부분수열(Subsequence)

정의1

임의의 자연수 $m \in \mathbb{N}$에 대해

실수열 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty$의 $m$-꼬리(tail)수열은 $(x_{m+n})_{n = n_0}^\infty $으로 정의된다.

$(x_{n})_{n = n_0}^\infty$의 원소가 $x_{n_0},x_{n_0+1}, \cdots, x_n, \cdots$이면 $(x_{m+n})_{n = n_0}^\infty $의 원소는 $x_{m +n_0},x_{m + n_0+1}, \cdots, x_{m+ n}, \cdots$이다.

 

 

 

정리1

실수열 $(x_{n})_{n=n_0}^\infty$과 임의의 $m \in \mathbb{N}$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(x_{n})_{n=n_0}^\infty$이 $\displaystyle  \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x $로 수렴한다.

2. $m$-꼬리수열 $(x_{m+n})_{n=n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{m+n}) = x$로 수렴한다.

3. 정의역을 축소한 수열 $(x_{n})_{n=n_0+m}^\infty$이 $\displaystyle  \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x $로 수렴한다.

증명

$1 \to 2$

$(x_{n})_{n=n_0}^\infty$이 $\displaystyle  \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x $로 수렴하면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $\left \vert x_{n} -  x \right \vert < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하므로 

$k \ge \max \{ n_0, K(\epsilon) - m \}$인 모든 $k \in \mathbb{N}$는

$m + k \ge m + K(\epsilon) - m = K(\epsilon) \ge n_0$이므로 $\left \vert x_{m + k } -  x \right \vert < \epsilon$를 만족하여 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{m + n}) = x$이다.

$2 \to 3$

$m$-꼬리수열 $(x_{m+n})_{n=n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_{m+n}) = x$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $\left \vert x_{m+n} -  x \right \vert < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

따라서 $n + m \ge K(\epsilon) + m \ge n_0 +m$이고 $K(\epsilon) + m \ge K(\epsilon)$이므로

$k \ge K(\epsilon) + m \ge n_0 + m$인 모든 $k \in \mathbb{N}$가 $\left \vert x_{k} -  x \right \vert < \epsilon$가 되어 $\displaystyle  \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x $이다.

$3 \to 1$

정의역을 축소한 수열 $(x_{n})_{n=n_0+m}^\infty$이 $\displaystyle  \lim_{n\to \infty} (x_{n}) = x $이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\epsilon) \ge n_0+m$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $\left \vert x_{n} -  x \right \vert < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하고

$n \ge K(\epsilon) \ge n_0+m \ge n_0$이므로 $(x_{n})_{n=n_0}^\infty$도 $x$로 수렴한다.

 

 

 

정리2

실수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 모든 원소가 $x_n > 0$이고 

실수열 $\left ( \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \right )_{n = n_0}^\infty$이 수렴하여 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{x_{n+1}}{x_n} \right ) < 1$이면 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$은 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = 0$이다.

증명

모든 원소가 $x_n > 0$이므로 $\dfrac{x_{n+1}}{x_n} > 0$이고 수열의 극한정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{x_{n+1}}{x_n} \right ) \ge 0$이다.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{x_{n+1}}{x_n} \right ) = L \in \mathbb{R}$이라고 가정하면

$0 \le L < 1$이므로 조밀성으로 $L <r <1$인 실수 $r \in \mathbb{R}$이 존재하고 $r -L > 0$이다.

수열의 극한 정리로 $n \ge K(r -L) \ge n_0$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이

$-(r-L)<\dfrac{x_{n+1}}{x_n} - L < r-L$이 되는 $K(r -L) \in \mathbb{N}$가 존재하므로 

$\dfrac{x_{n+1}}{x_n} < r$이고 $0< |x_{n+1} - 0| = x_{n+1} < x_n\cdot r < x_{n-1}\cdot r^2< \cdots < x_{K(r-L)}\cdot r^{n-K(r-L)+1}$이다.

$0<r<1$이고 $n - K(r- L) +1 \ge 1$이므로 $(r^{n})_{n= 1}^\infty$에 대해

위 정리와 수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (r^{n-K(r-L) +1}) = 0$이고 $x_{K(r-L)} > 0$이므로 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = 0$이다.

 

 

 

정의2

실수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 원소가 

$x_{n_0} \le x_{n_0+1} \le \cdots \le x_n \le x_{n+1}\le \cdots$이면 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$은 증가한다고 하고

$x_{n_0} \ge x_{n_0+1} \ge \cdots \ge x_n \ge x_{n+1}\ge \cdots$이면 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$은 감소한다고 한다.

$(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 증가하거나 감소하면 단조(monotone)라고 한다.

 

$x_{n_0} < x_{n_0+1} < \cdots < x_n < x_{n+1} < \cdots$이면 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$은 순증가한다고 하고

$x_{n_0} > x_{n_0+1} > \cdots > x_n > x_{n+1} > \cdots$이면 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$은 순감소한다고 한다.

$(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 순증가하거나 순감소하면 순단조(strictly monotone)라고 한다.

 

 

 

정리3

단조 실수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 유계인 것이다.

이때 

$(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 증가하면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \sup \{ x_n : n\ge n_0 \}$로 상한과 극한이 같고

$(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 감소하면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \inf \{ x_n : n \ge n_0 \}$로 하한과 극한이 같다.

증명

수열의 극한정리로 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 수렴하면 유계이다.

역으로 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 증가하고 유계이면

수열의 유계 정의로 $n \ge n_0$인 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $-M \le x_n \le M$인 $M >0$이 존재하여

집합 $\{ x_n : n \ge n_0  \}$은 유계이므로 완비성으로 상한 $ \sup \{ x_n : n \ge n_0 \} =x$가 존재한다.

상한에 대한 정리로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x - \epsilon< x_{K(\epsilon)}$인 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하고

$(x_n)$이 증가하므로 $n \ge K(\epsilon)$이면 $ x_{K(\epsilon)} \le  x_n$이다.

따라서 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\epsilon)$일때 $x - \epsilon < x_{K(\epsilon)} \le  x_n \le x < x+\epsilon$이므로 

수열의 극한 정리로 $|x_n - x| = |x_n -\sup \{ x_n : n \ge n_0 \} | < \epsilon$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \sup \{ x_n : n \ge n_0 \}$이다.

$(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 감소하고 유계이면

실수열 $(-x_n)_{n = n_0}^\infty$은 증가하고 유계이므로 위와 같이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (-x_n) = \sup \{- x_n : n \ge n_0  \}$이고

상한에 대한 정리로 $ \sup \{- x_n : n \ge n_0 \} = -\inf \{ x_n : n \ge n_0 \} $이므로

수열의 극한정리로 $-\inf \{ x_n : n \ge n_0  \} = \sup \{- x_n : n \ge n_0  \}= \displaystyle \lim_{n\to \infty} (-x_n) = -\lim_{n\to \infty} (x_n ) $이 되어

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n ) = \inf \{ x_n : n \ge n_0  \} $이다.

 

 

 

정의3

부분수열 :

$(x_n)_{n= n_0}^\infty$이 실수열이고 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n_k \in \mathbb{Z}^+$이고 $n_0 \le n_1 <n_2 < \cdots < n_k<n_{k+1}<\cdots$인 순증가하는 자연수열이 $(n_k)_{k = 1}^\infty$일때

원소가 $x_{n_1},x_{n_2},\cdots,x_{n_k},x_{n_{k+1}},\cdots$인 실수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$를 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 부분수열로 정의한다.

$(n_k)_{k = 1}^\infty$는 $n_1 \in \mathbb{Z}^+$이므로 $1\le n_1$이고

모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $r\le n_r$이면 $r\le n_r < n_{r+1}$이므로 $r+1\le n_{r+1}$이 되어

귀납법으로 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k\le n_k$이다.

임의의 $m\in \mathbb{N}$에 대해

$(x_{n})_{n = n_0}^\infty$의 $m$-꼬리수열 $(x_{m+k})_{k = n_0}^\infty $는 $n_0 = 1$일때 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty$의 부분수열이고

$(x_{n})_{n = n_0}^\infty$의 정의역을 축소한 수열 $(x_{k})_{k=n_0+m}^\infty$는 $n_0 + m = 1$일때 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty$의 부분수열이다.

$n_0 = 0$이면 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty = (x_n)_{n=0}^\infty$의 모든 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$는 $(x_{n})_{n = n_0}^\infty = (x_n)_{n=0}^\infty\ne (x_{n_k})_{k=1}^\infty$이다.

부분수열의 수렴 :

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $y_k = x_{n_k}$인 수열 $(y_k)_{k = 1}^\infty$에 대해

$(x_n)_{n= n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$가 수렴하는 것은 수열 $(y_k)_{k = 1}^\infty$가 수렴하는 것이므로

수열의 극한 정의로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (x_{n_k}) = \lim_{k\to\infty}(y_k) =x $일때 모든 $\epsilon >0$에 대해

$n_k \ge k \ge H(\epsilon)$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $\left | x_{n_k} -  x \right | = |y_k - x| < \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.

 

 

 

정리4

실수열 $(x_n)_{n =n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) =x$로 수렴하면 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 모든 부분수열 $ (x_{n_k})_{k =1}^\infty$는 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{n_k}) =x$로 수렴한다.

증명

$(x_n)_{n= n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) =x$로 수렴하면 수열의 극한 정의로

모든 $\epsilon >0$에 대하여 $k \ge K(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $k \in \mathbb{N}$가 $\left | x_{k} -  x \right | < \epsilon$이 되는 자연수 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하여

$k \ge \max \{K(\epsilon),1 \} $인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

부분수열 정의로 $n_k \ge k \ge K(\epsilon) \ge n_0$이므로 $\left \vert x_{n_k} -  x \right \vert < \epsilon$임에 따라 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (x_{n_k}) =x =\lim_{n \to \infty} (x_n)$이다.

 

 

 

정리5

실수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(x_n)_{n =n_0}^\infty$이 $x$로 수렴하지 않는다.

2. 어떤 $\epsilon_0 > 0$에 대해 모든 $k \in $ $\mathbb{Z}^+$가 $|x_{n_k} - x| \ge \epsilon_0$이 되는 $n_k \ge k$이고 $n_k \ge n_0$인 $n_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

3. 어떤 $\epsilon_0 > 0$에 대해 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $|x_{n_k} - x| \ge \epsilon_0$이 되는 $(x_n)_{n =n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$가 존재한다.

증명

$1 \to 2$

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) \ne x$이면 수열의 극한 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$k \ge K(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $k \in \mathbb{N}$가 $| x_k -  x | < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하지 않으므로

어떤 $\epsilon_0 > 0$에 대해 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $| x_{n_k} -  x | \ge \epsilon_0$이 되는 $n_k \ge k$이고 $n_k \ge n_0$인 $n_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

$2 \to 3$

어떤 $\epsilon_0 > 0$에 대해 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $|x_{n_k} - x| \ge \epsilon_0$이 되는 $n_k \ge k$이고 $n_k \ge n_0$인 $n_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로 

정렬성과 귀납적 정의로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k =1}^\infty$를 만들 수 있다.

$3 \to 1$

어떤 $\epsilon_0 > 0$에 대해 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $|x_{n_k} - x| \ge \epsilon_0$인 $(x_n)_{n =n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$는 $x$로 수렴하지 않는다.

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 $x$로 수렴한다고 가정하면 

위 정리로 $(x_{n_k})_{k =1}^\infty$는 $x$로 수렴하므로 모순이 되어 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$은 $x$로 수렴하지 않는다.

 

 

 

정리6(발산 판정법)

실수열 $(x_n)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(x_n)$이 유계가 아니면 $(x_n)$은 발산한다.

2. $(x_n)$의 어떤 부분수열 $(x_{r_i})_{i = 1}^\infty$와 $(x_{m_j})_{j =1}^\infty$가 서로 다른 극한으로 수렴하면 $(x_n)$은 발산한다.

증명

1.

$(x_n)$이 유계가 아니면 수열의 극한정리의 대우로 $(x_n)$은 발산한다.

2.

$(x_n)$의 부분수열 $(x_{r_i})_{i = 1}^\infty$와 $(x_{m_j})_{j = 1}^\infty$가 서로 다른 극한으로 수렴할때

$(x_n)$이 수렴한다고 가정하면

위 정리로 $\displaystyle \lim_{i\to \infty} (x_{r_i}) = \lim_{n \to \infty} (x_n) = \lim_{j \to \infty} (x_{m_j}) $이므로 모순이 되어 $(x_n)$은 발산한다.

 

 

 

정리7

실수열 $(x_n)$의 모든 원소가 $x_n > 0$이고 

실수열 $\left ( \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \right ) $이 수렴하여 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{x_{n+1}}{x_n} \right ) > 1$이면 $(x_n)$은 발산한다.

증명

 $\left ( \dfrac{x_{n+1}}{x_n} \right ) $이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{x_{n+1}}{x_n} \right ) = L > 1$로 수렴하므로 

수열의 극한 정리로 $n \ge K(L -1)$인 모든 $n\in \mathbb{N}$이 $1 =L-(L-1) < \dfrac{x_{n+1}}{x_n}  < L + (L -1) $이 되는 

자연수 $K(L -1) \in \mathbb{N}$이 존재하여 $x_{K(L-1)}\le x_n < x_{n+1}$이므로 $(x_n)$은 유계가 아니다.

따라서 위 정리로 $(x_n)$은 발산한다.

 

 

 

정의4

어떤 자연수 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $n_0 \le m < n$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $x_m \ge x_n$이면

실수열의 원소 $x_m$을 실수열 $(x_n)_{n= n_0}^\infty$의 $m$-정상(peak)으로 정의한다.

 

$(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 감소하면 

$x_{n_0} \ge x_{n_0+1} \ge \cdots \ge x_n \ge x_{n+1}\ge \cdots$이므로 모든 원소가 정상이고

$(x_n)_{n =n_0}^\infty$이 순증가하면 

$x_{n_0} < x_{n_0+1} < \cdots < x_n < x_{n+1} < \cdots$이므로 모든 원소가 정상이 아니다.

 

 

 

정리8

임의의 실수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$은 단조인 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$를 갖는다. 

증명

$(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 무한히 많은 정상을 갖을때

정렬성과 귀납적 정의로 정상들의 첨수 $n_0 \le m_1< \cdots < m_k < \cdots $에 대해 정상들을 나열하면

$x_{m_1} \ge x_{m_2}  \ge \cdots \ge x_{m_k} \ge \cdots $이므로 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 감소하는 부분수열 $(x_{m_k})_{k = 1}^\infty$가 존재한다.

$(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 정상을 갖지 않거나 유한 개의 정상을 갖을때

정상을 갖는다면 $x_{m_1} \ge x_{m_2}  \ge \cdots \ge x_{m_k}$로 정상들을 나열한 뒤

$s_1 = m_k +1$로 두고 정상을 갖지 않는다면 $s_1 = n_0$로 둔다.

$x_{s_1}$은 정상이 아니므로 정렬성으로 $x_{s_1} < x_{s_2}$이고 $s_1 < s_2$인 최소 양의 정수 $s_2 \in \mathbb{Z}^+$를 선택하여

반복하면 귀납적 정의로 $x_{s_1} < x_{s_2} < \cdots < x_{s_r} < \cdots$인 증가하는 부분수열 $(x_{s_r})_{r = 1}^\infty$을 구할 수 있다.

 

 

 

정리9(볼차노-바이어슈트라스[Bolzano–Weierstrass] 정리)

실수열 $(x_n)$이 유계이면 수렴하는 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$이 존재한다.

증명

위 정리로 $(x_n)$의 단조인 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$가 존재하고

$(x_n)$가 유계이므로 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$도 유계가 되어 위 정리로 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$은 수렴한다.

 

 

 

정리10

$(x_n)$이 유계인 실수열일때 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해

$(x_n)$의 모든 수렴하는 부분수열이 $x$로 수렴하면 $(x_n)$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$로 수렴한다.

증명

$(x_{n})$이 $x$로 수렴하지 않으면 

위 정리로 어떤 $\epsilon_0 > 0$에 대해 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $|x_{n_k} - x| \ge \epsilon_0$인 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k= 1}^\infty$가 존재한다.

$(x_{n})$이 유계이므로 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$도 유계이고 

볼차노-바이어슈트라스 정리로 수렴하는 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_{k_r}})_{r = 1}^\infty$이 존재한다.

$(x_{n_{k_r}})_{r = 1}^\infty$은 $(x_{n})$의 부분수열이기도 하므로 가정에 의해 $\displaystyle \lim_{r\to \infty} (x_{n_{k_r}}) = x$가 되어

$K(\epsilon_0) \le r \le k_r \le n_{k_r}$인 모든 $r \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_{n_{k_r}} - x| < \epsilon_0$인 $K(\epsilon_0) \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

따라서 $k = k_r$에 대해 $\epsilon_0 \le |x_{n_k} - x| < \epsilon_0$으로 모순이 되어 $(x_n)$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$로 수렴한다.

 

 

 

정리11

임의의 $A > 0$에 대해 실수열 $\left ( \dfrac{A^n}{n!} \right )_{n = 1}^\infty$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{A^n}{n!} \right ) = 0$으로 수렴한다.

증명

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 부등식 정리로 $A^n > 0^n = 0$이므로 $\dfrac{A^n}{n!} > 0$이고 $\dfrac{A^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \dfrac{n!}{A^n} = \dfrac{A}{n+1}$이다.

따라서 수열 $\left ( \dfrac{A}{n+1} \right )_{n = 1}^\infty$에 대해 수열 극한의 선형성과 수열 수렴 정리, 꼬리 수열 정리로

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{A}{n+1} \right ) = 0 < 1$이 되어 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{A^n}{n!} \right ) = 0$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/17#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/17#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766