구간(Interval)

정의1

임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해

$(a,b) = \left \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b \right \}$인 집합을 열린 구간으로 정의한다.

$[a,b]= \left \{ x \in \mathbb{R} : a \le x \le b \right \}$인 집합을 닫힌 구간으로 정의한다.

 

반(half) 열린 구간 또는 반 닫힌 구간은

$[a,b) = \left \{ x \in \mathbb{R} : a \le x < b \right \}$이고

$(a,b] = \left \{ x \in \mathbb{R} : a < x \le b \right \}$인 집합으로 정의된다.

 

위에서 정의된 열린 구간, 닫힌 구간, 반 열린 구간 또는 반 닫힌 구간에서

$a,b$를 구간의 끝점이라 하고 $a$를 왼쪽 끝점, $b$를 오른쪽 끝점이라 한다.

또 위 구간들은 끝점 $a,b$로 인해 유계이므로 유계구간이라 정의하고

$a\le b$일때 유계구간들의 길이를 $l((a,b)) = l([a,b)) = l((a,b]) = l([a,b]) = b - a$로 정의한다.

 

공집합을 공구간(empty interval)으로 정의하고

$\mathbb{R}$의 부분집합인 단일 원소집합을 퇴화구간(degenerate inteval)으로 정의한다.

 

무한 열린 구간은 임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해

$(a,\infty) = \left \{ x \in \mathbb{R} : a < x  \right \}$이고

$(-\infty,b) = \left \{ x \in \mathbb{R} : x < b \right \}$인 집합으로 정의된다.

 

무한 닫힌 구간은 임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해

$[a,\infty) = \left \{ x \in \mathbb{R} : a \le x  \right \}$이고 

$(-\infty,b] = \left \{ x \in \mathbb{R} : x \le b \right \}$인 집합으로 정의된다.

 

무한 열린구간 또는 무한 닫힌구간의 한쪽 $a,b$를 구간의 끝점으로 정의한다.

실수 집합 $\mathbb{R}$을 무한구간 $(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$으로 정의한다.

위와 같은 집합들을 모두 구간으로 정의한다.

 

 

 

정의3

$I$가 구간일때 $\alpha,\beta \in I$에 대해

$[\alpha,\beta] \subseteq I$가 되는 닫힌 구간 $[\alpha,\beta]$를 $I$의 닫힌 부분구간으로 정의하고

$(\alpha,\beta) \subseteq I$가 되는 열린 구간 $(\alpha, \beta)$를 $I$의 열린 부분구간으로 정의한다.

 

 

 

정리1(특성화 정리)

임의의 $S \subseteq \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $S$가 적어도 두 점을 포함할때

$x < y$인 모든 $x, y \in S$에 대해 $[x,y] \subseteq S$이기 위한 필요충분조건은 $S$가 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간인 것이다.

2. $x\le y$인 모든 $x,y\in S$에 대해 $[x,y]\subseteq S$이기 위한 필요충분조건은 $S$가 구간인 것이다.

3. $S$가 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간이고 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 점이 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in S$일때

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a_i < b_i$인 어떤 $a_i,b_i\in S$와 어떤 실수 $\delta_i > 0$가 존재하여

$|x_i - x| \le \delta_i$인 모든 $x\in S$는 $x\in [a_i,b_i]$이고 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in [a_i,b_i]\subseteq S$이다.

4. $S$가 구간이고 임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 점이 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in S$일때

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a_i \le b_i$인 어떤 $a_i,b_i\in S$와 어떤 실수 $\delta_i > 0$가 존재하여

$|x_i - x| \le \delta_i$인 모든 $x\in S$는 $x\in [a_i,b_i]$이고 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in [a_i,b_i]\subseteq S$이다.

증명

1.

$x < y$인 모든 $x, y \in S$에 대해 $[x,y] \subseteq S$일때 구간의 정의에 따라 네 가지 경우로 나눠진다.

$S$가 유계이면 $S$는 길이를 가진 유계구간,

$S$가 위로만 또는 아래로만 유계이면 $S$는 유계가 아닌 방향으로 무한인 구간,

$S$가 유계가 아니면 $S$는 실수 집합 $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$이 되어야 한다.

$S$가 유계이면

완비성으로 하한 $\inf S = a$와 상한 $\sup S = b$가 존재하고 $S$는 적어도 두 점을 가지므로

상한, 하한 정리로 $a=\inf S < \sup S=b $이고 $a < z < b$인 $z \in \mathbb{R}$에 대해

$z$는 $S$의 하계가 아니므로 $x < z$인 $x \in S$가 존재하고

$z$는 $S$의 상계가 아니므로 $z < y$인 $y \in S$가 존재하여

$z \in (a,b)$에 대해 가정으로 $z \in [x,y] \subseteq S$이므로 $(a,b) \subseteq S$이고

상계와 하계의 정의로 모든 $s\in S$에 대해 $s \in [\inf S , \sup S] = [a, b]$이므로 $S \subseteq [a,b]$이다.

따라서 집합정리로

$a \in S$이고 $b \in S$이면 $[a,b] \subseteq S$이고 $S \subseteq [a,b]$이므로 $S = [a,b]$이고

$a \in S$이고 $b \notin S$이면 $[a,b) \subseteq S$이고 $S \subseteq [a,b) \subset [a,b]$이므로 $S = [a,b)$이고

$a \notin S$이고 $b \in S$이면 $(a,b] \subseteq S$이고 $S \subseteq (a,b] \subset [a,b]$이므로 $S = (a,b]$이고

$a \notin S$이고 $b \notin S$이면 $(a,b) \subseteq S$이고 $S \subseteq (a,b) \subset [a,b]$이므로 $S = (a,b)$이다.

일반성을 잃지 않고 $S$가 위로만 유계라고 가정하면

완비성으로 상한 $\sup S = b$가 존재하여

$z < b$인 $z\in \mathbb{R}$는 $S$의 상계가 아니므로 $z < y$인 $y \in S$가 존재한다.

$S$는 아래로 유계가 아니므로 $x < z$인 $x \in S$가 존재하여

$z \in (-\infty, b)$에 대해 가정으로 $z \in [x,y] \subseteq S$이므로 $(-\infty, b) \subseteq S$이고

상계의 정의로 모든 $s\in S$에 대해 $s \in (-\infty , \sup S] = (-\infty, b]$이므로 $S \subseteq (-\infty, b]$이다.

따라서 집합정리로

$b \in S$이면 $(-\infty, b] \subseteq S$이고 $S \subseteq (-\infty, b]$이므로 $S =  (-\infty, b]$이고

$b \notin S$이면 $(-\infty, b) \subseteq S$이고 $S \subseteq (-\infty, b) \subset (-\infty, b]$이므로 $S = (-\infty, b)$이다.

$S$가 유계가 아니면

임의의 $z \in (-\infty, \infty)$에 대해 $S$는 위아래로 유계가 아니므로 $x < z < y$인 $x,y \in S$가 존재하고 

가정으로 $z \in [x,y] \subseteq S$이므로 $ (-\infty, \infty) \subseteq S$이다.

따라서 $S \subseteq \mathbb{R} =(-\infty, \infty)$이므로 집합정리로 $S = (-\infty, \infty) = \mathbb{R}$이다.

역으로 $S$가 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간일때

$S$가 유계구간이면

$S$의 끝점 $a,b \in \mathbb{R}$가 존재하여 $x < y$인 모든 $x , y \in S$에 대해 $a\le x<y\le b$이므로

모든 $z\in [x,y]$는 $a\le x\le z\le y\le b$가 되어 $z\in S$이고 $[x,y] \subseteq S$이다.

$S$가 위로만 유계인 구간이면

$S$의 오른쪽 끝점 $b \in \mathbb{R}$가 존재하여 $x < y$인 모든 $x , y \in S$에 대해 $x<y\le b$이므로

모든 $z\in [x,y]$는 $x\le z\le y\le b$가 되어 $z\in S$이고 $[x,y] \subseteq S$이다.

$S$가 아래로만 유계인 구간이면

$S$의 왼쪽 끝점 $a \in \mathbb{R}$가 존재하여 $x < y$인 모든 $x , y \in S$에 대해 $a\le x<y$이므로

모든 $z\in [x,y]$는 $a\le x\le z\le y$가 되어 $z\in S$이고 $[x,y] \subseteq S$이다.

$S$가 유계가 아닌 구간이면

$S = (-\infty, \infty) = \mathbb{R}$이므로 자명하게 $x < y$인 모든 $x , y \in S$에 대해 $[x,y] \subseteq \mathbb{R} = S$이다.

2.

$x \le y$인 모든 $x, y \in S$에 대해 $[x,y] \subseteq S$일때

$S$가 공집합이면 $S$는 공구간이고

$S$가 단일 원소집합이면 $S$는 퇴화구간이고

$S$가 적어도 두 점을 포함하면 1번으로 $S$는 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간이다.

역으로 $S$가 구간일때

$S$가 공구간이면 $S = \emptyset$이므로 공허하게 $x \le y$인 모든 $x, y \in S$에 대해 $[x,y] \subseteq S$이고 

$S$가 퇴화구간이면 $x\le y$인 모든 $x,y\in S$는 $x= y$이므로 $[x,y] = \{ x,y\} \subseteq S$이고 

$S$가 공구간이나 퇴화구간이 아니면 $S$는 적어도 두 점을 포함하므로 $x\le y$인 모든 $x,y\in S$에 대해

$x = y$일때 $[x,y] = \{ x,y\} \subseteq S$이고 $x < y$일때 1번으로 $[x,y] \subseteq S$이다.

3.

$a_0 = \min \{ x_1,x_2,\cdots,x_n\}$이고 $b_0 = \max \{ x_1,x_2,\cdots,x_n\}$일때 최소, 최대원소의 정의로

$a_0,b_0\in S$이고 모든 $j =1,2,\cdots,n$에 대해 $a_0\le x_j \le b_0$이므로 2번으로 $x_1,x_2,\cdots,x_n \in [a_0,b_0] \subseteq S$이다.

$a_0$이 $S$의 왼쪽 끝점이고 $b_0$이 $S$의 오른쪽 끝점일때 $a_i = a_0$이고 $b_i = b_0$이고 $\delta_i = 1$이면

$S = [a_0,b_0] = [a_i,b_i]$이므로 $S$가 퇴화구간이 아님에 따라 $a_i < b_i$이고 

$|x_i - x| \le \delta_i$인 모든 $x\in S$는 $x \in S = [a_0,b_0]= [a_i,b_i]$이고 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in  [a_0,b_0] = [a_i,b_i] = S$이다.

$a_0$이 $S$의 왼쪽 끝점이고 $b_0$이 $S$의 오른쪽 끝점이 아닐때

$b_0 < b_i$인 $b_i\in S$가 존재하므로 $a_0\le x_i \le b_0 < b_i$임에 따라 $b_i - x_i > 0$이 되어 $a_i = a_0$이고 $\delta_i = b_i - x_i$이면 

$a_i = a_0\le b_0 < b_i$이고 $a_i,b_i\in S$이므로 2번으로 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in [a_0,b_0] \subseteq [a_i,b_i] \subseteq S$이고

$|x_i - x| \le \delta_i$인 모든 $x \in S$는

$x - x_i \le |x- x_i| =|x_i - x| \le \delta_i = b_i -x_i$이므로 $a_i = a_0\le x \le b_i$가 되어 $x\in [a_i,b_i]$이다.

$a_0$이 $S$의 왼쪽 끝점이 아니고 $b_0$이 $S$의 오른쪽 끝점일때

$a_i < a_0$인 $a_i \in S$가 존재하므로 $a_i < a_0\le x_i \le b_0$임에 따라 $x_i - a_i > 0$가 되어 $b_i = b_0$이고 $\delta_i = x_i - a_i$이면 

$a_i < a_0\le b_0 = b_i$이고 $a_i,b_i\in S$이므로 2번으로 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in [a_0,b_0] \subseteq [a_i,b_i] \subseteq S$이고

$|x_i -x| \le \delta_i$인 모든 $x\in S$는

$x_i - x\le |x_i - x| \le \delta_i = x_i - a_i$이므로 $a_i \le x \le b_0 = b_i$가 되어 $x \in [a_i,b_i]$이다.

$a_0$이 $S$의 왼쪽 끝점이 아니고 $b_0$이 $S$의 오른쪽 끝점이 아닐때

$a_i < a_0\le x_i \le b_0 < b_i$인 $a_i,b_i\in S$가 존재하므로 2번으로 $x_1,x_2,\cdots,x_n\in [a_0,b_0] \subseteq [a_i,b_i] \subseteq S$이고

$b_i - x_i > 0$와 $x_i - a_i > 0$가 성립하여 $\delta_i = \min \{ b_i - x_i, x_i - a_i\}$이면

$|x_i - x| \le \delta_i$인 모든 $x\in S$는

$x_i- x\le |x_i-x| \le \delta_i \le x_i - a_i$이고 $x - x_i\le |x- x_i| =|x_i - x| \le \delta_i \le b_i - x_i$이므로

$a_i \le x \le b_i$가 되어 $x \in [a_i,b_i]$이다.

4.

$x_1,x_2,\cdots,x_n\in S$이므로 $S$는 공구간이 아니다.

$S$가 퇴화구간일때 $a_i = x_i = b_i$이고 $\delta_i = 1$이면 

$|x_i - x| \le \delta_i$인 모든 $x\in S$는 $x = x_i \in \{ x_i \}= [a_i,b_i]$이고 $x_1=x_2= \cdots= x_n  \in \{ x_i\} = [a_i,b_i]\subseteq S$이다.

$S$가 퇴화구간이 아니면 3번으로 정리가 성립한다.

 

 

 

정의2

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 집합 $I_{n}$이 구간일때

$I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq \cdots  \supseteq I_{n} \supseteq I_{n+1} \supseteq \cdots$와 같이 $I_{n} \supseteq I_{n+1}$ 또는 $I_{n} \supset I_{n+1}$인 

포함 관계가 성립되면 수열 $(I_n)_{n=1}^\infty$을 축소구간열(nested interval sequence)이라 한다.

 

 

 

정리2

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_n\le b_n$인 $([a_{n},b_{n}])_{n=1}^\infty$이 닫힌구간들의 축소구간열일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\xi \in [a_n,b_n]$인 실수 $\xi \in \mathbb{R}$가 존재한다.

2. $\inf \left \{ b_{n} - a_{n} : n\in \mathbb{Z}^+ \right \} = 0$이면 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\xi \in [a_n,b_n]$인 실수 $\xi \in \mathbb{R}$가 유일하게 존재한다.

증명

$([a_{n},b_{n}])_{n=1}^\infty$이 축소구간열이므로

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $[a_{1}, b_{1}] \supseteq [a_{2}, b_{2}] \supseteq \cdots  \supseteq  [a_{n}, b_{n}]  \supseteq  [a_{n+1}, b_{n+1}]  \supseteq \cdots$이고

$a_{1} \le a_{2} \le \cdots \le a_{n} \le  a_{n+1} \le  \cdots \le  b_{n+1} \le  b_{n} \le  \cdots \le b_{2} \le  b_{1}$이다.

 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_{n} \le b_{1}$이므로 집합 $\left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$은 위로 유계이고

완비성으로 상한 $\sup \left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \} = \xi$가 존재하여 상계의 정의로 $a_{n} \le \xi$이다.

임의의 $n,k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n \le k$이면 $[a_{n},b_{n}] \supseteq [a_{k},b_{k}]$이므로 $a_{n} \le a_{k} \le b_{k}\le b_{n}$이고

$n > k$이면 $[a_{n},b_{n}] \subseteq [a_{k},b_{k}]$이므로 $a_{k} \le a_{n} \le b_{n} $이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $b_{n}$은 $\left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 상계이므로

상한의 정의로 $a_{n} \le \xi \le b_{n}$이고 $\xi \in [a_n,b_n]$인 실수가 존재한다.

 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_{1} \le b_{n}$이므로 집합 $\left \{ b_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$은 아래로 유계이고 

완비성으로 하한 $\inf \left \{ b_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \} = \eta $가 존재하여 하계의 정의로 $\eta \le b_{n}$이다.

임의의 $n,k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n \le k$이면 $[a_{n},b_{n}] \supseteq [a_{k},b_{k}]$이므로 $a_{n} \le a_{k} \le b_{k}\le b_{n}$이고

$n > k$이면 $[a_{n},b_{n}] \subseteq [a_{k},b_{k}]$이므로 $a_{n} \le b_{n} \le b_{k} $이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_{n}$은 $\left \{ b_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 하계이므로

하한의 정의로 $a_{n} \le \eta \le b_{n}$이고 $\eta \in [a_n,b_n]$이다.

 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_{n} \le \eta$임에 따라 $\eta$는 $\left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 상계이고 

상한의 정의로 $\sup \left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \} = \xi \le \eta = \inf \{b_n : n\in \mathbb{Z}^+ \}$이다.

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x \in [a_n,b_n]$인 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$는

$\left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 상계이고 $\left \{ b_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 하계이므로 $a_{n} \le \xi \le x\le \eta \le b_{n}$이고

$0 \le \eta - \xi \le b_{n} - a_{n}$임에 따라 $\inf \left \{ b_{n} - a_{n} : n\in \mathbb{Z}^+ \right \} = 0$이면 하한 정리로 

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 \le \eta - \xi \le b_{m} - a_{m} < \inf \left \{ b_{n} - a_{n} : n\in \mathbb{Z}^+ \right \} + \epsilon = \epsilon$인 $m \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

부등식 정리로 $\eta - \xi = 0$이므로 $\eta = x = \xi$이다.

 

 

 

정리3

실수 집합 $\mathbb{R}$은 비가산이다.

증명

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{1}{n} \in [0,1]$이므로 구간 $[0,1]$은 무한이다.

귀류법으로 구간 $I = [0,1]$가 가부번이라고 가정하면

양의 정수집합은 $\mathbb{Z}^+ \subseteq \mathbb{N}$이므로 가부번 정리로 가부번이 되어 가산집합정리로 전단사함수 $f : \mathbb{Z}^+ \to I$가 존재하고

$f$가 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(n) = x_{n} \in I$으로 정의되면 $I$의 원소를 $I = \left \{  x_{1},x_{ 2}  ,\cdots,x_{n}, \cdots \right \}$로 나열할 수 있다.

$x_1 < x_2$이면 조밀성으로 $0 \le x_1 < r < x_2\le 1$인 $r \in \mathbb{R}$이 존재하므로 $x_1 \notin [r,1]$이고

$x_2<x_1$이면 조밀성으로 $0 \le x_2 < r < x_1 \le 1$인 $r \in \mathbb{R}$이 존재하므로 $x_1 \notin [0,r]$이 되어

선택정리로 $x_1 \notin I_1$이고 퇴화구간이 아닌 닫힌구간 $I_1\subseteq I$를 선택한다.

귀납적으로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \notin I_n$이고 퇴화구간이 아닌 닫힌구간 $I_n \subseteq I$이 정의될때

$x_{n+1} \notin I_n$이면 $I_{n+1} = I_n$으로 정의하고

$x_{n+1} \in I_n$이면 $I_n = [a,b]$이고 $a<b$인 $a,b \in \mathbb{R}$가 존재하여 $a\ne x_{n+1}$이거나 $b \ne x_{n+1}$이다.

$a\ne x_{n+1}$이면 $a < x_{n+1} \le b$이므로 조밀성으로 $a < r < x_{n+1}$인 $r \in \mathbb{R}$이 존재하여 $x_{n+1} \notin [a,r]$이고

$b \ne x_{n+1}$이면 $a\le x_{n+1} < b$이므로 조밀성으로 $x_{n+1} < r <b$인 $r \in \mathbb{R}$이 존재하여 $x_{n+1} \notin [r,b]$이므로

선택정리로 $x_{n+1} \notin I_{n+1}$이고 퇴화구간이 아닌 닫힌구간 $I_{n+1}\subseteq I_n$을 선택한다.

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $I \supseteq I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq \cdots  \supseteq I_{n} \supseteq I_{n+1} \supseteq \cdots$이 되어 $I_{n}$은 닫힌구간들의 축소구간열이므로

위 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\xi \in I_{n}$인 실수 $\xi \in I$가 존재하는데 $x_n \notin I_{n} $이므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\xi \ne x_{n}$이다.

따라서 $f(n) = \xi$인 $n \in \mathbb{Z}^+$이 존재하지 않아 $f$가 전사임에 모순이므로 $I = [0,1]$는 가부번이 아니다.

종합하여 $I= [0,1]$는 비가산이고 $[0,1] \subset \mathbb{R}$이므로 비가산 정리로 실수 집합 $\mathbb{R}$은 비가산이다.

 

 

 

정리4

임의의 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$과 $i \ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots ,n$에 대해 $(a_i,b_i) \cap (a_j,b_j) = \emptyset$이고

모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $a_i\le b_i$인 닫힌구간이 $[a_1,b_1],[a_2,b_2],\cdots,[a_n,b_n]$일때

$\alpha < \beta$인 임의의 $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $[a_i,b_i] \subset (\alpha,\beta)$이면 길이의 합은 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) < \beta-\alpha$이다.

2. 모든 $i=1,2,\cdots,n$에 대해 $[a_i,b_i] \subseteq [\alpha,\beta]$이면 길이의 합은 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) \le \beta-\alpha$이다.

증명

1.

$\{ [a_i,b_i] \}_{i= 1}^n$의 원소들은 끝점 외에는 서로 겹치지 않으므로

$a_i = b_i$이면 길이가 $b_i - a_i =0$임에 따라 $[a_i,b_i]$를 제거하여

$\alpha < a_1 < b_1 \le a_2 < b_2 \le \cdots \le a_{n-1} < b_{n-1} \le a_n < b_n < \beta$가 되도록 재배치할 수 있다.

모든 $i = 1,2,\cdots, n-1$에 대해

$a_i < b_i \le a_{i+1}< b_{i+1}$이므로 부등식에 $a_i$를 빼면 $0 = a_i - a_i < b_i - a_i \le a_{i+1} - a_i < b_{i+1} - a_i$이고

$b_i - a_i \le a_{i+1} - a_i$이다.

또 $a_n < b_n < \beta$이므로 부등식에 $a_n$을 빼면 $0 = a_n - a_n < b_n - a_n < \beta - a_n$이고

$b_n - a_n < \beta - a_n$이다.

따라서 부등식을 다 더하면

$(b_1 - a_1) + (b_2 - a_2) + \cdots + (b_{n-1} - a_{n-1}) + (b_n - a_n) < (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_n - a_{n-1}) + (\beta - a_n) = \beta - a_1 \text{  이고}$

$\beta = \beta$와 $-a_1 < -\alpha$를 더하여 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) < \beta - a_1 < \beta-\alpha$이다.

2.

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $[a_i,b_i] \subseteq [\alpha,\beta] \subset (\alpha - \frac{\epsilon}{2} ,\beta+\frac{\epsilon}{2})$이므로 

1번으로 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) < \beta +\dfrac{\epsilon}{2} - \alpha +\dfrac{\epsilon}{2} = \beta -\alpha +\epsilon$이 되어 부등식 정리로 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) \le  \beta -\alpha$이다.

 

 

 

정리5

모든 양의 정수 $n,k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $[a_n,b_n] \subseteq [a,b]$이고 $n \ne k$일때 $(a_n,b_n) \cap (a_k,b_k) = \emptyset$이 되는

$a_n\le b_n$인 닫힌구간들의 수열 $( [a_n,b_n] )_{n= 1}^\infty$의 길이의 합은 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty (b_n - a_n) \le b-a$이다.

증명

$m \ge n$인 모든 양의 정수 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$[a_1,b_1],[a_2,b_2],\cdots,  [a_n,b_n], [a_{n+1},b_{n+1}],\cdots, [a_m,b_m] \subseteq [a,b] \subset (a - \frac{1}{2m}, b + \frac{1}{2m})$이므로

위 정리로 $\displaystyle \sum_{n = 1}^m (b_n - a_n) < \left (b + \frac{1}{2m} \right ) -  \left (a - \frac{1}{2m} \right) = b-a + \frac{1}{m}$이다.

또 $\displaystyle 0 < \sum_{n= 1}^m (b_n - a_n) \le \sum_{n= 1}^{m+1}(b_n - a_n) < b-a + \frac{1}{m+1} < b-a+\frac{1}{m} \le b-a + 1$이므로

증가수열 $\displaystyle \left ( \sum_{n = 1}^m (b_n - a_n ) \right )_{m = 1}^\infty$은 유계이고 단조수열 정리로 수렴한다.

따라서 수열 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{m\to \infty} \left ( \frac{1}{m} \right ) = 0$이므로 수열 부등식 정리와 수열 극한의 선형성으로

$\displaystyle 0 \le \sum_{n = 1}^\infty (b_n - a_n) = \lim_{m \to \infty} \left ( \sum_{n = 1}^m (b_n - a_n ) \right )  \le  \lim_{m \to \infty} \left ( b - a + \frac{1}{m} \right ) =  b-a$이다.

 

 

 

정리6

$a < b$인 임의의 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a = \beta_0 < \beta_n < \beta_{n+1} < b$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\beta_n) = b$로 수렴하는 실수열 $(\beta_n)_{n=0}^\infty$이 존재한다.

2. 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a < \alpha_{n+1} < \alpha_n < \alpha_0 = b$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\alpha_n) =a$로 수렴하는 실수열 $(\alpha_n)_{n=0}^\infty$이 존재한다.

3. 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a = \beta_0 < \beta_n < \beta_{n+1} < b$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\beta_n) = b$인

임의의 실수열 $(\beta_n)_{n=0}^\infty$에 대해 $[a,b) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]$이다.

4. 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a < \alpha_{n+1} < \alpha_n < \alpha_0 = b$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\alpha_n) =a$인

임의의 실수열 $(\alpha_n)_{n=0}^\infty$에 대해 $(a,b] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{n}]$이다.

증명

1.

실수열 $(\beta_n)_{n=0}^\infty$이 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\beta_n = b - \dfrac{1}{n+1}\cdot (b- a)$일때

$\beta_0 = b - \dfrac{1}{0+1}\cdot (b-a) = b - 1\cdot (b-a) = b-b+a = a$이고

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $b-a > 0$와 $0 < \dfrac{1}{n+2} < \dfrac{1}{n+1} < 1$이 성립하므로 

$a - b < -\dfrac{1}{n+1}\cdot (b-a) < -\dfrac{1}{n+2}\cdot (b-a) < 0$가 되어

$a = b + a - b < b -\dfrac{1}{n+1}\cdot (b-a) < b -\dfrac{1}{n+2}\cdot (b-a) < b$임에 따라 $a = \beta_0 < \beta_n < \beta_{n+1} < b$이다.

수열 정리와 꼬리수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left (\dfrac{1}{n+1} \right ) = 0$이므로 수열 정리와 수열 정리로

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\beta_n) = \lim_{n\to \infty}\left (b - \dfrac{1}{n+1}\cdot (b-a) \right ) =b -\lim_{n\to \infty}\left ( \dfrac{1}{n+1}\right )\cdot (b-a)= b - 0\cdot (b-a)= b$이다.

2.

실수열 $(\alpha_n)_{n=0}^\infty$이 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\alpha_n = a + \dfrac{1}{n+1}\cdot (b- a)$일때

$\alpha_0 = a + \dfrac{1}{0+1}\cdot (b-a) = a + 1\cdot (b-a) = a + b-a = b$이고

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $b-a > 0$와 $0 < \dfrac{1}{n+2} < \dfrac{1}{n+1} < 1$이 성립하므로 

$0 < \dfrac{1}{n+2}\cdot (b-a) < \dfrac{1}{n+1}\cdot (b-a) < b-a$가 되어

$a < a +\dfrac{1}{n+2}\cdot (b-a) < a + \dfrac{1}{n+1}\cdot (b-a) < a + b-a = b$임에 따라 $a < \alpha_{n+1} < \alpha_{n} < \alpha_0 = b$이다.

수열 정리와 꼬리수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}\left (\dfrac{1}{n+1} \right ) = 0$이므로 수열 정리와 수열 정리로

$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(\alpha_n) = \lim_{n\to \infty}\left (a + \dfrac{1}{n+1}\cdot (b-a) \right ) =a +\lim_{n\to \infty}\left ( \dfrac{1}{n+1}\right )\cdot (b-a)= a + 0\cdot (b-a)= a$이다.

3.

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $a\le \beta_n < \beta_{n+1} < b$이므로 $[\beta_n,\beta_{n+1}]\subseteq [a,b)$가 되어 $\displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]\subseteq [a,b)$이고

모든 $t\in [a,b)$에 대해 $0 < b - t$이므로 수렴의 정의로 $0 < b - \beta_n = |b - \beta_n| < b-t$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여 

$t < \beta_n$임에 따라 정렬성으로 $m = \min \{ n\in \mathbb{N} : t < \beta_n\}$이 존재하고

최소원소의 정의로 $\beta_0 = a \le t < \beta_m$이므로 $m\ge 1$이 되어 $m-1\in \mathbb{N}$이고 $m-1 \notin \{ n\in \mathbb{N} : t < \beta_n\}$임에 따라 

$\beta_{m-1}\le t < \beta_m$이고 $t\in [\beta_{m-1},\beta_m]\subseteq \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]$이므로 $[a,b) \subseteq \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]$이 되어

집합 정리로 $[a,b) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]$이다.

4.

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $a < \alpha_{n+1} < \alpha_{n} \le b$이므로 $[\alpha_{n+1},\alpha_{n}]\subseteq (a,b]$가 되어 $\displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{n}]\subseteq (a,b]$이고

모든 $t\in (a,b]$에 대해 $0 < t - a$이므로 수렴의 정의로 $0 < \alpha_n -a = |\alpha_n - a| < t-a$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하여 

$\alpha_n < t$임에 따라 정렬성으로 $m = \min \{ n\in \mathbb{N} : \alpha_n < t\}$이 존재하고

최소원소의 정의로 $\alpha_m < t \le b = \alpha_0$이므로 $m\ge 1$이 되어 $m-1\in \mathbb{N}$이고 $m-1 \notin \{ n\in \mathbb{N} : \alpha_n < t\}$임에 따라 

$\alpha_{m} < t \le \alpha_{m-1}$이고 $t\in [\alpha_{m},\alpha_{m-1}]\subseteq \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_n]$이므로 $(a,b] \subseteq \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_n]$이 되어

집합 정리로 $(a,b] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_n]$이다.

 

 

 

정리7

공구간이나 퇴화구간이 아닌 임의의 구간이 $I$일때

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $a_{n+1} \le a_n < b_n \le b_{n+1}$인 닫힌구간들의 수열 $([a_n,b_n])_{n=0}^\infty$이 존재하여 $I = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n]$이다.

증명

$a < b$인 임의의 $a,b\in \mathbb{R}$에 대해

$I = [a,b]$이면 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $a_n = a$이고 $b_n = b$일때

$a_{n+1} = a_n = a < b = b_n = b_{n+1}$이고 $I = [a,b] = \displaystyle \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n]$이다.

$I = [a,b)$이면 위 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$a = \beta_0 < \beta_n < \beta_{n+1} < b$이고 $[a,b) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]$인 실수열 $(\beta_n)_{n=0}^\infty$이 존재하여 

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $a_n = a$이고 $b_n = \beta_{n+1}$일때 $a_{n+1} = a_n = a = \beta_0 < \beta_{n+1} = b_n < b_{n+1} = \beta_{n+2}$이고

$[a,b) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}] \subseteq \bigcup_{n=0}^\infty [\beta_0,\beta_{n+1}] \subseteq [a,b)$임에 따라

집합 정리로 $I = [a,b) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_0,\beta_{n+1}] = \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n]$이다.

$I = (a,b]$이면 위 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$a < \alpha_{n+1} < \alpha_n < \alpha_0 = b$이고 $(a,b] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{n}]$인 실수열 $(\alpha_n)_{n=0}^\infty$이 존재하여 

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $a_n = \alpha_{n+1}$이고 $b_n = \alpha_0$일때 $\alpha_{n+2} = a_{n+1} < a_n = \alpha_{n+1} < \alpha_0 = b_n = b_{n+1}$이고

$(a,b] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{n}] \subseteq \bigcup_{n=0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{0}] \subseteq (a,b]$임에 따라

집합 정리로 $I = (a,b] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{0}] = \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n]$이다.

$I = [a,\infty)$이면 정발산수열 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$a = \beta_0 < \beta_n < \beta_{n+1}$이고 $[a,\infty) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]$인 실수열 $(\beta_n)_{n=0}^\infty$이 존재하여 

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $a_n = a$이고 $b_n = \beta_{n+1}$일때 $a_{n+1} = a_n = a = \beta_0 < \beta_{n+1} = b_n < b_{n+1} = \beta_{n+2}$이고

$[a,\infty) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}] \subseteq \bigcup_{n=0}^\infty [\beta_0,\beta_{n+1}] \subseteq [a,\infty)$임에 따라

집합 정리로 $I = [a,\infty) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_0,\beta_{n+1}] = \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n]$이다.

$I = (-\infty,b]$이면 정발산수열 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\alpha_{n+1} < \alpha_n < \alpha_0 = b$이고 $(-\infty,b] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{n}]$인 실수열 $(\alpha_n)_{n=0}^\infty$이 존재하여 

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $a_n = \alpha_{n+1}$이고 $b_n = \alpha_0$일때 $\alpha_{n+2} = a_{n+1} < a_n = \alpha_{n+1} < \alpha_0 = b_n = b_{n+1}$이고

$(-\infty,b] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{n}] \subseteq \bigcup_{n=0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{0}] \subseteq (-\infty,b]$임에 따라

집합 정리로 $I = (-\infty,b] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_{0}] = \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n]$이다.

$I = (a,\infty)$이면 $I = (a,a_0]\cup [a_0,b_0]\cup [b_0,\infty)$이고 $a_0 < b_0$인 $a_0,b_0\in \mathbb{R}$이 존재하여

위 정리와 정발산수열 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$a < \alpha_{n+1} < \alpha_n < \alpha_0 = a_0$이고 $(a,a_0] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_n]$인 실수열 $(\alpha_n)_{n=0}^\infty$이 존재하고 

$b_0 = \beta_0 < \beta_n < \beta_{n+1}$이고 $[b_0,\infty) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]$인 실수열 $(\beta_n)_{n=0}^\infty$이 존재하므로 

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_n = \alpha_{n}$이고 $b_n = \beta_{n}$일때

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\alpha_{n+1} = a_{n+1} < a_n = \alpha_{n} \le \alpha_0 = a_0 < b_0 = \beta_0 \le \beta_{n} = b_n < b_{n+1} = \beta_{n+1}$이고 

$\begin{align*} I = (a,a_0]\cup [a_0,b_0] \cup [b_0,\infty) = \left (\bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_n] \right ) \cup [a_0,b_0] \cup \left ( \bigcup_{n=0}^\infty [\beta_{n},\beta_{n+1}] \right ) = \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n] \end{align*}$이다.

$I = (-\infty,b)$이면 $I = (-\infty,a_0] \cup [a_0,b_0]\cup [b_0,b)$이고 $a_0 < b_0$인 $a_0,b_0\in \mathbb{R}$이 존재하여

위 정리와 정발산수열 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\alpha_{n+1} < \alpha_n < \alpha_0 = a_0$이고 $(-\infty,a_0] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_n]$인 실수열 $(\alpha_n)_{n=0}^\infty$이 존재하고 

$b_0 = \beta_0 < \beta_n < \beta_{n+1} < b$이고 $[b_0,b) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]$인 실수열 $(\beta_n)_{n=0}^\infty$이 존재하므로 

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_n = \alpha_{n}$이고 $b_n = \beta_{n}$일때

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\alpha_{n+1} = a_{n+1} < a_n = \alpha_{n} \le \alpha_0 = a_0 < b_0 = \beta_0 \le \beta_{n} = b_n < b_{n+1} = \beta_{n+1}$이고 

$\begin{align*}I= (-\infty,a_0]\cup [a_0,b_0] \cup [b_0,b)  = \left (\bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_n] \right ) \cup [a_0,b_0] \cup \left ( \bigcup_{n=0}^\infty [\beta_{n},\beta_{n+1}] \right )  = \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n]\end{align*}$이다.

$I = (-\infty,\infty)$이면

$I = (-\infty,a_0]\cup [a_0,b_0]\cup [b_0,\infty)$이고 $a_0 < b_0$인 $a_0,b_0\in \mathbb{R}$이 존재하여 정발산수열 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\alpha_{n+1} < \alpha_n < \alpha_0 = a_0$이고 $(-\infty,a_0] = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_n]$인 실수열 $(\alpha_n)_{n=0}^\infty$이 존재하고 

$b_0 = \beta_0 < \beta_n < \beta_{n+1}$이고 $[b_0,\infty) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty [\beta_n,\beta_{n+1}]$인 실수열 $(\beta_n)_{n=0}^\infty$이 존재하므로 

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_n = \alpha_{n}$이고 $b_n = \beta_{n}$일때

모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $\alpha_{n+1} = a_{n+1} < a_n = \alpha_{n} \le \alpha_0 = a_0 < b_0 = \beta_0 \le \beta_{n} = b_n < b_{n+1} = \beta_{n+1}$이고 

$\begin{align*} I= (-\infty,a_0]\cup [a_0,b_0] \cup [b_0,\infty)  = \left (\bigcup_{n = 0}^\infty [\alpha_{n+1},\alpha_n] \right ) \cup [a_0,b_0] \cup \left ( \bigcup_{n=0}^\infty [\beta_{n},\beta_{n+1}] \right )  = \bigcup_{n=0}^\infty [a_n,b_n]\end{align*}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/14#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/14#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766

Fred H. Croom - Principles of topology - 9791156646402

Robert G. Bartle - A Morden Theory of Integration - 9780821808450