다항식(Polynomial)

정의1

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때

다항식 :

자연수집합 $\mathbb{N}$에서 $R$로의 임의의 함수 $a : \mathbb{N} \to R$를 계수(coefficient)가 $R$인 다항식으로 정의한다.

 또 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a(k) = a_k$로 표기하고 $a_k \in R$를 다항식 $a$의 계수로 정의한다.

계수가 $R$인 모든 다항식들의 집합족을 $P(R)$로 정의한다.

부정원(indeterminate) :

임의의 $n,k \in \mathbb{N}$에 대해 $(x^n)_k = \begin{cases} 1_R, & k = n\text{일때} \\ 0_R, & k \ne n \text{일때} \end{cases}$ 인 다항식 $x^n \in P(R)$을 부정원으로 정의한다.

영다항식(zero polynomial) :

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(f_0(x))_k = 0_R$인 다항식 $f_0(x) \in P(R)$를 영다항식으로 정의한다.

다항식의 덧셈 :

임의의 다항식 $a,b \in P(R)$의 덧셈 $+_P $는

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(a+_P b)_k = a_k +_R b_k$인 다항식 $a+_P b \in P(R)$로 정의한다.

다항식의 스칼라곱 :

임의의 $c \in R$에 대한 다항식 $a \in P(R)$의 스칼라곱 $\cdot_P$는

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(c\cdot_P a)_k = c\cdot_R a_k$인 다항식 $c\cdot_P a \in P(R)$로 정의한다.

다항식의 곱셈 :

임의의 다항식 $a,b \in P(R)$의 곱셈 $\cdot$은

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(a\cdot b)_k = \displaystyle \sum_{i = 0}^k a_{k-i} \cdot_R b_i$인 다항식 $a\cdot b \in P(R)$로 정의한다.

 

 

 

정리1

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때 임의의 다항식 $a,b \in P(R)$에 대해

$a = b$이기 위한 필요충분조건은 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 다항식의 계수가 $a_k = b_k$인 것이다.

증명

$a,b \in P(R)$는 $a,b : \mathbb{N} \to R$인 함수이므로 함수의 상등으로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리2

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때 다음이 성립한다.

1. 다항식집합 $P(R)$는 다항식 연산 $+_P,\cdot_P, \cdot$에 대해 닫혀있다.

2. 영다항식 $f_0(x) \in P(R)$과 부정원 $x^0 \in P(R)$에 대해 $(P(R),+_P,\cdot, f_0(x), x^0)$은 환이다.

3. $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 가환환이면 $(P(R),+_P,\cdot, f_0(x), x^0)$도 가환환이다.

4. $f_0(x) \ne a$인 다항식 $a\in P(R)$가 존재하는 것과 $0_R \ne 1_R$과 $f_0(x) \ne x^0$은 동치이다.

5. 임의의 다항식 $a\in P(R)$에 대해 $1_R \cdot_P a = a$이고 $0_R \cdot_P a = f_0(x)$이다.

6. 임의의 다항식 $a\in P(R)$와 임의의 $c_0, d_0 \in R$에 대해 $(c_0 \cdot_R d_0)\cdot_P a = c_0 \cdot_P (d_0 \cdot_P a)$이다.

7. 임의의 다항식 $a,b\in P(R)$와 임의의 $c_0 \in R$에 대해 $c_0 \cdot_P (a+_P b) = (c_0\cdot_P a) +_P (c_0\cdot_P b)$이다.

8. 임의의 다항식 $a\in P(R)$와 임의의 $c_0, d_0 \in R$에 대해 $(c_0 +_R d_0)\cdot_P a = (c_0\cdot_P a) +_P(d_0\cdot_P a)$이다.

9. 임의의 다항식 $a,b\in P(R)$와 임의의 $c_0\in R$에 대해 $c_0\cdot_P (a\cdot b) = (c_0\cdot_P a)\cdot b$이다.

10. $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 가환환이면

임의의 다항식 $a,b\in P(R)$와 임의의 $c_0\in R$에 대해 $c_0\cdot_P (a\cdot b) = (c_0\cdot_P a)\cdot b = a\cdot (c_0\cdot_P b)$이다.

증명

1.

임의의 다항식 $a,b \in P(R)$와 이항연산 $+_R$은 함수이므로 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해

$(a+_P b)_k = a_k +_R b_k$인 $a+_P b$는 $\mathbb{N}$에서 $R$로의 함수가 되어 $a+_P b \in P(R)$이다.

임의의 다항식 $a \in P(R)$와 이항연산 $\cdot_R$은 함수이므로 임의의 $c_0 \in R$과 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해

$(c_0\cdot_P a)_k = c_0\cdot_R a_k$인 $c_0\cdot_P a$는 $\mathbb{N}$에서 $R$로의 함수가 되어 $c_0\cdot_P a \in P(R)$이다.

귀납법으로 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 임의의 $c_0,c_1,\cdots, c_n ,d_0,d_1,\cdots, d_n \in R$이

$c_0\cdot_R d_0 +_R c_1\cdot_R d_1 +_R \cdots +_R c_n \cdot_R d_n = \displaystyle \sum_{i = 0}^n c_i\cdot_R d_i \in R$임을 보인다.

$n = 0$일때 임의의 $c_0, d_0 \in R$에 대해 환의 정의로 $c_0\cdot_R d_0 \in R$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$와 임의의 $c_0,c_1,\cdots, c_k , d_0,d_1,\cdots, d_k \in R$에 대해 $\displaystyle \sum_{i = 0}^k c_i\cdot_R d_i \in R$일때

임의의 $c_{k+1} , d_{k+1}$에 대해 환의 정의로 $c_{k+1}\cdot_R d_{k+1} \in P(R)$이고

귀납가정과 환의 정의로 $ \displaystyle \sum_{i = 0}^{k+1} c_i\cdot_R d_i = \left ( \sum_{i = 0}^k c_i\cdot_R d_i \right ) +_R (c_{k+1} \cdot_R d_{k+1} ) \in R$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 임의의 $c_0,c_1,\cdots, c_n , d_0,d_1,\cdots, d_n \in R$이 $\displaystyle \sum_{i = 0}^n c_i\cdot_R d_i \in R$이므로

임의의 다항식 $a,b \in P(R)$는 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해

$(a\cdot b)_k = \displaystyle \sum_{i = 0}^k a_{k-i} \cdot_R b_i \in R$가 되어 $a\cdot b$는 $\mathbb{N}$에서 $R$로의 함수이므로 $a\cdot b \in P(R)$이다.

2.

$+_P$에 대한 교환법칙

다항식 덧셈의 정의와 환의 정의로 임의의 $a,b \in P(R)$와 임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해

$(a +_P b)_k = a_k +_R b_k = b_k +_R a_k =( b+_P a)_k $이므로 위 정리로 $a +_P b = b+_P a $이다.

$+_P$에 대한 역원

환의 정의로 임의의 $a \in P(R)$와 임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a_k +_R (-a_k) = 0_R$인 $-a_k \in R$가 존재하고

$(-1_R)\cdot_P a \in P(R)$에 대해 환 정리로 $-a_k  = -(1_R \cdot_R a_k) = (-1_R) \cdot_R a_k = ((-1_R) \cdot_P a)_k$이므로 

$(a +_P (-1_R) \cdot_P a)_k = a_k +_R ((-1_R) \cdot_P a)_k = a_k +_R (-1_R) \cdot_R a_k = a_k +_R (-a_k) = 0_R = (f_0(x))_k$가 되어

위 정리로 $a +_P (-1_R) \cdot_P a= f_0(x)$이다.

$+_P, \cdot$에 대한 항등원

임의의 $a \in P(R)$와 임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해

$(a +_P f_0(x))_k = a_k +_R (f_0(x))_k = a_k +_R 0_R = a_k$이므로

위 정리와 교환법칙으로 $f_0(x) +_P a = a +_P f_0(x) = a$이고

환 정리로 $i\ne 0$인 모든 $i \in \mathbb{N}$에 대해 $a_{k-i} \cdot_R (x^0)_i = a_{k-i} \cdot_R 0_R = 0_R = 0_R \cdot_R a_{k-i} = (x^0)_i \cdot_R a_{k-1}$이므로

$\begin{align*} (a\cdot x^0)_k = \sum_{i = 0}^k a_{k-i} \cdot_R (x^0)_i = a_{k-0} \cdot_R (x^0)_0 = a_k \cdot_R 1_R = a_k = 1_R \cdot_R a_k = (x^0)_0 \cdot_R a_{k-0}= \sum_{i = 0}^k (x^0)_i \cdot_R a_{k-i} = ( x^0 \cdot a)_k \text{ 가 되어} \end{align*}$

위 정리로 $a\cdot x^0 = a = x^0 \cdot a$이다.

$+_P, \cdot$에 대한 결합법칙

임의의 $a,b,c \in P(R)$와 임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해

$(a +_P (b+_P c))_k = a_k +_R (b+_P c)_k = a_k +_R (b_k +_R c_k) = (a_k +_R b_k) +_R c_k = (a+_P b)_k +_R c_k = ((a+_P b) +_P c)_k \text{ 이므로}$

위 정리로 $a +_P (b+_P c) = (a+_P b) +_P c$이고

이항구조 정리와 환의 정의로

$\begin{align*} (a\cdot (b\cdot c))_k & = \sum_{i = 0}^k a_{k-i} \cdot_R (b\cdot c)_i \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k \left ( a_{k-i} \cdot_R \left ( \sum_{j = 0}^i b_{i-j} \cdot_R c_j \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k \sum_{j = 0}^i \left ( a_{k-i} \cdot_R \left ( b_{i-j} \cdot_R c_j \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k \sum_{j = 0}^i \left ( a_{k-i} \cdot_R \left ( b_{i -j + k - k} \cdot_R c_j \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k \sum_{j = 0}^i \left ( a_{k-i} \cdot_R \left ( b_{k -j - (k-i)} \cdot_R c_j \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k \sum_{j = 0}^i \left ( a_{j} \cdot_R \left ( b_{k -(k-i) - j} \cdot_R c_{k-i} \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k \sum_{j = 0}^i \left ( a_{j} \cdot_R \left ( b_{i - j} \cdot_R c_{k-i} \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k \sum_{j = 0}^i ( ( a_{j} \cdot_R b_{i - j} ) \cdot_R c_{k-i} ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k \sum_{j = 0}^i ( ( a_{i-j} \cdot_R b_{j} ) \cdot_R c_{k-i} ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k \left ( \left ( \sum_{j = 0}^i a_{i-j} \cdot_R b_{j}\right ) \cdot_R c_{k-i} \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k ( a\cdot b )_i \cdot_R c_{k-i} \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k ( a\cdot b )_{k-i} \cdot_R c_{i} \\[0.5em] & = (( a\cdot b ) \cdot c)_k \text{ 이므로} \end{align*}$

위 정리로 $a\cdot (b\cdot c) = (a\cdot b) \cdot c$이다.

분배법칙

임의의 $a,b,c \in P(R)$와 임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해

$\begin{align*}(a\cdot (b+_P c))_k & = \sum_{i = 0}^k a_{k-i} \cdot_R (b +_P c)_i \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k  a_{k-i}\cdot_R  (b_i +_R  c_i) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k (a_{k-i} \cdot_R b_i +_R a_{k-i}\cdot_R c_i) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i= 0}^ka_{k-i} \cdot_R b_i \right ) +_R \left (\sum_{i = 0}^k a_{k-i} \cdot_R c_i \right ) \\[0.5em] & = (a\cdot b)_k +_R (a\cdot c)_k \\[0.5em] & = ((a\cdot b) +_P (a\cdot c))_k \text{ 이므로} \end{align*}$

위 정리로 $a\cdot (b+_P c) = (a\cdot b) +_P (a\cdot c)$이고

$\begin{align*} ( (b+_P c)\cdot a)_k & = \sum_{i = 0}^k (b +_P c)_{k-i} \cdot_R a_{i} \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k (b_{k-i} +_R c_{k-i}) \cdot_R a_{i} \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k (b_{k-i} \cdot_R a_i +_R c_{k-i}\cdot_R a_i) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i= 0}^kb_{k-i} \cdot_R a_i \right ) +_R \left (\sum_{i = 0}^k c_{k-i} \cdot_R a_i \right ) \\[0.5em] & = (b\cdot a)_k +_R (c\cdot a)_k \\[0.5em] & = ((b\cdot a) +_P (c\cdot a))_k \text{ 이므로} \end{align*}$

위 정리로 $ (b+_P c)\cdot a = (b\cdot a) +_P (c\cdot a)$이다.

3.

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 가환환이면 임의의 $a,b \in P(R)$와 임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해

$\begin{align*}(a\cdot b)_k  = \sum_{i = 0}^k a_{k-i} \cdot_R b_i  = \sum_{i = 0}^k b_i \cdot_R a_{k-i}  = \sum_{i = 0}^k b_{k-i} \cdot_R a_i  = (b\cdot a)_k  \end{align*}$이므로

위 정리로 $a\cdot b = b\cdot a$이고 2번으로 $(P(R),+_P,\cdot, f_0(x), x^0)$은 환이 되어 $(P(R),+_P,\cdot, f_0(x), x^0)$은 가환환이다.

4.

$f_0(x) \ne a$인 다항식 $a\in P(R)$가 존재하면

위 정리의 대우로 $a_k \ne 0_R$인 $k \in \mathbb{N}$가 존재하고 $a_k \in R$이므로 $R \ne \{ 0_R\}$이 되어 환 정리의 대우로 $0_R \ne 1_R$이다.

$0_R \ne 1_R$이면 $(f_0(x))_0 = 0_R \ne 1_R = (x^0)_0$이므로 위 정리의 대우로 $f_0(x) \ne x^0$이다.

$f_0(x) \ne x^0$이면 자명하게 $x^0 \in P(R)$이 존재한다.

5.

임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해

환의 정의로 $(1_R \cdot_P a)_k = 1_R \cdot_R a_k = a_k$이므로 위 정리로 $1_R \cdot_P a =a$이고

환 정리로 $(0_R \cdot_P a)_k = 0_R \cdot_R a_k = 0_R = (f_0(x))_k$이므로 위 정리로 $0_R \cdot_P a =f_0(x)$이다.

6.

임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해 환의 정의로

$((c_0\cdot_R d_0) \cdot_P a)_k = (c_0\cdot_R d_0) \cdot_R a_k = c_0\cdot_R (d_0 \cdot_R a_k) = c_0 \cdot_R (d_0\cdot_P a)_k = (c_0 \cdot_P (d_0 \cdot_P a))_k$이므로

위 정리로 $(c_0\cdot_R d_0) \cdot_P a = c_0 \cdot_P (d_0 \cdot_P a)$이다.

7.

임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해 환의 정의로

$(c_0 \cdot_P (a+_P b))_k = c_0\cdot_R (a+_P b)_k = c_0\cdot_R(a_k +_R b_k) = (c_0\cdot_R a_k) +_R (c_0\cdot_R b_k) = (c_0\cdot_P a)_k +_R (c_0\cdot_P b)_k = ((c_0\cdot_P a) +_P (c_0\cdot_P b))_k \text{ 이므로}$

위 정리로 $c_0 \cdot_P (a+_P b) = (c_0\cdot_P a) +_P (c_0\cdot_P b) $이다.

8.

임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해 환의 정의로

$((c_0+_R d_0)\cdot_P a)_k = (c_0+_R d_0)\cdot_R a_k = (c_0\cdot_R a_k) +_R (d_0\cdot_R a_k) = (c_0\cdot_P a)_k +_R (d_0\cdot_P a)_k = ((c_0\cdot_P a) +_P (d_0 \cdot_P a))_k \text{ 이므로}$

위 정리로 $(c_0+_R d_0)\cdot_P a = (c_0\cdot_P a) +_P (d_0 \cdot_P a)$이다.

9.

임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해 환의 정의로

$\begin{align*}(c_0\cdot_P (a\cdot b))_k  = c_0\cdot_R (a\cdot b)_k = c_0\cdot_R \left(\sum_{i =0}^k a_{k-i}\cdot_R b_i \right)= \sum_{i =0}^k (c_0 \cdot_R a_{k-i})\cdot_R b_i = \sum_{i = 0}^k (c_0\cdot_P a)_{k-i}\cdot_R b_i = ((c_0\cdot_P a)\cdot b)_k \text{ 이므로}\end{align*}$

위 정리로 $c_0\cdot_P (a\cdot b) = (c_0\cdot_P a)\cdot b$이다.

10. 

임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해 가환환의 정의로

$\begin{align*}(c_0\cdot_P (a\cdot b))_k  &= c_0\cdot_R (a\cdot b)_k \\[0.5em]&= c_0\cdot_R \left(\sum_{i =0}^k a_{k-i}\cdot_R b_i \right)\\[0.5em]&= \sum_{i =0}^k (c_0 \cdot_R a_{k-i})\cdot_R b_i \\[0.5em]&= \sum_{i =0}^k (a_{k-i}\cdot_R c_0)\cdot_R b_i \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^k a_{k-i}\cdot_R (c_0\cdot_R b_i) \\[0.5em]& =\sum_{i =0}^k a_{k-i}\cdot_R (c_0\cdot_P b)_i \\[0.5em]& =(a\cdot (c_0\cdot_P b))_k \text{ 이므로}\end{align*}$

위 정리와 1번으로 $c_0\cdot_P (a\cdot b) = (c_0\cdot_P a)\cdot b = a\cdot (c_0\cdot_P b)$이다.

 

 

 

정의3

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환이고 위 정리의 환이 $(P(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$일때

다항식의 차수(degree) :

임의의 자연수 $n \in \mathbb{N}$과 부정원 $x^n,\cdots, x^1,x^0 \in P(R)$과 다항식 스칼라곱 $\cdot_P$에 대해

$P_n(R) = \{ a_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0  : (a_0,a_1,\cdots, a_n) \in $ $R^{n+1}$$ \}$인 집합을 정의할때

임의의 $f(x) = a_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$를 $n$차이하다항식으로 정의하고

$a_n \ne 0_R$이면 $f(x)$를 $n$차다항식으로 정의한다.

또 영다항식 $f_0(x)\in P(R)$을 $-1$차다항식으로 정의하고 $P_{-1}(R) = \{ f_0(x)\}$로 정의한다.

상수다항식(constant polynomial) :

$0$차다항식과 $-1$차다항식을 상수 다항식으로 정의한다.

유한다항식(finite polynomial) :

$P_\infty(R) = $ $\displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty$$P_n(R)$인 집합을 정의할때

임의의 $f(x) \in P_\infty(R)$는 $f(x) \in P_n(R)$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하므로 모든 $f(x) \in P_\infty(R)$를 유한다항식으로 정의한다.

 

 

 

정리3

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환이고 위 정리의 환이 $(P(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$일때 스칼라곱 $\cdot_P$에 대해 다음이 성립한다.

1. 

$n_0 \le n$인 임의의 $n_0,n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_0(x) = 0_R \cdot_P x^n +_P \cdots +_P 0_R \cdot_P x^{n_0+1} +_P 0_R \cdot_P x^{n_0}$이다.

2.

$m\ge n$인 $m,n \in \mathbb{N}$차이하다항식

$f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_{n+1}\cdot_P x^{n+1} +_P a_n\cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$와

$g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$에 대해

$f(x) +_P g(x) = a_m \cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_{n+1}\cdot_P x^{n+1}+_P (a_n +_R b_n)\cdot_P x^n +_P \cdots +_P (a_1+_R b_1) \cdot_P x^1 +_P (a_0+_R b_0)\cdot_P x^0 \in P_{m}(R) \text{ 이다.}$

3.

$m \in \mathbb{N}$차이하다항식 $f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$와 임의의 $c \in R$에 대해

$c\cdot_P f(x) = (c\cdot_R a_m) \cdot_P x^m +_P\cdots +_P (c\cdot_R a_1) \cdot_P x^1 +_P (c\cdot_R a_0) \cdot_P x^0 \in P_m(R)$이다.

4.

$m,n \in \mathbb{N}$차이하다항식

$f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$와

$g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$에 대해

$\begin{align*}f(x) \cdot g(x) = \sum_{i = 0}^m \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_R b_j) \cdot_P x^{i+j} \in P_{m+n}(R)\end{align*}$이다.

5.

$m \in \mathbb{N}$차이하다항식 $f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$는

모든 $k = 0,1,\cdots, m$에 대해 $(f(x))_k = a_k$이고 $m<k$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(f(x))_k = 0_R$이다.

6.

유한다항식 $f(x)  \in P_\infty(R)$가 영다항식이 아니기 위한 필요충분조건은

$f(x) = a_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$이고 $a_n\ne 0_R$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하는 것이다.

7.

$m,n \in \mathbb{N}$차다항식

$f(x) = a_m\cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0\in P_m(R)$와

$g(x) = b_n\cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0 \cdot_P x^0 \in P_n(R)$가

$f(x) = g(x)$이기 위한 필요충분조건은 $m=n$이고 모든 $k = 0,1,\cdots, m$에 대해 $a_k = b_k$인 것이다.

증명

1.

$n_0 \le n$인 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n =n_0$이면 위 정리로 $f_0(x) = 0_R \cdot_P x^{n_0}$이다.

$n_0 \le m$인 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $f_0(x) = 0_R \cdot_P x^m +_P \cdots +_P 0_R \cdot_P x^{n_0+1} +_P 0_R \cdot_P x^{n_0}$이면

귀납가정과 위 정리로 모든 $k\in \mathbb{N}$에 대해 

$\begin{align*}(f_0(x))_k & = 0_R \\[0.5em] & = 0_R +_R 0_R \\[0.5em] & = (f_0(x))_k +_R (f_0(x))_k \\[0.5em] & = (0_R \cdot_P x^{m+1})_k +_R (0_R \cdot_P x^m +_P \cdots +_P 0_R \cdot_P x^{n_0+1} +_P 0_R \cdot_P x^{n_0})_k \\[0.5em] & = (0_R \cdot_P x^{m+1} +_P 0_R \cdot_P x^m +_P \cdots +_P 0_R \cdot_P x^{n_0+1} +_P 0_R \cdot_P x^{n_0})_k \text{ 이므로} \end{align*}$

위 정리로 $f_0(x) = 0_R \cdot_P x^{m+1} +_P 0_R \cdot_P x^m +_P \cdots +_P 0_R \cdot_P x^{n_0+1} +_P 0_R \cdot_P x^{n_0}$이다.

따라서 $n_0 \le n$인 모든 $n_0,n \in \mathbb{N}$에 대해 $f_0(x) = 0_R \cdot_P x^n +_P \cdots +_P 0_R \cdot_P x^{n_0+1} +_P 0_R \cdot_P x^{n_0}$이다.

2.

$m \in \mathbb{N}$차이하다항식

$f(x) = a_m\cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$와

$g(x) = b_m \cdot_P x^m +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$에 대해

$f(x) +_P g(x) = (a_m +_R b_m)\cdot_P x^m +_P \cdots +_P (a_1+_R b_1) \cdot_P x^1 +_P (a_0+_R b_0)\cdot_P x^0 \in P_{m}(R)$임을

$m \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 보인다.

$m = 0$이면 위 정리로 $a_0\cdot_P x^0 +_P b_0\cdot_P x^0 = (a_0 +_R b_0)\cdot_P x^0$이다.

임의의 $r \in \mathbb{N}$에 대해 가정이 성립할때 $r+1$차이하다항식

$f(x) = a_{r+1} \cdot_P x^{r+1} +_P a_{r}\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_{r+1}(R)$와

$g(x) = b_{r+1}\cdot_P x^{r+1} +_Pb_r \cdot_P x^r +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_{r+1}(R)$에 대해

귀납가정과 위 정리로

$\begin{align*} f(x) +_P g(x) & = (a_{r+1} \cdot_P x^{r+1} +_P a_{r}\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 ) +_P (b_{r+1}\cdot_P x^{r+1} +_Pb_r \cdot_P x^r +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 ) \\[0.5em] & = (a_{r+1} \cdot_P x^{r+1} +_P b_{r+1}\cdot_P x^{r+1}) +_P (a_{r}\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 ) +_P (b_r \cdot_P x^r +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 ) \\[0.5em] & = (a_{r+1} +_R b_{r+1} ) \cdot_P x^{r+1} +_P (a_r +_R b_r)\cdot_P x^r +_P \cdots +_P (a_1+_R b_1) \cdot_P x^1 +_P (a_0+_R b_0)\cdot_P x^0 \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $m\ge n$인 $n \in \mathbb{N}$차이하다항식 $g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$에 대해 1번으로

$g(x) =  f_0(x) +_P g(x) = 0_R \cdot_P x^m +_P\cdots +_P 0_R \cdot_P x^{n+1} +_P b_n\cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 $이므로

$f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_{n+1}\cdot_P x^{n+1} +_P a_n\cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$에 대해

$\begin{align*}f(x) +_P g(x) & = (a_m +_R 0_R)\cdot_P x^m +_P\cdots +_P (a_{n+1} +_R 0_R)\cdot_P x^{n+1}+_P (a_n +_R b_n)\cdot_P x^n +_P \cdots +_P (a_1+_R b_1) \cdot_P x^1 +_P (a_0+_R b_0)\cdot_P x^0 \\[0.5em]& = a_m\cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_{n+1} \cdot_P x^{n+1}+_P (a_n +_R b_n)\cdot_P x^n +_P \cdots +_P (a_1+_R b_1) \cdot_P x^1 +_P (a_0+_R b_0)\cdot_P x^0 \text{ 이다.} \end{align*}$

3.

$m \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용한다.

$m = 0$이면 $c\in F$에 대해 위 정리로 $c\cdot_P (a_0\cdot_P x^0) = (c\cdot_R a_0) \cdot_P x^0$이다.

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립할때 $n+1$차이하다항식

$f(x) = a_{n+1} \cdot_P x^{n+1} +_P a_{n}\cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_{n+1}(R)$와 $c\in F$에 대해

귀납가정과 위 정리로

$\begin{align*} c\cdot_P f(x) & = c\cdot_P (a_{n+1} \cdot_P x^{n+1} +_P a_{n}\cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0)  \\[0.5em] & = c\cdot_P (a_{n+1} \cdot_P x^{n+1} ) +_P c\cdot_P ( a_{n}\cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0) \\[0.5em] & = (c\cdot_R a_{n+1}) \cdot_P x^{n+1} +_P (c\cdot_R a_n) \cdot_P x^n +_P\cdots +_P (c\cdot_R a_1) \cdot_P x^1 +_P (c\cdot_R a_0) \cdot_P x^0 \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다.

4.

$a_m \cdot_P x^m \in P_m(R)$과 $n \in \mathbb{N}$차이하다항식 $g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$에 대해

$(a_m\cdot_P x^m) \cdot g(x) = (a_m\cdot_R b_n) \cdot_P x^{m+n} +_P\cdots +_P (a_m\cdot_R b_1) \cdot_P x^{m+1} +_P (a_m\cdot_R b_0)\cdot_P x^m\in P_{m+n}(R)$임을

$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 보인다.

$\begin{align*} ((a_m\cdot_P x^m) \cdot (b_n \cdot_P x^n))_{m+n} & = \sum_{i = 0}^{m+n} (a_m\cdot_P x^m)_{m+n-i} \cdot_R (b_n \cdot_P x^n)_i \\[0.5em] & = a_m\cdot_R (x^m)_{m+n-n} \cdot_R b_n \cdot_R ( x^n)_n \\[0.5em] & = a_m\cdot_R (x^m)_{m} \cdot_R b_n \cdot_R 1_R \\[0.5em] & = a_m\cdot_R 1_R \cdot_R b_n \\[0.5em] & = a_m\cdot_R b_n \text{ 과} \end{align*}$

$((a_m\cdot_R b_n) \cdot_P x^{m+n})_{m+n} = (a_m\cdot_R b_n) \cdot_R (x^{m+n})_{m+n} = (a_m\cdot_R b_n) \cdot_R 1_R = a_m\cdot_R b_n$이 성립하고

$m+n \ne k$인 임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $k-i = m$이고 $i = n$인 $i =0,1,\cdots ,k$가 존재하면

$k = m+n$이 되어 모순이므로 모든 $i =0,1,\cdots ,k$에 대해 $k-i \ne m$이거나 $i \ne n$이 되어

$\begin{align*} ((a_m\cdot_P x^m) \cdot (b_n \cdot_P x^n))_{k} & = \sum_{i = 0}^{k} (a_m\cdot_P x^m)_{k-i} \cdot_R (b_n \cdot_P x^n)_i  =\sum_{i = 0}^k (a_m\cdot_R (x^m)_{k-i} \cdot_R b_n \cdot_R ( x^n)_i )  = 0_R \text{ 이고} \end{align*}$

$((a_m\cdot_R b_n) \cdot_P x^{m+n})_k = (a_m\cdot_R b_n) \cdot_R (x^{m+n})_k = (a_m\cdot_R b_n) \cdot_R 0_R = 0_R$이므로

위 정리로 $(a_m\cdot_P x^m)\cdot (b_n\cdot_P x^n) = (a_m\cdot_R b_n) \cdot_P x^{m+n}$이고

$n= 0$일때 $(a_m\cdot_P x^m)\cdot (b_0\cdot_P x^0) = (a_m\cdot_R b_0) \cdot_P x^{m}$이다.

모든 $r \in \mathbb{N}$에 대해 가정이 성립할때 $r+1$차이하다항식

$g(x) =b_{r+1}\cdot_P x^{r+1} +_P b_r \cdot_P x^r +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_{r+1}(R)$에 대해 귀납가정으로

$\begin{align*} (a_m\cdot_P x^m) \cdot g(x) & = (a_m\cdot_P x^m) \cdot (b_{r+1}\cdot_P x^{r+1} +_P b_r \cdot_P x^r +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 ) \\[0.5em] & = (a_m\cdot_P x^m) \cdot (b_{r+1}\cdot_P x^{r+1}) +_P (a_m\cdot_P x^m) \cdot (b_r \cdot_P x^r +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 ) \\[0.5em] & = (a_m\cdot_R b_{r+1}) \cdot_P x^{m+r+1}+_P (a_m\cdot_R b_r) \cdot_P x^{m+r} +_P\cdots +_P (a_m\cdot_R b_1) \cdot_P x^{m+1} +_P (a_m\cdot_R b_0)\cdot_P x^m \text{ 이므로} \end{align*}$

임의의 $m, n \in \mathbb{N}$에 대해

$(a_m\cdot_P x^m) \cdot (b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0) = (a_m\cdot_R b_n) \cdot_P x^{m+n} +_P\cdots +_P (a_m\cdot_R b_1) \cdot_P x^{m+1} +_P (a_m\cdot_R b_0)\cdot_P x^m \text{ 이다.}$

$m,n \in \mathbb{N}$차이하다항식

$f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$와

$g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$에 대해

$\begin{align*}f(x) \cdot g(x) = \sum_{i = 0}^m \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_R b_j) \cdot_P x^{i+j} \in P_{m+n}(R)\end{align*}$임을 $m \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 보인다.

$m = 0$이면

$\begin{align*} (a_0\cdot_P x^0) \cdot g(x) = (a_0\cdot_R b_n) \cdot_P x^{n} +_P\cdots +_P (a_0\cdot_R b_1) \cdot_P x^{1} +_P (a_0\cdot_R b_0)\cdot_P x^0 =\sum_{i = 0}^0 \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_R b_j) \cdot_P x^{i+j} \text{ 이다.}\end{align*} $

모든 $r \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립할때 $r+1, n$차이하다항식

$f(x) =a_{r+1}\cdot_P x^{r+1}+_P a_r \cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_{r+1}(R)$와

$g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$에 대해 귀납가정으로

$\begin{align*} f(x) \cdot g(x) & = (a_{r+1}\cdot_P x^{r+1}+_P a_r \cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0)\cdot (b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 ) \\[0.5em] & =(a_{r+1}\cdot_P x^{r+1})\cdot (b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 ) \\ & \qquad +_P \;(a_r \cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0)\cdot (b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 ) \\[0.5em] & = (a_{r+1}\cdot_R b_n) \cdot_P x^{(r+1)+n} +_P\cdots +_P (a_{r+1}\cdot_R b_1) \cdot_P x^{(r+1) +1} +_P (a_{r+1}\cdot_R b_0)\cdot_P x^{r+1} +_P \sum_{i = 0}^r \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_R b_j) \cdot_P x^{i+j} \\[0.5em] & = \sum_{j = 0}^n (a_{r+1} \cdot_R b_j) \cdot_P x^{(r+1)+j} +_P \sum_{i = 0}^r \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_R b_j) \cdot_P x^{i+j} \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^{r+1} \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_R b_j) \cdot_P x^{i+j} \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다.

5.

$m \in \mathbb{N}$차이하다항식 $f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$가

모든 $k = 0,1,\cdots, m$에 대해 $(f(x))_k = a_k$이고

$m<k$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(f(x))_k = 0_R$임을 $m \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 보인다.

환 정리로 $m \ne k$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(a_m \cdot_P x^m)_k = a_m\cdot_R (x^m)_k = a_m\cdot_R 0_R = 0_R$이고

환의 정의로 $(a_m\cdot_P x^m)_m = a_m\cdot_R (x^m)_m = a_m\cdot_R 1_R = a_m$이므로

$m = 0$일때 $(a_0\cdot_P x^0)_0 = a_0$이고 $0< k$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(a_0\cdot_P x^0)_k = 0_R$이다.

모든 $r \in \mathbb{N}$에 대해 가정이 성립할때 $r+1$차이하다항식

$f(x) = a_{r+1}\cdot_P x^{r+1} +_P a_r\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0\in P_{r+1}(R)$은 귀납가정으로

$\begin{align*}(f(x))_{r+1} & = (a_{r+1}\cdot_P x^{r+1} +_P a_r\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0)_{r+1} \\[0.5em] & =(a_{r+1}\cdot_P x^{r+1})_{r+1} +_R (a_r\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0)_{r+1} \\[0.5em] & = a_{r+1} +_R 0_R \\[0.5em] & = a_{r+1} \text{ 이고} \end{align*}$

모든 $k = 0,1,\cdots, r$에 대해 

$\begin{align*}(f(x))_k & = (a_{r+1}\cdot_P x^{r+1} +_P a_r\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0)_k \\[0.5em] & =(a_{r+1}\cdot_P x^{r+1})_k +_R (a_r\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0)_k \\[0.5em] & = 0_R +_R a_k \\[0.5em] & = a_k \text{ 이고} \end{align*}$

$ r+1 < k$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해

$\begin{align*}(f(x))_k & = (a_{r+1}\cdot_P x^{r+1} +_P a_r\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0)_k \\[0.5em] & =(a_{r+1}\cdot_P x^{r+1})_k +_R (a_r\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0)_k \\[0.5em] & = 0_R +_R 0_R \\[0.5em] & = 0_R \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $m$차이하 다항식 $f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$는

모든 $k = 0,1,\cdots, m$에 대해 $(f(x))_k = a_k$이고 $m<k$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(f(x))_k = 0_R$이다.

6.

유한다항식 $f(x) \in P_\infty(R)$는 $f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$인 $m \in \mathbb{N}$이 존재하고

$f(x)$가 영다항식이 아닐때 $a_m = \cdots = a_1 = a_0 = 0_R$이면 1번으로 $f(x) = f_0(x)$이므로 모순이 되어

집합 $A = \{ n \in \{ 0,1,\cdots, m\} : a_n \ne 0_R \}$는 공집합이 아니고

$A \subseteq\{ 0,1,\cdots, m\}$이므로 유한집합 정리로 $A$는 유한집합이다.

따라서 최대원소 정리로 $n = \max A$이 존재하여 $n < k$인 모든 $k = 0,1,\cdots, m$에 대해 $a_k = 0_R$이고

$a_n \ne 0_R$이므로 다시 1번으로

$\begin{align*}f(x) &= a_m \cdot_Px^m +_P \cdots+_P a_{n+1} \cdot_P x^{n+1} +_Pa_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \\[0.5em] &= 0_R \cdot_Px^m +_P \cdots+_P 0_R \cdot_P x^{n+1} +_Pa_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \\[0.5em] &= f_0(x) +_Pa_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \\[0.5em] &= a_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \text{ 이다.} \end{align*}$

역으로 $f(x) = a_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$이고 $a_n\ne 0_R$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하면

5번으로 $(f(x))_n = a_n \ne 0_R = (f_0(x))_n$이므로 위 정리로 $f(x) \ne f_0(x)$이다.

7.

$f(x) = g(x)$일때 $m > n$이라고 가정하면

$f(x)$는 $m$차다항식이므로 5번으로 $(f(x))_m = a_m \ne 0_R = (g(x))_m$이 되어 위 정리에 모순이므로 $m = n$이고

다시 위 정리로 모든 $k = 0,1,\cdots, m$에 대해 $a_k= (f(x))_k = (g(x))_k= b_k$이다.

역으로 $m=n$이고 모든 $k = 0,1,\cdots, m$에 대해 $a_k = b_k$이면 5번으로 $(f(x))_k = a_k = b_k = (g(x))_k$이고

$m<k$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $(f(x))_k = 0_R = (g(x))_k$이므로 위 정리로 $f(x) = g(x)$이다.

 

 

 

정리4

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환이고 위 정리의 환이 $(P(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$일때 다음이 성립한다.

1. 유한다항식집합 $P_\infty(R)$에 대해 $(P_\infty(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$는 $(P(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$의 부분환이다.

2. $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 정역이면 $(P_\infty(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$도 정역이다.

증명

1.

위 정리로 $f_0(x) = 0_R \cdot_P x^0 \in P_0(R) \subseteq P_{\infty}(R)$이고 위 정리로 $x^0 = 1_R \cdot_P x^0 \in P_0(R) \subseteq P_{\infty}(R)$이다.

또 임의의 $f(x),g(x) \in P_\infty(R)$는

$f(x)  \in P_m(R)$이고 $g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$인 $m,n \in \mathbb{N}$이 존재하여

위 정리와 환 정리와 위 정리로

$\begin{align*} -g(x) =  (-1_R) \cdot_P g(x)  = ((-1_R)\cdot_R b_n) \cdot_P x^n +_P \cdots +_P ((-1_R)\cdot_R b_1) \cdot_P x^1 +_P ((-1_R)\cdot_R b_0)\cdot_P x^0  \in P_n(R) \text{ 이므로}\end{align*}$

$k = $ $\max$$ \{ m, n\}$에 대해 위 정리로 $f(x) - g(x) = f(x) +_P (-g(x)) \in P_{k}(R) \subseteq P_\infty(R)$이다.

따라서 위 정리로 $f(x)\cdot g(x) \in P_{m+n}(R) \subseteq P_\infty(R)$이므로

부분환 정리로 $(P_\infty(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$는 $(P(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$의 부분환이다.

2.

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 정역이면 $0_R \ne 1_R$이므로 위 정리로 $f_0(x)\ne x^0$이고

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$은 가환환이므로 위 정리와 1번과 부분환 정리로 $(P_\infty(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$은 가환환이다.

또 임의의 $f(x) , g(x) \in P_\infty(R) \setminus \{ f_0(x)\}$는 위 정리로

$f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(R)$이고

$g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P \cdots +_P b_1 \cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(R)$일때 $a_m \ne 0_R$이고 $b_n \ne 0_R$인 $m,n \in \mathbb{N}$이 존재하여

위 정리로 $\begin{align*}f(x) \cdot g(x) = \sum_{i = 0}^m \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_R b_j) \cdot_P x^{i+j} \in P_{m+n}(R)\end{align*}$이고

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$에는 영인자가 존재하지 않으므로 $a_m \cdot_R b_n \ne 0_R$이 되어 위 정리로 $f(x) \cdot g(x) \ne f_0(x)$이다.

따라서 $(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 정역이면 $(P_\infty(R),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$도 정역이다.

 

 

 

정의4

$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때

다변수다항식환 :

$P^1(R) = P(R)$인 위 정리의 환 $(P^1(R),+_1,\cdot_1,f_0(x_1),x^0_1)$을 $1$변수다항식환 또는 다항식환으로 정의하고

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$변수다항식환 $(P^n(R),+_n,\cdot_n ,f_0(x_1,x_2,\cdots,x_n),x_n^0)$이 귀납적으로 정의될때

$n+1$변수다항식집합을 $P^{n+1}(R) =P(P^n(R))$로 정의하고

영다항식 $f_0(x_1,x_2,\cdots,x_n,x_{n+1}) \in P^{n+1}(R)$과 부정원 $x_{n+1}^0 \in P^{n+1}(R)$와

다항식 덧셈과 곱셈 $+_{n+1}, \cdot_{n+1}$에 대해 위 정리로

$(P^{n+1}(R),+_{n+1},\cdot_{n+1} ,f_0(x_1,x_2,\cdots,x_n,x_{n+1}),x_{n+1}^0)$을 $n+1$변수다항식환으로 정의한다.

다변수유한다항식환 :

위 정리로 $(P_\infty(R),+_1,\cdot_1,f_0(x_1),x^0_1)$은 환 $(P(R),+_1,\cdot_1,f_0(x_1),x^0_1)$의 부분환이므로 

$P^1_\infty(R) = P_\infty(R)$인 $(P_\infty^1(R),+_1,\cdot_1,f_0(x_1),x^0_1)$을 $1$변수유한다항식환 또는 유한다항식환으로 정의하고

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$변수유한다항식환 $(P_\infty^n(R),+_n,\cdot_n ,f_0(x_1,x_2,\cdots,x_n),x_n^0)$이 귀납적으로 정의될때

$n+1$변수유한다항식집합을 $P_\infty^{n+1}(R) = P_\infty(P_\infty^{n}(R)) = \displaystyle \bigcup_{k = 0}^\infty P_k(P_\infty^n(R))$로 정의하고

위 정리로 $(P_{\infty}^{n+1}(R),+_{n+1},\cdot_{n+1} ,f_0(x_1,x_2,\cdots,x_n,x_{n+1}),x_{n+1}^0)$은

환 $(P(P_\infty^n(R)),+_{n+1},\cdot_{n+1} ,f_0(x_1,x_2,\cdots,x_n,x_{n+1}),x_{n+1}^0)$의 부분환이므로

$(P_{\infty}^{n+1}(R),+_{n+1},\cdot_{n+1} ,f_0(x_1,x_2,\cdots,x_n,x_{n+1}),x_{n+1}^0)$을 $n+1$변수유한다항식환으로 정의한다.

 

 

 

정리5

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 다항식환 $(P(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$와 다항식 스칼라곱 $\cdot_P$에 대해 다음이 성립한다.

1. $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$는 $F$-벡터공간이다.

2. 임의의 $n \in \mathbb{N} \cup \{ -1 \}$에 대해 $($$P_n(F)$$,+_P,\cdot_P,f_0(x))$는 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 부분공간이고

$(P_n(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 기저는 $\{ x^0,x^1,\cdots , x^n \} = \{ $$x^k$ $ :  k = 0,1,\cdots, n \}$이 되어 $n+1$차원이다.

3. $($$P_\infty(F)$$,+_P,\cdot_P,f_0(x))$는 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 부분공간이고

$(P_{\infty}(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 기저는 $\{ x^0,x^1, \cdots \} = \{ x^k : k\in \mathbb{N}\}$이다.

증명

1.

위 정리로 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$는 벡터공간의 성질을 모두 만족하므로 $F$-벡터공간이다.

2.

$n = -1$이면

$-1$차다항식집합의 정의와 생성집합의 정의로 $P_{-1}(F) = \{ f_0(x)\} = \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\emptyset)}$이므로

생성공간 정리로 $(P_{-1}(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$는 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 부분공간이다.

또 $\{x^k : 0\le k \le  -1\text{인 } k\in \mathbb{N} \} = \emptyset$은 일차독립 정리로 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$에서 일차독립이고

$P_{-1}(F) = \{ f_0(x)\} = \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\emptyset)}$이므로

$\{x^k :  0\le k \le  -1 \text{인 } k\in \mathbb{N} \} = \emptyset$은 $(P_{-1}(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 기저가 되어

차원의 정의로 $(P_{-1}(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$는 $-1 + 1 = 0$차원이다.

$n \in \mathbb{N}$이면

$n$차이하다항식집합의 정의와 생성집합의 정의로 $P_n(F) = \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\{x^0,x^1,\cdots}, x^n\})$이므로

생성공간 정리로 $(P_{n}(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$는 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 부분공간이다.

또 $i\ne j$인 $i,j = 0,1,\cdots, n$에 대해 부정원의 정의로 $(x^i)_j = 0_F \ne 1_F = (x^j)_j $이므로

위 정리로 $ x^0,x^1,\cdots , x^n \in P_n(F)$은 서로 다른 벡터이고

영다항식 $f_0(x)\in P_n(F)$과 임의의 $a_0, a_1,\cdots, a_n \in F$에 대해

$a_n\cdot_P x^n +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0 = f_0(x)$이면 위 정리로 $a_n = \cdots = a_1 = a_0 = 0_F$가 되어

$\{ x^0,x^1,\cdots , x^n \} $는 일차독립 정리로 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$에서 일차독립이고

$P_n(F) = \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\{x^0,x^1,\cdots}, x^n\})$이므로 $\{ x^0,x^1,\cdots , x^n \} $은 $(P_{n}(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 기저가 되어

차원의 정의로 $(P_{n}(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$는 $n + 1 $차원이다.

3.

모든 $f(x) \in P_\infty(F) = \displaystyle \bigcup_{n = 0}^\infty P_n(F)$는 어떤 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$f(x) \in P_n(F) = \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\{ x^0, x^1,\cdots}, x^n\}) \subseteq \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\{x^0,x^1, \cdots} \})$이므로 $P_\infty(F) \subseteq \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\{x^0 ,x^1, \cdots} \})$이고

모든 $f(x) \in \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\{x^0 ,x^1, \cdots} \})$는 생성집합의 정의로

$m \in \mathbb{Z}^+$개의 $a_1,a_2,\cdots, a_m \in F$와 $u_1,u_2,\cdots, u_m \in \{ x^0,x^1, \cdots \}$에 대해

$f(x) = a_1\cdot_P u_1 +_P a_2\cdot_P u_2 +_P \cdots +_P a_m \cdot_P u_m$이므로 $u_1,u_2,\cdots, u_m \in \{ x^0,x^1, \cdots , x^n \}$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여

$f(x) = a_1\cdot_P u_1 +_P a_2\cdot_P u_2 +_P \cdots +_P a_m \cdot_P u_m \in \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\{ x^0,x^1,\cdots},x^n\}) = P_n(F) \subseteq P_\infty(F)$이므로

$\underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\{x^0 ,x^1, \cdots} \}) \subseteq P_\infty(F)$가 되어 집합정리로 $P_\infty(F) = \underset{(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x),x^0)}{\operatorname{span}(\{x^0 ,x^1, \cdots} \})$이다.

또 $m \in \mathbb{Z}^+$개의 $a_1,a_2,\cdots, a_m \in F$와 서로 다른 $u_1,u_2,\cdots, u_m \in \{ x^0,x^1, \cdots \}$에 대해

$a_1\cdot_P u_1 +_P a_2\cdot_P u_2 +_P \cdots +_P a_m \cdot_P u_m = f_0(x)$이면 $u_1,u_2,\cdots, u_m \in \{ x^0,x^1, \cdots , x^n \}$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여

2번으로 $\{ x^0,x^1,\cdots, x^n\} \subseteq P_n(F) \subseteq P(F)$은 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$에서 일차독립이므로

일차독립 정리로 $a_1= a_2 =\cdots = a_m = 0_F$가 되어

다시 일차독립 정리로 $\{ x^0,x^1,\cdots\}$도 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$에서 일차독립이다.

따라서 $(P_{\infty}(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 기저는 $\{ x^0,x^1, \cdots \} $이고 $\{ x^0,x^1, \cdots \} \subseteq P(F)$이므로

생성공간 정리로 $(P_{\infty}(F),+_P,\cdot_P,f_0(x)) $는 $(P(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$의 부분공간이다.

 

 

 

정리6

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대한

유한다항식환이 $(P_{\infty}(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 위 정리의 $F$-벡터공간이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$일때

$F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$와 환 $(V, +_V,*,\vec{0},\vec{1})$와 모든 자연수 $m,n \in \mathbb{N}$과 모든 스칼라 $a,b \in F$에 대해

임의의 벡터 $u \in V$의 $*$에 대한 $m,n$번 연산이 $(a\cdot_V u^m) * (b\cdot_V u^n) = (a\cdot_F b) \cdot_V u^{m+n}$이면

임의의 유한다항식 $a_k \cdot_P x^k +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_\infty(F)$에 대해

$\phi_u(a_k \cdot_P x^k +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 ) = a_k\cdot_V u^k +_V \cdots +_V a_1\cdot_V u^1 +_V a_0\cdot_V u^0$인

함수 $\phi_u : P_\infty(F) \to V$는

$(P_\infty(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$로의 선형변환이고

$(P_{\infty}(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$에서 $(V, +_V,*,\vec{0},\vec{1})$로의 준동형사상이다.

증명

$f(x) = g(x)$인 임의의 $f(x),g(x) \in P_\infty(F)$가 영다항식이면 

위 정리로 임의의 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $f(x) = 0_F \cdot_P x^k +_P\cdots +_P 0_F \cdot_P x^1 +_P 0_F\cdot_P x^0 = g(x)$이고

벡터공간 정리로 $0_F \cdot_V u^k +_V\cdots +_V 0_F \cdot_V u^1 +_V 0_F\cdot_V u^0 = \vec{0}$이므로 $\phi_u(f(x)) = \vec{0} = \phi_u(g(x))$이다.

$f(x) = g(x)$인 임의의 $f(x),g(x) \in P_\infty(F)$가 영다항식이 아니면

위 정리로 $a_m \ne 0_F$이고 $b_n \ne 0_F$일때

$f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(F)$이고 

$g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P\cdots +_P b_1\cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(F)$인 $m,n \in \mathbb{N}$이 존재하여

다시 위 정리로 $m =n$이고 모든 $i = 0,1,\cdots, m$에 대해 $a_i = b_i$이므로

$\phi_u(f(x)) = a_m \cdot_V u^m +_V\cdots +_V a_1 \cdot_V u^1 +_V a_0\cdot_V u^0  = b_n \cdot_V u^n +_V\cdots +_V b_1\cdot_V u^1 +_V b_0\cdot_V u^0 = \phi_u(g(x)) \text{ 가 되어}$

$\phi_u : P_\infty(F) \to V$는 함수이다.

임의의 $f(x),g(x) \in P_\infty(F)$는 유한다항식의 정의로

$f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(F)$이고 

$g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P\cdots +_P b_1\cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0 \in P_n(F)$인 $m,n \in \mathbb{N}$이 존재하여

일반성을 잃지 않고 $m \ge n$이라 가정하면 위 정리로

$\begin{align*} \phi_u(f(x) +_P g(x)) & = \phi_u(a_m \cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_{n+1}\cdot_P x^{n+1}+_P (a_n +_F b_n)\cdot_P x^n +_P \cdots +_P (a_1+_F b_1) \cdot_P x^1 +_P (a_0+_F b_0)\cdot_P x^0) \\[0.5em] & = a_m \cdot_V u^m +_V \cdots +_V a_{n+1}\cdot_V u^{n+1}+_V (a_n +_F b_n)\cdot_V u^n +_V \cdots +_V (a_1+_R b_1) \cdot_V u^1 +_V (a_0+_F b_0)\cdot_V u^0 \\[0.5em] & = a_m \cdot_V u^m +_V \cdots +_V a_1 \cdot_V u^1 +_V a_0\cdot_V u^0 +_V b_n \cdot_V u^n +_V \cdots +_V b_1 \cdot_V u^1 +_V b_0\cdot_V u^0 \\[0.5em] & = \phi_u(a_m \cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0) +_V \phi_u( b_n \cdot_P x^n +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0) \\[0.5em] & = \phi_u(f(x)) +_V \phi_u(g(x)) \text{ 이고} \end{align*}$

임의의 $c \in F$에 대해 위 정리로

$\begin{align*} \phi_u(c\cdot_P f(x)) & = \phi_u((c\cdot_Fa_m) \cdot_P x^m +_P\cdots +_P (c\cdot_F a_1)\cdot_P x^1 +_P (c\cdot_F a_0) \cdot_P x^0 ) \\[0.5em] & = (c\cdot_Fa_m) \cdot_V u^m +_V \cdots +_V (c\cdot_F a_1)\cdot_V u^1 +_V (c\cdot_F a_0) \cdot_V u^0 \\[0.5em] & = c\cdot_V (a_m \cdot_V u^m +_V \cdots +_V a_1\cdot_V u^1 +_V a_0 \cdot_V u^0) \\[0.5em] & = c\cdot_V \phi_u(a_m \cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0) \\[0.5em] & = c\cdot_V \phi_u(f(x)) \text{ 이므로} \end{align*}$

$\phi_u $는 $(P_\infty(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$에서 $(V,+_V,\cdot_V,\vec{0})$로의 선형변환이다.

또 위 정리로

$\begin{align*} \phi_u(f(x) \cdot g(x)) & = \phi_u(\sum_{i = 0}^m \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_F b_j) \cdot_P x^{i+j} ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^m \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_F b_j) \cdot_V u^{i+j} \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^m \sum_{j = 0}^n (a_i \cdot_V u^i) * ( b_j \cdot_V u^{j} ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i = 0}^m a_i \cdot_V u^i \right ) * \left ( \sum_{j = 0}^n b_j \cdot_V u^{j} \right ) \\[0.5em] & = \phi_u(\sum_{i = 0}^m a_i \cdot_P x^i) * \phi_u(\sum_{j = 0}^n b_j \cdot_P x^{j} ) \\[0.5em] & = \phi_u(f(x)) *\phi_u(g(x)) \text{ 이고}   \end{align*}$

환 정리로 $(V, *, \vec{1})$는 모노이드이므로 거듭연산의 정의로 $\phi_u(x^0) = u^0 = \vec{1}$이 되어

$\phi_u $는 $(P_{\infty}(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$에서 $(V, +_V,*,\vec{0},\vec{1})$로의 준동형사상이다.

 

 

 

정의2

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대한

유한다항식환이 $(P_{\infty}(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 위 정리의 $F$-벡터공간이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$일때

임의의 유한다항식 $f(x) = a_k \cdot_P x^k +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_\infty(F)$에 대해 다음을 정의한다.

다항함수 :

$F$-벡터공간 $(F^1, +_1,\cdot_1, \vec{0}_1)$은 $1$-데카르트곱의 정의로 $F^1 = F$와 $\vec{0}_1 = (0_F) = 0_F$가 성립하고

임의의 $a,b \in F$에 대해 $a +_1 b = a +_F b$와 $a \cdot_1 b = a \cdot_F b$가 성립하므로

위 정리로 임의의 부분집합 $S\subseteq F$와 임의의 $s \in S$에 대해

$a_k \ne 0_F$이고 $f(s) = \phi_s(f(x)) = a_k\cdot_F s^k +_F \cdots +_F a_1\cdot_F s^1 +_F a_0\cdot_F s^0$인

함수 $f : S \to F$를 $f(x)$에 대한 $S$에서 $F$로의 $k\in \mathbb{N}$차 다항함수 또는 $k$차함수로 정의하고 

$f(s_0) = 0_F$인 $s_0 \in S$을 $f(x)$의 해 또는 근으로 정의한다.

$a_1 \ne 0_F$에 대해 $g(s) = a_1\cdot_F s +_F a_0 $인 $1$차함수 $g : S \to F$를 $S$에서 $F$로의 선형(linear)함수라 정의한다.

$a_0 \ne 0_F$에 대해 $h(s) = a_0$인 $0$차함수 $h : S \to F$와

$f_0(s) = 0_F$인 $-1$차함수 $f_0 : S\to F$을 $S$에서 $F$로의 상수(constant)함수라 정의한다.

다항선형연산자 :

임의의 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자에 대한

$F$-벡터공간이 $(L(V\to V) ,+_L,\cdot_L,T_0)$이고 환이 $(L(V\to V) ,+_L,\circ,T_0,I_V)$일때

위 정리와 선형변환 정리로 임의의 선형연산자 $T \in L(V\to V)$에 대해 

선형연산자 $f(T) = \phi_T(f(x)) = a_k\cdot_L T^k +_L \cdots +_L a_1\cdot_L T^1 +_L a_0\cdot_L T^0 \in L(V\to V)$를

$f(x)$에 대한 $T$의 다항선형연산자로 정의한다.

다항행렬 :

$n\times n$행렬에 대한 $F$-벡터공간이 $(M_{n\times n}(F),+_M,\cdot_M ,O)$이고 환이 $(M_{n\times n}(F),+_M,*,O,I_n)$일때

위 정리와 행렬 정리로 임의의 행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$에 대해

행렬 $f(A) = \phi_A(f(x)) = a_k\cdot_M A^k +_M \cdots +_M a_1\cdot_M A^1 +_M a_0\cdot_M A^0 \in M_{n\times n}(F)$를

$f(x)$에 대한 $A$의 다항행렬로 정의한다.

 

 

 

정리7

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$와 임의의 유한다항식 $f(x),g(x) \in P_\infty(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $n\in \mathbb{Z}^+$차원 $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 순서기저 $\beta = (v_1,v_2,\cdots,v_n)$에 대한

임의의 선형연산자 $T \in L(V\to V)$의 행렬표현이 $A = [T]_\beta$이면 $[f(T)]_\beta = f(A)$이다.

2. $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 임의의 선형연산자 $T$와 합성연산 $\circ$에 대해 $f(T)\circ g(T) = g(T) \circ f(T)$이다.

3. 임의의 $n\times n$행렬 $A \in M_{n\times n}(F)$와 행렬곱 $*$에 대해 $f(A)* g(A) = g(A) * f(A)$이다.

증명

1.

항등변환 $I_V\in L(V\to V)$와 항등행렬 $I_n \in M_{n\times n}(F)$에 대해

행렬표현 정리와 거듭연산의 정의로 $[T^0]_\beta = [I_V]_\beta = I_n = A^0$이므로

모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $[T^m]_\beta = A^m$이라 가정하면

행렬표현 정리와 거듭연산의 정의로 $[T^{m+1}]_\beta =[T^m \circ T]_\beta = [T^m]_\beta * [T]_\beta = A^m * A = A^{m+1}$이 되어

귀납법으로 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $[T^k]_\beta = A^k$이다.

따라서 $F$-벡터공간 $(P_\infty(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$에 대해 $f(x) = a_k \cdot_P x^k +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 $일때

선형변환 정리로 $\beta$에 대한 행렬표현은 $(L(V\to V) ,+_L,\cdot_L,T_0)$에서 $(M_{n\times n}(F),+_M,\cdot_M ,O)$으로의 선형변환이므로

$\begin{align*} [f(T)]_\beta & = [a_k \cdot_L T^k +_L\cdots +_L a_1\cdot_L T^1 +_L a_0\cdot_L T^0]_\beta \\[0.5em] & = a_k \cdot_M [T^k]_\beta +_M \cdots +_M a_1\cdot_M [T^1]_\beta +_M a_0\cdot_M [T^0]_\beta  \\[0.5em] & = a_k \cdot_M A^k +_M \cdots +_M a_1\cdot_M A^1 +_M a_0\cdot_M A^0 \\[0.5em] & = f(A) \text{ 이다.} \end{align*}$

2, 3

위 정리로 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$는 가환환이므로 $f(x) \cdot g(x) = g(x) \cdot f(x)$가 되어 위 정의로

$f(T) \circ g(T) = \phi_T(f(x)) \circ \phi_T(g(x)) = \phi_T(f(x)\cdot g(x)) = \phi_T(g(x)\cdot f(x)) = \phi_T(g(x)) \circ \phi_T(f(x)) = g(T)\circ f(T) \text{ 이고}$

$f(A) *g(A) = \phi_A(f(x)) * \phi_A(g(x)) = \phi_A(f(x)\cdot g(x)) = \phi_A(g(x)\cdot f(x)) = \phi_A(g(x)) *\phi_A(f(x)) = g(A)* f(A) \text{ 이다.}$

 

 

 

정리8(다항식 나눗셈 정리)

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$일때

$m,n\in \mathbb{N}$차다항식 임의의 $f(x) \in P_m(F)$와 $g(x) \in P_{n}(F)$에 대해

$f(x) = q(x)\cdot g(x) +_P r(x)$인 $q(x) \in P_\infty(F)$와 $n-1$차이하다항식 $r(x) \in P_{n-1}(F)$가 유일하게 존재한다.

증명

존재성

$m < n$이면 $m \le n-1$이므로 $q(x) = f_0(x)$와 $r(x) = f(x) \in P_m(F) \subseteq P_{n-1}(F)$로 두면

환의 정의와 환 정리로 $f(x) = q(x) \cdot g(x) +_P r(x) = f_0(x) +_P r(x) = r(x)$이다.

$m \ge n$이면 $m\in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용하여 존재성을 보인다.

$m = 0$이면 $m = 0 = n$이므로 다항식 스칼라곱 $\cdot_P$에 대해 $f(x) = a_0 \cdot_P x^0$이고 $g(x) = b_0\cdot_P x^0$일때

$g(x) \in P_0(F)$는 $0$차다항식이므로 $b_0 \ne 0_F$가 되어 $q(x) = \dfrac{a_0}{b_0} \cdot_P x^0$와 $r(x) = f_0(x) \in P_{-1}(F)$로 두면

위 정리로

$f(x) = a_0\cdot_P x^0 = \left (\dfrac{a_0}{b_0} \cdot_F b_0 \right ) \cdot_P x^{0+0} = \left (\dfrac{a_0}{b_0}\cdot_P x^0 \right) \cdot (b_0 \cdot_P x^0) = q(x)\cdot g(x) = q(x)\cdot g(x) +_P f_0(x) = q(x) \cdot g(x) +_P r(x) \text{ 이다.}$

$k \ge n$인 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 존재성이 성립할때 

$f(x) = a_{k+1}\cdot_P x^{k+1} +_P a_k \cdot_P x^k +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0$가 $k+1$차다항식이고

$g(x) = b_n \cdot_P x^n +_P\cdots +_P b_1\cdot_P x^1 +_P b_0\cdot_P x^0$가 $k+1\ge n$인 $n$차다항식이면

$b_n \ne 0_F$이므로 위 정리로

$\begin{align*} \left ( \frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_P x^{(k+1) - n} \right ) \cdot g(x) & = \left (\frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_F b_n \right ) \cdot_P  x^{(k+1) - n +n} +_P\cdots +_P \left (\frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_F b_1 \right )\cdot_P x^{(k+1)-n + 1} +_P \left (\frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_F b_0 \right )\cdot_P x^{(k+1) -n +0} \\[0.5em] & = a_{k+1}\cdot_P x^{k+1} +_P\cdots +_P \left (\frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_F b_1 \right )\cdot_P x^{(k+1)-n + 1} +_P \left (\frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_F b_0 \right )\cdot_P x^{(k+1) -n} \text{ 이 되어} \end{align*}$

$h(x) = f(x) - \left ( \dfrac{a_{k+1}}{b_n}\cdot_P x^{(k+1) -n}\right)\cdot g(x) \in P_k(F)$이다.

$n >k$이면

위와 비슷하게 $q_1(x) = f_0(x)$와 $r(x) = h(x) \in P_k(F) \subseteq P_{n-1}(F)$로 둘때 $h(x) = q_1(x)\cdot g(x) +_P r(x)$이고

$k \ge n$이면

귀납가정으로 $h(x) = q_1(x)\cdot g(x) +_P r(x)$인 $q_1(x) \in P_\infty(F)$와 $r(x) \in P_{n-1}(F)$가 존재하므로

$q(x) = \dfrac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_P x^{(k+1) -n} + _P q_1(x)$로 두면

$\begin{align*} f(x) & = \left (\frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_P x^{(k+1) -n} \right ) \cdot g(x) +_P f(x) - \left ( \frac{a_{k+1}}{b_n}\cdot_P x^{(k+1) -n}\right)\cdot g(x) \\[0.5em] & = \left (\frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_P x^{(k+1) -n} \right ) \cdot g(x) +_P h(x) \\[0.5em] & = \left (\frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_P x^{(k+1) -n} \right ) \cdot g(x) + _P q_1(x) \cdot g(x) +_P r(x) \\[0.5em] & = \left (\frac{a_{k+1}}{b_n} \cdot_P x^{(k+1) -n} + _P q_1(x) \right ) \cdot g(x) +_P r(x) \\[0.5em] & = q(x)\cdot g(x) +_P r(x) \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 모든 $m, n \in \mathbb{N}$에 대해 $f(x) = q(x)\cdot g(x) +_P r(x)$인 $q(x) \in P_\infty(F)$와 $r(x) \in P_{n-1}(F)$가 존재한다.

유일성

$q_1(x) \cdot g(x) +_P r_1(x) = f(x) = q_2(x)\cdot g(x) +_P r_2(x)$인

$q_1(x),q_2(x) \in P_\infty(F)$와 $r_1(x),r_2(x) \in P_{n-1}(F)$가 존재할때

$(q_2(x) -q_1(x))\cdot g(x) = r_1(x) - r_2(x)$이고 위 정리로 $r_1(x)-  r_2(x) \in P_{n-1}(F)$가 성립하므로

$q_2(x) -q_1(x)\in P_\infty(F)$가 $k$차다항식이 되는 $k \in \mathbb{N}$가 존재한다고 가정하면

$g(x) \in P_n(F)$는 $n$차다항식이고 위 정리로 $(q_2(x) - q_1(x))\cdot g(x) \in P_{n+k}(F)$는 $n+k$차다항식이므로

$r_1(x) - r_2(x) = (q_2(x) - q_1(x))\cdot g(x) \notin P_{n-1}(F)$가 되어 모순이다.

따라서 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $q_2(x) -q_1(x)$는 $k$차다항식이 아니므로

위 정리의 대우로 $q_2(x) -q_1(x) = f_0(x)$가 되어 $q_2(x) = f_0(x) +_P q_1(x) = q_1(x)$이고

$r_1(x) - r_2(x) = (q_2(x) - q_1(x))\cdot g(x) = f_0(x) \cdot g(x) = f_0(x)$이므로 $r_1(x) = f_0(x) +_P r_2(x) = r_2(x)$이다.

 

 

 

정의5

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$에 대한

유한다항식환이 $(P_{\infty}(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 위 정리의 $F$-벡터공간이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot_P,f_0(x))$일때

다항식을 나누는 다항식 :

영다항식이 아닌 임의의 유한다항식 $f(x),g(x) \in P_\infty(F)$에 대해

$f(x) = q(x)\cdot g(x) $인 $q(x) \in P_\infty(F)$가 존재하면 $g(x)$가 $f(x)$를 나눈다고 정의한다.

서로소(relatively prime) :

$n\ge 2$인 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$과 영다항식이 아닌 임의의 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x),g(x) \in P_\infty(F)$에 대해 

모든 $i = 1,2,\cdots, n$가 $f_i(x) = q_i(x) \cdot g(x)$인 $q_i(x) \in P_\infty(F)$가 존재하면 $g(x) \in $ $P_0(F)$가 되는 

$f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)$를 서로소라고 정의한다.

모닉(monic) :

$m \in \mathbb{N}$차다항식 $f(x) = a_m \cdot_P x^m +_P\cdots +_P a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 \in P_m(F)$가

$a_m = 1_F$이면 $f(x)$를 모닉이라 정의한다.

기약(irreducible) :

$n \in \mathbb{Z}^+$차다항식 $f(x) \in P_n(F)$에 대해 $f(x) = g(x)\cdot h(x)$인 $g(x),h(x) \in P_\infty(F)$가 존재하면

$g(x) \in P_0(F)$이거나 $h(x) \in P_0(F)$인 $f(x)$를 기약이라 정의한다.

 

 

 

정리9

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_P$일때

임의의 $m \in \mathbb{Z}^+$차다항식 $f(x) \in P_m(F)$에 대한 다항함수 $f : F \to F$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $a \in F$에 대해 $f(a) = 0_F$이기 위한 필요충분조건은

$f(x) = q(x) \cdot (x^1 - a\cdot_P x^0)$인 $m-1$차다항식 $q(x) \in P_{m-1}(F)$가 존재하는 것이다.

2. 집합 $\{ a \in F : f(a) = 0_F \}$는 $m$개이하의 원소를 갖는 유한집합이다.

증명

1.

$f(a) = 0_F$이면

나눗셈 정리로 $f(x) = q(x) \cdot (x^1 - a\cdot_P x^0) +_P r(x)$인 $q(x) \in P_\infty(F)$와 $r(x) \in P_{0}(F)$가 존재하여

$0$차이하다항식의 정의로 $r(x) = b_0 \cdot_P x^0$이고 $f(x),q(x),r(x)$에 대한 다항함수 $f,q,r : F\to F$에 대해

$0_F=f(a) = q(a) \cdot_F (a - a) +_F r(a) = q(a)\cdot_F 0_F +_F r(a) = r(a) =  b_0$이므로

위 정리로 $r(x) = 0_F\cdot_P x^0 = f_0(x)$는 영다항식이 되어 $f(x) = q(x) \cdot (x^1 - a\cdot_P x^0)$이다.

또 $q(x)$가 $m-1$차다항식이 아니라고 가정하면 $x^1 - a\cdot_P x^0$이 $1$차다항식임에 따라

위 정리로 $f(x) = q(x) \cdot (x^1 - a\cdot_P x^0)$가 $m$차다항식이 아니게 되어 모순이므로 $q(x)$는 $m-1$차다항식이다.

역으로 $f(x) = q(x) \cdot (x^1 - a\cdot_P x^0)$인 $q(x) \in P_{m-1}(F)$가 존재하면

$f(x),q(x)$에 대한 다항함수 $f,q : F\to F$에 대해 $f(a) = q(a) \cdot_F (a - a) = q(a) \cdot_F 0_F = 0_F$이다.

2.

$m\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$m = 1$이면 $f(x)\in P_1(F)$는 $1$차다항식이므로 $f(x) = a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0$와 $a_1 \ne 0_F$가 성립하여

$f(x)$에 대한 다항함수 $f : F\to F$에 대해 $f(\frac{-a_0}{a_1}) = a_1\cdot_F \dfrac{-a_0}{a_1} +_F a_0 = -a_0 +_F a_0 = 0_F$이므로

$\dfrac{-a_0}{a_1} \in \{ a \in F : f(a) = 0_F \}$이고 $\{ a \in F : f(a) = 0_F \}$는 $1$개이상의 원소를 갖는다.

또 임의의 $a \in \{ a \in F : f(a) = 0_F \}$에 대해 1번으로 $f(x) = q(x) \cdot (x^1 - a\cdot_P x^0)$인 $q(x) \in P_\infty(F)$가 존재하여

$ a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 = f(x) = q(x)\cdot (x^1 - a\cdot_P x^0)$이고 $a_1\ne 0_F$이므로 $q(x)$는 $0$차다항식이고

$ a_1\cdot_P x^1 +_P a_0\cdot_P x^0 = q(x)\cdot (x^1 - a\cdot_P x^0) = q(x) \cdot x^1 +_P q(x)\cdot (-a\cdot_P x^0)$와

$a_1\cdot_P x^1 - q(x) \cdot x^1 = q(x)\cdot (-a\cdot_P x^0) - a_0\cdot_P x^0$이 성립하여 위 정리로 우변은 $0$차이하다항식인데

$q(x) = b \cdot_P x^0$인 $b \in F$가 $b\ne a_1$이면 $a_1\cdot_P x^1 - q(x)\cdot x^1 =a_1\cdot_P x^1 - (b\cdot_P x^0) \cdot x^1 =(a_1 - b)\cdot_P x^1$이고

$a_1-b \ne 0_F$이므로 좌변이 $1$차다항식이 되어 모순이다.

따라서 $q(x) = a_1\cdot_P x^0$이므로

$ f_0(x) = a_1\cdot_P x^1 - a_1\cdot_P x^1  =a_1\cdot_P x^1 - (a_1 \cdot_P x^0) \cdot x^1= (a_1\cdot_P x^0)\cdot(-a\cdot_P x^0) - a_0\cdot_P x^0 = (a_1\cdot_F (-a))\cdot_P x^0 - a_0\cdot_P x^0 \text{ 이고}$

$a = \dfrac{-a_0}{a_1}$이 되어 $\{ a \in F : f(a) = 0_F \}$는 $1$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립하고 $f(x) \in P_{k+1}(F)$가 $k+1$차다항식일때

$\{ a \in F : f(a) = 0_F \} = \emptyset$이면 $0$개의 원소를 갖는 유한집합이므로 정리가 성립한다.

$\{ a \in F : f(a) = 0_F \} \ne \emptyset$이면

임의의 $a \in \{ a \in F : f(a) = 0_F \}$에 대해 1번으로 $f(x) = q(x) \cdot (x^1 - a\cdot_P x^0)$인 $q(x) \in P_\infty(F)$가 존재하여

$q(x)$는 $k$차다항식이므로 귀납가정으로 $\{ b \in F : q(b) = 0_F \}$는 $k$개이하의 원소를 갖는 유한집합이고

$f(x),q(x)$에 대한 다항함수 $f,q : F\to F$에 대해

모든 $b \in \{ b \in F : q(b) = 0_F \}$는 $f(b) = q(b) \cdot_F (b - a) = 0_F \cdot_F (b-a)  =0_F$이므로

$\{ b \in F : q(b) = 0_F \} \subseteq \{ a\in F : f(a) = 0_F\}$이고 $x^1 - a\cdot_P x^0$의 해는 $1$개이므로

체 정리로 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$가 정역임에 따라 $\{ a \in F : f(a) = 0_F \}$는 $k+1$개이하의 원소를 갖는 유한집합이다.

따라서 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리14

무한체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_P$일때

임의의 유한다항식 $f(x),g(x) \in P_\infty(F)$에 대한 다항함수 $f,g : F \to F$가

모든 $a\in F$에 대해 $f(a) = g(a)$이기 위한 필요충분조건은 $f(x) = g(x)$인 것이다.

증명

모든 $a\in F$에 대해 $f(a) = g(a)$일때

$h(x) = f(x) - g(x)$는 유한다항식이므로 $h(x)\in P_\infty(F)$가 $n\in \mathbb{Z}^+$차다항식이라고 가정하면

$h(x)$에 대한 다항함수 $h:F\to F$는 모든 $a\in F$에 대해 $h(a) = f(a) - g(a) = 0_F$이고

$F$는 무한집합이므로 가부번집합의 정의와 비가산집합 정리로 단사함수 $\alpha : \mathbb{N}\to F$가 존재하여

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $\alpha(k) \in \{ a \in F : h(a) = 0_F \}$이고 $\{ a \in F : h(a) = 0_F \}$는 무한집합이다.

따라서 위 정리로 $\{ a \in F : h(a) = 0_F \}$가 유한집합임에 모순이므로

$h(x)$는 상수다항식이고 $h(x) = a_0\cdot_P x^0$인 $a_0 \in F$은 $a_0 = h(a) = f(a) -g(a) = 0_F$가 되어

위 정리로 $h(x) = 0_F\cdot_P x^0 =f_0(x)$이고 $f_0(x) = h(x) = f(x) -g(x)$이므로 $f(x) = f_0(x) +_Pg(x) = g(x)$이다.

역으로 $f(x) = g(x)$이면 유한다항식의 정의로

어떤 $n\in \mathbb{N}$과 어떤 $c_n,\cdots,c_1,c_0\in F$에 대해 $f(x) = c_n\cdot_P x^n +_P \cdots +_P c_1\cdot_P x^1 +_P c_0\cdot_P x^0= g(x)$이므로

다항함수의 정의로 모든 $a\in F$에 대해 $f(a) = c_n\cdot_F a^n +_F \cdots +_F c_1\cdot_F a^1 +_F c_0\cdot_F a^0= g(a)$이다.

 

 

 

정리10

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_P$일때

$n\ge 2$인 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 영다항식이 아닌 유한다항식 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x) \in P_\infty(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f_i(x) \in P_0(F)$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하면 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)$는 서로소이다.

2. 영다항식이 아닌 어떤 $g(x)\in P_\infty(F)$와 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해

$f_i(x) = h_i(x)\cdot g(x)$이고 서로소인 $h_1(x),h_2(x),\cdots, h_n(x)\in P_\infty(F)$가 존재한다.

3. $i\ne j$인 어떤 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $f_i(x),f_j(x)$가 서로소이면 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)$는 서로소이다.

증명

1.

$f_i(x) \in P_0(x)$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재할때 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)$가 서로소가 아니라고 가정하면

영다항식이 아닌 어떤 $g(x) \in P_\infty(F)$와 모든 $j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$f_j(x) = q_j(x) \cdot g(x)$가 되는 $q_j(x) \in P_\infty(F)$가 존재하고 $g(x) \notin P_0(F)$이므로

위 정리로 $g(x)$가 $m$차다항식이 되는 $m \in \mathbb{N}$이 존재하여 $m = 0$이면 $g(x) \in P_0(F)$로 모순이므로 $m \in \mathbb{Z}^+$이다.

또 $q_i(x) \in P_k(F)$인 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $q_i(x) $가 영다항식이면 $f_i(x)$가 영다항식이 되어 모순이므로

$q_i(x) $는 $k$차다항식이고 $q_i(x) \cdot g(x) = f_i(x) \in P_0(F)$인데

위 정리로 $q_i(x) \cdot g(x) \in P_{k+m}(F)$는 $k+m \in \mathbb{Z}^+$차다항식이 되어 $f_i(x) = q_i(x) \cdot g(x) \notin P_0(F)$이므로 모순이다.

따라서 $f_i(x) \in P_0(x)$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하면 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)$는 서로소이다.

2.

$f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x) $가 서로소이면 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $f_i(x) = f_i(x)\cdot x^0$이므로 정리가 성립한다.

$f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x) $가 서로소가 아닐때 정리가 성립하지 않는다고 가정하면

영다항식이 아닌 임의의 $g(x)\in P_\infty(F)$에 대해

모든 $i = 1,2,\cdots, n$가 $f_i(x) = h_i(x)\cdot g(x)$인 $h_i(x) \in P_\infty(x)$가 존재할때

$h_1(x),h_2(x),\cdots, h_n(x)\in P_\infty(F)$는 서로소가 아니다.

위 정리로 영다항식이 아닌 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)$의 차수는 자연수이므로 최소인 차수를 $m_0 \in \mathbb{N}$으로 정의할때

$f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x) $는 서로소가 아니므로 영다항식이 아닌 어떤 $g(x)\in P_\infty(F)$와 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해

$f_i(x) = h_i(x)\cdot g(x)$인 $h_i(x) \in P_\infty(F)$가 존재하고 $g(x) \notin P_0(F)$이므로 $g(x)$는 $m \in \mathbb{Z}^+$차다항식이다.

선택정리로 위 조건을 만족하는 $g(x)\in P_\infty(F)$를 선택할때

$h_i(x)$가 영다항식이면 $f_i(x)$가 영다항식이 되어 모순이므로 $h_i(x)$의 차수는 자연수이고

$f_j(x) =h_j(x) \cdot g(x)$의 차수가 $m_0 \in \mathbb{N}$이면 위 정리로 $h_j(x)$는 $m_0 > m_0 -m$인 $m_0 - m \in \mathbb{N}$차다항식이다.

또 $h_1(x),h_2(x),\cdots, h_n(x)$의 차수는 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)$의 차수에서 $m$을 뺀 자연수이므로

$h_j(x)$의 차수는 $h_1(x),h_2(x),\cdots, h_n(x)$의 차수 중 최소가 되어 $m_1 = m_0 - m $로 정의하면 $m_0 > m_1$이다.

따라서 이 과정을 반복하면 귀납적으로 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $m_k > m_{k+1}$인 자연수열 $(m_k)_{k=0}^\infty$를 만들 수 있는데

무한강하법에 모순이므로 영다항식이 아닌 어떤 $g(x)\in P_\infty(F)$와 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해

$f_i(x) = h_i(x)\cdot g(x)$이고 서로소인 $h_1(x),h_2(x),\cdots, h_n(x)\in P_\infty(F)$가 존재한다.

3.

영다항식이 아닌 임의의 $g(x)\in P_\infty(F)$와 임의의 $k = 1,2,\cdots, n$에 대해

$f_k(x) = q_k(x)\cdot g(x)$인 $q_k(x) \in P_\infty(F)$가 존재할때

$f_i(x) = q_i(x)\cdot g(x)$와 $f_j(x) = q_j(x)\cdot g(x)$는 서로소이므로

$g(x)\in P_0(F)$가 되어 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x)$는 서로소이다.

 

 

 

정리11

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_P$일때

$n\ge 2$인 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 영다항식이 아닌 유한다항식 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x) \in P_\infty(F)$가 서로소이면

어떤 유한다항식 $q_1(x),q_2(x),\cdots, q_n(x) \in P_\infty(F)$가 존재하여 다음이 성립한다.

1. $q_1(x)\cdot f_1(x)+_P q_2(x) \cdot f_2(x)+_P\cdots+_P q_n(x)\cdot f_n(x)  = x^0$

2. $F$-벡터공간 $(V,+_V,\cdot_V, \vec{0})$의 선형연산자에 대한 환이 $(L(V\to V) ,+_L,\circ,T_0,I_V)$일때

임의의 선형연산자 $T \in L(V\to V)$에 대해 $q_1(T)$ $\circ \;f_1(T)+_L q_2(T) \circ f_2(T)+_L\cdots +_L q_n(T)\circ f_n(T)  = I_V$이다.

3. $m\times m$행렬에 대한 환이 $(M_{m\times m}(F),+_M,*,O,I_m)$일때

임의의 행렬 $A \in M_{m\times m}(F)$에 대해 $q_1(A)$ $*\; f_1(A)+_M q_2(A) * f_2(A)+_M\cdots+_M q_n(A)* f_n(A)  = I_m$이다.

증명

1.

$f_1(x) \in P_m(F)$와 $f_2(x) \in P_k(F)$가 서로소이고 $m\ge k$인 $m,k \in \mathbb{N}$차다항식일때

$k$에 대한 귀납법을 사용하여 $q_1(x)\cdot f_1(x)+_P q_2(x) \cdot f_2(x) = x^0$인 $q_1(x),q_2(x) \in P_\infty(F)$가 존재함을 보인다.

$k = 0$이면 $0$차다항식의 정의로 $f_2(x) = c\cdot_P x^0$이고 $c \ne 0_F$이므로 $q_1(x) = f_0(x)$와 $q_2(x) = \dfrac{1}{c}\cdot_P x^0$으로 두면

위 정리로 $q_1(x)\cdot f_1(x)+_P q_2(x) \cdot f_2(x) = f_0(x)\cdot f_1(x) +_P \left (\dfrac{1}{c}\cdot_P x^0\right )\cdot (c\cdot_P x^0) =\left ( \dfrac{1}{c}\cdot_F c\right ) \cdot_P x^{0} = x^0$이다.

모든 $r \in \mathbb{N}$에 대해 가정이 성립할때

$f_1(x) \in P_m(F)$와 $f_2(x) \in P_{r+1}(F)$가 서로소이고 $m\ge r+1$인 $m,r+1$차 다항식이면

나눗셈 정리로 $f_1(x) = q(x)\cdot f_2(x) +_P r(x)$인 $q(x) \in P_\infty(F)$와 $r(x) \in P_r(F)$이 존재하여

$r(x) = f_0(x)$라 가정하면 $f_1(x) = q(x)\cdot f_2(x)$이고 $f_2(x) = x^0\cdot f_2(x)$이므로

$f_1(x),f_2(x) $가 서로소임에 모순이 되어 $r(x) \ne f_0(x)$이다.

또 $f_2(x),r(x) $가 서로소가 아니라고 가정하면 영다항식이 아닌 어떤 $g(x) \in P_\infty(F)$에 대해 

$f_2(x) = g_1(x)\cdot g(x)$이고 $r(x) = g_2(x) \cdot g(x)$인 $g_1(x),g_2(x) \in P_\infty(F)$가 존재하고 $g(x) \notin P_0(F)$이므로

$f_1(x) = q(x)\cdot f_2(x) +_P r(x) = q(x)\cdot (g_1(x)\cdot g(x)) + _P g_2(x)\cdot g(x) = (q(c)\cdot g_1(x) +_P g_2(x))\cdot g(x)$이고

$f_1(x),f_2(x) $가 서로소임에 모순이 되어 $f_2(x) \in P_{r+1}(F)$와 $r(x) \in P_r(F)$는 서로소이다.

따라서 $r+1 \ge r$이므로 귀납가정으로 $h_1(x)\cdot f_2(x) +_P h_2(x)\cdot r(x) = x^0$인 $h_1(x),h_2(x) \in P_\infty(F)$가 존재하여

$q_1(x) = h_2(x)$와 $q_2(x) = h_1(x) - h_2(x)\cdot q(x)$로 두면

$\begin{align*} q_1(x)\cdot f_1(x) +_P q_2(x)\cdot f_2(x) &= h_2(x) \cdot f_1(x) +_P (h_1(x) -h_2(x)\cdot q(x)) \cdot f_2(x) \\[0.5em] & = h_2(x)\cdot f_1(x) +_P h_1(x)\cdot f_2(x) - h_2(x)\cdot q(x) \cdot f_2(x) \\[0.5em] & = h_2(x) \cdot (q(x)\cdot f_2(x) +_P r(x)) +_P h_1(x)\cdot f_2(x) - h_2(x)\cdot q(x) \cdot f_2(x) \\[0.5em] & = h_2(x) \cdot q(x)\cdot f_2(x) +_P h_2(x) \cdot r(x) +_P h_1(x)\cdot f_2(x) - h_2(x)\cdot q(x) \cdot f_2(x) \\[0.5em] & = h_1(x)\cdot f_2(x) +_P h_2(x) \cdot r(x) \\[0.5em] & = x^0 \text{ 이다.} \end{align*}$

$n\ge 2$인 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용하여 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x) \in P_\infty(F)$가 서로소이면

$q_1(x)\cdot f_1(x)+_P q_2(x) \cdot f_2(x)+_P\cdots+_P q_n(x)\cdot f_n(x)  = x^0$인

$q_1(x),q_2(x),\cdots, q_n(x) \in P_\infty(F)$가 존재함을 보인다.

$n = 2$이면 위에서 보였듯이 성립하므로

$k\ge 2$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_k(x) ,f_{k+1}(x)\in P_\infty(F)$가 서로소라 가정하면

위 정리로 영다항식이 아닌 어떤 $g(x) \in P_\infty(F)$에 대해

모든 $i = 1,2,\cdots, k$가 $f_i(x) = h_i(x) \cdot g(x)$이고 서로소인 $h_1(x),h_2(x),\cdots, h_k(x) \in P_\infty(F) $가 존재하므로

귀납가정으로 $p_1(x)\cdot h_1(x)+_P p_2(x) \cdot h_2(x)+_P\cdots+_P p_k(x)\cdot h_k(x) = x^0$인

$p_1(x),p_2(x),\cdots, p_k(x) \in P_\infty(F)$가 존재하여

$\begin{align*} g(x) &= x^0 \cdot g(x) \\[0.5em] &= (p_1(x)\cdot h_1(x)+_P p_2(x) \cdot h_2(x)+_P\cdots+_P p_k(x)\cdot h_k(x)) \cdot g(x) \\[0.5em] &= p_1(x)\cdot h_1(x) \cdot g(x) +_P p_2(x) \cdot h_2(x) \cdot g(x)+_P\cdots+_P p_k(x)\cdot h_k(x) \cdot g(x) \\[0.5em] &= p_1(x)\cdot f_1(x)+_P p_2(x) \cdot f_2(x)+_P\cdots+_P p_k(x)\cdot f_k(x) \text{ 이다.} \end{align*}$

$g(x)$와 $f_{k+1}(x)$가 서로소가 아니라고 가정하면 영다항식이 아닌 어떤 $r(x) \in P_\infty(F)$에 대해

 $f_{k+1}(x) = r_1(x)\cdot r(x)$이고 $g(x) = r_2(x) \cdot r(x)$인 $r_1(x),r_2(x) \in P_\infty(F)$가 존재하고 $r(x) \notin P_0(F)$가 되어

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $f_i(x) = h_i(x) \cdot g(x) = h_i(x)\cdot r_2(x)\cdot r(x)$이고 $f_{k+1}(x) = r_1(x)\cdot r(x)$이므로

$f_1(x),f_2(x),\cdots, f_k(x),f_{k+1}(x) $가 서로소라는 가정에 모순이 되어 $g(x)$와 $f_{k+1}(x)$는 서로소이고

위에서 보였듯이 $p(x)\cdot g(x) +_P q_{k+1}(x) \cdot f_{k+1}(x) = x^0$인 $p(x),q_{k+1}(x) \in P_\infty(F)$이 존재하므로

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $q_i(x) = p(x) \cdot p_i(x)$로 두면

$\begin{align*} x^0 & = p(x)\cdot g(x) +_P q_{k+1}(x) \cdot f_{k+1}(x) \\[0.5em] & = p(x)\cdot ( p_1(x)\cdot f_1(x)+_P p_2(x) \cdot f_2(x)+_P\cdots+_P p_k(x)\cdot f_k(x) ) +_P q_{k+1}(x) \cdot f_{k+1}(x) \\[0.5em] & = p(x)\cdot p_1(x)\cdot f_1(x)+_P p(x)\cdot p_2(x) \cdot f_2(x)+_P\cdots+_P p(x)\cdot p_k(x)\cdot f_k(x) +_P q_{k+1}(x) \cdot f_{k+1}(x) \\[0.5em] & = q_1(x)\cdot f_1(x)+_P q_2(x) \cdot f_2(x)+_P\cdots+_P q_k(x)\cdot f_k(x) +_P q_{k+1}(x) \cdot f_{k+1}(x) \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $n\ge 2$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

2, 3

1번과 위 정의와 준동형사상의 정의로

$\begin{align*} I_V &= \phi_T(x^0) \\[0.5em] &= \phi_T(q_1(x)\cdot f_1(x)+_P q_2(x) \cdot f_2(x)+_P\cdots+_P q_n(x)\cdot f_n(x)) \\[0.5em] &=q_1(T) \circ f_1(T)+_L q_2(T) \circ f_2(T)+_L\cdots +_L q_n(T)\circ f_n(T) \text{ 이고} \end{align*}$

$\begin{align*} I_n &= \phi_A(x^0) \\[0.5em] &= \phi_A(q_1(x)\cdot f_1(x)+_P q_2(x) \cdot f_2(x)+_P\cdots+_P q_n(x)\cdot f_n(x)) \\[0.5em] &=q_1(A) * f_1(A)+_M q_2(A) * f_2(A)+_M\cdots +_M q_n(A)* f_n(A) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리12

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $1$차다항식은 기약이다.

2. 기약다항식 $\phi(x)$가 $m \in \mathbb{N}$차다항식 $f(x) \in P_m(F)$를 나누지 않으면 $\phi(x)$와 $f(x)$는 서로소이다.

3. 기약모닉다항식 $\phi(x),\psi(x)$가 $\phi(x) \ne \psi(x)$이면 $\phi(x)$와 $\psi(x)$는 서로소이다.

4. $m,n \in \mathbb{N}$차다항식 $f(x) \in P_m(F)$와 $g(x) \in P_n(F)$에 대해

기약다항식 $\phi(x)$가 $f(x)\cdot g(x)$를 나누면 $\phi(x)$는 $f(x)$를 나누거나 $g(x)$를 나눈다.

5. $n \in \mathbb{Z}^+$개의 기약모닉다항식 $\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots, \phi_n(x)$에 대해

기약모닉다항식 $\phi(x)$가 $\phi_1(x)\cdot \phi_2(x)\cdot\; \cdots \; \cdot \phi_n(x)$를 나누면 $\phi(x) = \phi_i(x)$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재한다.

증명

1.

$1$차다항식 $f(x) \in P_1(x)$가 기약이 아니라고 가정하면

$f(x) = g(x) \cdot h(x)$인 $g(x),h(x) \in P_\infty(F)$가 존재하고 $g(x) ,h(x) \notin P_0(F)$이므로

어떤 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $g(x) $는 $m$차다항식이고 $h(x)$는 $n$차다항식인데

$m+n \ge 2$이고 위 정리로 $f(x) = g(x) \cdot h(x) \in P_{m+n}(F)$가 $m+n$차다항식이 되어

$f(x) = g(x) \cdot h(x) \notin P_{1}(F)$로 모순이므로 $1$차다항식은 기약이다.

2.

$\phi(x)$가 $f(x)$를 나누지 않을때 $\phi(x)$와 $f(x)$가 서로소가 아니라고 가정하면

영다항식이 아닌 어떤 $g(x) \in P_\infty(F)$에 대해 $\phi(x) = q_1(x) \cdot g(x)$이고 $f(x) = q_2(x) \cdot g(x)$인

$q_1(x),q_2(x) \in P_\infty(F)$가 존재하고 $g(x) \notin P_0(F)$이므로 $\phi(x)$가 기약임에 따라 $q_1(x) \in P_0(F)$이다.

또 $q_1(x)$가 영다항식이면 $\phi(x)$가 영다항식이 되어 모순이므로

다항식 스칼라곱 $\cdot_P$에 대해 $q_1(x) = a\cdot_P x^0 \in P_0(F)$는 $0$차다항식이고 $a \in F$는 $a\ne 0_F$가 되어 위 정리로

$\dfrac{1}{a} \cdot_P \phi(x) = \dfrac{1}{a} \cdot_P (q_1(x) \cdot g(x)) = \dfrac{1}{a} \cdot_P ((a\cdot_P x^0) \cdot g(x)) = \left(\left ( \dfrac{1}{a}\cdot_F a\right ) \cdot_P x^0 \right )\cdot g(x) = x^0 \cdot g(x) = g(x) \text{ 이고}$

$(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$는 체이므로 다시 위 정리로

$f(x) = q_2(x) \cdot g(x) = q_2(x) \cdot \left ( \dfrac{1}{a} \cdot_P \phi(x) \right ) = \left (\dfrac{1}{a} \cdot_P q_2(x) \right ) \cdot \phi(x)$이다.

따라서 $\phi(x)$가 $f(x)$를 나누지 않음에 모순이므로 $\phi(x)$와 $f(x)$는 서로소이다.

3.

$\psi(x)$가 $\phi(x)$를 나눈다고 가정하면 $\phi(x) = q(x)\cdot \psi(x)$인 $q(x) \in P_\infty(F)$가 존재하여

$\phi(x),\psi(x)$는 기약이므로 $q(x) \in P_0(F)$이고 $q(x)$는 영다항식이 아니다.

다항식 스칼라곱 $\cdot_P$에 대해 $q_1(x) = a\cdot_P x^0 \in P_0(F)$인 $a \in F$는 $a\ne 0_F$이고

위 정리로 $\phi(x) = q(x)\cdot \psi(x) = (a\cdot_P x^0) \cdot \psi(x) = a\cdot_P (x^0 \cdot \psi(x)) = a\cdot_P\psi(x)$가 되어

$\phi(x)$는 모닉이므로 $a = 1_F$인데 위 정리로 $\phi(x) = a\cdot_P \psi(x) = 1_F \cdot_P \psi(x) = \psi(x)$가 되어 모순이다.

따라서 $\psi(x)$는 $\phi(x)$를 나누지 않고 기약이므로 2번으로 $\phi(x)$와 $\psi(x)$는 서로소이다.

4.

$\phi(x)$가 $f(x)\cdot g(x)$를 나눌때 $\phi(x)$가 $f(x)$를 나누지 않으면 2번으로 $\phi(x)$와 $f(x)$는 서로소이므로

위 정리로 $q_1(x) \cdot \phi(x) +_P q_2(x) \cdot f(x) = x^0$인 $q_1(x),q_2(x) \in P_\infty(F)$가 존재하여

$g(x) = x^0\cdot g(x) = (q_1(x)\cdot \phi(x) +_P q_2(x) \cdot f(x))\cdot g(x) = q_1(x) \cdot \phi(x) \cdot g(x) + _P q_2(x) \cdot f(x) \cdot g(x)$이다.

또 $\phi(x)$가 $f(x)\cdot g(x)$를 나누므로 $f(x)\cdot g(x) = h(x) \cdot \phi(x)$인 $h(x) \in P_\infty(F)$가 존재하고

위 정리로 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$는 가환환이므로

$\begin{align*} g(x) & = q_1(x) \cdot \phi(x) \cdot g(x) + _P q_2(x) \cdot f(x) \cdot g(x) \\[0.5em] & = q_1(x) \cdot g(x)\cdot \phi(x) +_P q_2(x) \cdot h(x) \cdot \phi(x) \\[0.5em] & = (q_1(x) \cdot g(x) +_P q_2(x) \cdot h(x)) \cdot \phi(x) \text{ 가 되어}\end{align*}$

$\phi(x)$는 $g(x)$를 나누고 $\phi(x)$가 $g(x)$를 나누지 않을때도 비슷하게 $\phi(x)$는 $f(x)$를 나누어

$\phi(x)$가 $f(x)\cdot g(x)$를 나누면 $\phi(x)$는 $f(x)$를 나누거나 $g(x)$를 나눈다.

5.

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$일때 $\phi(x)$가 $\phi_1(x)$를 나누면 $\phi_1(x) = q(x) \cdot \phi(x)$인 $q(x) \in P_\infty(F)$가 존재하고 $\phi(x) = x^0 \cdot \phi(x)$인데

$\phi_1(x) \ne \phi(x)$라고 가정하면 3번으로 $\phi_1(x)$와 $\phi(x)$는 서로소이므로 $\phi(x) \in P_0(F)$가 되어

$\phi(x)$가 기약다항식임에 모순이므로 $\phi(x)$가 $\phi_1(x)$를 나누면 $\phi_1(x) = \phi(x)$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 가정이 성립할때

$\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots, \phi_k(x),\phi_{k+1}(x)$가 기약모닉다항식이고 $\phi(x)$가 $\phi_1(x)\cdot \phi_2(x)\cdot\; \cdots \; \cdot \phi_k(x)\cdot \phi_{k+1}(x)$를 나누면

4번으로 $\phi(x)$는 $\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots, \phi_k(x)$를 나누거나 $\phi_{k+1}(x)$를 나눈다.

$\phi(x)$가 $\phi_1(x),\phi_2(x),\cdots, \phi_k(x)$를 나누면 귀납가정으로 $\phi(x) = \phi_i(x)$인 $i = 1,2,\cdots, k$가 존재하고

$\phi(x)$가 $\phi_{k+1}(x)$를 나누면 $n = 1$일때처럼 $\phi(x) = \phi_{k+1}(x)$가 되어

$\phi(x)$가 $\phi_1(x)\cdot \phi_2(x)\cdot\; \cdots \; \cdot \phi_k(x)\cdot \phi_{k+1}(x)$를 나누면 $\phi(x) = \phi_i(x)$인 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$가 존재한다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리13

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_P$일때

$m \in \mathbb{Z}^+$차다항식 $f(x) \in P_m(F)$과 다항식 곱셈 $\cdot$에 대한 거듭연산에 대해

$f(x) = c\cdot_P ((\phi_1(x))^{n_1} \cdot (\phi_2(x))^{n_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_k(x))^{n_k})$를 만족하는

$c\ne 0_F$인 스칼라 $c \in F$와

$k\in \mathbb{Z}^+$개의 서로 다른 기약모닉다항식 $\phi_1(x) , \phi_2(x),\cdots, \phi_k(x)$와

$k\in \mathbb{Z}^+$개의 중복가능한 양의 정수 $n_1,n_2,\cdots, n_k \in \mathbb{Z}^+$가 유일하게 존재한다.

증명

존재성

$m \in \mathbb{Z}^+$에 대한 강귀납법을 사용한다.

$m = 1$일때 $f(x) = a\cdot_P x^1 +_P b \cdot_P x^0$는 $1$차다항식이므로 $a \ne 0_F$가 되어

$\phi_1(x) = x^1 +_P \dfrac{b}{a} \cdot_P x^0$으로 두면 $\phi_1(x) $는 모닉이고 위 정리로 기약이므로

위 정리로 $f(x) = a\cdot_P x^1 +_P b\cdot_P x^0 = a\cdot_P \left (x^1 + _P \dfrac{b}{a} \cdot_P x^0\right ) = a\cdot_P \phi_1(x) = a\cdot_P (\phi_1(x))^1$이다.

모든 $1,2,\cdots, r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 존재성이 성립할때

$r+1$차다항식 $f(x) = a_{r+1}\cdot_P x^{r+1} +_P a_r\cdot_P x^r +_P \cdots +_P a_1 \cdot_P x^1 +_P a_0 \cdot_P x^0\in P_{r+1}(F)$은 $a_{r+1} \ne 0_F$이므로

$g(x) = x^{r+1} +_P \dfrac{a_r}{a_{r+1}}\cdot_P x^r +_P \cdots +_P \dfrac{a_1}{a_{r+1}} \cdot_P x^1 +_P \dfrac{a_0}{a_{r+1}} \cdot_P x^0$로 두면

위 정리로 $f(x) = a_{r+1} \cdot_P g(x)$이고 $g(x)$가 기약이면 $g(x)$는 기약모닉다항식이므로 $f(x) = a_{r+1} \cdot_P (g(x))^1$이다.

$g(x)$가 기약이 아니면 $g(x) = \phi(x) \cdot \psi(x)$인 $\phi(x),\psi(x) \in P_\infty(F)$가 존재하고 $\phi(x) ,\psi(x) \notin P_0(F)$이므로

어떤 $i,j \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\phi(x)$는 $i$차다항식이고 $\psi(x)$는 $j$차다항식이다.

또 $g(x) = \phi(x) \cdot \psi(x)$이므로 위 정리로 $r +1 = i+j$이고

$r \ge r + 1 -i = j$와 $r \ge r + 1 -j = i$가 성립하여 귀납가정으로

$\phi(x) = a \cdot_P ((\phi_1(x))^{i_1} \cdot (\phi_2(x))^{i_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_u(x))^{i_u})$이고

$\psi(x) = b \cdot_P ((\psi_1(x))^{j_1} \cdot (\psi_2(x))^{j_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\psi_v(x))^{j_v})$인

$a,b \in F$와 $u,v \in \mathbb{Z}^+$개의 기약모닉다항식 $\phi_1(x) , \phi_2(x),\cdots, \phi_u(x),\psi_1(x),\psi_2(x), \cdots ,\psi_v(x) $와

양의 정수 $i_1,i_2,\cdots, i_u, j_1,j_2,\cdots, j_v \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $g(x)$는 모닉이므로 $a = b = 1_F$이고

$\begin{align*} f(x) & = a_{r+1} \cdot_P g(x) \\[0.5em] & = a_{r+1}\cdot_P (\phi(x) \cdot \psi(x)) \\[0.5em] & = a_{r+1}\cdot_P ((\phi_1(x))^{i_1} \cdot (\phi_2(x))^{i_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_u(x))^{i_u} \cdot (\psi_1(x))^{j_1} \cdot (\psi_2(x))^{j_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\psi_v(x))^{j_v}) \text{ 이다.} \end{align*}$

또 위 정리로 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$는 가환환이므로

$\phi_1(x) , \phi_2(x),\cdots, \phi_u(x),\psi_1(x),\psi_2(x), \cdots ,\psi_v(x) $중 중복되는 다항식이 있으면 거듭연산으로 표현할 수 있다.

따라서 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 존재성이 성립한다.

유일성

$m$차다항식 $f(x) \in P_m(F)$가

$c\cdot_P ((\phi_1(x))^{n_1} \cdot (\phi_2(x))^{n_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_k(x))^{n_k})  = f(x) = d \cdot_P ((\psi_1(x))^{m_1} \cdot (\psi_2(x))^{m_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\psi_r(x))^{m_r})$인

$c,d  \in F\setminus \{ 0_F \}$와 $k ,r \in \mathbb{Z}^+$개의 기약모닉다항식 $\phi_1(x) , \phi_2(x),\cdots, \phi_k(x),\psi_1(x),\psi_2(x), \cdots ,\psi_r(x) $와

양의 정수 $n_1,n_2,\cdots, n_k, m_1,m_2,\cdots, m_r \in \mathbb{Z}^+$이 존재할때

$\phi_1(x) , \phi_2(x),\cdots, \phi_k(x),\psi_1(x),\psi_2(x), \cdots ,\psi_r(x) $는 모닉이므로

위 정리로 $c = (f(x))_m = d$가 되어 양변에 $\dfrac{1}{c}$를 스칼라곱하면

$(\phi_1(x))^{n_1} \cdot (\phi_2(x))^{n_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_k(x))^{n_k} = (\psi_1(x))^{m_1} \cdot (\psi_2(x))^{m_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\psi_r(x))^{m_r}$이다.

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $\phi_i(x)$는 $(\psi_1(x))^{m_1} \cdot (\psi_2(x))^{m_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\psi_r(x))^{m_r}$를 나누므로

위 정리로 $\phi_i(x) = \psi_j(x)$인 $j = 1,2,\cdots, r$가 존재하여 $k \le r$이고

모든 $j = 1,2,\cdots, r$에 대해 $ \psi_j(x)$는 $(\phi_1(x))^{n_1} \cdot (\phi_2(x))^{n_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_k(x))^{n_k} $를 나누므로

위 정리로 $ \psi_j(x) = \phi_i(x)$인 $i = 1,2,\cdots, k$가 존재하여 $r \le k$이고 $k = r$이다.

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $\phi_i(x) = \psi_i(x)$가 되도록 첨수를 다시 쓸때 $n_i > m_i$라고 가정하면

체 정리와 위 정리로 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$는 정역이므로 소거법칙으로

$(\phi_1(x))^{n_1} \cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_i(x))^{n_i - m_i}\cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_k(x))^{n_k} = (\phi_1(x))^{m_1} \cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_{i-1}(x))^{m_{i-1}} \cdot (\phi_{i+1}(x))^{m_{i+1}}\cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_k(x))^{m_k} \text{ 가 되어}$

다시 $\phi_i(x)$로 우변을 나누면 위 정리로 $\phi_i(x) = \phi_j(x)$이고 $i \ne j$인 $j = 1,2,\cdots, k$가 존재하여

$\phi_1(x) , \phi_2(x),\cdots, \phi_k(x)$가 서로 다른 기약모닉다항식임에 모순이다.

따라서 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $n_i = m_i$이 되어 $f(x) = c\cdot_P ((\phi_1(x))^{n_1} \cdot (\phi_2(x))^{n_2}\cdot \; \cdots \; \cdot (\phi_k(x))^{n_k})$인

$c  \in F\setminus \{ 0_F \}$와 기약모닉다항식 $\phi_1(x) , \phi_2(x),\cdots, \phi_k(x)$와 $n_1,n_2,\cdots, n_k \in \mathbb{Z}^+$는 유일하다.

 

 

 

정리15

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_P$일때

영다항식이 아닌 유한다항식 $f(x),g(x),h(x) \in P_\infty(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f(x)$가 $g(x)$와 $h(x)$를 모두 나누면

모든 $p_1(x),p_2(x)\in P_\infty(F)$에 대해 $f(x)$는 $p_1(x)\cdot g(x) +_P p_2(x)\cdot h(x)$를 나눈다.

2. $f(x)$와 $g(x)$가 서로소이고 $f(x)$가 $g(x)\cdot h(x)$를 나누면 $f(x)$는 $h(x)$를 나눈다.

증명

1.

$g(x) = q_1(x)\cdot f(x) $이고 $h(x) = q_2(x)\cdot f(x) $인 $q_1(x),q_2(x)\in P_\infty(F)$가 존재하여

환의 정의로 모든 $p_1(x),p_2(x)\in P_\infty(F)$에 대해

$p_1(x)\cdot g(x) +_P p_2(x)\cdot h(x) = p_1(x)\cdot q_1(x)\cdot f(x) +_P p_2(x)\cdot q_2(x)\cdot f(x) = (p_1(x)\cdot q_1(x) +_P p_2(x)\cdot q_2(x))\cdot f(x)\text{ 이고}$

위 정리로 $p_1(x)\cdot q_1(x) +_P p_2(x)\cdot q_2(x)\in P_\infty(F)$이므로 $f(x)$는 $p_1(x)\cdot g(x) +_P p_2(x)\cdot h(x)$를 나눈다.

2.

위 정리로 $p_1(x)\cdot f(x) + _P p_2(x)\cdot g(x) = x^0$인 $p_1(x),p_2(x)\in P_\infty(F)$가 존재하고

위 정리로 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$는 가환환이므로

$\begin{align*}h(x) &= h(x)\cdot x^0 \\[0.5em] &= h(x)\cdot (p_1(x)\cdot f(x) +_P p_2(x)\cdot g(x))\\[0.5em]& = h(x)\cdot p_1(x)\cdot f(x) + _P h(x)\cdot p_2(x)\cdot g(x) \\[0.5em]&= p_1(x)\cdot f(x)\cdot h(x) +_P p_2(x)\cdot g(x)\cdot h(x) \text{ 가 되어}\end{align*}$

$f(x)$가 $f(x) \cdot h(x)$와 $g(x)\cdot h(x)$를 나눔에 따라

1번으로 $f(x)$는 $h(x) =p_1(x)\cdot f(x)\cdot h(x) +_P p_2(x)\cdot g(x)\cdot h(x) $를 나눈다.

 

 

 

정리16

체 $(F,+_F,\cdot_F,0_F,1_F)$의 유한다항식환이 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$이고 다항식 스칼라곱이 $\cdot_P$일때

$n\ge 2$인 $n\in \mathbb{Z}^+$개의 영다항식이 아닌 유한다항식 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_n(x) \in P_\infty(F)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 영다항식이 아닌 임의의 $f(x)\in P_\infty(F)$와 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해

$f(x)$와 $f_i(x)$가 서로소이기 위한 필요충분조건은 $f(x)$와 $f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot\; \cdots\; \cdot f_n(x)$가 서로소인 것이다.

2. 임의의 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $g_i(x) = f_1(x)\cdot \;\cdots\; \cdot f_{i-1}(x)\cdot f_{i+1}(x)\cdot\; \cdots\; \cdot f_n(x)$일때

$i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $f_i(x),f_j(x)$가 서로소이면 $g_1(x),g_2(x),\cdots, g_n(x) $는 서로소이다.

증명

1.

$n\ge 2$인 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 2$일때 $f(x)$와 $f_1(x)\cdot f_2(x)$가 서로소이고 영다항식이 아닌 임의의 $g(x)\in P_\infty(F)$에 대해

$f(x) = p(x) \cdot g(x)$와 $f_2(x) = q(x)\cdot g(x)$인 $p(x),q(x) \in P_\infty(F)$가 존재하면

$f_1(x)\cdot f_2(x) = f_1(x)\cdot q(x) \cdot g(x)$이므로 서로소의 정의로 $g(x) \in P_0(F)$가 되어

$f(x)$와 $f_2(x)$는 서로소이고 비슷하게 $f(x)$와 $f_1(x)$도 서로소이다.

역으로 $f(x)$와 $f_1(x)$가 서로소이고 $f(x)$와 $f_2(x)$가 서로소일때 영다항식이 아닌 임의의 $g(x)\in P_\infty(F)$에 대해

$f(x) = p(x) \cdot g(x)$와 $f_1(x)\cdot f_2(x) = q(x)\cdot g(x)$인 $p(x),q(x) \in P_\infty(F)$가 존재하면

$p(x)\cdot f_1(x)\cdot f_2(x) =p(x)\cdot q(x)\cdot g(x) = q(x)\cdot p(x)\cdot g(x) = q(x)\cdot f(x)$이므로 $f_2(x)$는 $q(x)\cdot f(x)$를 나누고

위 정리로 $f_2(x)$는 $q(x)$를 나누어 $q(x) = r(x) \cdot f_2(x)$인 $r(x)\in P_\infty(x)$가 존재하므로

$f_1(x)\cdot f_2(x) = q(x)\cdot g(x) = r(x)\cdot f_2(x) \cdot g(x)$이다.

체 정리와 위 정리로 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$는 정역이므로 소거법칙으로

$f_1(x) = r(x) \cdot g(x)$가 되어 서로소의 정의로 $g(x) \in P_0(F)$이고 $f(x)$와 $f_1(x)\cdot f_2(x)$는 서로소이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 영다항식이 아닌 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_k(x),f_{k+1}(x) \in P_\infty(F)$에 대해

$f(x)$와 $f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot\; \cdots\; \cdot f_k(x)\cdot f_{k+1}(x)$가 서로소이면 

위에서 보인 것으로 $f(x)$와 $f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot\; \cdots\; \cdot f_k(x)$는 서로소이고 $f(x)$와 $f_{k+1}(x)$는 서로소이므로

귀납가정으로 모든 $i=1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 $f(x)$와 $f_i(x)$는 서로소이다.

역으로 모든 $i=1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 $f(x)$와 $f_i(x)$가 서로소이면

귀납가정으로 $f(x)$와 $f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot\; \cdots\; \cdot f_k(x)$는 서로소이므로

위에서 보인 것으로 $f(x)$와 $f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot\; \cdots\; \cdot f_k(x)\cdot f_{k+1}(x)$는 서로소이다.

따라서 $n\ge 2$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

2.

$n\ge 2$인 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 2$이면 $g_2(x) = f_1(x)$이고 $g_1(x) = f_2(x)$이므로 $g_1(x),g_2(x)$는 서로소이다.

$k\ge 2$인 모든 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립할때 영다항식이 아닌 $f_1(x),f_2(x),\cdots, f_k(x),f_{k+1}(x) \in P_\infty(F)$와

$i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 $f_i(x),f_j(x)$가 서로소이면 귀납가정으로 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해

$h_i(x) = f_1(x)\cdot \;\cdots\; \cdot f_{i-1}(x)\cdot f_{i+1}(x)\cdot\; \cdots\; \cdot f_k(x)$인 $h_1(x),h_2(x),\cdots,h_k(x)$는 서로소이다.

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $g_i(x) = h_i(x)\cdot f_{k+1}(x)$이고 $g_{k+1}(x) = f_1(x)\cdot f_2(x) \cdot \; \cdots\; \cdot f_k(x)$이므로

영다항식이 아닌 임의의 $g(x)\in P_\infty(F)$에 대해

$g_i(x) = q_i(x)\cdot g(x)$이고 $g_{k+1}(x) = q_{k+1}(x)\cdot g(x)$인 $q_1(x),q_2(x),\cdots,q_k(x),q_{k+1}(x)\in P_\infty(F)$가 존재할때

$h_i(x)\cdot f_{k+1}(x)\cdot q_{k+1}(x) =g_i(x)\cdot q_{k+1}(x) = q_i(x) \cdot g(x) \cdot q_{k+1}(x)= q_i(x)\cdot q_{k+1}(x)\cdot g(x) =q_i(x)\cdot g_{k+1}(x) = g_{k+1}(x)\cdot q_i(x) \text{ 이므로}$

체 정리와 위 정리로 $(P_\infty(F),+_P,\cdot,f_0(x),x^0)$는 정역임에 따라 소거법칙으로 $h_i(x)$를 소거하면

$f_{k+1}(x)\cdot q_{k+1}(x) = f_i(x) \cdot q_i(x) $가 되어 $f_i(x)$는 $f_{k+1}(x)\cdot q_{k+1}(x) $를 나누고

위 정리로 $f_i(x)$는 $q_{k+1}(x)$를 나누어 $q_{k+1}(x) = r_i(x)\cdot f_i(x)$인 $r_i(x)\in P_\infty(F)$가 존재한다.

$g_{k+1}(x) = q_{k+1}(x)\cdot g(x) = r_i(x)\cdot f_i(x)\cdot g(x)$이므로 $f_i(x)$를 소거하면 $h_i(x) = r_i(x)\cdot g(x)$가 되어

$h_1(x),h_2(x),\cdots,h_k(x)$가 서로소임에 따라 $g(x)\in P_0(F)$이고 $g_1(x),g_2(x),\cdots,g_k(x),g_{k+1}(x)$는 서로소이다.

따라서 $n\ge 2$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/46#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/46#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Stephen H. Friedberg - Linear Algebra - 9780134860244

John B. Fraleigh - A First course in Abstract Algebra - 9788998308162