_G a^{-1}) *_G x = a*_G (a^{-1} *_G x)\in a*_G H$이므로 $H\subseteq a*_G H$이다.

따라서 $H = a*_G H =\gamma(a)$이므로 $a \in \gamma^{-1}(\{H \}) = \operatorname{ker}\gamma$이고 $H \subseteq \operatorname{ker}\gamma$가 되어 $\operatorname{ker}\gamma = H$이다.

 

 

 

정리10(준동형사상의 기본정리)

군 $(G_1,*_1,e_1)$에서 군 $(G_2,*_2,e_2)$로의 준동형사상이 $\phi : G_1 \to G_2$일때

모든 $x \in G_1$에 대해 $\mu(x \;*_1 $ $\operatorname{ker}\phi$$) = \phi(x)$로 정의되는 함수 $\mu : G_1/\operatorname{ker}\phi \to \phi(G_1)$는

정규 부분군 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1)$에 대한 잉여군 $(G_1/\operatorname{ker}\phi,*,\operatorname{ker}\phi)$에서 군 $($$\phi(G_1)$$,*_2,e_2)$로의 동형사상이고

$\gamma(x) = x*_1 \operatorname{ker}\phi$인 $(G_1,*_1,e_1)$에서 $(G_1/\operatorname{ker}\phi,*,\operatorname{ker}\phi)$로의 준동형사상 $\gamma : G_1 \to G_1/\operatorname{ker}\phi$에 대해

$\phi = \mu $ $\circ$ $ \gamma$가 성립한다.

증명

위 정리로 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1)$는 $(G_1,*_1,e_1)$의 정규 부분군이고 군 정리로 $(\phi(G_1),*_2,e_2)$는 $(G_2,*_2,e_2)$의 부분군이고

위 정리로 $\gamma$는 $(G_1,*_1,e_1)$에서 $(G_1/\operatorname{ker}\phi,*,\operatorname{ker}\phi)$로의 준동형사상이고 위 정리로 $\mu$는 전단사이다.

따라서 $\phi$가 준동형사상이므로 임의의 $x,y \in G_1$에 대해 

$\mu((x *_1 \operatorname{ker}\phi) * (y *_1 \operatorname{ker}\phi)) =\mu((x*_1 y) *_1 \operatorname{ker}\phi)= \phi(x*_1 y) = \phi(x) *_2 \phi(y) = \mu(x*_1\operatorname{ker}\phi) *_2 \mu(y *_1 \operatorname{ker}\phi) \text{ 가 되어}$

$\mu$는 $(G_1/\operatorname{ker}\phi,*,\operatorname{ker}\phi)$에서 $(\phi(G_1),*_2,e_2)$로의 동형사상이고

모든 $x \in G_1$에 대해 $(\mu \circ \gamma)(x) = \mu(\gamma(x)) = \mu(x *_1 \operatorname{ker}\phi) = \phi(x)$이므로 $\phi = \mu \circ \gamma$이다.

 

 

 

정의3

자기동형사상(automorphism) : 

군 $(G,*,e)$에서 $(G,*,e)$로의 동형사상 $\phi : G \to G$를 $(G,*,e)$의 자기동형사상으로 정의한다.

내부 자기동형사상(inner automorphism) : 

$(G,*,e)$가 군일때 임의의 $g \in G$에 대해

모든 $x \in G$가 $i_g(x) = g*x*g^{-1}$인 함수 $i_g : G\to G$를 $g$에 대한 $(G,*,e)$의 내부 자기동형사상으로 정의한다.

아래 정리로 $i_g$는 $(G,*,e)$의 자기동형사상이다.

켤레 부분군(conjugate subgroup) :

군 $(G,*,e)$의 부분군 $(H,*,e)$에 대해 $(i_g(H),*,e)$가 $(G,*,e)$의 부분군이 되는 $g \in G$가 존재하면

$(i_g(H),*,e)$를 $(H,*,e)$에 대한 $(G,*,e)$의 켤레 부분군으로 정의한다.

 

 

 

정리12

임의의 $g\in G$에 대한 군 $(G,*,e)$의 내부 자기동형사상 $i_g : G\to G$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(G,*,e)$의 자기동형사상들의 집합이 $\mathcal{A}$일때 $(\mathcal{A},\circ,\iota)$는 $G$의 치환군이다.

2. $i_g$는 $(G,*,e)$의 자기동형사상이다.

3. $(\{ i_g : g\in G\},\circ, i_e)$는 $G$의 치환군이다.

4. $(G,*,e)$의 모든 정규 부분군 $(H,*,e)$에 대해 $i_g(H)$ $ = H$이다.

5. 집합 $\mathcal{G} = \{ H \in $ $\mathcal{P}(G)$ $ : (H,*,e) \text{가 군이다.} \}$의 임의의 $H,K \in \mathcal{G}$에 대해

$(H,K) \in \mathcal{C}$이기 위한 필요충분조건이 $i_g(H) = K$인 $g \in G$가 존재하는 관계 $\mathcal{C}$는 $\mathcal{G}$의 동치관계이다.

6. $(\{ g \in G : i_g = i_e\},*,e)$는 $(G,*,e)$의 정규 부분군이다.

증명

1.

$(G,*,e)$는 군이므로 $e \in G$이고 $G \ne \emptyset$이 되어 $G$의 대칭군 $(S_G,\circ,\iota)$이 존재하고

모든 $\phi \in \mathcal{A}$는 $(G,*,e)$의 자기동형사상이므로 전단사가 되어 $\phi \in S_G$이고 $\mathcal{A} \subseteq S_G$이다.

또 동형사상 정리로 $\mathcal{A}$는 $\circ$에 대해 닫혀있고 $\circ$에 대한 역원이 존재한다.

모든 $x ,y\in G$에 대해 $\iota(x) =x$인 항등치환 $\iota \in S_G$는 전단사이고 $\iota(x*y) = x*y = \iota(x) * \iota(y)$이므로

$(G,*,e)$의 자기동형사상이 되어 $\circ$에 대한 항등원 $\iota \in \mathcal{A}$가 존재한다.

따라서 부분군 정리로 $(\mathcal{A},\circ,\iota)$는 $(S_G,\circ,\iota)$의 부분군이므로 $G$의 치환군이다.

2.

임의의 $x,y \in G$에 대해

$i_g(x*y) = g*(x*y)*g^{-1} = g*x * e *y * g^{-1} = g*x * (g^{-1} *g) *y *g^{-1} = (g*x*g^{-1}) * (g*y*g^{-1}) =i_g(x) *i_g(y) \text{ 이므로}$

$i_g$는 $(G,*,e)$에서 $(G,*,e)$로의 준동형사상이다.

$i_g(x) = i_g(y)$인 $x,y \in G$에 대해 $g *x *g^{-1} = g*y *g^{-1}$이므로

$g*x= (g *x *g^{-1}) *g =  ( g*y *g^{-1})*g = g*y$와 $x = g^{-1}*(g*x) = g^{-1}*(g*y) = y$가 성립하여

$i_g$는 단사이다.

또 모든 $x \in G$에 대해 $x = g*(g^{-1}*x*g) *g^{-1} = i_g(g^{-1}*x*g)$인 $g^{-1}*x*g \in G$가 존재하여

$i_g$는 전사이다.

따라서 $i_g$는 전단사이고 준동형사상 성질을 만족하므로 $(G,*,e)$의 자기동형사상이다.

3.

$(G,*,e)$는 군이므로 $e \in G$이고 $G \ne \emptyset$이 되어 $G$의 대칭군 $(S_G,\circ,\iota)$이 존재하고

1번으로 모든 $g\in G$에 대해 $i_g$는 전단사이므로 $i_g \in S_G$가 되어 $\{ i_g : g\in G\} \subseteq S_G$이다.

임의의 $a,b \in G$에 대해 $a*b \in G$이고 역원 정리로 $(a*b)^{-1} = b^{-1} *a^{-1}$이므로 임의의 $x \in G$에 대해

$(i_a \circ i_b)(x) = i_a(i_b(x)) = i_a(b*x*b^{-1}) = a*b*x *b^{-1} *a^{-1} = (a*b) * x *(a*b)^{-1} = i_{a*b}(x)$가 되어

$i_a\circ i_b = i_{a*b} \in \{ i_g : g\in G\} $이므로 $\{ i_g : g\in G\} $는 $\circ$에 대해 닫혀있고

모든 $x \in G$에 대해 $i_e(x) = e*x*e^{-1} = x = \iota(x)$이므로 $\circ$에 대한 항등원 $\iota = i_e \in \{ i_g : g\in G\} $가 존재한다.

또 $i_g$의 역함수 $i_g^{-1} \in S_G$는 모든 $x \in G$에 대해 $(i_g \circ i_g^{-1})(x) = i_e(x) = e*x*e^{-1} = x$이고

$(i_g\circ i_{g^{-1}})(x) = i_g(i_{g^{-1}}(x)) = i_g(g^{-1} *x * (g^{-1})^{-1} ) = i_g(g^{-1}*x*g) = g*(g^{-1} * x *g)*g^{-1} = x$이므로

$i_g \circ i_g^{-1} = i_g \circ i_{g^{-1}}$이 되어 소거법칙으로 $i_g^{-1} = i_{g^{-1}}$이므로 $\circ$에 대한 역원 $i_g^{-1} = i_{g^{-1}} \in \{ i_g : g\in G \}$가 존재한다.

따라서 부분군 정리로 $(\{ i_g : g\in G\},\circ, i_e)$는 $(S_G,\circ,\iota)$의 부분군이므로 $G$의 치환군이다.

4.

$(G,*,e)$의 임의의 정규 부분군 $(H,*,e)$는 모든 $h \in H$에 대해 $g *  H = H *g$이고

모든 $y \in i_g(H)$는 $y = i_g(x)$인 $x \in H$가 존재하여 위 정리로 $y=i_g(x) = g*x*g^{-1} \in H$이므로 $i_g(H) \subseteq H$이다.

또 모든 $h \in H$는 위 정리로 $g^{-1} *h*g \in H$이므로

$h = g*(g^{-1}*h*g) *g^{-1} = i_g(g^{-1}*h*g) \in i_g(H)$가 되어 $H \subseteq i_g(H)$이고 $i_g(H) = H$이다.

5.

반사성

임의의 $H \in \mathcal{G}$에 대해 $(H,*,e)$는 군이므로 항등원 $e \in H$에 대해

모든 $y\in i_e(H)$는 $y = i_e(x) $인 $x \in H$가 존재하고 $y = i_e(x) = e * x *e^{-1} = x \in H$가 되어 $i_e(H) \subseteq H$이다.

또 모든 $h \in H$에 대해 $h = e * h *e^{-1} = i_e(h) \in i_e(H)$이므로 $H \subseteq i_e(H)$이다.

따라서 모든 $H \in \mathcal{G}$에 대해 $i_e(H) = H$가 되어 $(H,H) \in \mathcal{C}$이다.

대칭성

임의의 $H,K \in \mathcal{G}$에 대해 $(H,K) \in \mathcal{C}$이면 $i_g(H) = K$인 $g \in G$가 존재하여 $g^{-1}\in G$에 대해

3번과 함수정리로 $i_{g^{-1}}(K) = i_g^{-1}(K) =i_g^{-1}(i_g(H)) = (i_g^{-1} \circ i_g)(H) = i_e(H) = H$이므로 $(K,H) \in \mathcal{C}$이다.

추이성

임의의 $H,K,M \in \mathcal{G}$에 대해 $(H,K),(K,M) \in \mathcal{C}$이면 $i_b(H) = K$이고 $i_a(K) = M$인 $a,b \in G$가 존재하여

$a*b \in G$에 대해 3번과 함수정리로 $M = i_a(K) = i_a(i_b(H)) = (i_a\circ i_b)(H) = i_{a*b}(H)$이므로 $(H,M) \in \mathcal{C}$이다.

6.

자명하게 $\{ g \in G : i_g = i_e\} \subseteq G$이고

임의의 $a,b\in\{ g \in G : i_g = i_e\}$는 $i_a = i_e = i_b$가 되어 3번으로 $i_{a*b} = i_a \circ i_b = i_a \circ i_e = i_a = i_e$이므로

$a*b\in\{ g \in G : i_g = i_e\}$이고 $\{ g \in G : i_g = i_e\}$는 $*$에 대해 닫혀있다.

$i_e = i_e$이므로 $e \in\{ g \in G : i_g = i_e\}$가 되어 $*$에 대한 항등원이 존재하고

$g \in\{ g \in G : i_g = i_e\}$에 대해

3번으로 $i_{g^{-1}} =i_g^{-1} = i_e^{-1} = i_{e^{-1}} = i_e$가 되어 $*$에 대한 역원 $g^{-1} \in\{ g \in G : i_g = i_e\}$이 존재하므로

부분군 정리로 $(\{ g \in G : i_g = i_e\},*,e)$는 $(G,*,e)$의 부분군이다.

또 임의의 $a\in G$와 임의의 $x \in\{ g \in G : i_g = i_e\}$에 대해

$i_x = i_e$이고 3번으로 $i_{a*x*a^{-1}} = i_a \circ i_x \circ i_{a^{-1}} = i_a \circ i_e \circ i_{a^{-1}} = i_a \circ i_{a^{-1}} = i_{a*a^{-1}} = i_{e}$이므로

$a*x*a^{-1} \in\{ g \in G : i_g = i_e\}$가 되어 위 정리로 $a *\{ g \in G : i_g = i_e\} = \{ g\in G : i_g = i_e\} *a$이다.

따라서 $(\{ g \in G : i_g = i_e\},*,e)$는 $(G,*,e)$의 정규 부분군이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/53#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/53#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

John B. Fraleigh - A First course in Abstract Algebra - 9788998308162