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거리공간(Metric space)수학/위상수학 2024. 3. 20. 14:28반응형
정의1
거리공간 :
임의의 집합 $X$와 함수 $d : $ $X\times X$ $ \to $ $[0 ,\infty)$가 아래 4가지 성질을 만족할때
순서쌍 $(X,d)$를 거리공간으로 정의하고 함수 $d$를 $X$의 거리함수(distance function)로 정의한다.
1. 모든 $x \in X$에 대해 $d(x,x) = 0$이다.
2. $x \ne y$인 모든 $x ,y \in X$에 대해 $d(x,y) > 0$이다.
3. 모든 $x ,y \in X$에 대해 $d(x,y) = d(y,x)$이다.
4. 모든 $x ,y ,z \in X$에 대해 $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$이다.
부분거리공간 :
거리공간 $(X,d)$과 임의의 부분집합 $Y\subseteq X$에 대해
아래 정리로 $(Y,d)$는 거리공간이므로 $(Y,d)$를 $(X,d)$의 부분거리공간으로 정의한다.
유계거리공간 :
거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $Y \subseteq X$에 대해
어떤 실수 $M > 0$에 대해 모든 $x,y \in Y$가 $d(x,y) \le M$이면 $Y$를 $(X,d)$에서 유계(bounded)라 정의하고
$X$가 $(X,d)$에서 유계이면 $(X,d)$를 유계거리공간이라 정의한다.
지름(diameter) :
거리공간 $(X,d)$에서 유계이고 $Y\ne \emptyset$인 임의의 $Y \subseteq X$에 대해
$\underset{(X,d)}{\operatorname{diam}}(Y) = $ $\sup$$\{ d(x,y) : x,y \in Y\} \in \mathbb{R}$를 $(X,d)$에서 $Y$의 지름으로 정의한다.
점과 집합 사이의 거리 :
거리공간 $(X,d)$에서 유계이고 $Y\ne \emptyset$인 임의의 $Y \subseteq X$에 대해 임의의 $x \in X$를 점이라 정의할때
$(X,d)$에서 점 $x$와 집합 $Y$사이의 거리를 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(Y,x)=\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,Y) = $ $\inf$$\{ d(x,y) : y \in Y\} \in \mathbb{R}$로 정의한다.
정리1
임의의 거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $Y \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. $(Y,d)$는 거리공간이다.
2. 임의의 $x,y\in X$에 대해 $d(x,y) =0$이기 위한 필요충분조건은 $x =y$인 것이다.
3. 모든 $x,y\in X$에 대해 $d(x,y) \ge 0$이다.
4. $X\ne \emptyset$일때 $Y$가 $(X,d)$에서 유계이기 위한 필요충분조건은
어떤 실수 $r >0 $과 어떤 $x \in X$가 존재하여 모든 $y \in Y$가 $d(x,y) \le r$인 것이다.
5. 임의의 $Z \subseteq Y$에 대해 $Y$가 $(X,d)$에서 유계이면 $Z$도 $(X,d)$에서 유계이다.
6. $Y $가 $(X,d)$에서 유계이면 모든 $x \in X$에 대해 어떤 실수 $r_x >0$가 존재하여 모든 $y\in Y$가 $d(x,y)\le r_x$이다.
증명
1.
$Y \subseteq X$이므로 모든 $y \in Y$는 $y \in X$가 되어 $d$에 대해 거리공간의 성질이 성립하고
$X$의 거리함수 $d$를 $d$의 정의역을 $Y\times Y$로 제한한 함수 $d|_{Y\times Y} $로 나타내면 $(Y,d)$는 거리공간이다.
2.
$d(x,y) =0$일때 $x\ne y$라고 가정하면 거리공간의 정의로 $0=d(x,y) > 0$이 되어 모순이므로 $x =y$이다.
역으로 $x = y$이면 $d$는 함수이므로 거리공간의 정의로 $d(x,y) = d(x,x) =0$이다.
3.
거리공간의 정의로 $x\ne y$이면 $d(x,y) > 0$이고
$x = y$이면 $d(x,y) = 0$이므로 모든 $x,y\in X$에 대해 $d(x,y) \ge 0$이다.
4.
$Y$가 $(X,d)$에서 유계일때
모든 실수 $r >0$과 모든 $x \in X$에 대해 $d(x,y_{x,r}) > r$인 $y_{x,r}\in Y$이 존재한다고 가정하면
유계의 정의로 어떤 실수 $M >0$에 대해 모든 $y,z \in Y$가 $d(y,z) \le M$인데
거리공간의 정의로 $M < d(z,y_{z,M}) =d(y_{z,M},z) \le M$인 $y_{z,M} \in Y$이 존재하므로 모순이다.
역으로 어떤 실수 $r >0$과 어떤 $x \in X$에 대해 모든 $y \in Y$가 $d(x,y) \le r$이면
거리공간의 정의로 모든 $y,z \in Y$에 대해 $d(y,z) \le d(y,x) + d(x,z) = d(x,y) + d(x,z) \le 2\cdot r$이므로
$Y$는 $(X,d)$에서 유계이다.
5.
$Y$가 $(X,d)$에서 유계이면 어떤 실수 $M > 0$에 대해 모든 $x,y \in Y$가 $d(x,y) \le M$이므로
모든 $x,y \in Z\subseteq Y$에 대해서도 $d(x,y) \le M$가 되어 $Z$는 $(X,d)$에서 유계이다.
6.
$X = \emptyset$이면 공허하게 성립한다.
$X\ne \emptyset$이면 4번으로 어떤 실수 $r_0 >0 $과 어떤 $x_0 \in X$가 존재하여 모든 $y \in Y$가 $d(x_0,y) \le r_0$이므로
모든 $x\in X$에 대해 $r_x =d(x,x_0) + r_0 > 0$로 정의할때
거리공간의 정의로 모든 $y \in Y$에 대해 $d(x,y) \le d(x,x_0) + d(x_0,y)\le d(x,x_0) + r_0 = r_x$이다.
정리4(영[Young] 부등식)
$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$인 임의의 $p,q \in $ $(0 ,\infty)$와 임의의 $a,b \in [0,\infty)$에 대해 $a\cdot b \le \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}$이다.
증명
일반성을 잃지 않고 $a = 0$이라고 가정하면
$0< \dfrac{1}{q}$이고 거듭제곱의 정의와 거듭제곱 정리로 $a^p = 0$과 $0\le b^q$가 성립하여 $a\cdot b =0 \le \dfrac{b^q}{q} = \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}$이다.
$a > 0$이고 $b > 0$이면
$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$이므로 $\dfrac{1}{p}, \dfrac{1}{q} \in (0,1)$이고 거듭제곱 정리로 $a^p > 0$과 $ b^q>0$이 성립하여
산술-기하 평균 부등식과 거듭제곱 정리로 $a\cdot b = (a^p)^\frac{1}{p}\cdot (b^q)^\frac{1}{q} \le \dfrac{1}{p}\cdot a^p + \dfrac{1}{q}\cdot b^q = \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}$이다.
정리2
임의의 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$과 임의의 복소수 $x_1,x_2,\cdots,x_n ,y_1,y_2,\cdots, y_n \in \mathbb{C}$에 대해 다음이 성립한다.
단위벡터(unit vector) :
$x_i \ne 0$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하고 임의의 실수 $p \in \mathbb{R}$가 $p \ne 0$일때
모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $u_j = \dfrac{x_j}{ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}}$이면 $\displaystyle \left (\sum_{j = 1}^n |u_j|^p \right)^\frac{1}{p} = 1$이다.
횔더(Hölder) 부등식 :
$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$인 임의의 $p,q \in $ $(0 ,\infty)$에 대해 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left ( \sum_{i =1}^n|y_i|^q\right )^\frac{1}{q}$이다.
민코프스키(Minkowski) 부등식 :
임의의 $p \in [1,\infty)$에 대해 $\displaystyle \left (\sum_{i = 1}^n |x_i + y_i|^p\right )^\frac{1}{p} \le \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i|^p \right )^\frac{1}{p} + \left ( \sum_{i =1}^n|y_i|^p\right )^\frac{1}{p}$이다.
증명
단위벡터
$x_i \ne 0$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하면
절댓값 정리로 $|x_i| > 0$이고 거듭제곱 정리로 $|x_i|^p > 0$이므로 $ \displaystyle\sum_{i = 1}^n |x_i|^p > 0$이 되어 $ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} > 0$이다.
$\begin{align*} \left (\sum_{j = 1}^n |u_j|^p \right)^\frac{1}{p} = \left (\sum_{j = 1}^n \left|\frac{x_j}{ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}} \right |^p \right)^\frac{1}{p} = \left (\sum_{j = 1}^n \frac{|x_j|^p}{ \displaystyle \left|\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}\right|^p} \right)^\frac{1}{p} = \left (\sum_{j = 1}^n \frac{|x_j|^p}{ \displaystyle \left(\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}\right)^p} \right)^\frac{1}{p} = \left ( \frac{\displaystyle\sum_{j = 1}^n|x_j|^p}{ \displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_i|^p } \right)^\frac{1}{p} = 1 \text{ 이다.} \end{align*}$
횔더 부등식
일반성을 잃지 않고 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i = 0$이라 가정하면
절댓값 정리로 $|x_i| = 0$이므로 거듭제곱의 정의로 $|x_i|^p = 0$이 되어 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_i|^p =0$이고
거듭제곱의 정의로 $\displaystyle \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i|^p \right )^\frac{1}{p} = 0$이므로 $\displaystyle \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left ( \sum_{i =1}^n|y_i|^q\right )^\frac{1}{q} = 0$이고
$x_i\cdot y_i = 0$이므로 절댓값 정리로 $|x_i\cdot y_i| = 0$이 되어 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_i \cdot y_i| =0= \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left ( \sum_{i =1}^n|y_i|^q\right )^\frac{1}{q}$가 성립한다.
$x_i \ne 0$이고 $y_j \ne 0$인 $i,j = 1,2,\cdots, n$가 존재하면
$ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} > 0$이고 $ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^q \right )^\frac{1}{q} > 0$이므로
모든 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해 $u_k = \dfrac{x_k}{ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}}$와 $v_k = \dfrac{y_k}{ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^q \right )^\frac{1}{q}}$로 둘때
영 부등식, 단위벡터, 절댓값 정리, 거듭제곱 정리와 거듭제곱 정리로
$\begin{align*}\sum_{k = 1}^n |u_k |\cdot |v_k| & =\sum_{k = 1}^n \left|\frac{x_k}{ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}} \right|\cdot \left| \frac{y_k}{ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^q \right )^\frac{1}{q}}\right | \\[0.5em] & =\sum_{k = 1}^n\left( \frac{|x_k|}{ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}} \right )\cdot \left( \frac{|y_k|}{ \displaystyle\left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^q \right )^\frac{1}{q}} \right) \\[0.5em] & = \left( \left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} \right)^{-1} \cdot\left(\left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^q \right )^\frac{1}{q} \right )^{-1} \cdot \sum_{k = 1}^n|x_k|\cdot |y_k| \\[0.5em] & = \left( \left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} \cdot \left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^q \right )^\frac{1}{q} \right)^{-1} \cdot \sum_{k = 1}^n|x_k\cdot y_k| \text{ 이고} \end{align*}$
$\begin{align*} \sum_{k = 1}^n |u_k |\cdot |v_k| & \le \sum_{k = 1}^n \left (\frac{|u_k |^p}{p} + \frac{|v_k|^q}{q} \right )= \frac{1}{p}\cdot \sum_{k = 1}^n |u_k |^p + \frac{1}{q}\cdot \sum_{k = 1}^n|v_k|^q = \frac{1}{p}\cdot \left(\left(\sum_{k = 1}^n |u_k |^p \right)^\frac{1}{p}\right)^p + \frac{1}{q}\cdot \left(\left(\sum_{k = 1}^n|v_k|^q\right)^\frac{1}{q}\right)^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \text{ 이므로} \end{align*}$
$\displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_i \cdot y_i| \le \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left ( \sum_{i =1}^n|y_i|^q\right )^\frac{1}{q}$이다.
민코프스키 부등식
$p = 1$이면 절댓값 정리로
$\displaystyle \left (\sum_{i = 1}^n |x_i + y_i|^p\right )^\frac{1}{p} = \sum_{i = 1}^n |x_i + y_i| \le \sum_{i = 1}^n(|x_i| + |y_i|) =\sum_{i = 1}^n|x_i| + \sum_{i = 1}^n|y_i| = \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i|^p \right )^\frac{1}{p} + \left ( \sum_{i =1}^n|y_i|^p\right )^\frac{1}{p} \text{ 이다.}$
모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i +y_i = 0$이라 가정하면
$\displaystyle \left (\sum_{i = 1}^n |x_i + y_i|^p\right )^\frac{1}{p} = 0 \le \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i|^p \right )^\frac{1}{p} + \left ( \sum_{i =1}^n|y_i|^p\right )^\frac{1}{p}$이다.
$p > 1$이고 $x_i + y_i \ne 0$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재할때
$p-1 > 0$이므로 $q = \dfrac{p}{p -1}$로 두면 $\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = \dfrac{1}{p} + \dfrac{p-1}{p} = 1$이 되어
$\begin{align*} \left(\left (\sum_{i = 1}^n |x_i + y_i|^p\right )^\frac{1}{p}\right)^p & = \sum_{i = 1}^n |x_i + y_i|^p = \sum_{i = 1}^n |x_i + y_i|\cdot |x_i + y_i|^{p-1} \\[0.5em] & \le \sum_{i = 1}^n (|x_i | +| y_i|)\cdot |x_i + y_i|^{p-1} = \left(\sum_{i = 1}^n |x_i| \cdot |x_i + y_i|^{p-1} \right ) + \left (\sum_{i = 1}^n | y_i| \cdot |x_i + y_i|^{p-1} \right ) \\[0.5em] & \le \left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left( \sum_{i = 1}^n(|x_i + y_i|^{p-1})^q \right )^\frac{1}{q} + \left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left( \sum_{i = 1}^n(|x_i + y_i|^{p-1})^q \right )^\frac{1}{q} \\[0.5em] & \qquad = \left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left( \sum_{i = 1}^n(|x_i + y_i|^{p-1})^\frac{p}{p-1} \right )^\frac{p-1}{p} + \left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left( \sum_{i = 1}^n(|x_i + y_i|^{p-1})^\frac{p}{p-1} \right )^\frac{p-1}{p} \\[0.5em] & \qquad = \left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left (\left( \sum_{i = 1}^n|x_i + y_i|^p \right )^\frac{1}{p} \right )^{p-1} + \left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^p \right )^\frac{1}{p}\cdot \left (\left( \sum_{i = 1}^n|x_i + y_i|^p \right )^\frac{1}{p}\right )^{p-1} \\[0.5em] & \qquad = \left(\left (\sum_{i = 1}^n |x_i|^p \right )^\frac{1}{p} + \left (\sum_{i = 1}^n |y_i|^p \right )^\frac{1}{p} \right )\cdot \left (\left( \sum_{i = 1}^n|x_i + y_i|^p \right )^\frac{1}{p}\right )^{p-1} \text{ 이므로}\end{align*}$
양변을 $ \displaystyle \left (\left (\sum_{i = 1}^n |x_i + y_i|^p \right )^\frac{1}{p} \right )^{p-1}> 0$로 나누면 $\displaystyle \left (\sum_{i = 1}^n |x_i + y_i|^p\right )^\frac{1}{p} \le \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i|^p \right )^\frac{1}{p} + \left ( \sum_{i =1}^n|y_i|^p\right )^\frac{1}{p}$이다.
정리5
다음이 성립한다.
1. 임의의 $x ,t \in $ $(0 ,\infty)$에 대해 $\displaystyle \lim_{t \to \infty}$$x^\frac{1}{t} = 1$이다.
2. 모든 $x \in (a,\infty)$에 대해 $f(x) \le g(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) , \lim_{x\to \infty}g(x) \in \mathbb{R}$가 존재하면 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)\le \lim_{x\to \infty}g(x) $이다.
증명
거듭제곱 정리로 모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해 $g(t) = x^t$인 함수 $g :\mathbb{R}\to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하므로
미분연속성으로 $\mathbb{R}$에서 연속이고 $g(0) = x^0 = 1$이므로 연속함수 정리와 편측극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t\to 0+}$$x^t = 1$이 되어
모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 < t - 0 < \delta(\epsilon)$인 모든 $t \in (0,\infty)$가 $|x^t - 1| < \epsilon$인 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재한다.
따라서 $t \in (0,\infty)$에 대해 $\displaystyle\lim_{t\to \infty}t = \infty$이므로 함수극한 정리로 $\displaystyle\lim_{t\to \infty}\frac{1}{t} = 0$이고
$K(\delta(\epsilon) )<t$인 모든 $t \in (0,\infty)$가 $0<\dfrac{1}{t}=\left |\dfrac{1}{t} -0 \right | < \delta(\epsilon)$이 되는 $K(\delta(\epsilon)) > 0$이 존재하므로
$|x^\frac{1}{t} - 1| < \epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{t \to \infty}$$x^\frac{1}{t} = 1$이다.
2.
실수열 판정법으로 모든 원소가 $a < x_n$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(x_n) =\infty$인 임의의 실수열 $(x_n)$에 대해
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(f(x_n)) =\lim_{x \to \infty} f(x)$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(g(x_n)) =\lim_{x\to \infty}g(x) $가 성립하고 $f(x_n) \le g(x_n)$이므로
실수열 부등식 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{n\to \infty}(f(x_n)) \le \lim_{n\to \infty}(g(x_n))=\lim_{x\to \infty}g(x) $이다.
정리3
복소수집합 $\mathbb{C}$의 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$-데카르트곱이 $\mathbb{C}^n$이고 $p \in $ $[1 ,\infty)$일때
임의의 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n) ,y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in \mathbb{C}^n$에 대해
$d_p(x,y) = \displaystyle \left (\sum_{i = 1}^n |x_i -y_i|^p\right )^\frac{1}{p}$로 정의되는 함수가 $d_p : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to [0,\infty)$이면 다음이 성립한다.
1. $(\mathbb{C}^n,d_p)$는 거리공간이다.
2. $\displaystyle \lim_{p \to \infty}$$d_p(x,y) = $ $\max$$\{ |x_i - y_i| : i = 1,2,\cdots, n \}$
3. 함수 $d_\infty : \mathbb{C}^n \times \mathbb{C}^n \to [0,\infty)$가 $ d_\infty(x,y)= \displaystyle \lim_{p \to \infty}d_p(x,y)$로 정의되면 $(\mathbb{C}^n,d_\infty)$는 거리공간이다.
증명
1.
모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i - x_i = 0$이므로 절댓값 정리와 거듭제곱의 정의로 $ |x_i -x_i|^p = 0^p = 0$이 되어
$\displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_i -x_i|^p = 0$이고 $d_p(x,x) = \displaystyle \left (\sum_{i = 1}^n |x_i -x_i|^p\right )^\frac{1}{p} = 0^\frac{1}{p} = 0$이다.
$x\ne y$이면 $n$-순서쌍의 상등으로 $x_j \ne y_j$인 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하여 $x_j - y_j \ne 0$이므로
절댓값 정리로 $|x_j - y_j| > 0$이고 거듭제곱 정리로 $|x_j - y_j|^p > 0$이므로 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_i -y_i|^p > 0$이 되어
거듭제곱 정리로 $d_p(x,y)=\displaystyle \left (\sum_{i = 1}^n |x_i -y_i|^p\right)^\frac{1}{p} > 0$이다.
절댓값 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해
$|x_i -y_i| = |y_i - x_i|$이므로 $d_p(x,y) = \displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_i -y_i|^p = \sum_{i = 1}^n |y_i - x_i|^p = d_p(y,x)$이다.
임의의 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n) ,y=(y_1,y_2,\cdots, y_n),z = (z_1,z_2,\cdots, z_n)\in \mathbb{C}^n$에 대해 민코프스키 부등식으로
$ d_p(x,z)=\displaystyle \left (\sum_{i = 1}^n |x_i - z_i|^p\right )^\frac{1}{p}= \left (\sum_{i = 1}^n |(x_i - y_i) + (y_i-z_i)|^p\right )^\frac{1}{p} \le \left ( \sum_{i = 1}^n|x_i -y_i|^p \right )^\frac{1}{p} + \left ( \sum_{i =1}^n|y_i-z_i|^p\right )^\frac{1}{p} = d_p(x,y) + d_p(y,z) \text{ 이다.}$
따라서 $(\mathbb{C}^n,d_p)$는 거리공간의 성질을 만족하므로 거리공간이다.
2.
$\{ |x_i - y_i| : i = 1,2,\cdots, n \}\ne \emptyset$는 유한집합이므로 최대원소 정리로 $\max\{ |x_i-y_i| : i = 1,2,\cdots, n\}$가 존재하여
일반성을 잃지 않고 $|x_1 -y_1| = \max\{|x_i-y_i| : i = 1,2,\cdots, n\}$이라고 가정하면
절댓값 정리와 최대원소의 정의로 모든 $i = 1,2,\cdots ,n$에 대해 $0\le |x_i-y_i|\le |x_1-y_1|$이므로
$|x_1 - y_1| = 0$이면 $|x_i - y_i| = 0$이 되어 거듭제곱의 정의로
$\displaystyle \lim_{p\to \infty}d_p(x,y)= \lim_{p\to \infty} \left (\sum_{i = 1}^n |x_i -y_i|^p\right )^\frac{1}{p} = \lim_{p\to \infty} (0^p)^\frac{1}{p} = \lim_{p\to \infty} 0 = 0 =|x_1-y_1|= \max \{ |x_i- y_i| : i = 1,2,\cdots ,n\} \text{ 이고}$
$n = 1$이면 거듭제곱 정리로
$\displaystyle \lim_{p\to \infty}d_p(x,y)= \lim_{p\to \infty} ( |x_1 -y_1|^p)^\frac{1}{p} = \lim_{p\to \infty} |x_1-y_1| =|x_1-y_1|= \max \{ |x_1- y_1| \}$이다.
$n > 1$이고 $|x_1 - y_1| > 0$이면
$p \ge 1$이므로 거듭제곱 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots ,n$에 대해 $|x_i - y_i|^p \le |x_1 - y_1|^p$가 되어 $\dfrac{|x_i-y_i|^p}{|x_1-y_1|^p} \le 1$이고
$\begin{align*}\sum_{i = 1}^n |x_i - y_i|^p = |x_1-y_1|^p + \sum_{i = 2}^n|x_i - y_i|^p = |x_1-y_1|^p \cdot \left (1 + \sum_{i= 2}^n \frac{|x_i-y_i|^p}{|x_1-y_1|^p}\right ) \le |x_1-y_1|^p\cdot \left (1 + \sum_{i= 2}^n 1\right) = |x_1-y_1|^p\cdot n \text{ 이다.}\end{align*}$
따라서 $|x_1 - y_1|^p \le \displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_i - y_i|^p $이고 $\dfrac{1}{p} > 0$이므로 거듭제곱 정리와 거듭제곱 정리로
$\begin{align*} |x_1-y_1| = (|x_1 - y_1|^p)^\frac{1}{p} \le \left(\sum_{i = 1}^n |x_i - y_i|^p \right)^\frac{1}{p} = d_p(x,y) \le (|x_1-y_1|^p\cdot n)^\frac{1}{p} = |x_1-y_1|\cdot n^\frac{1}{p} \text{ 가 되어} \end{align*}$
위 정리와 함수의 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{p\to \infty}|x_1-y_1| =|x_1-y_1| = \lim_{p\to \infty} (|x_1-y_1|\cdot n^\frac{1}{p})$이므로
조임정리로 $\displaystyle \lim_{p\to \infty}d_p(x,y) =|x_1-y_1|= \max\{|x_i-y_i| : i= 1,2,\cdots ,n\}$이다.
3.
모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $x_i - x_i = 0$이므로 절댓값 정리로 $|x_i - x_i| = 0$이 되어
$\{ 0\} = \{ |x_i-x_i| : i = 1,2,\cdots, n\}$이고 2번으로 $ d_\infty(x,x)= \max\{|x_i -x_i| : i= 1,2,\cdots, n \} = 0$이다.
$x\ne y$이면 $n$-순서쌍의 상등으로 $x_j \ne y_j$인 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하여 $x_j - y_j \ne 0$이므로
절댓값 정리와 2번과 최대원소의 정의로 $d_\infty(x,y) =\max\{ |x_i - y_i| : i= 1,2,\cdots, n\}\ge|x_j - y_j| > 0$이다.
절댓값 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $|x_i -y_i| = |y_i - x_i|$이므로
$\{|x_i -y_i| : i= 1,2,\cdots, n \} = \{ |y_i -x_i| :i =1,2,\cdots,n\}$이 되어 2번으로
$d_\infty(x,y) =\max\{ |x_i - y_i| : i= 1,2,\cdots, n\} = \max\{|y_i - x_i| : i = 1,2,\cdots, n\} = d_\infty(y,x)$이다.
임의의 $x ,y, z \in \mathbb{C}^n$와 모든 $p \in [1,\infty)$에 대해
1번으로 $d_p(x,z) \le d_p(x,y) + d_p(y,z)$이고 2번으로 $\displaystyle \lim_{p\to \infty}d_p(x,z),\lim_{p \to \infty}d_p(x,y) ,\lim_{p\to\infty}d_p(y,z) \in \mathbb{R}$가 존재하므로
$\displaystyle d_\infty(x,z) = \lim_{p\to \infty}d_p(x,z)\le \lim_{p \to \infty}(d_p(x,y)+d_p(y,z) ) = \lim_{p\to\infty}d_p(x,y) + \lim_{p\to \infty}d_p(y,z) = d_\infty(x,y) + d_\infty(y,z)\text{ 이다.}$
따라서 $(\mathbb{C}^n,d_\infty)$는 거리공간의 성질을 만족하므로 거리공간이다.
정리6
임의의 집합 $X$의 모든 $x,y \in X$와 임의의 $r \in $ $(0 ,\infty)$에 대해
$d_r(x,y) = \begin{cases} 0 ,& x=y \text{ 일때} \\ r, &x\ne y \text{ 일때} \end{cases}$로 정의되는 함수가 $d_r : X\times X \to [0,\infty)$일때 $(X,d_r)$은 거리공간이다.
증명
$d_r(x,x) = 0$이고 $x\ne y$이면 $d_r(x,y) = r >0$이다.
임의의 $x,y \in X$가 $x = y$이면 $d_r(x,y) = 0 = d_r(y,x)$이고 $x\ne y$이면 $d_r(x,y) = r = d_r(y,x)$이다.
임의의 $x,y,z \in X$에 대해
$x = z$이면 $d_r(x,y) \ge 0$이고 $d_r(y,z) \ge 0$이므로 $d_r(x,z) = 0 \le d_r(x,y) + d_r(y,z)$이다.
$x\ne z$일때
$x\ne y$이거나 $y\ne z$이면 $d_r(x,y) = r $이거나 $d_r(y,z) = r $이므로 $d_r(x,z) = r \le d_r(x,y) + d_r(y,z)$이고
$x = y$이고 $y = z$라고 가정하면 $x = y= z$가 되어 $x\ne z$임에 모순이므로
모든 $x,y,z \in X$에 대해 $d_r(x,z) \le d_r(x,y) + d_r(y,z)$이다.
정의2
민코프스키 거리공간 :
위 정리와 위 정리로 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$인 모든 $X \subseteq \mathbb{C}^n$와 모든 $p \in $ $[1,\infty]$에 대해 $(X,d_p)$는 거리공간이므로
거리함수 $d_p : X \times X \to [0,\infty)$를 $p$에 대한 $n$차원 민코프스키 거리함수로 정의하고
$(X,d_p)$를 $p$에 대한 $n$차원 민코프스키 거리공간을 정의한다.
택시(taxi) 거리공간 :
$1$에 대한 $n$차원 민코프스키 거리공간 $(X,d_1)$를 $n$차원 택시 거리공간으로 정의하고
모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n) ,y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$에 대해 $d_1(x,y) = \displaystyle\sum_{i = 1}^n |x_i -y_i|$인
거리함수 $d_1 : X \times X \to [0,\infty)$을 $n$차원 택시거리로 정의한다.
유클리드(Euclid) 거리공간 :
$2$에 대한 $n$차원 민코프스키 거리공간 $(X,d_2)$를 $n$차원 유클리드 거리공간으로 정의하고
모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n) ,y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$에 대해 $d_2(x,y) = \displaystyle \sqrt{\sum_{i = 1}^n |x_i -y_i|^2}$인
거리함수 $d_2 : X \times X \to [0,\infty)$을 $n$차원 유클리드거리로 정의한다.
체비쇼프(Chebyshev) 거리공간 :
$\infty$에 대한 $n$차원 민코프스키 거리공간 $(X,d_\infty)$를 $n$차원 체비쇼프 거리공간으로 정의하고
모든 $x =(x_1,x_2,\cdots,x_n) ,y=(y_1,y_2,\cdots, y_n)\in X$에 대해 $d_\infty(x,y) = $ $\max$$\{ |x_i - y_i| : i = 1,2,\cdots, n \}$인
거리함수 $d_\infty : X \times X \to [0,\infty)$을 $n$차원 체비쇼프거리 또는 상한노름거리로 정의한다.
이산(discrete) 거리공간 :
위 정리의 거리공간 $(X,d_r)$을 $r \in $ $(0 ,\infty)$에 대한 이산 거리공간으로 정의하고
거리함수 $d_r : X \times X \to [0,\infty)$을 $r$에 대한 이산거리로 정의한다.
정의3
수열 :
임의의 자연수 $n_0 \in \mathbb{N}$에 대해 임의의 집합 $X$의 수열은
정의역이 $S = \{n \in \mathbb{N} : n \ge n_0 \}$이고 치역이 $X$의 부분집합인 함수 $\mathbf{X} : S \to X$이다.
모든 $n \in S$에 대해 $\mathbf{X}(n) = x_{n} \in X$일때
$x_{n}$을 수열의 항(term) 또는 원소라고 하고 수열 $\mathbf{X}$를 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$형태로 표기한다.
$X$의 수열 $\mathbf{X}$를 $(x_{n})$인 형태로 표기하면 $S$의 최소원소를 임의의 자연수로 가정한다.
부분수열 :
임의의 집합 $X$의 수열이 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이고 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해
$n_k \in \mathbb{Z}^+$이고 $n_0 \le n_1 < n_2 < \cdots < n_k<n_{k+1}<\cdots$인 순증가하는 자연수열이 $(n_k)_{k = 1}^\infty$일때
원소가 $x_{n_1}, x_{n_2},\cdots,x_{n_k},x_{n_{k+1}},\cdots$인 $X$의 수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$를 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 부분수열로 정의한다.
거리공간에서 수열의 극한 :
거리공간 $(X,d)$와 $X$의 수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$과 임의의 점 $x \in X$에 대해
실수열 $(d(x_n , x))_{n = n_0}^\infty$가 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n , x)) = 0$으로 수렴하면
$x$를 $(X,d)$에서 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 극한이라 정의하고 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 $x$로 수렴한다고 정의한다.
$(X,d)$에서 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 극한이 $x$일때 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$로 표기한다.
$(X,d)$에서 수열의 극한이 존재하면 $(X,d)$에서 수렴한다고 정의하고
$(X,d)$에서 극한이 존재하지 않으면 $(X,d)$에서 발산한다고 정의한다.
거리공간에서 수열의 유계 :
거리공간 $(X,d)$와 $X$의 수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$에 대해
집합 $\{ x_n : n\ge n_0\}$이 $(X,d)$에서 유계이면 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 $(X,d)$에서 유계라고 정의한다.
정리7
거리공간 $(X,d)$와 $X$의 수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$과 $(y_n)_{n = n_0}^\infty$에 대해 다음이 성립한다.
1. $(X,d)$에서 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 극한이 존재하면 극한은 유일하다.
2. $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) =x$와 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(y_n) =y$이면 실수열 $(d(x_n , y_n))_{n = n_0}^\infty$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n , y_n)) =d(x,y)$로 수렴한다.
증명
1.
$(X,d)$에서 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 극한이 $x,y \in X$라고 가정하면
실수열 $(d(x_n , x))_{n = n_0}^\infty$와 $(d(x_n , y))_{n = n_0}^\infty$가 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n , x)) = 0 = \lim_{n\to\infty}(d(x_n,y))$로 수렴하므로
위 정리와 실수열 수렴의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해
$n\ge K(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $0 \le d(x_n,x) =|d(x_n ,x) -0| <\dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{N}$와
$n\ge H(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $0\le d(x_n,y) = |d(x_n ,y) -0| <\dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $H(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{N}$가 존재하여
$n\ge $ $\max$$\{ K(\frac{\epsilon}{2}),H(\frac{\epsilon}{2}) \}$이면
거리공간의 성질로 $0\le d(x,y) \le d(x,x_n) + d(x_n,y) = d(x_n,x) + d(x_n,y) < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로
실수 정리로 $d(x,y) = 0$이 되어 위 정리로 $x =y$이다.
2.
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) =x$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(y_n) =y $이면
실수열 $(d(x_n , x))_{n = n_0}^\infty$와 $(d(y_n , y))_{n = n_0}^\infty$가 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n , x)) = 0 = \lim_{n\to\infty}(d(y_n,y))$로 수렴하므로
위 정리와 실수열 수렴의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해
$n\ge K(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $0 \le d(x_n,x) =|d(x_n ,x) -0| <\dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{N}$와
$n\ge H(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $0\le d(y_n,y) = |d(y_n ,y) -0| <\dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $H(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{N}$가 존재하여
$n\ge $ $\max$$\{ K(\frac{\epsilon}{2}),H(\frac{\epsilon}{2}) \}$일때 거리공간의 성질로
$d(x_n,y_n) \le d(x_n,x) + d(x,y_n) \le d(x_n,x) + d(x,y) + d(y,y_n)$이므로
$d(x_n,y_n) -d(x,y) \le d(x_n,x) + d(y,y_n) =d(x_n,x) + d(y_n,y)< \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} =\epsilon$이고
$d(x,y) \le d(x,x_n) + d(x_n,y) \le d(x_n,x) + d(x_n,y_n) + d(y_n,y)$이므로
$d(x,y) - d(x_n,y_n) \le d(x_n,x) + d(y_n,y) < \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이 되어
$-\epsilon < d(x_n,y_n) - d(x,y) < \epsilon$이고 절댓값 정리로 $|d(x_n,y_n) - d(x,y)| < \epsilon$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n , y_n)) =d(x,y)$이다.
정리8
실수집합 $\mathbb{R}$과 복소수집합 $\mathbb{C}$에 대해 $\mathbb{F}\in \{ \mathbb{R},\mathbb{C}\}$이고
임의의 $p \in $ $[1,\infty]$에 대한 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$차원 민코프스키 거리공간이 $(\mathbb{F}^n,d_p)$이고
$\mathbb{F}^n$의 수열 $(x_m)_{m = m_0}^\infty$의 임의의 원소가 $x_m = (x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,n}) \in \mathbb{F}^n$일때
임의의 점 $x_\infty = (x_{\infty,1},x_{\infty,2},\cdots,x_{\infty,n}) \in \mathbb{F}^n$에 대해 다음은 동치이다.
1. 어떤 $q \in [1,\infty]$에 대해 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}^{(\mathbb{F}^n,d_q)}(x_m) = x_\infty$이다.
2. 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\mathbb{F}$의 수열 $(x_{m,i})_{m = m_0}^\infty$는 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}(x_{m,i}) = x_{\infty,i} \in \mathbb{F}$로 수렴한다.
3. 모든 $p \in [1,\infty]$에 대해 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}^{(\mathbb{F}^n,d_p)}(x_m) = x_\infty$이다.
증명
$1\to 2$
$\displaystyle \lim_{m\to \infty}^{(\mathbb{F}^n,d_q)}(x_m) = x_\infty$일때
$\mathbb{F}$의 수열 $(x_{m,j})_{m = m_0}^\infty$이 $x_{\infty,j} \in \mathbb{F}$로 수렴하지 않는 $j = 1,2,\cdots, n$가 존재하면
실수열 $(|x_{m,j}-x_{\infty,j}|)_{m = m_0}^\infty$가 $0$으로 수렴하지 않으므로 실수열 수렴의 정의로
어떤 $\epsilon_0 >0$과 $k \ge m_0$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $|x_{m_k,j} - x_{\infty,j}| = ||x_{m_k,j}-x_{\infty,j}|-0| \ge \epsilon_0$인 $m_k \ge k$가 존재한다.
또 실수열 $(d_q(x_m , x_\infty))_{m = m_0}^\infty$가 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}(d_q(x_m , x_\infty)) = 0$으로 수렴하므로
$m \ge K(\epsilon_0) \ge m_0$인 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $0\le d_q(x_m,x_\infty) = |d_q(x_m,x_\infty) -0| < \epsilon_0$인 $K(\epsilon_0) \in \mathbb{N}$이 존재하여
$m_{K(\epsilon_0)} \ge K(\epsilon_0)$인 어떤 $m_{K(\epsilon_0)} \in \mathbb{N}$에 대해
$q \in [1,\infty)$이면 거듭제곱의 정의와 거듭제곱 정리로 $\displaystyle 0 \le |x_{m_{K(\epsilon_0)},j} - x_{\infty,j}|^q \le \sum_{i = 1}^n |x_{m_{K(\epsilon_0)},i} - x_{\infty,i}|^q$이고
$\dfrac{1}{q} > 0$이므로 거듭제곱 정리와 거듭제곱 정리로
$\displaystyle \epsilon_0\le |x_{m_{K(\epsilon_0)},j} - x_{\infty,j}|=(|x_{m_{K(\epsilon_0)},j} - x_{\infty,j}|^q)^\frac{1}{q} \le \left (\sum_{i = 1}^n |x_{m_{K(\epsilon_0)},i} - x_{\infty,i}|^q \right )^\frac{1}{q} = d_q(x_m,x_\infty) < \epsilon_0 \text{ 이 되어 모순이다.}$
$q= \infty$이면 최대원소의 정의로
$\displaystyle \epsilon_0\le |x_{m_{K(\epsilon_0)},j} - x_{\infty,j}|\le \max \{ |x_{m_{K(\epsilon_0),i}} - x_{\infty,i}| : i =1,2,\cdots, n \}= d_\infty(x_m,x_\infty) < \epsilon_0 $이 되어 모순이다.
따라서 어떤 $q \in [1,\infty]$에 대해 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}^{(\mathbb{F}^n,d_q)}(x_m) = x_\infty$이면
모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\mathbb{F}$의 수열 $(x_{m,i})_{m = m_0}^\infty$는 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}(x_{m,i}) = x_{\infty,i} \in \mathbb{F}$로 수렴한다.
$2\to 3$
모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $\mathbb{F}$의 수열 $(x_{m,i})_{m = m_0}^\infty$가 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}(x_{m,i}) = x_{\infty,i} \in \mathbb{F}$로 수렴하면
실수열 $(|x_{m,i}-x_{\infty,i}|)_{m = m_0}^\infty$가 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}(|x_{m,i} - x_{\infty,i}|) = 0$으로 수렴하므로 실수열 수렴의 정의로 모든 $\epsilon >0$에 대해
$m \ge K_i(\epsilon) \ge m_0$인 모든 $m \in \mathbb{N}$이 $|x_{m,i} - x_{\infty,i}| < \epsilon$이 되는 $K_i(\epsilon) \in \mathbb{N}$가 존재하여
$m \ge $ $\max$$\{ K_1(\epsilon),K_2(\epsilon),\cdots, K_n(\epsilon)\}$이면
$p \in [1,\infty)$에 대해 거듭제곱 정리로 $|x_{m,i} - x_{\infty,i}|^p < \epsilon^p$이고 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n |x_{m,i} - x_{\infty,i}|^p < n\cdot \epsilon^p$이므로
거듭제곱 정리로 $\displaystyle |d_p(x_m,x_\infty) -0| =d_p(x_m,x_\infty) =\left (\sum_{i = 1}^n |x_{m,i} - x_{\infty,i}|^p\right )^\frac{1}{p} < (n\cdot \epsilon^p)^\frac{1}{p} = n^\frac{1}{p}\cdot \epsilon$이 되어
$\epsilon > 0$이 임의임에 따라 실수열 $(d_p(x_m , x_\infty))_{m = m_0}^\infty$는 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}(d_p(x_m , x_\infty)) = 0$으로 수렴하므로
거리공간 수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}^{(\mathbb{F}^n,d_p)}(x_m) = x_\infty$이다.
$\displaystyle |d_\infty(x_m,x_\infty) -0| = d_\infty(x_m,x_\infty)=\lim_{p\to \infty} d_p(x_m,x_\infty) = \lim_{p\to \infty}\left (\sum_{i = 1}^n |x_{m,i} - x_{\infty,i}|^p\right )^\frac{1}{p} \le \lim_{p\to \infty} (n^\frac{1}{p}\cdot \epsilon) = \epsilon \text{ 이므로}$
실수열 정리로 실수열 $(d_\infty(x_m , x_\infty))_{m = m_0}^\infty$는 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}(d_\infty(x_m , x_\infty)) = 0$으로 수렴하고
거리공간 수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{m\to \infty}^{(\mathbb{F}^n,d_\infty)}(x_m) = x_\infty$이다.
$3\to 1$
자명하게 성립한다.
정리9
임의의 $r \in $ $(0 ,\infty)$에 대한 이산 거리공간 $(X,d_r)$과 $X$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$과 임의의 점 $x \in X$에 대해
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{(X,d_r)}(x_n) = x$이기 위한 필요충분조건은 $n \ge N \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $x_n =x$가 되는 $N \in \mathbb{N}$이 존재하는 것이다.
증명
$\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{(X,d_r)}(x_n) = x$이면
실수열 $(d_r(x_n,x))_{n=n_0}^\infty$가 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d_r(x_n , x)) = 0$으로 수렴하므로 실수열 수렴의 정의로
$n \ge K(r) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $0\le d_r(x_n,x) = |d_r(x_n,x) -0 | < r$이 되는 $K(r) \in \mathbb{N}$이 존재하여
$x_n \ne x$라고 가정하면 이산거리의 정의로 $ r =d_r(x_n,x) < r$이 되어 모순이므로 $x_n = x$이다.
역으로 $n \ge N \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $x_n =x$가 되는 $N \in \mathbb{N}$이 존재하면
이산거리의 정의로 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해 $|d_r(x_n,x) -0 | = d_r(x_n,x) = 0 < \epsilon$이므로
실수열 $(d_r(x_n,x))_{n=n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d_r(x_n , x)) = 0$으로 수렴하여 거리공간 수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}^{(X,d_r)}(x_n) = x$이다.
정의4
$(X,d)$가 거리공간일때
열린공(open ball), 닫힌공(closed ball) :
임의의 $x_0 \in X$과 임의의 $r \in $ $(0 ,\infty)$에 대해
집합 $\underset{(X,d)}{B}(x_0,r)= \{ x \in X : d(x_0,x) < r\}$를 중심이 $x_0$이고 반지름이 $r$인 $(X,d)$에서 열린공으로 정의하고
집합 $\underset{(X,d)}{B}[x_0,r] = \{ x \in X : d(x_0,x) \le r\}$를 중심이 $x_0$이고 반지름이 $r$인 $(X,d)$에서 닫힌공으로 정의한다.
열린집합(open set), 닫힌집합(closed set) :
$(X,d)$에서 열린공들의 집합족이 $\mathcal{B} = \{ \underset{(X,d)}{B}(x_0,r) : x_0 \in X , r \in (0,\infty) \}$일때
임의의 부분집합 $O\subseteq X$에 대해 $O = $ $\displaystyle \bigcup$$\,\mathcal{S}$인 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하면 $O$를 $(X,d)$에서 열린집합으로 정의하고
임의의 부분집합 $C \subseteq X$에 대해 $X$ $\setminus$ $ C$가 $(X,d)$에서 열린집합이면 $C$를 $(X,d)$에서 닫힌집합으로 정의한다.
정리10
거리공간 $(X,d)$에 대해 다음이 성립한다.
1. $\emptyset$은 $(X,d)$에서 열린집합이다.
2. $X$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
3. $\emptyset$은 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
4. $X$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
증명
1.
$(X,d)$에서 열린공들의 집합족이 $\mathcal{B}$일때 집합 정리로 $\emptyset \subseteq X$와 $\emptyset \subseteq \mathcal{B}$가 성립하고
합집합의 정의로 $\emptyset = \displaystyle \bigcup \emptyset$이므로 열린집합의 정의로 $\emptyset$은 $(X,d)$에서 열린집합이다.
2.
$(X,d)$에서 열린공들의 집합족이 $\mathcal{B}$일때
모든 $x \in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$는 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x_0,r) \subseteq X$인 $x_0\in X$과 $r \in (0,\infty)$이 존재하여 $ \displaystyle \bigcup \mathcal{B} \subseteq X$이고
모든 $x \in X$는 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \in \mathcal{B}$이므로 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$가 되어
$ \displaystyle X \subseteq \bigcup \mathcal{B} $이고 집합 정리로 $ \displaystyle X = \bigcup \mathcal{B} $이므로 열린집합의 정의로 $X$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
3.
집합 정리와 2번으로 $X \setminus \emptyset = X$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로 닫힌집합의 정의로 $\emptyset$은 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
4.
집합 정리와 1번으로 $X\setminus X = \emptyset$은 $(X,d)$에서 열린집합이므로 닫힌집합의 정의로 $X$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
정리11
거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $O \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. $O$가 $(X,d)$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은
모든 $x \in O$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$ $\subseteq O$인 $r_x \in $ $(0 ,\infty)$가 존재하는 것이다.
2. $X\ne O$일때 $O$가 $(X,d)$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은
모든 $x \in O$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,X\setminus O)$ $ >0$인 것이다.
증명
1.
$O$가 $(X,d)$에서 열린집합이면
열린집합의 정의로 임의의 $x \in O$는 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x_0,r) \subseteq O$인 $x_0 \in X$과 $r \in (0,\infty)$이 존재하므로
열린공의 정의로 $d(x_0,x) < r$이 되어 $0 < r - d(x_0,x) = r_x$로 두면 임의의 $y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$는 $d(x,y) < r_x$이므로
거리공간의 정의로 $d(x_0,y) \le d(x_0,x) + d(x,y) < d(x_0,x) + r_x = d(x_0,x) +r - d(x_0,x) = r$이 되어
$y \in \underset{(X,d)}{B}(x_0,r)$이고 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x_0,r) \subseteq O$이다.
역으로 모든 $x \in O$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq O$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재할때
$O$의 멱집합 $\mathcal{P}(O)$와 $(X,d)$에서 열린공들의 집합족 $\mathcal{B}$에 대해
$\mathcal{S} = \{ \underset{(X,d)}{B}(x_0,r) \in \mathcal{P}(O) : x_0 \in X , r \in (0,\infty) \} \subseteq \mathcal{B}$인 집합이 존재하여
합집합의 정의로 임의의 $\displaystyle x\in \bigcup \mathcal{S}$는 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x_0,r) \subseteq O$인 $x_0 \in X$과 $r \in (0,\infty)$이 존재하므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S} \subseteq O$이고
임의의 $x \in O$는 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq O$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하여 $ \underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \in \mathcal{S}$이므로 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이다.
따라서 집합 정리로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$가 되어 열린집합의 정의로 $O$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
2.
$O$가 $(X,d)$에서 열린집합일때
$X\ne O$이므로 $X\setminus O \ne \emptyset$이고 1번으로 모든 $x \in O$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq O$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하므로
$\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,X\setminus O) = \inf \{d(x,y) : y\in X\setminus O\} = 0$이라고 가정하면
하한 정리로 $d(x,y) < \underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,X\setminus O) + r_x = r_x$인 $y \in X\setminus O$가 존재하여 $y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$인데
집합 정리로 $y \in X\setminus O \subseteq X\setminus \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$이므로 $y \notin \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$로 모순이 되어 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,X\setminus O) \ne 0$이다.
따라서 위 정리로 모든 $y \in X\setminus O$에 대해 $d(x,y) \ge 0$이므로
하한의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,X\setminus O) \ge 0$가 되어 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,X\setminus O) > 0$ 이다.
역으로 모든 $x \in O$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,X\setminus O) = r_x>0$일때 $O$가 열린집합이 아니면
1번의 대우로 어떤 $x \in O$에 대해 모든 $r \in (0,\infty)$이 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \not\subseteq O$이므로
$\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \not\subseteq O$이 되어 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \setminus O$은 공집합이 아니고 임의의 $y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \setminus O$는 $d(x,y) < r_x$인데
$y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \setminus O \subseteq X\setminus O$이므로 $d(x,y) <r_x= \underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,X\setminus O) \le d(x,y)$가 되어 모순이다.
따라서 모든 $x \in O$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,X\setminus O) >0$이면 $O$는 열린집합이다.
정리12
임의의 집합 $X$와 임의의 집합족 $\mathcal{F}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $X\cap \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A = \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\cap A)$
2. $\mathcal{F}\ne \emptyset$일때 $X\cup \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A = \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\cup A)$이다.
3. $\mathcal{F}\ne \emptyset$일때 $X\setminus \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A = \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$이다.
4. $\mathcal{F}\ne \emptyset$일때 $X\setminus \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A = \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$이다.
증명
1.
임의의 $x \in X\cap \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A $는 $x \in X$이고 $x \in \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A $이므로 합집합의 정의로 $x \in A$인 $A \in \mathcal{F}$가 존재하여
$x \in X\cap A$이고 다시 합집합의 정의로 $x \in \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\cap A)$이므로 $X\cap \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A \subseteq \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\cap A)$이다.
임의의 $\displaystyle x \in \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\cap A)$는 $x \in X\cap A$인 $A \in \mathcal{F}$가 존재하여 $x \in X$이고 $x \in A$이므로
$x \in \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A $가 되어 $x \in X\cap \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A $이고 $\displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\cap A) \subseteq X\cap \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A $이다.
따라서 집합 정리로 $X\cap \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A = \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\cap A)$이다.
2.
$x\in X\cup \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $일때 $x\notin \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\cup A)$라고 가정하면 교집합의 정의로
$x\in X\cup \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $이므로 $x \in X$이거나 $x \in \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $가 되어 $x\in X$이거나 모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $x \in A$인데
$x\notin \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\cup A)$이므로 $x \notin X \cup A_0$인 $A_0 \in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\notin X$이고 $x \notin A_0$이므로 모순이 되어
$x\in X\cup \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $이면 $x\in \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\cup A)$이므로 $X\cup \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A \subseteq \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\cup A)$이다.
$x\in \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\cup A)$일때 $x\notin X\cup \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $라고 가정하면 $x\notin X\cup \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $이므로 $x \notin X$와 $x \notin \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $가 성립하여
$x\notin A_0$인 $A_0 \in \mathcal{F}$이 존재하고 $x \notin X\cup A_0$이므로 $x\notin \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\cup A)$가 되어 모순이다.
따라서 $\displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}}(X\cup A) \subseteq X\cup \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A$이고 집합 정리로 $X\cup \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A = \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\cup A)$이다.
3.
임의의 $x\in X\setminus \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A $는 $x \in X$이고 $x\notin \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A $이므로 합집합의 정의로 모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $x \notin A$가 되어
$x \in X\setminus A$이므로 $x \in \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$이고 $X\setminus \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A \subseteq \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$이다.
임의의 $x\in \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$는 교집합의 정의로 모든 $A \in \mathcal{F}$에 대해 $x \in X\setminus A$이므로
$x \in X$이고 $x\notin A$가 되어 $x\notin \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A $이므로 $x\in X\setminus \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A $이고 $\displaystyle \bigcap_{A\in \mathcal{F}} (X\setminus A) \subseteq X\setminus \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A$이다.
따라서 집합 정리로 $X\setminus \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}} A = \bigcap_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$이다.
4.
임의의 $x \in X\setminus \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $는 $x \in X$이고 $x\notin \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $이므로 교집합의 정의로 $x \in A_0$인 $A_0 \in \mathcal{F}$이 존재하여
$x \in X \setminus A_0$이므로 $x \in \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$이고 $X\setminus \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A \subseteq \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$이다.
임의의 $x \in \displaystyle \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$는 합집합의 정의로 $x \in X \setminus A_0$인 $A_0 \in \mathcal{F}$이 존재하여
$x\in X$이고 $x \notin A_0$이므로 $x\notin \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $이고 $x \in X\setminus \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A $가 되어 $X\setminus \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A \subseteq \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$이다.
따라서 집합 정리로 $X\setminus \displaystyle \bigcap_{A \in \mathcal{F}} A = \bigcup_{A \in \mathcal{F}}(X\setminus A)$이다.
정리13
거리공간 $(X,d)$에 대해 다음이 성립한다.
1. $(X,d)$에서 열린집합들의 집합족 $\mathcal{O}$에 대해 $\displaystyle \bigcup$$\,\mathcal{O}$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
2. $n \in $ $\mathbb{Z}^+$개의 $(X,d)$에서 열린집합 $O_1,O_2,\cdots, O_n$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{i =1}^n$$\,O_i$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
3. $(X,d)$에서 닫힌집합들의 집합족 $\mathcal{C}$가 $\mathcal{C}\ne \emptyset$일때 $\displaystyle \bigcap \mathcal{C}$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
4. $n \in $ $\mathbb{Z}^+$개의 $(X,d)$에서 닫힌집합 $C_1,C_2,\cdots, C_n$에 대해 $\displaystyle \bigcup_{i = 1}^nC_i$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
증명
1.
합집합의 정의로 임의의 $\displaystyle x\in \bigcup \mathcal{O}$는 $x \in O$인 $(X,d)$에서 열린집합 $O \in \mathcal{O}$가 존재하여
위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq O \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{O}$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하므로 다시 위 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{O}$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
2.
임의의 $x \in \displaystyle \bigcap_{i= 1}^nO_i$는 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $x \in O_i$이고 $O_i$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로
위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_i) \subseteq O_i$인 $r_i \in (0,\infty)$가 존재하여 임의의 $y \in \displaystyle \bigcap_{i= 1}^n\underset{(X,d)}{B}(x,r_i)$는
모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_i) \subseteq O_i$이고 $y \in \displaystyle \bigcap_{i= 1}^nO_i$이므로 $\displaystyle \bigcap_{i= 1}^n\underset{(X,d)}{B}(x,r_i) \subseteq \bigcap_{i = 1}^n O_i$이다.
또 최소원소 정리로 $r = \min \{ r_1,r_2,\cdots, r_n\} > 0$이 존재하여
임의의 $y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$는 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $d(x,y) < r \le r_i$이므로 $\displaystyle y \in \bigcap_{i= 1}^n\underset{(X,d)}{B}(x,r_i)$이고
$\displaystyle \underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq \bigcap_{i= 1}^n\underset{(X,d)}{B}(x,r_i) \subseteq \bigcap_{i = 1}^n O_i$가 되어 다시 위 정리로 $ \displaystyle \bigcap_{i= 1}^nO_i$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
3.
닫힌집합의 정의로 모든 $C \in \mathcal{C}$에 대해 $X \setminus C$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로
1번과 위 정리로 $\displaystyle X\setminus \bigcap \mathcal{C}= X\setminus \bigcap_{C \in\mathcal{C}}C =\bigcup_{C \in \mathcal{C}} (X\setminus C)$는 $(X,d)$에서 열린집합이 되어
다시 닫힌집합의 정의로 $\displaystyle \bigcap \mathcal{C}$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
4.
닫힌집합의 정의로 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $X\setminus C_i$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로
2번과 집합 정리로 $\displaystyle X\setminus \bigcup_{i = 1}^nC_i =\bigcap_{i=1}^n (X\setminus C_i)$는 $(X,d)$에서 열린집합이 되어
다시 닫힌집합의 정의로 $\displaystyle \bigcup_{i = 1}^nC_i$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
정의5
거리공간이 $(X,d)$이고 임의의 부분집합이 $E \subseteq X$이고 임의의 점이 $x \in X$일때
내부점(interior point), 내부(interior) :
$\underset{(X,d)}{B}(x,r)$ $ \subseteq E$가 되는 $r \in $ $(0 ,\infty)$이 존재하면 $x$를 $(X,d)$에서 $E$의 내부점으로 정의한다.
$(X,d)$에서 $E$의 모든 내부점들의 집합을 $(X,d)$에서 $E$의 내부로 정의하고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$로 표기한다.
외부점(exterior point), 외부(exterior) :
$\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E =\emptyset$이 되는 $r \in (0,\infty)$이 존재하면 $x$를 $(X,d)$에서 $E$의 외부점으로 정의한다.
$(X,d)$에서 $E$의 모든 외부점들의 집합을 $(X,d)$에서 $E$의 외부로 정의하고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$로 표기한다.
경계점(boundary point), 경계(boundary) :
$x$가 $(X,d)$에서 $E$의 내부점이 아니고 외부점이 아니면 $x$를 $(X,d)$에서 $E$의 경계점으로 정의한다.
$(X,d)$에서 $E$의 모든 경계점들의 집합을 $(X,d)$에서 $E$의 경계로 정의하고 $\underset{(X,d)}{\partial E}$로 표기한다.
밀착점(adherent point), 폐포(closure) :
모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E \ne \emptyset$이면 $x$를 $(X,d)$에서 $E$의 밀착점으로 정의한다.
$(X,d)$에서 $E$의 모든 밀착점들의 집합을 $(X,d)$에서 $E$의 폐포로 정의하고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$로 표기한다.
집적점(accumulation point), 도집합(derived set) :
모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $d(x,y) < r$이고 $x \ne y$인 $y \in E$가 존재하면 $x$를 $(X,d)$에서 $E$의 집적점으로 정의한다.
$(X,d)$에서 $E$의 모든 집적점들의 집합을 $(X,d)$에서 $E$의 도집합으로 정의하고 $\underset{(X,d)}{E'}$로 표기한다.
정리14
거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$와 임의의 점 $x \in X$에 대해 다음은 동치이다.
1. $x$는 $(X,d)$에서 $E$의 밀착점이다.
2. $x$는 $(X,d)$에서 $E$의 내부점이거나 경계점이다.
3. $(X,d)$에서 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$로 수렴하는 $E$의 수열 $(x_n)_{n = 1}^\infty$이 존재한다.
증명
$1\to 2$
모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E \ne \emptyset$이 성립하여 $x$는 $(X,d)$에서 $E$의 외부점이 아니므로
$x$가 $(X,d)$에서 $E$의 내부점이면 2번이 자명하게 성립한다.
$x$가 $(X,d)$에서 $E$의 내부점이 아니면 $x$는 $(X,d)$에서 $E$의 경계점이다.
$2\to 3$
$x$가 $(X,d)$에서 $E$의 내부점이면
$x \in \underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq E$인 $r \in (0,\infty)$이 존재하므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n = x$로 정의하면
거리공간의 정의로 $d(x_n,x) = 0$이므로 실수열 $(d(x_n,x))_{n = 1}^\infty$은 상수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,x)) = 0$이 되어
거리공간 수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$이다.
$x$가 $(X,d)$에서 $E$의 경계점이면
$x$는 $(X,d)$에서 $E$의 외부점이 아니므로 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E \ne \emptyset$이고
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{1}{n} > 0$이므로 선택정리로 $f(n) \in\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n}) \cap E \ne \emptyset$인 함수 $f : \mathbb{Z}^+ \to E$가 존재하여
$E$의 수열 $(x_n)_{n = 1}^\infty$을 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n = f(n) $으로 두면 $ |d(x_n,x) -0|=d(x_n,x) < \dfrac{1}{n}$이고
실수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (\frac{1}{n} \right ) = 0$이므로 실수열 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,x)) = 0$이 되어 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$이다.
$3\to 1$
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$이므로 거리공간 수열 수렴의 정의로 실수열 $(d(x_n,x))_{n = 1}^\infty$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,x)) = 0$이 되어
실수열 수렴의 정의로 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해
$n\ge K(r)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $d(x_n,x)=|d(x_n,x) -0| < r$이 되는 $K(r) \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다.
또 $(x_n)_{n = 1}^\infty$은 $E$의 수열이므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \in E$이고 $n\ge K(r)$일때 $x_n \in \underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E$이므로
$ \underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E \ne \emptyset$이 되어 $x$는 $(X,d)$에서 $E$의 밀착점이다.
정리15
거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$와 임의의 점 $x \in X$에 대해 다음은 동치이다.
1. $x$는 $(X,d)$에서 $E \setminus \{ x\}$의 밀착점이다.
2. $x$는 $(X,d)$에서 $E$의 집적점이다.
3. $E\setminus \{ x\} \ne \emptyset$이고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,E\setminus \{ x\})$ $ =0$이다.
증명
$1\to 2$
모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap (E\setminus \{ x\}) \ne \emptyset$이므로 $y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap (E\setminus \{ x\}) $가 존재하여
$y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이므로 $d(x,y) < r$이고 $y\in E\setminus \{ x\} $이므로 $x \ne y$가 되어 $x$는 $(X,d)$에서 $E$의 집적점이다.
$2\to 3$
모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $d(x,y) < r$이고 $x \ne y$인 $y \in E$가 존재하므로 $y \in E\setminus \{ x\}$가 되어 $E\setminus \{ x\} \ne \emptyset$이고
점과 집합사이 거리의 정의로 모든 $z\in E\setminus \{ x\}$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,E\setminus \{ x\}) \le d(x,z)$이므로
$0 \le \underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,E\setminus \{ x\}) \le d(x,y) < r$이 되어 실수 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,E\setminus \{ x\}) =0$이다.
$3\to 1$
$0=\underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,E\setminus \{ x\}) = \inf \{ d(x,y) :y\in E\setminus \{ x\}\}$이므로
하한 정리로 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $d(x,y) < r$인 $y \in E\setminus \{ x\}$가 존재하여 $y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이고
$ \underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap (E\setminus \{ x\}) \ne \emptyset$이므로 $x$는 $(X,d)$에서 $E \setminus \{ x\}$의 밀착점이다.
정리16
거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. 모든 $x \in X$와 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $(X,d)$에서 열린공 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)$은 $(X,d)$에서 열린집합이다.
2. $(X,d)$에서 열린집합 $O$가 $O \subseteq E$이면 $O \subseteq $ $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$이다.
3. $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
4. $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$
5. 임의의 $A \subseteq E$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$이다.
6. $E$가 $(X,d)$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $E = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$인 것이다.
7. $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)=\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)) $
8. $\underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$ $ =\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$
증명
1.
임의의 $y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$가 $x =y$이면 $\underset{(X,d)}{B}(y,r) = \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이므로 집합 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(y,r) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이고
$x\ne y$이면
거리공간의 정의로 $0<d(x,y) <r$이므로 임의의 $z \in \underset{(X,d)}{B}(y,r-d(x,y)) $는 $d(y,z) < r- d(x,y)$이 되어
$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) < r$이고 $z \in \underset{(X,d)}{B}(x,r) $이므로 $ \underset{(X,d)}{B}(y,r-d(x,y)) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이다.
따라서 위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)$은 $(X,d)$에서 열린집합이다.
2.
위 정리로 모든 $x \in O$는 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq O \subseteq E$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하여
$x$는 $(X,d)$에서 $E$의 내부점이므로 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$이고 $O\subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$이다.
3.
내부점의 정의로 모든 $x \in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$는 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq E$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하고
1번으로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로 2번으로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$가 되어
위 정리로 $ \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
4.
내부점의 정의로 모든 $x \in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$는 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq E$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하고
거리공간의 정의로 $d(x,x) = 0< r_x$이므로 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq E$이고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$이다.
5.
3번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A)$는 $(X,d)$에서 열린집합이고 4번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A) \subseteq A \subseteq E$이므로 2번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$이다.
6.
$E$가 $(X,d)$에서 열린집합이면
$E \subseteq E$이므로 2번으로 $E \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$이고 4번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$가 되어 집합 정리로 $E = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$이다.
역으로 $E = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$이면 3번으로 $E = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
7.
3번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로 6번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)=\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)) $이다.
8.
외부점의 정의로 임의의 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$는 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E = \emptyset$인 $r \in (0,\infty)$이 존재하므로
집합 정리로 $E \subseteq X\setminus \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이고 집합 정리로 $X\setminus (X\setminus \underset{(X,d)}{B}(x,r)) = \underset{(X,d)}{B}(x,r)$가 되어
집합 정리로 $ \underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq X\setminus E$이므로 내부점의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이고 $\underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이다.
비슷하게 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$이므로 집합 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) =\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이다.
정리17
거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. $E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,d)}{E'}$ $ \subseteq E$인 것이다.
2. $E$가 유한집합이면 $\underset{(X,d)}{E'} = \emptyset$이고 $E$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
3. 임의의 $A \subseteq E$에 대해 $\underset{(X,d)}{A'} \subseteq \underset{(X,d)}{E'}$이다.
4. 임의의 $x \in X$가 $(X,d)$에서 $E$의 집적점이기 위한 필요충분조건은
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}$$(x_n) = x$이고 $i \ne j$인 모든 $i,j \in \mathbb{Z}^+$가 $x_i \ne x_j$인 $E \setminus \{ x\}$의 수열 $(x_n)_{n = 1}^\infty$이 존재하는 것이다.
5. 임의의 $x \in X$가 $(X,d)$에서 $E$의 집적점일때 $(X,d)$에서 열린집합 $O$가 $x \in O$이면 $O$는 무한집합이다.
6. 임의의 $x\in X$가 $x\in E\setminus \underset{(X,d)}{E'}$이기 위한 필요충분조건은 $E\; \cap $$\underset{(X,d)}{B}(x,r) $ $= \{ x\}$인 실수 $r>0$이 존재하는 것이다.
증명
1.
$E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합일때 $\underset{(X,d)}{E'} \not \subseteq E$라고 가정하면
$\underset{(X,d)}{E'} \setminus E$는 공집합이 아니고 $\underset{(X,d)}{E'} \subseteq X$이므로 $x \in \underset{(X,d)}{E'} \setminus E \subseteq X\setminus E$가 존재하는데
닫힌집합의 정의로 $X\setminus E$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로 위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq X\setminus E$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하고
$x$는 $(X,d)$에서 $E$의 집적점이므로 $d(x,y) < r_x$이고 $x\ne y$인 $y \in E$가 존재하여
$y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq X\setminus E$이고 $y \notin E$이므로 모순이 되어 $E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이면 $\underset{(X,d)}{E'} \subseteq E$이다.
역으로 $\underset{(X,d)}{E'} \subseteq E$일때
$E = \emptyset$이면 위 정리로 $E = \emptyset$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이고 $E \ne \emptyset$이면 $E \subseteq X$이므로 $X\ne X\setminus E$이고
집합 정리로 $X\setminus E \subseteq X\setminus \underset{(X,d)}{E'}$이므로 모든 $x \in X\setminus E \subseteq X\setminus \underset{(X,d)}{E'}$는 $(X,d)$에서 $E$의 집적점이 아니게 되어
어떤 $r \in (0,\infty)$에 대해 모든 $y \in E$가 $d(x,y) \ge r$이거나 $x = y$인데 $x \in X\setminus E$이므로 $d(x,y) \ge r$이다.
따라서 집합 정리로 $X\setminus (X\setminus E) = E$이고 모든 $x \in X\setminus E $에 대해 $d(x,y) \ge \underset{(X,d)}{\operatorname{dist}}(x,E) \ge r > 0$이므로
위 정리로 $ X\setminus E $는 $(X,d)$에서 열린집합이고 닫힌집합의 정의로 $E$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
2.
$E$가 $0$개의 원소를 가질때 $\underset{(X,d)}{E'} \ne \emptyset$이라고 가정하면 $x \in \underset{(X,d)}{E'}$가 존재하여 집적점의 정의로
모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $d(x,y) < r$이고 $x\ne y$인 $y \in E$가 존재하는데 $E =\emptyset$이므로 $y \notin \emptyset = E$로 모순이다.
$E$가 $n \in \mathbb{Z}^+$개의 원소를 가질때 $\underset{(X,d)}{E'} \ne \emptyset$이라고 가정하면
임의의 $x \in \underset{(X,d)}{E'}$에 대해 데카르트곱 정리로 $\{ x\} \times E$는 유한집합이므로 함수 정리로 $d(\{ x\}\times E)$도 유한집합이고
집적점의 정의로 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $d(x,y) < r$이고 $x\ne y$인 $y \in E$가 존재하여
유한집합 정리로 $\{ d(x,y) : y \in E \text{ 이고 } x\ne y\} \subseteq d(\{x\}\times E)$는 공집합이 아닌 유한집합인데
위 정리와 최소원소 정리로 $\min \{ d(x,y) : y \in E \text{ 이고 } x\ne y \} > 0$가 존재하므로
다시 집적점의 정의로 $d(x,z) <\min \{ d(x,y) : y \in E \text{ 이고 } x\ne y \}$이고 $x\ne z$인 $z \in E$가 존재하여
최소원소의 정의로 $d(x,z) <\min \{ d(x,y) : y \in E \text{ 이고 } x\ne y \} \le d(x,z)$이므로 모순이다.
따라서 $E$가 유한집합이면 $\underset{(X,d)}{E'} = \emptyset$이고 $\underset{(X,d)}{E'} = \emptyset \subseteq E$이므로 1번으로 $E$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
3.
$A = \emptyset$이면 2번으로 $\underset{(X,d)}{A'} =\emptyset \subseteq \underset{(X,d)}{E'}$이다.
$A \ne \emptyset$이면 모든 $x \in \underset{(X,d)}{A'}$는 집적점의 정의로 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해
$d(x,y) < r$이고 $x\ne y$인 $y \in A \subseteq E$가 존재하므로 $x$는 $(X,d)$에서 $E$의 집적점이 되어
$x\in \underset{(X,d)}{E'}$이고 $\underset{(X,d)}{A'} \subseteq \underset{(X,d)}{E'}$이다.
4.
$x \in X$가 $(X,d)$에서 $E$의 집적점이면
집적점의 정의로 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $d(x,y) < r$이고 $x\ne y$인 $y \in E$가 존재하므로
선택정리로 $x_1 \in B(x,1)$이고 $x\ne x_1$인 $x_1 \in E$을 선택하면 $x_1 \in B(x,1) \cap (E \setminus \{ x\})$이고
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_1,x_2,\cdots, x_n \in B(x,\frac{1}{n}) \cap (E\setminus \{ x\})$이 강귀납적으로 정의될때
$\{x_1,x_2,\cdots, x_n \}$은 유한집합이므로 2번으로 $\{x_1,x_2,\cdots, x_n \}$은 $(X,d)$에서 닫힌집합이 되어
닫힌집합의 정의로 $X\setminus \{x_1,x_2,\cdots, x_n \}$은 $(X,d)$에서 열린집합이고 $x \in X\setminus \{x_1,x_2,\cdots, x_n \}$이다.
또 위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n+1})$은 $(X,d)$에서 열린집합이고 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n+1})$이므로
위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n+1}) \cap (X\setminus \{ x_1,x_2,\cdots, x_n\})$가 $(X,d)$에서 열린집합임에 따라
$x \in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n+1}) \cap (X\setminus \{ x_1,x_2,\cdots, x_n\})$에 대해
위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n+1}) \cap (X\setminus \{ x_1,x_2,\cdots, x_n\})$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하므로
집적점의 정의와 선택정리로 $d(x,x_{n+1}) < r_x $인 $x_{n+1} \in E\setminus \{ x\}$을 선택하면
$x_{n+1} \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n+1}) \cap (X\setminus \{ x_1,x_2,\cdots, x_n\})$이 되어
$x_{n+1} \in B(x,\frac{1}{n+1}) \cap (E\setminus \{ x,x_1,x_2,\cdots, x_n\})$인 $E \setminus \{ x\}$의 수열 $(x_n)_{n = 1}^\infty$이 존재한다.
$i<j$인 임의의 $i,j \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_j \in E \setminus \{ x_1,x_2,\cdots, x_i\}$이므로 $x_i \ne x_j$이고
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n \in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})$이므로 $d(x,x_n) < \dfrac{1}{n}$이 되어 실수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (\frac{1}{n} \right ) = 0$이므로
실수열 $(d(x,x_n))_{n = 1}^\infty$은 실수열 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_n,x)) = 0$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$이다.
역으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$인 $E \setminus \{ x\}$의 수열 $(x_n)_{n = 1}^\infty$이 존재하면 위 정리와 위 정리로 $x$는 $E$의 집적점이다.
5.
$x \in X$가 $(X,d)$에서 $E$의 집적점이므로 4번으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$이고
$i \ne j$인 모든 $i,j \in \mathbb{Z}^+$가 $x_i \ne x_j$인 $E \setminus \{ x\}$의 수열 $(x_n)_{n = 1}^\infty$이 존재하고
$O$가 $(X,d)$에서 열린집합이므로 $x \in O$에 대해 위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq O$인 $r_x \in (0,\infty)$가 존재하여
$n\ge K(r_x)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $d(x,x_n) < r_x$이 되는 $K(r_x ) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로
$x_n \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq O$이 되어 $O$는 무한집합이다.
6.
$x\in E\setminus \underset{(X,d)}{E'}$이면
$x$는 $(X,d)$에서 $E$의 집적점이 아니므로 모든 실수 $r > 0$에 대해 $d(x,y) < r$이고 $x \ne y$인 $y \in E$가 존재하지 않아
어떤 실수 $r > 0$에 대해 모든 $y \in E$가 $d(x,y) < r$이면 $x = y$이다.
따라서 열린공의 정의로 $y\in E$이고 $y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이면 $x = y$가 되어 $E \cap \underset{(X,d)}{B}(x,r) = \{x\}$이다.
역으로 $E \cap \underset{(X,d)}{B}(x,r) = \{x\}$인 실수 $r>0$이 존재하면 $x \in E$이고 $x\notin \underset{(X,d)}{E'}$이므로 $x\in E\setminus \underset{(X,d)}{E'}$이다.
정리18
거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. $X$의 수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}$$(x_n) = x \in X$이면 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 모든 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$는 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}^{(X,d)}(x_{n_k}) = x$이다.
2. $E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은
$(X,d)$에서 수렴하는 $E$의 모든 수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) \in E$인 것이다.
3. 모든 $x \in X$와 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $(X,d)$에서 닫힌공 $\underset{(X,d)}{B}[x,r]$은 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
증명
1.
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_{n}) = x$이면 실수열 $(d(x_n,x))_{n = n_0}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_{n},x)) = 0$으로 수렴하므로
부분수열 정리로 $(d(x_n,x))_{n = n_0}^\infty$의 모든 부분수열 $(d(x_{n_k},x))_{k = 1}^\infty$는 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}(d(x_{n_k},x)) = 0$이 되어 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}^{(X,d)}(x_{n_k}) = x$이다.
2.
$E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합일때 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) =x \in X$인 $E$의 수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$에 대해
$n\ge K \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $x_n =x$인 $K \in \mathbb{N}$가 존재하면 위 정리로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $d(x_n,x) = 0 < \epsilon$이 되어
실수열 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(x_{n},x)) = 0$이고 $x = x_n \in E$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) =x \in E$이다.
$n\ge K \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $x_n =x$인 $K \in \mathbb{N}$가 존재하지 않으면
모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n_k \ge k$이고 $x_{n_k} \ne x$인 $n_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로
정렬성으로 $n_k < n_{k+1}$이고 최소인 $n_k \in \mathbb{Z}^+$는 유일하게 존재하여 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$를 만들 수 있다.
따라서 1번으로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}^{(X,d)}(x_{n_k}) = x$이고 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_{n_k} \ne x$와 $x_{n_k} \in E$가 성립하여
$(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$는 $E\setminus \{ x\}$의 수열이므로 위 정리와 위 정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}^{(X,d)}(x_{n_k}) = x \in \underset{(X,d)}{E'}$이고
$E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}^{(X,d)}(x_{n_k}) = x \in \underset{(X,d)}{E'} \subseteq E$이다.
역으로 $(X,d)$에서 수렴하는 $E$의 모든 수열 $E$의 원소로 수렴하면
위 정리와 위 정리로 임의의 $x \in \underset{(X,d)}{E'}$는 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$인 $E\setminus \{ x\}$의 수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 존재하므로
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x \in E$가 되어 $ \underset{(X,d)}{E'} \subseteq E$이고 위 정리로 $E$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
3.
$(X,d)$에서 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(y_n) =y \in X$로 수렴하는 $\underset{(X,d)}{B}[x,r]$의 수열 $(y_n)_{n = n_0}^\infty$은
$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $y_n \in \underset{(X,d)}{B}[x,r]$이므로 $ d(x,y_n) \le r$이고
$\displaystyle \lim_{n\to \infty}(d(y_{n},y)) = 0$이므로 실수열 수렴의 정의로 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해
$n\ge K(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $0\le d(y_n,y) = |d(y_n,y) - 0| < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하여
거리공간의 정의로 $0\le d(x,y) \le d(x,y_n) + d(y_n,y) < r + \epsilon$이므로
실수 부등식 정리로 $d(x,y) \le r$이고 $(X,d)$에서 닫힌공의 정의로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(y_n) = y \in \underset{(X,d)}{B}[x,r]$가 되어
2번으로 $\underset{(X,d)}{B}[x,r]$은 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
정리19
거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. 임의의 $A\subseteq E$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq $ $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$이다.
2. $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E} = X \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = E\cup \underset{(X,d)}{E'}$
3. $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
4. $(X,d)$에서 닫힌집합 $C$가 $E \subseteq C$이면 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq C$이다.
5. $E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $E = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$인 것이다.
6. $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E))$
7. 모든 $x \in X$와 $r \in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,d)}{B}(x,r)) \subseteq \underset{(X,d)}{B}[x,r]$이다.
증명
1.
밀착점의 정의로 임의의 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A)$는 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap A \ne \emptyset$이므로
$y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap A$가 존재하여 $y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이고 $y \in A\subseteq E$이므로 $y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E$가 되어
$\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E \ne \emptyset$이고 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$이므로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$이다.
2.
위 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E} $이고 외부점의 정의와 밀착점의 정의로 $ \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)= X \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) $이다.
임의의 $x \in E$는 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이므로 $x \in \underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap E$가 되어 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$이고
임의의 $x \in \underset{(X,d)}{E'}$는 위 정리와 1번으로 $x \in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E\setminus \{ x\}) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$이므로 $E\cup \underset{(X,d)}{E'} \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$이다.
임의의 $x \in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$는 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d)}(x_n) = x$인 $E$의 수열 $(x_n)$이 존재하여
$x_n = x$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하면 $x = x_n \in E$이고 $x_n = x$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하지 않으면 $(x_n)$은 $E\setminus \{x\}$의 수열이므로
위 정리와 위 정리로 $x \in \underset{(X,d)}{E'}$가 되어 $ \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq E\cup \underset{(X,d)}{E'} $이고 집합 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = E\cup \underset{(X,d)}{E'}$이다.
3.
2번과 위 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = X \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = X\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이고
집합 정리와 위 정리로 $X\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) =X\setminus (X\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)) =\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로
닫힌집합의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
4.
$C$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로 위 정리로 $\underset{(X,d)}{C'} \subseteq C$이고
$E \subseteq C$이므로 집합 정리와 1, 2번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(C)= C \cup \underset{(X,d)}{C'} = C$이다.
5.
$E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이면
2번으로 $E \subseteq E\cup \underset{(X,d)}{E'}=\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$이고 $E\subseteq E$이므로 4번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq E$가 되어 집합 정리로 $E =\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$이다.
역으로 $E =\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)$이면
2번으로 $\underset{(X,d)}{E'} \subseteq E\cup \underset{(X,d)}{E'}=\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = E$이므로 위 정리로 $E$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
6.
3번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) $는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로 5번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E))$이다.
7.
열린공의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq \underset{(X,d)}{B}[x,r]$이고 위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}[x,r]$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로
1, 5번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,d)}{B}(x,r)) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,d)}{B}[x,r])=\underset{(X,d)}{B}[x,r]$이다.
정리20
거리공간 $(X,d)$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.
1. 임의의 $A,B \subseteq X$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$ $=\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(B)$이다.
2. 임의의 $A,B \subseteq X$에 대해 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A\cap B)$ $=\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(B)$이다.
3. $X = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E} \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$
4. $\emptyset = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) =\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\partial E} = \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\partial E} = E \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$
5. $\underset{(X,d)}{\partial E}$ $ = \underset{(X,d)}{\partial}(X\setminus E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)= \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(X\setminus E)$
6. $\underset{(X,d)}{\partial E}$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
7. $E$가 $(X,d)$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,d)}{\partial E} \subseteq X \setminus E$인 것이다.
8. $E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,d)}{\partial E} \subseteq E$인 것이다.
9. $E$가 $(X,d)$에서 열린집합이고 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,d)}{\partial E} = \emptyset$인 것이다.
증명
1.
$A\subseteq A\cup B$이고 $B\subseteq A\cup B$이므로 위 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$와 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(B) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$가 성립하여
$\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(B) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$이고
임의의 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$는 밀착점의 정의로 모든 $r \in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap (A\cup B) \ne \emptyset$이므로
집합 정리로 $\emptyset \ne \underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap (A\cup B) = (\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap A) \cup (\underset{(X,d)}{B}(x,r) \cap B)$인데
$x\notin \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(B)$라고 가정하면 $x\notin \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A)$와 $x\notin \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(B)$가 성립하여
밀착점의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_A) \cap A = \emptyset$이고 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_B) \cap B = \emptyset$인 $r_A,r_B \in (0,\infty)$가 존재하므로
$\min$$\{r_A,r_B\} > 0$에 대해
$\underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\})\cap A\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r_A) \cap A = \emptyset$와
$\underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\})\cap B \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r_B) \cap B = \emptyset$가 성립하고
집합 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\})\cap A= \emptyset$와 $\underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\})\cap B = \emptyset$이 성립하므로
$\emptyset \ne \underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\}) \cap (A\cup B) = (\underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\}) \cap A) \cup (\underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\}) \cap B) = \emptyset \text{ 이 되어 모순이다.}$
따라서 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$이면 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(B)$가 되어 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A\cup B) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(B)$이므로
집합 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(B) =\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$이다.
2.
$A\cap B \subseteq A$이고 $A\cap B \subseteq B$이므로 위 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A\cap B) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A)$와 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A\cap B) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(B)$가 성립하여
$\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A\cap B) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(B)$이고
임의의 $x \in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(B)$는 $x \in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A)$이고 $x \in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(B)$이므로
내부점의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_A) \subseteq A$이고 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_B) \subseteq B$인 $r_A,r_B \in (0,\infty)$가 존재하여
$\min$$\{r_A,r_B\} > 0$에 대해
$\underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\})\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r_A) \subseteq A$와 $\underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\})\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r_B) \subseteq B$가 성립하므로
$\underset{(X,d)}{B}(x,\min\{r_A,r_B\})\subseteq A\cap B$가 되어 내부점의 정의로 $x \in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A\cap B) $이고
$ \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(B) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A\cap B)$이다.
따라서 집합 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A\cap B) =\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(B)$이다.
3.
$\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E} \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) \subseteq X$임은 자명하고
임의의 $x \in X$가 $x\notin \underset{(X,d)}{\partial E}$이면 경계점의 정의로 $x \in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$이므로
$X\subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E} \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$가 되어 집합 정리로 $X = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E} \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$이다.
4.
경계점의 정의로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\partial E} =\emptyset = \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\partial E}$이고
위 정리와 2번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) =\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E \cap (X\setminus E)) = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(\emptyset) \subseteq \emptyset$이므로
집합 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = \emptyset$이다.
또 위 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)\subseteq X\setminus E$이므로
집합 정리와 집합 정리로 $X\setminus (X\setminus E) = E\subseteq X \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$가 되어 집합 정리로 $E \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = \emptyset$이다.
5.
위 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E}$이고 4번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\partial E} = \emptyset$이므로 집합 정리로
$\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) = (\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E}) \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) = (\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)) \cup (\underset{(X,d)}{\partial E}\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)) =\underset{(X,d)}{\partial E}\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) = \underset{(X,d)}{\partial E} \text{ 가 되어}$
$ \begin{align*} \underset{(X,d)}{\partial E} & = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em] & = ( X\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)) \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em] & = ( X\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)) \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em] & = X\setminus (\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E)\cup \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) ) \\[0.5em] & = X\setminus (\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}( E)\cup \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) ) \\[0.5em] & = ( X\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}( E)) \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \\[0.5em] & = ( X\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(X\setminus E)) \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \\[0.5em] & = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(X\setminus E) \setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \\[0.5em] & = \underset{(X,d)}{\partial}(X\setminus E) \text{ 이고} \end{align*} $
위 정리와 4번으로 $\emptyset = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) $이므로 위 정리와 집합 정리로
$ \begin{align*} \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)\cap \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(X\setminus E) & = ( \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E}) \cap ( \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \cup \underset{(X,d)}{\partial}(X\setminus E)) \\[0.5em] & = ( \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E}) \cap ( \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \cup \underset{(X,d)}{\partial E}) \\[0.5em] & = ( \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) ) \cup \underset{(X,d)}{\partial E} \\[0.5em] & = \emptyset \cup \underset{(X,d)}{\partial E} \\[0.5em] & = \underset{(X,d)}{\partial E} \text{ 이다.} \end{align*} $
6.
위 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) ,\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(X\setminus E)$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로
5번과 위 정리로 $\underset{(X,d)}{\partial E} = \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(X\setminus E)$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이다.
7.
$E$가 $(X,d)$에서 열린집합이면
위 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) = E$이므로 4번으로 $E \cap \underset{(X,d)}{\partial E} = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,d)}{\partial E} = \emptyset$이 되어 집합 정리로 $\underset{(X,d)}{\partial E} \subseteq X \setminus E$이다.
역으로 $\underset{(X,d)}{\partial E} \subseteq X \setminus E$이면
집합 정리와 집합 정리로 $X \setminus (X\setminus E) = E \subseteq X\setminus \underset{(X,d)}{\partial E}$이고
3, 4번으로 $E \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E)$와 $E \cap \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = \emptyset$이 성립하므로 $E \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$가 되어
위 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$이고 $E = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) $이므로 위 정리로 $E$는 $(X,d)$에서 열린집합이다.
8.
7번과 집합 정리로 $X\setminus E$가 $(X,d)$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,d)}{\partial E} \subseteq X \setminus (X \setminus E) = E$인 것이고
닫힌집합의 정의로 $X\setminus E$가 $(X,d)$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합인 것이므로
$E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,d)}{\partial E} \subseteq E$인 것이다.
9.
$E$가 $(X,d)$에서 열린집합이고 닫힌집합이면 7, 8번으로 $\underset{(X,d)}{\partial E} \subseteq X \setminus E$이고 $\underset{(X,d)}{\partial E} \subseteq E$인데
$\underset{(X,d)}{\partial E} \ne \emptyset$라고 가정하면 $x \in X \setminus E$이고 $x \in E$인 $x \in \underset{(X,d)}{\partial E}$가 존재하므로 모순이 되어 $\underset{(X,d)}{\partial E} = \emptyset$이다.
역으로 $\underset{(X,d)}{\partial E} = \emptyset$이면
$\underset{(X,d)}{\partial E} =\emptyset \subseteq X \setminus E$이고 $\underset{(X,d)}{\partial E} =\emptyset \subseteq E$이므로 7, 8번으로 $E$는 $(X,d)$에서 열린집합이고 닫힌집합이다.
정리21
거리공간 $(X,d)$의 부분거리공간 $(Y,d)$와 임의의 부분집합 $E \subseteq Y$에 대해 다음이 성립한다.
1. $E$가 $(Y,d)$에서 열린집합이기 필요충분조건은 $E = O\cap Y$인 $(X,d)$에서 열린집합 $O$가 존재하는 것이다.
2. $E$가 $(Y,d)$에서 닫힌집합이기 필요충분조건은 $E = C\cap Y$인 $(X,d)$에서 닫힌집합 $C$가 존재하는 것이다.
증명
1.
$E$가 $(Y,d)$에서 열린집합이면
위 정리로 모든 $x \in E$에 대해 $\underset{(Y,d)}{B}(x,r_x)\subseteq E$인 실수 $r_x > 0$가 존재하므로
선택정리로 $x \in E$에 대해 $r_x$를 선택할때 집합 $O = \displaystyle \bigcup_{x\in E}\underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$는 위 정리와 위 정리로 $(X,d)$에서 열린집합이고
임의의 $x\in E \subseteq Y$는 $x\in \underset{(Y,d)}{B}(x,r_x)\subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq O$이므로 $x\in O\cap Y$가 되어 $E\subseteq O\cap Y$이다.
또 임의의 $y \in O\cap Y$는 $y\in O$이므로 $y \in \underset{(X,d)}{B}(x,r_x)$인 $x\in E$와 실수 $r_x > 0$가 존재하고 $y\in Y$이므로
열린공의 정의로 $y \in \underset{(Y,d)}{B}(x,r_x) \subseteq E$가 되어 $O\cap Y \subseteq E$이고 집합 정리로 $E =O\cap Y$이다.
역으로 $E = O\cap Y$인 $(X,d)$에서 열린집합 $O$가 존재하면
임의의 $x \in E$는 $x \in O$이므로 위 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_x) \subseteq O$인 실수 $r_x > 0$가 존재하고
열린공의 정의로 $\underset{(Y,d)}{B}(x,r_x) =\underset{(X,d)}{B}(x,r_x)\cap Y \subseteq O\cap Y = E$이므로 다시 위 정리로 $E$는 $(Y,d)$에서 열린집합이다.
2.
$E$가 $(Y,d)$에서 닫힌집합이면
$Y\setminus E$는 $(Y,d)$에서 열린집합이므로 1번으로 $Y\setminus E = O\cap Y$인 $(X,d)$에서 열린집합 $O$가 존재하고
$X\setminus O$는 $(X,d)$에서 닫힌집합이므로 $C = X\setminus O$로 둘때
집합 정리로 $C \cap Y = (X\setminus O)\cap Y = Y\setminus (Y\cap O) = Y\setminus (Y\setminus E) = E$이다.
역으로 $E = C\cap Y$인 $(X,d)$에서 닫힌집합 $C$가 존재하면
$X\setminus C$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로 집합 정리로 $(X\setminus C)\cap Y = Y\setminus (Y\cap C) = Y\setminus E$가 되어
1번으로 $Y\setminus E$는 $(Y,d)$에서 열린집합이고 $E = Y\setminus (Y\setminus E)$는 $(Y,d)$에서 닫힌집합이다.
-------------------------------------------------------------------------------
정의의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/68#def번호
번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
정리의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/68#thm번호
번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.
틀린 내용이 존재할 수 있습니다.
출처(저자 - 제목 - ISBN13)
Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808
Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402
Walter Rudin - Principles of Mathmatical Analysis - 9788956152714
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