구간(Interval)

정의1

임의의 실수 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해

$(a,b) = \left \{ x \in \mathbb{R} : a < x < b \right \}$인 집합을 열린 구간으로 정의한다.

$[a,b]= \left \{ x \in \mathbb{R} : a \le x \le b \right \}$인 집합을 닫힌 구간으로 정의한다.

 

반(half)열린 구간 또는 반 닫힌 구간은

$[a,b) = \left \{ x \in \mathbb{R} : a \le x < b \right \}$이고

$(a,b] = \left \{ x \in \mathbb{R} : a < x \le b \right \}$인 집합으로 정의된다.

 

위에서 정의된 열린 구간, 닫힌 구간, 반 열린 구간 또는 반 닫힌 구간에서

$a,b$를 구간의 끝점이라 하고 $a$를 왼쪽 끝점, $b$를 오른쪽 끝점이라 한다.

또 위 구간들은 끝점 $a,b$로 인해 유계이므로 유계구간이라 정의하고

구간들의 길이 함수가 모든 유계 구간들의 집합족 $\mathcal{F}$에서 실수집합 $\mathbb{R}$로의 함수 $l : \mathcal{F} \to \mathbb{R}$일때

구간들의 길이를 $l((a,b)) = l([a,b)) = l((a,b]) = l([a,b]) = b - a$로 정의한다.

 

공집합인 구간을 공구간(empty interval)으로 정의하고

단일 원소집합인 구간을 퇴화구간(degenerate inteval)으로 정의한다.

 

무한 열린 구간은

$(a,\infty) = \left \{ x \in \mathbb{R} : a < x  \right \}$이고

$(-\infty,b) = \left \{ x \in \mathbb{R} : x < b \right \}$인 집합으로 정의된다.

 

무한 닫힌 구간은

$[a,\infty) = \left \{ x \in \mathbb{R} : a \le x  \right \}$이고 

$(-\infty,b] = \left \{ x \in \mathbb{R} : x \le b \right \}$인 집합으로 정의된다.

 

무한 열린구간 또는 무한 닫힌구간의 한쪽 $a,b$를 구간의 끝점으로 정의한다.

실수 집합 $\mathbb{R}$을 무한구간 $(-\infty, \infty) = \mathbb{R}$으로 정의한다.

위와 같은 집합들을 모두 구간으로 정의한다.

 

 

 

정의3

$I$가 구간일때 $\alpha,\beta \in I$에 대해

$[\alpha,\beta] \subseteq I$가 되는 닫힌 구간 $[\alpha,\beta]$를 $I$의 닫힌 부분구간으로 정의하고

$(\alpha,\beta) \subseteq I$가 되는 열린 구간 $(\alpha, \beta)$를 $I$의 열린 부분구간으로 정의한다.

 

 

 

정리1(특성화 정리)

적어도 두 점을 포함하는 집합 $S \subseteq \mathbb{R}$에 대해 다음은 동치이다.

1. $x < y$인 모든 $x , y \in S$에 대해 $[x,y] \subseteq S$이다.

2. $S$는 공구간과 퇴화구간이 아닌 구간이다.

증명

$1\to 2$

구간의 정의에 따라 네 가지 경우로 나눠진다.

$S$가 유계이면 $S$는 길이를 가진 유계구간,

$S$가 위로만 또는 아래로만 유계이면 $S$는 유계가 아닌 방향으로 무한인 구간,

$S$가 유계가 아니면 $S$는 실수 집합 $\mathbb{R} = (-\infty, \infty)$이 되어야 한다.

$S$가 유계이면

완비성으로 하한 $\inf S = a$와 상한 $\sup S = b$가 존재하고 $S$는 적어도 두 점을 가지므로

상한하한 정리로 $a=\inf S < \sup S=b $이고 $a < z < b$인 $z \in \mathbb{R}$에 대해

$z$는 $S$의 하계가 아니므로 $x < z$인 $x \in S$가 존재하고

$z$는 $S$의 상계가 아니므로 $z < y$인 $y \in S$가 존재하여

$z \in (a,b)$에 대해 1번으로 $z \in [x,y] \subseteq S$이므로 $(a,b) \subseteq S$이고

상계와 하계의 정의로 모든 $s\in S$에 대해 $s \in [\inf S , \sup S] = [a, b]$이므로 $S \subseteq [a,b]$이다.

따라서 집합정리로

$a \in S$이고 $b \in S$이면 $[a,b] \subseteq S$이고 $S \subseteq [a,b]$이므로 $S = [a,b]$이고

$a \in S$이고 $b \notin S$이면 $[a,b) \subseteq S$이고 $S \subseteq [a,b) \subset [a,b]$이므로 $S = [a,b)$이고

$a \notin S$이고 $b \in S$이면 $(a,b] \subseteq S$이고 $S \subseteq (a,b] \subset [a,b]$이므로 $S = (a,b]$이고

$a \notin S$이고 $b \notin S$이면 $(a,b) \subseteq S$이고 $S \subseteq (a,b) \subset [a,b]$이므로 $S = (a,b)$이다.

일반성을 잃지 않고 $S$가 위로만 유계라고 가정하면

완비성으로 상한 $\sup S = b$가 존재하여

$z < b$인 $z\in \mathbb{R}$는 $S$의 상계가 아니므로 $z < y$인 $y \in S$가 존재한다.

$S$는 아래로 유계가 아니므로 $x < z$인 $x \in S$가 존재하여

$z \in (-\infty, b)$에 대해 1번으로 $z \in [x,y] \subseteq S$이므로 $(-\infty, b) \subseteq S$이고

상계의 정의로 모든 $s\in S$에 대해 $s \in (-\infty , \sup S] = (-\infty, b]$이므로 $S \subseteq (-\infty, b]$이다.

따라서 집합정리로

$b \in S$이면 $(-\infty, b] \subseteq S$이고 $S \subseteq (-\infty, b]$이므로 $S =  (-\infty, b]$이고

$b \notin S$이면 $(-\infty, b) \subseteq S$이고 $S \subseteq (-\infty, b) \subset (-\infty, b]$이므로 $S = (-\infty, b)$이다.

$S$가 유계가 아니면

임의의 $z \in (-\infty, \infty)$에 대해 $S$는 위아래로 유계가 아니므로 $x < z < y$인 $x,y \in S$가 존재하고 

1번으로 $z \in [x,y] \subseteq S$이므로 $ (-\infty, \infty) \subseteq S$이다.

따라서 $S \subseteq \mathbb{R} =(-\infty, \infty)$이므로 집합정리로 $S = (-\infty, \infty) = \mathbb{R}$이다.

$2\to 1$

$S$가 유계구간이면

$S$의 끝점 $a,b \in \mathbb{R}$가 존재하여 $x < y$인 모든 $x , y \in S$에 대해 $a\le x<y\le b$이므로

모든 $z\in [x,y]$는 $a\le x\le z\le y\le b$가 되어 $z\in S$이고 $[x,y] \subseteq S$이다.

$S$가 위로만 유계인 구간이면

$S$의 오른쪽 끝점 $b \in \mathbb{R}$가 존재하여 $x < y$인 모든 $x , y \in S$에 대해 $x<y\le b$이므로

모든 $z\in [x,y]$는 $x\le z\le y\le b$가 되어 $z\in S$이고 $[x,y] \subseteq S$이다.

$S$가 아래로만 유계인 구간이면

$S$의 왼쪽 끝점 $a \in \mathbb{R}$가 존재하여 $x < y$인 모든 $x , y \in S$에 대해 $a\le x<y$이므로

모든 $z\in [x,y]$는 $a\le x\le z\le y$가 되어 $z\in S$이고 $[x,y] \subseteq S$이다.

$S$가 유계가 아닌 구간이면

$S = (-\infty, \infty) = \mathbb{R}$이므로 자명하게 $x < y$인 모든 $x , y \in S$에 대해 $[x,y] \subseteq \mathbb{R} = S$이다.

 

 

 

정의2

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 집합 $I_{n}$이 구간일때

$I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq \cdots  \supseteq I_{n} \supseteq I_{n+1} \supseteq \cdots$와 같이 $I_{n} \supseteq I_{n+1}$ 또는 $I_{n} \supset I_{n+1}$인 

포함 관계가 성립되면 수열 $(I_n)_{n=1}^\infty$을 축소구간열(nested interval sequence)이라 한다.

 

 

 

정리2

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_n\le b_n$인 $([a_{n},b_{n}])_{n=1}^\infty$이 닫힌구간들의 축소구간열일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\xi \in [a_n,b_n]$인 실수 $\xi \in \mathbb{R}$가 존재한다.

2. $\inf \left \{ b_{n} - a_{n} : n\in \mathbb{Z}^+ \right \} = 0$이면 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\xi \in [a_n,b_n]$인 실수 $\xi \in \mathbb{R}$가 유일하게 존재한다.

증명

$([a_{n},b_{n}])_{n=1}^\infty$이 축소구간열이므로

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $[a_{1}, b_{1}] \supseteq [a_{2}, b_{2}] \supseteq \cdots  \supseteq  [a_{n}, b_{n}]  \supseteq  [a_{n+1}, b_{n+1}]  \supseteq \cdots$이고

$a_{1} \le a_{2} \le \cdots \le a_{n} \le  a_{n+1} \le  \cdots \le  b_{n+1} \le  b_{n} \le  \cdots \le b_{2} \le  b_{1}$이다.

 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_{n} \le b_{1}$이므로 집합 $\left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$은 위로 유계이고

완비성으로 상한 $\sup \left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \} = \xi$가 존재하여 상계의 정의로 $a_{n} \le \xi$이다.

임의의 $n,k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n \le k$이면 $[a_{n},b_{n}] \supseteq [a_{k},b_{k}]$이므로 $a_{n} \le a_{k} \le b_{k}\le b_{n}$이고

$n > k$이면 $[a_{n},b_{n}] \subseteq [a_{k},b_{k}]$이므로 $a_{k} \le a_{n} \le b_{n} $이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $b_{n}$은 $\left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 상계이므로

상한의 정의로 $a_{n} \le \xi \le b_{n}$이고 $\xi \in [a_n,b_n]$인 실수가 존재한다.

 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_{1} \le b_{n}$이므로 집합 $\left \{ b_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$은 아래로 유계이고 

완비성으로 하한 $\inf \left \{ b_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \} = \eta $가 존재하여 하계의 정의로 $\eta \le b_{n}$이다.

임의의 $n,k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n \le k$이면 $[a_{n},b_{n}] \supseteq [a_{k},b_{k}]$이므로 $a_{n} \le a_{k} \le b_{k}\le b_{n}$이고

$n > k$이면 $[a_{n},b_{n}] \subseteq [a_{k},b_{k}]$이므로 $a_{n} \le b_{n} \le b_{k} $이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_{n}$은 $\left \{ b_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 하계이므로

하한의 정의로 $a_{n} \le \eta \le b_{n}$이고 $\eta \in [a_n,b_n]$이다.

 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_{n} \le \eta$임에 따라 $\eta$는 $\left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 상계이고 

상한의 정의로 $\sup \left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \} = \xi \le \eta = \inf \{b_n : n\in \mathbb{Z}^+ \}$이다.

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x \in [a_n,b_n]$인 임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$는

$\left \{ a_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 상계이고 $\left \{ b_{n} : n \in \mathbb{Z}^+  \right \}$의 하계이므로 $a_{n} \le \xi \le x\le \eta \le b_{n}$이고

$0 \le \eta - \xi \le b_{n} - a_{n}$임에 따라 $\inf \left \{ b_{n} - a_{n} : n\in \mathbb{Z}^+ \right \} = 0$이면 하한 정리로 

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 \le \eta - \xi \le b_{m} - a_{m} < \inf \left \{ b_{n} - a_{n} : n\in \mathbb{Z}^+ \right \} + \epsilon = \epsilon$인 $m \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 

부등식 정리로 $\eta - \xi = 0$이므로 $\eta = x = \xi$이다.

 

 

 

정리3

실수 집합 $\mathbb{R}$은 비가산이다.

증명

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{1}{n} \in [0,1]$이므로 구간 $[0,1]$은 무한이다.

귀류법으로 구간 $I = [0,1]$가 가부번이라고 가정하면

양의 정수집합은 $\mathbb{Z}^+ \subseteq \mathbb{N}$이므로 가부번 정리로 가부번이 되어 가산집합정리로 전단사함수 $f : \mathbb{Z}^+ \to I$가 존재하고

$f$가 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(n) = x_{n} \in I$으로 정의되면 $I$의 원소를 $I = \left \{  x_{1},x_{ 2}  ,\cdots,x_{n}, \cdots \right \}$로 나열할 수 있다.

$x_1 < x_2$이면 조밀성으로 $0 \le x_1 < r < x_2\le 1$인 $r \in \mathbb{R}$이 존재하므로 $x_1 \notin [r,1]$이고

$x_2<x_1$이면 조밀성으로 $0 \le x_2 < r < x_1 \le 1$인 $r \in \mathbb{R}$이 존재하므로 $x_1 \notin [0,r]$이 되어

선택정리로 $x_1 \notin I_1$이고 퇴화구간이 아닌 닫힌구간 $I_1\subseteq I$를 선택한다.

귀납적으로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \notin I_n$이고 퇴화구간이 아닌 닫힌구간 $I_n \subseteq I$이 정의될때

$x_{n+1} \notin I_n$이면 $I_{n+1} = I_n$으로 정의하고

$x_{n+1} \in I_n$이면 $I_n = [a,b]$이고 $a<b$인 $a,b \in \mathbb{R}$가 존재하여 $a\ne x_{n+1}$이거나 $b \ne x_{n+1}$이다.

$a\ne x_{n+1}$이면 $a < x_{n+1} \le b$이므로 조밀성으로 $a < r < x_{n+1}$인 $r \in \mathbb{R}$이 존재하여 $x_{n+1} \notin [a,r]$이고

$b \ne x_{n+1}$이면 $a\le x_{n+1} < b$이므로 조밀성으로 $x_{n+1} < r <b$인 $r \in \mathbb{R}$이 존재하여 $x_{n+1} \notin [r,b]$이므로

선택정리로 $x_{n+1} \notin I_{n+1}$이고 퇴화구간이 아닌 닫힌구간 $I_{n+1}\subseteq I_n$을 선택한다.

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $I \supseteq I_{1} \supseteq I_{2} \supseteq \cdots  \supseteq I_{n} \supseteq I_{n+1} \supseteq \cdots$이 되어 $I_{n}$은 닫힌구간들의 축소구간열이므로

위 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\xi \in I_{n}$인 실수 $\xi \in I$가 존재하는데 $x_n \notin I_{n} $이므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\xi \ne x_{n}$이다.

따라서 $f(n) = \xi$인 $n \in \mathbb{Z}^+$이 존재하지 않아 $f$가 전사임에 모순이므로 $I = [0,1]$는 가부번이 아니다.

종합하여 $I= [0,1]$는 비가산이고 $[0,1] \subset \mathbb{R}$이므로 비가산 정리로 실수 집합 $\mathbb{R}$은 비가산이다.

 

 

 

정리4

$\alpha < \beta$인 $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$와 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots ,n$에 대해

$[a_i,b_i] \subset (\alpha,\beta)$이고 $i \ne j$일때 $(a_i,b_i) \cap (a_j,b_j) = \emptyset$이 되는

$a_i\le b_i$인 닫힌구간들의 집합족 $\{ [a_i,b_i] \}_{i= 1}^n$의 길이의 합은 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) < \beta-\alpha$이다.

증명

$\{ [a_i,b_i] \}_{i= 1}^n$의 원소들은 끝점 외에는 서로 겹치지 않으므로

$a_i = b_i$이면 길이가 $b_i - a_i =0$임에 따라 $[a_i,b_i]$를 제거하여

$\alpha < a_1 < b_1 \le a_2 < b_2 \le \cdots \le a_{n-1} < b_{n-1} \le a_n < b_n < \beta$가 되도록 재배치할 수 있다.

모든 $i = 1,2,\cdots, n-1$에 대해

$a_i < b_i \le a_{i+1}< b_{i+1}$이므로 부등식에 $a_i$를 빼면 $0 = a_i - a_i < b_i - a_i \le a_{i+1} - a_i < b_{i+1} - a_i$이고

$b_i - a_i \le a_{i+1} - a_i$이다.

또 $a_n < b_n < \beta$이므로 부등식에 $a_n$을 빼면 $0 = a_n - a_n < b_n - a_n < \beta - a_n$이고

$b_n - a_n < \beta - a_n$이다.

따라서 부등식을 다 더하면

$(b_1 - a_1) + (b_2 - a_2) + \cdots + (b_{n-1} - a_{n-1}) + (b_n - a_n) < (a_2 - a_1) + (a_3 - a_2) + \cdots + (a_n - a_{n-1}) + (\beta - a_n) = \beta - a_1 \text{  이고}$

$\beta = \beta$와 $-a_1 < -\alpha$를 더하여 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n (b_i - a_i) < \beta - a_1 < \beta-\alpha$이다.

 

 

 

정리5

모든 양의 정수 $n,k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $[a_n,b_n] \subseteq [a,b]$이고 $n \ne k$일때 $(a_n,b_n) \cap (a_k,b_k) = \emptyset$이 되는

$a_n\le b_n$인 닫힌구간들의 가산 무한집합족 $\{ [a_n,b_n] \}_{n= 1}^\infty$의 길이의 합은 $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty (b_n - a_n) \le b-a$이다.

증명

$m \ge n$인 모든 양의 정수 $n,m\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$[a_1,b_1],[a_2,b_2],\cdots,  [a_n,b_n], [a_{n+1},b_{n+1}],\cdots, [a_m,b_m] \subseteq [a,b] \subset (a - \frac{1}{2m}, b + \frac{1}{2m})$이므로

위 정리로 $\displaystyle \sum_{n = 1}^m (b_n - a_n) < \left (b + \frac{1}{2m} \right ) -  \left (a - \frac{1}{2m} \right) = b-a + \frac{1}{m}$이다.

또 $\displaystyle 0 < \sum_{n= 1}^m (b_n - a_n) \le \sum_{n= 1}^{m+1}(b_n - a_n) < b-a + \frac{1}{m+1} < b-a+\frac{1}{m} \le b-a + 1$이므로

증가수열 $\displaystyle \left ( \sum_{n = 1}^m (b_n - a_n ) \right )_{m = 1}^\infty$은 유계이고 단조수열 정리로 수렴한다.

따라서 수열 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{m\to \infty} \left ( \frac{1}{m} \right ) = 0$이므로 수열 부등식 정리와 수열 극한의 선형성으로

$\displaystyle 0 \le \sum_{n = 1}^\infty (b_n - a_n) = \lim_{m \to \infty} \left ( \sum_{n = 1}^m (b_n - a_n ) \right )  \le  \lim_{m \to \infty} \left ( b - a + \frac{1}{m} \right ) =  b-a$이다.

 

 

 

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/14#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/14#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766

Fred H. Croom - Principles of topology - 9791156646402

Robert G. Bartle - A Morden Theory of Integration - 9780821808450