수학/벡터해석학

• 음함수 정리(Implicit function theorem)

  수학/벡터해석학 2025. 3. 27. 23:17

  정리1실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 $n\in\mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(F^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고임의의 $p \in $ $[1,\infty]$에 대한 $n $차원 민코프스키 거리공간이 $(F^n,d_p)$이면임의의 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)\in F^n$에 대해 $\lVert x \rVert_p = d_p(x,\vec{0}_n)$인 함수 $\lVert \cdot \rVert_p:F^n\to [0,\infty)$가 노름인$(F^n,\lVert\cdot\rVert_p)$는 $(F^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 노름공간이다.증명임의의 $x=(x_1,x_2,\cdots,x_n) ,y = (y_1,y_2,..

• 다변수함수의 극값

  수학/벡터해석학 2024. 12. 2. 14:14

  정의1실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$이고모든 $x,y\in \mathbb{R}^n$에 대해 $d_n(x,y) = \lVert x-y\rVert_n$인 거리함수가 $d_n : \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to [0,\infty)$이고거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 $U\subseteq \mathbb{R}^n$가..

• 다변수함수의 연속미분

  수학/벡터해석학 2024. 10. 16. 11:41

  정의1실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때모든 $x,y\in \mathbb{R}^n$에 대해 $d_n(x,y) = \lVert x..

• 다변수함수의 성질

  수학/벡터해석학 2024. 10. 1. 22:27

  정리1거리공간이 $(X,d_X)$, $(Y,d_Y)$이고 거리공간 $(X,d_X)$에서 임의의 $E\subseteq X$의 집적점이 $x_0 \in \underset{(X,d_X)}{E'}$이고어떤 $L \in Y$에 대해 모든 $x\in E$가 $f(x) = L$인 함수가 $f:E\to Y$일때$(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $x_0$에서 $f$의 극한은 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d_X,d_Y} f(x) = L$이다.증명모든 $\epsilon >0$에 대해 $0거리공간의 정의로 $d_Y(f(x),L) = d_Y(L,L)  = 0 함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d_X,d_Y} f(x) = L$이다.    ..

• 다변수함수의 미분, 방향미분, 편미분

  수학/벡터해석학 2024. 9. 26. 14:43

  정리1정의역이 집합 $A \subseteq \mathbb{R}$인 함수가 $f: A\to \mathbb{R}$일때 임의의 실수 $L\in \mathbb{R}$과 $A$의 집적점 $c\in A$에 대해$f$가 $c$에서 미분가능하고 $f'(c) = L$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to c}$ $\dfrac{|f(x) - f(c) - L\cdot (x-c)|}{|x-c|} = 0$인 것이다.증명$f'(c) = L$이면 미분의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해$0 0$이 존재하여 절댓값 정리로 $\begin{align*} \left |\frac{|f(x)-f(c) - L\cdot (x-c)|}{|x-c|} - 0 \right | &= \frac{|f(x)-f(..