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• 위상공간의 분리가능성(Separability)

  수학/위상수학 2025. 6. 13. 16:59

  정의1위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 임의의 부분집합이 $E\subseteq X$일때조밀집합 :$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 폐포가 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = X$이면 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다(dense)고 정의하고 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합으로 정의한다.조밀한 곳이 없는 집합 :$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 폐포 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$의 내부..

• 기수에 대한 정리

  수학/집합론 2025. 6. 2. 17:43

  정리1임의의 집합이 $X$이고 임의의 순서수 $\beta$의 모든 $\alpha\in \beta$에 대해 $X_\alpha$가 정의될때$\beta = 0$이면 $X_\beta = X$로 정의되고$\beta = \alpha +1$인 순서수 $\alpha$가 존재하면 $X_\beta = X_\alpha \cup \{ X_\alpha\}$로 정의되고$\beta$가 극한순서수이면 $X_\beta = \displaystyle \bigcup_{\alpha \in \beta} X_\alpha$로 정의되는 집합 $X_\beta$는 모든 순서수 $\beta$에 대해 유일하게 존재하고$X_\beta\notin X$와 $\beta\ne \gamma$인 모든 순서수 $\gamma$에 대해 $X_\beta\ne X_\gamma..

• 기수의 연산(Cardinal arithmetic)

  수학/집합론 2025. 5. 27. 20:38

  정의1임의의 기수가 $\kappa,\lambda$이고 순서수 정렬집합이 $(\kappa,\underline{\in}),(\lambda,\underline{\in})$일때기수 덧셈 :$A = (\{ 0\} \times \kappa ) \cup (\{1\}\times \lambda)$인 $(\kappa,\underline{\in})$에서 $(\lambda,\underline{\in})$로의 연결 $(A,\le_A)$에 대해$\kappa$와 $\lambda$의 기수 덧셈 $\kappa \oplus \lambda$를 $A$의 크기 $\kappa\oplus \lambda=|A| = |(\{ 0\} \times \kappa ) \cup (\{1\}\times \lambda)|$로 정의한다.기수 곱셈 :$B = \k..

• 기수(Cardinal number)

  수학/집합론 2025. 5. 22. 08:01

  정의1임의의 순서수 $\kappa$의 모든 $\eta\in \kappa$에 대해 $\eta$에서 $\kappa$로의 전단사함수가 존재하지 않으면 $\kappa$를 기수라고 정의한다. 정리1모든 집합 $A$에 대해 어떤 순서수 $\gamma$가 존재하여 전단사함수 $f : A\to \gamma$가 존재한다.증명$A$가 공집합이면 순서수 정리로 공집합 $\emptyset$은 순서수이고 함수 정리로 전단사함수 $f: A\to \emptyset$가 존재한다.$A$가 공집합이 아니면 정렬원리로 $(A,\le_A)$가 정렬집합이 되는 정렬순서관계 $\le_A$가 존재하여모스토프스키 붕괴로 순서수 $\gamma$가 존재하고 전단사함수 $g:A\to \gamma$가 존재한다. 정의2임의의 집합 $A$와 모든 순..

• 순서수의 거듭제곱(Ordinal exponentiation)

  수학/집합론 2025. 5. 3. 22:10

  정의1임의의 순서수 $\alpha,\beta$에 대해 순서수 정렬집합이 $(\alpha,\underline{\in}),(\beta,\underline{\in})$이고 공집합이 $\emptyset$일때지지집합(support) :임의의 함수 $f: \beta\to \alpha$에 대해 집합 $\operatorname{supp}(f) = \{ b\in \beta : f(b) \ne \emptyset\}$를 $f$의 지지집합이라고 정의한다.역사전식 순서(antilexicographical order) :데카르트곱 $\beta\times \alpha$의 멱집합 $\mathcal{P}(\beta\times \alpha)$에 대해지지집합이 유한집합인 $\beta$에서 $\alpha$로의 함수들의 집합족$\mathca..

• 순서동형(Order isomorphic), 순서수의 덧셈과 곱셈

  수학/집합론 2025. 4. 20. 06:27

  정의1부분순서집합이 $(X,\le_X)$와 $(Y,\le_Y)$이고 함수가 $f: X\to Y$일때모든 $x_1,x_2\in X$에 대해 $x_1\le_X x_2$이기 위한 필요충분조건이 $f(x_1)\le_Y f(x_2)$인 것이고$f$가 전단사이면 $f$를 $(X,\le_X)$에서 $(Y,\le_Y)$로의 순서동형사상(order isomorphism)이라고 정의한다.또 $(X,\le_X)$에서 $(Y,\le_Y)$로의 순서동형사상이 존재하면 $(X,\le_X)$와 $(Y,\le_Y)$를 순서동형이라고 정의한다. 정리1부분순서집합 $(X,\le_X)$에서 부분순서집합 $(Y,\le_Y)$로의 순서동형사상 $f:X\to Y$와부분순서집합 $(Y,\le_Y)$에서 부분순서집합 $(Z,\le_Z)$로의 ..

• 순서수(Ordinal number)

  수학/집합론 2025. 4. 12. 15:56

  정의1모든 $y\in A$에 대해 모든 $x\in y$가 $x\in A$이면 집합 $A$를 추의적 집합(transitive set)이라고 정의한다. 정리1임의의 집합 $A$가 추이적 집합이기 위한 필요충분조건은 모든 $y\in A$에 대해 $y \subseteq A$인 것이다.증명$A$가 추이적 집합이면 모든 $y\in A$에 대해 모든 $x\in y$는 $x\in A$이므로 부분집합의 정의로 $y \subseteq A$이다.역으로 모든 $y\in A$에 대해 $y \subseteq A$이면 부분집합의 정의로 모든 $x\in y$는 $x\in A$가 되어 $A$는 추이적 집합이다. 정리2임의의 집합 $A$가 추이적 집합이면 다음이 성립한다.1. $A\cup \{ A\}$는 추이적 집합이다.2. $..

• 위상공간(Topological space)

  수학/위상수학 2025. 4. 11. 18:24

  정의1위상공간 :임의의 집합 $X$에 대해 모든 $O\in \mathcal{T}$가 $O\subseteq X$인 임의의 집합족 $\mathcal{T}$가 아래 4가지 성질을 만족하면 순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 위상공간으로 정의하고 $\mathcal{T}$를 $X$의 위상이라 정의한다.1. $X\in \mathcal{T}$2. 공집합 $\emptyset$에 대해 $\emptyset\in \mathcal{T}$이다.3. 모든 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{T}$의 합집합은 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{T}$이다.4. 모든 $O_1,O_2\in \mathcal{T}$의 유한 교집합은 $O_1\cap O_2\in ..