기수(Cardinal number)

정의1

임의의 순서수 $\kappa$의 모든 $\eta\in \kappa$에 대해 $\eta$에서 $\kappa$로의 전단사함수가 존재하지 않으면 $\kappa$를 기수라고 정의한다.

 

 

 

정리1

모든 집합 $A$에 대해 어떤 순서수 $\gamma$가 존재하여 전단사함수 $f : A\to \gamma$가 존재한다.

증명

$A$가 공집합이면 순서수 정리로 공집합 $\emptyset$은 순서수이고 함수 정리로 전단사함수 $f: A\to \emptyset$가 존재한다.

$A$가 공집합이 아니면 정렬원리로 $(A,\le_A)$가 정렬집합이 되는 정렬순서관계 $\le_A$가 존재하여

모스토프스키 붕괴로 순서수 $\gamma$가 존재하고 전단사함수 $g:A\to \gamma$가 존재한다.

 

 

 

정의2

임의의 집합 $A$와 모든 순서수 $\gamma$에 대해 어떤 전단사함수 $f: A\to \gamma$가 존재하면

$\kappa $ $\underline{\in}$ $ \gamma$이고 전단사함수 $g:A\to \kappa$가 존재하는 순서수 $\kappa$를 $A$의 크기 $|A| =\kappa$라고 정의한다.

 

 

 

정리2

모든 집합 $A$에 대해 $A$의 크기 $|A|$가 유일하게 존재하고 $|A|$는 기수이다.

증명

$A$의 크기가 $\kappa_1,\kappa_2$이면 집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f_1:A\to \kappa_1$과 전단사함수 $f_2:A\to \kappa_2$가 존재하고

$\kappa_1\underline{\in} \kappa_2$와 $\kappa_2\underline{\in}\kappa_1$이 성립하여 순서수 정리로 $\kappa_1\subseteq \kappa_2$와 $\kappa_2\subseteq \kappa_1$이 성립함에 따라

집합 정리로 $\kappa_1 = \kappa_2$이므로 $A$의 크기는 유일하다.

위 정리로 어떤 순서수 $\beta$가 존재하여 전단사함수 $h : A\to \beta$가 존재하고

분류 공리로 집합 $S =\{ \alpha \in \beta\cup \{ \beta\} :  \text{ 어떤 전단사함수 }g : A\to \alpha \text{ 가 존재한다.} \}$가 존재하여

$\beta\in \{ \beta\} \subseteq \beta\cup \{\beta\}$이므로 $S$는 공집합이 아니고 $S\subseteq \beta\cup \{ \beta\}$임에 따라

순서수 정리와 순서수의 정의와 정렬집합의 정의로 최소원소 $\kappa = \underset{(\beta\cup \{\beta\},\underline{\in})}{\min} S$가 존재하고

$\kappa\in S$이므로 전단사함수 $g:A\to \kappa$가 존재한다.

임의의 순서수 $\gamma$에 대해 어떤 전단사함수 $f:A\to \gamma$가 존재할때 순서수 정리로 $\beta\in \gamma$ 또는 $\gamma \underline{\in} \beta$이므로

$\beta\in \gamma$이면

순서수 정리로 $\beta\cup \{\beta\}\underline{\in} \gamma$이고 $\kappa\in \beta\cup \{ \beta\}\underline{\in} \gamma$가 되어 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\kappa\in \gamma$이다.

$\gamma \underline{\in} \beta$이면 $\gamma\underline{\in} \beta \in \beta\cup \{ \beta\}$임에 따라 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\gamma\in \beta \cup \{\beta\}$이고 

$f$가 전단사임에 따라 $\gamma\in S$가 되어 최소원소 정리로 $\kappa\underline{\in} \gamma$이므로 $A$의 크기 $|A| = \kappa $가 존재한다.

또 어떤 $\eta\in \kappa=|A|$가 존재하여 전단사함수 $\phi :\eta \to \kappa$가 존재한다고 가정하면

역함수 정리로 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1} : \kappa\to \eta$이 존재하여 $\phi^{-1}$은 전단사이고

합성함수 정리로 $\phi^{-1} \circ g : A\to \eta$는 전단사이므로 순서수 정리로 $\eta\in \kappa$가 순서수임에 따라

집합의 크기의 정의로 $\kappa\underline{\in} \eta$가 되어 순서수 정리에 모순이므로 $A$의 크기 $|A|$는 기수이다.

 

 

 

정리3

임의의 집합 $A,B$에 대해 $A,B$의 크기가 $|A|,|B|$일때

어떤 전단사함수 $f:A\to B$가 존재하기 위한 필요충분조건은 $|A|=|B|$인 것이다.

증명

전단사함수 $f:A\to B$가 존재하면 

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $g : B\to |B|$가 존재하여 합성함수 정리로 $g \circ f : A\to |B|$는 전단사이므로

집합의 크기의 정의로 $|A| \underline{\in} |B|$이고 순서수 정리로 $|A| \subseteq |B|$이다.

역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1} : B\to A$은 전단사이고 집합의 크기의 정의로 전단사함수 $h:A\to |A|$가 존재하여

합성함수 정리로 $h \circ f^{-1} : B\to |A|$는 전단사이므로 집합의 크기의 정의로 $|B| \underline{\in} |A|$이고

순서수 정리로 $|B|\subseteq |A|$임에 따라 집합 정리로 $|A|=|B|$이다.

역으로 $|A|=|B|$이면

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $g: B\to |B|$가 존재하여 역함수 정리로 $g$의 역함수 $g^{-1} : |B|\to B$은 전단사이고

전단사함수 $h :A\to |A|$가 존재하여 $|A|=|B|$임에 따라 합성함수 정리로 $g^{-1}\circ h :A\to B$는 전단사이다.

 

 

 

정리4

임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$과 임의의 집합 $A$에 대해 다음이 성립한다.

1. 공집합 $\emptyset$은 기수이고 $\emptyset$의 크기는 $|\emptyset| = \emptyset$이다.

2. $n$은 기수이고 $n$의 크기는 $|n| = n$이다.

3. $A$가 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이기 위한 필요충분조건은 $A$의 크기가 $|A| = n$인 것이다.

증명

1.

순서수 정리로 $\emptyset$은 순서수이고 공허하게 기수의 정의가 성립하여 $\emptyset$은 기수이다.

또 집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f: \emptyset\to |\emptyset|$가 존재하여 함수 정리로 $|\emptyset|= \emptyset$이다.

2.

순서수 정리로 $n$은 순서수이고 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이므로

어떤 $k\in n$가 존재하여 전단사함수 $f: k\to n$가 존재한다고 가정하면

순서수 정리로 $k$는 $k<n$인 자연수이고 $k = \{ 0,1,\cdots,k-1\}$인데

유한집합의 정의로 $n$이 $k$개의 원소를 갖는 유한집합이 되어 유한집합 정리에 모순이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{N}$은 기수이다.

또 집합의 크기의 정의로 $|n|$은 순서수이고 전단사함수 $g : n \to |n|$가 존재하여

유한집합의 정의로 $|n|$은 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이므로 순서수 정리로 $|n|=n$이다.

3.

$A$가 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이면

유한집합의 정의와 순서수 정리로 전단사함수 $f:n\to A$가 존재하므로 위 정리와 2번으로 $n=|n| =|A|$이다.

역으로 $A$의 크기가 $|A| = n$이면

2번으로 $|n| = n = |A|$이므로 위 정리로 전단사함수 $f:n\to A$가 존재하여

유한집합의 정의와 순서수 정리로 $A$는 $n$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

 

 

 

정리5(칸토어[Cantor] 정리)

임의의 집합 $A$의 멱집합이 $\mathcal{P}(A)$이고 $A,\mathcal{P}(A)$의 크기가 $|A|,|\mathcal{P}(A)|$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 함수 $f:A\to \mathcal{P}(A)$는 전사함수가 아니다.

2. $|A|\in |\mathcal{P}(A)|$

증명

1.

분류 공리로 집합 $S = \{ x\in A: x\notin f(x)\}$가 존재하여 $S\subseteq A$이므로 멱집합의 정의로 $S\in \mathcal{P}(A)$이다.

$f(x) = S$인 $x\in A$가 존재한다고 가정할때

$x\in S$이면 $x\in S = f(x)$인데 $S$의 정의로 $x\notin f(x)$가 되어 모순이고

$x\notin S$이면 $x\notin S = f(x)$이므로 $S$의 정의로 $x\in S$가 되어 모순이다.

따라서 모든 $x\in A$에 대해 $f(x)\ne S$이므로 $f$는 전사함수가 아니다.

2.

집합의 크기의 정의로 $|A|,|\mathcal{P}(A)|$는 순서수이므로 순서수 정리로 $|A|\in |\mathcal{P}(A)|$ 또는 $|\mathcal{P}(A)|\underline{\in}|A|$이다.

$|\mathcal{P}(A)| = \emptyset$이면 자연수의 정의로 $|\mathcal{P}(A)| = \emptyset = 0$이 되어 위 정리와 유한집합의 정의로 $\mathcal{P}(A) = \emptyset$인데

집합 정리로 $A\subseteq A$이므로 멱집합의 정의로 $A\in \mathcal{P}(A) = \emptyset$가 되어 공집합의 정의에 모순임에 따라

$|\mathcal{P}(A)| \ne \emptyset$이고 순서수 정리로 $\emptyset\in |\mathcal{P}(A)|$이다.

$|\mathcal{P}(A)|\underline{\in}|A|$라고 가정하면 순서수 정리로 $|\mathcal{P}(A)|\subseteq |A|$이고

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $g: A\to |A|$와 전단사함수 $h:\mathcal{P}(A)\to |\mathcal{P}(A)|$가 존재하므로

역함수 정리로 $h$의 역함수 $h^{-1}:|\mathcal{P}(A)|\to \mathcal{P}(A)$이 존재하여 $h^{-1}$은 전단사이다.

모든 $x\in A$에 대해 $\phi(x) = \begin{cases} h^{-1}(g(x)) & g(x) \in |\mathcal{P}(A)| \text{ 일때} \\ h^{-1}(\emptyset) & g(x)\notin |\mathcal{P}(A)| \text{ 일때} \end{cases}$로 정의되는 함수 $\phi: A\to \mathcal{P}(A)$는

모든 $S\in \mathcal{P}(A)$에 대해 전사의 정의로 $h^{-1}(y) = S$인 $y\in |\mathcal{P}(A)|\subseteq |A|$가 존재하고 $g(x) = y$인 $x\in A$가 존재하여

$\phi(x) = h^{-1}(g(x)) = h^{-1}(y) = S$이므로 $\phi$는 전사함수인데 1번에 모순임에 따라 $|A|\in |\mathcal{P}(A)|$이다

 

 

 

정리6

임의의 기수 $\kappa$와 임의의 집합 $A$의 크기 $|A|$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 순서수 $\gamma$에 대해 $|\gamma|$ $\underline{\in}$ $ \gamma$이다.

2. $\kappa$의 크기는 $|\kappa| = \kappa$이다.

3. $|A|$의 크기는 $|\,|A|\,| = |A| $이다.

증명

1.

모든 $\beta\in \gamma$에 대해 $f(\beta) = \beta$인 함수 $f : \gamma\to \gamma$는 함수 정리로 전단사이므로 집합의 크기의 정의로 $|\gamma|\underline{\in}\gamma$이다.

2.

기수의 정의로 $\kappa$는 순서수이므로 1번으로 $|\kappa|\underline{\in}\kappa$이다.

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $g : \kappa\to |\kappa|$가 존재하여 역함수 정리로 $g$의 역함수 $g^{-1}:|\kappa|\to \kappa$이 존재하고

$g^{-1}$은 전단사인데 $|\kappa|\in \kappa$라고 가정하면 기수의 정의에 모순이므로 $|\kappa| = \kappa$이다.

3.

위 정리로 $|A|$는 기수이므로 2번으로 $|\,|A|\,| = |A| $이다.

 

 

 

정리7

자연수집합 $\mathbb{N}$의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$과 임의의 집합 $A$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mathbb{N}$은 기수이고 $\mathbb{N}$의 크기는 $|\mathbb{N}| = \mathbb{N}$이다.

2. $A$가 가부번이기 위한 필요충분조건은 $A$의 크기가 $|A| = \mathbb{N}$인 것이다.

3. $A$가 가산이기 위한 필요충분조건은 $A$의 크기가 $|A| \underline{\in} \mathbb{N}$인 것이다.

4. $A$가 비가산이기 위한 필요충분조건은 $A$의 크기가 $\mathbb{N}\in |A|$인 것이다.

5. $\mathcal{P}(\mathbb{N})$은 비가산이다.

6. 유리수집합 $\mathbb{Q}$의 크기는 $|\mathbb{Q}| = \mathbb{N}$이다.

증명

1.

순서수 정리로 $\mathbb{N}$은 순서수이므로 어떤 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여 전단사함수 $f: n \to \mathbb{N}$가 존재한다고 가정하면

순서수 정리와 유한집합의 정의로 $\mathbb{N}$은 유한집합인데 자연수집합 정리로 $\mathbb{N}$은 무한집합이므로 모순이다.

따라서 $\mathbb{N}$은 기수이고 위 정리로 $|\mathbb{N}| = \mathbb{N}$이다.

2.

$A$가 가부번이면

가부번의 정의로 전단사함수 $f:\mathbb{N}\to A$가 존재하여 위 정리와 1번으로 $\mathbb{N}=|\mathbb{N}| =|A|$이다.

역으로 $|A| = \mathbb{N}$이면

1번으로 $|\mathbb{N}| = \mathbb{N} = |A|$이므로 위 정리로 전단사함수 $f:\mathbb{N}\to A$가 존재하여 가부번의 정의로 $A$는 가부번이다.

3.

$A$가 가산이면 유한집합이거나 가부번이므로 위 정리와 2번으로 $|A| \underline{\in} \mathbb{N}$이다.

역으로 $|A| \underline{\in} \mathbb{N}$이면 위 정리와 2번으로 유한집합이거나 가부번이므로 $A$는 가산이다.

4.

위 정리와 1번으로 $|A|,\mathbb{N}$이 기수임에 따라 순서수이고 가산이 아니면 비가산이므로

3번과 순서수 정리로 $A$가 비가산이기 위한 필요충분조건은 $A$의 크기가 $\mathbb{N}\in |A|$인 것이다.

5.

1번과 위 정리로 $\mathbb{N}=|\mathbb{N}|\in |\mathcal{P}(\mathbb{N})|$이므로 4번으로 $\mathcal{P}(\mathbb{N})$은 비가산이다.

6.

가부번 정리로 $\mathbb{Q}$는 가부번이므로 2번으로 $|\mathbb{Q}| = \mathbb{N}$이다.

 

 

 

정리8

임의의 기수 $\kappa,\lambda$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 순서수 $\theta$의 어떤 $\eta\in \theta$에 대해 전사함수 $f: \eta \to \theta$가 존재하면 $\theta$는 기수가 아니다.

2. $\kappa $ $\underline{\in}$ $ \lambda$이기 위한 필요충분조건은 단사함수 $g:\kappa\to \lambda$가 존재하는 것이다.

3. $\kappa\in \gamma$인 기수 $\gamma$가 존재한다.

증명

1.

$\theta$가 순서수이고 $\eta\in \theta$이므로 순서수 정리로 $\eta$는 순서수이다.

분류 공리로 집합 $S = \{\beta\in \eta: \text{ 모든 }\alpha \in \beta \text{ 에 대해 } f(\alpha) \ne f(\beta) \}$가 존재하고 $S\subseteq \eta$이므로

순서수의 정의와 정렬집합의 정의로 $(S,\underline{\in})$가 정렬집합임에 따라 모스토프스키 붕괴로 어떤 순서수 $\sigma$가 존재하고

$(S,\underline{\in})$에서 $(\sigma,\underline{\in})$로의 순서동형사상 $h:S\to \sigma$가 존재하여 순서수 정리로 $\sigma\underline{\in} \eta$이다.

축소함수 $f|_S:S\to \theta$에 대해 $\alpha \ne \beta$인 모든 $\alpha,\beta\in S$는 $\alpha,\beta\in \eta$이므로 순서수 정리로 순서수가 되어 

순서수 정리로 $\alpha\in \beta$ 또는 $\beta\in \alpha$임에 따라 $S$의 정의로 $f|_S(\alpha) = f(\alpha) \ne f(\beta) = f|_S(\beta)$이고 $f|_S$는 단사이다.

임의의 $\delta \in \theta$에 대해 모든 $\beta \in S$가 $f(\beta)\ne \delta$라고 가정하면 전사의 정의로 $f(\beta) = \delta$인 $\beta\in \eta$가 존재하여

집합 $S_0 = \{ \beta \in \eta: f(\beta) = \delta\}$은 공집합이 아니므로 $S_0 \subseteq \eta$임에 따라

순서수의 정의와 정렬집합의 정의로 최소원소 $\beta_0= \underset{(\eta,\underline{\in})}{\min} S_0$이 유일하게 존재하고 $\beta_0\in S_0\subseteq \eta$이다.

귀납적으로 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $f(\beta_k) = \delta$인 $\beta_k\in \eta$가 정의될때

$\beta_k\notin S$이므로 어떤 $\beta\in \beta_k$가 존재하여 $f(\beta)=f(\beta_k) = \delta$임에 따라

집합 $S_{k+1} = \{ \beta \in \beta_k : f(\beta) = \delta\}$은 공집합이 아니고 $S_{k+1} \subseteq \beta_k$이므로 $\beta_k$가 순서수 정리로 순서수임에 따라

순서수의 정의와 정렬집합의 정의로 최소원소 $\beta_{k+1}= \underset{(\beta_k,\underline{\in})}{\min} S_{k+1}$이 유일하게 존재하여 $\beta_{k+1}\in S_{k+1}\subseteq \beta_k \in \eta$이고

순서수의 정의와 추이적 집합의 정의로 $\beta_{k+1}\in \eta$이다.

귀납적으로 정의된 $\eta$의 수열 $(\beta_n)_{n=0}^\infty$은 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\beta_{n+1}\in \beta_n$이므로 집합 정리에 모순이 되어

모든 $\delta \in \theta$에 대해 $f|_S(\beta)=f(\beta)= \delta$인 $\beta\in S$가 존재함에 따라 $f|_S$는 전사이다.

순서동형사상의 정의로 $h$는 전단사이므로 역함수 정리로 $h$의 역함수 $h^{-1}:\sigma \to S$이 존재하고

$h^{-1}$이 전단사임에 따라 합성함수 정리로 $f|_S \circ h^{-1} : \sigma \to \theta$은 전단사이고

$\sigma \underline{\in}\eta\in \theta$이므로 순서수의 정의와 추이적 집합의 정의로 $\sigma\in \theta$임에 따라 기수의 정의로 $\theta$는 기수가 아니다.

2.

$\kappa\underline{\in}\lambda$이면 순서수 정리로 $\kappa\subseteq \lambda$이므로 모든 $\alpha \in \kappa$에 대해 $g(x) = \alpha \in \kappa\subseteq \lambda$인 함수 $g:\kappa\to \lambda$는 단사이다.

역으로 단사함수 $g:\kappa\to \lambda$가 존재하면 함수의 상 $S = \{ g(\alpha) : \alpha\in \kappa\}$에 대해

모든 $\alpha\in \kappa$가 $h(\alpha) = g(\alpha)\in S$인 함수 $h:\kappa\to S$는 함수 정리로 전단사이고 $S\subseteq \lambda$이므로

순서수의 정의와 정렬집합의 정의로 $(S,\underline{\in})$가 정렬집합임에 따라 모스토프스키 붕괴로 어떤 순서수 $\sigma$가 존재하여

$(S,\underline{\in})$에서 $(\sigma,\underline{\in})$로의 순서동형사상 $\phi :S\to \sigma$가 존재하고 순서수 정리로 $\sigma\underline{\in} \lambda$이다.

합성함수 정리로 $\phi \circ h : \kappa\to \sigma$는 전단사이므로 위 정리로 $|\kappa| = |\sigma|$가 되어

위 정리와 집합의 크기의 정의로 $\kappa = |\kappa| = |\sigma| \underline{\in} \sigma \underline{\in}\lambda$임에 따라 $\kappa\underline{\in} \lambda$이다.

3.

$\kappa$의 멱집합 $\mathcal{P}(\kappa)$에 대해 위 정리와 위 정리로 $\kappa = |\kappa|\in |\mathcal{P}(\kappa)|$이고 위 정리로 $|\mathcal{P}(\kappa)|$는 기수이다.

 

 

 

정의3

임의의 기수가 $\kappa$일때

따름기수(successor cardinal) :

모든 기수 $\gamma$에 대해 $\kappa\in \gamma$이면 $\lambda$ $\underline{\in}$ $ \gamma$이고 $\kappa\in \lambda$인 기수 $\lambda$를 $\kappa$의 따름기수 $\kappa\!+\!+ = \lambda$라고 정의한다.

극한기수(limit cardinal) :

$\kappa\ne \emptyset$이고 모든 기수 $\gamma$에 대해 $\kappa \ne \gamma\!+\!+$이면 $\kappa$를 극한기수로 정의한다.

 

 

 

정리9

임의의 기수 $\kappa, \sigma$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\kappa$의 따름기수 $\kappa\!+\!+$가 유일하게 존재한다.

2. $\kappa\in \kappa\!+\!+$

3. $\kappa$의 멱집합 $\mathcal{P}(\kappa)$의 크기 $|\mathcal{P}(\kappa)|$에 대해 $\kappa\!+\!+ \underline{\in} |\mathcal{P}(\kappa)|$이다.

4. $\kappa\in \sigma$이기 위한 필요충분조건은 $\kappa\!+\!+\in \sigma\!+\!+$인 것이다.

5. $\kappa= \sigma$이기 위한 필요충분조건은 $\kappa\!+\!+= \sigma\!+\!+$인 것이다.

6. $\kappa$가 극한기수이기 위한 필요충분조건은 $\kappa\ne \emptyset$이고 기수인 모든 $\beta \in \kappa$에 대해 $\beta\!+\!+\in \kappa$인 것이다.

증명

1.

$\kappa$의 따름기수가 $\lambda_1,\lambda_2$이면 따름기수의 정의로 $\kappa\in \lambda_1$과 $\kappa\in \lambda_2$이 성립하여 $\lambda_1\underline{\in} \lambda_2$와 $\lambda_2\underline{\in} \lambda_1$이 성립하고

기수는 순서수임에 따라 순서수 정리로 $\lambda_1\subseteq \lambda_2$와 $\lambda_2\subseteq \lambda_1$이 성립하므로

집합 정리로 $\lambda_1 = \lambda_2$가 되어 $\kappa$의 따름기수는 유일하다.

위 정리로 $\kappa\in \delta$인 기수 $\delta$가 존재하고 분류 공리로 집합 $S =\{ \alpha \in \delta\cup \{ \delta\} :  \kappa\in \alpha \text{ 이고 } \alpha \text{ 는 기수} \}$가 존재하여

$\delta\in \{ \delta\} \subseteq \delta\cup \{\delta\}$이므로 $S$는 공집합이 아니고 $S\subseteq \delta\cup \{ \delta\}$임에 따라

기수의 정의와 순서수 정리와 순서수의 정의와 정렬집합의 정의로 최소원소 $\lambda = \underset{(\delta\cup \{\delta\},\underline{\in})}{\min} S$가 존재하여

$\lambda \in S$이므로 $\kappa\in \lambda$이고 $\lambda$는 기수이다.

임의의 기수 $\gamma$에 대해 $\kappa\in \gamma$일때 순서수 정리로 $\delta \in \gamma$ 또는 $\gamma \underline{\in} \delta$이므로

$\delta\in \gamma$이면

순서수 정리로 $\delta\cup \{\delta\}\underline{\in} \gamma$이고 $\lambda\in \delta\cup \{ \delta\}\underline{\in} \gamma$가 되어 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\lambda\in \gamma$이다.

$\gamma \underline{\in} \delta$이면 $\gamma\underline{\in} \delta\in \delta\cup \{ \delta\}$이고 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\gamma\in \delta\cup \{\delta\}$이므로

$\gamma\in S$가 되어 최소원소 정리로 $\lambda \underline{\in} \gamma$임에 따라 $\kappa$의 따름기수 $\kappa\!+\!+ = \lambda$가 존재한다.

2.

따름기수의 정의로 $\kappa\in \kappa\!+\!+$이다.

3.

위 정리와 위 정리로 $\kappa = |\kappa|\in |\mathcal{P}(\kappa)|$이고 위 정리로 $|\mathcal{P}(\kappa)|$는 기수이므로 따름기수의 정의로 $\kappa\!+\!+ \underline{\in} |\mathcal{P}(\kappa)|$이다.

4.

$\kappa\in \sigma$이면 따름기수의 정의로 $\kappa\!+\!+\underline{\in} \sigma\in \sigma\!+\!+$이고

$\kappa\!+\!+, \sigma\!+\!+$는 기수이므로 순서수임에 따라 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\kappa\!+\!+\in \sigma\!+\!+$이다.

역으로 $\kappa\!+\!+\in \sigma\!+\!+$일때 $\sigma\underline{\in} \kappa$이면 $\sigma\!+\!+\underline{\in} \kappa\!+\!+$가 되어 순서수 정리에 모순이므로 $\kappa\in \sigma$이다.

5.

$\kappa= \sigma$이면 1번으로 $\kappa\!+\!+= \sigma\!+\!+$이다.

역으로 $\kappa\!+\!+= \sigma\!+\!+$일때 $\kappa\in \sigma$ 또는 $\sigma \in \kappa$라고 가정하면

4번으로 $\kappa\!+\!+\in \sigma\!+\!+$ 또는 $\sigma\!+\!+ \in \kappa\!+\!+$가 되어 순서수 정리에 모순이므로 $\kappa\!+\!+= \sigma\!+\!+$이면 $\kappa= \sigma$이다.

6.

$\kappa$가 극한기수이면 극한기수의 정의로 $\kappa\ne \emptyset$이고 기수인 모든 $\beta \in \kappa$에 대해 $\beta\!+\!+ \ne \kappa$이므로

$\kappa$가 기수이고 따름기수의 정의로 $\beta\!+\!+ \underline{\in}\kappa$임에 따라 $\beta\!+\!+ \in\kappa$이다.

역으로 $\kappa\ne \emptyset$이고 기수인 모든 $\beta \in \kappa$에 대해 $\beta\!+\!+\in \kappa$일때 $\gamma\!+\!+ = \kappa$인 기수 $\gamma$가 존재하면

따름기수의 정의로 $\gamma \in \gamma\!+\!+ = \kappa$이므로 $\gamma\!+\!+ \in \kappa =\gamma\!+\!+$가 되어 집합 정리에 모순임에 따라 $\kappa$는 극한기수이다.

 

 

 

정리10(칸토어[Cantor]-베른슈타인[Bernstein] 정리)

임의의 집합 $A,B$에 대해

단사함수 $f:A\to B$가 존재하고 단사함수 $g:B\to A$가 존재하면 전단사함수 $h:A\to B$가 존재한다.

증명

$A,B$의 크기 $|A|,|B|$에 대해 전단사함수 $\phi:A\to |A|$와 전단사함수 $\psi : B\to |B|$가 존재하므로

역함수 정리로 $\phi$의 역함수 $\phi^{-1}:|A|\to A$과 $\psi$의 역함수 $\psi^{-1} :|B|\to B$은 전단사이고

합성함수 정리로 $\psi \circ f \circ \phi^{-1}: |A|\to |B|$과 $\phi \circ g\circ \psi^{-1}:|B|\to |A|$이 단사임에 따라

위 정리와 위 정리로 $|A|\underline{\in} |B|$와 $|B|\underline{\in} |A|$가 성립하여

$|A| =|B|$이므로 위 정리로 전단사함수 $h:A\to B$가 존재한다.

 

 

 

정리11

임의의 집합 $A$의 모든 $\alpha\in A$가 기수일때 다음이 성립한다.

1. 합집합 $\displaystyle \bigcup A$는 기수이다.

2. $A\ne \emptyset$이고 $A\subseteq \displaystyle \bigcup A$이면 $\displaystyle \bigcup A$는 극한기수이다.

증명

1.

$\displaystyle \bigcup A \in A$이면 자명하게 $\displaystyle \bigcup A$는 기수이다.

$\displaystyle \bigcup A \notin A$이면 기수는 순서수이므로 순서수 정리로 $\displaystyle \bigcup A$는 순서수이고

모든 $\alpha\in A$에 대해 $\alpha\underline{\in}\displaystyle \bigcup A$가 되어 $\displaystyle \bigcup A \notin A$임에 따라 $\alpha\ne \displaystyle \bigcup A$이므로 $\alpha\in\displaystyle \bigcup A$이다.

어떤 $\kappa \in \displaystyle \bigcup A $가 존재하여 전단사함수 $f: \kappa \to \displaystyle \bigcup A$가 존재한다고 가정하면

합집합의 정의로 $\kappa\in \lambda$인 $\lambda\in A$가 존재하여 $\lambda \in\displaystyle \bigcup A$이고

함수의 역상 $S = \{ \alpha\in \kappa : f(\alpha)\in \lambda\}$에 대해 모든 $\alpha\in S$가 $g(\alpha) = f(\alpha)\in \lambda$인 함수 $g: S\to \lambda$는

추이적 집합 정리로 $\lambda \subseteq \displaystyle \bigcup A$임에 따라 모든 $\beta\in \lambda$에 대해 전사의 정의로 $f(\alpha) = \beta$인 $\alpha\in \kappa$가 존재하여

$\alpha \in S$이고 $g(\alpha) = f(\alpha) =\beta \in \lambda$이므로 $g$는 전사이다.

$S\subseteq \kappa$이므로 순서수의 정의와 정렬집합의 정의로 $(S,\underline{\in})$가 정렬집합임에 따라

모스토프스키 붕괴로 어떤 순서수 $\sigma$가 존재하여 $(S,\underline{\in})$에서 $(\sigma,\underline{\in})$로의 순서동형사상 $h:S\to \sigma$가 존재하고

순서수 정리로 $\sigma\underline{\in} \kappa$이므로 $\sigma\underline{\in} \kappa\in \lambda$가 되어 $\sigma \in \lambda$이다.

역함수 정리로 $h$의 역함수 $h^{-1}: \sigma \to S$은 전단사이므로 합성함수 정리로 $g \circ h^{-1} : \sigma\to \lambda$는 전사이고

$\sigma \in \lambda$임에 따라 위 정리로 $\lambda$는 기수가 아닌데 $\lambda\in A$임에 따라 기수이므로 모순이다.

따라서 기수의 정의로 $\displaystyle \bigcup A $는 기수이다.

2.

$A\ne \emptyset$이고 $A\subseteq \displaystyle \bigcup A$이므로 $\alpha\in A\subseteq \displaystyle \bigcup A$가 존재하여 $\displaystyle \bigcup A \ne \emptyset$이다.

기수인 모든 $\kappa\in \displaystyle \bigcup A$는 합집합의 정의로 $\kappa\in \alpha$인 $\alpha\in A$가 존재하여

$\alpha$는 기수이므로 따름기수의 정의로 $\kappa \!+\!+ \underline{\in} \alpha \in A \subseteq \displaystyle \bigcup A$이고

순서수 정리로 $\displaystyle \bigcup A$가 순서수임에 따라 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\kappa\!+\!+ \in \displaystyle \bigcup A$이다.

따라서 1번으로 $\displaystyle \bigcup A $는 기수이므로 위 정리로 $\displaystyle \bigcup A$는 극한기수다.

 

 

 

정리12

자연수집합 $\mathbb{N}$과 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $n$의 따름기수 $n\!+\!+$는 $n\!+\!+ = n+1 = n\cup \{ n\}$이다.

2. $\mathbb{N}$은 극한기수이다.

증명

순서수 정리로 $n,\mathbb{N}$은 순서수이다.

1.

순서수 덧셈 정리와 순서수 정리로 $n \in n\cup \{n\}=n+1 \in \mathbb{N}$이고 위 정리로 $n,n+1$은 기수이므로

따름기수의 정의로 $n\in n\!+\!+\underline{\in} n+1\in \mathbb{N}$이 되어 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $n\!+\!+\in \mathbb{N} $이다.

순서수 정리로 $n<n\!+\!+\le n+1$이므로 $n+1\le n\!+\!+\le n+1$이 되어 $n\!+\!+ = n+1 = n\cup \{ n\}$이다.

2.

$\mathbb{N}\ne \emptyset$이고 위 정리로 $\mathbb{N}$은 기수이므로

위 정리와 1번으로 모든 $m\in \mathbb{N}$이 기수이고 $m\!+\!+=m+1\in \mathbb{N}$임에 따라 위 정리로 $\mathbb{N}$은 극한기수이다.

 

 

 

정리16

자연수집합 $\mathbb{N}$과 임의의 기수 $\kappa$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\kappa$가 극한기수이면 $\mathbb{N}\subseteq \kappa$이다.

2. $\kappa$가 극한기수이면 $\mathbb{N}\underline{\in}\kappa$이다.

3. $\kappa$가 극한기수이면 $\kappa$는 무한집합이다.

4. $\kappa$가 무한집합이면 $\kappa$는 극한순서수이다.

5. 임의의 순서수 $\alpha$에 대해 $\alpha\cup \{ \alpha\}$가 기수이면 $\alpha\in \mathbb{N}$이다.

6. $\kappa$가 극한기수이기 위한 필요충분조건은 $\kappa\ne \emptyset$이고 집합 $A = \{ \lambda\in \kappa :\lambda \text{ 는 기수} \}$에 대해 $\kappa = \displaystyle \bigcup A$인 것이다.

7. $\kappa$가 극한기수이고 $\mathbb{N}\in \kappa$이면 집합 $B = \{ \lambda\in \kappa :\lambda \text{ 는 무한집합인 기수} \}$에 대해 $\kappa = \displaystyle \bigcup B$이다.

증명

1.

순서수 정리로 $\mathbb{N}$과 모든 $n\in \mathbb{N}$은 순서수이다.

$\kappa$가 극한기수일때 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $n\in \kappa$임을 귀납법으로 보인다.

$n = 0$이면 자연수의 정의로 $n= 0= \emptyset$이고 극한기수의 정의로 $\kappa\ne \emptyset$이므로

기수가 순서수임에 따라 순서수 정리로 $n=0=\emptyset \in \kappa$이다.

모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 $k\in \kappa$라고 가정하면 위 정리로 $k$가 기수임에 따라 위 정리와 위 정리로 $k+1=k\!+\!+ \in \kappa$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $n\in \kappa$이므로 $\mathbb{N}\subseteq \kappa$이다.

2.

1번과 순서수 정리로 $\mathbb{N}\underline{\in}\kappa$이다.

3.

1번과 자연수집합 정리와 무한집합 정리로 $\kappa$는 무한집합이다.

4.

기수는 순서수이므로 $\kappa$에 대한 초한 귀납법을 사용하여 증명한다.

임의의 순서수 $\sigma$가 무한집합인 기수일때 임의의 $\delta \in \sigma$가 무한집합인 기수이면 극한순서수라고 가정한다.

$\sigma$가 극한순서수가 아니라고 가정할때

무한집합의 정의로 $\sigma\ne \emptyset$이므로 $\sigma = \lambda\cup \{ \lambda\}$인 순서수 $\lambda$가 존재하여 $\lambda$가 유한집합이면

$\{ \lambda\}$가 유한집합임에 따라 유한집합 정리로 $\sigma= \lambda\cup \{ \lambda\}$가 유한집합이 되어 모순이므로 $\lambda$는 무한집합이다.

위 정리로 $|\lambda|\underline{\in} \lambda \in \sigma$이 되어 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $|\lambda|\in \sigma$이고

집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f:\lambda\to |\lambda|$가 존재하므로

$|\lambda|$가 유한집합이라고 가정하면 유한집합 정리로 $\lambda$가 유한집합이 되어 모순임에 따라

$|\lambda|$는 무한집합이고 위 정리로 $|\lambda|$가 기수이므로 귀납가정으로 $|\lambda|$는 극한순서수이다.

역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1} : |\lambda|\to \lambda$은 전단사이고 함수 $g:\lambda \cup \{ \lambda\}\to  \lambda$를 

극한순서수 정리와 자연수의 정의로 $\emptyset = 0\in |\lambda|$임에 따라 $g(\lambda) = f^{-1}(0)$으로 정의하고

모든 $\gamma\in \lambda$에 대해 $f(\gamma)\in |\lambda|$이므로 자연수 $0\cup \{ 0\} =1\in \mathbb{N}$에 대해 

극한순서수 정리와 순서수 정리로 $f(\gamma) +1\in |\lambda|$임에 따라 $g(\gamma) = f^{-1}(f(\gamma) + 1)$로 정의한다.

임의의 $\beta, \gamma\in \lambda \cup \{ \lambda\}$에 대해 $\beta\ne\gamma$일때

일반성을 잃지 않고 $\beta = \lambda$와 $\gamma \in \lambda$가 성립한다고 가정하면 $0\underline{\in}f(\gamma)$임에 따라

순서수 덧셈 정리로 $0 \in 0 +1 \underline{\in} f(\gamma) +1$이므로 $0\in f(\gamma) +1$이 되어 집합 정리로 $0\ne f(\gamma)+1$이고

단사 정리로 $g(\beta)=f^{-1}(0) \ne f^{-1}(f(\gamma)+1) = g(\gamma)$이다.

$\beta,\gamma\in \lambda$이면 단사 정리로 $f(\beta)\ne f(\gamma)$이므로 순서수 정리와 집합 정리로 $f(\beta)+1 \ne f(\gamma) +1$이 되어

단사 정리로 $g(\beta)=f^{-1}(f(\beta)+1) \ne f^{-1}(f(\gamma)+1) = g(\gamma)$임에 따라 $g$는 단사이다.

모든 $\gamma\in \lambda$에 대해 $h(\gamma) = \gamma\in \lambda \subseteq \lambda\cup \{\lambda\}$인 함수 $h:\lambda\to \lambda\cup \{ \lambda\}$가 단사임에 따라

위 정리로 $\lambda \in \sigma$에서 $\sigma= \lambda\cup \{ \lambda\}$로의 전단사함수가 존재하여 $\sigma$가 기수임에 모순이므로 $\sigma$는 극한순서수이다.

따라서 임의의 기수 $\kappa$가 무한집합이면 $\kappa$는 극한순서수이다.

5.

$\alpha\notin \mathbb{N}$라고 가정하면 순서수 정리로 $\mathbb{N}\underline{\in} \alpha$가 되어 $\mathbb{N}\underline{\in} \alpha\in \alpha\cup \{ \alpha\}$이고

순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\mathbb{N}\in \alpha\cup \{ \alpha\}$이므로 추이적집합 정리로 $\mathbb{N}\subseteq \alpha\cup \{ \alpha\}$임에 따라

자연수집합 정리와 무한집합 정리로 $\alpha\cup \{ \alpha\}$는 무한집합인 기수인데

4번으로 $\alpha\cup \{ \alpha\}$는 극한순서수이므로 모순이 되어 $\alpha\in \mathbb{N}$이다.

6.

$\kappa$가 극한기수이면 위 정리로 $\kappa\ne \emptyset$이고 기수인 모든 $\lambda\in \kappa$에 대해 $\lambda\!+\!+\in \kappa$이므로 $\lambda\!+\!+$가 기수임에 따라

$\lambda\!+\!+\in A$이고 위 정리로 $\lambda\in \lambda\!+\!+$이므로 합집합의 정의로 $\lambda\in \displaystyle \bigcup A$가 되어 $\kappa\subseteq \displaystyle \bigcup A$이다.

임의의 $\lambda\in \displaystyle \bigcup A$는 합집합의 정의로 $\lambda\in \sigma$인 $\sigma\in A$가 존재하여 

$\sigma\in \kappa$이므로 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\lambda\in \kappa$임에 따라 $\displaystyle \bigcup A \subseteq \kappa$이고 집합 정리로 $\kappa=\displaystyle \bigcup A$이다.

역으로 $\kappa\ne \emptyset$이고 $\kappa = \displaystyle \bigcup A$이면 기수인 모든 $\lambda\in \kappa = \displaystyle \bigcup A$에 대해

합집합의 정의로 $\lambda\in \sigma$인 $\sigma\in A$가 존재하여 $\sigma\in \kappa$이고 $\sigma$가 기수임에 따라 따름기수의 정의로 $\lambda\in \lambda\!+\!+ \underline{\in} \sigma$이므로

순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\lambda\!+\!+\in \kappa$가 되어 위 정리로 $\kappa$는 극한기수이다.

7.

$\kappa$가 극한기수이고 $\mathbb{N}\in \kappa$이면 6번으로 $\kappa = \displaystyle \bigcup A$이다.

임의의 $\lambda\in \kappa$는 합집합의 정의로 $\lambda\in \sigma$인 $\sigma\in A$가 존재하여

$\sigma$가 유한집합이면 순서수 정리로 $\sigma\in \mathbb{N}$이고 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\lambda\in \mathbb{N}$이므로

위 정리와 3번으로 $\mathbb{N}$이 무한집합인 기수임에 따라 $\mathbb{N}\in B$가 되어 합집합의 정의로 $\lambda\in \displaystyle \bigcup B$이다.

$\sigma$가 무한집합이면 $\sigma \in B$이므로 합집합의 정의로 $\lambda\in \displaystyle \bigcup B$가 되어 $\kappa\subseteq \displaystyle \bigcup B$이다.

따라서 $B\subseteq A$이므로 합집합의 정의로 $\displaystyle \bigcup B \subseteq \bigcup A = \kappa$가 되어 집합 정리로 $\kappa=\displaystyle  \bigcup B$이다.

 

 

 

정의4

임의의 순서수 $\beta$의 모든 $\alpha\in \beta$에 대해 $\aleph_\alpha$가 정의되면

$\beta =\emptyset$일때 자연수집합 $\mathbb{N}$을 $\aleph_\beta = \mathbb{N}$로 정의하고

$\beta\ne \emptyset$일때 모든 기수 $\lambda$가 모든 $\alpha\in \beta$에 대해 $\aleph_\alpha \in \lambda$이면

$\kappa\underline{\in} \lambda$이고 모든 $\alpha\in \beta$에 대해 $\aleph_\alpha \in \kappa$인 기수 $\kappa$를 $\aleph_\beta = \kappa$로 정의한다.

모든 순서수 $\gamma$에 대해 $\aleph_\gamma$를 $\gamma$의 알레프수(aleph number)라고 정의한다.

 

 

 

정리13

임의의 순서수 $\gamma,\delta$의 알레프수 $\aleph_\gamma,\aleph_\delta$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\gamma$에 대해 $\aleph_\gamma$가 유일하게 존재한다.

2. $\aleph_\gamma$는 기수이다.

3. $\gamma\in \delta$이기 위한 필요충분조건은 $\aleph_\gamma\in \aleph_\delta$인 것이다.

4. $\gamma= \delta$이기 위한 필요충분조건은 $\aleph_\gamma= \aleph_\delta$인 것이다.

5. $\aleph_\gamma$는 무한집합이다.

6. $\aleph_\gamma$는 극한순서수이다.

7. $\gamma \underline{\in} \aleph_\gamma$

증명

1, 2

$\gamma$에 대한 초한 귀납법을 사용하여 증명한다.

임의의 순서수 $\beta$에 대해 모든 $\alpha\in \beta$의 알레프수 $\aleph_\alpha$가 유일하게 존재하고 기수일때

$\beta = \emptyset$이면

자연수집합 정리로 자연수집합 $\mathbb{N}$이 유일하게 존재하고 위 정리로 기수이므로 $\aleph_\beta = \mathbb{N}$는 유일하게 존재하고 기수이다.

$\beta \ne \emptyset$이면 귀납가정으로 모든 $\alpha\in \beta$에 대해 $\aleph_\alpha$가 유일하게 존재하고 기수임에 따라

위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{\alpha\in \beta}\aleph_\alpha$는 기수이고 위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{\alpha\in \beta}\aleph_\alpha \in \sigma$인 기수 $\sigma$가 존재하여

순서수 정리와 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\aleph_\alpha\in \sigma$이다.

분류 공리로 집합 $S = \{ \eta\in \sigma \cup \{ \sigma\} : \text{ 모든 } \alpha\in \beta \text{ 에 대해 } \aleph_\alpha\in \eta\text{ 이고 } \eta\text{ 는 기수}\}$가 존재하여

$\sigma \in S$이므로 $S$는 공집합이 아니고 $S\subseteq \sigma\cup \{ \sigma\}$임에 따라

순서수 정리와 순서수의 정의와 정렬집합의 정의로 최소원소 $\kappa = \underset{(\sigma\cup \{\sigma\},\underline{\in})}{\min} S$가 존재한다.

임의의 기수 $\lambda$가 모든 $\alpha\in \beta$에 대해 $\aleph_\alpha \in \lambda$일때 순서수 정리로 $\sigma \in \lambda$ 또는 $\lambda \underline{\in} \sigma$이므로

$\sigma \in \lambda$이면

순서수 정리로 $\sigma\cup \{\sigma\}\underline{\in} \lambda$이고 $\kappa\in \sigma\cup \{ \sigma\}\underline{\in} \lambda$가 되어 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\kappa\in \lambda$이다.

$\lambda\underline{\in} \sigma$이면 $\lambda\underline{\in} \sigma\in \sigma\cup \{ \sigma\}$임에 따라 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\lambda\in \sigma\cup \{\sigma\}$이고

$\lambda\in S$이므로 최소원소 정리로 $\kappa\underline{\in} \lambda$가 되어 $\beta$의 알레프수 $\aleph_\beta=\kappa$가 존재한다.

또 $\beta$의 알레프수가 $\kappa_1,\kappa_2$이면 모든 $\alpha\in \beta$에 대해 $\aleph_\alpha \in \kappa_1$이고 $\aleph_\alpha \in \kappa_2$이므로

알레프수의 정의로 $\kappa_1\underline{\in}\kappa_2$와 $\kappa_2\underline{\in}\kappa_1$이 성립하여 $\kappa_1=\kappa_2$임에 따라 $\beta$의 알레프수는 유일하다.

따라서 모든 순서수 $\gamma$에 대해 $\aleph_\gamma$는 유일하게 존재하고 기수이다.

3.

$\gamma\in \delta$이면 알레프수의 정의로 $\aleph_\gamma\in \aleph_\delta$이다.

역으로 $\aleph_\gamma\in \aleph_\delta$일때 $\delta\underline{\in} \gamma$라고 가정하면 $\aleph_\gamma\in \aleph_\delta \underline{\in} \aleph_\gamma$가 되어 순서수 정리에 모순이므로 $\aleph_\gamma\in \aleph_\delta$이면 $\gamma\in \delta$이다.

4.

$\gamma= \delta$이면 1번으로 $\aleph_\gamma= \aleph_\delta$이다.

역으로 $\aleph_\gamma= \aleph_\delta$일때 $\gamma\in \delta$ 또는 $\delta\in \gamma$라고 가정하면

3번으로 $\aleph_\gamma\in \aleph_\delta$ 또는 $\aleph_\delta \in \aleph_\gamma$가 되어 순서수 정리에 모순이므로 $\aleph_\gamma= \aleph_\delta$이면 $\gamma= \delta$이다.

5.

$\emptyset\underline{\in} \gamma$이므로 알레프수의 정의와 3번으로 $\mathbb{N}=\aleph_\emptyset \underline{\in} \aleph_\gamma$가 되어

순서수 정리로 $\mathbb{N}\subseteq \aleph_\gamma$임에 따라 자연수집합 정리와 무한집합 정리로 $\aleph_\gamma$는 무한집합이다.

6.

2, 5번으로 $ \aleph_\gamma$는 무한집합인 기수이므로 위 정리로 $ \aleph_\gamma$는 극한순서수이다.

7.

$\gamma$에 대한 초한 귀납법을 사용하여 증명한다.

임의의 순서수 $\beta$에 대해 모든 $\alpha\in \beta$가 $\alpha \underline{\in} \aleph_\alpha$일때

$\beta= \emptyset$이면 자연수집합의 정의와 알레프수의 정의로 $\emptyset\in \mathbb{N} = \aleph_\beta$이다.

$\beta = \alpha \cup \{ \alpha\}$인 순서수 $\alpha$가 존재하면 $\alpha\in \alpha \cup \{\alpha\} = \beta$이므로 $\alpha \underline{\in} \aleph_{\alpha} \in \aleph_\beta$가 되어

순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\alpha \in \aleph_\beta$임에 따라 순서수 정리로 $\beta =\alpha \cup \{ \alpha\} \underline{\in} \aleph_\beta$이다.

$\beta$가 극한순서수이면 모든 $\alpha\in \beta$에 대해 귀납가정과 알레프수의 정의로 $\alpha\underline{\in} \aleph_\alpha \in \aleph_\beta$이므로

순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\alpha \in \aleph_\beta$가 되어 극한순서수 정리와 순서수 정리로 $\beta= \displaystyle \bigcup_{\alpha\in \beta}\alpha \underline{\in} \aleph_\beta$이다.

따라서 모든 순서수 $\gamma$에 대해 $\gamma \underline{\in} \aleph_\gamma$이다.

 

 

 

정리14

임의의 순서수 $\gamma$의 알레프수 $\aleph_\gamma$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\aleph_\gamma$의 따름기수는 $\aleph_{\gamma\cup \{ \gamma\}} = \aleph_\gamma \!+\!+$이다.

2. $\gamma$가 극한순서수이면 $\aleph_\gamma = \displaystyle \bigcup_{\beta\in \gamma}\aleph_\beta$이다.

3. $\aleph_\gamma$가 극한기수이기 위한 필요충분조건은 $\gamma =\emptyset$이거나 $\gamma$가 극한순서수인 것이다.

4. $\aleph_\gamma$가 따름기수이기 위한 필요충분조건은 $\gamma$가 따름순서수인 것이다.

5. 임의의 기수 $\kappa$가 무한집합이면 $\beta\underline{\in} \kappa$인 어떤 순서수 $\beta$가 유일하게 존재하여 $\beta$의 알레프수는 $\kappa =\aleph_\beta$이다.

6. 임의의 기수 $\kappa$가 무한집합이기 위한 필요충분조건은 자연수집합 $\mathbb{N}$에 대해 $\mathbb{N}\underline{\in} \kappa$인 것이다.

증명

1.

순서수 정리로 $\gamma\cup \{\gamma\}$는 순서수이고 $\gamma \in \gamma\cup \{\gamma\}$이므로 위 정리로 $\aleph_\gamma \in \aleph_{\gamma\cup \{\gamma\}}$가 되어

$\aleph_{\gamma\cup \{\gamma\}}$가 기수임에 따라 따름기수의 정의로 $\aleph_\gamma \in \aleph_\gamma \!+\!+ \underline{\in} \aleph_{\gamma \cup \{\gamma\}}$이다.

모든 $\beta \in \gamma\cup \{\gamma\}$는 $\beta\underline{\in} \gamma$이므로 $\aleph_\beta \underline{\in} \aleph_\gamma\in \aleph_\gamma\!+\!+ $가 되어

순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\aleph_\beta\in \aleph_\gamma\!+\!+ $이고

$\aleph_\gamma\!+\!+$가 기수임에 따라 알레프수의 정의로 $\aleph_{\gamma\cup \{ \gamma\}} \underline{\in} \aleph_\gamma\!+\!+$이므로 $\aleph_{\gamma\cup \{\gamma\}} = \aleph_\gamma\!+\!+$이다.

2.

모든 $\beta\in \gamma$에 대해 위 정리로 $\aleph_\beta \in \aleph_\gamma$이므로 순서수 정리로 $\displaystyle \bigcup_{\beta\in \gamma}\aleph_\beta \underline{\in}\aleph_\gamma$이고

모든 $\alpha \in \gamma$에 대해 극한순서수 정리로 $\alpha\in \alpha\cup \{\alpha\}\in \gamma$이므로

위 정리와 순서수 정리로 $\aleph_\alpha \in \aleph_{\alpha\cup \{\alpha\}} \underline{\in}\displaystyle \bigcup_{\beta\in \gamma}\aleph_\beta$가 되어 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\aleph_\alpha \in \displaystyle \bigcup_{\beta\in \gamma}\aleph_\beta$이고

위 정리로 $\displaystyle \bigcup_{\beta\in \gamma}\aleph_\beta$가 기수임에 따라 알레프수의 정의로 $\aleph_\gamma \underline{\in} \displaystyle \bigcup_{\beta\in\gamma}\aleph_\beta$이므로 $\aleph_\gamma = \displaystyle \bigcup_{\beta\in \gamma}\aleph_\beta$이다.

3.

$\aleph_\gamma$가 극한기수일때 $\gamma = \beta\cup \{ \beta\}$인 순서수 $\beta$가 존재하면

1번으로 $\aleph_\gamma = \aleph_{\beta\cup \{ \beta\}} = \aleph_\beta\!+\!+$가 되어 모순임에 따라 $\aleph_\gamma$가 극한기수이면 $\gamma = \emptyset$이거나 $\gamma$는 극한순서수이다.

역으로 $\gamma = \emptyset$이거나 $\gamma$가 극한순서수일때 $\gamma = \emptyset$이면 위 정리와 알레프수의 정의로 $\aleph_\gamma =\mathbb{N}$는 극한기수이고

$\gamma$가 극한순서수이면 위 정리로 모든 $\beta\in \gamma$에 대해 $\aleph_\beta \in \aleph_\gamma$이고 2번으로 $\aleph_\gamma = \displaystyle \bigcup_{\beta\in \gamma}\aleph_\beta$이므로

집합 $A = \{\aleph_\beta : \beta\in \gamma \}$에 대해 $A \subseteq\aleph_\gamma = \displaystyle \bigcup_{\beta\in \gamma}\aleph_\beta = \bigcup A$이고 극한순서수의 정의로 $\gamma\ne \emptyset$임에 따라

순서수 정리로 $\emptyset\in \gamma$가 되어 $\aleph_\emptyset\in A$이고 $A\ne \emptyset$이므로 위 정리로 $\aleph_\gamma = \displaystyle \bigcup_{\beta\in \gamma}\aleph_\beta = \bigcup A$는 극한기수이다.

4.

$\aleph_\gamma$가 따름기수일때 $\gamma =\emptyset$이거나 $\gamma$가 극한순서수이면

3번으로 $\aleph_\gamma$는 극한기수가 되어 모순이므로 $\aleph_\gamma$가 따름기수이면 $\gamma$는 따름순서수이다.

역으로 $\gamma$가 따름순서수이면 1번으로 $\aleph_\gamma$는 따름기수이다.

5.

$\aleph_{\beta_1} = \kappa = \aleph_{\beta_2}$인 순서수 $\beta_1,\beta_2$가 존재하면 위 정리로 $\beta_1= \beta_2$이다.

기수는 순서수이므로 $\kappa$에 대한 초한 귀납법을 사용하여 존재성을 증명한다.

임의의 순서수 $\sigma$가 무한집합인 기수일때

임의의 $\lambda \in \sigma$가 무한집합인 기수이면 $\alpha\underline{\in} \lambda$인 순서수 $\alpha$가 존재하여 $\lambda = \aleph_\alpha$라고 가정한다.

$\sigma$는 무한집합이므로 $\sigma\ne \emptyset$이 되어 따름기수이거나 극한기수이다.

$\sigma = \lambda\!+\!+$인 기수 $\lambda$가 존재할때 $\lambda$가 유한집합이라고 가정하면

순서수 정리로 $\lambda\in \mathbb{N}$이 되어 위 정리로 $\sigma = \lambda\!+\!+ \in \mathbb{N}$인데 순서수 정리로 $\sigma$가 유한집합임에 따라 모순이다.

$\lambda$는 무한집합이고 위 정리로 $\lambda\in \lambda\!+\!+ = \sigma$이므로 귀납가정으로 $\alpha\underline{\in} \lambda$인 순서수 $\alpha$가 존재하여

$\lambda = \aleph_\alpha$임에 따라 1번으로 $\aleph_{\alpha\cup \{\alpha\}} =\aleph_\alpha\!+\!+ =\lambda\!+\!+ = \sigma$이고 

순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\alpha\in \sigma$이므로 순서수 정리로 순서수 $\alpha\cup \{\alpha\}$에 대해 $\alpha\cup \{ \alpha \}\underline{\in} \sigma$이다.

$\sigma$가 극한기수일때 위 정리와 위 정리로 자연수집합 $\mathbb{N}$은 극한기수이고 $\mathbb{N}\underline{\in} \sigma$이므로

$\sigma = \mathbb{N}$이면 자연수의 정의로 $\emptyset = 0\in \mathbb{N} =\sigma$이고 알레프수의 정의로 $\sigma = \mathbb{N} = \aleph_0$이다.

$\mathbb{N}\in \sigma$이면

위 정리와 치환 공리로 집합 $A = \{ \alpha : \aleph_\alpha \in \sigma \text{ 인 순서수 }\alpha \}$가 존재하여 순서수 정리로 $\beta = \displaystyle \bigcup A$는 순서수이고

위 정리와 1번으로 $0\cup \{ 0\}=1\in \mathbb{N} $에 대해 $\aleph_1 =\aleph_0\!+\!+ = \mathbb{N}\!+\!+ \in \sigma$이므로 $1\in A$이 되어

$0\in 1$이고 합집합의 정의로 $0\in \beta$임에 따라 $\beta\ne \emptyset$이다.

임의의 $x \in \beta$는 $x\in \alpha$인 $\alpha\in A$가 존재하여 $\aleph_\alpha \in \sigma$이고 순서수 정리로 $x\cup \{ x\}\underline{\in} \alpha \in \alpha\cup \{ \alpha\}$이므로

순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $x\cup \{ x\}\in \alpha\cup \{ \alpha\}$가 되어 위 정리와 1번으로 $\aleph_{\alpha\cup \{\alpha\}} =\aleph_\alpha \!+\!+ \in \sigma$이고

$\alpha\cup \{ \alpha\}\in A$임에 따라 합집합의 정의로 $x\cup \{ x\} \in \beta$이므로 극한순서수 정리로 $\beta$는 극한순서수이다.

모든 $x\in \beta$는 $x\in \alpha$인 $\alpha\in A$가 존재하여 위 정리로 $x\in \alpha\underline{\in} \aleph_\alpha \in \sigma$이므로

순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $x\in \sigma$가 되어 $\beta\subseteq \sigma$임에 따라 순서수 정리로 $\beta\underline{\in} \sigma$이고

위 정리로 $\aleph_x \in  \aleph_\alpha \in \sigma$이므로 순서수의 정의와 추의적 집합의 정의로 $\aleph_x \in \sigma$가 되어

순서수 정리로 $\displaystyle \bigcup_{x \in \beta }\aleph_x \underline{\in} \sigma$임에 따라 순서수 정리로 $\displaystyle \bigcup_{x \in \beta }\aleph_x \subseteq \sigma$이다.

위 정리로 집합 $B = \{ \lambda\in \sigma : \lambda \text{ 는 무한집합인 기수}\}$에 대해 $\sigma = \displaystyle \bigcup B$이고

임의의 $y\in \sigma$는 $y\in \lambda$인 $\lambda\in B$가 존재하여 귀납가정으로 $\alpha\underline{\in} \lambda$인 순서수 $\alpha$가 존재하고 $\aleph_\alpha =\lambda \in \sigma$이므로

위 정리와 위 정리와 1번으로 $y \in \lambda =\aleph_\alpha \in \aleph_{\alpha\cup \{ \alpha\}}=\aleph_\alpha\!+\!+ \in \sigma$가 되어

$\alpha\in \alpha\cup \{ \alpha\} \in A$이고 합집합의 정의로 $\alpha \in \displaystyle \bigcup A =\beta$임에 따라 $y \in \aleph_\alpha \subseteq \displaystyle \bigcup_{x \in \beta }\aleph_x $이므로

$\sigma \subseteq \displaystyle \bigcup_{x \in \beta }\aleph_x$가 되어 집합 정리와 2번으로 $\sigma = \displaystyle  \bigcup_{x\in \beta}\aleph_x = \aleph_\beta$이다.

따라서 임의의 기수 $\kappa$가 무한집합이면 $\beta\underline{\in} \kappa$인 어떤 순서수 $\beta$가 유일하게 존재하여 $\kappa =\aleph_\beta$이다.

6.

$\kappa$가 무한집합이면

5번으로 $\beta\underline{\in} \kappa$인 어떤 순서수 $\beta$에 대해 $\kappa =\aleph_\beta$이고 알레프수의 정의로 $\mathbb{N} = \aleph_\emptyset$이므로 

$\emptyset\underline{\in}\beta$임에 따라 위 정리로 $\mathbb{N} = \aleph_\emptyset \underline{\in}\aleph_\beta =\kappa$이다.

역으로 $\mathbb{N}  \underline{\in}\kappa$이면 위 정리와 위 정리와 비가산의 정의와 가부번 정리로 $\kappa$는 무한집합이다.

 

 

 

정리15

임의의 집합 $A$에 대해

$A$가 무한집합이기 위한 필요충분조건은 $A$의 크기가 어떤 순서수 $\beta$의 알레프수에 대해 $|A| = \aleph_\beta$인 것이다.

증명

$A$가 무한집합일때 집합의 크기의 정의로 전단사함수 $f : A\to |A|$가 존재하므로

$|A|$가 유한집합이라고 가정하면 유한집합 정리로 $A$가 유한집합이 되어 모순임에 따라 $|A|$는 무한집합이고

위 정리로 $|A|$는 기수이므로 위 정리로 $|A| = \aleph_\beta$인 순서수 $\beta$가 존재한다.

역으로 어떤 순서수 $\beta$에 대해 $|A| = \aleph_\beta$이면 $\emptyset\underline{\in} \beta$이므로 위 정리와 알레프수의 정의로 $\mathbb{N} = \aleph_\emptyset\underline{\in} \aleph_\beta = |A|$가 되어

위 정리와 비가산의 정의와 가부번 정리로 $A$는 무한집합이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/104#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/104#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Ernest Schimmerling - A Course on Set Theory - 9781107400481

You-Feng Lin - Set Theory : An Intuitive Approach - 9788961053778