위상공간의 분리가능성(Separability)

정의1

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 임의의 부분집합이 $E\subseteq X$일때

조밀집합 :

$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 폐포가 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = X$이면 

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다(dense)고 정의하고 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합으로 정의한다.

조밀한 곳이 없는 집합 :

$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 폐포 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$의 내부가 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \emptyset$이면

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없다(nowhere dense)고 정의한다.

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \ne \emptyset$이면 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 존재한다(somewhere dense)고 정의한다.

 

 

 

정리1

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 부분집합 $E\subseteq X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다.

2. 공집합이 아닌 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $E\cap O \ne \emptyset$이다.

3. $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$ $= \emptyset = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)$

증명

$1\to 2$

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀할때 $E\cap O = \emptyset$이고 공집합이 아닌 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 존재한다고 가정하면

위상공간 정리로 $X\setminus O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이고 집합 정리로 $E\subseteq X\setminus O$이므로

조밀집합의 정의와 폐포 정리로 $X\setminus O\subseteq X =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\subseteq X\setminus O$가 되어 $X\setminus O = X = X\setminus \emptyset$인데

집합 정리로 $O =\emptyset$이므로 모순임에 따라

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하면 공집합이 아닌 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $E\cap O \ne \emptyset$이다.

$2\to 3$

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$이므로

공집합이 아닌 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $E\cap O \ne \emptyset$일때 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \ne \emptyset$이라고 가정하면

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E)$는 공집합이 아닌 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \subseteq X\setminus E$인데

$\emptyset \ne E\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) \subseteq E\cap (X\setminus E) = \emptyset$이므로 모순이 되어 

공집합이 아닌 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $E\cap O \ne \emptyset$이면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(E)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) =\emptyset$이다.

$3\to 1$

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) = \emptyset$일때 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하지 않다고 가정하면

조밀집합의 정의로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \ne X$이고 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로

$X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 공집합이 아닌 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합인데

폐포 정리로 $E\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$임에 따라 집합 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq X\setminus E$이고

내부 정리로 $\emptyset \ne X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) =\emptyset$이 되어 모순이므로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus E) = \emptyset$이면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다.

 

 

 

정리2

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 부분집합 $E\subseteq X$와 공집합 $\emptyset$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없다.

2. $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다.

3. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없으면 모든 $A\subseteq E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없다.

4. $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 $A\subseteq E$가 존재하면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다.

5. $X\ne \emptyset$일때 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없으면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하지 않다.

증명

1.

위상공간 정리로 $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이고 닫힌집합이므로

폐포 정리와 내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\emptyset)) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\emptyset)= \emptyset$이 되어 $\emptyset$은 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없다.

2.

위상공간 정리로 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 닫힌집합이므로 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X) = X$가 되어 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다.

3.

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없으면 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \emptyset$이므로 폐포 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$이고

내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A)) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \emptyset$임에 따라 집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A))= \emptyset$이 되어

$A$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없다.

4.

$(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 $A\subseteq E$가 존재하면 폐포 정리와 폐포의 정의로 $X = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(A) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq X$이므로

집합 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) =X$가 되어 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다.

5.

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없을때 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다고 가정하면

위상공간 정리로 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로

조밀집합의 정의와 내부 정리로 $ X= \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X)=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \emptyset$인데 $X \ne \emptyset$이므로 모순이 되어

$X\ne \emptyset$일때 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없으면 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하지 않다.

 

 

 

정리3

위상공간 $(X,\mathcal{T})$와 임의의 부분집합 $E\subseteq X$에 대해 다음은 동치이다.

1. $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없다.

2. 공집합이 아닌 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$ $\cap\; O \ne O$이다.

3. 공집합이 아닌 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))\cap O \ne \emptyset$이다.

4. $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다.

5. $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \emptyset$

6. $E\subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) $

증명

$1\to 2$

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없을때 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap O = O$이고 공집합이 아닌 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$가 존재하면

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \emptyset$이고 내부 정리로 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(O) = O$이므로 내부 정리로

$O = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(O) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap O) =\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(O) = \emptyset \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(O) = \emptyset$이 되어 모순임에 따라

$E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없으면 공집합이 아닌 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap O \ne O$이다.

$2\to 3$

공집합이 아닌 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$에 대해 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)\cap O \ne O$이므로

$O \setminus (O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) \ne \emptyset$이 되어 집합 정리로 $\emptyset \ne O \setminus (O\cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = O \cap (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이다.

$3\to 4$

위 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다.

$4\to 5$

조밀집합의 정의와 집합 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = X\setminus X = \emptyset$이다.

$5\to 6$

집합 정리로 $X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = \emptyset = X\setminus X$이므로 집합 정리로 $E\subseteq X = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) $이다.

$6\to 1$

폐포 정리와 내부 정리와 집합 정리로

$\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}(E)}) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{ext}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(X\setminus (X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))$이고

$ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) = X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) $이므로

$ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) ) \subseteq \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E))) \subseteq X\setminus \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) $가 되어

$ \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) )=\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}( \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) ) \cap \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{int}}(\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)) =\emptyset $임에 따라 $E$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀한 곳이 없다.

 

 

 

정의2

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 가산집합인 $E\subseteq X$가 존재하면

$(X,\mathcal{T})$는 분리가능하다(separable)고 정의하고 $(X,\mathcal{T})$를 분리가능공간 또는 분리가능위상공간으로 정의한다.

 

 

 

정리4

실수체 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$위의 $n\in \mathbb{Z}^+$-순서쌍 벡터공간 $(\mathbb{R}^n,+_n,\cdot_n,\vec{0}_n)$위의 점곱의 노름공간이 $(\mathbb{R}^n,\lVert\cdot\rVert_n)$일때

모든 $x,y\in \mathbb{R}^n$에 대해 $d_n(x,y) = \lVert x-y\rVert_n$인 거리함수 $d_n:\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to [0,\infty)$에 대해

거리공간 $(\mathbb{R}^n,d_n)$의 거리위상공간이 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$이면 다음이 성립한다.

1. 임의의 $E\subseteq \mathbb{R}^n$가 유한집합이면 $E$는 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 조밀한 곳이 없다.

2. 정수집합 $\mathbb{Z}\subseteq \mathbb{R}$에 대해 $\mathbb{Z}^n$은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 조밀한 곳이 없다.

3. $n\ge 2$일때 임의의 $x_0\in \mathbb{R}$에 대해 $\mathbb{R}^{n-1} \times \{ x_0\}$은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 조밀한 곳이 없다.

4. 유리수집합 $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R}$에 대해 $\mathbb{Q}^n$은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 조밀하다.

5. $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$은 분리가능하다.

증명

1.

$E$는 유한집합이므로 위상공간 정리와 도집합 정리와 폐포 정리와 거리공간 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(\underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(E))=\underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(E) \subseteq \underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{E'} = \emptyset$이 되어 집합 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{int}}(\underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(E))= \emptyset$임에 따라

$E$는 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 조밀한 곳이 없다.

2.

$\mathbb{Z}^n$의 수열 $(x_m)$의 임의의 원소가 $x_m =(x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,n})\in \mathbb{Z}^n$이고

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(x_m)$의 극한이 $x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{R}^n$일때 

임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 거리공간 정리로 실수열 $(x_{m,i})$는 $x_i\in \mathbb{R}$로 수렴하므로

$m\ge K_i$인 모든 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $|x_i - x_{m,i}| < \dfrac{1}{2}$이 되는 $K_i\in \mathbb{N}$가 존재하여

$-\dfrac{1}{2}<x_i -x_{m,i}< \dfrac{1}{2}$이고 $x_{m,i} < x_i + \dfrac{1}{2} < x_{m,i} +1$이다.

$x_{m,i}\in \mathbb{Z}$이므로 아르키메데스 성질로 $N_i\le x_i +\dfrac{1}{2}<N_i+1$인 $N_i\in \mathbb{Z}$가 유일하게 존재하여

$m\ge K_i$인 모든 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $x_{m,i} = N_i$이고 꼬리수열 정리와 상수열 정리로 $x_i = N_i \in \mathbb{Z}$임에 따라

$x = (x_1,x_2,\cdots,x_n)\in \mathbb{Z}^n$이므로 거리공간 정리로 $\mathbb{Z}^n$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이다.

위상공간 정리로 공집합이 아닌 모든 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 열린집합 $O$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고

$y\in O$가 존재하여 열린공 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(y, r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로

$\displaystyle \lVert y-z\rVert_n = d_n(y,z) < r$이고 $z\notin \mathbb{Z}^n$인 $z\in \mathbb{R}^n$가 존재함에 따라 $z\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(y, r)\subseteq O$가 되어 

위상공간 정리와 폐포 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(\mathbb{Z}^n)\cap O=\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\mathbb{Z}^n) \cap O = \mathbb{Z}^n \cap O \ne O$이므로

위 정리로 $\mathbb{Z}^n$은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 조밀한 곳이 없다.

3.

$\mathbb{R}^{n-1}\times \{ x_0\}$의 수열 $(x_m)$의 임의의 원소가 $x_m =(x_{m,1},\cdots, x_{m,n-1},x_{m,n})\in \mathbb{R}^{n-1}\times \{x_0\}$이고

$(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 $(x_m)$의 극한이 $x = (x_1,\cdots,x_{n-1},x_n)\in \mathbb{R}^n$일때 

거리공간 정리로 실수열 $(x_{m,n})$은 $x_n\in \mathbb{R}$으로 수렴하고 $(x_{m,n})$의 모든 원소는 $x_{m,n} \in \{ x_0\}$이므로

$x_{m,n}= x_0$이 되어 상수열 정리로 $x_n = x_0$임에 따라 $x = (x_1,\cdots,x_{n-1},x_n)\in \mathbb{R}^{n-1} \times \{ x_0\}$이고

거리공간 정리로 $\mathbb{R}^{n-1}\times \{ x_0\}$은 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 닫힌집합이다.

위상공간 정리로 공집합이 아닌 모든 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 열린집합 $O$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고

$(\mathbb{R}^{n-1}\times \{ x_0\})\cap O = \emptyset$이면 위상공간 정리와 폐포 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(\mathbb{R}^{n-1}\times \{x_0\})\cap O=\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\mathbb{R}^{n-1}\times \{ x_0\}) \cap O = (\mathbb{R}^{n-1}\times \{ x_0\}) \cap O = \emptyset \ne O$이다.

$(\mathbb{R}^{n-1}\times \{ x_0\})\cap O \ne \emptyset$이면 $(y_1,\cdots, y_{n-1},y_n)=y\in (\mathbb{R}^{n-1}\times \{ x_0\})\cap O$가 존재하여 $y_n = x_0$이고

열린공 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(y, r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로

$\begin{align*} \left \lVert (y_1,\cdots, y_{n-1},y_n) - \left (y_1,\cdots,y_{n-1},y_n + \dfrac{r}{2} \right ) \right \rVert_n &= \sqrt{\sum_{i=1}^{n-1} (y_i - y_i)^2 + \left (y_n - y_n - \dfrac{r}{2} \right )^2 } = \sqrt{ \left (\dfrac{r}{2}\right)^2 } = \left | \dfrac{r}{2} \right | = \dfrac{r}{2} < r\text{ 이고} \end{align*}$

열린공의 정의로 $(y_1,\cdots, y_{n-1},y_n +\frac{r}{2})\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(y, r)\subseteq O$와 $y_n +\dfrac{r}{2}\ne y_n = x_0$이 성립함에 따라 

$(y_1,\cdots, y_{n-1},y_n +\frac{r}{2})\notin \mathbb{R}^{n-1}\times \{x_0\}$이므로 위상공간 정리와 폐포 정리로

$\underset{(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)}{\operatorname{cl}}(\mathbb{R}^{n-1}\times \{x_0\})\cap O=\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{\operatorname{cl}}(\mathbb{R}^{n-1}\times \{ x_0\}) \cap O = (\mathbb{R}^{n-1}\times \{ x_0\}) \cap O \ne O$가 되어

위 정리로 $\mathbb{R}^{n-1}\times \{x_0\}$은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 조밀한 곳이 없다.

4.

위상공간 정리로 공집합이 아닌 모든 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 열린집합 $O$는 $(\mathbb{R}^n,d_n)$에서 열린집합이고

$x = (x_1,x_2,\cdots, x_n) \in O$가 존재하여 열린공 정리로 $\underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x, r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로

$r_n = \dfrac{r}{\sqrt{n}} > 0$과 임의의 $i= 1,2,\cdots, n$에 대해 

$-r_n+x_i < 0+ x_i < r_n +x_i$임에 따라 조밀성으로 $-r_n+x_i < y_i < r_n+x_i$인 $y_i\in \mathbb{Q}$가 존재하고

절댓값 정리와 부등식 정리로 $(x_i-y_i)^2 = |x_i - y_i|^2 < r^2_n$이므로 $y = (y_1,y_2,\cdots, y_n)\in \mathbb{Q}^n$에 대해 

$\begin{align*}d_n(x,y) = \lVert x-y\rVert_n = \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2} < \sqrt{\sum_{i=1}^n r^2_n} = \sqrt{n\cdot r^2_n} = \sqrt{n}\cdot r_n = \sqrt{n}\cdot \dfrac{r}{\sqrt{n}} = r  \end{align*}$이 되어

열린공의 정의로 $y\in \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x, r)\subseteq O$이고 $y\in \mathbb{Q}^n\cap \underset{(\mathbb{R}^n,d_n)}{B}(x,r) \subseteq \mathbb{Q}^n\cap O$임에 따라

$\mathbb{Q}^n\cap O \ne \emptyset$이므로 위 정리로 $\mathbb{Q}^n$은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 조밀하다.

5.

기수 정리와 집합의 크기 정리로 $\mathbb{Q}^n$은 가산이고 4번으로 $\mathbb{Q}^n$은 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$에서 조밀하므로

$\mathbb{Q}^n \subseteq \mathbb{R}^n$임에 따라 $(\mathbb{R}^n,\mathcal{T}_n)$은 분리가능하다.

 

 

 

정리5

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$와 $F$의 수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 대해

$F$의 수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=n_0}^n|x_k| \right)_{n=n_0}^\infty$이 수렴하면 $F$의 수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=n_0}^nx_k \right)_{n=n_0}^\infty$이 수렴한다.

증명

수열 정리로 $\displaystyle \left ( \sum_{k=n_0}^n|x_k| \right)_{n=n_0}^\infty$은 코시수열이므로

모든 실수 $\epsilon>0$에 대해 $m > n\ge H(\epsilon)\ge n_0$인 모든 $m,n\in \mathbb{N}$이 

$\displaystyle ||x_{n+1}| + |x_{n+2}| + \cdots +|x_m||=\left | \sum_{k=n_0}^m|x_k|  - \sum_{k=n_0}^n|x_k|\right |  < \epsilon$이 되는 $H(\epsilon)\in \mathbb{N}$이 존재하여

절댓값 정리와 절댓값의 정의로

$\displaystyle \left | \sum_{k=n_0}^mx_k - \sum_{k=n_0}^nx_k\right |  = |x_{n+1} + x_{n+2}+\cdots +x_m| \le |x_{n+1}| +|x_{n+2}| + \cdots +|x_m| = ||x_{n+1}| + |x_{n+2}| + \cdots +|x_m|| < \epsilon \text{ 임에 따라}$

$\displaystyle \left ( \sum_{k=n_0}^nx_k \right)_{n=n_0}^\infty$은 코시수열이고 수열 정리로 $\displaystyle \left ( \sum_{k=n_0}^nx_k \right)_{n=n_0}^\infty$은 수렴한다.

 

 

 

정리6

실수체 또는 복소수체 $(F,+,\cdot,0,1)$에 대해 정의역이 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$인 $F$의 수열집합의 부분집합 $H$가

$\displaystyle H = \left \{ (x_n)_{n=1}^\infty \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}^+\times F) : \text{수열}\left (\sum_{k=1}^n |x_k|^2 \right)_{n=1}^\infty \text{이 수렴하는 수열 }(x_n)_{n=1}^\infty \right \}$로 정의될때

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in H$과 임의의 $c\in F$에 대해 다음이 성립한다.

1. $H$의 덧셈과 스칼라곱이 $(x_n)_{n=1}^\infty+_H(y_n)_{n=1}^\infty = (x_n+y_n)_{n=1}^\infty$과 $c\cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty = (c\cdot x_n)_{n=1}^\infty$으로 정의되고

$H$의 영벡터가 $(0)_{n=1}^\infty$으로 정의되면 $(H,+_H,\cdot_H,(0)_{n=1}^\infty)$은 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이다.

2. $(x_n)_{n=1}^\infty$의 켤레복소수열은 $(\overline{x_n})_{n=1}^\infty\in H$이다.

3. $H$의 내적이 $\displaystyle \langle (x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\rangle = \lim_{n\to\infty} \left ( \sum_{k=1}^n x_k\cdot \overline{y_k}\right ) = \sum_{k=1}^\infty x_k\cdot \overline{y_k}$로 정의되면

$(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$은 $(H,+_H,\cdot_H,(0)_{n=1}^\infty)$위의 내적공간이다.

4. $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$의 노름 $\lVert \cdot \rVert :H\to [0,\infty)$에 대해 거리함수 $d: H\times H \to [0,\infty)$가

$\displaystyle d((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty)= \lVert (x_n)_{n=1}^\infty -(y_n)_{n=1}^\infty \rVert$로 정의되면 $(H,d)$는 거리공간이다.

5. $(H,d)$의 거리위상공간 $(H,\mathcal{T})$는 분리가능하다.

증명

1.

$\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k|^2\right)_{n=1}^\infty$은 수렴하므로

임의의 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 절댓값 정리로 $\displaystyle \sum_{k=1}^n |c\cdot x_k|^2 = \sum_{k=1}^n (|c|\cdot |x_k|)^2 = \sum_{k=1}^n|c|^2\cdot |x_k|^2 = |c|^2 \cdot \sum_{k=1}^n|x_k|^2$임에 따라

수열 정리로 $\displaystyle \left( \sum_{k=1}^n|c\cdot x_k|^2 \right)_{n=1}^\infty$이 수렴하여 $c\cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty = (c\cdot x_n)_{n=1}^\infty\in H$이다.

$\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k|^2\right)_{n=1}^\infty , \left ( \sum_{k=1}^n|y_k|^2\right )_{n=1}^\infty$은 수렴하고 절댓값 정리로 실수열이므로

실수열 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle  \sum_{k=1}^n |x_k|^2 \le M$이고 $\displaystyle  \sum_{k=1}^n |y_k|^2 \le N$인 실수 $M,N > 0$이 존재하여

절댓값 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0\le |x_k+y_k|^2 \le (|x_k| + |y_k|)^2 = |x_k|^2 + 2\cdot |x_k\cdot y_k| + |y_k|^2$이고

휠더부등식으로 

$\begin{align*}\sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^2 &\le \sum_{k=1}^n (|x_k|^2 + 2\cdot |x_k\cdot y_k| + |y_k|^2) = \sum_{k=1}^n |x_k|^2 + 2\cdot \sum_{k=1}^n|x_k\cdot y_k| + \sum_{k=1}^n |y_k|^2 \\[0.5em] & \le M + 2\cdot \left ( \sum_{k=1}^n|x_k|^2 \right )^\frac{1}{2}\cdot \left (\sum_{k=1}^n |y_k|^2\right )^\frac{1}{2} + N \\[0.5em] & \le M + 2\cdot M^\frac{1}{2}\cdot N^\frac{1}{2} + N \text{ 임에 따라} \end{align*}$

실수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k +y_k|^2\right)_{n=1}^\infty $은 유계이므로

급수열 정리로 $\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k +y_k|^2\right)_{n=1}^\infty$은 수렴하여 $(x_n)_{n=1}^\infty+_H(y_n)_{n=1}^\infty = (x_n+y_n)_{n=1}^\infty\in H$이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^n |0|^2 = \sum_{k=1}^n 0 = 0$이므로 수열 정리로 $\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |0|^2\right)_{n=1}^\infty $은 수렴하여 $(0)_{n=1}^\infty\in H$이다.

따라서 임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty\in H$과 임의의 $a,b,c\in F$에 대해

1. $(x_n)_{n=1}^\infty+_H (y_n)_{n=1}^\infty=(x_n+y_n)_{n=1}^\infty = (y_n+x_n)_{n=1}^\infty = (y_n)_{n=1}^\infty+_H (x_n)_{n=1}^\infty$

2.

$((x_n)_{n=1}^\infty+_H (y_n)_{n=1}^\infty) +_H(z_n)_{n=1}^\infty = ((x_n+y_n)+z_n)_{n=1}^\infty = (x_n+(y_n+z_n))_{n=1}^\infty = (x_n)_{n=1}^\infty+_H ((y_n)_{n=1}^\infty+_H (z_n)_{n=1}^\infty)$

3. $(x_n)_{n=1}^\infty +_H(0)_{n=1}^\infty = (x_n +0)_{n=1}^\infty =(x_n)_{n=1}^\infty$

4. $(x_n)_{n=1}^\infty +_H (-x_n)_{n=1}^\infty = (x_n - x_n)_{n=1}^\infty = (0)_{n=1}^\infty$

5. $1\cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty = (1\cdot x_n)_{n=1}^\infty = (x_n)_{n=1}^\infty$

6. $(a\cdot b) \cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty = ((a\cdot b) \cdot x_n)_{n=1}^\infty = (a\cdot (b\cdot x_n))_{n=1}^\infty = a\cdot_H (b\cdot x_n)_{n=1}^\infty = a\cdot_H (b\cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty)$

7. $c\cdot_H ((x_n)_{n=1}^\infty +_H (y_n)_{n=1}^\infty) = c\cdot_H (x_n +y_n)_{n=1}^\infty = (c\cdot x_n + c\cdot y_n)_{n=1}^\infty = c\cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty+_H c\cdot_H (y_n)_{n=1}^\infty$

8. $(a+b)\cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty = ((a+b)\cdot x_n)_{n=1}^\infty = (a\cdot x_n + b\cdot x_n)_{n=1}^\infty = a\cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty +_H b\cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty$

위와 같이 벡터공간의 성질을 모두 만족하므로 $(H,+_H,\cdot_H,(0)_{n=1}^\infty)$은 $(F,+,\cdot,0,1)$위의 벡터공간이다.

2.

$\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k|^2\right)_{n=1}^\infty$은 수렴하고 절댓값 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^n |x_k|^2 = \sum_{k=1}^n|\overline{x_k}|^2$이므로

$\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |\overline{x_k}|^2\right)_{n=1}^\infty$이 수렴함에 따라 $(\overline{x_n})_{n=1}^\infty\in H$이다.

3.

$\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k|^2\right)_{n=1}^\infty , \left ( \sum_{k=1}^n|y_k|^2\right )_{n=1}^\infty$은 수렴하고 절댓값 정리로 실수열이므로

실수열 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \sum_{k=1}^n |x_k|^2 \le M$이고 $\displaystyle \sum_{k=1}^n |y_k|^2 \le N$인 실수 $M,N > 0$이 존재하여

절댓값 정리로 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0\le |x_k\cdot y_k| = |x_k|\cdot |y_k| = |x_k|\cdot |\overline{y_k}| = |x_k\cdot \overline{y_k}|$이고

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 휠더부등식으로 

$\begin{align*} \sum_{k=1}^n |x_k\cdot \overline{y_k}|= \sum_{k=1}^n |x_k\cdot y_k| \le \left (\sum_{k=1}^n|x_k|^2\right)^\frac{1}{2} \cdot \left (\sum_{k=1}^n|y_k|^2\right)^\frac{1}{2} \le M^\frac{1}{2}\cdot N^\frac{1}{2}  \end{align*}$임에 따라

실수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k \cdot \overline{y_k}|\right)_{n=1}^\infty $은 유계이므로 급수열 정리로 $\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k \cdot \overline{y_k}|\right)_{n=1}^\infty $은 수렴하여 

위 정리로 $\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n x_k \cdot \overline{y_k}\right)_{n=1}^\infty $은 수렴하고 $\displaystyle \langle (x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\rangle = \lim_{n\to\infty} \left ( \sum_{k=1}^n x_k\cdot \overline{y_k}\right ) = \sum_{k=1}^\infty x_k\cdot \overline{y_k}$가 존재한다.

따라서 아래 내적공간의 성질을 모두 만족하므로 $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$은 $(H,+_H,\cdot_H,(0)_{n=1}^\infty)$위의 내적공간이다.

1.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty\in H$에 대해 수열 정리로

$\begin{align*}\langle (x_n)_{n=1}^\infty+_H(y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty\rangle &=\langle (x_n+y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty \rangle \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty (x_k+y_k)\cdot \overline{z_k} \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty (x_k\cdot \overline{z_k} + y_k\cdot \overline{z_k}) \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty x_k\cdot \overline{z_k} + \sum_{k=1}^\infty y_k\cdot \overline{z_k} \\[0.5em] & = \langle(x_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty \rangle + \langle (y_n)_{n=1}^\infty,(z_n)_{n=1}^\infty\rangle \text{ 이다.}\end{align*}$ 

2.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in H$과 임의의 $c\in F$에 대해 수열 정리로

$\begin{align*}\langle c\cdot_H (x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\rangle &=\langle (c\cdot x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty \rangle \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty (c\cdot x_k)\cdot \overline{y_k} \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty c\cdot (x_k\cdot \overline{y_k} ) \\[0.5em] & = c\cdot \sum_{k=1}^\infty x_k\cdot \overline{y_k}  \\[0.5em] & = c\cdot \langle(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty \rangle \text{ 이다.} \end{align*}$ 

3.

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in H$에 대해 수열 정리와 복소수 정리로

$\begin{align*} \overline{\langle (x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\rangle} & = \overline{\sum_{k=1}^\infty x_k\cdot \overline{y_k}} \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty \overline{x_k\cdot \overline{y_k}} \\[0.5em] & = \sum_{k=1}^\infty \overline{x_k}\cdot y_k  \\[0.5em]& = \sum_{k=1}^\infty y_k\cdot \overline{x_k} \\[0.5em] & = \langle(y_n)_{n=1}^\infty,(x_n)_{n=1}^\infty \rangle \text{ 이다.} \end{align*}$ 

4.

$(0)_{n=1}^\infty \ne (x_n)_{n=1}^\infty$인 임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty\in H$에 대해

$x_{m}\ne 0$인 $m\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 절댓값 정리로 $|x_{m}| > 0$이고 $\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k|^2\right)_{n=1}^\infty$은 수렴하는 실수열이므로

절댓값 정리로 $n\ge m$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle 0 <|x_m|^2 \le\sum_{k=1}^n |x_k|^2 = \sum_{k=1}^n x_k\cdot \overline{x_k}$가 되어

꼬리수열 정리와 실수열 정리로 $\displaystyle 0 <|x_m|^2 \le\sum_{k=1}^\infty |x_k|^2 = \sum_{k=1}^\infty x_k\cdot \overline{x_k} = \langle (x_n)_{n=1}^\infty ,(x_n)_{n=1}^\infty \rangle$이다.

4.

3번으로 $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$은 $(H,+_H,\cdot_H,(0)_{n=1}^\infty)$위의 내적공간이므로

내적공간 정리로 $(H,\lVert\cdot \rVert)$는 $(H,+_H,\cdot_H,(0)_{n=1}^\infty)$위의 노름공간이 되어 노름공간 정리로 $(H,d)$는 거리공간이다.

5.

$F\in \{ \mathbb{R},\mathbb{C}\}$이고 유리수집합 $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$에 대해 

집합 $Q = \{ a+i\cdot b :  a,b\in \mathbb{Q} \}$는 복소수집합의 정의와 집합의 크기 정리로 $|Q| = |\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}| = |\mathbb{Q}|$이므로

임의의 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해

집합 $C_m = \{ (x_n)_{n=1}^\infty\in H : \text{모든 } k\in \mathbb{Z}^+ \text{에 대해 } k\le m\text{이면 } x_k\in Q \text{이고 } m<k \text{이면 } x_k = 0\}$를 정의하고

$Q$의 $m$-데카르트곱 $Q^m$과 임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty\in C_m$에 대해 

$f((x_n)_{n=1}^\infty) = (x_1,x_2,\cdots,x_m)\in Q^m$인 함수 $f: C_m\to Q^m$를 정의할때

임의의 $(x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty\in C_m$에 대해 $(x_1,x_2,\cdots,x_m)=f((x_n)_{n=1}^\infty) = f((y_n)_{n=1}^\infty) = (y_1,y_2,\cdots,y_m)$이면

모든 $k\in \mathbb{Z}^+$가 $k\le m$일때 $m$-순서쌍의 상등으로 $x_k = y_k$이고 $m<k$일때 $x_k = 0 = y_k$이므로

함수의 상등으로 $(x_n)_{n=1}^\infty = (y_n)_{n=1}^\infty$이고 $f$는 단사가 되어

집합의 크기 정리와 집합의 크기 정리와 집합의 크기 정리로 $C_m$이 가산집합임에 따라

가산집합 정리로 $C= \displaystyle \bigcup_{m=1}^\infty C_m$는 가산집합이다.

위상공간 정리로 공집합이 아닌 모든 $(H,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$는 $(H,d)$에서 열린집합이고

$(x_n)_{n=1}^\infty \in O$가 존재하여 열린공 정리로 $\underset{(H,d)}{B}((x_n)_{n=1}^\infty, r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하므로

$\displaystyle \left ( \sum_{k=1}^n |x_k|^2\right)_{n=1}^\infty$이 수렴하고 절댓값 정리로 실수열임에 따라

급수 정리로 $m> n \ge N$인 모든 $m, n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\displaystyle \left | \sum_{k=1}^m |x_k|^2 - \sum_{k=1}^n |x_k|^2 \right| = ||x_{n+1}|^2 +|x_{n+2}|^2 +\cdots +|x_m|^2 | < \dfrac{r^2}{4}$가 되는 $N\in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$\displaystyle \sum_{k=N+1}^m |x_k|^2 = |x_{N+1}|^2+|x_{N+2}|^2 + \cdots + |x_m|^2 = ||x_{N+1}|^2 +|x_{N+2}|^2 +\cdots +|x_m|^2 | < \dfrac{r^2}{4}$이므로

급수 정리로 실수열 $\displaystyle \left ( \sum_{k=N+1}^m |x_k|^2\right)_{m=N+1}^\infty$은 수렴하여 수열 정리로 $\displaystyle \sum_{k=N+1}^\infty |x_k|^2 \le \dfrac{r^2}{4} < \dfrac{r^2}{2}$이다.

임의의 $k = 1,2,\cdots, N$에 대해 실수부와 허수부는 $\operatorname{Re}(x_k),\operatorname{Im}(x_k)\in \mathbb{R}$이므로

조밀성과 선택정리로 $\operatorname{Re}(x_k) - \dfrac{r}{2\cdot \sqrt{2\cdot N}} < a_k < \operatorname{Re}(x_k) + \dfrac{r}{2\cdot \sqrt{2\cdot N}}$인 $a_k\in \mathbb{Q}$를 선택하고

$\operatorname{Im}(x_k) = 0$이면 $b_k = 0$으로

$\operatorname{Im}(x_k) \ne 0$이면 $\operatorname{Im}(x_k) - \dfrac{r}{2\cdot \sqrt{2\cdot N}} < b_k < \operatorname{Im}(x_k) + \dfrac{r}{2\cdot \sqrt{2\cdot N}}$인 $b_k\in \mathbb{Q}$를 선택할때

$|\operatorname{Re}(x_k) - a_k| < \dfrac{r}{2\cdot \sqrt{2\cdot N}}$와 $|\operatorname{Im}(x_k) - b_k| < \dfrac{r}{2\cdot \sqrt{2\cdot N}}$이 성립하므로

$y_k = a_k + i\cdot b_k \in Q$이면 절댓값 정리와 복소수 정리로

$\begin{align*}|x_k - y_k| &\le |\operatorname{Re}(x_k-y_k) | + |\operatorname{Im}(x_k - y_k)| = |\operatorname{Re}(x_k) - \operatorname{Re}(y_k)| + |\operatorname{Im}(x_k) - \operatorname{Im}(y_k)| = |\operatorname{Re}(x_k) - a_k| + |\operatorname{Im}(y_k) - b_k| \\[0.5em] & < \dfrac{r}{2\cdot \sqrt{2\cdot N}} + \dfrac{r}{2\cdot \sqrt{2\cdot N}} = \dfrac{r}{\sqrt{2\cdot N}} \text{이다.} \end{align*}$

$N<k$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $y_k = 0$인 수열 $(y_n)_{n=1}^\infty$을 정의하면

$F = \mathbb{R}$일때 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\operatorname{Im}(x_n) = 0$임에 따라 $\operatorname{Im}(y_n) = 0$이므로 $(y_n)_{n=1}^\infty$은 $F$의 수열이고

꼬리수열 정리와 상수열 정리로 $\displaystyle \sum_{k=1}^\infty |y_k|^2 = \sum_{k=1}^N |y_k|^2$가 되어 $(y_n)_{n=1}^\infty\in H$이므로 $(y_n)_{n=1}^\infty\in C_N \subseteq C$이다.

절댓값 정리와 내적공간의 노름의 정의로

$\begin{align*} d((x_n)_{n=1}^\infty,(y_n)_{n=1}^\infty) &= \lVert (x_n)_{n=1}^\infty -(y_n)_{n=1}^\infty\rVert \\[0.5em] & = \lVert (x_n - y_n)_{n=1}^\infty \rVert \\[0.5em] & = \sqrt{\langle (x_n-y_n)_{n=1}^\infty, (x_n-y_n)_{n=1}^\infty \rangle} \\[0.5em] & = \sqrt{ \sum_{k=1}^\infty (x_k-y_k)\cdot \overline{(x_k-y_k)}} \\[0.5em] & = \sqrt{ \sum_{k=1}^\infty |x_k-y_k|^2} \\[0.5em] & = \sqrt{ \sum_{k=1}^N |x_k-y_k|^2 + \sum_{k=N+1}^\infty |x_k - y_k|^2} \\[0.5em] & = \sqrt{ \sum_{k=1}^N |x_k-y_k|^2 + \sum_{k=N+1}^\infty |x_k|^2} \\[0.5em] & \lt \sqrt{ \sum_{k=1}^N \left (\dfrac{r}{\sqrt{2\cdot N}}\right )^2 + \dfrac{r^2}{2} } = \sqrt{ N\cdot\dfrac{r^2}{2\cdot N} + \dfrac{r^2}{2} } = \sqrt{r^2} = |r| = r \text{ 이 되어 }\end{align*}$

열린공의 정의로 $(y_n)_{n=1}^\infty\in \underset{(H,d)}{B}((x_n)_{n=1}^\infty, r)\subseteq O$임에 따라

$(y_n)_{n=1}^\infty\in C\cap \underset{(H,d)}{B}((x_n)_{n=1}^\infty, r)\subseteq C\cap O$이고 $C\cap O\ne \emptyset$이므로

위 정리로 $C$는 $(H,\mathcal{T})$에서 조밀하여 $(H,\mathcal{T})$는 분리가능하다.

 

 

 

정의3

위상공간이 $(X,\mathcal{T})$일때

국소기저(local basis) :

임의의 $x\in X$에 대해 임의의 $\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$가

모든 $O\in \mathcal{B}_x$에 대해 $x\in O$이고 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 $O_V \subseteq V$인 $O_V\in \mathcal{B}_x$가 존재하면

$\mathcal{B}_x$를 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저라고 정의한다.

제1가산공간(first countable space) :

모든 $x\in X$에 대해 $x$에 대한 어떤 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$가 존재하여 $\mathcal{B}_x$가 가산집합이면 

$(X,\mathcal{T})$를 제1가산공간 또는 제1가산위상공간으로 정의한다.

제2가산공간(second countable space) :

어떤 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하여 $\mathcal{B}$가 가산집합이면

$(X,\mathcal{T})$를 제2가산공간 또는 제2가산위상공간으로 정의한다.

 

 

 

정리7

위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$와 임의의 $x\in X$에 대해 집합 $\mathcal{B}_x = \{ O\in \mathcal{B} : x\in O\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

2. 모든 $x\in X$에 대해 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$가 유일하게 존재할때 합집합 $\displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

3. $(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

증명

1.

$\mathcal{B}_x$의 정의로 모든 $O\in \mathcal{B}_x$는 $x\in O$이다.

기저의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$이고 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는

$(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 $V\in \mathcal{T}$임에 따라 $V = \displaystyle\bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재한다.

$x\in V = \displaystyle\bigcup \mathcal{S}$이므로 합집합의 정의로 $x\in O_V$인 $O_V\in \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}$가 존재하여

$O_V\in \mathcal{B}_x$이고 $O_V \subseteq \displaystyle\bigcup \mathcal{S} = V$임에 따라 $\mathcal{B}_x$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

2.

모든 $x\in X$에 대해 국소기저의 정의로 $\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$이므로 $\displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$이고

$\mathcal{O} = \displaystyle \left \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x \right \}$일때 임의의 $O\in \mathcal{O}$는 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\displaystyle \mathcal{S} \subseteq \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x$가 존재하여

$\displaystyle \mathcal{S} \subseteq \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$임에 따라 위상공간의 정의로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}\in \mathcal{T}$이므로 $ \mathcal{O} \subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $O\in \mathcal{T}$에 대해 집합 $\mathcal{F} = \left \{ B \in \displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x :  B \subseteq O \right \}$는 $\displaystyle \mathcal{F}\subseteq \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x$이므로

모든 $y\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$는 $y\in B$인 $B\in \mathcal{F}$가 존재하여 $y\in B\subseteq O$임에 따라 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \subseteq O$이고

모든 $y\in O$에 대해 $O$는 $(X,\mathcal{T})$에서 $y$의 열린근방이므로

$y$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_y$에 대해 $B \subseteq O$인 $B \in \mathcal{B}_y$가 존재하여 $B \in \mathcal{B}_y \subseteq\displaystyle \bigcup_{x\in X} \mathcal{B}_x$임에 따라 $B\in \mathcal{F}$이고 

합집합의 정의와 국소기저의 정의로 $y\in B \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$이므로 $O \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$임에 따라

집합 정리로 $\displaystyle O = \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{O}$가 되어 $\mathcal{T}\subseteq \mathcal{O}$이고 집합 정리로 $\mathcal{T}=\mathcal{O} = \displaystyle \left \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x \right \}$이므로

$\displaystyle \bigcup_{x\in X}\mathcal{B}_x$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이다.

3.

$(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이므로 가산집합인 어떤 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하여

1번으로 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{B}_x = \{ O\in \mathcal{B} : x\in O\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이고

$\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{B}$이므로 가산집합 정리로 $\mathcal{B}_x$가 가산집합임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

 

 

 

정리8

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이면 $(X,\mathcal{T})$는 분리가능하다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이므로 어떤 $(X,\mathcal{T})$의 기저 $\mathcal{B}$가 존재하여 $\mathcal{B}$는 가산집합이고 $\mathcal{T} = \{ \bigcup\mathcal{S} : \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}$이다.

$\mathcal{B} = \emptyset$이면 $\mathcal{T} = \{ \emptyset\}$이고 위상공간의 정의로 $X\in \mathcal{T} = \{ \emptyset\}$임에 따라 $X = \emptyset$이므로

위 정리로 $X$는 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하고 $X=\emptyset$은 유한집합임에 따라 가산집합이 되어 $(X,\mathcal{T})$는 분리가능하다.

$\mathcal{B} \ne \emptyset$이면 가산집합 정리로 전사함수 $\phi: \mathbb{N}\to \mathcal{B}$가 존재하여

집합 $I = \{ n\in \mathbb{N} : \phi(n)\ne \emptyset \}$의 모든 $i\in I$에 대해 $\phi(i)\ne \emptyset$이므로

선택공리로 모든 $i\in I$에 대해 $f(i) = x_i \in \phi(i)\in \mathcal{B}$인 함수 $f:I\to \displaystyle \bigcup_{i\in I}\phi(i)$가 존재한다.

위상공간 정리로 모든 $i\in I$에 대해 $\phi(i) \in \mathcal{B} \subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i\in I}\phi(i) \in \mathcal{T}$가 되어

집합 $E = \{ f(i) : i\in I \}$는 위상공간의 정의로 $E \subseteq \displaystyle \bigcup_{i\in I}\phi(i) \subseteq X$이다.

모든 $x\in E$는 $x = f(i)$인 $i\in I\subseteq \mathbb{N}$가 존재하여 집합 $\{ n\in \mathbb{N} : x = f(n)\}$은 공집합이 아니므로 

정렬성으로 최소원소에 대해 $g(x) = \min \{ n\in \mathbb{N} : x = f(n)\}$인 함수 $g: E\to \mathbb{N}$를 정의할때

임의의 $x,y\in E$에 대해 $g(x) = g(y)$이면 

$\{ n\in \mathbb{N} : x = f(n)\}\in g(x)$이고 $\{ n\in \mathbb{N} : y = f(n)\}\in g(y)$임에 따라 

$x=f(g(x)) = f(g(y)) =y$가 되어 $g$는 단사이고 집합의 크기 정리와 집합의 크기 정리로 $E$는 가산이다.

공집합이 아닌 모든 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합 $O$는 $O\in \mathcal{T}$이므로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하고

$x\in O$가 존재하여 $x\in S$인 $S\in \mathcal{S} \subseteq \mathcal{B}$가 존재하므로 전사의 정의로 $\phi(n) = S$인 $n\in \mathbb{N}$이 존재하고

$x\in S = \phi(n)$이므로 $\phi(n)\ne \emptyset$임에 따라 $n\in I$이 되어 $f(n)\in \phi(n) = S\subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{S} = O$이고 $f(n)\in E$이므로

$O\cap E\ne \emptyset$가 되어 위 정리로 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀함에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 분리가능하다.

 

 

 

정리9

임의의 집합 $X$에 대한 자명위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

3. $(X,\mathcal{T})$는 분리가능하다.

증명

자명위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{\emptyset,X\}$이다.

1.

$\{ X\}$는 유한집합이므로 가산집합이고 $\{ X\}\subseteq \mathcal{T}$이다.

모든 $x\in X$에 대해 $x\in X\in \{ X\}$이고 

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $V\in \mathcal{T}$와 $x\in V$가 성립하여 $V\ne \emptyset$임에 따라 $V = X$이고 $X\subseteq X = V$이다.

따라서 모든 $x\in X$에 대해 $\{ X\}$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이므로 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

2.

기저 정리로 $\mathcal{T} = \{\emptyset,X\}$는 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 가산집합이므로 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

3.

2번과 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 분리가능하다.

 

 

 

정리10

위상공간 $(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간이기 위한 필요충분조건은

임의의 $x\in X$에 대해 어떤 $\mathcal{T}$의 수열 $(S_n(x))_{n=1}^\infty$이 존재하여

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $S_{n+1}(x) \subseteq S_n(x)$이고 집합 $\{ S_n(x) : n\in \mathbb{Z}^+\}$가 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저인 것이다.

증명

$(X,\mathcal{T})$가 제1가산공간이면

임의의 $x\in X$에 대해 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저 $\mathcal{B}_x$가 존재하여 $\mathcal{B}_x$는 가산집합이고

위상공간의 정의로 $X\in \mathcal{T}$이므로 $X$가 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방임에 따라

$O\subseteq X$인 $O\in \mathcal{B}_x$가 존재하여 $\mathcal{B}_x\ne \emptyset$이다.

가산집합 정리와 함수 정리와 가산집합 정리와 함수 정리로 전사함수 $\phi: \mathbb{Z}^+\to \mathcal{B}_x$가 존재하여

임의의 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi(i)\in \mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n\phi(i)\in \mathcal{T}$임에 따라

$\left ( \displaystyle \bigcap_{i=1}^n \phi(i)\right)_{n=1}^\infty$은 $\mathcal{T}$의 수열이고 교집합의 정의로 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n+1}\phi(i) \subseteq \bigcap_{i=1}^n\phi(i) $이다.

임의의 $i\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi(i)\in \mathcal{B}_x$이므로 국소기저의 정의로 $x\in \phi(i)$가 되어 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle x\in \bigcap_{i=1}^n\phi(i) $이고

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$에 대해 국소기저의 정의로 $O\subseteq V$인 $O\in \mathcal{B}_x$가 존재하여

전사의 정의로 $\phi(n) = O$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $\displaystyle \bigcap_{i=1}^n\phi(i)\subseteq O\subseteq V$임에 따라

집합 $\displaystyle \left \{ \bigcap_{i=1}^n \phi(i) : n\in \mathbb{Z}^+ \right \}$은 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이다.

역으로 모든 $x\in X$에 대해 집합 $\{ S_n(x) : n\in \mathbb{Z}^+\}$가 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저인 $(S_n(x))_{n=1}^\infty$이 존재하면

$\{ S_n(x) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 가산집합이므로 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

 

 

 

정리11

거리공간 $(X,d)$의 거리위상공간 $(X,\mathcal{T})$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

2. $(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이기 위한 필요충분조건은 $(X,\mathcal{T})$가 분리가능한 것이다.

증명

1.

위상공간 정리로 임의의 $x\in X$와 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(X,d)$에서 열린공은 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})\in \mathcal{T}$이므로

집합 $\mathcal{B}_x = \{ \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$는 $\mathcal{B}_x \subseteq \mathcal{T}$이고 가산집합이다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 거리공간의 정의로 $d(x,x) =0<\dfrac{1}{n}$이므로 열린공의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})$이다.

모든 $(X,\mathcal{T})$에서 $x$의 열린근방 $V$는 $x\in V$이고 위상공간 정리로 $(X,d)$에서 열린집합이므로

열린공 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x, r)\subseteq V$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}<r$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재함에 따라

열린공의 정의로 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n}) \subseteq \underset{(X,d)}{B}(x,r) \subseteq V$이다.

따라서 모든 $x\in X$에 대해 $\mathcal{B}_x$는 $x$에 대한 $(X,\mathcal{T})$의 국소기저이고 가산집합이므로 $(X,\mathcal{T})$는 제1가산공간이다.

2.

$(X,\mathcal{T})$가 제2가산공간이면 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 분리가능하다.

역으로 $(X,\mathcal{T})$가 분리가능하면 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합이고 가산집합인 $E\subseteq X$가 존재하여

$E =\emptyset$일때 조밀집합의 정의와 위상공간 정리와 거리공간 정리와 폐포 정리로 $\emptyset = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(\emptyset) = \underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = X$이므로

위상공간의 정의로 $\mathcal{T} = \{ \emptyset \} = \{ \emptyset, X\}$가 되어 위 정리로 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

$E \ne\emptyset$일때 가산집합 정리로 전사함수 $\phi: \mathbb{N}\to E$가 존재하고

모든 $i\in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{B}_i = \{ \underset{(X,d)}{B}(\phi(i),\frac{1}{n}) : n\in \mathbb{Z}^+\}$가 가산집합임에 따라 가산집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i$는 가산집합이다.

모든 $i\in \mathbb{N}$에 대해 $\mathcal{B}_i \subseteq \mathcal{T}$이므로 $\displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i \subseteq \mathcal{T}$가 되어

집합 $\mathcal{O} = \displaystyle \left \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S} \subseteq \bigcup_{i=0}^\infty\mathcal{B}_i\right \}$에 대해 모든 $O\in \mathcal{O}$는 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}$인 $\mathcal{S}\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i$가 존재하고

$\mathcal{S}\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i \subseteq \mathcal{T}$이므로 위상공간의 정의로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{S}\in \mathcal{T}$임에 따라 $\mathcal{O}\subseteq \mathcal{T}$이다.

임의의 $O\in \mathcal{T}$에 대해 집합 $\mathcal{F} = \left \{ B\in \displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty\mathcal{B}_i : B\subseteq O \right \}$는 $\mathcal{F}\subseteq \displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i$이고

임의의 $x\in \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$는 $x\in B$인 $B\in \mathcal{F}$가 존재하여 $x\in B\subseteq O$이므로 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \subseteq O$이다.

임의의 $x\in O$에 대해 위상공간 정리와 열린공 정리로 $\underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq O$인 $r\in (0,\infty)$이 존재하여

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}<\dfrac{r}{2}$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재함에 따라

$\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})\ne \emptyset$이고 $\underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})$은 $(X,\mathcal{T})$에서 열린집합이므로 위 정리로 $y \in E\cap \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})$가 존재한다.

$y \in \underset{(X,d)}{B}(x,\frac{1}{n})$이므로 열린공의 정의로 $d(x,y) < \dfrac{1}{n}$가 되어 $x\in \underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{n})$이고

임의의 $z \in \underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{n})$는 거리공간의 정의로

$d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z) < \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} = \dfrac{2}{n} < r$이므로 $z\in \underset{(X,d)}{B}(x,r)\subseteq O$가 되어 $ \underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{n}) \subseteq O$이고

$y\in E$임에 따라 전사의 정의로 $y= \phi(i)$인 $i\in \mathbb{N}$가 존재하여 $\underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{n}) \in \displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i$이므로 $\underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{n}) \in \mathcal{F}$이고

합집합의 정의로 $x\in \underset{(X,d)}{B}(y,\frac{1}{n}) \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$임에 따라 $O \subseteq \displaystyle \bigcup \mathcal{F}$가 되어 집합 정리로 $O = \displaystyle \bigcup \mathcal{F}\in \mathcal{O}$이고

$\mathcal{T}\subseteq \mathcal{O}$이므로 집합 정리로 $\mathcal{T}=\mathcal{O} = \displaystyle \left \{ \bigcup \mathcal{S} : \mathcal{S} \subseteq \bigcup_{i=0}^\infty\mathcal{B}_i\right \}$가 되어

$\displaystyle \bigcup_{i=0}^\infty \mathcal{B}_i$가 $(X,\mathcal{T})$의 기저이고 가산임에 따라 $(X,\mathcal{T})$는 제2가산공간이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/107#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/107#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808