체(Field)

정의1

체 :

집합 $F$와 이항연산인 덧셈 $+ : F \times F \to F$과 곱셈 $\cdot : F \times F \to F$과

$ 0\ne 1 $인 상수 $0,1\in F$에 대해 아래 성질들을 만족하는 $5$-순서쌍 $(F,+,\cdot,0,1)$을 체로 정의한다.

연산의 순서를 명시하지 않으면 연산의 순서는

괄호 $()$안에 묶인 연산이 가장 먼저 계산되고

괄호 안이나 괄호가 없을때는

곱셈이 1순위, 덧셈이 2순위로 연산된다.

이항연산에 대해 닫힘 : 

모든 $a, b \in F$에 대해 $a + b \in F$이다.

모든 $a, b \in F$에 대해 $a \cdot b \in F$이다.

교환법칙 :

모든 $a, b \in F$에 대해 $ a+b = b+a$이다.

모든 $a, b \in F$에 대해 $ a\cdot b = b\cdot a$이다.

결합법칙 :

모든 $a, b, c \in F$에 대해 $ (a+b) + c = a + (b + c) $이다.

모든 $a, b, c \in F$에 대해 $(a \cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c) $이다.

항등원 :

모든 $a \in F$에 대해 $ 0 +a= a = a +0  $인 덧셈에 대한 항등원 $0 \in F$과

모든 $a \in F$에 대해 $ a \cdot 1 = a =  1 \cdot a$인 곱셈에 대한 항등원 $ 1\in F$이 존재한다.

역원 :

모든 $a \in F$에 대해 $ a+c = 0 = c+ a $인 $a$의 덧셈에 대한 역원 $c \in F$와  

$b \ne 0$인 모든 $b \in F$에 대해 $ b \cdot d = 1 = d\cdot b$인 $b$의 곱셈에 대한 역원 $d \in F$가 존재한다.

분배법칙 :

모든 $a, b, c \in F$에 대해 $ a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c = (b+c)\cdot a$이다.

 

 

 

정의5

유한체 :

집합 $F$가 유한집합이면 체 $(F,+,\cdot,0,1)$을 유한체로 정의한다.

무한체 :

집합 $F$가 무한집합이면 체 $(F,+,\cdot,0,1)$을 무한체로 정의한다.

부분체 :

체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 임의의 부분집합 $S \subseteq F$에 대해 $(S,+,\cdot,0,1)$가 체이면

$(S,+,\cdot,0,1)$을 $(F,+,\cdot,0,1)$의 부분체라 정의한다.

 

 

 

정리1

체 $(F,+,\cdot,0,1)$와 임의의 $a,b,c \in F$에 대해 다음이 성립한다.

1. $  a+b = c+b$이면 $a=c$이다.

2. $  a \cdot b = c \cdot b$이고 $ b \ne 0$이면 $ a = c$이다.

증명

1.

$a+b = c+b$일때 $ b+d = 0$인 $b$의 덧셈에 대한 역원 $ d \in F$가 존재하여

양변에 $d$를 더하면 $(a+b)+d = (c+b)+d$이다.

또 덧셈에 대한 항등원 $0 \in F$과 결합법칙으로  

$(a+b)+d = a+(b+d) = a+0 =a$이고 

$(c+b)+d = c + (b+d) = c+0 = c$이므로 $a=c$이다.

2.

$a \cdot b = c \cdot b$이고 $b \ne 0$일때 $b \cdot d = 1$인 $b$의 곱셈에 대한 역원 $d \in F$가 존재하여 

양변에 $d$를 곱하면 $(a \cdot b) \cdot d = (c\cdot b)\cdot d$이다.

곱셈에 대한 항등원 $1 \in F$과 결합법칙으로 

$(a \cdot b) \cdot d = a \cdot (b \cdot d) = a \cdot 1 = a$이고

$(c \cdot b) \cdot d = c \cdot (b \cdot d) = c \cdot 1 = c$이므로 $a=c$이다.

 

 

 

정리3

체 $(F,+,\cdot,0,1)$의 덧셈, 곱셈에 대한 항등원과 역원은 유일하다.

증명

덧셈에 대한 항등원의 유일성

임의의 $a \in F$에 대해 $0 + a = a = 0_F + a$인 $0,0_F \in F$가 존재하면 위 정리로 $0 = 0_F$이다.

덧셈에 대한 역원의 유일성

임의의 $a \in F$에 대해 $a + c = 0 =  a + c_F $인 $c,c_F \in F$가 존재하면 위 정리로 $c = c_F$이다.

곱셈에 대한 항등원의 유일성

임의의 $b \ne 0$인 $b \in F$에 대해 $1 \cdot b = b = 1_F \cdot b$인 $1,1_F \in F$가 존재하면 위 정리로 $1 = 1_F$이다.

곱셈에 대한 역원의 유일성

임의의 $b \ne 0$인 $b \in F$에 대해 $d \cdot b = 1= d_F \cdot b $인 $d,d_F \in F$가 존재하면 위 정리로 $d = d_F$ 이다.

 

 

 

정의2

$(F,+,\cdot,0_F,1_F)$가 체일때

뺄셈 :

모든 $a \in F$에 대해 $a +c = 0_F$인 $a$의 덧셈에 대한 역원 $c \in F$를 $c = -a$로 정의하고

모든 $a,b \in F$에 대해 $a$에서 $b$를 빼는 것을 $a - b = a+(-b)$로 정의한다.

나눗셈 :

$b \ne 0_F$인 모든 $b \in F$에 대해 $b \cdot d = 1_F$인 $b$의 곱셈에 대한 역원 $d \in F$를 $d = \displaystyle \frac{1_F}{b} = b^{-1}$로 정의하고

$b \ne 0_F$인 모든 $a,b \in F$에 대해 $a$를 $b$로 나누는 것을 $\displaystyle \frac{a}{b} = a\cdot b^{-1}$로 정의한다.

 

 

 

정리2

$(F,+,\cdot,0,1)$가 체일때 임의의 $a,b \in F$에 대하여 다음이 성립한다.

1. $a \cdot 0 = 0$

2. $(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b)$

3. $(-a) \cdot (-b) = a \cdot b$

증명

1.

덧셈에 대한 항등원 $0 \in F$에 대해 $0 + 0 = 0$이고

분배법칙으로 $0 + a \cdot 0 = a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a\cdot 0 + a\cdot 0$ 이므로 

$0 + a \cdot 0 =  a\cdot 0 + a\cdot 0$은 위 정리로 $a \cdot 0 = 0$이다.

2.

분배법칙과 $a$의 덧셈에 대한 역원 $-a$에 대해

$a \cdot b + (-a) \cdot b = (a + (-a)) \cdot b = 0 \cdot b = 0$,

$a \cdot b + a \cdot (-b) = b \cdot a + (-b) \cdot a = (b + (-b)) \cdot a = 0 \cdot a = 0$,

$a \cdot b + (-(a \cdot b )) = 0$이므로 

$a \cdot b + (-a) \cdot b =a \cdot b + a \cdot (-b) =a \cdot b + (-(a \cdot b ))$이다.

따라서 위 정리로 $(-a) \cdot b = a \cdot (-b) = -(a \cdot b )$이다.

3.

$a$의 덧셈에 대한 역원 $-a$에 대해 $a + (-a) = 0 = -(-a) + (-a)$이므로 위 정리로 $a = -(-a)$이다.

따라서 2번으로 $(-a) \cdot (-b) = -(a \cdot (-b)) = -(-(a \cdot b)) = a \cdot b$이다.

 

 

 

정리4

$(F,+,\cdot,0,1)$가 체일때 $0 \in F$의 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않는다.

증명

$0 \cdot a = 1$인 $a \in F$가 존재하여 $0$의 곱셈에 대한 역원이라 가정하면

위 정리로 $0 \cdot a = 0$이므로 모순이 되어 $0$의 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않는다.

 

 

 

정의3

체 $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$의 곱셈에 대한 항등원 $1_F \in F$에 대해

$1_F$의 $P$번 합이 $\displaystyle \sum_{i=1}^P 1_F = 0_F$가 되는 가장 작은 양의 정수 $P \in \mathbb{Z}^+$를

체 $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$의 지표(characteristic)로 정의하고

$\displaystyle \sum_{i=1}^P 1_F = 0_F$가 되는 양의 정수 $P$가 존재하지 않을때 $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$의 지표를 자연수 $0 \in \mathbb{N}$으로 정의한다.

 

 

 

정리7

$0_F\ne 1_F$인 임의의 $0_F,1_F$에 대해

덧셈이 $0_F+0_F = 0_F $와 $1_F +0_F = 1_F = 0_F+1_F $와 $1_F +1_F = 0_F$로

곱셈이 $0_F \cdot 0_F = 0_F$와 $ 0_F \cdot 1_F = 0_F = 1_F \cdot 0_F $와 $1_F \cdot 1_F = 1_F$로 정의되면

$(\{ 0_F, 1_F \},+, \cdot,0_F,1_F)$는 지표가 $2 \in \mathbb{Z}^+$인 체이다.

증명

$(\{ 0_F, 1_F \},+, \cdot,0_F,1_F)$는

연산의 정의로부터 지표가 $2$이고 연산에 대해 닫혀있고 교환법칙을 만족하고 항등원이 존재한다.

$0_F$의 덧셈에 대한 역원은 $0_F + 0_F = 0_F$로 $0_F$이고

$1_F$의 덧셈에 대한 역원은 $1_F + 1_F = 0_F$로 $1_F$이고

$1_F$의 곱셈에 대한 역원은 $1_F\cdot 1_F = 1_F$로 $1_F$이다.

또 아래 성질들을 만족하므로 $(\{0_F,1_F\},+, \cdot,0_F,1_F)$는 체이다.

덧셈 결합법칙

$ (0_F + 0_F) +0_F = 0_F = 0_F+(0_F+0_F) $,

$(0_F+0_F)+1_F = 1_F = 1_F + (0_F+0_F)$,

$(0_F+1_F) +0_F= 1_F = 1_F+(0_F+0_F)$,

$( 1_F+0_F)+0_F = 1_F =  1_F +(0_F+0_F) $,

$(0_F+1_F)+1_F = 0_F = 0_F+(1_F+1_F)$,

$(1_F+1_F) +0_F = 0_F = 1_F+(1_F+0_F) $,

$(1_F+0_F)+1_F = 0_F = 1_F + (0_F+1_F)$,

$(1_F+1_F)+1_F = 1_F = 1_F+(1_F+1_F)$

곱셈 결합법칙

$(0_F \cdot 0_F) \cdot 0_F = 0_F = 0_F\cdot(0_F\cdot0_F) $,

$(0_F\cdot0_F)\cdot1_F = 0_F = 1_F \cdot (0_F\cdot0_F)$,

$(0_F\cdot1_F) \cdot0_F= 0_F = 1_F\cdot(0_F\cdot0_F)$,

$(1_F\cdot0_F)\cdot0_F = 0_F =  1_F \cdot(0_F\cdot0_F) $,

$(0_F\cdot1_F)\cdot1_F = 0_F = 0_F\cdot(1_F\cdot1_F)$,

$(1_F\cdot1_F) \cdot0_F = 0_F = 1_F\cdot(1_F\cdot0_F) $,

$(1_F\cdot0_F)\cdot1_F = 0_F = 1_F \cdot (0_F\cdot1_F)$,

$(1_F\cdot1_F)\cdot1_F = 1_F = 1_F\cdot(1_F\cdot1_F)$

분배법칙

$ 0_F \cdot (0_F + 0_F) = 0_F = 0_F\cdot0_F + 0_F \cdot0_F $,

$0_F\cdot(0_F+1_F) = 0_F =  0_F \cdot 0_F + 0_F \cdot 1_F$,

$0_F\cdot(1_F +0_F)= 0_F = 0_F\cdot 1_F + 0_F\cdot0_F$,

$ 1_F\cdot (0_F+ 0_F) = 0_F =  1_F \cdot0_F + 1_F\cdot0_F $,

$0_F\cdot (1_F +1_F ) = 0_F = 0_F\cdot1_F+ 0_F\cdot1_F$,

$1_F\cdot (1_F+ 0_F) = 1_F = 1_F\cdot1_F + 1_F \cdot0_F $,

$1_F\cdot (0_F +1_F) = 1_F = 1_F \cdot 0_F + 1_F \cdot1_F$,

$1_F\cdot (1_F+1_F) = 0_F = 1_F\cdot 1_F + 1_F \cdot1_F$

 

 

 

정리5

체 $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$의 임의의 $a,b \in F$에 대해 다음이 성립한다.

1. $a\cdot b = 0_F$이기 위한 필요충분조건은 $a = 0_F$ 또는 $b = 0_F$인 것이다.

2. $a \ne 0_F$이면 $a$의 곱셈에 대한 역원은 $a^{-1}\ne 0_F$이다.

증명

1.

$a = 0_F$ 또는 $b = 0_F$이면 위 정리로 $a\cdot b = 0_F$이다.

역은 대우로 증명한다.

$a \ne 0_F$이고 $b \ne 0_F$일때 $a \cdot b = 0_F$이라고 가정하면

$b$의 곱셈에 대한 역원 $b^{-1}$이 존재하여 위 정리로 $a = a\cdot 1_F = a \cdot b \cdot b^{-1}= 0_F \cdot b^{-1} = 0_F$이므로 모순이다.

따라서 $a \ne 0_F$이고 $b \ne 0_F$이면 $a \cdot b \ne 0_F$이다.

2.

$a \ne 0_F$일때 $a^{-1}= 0_F$라고 가정하면

1번과 위 정리로 $1_F = a\cdot a^{-1} = a\cdot 0_F = 0_F$인데 체의 정의로 $0_F\ne 1_F$이므로 모순이 되어 $a^{-1}\ne 0_F$이다.

 

 

 

정리11

체 $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$와 임의의 양의 정수 $P \in \mathbb{Z}^+$에 대해 다음은 동치이다.

1. $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$의 지표가 $P$이다.

2. 모든 $a\in F$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=1}^P a = 0_F$이다.

3. $a\ne 0_F$인 어떤 $a\in F$가 존재하여 $\displaystyle \sum_{i=1}^P a = 0_F$이다.

증명

$1\to 2$

체의 정의와 지표의 정의와 위 정리로 모든 $a\in F$에 대해 $\displaystyle \sum_{i=1}^P a = \sum_{i=1}^P(a\cdot 1_F) = a\cdot \sum_{i=1}^P 1_F = a\cdot 0_F = 0_F$이다.

$2\to 3$

체의 정의로 $1_F \ne 0_F$이고 $1_F\in F$이므로 2번으로 $\displaystyle \sum_{i=1}^P 1_F = 0_F$이다.

$3\to 1$

체의 정의와 3번으로 $\displaystyle 0_F = \sum_{i=1}^P a = \sum_{i=1}^P(a\cdot 1_F) = a\cdot \sum_{i=1}^P 1_F$이고 $a\ne 0_F$이므로

위 정리로 $\displaystyle \sum_{i=1}^P 1_F = 0_F$가 되어 $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$의 지표는 $P$이다.

 

 

 

정리10

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 지표는 $0 \in \mathbb{N}$이거나 소수이다.

증명

$(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 지표가 $0 \in \mathbb{N}$이 아니고 소수가 아니라고 가정하면 $1\in \mathbb{Z}^+$이거나 합성수이다.

지표가 $1$이면 $\displaystyle 1_F =\sum_{i=1}^1 1_F = 0_F$가 되어 $0_F \ne 1_F$임에 모순이고

지표가 합성수 $P \in \mathbb{Z}^+$이면

$P/n \in \mathbb{Z}$일때 $n\ne 1$이고 $n \ne P$인 $n \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\displaystyle \left (\sum_{i =1}^n 1_F\right ) \cdot_F \left ( \sum_{i = 1}^{\frac{P}{n}}1_F \right ) = \sum_{i = 1}^{n\cdot \frac{P}{n}} 1_F = \sum_{i=1}^P 1_F = 0_F$인데

위 정리로 $\displaystyle \sum_{i =1}^n 1_F = 0_F$ 또는 $\displaystyle \sum_{i =1}^\frac{P}{n} 1_F = 0_F$이므로 약수정리로 $P$가 최소라는 가정에 모순이다.

따라서 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 지표는 $0$이거나 소수이다.

 

 

 

정리8

체 $(F,+,\cdot,0,1)$에 대해 $(F $ $\setminus$ $ \{ 0 \} , \cdot,1)$은 가환군이다.

증명

위 정리와 체의 정의로

모든 $a,b \in F \setminus \{ 0\}$에 대해 $a \cdot b \in F \setminus \{ 0 \}$이므로 $(F \setminus \{ 0 \} , \cdot,1)$은 곱셈에 대해 닫혀있다.

또 체의 정의로 곱셈에 대한 결합법칙과 교환법칙을 만족하고

모든 $a \in F\setminus \{ 0 \}$에 대해 곱셈에 대한 항등원과 역원이 존재하므로 $(F \setminus \{ 0 \} , \cdot,1)$은 가환군이다.

 

 

 

정의4

체 $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$와 임의의 $a \in F$에 대해

$a$의 $0$제곱을 곱셈에 대한 항등원 $a^0 = 1_F$로 정의하고

임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$a$의 $n$제곱이 $a^n \in F$으로 귀납적으로 정의될때

$a$의 $n+1$제곱을 $a^{n+1} = a^n\cdot a$로 정의한다.

임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n$제곱을 거듭제곱으로 정의한다.

 

$a \ne 0_F$인 임의의 $a \in F \setminus \{ 0_F \}$에 대해

$a$의 $-1$제곱을 $a$의 곱셈에 대한 역원 $a^{-1} = \displaystyle \frac{1_F}{a}$로 정의할때

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$a$의 $-n$제곱을 $a^{-n} = (a^{-1})^n = \displaystyle \frac{1_F}{a^n}$으로 정의한다.

임의의 정수 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $n$제곱을 거듭제곱으로 정의한다.

 

 

 

정리9

체 $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$와 임의의 $a,b \in F$와 모든 자연수 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $1^n_F = 1_F$

2. $(a \cdot b)^n= a^n \cdot b^n$

3. $a^{m+n} =a^m \cdot a^n$

4. $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$

5. $n \ge 1$이면 $0^n_F = 0_F$이다.

증명

$(F , \cdot,1_F )$은 체의 정의로 곱셈에 대해 결합적, 교환적이고 항등원이 존재하므로

가환 모노이드이고 모노이드 정리로 1,2,3,4가 성립한다.

5. 

$n\ge 1$인 $n \in \mathbb{N}$에 대해 귀납법을 사용한다.

$n = 1$이면 거듭제곱의 정의와 체의 정의로 $0^1_F = 0^0_F \cdot 0_F = 1_F \cdot 0_F = 0_F $이다.

$k \ge 1$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $0^k_F = 0_F$이면 거듭제곱의 정의와 체의 정의로 $0^{k+1}_F = 0^k_F \cdot 0_F = 0_F \cdot 0_F = 0_F$이므로

$n\ge 1$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $0^n_F = 0_F$이다.

 

 

 

정리6

체 $(F,+,\cdot,0_F,1_F)$와 임의의 $a,b \in F $ $\setminus$ $ \{ 0_F\}$와 모든 정수 $m,n\in \mathbb{Z}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $1^n_F = 1_F$

2. $(a \cdot b)^n= a^n \cdot b^n$

3. $a^{m+n} =a^m \cdot a^n$

4. $(a^m)^n = a^{m\cdot n}$

증명

위 정리로 $(F \setminus \{ 0_F \} , \cdot,1_F)$은 가환군이므로 가환군의 정리로 1,2,3,4가 성립한다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/3#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/3#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244

John B. Fraleigh - A First course in Abstract Algebra - 9788998308162