부등식(Inequality), 절댓값(Absolute value)

정의3(부등식)

임의의 실수 $a,b\in \mathbb{R}$와 양의 실수집합 $\mathbb{R}^+$에 대해

$a-b \in \mathbb{R}^+$이면 $a > b$ 또는 $b < a$로 정의한다. 

$a-b \in \mathbb{R}^+ \cup \left \{ 0 \right\}$이면 $a \ge b$ 또는 $b \le a$로 정의한다. $\phantom{\displaystyle \sum_{i=1}^n}$

 

 

 

정리22

임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 $a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 하나만 성립한다.

증명

$a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 하나가 성립함을 보인다.

삼분법으로 $a - b \in \mathbb{R}^+$ 또는 $a - b = 0$ 또는 $a - b \in \mathbb{R}^-$ 중 하나가 성립하므로

$a - b \in \mathbb{R}^+$이면 부등식의 정의로 $a >b$이고

$a -b = 0$이면 실수 연산정리로 $a = a + b -b = a-b + b =0+b = b$이고

$a - b \in \mathbb{R}^-$이면

순서성질로 $-(a-b) \in \mathbb{R}^+$이고 덧셈 역원의 정의와 실수 연산정리로

$-(a-b) = (-1)\cdot (a-b) = (-1)\cdot (a + (-1)\cdot b)) = (-1)\cdot a + (-1)\cdot (-1)\cdot b = b-a$이므로

$b-a = -(a-b) \in \mathbb{R}^+$가 되어 부등식의 정의로 $b > a$이다.

$a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 두개가 성립한다고 가정할때

경우 1 : $a > b$이고 $a = b$이면

$a > b$이므로 부등식의 정의로 $a - b \in \mathbb{R}^+$인데

$a = b$이므로 실수 연산정리로 $0 = b + (-b) = a + (-b) = a- b$가 되어 삼분법에 모순이다.

경우 2 : $a = b$이고 $a < b$이면

$b > a$이므로 부등식의 정의로 $b - a \in \mathbb{R}^+$인데

$a = b$이므로 실수 연산정리로 $0 = a + (-a) = b + (-a) = b- a$가 되어 삼분법에 모순이다.

경우 2 : $a > b$이고 $a < b$이면

$a > b$이므로 $a -b \in \mathbb{R}^+$이고 $b > a$이므로 $b - a \in \mathbb{R}^+$인데

순서성질로 $a-b= -(b -a) \in \mathbb{R}^-$이므로 삼분법에 모순이다.

따라서 $a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 하나만 성립한다.

 

 

 

정리21

임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

반사성 : $a\ge a$

추이성 :

1. $a >b$이고 $b>c$이면 $a>c$이다.

2. $a \ge b$이고 $b \ge c$이면 $a\ge c$이다.

3. $a \ge b$이고 $b>c$이면 $a>c$이다.

4. $a > b$이고 $b \ge c$이면 $a> c$이다.

반대칭성 : $a = b$이기 위한 필요충분조건은 $a \ge b$이고 $b \ge a$인 것이다.

증명

반사성

실수 연산정리로 $a - a = 0$이므로 부등식의 정의로 $a\ge a$이다.

추이성

1.

$a >b$이고 $b>c$이면 부등식의 정의로 $a-b \in \mathbb{R}^+$이고 $b-c \in \mathbb{R}^+$이므로

순서성질과 실수 연산정리로 $(a -b) +(b -c) = a-c \in \mathbb{R}^+$가 되어 부등식의 정의로 $a>c$이다.

2.

$a \ge b$이고 $b\ge c$이면 부등식의 정의로 $a-b \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0\}$이고 $b-c \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0 \}$이므로

순서성질과 실수 연산정리로 $(a -b) +(b -c) = a-c \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$가 되어 부등식의 정의로 $a \ge c$이다.

3.

$a \ge b$이고 $b>c$이면 부등식의 정의로 $a-b \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0\}$이고 $b-c \in \mathbb{R}^+$이므로

$a-b \in \mathbb{R}^+$일때 

순서성질과 실수 연산정리로 $(a -b) +(b -c) = a-c \in \mathbb{R}^+ $가 되어 부등식의 정의로 $a > c$이다.

$a-b = 0$일때 

실수 연산정리로 $b-c = 0 +(b-c) = (a -b) +(b -c) = a-c \in \mathbb{R}^+$가 되어 부등식의 정의로 $a > c$이다.

4.

$a > b$이고 $b\ge c$이면 부등식의 정의로 $a-b \in \mathbb{R}^+$이고 $b-c \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이므로

$b-c \in \mathbb{R}^+$일때 

순서성질과 실수 연산정리로 $(a -b) +(b -c) = a-c \in \mathbb{R}^+ $가 되어 부등식의 정의로 $a > c$이다.

$b-c = 0$일때 

실수 연산정리로 $a-b = (a-b) + 0 = (a -b) +(b -c) = a-c \in \mathbb{R}^+$가 되어 부등식의 정의로 $a > c$이다.

반대칭성

$a = b$이면

실수 연산정리로 $a-b = a-a = 0 \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이므로 $a \ge b$이고

실수 연산정리로 $b -a = b-b = 0 \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이므로 $b \ge a$이다.

$a \ge b$이고 $b \ge a$이면

부등식의 정의로 $a-b  \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이고 $b -a  \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이다.

$a \ne b$라고 가정하면 실수 정리로 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$은 체이고 체의 정리로 $a - c = 0 = a - a$인 $c \in \mathbb{R}$는 유일하므로

$a -b \ne 0$이 되어 $a - b \in \mathbb{R}^+$이고 순서성질로 $b-a = -(a-b) \in \mathbb{R}^-$가 되어 삼분법에 모순이므로 $a = b$이다.

 

 

 

정리1

임의의 실수 $a,b,c \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a>b$이면 $a+c > b+c$이다.

2. $a\ge b$이면 $a+c \ge b+c$이다.

3. $a >b$이고 $c > 0$이면 $c\cdot a > c\cdot b$이다.

4. $a \ge b$이고 $c \ge 0$이면 $c\cdot a \ge c\cdot b$이다.

5. $a >b$이고 $c < 0$이면 $c\cdot a < c\cdot b$이다.

6. $a \ge b$이고 $c \le 0$이면 $c\cdot a \le c\cdot b$이다.

증명

1.

$a>b$이면 부등식의 정의로 $a - b \in \mathbb{R}^+ $가 되어

실수 연산정리로 $(a+c) -(b +c) = a-b \in  \mathbb{R}^+$이므로 부등식의 정의로 $a+c > b+c$이다.

2.

$a\ge b$이면 부등식의 정의로 $a - b \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0 \} $가 되어

실수 연산정리로 $(a+c) -(b +c) = a-b \in  \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$이므로 부등식의 정의로 $a+c \ge b+c$이다.

3.

$a >b$이고 $c > 0$이면 부등식의 정의와 실수 연산정리로 $a - b, c = c-0 \in \mathbb{R}^+ $가 되어

순서성질과 실수 연산정리로 $c\cdot a-c\cdot b = c\cdot (a-b) \in \mathbb{R}^+ $이므로 부등식의 정의로 $c\cdot a > c\cdot b$이다.

4.

$a \ge b$이고 $c \ge 0$이면 부등식의 정의와 실수 연산정리로 $a - b, c = c -0 \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$가 되어

순서성질과 실수 연산정리로 $c\cdot a-c\cdot b = c\cdot (a-b) \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이므로 부등식의 정의로 $c\cdot a \ge c\cdot b$이다.

5.

$a >b$이고 $c < 0$이면 부등식의 정의와 실수 연산정리로 $a - b, -c = 0 -c \in \mathbb{R}^+$가 되어

순서성질과 실수 연산정리로 $ c\cdot b - c\cdot a = -c\cdot (a-b) \in \mathbb{R}^+ $이므로 부등식의 정의로 $c\cdot b > c\cdot a$이다.

6.

$a \ge b$이고 $c \le 0$이면 부등식의 정의와 실수 연산정리로 $a - b, -c = 0 -c \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0 \}$가 되어

순서성질과 실수 연산정리로 $ c\cdot b - c\cdot a = -c\cdot (a-b) \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이므로 부등식의 정의로 $c\cdot b \ge c\cdot a$이다.

 

 

 

정리2

임의의 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a \ne 0$이면 $a^2 > 0$이다.

2. $1 > 0$

3. 임의의 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n >0$이다.

4. $a > 0$이면 $a^{-1} =\dfrac{1}{a} > 0$이고 $a < 0$이면 $a^{-1} = \dfrac{1}{a} < 0$이다.

증명

1.

$a \ne 0$이면 삼분법으로 $a \in \mathbb{R}^+$ 또는 $a \in \mathbb{R}^-$이므로

$a \in \mathbb{R}^+$이면

순서성질과 실수 연산정리로 $ a^2 - 0 = a\cdot a \in \mathbb{R}^+$이 되어 부등식의 정의로 $a^2 > 0$이다.

$a \in \mathbb{R}^-$이면

순서성질과 실수 연산정리로 $-a \in \mathbb{R}^+$이고 $a^2 -0 = a\cdot a = (-a)\cdot (-a) \in \mathbb{R}^+$이므로

부등식의 정의로 $a^2 > 0$이다.

2.

자연수 정리로 $1 = 0\!+\!+ \ne 0$이므로 실수 연산정리와 1번으로 $1 = 1 \cdot 1 = 1^2 > 0$이다.

3.

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 귀납법을 사용한다.

$n = 1$이면 2번으로 $1 >0$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k >0$이라 가정하면

부등식의 정의와 2번으로 $k \in \mathbb{R}^+$이고 $1 \in \mathbb{R}^+$이므로 순서성질로 $k + 1 \in \mathbb{R}^+$이고 부등식의 정의로 $k +1 >0$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n >0$이다.

4.

$a \ne 0$인 $a \in \mathbb{R}$는 실수 연산정리로 $a\cdot a^{-1} = a \cdot \dfrac{1}{a} = 1$이 되는 곱셈의 역원 $\dfrac{1}{a}$가 존재하여

2번과 부등식의 정의로 $a \cdot \dfrac{1}{a} = 1 \in \mathbb{R}^+$이므로 순서성질로 $ -1 \in \mathbb{R}^-$이다.

$a > 0$일때

$\dfrac{1}{a} \le 0$이라 가정하면 순서성질과 부등식의 정의로 $a \in \mathbb{R}^+$이고 $-\dfrac{1}{a} \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0 \}$이므로 

실수 연산정리와 순서성질로 $-1 = a\cdot \left ( -\dfrac{1}{a} \right) \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이 되어 삼분법에 모순이므로 $\dfrac{1}{a} > 0$이다.

$a < 0$일때 

$\dfrac{1}{a} \ge 0$이라 가정하면 순서성질과 부등식의 정의로 $-a \in \mathbb{R}^+$이고 $\dfrac{1}{a} \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0 \}$이므로

실수 연산정리와 순서성질로 $-1 = (-a) \cdot \dfrac{1}{a} \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0\}$이 되어 삼분법에 모순이므로 $\dfrac{1}{a} < 0$이다.

 

 

 

정리3

실수 $a \in \mathbb{R}$가 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $0 \le a < \epsilon$이면 $a = 0$이다.

증명

$a > 0$이라 가정하면

위 정리 3,4번으로 $2 > 0$이고 $\dfrac{1}{2} > 0$이므로 위 정리로 $\dfrac{1}{2}\cdot a > 0$이 되어 $\epsilon = \dfrac{1}{2}\cdot a$일때 $0 < a < \dfrac{1}{2}\cdot a$이다.

하지만 위 정리로 $0+ a < a + a = 2\cdot a$이고 $\dfrac{1}{2}\cdot a < \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot a = a$이므로

$\dfrac{1}{2}\cdot a <  a$와 $a < \dfrac{1}{2}\cdot a$가 동시에 성립하여 위 정리에 모순이므로 $a = 0$이다.

 

 

 

정리16

실수 $a \in \mathbb{R}$가 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $0 \le a \le \epsilon$이면 $a = 0$이다.

증명

$a > 0$이라 가정하면

위 정리 3,4번으로 $2 > 0$이고 $\dfrac{1}{2} > 0$이므로 위 정리로 $\dfrac{1}{2}\cdot a > 0$이 되어 $\epsilon = \dfrac{1}{2}\cdot a$일때 $0 < a \le \dfrac{1}{2}\cdot a$이다.

하지만 위 정리로 $0+ a < a + a = 2\cdot a$이고 $\dfrac{1}{2}\cdot a < \dfrac{1}{2}\cdot 2\cdot a = a$이므로

$\dfrac{1}{2}\cdot a <  a$와 $a \le \dfrac{1}{2}\cdot a$가 동시에 성립하여 위 정리에 모순이므로 $a = 0$이다.

 

 

 

정리18

실수 $a,b \in \mathbb{R}$가 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $a \le b +\epsilon$이면 $a \le b$이다.

증명

$a > b$라고 가정하면 부등식의 정의로 $a-b -0 = a - b \in \mathbb{R}^+$이므로 다시 $a - b > 0$이고

위 정리로 $a -b \le b + \epsilon - b = \epsilon$이 되어 $0< a- b \le \epsilon$이 된다.

하지만 $a - b \in \mathbb{R}^+ \subset \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$는 부등식의 정의로 $0\le a - b$이고

모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $0\le a- b \le \epsilon$이면 위 정리로 $a - b = 0$이므로

$a - b > 0$과 $a - b = 0$이 동시에 성립하여 위 정리에 모순이므로 $a \le b$이다.

 

 

 

정리4

실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a\cdot b >0$일때 $a > 0$이면 $b >0$이고 $ a<0$이면 $b <0$이다.

2. $a\cdot b <0$일때 $a < 0$이면 $b >0$이고 $ a>0$이면 $b <0$이다.

증명

1.

$a\cdot b >0$일때

$a > 0$이면 위 정리 4번으로 $\dfrac{1}{a } >0$이고 위 정리로 $b = \dfrac{1}{a}\cdot (a\cdot b) > 0$이다.

$a < 0$이면 위 정리 4번으로 $ \dfrac{1}{a} < 0$이고 위 정리로 $b = \dfrac{1}{a}\cdot (a\cdot b) < 0$이다.

2.

$a \cdot b < 0$일때

$a < 0$이면 위 정리 4번으로 $ \dfrac{1}{a} < 0$이고 위 정리로 $b = \dfrac{1}{a}\cdot (a\cdot b) > 0$이다.

$a > 0$이면 위 정리 4번으로 $\dfrac{1}{a } >0$이고 위 정리로 $b = \dfrac{1}{a}\cdot (a\cdot b) < 0$이다.

 

 

 

정리10

$a\ge 0$이고 $b\ge 0$인 임의의 $a,b\in \mathbb{R}$와 모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a <b$이기 위한 필요충분조건은 $a^n$ $ < b^n$인 것이다.

2. $a\le b$이기 위한 필요충분조건은 $a^n\le b^n$인 것이다.

증명

1.

$a <b$일때

$a^n < b^n$임을 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용하여 증명한다.

$n = 1$이면 자명하게 성립한다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a^k < b^k$일때 $a\ge 0$이므로 위 정리로 $a = 0$ 또는 $a > 0$이다.

$a = 0$이면

$b > a = 0$이고 귀납가정과 거듭제곱 정리로 $a^{k+1} = 0 = a^{k} < b^{k}$이므로 

위 정리로 $ a^{k+1}=0= 0\cdot b < b^{k} \cdot b = b^{k+1}$이다.

$a > 0$이면

위 정리로 $b > a >  0$이고 귀납가정으로 $a^{k} < b^{k}$이므로 위 정리로 $b \cdot a^k < b \cdot b^k = b^{k+1}$이고

귀납가정과 거듭제곱 정리로 $a^k > 0^k = 0$이므로 위 정리로 $a^{k+1} = a^k \cdot a < a^k \cdot b$이다. 

따라서 위 정리로 $a^{k+1} < b \cdot a^k < b^{k+1} $이 성립하므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a <b$이면 $a^n < b^n$이다.

역으로 $a^n < b^n$일때 

귀류법으로 $a \ge b$이라고 가정하면 $a = b$이거나 $a > b$이므로

$a = b$이면 $a^n = b^n$이 되어 위 정리에 모순이고 $a > b$이면 위에서 보였듯이 $a^n > b^n$이므로 위 정리에 모순이다.

따라서 $a^n < b^n$이면 $a < b$이다.

2.

$a\le b$이면 위 정리로 $a = b$ 또는 $a < b$이므로

$a=b$일때 $a^n = b^n$이고 $a<b$일때 1번으로 $a^n < b^n$이 되어 $a^n \le b^n$이다.

역으로 $a^n\le b^n$이면 위 정리로 $a^n = b^n$ 또는 $a^n < b^n$이므로

$a^n = b^n$일때 $a\ne b$이면 $a< b$ 또는 $a >b$인데 1번으로 $a^n< b^n$ 또는 $a^n >b^n$이 되어 모순이므로 $a = b$이고

$a^n < b^n$이면 1번으로 $a<b $가 되어 $a\le b$이다.

 

 

 

정리11

$a\ge 0$이고 $b\ge 0$인 임의의 $a,b\in \mathbb{R}$와 모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a < b$이기 위한 필요충분조건은 $\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} < b^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{b}$인 것이다.

2. $a \le b$이기 위한 필요충분조건은 $\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n} \le b^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{b}$인 것이다.

증명

$n$제곱근의 존재성으로 $\sqrt[n]{a} \ge 0$과 $\sqrt[n]{b}  \ge 0$이 존재하여 위 정리로

$\sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}$이기 위한 필요충분조건은 $a=(\sqrt[n]{a})^n < (\sqrt[n]{b})^n = b$이고

$\sqrt[n]{a} \le \sqrt[n]{b}$이기 위한 필요충분조건은 $a=(\sqrt[n]{a})^n \le (\sqrt[n]{b})^n = b$이다.

 

 

 

정리12(베르누이[Bernoulli] 부등식)

$x > -1$이면 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대하여 $(1 + x)^n$ $ \ge 1 + n\cdot x$이다.

증명

$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 0$이면 거듭제곱의 정의로 $(1 + x)^0  = 1= 1 + 0\cdot x $이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 성립한다고 가정하면 

$x = 0$일때 거듭제곱 정리로 $(1 + 0)^{k+1} = 1^{k+1} = 1= 1 + (k+1)\cdot 0$이고

$x \ne 0$일때 위 정리 1,3번으로 $x^2 >0$이고 $k > 0$이므로 위 정리로 $k \cdot x^2 > 0$이 되어

$(1 +x)^{k+1} = (1+x)^k \cdot (1+x) \ge (1+k\cdot x)\cdot (1+x) = 1 + (k+1)\cdot x+k\cdot x^2 > 1+(k+1)\cdot x$이므로

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $(1 + x)^n \ge 1 + n\cdot x$이다.

 

 

 

정리13

$m>n$인 양의 정수 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 다음이 성립한다.

1. $c > 1$이면 $c^m$ $ > c^n$이다.

2. $0< c <1$이면 $c^m < c^n$이다.

증명

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $c > 0$이면 위 정리와 거듭제곱 정리로 $c^k >  0^k = 0$이다.

위 정리로 $m - n > 0$이므로 정수 부등식 정리로 $m - n \in \mathbb{Z}^+$이다.

1.

$c > 1$이므로 위 정리로 $ c^{m-n} > 1^{m - n}  = 1$이고

$c^n > 0$이므로 위 정리와 거듭제곱 정리로 $c^{m-n} \cdot c^n = c^m > c^n = 1\cdot c^n $이다.

2.

$0<c < 1$ 이므로 위 정리로 $ c^{m-n} < 1^{m - n}  = 1$이고

$c^n > 0$이므로 위 정리와 거듭제곱 정리로 $c^{m-n} \cdot c^n = c^m < c^n = 1\cdot c^n  $이다.

 

 

 

정리14

$m>n$인 양의 정수 $m,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 다음이 성립한다.

1. $c > 1$이면 $c^{\frac{1}{m}} < c^{\frac{1}{n}}$이다.

2. $0< c <1$이면 $c^{\frac{1}{m}} > c^{\frac{1}{n}}$이다.

증명

$c > 0$이면 모든 $m, n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n$제곱근의 존재성으로 $c^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{c} > 0$이 존재하고

양의 유리수 거듭제곱 정리로 $ (c^m)^\frac{1}{n}= c^\frac{m}{n}= (c^\frac{1}{n})^m$이다.

$c^{\frac{1}{n}} > 0$이므로 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 위 정리로 $(c^{\frac{1}{n}})^k = c^{\frac{k}{n}}> 0^k = 0$이다.

1.

$m>n$이고 $c > 1$일때 $c^{\frac{1}{m}} \ge c^{\frac{1}{n}}$라고 가정하면 $c^{\frac{1}{m}} = c^{\frac{1}{n}}$이거나 $c^{\frac{1}{m}} > c^{\frac{1}{n}}$이다.

$c^{\frac{1}{m}} = c^{\frac{1}{n}}$이면

$(c^{\frac{1}{m}})^m = c = c^{\frac{m}{n}}$이고 $c^n = c^m= (c^{\frac{m}{n}})^n$이 되어 위 정리에 모순이고

$c^{\frac{1}{m}} > c^{\frac{1}{n}}$이면 

$m, n$에 대해 위 정리를 두 번 적용하여 $c^{\frac{m}{m}} = c > c^{\frac{m}{n}}$이고 $c^n > (c^{\frac{m}{n}})^n = c^m$이 되어

위 정리에 모순이므로 $c^{\frac{1}{m}} < c^{\frac{1}{n}}$이다.

2.

$m>n$이고 $0< c <1$일때 $c^{\frac{1}{m}} \le c^{\frac{1}{n}}$라고 가정하면 $c^{\frac{1}{m}} = c^{\frac{1}{n}}$이거나 $c^{\frac{1}{m}} < c^{\frac{1}{n}}$이다.

$c^{\frac{1}{m}} = c^{\frac{1}{n}}$이면

$(c^{\frac{1}{m}})^m = c = c^{\frac{m}{n}}$이고 $c^n = c^m = (c^{\frac{m}{n}})^n$이 되어 위 정리에 모순이고

$c^{\frac{1}{m}} < c^{\frac{1}{n}}$이면 

$m, n$에 대해 위 정리를 두 번 적용하여 $c^{\frac{m}{m}} = c < c^{\frac{m}{n}}$이고 $c^n < (c^{\frac{m}{n}})^n = c^m$이 되어

위 정리에 모순이므로 $c^{\frac{1}{m}} > c^{\frac{1}{n}}$이다.

 

 

 

정의2(절댓값)

실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $\left | a \right | = \begin{cases} a, & a > 0 \text{ 일때} \\ 0 , & a = 0 \text{ 일때} \\ -a , & a< 0 \text{ 일때} \end{cases}$ 를 $a$의 절댓값으로 정의한다.

 

 

 

정리19

임의의 $a \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\left | a \right | \ge 0$

2. $\left | a \right | = 0$이기 위한 필요충분조건은 $a = 0$인 것이다.

증명

1.

절댓값 정의로부터

$a >0$이면 $|a| = a > 0$이고

$a =0 $이면 $|a| = 0$이고

$a < 0$이면 위 정리로 $|a| = -a > 0$이므로

모든 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $\left | a \right | \ge 0$이다.

2.

절댓값의 정의로 $a =0 $이면 $|a| = 0$이고

역으로 $|a| = 0$일때 $a \ne 0 $이라 가정하면 

$a > 0$ 또는 $a < 0$이 되어 $a > 0$이면 $|a | > 0$로 모순이고 $a < 0$이면 $|a | < 0$로 모순이므로 $a = 0$이다.

 

 

 

정리5

모든 실수 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\left |a\cdot b \right | = \left | a \right | \cdot  \left | b \right |$

2. $\left | a \right |^2 = a^2$

3. $c \ge 0$일때 $\left | a \right | \le c$이기 위한 필요충분조건은 $-c \le a \le c$인 것이다.

4. $-\left | a \right |  \le a \le \left | a \right | $

5. $|a -b| = |b-a|$

6. $c > 0$일때 $\left | a \right | < c$이기 위한 필요충분조건은 $-c < a < c$인 것이다.

7. $|a| = \sqrt{a^2}$

8. $b \ne 0$이면 $|b^{-1}| = |b|^{-1}$이다.

9. $b \ne 0$이면 $\left|\dfrac{a}{b}\right| = \dfrac{|a|}{|b|}$이다.

증명

1.

$a = 0$ 또는 $b = 0$이면 

$a\cdot b = 0 = \left |a\cdot b \right |$ 이고 $a \cdot b = 0 = \left | a \right | \cdot  \left | b \right |$이므로 $\left |a \cdot b \right | =0 = \left | a \right | \cdot \left | b \right |$이다

$a >0 $이고 $ b > 0$이면

위 정리로 $a\cdot b > 0$이므로 $a\cdot b = \left | a\cdot b \right |$이다.

또 $a = \left | a \right |$이고 $b = \left | b \right |$이므로 $a\cdot b =\left | a \right |\cdot  \left | b \right |$이다.

따라서 $\left |a \cdot b \right | = a \cdot b = \left | a \right | \cdot  \left | b \right |$이다.

$a > 0$이고 $ b < 0$이면

위 정리로 $a\cdot b <0$이므로 $-a\cdot b = \left | a\cdot b \right |$이다.

또 $a = \left | a \right |$ 이고 $ -b = \left | b \right |$이므로  $-a\cdot b = \left | a \right | \cdot \left | b \right |$이다.

따라서 $\left |a\cdot b \right | = -a\cdot b = \left | a \right | \cdot \left | b \right |$이다.

$a < 0 $이고 $ b < 0$이면

위 정리로 $a\cdot b > 0$이므로 $a\cdot b = \left | a\cdot b \right |$이다.

또 $-a = \left | a \right |$ 이고  $ -b = \left | b \right |$이므로 $a\cdot b = (-a)\cdot (-b) =\left | a \right | \cdot  \left | b \right |$이다.

따라서 $\left |a\cdot b \right | = a \cdot b = \left | a \right | \cdot  \left | b \right |$이다.

모든 경우에 대해 성립하므로 모든 실수 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $\left |a\cdot b \right | = \left | a \right | \cdot \left | b \right |$이다.

2.

위 정리로 $a \ne 0$이면 $a^2 > 0$이고 $a = 0$이면 $a^2 = a\cdot a = 0\cdot 0 = 0$이므로 모든 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $a^2 \ge 0$이 되어 

절댓값의 정의로 $a^2 = \left | a^2 \right | $이고 1번으로 $a^2 = \left | a^2 \right | = \left | a\cdot a \right | = \left | a \right | \cdot \left | a \right | = \left | a \right |^2$이다.

3.

$\left | a \right | \le c$이면

절댓값의 정의로 $a \ge 0$일때 $- a \le 0 \le a = |a| \le c$이고 $a < 0$일때 $a< 0 < -a = |a| \le c$이므로

$-a\le c$가 되어 위 정리로 $-c \le a$이고 $a \le c$이므로 $-c \le a \le c$이다.

역으로 $-c \le a \le c$이면 $-c \le a$이므로 위 정리로 $-a \le c$이고 $ a \le c$임에 따라 절댓값의 정의로 $\left | a \right | \le c$이다.

4.

위 정리로 $\left | a \right | \ge 0$이고 반사성으로 $|a| \ge |a|$이므로 3번으로 $-\left | a \right |  \le a \le \left | a \right | $이다.

5.

위 정리로 $1 > 0$이고 위 정리로 $ -1= -1\cdot 1  < -1\cdot 0 = 0$이므로 절댓값의 정의로 $|-1|  = -(-1)= 1$이 되어

1번으로 $|b - a| = |-(a - b)| = |(-1)\cdot (a-b)| = |-1|\cdot |a-b| = 1\cdot |a-b| = |a-b|$이다.

6.

$\left | a \right |< c$이면

절댓값의 정의로 $a \ge 0$일때 $- a \le 0 \le a = |a| < c$이고 $a < 0$일때 $a< 0 < -a = |a| < c$이므로

$-a < c$가 되어 위 정리로 $-c < a$이고 $a < c$이므로 $-c < a < c$이다.

역으로 $-c < a < c$이면 $-c < a$이므로 위 정리로 $-a < c$이고 $ a < c$임에 따라 절댓값의 정의로 $\left | a \right | < c$이다.

7.

2번으로 $| a |^2 = a^2$이고 위 정리로 $|a| \ge 0$이므로 거듭제곱 정리로 $\sqrt{a^2}= \sqrt{|a|^2} = (|a|^2)^\frac{1}{2} = |a|^\frac{2}{2} = |a|$이다.

8.

1번으로 $|b|\cdot |b|^{-1} =1 = |1| = |b\cdot b^{-1}| = |b|\cdot |b^{-1}|$이므로 $|b^{-1}| = |b|^{-1}$이다.

9.

1, 8번으로 $\left|\dfrac{a}{b}\right| = |a\cdot b^{-1}| = |a|\cdot |b^{-1}| = |a|\cdot |b|^{-1} = \dfrac{|a|}{|b|}$이다.

 

 

 

정리6(삼각부등식)

모든 실수 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $\left | a + b \right | \le \left | a \right | + \left | b \right |$이다.

증명

절댓값 정리로 $-\left | a \right |  \le a \le \left | a \right | $이고 $-\left | b \right |  \le b \le \left | b \right | $이므로 위 정리로 $-(\left | a \right |+\left | b \right |)  \le a+b \le \left | a \right | +\left | b \right |$이고

위 정리로 $|a| \ge 0$이고 $|b| \ge 0$이므로 위 정리로 $\left | a \right | +\left | b \right | \ge 0$이 되어 절댓값 정리로 $\left | a + b \right | \le \left | a \right | + \left | b \right |$이다.

 

 

 

정리7

모든 실수 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $\left | a - b \right | \le \left | a \right | + \left | b \right |$이다.

증명

삼각부등식과 절댓값 정리로 $\left | a - b \right | = \left | a  + (-b) \right | \le \left | a \right | + \left | -b \right | = \left | a \right | + |-1|\cdot \left | b \right | = |a| + |b|$이다.

 

 

 

정리8

모든 실수 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 $\left |  \left | a \right | - \left | b \right | \right | \le \left | a - b \right |$이고 $ -\left | a - b \right | \le \left | a \right | - \left | b \right | \le \left | a - b \right |  $이다.

증명

삼각부등식으로 $\left | a \right |  = \left | (a- b) + b \right | \le \left | a -b \right | + \left | b \right | $이므로 $\left | a \right | -  \left | b \right | \le \left | a -b \right |$이고

비슷하게 $\left | b \right |  = \left | (b- a) + a \right | \le \left | b -a \right | + \left | a \right | = \left | a -b \right | + \left | a \right | $이므로 $ - \left | a -b \right | \le \left | a \right | -  \left | b \right |$이다.

따라서 $ -\left | a - b \right | \le \left | a \right | - \left | b \right | \le \left | a - b \right |  $이고

위 정리로 $ \left | a - b \right | \ge 0$이므로 절댓값 정리로 $\left |  \left | a \right | - \left | b \right | \right | \le \left | a - b \right |$이다.

 

 

 

정리9

임의의 실수 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{R}$에 대해 $\left | a_{1}+ a_{2}+ \cdots+ a_{n} \right | \le \left | a_{1} \right | + \left | a_{2} \right |+ \cdots + \left | a_{n} \right |$이다.

증명

$n \in$ $ \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$일때는 반사성으로 $\left | a_{1} \right | \le \left | a_{1} \right |$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 정리가 성립한다고 가정하면 위 정리와 귀납가정에 의해

$\begin{align*} \left | (a_{1}+ a_{2}+ \cdots+ a_{k}) +  a_{k+1}  \right | & \le  \left | a_{1}+ a_{2}+ \cdots+ a_{k} \right | + \left | a_{k+1}  \right | \\[0.5em] &\le  \left | a_{1} \right | + \left | a_{2} \right |+ \cdots + \left | a_{k} \right | + \left | a_{k+1}  \right | \; \text{이므로} \end{align*}  $

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정의4($\epsilon$-근방)

$\epsilon > 0$에 대해 실수 $a \in \mathbb{R}$의 $\epsilon$-근방(neighborhood)은

$V_{\epsilon}(a) = \left \{ x \in \mathbb{R} : \left \vert x - a \right \vert < \epsilon \right \}$인 집합으로 정의된다.

 

 

 

정리20

임의의 $\epsilon > 0$과 임의의 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 다음은 동치이다.

1. $x \in V_\epsilon(a)$

2. $\left \vert x - a \right \vert < \epsilon$

3. $-\epsilon < x - a < \epsilon$ 

4. $a -\epsilon < x  < a+ \epsilon$ 

증명

$1\to 2$

근방의 정의에 의해 성립한다.

$2\to 3$

$\left | x-a \right | < \epsilon$이면 절댓값 정리로 $ -\epsilon <x- a < \epsilon$이다.

$3\to 4$

$ -\epsilon <x- a < \epsilon$이면 위 정리로 $a -\epsilon < x  < a+ \epsilon$이다.

$4 \to 1$

$a -\epsilon < x  < a+ \epsilon$이면 위 정리로 $-\epsilon < x - a < \epsilon$이고 절댓값 정리로 $\left | x-a \right | < \epsilon$이다.

 

 

 

정리15

모든 $\epsilon >0$에 대해 $x \in V_{\epsilon}(a)$이면 $x = a$이다.

증명

모든 $\epsilon >0$에 대해 $x \in V_{\epsilon}(a)$는 $0 \le \left \vert x - a \right \vert < \epsilon$이므로 

위 정리로 $\left \vert x - a \right \vert = 0$이고 절댓값 정리로 $x- a = 0$이므로 $x = a$이다.

 

 

 

정리17

모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $2^n$ $ \le (n+1)! = 1\cdot 2\cdot \; \cdots \; \cdot n \cdot (n+1)$이 성립한다.

증명

$n \in \mathbb{N}$에 대해 귀납법을 사용한다.

$n = 0$이면 거듭제곱의 정의로 $2^0 = 1 = 1! = (0 + 1)!$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $2^k \le (k+1)!$일때 $0\le k$이므로 위 정리로 $2 \le k+2$이고

위 정리로 $2^{k+1} = 2\cdot 2^{k} \le (k+2)\cdot(k+1)! = (k+2)! = ((k+1) +1)!$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/10#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/10#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766