위상공간(Topological space)

정의1

위상공간 :

임의의 집합 $X$에 대해 모든 $O\in \mathcal{T}$가 $O\subseteq X$인 임의의 집합족 $\mathcal{T}$가 아래 4가지 성질을 만족하면

순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 위상공간으로 정의하고 $\mathcal{T}$를 $X$의 위상이라 정의한다.

1. $X\in \mathcal{T}$

2. 공집합 $\emptyset$에 대해 $\emptyset\in \mathcal{T}$이다.

3. 모든 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{T}$의 합집합은 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{T}$이다.

4. 모든 $O_1,O_2\in \mathcal{T}$의 유한 교집합은 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}$이다.

열린집합(open set), 닫힌집합(closed set) :

임의의 위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 모든 $O\in \mathcal{T}$를 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합으로 정의하고

임의의 $C\subseteq X$의 유한 여집합이 $X\setminus C \in \mathcal{T}$이면 $C$를 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합으로 정의한다.

 

 

 

정리1

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$과 공집합 $\emptyset$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이다.

2. $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이다.

3. 임의의 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

4. 임의의 집합족 $\mathcal{O}$의 모든 $O\in \mathcal{O}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 합집합 $\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

5. 임의의 $O_1,O_2,\cdots, O_n\subseteq X$이 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 교집합 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n O_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

6. $\mathcal{C}\ne \emptyset$인 임의의 집합족 $\mathcal{C}$의 모든 $C\in \mathcal{C}$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 교집합 $\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{C}}C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

7. 임의의 $C_1,C_2,\cdots, C_n\subseteq X$이 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 합집합 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n C_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

증명

1.

위상공간의 성질로 $X\in \mathcal{T}$이므로 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

$X\subseteq X$이고 집합 정리와 위상공간의 성질로 $X\setminus X = \emptyset \in \mathcal{T}$이므로 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

2.

위상공간의 성질로 $\emptyset\in \mathcal{T}$이므로 $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

$\emptyset\subseteq X$이고 집합 정리와 위상공간의 성질로 $X\setminus \emptyset = X \in \mathcal{T}$이므로 $\emptyset$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

3.

$O\subseteq X$이므로 집합 정리와 열린집합의 정의로 $X\setminus (X\setminus O) = O\in \mathcal{T}$이고

유한 여집합의 정의로 $X\setminus O\subseteq X$임에 따라 닫힌집합의 정의로 $X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

4.

모든 $O\in \mathcal{O}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $O\in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$임에 따라

합집합의 정의와 위상공간의 성질로 $\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O = \bigcup \mathcal{O}\in \mathcal{T}$이고 $\displaystyle \bigcup_{O\in \mathcal{O}}O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

5.

$n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$이면 임의의 $O_1\subseteq X$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 교집합의 정의로 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^1O_1 = O_1 \in \mathcal{T}$이다.

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해

임의의 $O_1,O_2,\cdots, O_k\subseteq X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^k O_i$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이라고 가정할때

$(X,\mathcal{T})$에서 열린집합인 임의의 $O_1,O_2,\cdots, O_k,O_{k+1}\subseteq X$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^k O_i\in \mathcal{T}$이고 $O_{k+1}\in \mathcal{T}$이므로

교집합의 정의와 유한 교집합의 정의와 위상공간의 성질로

$\displaystyle \bigcap_{i=1}^{k+1} O_i = \left (\bigcap_{i=1}^kO_i\right ) \cap O_{k+1} \in \mathcal{T}$가 되어 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{k+1} O_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

임의의 $O_1,O_2,\cdots, O_n\subseteq X$이 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n O_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

6.

모든 $C\in \mathcal{C}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 $C\subseteq X$와 $X\setminus C\in \mathcal{T}$가 성립하여

교집합의 정의로 $\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{C}} C\subseteq X$이고 집합 정리와 4번과 열린집합의 정의로 $\displaystyle X\setminus \bigcap_{C\in \mathcal{C}} C =\bigcup_{C\in \mathcal{C}}(X\setminus C)\in \mathcal{T}$이므로

$\displaystyle \bigcap_{C\in \mathcal{C}} C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

7.

임의의 $C_1,C_2,\cdots, C_n\subseteq X$이 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

모든 $i =1,2,\cdots, n$에 대해 $C_i\subseteq X$와 $X\setminus C_i\in \mathcal{T}$가 성립하여

합집합의 정의로 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^n C_i\subseteq X$이고 집합 정리와 5번과 열린집합의 정의로 $\displaystyle X\setminus \bigcup_{i=1}^n C_i =\bigcap_{i=1}^n (X\setminus C)\in \mathcal{T}$이므로

$\displaystyle \bigcup_{i=1}^n C_i$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

 

 

 

정리2(자명 위상공간[trivial topological space])

임의의 집합 $X$와 공집합 $\emptyset$에 대해 $\mathcal{T} = \{ X,\emptyset\}$일때 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

증명

$X\subseteq X$와 $\emptyset\subseteq X$가 성립하고 아래 위상공간의 성질을 만족하므로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

1, 2

$X,\emptyset\in \{ X,\emptyset\} = \mathcal{T}$가 성립한다.

3.

합집합의 정의와 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup\{ X\} = X \in \mathcal{T}$와 $\displaystyle \bigcup\{ \emptyset\} = \emptyset \in \mathcal{T}$와 $\displaystyle \bigcup\{ X, \emptyset\} = X\cup \emptyset = X\in \mathcal{T}$가 성립한다.

4.

집합 정리와 집합 정리로 $X\cap X = X \in \mathcal{T}$와 $\emptyset\cap \emptyset = \emptyset \in \mathcal{T}$와 $X\cap \emptyset = \emptyset\in \mathcal{T}$가 성립한다.

 

 

 

정리3(여유한 위상공간[cofinite topological space])

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 공집합 $\emptyset$에 대해

$\mathcal{T} = \{O\in \mathcal{P}(X): X\setminus O \text{는 유한집합}\} \cup \{ \emptyset\}$일때 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

증명

$\emptyset\subseteq X$이므로 멱집합의 정의로 $\emptyset\in \mathcal{P}(X)$이 되어 모든 $O\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$는 $O\subseteq X$이고 

아래 위상공간의 성질을 만족하므로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

1.

$X\subseteq X$이고 $X\setminus X =\emptyset$은 유한집합이므로 $X\in \mathcal{T}$이다.

2.

$\mathcal{T}$의 정의로 $\emptyset\in \mathcal{T}$이다.

3.

임의의 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}$에 대해 $\mathcal{F} = \emptyset$이면 합집합의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \emptyset\in \mathcal{T}$이고

$\mathcal{F} \ne \emptyset$이면 $O_0\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{T}$이 존재하여 $X\setminus O_0$은 유한집합이고

집합 정리와 교집합의 정의로 $\displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{F} = X\setminus \bigcup_{O\in \mathcal{F}}O = \bigcap_{O\in \mathcal{F}} (X\setminus O) \subseteq X\setminus O_0$이므로

유한집합 정리로 $\displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{F}$는 유한집합이 되어 합집합의 정의로 $\displaystyle \bigcup\mathcal{F} \subseteq X$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{T}$이다.

4.

임의의 $O_1,O_2\in \mathcal{T}$에 대해 $O_1\cap O_2\subseteq O_1 \subseteq X$이고 $X\setminus O_1$과 $X\setminus O_2$는 유한집합이므로

집합 정리와 유한집합 정리로 $X\setminus (O_1\cap O_2) = (X\setminus O_1) \cup (X\setminus O_2)$는 유한집합이 되어 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}$이다.

 

 

 

정리4(여가산 위상공간[cocountable topological space])

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$와 공집합 $\emptyset$에 대해

$\mathcal{T} = \{O\in \mathcal{P}(X): X\setminus O \text{는 가산집합}\} \cup \{ \emptyset\}$일때 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

증명

$\emptyset\subseteq X$이므로 멱집합의 정의로 $\emptyset\in \mathcal{P}(X)$이 되어 모든 $O\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$는 $O\subseteq X$이고 

아래 위상공간의 성질을 만족하므로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

1.

$X\subseteq X$이고 $X\setminus X =\emptyset$은 유한집합이므로 가산집합이 되어 $X\in \mathcal{T}$이다.

2.

$\mathcal{T}$의 정의로 $\emptyset\in \mathcal{T}$이다.

3.

임의의 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}$에 대해 $\mathcal{F} = \emptyset$이면 합집합의 정의로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \emptyset\in \mathcal{T}$이고

$\mathcal{F} \ne \emptyset$이면 $O_0\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{T}$이 존재하여 $X\setminus O_0$은 가산집합이고

집합 정리와 교집합의 정의로 $\displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{F} = X\setminus \bigcup_{O\in \mathcal{F}}O = \bigcap_{O\in \mathcal{F}} (X\setminus O) \subseteq X\setminus O_0$이므로

가산집합 정리로 $\displaystyle X\setminus \bigcup \mathcal{F}$는 가산집합이 되어 합집합의 정의로 $\displaystyle \bigcup\mathcal{F} \subseteq X$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{T}$이다.

4.

임의의 $O_1,O_2\in \mathcal{T}$에 대해 $O_1\cap O_2\subseteq O_1 \subseteq X$이고 $X\setminus O_1$과 $X\setminus O_2$는 가산집합이므로

집합 정리와 가산집합 정리로 $X\setminus (O_1\cap O_2) = (X\setminus O_1) \cup (X\setminus O_2)$는 가산집합이 되어 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}$이다.

 

 

 

정의2

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 임의의 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$가 $\mathcal{T} = \{ $$\bigcup$$\,\mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$이면 $\mathcal{B}$를 $(X,\mathcal{T})$의 기저(basis)라고 정의한다.

 

 

 

정리5

임의의 집합 $X$의 멱집합 $\mathcal{P}(X)$의 임의의 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이고 $\mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

3. 모든 $B_1,B_2 \in \mathcal{B}$에 대해 $B_1\cap B_2\in \mathcal{B}$이고 $X\in \mathcal{B}$와 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$가 성립하는 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$가 존재한다. 

4. 임의의 $B_1,B_2 \in \mathcal{B}$와 모든 $x\in B_1\cap B_2$에 대해 $x\in B_x\subseteq B_1\cap B_2$인 $B_x\in \mathcal{B}$가 존재하고

$\displaystyle \bigcup \mathcal{B} = X$와 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$가 성립하는 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T}$가 존재한다. 

증명

$1\to 2$

$\mathcal{O} = \{ \bigcup \mathcal{F} : \mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}\}$일때 

임의의 $O\in \mathcal{O}$는 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{T}$가 존재하여 위상공간의 성질로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{T}$이므로 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이고

임의의 $O\in \mathcal{T}$는 $\{ O\} \subseteq \mathcal{T}$임에 따라 합집합의 정의로 $O= \displaystyle \bigcup \{O\} \in \mathcal{O}$가 되어 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{O}$이므로

집합 정리로 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}$에 대해 $\mathcal{T} =\mathcal{O} = \{ \bigcup \mathcal{F} : \mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}\}$이고 $\mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

$2\to 3$

$\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}$이고 기저의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{T}\}$이다.

또 위상공간의 성질로 $X\in \mathcal{T}$이고 모든 $O_1,O_2 \in \mathcal{T}$에 대해 $O_1\cap O_2\in \mathcal{T}$이다.

$3\to 4$

임의의 $B_1,B_2 \in \mathcal{B}$와 모든 $x\in B_1\cap B_2$에 대해 $x\in B_1\cap B_2\subseteq B_1\cap B_2$와 $ B_1\cap B_2 \in \mathcal{B}$가 성립하고

$X\in \mathcal{B}$와 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$가 성립하므로 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B} = X$이다.

$4 \to 1$

멱집합의 정의로 모든 $O\in \mathcal{T}\subseteq \mathcal{P}(X)$는 $O\subseteq X$이고 아래 위상공간의 성질을 만족하므로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

1.

$\mathcal{B}\subseteq \mathcal{B}$이므로 $X= \displaystyle \bigcup \mathcal{B}\in \mathcal{T}$이다.

2.

$\emptyset \subseteq \mathcal{B}$이므로 합집합의 정의로 $\displaystyle \emptyset=\bigcup\emptyset \in \mathcal{T}$이다. 

3.

임의의 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}$에 대해 $\mathbf{S} = \{ \mathcal{S}\in \mathcal{P}(\mathcal{B}) : \bigcup \mathcal{S} \in \mathcal{F}  \}$일때

모든 $\displaystyle O \in \bigcup \mathbf{S}$는 합집합의 정의로 $O\in \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\in \mathbf{S}$가 존재하여 멱집합의 정의로 $O\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathbf{S} \subseteq \mathcal{B}$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$는 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F} \subseteq \mathcal{T}$가 존재하여 $O = \displaystyle \bigcup\mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하므로 $\mathcal{S}\in \mathbf{S}$이고

$x\in O = \displaystyle \bigcup\mathcal{S}$이므로 $x\in S$인 $S\in \mathcal{S}$가 존재하여 $x\in S\in \mathcal{S}\in \mathbf{S}$임에 따라

$S\in \displaystyle  \bigcup \mathbf{S}$이고 $x\in \displaystyle \bigcup \left ( \bigcup \mathbf{S}\right)$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}\subseteq \bigcup \left ( \bigcup \mathbf{S}\right)$이다.

모든 $\displaystyle x\in \bigcup \left ( \bigcup \mathbf{S}\right)$는 $x\in S$인 $\displaystyle S\in \bigcup \mathbf{S}$가 존재하고 $S\in \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\in \mathbf{S}$가 존재하여

$\displaystyle x\in S\subseteq \bigcup \mathcal{S} \in \mathcal{F}$이므로 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \left ( \bigcup \mathbf{S}\right) \subseteq \bigcup \mathcal{F}$이고 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} = \bigcup \left ( \bigcup \mathbf{S}\right)\in \mathcal{T}$이다.

4.

임의의 $O_1,O_2 \in \mathcal{T}$에 대해 $\mathcal{S} = \{ B\in \mathcal{B} : B\subseteq O_1\cap O_2\}$는 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$이고

$\displaystyle O_1=\bigcup \mathcal{S}_1$과 $\displaystyle O_2=\bigcup \mathcal{S}_2$이 성립하는 $\mathcal{S}_1\subseteq \mathcal{B}$과 $\mathcal{S}_2\subseteq \mathcal{B}$가 존재한다.

임의의 $x\in O_1\cap O_2$는 $\displaystyle x\in O_1=\bigcup \mathcal{S}_1$이고 $\displaystyle x\in O_2=\bigcup \mathcal{S}_2$이므로

$x\in B_1$이고 $x\in B_2$인 $B_1\in \mathcal{S}_1\subseteq \mathcal{B}$과 $B_2\in \mathcal{S}_2\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

$\displaystyle B_1\subseteq \bigcup \mathcal{S}_1 = O_1$과 $\displaystyle B_2\subseteq \bigcup \mathcal{S}_2 = O_2$가 성립함에 따라 $x\in B_1\cap B_2 \subseteq O_1\cap O_2$이고

$x\in B_x \subseteq B_1\cap B_2 \subseteq O_1\cap O_2$인 $B_x\in \mathcal{B}$가 존재하여

$B_x\in \mathcal{S}$임에 따라 $x\in B_x \subseteq\displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이므로 $O_1\cap O_2 \subseteq\displaystyle \bigcup \mathcal{S}$이다.

임의의 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$는 $x\in B$인 $B\in \mathcal{S}$가 존재하여 $x\in B\subseteq O_1\cap O_2$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{S} \subseteq O_1\cap O_2$임에 따라

집합 정리로 $O_1\cap O_2 =\displaystyle \bigcup \mathcal{S}\in \mathcal{T}$이다.

 

 

 

정리6

임의의 집합 $X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 임의의 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$에 대해 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$이면 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

증명

임의의 $B\in \mathcal{B}$에 대해 $\{ B\} \subseteq \mathcal{B}$이므로 합집합의 정의로 $B = \displaystyle \bigcup\{ B\} \in \mathcal{T}$가 되어 $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$이고

임의의 $O\in \mathcal{T}$에 대해 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하므로 임의의 $x\in O$는 $x\in S$인 $S\in \mathcal{S} \subseteq \mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$가 존재하여

멱집합의 정의로 $x\in S\subseteq X$임에 따라 $O \subseteq X$이고 $O\in \mathcal{P}(X)$이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

 

 

 

정리7(거리 위상공간)

거리공간 $(X,d)$에서 열린공들의 집합족이 $\mathcal{B} = \{ \underset{(X,d)}{B}(x_0,r) : x_0\in X, r\in\,$$(0,\infty)$$\}$일때

$\mathcal{B}$의 부분집합의 합집합들의 집합 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$에 대해 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

증명

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 모든 $x_0\in X$과 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 열린공의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x_0,r)\subseteq X$임에 따라

멱집합의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x_0,r)\in\mathcal{P}(X)$이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$가 되어 위 정리로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

임의의 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{B}$에 대해 합집합의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x_0,r)\in \mathcal{B}$인 $x_0\in X$과 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

열린공의 정의로 $x\in\underset{(X,d)}{B}(x_0,r)\subseteq X$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B} \subseteq X$이고

임의의 $x\in X$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,1) \in\mathcal{B}$과 거리공간의 정의로 $d(x,x) = 0 < 1$이 성립하므로

열린공의 정의와 합집합의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,1) \subseteq \displaystyle \bigcup\mathcal{B}$가 되어 $\displaystyle X\subseteq \bigcup\mathcal{B}$임에 따라 집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{B} = X$이다.

임의의 $x_1,x_2\in X$와 임의의 $r_1,r_2\in (0,\infty)$에 대해 모든 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x_1,r_1)\cap \underset{(X,d)}{B}(x_2,r_2)$는

열린공의 정의로 $d(x,x_1)< r_1$이고 $d(x,x_2)< r_2$이므로 $0< r_1 - d(x,x_1)$과 $0< r_2 - d(x,x_2)$가 성립하여

$r_0 = $ $\min$$ \{ r_1 -d(x,x_1),r_2-d(x,x_2)\}$에 대해 모든 $y\in \underset{(X,d)}{B}(x,r_0)$은 $d(x,y) < r_0$이고

거리공간의 성질과 최소원소의 정의로

$d(y,x_1) \le d(y,x) + d(x,x_1)< r_0 + d(x,x_1)\le r_1 - d(x,x_1) + d(x,x_1) = r_1$과

$d(y,x_2) \le d(y,x) + d(x,x_2)< r_0 + d(x,x_2)\le r_2 - d(x,x_2) + d(x,x_2) = r_2$가 성립하여

$y\in \underset{(X,d)}{B}(x_1,r_1)\cap \underset{(X,d)}{B}(x_2,r_2)$이고 $d(x,x) = 0 < r_0$이므로

$\underset{(X,d)}{B}(x,r_0)\in \mathcal{B}$에 대해 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,r_0) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x_1,r_1)\cap \underset{(X,d)}{B}(x_2,r_2)$이다.

따라서 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

 

 

 

정리8(순서 위상공간)

전순서집합 $(X,\le)$의 임의의 $a,b\in X$에 대해 $\underset{(X,\le)}{(a,b)} = \{ x\in X : a\ne x\text{ 이고 } a\le x\le b \text{ 이고 } x \ne  b\}$이고

$\underset{(X,\le)}{(a,\infty)} = \{ x\in X : a\ne x\text{ 이고 } a\le x\}$이고 $\underset{(X,\le)}{(-\infty,b)} = \{ x\in X : x\le b \text{ 이고 } x \ne  b\}$일때

$\mathcal{B} = \{ \underset{(X,\le)}{(a,b)} : a\in X,b\in X\} \cup \{ \underset{(X,\le)}{(a,\infty)} : a\in X\}\cup \{ \underset{(X,\le)}{(-\infty,b)}:b\in X \}\cup \{ X\}$인

$\mathcal{B}$의 부분집합의 합집합들의 집합 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$에 대해 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

증명

$X$의 멱집합이 $\mathcal{P}(X)$일때 모든 $a,b\in X$에 대해 $\underset{(X,\le)}{(a,b)} \subseteq X$와 $\underset{(X,\le)}{(a,\infty)} \subseteq X$와 $\underset{(X,\le)}{(-\infty,b)} \subseteq X$와 $X \subseteq X$가 성립하여

멱집합의 정의로 $\underset{(X,\le)}{(a,b)},\underset{(X,\le)}{(a,\infty)},\underset{(X,\le)}{(-\infty,b)},X\in\mathcal{P}(X)$이므로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(X)$임에 따라 위 정리로 $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$이다.

모든 $a,b\in X$에 대해 집합 정리로

$\underset{(X,\le)}{(a,b)} \cap X = \underset{(X,\le)}{(a,b)}\in \mathcal{B}$와 $\underset{(X,\le)}{(a,\infty)} \cap X = \underset{(X,\le)}{(a,\infty)}\in \mathcal{B}$가 성립하고

$\underset{(X,\le)}{(-\infty,b)} \cap X = \underset{(X,\le)}{(-\infty,b)}\in \mathcal{B}$와 $X \cap X = X\in \mathcal{B}$가 성립한다.

임의의 $a,b,c,d\in X$에 대해 순서집합 정리와 순서집합 정리로

$l = \underset{(X,\le)}{\max}\{ a,c\} = \underset{(X,\le)}{\sup}\{ a,c\}\in X$과 $r = \underset{(X,\le)}{\min}\{ b,d\} = \underset{(X,\le)}{\inf}\{ b,d\}\in X$이 존재하고

임의의 $x\in \underset{(X,\le)}{(a,b)} \cap \underset{(X,\le)}{(c,d)}$는 $a\le x\le b$와 $c\le x\le d$가 성립하고 $x\notin \{ a,b,c,d\}$이므로

$\{l,r \} \subseteq \{ a,b,c,d\}$임에 따라 $x\notin \{ l,r\}$이고 $l\le x\le r$이므로 $x\in \underset{(X,\le)}{(l,r)}$가 되어 $\underset{(X,\le)}{(a,b)} \cap \underset{(X,\le)}{(c,d)} \subseteq \underset{(X,\le)}{(l,r)}$이다.

임의의 $x\in \underset{(X,\le)}{(l,r)}$는 $l\le x\le r$이고 $x\notin \{ l,r\}$이므로 $a\le l\le x\le r\le b$와 $c\le l\le x\le r\le d$가 성립하고

$x\in \{ a,b,c,d\}$라고 가정하면 순서집합의 정의로 $x\in \{ l,r\}$가 되어 모순임에 따라 $x\notin \{ a,b,c,d\}$이고

$x\in \underset{(X,\le)}{(a,b)} \cap \underset{(X,\le)}{(c,d)}$이므로 $\underset{(X,\le)}{(l,r)}\subseteq \underset{(X,\le)}{(a,b)} \cap \underset{(X,\le)}{(c,d)}$이 되어 집합 정리로 $\underset{(X,\le)}{(a,b)} \cap \underset{(X,\le)}{(c,d)} =\underset{(X,\le)}{(l,r)}\in \mathcal{B}$이다.

비슷하게 $\underset{(X,\le)}{(a,b)} \cap \underset{(X,\le)}{(c,\infty)} = \underset{(X,\le)}{(l,b)}\in \mathcal{B}$와 $\underset{(X,\le)}{(a,b)} \cap \underset{(X,\le)}{(-\infty,d)} = \underset{(X,\le)}{(a,r)}\in \mathcal{B}$이 성립하고

 $\underset{(X,\le)}{(a,\infty)} \cap \underset{(X,\le)}{(c,\infty)} = \underset{(X,\le)}{(l,\infty)}\in \mathcal{B}$와 $\underset{(X,\le)}{(-\infty,b)} \cap \underset{(X,\le)}{(-\infty,d)} = \underset{(X,\le)}{(-\infty,r)}\in \mathcal{B}$와

$\underset{(X,\le)}{(c,\infty)} \cap \underset{(X,\le)}{(-\infty,d)} = \underset{(X,\le)}{(c,d)}\in \mathcal{B}$가 성립하여

모든 $B_1,B_2\in \mathcal{B}$에 대해 $B_1\cap B_2\in \mathcal{B}$이고 $X\in \mathcal{B}$임에 따라 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 위상공간이다.

 

 

 

정의3

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 임의의 부분집합이 $E\subseteq X$이고 임의의 점이 $x\in X$일때

열린근방(open neighborhood) :

$(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$에 대해 $x\in V$이면 $V$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이라고 정의한다.

내부점(interior point), 내부(interior) :

$V\subseteq E$가 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하면 $x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 내부점으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 모든 내부점들의 집합을 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 내부로 정의하고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$로 표기한다.

외부점(exterior point), 외부(exterior) :

$V\cap E = \emptyset$이 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하면 $x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 외부점으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 모든 외부점들의 집합을 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 외부로 정의하고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$로 표기한다.

경계점(boundary point), 경계(boundary) :

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 내부점이 아니고 외부점이 아니면 $x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 경계점으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 모든 경계점들의 집합을 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 경계로 정의하고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$로 표기한다.

밀착점(adherent point), 폐포(closure) :

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap E\ne \emptyset$이면 $x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 밀착점으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 모든 밀착점들의 집합을 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 폐포로 정의하고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$로 표기한다.

집적점(accumulation point), 도집합(derived set) :

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $y\in V$이고 $x\ne y$인 $y\in E$가 존재하면

$x$를 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점으로 정의한다.

$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 모든 집적점들의 집합을 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 도집합으로 정의하고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$로 표기한다.

 

 

 

정리9

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $O \subseteq X$에 대해 $O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은

모든 $x\in O$에 대해 $V\subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하는 것이다.

증명

$O$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면

$O\subseteq O$이고 열린근방의 정의로 모든 $x\in O$에 대해 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

역으로 모든 $x \in O$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하면 집합 $\mathcal{F} = \{ V \in \mathcal{T} : V \subseteq O\} \subseteq \mathcal{T}$에 대해

합집합의 정의로 임의의 $\displaystyle x\in  \bigcup \mathcal{F}$는 $x \in V$인 $V\in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in V\subseteq O$이므로 $\displaystyle  \bigcup \mathcal{F} \subseteq O$이고

임의의 $x \in O$는 $V \subseteq O$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

열린근방의 정의와 열린집합의 정의로 $V\in \mathcal{T}$이므로

$V \in \mathcal{F}$가 되어 $x \in V \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$임에 따라 집합 정리로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이고

위상공간의 성질로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{F}\in \mathcal{T}$이므로 열린집합의 정의로 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 $O \subseteq E$이면 $O \subseteq $ $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이다.

2. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

3. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$

4. 임의의 $A \subseteq E$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이다.

5. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$인 것이다.

6. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)) $

7. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$ $ =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$

8. 임의의 $A,B \subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cap B)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$이다.

9. 임의의 $A,B \subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cup B)$이다.

증명

1.

열린근방의 정의로 모든 $x\in O$에 대해 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고 $O\subseteq E$이므로 

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 내부점임에 따라 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이고 $O\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이다.

2.

내부점의 정의로 모든 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$에 대해 $V \subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

열린근방의 정의로 $V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 1번으로 $V\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$임에 따라

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

3.

내부점의 정의로 모든 $x \in  \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$에 대해 $V \subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

열린근방의 정의로 $x\in V\subseteq E$이므로 $ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$이다.

4.

2번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

3번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \subseteq A \subseteq E$이므로 1번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이다.

5.

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 

$E \subseteq E$이므로 1번으로 $E \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이고 3번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$가 되어 집합 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이다.

역으로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이면 2번으로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

6.

2번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 5번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)) $이다.

7.

외부점의 정의로 임의의 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$는 $V \cap E = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

집합 정리로 $E \subseteq X\setminus V$이고 집합 정리로 $X\setminus (X\setminus V) = V$가 되어

집합 정리로 $V \subseteq X\setminus E$이므로 내부점의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이다.

내부점의 정의로 임의의 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$는 $V\subseteq X\setminus E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

집합 정리로 $X\setminus (X\setminus E) = E$임에 따라 집합 정리로 $E=X\setminus (X\setminus E) \subseteq X\setminus V$이므로

집합 정리로 $V \cap E = \emptyset$이고 외부점의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$가 되어 

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$이므로 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이다.

8.

$A\cap B \subseteq A$이고 $A\cap B \subseteq B$이므로 4번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cap B) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A)$와 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cap B) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$가 성립하여

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cap B) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$이다.

임의의 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$는 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A)$이고 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$이므로

내부점의 정의로 $U\subseteq A$이고 $V\subseteq B$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $U,V$가 존재하여 $x\in U\cap V$이고

위상공간의 성질로 $U,V\in \mathcal{T}$임에 따라 $U\cap V\in \mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

$U\cap V \subseteq A\cap B$임에 따라 1번으로 $x\in U\cap V \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cap B)$가 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cap B)$이고

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cap B) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)$이다.

9.

$A\subseteq A\cup B$이므로 4번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cup B)$이고

$B\subseteq A\cup B$이므로 4번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cup B)$가 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(B)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(A\cup B)$이다.

 

 

 

정리11

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$ $ \subseteq E$인 것이다.

2. 임의의 $A \subseteq E$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이다.

3. 임의의 $x\in X$에 대해

$x\in E\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이기 위한 필요충분조건은 $E \cap V = \{ x\}$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하는 것이다.

4. 임의의 $x\in X$에 대해

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이기 위한 필요충분조건은 $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E\setminus \{ x\}$의 밀착점인 것이다.

증명

1.

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합일때 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \not \subseteq E$라고 가정하면

$\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \setminus E$는 공집합이 아니고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq X$이므로 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \setminus E \subseteq X\setminus E$가 존재하는데

닫힌집합의 정의로 $X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $X\setminus E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이고

$x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이므로 $y\in X\setminus E$이고 $x\ne y$인 $y \in E$가 존재하여 $y\notin E$임에 따라 모순이므로

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq E$이다.

역으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq E$이면

집합 정리로 $X\setminus E \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이므로 모든 $x \in X\setminus E \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이 아니게 되어

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 모든 $y \in E$가 $y\notin V$이거나 $x = y$인데

$x \in X\setminus E$임에 따라 $y\notin V$가 되어 $y\in X\setminus V$이고 $E\subseteq X\setminus V$이다.

따라서 집합 정리와 집합 정리로 $V = X\setminus (X\setminus V) \subseteq X\setminus E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하므로

위 정리로 $ X\setminus E $는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합의 정의로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

2.

모든 $x \in \underset{(X,d)}{A'}$는 집적점의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$y\in V$이고 $x\ne y$인 $y\in A \subseteq E$가 존재하여 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이므로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{A'} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이다.

3.

$x\in E\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이면 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이 아니므로

어떤 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 모든 $y \in E$가 $y\notin V$이거나 $x = y$임에 따라 

모든 $y\in E\cap V$는 $y\in E$이고 $y\in V$이므로 $x= y$가 되어 $E\cap V = \{ x\}$이다.

역으로 $E \cap V = \{ x\}$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하면

$y\in V$이고 $x\ne y$인 $y\in E$가 존재하지 않으므로 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$가 되어 $x\in E$임에 따라 $x\in E\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이다.

4.

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $y\in V$이고 $x\ne y$인 $y\in E$가 존재하여 $y\in V\cap (E\setminus \{ x\})$이므로

$V\cap (E\setminus \{ x\})\ne \emptyset$임에 따라 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E\setminus \{ x\}$의 밀착점이다.

역으로 $x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $E\setminus \{ x\}$의 밀착점이면

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap (E\setminus \{ x\})\ne \emptyset$이므로

$y\in V\cap (E\setminus \{ x\})$가 존재하여 $y\in V$이고 $x\ne y$와 $y\in E$가 성립함에 따라 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 집적점이다.

 

 

 

정리12

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $A\subseteq E$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq $ $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이다.

2. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = X \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = E\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$

3. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

4. $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$가 $E \subseteq C$이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq C$이다.

5. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$인 것이다.

6. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$

7. 임의의 $A,B \subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cup B)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이다.

8. 임의의 $A,B \subseteq X$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cap B)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이다.

증명

1.

밀착점의 정의로 임의의 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$는 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V \cap A \ne \emptyset$이므로

$y \in V \cap A$가 존재하여 $y \in V$이고 $y \in A\subseteq E$이므로 $y \in V \cap E$가 되어

$V \cap E \ne \emptyset$이고 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$임에 따라 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이다.

2.

외부점의 정의와 밀착점의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)= X \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$이다.

임의의 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 외부점이 아니므로

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 내부점이면 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$이고

$x$가 $(X,\mathcal{T})$에서 내부점이 아니면 $x$는 $(X,\mathcal{T})$에서 경계점이 되어 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$임에 따라

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$이다.

임의의 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$가 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$라고 가정하면 경계점의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$인데

위 정리로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\subseteq E$와 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \subseteq X\setminus E$가 성립하여 모순임에 따라

$x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq X$는 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$이므로 $x\in X \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$가 되어

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이고 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$이다.

임의의 $x \in E$는

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $x \in V$임에 따라 $x \in V\cap E\ne \emptyset$가 되어 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이고

임의의 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$는 집적점의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해

$y\in V$이고 $x\ne y$인 $y\in E$가 존재하여 $y\in V\cap E\ne \emptyset$이므로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$임에 따라

임의의 $x\in E\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$는 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$가 되어 $E\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이다.

임의의 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$에 대해 

$x\in V_0\cap E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_0$이 존재하면 $x\in E \subseteq E\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이고

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $x\notin V\cap E$이면 밀착점의 정의로 $V\cap E \ne \emptyset$이므로

$y\in V\cap E$가 존재하여 $x\ne y$임에 따라 집적점의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq E\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이고

$ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq E\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이므로 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = E\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이다.

3.

2번과 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = X \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이고 

집합 정리와 위 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) =X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

닫힌집합의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

4.

$C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{C'} \subseteq C$이고

$E \subseteq C$이므로 집합 정리와 1, 2번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(C)= C \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{C'} = C$이다.

5.

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이면 2번으로 $E \subseteq E\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이고

$E\subseteq E$이므로 4번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq E$가 되어 집합 정리로 $E =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이다.

역으로 $E =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이면

2번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq E\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = E$이므로 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

6.

3번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) $는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 5번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이다.

7.

$A\subseteq A\cup B$이고 $B\subseteq A\cup B$이므로 1번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$와 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$가 성립하여

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$이다.

임의의 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$는 밀착점의 정의로 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $V\cap (A\cup B)\ne \emptyset$이고

$x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$라고 가정하면 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)$와 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 성립하여

밀착점의 정의로 $V_A \cap A = \emptyset$이고 $V_B \cap B = \emptyset$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V_A,V_B$가 존재하는데

$x\in V_A\cap V_B$이고 위상공간의 성질로 $V_A,V_B\in \mathcal{T}$임에 따라 $V_A\cap V_B\in \mathcal{T}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

$V_A\cap V_B$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이 되어

$(V_A\cap V_B)\cap A\subseteq V_A \cap A = \emptyset$와 $(V_A\cap V_B)\cap B \subseteq V_B \cap B = \emptyset$가 성립하고

집합 정리로 $(V_A\cap V_B)\cap A= \emptyset$와 $(V_A\cap V_B)\cap B  = \emptyset$가 성립하므로

집합 정리로 $\emptyset \ne (V_A\cap V_B) \cap (A\cup B) = ((V_A\cap V_B) \cap A) \cup ((V_A\cap V_B) \cap B) = \emptyset\cap\emptyset = \emptyset$이 되어 모순이다.

따라서 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$이면 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$가 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cup B) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이므로

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cup B)$이다.

8.

2번으로 $A\cap B\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이고 3번과 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

4번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A\cap B)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(B)$이다.

 

 

 

정리13

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 부분집합 $E \subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $X = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$

2. $\emptyset = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = E \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$

3. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$ $ = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(X\setminus E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E)$

4. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

5. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq X \setminus E$인 것이다.

6. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq E$인 것이다.

7. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \emptyset$인 것이다.

증명

1.

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) \subseteq X$임은 자명하고

임의의 $x \in X$가 $x\notin \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$이면 경계점의 정의로 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)  \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$이므로

$X\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$가 되어 집합 정리로 $X = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$이다.

2.

경계점의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} =\emptyset = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$이고

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E \cap (X\setminus E)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\emptyset) \subseteq \emptyset$이므로

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = \emptyset$이다.

또 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)\subseteq X\setminus E$이므로

집합 정리와 집합 정리로 $E = X\setminus (X\setminus E) \subseteq X \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$가 되어 집합 정리로 $E \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = \emptyset$이다.

3.

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$이고 2번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \emptyset$이므로 집합 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)) \cup (\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}  \text{ 가 되어}$

위 정리와 위 정리와 집합 정리와 집합 정리로

$ \begin{align*} \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} & = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em] & = ( X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em] & = ( X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em] & = X\setminus (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) ) \\[0.5em] & = X\setminus (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( E)\cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) ) \\[0.5em] & = ( X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( E)) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \\[0.5em] & = ( X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(X\setminus E)) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \\[0.5em] & = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \\[0.5em] & = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(X\setminus E) \text{ 이고} \end{align*} $

위 정리와 2번으로 $\emptyset = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) $이므로 위 정리와 집합 정리로

$ \begin{align*} \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E) & = ( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}) \cap ( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial}(X\setminus E)) \\[0.5em] & = ( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}) \cap ( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}) \\[0.5em] & = ( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) ) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \\[0.5em] & = \emptyset \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \\[0.5em] & = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \text{ 이다.} \end{align*} $

4.

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) ,\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

3번과 위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

5.

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) = E$이므로 2번으로 $E \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \emptyset$이 되어 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq X \setminus E$이다.

역으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq X \setminus E$이면

집합 정리와 집합 정리로 $E=X \setminus (X\setminus E)  \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$이고

1, 2번으로 $E \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cup \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$와 $E \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = \emptyset$이 성립하므로 $E \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$가 되어

위 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq E$이고 집합 정리로 $E = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) $이므로 위 정리로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

6. 

5번과 집합 정리로 $X\setminus E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq X \setminus (X \setminus E) = E$인 것이고

닫힌집합의 정의로 $X\setminus E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합인 것이므로

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq E$인 것이다.

7. 

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이면 5, 6번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq X \setminus E$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \subseteq E$인데

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \ne \emptyset$라고 가정하면 $x \in  X \setminus E$이고 $x \in  E$인 $x \in \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$가 존재하므로 모순이 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \emptyset$이다.

역으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} = \emptyset$이면

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} =\emptyset \subseteq X \setminus E$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} =\emptyset \subseteq E$이므로 5, 6번으로 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이다.

 

 

 

정의4

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $Y\subseteq X$에 대해 

집합 $\mathcal{T}|_Y = \{ O\cap Y : O\in \mathcal{T}\}$를 $Y$로의 $\mathcal{T}$의 축소위상 또는 제한위상 또는 상대위상으로 정의하고

순서쌍 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$를 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간으로 정의한다.

아래 정리로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 위상공간이다.

 

 

 

정리14

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 $Y\subseteq X$와 임의의 $Z\subseteq Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 위상공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(X,\mathcal{T}|_X)$에 대해 $\mathcal{T}|_X = \mathcal{T}$이다.

3. $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 부분위상공간 $(Z,(\mathcal{T}|_Y)|_Z)$는 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Z,\mathcal{T}|_Z)$에 대해 $(\mathcal{T}|_Y)|_Z = \mathcal{T}|_Z$이다.

증명

1.

부분위상공간의 정의로 모든 $O_Y\in \mathcal{T}|_Y$는 $O\cap Y = O_Y$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하여

$O_Y = O\cap Y \subseteq Y$이고 아래 위상공간의 성질을 만족하므로 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$는 위상공간이다.

1.

위상공간의 성질로 $X\in \mathcal{T}$이고 부분위상공간의 정의로 $Y\subseteq X$이므로 집합 정리로 $Y = X\cap Y\in \mathcal{T}|_Y$이다.

2.

위상공간의 성질로 $\emptyset\in \mathcal{T}$이므로 집합 정리로 $\emptyset = \emptyset\cap Y \in \mathcal{T}|_Y$이다.

3.

임의의 $\mathcal{F}_Y \subseteq \mathcal{T}|_Y$에 대해 집합 $\mathcal{F} = \{ O\in \mathcal{T} : O\cap Y \in \mathcal{F}_Y\}$는 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간의 성질로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{T}$이다.

모든 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_Y$는 합집합의 정의로 $x\in O_Y$인 $O_Y\in \mathcal{F}_Y$가 존재하여

부분위상공간의 정의로 $O\cap Y = O_Y$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하므로 $O\in \mathcal{F}$이고 $x\in O_Y = O\cap Y $임에 따라

$x\in O\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이고 $x\in Y$이므로 $x\in \displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F} \right ) \cap Y$가 되어 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}_Y \subseteq \left(\bigcup \mathcal{F} \right)\cap Y$이다.

임의의 $\displaystyle x\in \left(\bigcup \mathcal{F} \right)\cap Y$는 $\displaystyle x\in \bigcup \mathcal{F}$이므로 $x\in O$인 $O\in \mathcal{F}$가 존재하여

$O\cap Y \in\mathcal{F}_Y$임에 따라 $x\in O\cap Y \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_Y$이고 $\displaystyle \left(\bigcup \mathcal{F} \right)\cap Y \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}_Y$이므로

집합 정리로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F}_Y =\left(\bigcup \mathcal{F} \right)\cap Y\in \mathcal{T}|_Y$이다.

4.

모든 $O_Y, P_Y \in \mathcal{T}|_Y$는 부분위상공간의 정의로 $O\cap Y = O_Y$이고 $P\cap Y = P_Y$인 $O,P\in \mathcal{T}$가 존재하여

위상공간의 성질로 $O\cap P\in \mathcal{T}$이므로 집합 정리로

$O_Y\cap P_Y = (O\cap Y) \cap (P\cap Y) = (O\cap P) \cap (Y\cap Y) = (O\cap P) \cap Y\in \mathcal{T}|_Y$이다.

2.

부분위상공간의 정의로 모든 $O_X \in \mathcal{T}|_X$는 $O_X = O\cap X$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하여

위상공간의 정의로 $O\subseteq X$이므로 집합 정리로 $O_X = O\cap X = O\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{T}|_X\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $O\in \mathcal{T}$는 $O\subseteq X$이므로 집합 정리로 $O = O\cap X\in \mathcal{T}|_X$가 되어 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{T}|_X$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}|_X =\mathcal{T}$이다.

3.

부분위상공간의 정의로 모든 $O_Z\in (\mathcal{T}|_Y)|_Z$는 $O_Z = O_Y\cap Z$인 $O_Y\in \mathcal{T}|_Y$가 존재하여

$O_Y = O\cap Y$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하므로 $Z\subseteq Y$임에 따라

집합 정리로 $O_Z = O_Y\cap Z = (O\cap Y)\cap Z = O\cap (Y\cap Z) = O\cap Z\in \mathcal{T}|_Z$이고 $(\mathcal{T}|_Y)|_Z\subseteq \mathcal{T}|_Z$이다.

부분위상공간의 정의로 모든 $O_Z\in \mathcal{T}|_Z$는 $O_Z= O\cap Z$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하여 $O\cap Y\in \mathcal{T}|_Y$이고 

$Z\subseteq Y$임에 따라 집합 정리로 $O_Z = O\cap Z = O\cap (Y\cap Z) = (O\cap Y)\cap Z\in (\mathcal{T}|_Y)|_Z$이므로

$\mathcal{T}|_Z\subseteq (\mathcal{T}|_Y)|_Z$가 되어 집합 정리로 $(\mathcal{T}|_Y)|_Z = \mathcal{T}|_Z$이다.

 

 

 

정리15

위상공간 $(X,\mathcal{T})$의 부분위상공간 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$와 임의의 $E\subseteq Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $E = O\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 존재하는 것이다.

2. $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $E = C\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$가 존재하는 것이다.

3. 임의의 $y\in Y$에 대해 $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이기 위한 필요충분조건은

$E = V\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V$가 존재하는 것이다.

4. $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$에 대해 집합 $\mathcal{B}|_Y = \{ B\cap Y : B\in \mathcal{B}\}$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 기저이다.

5. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\cap Y \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E)$

6. $Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\cap Y =\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E)$이다.

7. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)\cap Y =\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{ext}}(E)$

8. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap Y = \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)$

9. $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\partial E}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \cap Y$

10. $Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이면 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\partial E}=\underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \cap Y$이다.

11. $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'}\cap Y = \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{E'}$

증명

1.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이면 

$E\in \mathcal{T}|_Y$이므로 부분위상공간의 정의로 $E = O\cap Y$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하여 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이다.

역으로 $E = O\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 존재하면

$O\in \mathcal{T}$이므로 부분위상공간의 정의로 $E = O\cap Y\in \mathcal{T}|_Y$가 되어 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이다.

2.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 닫힌집합이면

$Y\setminus E\in \mathcal{T}|_Y$이므로 부분위상공간의 정의로 $Y\setminus E = O\cap Y$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하여

$E\subseteq Y\subseteq X$임에 따라 집합 정리로 $E = Y\setminus (Y\setminus E) = Y\setminus (Y\cap O) = Y\cap (X\setminus O)$이고

$O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 위 정리로 $X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이다.

역으로 $E = C\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합 $C$가 존재하면

$X\setminus C$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 1번으로 $Y\cap (X\setminus C)$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이 되어

$E\subseteq Y$이고 집합 정리로 $Y\setminus E = Y\setminus (Y\cap C) = Y\cap (X\setminus C)\in \mathcal{T}|_Y$임에 따라 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 닫힌집합이다.

3.

$E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이면

$y\in E$이고 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이므로 1번으로 $E= O\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 존재하여

$y\in E = O\cap Y \subseteq O$임에 따라 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이다.

역으로 $E = V\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $V$가 존재하면

$V$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $y\in V$와 $y\in Y$가 성립하여 $y\in V\cap Y = E$이므로

1번으로 $E$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합임에 따라 $E$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이다.

4.

모든 $B\in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$에 대해 부분위상공간의 정의로 $B\cap Y\in \mathcal{T}|_Y$이므로 $\mathcal{B}|_Y \subseteq \mathcal{T}|_Y$이다.

집합 $\mathcal{O} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}|_Y\}$에 대해 임의의 $O\in \mathcal{O}$는 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}|_Y$가 존재하여 

$\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}|_Y \subseteq \mathcal{T}|_Y$이므로 위상공간의 성질로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}\in \mathcal{T}|_Y$임에 따라 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}|_Y$이고

임의의 $O\in \mathcal{T}|_Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 열린집합이므로 1번으로 $O = V\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $V$가 존재하여

기저의 정의로 $V = \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$인 $\mathcal{F}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하고 모든 $B\in \mathcal{F}\subseteq \mathcal{B}$에 대해 $B\cap Y\in \mathcal{B}|_Y$임에 따라

집합 정리로 $O = V\cap Y = \displaystyle \left (\bigcup \mathcal{F}\right ) \cap Y = \left( \bigcup_{B\in \mathcal{F}} B\right)\cap Y = \bigcup_{B\in \mathcal{F}} (B\cap Y) \in \mathcal{O}$가 되어 $\mathcal{T}|_Y \subseteq \mathcal{O}$이고

집합 정리로 $\mathcal{T}|_Y=\mathcal{O} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}|_Y\}$이므로 $\mathcal{B}|_Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$의 기저이다.

5.

임의의 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\cap Y$는 

$y\in Y$이고 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이므로 내부점의 정의로 $O\subseteq E$가 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O$가 존재하여

3번으로 $O\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이고 $O\cap Y\subseteq O\subseteq E$임에 따라

내부점의 정의로 $y\in \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E)$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\cap Y \subseteq  \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E)$이다.

6.

임의의 $y\in \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E)\subseteq Y$는

내부점의 정의로 $V\subseteq E$가 되는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방 $V$가 존재하여

3번으로 $V = O\cap Y$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O$가 존재하므로

$Y$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합임에 따라 위 정리로 $V = O\cap Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이 되어

$V = O\cap Y$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이고 내부점의 정의로 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이므로

$y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\cap Y$임에 따라 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\cap Y$이다.

따라서 5번으로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\cap Y \subseteq  \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E)$이므로 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)\cap Y =\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E)$이다.

7.

임의의 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)\cap Y$는 

$y\in Y$이고 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$이므로 외부점의 정의로 $O\cap E = \emptyset$이 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O$가 존재하여

3번으로 $O\cap Y$는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이고

$E\subseteq Y$임에 따라 집합 정리로 $(O\cap Y) \cap E = O\cap (Y\cap E) = O\cap E = \emptyset$이므로

외부점의 정의로 $y\in \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{ext}}(E)$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)\cap Y \subseteq  \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{ext}}(E)$이다.

임의의 $y\in \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{ext}}(E)\subseteq Y$는 

외부점의 정의로 $V \cap E = \emptyset$이 되는 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방 $V$가 존재하여

3번으로 $V= O\cap Y$가 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O$가 존재하고

$E\subseteq Y$임에 따라 집합 정리로 $O \cap E = O\cap (Y\cap E) = (O\cap Y)\cap E = V\cap E = \emptyset$이므로

외부점의 정의로 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$가 되어 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)\cap Y$이고 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{ext}}(E)\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)\cap Y$임에 따라

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)\cap Y =\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{ext}}(E)$이다.

8.

임의의 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap Y$에 대해

모든 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방 $V$는 3번으로 $V= O\cap Y$가 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O$가 존재하여

$y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이고 $E\subseteq Y$임에 따라

밀착점의 정의와 집합 정리로 $V\cap E=(O\cap Y)\cap E = O\cap (Y\cap E) =O\cap E\ne \emptyset$이므로 

밀착점의 정의로 $y\in \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap Y \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)$이다.

임의의 $y\in \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)\subseteq Y$에 대해

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O$는 3번으로 $O\cap Y$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이고

$E\subseteq Y$임에 따라 밀착점의 정의와 집합 정리로 $O\cap E = O\cap (Y\cap E) = (O\cap Y)\cap E \ne \emptyset$이 되어

밀착점의 정의로 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이고 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap Y$이므로 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap Y$임에 따라

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap Y = \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E)$이다.

9.

위 정리와 5, 8번과 집합 정리와 집합 정리로

$\begin{align*} \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\partial E} & = \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em] & = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \cap Y) \setminus \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E) \\[0.5em] & \subseteq (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \cap Y) \setminus (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap Y ) = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) ) \cap Y = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \cap Y \text{ 이다.}\end{align*}$

10.

위 정리와 6, 8번과 집합 정리로

$\begin{align*} \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\partial E} & = \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{\operatorname{int}}(E) =(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \cap Y) \setminus (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \cap Y ) = (\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) ) \cap Y = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E} \cap Y \text{ 이다.}\end{align*}$

11.

임의의 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}\cap Y$에 대해

모든 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방 $V$는 3번으로 $V= O\cap Y$가 되는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O$가 존재하여

$y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$임에 따라 집적점의 정의로 $z\in O$이고 $y\ne z$인 $z\in E\subseteq Y$가 존재하고 $z\in O\cap Y = V$이므로

$y\in \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{E'}$가 되어 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'}\cap Y \subseteq \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{E'}$이다.

임의의 $y\in \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{E'} \subseteq Y$에 대해

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방 $O$는 3번으로 $O\cap Y$가 $(Y,\mathcal{T}|_Y)$에서 $y$의 열린근방이고

$E\subseteq Y$이므로 집적점의 정의로 $z\in O\cap Y$이고 $y\ne z$인 $z\in E$가 존재하여 $z\in O\cap Y\subseteq O$임에 따라

집적점의 정의로 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이고 $y\in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}\cap Y$이므로 $\underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{E'}\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}\cap Y$이고 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'}\cap Y = \underset{(Y,\mathcal{T}|_Y)}{E'}$이다.

 

 

 

정리16

거리공간 $(X,d)$의 부분거리공간 $(Y,d)$에 대해 

$(X,d)$의 거리위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 $(Y,d)$의 거리위상공간이 $(Y,\mathcal{T}_Y)$이면

$Y$로의 $\mathcal{T}$의 축소위상은 $\mathcal{T}|_Y = \{ O\cap Y : O\in \mathcal{T}\} = \mathcal{T}_Y$이다.

증명

임의의 $O_Y\in \mathcal{T}_Y$는 거리위상공간의 정의로 $(Y,d)$에서 열린공들의 합집합이므로 

$O_Y$는 $(Y,d)$에서 열린집합이 되어 부분거리공간 정리로 $O\cap Y = O_Y$인 $(X,d)$에서 열린집합 $O$가 존재하고

거리공간의 열린집합의 정의와 거리위상공간의 정의로 $O\in \mathcal{T}$임에 따라 $O_Y=O\cap Y\in \mathcal{T}|_Y$이므로 $\mathcal{T}_Y \subseteq \mathcal{T}|_Y$이다.

임의의 $O_Y\in \mathcal{T}|_Y$는 $O\cap Y = O_Y$인 $O\in \mathcal{T}$가 존재하여

거리위상공간의 정의로 $O$는 $(X,d)$에서 열린공들의 합집합이므로 $O$는 $(X,d)$에서 열린집합이고

부분거리공간 정리로 $O\cap Y = O_Y$가 $(Y,d)$에서 열린집합임에 따라

거리공간의 열린집합의 정의와 거리위상공간의 정의로 $O_Y\in \mathcal{T}_Y$이므로 $\mathcal{T}|_Y \subseteq \mathcal{T}_Y$가 되어

집합 정리로 $\mathcal{T}|_Y = \mathcal{T}_Y$이다.

 

 

 

정리17

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 부분집합 $E\subseteq X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $E$가 $(X,d)$에서 열린집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합인 것이다.

2. $E$가 $(X,d)$에서 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합인 것이다.

3. 임의의 $x\in X$와 임의의 $r\in $ $(0,\infty)$에 대해 $(X,d)$에서 열린공 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

4. $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$

5. $\underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$

6. $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$

7. $\underset{(X,d)}{\partial E} = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$

8. $\underset{(X,d)}{E'} = \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$

증명

1.

거리공간의 열린집합의 정의와 거리위상공간의 정의로 성립한다.

2.

1번과 거리공간의 닫힌집합의 정의와 위상공간의 닫힌집합의 정의로 성립한다.

3.

열린공 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)$은 $(X,d)$에서 열린집합이므로 1번으로 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고

거리공간의 정의로 $d(x,x) = 0<r$이므로 열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$가 되어

$\underset{(X,d)}{B}(x,r)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이다.

4.

거리공간의 내부점의 정의로 임의의 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$는 $\underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq E$가 되는 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

3번으로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)$은 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방이므로

위상공간의 내부점의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$임에 따라 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이다.

위상공간의 내부점의 정의로 임의의 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$는 $V\subseteq E$인 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$가 존재하여

$x\in V$이고 1번으로 $V$는 $(X,d)$에서 열린집합이므로

열린공 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq V\subseteq E$인 $r\in (0,\infty)$이 존재함에 따라 거리공간의 내부점의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$이고

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E)$가 되어 집합 정리로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E)$이다.

5.

거리공간의 외부 정리와 위 정리와 4번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(X\setminus E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$이다.

6.

거리공간의 폐포 정리와 위 정리와 5번으로 $\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E) =X\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{ext}}(E) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이다.

7.

거리공간의 경계 정리와 위 정리와 4, 6번으로 $\underset{(X,d)}{\partial E} =\underset{(X,d)}{\operatorname{cl}}(E)\setminus \underset{(X,d)}{\operatorname{int}}(E) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(E) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\partial E}$이다.

8.

거리공간의 집적점의 정의로

모든 $x\in \underset{(X,d)}{E'}$는 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 $d(x,y) < r$이고 $x\ne y$인 $y\in E$가 존재하여

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 열린공 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r_V)\subseteq V$인 $r_V\in (0,\infty)$가 존재하므로

$d(x,y_V) < r_V$이고 $x\ne y_V$인 $y_V\in E$가 존재함에 따라 $y_V\in \underset{(X,d)}{B}(x,r_V) \subseteq V$이고

위상공간의 집적점의 정의로 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$가 되어 $\underset{(X,d)}{E'} \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이다.

위상공간의 집적점의 정의로

임의의 $x\in \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$는 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $y\in V$이고 $x\ne y$인 $y\in E$가 존재하여

3번으로 모든 $r\in (0,\infty)$에 대해 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라

$y_r \in \underset{(X,d)}{B}(x,r)$이고 $x\ne y_r$인 $y_r\in E$이 존재하므로 열린공의 정의로 $d(x,y_r) < r$이 되어

거리공간의 집적점의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{E'}$이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{E'} \subseteq \underset{(X,d)}{E'}$이므로 집합 정리로 $\underset{(X,d)}{E'} = \underset{(X,\mathcal{T})}{E'}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/100#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/100#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808