이항연산(Binary operation)

정의1

이항연산 :

집합 $S$위에서 이항연산은 데카르트곱 $S \times S$에서 $S$로의 함수 $* : S\times S \to S$이다.

모든 $(a,b) \in S\times S$에 대해 $* \left (\,(a,b)\, \right ) \in S$를 $* \left (\, (a,b) \, \right ) = a * b$로 표기한다.

$*$에 대해 닫힘(closed under $*$) : 

$S$의 부분집합이 $H \subseteq S$일때

모든 $a,b \in H$에 대해 $a* b \in H$이면 $H$는 이항연산 $*$에 대해 닫혀있다고 한다.

교환법칙, 가환적(commutative) : 

모든 $a,b \in S$에 대해 $a * b = b*a$이면 이항연산 $*$가 가환적이다 또는 교환법칙을 만족한다고 한다.

결합법칙, 결합적(associative) : 

모든 $a,b,c \in S$에 대해 $(a * b) * c = a* (b*c)$이면 이항연산 $*$가 결합적이다 또는 결합법칙을 만족한다고 한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합이 $A,B,C,D,E,F$이고 임의의 함수 $f: A \to B$와 $g: C \to D$와 $h: E \to F$가

$h(E) \subseteq C$이고 $g(C) \subseteq A$이면 함수의 합성 $\circ$에 대해 $f\circ (g \circ h) = (f\circ g)\circ h$이다.

증명

모든 $x \in E$에 대해 

$(f\circ (g \circ h))(x) = f( (g\circ h)(x) ) = f(g(h(x)))$이고

$((f\circ g)\circ h) (x) = (f\circ g)(h(x)) = f(g(h(x)))$이므로 함수의 상등으로 $f\circ (g \circ h) = (f\circ g)\circ h $이다.

 

 

 

정의2

이항 대수적 구조(binary algebraic structure), 마그마(magma) :

집합 $S$와 이항연산 $* : S\times S \to S$에 대해 순서쌍 $(S,*)$를 이항 구조 또는 이항 대수적 구조 또는 마그마라 한다.

준동형사상(homomorphism) :

$(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$가 이항구조일때

모든 $x,y \in S$에 대해 $\phi(x *_{\!S} y) = \phi(x) *_{\!H} \phi(y)$를 만족하는

함수 $\phi : S \to H$를 $(S,*_{\!S})$에서 $(H,*_{\!H})$로의 준동형사상이라 한다.

동형 이항구조(isomorphic binary structures), 동형사상(isomorphism) :

$(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$가 이항구조일때

$(S,*_{\!S})$에서 $(H,*_{\!H})$로의 준동형사상 $\phi : S \to H$가 전단사이면

$\phi$를 $(S,*_{\!S})$에서 $(H,*_{\!H})$로의 동형사상으로 정의한다.

또 $(S,*_{\!S})$에서 $(H,*_{\!H})$로의 동형사상이 존재하면 $(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$가 동형 또는 동형 이항구조로 정의한다.

아래 정리로 동형인 관계는 동치관계이므로

$(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$가 동형이면 $(H,*_{\!H})$에서 $(S,*_{\!S})$로의 동형사상도 존재한다.

군의 동형사상과 준동형사상 : 

군 $(S,*_{\!S},e_{S})$와 군 $(H,*_{\!H},e_{H})$에 대해

이항구조 $(S,*_{\!S})$와 이항구조 $(H,*_{\!H})$가 동형일때 $(S,*_{\!S},e_{S})$와 $(H,*_{\!H},e_{H})$가 동형이라 정의한다.

또 $(S,*_{\!S})$에서 $(H,*_{\!H})$로의 준동형사상을 $(S,*_{\!S},e_{S})$에서 $(H,*_{\!H},e_{H})$로의 준동형사상으로 정의하고

$(S,*_{\!S})$에서 $(H,*_{\!H})$로의 동형사상을 $(S,*_{\!S},e_{S})$에서 $(H,*_{\!H},e_{H})$로의 동형사상으로 정의하고

 

 

 

정리2

이항구조 $(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$에 대해 $\phi : S \to H$가 $(S,*_{\!S})$에서 $(H,*_{\!H})$로의 동형사상일때 다음이 성립한다.

1. $\phi$의 역함수 $\phi^{-1} : H \to S$는 $(H,*_{\!H})$에서 $(S,*_{\!S})$로의 동형사상이다.

2. 이항구조 $(G,*_{\!G})$에 대해 $\psi : H \to G$가 $(H,*_{\!H})$에서 $(G,*_{\!G})$로의 동형사상이면

합성함수 $\psi \circ \phi : S \to G$는 $(S,*_{\!S})$에서 $(G,*_{\!G})$로의 동형사상이다.

증명

1.

$(S,*_{\!S})$에서 $(H,*_{\!H})$로의 동형사상 $\phi$는 전단사 함수이므로

역함수 $\phi^{-1}$가 존재하고 함수정리로 역함수 $\phi^{-1}$도 전단사이다.

$\phi$가 전사이므로 모든 $u,v \in H$에 대해 $\phi(x) = u$이고 $\phi(y) = v$인 $x,y \in S$가 존재하고

$(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$가 동형이므로 $\phi(x *_{\!S} y) = \phi(x) *_{\!H} \phi(y)$이다.

따라서 역함수 정리로 모든 $u,v \in H$에 대해 

$\phi^{-1}(u) *_{\!S} \phi^{-1}(v) = x *_{\!S} y = \phi^{-1}(\phi(x *_{\!S} y)) =  \phi^{-1}(\phi(x) *_{\!H} \phi(y)) = \phi^{-1}(u *_{\!H} v) $인

준동형사상이므로 $\phi^{-1} $는 $(H,*_{\!H})$에서 $(S,*_{\!S})$로의 동형사상이다.

2.

$\phi$가 전단사이므로 $\psi $가 전단사이면 합성함수 정리로 $\psi \circ \phi $도 전단사이다.

$\phi$가 전사이므로 모든 $u,v \in H$에 대해 $\phi(x) = u$이고 $\phi(y) = v$인 $x,y \in S$가 존재한다.

또 $(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$가 동형이므로 $\phi(x *_{\!S} y) = \phi(x) *_{\!H} \phi(y)$이고

$(H,*_{\!H})$와 $(G,*_{\!G})$가 동형이므로 $\psi(u *_{\!H} v) = \psi(u) *_{\!G} \psi(v)$이다.

따라서 모든 $x,y \in S$에 대해 

$\begin{align*} (\psi \circ \phi)(x *_{\!S} y) & = \psi(\phi(x*_{\!S} y))  = \psi(\phi(x) *_{\!H} \phi(y) ) \\[0.5em] & = \psi(u *_{\!H} v) = \psi(u) *_{\!G} \psi(v) \\[0.5em] & = \psi(\phi(x)) *_{\!G} \psi(\phi(y)) \\[0.5em] & = (\psi \circ \phi)(x) *_{\!G} (\psi \circ \phi)(y) \text{  이므로} \end{align*}$

$(S,*_{\!S})$와 $(G,*_{\!G})$가 동형이다.

 

 

 

정리3

이항구조들의 임의의 집합 $\mathcal{B}$가 존재할때 임의의 $(S,*_{\!S}) ,(H, *_{\!H}) \in \mathcal{B}$에 대해

$\left ( (S,*_{\!S}) , (H,*_{\!H}) \right ) \in \mathcal{R}$이기 위한 필요충분조건이 $(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$가 동형인 관계 $\mathcal{R}$은 $\mathcal{B}$의 동치관계이다.

증명

아래 동치관계의 조건이 모두 만족되므로 $\mathcal{R}$은 $\mathcal{B}$의 동치관계이다.

반사성 :

모든 $(S,*_{\!S}) \in \mathcal{B}$에 대해 $(S,*_{\!S})$와 $(S,*_{\!S})$가 동형임은 모든 $x,y \in S$에 대해 $x *_{\!S} y = x *_{\!S} y$이므로 자명하다.

대칭성 :

모든 $(S,*_{\!S}) ,(H, *_{\!H}) \in \mathcal{B}$에 대해 $(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$가 동형이면

위 정리로 동형사상의 역함수도 동형사상이므로 $(H,*_{\!H})$와 $(S,*_{\!S})$도 동형이다.

추이성 :

모든 $(S,*_{\!S}) ,(H, *_{\!H}),(G,*_{\!G}) \in \mathcal{B}$에 대해 $(S,*_{\!S})$와 $(H,*_{\!H})$가 동형이고 $(H,*_{\!H})$와 $(G,*_{\!G})$가 동형이면

위 정리로 두 동형사상 합성함수도 동형사상이므로 $(S,*_{\!S})$와 $(G,*_{\!G})$가 동형이다.

 

 

 

정의3

이항구조 $(S,*)$에 대해 $e \in S$가 모든 $s \in S$에 대해 $e * s = s = s* e$를 만족할때

$(S,*)$에 항등원 $e$가 존재한다고 하고 $e$를 이항연산 $*$에 대한 항등원이라 한다.

 

 

 

정리4

이항구조 $(S,*)$에 항등원 $e \in S$가 존재하면 항등원 $e$는 유일하다.

증명

모든 $s \in S$에 대해 $e_1 * s = s = e_2* s$이고 $s*e_1 = s = s* e_2$인 항등원 $e_1, e_2 \in S$가 존재하면

$e_1 = e_1 * e_2 = e_2$이므로 항등원은 유일하다.

 

 

 

정리5

이항구조 $(S,*_{\!S}) ,(H,*_{\!H})$에 대해 $\phi : S \to H$가 $(S,*_{\!S})$에서 $(H,*_{\!H})$로의 동형사상일때 다음이 성립한다.

1. $(S,*_{\!S})$에 항등원 $e \in S$가 존재하면 $\phi(e)$는 $(H,*_{\!H})$의 항등원이다.

2. $*_{\!S}$가 가환적이면 $*_{\!H}$도 가환적이다.

3. $*_{\!S}$가 결합적이면 $*_{\!H}$도 결합적이다.

증명

1.

$e\in S$가 $(S,*_{\!S})$의 항등원이면 모든 $x \in S$에 대해 $e *_{\!S} x = x = x *_{\!S} e$이므로

준동형사상 성질로 $ \phi(x) = \phi(e *_{\!S} x) = \phi(e) *_{\!H} \phi(x)$이고 $ \phi(x) = \phi(x *_{\!S} e) = \phi(x) *_{\!H} \phi(e)$이다.

따라서 $\phi$가 전단사이고 $\phi(e) *_{\!H} \phi(x) = \phi(x) = \phi(x) *_{\!H} \phi(e)$이므로 $\phi(e)\in H$는 $(H,*_{\!H})$의 항등원이다.

2.

$*_{\!S}$가 가환적이면 모든 $a,b \in S$에 대해 $a *_{\!S} b = b*_{\!S} a$이므로

준동형사상 성질로 $ \phi(a) *_{\!H} \phi(b) = \phi(a *_{\!S} b) = \phi(b *_{\!S} a) = \phi(b) *_{\!H} \phi(a)$이고 $\phi$가 전단사이므로 $*_{\!H}$는 가환적이다.

3.

$*_{\!S}$가 결합적이면 모든 $a,b,c \in S$에 대해 $(a *_{\!S} b) *_{\!S} c = a*_{\!S} (b*_{\!S} c)$이므로

준동형사상 성질로

$(\phi(a) *_{\!H} \phi(b)) *_{\!H} \phi(c)  = \phi(a *_{\!S} b) *_{\!H} \phi(c) = \phi((a*_{\!S} b)*_{\!S} c ) = \phi(a*_{\!S} (b*_{\!S} c)) = \phi(a )*_{\!H} \phi(b*_{\!S} c) = \phi(a) *_{\!H} (\phi(b)*_{\!H} \phi(c) ) \text{이고} $

$\phi$가 전단사이므로 $*_{\!H}$는 결합적이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/47#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/47#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

John B. Fraleigh - A First course in Abstract Algebra - 9788998308162