수열의 극한(Limit of sequence)

정의1

임의의 자연수 $n_0 \in \mathbb{N}$에 대해

실수집합 $\mathbb{R}$에서의 수열 또는 실수열은 정의역이 $S = \{n \in \mathbb{N} : n \ge n_0 \}$이고 치역이 $\mathbb{R}$의 부분집합인 함수이다.

 

함수 $X : S \to \mathbb{R}$가 모든 $n \in S$에 대해 $X(n) = x_{n} \in \mathbb{R}$인 수열일때

$x_{n}$을 수열의 항(term) 또는 원소라고 하고 수열 $X$를 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$형태로 표기한다.

실수열 $X$를 $(x_{n})$인 형태로 표기하면 $S$의 최소원소를 임의의 자연수로 가정한다.

 

 

 

정의2

$(x_{n})_{n = n_0}^\infty$이 실수열일때 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$와 모든 $\epsilon >0$에 대해

$n \ge K(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $\left \vert x_{n} -  x \right \vert < \epsilon$이 되는 자연수 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하면

수열 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty$은 $x$로 수렴한다(converge) 또는 $x$는 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty$의 극한이다 라고 정의한다.

수열 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty$의 극한이 $x$일때 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_{n}) = x$로 표기한다.

수열의 극한이 존재하면 수렴한다고 하고 극한이 존재하지 않으면 발산한다고 정의한다.

 

실수열을 $(x_{n})$인 형태로 표기하면 $n \ge K(\epsilon) \ge n_0$을 $n \ge K(\epsilon)$으로 표기하고

$K(\epsilon)$을 실수열 $(x_{n})$의 정의역의 최소원소보다 크거나 같다고 가정한다.

꼬리수열 정리로 수열의 시작점은 수렴성과 무관하다.

 

 

 

정리21

실수열 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x \in \mathbb{R}$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $n \ge K(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

1. $\left \vert x_{n} -  x \right \vert < \epsilon$

2. $x - \epsilon < x_{n} < x+\epsilon$

3. $ - \epsilon < x_{n} - x< \epsilon$

4. $x_{n} \in V_{\epsilon}(x)$

1, 2, 3, 4 중 하나를 만족하는 자연수 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하는 것이다.

증명

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x$이면

모든 $\epsilon >0$에 대해 $n \ge K(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $\left \vert x_{n} -  x \right \vert < \epsilon$이 되는 자연수 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하고

근방의 정리로 $\left \vert x_{n} -  x \right \vert < \epsilon$와 2,3,4는 동치이므로 정리가 성립한다.

1, 2, 3, 4 중 하나를 만족하는 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$가 존재하면

근방의 정리로 1, 2, 3, 4는 동치이므로 1번으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x$이다.

 

 

 

정리22

실수열 $(x_{n})_{n=n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $n \ge K(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $\left \vert x_{n} -  x \right \vert \le \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하는 것이다.

증명

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x$일때는 자명하다.

역으로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $n \ge K(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $\left \vert x_{n} -  x \right \vert \le \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{N}$이 존재하면

$\left \vert x_{n} -  x \right \vert \le \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x$이다.

 

 

 

정리1(극한의 유일성)

실수열의 극한이 존재하면 극한은 유일하다.

증명

$a$와 $b$가 실수열 $(x_{n})$의 극한일때 모든 $\epsilon >0$에 대해

$n \ge K_{a}(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $\left \vert x_{n} -  a \right \vert < \dfrac{\epsilon}{2}$이 되고

$n \ge K_{b}(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $\left \vert x_{n} -  b \right \vert < \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 자연수 $K_{a} (\frac{\epsilon}{2} ),  K_{b}(\frac{\epsilon}{2} ) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

따라서 $n \ge $ $\max$$ \left \{ K_{a} (\frac{\epsilon}{2} ),  K_{b} (\frac{\epsilon}{2} ) \right \}$이면 삼각부등식으로

$\left \vert a- b \right \vert  = \left \vert  a-x_{n} + x_{n} - b  \right \vert \le \left \vert  x_{n} - a  \right \vert + \left \vert x_{n} -b  \right \vert < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이고

모든 $\epsilon >0$에 대해 $0 \le \left \vert a- b \right \vert < \epsilon$이므로 부등식 정리로 $a =  \displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = b$이고 $(x_{n})$의 극한은 유일하다.

 

 

 

정리2

$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a_{n} \ge 0$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_{n}) = 0$인 실수열이 $(a_{n})_{n=n_0}^\infty$일때

임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$와 $n \ge m \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $\left \vert x_{n} -  x \right \vert \le C\cdot a_{n}$이 되는 $C \gt 0$와 $m \in \mathbb{N}$이 존재하면

실수열 $(x_{n})_{n=n_0}^\infty$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x$로 수렴한다.

증명

$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a_{n} \ge 0$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_{n}) = 0$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n \ge K(\frac{\epsilon}{C}) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $a_{n} = |a_{n} - 0| < \dfrac{\epsilon}{C}$이 되는 자연수 $K (\frac{\epsilon}{C} ) \in \mathbb{N}$가 존재한다.

따라서 $n \ge $ $\max$$  \{ K(\frac{\epsilon}{C}), m  \}$이면 $\left \vert x_{n} -  x \right \vert \le C\cdot a_{n} < C\cdot \dfrac{\epsilon}{C} = \epsilon$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x$이다.

 

 

 

정의3

$(x_{n})_{n = n_0}^\infty$이 실수열일때 

어떤 실수 $M >0$에 대해 $n\ge n_0$인 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$이 $|x_{n} | \le M$이 되면 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty$을 유계라 정의한다. 

$(x_{n})_{n = n_0}^\infty$이 유계가 아니면

모든 $M > 0$에 대해 $M < |x_{K(M)}|$이 되는 $K(M)\ge n_0$인 $K(M) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

 

 

 

정리3

실수열이 수렴하면 유계이다.

증명

$(x_{n})_{n = n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x$로 수렴할때 수열의 수렴 정의로

$n \ge K(1) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $|x_{n} - x| <1$이 되는 자연수 $K(1) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

따라서 삼각부등식 정리로 $|x_n| = |x_n - x + x|\le |x_n - x| + |x| < 1 + |x|$가 성립하여

$M = $ $\max$$ \{ |x_{n_0}|, |x_{n_0 +1}|, \cdots, |x_{K(1)-1}|, 1+|x| \}$을 정의하면

$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $|x_n| \le M$이 성립하여 $(x_n)$은 유계이다.

 

 

 

정리4

실수열 $(x_n)$과 $(y_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (y_n) = y$로 수렴하면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n + y_n) = x+y$이다.

증명

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (y_n) = y$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 

$n \ge K_x (\frac{\epsilon}{2} )$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $|x_n - x| < \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 자연수 $K_x (\frac{\epsilon}{2} ) \in \mathbb{N}$가 존재하고

$n \ge K_y (\frac{\epsilon}{2} )$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $|y_n - y| < \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 자연수 $K_y (\frac{\epsilon}{2} ) \in \mathbb{N}$가 존재한다.

따라서 $n \ge $ $\max$$ \left \{ K_x (\frac{\epsilon}{2} ),  K_y (\frac{\epsilon}{2}) \right \}$이면 삼각부등식으로

$|(x_n + y_n) - (x + y)|  = |(x_n - x) +(y_n - y) | \le |x_n - x| + |y_n - y| < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n + y_n) = x+y$이다.

 

 

 

정리5

실수열 $(x_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$로 수렴하면 실수 $c\in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (c\cdot x_n) = c \cdot x$이다.

증명

$c = 0$이면 

모든 $\epsilon > 0$에 대해 모든 원소가 $|c \cdot x_n - c \cdot x| = 0 < \epsilon$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (c\cdot x_n) = c \cdot x$이다.

$c \ne 0$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K (\frac{\epsilon}{|c|})$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $|x_n - x| < \dfrac{\epsilon}{|c|}$이 되는 $K(\frac{\epsilon}{|c|}) \in \mathbb{N}$이 존재하므로

$ |c \cdot x_n - c \cdot x| = |c|\cdot |x_n - x| < |c| \cdot \dfrac{\epsilon}{|c|} = \epsilon$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (c\cdot x_n) = c \cdot x$이다.

 

 

 

정리6

실수열 $(x_n)$과 $(y_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (y_n) = y$로 수렴하면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n \cdot y_n) = x\cdot y$이다.

증명

$(x_n)$이 수렴하므로 위 정리로 유계이고 모든 원소가 $|x_{n} | \le N$이 되는 $N >0$이 존재한다.

$M = $ $\max$$ \{ |y|, N \} > 0$을 정의할때 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (y_n) = y$이므로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 

$n \ge K_x(\frac{\epsilon}{2M})$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $|x_n - x| < \dfrac{\epsilon}{2M}$이 되는 자연수 $K_x(\frac{\epsilon}{2M}) \in \mathbb{N}$가 존재하고

$n \ge K_y(\frac{\epsilon}{2M})$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $|y_n - y| < \dfrac{\epsilon}{2M}$이 되는 자연수 $K_y(\frac{\epsilon}{2M}) \in \mathbb{N}$가 존재하여

$n \ge $ $\max$$ \left \{ K_x(\frac{\epsilon}{2M}),  K_y(\frac{\epsilon}{2M}) \right  \}$이면 삼각부등식으로

$\begin{align*} |x_n\cdot y_n - x\cdot y| &= |(x_n\cdot y_n - x_n\cdot y) + (x_n\cdot y - x\cdot y)| \\[0.5em] &\le  |x_n\cdot y_n - x_n\cdot y| + |x_n\cdot y - x\cdot y| = |x_n|\cdot |y_n - y| + |y|\cdot |x_n - x| \\[0.5em] &\le  M\cdot |y_n - y| + M\cdot |x_n - x| \\[0.5em] &<  M\cdot \frac{\epsilon}{2M} + M\cdot \frac{\epsilon}{2M} = \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n \cdot y_n) = x\cdot y$이다.

 

 

 

정리7

모든 원소가 $x_n \ne 0$인 실수열 $(x_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x \ne 0$로 수렴하면 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (\frac{1}{x_n} \right ) = \frac{1}{x}$이다.

증명

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x \ne 0$일때 $\dfrac{|x|}{2} > 0$이므로 

수열의 수렴 정의로 $n \ge K(\frac{|x|}{2})$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $|x_n -x| < \dfrac{|x|}{2}$이 되는 자연수 $K(\frac{|x|}{2}) \in \mathbb{N}$가 존재하여

부등식 정리로 $-\dfrac{|x|}{2} < - |x_n -x| \le |x_n| - |x|$이므로 $\dfrac{|x|}{2} < |x_n|$로 $\dfrac{1}{|x_n|}< \dfrac{2}{|x|}$이고

$\left |\dfrac{1}{x_n} - \dfrac{1}{x} \right | = \left | \dfrac{x - x_n}{x_n\cdot x} \right | = \dfrac{1}{|x_n|\cdot |x|} \cdot |x_n - x| < \dfrac{2}{|x|^2} \cdot |x_n - x| $이다.

따라서 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$n \ge K(\frac{|x|^2}{2} \cdot \epsilon )$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $|x_n - x| < \dfrac{|x|^2}{2} \cdot \epsilon$이 되는 $K(\frac{|x|^2}{2} \cdot \epsilon ) \in \mathbb{N}$가 존재하므로 

$n \ge \max \{ K(\frac{|x|^2}{2} \cdot \epsilon ) , K(\frac{|x|}{2}) \}$이면

$\left |\dfrac{1}{x_n} - \dfrac{1}{x} \right | < \dfrac{2}{|x|^2} \cdot |x_n - x| <  \dfrac{2}{|x|^2} \cdot \dfrac{|x|^2}{2} \cdot \epsilon = \epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (\frac{1}{x_n} \right ) = \frac{1}{x}$이다.

 

 

 

정리8

수렴하는 실수열 $(x_n)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 원소가 $x_n \ge 0$이면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x \ge 0$이다.

2. 모든 원소가 $x_n \le 0$이면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x \le 0$이다.

증명

1.

귀류법으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x < 0$이라고 가정하면

$-x > 0$이므로 위 정리로 $n \ge K(-x)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $x - (-x) < x_n < x + (-x) = 0$이 되는 

$K(-x) \in \mathbb{N}$가 존재하는데 모든 원소가 $x_n \ge 0$이므로 모순이 되어 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x \ge 0$이다.

2.

귀류법으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x >0$이라고 가정하면

위 정리로 $n \ge K(x)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $0=x - x < x_n < x + x $이 되는 

$K(x) \in \mathbb{N}$가 존재하는데 모든 원소가 $0 \ge x_n $이므로 모순이 되어 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x \le 0$이다.

 

 

 

정리9

실수열 $(x_n)$과 $(y_n)$이 수렴할때 모든 원소가 $x_n \le y_n$이면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) \le \lim_{n\to \infty} (y_n)$이다.

증명

수렴수열의 덧셈 정리와 곱셈 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (y_n - x_n) = \lim_{n \to \infty} (y_n) - \lim_{n\to \infty} (x_n)$이고

모든 원소가 $y_n -x_n \ge 0$이므로 

위 정리로 $0 \le \displaystyle \lim_{n\to \infty} (y_n - x_n) = \lim_{n \to \infty} (y_n) - \lim_{n \to \infty} (x_n)$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) \le \lim_{n \to \infty} (y_n)$이다.

 

 

 

정리23

실수열 $(x_n)$이 모든 원소가 $x_n = c \in \mathbb{R}$인 상수열이면 $(x_n)$은 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n) = c$이다.

증명

모든 $\epsilon > 0$에 대해 모든 원소가 $|x_n - c| = |c - c| = 0 < \epsilon$이므로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n) = c$이다.

 

 

 

정리10

임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 

수렴하는 실수열 $(x_n)$의 모든 원소가 $a \le x_n \le b$이면 $a\le \displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) \le b$이다.

증명

위 정리로 상수열 $(a, a, a, \cdots) = (a)$와 $(b, b, b,\cdots) = (b)$는 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a) =  a$와 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} (b) = b$로 수렴하고 

모든 원소가 $a \le x_n \le b$이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) \le  \lim_{n\to \infty} (b)$이고 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} (a) \le \lim_{n \to \infty} (x_n)$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a) = a\le \lim_{n \to \infty} (x_n) \le b = \lim_{n \to \infty} (b) $이다.

 

 

 

정리11(조임정리)

실수열 $(y_n)$과 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(x_n) = \lim_{n \to \infty}(z_n)$로 수렴하는 실수열 $(x_n)$,$ (z_n)$의 모든 원소가 $x_n \le y_n \le z_n$이면

$(y_n)$은 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \lim_{n \to \infty} (y_n) = \lim_{n \to \infty} (z_n)$이다.

증명

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(x_n)  = \lim_{n\to \infty}(z_n) = w$일때 위 정리로 모든 $\epsilon >0$에 대해  

$n \ge K_1(\epsilon)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $-\epsilon < x_n - w < \epsilon$이 되는 자연수 $K_1(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하고

$n \ge K_2(\epsilon)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $-\epsilon < z_n - w < \epsilon$이 되는 자연수 $K_2(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

모든 원소가 $x_n -w \le y_n-w \le z_n-w$이므로

$n \ge$ $\max$$ \{ K_1(\epsilon), K_2(\epsilon) \}$이면 $-\epsilon < x_n -w \le y_n-w \le z_n-w < \epsilon$로 $|y_n - w|< \epsilon$이 되어 

$(y_n)$은 수렴하고 $w = \displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \lim_{n\to \infty} (y_n) = \lim_{n \to \infty} (z_n)$이다.

 

 

 

정리12

실수열 $(x_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$로 수렴하면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (|x_n|) = |x|$이다.

증명

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$이므로 모든 $\epsilon >0$에 대해 

$n \ge K(\epsilon)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $ | x_n - x| < \epsilon$이 되는 자연수 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하여

부등식 정리로 $ | |x_n| - |x || \le | x_n - x| < \epsilon$이므로 실수열 $(|x_n|)$은 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (|x_n|) = |x|$이다.

 

 

 

정리13

모든 원소가 $x_n \ge 0$인 실수열 $(x_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$로 수렴하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (\sqrt{x_n}) = \sqrt{x}$인 것이다.

증명

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$이면

모든 원소가 $x_n \ge 0$이므로 제곱근의 존재성으로 $\sqrt{x_n} \ge 0$이 존재하고 

위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x \ge 0$이므로 $\sqrt{x} \ge 0$가 존재한다.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = 0$일때

모든 $\epsilon >0$에 대해 $n \ge K(\epsilon^2)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $ |x_n - 0| = x_n < \epsilon^2$이 되는 자연수 $K(\epsilon^2) \in \mathbb{N}$이 존재하여 

부등식 정리를 사용하면 $|\sqrt{x_n} - 0|= \sqrt{x_n} < \epsilon$이므로 실수열 $(\sqrt{x_n})$이 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (\sqrt{x_n}) = 0$이다.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x > 0$일때 제곱근의 존재성으로 $\sqrt{x} > 0$이므로

$n \ge K(\epsilon\cdot |\sqrt{x} |)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $ |x_n - x| < \epsilon\cdot |\sqrt{x} |$이 되는 자연수 $K(\epsilon\cdot |\sqrt{x} |) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

$\sqrt{x_n} + \sqrt{x} \ge \sqrt{x} > 0$이고 $\dfrac{1}{\sqrt{x}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x}} > 0$이므로

$|\sqrt{x_n} - \sqrt{x} | = \left | \dfrac{(\sqrt{x_n} - \sqrt{x})\cdot (\sqrt{x_n} + \sqrt{x})}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x}} \right | = \left | \dfrac{x_n-x}{\sqrt{x_n} + \sqrt{x}} \right | \le \left | \dfrac{x_n-x}{\sqrt{x}} \right |  < \dfrac{ \epsilon \cdot |\sqrt{x} | }{|\sqrt{x}|}= \epsilon $이고

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (\sqrt{x_n}) = \sqrt{x}$이다.

역으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (\sqrt{x_n}) = \sqrt{x}$이면 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(x_n) = \lim_{n\to \infty} (\sqrt{x_n}\cdot \sqrt{x_n}) = \sqrt{x}\cdot \sqrt{x} = x$이다.

 

 

 

정리14

실수열 $\left ( \dfrac{1}{n} \right )_{n = 1}^\infty$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{1}{n} \right ) =0$으로 수렴한다.

증명

임의의 $\epsilon > 0$에 대해 아르키메데스 성질로 $0< \dfrac{1}{K(\epsilon)} < \epsilon$인 양의 정수 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$n \ge K(\epsilon) \ge 1$이면 $\left |\dfrac{1}{n} - 0 \right| = \dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{K(\epsilon)} < \epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{1}{n} \right ) =0$이다.

 

 

 

정리15

임의의 $a > 0$에 대해 실수열 $\left ( \dfrac{1}{1+n\cdot a} \right )_{n = 1}^\infty$는 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{1}{1+n\cdot a} \right ) = 0$으로 수렴한다.

증명

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0 < n\cdot a < 1 + n\cdot a$이므로 $\left | \dfrac{1}{1+n\cdot a} - 0 \right | = \dfrac{1}{1+n\cdot a} < \dfrac{1}{n\cdot a} = \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{1}{n}$이고

실수열 $\left ( \dfrac{1}{n} \right )_{n = 1}^\infty$은 위 정리로 $0$으로 수렴하므로

$\left ( \dfrac{1}{n} \right )_{n = 1}^\infty$ 와 $\dfrac{1}{a} > 0$에 대해 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{1}{1+n\cdot a} \right ) = 0$이다.

 

 

 

정리16

임의의 $0<b <1$에 대해 실수열 $(b^n)_{n = 1}^\infty$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (b^n) = 0$으로 수렴한다.

증명

$1 <\dfrac{1}{b}$이므로 $a =\dfrac{1}{b} -1 >0 $이고 $b = \dfrac{1}{a+1}$이다.

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

베르누이 부등식으로 $(1+a)^n \ge 1 +n\cdot a$이고 부등식 정리로 $0 < b^n$이므로

$0 < |b^n - 0| = b^n =\dfrac{1}{(a+1)^n} \le \dfrac{1}{1+n\cdot a}$가 되어

위 정리로 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{1}{1+n\cdot a} \right ) = 0$이고 실수열 $\left ( \dfrac{1}{1+n\cdot a} \right )_{n = 1}^\infty$에 대해 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (b^n) = 0$이다.

 

 

 

정리17

임의의 $c > 0$에 대해 실수열 $(c^{\frac{1}{n}})_{n = 1}^\infty$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (c^{\frac{1}{n}})= 1$로 수렴한다.

증명

모든 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$제곱근의 존재성으로 $c > 0$이면 $c^{\frac{1}{n}} > 0$이다.

$c = 1$이면 

$(c^{\frac{1}{n}})_{n= 1}^\infty = (1,1,1,\cdots)$이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (c^{\frac{1}{n}})= 1$이다.

$c > 1$이면

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

부등식 정리로 $c^{\frac{1}{n}} >1 =1^{\frac{1}{n}} $이므로 $c^{\frac{1}{n}} = 1+d_n > 1$인 $c^{\frac{1}{n}} - 1 = d_n > 0$이 존재하여

베르누이 부등식으로 $c = (1 + d_n)^n  \ge 1 + n\cdot d_n$이고 $c -1 \ge n\cdot d_n$이므로 $|c^{\frac{1}{n}} - 1 | = d_n \le (c-1)\dfrac{1}{n}$이다.

위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{1}{n} \right ) =0$이므로 $c -1 >0$과 $\left ( \dfrac{1}{n} \right )_{n=1}^\infty$에 대해 위 정리를 사용하면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (c^{\frac{1}{n}})= 1$이다.

$0< c <1$이면

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

부등식 정리로 $0 < c^{\frac{1}{n}} < 1$이므로 $1 < \dfrac{1}{c^{\frac{1}{n}}} = 1 + h_n$이고 $c^{\frac{1}{n}} = \dfrac{1}{1+h_n}$인 $h_n > 0$이 존재한다.

베르누이 부등식으로 $c =  \dfrac{1}{(1+h_n)^n} \le \dfrac{1}{1 + n\cdot h_n} < \dfrac{1}{n\cdot h_n}$이므로 $ 0< h_n < \dfrac{1}{n\cdot c}$이고

$0< |c^{\frac{1}{n}} -1 | = 1 - c^{\frac{1}{n}} = \dfrac{h_n}{1+h_n} <  h_n < \dfrac{1}{n\cdot c}$이다.

위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{1}{n} \right ) =0$이므로 $\dfrac{1}{c} >1$에 대해 위 정리를 사용하면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (c^{\frac{1}{n}})= 1$이다.

 

 

 

정리18

실수열 $((-1)^n)$은 발산한다.

증명

$((-1)^n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} ((-1)^n) = a$로 수렴한다고 가정하면

수열의 수렴 정의로 $n \ge K(1)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $-1<(-1)^n - a < 1$이 되는 자연수 $K(1) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $2n$은 짝수이고 $2n + 1$은 홀수이므로

$2n \ge n \ge K(1)$이면 $-1<(-1)^{2n} - a = 1-a < 1$로 $0<a<2$가 성립하고

$2n +1 > n \ge K(1)$이면 $-1<(-1)^{2n+1} - a = -1-a < 1$로 $-2<a<0$이 성립하는데

$a < 0 <a$가 되어 모순이므로 $((-1)^n)$은 발산한다.

 

 

 

정리19

실수열 $(x_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) =x$로 수렴하면 임의의 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(|x_n - a|) = |x - a|$이다.

증명

위 정리로 상수열 $(a, a, a, \cdots) = (a)$는 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a) =  a$로 수렴하여 극한의 덧셈 정리와 곱셈 정리로 

실수열 $(x_n - a)$는 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n - a) = \lim_{n \to \infty} (x_n) - \lim_{n \to \infty} (a) = x - a$로 수렴하므로

위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (|x_n - a|) = |x - a|$이다.

 

 

 

정리20

실수열 $(x_n)$와 $(y_n)$이 각각 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) =x$와 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (y_n) =y$로 수렴하면

임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 실수열 $(a\cdot x_n + b \cdot y_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a\cdot x_n + b \cdot y_n) = a\cdot x +b\cdot  y$로 수렴한다.

증명

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) =x$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (y_n) =y$이면 극한의 덧셈 정리와 곱셈 정리로 

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(a\cdot x_n + b \cdot y_n) = \lim_{n \to \infty}(a\cdot x_n) +\lim_{n \to \infty}(b \cdot y_n) =  a\cdot \lim_{n \to \infty}( x_n) +b \cdot \lim_{n \to \infty}( y_n) = a\cdot x +b\cdot  y$이다.

 

 

 

정리24

실수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k = 1}^n \frac{9}{10^k}  \right )_{n =1}^\infty$는 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left ( \sum_{k = 1}^n \frac{9}{10^k}  \right ) = \sum_{k =1}^{\infty} \frac{9}{10^k} = 0.99999\cdots = 1$로 수렴한다.

증명

먼저 모든 $n \in$ $ \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle 1 -  \sum_{k = 1}^n \frac{9}{10^k} = \frac{1}{10^n}$임을 귀납법으로 보인다.

$n = 1$일때

$\displaystyle 1 -  \sum_{k = 1}^1 \frac{9}{10^k} = 1 - \frac{9}{10} = \frac{10}{10} -\frac{9}{10} = \frac{1}{10} = \frac{1}{10^1}$이다.

모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle 1 -  \sum_{k = 1}^m \frac{9}{10^k} = \frac{1}{10^m}$이라고 가정하면

$\displaystyle 1 -  \sum_{k = 1}^{m+1} \frac{9}{10^k} = 1 - \sum_{k = 1}^{m} \frac{9}{10^k} - \frac{9}{10^{m+1}} = \frac{1}{10^m} - \frac{9}{10^{m+1}} = \frac{10}{10^{m+1}} - \frac{9}{10^{m+1}} = \frac{1}{10^{m+1}}$이므로

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle 1 -  \sum_{k = 1}^n \frac{9}{10^k} = \frac{1}{10^n}$이다.

따라서 $0 < \dfrac{1}{10}<1$이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left ( 1 - \sum_{k = 1}^n \frac{9}{10^k}  \right ) = \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{1}{10^n}  \right ) = 0$이고

상수열 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(1) = 1$이 되어

수열 극한의 선형성으로 $\displaystyle 1 =1 - 0 = \lim_{n \to \infty}(1)- \lim_{n \to \infty} \left ( 1 - \sum_{k = 1}^n \frac{9}{10^k}  \right ) =\lim_{n \to \infty} \left ( \sum_{k = 1}^n \frac{9}{10^k}  \right )$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/15#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/15#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766