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정의1
유리수열 :
정의역이 양의 정수집합 $\mathbb{Z}^+$이고 치역이 유리수 집합 $\mathbb{Q}$의 부분집합인 함수 $X : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Q}$를
유리수열로 정의하고 임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $X(n) = x_{n} \in \mathbb{Q}$일때
$x_{n}$을 수열의 항 또는 원소라고 하고 유리수열 $X$를 $(x_n)$형태로 표기한다.
유계(bounded)인 유리수열 :
$(x_n)$이 유리수열일때
어떤 양의 유리수 $M \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n|\le M$이 되면
$(x_n)$을 유계라 정의한다.
유리수 코시수열(Cauchy sequence) :
모든 양의 유리수 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n,m \ge H(\epsilon)$인 모든 $n, m\in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le \epsilon$이 되는 양의 정수 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하는
유리수열 $(x_n)$을 유리수 코시수열로 정의한다.
데카르트곱의 멱집합 $\mathcal{P}(\mathbb{Z}^+ \times \mathbb{Q})$에 대해
모든 유리수 코시수열들의 집합을 $\mathcal{C} = \{ (x_n) \in \mathcal{P}(\mathbb{Z}^+\times \mathbb{Q}) : (x_n) \text{이 유리수 코시수열이다.} \}$로 정의한다.
정리1
임의의 유리수 코시수열 $(x_n), (y_n)$에 대해 다음이 성립한다.
1. 임의의 $N \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $1\le n\le N$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n| \le M$이 되는 $M \in \mathbb{Q}^+$이 존재한다.
2. $(x_n)$은 유계이다.
3. $(x_n +y_n)$은 유리수 코시수열이다.
4. 어떤 유리수 $z \in \mathbb{Q}$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $z_n = z$인 유리수열 $(z_n)$은 유리수 코시수열이다.
5. 임의의 유리수 $a \in \mathbb{Q}$에 대해 $(a\cdot x_n)$은 유리수 코시수열이다.
6. 임의의 유리수 $a,b \in \mathbb{Q}$에 대해 $(a\cdot x_n + b\cdot y_n)$은 유리수 코시수열이다.
7. $(x_n \cdot y_n)$은 유리수 코시수열이다.
8. 어떤 양의 유리수 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n| \ge c > 0$이면 $(x_n^{-1})$은 유리수 코시수열이다.
증명
1.
$N \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.
$N = 1$이면 최댓값 정리로 $|x_1| \le \max(|x_1|,1)$이다.
모든 $K \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $1\le n\le K$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n| \le M$이 되는 $M \in \mathbb{Q}^+$이 존재하면
최댓값 정리로 $1\le n\le K+1$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n| \le \max(M,|x_{K+1}|)$이다.
따라서 모든 $N \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.
2.
유리수 코시수열의 정의로 $1 \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n,m \ge H(1) $인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le 1$이 되는 양의 정수 $H(1) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로
절댓값 정리로 $|x_n| - |x_{H(1)}| \le |x_n - x_{H(1)}| \le 1$이고 $|x_n| \le 1 + |x_{H(1)}|$이 되어
1번으로 $M \in \mathbb{Q}^+$이 $|x_1|, |x_2|,\cdots, |x_{H(1) -1}|$들보다 크거나 같은 값이면
최댓값 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|x_n| \le \max(M, 1 + |x_{H(1)}|)$이므로 $(x_n)$은 유계다.
3.
유리수 코시수열의 정의로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n,m \ge H(\frac{\epsilon}{2}) $인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 양의 정수 $H(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고
$n,m \ge K(\frac{\epsilon}{2}) $인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|y_n - y_m| \le \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 양의 정수 $K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로
$n,m \ge \max(H(\frac{\epsilon}{2}), K(\frac{\epsilon}{2}))$이면 절댓값 정리로
$|(x_n + y_n) - (x_m + y_m)| = |(x_n - x_m) + (y_n - y_m)| \le |x_n - x_m| + |y_n - y_m| \le \dfrac{\epsilon}{2} +\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로
$(x_n +y_n)$은 유리수 코시수열이다.
4.
모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|z_n - z_m| = |z - z| = 0 < \epsilon$이므로 $(z_n)$은 유리수 코시수열이다.
5.
$a = 0$이면
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a\cdot x_n = 0\cdot x_n = 0$이므로 4번으로 $(a\cdot x_n)$은 $(a\cdot x_n)$은 유리수 코시수열이다.
$a \ne 0$이면
절댓값 정리로 $|a| > 0$이므로 역원 정리로 $|a|^{-1} = \dfrac{1}{|a|} > 0$이고
유리수 코시수열의 정의로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n,m \ge H(\frac{\epsilon}{|a|}) $인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le \dfrac{\epsilon}{|a|}$가 되는 양의 정수 $H(\frac{\epsilon}{|a|}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여
부등식 정리와 절댓값 정리로 $ |a\cdot x_n - a\cdot x_m| = |a| \cdot |x_n - x_m| \le |a|\cdot \dfrac{\epsilon}{|a|} = \epsilon$이므로
$(a\cdot x_n)$은 유리수 코시수열이다.
6.
5번으로 $(a\cdot x_n)$과 $(b\cdot y_n)$이 유리수 코시수열이므로 3번으로 $(a\cdot x_n + b\cdot y_n)$은 유리수 코시수열이다.
7.
2번으로 $(x_n), (y_n)$은 유계이므로
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|x_n| \le M_x$와 $|y_n| \le M_y$이 되는 $M_x, M_y \in \mathbb{Q}^+$가 존재한다.
$M = \max(M_x, M_y)$로 정의하면 유리수 코시수열의 정의로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n, m \ge K_x(\frac{\epsilon}{2M})$인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le \dfrac{\epsilon}{2M}$인 양의 정수 $K_x(\frac{\epsilon}{2M})$이 존재하고
$n, m \ge K_y(\frac{\epsilon}{2M})$인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|y_n - y_m| \le \dfrac{\epsilon}{2M}$인 양의 정수 $K_y(\frac{\epsilon}{2M})$이 존재하여
$n, m \ge \max(K_x(\frac{\epsilon}{2M}), K_y(\frac{\epsilon}{2M}))$이면 절댓값 정리로
$\begin{align*} |x_n\cdot y_n - x_m\cdot y_m| & = |(x_n\cdot y_n - x_n\cdot y_m) + (x_n\cdot y_m - x_m\cdot y_m)| \\[0.5em] & \le |x_n| \cdot |y_n - y_m| + |y_m| \cdot |x_n - x_m| \\[0.5em] & \le M\cdot |y_n - y_m| + M\cdot |x_n - x_m| \\[0.5em] & \le M\cdot \dfrac{\epsilon}{2M} + M\cdot \dfrac{\epsilon}{2M} = \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$
$(x_n \cdot y_n)$은 유리수 코시수열이다.
8.
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해
$|x_n| \ge c > 0$이고 역원 정리로 $\dfrac{1}{|x_n|} ,\dfrac{1}{c} \in \mathbb{Q}^+$이므로 부등식 정리로 $\dfrac{1}{c} \ge \dfrac{1}{|x_n|}$이다.
유리수 코시수열의 정의로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n,m \ge H(c^2\cdot \epsilon)$인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le c^2 \cdot \epsilon$인 양의 정수 $H(c^2 \cdot \epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$|x_n^{-1} - x_m^{-1}| = \left | \dfrac{1}{x_n} - \dfrac{1}{x_m}\right | = \left | \dfrac{x_m - x_n}{x_n\cdot x_m} \right | = \dfrac{1}{|x_n| \cdot |x_m|} \cdot |x_n - x_m| \le \dfrac{1}{c^2} \cdot c^2 \cdot \epsilon = \epsilon$이므로
$(x_n^{-1})$은 유리수 코시수열이다.
정의2
실수(real number) :
임의의 유리수 코시수열 $(x_n)$과 $(y_n)$에 대해 $(x_n) \; \mathcal{R} \; (y_n)$이기 위한 필요충분조건이
모든 양의 유리수 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $n \ge H(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하는 것인
유리수 코시수열 집합 $\mathcal{C}$의 관계 $\mathcal{R}$의 동치류를 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = [(x_n)]_{\mathcal{R}} = \{ (y_n) \in \mathcal{C} : (x_n) \; \mathcal{R} \; (y_n) \}$로 정의한다.
실수 집합 :
$\mathbb{R} = \{ x : \text{어떤 유리수 코시수열 } (x_n) \in \mathcal{C}\text{ 에 대해 } x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \}$을 실수집합으로 정의한다.
양(positive)의 실수, 음(negative)의 실수, 실수 영(zero), 실수 일(one) :
임의의 유리수 $x_\mathbb{Q} \in \mathbb{Q}$에 대한 실수를
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x_n = x_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(x_n)$으로 구성되는 실수 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_\mathbb{Q}) = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$로 정의하고
자연수 $0_\mathbb{Q}, 1_\mathbb{Q} \in \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Q}$에 대해
실수 영을 $0 = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$로 실수 일을 $1 = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(1_\mathbb{Q})$로 정의한다.
어떤 양의 유리수 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(x_n)$으로 구성되는 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$을 양의 실수로 정의하고
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \le -c < 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(x_n)$으로 구성되는 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$을 음의 실수로 정의한다.
$\mathbb{R}^+ = \{ x : \text{어떤 양의 유리수 코시수열 } (x_n) \in \mathcal{C}\text{ 에 대해 } x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \}$을 양의 실수집합으로 정의하고
$\mathbb{R}^- = \{ x : \text{어떤 음의 유리수 코시수열 } (x_n) \in \mathcal{C}\text{ 에 대해 } x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \}$을 음의 실수집합으로 정의한다.
실수 덧셈 :
유리수 덧셈 $+_\mathbb{Q} : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$에 대해
임의의 두 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n), \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \in \mathbb{R}$를 더하는 것을 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) + \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n +_\mathbb{Q} y_n)$으로 정의한다.
실수 곱셈 :
유리수 곱셈 $\cdot_\mathbb{Q} : \mathbb{Q} \times \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$에 대해
임의의 두 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n), \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \in \mathbb{R}$를 곱하는 것을 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n)$으로 정의한다.
실수 뺄셈 :
임의의 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \in \mathbb{R}$에 대해
$-\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-1_\mathbb{Q}) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-x_n)$을 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$의 덧셈에 대한 역원이라 정의하고
임의의 두 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n), \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \in \mathbb{R}$에 대해
$\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$에서 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$를 빼는 것을 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) - \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n - y_n)$으로 정의한다.
실수 나눗셈 :
어떤 양의 유리수 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|y_n| \ge c > 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(y_n)$으로 구성되는 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \in \mathbb{R}$에 대해
$\left (\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \right )^{-1} = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n^{-1})$을 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) $의 곱셈에 대한 역원이라 정의하고
임의의 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \in \mathbb{R}$를 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$으로 나누는 것을
$ \dfrac{\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)}{ \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)} = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) / \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \left (\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \right )^{-1} = \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}} \left ( \dfrac{x_n}{y_n} \right) $으로 정의한다.
실수집합의 자연수집합과 정수집합과 유리수집합 :
유리수집합이 $Q$이고 정수집합이 $Z \subseteq Q$이고 자연수집합이 $N\subseteq Z \subseteq Q$일때
실수집합의 자연수집합을 $\mathbb{N} = \{ x : \text{어떤 } m \in N \text{ 에 대해 } x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(m) \}$으로 정의하고
실수집합의 정수집합을 $\mathbb{Z} = \{ x : \text{어떤 } m \in Z \text{ 에 대해 } x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(m) \}$으로 정의하고
실수집합의 유리수집합을 $\mathbb{Q} = \{ x : \text{어떤 } m \in Q \text{ 에 대해 } x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(m) \}$으로 정의한다.
$\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R}$과 같이 집합 사이에 관계로 표기하면
$\mathbb{N}$과 $\mathbb{Z}$과 $\mathbb{Q}$는 실수집합의 자연수집합과 실수집합의 정수집합과 실수집합의 유리수집합을 나타낸다.
정리11
다음이 성립한다.
실수의 존재성 : 실수가 존재한다.
실수집합의 존재성 : 실수집합이 존재한다.
실수의 상등 :
임의의 유리수 코시수열 $(x_n)$과 $(y_n)$에 대해 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이기 위한 필요충분조건은
모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $n \ge H(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하는 것이다.
증명
실수의 존재성
위에서 정의된 관계 $\mathcal{R}$이 $\mathcal{C}$의 동치관계임을 보인다.
반사성
임의의 유리수 코시수열 $(x_n) \in \mathcal{C}$과 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n -x_n | = 0_\mathbb{Q} < \epsilon$이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(x_n) \; \mathcal{R} \; (x_n)$이다.
대칭성
임의의 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n) \in \mathcal{C}$이 $(x_n) \; \mathcal{R} \; (y_n)$이면
$\mathcal{R}$의 정의로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n \ge H(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하고
절댓값 정리로 $|y_n - x_n| = |x_n - y_n| \le \epsilon$이므로 $\mathcal{R}$의 정의로 $(y_n) \; \mathcal{R} \; (x_n)$이다.
추이성
임의의 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n),(z_n) \in \mathcal{C}$이 $(x_n) \; \mathcal{R} \; (y_n)$이고 $(y_n) \; \mathcal{R} \; (z_n)$이면
$\mathcal{R}$의 정의로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$(x_n) \; \mathcal{R} \; (y_n)$이므로 $n \ge H(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $H(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하고
$(y_n) \; \mathcal{R} \; (z_n)$이므로 $n \ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|y_n - z_n| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$n \ge \max(H(\frac{\epsilon}{2}),K(\frac{\epsilon}{2}))$이면 절댓값 정리로
$|x_n - z_n| = |(x_n - y_n) +_\mathbb{Q} (y_n - z_n)|\le |x_n -y_n| +_\mathbb{Q} |y_n - z_n| \le \dfrac{\epsilon}{2} +_\mathbb{Q} \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로
$\mathcal{R}$의 정의로 $(x_n) \; \mathcal{R} \; (z_n)$이다.
동치관계의 반사성, 대칭성, 추이성이 성립하므로 관계 $\mathcal{R}$은 동치관계이므로
분류 공리로 $\mathcal{R}$에 대한 $(x_n)$의 동치류 $[(x_n)]_{\mathcal{R}} = \{ (y_n) \in \mathcal{C} : (x_n) \; \mathcal{R} \; (y_n) \}$가 존재하여
실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = [(x_n)]_{\mathcal{R}}$이 존재한다.
실수집합의 존재성
임의의 유리수 코시수열 $(x_n) \in \mathcal{C}$에 대해 실수 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = [(x_n)]_{\mathcal{R}}$이 유일하게 존재하므로
치환 공리로 실수집합 $\mathbb{R} = \{ x : \text{어떤 유리수 코시수열 } (x_n) \in \mathcal{C} \text{ 에 대해 } x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \}$이 존재한다.
실수의 상등
임의의 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n) \in \mathcal{C}$에 대해
동치류 정리로 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = [(x_n)]_{\mathcal{R}} = [(y_n)]_{\mathcal{R}} = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이기 위한 필요충분조건은 $(x_n) \; \mathcal{R} \; (y_n)$인 것이고
$(x_n) \; \mathcal{R} \; (y_n)$이기 위한 필요충분조건은 모든 양의 유리수 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n \ge H(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \epsilon$이 되는 양의 정수 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하는 것이므로 정리가 성립한다.
정리2
임의의 유리수 코시수열 $(x_n), (y_n),(z_n)$에 대해 다음이 성립한다.
덧셈의 타당성 :
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이면 1,2가 성립하여 실수 덧셈은 $+ : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$인 이항연산이다.
1. $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) + \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) + \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n)$
2. $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) + \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) + \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$
곱셈의 타당성 :
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이면 1,2가 성립하여 실수 곱셈은 $\cdot : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$인 이항연산이다.
1. $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \cdot \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n)$
2. $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \cdot \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \cdot \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$
덧셈 역원의 타당성 :
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이면 $-\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = - \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이 성립하여 덧셈 역원연산은 $- : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$인 함수이다.
곱셈 역원의 타당성 :
어떤 양의 유리수 $c,d \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n| \ge c > 0_\mathbb{Q}$이고 $|y_n| \ge d > 0_\mathbb{Q}$일때
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이면 $\left (\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \right )^{-1} = \left ( \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \right ) ^{-1}$이 성립하여
곱셈 역원연산은 $(\cdot)^{-1} : \mathbb{R} \setminus \{ 0 \} \to \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$인 함수이다.
유리수와 실수 사이의 관계 :
임의의 유리수 $a,b \in \mathbb{Q}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b)$이기 위한 필요충분조건은 $a = b$인 것이다.
2. $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b) = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(a+_\mathbb{Q}b) $
3. $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b) = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(a\cdot_\mathbb{Q} b) $
4. $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \ne 0$이면
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(w_n)$이고 어떤 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|w_n| \ge c$인 유리수 코시수열 $(w_n)$이 존재한다.
증명
덧셈의 타당성 :
$(x_n),(y_n),(z_n)$이 유리수 코시수열이므로
위 정리로 $(x_n +_\mathbb{Q} z_n),(y_n+_\mathbb{Q}z_n),(z_n +_\mathbb{Q} x_n),(z_n +_\mathbb{Q}y_n)$은 유리수 코시수열이고
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이므로 실수의 상등으로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n \ge H(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$|(x_n +_\mathbb{Q} z_n) - (y_n +_\mathbb{Q} z_n)| = |x_n - y_n| \le \epsilon$이고 $|(z_n +_\mathbb{Q} x_n) - (z_n +_\mathbb{Q} y_n)| = |x_n - y_n| \le \epsilon$이다.
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) + \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n +_\mathbb{Q} z_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n +_\mathbb{Q}z_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) + \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n)$이고
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) + \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n +_\mathbb{Q} x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n +_\mathbb{Q}y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) + \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이다.
곱셈의 타당성 :
$(x_n),(y_n),(z_n)$이 유리수 코시수열이므로
위 정리로 $(x_n \cdot_\mathbb{Q} z_n),(y_n\cdot_\mathbb{Q} z_n),(z_n \cdot_\mathbb{Q} x_n),(z_n \cdot_\mathbb{Q} y_n)$은 유리수 코시수열이고
위 정리로 $(z_n)$이 유계이므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|z_n| \le M$이 되는 $M \in \mathbb{Q}^+$이 존재한다.
또 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이므로 실수의 상등으로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n \ge H(\frac{\epsilon}{M})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \dfrac{\epsilon}{M}$이 되는 $H(\frac{\epsilon}{M}) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 절댓값 정리로
$|(x_n \cdot_\mathbb{Q} z_n) - (y_n \cdot_\mathbb{Q} z_n)| =|z_n| \cdot_\mathbb{Q} |x_n-y_n| \le M\cdot_\mathbb{Q} |x_n - y_n| \le M \cdot_\mathbb{Q} \dfrac{\epsilon}{M} =\epsilon$이고
$|(z_n \cdot_\mathbb{Q} x_n) - (z_n \cdot_\mathbb{Q} y_n)| =|z_n| \cdot_\mathbb{Q} |x_n-y_n| \le M\cdot_\mathbb{Q} |x_n - y_n| \le M \cdot_\mathbb{Q} \dfrac{\epsilon}{M} =\epsilon$이다.
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n\cdot_\mathbb{Q} z_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n\cdot_\mathbb{Q} z_n)= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \cdot \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n)$이고
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \cdot \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n\cdot_\mathbb{Q} x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n\cdot_\mathbb{Q} y_n)= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \cdot \underset{n \to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이다.
덧셈 역원의 타당성 :
$(x_n),(y_n)$이 유리수 코시수열이므로 위 정리로 $(-x_n ),(-y_n)$은 유리수 코시수열이고
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이므로 실수의 상등으로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n \ge H(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
절댓값 정리로 $|(-x_n) - (-y_n)| = |y_n - x_n| = |x_n - y_n| \le \epsilon$이다.
따라서 실수의 상등과 덧셈 역원의 정의로 $-\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-y_n) = - \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이다.
곱셈 역원의 타당성 :
유리수 코시수열 $(x_n),(y_n)$에 대해
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n| \ge c > 0_\mathbb{Q}$이고 $|y_n| \ge d > 0_\mathbb{Q}$이므로 위 정리로 $(x_n^{-1} ),(y_n^{-1})$은 유리수 코시수열이고
$m = \min(c,d)$이면 최솟값 정리로 $|x_n| \ge c \ge m > 0_\mathbb{Q}$이고 $|y_n| \ge d \ge m > 0_\mathbb{Q}$이므로 $\dfrac{1_\mathbb{Q}}{m^2} \ge \dfrac{1_\mathbb{Q}}{|x_n| \cdot_\mathbb{Q} |y_n|}$이다.
또 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이므로 실수의 상등으로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n \ge H(m^2 \cdot_\mathbb{Q} \epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le m^2\cdot_\mathbb{Q} \epsilon$이 되는 $H(m^2\cdot_\mathbb{Q} \epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
절댓값 정리로 $|x_n^{-1} - y_n^{-1}| = \left | \dfrac{1_\mathbb{Q}}{x_n} - \dfrac{1_\mathbb{Q}}{y_n}\right | = \left | \dfrac{y_n - x_n}{x_n\cdot_\mathbb{Q} y_n} \right | = \dfrac{1_\mathbb{Q}}{|x_n| \cdot |y_n|} \cdot |x_n - y_n| \le \dfrac{1_\mathbb{Q}}{m^2} \cdot m^2 \cdot \epsilon = \epsilon$이므로
따라서 실수의 상등과 곱셈 역원의 정의로 $\left (\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \right )^{-1} = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n^{-1}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n^{-1}) = \left ( \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \right ) ^{-1}$이다.
유리수와 실수 사이의 관계 :
1.
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b)$일때 $a\ne b$라고 가정하면
$a -b \ne 0_\mathbb{Q}$이므로 절댓값 정리로 $|a-b| > 0_\mathbb{Q}$이고 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b)$이므로 실수의 상등으로
$n \ge H(\frac{|a-b|}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|a - b| \le \dfrac{|a-b|}{2}$이 되는 $H(\frac{|a-b|}{2}) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$\dfrac{|a-b|}{2} = |a-b| -\dfrac{|a-b|}{2} \le \dfrac{|a-b|}{2} -\dfrac{|a-b|}{2} =0_\mathbb{Q}$이고 $|a-b| \le 0_\mathbb{Q}$이므로 유리수 삼분법에 모순이다.
따라서 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b)$이면 $a =b$이다.
역으로 $a =b$이면
위 정리로 $(a),(b)$는 유리수 코시수열이고
모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|a-b| = 0_\mathbb{Q} <\epsilon$이므로 실수의 상등으로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b)$이다.
2.
덧셈의 정의는 위와 같이 잘 정의되므로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b) = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(a+_\mathbb{Q}b) $이다.
3.
곱셈의 정의는 위와 같이 잘 정의되므로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b) = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(a\cdot_\mathbb{Q} b) $이다.
4.
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \ne 0$임에 따라 실수의 상등으로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n\ge K(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - 0_\mathbb{Q}| \le \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하지 않으므로
어떤 $\epsilon_0 \in \mathbb{Q}^+$과 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|x_{n_k}| = |x_{n_k} - 0_\mathbb{Q}|> \epsilon_0$이고 $n_k \ge k$인 $n_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.
또 $(x_n)$은 유리수 코시수열이므로
$n,m\ge H$인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le \dfrac{\epsilon_0}{2}$이 되는 $H \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여
$n_H \ge H$이고 $|x_{n_H}| > \epsilon_0$이므로 절댓값 정리로 $\epsilon_0 - |x_m| <|x_{n_H}| - |x_m| \le | x_{n_{H}} - x_m| \le \dfrac{\epsilon_0}{2}$임에 따라
$m\ge H$인 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$은 $0_\mathbb{Q}< \dfrac{\epsilon_0}{2} =\epsilon_0 - \dfrac{\epsilon_0}{2}<|x_m|$이다.
따라서 $n<H$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $w_n = \dfrac{\epsilon_0}{2}$이고
$H\le n$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $w_n = x_n$인 유리수열 $(w_n)$은 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|w_n| \ge \dfrac{\epsilon_0}{2} > 0_\mathbb{Q}$이고
$(x_n)$이 유리수 코시수열임에 따라
모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $n,m\ge N(\epsilon)$인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le \epsilon$이 되는 $N(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$n,m\ge \max(N(\epsilon),H)$이면 $|w_n - w_m|=|x_n - x_m| \le \epsilon$이므로 $(w_n)$은 유리수 코시수열이다.
또 $n \ge H$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - w_n| = |x_n - x_n| = 0_\mathbb{Q}<\epsilon $이므로 실수의 상등으로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(w_n)$이다.
정리3
임의의 실수 $x,y,z \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.
덧셈에 대한 교환법칙 : $x + y = y+x$
곱셈에 대한 교환법칙 : $x \cdot y = y\cdot x$
덧셈에 대한 결합법칙 : $x +(y+z) = (x+y)+z$
곱셈에 대한 결합법칙 : $x \cdot(y\cdot z) = (x\cdot y)\cdot z$
덧셈의 항등원 : $x + 0 = x = 0 +x$
덧셈의 역원 : $x + (-x) = 0 = (-x) +x$
곱셈의 항등원 : $x\cdot 1 = x = 1\cdot x$
곱셈의 역원 : $x\ne 0$이면 $x \cdot x^{-1} = 1 = x^{-1} \cdot x$이다.
분배법칙 : $x \cdot (y + z) = x\cdot y + x\cdot z = y\cdot x + z\cdot x= (y +z)\cdot x$
덧셈 역원의 곱셈 : $(-x) \cdot (-y) = x \cdot y$
증명
덧셈에 대한 교환법칙
실수의 정의로 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 $y = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n)$이 존재하고
위 정리로 $(x_n +_\mathbb{Q} y_n),(y_n +_\mathbb{Q} x_n)$도 유리수 코시수열이다.
따라서 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|(x_n +_\mathbb{Q} y_n) - (y_n +_\mathbb{Q} x_n)| = 0_\mathbb{Q} < \epsilon$이므로
$x+y = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n +_\mathbb{Q} y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( y_n +_\mathbb{Q} x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) =y+x $이다.
곱셈에 대한 교환법칙
실수의 정의로 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 $y = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n)$이 존재하고
위 정리로 $(x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n),(y_n \cdot_\mathbb{Q} x_n)$도 유리수 코시수열이다.
따라서 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|(x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n) - (y_n \cdot_\mathbb{Q} x_n)| = 0_\mathbb{Q} < \epsilon$이므로
$x\cdot y = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( y_n \cdot_\mathbb{Q} x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) =y\cdot x $이다.
덧셈에 대한 결합법칙
$x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 $y = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이고 $z = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n),(z_n)$이 존재하고
위 정리로 $(x_n +_\mathbb{Q} y_n),(y_n+_\mathbb{Q}z_n),((x_n +_\mathbb{Q} y_n) +_\mathbb{Q} z_n),(x_n +_\mathbb{Q} (y_n +_\mathbb{Q} z_n))$도 유리수 코시수열이다.
따라서 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|(x_n +_\mathbb{Q}( y_n +_\mathbb{Q} z_n)) - ((x_n +_\mathbb{Q}y_n) +_\mathbb{Q} z_n)| = 0_\mathbb{Q} < \epsilon$이므로
$\begin{align*} x+(y+z) & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) + \left (\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \right ) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n +_\mathbb{Q} z_n) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n+_\mathbb{Q}(y_n +_\mathbb{Q} z_n)) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}((x_n+_\mathbb{Q}y_n) +_\mathbb{Q} z_n) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n +_\mathbb{Q} y_n)+ \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \\[0.5em] & = \left (\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n ) +\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( y_n) \right)+ \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \\[0.5em] & = (x+y) + z\text{ 이다.}\end{align*} $
곱셈에 대한 결합법칙
$x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 $y = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이고 $z = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n),(z_n)$이 존재하고
위 정리로 $(x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n),(y_n\cdot_\mathbb{Q} z_n),((x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n) \cdot_\mathbb{Q} z_n),(x_n \cdot_\mathbb{Q} (y_n \cdot_\mathbb{Q} z_n))$도 유리수 코시수열이다.
따라서 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|(x_n \cdot_\mathbb{Q} ( y_n \cdot_\mathbb{Q} z_n)) - ((x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n) \cdot_\mathbb{Q} z_n)| = 0_\mathbb{Q} < \epsilon$이므로
$\begin{align*} x\cdot (y\cdot z) & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \left (\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \right ) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n \cdot_\mathbb{Q} z_n) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n\cdot_\mathbb{Q} (y_n \cdot_\mathbb{Q} z_n)) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}((x_n\cdot_\mathbb{Q} y_n) \cdot_\mathbb{Q} z_n) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n)\cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \\[0.5em] & = \left (\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n ) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( y_n) \right )\cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \\[0.5em] & = (x\cdot y) \cdot z\text{ 이다.}\end{align*} $
덧셈의 항등원
실수의 정의로 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 $0= \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$인 유리수 코시수열 $(x_n),(0_\mathbb{Q})$이 존재하고
위 정리로 $(x_n +_\mathbb{Q} 0_\mathbb{Q})$도 유리수 코시수열이다.
따라서 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|(x_n +_\mathbb{Q} 0_\mathbb{Q}) - x_n| = 0_\mathbb{Q} < \epsilon$이므로
실수의 상등과 덧셈의 정의로 $x+0 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) +\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n +_\mathbb{Q}0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( x_n) = x $이고
덧셈에 대한 교환법칙으로 $x = x + 0 = 0+x$이다.
덧셈의 역원
실수의 정의로 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하고
위 정리로 $(-x_n),(x_n - x_n),(0_\mathbb{Q})$도 유리수 코시수열이다.
따라서 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|(x_n -x_n) - 0_\mathbb{Q}| = 0_\mathbb{Q}< \epsilon$이므로
$x + (-x) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) + \left (- \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \right ) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n ) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( x_n-x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = 0 $이고
덧셈에 대한 교환법칙으로 $0 = x + (-x) = (-x)+x$이다.
곱셈의 항등원
실수의 정의로 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하고
위 정리로 $(x_n\cdot_\mathbb{Q} 1_\mathbb{Q}),(1_\mathbb{Q})$도 유리수 코시수열이다.
따라서 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|(x_n \cdot_\mathbb{Q} 1_\mathbb{Q}) - x_n| = 0_\mathbb{Q} < \epsilon$이므로
실수의 상등과 곱셈의 정의로 $x \cdot 1 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(1_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n \cdot_\mathbb{Q} 1_\mathbb{Q} ) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( x_n) =x $이고
곱셈에 대한 교환법칙으로 $x = x \cdot 1 = 1\cdot x$이다.
곱셈의 역원
$x\ne 0$이므로 위 정리로 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 어떤 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $|x_n| \ge c$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하므로
위 정리로 $(x_n^{-1})$은 유리수 코시수열이다.
따라서 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|(x_n \cdot_\mathbb{Q} x_n^{-1}) - 1_\mathbb{Q}| = 0_\mathbb{Q} < \epsilon$이므로
$x \cdot x^{-1}= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \left (\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \right )^{-1} = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n^{-1}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n \cdot_\mathbb{Q} x_n^{-1} ) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( 1_\mathbb{Q}) =1 $이고
곱셈에 대한 교환법칙으로 $1 = x \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot x$이다.
분배법칙
$x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 $y = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이고 $z = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(z_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n),(z_n)$이 존재하고
위 정리로 $(y_n+_\mathbb{Q}z_n),(x_n \cdot_\mathbb{Q} (y_n +_\mathbb{Q} z_n) ), (x_n\cdot_\mathbb{Q} y_n),(x_n \cdot_\mathbb{Q} z_n),(x_n\cdot_\mathbb{Q} y_n +_\mathbb{Q} x_n\cdot_\mathbb{Q} z_n)$도 유리수 코시수열이다.
따라서 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|(x_n \cdot_\mathbb{Q}( y_n +_\mathbb{Q} z_n)) - (x_n\cdot_\mathbb{Q} y_n +_\mathbb{Q} x_n\cdot_\mathbb{Q} z_n)| = 0_\mathbb{Q} < \epsilon$이므로
$\begin{align*} x\cdot (y+z) & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \left (\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \right ) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n +_\mathbb{Q} z_n) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n\cdot_\mathbb{Q} (y_n +_\mathbb{Q} z_n)) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n\cdot_\mathbb{Q} y_n +_\mathbb{Q} x_n\cdot_\mathbb{Q} z_n) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n)+ \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n\cdot_\mathbb{Q} z_n) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n ) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( y_n) + \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n) \\[0.5em] & = x\cdot y + x\cdot z\text{ 이고}\end{align*} $
곱셈에 대한 교환법칙으로 $y\cdot x + z\cdot x =x\cdot y + x\cdot z = x\cdot (y+z) = (y+z)\cdot x $이다.
덧셈 역원의 곱셈
실수의 정의로 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 $y = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n)$이 존재하고
위 정리로 $(x_n\cdot_\mathbb{Q} y_n),(-x_n),(-y_n),((-x_n) \cdot _\mathbb{Q} (-y_n))$도 유리수 코시수열이다.
또 유리수 연산정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(-x_n) \cdot_\mathbb{Q} (-y_n) = x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n$이므로
$\begin{align*} (-x)\cdot (-y) & = \left (-\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \right ) \cdot \left (- \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \right ) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-x_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-y_n)\\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}((-x_n) \cdot_\mathbb{Q} (-y_n)) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}( x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n) \\[0.5em] & = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) \\[0.5em] & =x\cdot y \text{ 이다.} \end{align*}$
정리4
임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$는 $x \in \mathbb{R}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{R}^-$ 중 하나만 성립한다.
증명
$x \in \mathbb{R}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{R}^-$ 중 두개가 성립한다 가정할때
경우 1 : $x \in \mathbb{R}^+$이고 $x = 0$이면
$x \in \mathbb{R}^+$이므로 양의 실수 정의로 어떤 양의 유리수 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$이고 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하고
실수 영의 정의로 $x = 0 = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$이므로 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$인데 실수의 상등으로
$\dfrac{c}{2} \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $n \ge K(\frac{c}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n=|x_n - 0_\mathbb{Q}| \le \dfrac{c}{2}$이 되는 $K(\frac{c}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여
$c\le x_n \le \dfrac{c}{2} < c$이므로 유리수 삼분법에 모순이다.
경우 2 : $x \in \mathbb{R}^-$이고 $x = 0$이면
$x \in \mathbb{R}^-$이므로 음의 실수 정의로 어떤 양의 유리수 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \le -c < 0_\mathbb{Q}$이고 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하고
실수 영의 정의로 $x = 0 = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$이므로 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$인데 실수의 상등으로
$\dfrac{c}{2} \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $n \ge K(\frac{c}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $-x_n=|x_n - 0_\mathbb{Q}| \le \dfrac{c}{2}$이 되는 $K(\frac{c}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여
$-c< -\dfrac{c}{2}\le x_n \le -c$이므로 유리수 삼분법에 모순이다.
경우 3 : $x \in \mathbb{R}^+$이고 $x \in \mathbb{R}^-$이면
$x \in \mathbb{R}^+$이므로 양의 실수 정의로 어떤 양의 유리수 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$이고 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하고
$x \in \mathbb{R}^-$이므로 음의 실수 정의로 어떤 양의 유리수 $d \in \mathbb{Q}^+$에 대해
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $y_n \le -d < 0_\mathbb{Q}$이고 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하여
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| = x_n - y_n \ge c+_\mathbb{Q}d > 0_\mathbb{Q}$이고 $\underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = x = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$인데 실수의 상등으로
$\dfrac{c+_\mathbb{Q}d}{2} \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $n \ge K(\frac{c+_\mathbb{Q}d}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - y_n| \le \dfrac{c+_\mathbb{Q}d}{2}$이 되는 $K(\frac{c+_\mathbb{Q}d}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여
$c+_\mathbb{Q}d\le |x_n - y_n| \le \dfrac{c+_\mathbb{Q}d}{2}<c+_\mathbb{Q}d$이므로 유리수 삼분법에 모순이다.
$x \in \mathbb{R}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{R}^-$ 중 하나가 성립함을 보인다.
$x = 0$이면 자명하게 성립한다.
$x\ne 0$이면
위 정리로 $x = \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 어떤 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $|x_n| \ge c > 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하므로
유리수 코시수열의 정의로 $n,m \ge H $인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le c$가 되는 $H \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.
$x_i = |x_i| \ge c > 0_\mathbb{Q}$이고 $i \ge H$인 $i \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고 $-x_j = |x_j| \ge c > 0_\mathbb{Q}$이고 $j \ge H$인 $j \in \mathbb{Z}^+$가 존재하면
$c \ge |x_i - x_j| = x_i - x_j \ge 2\cdot_\mathbb{Q} c > c$이므로 유리수 삼분법에 모순이 되어
$n \ge H $인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$은 $x_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$ 또는 $x_n \le -c < 0_\mathbb{Q}$ 중 하나만 성립한다.
$n \ge H $인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$이면
$n<H$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $w_n = c$이고
$H\le n$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $w_n = x_n$인 유리수열 $(w_n)$은 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $w_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$이고
$(x_n)$이 유리수 코시수열임에 따라
모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $n,m\ge N(\epsilon)$인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le \epsilon$이 되는 $N(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$n,m\ge \max(N(\epsilon),H)$이면 $|w_n - w_m|=|x_n - x_m| \le \epsilon$이므로 $(w_n)$은 유리수 코시수열이다.
또 $n \ge H$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - w_n| = |x_n - x_n| = 0_\mathbb{Q}<\epsilon $이므로
실수의 상등으로 $x=\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(w_n)$이고 양의 실수 정의로 $x$는 양의 실수이다.
$n \ge H $인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \le -c < 0_\mathbb{Q}$이면
$n<H$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $z_n = -c$이고
$H\le n$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $z_n = x_n$인 유리수열 $(z_n)$은 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $z_n \le -c < 0_\mathbb{Q}$이고
$(x_n)$이 유리수 코시수열임에 따라
모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해 $n,m\ge N(\epsilon)$인 모든 $n,m \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le \epsilon$이 되는 $N(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$n,m\ge \max(N(\epsilon),H)$이면 $|z_n - z_m|=|x_n - x_m| \le \epsilon$이므로 $(z_n)$은 유리수 코시수열이다.
또 $n \ge H$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - z_n| = |x_n - x_n| = 0_\mathbb{Q}<\epsilon $이므로
실수의 상등으로 $x=\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(z_n)$이고 음의 실수 정의로 $x$는 음의 실수이다.
따라서 $x \in \mathbb{R}^+$ 또는 $x = 0$ 또는 $x \in \mathbb{R}^-$ 중 하나만 성립한다.
정리5
임의의 실수 $x,y \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $x,y \in \mathbb{R}^+$이면 $x + y \in \mathbb{R}^+$이다.
2. $x,y \in \mathbb{R}^+$이면 $x \cdot y \in \mathbb{R}^+$이다.
3. $x \in \mathbb{R}^+$이면 $-x \in \mathbb{R}^-$이고, $x \in \mathbb{R}^-$이면 $-x \in \mathbb{R}^+$이다.
4. $x,y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}$이면 $x + y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}$이다.
5. $x,y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이면 $x \cdot y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$이다.
6. $x \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0 \}$이면 $-x \in \mathbb{R}^- \cup \{ 0\}$이고, $x \in \mathbb{R}^-\cup \{ 0 \}$이면 $-x \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}$이다.
증명
1.
양의 실수 정의로 $x= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$와 $y = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$는
어떤 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하고
어떤 $d \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $y_n \ge d > 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(y_n)$이 존재한다.
위 정리로 $(x_n +_\mathbb{Q} y_n)$은 유리수 코시수열이고 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n +_\mathbb{Q} y_n \ge c +_\mathbb{Q} d > 0_\mathbb{Q}$이므로
덧셈의 정의와 양의 실수 정의로 $x + y = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)+\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n +_\mathbb{Q} y_n)$은 양의 실수이다.
2.
양의 실수 정의로 $x= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$와 $y = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$는
어떤 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하고
어떤 $d \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $y_n \ge d > 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(y_n)$이 존재한다.
위 정리로 $(x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n)$은 유리수 코시수열이고 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n \ge c\cdot_\mathbb{Q} d > 0_\mathbb{Q}$이므로
곱셈의 정의와 양의 실수 정의로 $x \cdot y = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)\cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n \cdot_\mathbb{Q} y_n)$은 양의 실수이다.
3.
$x \in \mathbb{R}^+$이면
양의 실수 정의로 $x= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$는
어떤 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하여
위 정리로 $(-x_n)$은 유리수 코시수열이고 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $-x_n \le -c < 0_\mathbb{Q}$이므로
덧셈역원의 정의와 음의 실수 정의로 $-x= -\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-x_n)$은 음의 실수이다.
$x \in \mathbb{R}^-$이면
음의 실수의 정의로 $x= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$는
어떤 $c \in \mathbb{Q}^+$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \le -c < 0_\mathbb{Q}$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하여
위 정리로 $(-x_n)$은 유리수 코시수열이고 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $-x_n \ge c > 0_\mathbb{Q}$이므로
덧셈역원의 정의와 양의 실수 정의로 $-x= -\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-x_n)$은 양의 실수이다.
4.
$x,y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$는 위 정리로 양의 실수이거나 영이므로
$x \in \mathbb{R}^+$이고 $y \in \mathbb{R}^+$이면
1번으로 $x + y \in \mathbb{R}^+ \subset \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}$이다.
$x \in \mathbb{R}^+$이고 $y = 0$이면
실수의 정의로 $x= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하고
실수 영의 정의로 $y= 0 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$이므로 덧셈의 정의로
$x + y = x +0 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)+\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n +_\mathbb{Q} 0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)=x \in \mathbb{R}^+$이다.
$x = 0$이고 $y = 0$이면
실수 영의 정의로 $x = y= 0 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$이고
덧셈의 정의로 $x + y = 0+0 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})+\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q} +_\mathbb{Q} 0_\mathbb{Q}) =\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) =0$이다.
따라서 일반성을 잃지 않고 $x,y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}$이면 $x + y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}$이다.
5.
$x,y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \}$는 위 정리로 양의 실수이거나 영이므로
$x \in \mathbb{R}^+$이고 $y \in \mathbb{R}^+$이면
2번으로 $x \cdot y \in \mathbb{R}^+ \subset \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}$이다.
$x \in \mathbb{R}^+$이고 $y = 0$이면
실수의 정의로 $x= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$인 유리수 코시수열 $(x_n)$이 존재하고
실수 영의 정의로 $y= 0 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$이므로
곱셈의 정의로 $x \cdot y = x \cdot 0 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)\cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n \cdot_\mathbb{Q} 0_\mathbb{Q})=\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = 0$이다.
$x = 0$이고 $y = 0$이면
실수 영의 정의로 $x = y= 0 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})$이고
곱셈의 정의로 $x \cdot y = 0\cdot 0 = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q})\cdot \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q} \cdot_\mathbb{Q} 0_\mathbb{Q}) =\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = 0$이다.
따라서 일반성을 잃지 않고 $x,y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}$이면 $x \cdot y \in \mathbb{R}^+ \cup \{ 0\}$이다.
6.
$x \in \mathbb{R}^+\cup \{ 0 \}$이면
위 정리로 $x \in \mathbb{R}^+$이거나 $x = 0$이므로 $x \in \mathbb{R}^+$이면 3번으로 $-x \in \mathbb{R}^- \subset \mathbb{R}^- \cup \{ 0\}$이고
$-x= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-1_\mathbb{Q}) \cdot \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}((-1_\mathbb{Q})\cdot_\mathbb{Q} 0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = 0$이다.
$x \in \mathbb{R}^-\cup \{ 0 \}$이면
위 정리로 $x \in \mathbb{R}^-$이거나 $x = 0$이므로 $x \in \mathbb{R}^-$이면 3번으로 $-x \in \mathbb{R}^+ \subset \mathbb{R}^+ \cup \{ 0 \} $이고
$-x= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(-1_\mathbb{Q}) \cdot \underset{n\to \infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}((-1_\mathbb{Q})\cdot_\mathbb{Q} 0_\mathbb{Q}) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(0_\mathbb{Q}) = 0$이다.
정리8
$(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$은 체이다.
증명
실수 연산 정리로 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$은 체의 공리를 만족하므로 체이다.
정의3(실수 거듭제곱)
임의의 실수 $x \in \mathbb{R}$에 대해
$x$의 $0$제곱을 $x^0 = 1$로 정의하고 $0$의 $0$제곱도 $0^0 = 1$로 정의한다.
임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해
$x$의 $n$제곱이 $x^n \in \mathbb{R}$으로 귀납적으로 정의될때
$x$의 $n+1$제곱을 $x^{n+1} = x^n \cdot x$로 정의한다.
임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n$제곱을 거듭제곱으로 정의한다.
$x \ne 0$인 임의의 실수 $x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$에 대해
$x$의 $-1$제곱을 $x^{-1} = \dfrac{1}{x}$로 정의할때
모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해
$x$의 $-n$제곱을 $x^{-n} = (x^{-1})^n = \dfrac{1}{x^n}$으로 정의한다.
임의의 정수 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $n$제곱을 거듭제곱으로 정의한다.
정리6
임의의 실수 $x, y \in \mathbb{R}$와 임의의 자연수 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $1^n = 1$
2. $x^{m+n} =x^m \cdot x^n$
3. $x^{m\cdot n} = (x^m)^n$
4. $(x \cdot y)^n= x^n \cdot y^n$
5. $n \ge 1$이면 $0^n = 0$이다.
증명
위 정리로 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$은 체이므로 체의 정리로 1,2,3,4,5가 성립한다.
정리7
영이 아닌 임의의 실수 $x, y \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}$와 임의의 정수 $n,m \in \mathbb{Z}$에 대해 다음이 성립한다.
1. $1^n = 1$
2. $x^{m+n} =x^m \cdot x^n$
3. $x^{m\cdot n} = (x^m)^n$
4. $(x \cdot y)^n= x^n \cdot y^n$
증명
위 정리로 $(\mathbb{R},+,\cdot,0,1)$은 체이므로 체의 정리로 1,2,3,4가 성립한다.
정리9
임의의 유리수 코시수열 $(x_n),(y_n)$과 어떤 $N \in \mathbb{Z}^+$에 대해
$n \ge N$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $x_n \ge y_n$이면 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \ge \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이다.
증명
모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $a_n = x_{n + N-1}$이고 $b_n = y_{n + N-1}$인 유리수열 $(a_n),(b_n)$은
$n\ge 1$이면 $n + N -1 \ge 1 + N -1 = N$이므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_n =x_{n+N-1} \ge y_{n+N-1} = b_n$이다.
또 $(x_n)$이 유리수 코시수열이므로 모든 $\epsilon \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n,m \ge H(\epsilon)$인 모든 $n, m\in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$n+N -1, m+N-1 \ge n,m \ge H(\epsilon)$이므로 $|a_n - a_m| = |x_{n+N-1} - x_{m+N-1}| \le \epsilon$이고
$(a_n)$은 유리수 코시수열이다.
비슷하게 $(b_n)$도 유리수 코시수열이므로 유리수 코시수열 정리로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a_n) \ge \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b_n)$이다.
따라서 $n + N -1 \ge n \ge H(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - a_n| = |x_n - x_{n+N-1}| \le \epsilon$이므로
실수의 상등으로 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)$이고 비슷하게 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이 되어
$\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n)= \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(a_n) \ge \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(b_n) = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(y_n)$이다.
정리10
임의의 유리수 코시수열 $(x_n)$으로 만든 실수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$은 수렴하고 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = \displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n)$이다.
증명
실수의 정의로 유리수 코시수열 $(x_n)$으로 구성되는 실수 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = L \in \mathbb{R}$이 존재하므로
귀류법으로 실수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 $L$로 수렴하지 않는다고 가정하면 실수열 수렴의 정의로
어떤 양의 실수 $\epsilon_0 \in \mathbb{R}^+$과 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|x_{n_k} - L| \ge \epsilon_0$이 되는 $n_k \ge k$가 존재하고
$0< \epsilon_0$이므로 조밀성 정리로 $0< r < \epsilon_0$이 되는 양의 유리수 $r \in \mathbb{Q}^+$이 존재한다.
$(x_n)$은 유리수 코시수열이므로 $r \in \mathbb{Q}^+$에 대해
$n,m \ge H(r)$인 모든 $n, m\in \mathbb{Z}^+$이 $|x_n - x_m| \le r < \epsilon_0$이 되는 $H(r) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여
$-\epsilon_0< -r \le x_n - x_m \le r < \epsilon_0$이고 $x_m - \epsilon_0 < x_m - r \le x_n \le x_m+r < x_m + \epsilon_0$이다.
고정된 $m$에 대해 위 정리로
$x_m - \epsilon_0 <x_m - r = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_m - r) \le L = \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) \le \underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_m + r)= x_m+r < x_m + \epsilon_0$이므로
$m \ge H(r)$인 모든 $m\in \mathbb{Z}^+$이 $x_m -\epsilon_0 < L < x_m + \epsilon_0$이고 $|x_m - L| < \epsilon_0$이 되어
$n_{H(r)} \ge H(r)$인 어떤 $n_{H(r)} \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\epsilon_0 \le |x_{n_{H(r)}} - L| < \epsilon_0$이므로 모순이다.
따라서 $\underset{n\to\infty}{\operatorname{LIM}}(x_n) = L = \displaystyle \lim_{n\to\infty}(x_n)$이다.
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정의의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/59#def번호
번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
정리의 링크 :
https://openknowledgevl.tistory.com/59#thm번호
번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.
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출처(저자 - 제목 - ISBN13)
Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662
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