자연수 집합, 정수 집합

정의1

페아노 공리(Peano axioms) :

1. $0 \in \mathbb{N}$

2. 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n \!+\!+ \in \mathbb{N}$이다.

3. 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n \!+\!+ \ne 0$이다.

4. 모든 $n, m \in \mathbb{N}$에 대해 $n \ne m$이면 $n\!+\!+ \ne m \!+\!+$이고 대우로 $n\!+\!+ = m \!+\!+$이면 $n = m$이다.

5. $S \subseteq \mathbb{N}$인 집합 $S$가 $0 \in S$이고 모든 $n \in S$에 대해 $n\!+\!+ \in S$이면 $S = \mathbb{N}$이다.

1, 2, 3, 4, 5를 만족하는 집합 $\mathbb{N}$과 함수 $++ : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$과 상수 $0 \in \mathbb{N}$에 대해

순서쌍의 순서쌍 $(\mathbb{N},++, 0) = ((\mathbb{N},++),0)$을 페아노 공리계로 정의한다. 

자연수 집합 :

모든 귀납집합 $A$에 대해 $\mathbb{N} \subseteq A$인 집합 $\mathbb{N}$을 자연수집합으로 정의하고

공집합을 자연수 영(zero) $\emptyset = 0 \in \mathbb{N}$으로 정의한다.

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해

증가연산 또는 다음수 연산(successor operation)을 $n\!+\!+ = n\cup \{ n\}$인 함수 $++ : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$로 정의하고 

$n\!+\!+ = n\cup \{ n\}$을 $n$의 다음수로 정의한다.

증가연산 $++$에 대해

$0\!+\!+ = 1 \in \mathbb{N}$,

$(0\!+\!+)\!+\!+ = 1\!+\!+ = 2 \in \mathbb{N}$,

$((0\!+\!+)\!+\!+)\!+\!+ = (1\!+\!+)\!+\!+ = 2\!+\!+ = 3 \in \mathbb{N}$과 같이 자연수를 정의하여

자연수 집합을 $\mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, \cdots , n, n\!+\!+ ,\cdots\}$와 같이 표기한다. $\phantom{\displaystyle \sum_{i=1}^n}$

 

 

 

정리13

다음이 성립한다.

자연수집합의 유일성과 존재성 : 자연수집합 $\mathbb{N}$이 유일하게 존재한다.

증가연산 : 증가연산은 $++ : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$인 함수이다.

페아노 공리 : 자연수집합 $\mathbb{N}$과 증가연산 $++ : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$과 자연수 영 $\emptyset = 0$에 대해 $(\mathbb{N},++, 0)$은 페아노 공리계이다.

증명

자연수집합의 유일성과 존재성, 증가연산

무한 공리로 $\emptyset \in A_0$이고 모든 $x \in A_0$에 대해 $(x\cup \{ x \}) \in A_0$인 귀납집합 $A_0$이 존재하므로

분류 공리로 $\mathbb{N} = \{ x \in A_0 : \text{모든 귀납집합 } A \text{ 에 대해 } x \in A  \}$인 집합이 존재한다.

모든 귀납집합 $A$는 $\emptyset \in A$이므로 $\mathbb{N}$의 정의로 $\emptyset \in \mathbb{N}$이 되어 $\mathbb{N}$은 공집합이 아니고

$\mathbb{N}$의 정의로 모든 $x \in \mathbb{N}$은 $x \in A$이므로 $\mathbb{N} \subseteq A$가 되어 $\mathbb{N}$은 자연수집합이다.

자연수집합 $\mathbb{N}$은 $\emptyset \in \mathbb{N}$이므로 공집합이 아니고

$x=y$인 임의의 $x,y \in \mathbb{N}$에 대해 $\{ x\} = \{ y\}$이므로 집합의 상등으로 $x\!+\!+ = x\cup \{ x\} = y \cup \{ y\} = y\!+\!+$이다.

또 자연수집합의 정의로 모든 $x \in \mathbb{N}$는 모든 귀납집합 $A$에 대해 $x \in A$이고 귀납집합의 정의로 $(x\cup \{ x \}) \in A$이므로

$(x\cup \{ x \}) \in \mathbb{N}$가 되어 증가연산 $++ : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$은 함수이다.

$\emptyset\in \mathbb{N}$이고 모든 $x\in \mathbb{N}$에 대해 $(x\cup \{ x\})\in \mathbb{N}$이므로 자연수집합은 귀납집합이 되어

임의의 자연수집합 $\mathbb{N}_1, \mathbb{N}_2$이 존재하면 $\mathbb{N}_1, \mathbb{N}_2$가 귀납집합임에 따라

자연수집합의 정의로 $\mathbb{N}_1\subseteq \mathbb{N}_2$와 $\mathbb{N}_2\subseteq \mathbb{N}_1$이 성립하므로 집합정리로 $\mathbb{N}_1= \mathbb{N}_2$이고 자연수집합은 유일하다.

페아노 공리

1,2는 위에서 보였으므로 3,4,5만 증명한다.

3.

$n\!+\!+ =( n\cup \{ n \}) \in S$이 $n\cup \{ n \} = \emptyset$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재한다고 가정하면

유한 합집합의 정의로 $x \in n\cup \{ n\}$일때 $x \in n$이거나 $x \in \{ n\}$이므로 $n =\emptyset$이고 $\{ n\} = \emptyset$인데

단일 원소집합의 정의로 $x \in \{ n \}$인 $x =n$가 존재하여 $\{ n\} \ne \emptyset$이므로 모순이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n\!+\!+= n\cup \{ n \} \ne \emptyset = 0$이다.

5.

$\emptyset =0 \in S$이고 모든 $n \in S$에 대해 $n\!+\!+ \in S$가 되는 $S \subseteq \mathbb{N}$인 집합 $S$는 귀납집합이므로

자연수집합의 정의로 $\mathbb{N} \subseteq S$이고 집합 정리로 $S = \mathbb{N}$이다.

4.

$S= \{  n\in \mathbb{N} :  x \in a \in n \text{이면 } x \in n \}$인 집합을 정의하면 $S \subseteq \mathbb{N}$이고

공집합의 정의로 $a \in \emptyset$인 $a$는 존재하지 않으므로 공허하게 $\emptyset \in S$이고 $S$는 공집합이 아니다.

임의의 $n \in S$의 합집합 $\displaystyle \bigcup n = \{ x : \text{어떤 } a \in n \text{에 대해 } x \in a \}$에 대해

$\displaystyle x\in \bigcup n$이면 $x \in a$인 $a \in n$가 존재하여 $S$의 정의로 $x \in n$이므로 $\displaystyle \bigcup n \subseteq n$이다.

$n\!+\!+ = n\cup \{ n\}$의 합집합은 $\displaystyle \bigcup (n\!+\!+) = \bigcup (n\cup \{ n \}) = \{ x : \text{어떤 } a \in (n \cup \{ n\}) \text{에 대해 } x \in a \}$이고

유한 합집합의 정의로 모든 $a \in n\cup \{n\}$는 $a \in n$이거나 $a = n$이므로 $\displaystyle \bigcup (n\!+\!+) = (\bigcup n ) \cup n$이 되어

$\displaystyle  x \in (\bigcup n ) \cup n$는 $\displaystyle  x \in \bigcup n \subseteq n$이거나 $x \in n$이므로 $\displaystyle  (\bigcup n ) \cup n \subseteq n$이고

$\displaystyle  n\subseteq (\bigcup n ) \cup n $임은 자명하므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup (n\!+\!+) =  (\bigcup n ) \cup n =n$이다.

따라서 어떤 $a \in n\!+\!+$에 대해 $x \in a \in n\!+\!+$이면 $\displaystyle x\in \bigcup (n\!+\!+) = n \subseteq n\cup \{ n\} =n\!+\!+$이므로

$S$의 정의로 $n\!+\!+ \in S$가 되어 5번으로 $S = \mathbb{N}$이고

임의의 $n, m \in \mathbb{N} = S$에 대해 $n\!+\!+ = m \!+\!+$이면 $\displaystyle n =  \bigcup (n\!+\!+) = \bigcup (m\!+\!+)=m$이 된다.

 

 

 

정리14(귀납법)

$P$가 임의의 자연수에 대한 명제함수일때

$P(0) \equiv \mathbf{T}$이고 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $P(k)\equiv \mathbf{T}$일때 $P(k\!+\!+) \equiv \mathbf{T}$가 성립하면 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $P(n)\equiv \mathbf{T}$이다.

증명

위 정리로 자연수 집합 $\mathbb{N}$이 존재하므로 분류 공리로 집합 $S = \{ n \in \mathbb{N} : P(n)\equiv \mathbf{T} \}$가 존재한다.

$S\subseteq \mathbb{N}$이고 $P(0) \equiv \mathbf{T}$이므로 $0 \in S$이 되어 $S$는 공집합이 아니므로 $k \in S$가 존재하고

모든 $k \in S \subseteq \mathbb{N}$는 $S$의 정의로 $P(k)\equiv \mathbf{T}$이고 정리의 가정으로 $P(k\!+\!+) \equiv \mathbf{T}$가 되어 $k\!+\!+ \in S$이므로

페아노 공리 5번으로 $S = \mathbb{N}$이고 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $P(n)\equiv \mathbf{T}$이다.

 

 

 

정리9

어떤 자연수 $c \in \mathbb{N}$가 존재하고 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 함수 $f_n : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$이 존재할때

$a_0 = c$이고 모든 $n \in \mathbb{N}$마다 $a_{n++} = f_n(a_n)$을 만족하는 $a_n \in \mathbb{N}$이 유일하게 존재한다.

증명

$a_n \in \mathbb{N}$이 유일하게 존재함을 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 0$일때 가정에 의해 $a_0 = c \in \mathbb{N}$이 존재한다.

$a_0 = a_{m++} = f_m(a_m)$인 자연수 $m \in \mathbb{N}$이 존재한다고 가정하면

페아노 공리로 $m\!+\!+ \ne 0$이므로 $0\in \mathbb{N}$에 대해 $a_0$은 유일하게 존재한다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a_k \in \mathbb{N}$가 유일하게 존재한다고 가정하면

정리의 가정으로 함수 $f_k$가 존재하여 $a_{k++} = f_k(a_k)$로 정의하면 $a_{k++}\in \mathbb{N}$가 존재한다.

$a_{k++} = a_{m++} = f_m(a_m)$이 되는 $m \ne k$인 자연수 $m \in \mathbb{N}$이 존재한다고 가정하면

페아노 공리로 $k\!+\!+ \ne m\!+\!+$이므로 $k\!+\!+ \in \mathbb{N}$에 대해 $a_{k++}$은 유일하게 존재한다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a_n \in \mathbb{N}$이 유일하게 존재한다.

 

 

 

정의2(자연수 덧셈)

임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$n$에 $0$을 더하는 것을 $n +0  = n$으로 정의하고

$n$에 임의의 $m \in \mathbb{N}$을 더하는 것이 $n+m \in \mathbb{N}$으로 귀납적으로 정의될때

$n$에 $m\!+\!+$를 더하는 것을 $n + (m\!+\!+) = (n+m)\!+\!+$로 정의한다.

위에서 정의된 원소들을 사용하여 나타내면

$n + 1 = n + (0\!+\!+) = (n + 0)\!+\!+ = n\!+\!+$,

$n + 2 = n + (1\!+\!+) = (n + 1)\!+\!+ = (n\!+\!+)\!+\!+$,

$n + 3 = n + (2\!+\!+) = (n + 2)\!+\!+ = ((n\!+\!+)\!+\!+)\!+\!+$와 같이 표현된다.

 

 

 

정리16

자연수 덧셈은 $+ : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$인 이항연산이다.

증명

페아노 공리로 자연수집합은 공집합이 아니므로 임의의 $n \in \mathbb{N}$이 존재하고

$a_{n,0} = n$으로 정의할때 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 증가연산 $++ : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$이 존재하므로

위 정리로 모든 $m \in \mathbb{N}$마다 $a_{n,m++} =(a_{n,m})\!+\!+$을 만족하는 $a_{n,m} \in \mathbb{N}$이 유일하게 존재한다.

따라서 임의의 $n,m\in \mathbb{N}$에 대해 $+(n,m) = a_{n,m}$으로 이항연산 $+ : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$를 정의하면

$n + (m\!+\!+) = +(n,m\!+\!+) = a_{n,m++} = (a_{n,m})\!+\!+ = (+(n,m))\!+\!+= (n+m)\!+\!+$이므로

이항연산 $+ $는 위에서 정의된 자연수 덧셈과 같다.

 

 

 

정리1

임의의 자연수 $n,m, a,b,c \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $n\!+\!+ \ne n$

2. $n + 0 = n = 0 + n$

3. $n + (m\!+\!+) = (n+m)\!+\!+ = (n\!+\!+) + m$

교환법칙 : $n +m = m+n$ 

결합법칙 : $(a+b) + c = a+(b+c)$

좌측 소거법칙 : $a + b = a+ c $이면 $b = c$이다.

우측 소거법칙 : $b + a = c + a$이면 $b = c$이다.

증명

1.

$n\!+\!+ \ne n$임을 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 0$이면 페아노 공리로 $0\!+\!+ \ne 0 $이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $k\!+\!+ \ne k$라고 가정하면 $k\!+\!+, k \in \mathbb{N}$이므로 페아노 공리로 $(k\!+\!+)\!+\!+ \ne k\!+\!+$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n\!+\!+ \ne n$이다.

2.

위 정의로 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n + 0 = n$이므로

$0 +n = n$임을 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 0$이면 위 정의로 $0 +0 = 0$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $ 0 + k = k$라고 가정할때

위 정의로 $0$에 $k\!+\!+$를 더하는 것은 $0 + (k\!+\!+) = (0 + k)\!+\!+$이므로

귀납가정으로 $(0 + k)\!+\!+ = k\!+\!+$가 되어 $0 + (k\!+\!+) = (0 + k)\!+\!+ = k\!+\!+$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $0 + n = n$이 되어 $n + 0 = n = 0 + n$이다.

3.

위 정의로 모든 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 $n + (m\!+\!+) = (n+m)\!+\!+ $이므로

$(n\!+\!+) + m = (n+m)\!+\!+$임을 $m \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$m = 0$이면 위 정의로 $n + 0 = n$이므로 2번으로 $(n\!+\!+) +0  = n\!+\!+ = (n + 0)\!+\!+$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(n\!+\!+) + k = (n+k)\!+\!+$라고 가정할때

위 정의로 $n\!+\!+$에 $k\!+\!+$를 더하는 것은 $(n\!+\!+) + (k\!+\!+) = ((n\!+\!+)+k)\!+\!+ $이므로

귀납가정으로 $((n\!+\!+)+k)\!+\!+ = ((n+k)\!+\!+)\!+\!+$가 되어

다시 위 정의로 $((n+k)\!+\!+)\!+\!+ = (n + (k\!+\!+))\!+\!+$이고

$(n\!+\!+) + (k\!+\!+) = ((n\!+\!+)+k)\!+\!+ = ((n+k)\!+\!+)\!+\!+ = (n+(k\!+\!+))\!+\!+$이다.

따라서 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해

$(n\!+\!+) + m = (n+m)\!+\!+$이 되어 $n + (m\!+\!+) = (n+m)\!+\!+ = (n\!+\!+) + m$이다.

교환법칙

$n +m = m+n$임을 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 0$이면 2번으로 $n +m = 0 +m = m = m +0 = m+n$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $k +m = m+k$라고 가정하면

3번과 귀납가정으로 $(k\!+\!+) + m = (k + m)\!+\!+ = (m+ k)\!+\!+ = m + (k\!+\!+)$이므로

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n +m = m+n$이다.

결합법칙

$(a+b) + c = a+(b+c)$임을 $c \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을사용하여 증명한다.

$c = 0$이면 위 정의로 $(a+b) + 0 = a+b$이고 $ b + 0 = b$이므로 $(a+b) + 0 = a+b = a + (b + 0)$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(a+b) + k = a+(b+k)$라고 가정할때

위 정의로 $a + b$에 $k\!+\!+$를 더하는 것은 $(a + b) + (k\!+\!+) = ((a+b) + k)\!+\!+$이므로

귀납가정과 3번으로

$(a + b) + (k\!+\!+) = ((a+b) + k)\!+\!+ = (a + (b+k))\!+\!+ = a + ((b + k)\!+\!+) = a + (b + (k\!+\!+))$이다.

따라서 모든 $c \in \mathbb{N}$에 대해 $(a+b) + c = a+(b+c)$이다.

좌측 소거법칙

$a + b = a+ c $이면 $b =c$임을 $a \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$a = 0$이면 2번으로 $b = 0 + b = 0 +c = c$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $k + b = k + c $이면 $b =c$라고 가정할때

$(k\!+\!+) + b = (k\!+\!+) + c $이면 3번으로 $(k + b)\!+\!+ = (k\!+\!+) + b = (k\!+\!+) + c = (k + c)\!+\!+$이고

페아노 공리로 $k + b = k+c$가 되어 귀납가정으로 $b =c$이다.

따라서 모든 $a \in \mathbb{N}$에 대해 $a + b = a+ c $이면 $b =c$이다.

우측 소거법칙

$b + a = c + a$이면 교환법칙으로 $a + b = b + a = c + a = a +c$이므로 좌측 소거법칙으로 $b = c$이다.

 

 

 

정리2

임의의 자연수 $a,b \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a \ne 0$이면 $a + b \ne 0$이다.

2. $a + b = 0$이기 위한 필요충분조건은 $a = 0$이고 $b =0$인 것이다.

3. $a \ne 0$이면 $a = c\!+\!+$인 $c \in \mathbb{N}$가 유일하게 존재한다.

증명

1.

$a \ne 0$일때 $a + b \ne 0$임을 $b \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$b = 0$이면 위 정리로 $a + b = a + 0 = a \ne 0$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a + k \ne 0$라고 가정하면

위 정리로 $a + (k\!+\!+) = (a + k)\!+\!+$이고 덧셈의 정의로 $a + k \in \mathbb{N}$이므로

페아노 공리로 $a + (k\!+\!+) = (a + k)\!+\!+ \ne 0$이다.

따라서 모든 $b \in \mathbb{N}$에 대해 $a \ne 0$이면 $a + b \ne 0$이다.

2.

$a + b = 0$일때

$a \ne 0$ 또는 $b \ne 0$이라고 가정하면 1번으로 $a + b \ne 0$이 되어 모순이므로 $a = 0$이고 $b = 0$이다.

역으로 $a = 0$이고 $b = 0$이면 위 정리로 $a + b = 0 + 0 = 0$이다.

3.

$a \ne 0$일때 $a = c\!+\!+$인 $c \in \mathbb{N}$가 존재함을 $a \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$a = 0$이면 가정이 거짓이므로 공허하게 성립한다.

모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $k = c\!+\!+$인 $c \in \mathbb{N}$가 존재한다고 가정하면 $c\!+\!+ \in \mathbb{N}$이고 $k\!+\!+ = (c\!+\!+)\!+\!+$이므로

모든 $a \in \mathbb{N}$에 대해 $a \ne 0$일때 $a = c\!+\!+$인 $c \in \mathbb{N}$가 존재한다.

$a = d\!+\!+$인 $d \in \mathbb{N}$가 존재한다고 가정하면 $c \!+\!+ = a = d\!+\!+$이고 페아노 공리로 $c = d$이므로

$a \ne 0$일때 $a = c\!+\!+$인 $c \in \mathbb{N}$는 유일하다.

 

 

 

정의3(자연수 부등식)

임의의 자연수 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해

$n = m +a$인 $a \in \mathbb{N}$가 존재하면

$n$이 $m$보다 크거나 같다 또는 $n$이 $m$이상이다 라고 하고 $n \ge m$ 또는 $m \le n$으로 표기한다.

$n \ge m$이고 $n \ne m$이면

$n$이 $m$보다 크다 또는 $n$이 $m$을 초과한다 라고 하고 $n > m$ 또는 $m < n$으로 표기한다.

 

 

 

정리3

임의의 자연수 $a,b,c \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

반사성 : $a \ge a$

추이성 : $a\ge b$이고 $b \ge c$이면 $a \ge c$이다.

반대칭성 : $a \ge b$이고 $b \ge a$이기 위한 필요충분조건은 $a =b$이다.

순서의 보존성 : $a\ge b$이기 위한 필요충분조건은 $a + c \ge b+ c$인 것이다.

초과의 동치 :

1. $a > b$이기 위한 필요충분조건은 $a \ge b\!+\!+$인 것이다.

2. $a >b$이기 위한 필요충분조건은 $a = b + d$이고 $d \ne 0$인 $d \in \mathbb{N}$가 존재하는 것이다.

순서성질 : $a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 하나만 성립한다.

증명

반사성

위 정리로 $a = a + 0 $이고 $0\in \mathbb{N}$이므로 부등식의 정의로 $a \ge a$이다.

추이성

$a\ge b$이고 $b \ge c$이면 부등식의 정의로 $a = b + n$이고 $b = c + m$인 $n,m \in \mathbb{N}$이 존재하여

위 정리로 $a = b + n = (c + m) +n = c + (m+n)$이고 덧셈의 정의로 $m +n \in \mathbb{N}$이므로

부등식의 정의로 $a \ge c$이다.

반대칭성

$a \ge b$이고 $b \ge a$이면

부등식의 정의로 $a = b + n$이고 $b = a + m$인 $n,m \in \mathbb{N}$이 존재하여

위 정리로 $a + 0=a = b + n = (a + m) + n = a + (m+n)$이므로 소거법칙으로 $0 = m +n$이다.

따라서 위 정리로 $m = 0 = n$이 되어 위 정리로 $a = b +n = b + 0 = b$이다.

$a = b$이면

위 정리로 $a +0 = a =b = b +0$이므로 부등식의 정의로 $a \ge b$이고 $b \ge a$이다.

순서의 보존성

$a\ge b$이면

부등식의 정의로 $a = b + d$인 $d \in \mathbb{N}$가 존재하여

위 정리로 $a + c = (b +d) + c = (b  + c) + d$이므로 부등식의 정의로 $a +c \ge b+c$이다.

역으로 $a +c \ge b+c$이면

부등식의 정의로 $a +c = (b+c) + d$인 $d \in \mathbb{N}$가 존재하여 

위 정리로 $a + c = (b + d) +c $이므로 소거법칙으로 $a = b+ d$이고 부등식의 정의로 $a\ge b$이다.

초과의 동치

1.

$a > b$이면 

부등식의 정의로 $a \ge b$이고 $a \ne b$이므로 $a = b + m$인 $m \in \mathbb{N}$이 존재하고

$m = 0$이라고 가정하면 위 정리로 $a = b + m = b + 0 = b $가 되어 모순이므로 $m \ne 0$이다.

따라서 위 정리로 $m = n\!+\!+$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여

위 정리로 $a = b + m = b +(n\!+\!+) = (b\!+\!+) + n$이므로 부등식의 정의로 $a\ge b\!+\!+$이다.

역으로 $a\ge b\!+\!+$이면

부등식의 정의로 $a = (b\!+\!+) + n$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여

위 정리로 $a = (b\!+\!+) + n = b + (n\!+\!+)$이므로 부등식의 정의로 $a\ge b$이고

$a = b$라고 가정하면 위 정리로 $b + 0 = b = a = b +(n\!+\!+)$이 되어 소거법칙으로 $0 = n\!+\!+$인데

페아노 공리에 모순이므로 $a \ne b$이다.

따라서 $a\ge b$이고 $a \ne b$이므로 부등식의 정의로 $a > b$이다.

2.

$a >b$이면

초과의 동치 1번으로 $a \ge b\!+\!+$이므로 부등식의 정의로 $a = (b\!+\!+) + n$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여

위 정리로 $a = (b\!+\!+) + n = b + (n\!+\!+)$이고 페아노 공리로 $n\!+\!+ \ne 0$이다.

역으로 $a = b + d$이고 $d \ne 0$인 $d \in \mathbb{N}$가 존재하면

위 정리로 $d = n\!+\!+$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여 위 정리로 $a = b +d = b + (n\!+\!+) = (b\!+\!+) + n$이고

부등식의 정의로 $a \ge b\!+\!+$이므로 초과의 동치 1번으로 $a  > b$이다.

순서성질

$a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 두개가 성립한다고 가정하면

부등식의 정의로 $a > b$와 $a = b$는 같이 성립할 수 없고 $a = b$와 $a < b$는 같이 성립할 수 없으므로

$a > b$이고 $a < b$인데 부등식의 정의로 $a \ge b$이고 $a \le b$일때 $a \ne b$가 되어 반대칭성에 모순이므로 

$a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 두개가 동시에 성립할 수 없다.

$a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 적어도 하나가 성립함을 $a\in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$a = 0$일때

위 정리로 $b = 0 + b$이므로 부등식의 정의로 $b \ge 0$이 되어 $b = 0$이거나 $b > 0$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $k > b$ 또는 $k = b$ 또는 $k < b$ 중 하나가 성립한다고 가정하면

$k > b$일때

부등식의 정의 $k = b + n$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여 위 정리로 $k\!+\!+ = (b+n)\!+\!+ = (b\!+\!+) + n$이므로

부등식의 정의로 $k\!+\!+ \ge b\!+\!+$이고 초과의 동치 1번으로 $k\!+\!+ > b$이다.

$k = b$일때

위 정리로 $k\!+\!+ = b\!+\!+  = (b\!+\!+) + 0$이므로 부등식의 정의로 $k\!+\!+ \ge b\!+\!+$이고

초과의 동치 1번으로 $k\!+\!+ > b$이다.

$k < b$일때

초과의 동치 1번으로 $k\!+\!+ \le b$이므로 $k\!+\!+ = b$이거나 $k\!+\!+ < b$이다.

따라서 모든 $a\in \mathbb{N}$에 대해 $a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 하나만 성립한다.

 

 

 

정의4(자연수 곱셈)

임의의 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$n$에 $0$을 곱하는 것을 $n \cdot 0  = 0$으로 정의하고

$n$에 임의의 $m \in \mathbb{N}$을 곱하는 것이 $n\cdot m \in \mathbb{N}$으로 귀납적으로 정의될때

$n$에 $m\!+\!+$를 곱하는 것을 $n \cdot (m\!+\!+) = (n\cdot m) + n$으로 정의한다.

위에서 정의된 원소들을 사용하여 나타내면

$n \cdot 1 = n \cdot (0\!+\!+) = (n \cdot 0) + n = 0 + n = n$,

$n \cdot 2 = n \cdot (1\!+\!+) = (n \cdot 1)+ n = n + n$,

$n \cdot 3 = n \cdot (2\!+\!+) = (n \cdot 2) + n = n+n+n$과 같이 표현된다.

자연수 거듭제곱  :

임의의 자연수 $x \in \mathbb{N}$에 대해

$x$의 $0$제곱을 $x^0 = 1$로 정의하고 $0$의 $0$제곱도 $0^0 = 1$로 정의한다.

임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$x$의 $n$제곱이 $x^n \in \mathbb{N}$으로 귀납적으로 정의될때

$x$의 $n+1$제곱을 $x^{n+1} = x^n \cdot x$로 정의한다.

임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n$제곱을 거듭제곱으로 정의한다.

 

 

 

정리17

자연수 곱셈은 $\cdot : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$인 이항연산이다.

증명

페아노 공리로 자연수집합은 공집합이 아니므로 임의의 $n \in \mathbb{N}$이 존재하고

$a_{n,0} = n$으로 정의할때 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 자연수덧셈 $+ : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$이 존재하므로

위 정리로 모든 $m \in \mathbb{N}$마다 $a_{n,m++} =a_{n,m}+ n$을 만족하는 $a_{n,m} \in \mathbb{N}$이 유일하게 존재한다.

따라서 임의의 $n,m\in \mathbb{N}$에 대해 $\cdot (n,m) = a_{n,m}$으로 이항연산 $\cdot : \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$를 정의하면

$n \cdot (m\!+\!+) = \cdot (n,m\!+\!+) = a_{n,m++} = a_{n,m}+n = \cdot(n,m) + n= (n\cdot m) + n$이므로

이항연산 $\cdot$은 위에서 정의된 자연수 곱셈과 같다.

 

 

 

정리4

임의의 자연수 $n,m, a,b,c \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $n\cdot 0 = 0 = 0\cdot n$

2. $n \ne 0$이고 $m \ne 0$이기 위한 필요충분조건은 $n\cdot m \ne 0$인 것이다.

3. $n\cdot m = 0$이기 위한 필요충분조건은 $n = 0$ 또는 $m = 0$인 것이다.

4. $(m\!+\!+) \cdot n = (m\cdot n) + n$

교환법칙 : $n\cdot m = m\cdot n$

분배법칙 : $a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c = b\cdot a + c\cdot a = (b+c) \cdot a$

결합법칙 : $(a\cdot b) \cdot c = a\cdot (b\cdot c)$

순서의 보존성(이상) : $a \ge b$이면 $c\cdot a \ge c\cdot b$이다.

순서의 보존성(초과) : $a > b$이고 $c \ne 0$이면 $c\cdot a > c\cdot b$이다.

좌측 소거법칙 : $c \cdot a = c\cdot b $이고 $c \ne 0$이면 $a = b$이다.

우측 소거법칙 : $a \cdot c = b \cdot c$이고 $c \ne 0$이면 $a = b$이다.

항등원 : $n \cdot 1 = n = 1\cdot n$

증명

1.

곱셈의 정의로 $n\cdot 0 = 0$이므로 $0\cdot n = 0$임을 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 0$이면 곱셈의 정의로 $0\cdot n = 0\cdot 0 = 0$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $0\cdot k = 0$이라고 가정하면

곱셈의 정의와 덧셈 정리로 $0\cdot (k\!+\!+) = (0 \cdot k) + 0 = 0 +0 = 0$이므로

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n\cdot 0 = 0 = 0\cdot n$이다.

2.

$n \ne 0$이고 $m \ne 0$일때 $n\cdot m = 0$이라고 가정하면

위 정리로 $m = k\!+\!+$인 $k \in \mathbb{N}$가 존재하므로 곱셈의 정의로 $0 = n\cdot m = n \cdot (k\!+\!+) = (n\cdot k) + n$이고

위 정리로 $n = 0$이 되어 모순이므로 $n \ne 0$이고 $m \ne 0$이면 $n\cdot m \ne 0$이다.

역은 대우로 증명한다.

$n = 0$ 또는 $m = 0$이면 곱셈의 정의와 1번으로 $m\cdot n = 0= n\cdot m$이므로

$n\cdot m \ne 0$이면 $n \ne 0$이고 $m \ne 0$이다.

3.

2번의 대우로 성립한다.

4.

$(m\!+\!+) \cdot n = (m\cdot n) + n$임을 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 0$이면

1번과 위 정리로 $(m\!+\!+) \cdot 0 = 0 = m\cdot 0 = (m\cdot 0) + 0 = (m\cdot n) + n$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(m\!+\!+) \cdot k = (m\cdot k) + k$라고 가정하면

곱셈의 정의와 귀납가정으로

$(m\!+\!+) \cdot (k\!+\!+) = ((m\!+\!+)\cdot k) + (m\!+\!+) = ((m\cdot k) + k) + (m\!+\!+) = (m\cdot k) + k + (m\!+\!+)$이고

위 정리와 곱셈의 정의로

$(m\cdot k) + k + (m\!+\!+) = (m\cdot k) + (k\!+\!+) + m = (m\cdot k) + m + (k\!+\!+) = (m\cdot (k\!+\!+)) + (k\!+\!+)$이므로

$(m\!+\!+) \cdot (k\!+\!+) = (m\cdot (k\!+\!+)) + (k\!+\!+)$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $(m\!+\!+) \cdot n = (m\cdot n) + n$이다.

교환법칙

$n\cdot m = m\cdot n$임을 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 0$이면 1번으로 $n\cdot m = 0\cdot m = 0 = m\cdot 0 = m\cdot n$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $k\cdot m = m\cdot k$라고 가정하면

곱셈의 정의와 4번으로 $m \cdot (k\!+\!+) = (m\cdot k) + m = (k\cdot m) + m = (k\!+\!+) \cdot m$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n\cdot m = m\cdot n$이다.

분배법칙

$a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$임을 $c \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$c = 0$이면

위 정리와 1번으로 $a\cdot (b + c) = a\cdot (b + 0) = a\cdot b = a\cdot b + 0 = a\cdot b + a\cdot 0 = a\cdot b + a\cdot c$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a\cdot (b + k) = a\cdot b + a\cdot k$라고 가정하면

위 정리와 곱셈의 정의로 $a\cdot (b + (k\!+\!+)) = a\cdot ((b+k)\!+\!+) = (a\cdot (b+k)) + a$이고

귀납가정과 곱셈의 정의로 $(a\cdot (b+k)) + a = (a\cdot b + a\cdot k) + a = (a\cdot b )+ (a\cdot (k\!+\!+))$이므로

$a\cdot (b + (k\!+\!+)) = a\cdot b + a\cdot (k\!+\!+)$이다.

따라서 모든 $c \in \mathbb{N}$에 대해 $a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$가 되어

교환법칙으로 $(b+c)\cdot a = a\cdot (b + c)$이고 $a\cdot b + a\cdot c = b\cdot a + c\cdot a$이므로

$a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c = b\cdot a + c\cdot a = (b+c) \cdot a$이다.

결합법칙

$(a\cdot b) \cdot c = a\cdot (b\cdot c)$임을 $c \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$c = 0$이면 1번으로 $(a\cdot b) \cdot c = (a\cdot b) \cdot 0 = 0 = a\cdot 0 = a\cdot (b\cdot 0) = a\cdot (b\cdot c)$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(a\cdot b) \cdot k = a\cdot (b\cdot k)$라고 가정하면

곱셈의 정의와 귀납가정으로 $(a\cdot b) \cdot (k\!+\!+) = ((a\cdot b) \cdot k) + (a\cdot b) = (a\cdot (b\cdot k)) + (a\cdot b)$이고

분배법칙과 곱셈의 정의로 $(a\cdot (b\cdot k)) + (a\cdot b) = a\cdot ((b\cdot k) + b) = a\cdot (b\cdot (k\!+\!+))$이므로

$(a\cdot b) \cdot (k\!+\!+) = a\cdot (b\cdot (k\!+\!+))$이다.

따라서 모든 $c \in \mathbb{N}$에 대해 $(a\cdot b) \cdot c = a\cdot (b\cdot c)$이다.

순서의 보존성(이상) 

$a \ge b$이면 부등식의 정의로 $a = b + d$인 $d \in \mathbb{N}$가 존재하여

분배법칙으로 $c \cdot a = c\cdot (b + d) = c\cdot b + c\cdot d$이고 곱셈의 정의로 $c\cdot d \in \mathbb{N}$이므로

부등식의 정의로 $c\cdot a \ge c\cdot b$이다.

순서의 보존성(초과) 

$a > b$이면 위 정리로 $a = b + d$이고 $d\ne 0$인 $d \in \mathbb{N}$가 존재하고

$c \ne 0$이면 분배법칙으로 $c \cdot a = c\cdot (b + d) = c\cdot b + c\cdot d$이고 2번으로 $c\cdot d \ne 0$이므로

다시 위 정리로 $c\cdot a > c\cdot b$이다.

좌측 소거법칙

$c \ne 0$이고 $c\cdot b = c\cdot a$일때 $a \ne b$라고 가정하면 위 정리로 $a > b$ 또는 $a < b$이므로

$a > b$이면 순서의 보존성으로 $c\cdot a > c\cdot b$가 되어 모순이고

$b > a$이면 순서의 보존성으로 $c\cdot b > c\cdot a$가 되어 모순이므로 $c \ne 0$이고 $c\cdot b = c\cdot a$이면 $a = b$이다.

우측 소거법칙 

$a \cdot c = b \cdot c$이고 $c \ne 0$이면 교환법칙으로 $c \cdot a = c\cdot b $이므로 좌측소거법칙으로 $a = b$이다.

항등원

자연수의 정의로 $1 = 0\!+\!+$이고 곱셈의 정의로 $n \cdot 1 = n \cdot (0\!+\!+) = (n \cdot 0) + n = 0 + n = n$이므로

교환법칙으로 $ n = n\cdot 1 = 1\cdot n$이다.

 

 

 

정의5(정수)

정수(integer) :

임의의 자연수 $a,b \in \mathbb{N}$와 자연수 덧셈 $+_\mathbb{N}: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$에 대해

$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이기 위한 필요충분조건이 $a +_\mathbb{N} d = c +_\mathbb{N} b$인 데카르트곱 $ \mathbb{N} \times \mathbb{N}$의 관계 $\mathcal{R}$의 동치류를

정수 $a\!-\!-b = [(a,b)]_{\mathcal{R}} = \{ (c,d) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N} : (a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d) \}$로 정의한다.

정수 집합 :

$\mathbb{Z} = \{ x : \text{어떤 } (a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \text{ 에 대해 } x = a\!-\!-b \}$를 정수 집합으로 정의한다.

정수 덧셈 :

임의의 두 정수 $a\!-\!-b , c\!-\!-d \in \mathbb{Z}$를 더하는 것을

$(a\!-\!-b) + (c\!-\!-d) = (a +_\mathbb{N} c) \!-\!- (b +_\mathbb{N} d) \in \mathbb{Z}$로 정의한다.

정수 곱셈 :

임의의 두 정수 $a\!-\!-b , c\!-\!-d \in \mathbb{Z}$를 곱하는 것을

$(a\!-\!-b) \cdot (c\!-\!-d) = (a$ $\cdot_\mathbb{N}$ $ c +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} d) \!-\!- (a\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} c) \in \mathbb{Z}$로 정의한다.

정수 뺄셈 :

임의의 정수 $a\!-\!-b \in \mathbb{Z}$에 대해 $-(a\!-\!-b) = b\!-\!-a$를 $a\!-\!-b$의 덧셈에 대한 역원이라 정의하고

임의의 두 정수 $x,y \in \mathbb{Z}$에 대해 $x$에 $y$를 빼는 것을 $x -y = x + (-y)$로 정의한다.

양(positive)의 정수, 음(negative)의 정수, 정수 영(zero) :

자연수 $0_\mathbb{N} \in \mathbb{N}$에 대해 정수 영을 $0 = 0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}$으로 정의하고

$n_\mathbb{N} \ne 0_\mathbb{N}$인 임의의 자연수 $n_\mathbb{N} \in \mathbb{N}$에 대해

$n = n_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}$을 양의 정수로 정의하고 $-n = -(n_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}) = 0_\mathbb{N}\!-\!-n_\mathbb{N}$을 음의 정수로 정의한다.

$\mathbb{Z}^+ = \{ x : \text{어떤 } n_\mathbb{N} \in \mathbb{N}\setminus \{ 0_\mathbb{N} \} \text{ 에 대해 } x = n_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N} \} = \{ 1,2,3,4,\cdots \}$을 양의 정수 집합으로 정의하고

$\mathbb{Z}^- = \{ x : \text{어떤 } n_\mathbb{N} \in \mathbb{N} \setminus \{ 0_\mathbb{N}\} \text{ 에 대해 } x = 0_\mathbb{N}\!-\!-n_\mathbb{N}  \} = \{ -1,-2,-3,-4,\cdots \}$을 음의 정수 집합으로 정의한다.

정수집합의 자연수집합 :

정수집합의 자연수집합을 $\mathbb{N} = \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0_\mathbb{N}\!-\!- 0_\mathbb{N}\}$으로 정의한다.

$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$와 같이 두 집합사이에 관계로 표기하면 $\mathbb{N}$은 정수집합의 자연수집합을 나타낸다.

정수 거듭제곱  :

임의의 정수 $x \in \mathbb{Z}$에 대해

$x$의 $0$제곱을 $x^0 = 1 = 1_\mathbb{N}--0_\mathbb{N}$로 정의하고 $0$의 $0$제곱도 $0^0 = 1$로 정의한다.

임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$x$의 $n$제곱이 $x^n \in \mathbb{Z}$으로 귀납적으로 정의될때

$x$의 $n+1$제곱을 $x^{n+1} = x^n \cdot x$로 정의한다.

임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n$제곱을 거듭제곱으로 정의한다.

 

 

 

정리15

다음이 성립한다.

정수의 존재성 : 정수가 존재한다.

정수집합의 존재성 : 정수집합이 존재한다.

정수의 상등 : 임의의 $a,b,c,d \in \mathbb{N}$에 대해 $a +_\mathbb{N} d = c +_\mathbb{N} b$이기 위한 필요충분조건은 $a\! -\!- b = c\!-\!-d$인 것이다.

증명

정수의 존재성 

위에서 정의된 관계 $\mathcal{R}$이 $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$의 동치관계임을 보인다.

반사성

임의의 $(a,b) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$에 대해

위 정리로 자연수 덧셈 $+_\mathbb{N} :\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$은 함수이므로 $a +_\mathbb{N} b = a+_\mathbb{N} b$가 되어 $\mathcal{R}$의 정의로 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (a,b)$이다.

대칭성

임의의 $(a,b),(c,d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$에 대해 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이면 $\mathcal{R}$의 정의로 $a +_\mathbb{N} d = c +_\mathbb{N} b$이고

집합 상등의 대칭성으로 $c +_\mathbb{N} b = a +_\mathbb{N} d$이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(c,d) \; \mathcal{R} \; (a,b)$이다.

추이성

임의의 $(a,b),(c,d),(e,f) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$에 대해

$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이고 $(c,d) \; \mathcal{R} \; (e,f)$이면 $\mathcal{R}$의 정의로 $a +_\mathbb{N} d = c +_\mathbb{N} b$이고 $c +_\mathbb{N} f = e +_\mathbb{N} d$이므로

순서쌍의 상등으로 $(a +_\mathbb{N} d , c+_\mathbb{N} f) = (c +_\mathbb{N} b, e+_\mathbb{N} d)$이고

위 정리로 자연수 덧셈 $+_\mathbb{N} :\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$은 함수이므로 $(a +_\mathbb{N} d) +_\mathbb{N} (c +_\mathbb{N} f) = (c +_\mathbb{N} b) +_\mathbb{N} (e +_\mathbb{N} d)$가 되어

자연수 덧셈 정리로 $(a +_\mathbb{N} f) +_\mathbb{N} (c +_\mathbb{N} d) = (e +_\mathbb{N} b) +_\mathbb{N} (c +_\mathbb{N} d)$이다.

자연수 덧셈 소거법칙으로 $a +_\mathbb{N} f = e +_\mathbb{N} b $이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (e,f)$이다.

동치관계의 반사성, 대칭성, 추이성이 성립하므로 관계 $\mathcal{R}$은 동치관계이므로

분류 공리로 $\mathcal{R}$에 대한 $(a,b)$의 동치류 $[(a,b)]_{\mathcal{R}} = \{ (c,d) \in \mathbb{N}\times \mathbb{N} : (a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d) \}$가 존재하여

정수 $a\!-\!- b = [(a,b)]_{\mathcal{R}}$가 존재한다.

정수집합의 존재성

임의의 $(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$에 대해 정수 $a\!-\!- b = [(a,b)]_{\mathcal{R}}$가 유일하게 존재하므로

치환 공리로 정수집합 $\mathbb{Z} = \{ x : \text{어떤 } (a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \text{ 에 대해 } x = a\!-\!-b \}$가 존재한다.

정수의 상등

임의의 $(a,b),(c,d) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$에 대해

동치류 정리로 $a\!-\!- b = [(a,b)]_{\mathcal{R}} = [(c,d)]_{\mathcal{R}} = c\!-\!-d$이기 위한 필요충분조건은 $(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$인 것이고

$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이기 위한 필요충분조건은 $a +_\mathbb{N} d = c +_\mathbb{N} b$인 것이므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리5

임의의 자연수 $a_1,a_2,b_1,b_2,c,d,n,m \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

덧셈의 타당성 :

$a_1\!-\!-b_1 = a_2\!-\!-b_2 $이면 1,2가 성립하여 정수 덧셈은 $+ : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$인 이항연산이다.

1. $(a_1\!-\!-b_1) + (c\!-\!-d) = (a_2\!-\!-b_2) + (c\!-\!-d)$

2. $(c\!-\!-d) + (a_1\!-\!- b_1) =  (c\!-\!-d) + (a_2\!-\!-b_2)$

곱셈의 타당성 :

$a_1\!-\!-b_1 = a_2\!-\!-b_2 $이면 1,2가 성립하여 정수 곱셈은 $\cdot : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$인 이항연산이다.

1. $(a_1\!-\!-b_1) \cdot (c\!-\!-d) = (a_2\!-\!-b_2) \cdot (c\!-\!-d)$

2. $(c\!-\!-d) \cdot (a_1\!-\!- b_1) =  (c\!-\!-d) \cdot (a_2\!-\!-b_2)$

덧셈 역원의 타당성 :

$a_1\!-\!-b_1 = a_2\!-\!-b_2 $이면 $-(a_1\!-\!-b_1) = -(a_2\!-\!-b_2)$가 성립하여 덧셈 역원연산은 $- : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$인 함수이다.

자연수와 정수 사이의 관계 :

1. $(n\!-\!- 0_\mathbb{N}) = (m\!-\!- 0_\mathbb{N})$이기 위한 필요충분조건은 $n =m$인 것이다.

2. $(n\!-\!- 0_\mathbb{N}) + (m\!-\!- 0_\mathbb{N}) = (n+_\mathbb{N} m) \!-\!- 0_\mathbb{N}$

3. $(n\!-\!- 0_\mathbb{N}) \cdot (m\!-\!- 0_\mathbb{N}) = (n\cdot_\mathbb{N} m) \!-\!- 0_\mathbb{N}$

4. $0 = 0_\mathbb{N}\!-\!- 0_\mathbb{N} = n\!-\!-n$

증명

덧셈의 타당성

$a_1\!-\!-b_1 = a_2\!-\!-b_2 $를 가정하였으므로 정수의 상등으로 $a_1 +_\mathbb{N} b_2 = a_2 +_\mathbb{N} b_1$이고

자연수 덧셈 $+_\mathbb{N} :\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$은 함수이므로

$a_1 +_\mathbb{N} b_2 = a_2 +_\mathbb{N} b_1$의 양변에 $c +_\mathbb{N} d$를 더하면 $a_1 +_\mathbb{N} b_2 +_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} d = a_2 +_\mathbb{N} b_1 +_\mathbb{N} c+_\mathbb{N} d$이다.

1.

위 정리로 $(a_1 +_\mathbb{N} c) +_\mathbb{N} (b_2 +_\mathbb{N} d)= (a_2 +_\mathbb{N}c) +_\mathbb{N}( b_1 +_\mathbb{N}d)$가 되어 정수의 상등과 덧셈의 정의로

$(a_1\!-\!-b_1) + (c\!-\!-d) = (a_1 +_\mathbb{N} c)\!-\!- (b_1 +_\mathbb{N} d) = (a_2 +_\mathbb{N} c)\!-\!- (b_2 +_\mathbb{N} d) = (a_2\!-\!-b_2) + (c\!-\!-d)$이다.

2.

위 정리로 $(c +_\mathbb{N} a_1 ) +_\mathbb{N} ( d+_\mathbb{N} b_2) = (c+_\mathbb{N} a_2 )+_\mathbb{N}(d +_\mathbb{N} b_1)$이 되어 정수의 상등과 덧셈의 정의로

$(c\!-\!-d) + (a_1\!-\!- b_1) = (c  +_\mathbb{N}a_1)\!-\!-(d +_\mathbb{N} b_1) = (c +_\mathbb{N} a_2)\!-\!- (d +_\mathbb{N} b_2) = (c\!-\!-d) + (a_2\!-\!-b_2)$이다.

곱셈의 타당성

$a_1\!-\!-b_1 = a_2\!-\!-b_2 $를 가정하였으므로 정수의 상등으로 $a_1 +_\mathbb{N} b_2 = a_2 +_\mathbb{N} b_1$이고

$a_1 +_\mathbb{N} b_2 = a_2 +_\mathbb{N} b_1$의 양변에

$c$를 곱한 $c\cdot_\mathbb{N} (a_1 +_\mathbb{N} b_2) = c\cdot_\mathbb{N} (a_2 +_\mathbb{N} b_1)$와 $d$를 곱한 $d\cdot_\mathbb{N} (a_1 +_\mathbb{N} b_2) = d\cdot_\mathbb{N} (a_2 +_\mathbb{N} b_1)$를 더하면

자연수 덧셈과 자연수 곱셈 $+_\mathbb{N},\cdot_\mathbb{N} :\mathbb{N} \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$은 함수이므로

$c\cdot_\mathbb{N} (a_1 +_\mathbb{N} b_2) +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} (a_2 +_\mathbb{N} b_1)  = c\cdot_\mathbb{N} (a_2 +_\mathbb{N} b_1) +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} (a_1 +_\mathbb{N} b_2)$이고

위 정리로 $a_1\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b_2\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} a_2\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b_1\cdot_\mathbb{N} d = a_2\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b_1\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} a_1\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b_2\cdot_\mathbb{N} d$이다.

1.

덧셈 정리로 $(a_1\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b_1\cdot_\mathbb{N} d ) +_\mathbb{N} (a_2\cdot_\mathbb{N} d  +_\mathbb{N} b_2\cdot_\mathbb{N} c) = (a_2\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b_2\cdot_\mathbb{N} d) +_\mathbb{N} (a_1\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b_1\cdot_\mathbb{N} c )$이므로

곱셈의 정의로

$(a_1\!-\!-b_1) \cdot (c\!-\!-d) = (a_1\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b_1\cdot_\mathbb{N} d) \!-\!- (a_1\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b_1\cdot_\mathbb{N} c)$와

$(a_2\!-\!-b_2) \cdot (c\!-\!-d) = (a_2\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b_2\cdot_\mathbb{N} d) \!-\!- (a_2\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b_2\cdot_\mathbb{N} c)$는

정수의 상등으로 $(a_1\!-\!-b_1) \cdot (c\!-\!-d) = (a_2\!-\!-b_2) \cdot (c\!-\!-d)$이다.

2. 

곱셈 정리와 덧셈 정리로

$(c\cdot_\mathbb{N} a_1 +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N}  b_1 ) +_\mathbb{N} (c\cdot_\mathbb{N} b_2 +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} a_2) = (c\cdot_\mathbb{N} a_2 +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} b_2) +_\mathbb{N} (c\cdot_\mathbb{N} b_1 +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} a_1 )$이므로

곱셈의 정의로

$(c\!-\!-d) \cdot (a_1\!-\!- b_1) = (c\cdot_\mathbb{N} a_1 +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} b_1) \!-\!- (c\cdot_\mathbb{N} b_1 +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} a_1)$와

$(c\!-\!-d) \cdot (a_2\!-\!-b_2) = (c\cdot_\mathbb{N} a_2 +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} b_2) \!-\!- (c\cdot_\mathbb{N} b_2 +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} a_2)$는

정수의 상등으로 $(c\!-\!-d) \cdot (a_1\!-\!- b_1) =  (c\!-\!-d) \cdot (a_2\!-\!-b_2)$이다.

덧셈 역원의 타당성

$a_1\!-\!-b_1 = a_2\!-\!-b_2 $이면

정수의 상등으로 $a_1 +_\mathbb{N} b_2 = a_2 +_\mathbb{N} b_1$이고 자연수 덧셈 정리로 $b_2 +_\mathbb{N} a_1 = b_1 +_\mathbb{N} a_2$이므로

다시 정수의 상등으로 $ -(a_2\!-\!-b_2) = b_2 \!-\!-a_2 = b_1\!-\!- a_1 = -(a_1\!-\!-b_1)$이다.

자연수와 정수 사이의 관계

1.

$(n\!-\!- 0_\mathbb{N}) = (m\!-\!- 0_\mathbb{N})$이면

자연수 덧셈 정리와 정수의 상등으로 $n = n +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} = m +_\mathbb{N}0_\mathbb{N} =m$이다.

$n =m$이면

자연수 덧셈 정리로 $ n +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} = n = m= m +_\mathbb{N}0_\mathbb{N} $이므로 정수의 상등으로 $(n\!-\!- 0_\mathbb{N}) = (m\!-\!- 0_\mathbb{N})$이다.

2.

자연수 덧셈 정리로 $(n+_\mathbb{N} m) +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} = (n+_\mathbb{N} m) +_\mathbb{N} (0_\mathbb{N} +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N})$이므로

정수 덧셈의 정의와 정수의 상등으로

$(n\!-\!- 0_\mathbb{N}) + (m\!-\!- 0_\mathbb{N}) = (n +_\mathbb{N} m) \!-\!- (0_\mathbb{N}+_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}) = (n+_\mathbb{N}m) \!-\!- 0_\mathbb{N}  $이다.

3.

자연수 곱셈 정리와 자연수 덧셈 정리로 $(n\cdot_\mathbb{N} m +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}\cdot_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}) +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} = (n\cdot_\mathbb{N} m) +_\mathbb{N} (n\cdot_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} \cdot_\mathbb{N} m)$이므로

정수 곱셈의 정의와 정수의 상등으로

$(n\!-\!-0_\mathbb{N}) \cdot (m\!-\!-0_\mathbb{N}) = (n\cdot_\mathbb{N} m +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}\cdot_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}) \!-\!- (n\cdot_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} +_\mathbb{N}0_\mathbb{N}\cdot_\mathbb{N} m) = (n\cdot_\mathbb{N} m) \!-\! - 0_\mathbb{N} $이다.

4.

자연수 덧셈 정리로 $0_\mathbb{N}+_\mathbb{N}n = n +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}$이므로 정수의 상등으로 $0 = 0_\mathbb{N}\!-\!- 0_\mathbb{N} = n\!-\!-n$이다.

 

 

 

정리6

임의의 정수 $x,y,z \in \mathbb{Z}$에 대해 다음이 성립한다.

순서성질 :

1. $x, y \in \mathbb{Z}^+$이면 $x+y \in \mathbb{Z}^+$이다.

2. $x, y \in \mathbb{Z}^+$이면 $x\cdot y \in \mathbb{Z}^+$이다.

3. $x \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{Z}^-$ 중 하나만 성립한다.

덧셈에 대한 교환법칙 : $x + y = y+ x$

곱셈에 대한 교환법칙 : $x\cdot y = y\cdot x$

덧셈에 대한 결합법칙 : $x +(y+z) = (x+y)+z$

곱셈에 대한 결합법칙 : $x \cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z$

덧셈의 항등원 : $x + 0 = x = 0 +x$

덧셈의 역원 : $x + (-x) = 0 = (-x) +x$

곱셈의 항등원 : $x\cdot 1 = x = 1\cdot x$

분배법칙 : $x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z = y\cdot x + z\cdot x= (y +z)\cdot x$

이중 덧셈의 역원 : $x = -(-x)$

덧셈역원의 교환 : $(-x) \cdot y = -(x\cdot y) = x\cdot (-y)$

덧셈역원의 덧셈 : $-(x+y) = (-x) + (-y) $

덧셈역원의 곱셈 : $(-x) \cdot (-y) = x\cdot y$

증명

순서성질

1, 2

$x, y \in \mathbb{Z}^+$이면

양의 정수집합 정의로 $x = n\!-\!-0_\mathbb{N}$이고 $y = m\!-\!-0_\mathbb{N}$이 되는 영이 아닌 자연수 $n,m \in \mathbb{N}\setminus \{ 0_\mathbb{N} \}$이 존재하여

자연수 덧셈 정리로 $n +_\mathbb{N} m \ne 0_\mathbb{N}$이고 자연수 곱셈 정리로 $n\cdot_\mathbb{N} m \ne 0_\mathbb{N}$이므로

위 정리로

$x + y = (n\!-\!- 0_\mathbb{N}) + (m\!-\!- 0_\mathbb{N}) = (n+_\mathbb{N} m)\!-\!-0_\mathbb{N} \in \mathbb{Z}^+$이고 

$x \cdot y = (n\!-\!- 0_\mathbb{N}) \cdot (m\!-\!- 0_\mathbb{N}) = (n\cdot_\mathbb{N} m)\!-\!-0_\mathbb{N} \in \mathbb{Z}^+$이다.

3.

$x \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{Z}^-$ 중 하나가 성립함을 보인다.

정수의 정의로 $x = a \!-\!-b$인 자연수 $a,b \in \mathbb{N}$가 존재하여

자연수 순서성질로 $a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 하나가 성립하므로

$a > b$이면

초과의 동치로 $a  = b +_\mathbb{N} c$이고 $c \ne 0_\mathbb{N}$인 $c \in \mathbb{N}$가 존재하여

자연수 덧셈 정리로 $a +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} =a= b+_\mathbb{N}c = c +_\mathbb{N}b$이므로

정수의 상등과 양의 정수집합 정의로 $x = a \!-\!- b = c \!-\!- 0_\mathbb{N} \in \mathbb{Z}^+$이다.

$a < b$이면

비슷하게 $0_\mathbb{N} +_\mathbb{N} b  =b= a +_\mathbb{N} c $이고 $c \ne 0_\mathbb{N}$인 $c \in \mathbb{N}$가 존재하여 $x = a \!-\!-b = 0_\mathbb{N} \!-\!-c \in \mathbb{Z}^-$이다.

$a = b$이면

$a +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} =a = b = 0_\mathbb{N}+_\mathbb{N} b$이므로 정수 영의 정의로 $x = a\!-\!-b = 0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N} = 0$이다.

$x \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{Z}^-$ 중 두개가 성립한다고 가정할때

$x \in \mathbb{Z}^+$와 $x = 0$이 동시에 성립하면 $n\!-\!- 0_\mathbb{N}= x = 0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}$인 영이 아닌 자연수 $n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0_\mathbb{N} \}$이 존재하여

정수의 상등으로 $n = n +_\mathbb{N}0_\mathbb{N} = 0_\mathbb{N}+_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} = 0_\mathbb{N}$이므로 모순이다.

$x \in \mathbb{Z}^-$와 $x = 0$이 동시에 성립하면 $0_\mathbb{N}\!-\!-n= x = 0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}$인 영이 아닌 자연수 $n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0_\mathbb{N} \}$이 존재하여

정수의 상등으로 $0_\mathbb{N}=0_\mathbb{N}+_\mathbb{N}0_\mathbb{N} =0_\mathbb{N}+_\mathbb{N}n = n$이므로 모순이다.

$x \in \mathbb{Z}^+$와 $x \in \mathbb{Z}^-$가 동시에 성립하면

$n\!-\!- 0_\mathbb{N}= x = 0_\mathbb{N}\!-\!-m$인 영이 아닌 자연수 $n ,m\in \mathbb{N} \setminus \{ 0_\mathbb{N} \}$이 존재하여

정수의 상등으로 $ n +_\mathbb{N} m = 0_\mathbb{N}+_\mathbb{N} 0_\mathbb{N} = 0_\mathbb{N}$이므로 위 정리에 모순이다.

따라서 $x \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{Z}^-$ 중 하나만 성립한다.

덧셈에 대한 교환법칙

정수의 정의로 $x = a \!-\!-b$이고 $y = c\!-\!-d$인 자연수 $a,b,c,d \in \mathbb{N}$가 존재하여

덧셈의 정의로

$x + y = (a\!-\!-b) + (c\!-\!-d) = (a +_\mathbb{N}c) \!-\!- (b +_\mathbb{N} d)$이고

$y+ x = (c\!-\!-d) + (a\!-\!-b) = (c+_\mathbb{N}a)\!-\!-(d +_\mathbb{N} b)$이므로

자연수 덧셈 정리로 $(a+_\mathbb{N}c) +_\mathbb{N} (d+_\mathbb{N}b) = a+_\mathbb{N}b+_\mathbb{N}c+_\mathbb{N} d =(c+_\mathbb{N}a) +_\mathbb{N}(b+_\mathbb{N}d) $임에 따라

정수의 상등으로 $x + y = (a +_\mathbb{N}c) \!-\!- (b +_\mathbb{N} d) = (c+_\mathbb{N}a)\!-\!-(d+_\mathbb{N}b) = y+x$이다.

곱셈에 대한 교환법칙

정수의 정의로 $x = a \!-\!-b$이고 $y = c\!-\!-d$인 자연수 $a,b,c,d \in \mathbb{N}$가 존재하여

곱셈의 정의로

$x \cdot y = (a\!-\!-b) \cdot (c\!-\!-d) = (a\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} d) \!-\!-(a\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} c)$이고

$y\cdot x = (c\!-\!-d) \cdot (a\!-\!-b) = (c\cdot_\mathbb{N} a +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} b) \!-\!- (c\cdot_\mathbb{N} b +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} a)$이므로

자연수 덧셈 정리와 자연수 곱셈 정리로

$(a\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} d)+_\mathbb{N}(c\cdot_\mathbb{N} b +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} a) = (c\cdot_\mathbb{N} a +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} b) +_\mathbb{N} (a\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} c)$임에 따라

정수의 상등으로

$x \cdot y = (a\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} d) \!-\!-(a\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} c) = (c\cdot_\mathbb{N} a +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} b) \!-\!-(c\cdot_\mathbb{N} b +_\mathbb{N} d\cdot_\mathbb{N} a) = y\cdot x$이다.

덧셈에 대한 결합법칙

정수의 정의로 $x = a_x \!-\!-b_x$이고 $y = a_y\!-\!-b_y$이고 $z = a_z\!-\!-b_z$인 자연수 $a_x,b_x,a_y,b_y,a_z,b_z \in \mathbb{N}$가 존재하여

덧셈의 정의와 자연수 덧셈 정리로

$\begin{align*} x + (y+z) &= (a_x\!-\!-b_x) + ((a_y\!-\!-b_y) + (a_z \!-\!- b_z)) \\[0.5em] &= (a_x\!-\!-b_x) + ((a_y +_\mathbb{N} a_z) \!-\!- (b_y +_\mathbb{N} b_z)) \\[0.5em] &= (a_x+_\mathbb{N}(a_y +_\mathbb{N} a_z)) \!-\!- (b_x +_\mathbb{N}(b_y +_\mathbb{N} b_z)) \\[0.5em] &= (a_x+_\mathbb{N}a_y +_\mathbb{N} a_z) \!-\!- (b_x +_\mathbb{N}b_y +_\mathbb{N} b_z) \text{ 이고} \end{align*} $

$\begin{align*} (x + y)+z &= ((a_x\!-\!-b_x) + (a_y\!-\!-b_y) )+ (a_z \!-\!- b_z) \\[0.5em] &= ((a_x +_\mathbb{N} a_y) \!-\!- (b_x +_\mathbb{N} b_y)) +(a_z\!-\!-b_z) \\[0.5em] &= ((a_x+_\mathbb{N}a_y) +_\mathbb{N} a_z) \!-\!- ((b_x +_\mathbb{N}b_y) +_\mathbb{N} b_z) \\[0.5em] &= (a_x+_\mathbb{N}a_y +_\mathbb{N} a_z) \!-\!- (b_x +_\mathbb{N}b_y +_\mathbb{N} b_z) \text{ 이므로} \end{align*} $

$x +(y+z) = (x+y)+z$이다.

곱셈에 대한 결합법칙

정수의 정의로 $x = a_x \!-\!-b_x$이고 $y = a_y\!-\!-b_y$이고 $z = a_z\!-\!-b_z$인 자연수 $a_x,b_x,a_y,b_y,a_z,b_z \in \mathbb{N}$가 존재하여

곱셈의 정의와 자연수 덧셈 정리와 자연수 곱셈 정리로

$\begin{align*} &x \cdot (y \cdot z) = (a_x\!-\!-b_x) \cdot ((a_y\!-\!-b_y) \cdot (a_z \!-\!- b_z)) \\[0.5em] &= (a_x\!-\!-b_x) \cdot ((a_y\cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} b_z) \!-\!- (a_y\cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} a_z)) \\[0.5em] &= (a_x\cdot_\mathbb{N}(a_y\cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} b_z) +_\mathbb{N} b_x \cdot_\mathbb{N} (a_y\cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} a_z)) \!-\!- ( a_x\cdot_\mathbb{N} (a_y\cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} a_z) +_\mathbb{N} b_x \cdot_\mathbb{N} (a_y\cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} b_z) ) \\[0.5em] &= (a_x\cdot_\mathbb{N} a_y\cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} a_x\cdot_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} b_x \cdot_\mathbb{N} a_y\cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} b_x \cdot_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} a_z) \!-\!- ( a_x\cdot_\mathbb{N} a_y\cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} a_x\cdot_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_x \cdot_\mathbb{N} a_y\cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_x \cdot_\mathbb{N} b_y\cdot_\mathbb{N} b_z ) \text{ 이고} \end{align*} $

$\begin{align*} &(x \cdot y)\cdot z = ((a_x\!-\!-b_x) \cdot (a_y\!-\!-b_y)) \cdot (a_z \!-\!- b_z) \\[0.5em] &= ((a_x\cdot_\mathbb{N} a_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} b_y) \!-\!- (a_x\cdot_\mathbb{N} b_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_y)) \cdot (a_z\!-\!-b_z) \\[0.5em] &= ((a_x\cdot_\mathbb{N} a_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} b_y) \cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} (a_x\cdot_\mathbb{N} b_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_y)\cdot_\mathbb{N} b_z) \!-\!- ((a_x\cdot_\mathbb{N} a_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} b_y)\cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} (a_x\cdot_\mathbb{N} b_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_y)\cdot_\mathbb{N} a_z) \\[0.5em] &= (a_x\cdot_\mathbb{N} a_y \cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} b_y \cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} a_x\cdot_\mathbb{N} b_y \cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_y \cdot_\mathbb{N} b_z) \!-\!- (a_x\cdot_\mathbb{N} a_y \cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} b_y \cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} a_x\cdot_\mathbb{N} b_y \cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_y\cdot_\mathbb{N} a_z) \text{ 이므로} \end{align*} $

$x \cdot (y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z$이다.

덧셈의 항등원

정수의 정의로 $x = a \!-\!-b$인 자연수 $a,b \in \mathbb{N}$가 존재하고 $0 = 0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}$이므로

덧셈의 정의와 자연수 덧셈 정리로 $x + 0 = (a\!-\!-b) + (0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}) = (a +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}) \!-\!- (b +_\mathbb{N}0_\mathbb{N}) = a\!-\!- b = x$이다.

따라서 덧셈에 대한 교환법칙으로 $x = x + 0  = 0 +x$이다.

덧셈의 역원

정수의 정의로 $x = a \!-\!-b$인 자연수 $a,b \in \mathbb{N}$가 존재하고 $-x = -(a\!-\!-b) = b\!-\!-a$이므로

덧셈의 정의와 자연수 덧셈 정리와 위 정리로

$x + (-x) = (a\!-\!- b) + (b\!-\!-a) = (a +_\mathbb{N}b)\!-\!- (b +_\mathbb{N}a)= (a+_\mathbb{N}b)\!-\!-(a+_\mathbb{N}b) = 0$이다.

따라서 덧셈에 대한 교환법칙으로 $0 = x + (-x) =  (-x) +x $이다.

곱셈의 항등원

정수의 정의로 $x = a \!-\!-b$인 자연수 $a,b \in \mathbb{N}$가 존재하고 $1 = 1_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}$이므로

곱셈의 정의와 자연수 덧셈 정리와 자연수 곱셈 정리로

$x\cdot 1 = (a\!-\!-b)\cdot (1_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}) = (a\cdot_\mathbb{N} 1_\mathbb{N} +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}) \!-\!- (a\cdot_\mathbb{N} 0 _\mathbb{N}+_\mathbb{N}b\cdot_\mathbb{N} 1_\mathbb{N}) = a\!-\!-b = x$이다.

따라서 곱셈에 대한 교환법칙으로 $x =x\cdot 1  = 1\cdot x$이다.

분배법칙

정수의 정의로 $x = a_x \!-\!-b_x$이고 $y = a_y\!-\!-b_y$이고 $z = a_z\!-\!-b_z$인 자연수 $a_x,b_x,a_y,b_y,a_z,b_z \in \mathbb{N}$가 존재하여

덧셈, 곱셈의 정의와 자연수 덧셈 정리와 자연수 곱셈 정리로

$\begin{align*} x \cdot (y + z) & = (a_x \!-\!-b_x) \cdot (( a_y\!-\!-b_y ) + ( a_z\!-\!-b_z )) \\[0.5em] & = (a_x \!-\!-b_x) \cdot ((a_y +_\mathbb{N}a_z) \!-\!-(b_y +_\mathbb{N}b_z)) \\[0.5em] & = (a_x \cdot_\mathbb{N} (a_y +_\mathbb{N}a_z) +_\mathbb{N} b_x \cdot_\mathbb{N} (b_y +_\mathbb{N}b_z))\!-\!-(a_x\cdot_\mathbb{N} (b_y +_\mathbb{N}b_z)+_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} (a_y +_\mathbb{N}a_z)) \\[0.5em] & = (a_x \cdot_\mathbb{N} a_y +_\mathbb{N} a_x \cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_x \cdot_\mathbb{N} b_y +_\mathbb{N} b_x \cdot_\mathbb{N} b_z )\!-\!-(a_x\cdot_\mathbb{N} b_y +_\mathbb{N} a_x\cdot_\mathbb{N} b_z+_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_z) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} x \cdot y + x\cdot z & = ((a_x \!-\!-b_x)\cdot ( a_y\!-\!-b_y )) + ((a_x \!-\!-b_x)\cdot ( a_z\!-\!-b_z ) ) \\[0.5em] & = ( (a_x \cdot_\mathbb{N} a_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} b_y)\!-\!-(a_x\cdot_\mathbb{N} b_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_y) ) + ((a_x \cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} b_z)\!-\!-(a_x\cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_z)) \\[0.5em] & = (a_x \cdot_\mathbb{N} a_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} b_y +_\mathbb{N} a_x \cdot_\mathbb{N} a_z +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} b_z) \!-\!-(a_x\cdot_\mathbb{N} b_y +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_y +_\mathbb{N} a_x\cdot_\mathbb{N} b_z +_\mathbb{N} b_x\cdot_\mathbb{N} a_z) \text{ 이므로}\end{align*}$

$x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z$이다.

따라서 교환법칙으로 $x \cdot (y + z) = (y+z)\cdot x$이고 $ x\cdot y + x\cdot z = y\cdot x + z\cdot x$이므로

$x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z = y\cdot x + z\cdot x= (y +z)\cdot x$이다.

이중 덧셈의 역원

정수의 정의로 $x = a \!-\!-b$인 자연수 $a,b \in \mathbb{N}$가 존재하여

덧셈 역원의 정의로 $-x = -(a\!-\!-b) =b \!-\!-a$이고 $-(-x) = -(b\!-\!-a) = a\!-\!-b = x$이다.

덧셈역원의 교환

정수의 정의로 $x = a \!-\!-b$이고 $y = c\!-\!-d$인 자연수 $a,b,c,d \in \mathbb{N}$가 존재하여

곱셈의 정의로 $x \cdot y = (a\!-\!-b) \cdot (c\!-\!-d) = (a\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} d) \!-\!-(a\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} c)$이므로

$-(x\cdot y ) = -( (a\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} d) \!-\!-(a\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} c) ) = (a\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} c)\!-\!-(a\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} d)$이다.

$-x = b \!-\!-a$이므로

$(-x)\cdot y = (b\!-\!-a) \cdot (c\!-\!-d) = (b\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} a\cdot_\mathbb{N} d) \!-\!-(b\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} a\cdot_\mathbb{N} c) = -(x\cdot y)$이고

$-y = d\!-\!-c$이므로

$x\cdot (-y) = (a\!-\!-b)\cdot (d\!-\!-c) = (a\cdot_\mathbb{N} d +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} c) \!-\!-(a\cdot_\mathbb{N} c +_\mathbb{N} b\cdot_\mathbb{N} d) = -(x\cdot y)$가 되어

$(-x) \cdot y = -(x\cdot y) = x\cdot (-y)$이다.

덧셈역원의 덧셈

곱셈의 항등원과 덧셈역원의 교환과 분배법칙으로

$-(x+y)  = 1\cdot (-(x+y)) = (-1) \cdot (x+y) =  (-1)\cdot x + (-1) \cdot y = 1\cdot (-x) + 1\cdot (-y) = (-x) + (-y)$이다.

덧셈역원의 곱셈

덧셈역원의 교환과 이중 덧셈의 역원으로 $(-x) \cdot (-y) = (-(-x)) \cdot y = x\cdot y$이다.

 

 

 

정리7

임의의 정수 $x,y,z \in \mathbb{Z}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $n_\mathbb{N},m_\mathbb{N} \in \mathbb{N}$에 대해 $n_\mathbb{N}\!-\!- m_\mathbb{N} = n - m$이다.

2. $x\cdot y = 0$이기 위한 필요충분조건은 $x = 0$ 또는 $y = 0$인 것이다.

3. $x \ne 0$이고 $y \ne 0$이기 위한 필요충분조건은 $x\cdot y \ne 0$인 것이다.

4. $z\cdot x = z\cdot y$이고 $z \ne 0$이면 $x = y$이다.

5. $ x \cdot z = y \cdot z$이고 $z \ne 0$이면 $x = y$이다.

증명

1.

정수의 정의로 $n = n_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}$이고 $-m = -(m_\mathbb{N}\!-\!- 0_\mathbb{N}) = 0_\mathbb{N}\!-\!-m_\mathbb{N}$이므로

덧셈과 뺄셈의 정의로 $n - m = n + (-m) = (n_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}) + (0_\mathbb{N}\!-\!- m_\mathbb{N}) = (n_\mathbb{N}\!-\!-m_\mathbb{N}) + (0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N})$이고

$0 = 0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}$은 덧셈의 항등원이므로

$n - m = (n_\mathbb{N}\!-\!-m_\mathbb{N}) + (0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}) = (n_\mathbb{N}\!-\!-m_\mathbb{N}) + 0 = n_\mathbb{N}\!-\!-m_\mathbb{N}$이다.

2.

$x\cdot y = 0$이면

정수의 정의로 $y = a \!-\!- b$인 $a,b \in \mathbb{N}$가 존재하고

정수의 순서성질로 $x \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $-x \in \mathbb{Z}^+$중 하나가 성립한다.

$x = 0$이면 정리는 자명하게 성립한다.

$x \in \mathbb{Z}^+$이면 양의 정수의 정의로 $x = n\!-\!-0_\mathbb{N}$인 $n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0_\mathbb{N} \}$이 존재하여

곱셈의 정의와 자연수 곱셈 정리로

$0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N} = 0 = x\cdot y = (n\!-\!-0_\mathbb{N}) \cdot (a\!-\!-b) =  (n\cdot_\mathbb{N} a +_\mathbb{N} 0\cdot_\mathbb{N} b)\!-\!-(n\cdot_\mathbb{N} b +_\mathbb{N} 0\cdot_\mathbb{N} a) = (n\cdot_\mathbb{N} a)\!-\!-(n\cdot_\mathbb{N} b) \text{ 이므로}$

정수의 상등과 자연수 덧셈 정리로 $n\cdot_\mathbb{N} b = 0_\mathbb{N} +_\mathbb{N} n\cdot_\mathbb{N} b= n\cdot_\mathbb{N} a +_\mathbb{N}0_\mathbb{N} = n\cdot_\mathbb{N} a $가 되어

소거법칙으로 $a = b$이고 위 정리로 $y = a \!-\!- b = a\!-\!-a = 0$이다.

$-x \in \mathbb{Z}^+$이면 양의 정수의 정의로 $-x = n\!-\!-0_\mathbb{N}$인 $n \in \mathbb{N} \setminus \{ 0_\mathbb{N}\}$이 존재하여

이중 덧셈의 역원은 $x= -(-x) = -(n\!-\!-0_\mathbb{N}) = 0_\mathbb{N}\!-\!-n$이므로

곱셈의 정의와 자연수 곱셈 정리로

$0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N} = 0 = x\cdot y = (0_\mathbb{N}\!-\!-n) \cdot (a\!-\!-b) =  (0_\mathbb{N}\cdot_\mathbb{N} a +_\mathbb{N} n\cdot_\mathbb{N} b)\!-\!-(0_\mathbb{N}\cdot_\mathbb{N} b +_\mathbb{N} n\cdot_\mathbb{N} a) = (n\cdot_\mathbb{N} b)\!-\!-(n\cdot_\mathbb{N} a) \text{ 이고}$

정수의 상등과 자연수 덧셈 정리로 $n\cdot_\mathbb{N} a = 0_\mathbb{N} +_\mathbb{N} n\cdot_\mathbb{N} a = n\cdot_\mathbb{N} b +_\mathbb{N}0_\mathbb{N} = n\cdot_\mathbb{N} b $가 되어

소거법칙으로 $a = b$이므로 위 정리로 $y = a \!-\!- b = a\!-\!-a = 0$이다.

역으로 $x= 0$ 또는 $y = 0$일때

일반성을 잃지 않고 $x = 0 = 0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}$이라 가정하면 정수의 정의로 $y = a \!-\!- b$인 $a,b \in \mathbb{N}$가 존재하여

곱셈의 정의와 자연수 곱셈 정리와 자연수 덧셈 정리로

$x\cdot y = (0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N}) \cdot (a\!-\!-b) = (0_\mathbb{N}\cdot_\mathbb{N} a +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}\cdot b) \!-\!- (0_\mathbb{N}\cdot_\mathbb{N} a +_\mathbb{N} 0_\mathbb{N}\cdot_\mathbb{N} b)= 0_\mathbb{N}\!-\!-0_\mathbb{N} =0$이다.

3.

2번의 대우로 성립한다.

4. 

$z\cdot x = z\cdot y$는

위 정리로 $0 = z\cdot x + (-(z\cdot x )) = z\cdot x + (-(z\cdot y)) = z\cdot x + z\cdot (-y) = z\cdot (x + (-y))$이고

$z\ne 0$이므로 2번으로 $x + (-y) = 0$이 되어 위 정리로 $y = x + (-y) + y = x$이다. 

5.

위 정리로 $x\cdot z = z\cdot x = z\cdot y = y\cdot z$이므로 4번으로 $x = y$이다.

 

 

 

정의6(정수 부등식)

임의의 정수 $x,y \in \mathbb{Z}$에 대해

$x = y +a$인 자연수 $a \in \mathbb{N}$가 존재하면

$x$가 $y$보다 크거나 같다 또는 $x$가 $y$이상이다 라고 하고 $x \ge y$ 또는 $y \le x$으로 표기한다.

$x \ge y$이고 $x \ne y$이면

$x$가 $y$보다 크다 또는 $x$가 $y$을 초과한다 라고 하고 $x > y$ 또는 $y < x$으로 표기한다.

 

 

 

정리8

임의의 정수 $x,y,z \in \mathbb{Z}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x \ge x$

2. $x \ge y$이고 $y \ge x$이기 위한 필요충분조건은 $x = y$인 것이다.

3. $x \ge y$이기 위한 필요충분조건은 $x - y \in \mathbb{Z}^+\cup \{ 0 \} = \mathbb{N}$인 것이다.

4. $x > y$이기 위한 필요충분조건은 $x - y \in \mathbb{Z}^+$인 것이다.

5. $x > y$이면 $x + z > y +z$ 이다.

6. $x \ge y$이면 $x + z \ge y +z$이다.

7. 임의의 $p \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x > y$이면 $x\cdot p > y\cdot p$이다.

8. 임의의 $n \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \} = \mathbb{N}$에 대해 $x \ge y$이면 $x\cdot n \ge y\cdot n$이다.

9. $x \ge y$이면 $-x \le -y$이다.

10. $x > y$이면 $-x  < -y$이다.

11. 임의의 $m \in \mathbb{Z}^- \cup \{ 0 \}$에 대해 $x \ge y$이면 $x \cdot m \le y\cdot m$이다.

12. 임의의 $m \in \mathbb{Z}^-$에 대해 $x > y$이면 $x \cdot m < y\cdot m$이다.

13. $x > y$이고 $y > z$이면 $x > z$이다.

14. $x \ge y$이고 $y \ge z$이면 $x \ge z$이다.

15. $x > y$ 또는 $x = y$ 또는 $x < y$ 중 하나만 성립한다.

증명

1.

$0 \in \mathbb{N}$에 대해 위 정리로 $x = x +0$이므로 부등식의 정의로 $x \ge x$이다.

2.

$x \ge y$이고 $y \ge x$이면

부등식의 정의로 $x = y +a$이고 $y = x +b$인 자연수 $a,b \in \mathbb{N}$이 존재하여

위 정리로 $x = y+a = x + b + a$이고 $0 = x + (-x) = x + b + a + (-x) = b+a$이므로

자연수 정리로 $a = b= 0$이 되어 위 정리로 $x = y + a =y +0 = y$이다.

역으로 $x = y$이면 위 정리로 $x +0 = x = y = y+0$이므로 부등식의 정의로 $x\ge y$이고 $y \ge x$이다.

3.

$x \ge y$이면

부등식의 정의로 $x = y + a$인 자연수 $a \in \mathbb{N}$가 존재하여

위 정리로 $x -y = (y + a) - y = a + y - y = a + 0 = a \in \mathbb{N}$이다. 

역으로 $x - y \in \mathbb{N}$이면

$x - y = a$인 자연수 $a \in \mathbb{N}$가 존재하여

위 정리로 $x= x+ 0 = x + (y -y) = (x -y )+y = a+ y = y+a $이므로 부등식의 정의로 $x \ge y$이다.

4.

$x > y$이면

부등식의 정의로 $x = y + a$인 자연수 $a \in \mathbb{N}$가 존재하고 $x \ne y$이다.

위 정리로 $x - y = (y+a) -y = a + y -y = a+0 =a$이므로 $a = 0$이라고 가정하면

$x + (-y) =x -y = a = 0$이고 위 정리로 $y = 0 +y =  x + (-y) + y = x$가 되어 모순이므로 

$a \ne 0$이고 양의 정수정의로 $x- y = a \in \mathbb{Z}^+$이다.

역으로 $x -y \in \mathbb{Z}^+$이면

$x -y = a $인 양의 정수 $a \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 양의 정수정의로 $a \ne 0$이고 $a \in \mathbb{N}$이다.

위 정리로 $x = x+0 = x + (y -y) = x- y +y = a+ y = y+a$이므로 부등식의 정의로 $x \ge y$이고

$x = y$라고 가정하면 $ x = y +a = x+a$인데 위 정리로 $0 = x + (-x) = x+a + (-x) = a$이므로 모순이다.

따라서 $x \ge y$이고 $x\ne y$이므로 부등식의 정의로 $x > y$이다.

5. 

$x > y$이면 4번으로 $x - y \in \mathbb{Z}^+$이고 위 정리로

$\begin{align*} x  - y & = x - y + 0 \\[0.5em] & = x - y + z - z \\[0.5em] & = x+z  + (- y) + (-z) \\[0.5em] & = x+z + (-(y+z)) \\[0.5em] & = (x+z) - (y+z) \text{ 이므로} \end{align*}$

$(x+z) - (y+z)  =x-y \in \mathbb{Z}^+$가 되어 다시 4번으로 $x+z > y+z$이다.

6. 

$x \ge y$이면

3번으로 $x - y \in \mathbb{N}$이고 5번처럼 $(x+z) - (y+z)  =x-y \in \mathbb{N}$가 되어 다시 3번으로 $x+z \ge y+z$이다.

7. 

$x > y$이면 4번으로 $x -y = a \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

위 정리로 $a \cdot p = (x -y) \cdot p = (x + (-y)) \cdot p = x\cdot p + (-y) \cdot p = x\cdot p + (-(y\cdot p)) = x\cdot p - y\cdot p$이고

$p \in \mathbb{Z}^+$이므로 위 정리로 $ x\cdot p - y\cdot p = a \cdot p \in \mathbb{Z}^+$가 되어 4번으로 $x\cdot p > y\cdot p$이다.

8. 

$x \ge y$이면 3번으로 $x -y = a \in \mathbb{N}$가 존재하여 7번처럼 $a\cdot n = x\cdot n - y\cdot n$이고

$n \in \mathbb{N}$이므로 $x\cdot n - y \cdot n = a \cdot n \in \mathbb{N}$이 되어 3번으로 $x\cdot n \ge y\cdot n$이다.

9. 

$x \ge y$이면 3번으로 $x -y \in \mathbb{N}$이고

위 정리로 $x - y = x + (-y) = (-y) + (-(-x)) = (-y) - (-x) \in \mathbb{N}$이므로 다시 3번으로 $-y \ge -x$이다.

10. 

$x > y$이면 4번으로 $x-y  \in \mathbb{Z}^+$이고

위 정리로 $x - y = x + (-y) = (-y) + (-(-x)) = (-y) - (-x) \in \mathbb{Z}^+$이므로 다시 4번으로 $-y > -x$이다.

11. 

$x \ge y$이면 9번으로 $-y \ge -x$이고

$m \in \mathbb{Z}^- \cup \{ 0 \}$는 양의 정수정의로 $-m \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0 \} = \mathbb{N}$이므로 8번으로 $(-y) \cdot (-m) \ge (-x) \cdot (-m)$이다.

따라서 위 정리로 $(-y)\cdot (-m) = y\cdot m$이고 $(-x)\cdot (-m) = x\cdot m$이므로 $y\cdot m \ge x\cdot m$이다.

12.

$x > y$이면 10번으로 $-y > -x$이고

$m \in \mathbb{Z}^-$는 양의 정수정의로 $-m \in \mathbb{Z}^+$이므로 7번으로 $(-y) \cdot (-m) > (-x) \cdot (-m)$이다.

따라서 위 정리로 $(-y)\cdot (-m) = y\cdot m$이고 $(-x)\cdot (-m) = x\cdot m$이므로 $y\cdot m > x\cdot m$이다.

13. 

$x > y$이고 $y > z$이면

10번으로 $-z > -y$이므로 4번으로 $(x -y) , ((-z) - (-y)) \in \mathbb{Z}^+$가 되어

위 정리로 $(x-y) + ((-z) - (-y)) \in \mathbb{Z}^+$이고

 $x-y + (-z) - (-y) = x -y -z + y = x -z +y -y = x-z \in \mathbb{Z}^+$이므로 다시 4번으로 $x > z$이다.

14. 

$x \ge y$이고 $y \ge z$이면

9번으로 $-z \ge -y$이므로 3번으로 $(x -y) , ((-z) - (-y)) \in \mathbb{N}$가 되어

자연수 덧셈의 정의로 $(x-y) + ((-z) - (-y)) \in \mathbb{N}$이고

위 정리로 $x-y + (-z) - (-y) = x -y -z + y = x -z +y -y = x-z \in \mathbb{N}$이므로 다시 3번으로 $x \ge z$이다.

15. 

$x > y$ 또는 $x = y$ 또는 $x < y$ 중 두개가 성립한다고 가정하면

부등식의 정의로 $x > y$와 $x = y$는 같이 성립할 수 없고 $x < y$와 $x = y$는 같이 성립할 수 없으므로

$x > y$이고 $x < y$인데 부등식의 정의로 $x \ge y$이고 $x \le y$일때 $x \ne y$가 되어 2번에 모순이므로

$x > y$ 또는 $x = y$ 또는 $x < y$ 중 두개가 동시에 성립할 수 없다.

$x > y$ 또는 $x = y$ 또는 $x < y$ 중 하나가 성립함을 보인다.

위 정리로 $x-y \in \mathbb{Z}^+$ 또는 $x-y = 0$ 또는 $x-y \in \mathbb{Z}^+$가 성립하므로

$x-y \in \mathbb{Z}^+$이면 4번으로 $x > y$이고

$x-y = 0$이면 위 정리로 $y  = y +0=  y + x -y = x$이고

$x-y \in \mathbb{Z}^-$이면 음의 정수정의로 $-(x-y) \in \mathbb{Z}^+$이고

위 정리로 $-(x-y) = -(x + (-y)) = (-x) + (-(-y)) = y -x \in \mathbb{Z}^+$이므로 4번으로 $y > x$이다.

 

 

 

정리10

임의의 정수 $x,y \in \mathbb{Z}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x < r < x+1$을 만족하는 정수 $r \in \mathbb{Z}$은 존재하지 않는다.

2. 임의의 $p \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x\cdot p < y\cdot p$이면 $x < y$이다.

3. 임의의 $m \in \mathbb{Z}^-$에 대해 $x \cdot m < y\cdot m$이면 $x > y$이다.

4. $x\cdot y > 0$일때 $x > 0$이면 $y > 0$이고 $x < 0$이면 $y < 0$이다.

5. $x\cdot y < 0$일때 $x >0$이면 $y <0$이고 $x <0$이면 $y > 0$이다.

6. $x < y$이면 $x + 1 \le y$이다.

증명

1.

$x < r < x+1$인 $r \in \mathbb{Z}$이 존재한다고 가정하면

$r > x$이므로 위 정리로 $r - x = a \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고 $x +1 > r$이므로 위 정리로 $x +1 -r =b \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

위 정리로 $r =r - x +x = a+x = x+a$이고 $x+1 = x+1 -r +r = b+r = r+b$이므로

$x +1 = r+b = x+a+b$가 되어 위 정리로 $1 = x +1 -x  = x +a + b -x   = a+b \in \mathbb{Z}^+$이다.

양의 정수정의로 $a \ne 0$이고 $a \in \mathbb{N}$이므로 자연수 정리로 $a = c\!+\!+$인 $c \in \mathbb{N}$가 존재하여

자연수의 정의와 자연수 덧셈 정리로 $0\!+\!+ = 1 = a+b= (c\!+\!+) + b = (c+b)\!+\!+$인데

양의 정수정의로 $b \ne 0$이고 $b \in \mathbb{N}$이므로 자연수 정리로 $c + b \ne 0$이 되어 페아노 공리에 모순이다.

따라서 $x < r < x+1$인 $r \in \mathbb{Z}$은 존재하지 않는다.

2.

$p \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x\cdot p < y\cdot p$일때 $x \ge y$라고 가정하면

$p \in \mathbb{Z}^+ \cup \{ 0\} = \mathbb{N}$이므로 위 정리로 $x\cdot p \ge y\cdot p$가 되어 위 정리에 모순이므로 $x < y$이다.

3.

$m \in \mathbb{Z}^-$에 대해 $x \cdot m < y\cdot m$일때 $x \le y$라고 가정하면

$m \in \mathbb{Z}^-\cup \{ 0 \}$이므로 위 정리로 $x \cdot m \ge y \cdot m$이 되어 위 정리에 모순이므로 $x > y$이다.

4. 

$x\cdot y > 0$일때 $x > 0$이면

위 정리와 정수 연산정리로 $x -0 = x \in \mathbb{Z}^+$이고 $x\cdot y >  0 = x\cdot 0$이므로 2번으로 $y > 0$이다.

$x\cdot y > 0$일때 $x < 0$이면

위 정리와 정수 연산정리로 $0-x = -x \in \mathbb{Z}^+$이므로 음의 정수정의로 $x \in \mathbb{Z}^-$이고

$x\cdot y >  0 = x\cdot 0$이므로 3번으로 $y < 0$이다.

5. 

$x\cdot y < 0$일때 $x >0$이면

위 정리와 정수 연산정리로 $x -0 = x \in \mathbb{Z}^+$이고 $x\cdot y < 0 = x\cdot 0$이므로 2번으로 $y < 0$이다.

$x\cdot y < 0$일때 $x < 0$이면

위 정리와 정수 연산정리로 $0-x = -x \in \mathbb{Z}^+$이므로 음의 정수정의로 $x \in \mathbb{Z}^-$이고

$x\cdot y <  0 = x\cdot 0$이므로 3번으로 $y > 0$이다.

6. 

$x < y$이면 위 정리와 정수 연산정리로 $0 < y - x$이고 $y-x \in \mathbb{Z}^+ \subset \mathbb{N}$이므로

자연수 부등식 정리로 $1\le y - x$이고 위 정리와 정수 연산정리로 $x + 1 \le y$이다.

 

 

 

정리11

임의의 정수 $x,y \in \mathbb{Z}$와 임의의 자연수 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $1^n = 1$

2. $x^{m+n} =x^m \cdot x^n$

3. $x^{m\cdot n} = (x^m)^n$

4. $(x \cdot y)^n= x^n \cdot y^n$

증명

$(\mathbb{Z} , \cdot ,1 )$은 정수 연산정리로 곱셈에 대해 결합적, 교환적이고 항등원이 존재하므로

가환 모노이드이고 모노이드 정리로 1,2,3,4가 성립한다.

 

 

 

정의7(정수 절댓값)

임의의 정수 $x \in \mathbb{Z}$에 대해 $\left | x \right | = \begin{cases} x , & x > 0 \text{ 일때} \\ 0 , & x = 0 \text{ 일때} \\ -x , & x< 0 \text{ 일때} \end{cases}$ 를 $x$의 절댓값으로 정의한다.

 

 

 

정리12

임의의 정수 $x,y \in \mathbb{Z}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $|x| \ge 0$

2. $|x| = 0$이기 위한 필요충분조건은 $x = 0$인 것이다.

3. $|x\cdot y| = |x|\cdot |y|$

4. 임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $|x|\le n$이기 위한 필요충분조건은 $-n \le x \le n$인 것이다.

5. $-|x|\le x \le |x|$

증명

1.

절댓값의 정의로

$x >0$이면 $|x| = x > 0$이고

$x =0 $이면 $|x| = 0$이고

$x < 0$이면 위 정리로 $|x| = -x > 0$이므로 모든 $x \in \mathbb{Z}$에 대해 $|x| \ge 0$이다.

2.

절댓값의 정의로 $x =0 $이면 $|x| = 0$이고

역으로 $|x| = 0$일때 $x \ne 0 $이라 가정하면 

$x > 0$ 또는 $x < 0$이므로 절댓값의 정의로 $|x | > 0$이 되어 모순이므로 $x = 0$이다.

3.

$x = 0$ 또는 $y= 0$이면 

$x\cdot y= 0 = \left |x\cdot y\right |$ 이고 $x\cdot y= 0 = \left | x\right | \cdot  \left | y\right |$이므로 $\left |x\cdot y\right | =0 = \left | x\right | \cdot \left | y\right |$이다

$x>0 $이고 $ y> 0$이면

위 정리로 $x\cdot y > 0$이므로 $x\cdot y= \left | x\cdot y\right |$이다.

또 $x= \left | x\right |$이고 $y= \left | y\right |$이므로 $x\cdot y=\left | x\right |\cdot  \left | y\right |$이다.

따라서 $\left |x\cdot y\right | = x\cdot y= \left | x\right | \cdot  \left | y\right |$이다.

$x> 0$이고 $ y< 0$이면

위 정리로 $x\cdot y<0$이므로 $-x\cdot y = \left | x\cdot y\right |$이다.

또 $x= \left |x \right |$ 이고 $ -y= \left | y\right |$이므로 $-x\cdot y= \left | x\right | \cdot \left | y \right |$이다.

따라서 $\left |x\cdot y \right | = -x\cdot y= \left | x\right | \cdot \left | y\right |$이다.

$x < 0 $이고 $y < 0$이면

위 정리로 $x\cdot y > 0$이므로 $x\cdot y = \left | x\cdot y \right |$이다.

또 $-x = \left | x \right |$이고 $ -y = \left | y \right |$이므로 $x\cdot y = (-x)\cdot (-y) =\left | x \right | \cdot  \left | y \right |$이다.

따라서 $\left |x\cdot y \right | = x \cdot y = \left | x \right | \cdot  \left | y \right |$이다.

모든 경우에 대해 성립하므로 모든 $x,y\in \mathbb{Z}$에 대해 $\left |x\cdot y \right | = \left | x \right | \cdot \left | y \right |$이다.

4.

$\left | x \right | \le n$이면 절댓값의 정의로 $ x \le n$이고 $-x \le n$이므로 위 정리로 $-n \le x$가 되어 $-n \le x \le n$이다.

$-n \le x \le n$이면 $ x \le n$이고 $-n \le x$이므로 위 정리로 $-x \le n$가 되어 절댓값의 정의로 $\left | x \right | \le n$이다.

5.

1번으로 $\left | x \right | \ge 0$이므로 위 정리로 $|x| \in \mathbb{N}$이고 $|x| \ge |x|$이므로 4번으로 $-\left | x \right |  \le x \le \left | x \right | $이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/56#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/56#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662

You-Feng Lin - Set Theory : An Intuitive Approach - 9788961053778

Herbert B. Enderton - Elements of Set Theory - 9780122384400