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다변수함수의 미분, 방향미분, 편미분수학/벡터해석학 2024. 9. 26. 14:43반응형
정리1
정의역이 집합 $A \subseteq \mathbb{R}$인 함수가 $f: A\to \mathbb{R}$일때 임의의 실수 $L\in \mathbb{R}$과 $A$의 집적점 $c\in A$에 대해
$f$가 $c$에서 미분가능하고 $f'(c) = L$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to c}$ $\dfrac{|f(x) - f(c) - L\cdot (x-c)|}{|x-c|} = 0$인 것이다.
증명
$f'(c) = L$이면 미분의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해
$0<|x-c|<\delta(\epsilon)$인 모든 $x\in A$가 $\begin{align*} \left| \frac{f(x) -f(c)}{x-c} - L \right | < \epsilon \end{align*}$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하여 절댓값 정리로
$\begin{align*} \left |\frac{|f(x)-f(c) - L\cdot (x-c)|}{|x-c|} - 0 \right | &= \frac{|f(x)-f(c) - L\cdot (x-c)|}{|x-c|} - 0 \\[0.5em]&= \frac{|f(x) - f(c) - L\cdot (x-c)|}{|x-c|} \\[0.5em] & = \left | \frac{f(x) - f(c) - L\cdot (x- c)}{ x-c} \right | \\[0.5em]&= \left| \frac{f(x) -f(c)}{x-c} - L \right | \\[0.5em] & < \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$
함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{|f(x) - f(c) - L\cdot (x-c)|}{|x-c|} = 0$이다.
역도 비슷하게 성립한다.
정의1
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환 $L: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$과
모든 $x,y\in \mathbb{R}^n$에 대해 $d_n(x,y) = \lVert x-y\rVert_n$인 거리함수 $d_n : \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n \to [0,\infty)$과
모든 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $d_1(a,b) = |a-b|$인 거리함수 $d_1 :\mathbb{R}\times \mathbb{R} \to [0,\infty)$에 대해
거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 집적점 $x_0\in E$에서 함수의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d_n,d_1} \frac{\lVert f(x) - f(x_0) - L(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} = 0$이면
선형변환 $L$을 $x_0$에서 $f$의 도함수라 하고 $f$는 $x_0$에서 미분가능하다고 한다.
$x_0\in E$이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점일때 거리공간 정리로 $x_0$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 집적점이므로
$f$가 $x_0$에서 미분가능하면 $f$는 $x_0$에서 전미분(total derivative)가능하다고 하고
$x_0$에서 $f$의 도함수 $L:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$를 $Df(x_0) = L$로 정의한다.
또 $U \subseteq E$가 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합일때 $f$가 모든 $x_0\in U$에서 미분가능하면 $f$가 $U$에서 미분가능하다고 정의한다.
정리2
정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$에 대해
$f$가 $x_0$에서 미분가능하면 $x_0$에서 $f$의 도함수는 유일하다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
$x_0$에서 $f$가 미분가능하고 $L_1\ne L_2$인 $f$의 도함수 $L_1,L_2:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$가 존재한다고 가정하면
$L_1(v) \ne L_2(v)$인 $v\in \mathbb{R}^n$가 존재하여 선형변환 정리로 $L_1(\vec{0}_n) = \vec{0}_m = L_2(\vec{0}_n)$이므로 $v \ne \vec{0}_n$이다.
노름정리로 $\lVert L_1(v) - L_2(v)\rVert_m\ne 0$이고 $\lVert v\rVert_n\ne 0$이므로
미분의 정의와 함수의 극한의 정의로 $0<\lVert x-x_0\rVert_n <\delta$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - L_1(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} < \dfrac{\lVert L_1(v) - L_2(v)\rVert_m}{2\cdot \lVert v \rVert_n}$과
$\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - L_2(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} < \dfrac{\lVert L_1(v) - L_2(v)\rVert_m}{2\cdot \lVert v \rVert_n}$이 성립하는 $\delta > 0$가 존재하고
내부점의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,r)\subseteq E$인 $r> 0$이 존재하여 $t = \dfrac{\min \{ r, \delta\}}{2\cdot \lVert v\rVert_n}> 0$에 대해
$0< |t|\cdot \lVert v\rVert_n = t \cdot \lVert v\rVert_n = \dfrac{\min\{ r,\delta\}}{2\cdot \lVert v\rVert_n} \cdot \lVert v\rVert_n = \dfrac{\min\{r,\delta\}}{2}< \min \{ r,\delta\}$이고
노름의 정의로 $ |t|\cdot \lVert v\rVert_n=\lVert t\cdot_n v\rVert_n = \lVert x_0+_n t\cdot_n v - x_0\rVert_n$임에 따라 $x_0+_n t\cdot_n v \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,r)\subseteq E$이므로
$\begin{align*}\frac{\lVert L_1(v) - L_2(v)\rVert_m}{\lVert v\rVert_n} & =\frac{|t|\cdot \lVert L_1(v) - L_2(v)\rVert_m}{|t| \cdot \lVert v\rVert_n} \\[0.5em] & =\frac{ \lVert t\cdot_m (L_1(v) - L_2(v))\rVert_m}{\lVert t\cdot_n v\rVert_n} \\[0.5em] & =\frac{ \lVert L_1(t\cdot_n v) - L_2(t\cdot_n v) \rVert_m}{\lVert t\cdot_n v\rVert_n} \\[0.5em] & =\frac{ \lVert L_1(x_0 +_n t\cdot_n v - x_0) - L_2(x_0 +_n t\cdot_n v - x_0) \rVert_m}{\lVert x_0 +_n t\cdot_n v - x_0\rVert_n} \\[0.5em] & =\frac{ \lVert f(x_0 +_n t\cdot_n v) -f(x_0) +_m L_1(x_0 +_n t\cdot_n v - x_0) - ( f(x_0 +_n t\cdot_n v) -f(x_0) +_m L_2(x_0 +_n t\cdot_n v - x_0)) \rVert_m}{\lVert x_0 +_n t\cdot_n v - x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \frac{ \lVert f(x_0 +_n t\cdot_n v) -f(x_0) +_m L_1(x_0 +_n t\cdot_n v - x_0) \rVert_m}{\lVert x_0 +_n t\cdot_n v - x_0\rVert_n} + \frac{ \lVert f(x_0 +_n t\cdot_n v) -f(x_0) +_m L_2(x_0 +_n t\cdot_n v - x_0) \rVert_m}{\lVert x_0 +_n t\cdot_n v - x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \lt \frac{\lVert L_1(v) - L_2(v)\rVert_m}{2\cdot \lVert v \rVert_n} +\frac{\lVert L_1(v) - L_2(v)\rVert_m}{2\cdot \lVert v \rVert_n} = \frac{\lVert L_1(v) - L_2(v)\rVert_m}{ \lVert v \rVert_n} \text{ 이 되어 모순이다.} \end{align*}$
따라서 $x_0$에서 $f$가 미분가능하면 $x_0$에서 $f$의 도함수는 유일하다.
정리4
정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 $f_1,f_2,\cdots, f_m : E\to \mathbb{R}$이
모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))\in \mathbb{R}^m$일때
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$에 대해
$f$가 $x_0$에서 미분가능하기 위한 필요충분조건은 $f_1,f_2,\cdots, f_m$이 $x_0$에서 미분가능한 것이다.
이때 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$과 $Df_1(x_0),Df_2(x_0),\cdots, Df_m(x_0) : \mathbb{R}^n \to\mathbb{R}$은
모든 $v \in \mathbb{R}^n$에 대해 $Df(x_0)(v) = (Df_1(x_0)(v),Df_2(x_0)(v),\cdots, Df_m(x_0)(v))$가 성립한다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
$f$가 $x_0$에서 미분가능할때 $f$의 도함수가 $L : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$이면
선형변환 정리로 모든 $v \in \mathbb{R}^n$에 대해 $L(v) = (L_1(v),L_2(v),\cdots, L_m(v))\in \mathbb{R}^m$인
함수 $L_1,L_2,\cdots,L_m : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$은 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R},+_1,\cdot_1,0)$으로의 선형변환이고
임의의 $i= 1,2,\cdots, m$와 임의의 $x\in E$에 대해
$\begin{align*}\lVert f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0)\rVert_1 & = \sqrt{(f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0))^2} \\[0.5em] & \le \sqrt{\sum_{i= 1}^m (f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0))^2} = \lVert f(x) - f(x_0) - L(x- x_0)\rVert_m \text{ 이므로} \end{align*}$
$0< \lVert x-x_0\rVert_n$이면 $\begin{align*} \frac{\lVert f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0)\rVert_1}{\lVert x- x_0\rVert_n} \le \frac{ \lVert f(x) - f(x_0) - L(x- x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \end{align*}$이 되어
함수의 극한의 정의로 $f_1,f_2,\cdots, f_m$은 $x_0$에서 미분가능하고 $L_1,L_2,\cdots,L_m$은 $f_1,f_2,\cdots, f_m$의 도함수임에 따라
$Df(x_0)(v) = L(v) = (L_1(v),L_2(v),\cdots, L_m(v))= (Df_1(x_0)(v),Df_2(x_0)(v),\cdots, Df_m(x_0)(v))$이다.
역으로 $f_1,f_2,\cdots, f_m$이 $x_0$에서 미분가능할때 $f_1,f_2,\cdots, f_m$의 도함수가 $L_1,L_2,\cdots,L_m : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$이면
선형변환 정리로 모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $L(v) = (L_1(v),L_2(v),\cdots, L_m(v))\in \mathbb{R}^m$인
함수 $L : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$은 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환이고
임의의 $i= 1,2,\cdots, m$와 모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<\lVert x-x_0\rVert_n <\delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}})$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{|f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x - x_0)|}{\lVert x-x_0\rVert_n} = \dfrac{\lVert f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0)\rVert_1}{\lVert x-x_0\rVert_n} < \dfrac{\epsilon}{\sqrt{m}}$이 되는 $\delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) > 0$이 존재하여
$0<\lVert x-x_0\rVert_n < \min\{ \delta_1(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) ,\delta_2(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}),\cdots, \delta_m(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}})\}$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{(f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0))^2}{\lVert x-x_0\rVert_n^2} = \dfrac{|f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x - x_0)|^2}{\lVert x-x_0\rVert_n^2} < \dfrac{\epsilon^2}{m}$이고
$\displaystyle \frac{1}{\lVert x-x_0\rVert_n^2} \cdot \sum_{i=1}^m (f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0))^2 = \sum_{i=1}^m \frac{(f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0))^2}{\lVert x-x_0\rVert_n^2} < \epsilon^2$임에 따라
$\begin{align*} \frac{\lVert f(x) - f(x_0) - L(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} & = \frac{1}{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot \lVert f(x) - f(x_0) - L(x-x_0)\rVert_m \\[0.5em] & = \frac{1}{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^m (f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0))^2} \\[0.5em] & = \sqrt{\frac{1}{\lVert x-x_0\rVert_n^2} \cdot \sum_{i=1}^m (f_i(x) - f_i(x_0) - L_i(x-x_0))^2} \\[0.5em] & \lt \epsilon \text{ 이므로} \end{align*} $
함수의 극한의 정의로 $f$는 $x_0$에서 미분가능하다.
정리5
임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 어떤 $L \in \mathbb{R}^m$에 대해 모든 $x\in E$가 $f(x) = L$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$에 대해
$f$는 $x_0$에서 미분가능하고 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$은 모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Df(x_0)(v) = \vec{0}_m$이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
선형변환 정리로 모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $T_0(v) = \vec{0}_m$인
함수 $T_0:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$은 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환이고
모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0<\lVert x-x_0\rVert_n$인 모든 $x\in E$는 노름정리로
$\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - T_0(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} = \dfrac{\lVert L-L - \vec{0}_m\rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} = \dfrac{\lVert \vec{0}_m\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} = \dfrac{0}{\lVert x-x_0\rVert_n} = 0 <\epsilon$이므로
함수의 극한의 정의와 미분의 정의로 $Df(x_0) = T_0$이다.
정리8
위 정의에 나온 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때
정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$에 대해
$f$가 $x_0$에서 미분가능하면 $f$는 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
$x_0$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$에 대해
선형변환 정리로 모든 $x\in \mathbb{R}^n$가 $\lVert Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m \le M\cdot \lVert x-x_0\rVert_n$인 $M>0$이 존재하고
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\delta(1)$인 모든 $x\in E$가 $\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n}<1$이 되는 $\delta(1) > 0$이 존재하여
$\lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m<1\cdot \lVert x-x_0\rVert_n = \lVert x-x_0\rVert_n$이다.
따라서 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0< d_n(x,x_0)=\lVert x-x_0\rVert_n < \min \{\delta(1), \frac{\epsilon}{M+1}\}$인 모든 $x\in E$는 노름의 정의로
$\begin{align*} d_m(f(x),f(x_0))&= \lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m \\[0.5em]& = \lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) +_m Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m \\[0.5em] & \le \lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m + \lVert Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m \\[0.5em] & \lt \lVert x-x_0\rVert_n + M\cdot \lVert x-x_0\rVert_n = (M+ 1)\cdot \lVert x-x_0\rVert_n \\[0.5em] & < (M+ 1)\cdot \frac{\epsilon}{M+1} =\epsilon \text{ 이고} \end{align*}$
$0 = d_n(x,x_0) < \min \{\delta(1), \frac{\epsilon}{M+1}\}$인 모든 $x\in E$는
거리공간 정리로 $x = x_0$이므로 $d_m(f(x),f(x_0)) =d_m(f(x_0),f(x_0)) = 0 <\epsilon$이 되어
$f$는 $(E,d_n)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이다.
정리11
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$일때
임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$에 대해
함수 $f,g:E\to \mathbb{R}^m$가 $x_0$에서 미분가능하면
$f,g$의 도함수 $Df(x_0),Dg(x_0) :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$과 성분곱 $\odot$와 모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 다음이 성립한다.
1. 임의의 $a,b \in \mathbb{R}$와 모든 $x\in E$에 대해 $F(x) = a\cdot_m f(x) +_m b\cdot_m g(x)$인
함수 $F :E\to \mathbb{R}^m$는 $x_0$에서 미분가능하고 $DF(x_0)(v) = a\cdot_mDf(x_0)(v) +_m b\cdot_mDg(x_0)(v)$이다.
2. 모든 $x\in E$에 대해 $G(x) = f(x)\odot g(x)$인
함수 $G :E\to \mathbb{R}^m$는 $x_0$에서 미분가능하고 $DG(x_0)(v) = Df(x_0)(v)\odot g(x_0) +_m f(x_0)\odot Dg(x_0)(v)$이다.
3. 모든 $x\in E$에 대해 $g(x)$의 성분이 가역일때 모든 $x\in E$에 대해 $H(x) = $ $\dfrac{f(x)}{g(x)}$인
함수 $H :E\to \mathbb{R}^m$는 $x_0$에서 미분가능하고 $DH(x_0)(v) = \dfrac{Df(x_0)(v) \odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(v)}{g(x_0)\odot g(x_0)}$이다.
증명
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
1.
$a = 0$이고 $b = 0$이면 모든 $x\in E$에 대해 $F(x) = a\cdot_m f(x) +_m b\cdot_m g(x) = \vec{0}_m$이므로
위 정리로 모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $DF(x_0)(v) = \vec{0}_m = a\cdot_mDf(x_0)(v) +_m b\cdot_mDg(x_0)(v)$이다.
$a \ne 0$ 또는 $b \ne 0$이면 $Df(x_0),Dg(x_0)$이 존재하므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\delta_1(\frac{\epsilon}{|a|+|b|})$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} <\dfrac{\epsilon}{|a|+|b|}$가 되는 $\delta_1(\frac{\epsilon}{|a|+|b|}) >0$이 존재하고
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\delta_2(\frac{\epsilon}{|a|+|b|})$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{\lVert g(x) - g(x_0) - Dg(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} <\dfrac{\epsilon}{|a|+|b|}$가 되는 $\delta_2(\frac{\epsilon}{|a|+|b|}) >0$가 존재하여
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\min \{ \delta_1(\frac{\epsilon}{|a|+|b|}),\delta_2(\frac{\epsilon}{|a|+|b|})\}$인 모든 $x\in E$에 대해 노름의 정의로
$\begin{align*} & \dfrac{\lVert F(x) - F(x_0) - a\cdot_m Df(x_0)(x-x_0) - b\cdot_m Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\lVert a\cdot_m f(x) +_m b\cdot_m g(x) - a\cdot_m f(x_0) - b\cdot_m g(x_0) - a\cdot_m Df(x_0)(x-x_0) - b\cdot_m Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\lVert a\cdot_m f(x) - a\cdot_m f(x_0) - a\cdot_m Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} + \dfrac{\lVert b\cdot_m g(x) - b\cdot_m g(x_0) - b\cdot_m Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \quad = |a| \cdot \dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} + |b|\cdot \dfrac{\lVert g(x) - g(x_0) - Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & < |a|\cdot \dfrac{\epsilon}{|a|+|b|} + |b|\cdot \dfrac{\epsilon}{|a|+|b|} = (|a| + |b|)\cdot \dfrac{\epsilon}{|a|+|b|} = \epsilon \text{ 임에 따라} \end{align*}$
함수의 극한의 정의와 미분의 정의로 모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $DF(x_0)(v) = a\cdot_mDf(x_0)(v) +_m b\cdot_mDg(x_0)(v)$이다.
2.
위 정리로 $f$는 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이므로 연속함수 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d_n,d_m}f(x) = f(x_0)$이 되어
극한정리로 어떤 $M_f > 0$에 대해 $\lVert x-x_0\rVert_n < \delta_f$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x)\rVert_m \le M_f$가 되는 $\delta_f >0$가 존재한다.
또 $Df(x_0),Dg(x_0)$이 존재하므로 선형변환 정리로
모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\lVert Dg(x_0)(v)\rVert_m \le M_g\cdot \lVert v\rVert_n$인 $M_g > 0$가 존재하여
$M = \max \{ M_f , M_g,\lVert g(x_0)\rVert_m \} > 0$과 모든 $\epsilon >0$에 대해
$\lVert x-x_0\rVert_n < \delta(\frac{\epsilon}{3\cdot M})$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) -f(x_0)\rVert_m < \dfrac{\epsilon}{3\cdot M}$이 되는 $\delta(\frac{\epsilon}{3\cdot M}) > 0$이 존재하고
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\eta_1(\frac{\epsilon}{3\cdot M})$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} <\dfrac{\epsilon}{3\cdot M}$이 되는 $\eta_1(\frac{\epsilon}{3\cdot M}) >0$이 존재하고
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\eta_2(\frac{\epsilon}{3\cdot M})$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{\lVert g(x) - g(x_0) - Dg(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} <\dfrac{\epsilon}{3\cdot M}$이 되는 $\eta_2(\frac{\epsilon}{3\cdot M}) >0$가 존재한다.
따라서 $0< \lVert x-x_0\rVert_n <\min \{ \delta_f,\delta(\frac{\epsilon}{3\cdot M}), \eta_1(\frac{\epsilon}{3\cdot M}),\eta_2(\frac{\epsilon}{3\cdot M})\}$인
모든 $x\in E$에 대해 성분곱 정리와 성분곱 정리와 노름의 정의로
$\begin{align*} &\dfrac{\lVert G(x) - G(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\lVert f(x)\odot g(x) - f(x_0)\odot g(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\lVert f(x)\odot g(x) +_m f(x)\odot g(x_0) - f(x)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot g(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\lVert (f(x)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot g(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \odot g(x_0) ) +_m (f(x)\odot g(x) - f(x)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\lVert (f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) )\odot g(x_0) +_m (f(x)\odot g(x) - f(x)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\lVert (f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) )\odot g(x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} + \dfrac{\lVert f(x)\odot g(x) - f(x)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\lVert (f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m \cdot \lVert g(x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\ & \quad + \dfrac{\lVert f(x)\odot g(x) - f(x)\odot g(x_0) +_mf(x)\odot Dg(x_0)(x-x_0) -f(x)\odot Dg(x_0)(x-x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\lVert (f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m \cdot \lVert g(x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\ & \quad + \dfrac{\lVert f(x)\odot g(x) - f(x)\odot g(x_0) -f(x)\odot Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} + \dfrac{\lVert f(x)\odot Dg(x_0)(x-x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\lVert (f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot \lVert g(x_0) \rVert_m \\ & \quad + \lVert f(x)\rVert_m \cdot \dfrac{ \lVert g(x) - g(x_0) - Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} +\lVert f(x) - f(x_0) \rVert_m\cdot \dfrac{ \lVert Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le M \cdot \dfrac{\lVert (f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} + M \cdot \dfrac{ \lVert g(x) - g(x_0) - Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} +\lVert f(x) - f(x_0) \rVert_m\cdot \dfrac{ M\cdot \lVert x-x_0\rVert_n }{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \quad = M \cdot \left (\dfrac{\lVert (f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} + \dfrac{ \lVert g(x) - g(x_0) - Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} +\lVert f(x) - f(x_0) \rVert_m\right ) \\[0.5em] & \lt M \cdot \left (\dfrac{\epsilon}{3\cdot M} + \dfrac{\epsilon}{3\cdot M} +\dfrac{\epsilon}{3\cdot M}\right ) = \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$
모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $DG(x_0)(v) = Df(x_0)(v)\odot g(x_0) +_m f(x_0)\odot Dg(x_0)(v)$이다.
3.
위 정리로 $f,g$는 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이므로
연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to x_0}^{E,d_n,d_m} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)}$이 되어
극한정리로 어떤 $M_1 > 0$에 대해 $\lVert x-x_0\rVert_n < \delta_1$인 모든 $x\in E$가 $\left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} \right \rVert_m \le M_1$이 되는 $\delta_1 >0$이 존재한다.
또 $Df(x_0),Dg(x_0)$이 존재하므로 선형변환 정리로
모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $\lVert Dg(x_0)(v)\rVert_m \le M_2\cdot \lVert v\rVert_n$인 $M_2 > 0$가 존재하여
$M = \max \{ \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m,M_1\cdot \lVert (g(x_0))^{-1}\rVert_m, M_2\cdot \lVert (g(x_0))^{-1}\rVert_m , 1\} > 0$과 모든 $\epsilon >0$에 대해
$\lVert x-x_0\rVert_n < \delta(\frac{\epsilon}{3\cdot M})$인 모든 $x\in E$가 $\left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} -\dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} \right \rVert_m < \dfrac{\epsilon}{3\cdot M}$이 되는 $\delta(\frac{\epsilon}{3\cdot M}) > 0$이 존재하고
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\eta_1(\frac{\epsilon}{3\cdot M})$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} <\dfrac{\epsilon}{3\cdot M}$이 되는 $\eta_1(\frac{\epsilon}{3\cdot M}) >0$이 존재하고
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\eta_2(\frac{\epsilon}{3\cdot M})$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{\lVert g(x) - g(x_0) - Dg(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} <\dfrac{\epsilon}{3\cdot M}$이 되는 $\eta_2(\frac{\epsilon}{3\cdot M}) >0$가 존재한다.
따라서 $0< \lVert x-x_0\rVert_n <\min \{ \delta_1,\delta(\frac{\epsilon}{3\cdot M}), \eta_1(\frac{\epsilon}{3\cdot M}),\eta_2(\frac{\epsilon}{3\cdot M})\}$인
모든 $x\in E$에 대해 성분곱 정리와 성분곱 정리와 성분곱 정리와 노름의 정의로
$\begin{align*} & \dfrac{\left \lVert H(x) - H(x_0)- \dfrac{Df(x_0)(x-x_0) \odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x_0)\odot g(x_0)} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)}- (Df(x_0)(x-x_0) \odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0))\odot (g(x_0)\odot g(x_0))^{-1} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)}- (Df(x_0)(x-x_0) \odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0))\odot (g(x_0))^{-1}\odot (g(x_0))^{-1} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} - Df(x_0)(x-x_0) \odot g(x_0) \odot (g(x_0))^{-1}\odot (g(x_0))^{-1} +_m f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)\odot (g(x_0))^{-1}\odot (g(x_0))^{-1} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} - Df(x_0)(x-x_0) \odot (g(x_0))^{-1} +_m \dfrac{f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x_0)\odot g(x_0)} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} +_m \dfrac{f(x)}{g(x_0)} - \dfrac{f(x)}{g(x_0)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} - \dfrac{Df(x_0)(x-x_0)}{g(x_0)} +_m \dfrac{f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x_0)\odot g(x_0)} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x_0)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} - \dfrac{Df(x_0)(x-x_0)}{g(x_0)} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} + \dfrac{\left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x)}{g(x_0)} +_m \dfrac{f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x_0)\odot g(x_0)} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\left \lVert f(x) - f(x_0)- Df(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\ & \quad + \dfrac{\left \lVert \dfrac{f(x)\odot g(x_0)}{g(x)\odot g(x_0)} - \dfrac{f(x)\odot g(x)}{g(x_0)\odot g(x)} +_m \dfrac{f(x)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x)\odot g(x_0)} -\dfrac{f(x)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x)\odot g(x_0)} +_m \dfrac{f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x_0)\odot g(x_0)} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\left \lVert f(x) - f(x_0)- Df(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\ & \quad + \dfrac{\left \lVert \dfrac{f(x)\odot g(x_0)}{g(x)\odot g(x_0)} - \dfrac{f(x)\odot g(x)}{g(x)\odot g(x_0)} +_m \dfrac{f(x)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x)\odot g(x_0)} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} + \dfrac{\left \lVert - \dfrac{f(x)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x)\odot g(x_0)} +_m \dfrac{f(x_0)\odot Dg(x_0)(x-x_0)}{g(x_0)\odot g(x_0)} \right\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\left \lVert f(x) - f(x_0)- Df(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\ & \quad + \dfrac{\left \lVert g(x_0) - g(x) +_m Dg(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m \cdot \left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)\odot g(x_0)} \right \rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} + \dfrac{\left \lVert - \dfrac{f(x)}{g(x)\odot g(x_0)} +_m \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)\odot g(x_0)} \right\rVert_m \cdot \lVert Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\left \lVert f(x) - f(x_0)- Df(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m \\ & \quad + \dfrac{\left \lVert g(x) - g(x_0)- Dg(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot \left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} \right \rVert_m \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m + \left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} \right\rVert_m \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m \cdot \dfrac{\lVert Dg(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\left \lVert f(x) - f(x_0)- Df(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m \\ & \quad + \dfrac{\left \lVert g(x) - g(x_0)- Dg(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot \left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} \right \rVert_m \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m + \left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} \right\rVert_m \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m \cdot \dfrac{M_2\cdot \lVert x-x_0 \rVert_n}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\left \lVert f(x) - f(x_0)- Df(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m \\ & \quad + \dfrac{\left \lVert g(x) - g(x_0)- Dg(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot M_1 \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m + \left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} \right\rVert_m \cdot M_2 \cdot \lVert (g(x_0))^{-1} \rVert_m \\[0.5em] & \le \dfrac{\left \lVert f(x) - f(x_0)- Df(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot M + \dfrac{\left \lVert g(x) - g(x_0)- Dg(x_0)(x-x_0) \right\rVert_m }{\lVert x-x_0\rVert_n} \cdot M + \left \lVert \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} \right\rVert_m \cdot M \\[0.5em] & \lt \dfrac{\epsilon}{3\cdot M} \cdot M + \dfrac{\epsilon}{3\cdot M} \cdot M + \dfrac{\epsilon}{3\cdot M} \cdot M = \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$
모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $DH(x_0)(v) = \dfrac{Df(x_0)(v) \odot g(x_0) - f(x_0)\odot Dg(x_0)(v)}{g(x_0)\odot g(x_0)}$이다.
정리15
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$에 대해
함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$가 $x_0$에서 미분가능하면 어떤 $M> 0$에 대해
$\lVert x-x_0\rVert_n <\delta$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m\le M \cdot \lVert x-x_0\rVert_n$이 되는 $\delta >0$가 존재한다.
증명
$f$가 $x_0$에서 미분가능하므로 $f$의 도함수 $Df(x_0) :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 존재하여
선형변환 정리로 모든 $v \in \mathbb{R}^n$에 대해 $\lVert Df(x_0)(v)\rVert_m \le M\cdot \lVert v\rVert_n$인 $M > 0$가 존재하고
함수의 극한의 정의로 모든 $\epsilon >0$에 대해
$0<\lVert x-x_0\rVert_n <\delta(\epsilon)$인 모든 $x\in E$가 $\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) -Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n}< \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) >0$가 존재한다.
따라서 $0<\lVert x-x_0\rVert_n <\delta(\epsilon)$인 모든 $x\in E$에 대해 $\dfrac{\lVert Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \le M$이고 노름의 정의로
$\begin{align*} \dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} & = \dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) -Df(x_0)(x-x_0) +_m Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) -Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} + \dfrac{\lVert Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & < \epsilon + M \text{ 이므로} \end{align*}$
$\epsilon$이 임의임에 따라 부등식 정리로 $\begin{align*} \dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \le M \end{align*}$이 되어 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m\le M \cdot \lVert x-x_0\rVert_n$이고
$\lVert x-x_0\rVert_n =0 <\delta(\epsilon)$인 모든 $x\in E$는
노름정리로 $x=x_0$이므로 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m = \lVert \vec{0}_m\rVert_m = 0 = M\cdot 0 = M \cdot \lVert x-x_0\rVert_n$이다.
정리7
위 정의에 나온 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$과 $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때
정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$과
$f(E) \subseteq F$인 임의의 $F\subseteq \mathbb{R}^m$가 정의역인 함수 $g:F\to \mathbb{R}^p$에 대해
$f$가 $x_0$에서 미분가능하고 $f(x_0)$이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에서 $F$의 내부점이고 $g$가 $f(x_0)$에서 미분가능하면
$f$의 도함수 $Df(x_0) :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$과 $g$의 도함수 $Dg(f(x_0)) :\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}^p$에 대해
합성함수 $g\circ f: E\to \mathbb{R}^p$는 $x_0$에서 미분가능하고 $g\circ f$의 도함수 $D(g\circ f)(x_0) :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^p$은
모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $D(g\circ f)(x_0)(v) = Dg(f(x_0))(Df(x_0)(v)) = (Dg(f(x_0)) \circ Df(x_0))(v)$이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m,p$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$과 $(\mathbb{R}^p,+_p,\cdot_p,\vec{0}_p)$위의
점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_p :\mathbb{R}^p\to [0,\infty)$일때
$Df(x_0)$은 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환이고
$Dg(f(x_0))$은 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$에서 $(\mathbb{R}^p,+_p,\cdot_p,\vec{0}_p)$로의 선형변환이므로
선형변환 정리로 $Dg(f(x_0)) \circ Df(x_0) : \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^p$은 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^p,+_p,\cdot_p,\vec{0}_p)$로의 선형변환이다.
위 정리로 어떤 $M_1> 0$에 대해
$\lVert x-x_0\rVert_n <\delta_1$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert_m\le M_1 \cdot \lVert x- x_0\rVert_n$이 되는 $\delta_1 >0$이 존재하므로
모든 $\epsilon >0$에 대해 $0< \lVert y-f(x_0)\rVert_m <\eta_1(\frac{\epsilon}{2\cdot M_1})$인 모든 $y \in F$가
$\dfrac{\lVert g(y) - g(f(x_0)) - Dg(f(x_0))(y-f(x_0))\rVert_p}{\lVert y-f(x_0)\rVert_m} <\dfrac{\epsilon}{2\cdot M_1}$이 되는 $\eta_1(\frac{\epsilon}{2\cdot M_1}) >0$이 존재하여
$ \lVert y-f(x_0)\rVert_m <\eta_1(\frac{\epsilon}{2\cdot M_1})$인 모든 $y \in F$는
$\lVert g(y) - g(f(x_0)) - Dg(f(x_0))(y-f(x_0))\rVert_p \le \dfrac{\epsilon}{2\cdot M_1} \cdot \lVert y-f(x_0)\rVert_m$이고
위 정리로 $f$가 $(E,d_n)$과 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속임에 따라
$ \lVert x-x_0\rVert_n <\delta_2$인 모든 $x\in E$가 $\lVert f(x) - f(x_0)\rVert < \eta_1(\frac{\epsilon}{2\cdot M_1})$이 되는 $\delta_2>0$가 존재하므로
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\min \{ \delta_1,\delta_2\}$인 모든 $x\in E$에 대해
$\lVert g(f(x)) - g(f(x_0)) - Dg(f(x_0))(f(x)-f(x_0))\rVert_p \le \dfrac{\epsilon}{2\cdot M_1} \cdot \lVert f(x)-f(x_0)\rVert_m \le \dfrac{\epsilon}{2\cdot M_1} \cdot M_1\cdot \lVert x-x_0\rVert_n = \dfrac{\epsilon}{2} \cdot \lVert x-x_0\rVert_n \text{ 이 되어}$
$\dfrac{\lVert g(f(x)) - g(f(x_0)) - Dg(f(x_0))(f(x)-f(x_0))\rVert_p}{\lVert x-x_0\rVert_n} \le \dfrac{\epsilon}{2}$이다.
또 선형변환 정리로 모든 $w\in \mathbb{R}^m$에 대해 $\lVert Dg(f(x_0))(w)\rVert_p \le M_2\cdot \lVert w\rVert_m$인 $M_2 > 0$가 존재하여
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\eta_2(\frac{\epsilon}{2\cdot M_2})$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} <\dfrac{\epsilon}{2\cdot M_2}$이 되는 $\eta_2(\frac{\epsilon}{2\cdot M_2}) >0$가 존재하므로
$0< \lVert x-x_0\rVert_n <\min \{ \delta_1,\delta_2, \eta_2(\frac{\epsilon}{2\cdot M_2})\}$인 모든 $x\in E$에 대해 노름의 정의로
$\begin{align*} & \dfrac{\lVert (g\circ f)(x) - (g\circ f)(x_0) - (Dg(f(x_0))\circ Df(x_0))(x-x_0) \rVert_p}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\lVert g(f(x)) - g(f(x_0)) - Dg(f(x_0))(f(x)- f(x_0) ) +_p Dg(f(x_0))(f(x)- f(x_0) ) - Dg(f(x_0)) ( Df(x_0)(x-x_0) )\rVert_p}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & = \dfrac{\lVert g(f(x)) - g(f(x_0)) - Dg(f(x_0))(f(x)- f(x_0) ) +_p Dg(f(x_0))(f(x)- f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) ) \rVert_p}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\lVert g(f(x)) - g(f(x_0)) - Dg(f(x_0))(f(x)- f(x_0) ) \rVert_p}{\lVert x-x_0\rVert_n} + \dfrac{\lVert Dg(f(x_0))(f(x)- f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) ) \rVert_p}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \le \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{M_2 \cdot \lVert f(x)- f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0) \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \\[0.5em] & \lt \dfrac{\epsilon}{2} + M_2\cdot \dfrac{\epsilon}{2\cdot M_2} = \epsilon \text{ 이 되어} \end{align*}$
모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $D(g\circ f)(x_0)(v) = (Dg(f(x_0)) \circ Df(x_0))(v) = Dg(f(x_0))(Df(x_0)(v))$이다.
정리18
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$와 임의의 $x,y\in \mathbb{R}^m$에 대해 다음이 성립한다.
1. 모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\beta(t) = t \cdot_m x$로 정의되는 함수 $\beta: [a,b] \to \mathbb{R}^m$는
모든 $c \in (a,b)$에서 미분가능하고 $\beta$의 도함수 $D\beta(c) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m$는 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해 $D\beta(c)(t) = t\cdot_m x$이다.
2. 모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\gamma(t) = (1- t)\cdot_m x +_m t\cdot_m y$인 함수 $\gamma : [a,b] \to \mathbb{R}^m$는 모든 $c \in (a,b)$에서 미분가능하고
$\gamma$의 도함수 $D\gamma(c) : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m$는 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해 $D\gamma(c)(t) = t\cdot_m (y-x)$이다.
3. 선형변환의 노름 $\lVert \cdot \rVert_{1,m}$과 모든 $c\in (a,b)$에 대해 $\lVert D\gamma(c)\rVert_{1,m} = \lVert y-x\rVert_m$이다.
증명
1.
모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해 $f(t) = t\cdot_m x$인 함수 $f : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$는 임의의 $t_1,t_2,k \in \mathbb{R}$에 대해
$\begin{align*} f(t_1 +_1 k\cdot_1 t_2) = f(t_1 + k\cdot t_2)= (t_1 + k\cdot t_2) \cdot_m x = t_1 \cdot_mx +_m k\cdot_m (t_2\cdot_m x) = f(t_1) +_m k\cdot_m f(t_2)\end{align*}$이므로
$f$는 $(\mathbb{R},+_1,\cdot_1,0)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환이 되어
선형변환 정리로 임의의 $c \in (a,b)\subset \mathbb{R}$에 대해 $Df(c) = f$임에 따라
도함수의 정의로 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해 $D\beta(c)(t) =Df(c)(t) = f(t) = t\cdot_m x$이다.
2.
모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\alpha(t) = x$와 $\beta_x(t) = t\cdot_m x$와 $\beta_y(t) = t\cdot_m y$로 정의되는
함수 $\alpha, \beta_x,\beta_y: [a,b] \to \mathbb{R}^m$는 위 정리와 1번으로 모든 $c \in (a,b)$에서 미분가능하고
모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해 $D\alpha(c)(t) =\vec{0}_m$과 $D\beta_x(c)(t) = t\cdot_m x$와 $D\beta_y(c)(t) = t\cdot_m y$가 성립한다.
따라서 모든 $t \in [a,b]$에 대해
$\gamma(t) = (1- t)\cdot_m x +_m t\cdot_m y = x -t\cdot_m x +_m t\cdot_m y = \alpha(t)- \beta_x(t) +_m \beta_y(t)$이므로
위 정리로 $\gamma$는 모든 $c \in (a,b)$에서 미분가능하고 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해
$D\gamma(c)(t) = D\alpha(c)(t) - D\beta_x(c)(t)+_m D\beta_y(c)(t) = \vec{0}_m -t\cdot_m x +_m t\cdot_m y = t\cdot_m (y-x)$이다.
3.
모든 $t\in \mathbb{R}$에 대해 2번과 노름의 정의로 $\lVert D\gamma(c)(t)\rVert_{m} = \lVert t\cdot_m (y-x)\rVert_m = |t|\cdot \lVert y-x\rVert_m = \lVert y-x\rVert_m \cdot |t|$이므로
선형변환의 노름의 정의로 $\lVert D\gamma(c)\rVert_{1,m} \le \lVert y-x\rVert_m$이고
선형변환의 노름정리로 $\lVert y-x\rVert_m\cdot |t|=\lVert D\gamma(c)(t)\rVert_{m} \le \lVert D\gamma(c)\rVert_{1,m}\cdot |t|$가 되어
$t\ne 0$일때 $\lVert y-x\rVert_m \le \lVert D\gamma(c)\rVert_{1,m}$임에 따라 $\lVert D\gamma(c)\rVert_{1,m} = \lVert y-x\rVert_m$이다.
정리19
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱$\bullet$ 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$과 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에 대해 다음이 성립한다.
1. 함수 $f,g:[a,b]\to \mathbb{R}^m$가 모든 $t \in (a,b)$에서 미분가능하면
모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\varphi(t) = f(t)\bullet g(t)$인 함수 $\varphi : [a,b]\to \mathbb{R}$의 도함수 $\varphi' : (a,b)\to \mathbb{R}$가 존재하고
모든 $t \in (a,b)$와 모든 $v\in \mathbb{R}$에 대해 $\varphi'(t)\cdot v = D\varphi(t)(v) = Df(t)(v)\bullet g(t) + f(t)\bullet Dg(t)(v)$이다.
2. 함수 $h:[a,b]\to \mathbb{R}^m$가 $([a,b],d_1)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이고 모든 $t \in (a,b)$에서 미분가능하면
선형변환의 노름 $\lVert \cdot \rVert_{1,m}$에 대해 $\lVert h(b) - h(a)\rVert_m \le \lVert Dh(c)\rVert_{1,m}\cdot (b-a)$인 $c \in (a,b)$가 존재한다.
증명
1.
모든 $t \in [a,b]$에 대해 $f(t) = (f_1(t),f_2(t),\cdots, f_m(t))$이고 $g(t) = (g_1(t),g_2(t),\cdots, g_m(t))$인
함수 $f_1,f_2,\cdots, f_m ,g_1,g_2,\cdots,g_m: [a,b]\to \mathbb{R}$에 대해 $\varphi(t) = f(t)\bullet g(t) = \displaystyle \sum_{i=1}^m f_i(t)\cdot g_i(t)$이므로
위 정리와 위 정리로 모든 $t \in (a,b)$와 모든 $v \in \mathbb{R}$에 대해
$D\varphi(t)(v) = \displaystyle \sum_{i=1}^m (Df_i(t)(v)\cdot g_i(t) + f_i(t)\cdot Dg_i(t)(v)) = Df(t)(v)\bullet g(t) + f(t)\bullet Dg(t)(v)$가 되어
위 정리와 도함수의 정의로 $\varphi'(t)\cdot v=D\varphi(t)(v) = Df(t)(v)\bullet g(t) + f(t)\bullet Dg(t)(v)$이다.
2.
모든 $t \in [a,b]$에 대해 $h(t) = (h_1(t),h_2(t),\cdots, h_m(t))$이고
$\gamma(t) = (h(b) - h(a))\bullet h(t) = \displaystyle \sum_{i=1}^m (h_i(b)-h_i(a))\cdot h_i(t)$인 함수 $h_1,h_2,\cdots,h_m, \gamma : [a,b]\to \mathbb{R}$에 대해
연속함수 정리와 연속함수 정리와 연속함수 정리로 $\gamma$는 $([a,b],d_1)$에서 $(\mathbb{R},d_1)$으로의 연속함수이고
위 정리와 1번과 내적정리로 모든 $t \in (a,b)$와 모든 $v\in \mathbb{R}$에 대해
$\begin{align*}\gamma'(t)\cdot v = D\gamma(t)(v)= \vec{0}_m\bullet h(t) + (h(b) - h(a))\bullet Dh(t)(v) = (h(b)-h(a))\bullet Dh(t)(v) \end{align*}$이다.
평균값 정리로 $\gamma(b) - \gamma(a) = \gamma'(c)\cdot (b-a)$인 $c\in (a,b)$가 존재하고 내적정리와 내적공간의 노름의 정의로
$\gamma(b) - \gamma(a) = (h(b)-h(a)) \bullet h(b) - (h(b)-h(a))\bullet h(a) = (h(b) - h(a))\bullet (h(b)-h(a)) = \lVert h(b)-h(a)\rVert_m^2 \text{ 이므로}$
내적정리로
$\begin{align*} \lVert h(b)-h(a)\rVert_m^2 & = \gamma(b) - \gamma(a) \\[0.5em] &=\gamma'(c)\cdot (b-a) \\[0.5em]&=(h(b)-h(a))\bullet Dh(c)(b-a) \\[0.5em]&= |(h(b)-h(a))\bullet Dh(c)(b-a) | \\[0.5em]&\le \lVert h(b)-h(a)\rVert_m \cdot \lVert Dh(c)(b-a)\rVert_m \text{ 이 되어} \end{align*}$
$\lVert h(b)-h(a)\rVert_m \le \lVert Dh(c)(b-a)\rVert_m \le \lVert Dh(c)\rVert_{1,m} \cdot |b-a| = \lVert Dh(c)\rVert_{1,m} \cdot (b-a)$이다.
정리20
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $E \subseteq \mathbb{R}^n$가 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 볼록집합이면 다음이 성립한다.
1. 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$가 모든 $x\in E$에서 미분가능하고
선형변환의 노름 $\lVert \cdot \rVert_{n,m}$과 어떤 실수 $M\ge 0$에 대해 모든 $x\in E$가 $\lVert Df(x)\rVert_{n,m} \le M$이면
모든 $x,y\in E$에 대해 $\lVert f(x) - f(y)\rVert_m \le M\cdot \lVert x-y\rVert_n$이다.
2. 함수 $g :E\to \mathbb{R}^m$가 모든 $x\in E$에서 미분가능하고 모든 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해 $Dg(x)(v) = \vec{0}_m$이면
어떤 $L\in \mathbb{R}^m$이 존재하여 모든 $x\in E$에 대해 $g(x) = L$이다.
증명
1.
임의의 $x,y\in E$에 대해 모든 $t\in [0,1]$가 $\gamma(t) = t\cdot_n x +_n (1-t)\cdot_n y$인 함수 $\gamma:[0,1]\to \mathbb{R}^n$는
위 정리와 위 정리로 $([0,1],d_1)$에서 $(\mathbb{R}^n,d_n)$으로의 연속함수이고 모든 $t\in (0,1)$에서 미분가능하다.
또 볼록집합의 정의로 모든 $t\in [0,1]$에 대해 $\gamma(t)\in E$이므로
$f\circ \gamma : [0,1]\to \mathbb{R}^m$는 위 정리와 연속함수 정리로 $([0,1],d_1)$에서 $(\mathbb{R}^m,d_m)$으로의 연속함수이고
연쇄법칙으로 모든 $t\in (0,1)$에서 미분가능하여 $D(f\circ \gamma)(t) = Df(\gamma(t)) \circ D\gamma(t) : \mathbb{R}\to \mathbb{R}^m$이므로
위 정리와 선형변환의 노름정리와 위 정리로 어떤 $c \in (0,1)$가 존재하여
$\begin{align*}\lVert f(x)-f(y)\rVert_m &=\lVert f(\gamma(1)) - f(\gamma(0))\rVert_m \\[0.5em]&= \lVert (f\circ \gamma)(1) - (f\circ \gamma)(0)\rVert_m \\[0.5em]& \le \lVert D(f\circ \gamma)(c)\rVert_{1,m}\cdot (1-0) = \lVert Df(\gamma(c))\circ D\gamma(c)\rVert_{1,m} \\[0.5em]&\le \lVert Df(\gamma(c))\rVert_{n,m} \cdot \lVert D\gamma(c)\rVert_{1,n} = \lVert Df(\gamma(c))\rVert_{n,m}\cdot \lVert x-y\rVert_n \\[0.5em] & \le M\cdot \lVert x-y\rVert_n \text{ 이다.}\end{align*}$
2.
선형변환의 노름정리로 모든 $x\in E$에 대해 $ \lVert Dg(x)\rVert_{n,m} = 0$이므로
1번으로 임의의 $y\in E$에 대해 $\lVert g(x) - g(y)\rVert_m = 0\cdot \lVert x-y\rVert_n = 0$이 되어 노름정리로 $g(x) = g(y) = L$이다.
정리6
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$이고
위 정의에 나온 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$, $(\mathbb{R},d_1)$일때
임의의 $v\in \mathbb{R}^n$와 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 임의의 $x_0\in E$에 대해 다음이 성립한다.
1. $0$은 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $A = \{ t\in (0,\infty) : x_0 +_n t\cdot_n v\in E \}$의 집적점이다.
2. $0$은 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $S = \{ t\in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}: x_0 +_n t\cdot_n v\in E \}$의 집적점이다.
증명
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$일때
1.
$\lVert v\rVert_n = 0$이면
노름정리로 $v= \vec{0}_n$이므로 모든 $t \in (0,\infty)$에 대해 $x_0 +_n t \cdot_n v = x_0 +_n t\cdot_n \vec{0}_n= x_0+_n \vec{0}_n = x_0 \in E$이 되어
$A = (0,\infty)$임에 따라 $0$은 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $A$의 집적점이다.
$\lVert v\rVert_n \ne 0$일때
내부점의 정의로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,r)\subseteq E$인 $r > 0$이 존재하여 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $t = \min \{ \frac{r}{2\cdot \lVert v\rVert_n }, \frac{\epsilon}{2}\} > 0$이면
노름의 정의로 $t\cdot \lVert v\rVert_n=|t|\cdot \lVert v\rVert_n=\lVert t\cdot_n v\rVert_n = \lVert x_0+_n t\cdot_n v - x_0\rVert_n$이고
$0< t \cdot \lVert v\rVert_n = \min\{ \frac{r}{2\cdot \lVert v\rVert_n},\frac{\epsilon}{2}\} \cdot \lVert v\rVert_n \le \dfrac{r}{2\cdot \lVert v\rVert_n}\cdot \lVert v\rVert_n = \dfrac{r}{2} < r$이므로
$x_0+_n t\cdot_n v \in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,r)\subseteq E$와 $d_1(t,0) =|t - 0| = t = \min \{ \frac{r}{2\cdot \lVert v\rVert_n}, \frac{\epsilon}{2}\} \le \dfrac{\epsilon}{2} <\epsilon$이 성립하여
$t\in A$임에 따라 $0$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $A $의 집적점이다.
2.
$A\subseteq S$이므로 1번과 거리공간 정리로 $0$은 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $S$의 집적점이다.
정의2
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
위 정의에 나온 거리공간이 $(\mathbb{R}^m,d_m)$, $(\mathbb{R},d_1)$이고 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 $x_0\in E$과 임의의 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해
$0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $A = \{ t\in (0,\infty) : x_0 +_n t\cdot_n v\in E \}$의 집적점일때
$f:E\to \mathbb{R}^m$의 함수의 극한 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0)) = L \in \mathbb{R}^m$이 존재하면
$f$가 $x_0$에서 $v$방향으로 미분가능하다고 정의하고
$x_0$에서 $f$의 $v$방향도함수(directional derivative)를 $D_vf(x_0) = L$로 정의한다.
정리9
정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$에 대해 $f$가 $x_0$에서 미분가능하면
$f$는 $x_0$에서 모든 $v\in \mathbb{R}^n$방향으로 미분가능하고 $f$의 $x_0$에서 $v$방향도함수와 도함수는 $D_vf(x_0) = Df(x_0)(v)$이다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
$x_0$에서 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$는 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환이므로
$\lVert v\rVert_n = 0$이면
노름정리로 $v= \vec{0}_n$이고 모든 $t \in (0,\infty)$에 대해 $x_0 +_n t \cdot_n v = x_0 +_n t\cdot_n \vec{0}_n= x_0+_n \vec{0}_n = x_0$임에 따라
모든 $\epsilon > 0$에 대해 선형변환 정리와 노름정리로
$\begin{align*} \left \lVert \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0)) - Df(x_0)(v) \right \rVert_m = \left \lVert \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0) - f(x_0)) - \vec{0}_m \right \rVert_m = \left \lVert \frac{1}{t}\cdot_m \vec{0}_m \right \rVert_m = \lVert\vec{0}_m \rVert_m = 0 < \epsilon \text{ 이 되어}\end{align*}$
함수의 극한의 정의와 방향도함수의 정의로 $D_vf(x_0) = Df(x_0)(v)$이다.
$\lVert v\rVert_n \ne 0$일때
모든 $\epsilon > 0$에 대해 함수의 극한의 정의와 미분의 정의로 $0< \lVert x-x_0\rVert_n <\delta(\frac{\epsilon}{\lVert v\rVert_n})$인 모든 $x\in E$가
$\dfrac{\lVert f(x) - f(x_0) - Df(x_0)(x-x_0)\rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} < \dfrac{\epsilon}{\lVert v\rVert_n}$이 되는 $\delta(\frac{\epsilon}{\lVert v\rVert_n})>0$이 존재하므로
$x_0 +_n t\cdot_n v\in E$이고 $0<t< \dfrac{\delta(\frac{\epsilon}{\lVert v\rVert_n})}{\lVert v\rVert_n}$인 모든 $t\in \mathbb{R}$에 대해 노름의 정의로
$0< \lVert x_0+_n t\cdot_n v - x_0\rVert_n = \lVert t\cdot_n v\rVert_n = |t|\cdot \lVert v\rVert_n = t\cdot \lVert v\rVert_n < \dfrac{ \delta(\frac{\epsilon}{\lVert v\rVert_n})}{\lVert v\rVert_n} \cdot \lVert v\rVert_n = \delta(\frac{\epsilon}{\lVert v\rVert_n}) $임에 따라
$\begin{align*} \left \lVert \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0)) - Df(x_0)(v) \right \rVert_m & = \left \lVert \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0) - t\cdot_m Df(x_0)(v)) \right \rVert_m \\[0.5em] & = \frac{1}{t}\cdot \left \lVert f(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0) - Df(x_0)(t\cdot_n v) \right \rVert_m \\[0.5em] & = \frac{\lVert v\rVert_n\cdot \left \lVert f(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0) - Df(x_0)(t\cdot_n v) \right \rVert_m}{t\cdot \lVert v\rVert_n } \\[0.5em] & = \lVert v\rVert_n\cdot \frac{ \left \lVert f(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0) - Df(x_0)(t\cdot_n v) \right \rVert_m}{\lVert t\cdot_n v\rVert_n } \\[0.5em] & = \lVert v\rVert_n\cdot \frac{ \left \lVert f(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0) - Df(x_0)(x_0 +_n t\cdot_n v - x_0) \right \rVert_m}{\lVert x_0 +_n t\cdot_n v - x_0\rVert_n } \\[0.5em] & \lt \lVert v\rVert_n\cdot \frac{\epsilon}{\lVert v\rVert_n} = \epsilon \text{ 이 되어}\end{align*}$
함수의 극한의 정의와 방향도함수의 정의로 $D_vf(x_0) = Df(x_0)(v)$이다.
정리3
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^m,d_m)$, $(\mathbb{R},d_1)$과 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 $x_0\in E$과 임의의 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해
$0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $A = \{ t\in (0,\infty) : x_0 +_n t\cdot_n v\in E \}$의 집적점일때
함수 $f,g :E\to \mathbb{R}^m$의 $x_0$에서 $v$방향도함수 $D_vf(x_0),D_vg(x_0)$이 존재하면 성분곱 $\odot$에 대해 다음이 성립한다.
1. $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}$$f(x_0+_nt\cdot_n v) = f(x_0)$
2. 임의의 $a,b \in \mathbb{R}$와 모든 $x\in E$에 대해 $h(x) = a\cdot_m f(x) +_m b\cdot_m g(x)$인
함수 $h :E\to \mathbb{R}^m$는 $x_0$에서 $v$방향으로 미분가능하고 $D_vh(x_0) = a\cdot_mD_vf(x_0) +_m b\cdot_mD_vg(x_0)$이다.
3. 모든 $x\in E$에 대해 $F(x) = f(x)\odot g(x)$인 함수 $F :E\to \mathbb{R}^m$는 $x_0$에서 $v$방향으로 미분가능하고
$D_vF(x_0) = D_vf(x_0)\odot g(x_0) +_m f(x_0)\odot D_vg(x_0)$이다.
4. 모든 $x\in E$에 대해 $g(x)$의 성분이 가역일때
모든 $x\in E$에 대해 $G(x) = $ $\dfrac{f(x)}{g(x)}$인 함수 $G :E\to \mathbb{R}^m$는 $x_0$에서 $v$방향으로 미분가능하고
$D_vG(x_0) = \dfrac{D_vf(x_0)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot D_vg(x_0)}{g(x_0)\odot g(x_0)}$이다.
증명
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
1.
함수의 극한의 정의와 방향도함수의 정의로 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m(f(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0)) = D_vf(x_0)$이므로
$\begin{align*} \vec{0}_m &= \vec{0}_m \odot D_vf(x_0) \\[0.5em] & = \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} (t,t,\cdots, t)\right ) \odot \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}\dfrac{1}{t}\cdot_m(f(x_0+_nt\cdot_nv) -f(x_0)) \right ) \\[0.5em] &= \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} (t,t,\cdots, t) \odot \left (\dfrac{1}{t}\cdot_m(f(x_0+_nt\cdot_nv) -f(x_0)) \right ) \\[0.5em] &= \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} t \cdot_m \left (\dfrac{1}{t}\cdot_m(f(x_0+_nt\cdot_nv) -f(x_0)) \right ) \\[0.5em] &= \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} (f(x_0+_nt\cdot_nv) -f(x_0)) \text{ 이 되어} \end{align*}$
함수의 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}f(x_0+_nt\cdot_n v) = f(x_0)$이다.
2.
$\begin{align*} a\cdot_mD_vf(x_0) +_m b\cdot_mD_vg(x_0) & = a\cdot_m \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0)) \right) +_m b\cdot_m \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0 +_n t\cdot_nv) - g(x_0)) \right) \\[0.5em] & = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \left (a\cdot_m \left ( \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0)) \right) +_m b\cdot_m \left ( \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0 +_n t\cdot_nv) - g(x_0)) \right) \right) \\[0.5em] & = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \left (\dfrac{1}{t}\cdot_m (a\cdot_m f(x_0 +_n t\cdot_nv) -a\cdot_m f(x_0))+_m \dfrac{1}{t}\cdot_m (b\cdot_m g(x_0 +_n t\cdot_nv) -b\cdot_m g(x_0))\right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (a\cdot_m f(x_0 +_n t\cdot_nv) -a\cdot_m f(x_0) +_m b\cdot_m g(x_0 +_n t\cdot_nv) -b\cdot_m g(x_0)) \\[0.5em] & = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (a\cdot_m f(x_0 +_n t\cdot_nv) +_m b\cdot_m g(x_0 +_n t\cdot_nv) -(a\cdot_m f(x_0) +_mb\cdot_m g(x_0))) \\[0.5em] & = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m ( h(x_0 +_n t\cdot_nv) -h(x_0) ) \\[0.5em] & = D_vh(x_0) \text{ 이다.} \end{align*}$
3.
거리공간 정리와 1번과 함수의 극한 정리와 함수의 극한 정리와 성분곱 정리로
$\begin{align*} & D_vf(x_0)\odot g(x_0) +_m f(x_0)\odot D_vg(x_0) \\[0.5em]& = \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0)) \right) \odot g(x_0) +_m f(x_0)\odot \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0 +_n t\cdot_nv) - g(x_0)) \right) \\[0.5em]& = \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0)) \right) \odot \left(\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} g(x_0)\right ) +_m \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} f(x_0+_n t\cdot_n v)\right ) \odot \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0 +_n t\cdot_nv) - g(x_0)) \right) \\[0.5em]& = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \left ( \left ( \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0)) \right)\odot g(x_0)\right) +_m \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} f(x_0+_n t\cdot_n v)\odot \left (\dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0 +_n t\cdot_nv) - g(x_0)) \right) \right) \\[0.5em]& = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \left ( \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot g(x_0)) \right) +_m \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \left (\dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n v)\odot g(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0+_n t\cdot_n v)\odot g(x_0) ) \right) \\[0.5em]& = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \left ( \dfrac{1}{t}\cdot_m ( f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot g(x_0)) +_m\dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n v) \odot g(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0+_n t\cdot_n v)\odot g(x_0) ) \right) \\[0.5em]& = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \left ( \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot g(x_0) +_m f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot g(x_0+_n t\cdot_n v) - f(x_0+_n t\cdot_n v)\odot g(x_0)) \right) \\[0.5em]& = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \left ( \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot g(x_0+_n t\cdot_n v)- f(x_0)\odot g(x_0) ) \right) \\[0.5em]& = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \left ( \dfrac{1}{t}\cdot_m (F(x_0 +_n t\cdot_nv)- F(x_0) ) \right) \\[0.5em]& = D_vF(x_0) \text{ 이다.}\end{align*}$
4.
1번으로 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}g(x_0+_nt\cdot_n v) = g(x_0)$이고 $g(x_0)$의 성분은 가역이므로
함수의 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}(g(x_0+_nt\cdot_n v))^{-1} = (g(x_0))^{-1}$이 되어
성분곱 정리와 성분곱 정리와 거리공간 정리와 함수의 극한 정리와 함수의 극한 정리로
$\begin{align*} & \dfrac{D_vf(x_0)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot D_vg(x_0)}{g(x_0)\odot g(x_0)} \\[0.5em] & = (g(x_0)\odot g(x_0))^{-1} \odot (D_vf(x_0)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot D_vg(x_0)) \\[0.5em] & = (g(x_0))^{-1}\odot (g(x_0))^{-1} \odot (D_vf(x_0)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot D_vg(x_0)) \\[0.5em] & = (g(x_0))^{-1}\odot \left ( \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}(g(x_0+_nt\cdot_n v))^{-1} \right ) \\ & \quad \odot \left(\left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0)) \right) \odot g(x_0) - f(x_0)\odot \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0 +_n t\cdot_nv) - g(x_0)) \right)\right) \\[0.5em] & = \left ( \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}(g(x_0))^{-1} \right ) \odot \left ( \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}(g(x_0+_nt\cdot_n v))^{-1} \right ) \\ & \quad \odot \left (\left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0)) \right) \odot \left ( \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}g(x_0) \right ) - \left ( \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m}f(x_0) \right ) \odot \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (g(x_0 +_n t\cdot_nv) - g(x_0)) \right)\right ) \\[0.5em] & = \left ( \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} (g(x_0))^{-1}\odot (g(x_0+_nt\cdot_n v))^{-1} \right ) \\ & \quad \odot \left (\left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot g(x_0)) \right) - \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0)\odot g(x_0 +_n t\cdot_nv) - f(x_0)\odot g(x_0)) \right)\right ) \\[0.5em] & = \left ( \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} (g(x_0))^{-1}\odot (g(x_0+_nt\cdot_n v))^{-1} \right ) \\ & \quad \odot \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot g(x_0 +_n t\cdot_nv) +_m f(x_0)\odot g(x_0)) \right) \\[0.5em] & = \left ( \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} (g(x_0))^{-1}\odot (g(x_0+_nt\cdot_n v))^{-1} \right ) \odot \left (\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot g(x_0) - f(x_0)\odot g(x_0 +_n t\cdot_nv) ) \right) \\[0.5em] & =\lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m \left ((g(x_0))^{-1}\odot (g(x_0+_nt\cdot_n v))^{-1}\odot f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot g(x_0) - (g(x_0))^{-1}\odot (g(x_0+_nt\cdot_n v))^{-1}\odot f(x_0)\odot g(x_0 +_n t\cdot_nv)\right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m \left (f(x_0 +_n t\cdot_nv)\odot (g(x_0+_nt\cdot_n v))^{-1} - f(x_0)\odot (g(x_0))^{-1} \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m \left (\dfrac{f(x_0 +_n t\cdot_nv)}{g(x_0+_nt\cdot_n v)} - \dfrac{f(x_0)}{g(x_0)} \right ) \\[0.5em] & = \lim_{t\to 0}^{A,d_1,d_m} \dfrac{1}{t}\cdot_m \left (G(x_0 +_n t\cdot_nv) - G(x_0) \right ) \\[0.5em] & = D_vG(x_0) \text{ 이다.}\end{align*}$
정리14
정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 $f_1,f_2,\cdots, f_m : E\to \mathbb{R}$이
모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))\in \mathbb{R}^m$이고
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$과 임의의 $x_0\in E$과 임의의 $v\in \mathbb{R}^n$에 대해
$0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $A = \{ t\in (0,\infty) : x_0 +_n t\cdot_n v\in E \}$의 집적점일때
$f$가 $x_0$에서 $v$방향으로 미분가능하기 위한 필요충분조건은 $f_1,f_2,\cdots, f_m$이 $x_0$에서 $v$방향으로 미분가능한 것이다.
이때 방향도함수 $D_vf(x_0) \in \mathbb{R}^m$과 $D_vf_1(x_0),D_vf_2(x_0),\cdots, D_vf_m(x_0) \in \mathbb{R}$은
$D_vf(x_0) = (D_vf_1(x_0),D_vf_2(x_0),\cdots, D_vf_m(x_0))$이 성립한다.
증명
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$일때
$f$가 $x_0$에서 $v$방향으로 미분가능하면
$D_vf(x_0) = (L_1,L_2,\cdots, L_m)\in \mathbb{R}^m$과 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x_0 +_n t\cdot_nv \in E$이고 $0< t< \delta(\epsilon)$인 모든 $t \in \mathbb{R}$가
$\left \lVert \dfrac{1}{t} \cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_n v) - f(x_0)) - D_vf(x_0) \right \rVert_m < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하여 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해
$\begin{align*} \left | \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n v) - f_i(x_0)}{t} - L_i\right | & = \sqrt{ \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n v) - f_i(x_0)}{t} - L_i\right )^2} \\[0.5em] & \le \sqrt{ \sum_{i=1}^m \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n v) - f_i(x_0)}{t} - L_i\right )^2} = \left \lVert \dfrac{1}{t} \cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_n v) - f(x_0)) - D_vf(x_0) \right \rVert_m \\[0.5em] & \lt \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$
함수의 극한의 정의와 방향도함수의 정의로 $D_{v}f_i(x_0) = L_i$임에 따라
$D_vf(x_0) =(L_1,L_2,\cdots, L_m) =(D_vf_1(x_0),D_vf_2(x_0),\cdots, D_vf_m(x_0))$이다.
역으로 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $f_i$가 $x_0$에서 $v$방향으로 미분가능하면
$L= (D_vf_1(x_0),D_vf_2(x_0),\cdots, D_vf_m(x_0))\in \mathbb{R}^m$과 모든 $\epsilon > 0$에 대해
$x_0 +_n t\cdot_nv \in E$이고 $0< t< \delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}})$인 모든 $t \in \mathbb{R}$가
$\begin{align*} \left | \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n v) - f_i(x_0)}{t} - D_vf_i(x_0) \right | \lt \dfrac{\epsilon}{\sqrt{m}} \end{align*}$이 되는 $\delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) > 0$이 존재하여
$x_0 +_n t\cdot_nv\in E$이고 $0< t< \min \{\delta_1(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}),\delta_2(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}),\cdots, \delta_m(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) \}$인 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해
$\begin{align*} \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n v) - f_i(x_0)}{t} - D_vf_i(x_0) \right )^2 = \left | \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n v) - f_i(x_0)}{t} - D_vf_i(x_0) \right |^2 \lt \dfrac{\epsilon^2}{m} \end{align*}$이고
$\begin{align*} \sum_{i=1}^m \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n v) - f_i(x_0)}{t} - D_vf_i(x_0)\right )^2 \lt \epsilon^2 \end{align*}$이므로
$\begin{align*} \left \lVert \dfrac{1}{t} \cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_n v) - f(x_0)) - L \right \rVert_m & = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n v) - f_i(x_0)}{t} - D_vf_i(x_0) \right )^2} \lt \epsilon \end{align*}$임에 따라
함수의 극한의 정의와 방향도함수의 정의로 $D_{v}f(x_0) = L$이다.
정의3
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$이고
위 정의에 나온 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$, $(\mathbb{R},d_1)$일때
편도함수(partial derivative) :
임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 $x_0\in E$과 임의의 $j= 1,2,\cdots,n$에 대해
$0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $S_j = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : x_0 +_n t\cdot_n e_j\in E \}$의 집적점이고
$f:E\to \mathbb{R}^m$의 함수의 극한 $\displaystyle \lim_{t\to 0}^{S_j,d_1,d_m} \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) = L \in \mathbb{R}^m$이 존재하면
임의의 $x \in E$를 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)$으로 표기할때 $f$가 $x_0$에서 변수 $x_j$에 대해 편미분가능하다고 정의하고
$x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $f$의 편도함수를 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) = L$로 정의한다.
반복(iterated)편도함수 :
$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $E\subseteq \mathbb{R}^n$가 정의역인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 임의의 $j= 1,2,\cdots,n$에 대해
$f$가 모든 $x_0\in E$에서 변수 $x_j$에 대해 편미분가능하면
$E$에서 변수 $x_j$에 대해 편미분가능하다고 정의하고 $E$에서 변수 $x_j$에 대한 편도함수를 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}} : E\to \mathbb{R}^m $로 표기한다.
또 임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}$가 $E$에서 변수 $x_i$에 대해 편미분가능하면
$E$에서 변수 $x_i$에 대한 편도함수를 $\dfrac{\partial}{\partial{x_i}}\left (\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}} \right )$ 또는 $\dfrac{\partial^2{f}}{\partial {x_i} \partial{x_j}}$로 표기하고 $i = j$일때는 $\dfrac{\partial^2{f}}{\partial{x_i^2}}$로 표기한다.
고계(higher) 반복편도함수 :
$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합 $E\subseteq \mathbb{R}^n$가 정의역인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 임의의 $j= 1,2,\cdots,n$에 대해
$E$에서 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}} : E\to \mathbb{R}^m $을 $E$에서 $f$의 $1$계 편도함수로 정의하고
모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $i_1,i_2,\cdots, i_k = 1,2,\cdots, n$인
$E$에서 $f$의 $k$계 편도함수 $\dfrac{\partial^k f}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_2} \partial x_{i_1} } : E\to \mathbb{R}^m$가 귀납적으로 정의될때
임의의 $i_{k+1}= 1,2,\cdots,n$에 대해
$E$에서 $\dfrac{\partial^k f}{\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_2} \partial x_{i_1} }$의 변수 $x_{i_{k+1}}$에 대한 편도함수 $\dfrac{\partial^{k+1} f}{\partial x_{i_{k+1}}\partial x_{i_k}\cdots \partial x_{i_2} \partial x_{i_1} } : E\to \mathbb{R}^m$를
$E$에서 $f$의 $k+1$계 편도함수로 정의한다.
또 $E$에서 $f$의 $0$계 편도함수는 $f$로 정의한다.
정리10
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$이고
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$과 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 $x_0\in E$과 임의의 $j =1,2,\cdots, n$에 대해
$0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 집합 $S_j = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : x_0 +_n t\cdot_n e_j\in E \}$의 집적점일때
모든 $x\in E$가 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x))$인
함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 $f_1,f_2,\cdots, f_m:E\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.
1. 임의의 $i=1,2,\cdots,m$에 대해
모든 $t\in S_j\cup \{0\}$가 $g_{i,j}(t) = f_i(x_0 +_n t\cdot_n e_j)$인 함수가 $g_{i,j} : S_j\cup \{0\} \to \mathbb{R}$일때
$f_i$가 $x_0$에서 변수 $x_j$에 대해 편미분가능하기 위한 필요충분조건은 $g_{i,j}$가 $0$에서 미분가능한 것이다.
이때 $f_i$의 편도함수와 $g_{i,j}$의 도함수에 대해 $\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) = g_{i,j}'(0)$이 성립한다.
2. $x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하기 위한 필요충분조건은
모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $f_i$의 편도함수 $\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0)\in \mathbb{R}$이 존재하는 것이다.
이때 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)= \left ( \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_j}}(x_0),\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_j}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_j}}(x_0) \right ) $이 성립한다.
증명
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$일때
1.
$\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) $가 존재하면 편도함수의 정의로 $\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) =\displaystyle \lim_{t\to 0}^{S_j,d_1,d_m} \frac{1}{t}\cdot_m (f(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) $이므로
모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x_0 +_n t\cdot_ne_j \in E$이고 $0< |t - 0| = |t|< \delta(\epsilon)$인 모든 $t \in \mathbb{R}$가
$\begin{align*} \left | \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} - \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right | \lt \epsilon \end{align*}$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하여
$\begin{align*} \left |\dfrac{g_{i,j}(t) - g_{i,j}(0)}{t -0} -\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right |=\left | \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} - \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right | \lt \epsilon \end{align*}$임에 따라
미분의 정의로 $g_{i,j}$는 $0$에서 미분가능하고 $g_{i,j}'(0) = \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) $이다.
역도 비슷하게 성립한다.
2.
$\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)$이 존재하면
$\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) = (L_1,L_2,\cdots, L_m)\in \mathbb{R}^m$과 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x_0 +_n t\cdot_ne_j \in E$이고 $0< |t|< \delta(\epsilon)$인 모든 $t \in \mathbb{R}$가
$\left \lVert \dfrac{1}{t} \cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) - \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) \right \rVert_m < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하여 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해
$\begin{align*} \left | \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} - L_i\right | & = \sqrt{ \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} - L_i\right )^2} \\[0.5em] & \le \sqrt{ \sum_{i=1}^m \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} - L_i\right )^2} = \left \lVert \dfrac{1}{t} \cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) - \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)\right \rVert_m \\[0.5em] & \lt \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$
함수의 극한의 정의와 편도함수의 정의로 $\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) = L_i$임에 따라
$\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) =(L_1,L_2,\cdots, L_m) = \left (\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_j}}(x_0),\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_j}}(x_0),\cdots, \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_j}}(x_0) \right )$이다.
역으로 모든 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 $\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0)$가 존재하면
$L= \left (\dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_j}}(x_0),\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_j}}(x_0),\cdots, \dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_j}}(x_0) \right )\in \mathbb{R}^m$과 모든 $\epsilon > 0$에 대해
$x_0 +_n t\cdot_ne_j \in E$이고 $0< |t| < \delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}})$인 모든 $t \in \mathbb{R}$가
$\begin{align*} \left | \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} - \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right | \lt \dfrac{\epsilon}{\sqrt{m}} \end{align*}$이 되는 $\delta_i(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) > 0$이 존재하여
$x_0 +_n t\cdot_ne_j\in E$이고 $0< |t|< \min \{\delta_1(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}),\delta_2(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}),\cdots, \delta_m(\frac{\epsilon}{\sqrt{m}}) \}$인 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해
$\begin{align*} \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} - \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right )^2 = \left | \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} - \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right |^2 \lt \dfrac{\epsilon^2}{m} \end{align*}$이고
$\begin{align*} \sum_{i=1}^m \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} - \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right )^2 \lt \epsilon^2 \end{align*}$이므로
$\begin{align*} \left \lVert \dfrac{1}{t} \cdot_m (f(x_0 +_n t\cdot_n e_j) - f(x_0)) - L \right \rVert_m & = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left ( \dfrac{f_i(x_0+_nt\cdot_n v) - f_i(x_0)}{t} - \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right )^2} \lt \epsilon \end{align*}$임에 따라
함수의 극한의 정의와 편도함수의 정의로 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) = L$이다.
정리16
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$이고
위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R},d_1)$과 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 임의의 $x_0\in E$과 임의의 $j =1,2,\cdots, n$와
집합 $S_j = \{ t\in \mathbb{R}\setminus \{0\} : x_0 +_n t\cdot_n e_j\in E \}$에 대해 $0$이 $(\mathbb{R},d_1)$에서 $S_j \cap (0,\infty)$와 $S_j \cap (-\infty, 0)$의 집적점일때
$x_0$에서 변수 $x_j$에 대한 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하기 위한 필요충분조건은
$x_0$에서 $f$의 $e_j,-e_j$방향도함수 $D_{e_j}f(x_0), D_{-e_j}f(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하고 $D_{e_j}f(x_0) = -D_{-e_j}f(x_0)$인 것이다.
이때 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)= D_{e_j}f(x_0) = -D_{-e_j}f(x_0)$이 성립한다.
증명
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$이고
모든 $x\in E$에 대해 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x))\in \mathbb{R}^m$인 함수가 $f_1,f_2,\cdots, f_m : E\to \mathbb{R}$이고
임의의 $i=1,2,\cdots,m$에 대해 모든 $t\in S_j\cup \{0\}$가 $g_{i,j}(t) = f_i(x_0 +_n t\cdot_n e_j)$인 함수가 $g_{i,j} : S_j\cup \{0\} \to \mathbb{R}$일때
$A_j = \{ x\in (0,\infty) : x_0+_n t\cdot_n e_j\in E\} =S_j \cap (0,\infty)$이므로 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)$이 존재하면
위 정리로 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)= \left ( \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_j}}(x_0),\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_j}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_j}}(x_0) \right ) $이고 편도함수의 정의로
모든 $i = 1,2,\cdots, m$에 대해 $\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) = \displaystyle \lim_{t\to 0}^{S_j,d_1,d_1}\dfrac{f_i(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} = \lim_{t\to 0} \dfrac{g_{i,j}(t) -g_{i,j}(0)}{t-0}$이 되어
편측극한 정리와 방향도함수의 정의와 함수의 극한 정리와 편측극한 정리로
$\displaystyle \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) = \lim_{t\to 0}\dfrac{g_{i,j}(t) - g_{i,j}(0)}{t-0} =\lim_{t\to 0+}\dfrac{g_{i,j}(t)-g_{i,j}(0)}{t} = \lim_{t\to 0}^{A_j,d_1,d_1} \dfrac{f_i(x_0+_n t\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} = D_{e_j}f_i(x_0)$이고
$\begin{align*} \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) &=\lim_{t\to 0}\dfrac{g_{i,j}(t) - g_{i,j}(0)}{t-0} \\[0.5em] &= \lim_{t\to 0}\dfrac{ g_{i,j}(0) -g_{i,j}(t) }{0-t} \\[0.5em] &= \lim_{t\to 0-}\dfrac{ g_{i,j}(0) -g_{i,j}(t) }{-t} \\[0.5em] & = \lim_{t\to 0+}\dfrac{g_{i,j}(0) - g_{i,j}(-t)}{t} \\[0.5em]&= \lim_{t\to 0+}\dfrac{-(g_{i,j}(-t) - g_{i,j}(0)) }{t} \\[0.5em]&= -\lim_{t\to 0+}\dfrac{g_{i,j}( -t ) - g_{i,j}(0) }{t} \\[0.5em]&= -\lim_{t\to 0}^{A_j,d_1,d_1} \dfrac{f_i(x_0- t\cdot_n e_j) - f_i(x_0)}{t} \\[0.5em]&= -\lim_{t\to 0}^{A_j,d_1,d_1} \dfrac{f_i(x_0+_n t\cdot_n (-e_j)) - f_i(x_0)}{t} \\[0.5em]&= -D_{-e_j}f_i(x_0) \text{ 임에 따라} \end{align*}$
위 정리로
$D_{e_j}f(x_0) = (D_{e_j}f_1(x_0),D_{e_j}f_2(x_0),\cdots, D_{e_j}f_m(x_0))= \left ( \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_j}}(x_0),\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_j}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_j}}(x_0) \right ) = \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)$과
$-D_{-e_j}f(x_0) = (-D_{-e_j}f_1(x_0),-D_{-e_j}f_2(x_0),\cdots, -D_{-e_j}f_m(x_0)) = \left ( \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_j}}(x_0),\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_j}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_j}}(x_0) \right ) =\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)\text{ 이 성립하므로}$
$D_{e_j}f(x_0) = \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)= -D_{-e_j}f(x_0)$이다.
역도 비슷하게 성립한다.
정리12
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$의 순서기저가 $\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$이고
정의역이 $E\subseteq \mathbb{R}^n$인 함수가 $f:E\to \mathbb{R}^m$이고 위 정의에 나온 거리공간이 $(\mathbb{R}^n,d_n)$, $(\mathbb{R}^m,d_m)$일때
$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합인 임의의 $F\subseteq E$와 모든 $j =1,2,\cdots, n$에 대해
$F$에서 편도함수 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}} : F \to \mathbb{R}^m$가 존재하고 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}$가 $(F,d_n)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0\in F$에서 연속이면
$f$는 $x_0$에서 미분가능하고 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$은 $Df(x_0)(e_j) = \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) $이다.
증명
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$위의 점곱 내적공간의 노름이 $\lVert \cdot \rVert_n :\mathbb{R}^n\to [0,\infty)$과 $\lVert \cdot \rVert_m :\mathbb{R}^m\to [0,\infty)$이고
모든 $x\in E$가 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots, f_m(x)) \in \mathbb{R}^m$인 함수가 $f_1,f_2,\cdots,f_m:E\to \mathbb{R}$일때
$\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}$가 $(F,d_n)$와 $(\mathbb{R}^m,d_m)$에 대해 $x_0$에서 연속이므로 모든 $\epsilon >0$에 대해
$\lVert x-x_0\rVert_n < \delta_j(\frac{\epsilon}{n\cdot m})$인 모든 $x\in F$가 $\left \lVert \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x) - \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) \right \rVert_m < \dfrac{\epsilon}{n\cdot m}$이 되는 $\delta_j(\frac{\epsilon}{n\cdot m}) > 0$이 존재하고
열린집합 정리로 $F$의 모든 점은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $F$의 내부점이므로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,r) \subseteq F$인 $r >0$이 존재하여
$\delta = \min \{ \delta_1(\frac{\epsilon}{n\cdot m}), \delta_2(\frac{\epsilon}{n\cdot m}),\cdots, \delta_n(\frac{\epsilon}{n\cdot m}) , r\} > 0$으로 두면 모든 $j =1,2,\cdots, n$와 모든 $x\in E$에 대해
$\lVert x-x_0\rVert_n < \delta$일때 $x\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,\delta) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,r) \subseteq F$와 $\left \lVert \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x) - \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) \right \rVert_m < \dfrac{\epsilon}{n\cdot m}$이 성립하고
$x- x_0 \in \mathbb{R}^n$이므로 기저정리로 $x - x_0 = v_1\cdot_n e_1 +_n v_2\cdot_n e_2 +_n\cdots +_n v_n\cdot_n e_n = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$인
$v_1,v_2,\cdots,v_n\in \mathbb{R}$이 존재하여 $|v_j|=\sqrt{v_j^2}\le \sqrt{v_1^2 + v_2^2 +\cdots + v_n^2} = \lVert (v_1,v_2,\cdots,v_n)\rVert_n = \lVert x-x_0\rVert_n$이다.
또 임의의 $i = 1,2,\cdots, m$에 대해 위 정리와 도함수 정리와 평균값 정리로
$f_i(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1) - f_i(x_0) = v_1\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_1}}(x_0+_n t_i\cdot_n e_1)$이고 $|t_i|\le |v_1| = |v_1 - 0|$인 $t_i \in \mathbb{R}$가 존재하여
노름의 정의로 $\lVert x_0+_n t_i\cdot_n e_1 -x_0\rVert_n = \lVert t\cdot_n e_1\rVert_n =|t_i|\cdot \lVert e_1\rVert_n =|t_i| \le |v_1| \le \lVert x-x_0\rVert_n<\delta$이고
$x_0 +_n t_i\cdot_n e_1\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,\delta)$이므로
$\begin{align*} \left | f_i(x_0+_nv_1\cdot_ne_1) - f_i(x_0) - v_1\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_1}}(x_0) \right | & = \left |v_1\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_1}}(x_0+_n t_i\cdot_n e_1) - v_1\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_1}}(x_0) \right | \\[0.5em] & = |v_1|\cdot \left | \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_1}}(x_0+_n t_i\cdot_n e_1) - \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_1}}(x_0) \right | \\[0.5em] & \le |v_1|\cdot \left \lVert \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0+_n t_i\cdot_n e_1) - \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) \right \rVert_m \\[0.5em] & \le |v_1|\cdot \dfrac{\epsilon}{n\cdot m} \\[0.5em] & \le \lVert x-x_0\rVert_n\cdot \dfrac{\epsilon}{n\cdot m}\text{ 임에 따라} \end{align*}$
$\begin{align*} \left \lVert f(x_0+_nv_1\cdot_ne_1) - f(x_0) - v_1\cdot_m \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) \right \rVert_m \le \sum_{i=1}^m \left | f_i(x_0+_nv_1\cdot_ne_1) - f_i(x_0) - v_1\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_1}}(x_0) \right | & \le \lVert x-x_0\rVert_n\cdot \dfrac{\epsilon}{n} \text{ 이다.} \end{align*}$
$j > 1$일때 위 정리와 도함수 정리와 평균값 정리로
$\begin{align*} & f_i(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} +_n v_j\cdot_n e_j) - f_i(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} ) \\ & = v_j\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0+_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} +_n t_{i,j}\cdot_n e_j) \text{ 이고}\end{align*} $
$|t_{i,j}|\le |v_j|$인 $t_{i,j} \in \mathbb{R}$가 존재하여 $x_0+_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} +_n t_{i,j}\cdot_n e_j\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x_0,\delta)$이므로
$\begin{align*} & \left |f_i(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} +_n v_j\cdot_n e_j) - f_i(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} ) - v_j\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right | \\ & = \left |v_j\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0+_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} +_n t_{i,j}\cdot_n e_j)- v_j\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right | \\[0.5em] & = |v_j|\cdot \left |\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0+_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} +_n t_{i,j}\cdot_n e_j) - \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right | \\[0.5em] & \le |v_j|\cdot \left \lVert \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0+_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} +_n t_{i,j}\cdot_n e_j) - \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) \right \rVert_m \\[0.5em] & \le |v_j|\cdot \dfrac{\epsilon}{n\cdot m} \\[0.5em] & \le \lVert x-x_0\rVert_n\cdot \dfrac{\epsilon }{n\cdot m} \text{ 임에 따라} \end{align*}$
$\begin{align*} &\left \lVert f(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} +_n v_j\cdot_n e_j) - f(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1}) - v_j\cdot_m \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) \right \rVert_m \\ & \le \sum_{i=1}^m \left | f_i(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1} +_n v_j\cdot_n e_j) - f_i(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1 +_n \cdots+_n v_{j-1}\cdot_n e_{j-1}) - v_j\cdot \dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0) \right | \\[0.5em] & \le \lVert x-x_0\rVert_n\cdot \dfrac{\epsilon}{n} \text{ 이다.} \end{align*}$
따라서 선형변환 정리로 모든 $j =1,2,\cdots, n$에 대해 $L(e_j) = \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) $인
$(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$에서 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$으로의 선형변환 $L :\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m$이 유일하게 존재하여
$\begin{align*} L(x-x_0) & = L(v_1\cdot_n e_1 +_n v_2\cdot_n e_2+_n\cdots +_n v_n\cdot_n e_n) \\[0.5em] & = v_1\cdot_m L(e_1) +_m v_2\cdot_m L(e_2) +_m\cdots +_m v_n\cdot_m L(e_n) \\[0.5em] & = v_1\cdot_m \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) +_m v_2\cdot_m \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_2}}(x_0) +_m\cdots +_m v_n\cdot_m \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) \text{ 이므로} \end{align*}$
$\lVert x-x_0\rVert_n < \delta$인 모든 $x\in E$에 대해 노름의 정의로
$\begin{align*} & \left \lVert f(x) - f(x_0) - L(x-x_0) \right \rVert_m = \left \lVert f(x_0 +_n \sum_{j=1}^n v_j\cdot_n e_j) - f(x_0) - \sum_{j=1}^n v_j\cdot_m \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) \right \rVert_m \\[0.5em] & = \left \lVert f(x_0 +_n \sum_{j=1}^n v_j\cdot_n e_j) +_m \sum_{k=1}^{n-1}\left (- f(x_0 +_n \sum_{j=1}^{k} v_j\cdot_n e_j) +_m f(x_0+_n \sum_{j=1}^{k}v_j \cdot_n e_j) \right ) - f(x_0) - \sum_{j=1}^n v_j\cdot_m \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0) \right \rVert_m \\[0.5em] & \le \left \lVert f(x_0 +_n \sum_{j=1}^n v_j\cdot_n e_j) - f(x_0 +_n \sum_{j=1}^{n-1} v_j\cdot_n e_j) - v_n\cdot_m \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_n}}(x_0) \right \rVert_m + \cdots + \left \lVert f(x_0 +_n v_1\cdot_n e_1) - f(x_0) - v_1\cdot_m \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_1}}(x_0) \right \rVert_m \\[0.5em] & \le \lVert x-x_0\rVert_n\cdot \epsilon \text{ 임에 따라} \end{align*}$
$0 < \lVert x-x_0\rVert_n < \delta$이면 $\begin{align*} \dfrac{\left \lVert f(x) - f(x_0) - L(x-x_0) \right \rVert_m}{\lVert x-x_0\rVert_n} \le \epsilon \end{align*}$이고
$\epsilon$은 임의이므로 함수의 극한의 정의와 미분의 정의로 $Df(x_0) = L $이다.
정리13(야코비[Jacobian] 행렬)
실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot, 0,1)$위의 $n,m\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간이 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$이고
벡터공간 정리에 나온 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$과 $(\mathbb{R}^m,+_m,\cdot_m,\vec{0}_m)$의 순서기저가 $\beta$와 $\gamma$일때
임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$와 위 정의에 나온 거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $E$의 내부점인 $x_0\in E$과
모든 $x\in E$가 $f(x) = (f_1(x),f_2(x),\cdots,f_m(x))$인 함수 $f:E\to \mathbb{R}^m$와 $f_1,f_2,\cdots, f_m:E\to \mathbb{R}$에 대해
$f$가 $x_0$에서 미분가능하면 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $f$의 편도함수 $\dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)\in \mathbb{R}^m$이 존재하고
$\beta,\gamma$에 대한 $f$의 도함수 $Df(x_0) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$의 행렬표현 $[Df(x_0)]_\beta^\gamma\in M_{m\times n}(\mathbb{R})$의 성분은
모든 $i=1,2,\cdots, m$에 대해 $f_i$의 편도함수 $([Df(x_0)]_\beta^\gamma)_{i,j} =\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0)\in \mathbb{R}$이다.
증명
$\beta = (e_1,e_2,\cdots, e_n)$일때 모든 $i=1,2,\cdots, m$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해
위 정리와 선형변환 정리로 $D_{e_j}f(x_0) = Df(x_0)(e_j) = -Df(x_0)(-e_j) = -D_{-e_j}f(x_0)$이므로
위 정리와 위 정리로 $Df(x_0)(e_j) = \dfrac{\partial{f}}{\partial{x_j}}(x_0)= \left ( \dfrac{\partial{f_1}}{\partial{x_j}}(x_0),\dfrac{\partial{f_2}}{\partial{x_j}}(x_0),\cdots,\dfrac{\partial{f_m}}{\partial{x_j}}(x_0) \right ) $이 되어
행렬표현의 정의로 $([Df(x_0)]_\beta^\gamma)_{i,j} =\dfrac{\partial{f_i}}{\partial{x_j}}(x_0)$이다.
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정의의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/92#def번호
번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
정리의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/92#thm번호
번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.
틀린 내용이 존재할 수 있습니다.
출처(저자 - 제목 - ISBN13)
Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808
Walter Rudin - Principles of Mathmatical Analysis - 9788956152714
Jerrold E. Marsden - Vector Calculus - 9791196120313
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