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정의1
군 :
집합 $G$와 이항연산 $*:G\times G \to G$와 어떤 $e\in G$에 대해
아래 성질을 만족하는 $3$-순서쌍 $(G,*,e)$를 군으로 정의한다.
$*$에 닫힘 : 모든 $a,b \in G$에 대해 $a * b \in G$이다.
$*$에 대한 결합법칙 : 모든 $a ,b,c \in G$에 대해 $(a*b)*c = a*(b*c)$이다.
$*$에 대한 항등원 : 모든 $s \in G$에 대해 $e* s = s = s*e$인 $e \in G$가 존재한다.
$*$에 대한 역원 : 모든 $s \in G$에 대해 $s^{-1} * s = e = s* s^{-1}$인 $s$의 $*$에 대한 역원 $s^{-1} \in G$이 존재한다.
아벨군(Abelian group), 가환군 :
이항연산에 대해 교환법칙까지 만족하는 군 $(G,*,e)$를 아벨군 또는 가환군으로 정의한다.
반군(semigroup) :
이항연산에 대해 결합법칙만 만족하는 이항구조 $(G,*)$를 반군으로 정의한다.
모노이드(monoid) :
이항구조 $(G,*)$가 이항연산에 대해 결합법칙을 만족하고 항등원 $e \in G$를 가질때
$3$-순서쌍 $(G,*,e)$를 모노이드로 정의한다.
정리1
$G$가 $*$에 대해 닫혀있고 결합적일때 좌측공리 또는 우측공리 중 하나를 만족하는 $(G,*,e)$는 군이다.
좌측공리
1. 모든 $s \in G$에 대해 $e_L * s = s $인 $e_L \in G$이 존재한다.
2. 1번의 $e_L \in G$과 모든 $s \in G$에 대해 $s^{-1}_L * s = e_L$인 $s^{-1}_L \in G$이 존재한다.
우측공리
1. 모든 $s \in G$에 대해 $ s* e_R = s $인 $e_R \in G$이 존재한다.
2. 1번의 $e_R \in G$과 모든 $s \in G$에 대해 $s* s^{-1}_R = e_R$인 $s^{-1}_R \in G$이 존재한다.
증명
$(G,*,e)$가 좌측공리를 만족할때
모든 $s \in G$에 대해 $ (s^{-1}_L * s) * e_L = e_L * e_L = e_L = s^{-1}_L * s$이므로
$ \begin{align*} s *e_L & = e_L * (s *e_L) \\[0.5em] & = ((s^{-1}_L)^{-1}_L * s^{-1}_L) * (s *e_L) \\[0.5em] & = (s^{-1}_L)^{-1}_L * ((s^{-1}_L * s) * e_L) \\[0.5em] & = (s^{-1}_L)^{-1}_L * (s^{-1}_L * s) \\[0.5em] & = ((s^{-1}_L)^{-1}_L * s^{-1}_L )*s \\[0.5em] & = e_L * s \text{ 가 되어} \end{align*}$
$s * e_L = s = e_L * s$인 $*$에 대한 항등원 $e=e_L \in G$가 존재한다.
모든 $s \in G$에 대해 $(s^{-1}_L * s) * s^{-1}_L = e_L * s^{-1}_L = s^{-1}_L $이므로
$ \begin{align*} s* s^{-1}_L & = e_L * (s * s^{-1}_L) \\[0.5em] & = ((s^{-1}_L)^{-1}_L * s^{-1}_L) * (s *s^{-1}_L) \\[0.5em] & = (s^{-1}_L)^{-1}_L * ((s^{-1}_L*s) * s^{-1}_L) \\[0.5em] & = (s^{-1}_L)^{-1}_L * s^{-1}_L \\[0.5em] & = e_{L} \text{ 이 되어 } \end{align*}$
$s^{-1}_L * s = e_L = s * s^{-1}_L$인 $*$에 대한 역원 $s^{-1}_L \in G$가 존재한다.
따라서 $(G,*,e)$는 군이다.
$(G,*,e)$가 우측공리를 만족할때
모든 $s \in G$에 대해 $ e_R * ( s *s^{-1}_R) = e_R * e_R = e_R = s* s^{-1}_R$이므로
$ \begin{align*} e_R* s & = (e_R * s) *e_R \\[0.5em] & = (e_R * s) * (s^{-1}_R * (s^{-1}_R)^{-1}_R ) \\[0.5em] & = (e_R * (s * s^{-1}_R) ) * (s^{-1}_R)^{-1}_R \\[0.5em] & = (s* s^{-1}_R ) * (s^{-1}_R)^{-1}_R \\[0.5em] & = s* (s^{-1}_R * ( s^{-1}_R)^{-1}_R ) \\[0.5em] & = s * e_R \text{ 이 되어} \end{align*}$
$s * e_R = s = e_R * s$인 $*$에 대한 항등원 $e=e_R \in G$가 존재한다.
모든 $s \in G$에 대해 $s^{-1}_R * (s * s^{-1}_R) = s^{-1}_R * e_R = s^{-1}_R $이므로
$ \begin{align*} s^{-1}_R *s & = (s^{-1}_R *s) * e_R \\[0.5em] & = (s^{-1}_R * s) * (s^{-1}_R * (s^{-1}_R)^{-1}_R ) \\[0.5em] & = ( s^{-1}_R * (s * s^{-1}_R) )* (s^{-1}_R)^{-1}_R \\[0.5em] & = s^{-1}_R * (s^{-1}_R)^{-1}_R \\[0.5em] & = e_{R} \text{ 이 되어 } \end{align*}$
$s^{-1}_R * s = e_R = s * s^{-1}_R$인 $*$에 대한 역원 $s^{-1}_R \in G$가 존재한다.
따라서 $(G,*,e)$는 군이다.
정리2
$(G,*,e)$가 군일때 다음이 성립한다.
우측 소거법칙 : 모든 $a,b,c \in G$에 대해 $b *a = c *a $이면 $b = c$이다.
좌측 소거법칙 : 모든 $a,b,c \in G$에 대해 $a * b = a * c$이면 $b = c$이다.
증명
우측 소거법칙
모든 $a,b,c \in G$에 대해 $b * a = c *a $일때 항등원 $e \in G$에 대해 $a * a^{-1} = e$인 $a$의 역원 $a^{-1} \in G$이 존재하므로
$ (b*a) *a^{-1} =(c*a)* a^{-1} $이고 결합법칙으로 $b = b * e = b* (a *a^{-1} ) = c *(a * a^{-1} ) = c *e = c$이다.
좌측 소거법칙
모든 $a,b,c \in G$에 대해 $a * b = a * c$일때 항등원 $e \in G$에 대해 $ a^{-1} * a = e$인 $a$의 역원 $a^{-1} \in G$이 존재하므로
$a^{-1} * (a * b) =a^{-1} * (a *c)$이고 결합법칙으로 $b = e *b = (a^{-1} *a )*b = (a^{-1} *a) * c = e *c = c$이다.
정리3
$(G,*,e)$가 군이면 이항연산 $*$에 대한 항등원은 유일하고 각각의 $a \in G$의 역원 $a^{-1} \in G$도 유일하다.
증명
항등원은 이항구조 정리로 유일하고
임의의 $a \in G$의 역원이 $a^{-1}_1 , a^{-1}_2 \in G$일때 $a * a^{-1}_1 = e = a * a^{-1}_2$이므로 위 정리로 $a^{-1}_1 = a^{-1}_2$이다.
정리4
$(G,*,e)$가 군일때 이항연산 $*$에 대한 임의의 $a,b \in G$의 역원이 각각 $a^{-1},b^{-1} \in G$이면
$a * b$의 역원은 $(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$이다.
증명
$*$에 대한 항등원이 $e \in G$일때 결합법칙으로
$(a * b) * (b^{-1} * a^{-1}) = a * (b * b^{-1}) * a^{-1} = a *e *a^{-1} = a * a^{-1} = e$이고
$ (b^{-1} * a^{-1}) * (a * b) = b^{-1} * (a * a^{-1}) * b = b^{-1} *e * b = b^{-1} *b = e$이다.
위 정리로 역원은 유일하므로 $(a * b)$의 역원은 $(a * b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$이다.
정의2
$(G,*,e)$가 모노이드일때 임의의 $a \in G$에 대해
$a$의 $0$번 연산을 $*$에 대한 항등원 $a^0 = e$로 정의하고
임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해
$a$의 $n$번 연산이 $a^n \in G$으로 귀납적으로 정의될때
$a$의 $n+1$번 연산을 $a^{n+1} = a^n * a$로 정의한다.
임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n$번 연산을 거듭연산으로 정의한다.
$(G,*,e)$가 군일때 임의의 $a \in G$에 대해
$a$의 $-1$번 연산을 $*$에 대한 $a$의 역원 $a^{-1}$로 정의할때
모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해
$a$의 $-n$번 연산을 $a^{-n} = (a^{-1})^n$으로 정의한다.
임의의 정수 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $n$번 연산을 거듭연산으로 정의한다.
정리10
$(G,*,e)$가 군일때 모든 $a \in G$와 모든 정수 $n\in \mathbb{Z}$에 대해 $a^n = (a^{-1})^{-n}$이다.
증명
정수 $n \in \mathbb{Z}$은 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$이거나 $n = 0$이거나 음의 정수 $n \in \mathbb{Z}^-$이므로
$n \in \mathbb{Z}^+$이면
$*$에 대한 항등원 $e \in G$에 대해 $a * a^{-1} = e = (a^{-1})^{-1} * a^{-1}$이므로 소거법칙으로 $a = (a^{-1})^{-1}$이고
거듭연산의 정의로 $(a^{-1})^{-n} = ((a^{-1})^{-1})^n =a^n$이다.
$n = 0$이면
$n = 0 = -n$이므로 거듭연산의 정의로 $a^n = a^0 = e = (a^{-1})^0 = (a^{-1})^{-n}$이다.
$n \in \mathbb{Z}^-$이면
$-n = p \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 거듭연산의 정의로 $a^n =a^{-p} = (a^{-1})^p = (a^{-1})^{-n}$이다.
따라서 모든 정수 $n\in \mathbb{Z}$에 대해 $a^n = (a^{-1})^{-n}$이다.
정리5
$(G,*,e)$가 모노이드일때 모든 $a,b \in G$와 임의의 자연수 $m,n\in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $*$에 대한 항등원 $e \in G$에 대해 $e^n = e$이다.
2. $a^{m+n} =a^m * a^n$
3. $a^{m\cdot n} = (a^m)^n$
4. $G$가 $*$에 대해 교환법칙이 성립하면 $(a * b)^n= a^n * b^n$이다.
증명
1.
$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법으로 증명한다.
$n = 0$이면 거듭연산의 정의로 $e^0 = e$이다.
모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $e^{k} =e$라고 가정하면 거듭연산의 정의로 $e^{k+1} = e^k * e = e*e = e$이다.
따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $e^n = e$이다.
2.
$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법으로 증명한다.
$n = 0$이면 거듭연산의 정의로 $a^m * a^0 = a^m * e = a^m = a^{m + 0}$이다.
모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a^{m+k} =a^m * a^k$라고 가정하면
결합법칙으로 $a^m * a^{k+1} = a^m * (a^k * a) = (a^m * a^k) * a = a^{m+k} * a =a^{m+k+1} = a^{m+(k+1)}$이다.
따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a^{m+n} =a^m * a^n$이다.
3.
$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법으로 증명한다.
$n = 0$이면 거듭연산의 정의로 $(a^m)^0 = e = a^0 = a^{m\cdot 0}$이다.
모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(a^m)^k = a^{m\cdot k}$라고 가정하면
결합법칙과 2번으로 $(a^m)^{k+1} = (a^m)^k * a^m = a^{m\cdot k} * a^m = a^{m\cdot k + m} = a^{m \cdot (k+1)}$이다.
따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$이다.
4.
$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용한다.
$n = 0$이면 거듭연산의 정의로 $(a * b)^0 = e = e*e = a^0 * b^0$이다.
모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(a * b)^k= a^k * b^k$라고 가정하면
$(a * b)^{k+1} = (a * b)^{k} * (a * b) = (a^k * b^k) * (a * b) = (a^k * a) * (b^k * b) = a^{k+1} * b^{k+1}$이므로
모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $(a * b)^n= a^n * b^n$이다.
정리6
$(G,*,e)$가 군일때 모든 $a, b \in G$와 임의의 정수 $m,n\in \mathbb{Z}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $*$에 대한 항등원 $e \in G$에 대해 $e^n = e$이다.
2. $a^n * a^{-n} = e = a^{-n} * a^n$
3. $a^{m+n} =a^m * a^n$
4. $a^{m\cdot n} = (a^m)^n$
5. $G$가 $*$에 대해 교환법칙이 성립하면 $(a * b)^n= a^n * b^n$이다.
증명
1.
정수 $n \in \mathbb{Z}$은 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$이거나 $n = 0$이거나 음의 정수 $n \in \mathbb{Z}^-$이므로
$n \in \mathbb{N} = \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$이면 위 정리로 성립한다.
$n \in \mathbb{Z}^-$이면 $-n = p \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고 $e^{-1} * e = e = e*e$이므로 소거법칙으로 $e^{-1} = e$가 되어
위 정리와 거듭연산의 정의로 $e^n = e^{-p} = (e^{-1})^p = e^p = e$이다.
2.
정수 $n \in \mathbb{Z}$은 양의 정수이거나 $0$이거나 음의 정수이므로
$n \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0\}$이면 $a^n * a^{-n} = e = a^{-n} * a^n$임을 귀납법을 사용하여 증명한다.
$n = 0$이면 $a^0 * a^{-0} = e*e = e = e*e= a^{-0} * a^0$로 성립한다.
모든 $k \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0\}$에 대해 $a^k * a^{-k} = e = a^{-k} * a^k$이면
위 정리로 $a^k * a = a^{k+1} = a^{1+k} = a * a^k$이므로
$\begin{align*}a^{k+1} * a^{-(k+1)} & = (a^k * a) * (a^{-1})^{k+1} \\[0.5em] & = (a^k * a)*( (a^{-1})^k *a^{-1}) \\[0.5em] & = (a * a^k) * (a^{-k} * a^{-1}) \\[0.5em] & = a * (a^k * a^{-k}) * a^{-1} \\[0.5em] & = a* e *a^{-1} \\[0.5em] & = a* a^{-1} \\[0.5em] & = e \text{ 이고} \end{align*}$ $\begin{align*} a^{-(k+1)} * a^{k+1} & = (a^{-1})^{k+1} * (a^k * a) \\[0.5em] & = ( (a^{-1})^k *a^{-1}) *(a^k * a) \\[0.5em] & = (a^{-k} * a^{-1})*(a * a^k) \\[0.5em] & = a^{-k} * (a^{-1}*a) * a^k \\[0.5em] & = a^{-k} * e * a^k \\[0.5em] & = a^{-k} * a^k \\[0.5em] & = e \text{ 가 되어} \end{align*}$
모든 $n \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0\}$에 대해 $a^n * a^{-n} = e = a^{-n} * a^n$이다.
$n \in \mathbb{Z}^-$이면
$-n = p \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로 $a^n * a^{-n} = a^{-p} * a^p =e= a^p * a^{-p} = a^{-n} * a^n$이다.
3.
$m,n \in \mathbb{Z}$은 양의 정수이거나 $0$이거나 음의 정수이므로
경우 1 : $m \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$이고 $n \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$이면 위 정리로 성립한다.
경우 2 : $m \in \mathbb{Z}^-$이고 $n \in \mathbb{Z}^-$이면
$-m,-n \in \mathbb{Z}^+$이므로 위 정리와 거듭연산 정리로 $a^m * a^n = (a^{-1})^{-m} * (a^{-1})^{-n} = (a^{-1})^{-(m+n)} = a^{m+n}$이다.
경우 3 : $m \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$이고 $n \in \mathbb{Z}^-\cup \{ 0 \}$이면
$m+n \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$일때 $-n \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$이므로 위 정리로 $a^m = a^{m+n + (- n)} = a^{m+n} * a^{-n}$이고
결합법칙과 2번으로
$ a^m * a^n = (a^{m+n} * a^{-n}) * a^n = a^{m+n} * (a^{-n} * a^n) = a^{m+n} *e = a^{m+n} $이다.
$m+n \in \mathbb{Z}^-$일때 $-(m+n) \in \mathbb{Z}^+$이고 $m \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$이므로
$a^n = a^{-m + m + n} = (a^{-1})^{m -(m + n)} = (a^{-1})^m * (a^{-1})^{-(m+n)} = a^{-m} * a^{m+n}$이 되어
결합법칙과 2번으로
$a^m * a^n = a^m * (a^{-m} * a^{m+n}) = (a^m * a^{-m}) * a^{m+n} = e * a^{m+n} = a^{m+n}$이다.
경우 4 : $m \in \mathbb{Z}^-$이고 $n \in \mathbb{Z}^+$이면
$-m \in \mathbb{Z}^+$이고 $-n \in \mathbb{Z}^-$이므로 경우 3과 거듭연산 정리로
$a^m * a^n = (a^{-1})^{-m} * (a^{-1})^{-n} = (a^{-1})^{-m-n} = a^{m+n}$이다.
4.
정수 $m,n \in \mathbb{Z}$은 양의 정수이거나 $0$이거나 음의 정수이므로
$m = 0$이면 거듭연산의 정의와 1번으로 $(a^m)^n = (a^0)^n = e^n = e = a^0 = a^{0\cdot n} = a^{m\cdot n}$이고
$n = 0$이면 거듭연산의 정의로 $(a^m)^0 = e = a^0 = a^{m\cdot 0} = a^{m\cdot n}$이다.
$m\ne 0$이고 $n \ne 0$일때
경우 1 : $m \in \mathbb{Z}^+$이고 $n \in \mathbb{Z}^+$이면 위 정리로 성립한다.
경우 2 : $m \in \mathbb{Z}^-$이고 $n \in \mathbb{Z}^-$이면
$-m \in \mathbb{Z}^+$이고 $-n \in \mathbb{Z}^+$이므로 위 정리로 $(b^{-m})^{-n} = b^{(-m) \cdot (-n)} = b^{m\cdot n}$이고
2번으로 $(b^{-m})^n * b^{m\cdot n} = (b^{-m})^n * (b^{-m})^{-n} = e = b^{-m\cdot n} * b^{m\cdot n}$이므로 소거법칙으로 $b^{-m\cdot n} = (b^{-m})^n$이다.
$a * a^{-1} = e = (a^{-1})^{-1} * a^{-1}$이므로 소거법칙으로 $a = (a^{-1})^{-1}$가 되어 $b = a^{-1}$이면
거듭연산 정리로 $b^{-m\cdot n} = (a^{-1})^{-m\cdot n} = ((a^{-1})^{-1})^{m\cdot n} = a^{m\cdot n}$이고
$(b^{-m})^n = ((a^{-1})^{-m})^n = (((a^{-1})^{-1})^m)^n = (a^m)^n$이므로 $a^{m\cdot n} = (a^m)^n$이다.
경우 3 : $m \in \mathbb{Z}^+$이고 $n \in \mathbb{Z}^-$이면
2번으로 $a^{m\cdot n} * a^{-m\cdot n} = e $이고 $-n \in \mathbb{Z}^+$로 $-m\cdot n \in \mathbb{Z}^+$이므로 위 정리와 거듭연산 정리와 2번으로
$(a^m)^n * a^{-m\cdot n} = (a^m)^n * a^{m\cdot (-n)} = (a^m)^n * (a^m)^{-n} = e$가 되어
$a^{m\cdot n} * a^{-m\cdot n} = e = (a^m)^n * a^{-m\cdot n}$에 소거법칙을 적용하면 $a^{m\cdot n} = (a^m)^n $이다.
경우 4 : $m \in \mathbb{Z}^-$이고 $n \in \mathbb{Z}^+$이면
2번으로 $a^{m\cdot n} * a^{-m\cdot n} = e $이고 경우 2로 $(a^m)^{-1} = a^{-m}$이다.
$-m \in \mathbb{Z}^+$로 $-m\cdot n \in \mathbb{Z}^+$이므로 위 정리와 거듭연산 정리와 2번으로
$(a^m)^n * a^{-m\cdot n} = ((a^m)^{-1})^{-n} * a^{(-m)\cdot n} = ((a^m)^{-1})^{-n} * (a^{-m})^{n} = (a^{-m})^{-n} * (a^{-m})^n = e$가 되어
$a^{m\cdot n} * a^{-m\cdot n} = e = (a^m)^n * a^{-m\cdot n}$에 소거법칙을 적용하면 $a^{m\cdot n} = (a^m)^n $이다.
5.
정수 $n \in \mathbb{Z}$은 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$이거나 $n = 0$이거나 음의 정수 $n \in \mathbb{Z}^-$이므로
$n \in \mathbb{N} = \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \}$이면 위 정리로 성립한다.
$n \in \mathbb{Z}^-$이면 $-n = p \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로 위 정리, 역원정리, 교환법칙, 거듭연산의 정의로
$(a*b)^n = (a * b)^{-p} = ((a*b)^{-1})^{p}= (b^{-1} * a^{-1})^{p} = (a^{-1} * b^{-1})^{p} = (a^{-1})^{p} * (b^{-1})^{p} = a^{-p} * b^{-p} = a^n * b^n \text{ 이다.}$
정의3
$(G,*,e)$가 군일때 집합 $G$의 부분집합 $H \subseteq G$에 대해 $(H , *,e)$가 군이면
$(H, *,e)$를 $(G,*,e)$의 부분군(subgroup)으로 정의한다.
이때 $(H, *,e)$의 이항연산은 $(G,*,e)$의 이항연산의 제한함수이다.
정리7
$H \subseteq G$일때 $(H, *,e)$가 군 $(G,*,e)$의 부분군이기 위한 필요충분조건은 다음 1, 2, 3을 모두 만족하는 것이다.
2. $*$에 대한 항등원 $e \in G$가 $e \in H$이다.
3. 모든 $a \in H$의 $*$에 대한 역원 $a^{-1 } \in G$이 $a^{-1} \in H$이다.
증명
$(H, *,e)$가 $(G,*,e)$의 부분군이면
$(H, *,e)$는 군이므로 $H$가 $*$에 대해 닫혀있고 $H$에 $*$에 대한 항등원, 역원이 존재한다.
또 위 정리로 항등원과 역원은 유일하므로 정리의 1,2,3을 만족한다.
역으로 정리의 1,2,3을 만족할때
$H \subseteq G$이므로 모든 $a ,b,c \in H$는 $a ,b,c \in G$이고
$G$는 군이므로 $*$에 대한 결합법칙이 성립하여 $(a*b)*c = a*(b*c)$이다.
따라서 2,3번으로 $(H, *,e)$는 군이고 $H \subseteq G$이므로 $(H, *,e)$는 $(G,*,e)$의 부분군이다.
정리8
$(G,*,e)$가 군이고 $e \in G$가 $*$에 대한 항등원이면 $(\{ e \},*,e)$는 $(G,*,e)$의 부분군이다.
증명
$e \in G$이므로 $\{e \} \subseteq G$이고 항등원은 $e *e =e$이므로 집합 $\{ e \}$는 $*$에 대해 닫혀있다.
또 항등원의 역원은 $e*e = e = e*e$로 $e$이므로 위 정리로 $(\{ e \},*,e)$는 $(G,*,e)$의 부분군이다.
정리9
증명
가환군 $(G,*,e)$의 임의의 부분군이 $(H,*,e)$일때
모든 $a, b \in H$는 $a, b \in G$이므로 $a * b = b* a$이고
$(H,*,e)$가 군이므로 $b * a = a * b \in H$가 되어 $(H,*,e)$는 가환군이다.
정리11
군 $(G_1,*_1,e_1)$에서 군 $(G_2,*_2,e_2)$로의 준동형사상 $\phi : G_1 \to G_2$에 대해 다음이 성립한다.
1. $\phi(e_1) = e_2$
2. 모든 $a \in G_1$에 대해 $\phi(a^{-1}) = (\phi(a))^{-1}$이다.
3. $(H,*_1,e_1)$가 $(G_1,*_1,e_1)$의 부분군이면 $($$\phi(H)$$,*_2,e_2)$는 $(G_2,*_2,e_2)$의 부분군이다.
4. $(K,*_2,e_2)$가 $(G_2,*_2,e_2)$의 부분군이면 $($$\phi^{-1}(K)$$,*_1,e_1)$는 $(G_1,*_1,e_1)$의 부분군이다.
증명
1.
임의의 $a \in G_1$에 대해 준동형사상 성질로
$\phi(a) *_2 e_2 = \phi(a) = \phi(a*_1e_1) = \phi(a)*_2\phi(e_1)$이므로 소거법칙으로 $\phi(e_1) = e_2$이다.
2.
임의의 $a \in G_1$에 대해 1번과 준동형사상 성질로
$\phi(a) *_2 \phi(a^{-1})= \phi(a*_1 a^{-1}) = \phi(e_1) = e_2 = \phi(a) *_2(\phi(a))^{-1}$이므로 소거법칙으로 $\phi(a^{-1}) = (\phi(a))^{-1}$이다.
3.
$(H,*_1,e_1)$가 군이므로 임의의 $a,b \in H$에 대해 $a*_1b \in H$이고
모든 $\alpha,\beta \in \phi(H)$는 $\alpha = \phi(a)$이고 $\beta = \phi(b)$인 $a,b \in H$가 존재하므로
준동형사상 성질로 $\alpha*_2 \beta =\phi(a)*_2\phi(b) = \phi(a *_1 b) \in \phi(H) $가 되어 $\phi(H)$는 $*_2$에 대해 닫혀있다.
또 $e_1 \in H$이므로 1번으로 $e_2 = \phi(e_1) \in \phi(H)$이고 $a^{-1} \in H$이므로 2번으로 $(\phi(a))^{-1} = \phi(a^{-1}) \in \phi(H)$가 되어
위 정리로 $(\phi(H),*_2,e_2)$는 $(G_2,*_2,e_2)$의 부분군이다.
4.
임의의 $a,b \in \phi^{-1}(K)$는 $\phi(a),\phi(b) \in K$이고 $(K,*_2,e_2)$가 군이므로
준동형사상 성질로 $\phi(a*_1 b) =\phi(a)*_2 \phi(b) \in K$가 되어 $a*_1 b \in \phi^{-1}(K)$로 $\phi^{-1}(K)$는 $*_1$에 대해 닫혀있다.
또 1번으로 $\phi(e_1) = e_2 \in K$이므로 $e_1 \in \phi^{-1}(K)$이고
2번으로 $\phi(a^{-1}) =(\phi(a))^{-1} \in K$이므로 $a^{-1} \in \phi^{-1}(K)$가 되어
위 정리로 $(\phi^{-1}(K),*_1,e_1)$은 $(G_1,*_1,e_1)$의 부분군이다.
정의4
군 $(G_1,*_1,e_1)$에서 군 $(G_2,*_2,e_2)$로의 준동형사상 $\phi : G_1 \to G_2$에 대해
$\operatorname{ker}\phi = $ $\phi^{-1}(\{ e_2\})$ $= \{ a \in G_1 : \phi(a) = e_2\}$를 $\phi$의 핵(kernel)으로 정의한다.
정리12
군 $(G_1,*_1,e_1)$에서 군 $(G_2,*_2,e_2)$로의 준동형사상 $\phi : G_1 \to G_2$에 대해
$\phi$가 단사이기 위한 필요충분조건은 $\operatorname{ker} \phi = \{ e_1\}$인 것이다.
증명
$\phi$가 단사이면
위 정리로 $\phi(e_1) = e_2$이므로 $\phi(\{ e_1\}) = \{ e_2 \}$이고 함수 정리로 $\operatorname{ker}\phi = \phi^{-1}(\{ e_2\}) =\phi^{-1}(\phi(\{ e_1\})) = \{ e_1\}$이다.
역으로 $\operatorname{ker} \phi = \{ e_1\}$이면
잉여류 정리로 임의의 $a \in G_1$에 대해 $\{a\} = a *_1 \{ e_1\} = a *_1 \operatorname{ker}\phi = \phi^{-1}(\{ \phi(a)\})$이므로
$\phi(a) = \phi(b)$인 모든 $b \in G_1$는 $b \in \phi^{-1}(\{ \phi(a) \}) = \{ a\}$가 되어 $a = b$이므로 $\phi$는 단사이다.
정리13
함수 $\phi : G_1 \to G_2$가
군 $(G_1,*_1,e_1)$에서 군 $(G_2,*_2,e_2)$로의 동형사상이기 위한 필요충분조건은 다음 1, 2, 3을 모두 만족하는 것이다.
1. $\phi$는 모든 $a,b\in G_1$에 대해 $\phi(a*_1 b) = \phi(a) *_2 \phi(b)$인 준동형사상이다.
2. $\operatorname{ker} \phi$ $= \phi^{-1}(\{ e_2\}) = \{ e_1\}$
3. $\phi$는 전사함수이다.
증명
$\phi $가 동형사상이면 자명하게 1, 3번이 성립하고 단사이므로 위 정리로 $\operatorname{ker}\phi = \{ e_1 \}$이다.
역으로 $\phi$가 1, 2, 3을 만족하면
위 정리로 $\phi$는 단사가 되어 3번으로 전단사이고 1번으로 준동형사상 성질을 만족하므로
$\phi$는 $(G_1,*_1,e_1)$에서 $(G_2,*_2,e_2)$로의 동형사상이다.
정리14
군 $(G_1,*_1,e_1)$에서 군 $(G_2,*_2,e_2)$로의 준동형사상 $\phi : G_1 \to G_2$에 대해 다음이 성립한다.
1. $G_1$이 $n_1 \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이면 $\phi(G_1)$은 $m \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이고 $n_1/m \in \mathbb{Z}$이다.
2. $G_2$가 $n_2 \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이면 $\phi(G_1)$은 $m \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이고 $n_2/m \in \mathbb{Z}$이다.
3. $G_1$이 $p \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이고 $p$가 소수이면 $\phi$는 단사이거나 모든 $a \in G_1$에 대해 $\phi(a) = e_2$이다.
4. $(G_2,*_2,e_2)$에서 군 $(G_3,*_3,e_3)$로의 준동형사상 $\psi : G_2 \to G_3$에 대해
합성함수 $\psi \circ \phi : G_1 \to G_3$는 $(G_1,*_1,e_1)$에서 $(G_3,*_3,e_3)$로의 준동형사상이다.
5. $(\phi(G_1),*_2,e_2)$가 가환군이기 위한 필요충분조건은
모든 $x,y \in G_1$에 대해 $x*_1y*_1x^{-1}*_1y^{-1} \in$ $\operatorname{ker} \phi$인 것이다.
증명
1.
정규 부분군 정리로 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1)$은 $(G_1,*_1,e_1)$의 부분군이므로
유한집합 정리로 $\operatorname{ker}\phi \subseteq G_1$는 $k \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어
잉여류 정리로 $\{ a *_1 \operatorname{ker}\phi : a \in G_1\}$은 $\dfrac{n_1}{k} \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이고
잉여류 정리로 $\phi(G_1)$와 $\{ a *_1 \operatorname{ker}\phi : a \in G_1\}$사이에 전단사함수가 존재하므로
유한집합 정리로 $\phi(G_1)$은 $\dfrac{n_1}{k} = m$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어 $n_1 = m\cdot k$이고 $n_1/m \in \mathbb{Z}$이다.
2.
위 정리로 $(\phi(G_1),*_2,e_2)$는 $(G_2,*_2,e_2)$의 부분군이므로
유한집합 정리로 $\phi(G_1) \subseteq G_2$은 $m \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어 라그랑주 정리로 $n_2/m \in \mathbb{Z}$이다.
3.
정규 부분군 정리로 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1)$은 $(G_1,*_1,e_1)$의 부분군이므로
유한집합 정리로 $\operatorname{ker}\phi \subseteq G_1$는 $k \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어
라그랑주 정리로 $p/k \in \mathbb{Z}$이고 $p$는 소수이므로 $k = 1$ 또는 $k = p$이다.
$k = 1$이면 $(\operatorname{ker}\phi,*_1,e_1)$는 군이므로 $e_1 \in \operatorname{ker}\phi = \{ e _1\}$이 되어 위 정리로 $\phi$는 단사이고
$k = p$이면
유한집합 정리로 $\phi^{-1}(\{ e_2 \}) =\operatorname{ker}\phi = G_1$이므로 모든 $a \in G_1 = \phi^{-1}(\{e_2\})$에 대해 $\phi(a) = e_2$이다.
4.
준동형사상 성질로 모든 $x,y \in G_1$에 대해
$(\psi \circ \phi)(x *_{1} y) = \psi(\phi(x*_{1} y)) = \psi(\phi(x) *_{2} \phi(y) ) = \psi(\phi(x)) *_{3} \psi(\phi(y)) = (\psi \circ \phi)(x) *_{3} (\psi \circ \phi)(y)$이므로
$\psi \circ \phi : G_1 \to G_3$는 $(G_1,*_1,e_1)$에서 $(G_3,*_3,e_3)$로의 준동형사상이다.
5.
$(\phi(G_1),*_2,e_2)$가 가환군이면
준동형사상 성질과 위 정리로 모든 $x,y \in G_1$에 대해
$\begin{align*} \phi(x*_1y *x^{-1} *_1 y^{-1}) & = \phi(x)*_2 \phi(y) *_2\phi(x^{-1})*_2 \phi(y^{-1}) \\[0.5em]&=\phi(x)*_2 \phi(y) *_2\phi(y^{-1})*_2 \phi(x^{-1}) \\[0.5em]&=\phi(x)*_2 \phi(y) *_2(\phi(y))^{-1}*_2 (\phi(x))^{-1} \\[0.5em]&=\phi(x)*_2 e_2 *_2 (\phi(x))^{-1} \\[0.5em]&=\phi(x)*_2 (\phi(x))^{-1} \\[0.5em] & = e_2 \text{ 이므로} \end{align*}$
$x*_1y*_1x^{-1}*_1y^{-1} \in \operatorname{ker}\phi = \phi^{-1}(\{e_2\})$이다.
역으로 모든 $x,y \in G_1$에 대해 $x*_1y*_1x^{-1}*_1y^{-1} \in \operatorname{ker}\phi$일때
$\begin{align*}(\phi(x) *_2 \phi(y)) *_2 (\phi(y)*_2\phi(x))^{-1} & =\phi(x) *_2 \phi(y) *_2 (\phi(x))^{-1} *_2 (\phi(y))^{-1} \\[0.5em] & = \phi(x)*_2\phi(y) *_2 \phi(x^{-1}) *_2 \phi(y^{-1}) \\[0.5em] & = \phi(x*_1y*_1x^{-1}*_1y^{-1}) \\[0.5em]& = e_2 \\[0.5em] & = (\phi(x)*_2\phi(y))*_2 (\phi(x)*_2 \phi(y))^{-1} \text{ 이므로} \end{align*}$
소거법칙으로 $(\phi(y) *_2 \phi(x))^{-1} = (\phi(x)*_2\phi(y))^{-1}$이고
거듭연산 정리로 $\phi(y) *_2 \phi(x) = ((\phi(y) *_2 \phi(x))^{-1})^{-1} = ((\phi(x)*_2\phi(y))^{-1})^{-1} = \phi(x) *_2 \phi(y)$가 되어
$(\phi(G_1),*_2,e_2)$는 가환군이다.
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정의의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/48#def번호
번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
정리의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/48#thm번호
번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.
틀린 내용이 존재할 수 있습니다.
출처(저자 - 제목 - ISBN13)
John B. Fraleigh - A First course in Abstract Algebra - 9788998308162
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