산술 함수(Arithmetic function)

정의1

약수 집합 : 

임의의 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n / d \in \mathbb{Z}$인 모든 양의 정수 $d \in \mathbb{Z}^+$들의 집합 $D_n = \{ d \in \mathbb{Z}^+ :  n/d \in \mathbb{Z}  \}$을 $n$의 약수집합으로 정의한다.

약수의 개수 $\tau$-함수 :

$D_n$의 원소개수가 $m_n \in \mathbb{Z}^+$개일때 $n$을 나누는 모든 양의 정수들의 개수를

$\displaystyle \tau(n) = m_n $인 함수 $\tau : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$로 정의한다.

약수의 합 $\sigma$-함수 :

$D_n = \{ d_{1,n}, d_{2,n}, \cdots, d_{\tau(n),n} \}$일때 $n$을 나누는 모든 양의 정수들의 합을

$\displaystyle \sigma(n) = d_{1,n} + d_{2,n} +\cdots + d_{\tau(n),n} = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} d_{i,n} $인 함수 $\sigma : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$로 정의한다.

산술 함수 또는 수론적 함수(number-theoretic function) :

함수의 정의역이 양의 정수 집합 $\mathbb{Z}^+$이고 치역이 복소수 집합 $\mathbb{C}$의 부분집합인

함수 $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$를 산술 함수 또는 수론적 함수라 한다.

곱셈적(multiplicative) 산술함수 : 

$\gcd(i,j)$ $ = 1$인 임의의 양의 정수 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$f(i\cdot j) = f(i) \cdot f(j)$가 성립하는 산술함수 $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$를 곱셈적이라고 한다.

완전(completely) 곱셈적 산술함수 :

모든 양의 정수 $i,j\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(i\cdot j) = f(i) \cdot f(j)$가 성립하는 산술함수 $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$를 완전 곱셈적이라고 한다.

 

 

 

정리1

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$의 약수집합 $D_n$은 공집합이 아닌 유한집합이다.

증명

약수 정리로 $n / 1 \in \mathbb{Z}$이므로 $D_n$은 공집합이 아니다.

약수 정리로 $n / d \in \mathbb{Z}$인 모든 $d \in \mathbb{Z}^+$는 $1\le d \le n$이므로

$D_n \subseteq \{ 1,2,\cdots, n \}$이 되어 유한집합 정리로 $D_n$은 유한이다.

 

 

 

정리2

$n\ge 2$인 임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}$가 되는

서로 다른 소수 $p_1, p_2,\cdots, p_k \in \mathbb{Z}^+$와 중복가능한 $m_1, m_2,\cdots, m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하면

$n / d \in \mathbb{Z}$인 임의의 $d \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$d = p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k}$이고 모든 $i = 1,2,\cdots, k$가 $0\le r_i \le m_i$인 중복가능한 $r_1, r_2,\cdots, r_k \in \mathbb{N}$가 존재한다.

또 $i = 1,2,\cdots,k$에 대해 $N_{m_i} = \{ 0,1 ,2,\cdots, m_i \} $일때

$n$의 약수집합은 $D_n = \{ p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} : (r_1,r_2,\cdots, r_k) \in N_{m_1} \times N_{m_2}\times \cdots \times N_{m_k} \}$이다.

증명

약수 정리로 $n / d \in \mathbb{Z}$인 모든 $d \in \mathbb{Z}^+$는 $1\le d \le n$이다.

$d = 1$이면 

$d = p_1^{0} \cdot p_2^{0} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{0} = 1$로 정리가 성립한다.

$d = n$이면

$d = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k} = n$으로 정리가 성립한다.

$2\le d \le n-1$일때

$n / d \in \mathbb{Z}$이므로 $n =d \cdot q$인 $q \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 산술의 기본정리로

$d = d_1\cdot d_2 \cdot \; \cdots \; \cdot d_s$이고 $d_1\le d_2 \le \cdots \le d_s$인 소수 $d_1, d_2 , \cdots , d_s \in \mathbb{Z}^+$와

 $q = q_1\cdot q_2 \cdot \; \cdots \; \cdot q_t$이고 $q_1\le q_2 \le \cdots \le q_t$인 소수 $q_1, q_2 , \cdots , q_t \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

$p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k} = d_1\cdot d_2 \cdot \; \cdots \; \cdot d_s \cdot q_1\cdot q_2 \cdot \; \cdots \; \cdot q_t $이고

모든 $i = 1,2,\cdots, s$에 대해

$(p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}) / d_i \in \mathbb{Z}$이므로 소수정리로 $d_i = p_j$인 $j = 1,2,\cdots, k$가 존재하여

$d = p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k}$인 $r_1, r_2,\cdots, r_k \in \mathbb{N}$가 존재한다.

또 모든 $i = 1,2,\cdots, t$에 대해

$(p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}) / q_i \in \mathbb{Z}$이므로 소수정리로 $q_i = p_j$인 $j = 1,2,\cdots, k$가 존재하고

$q = p_1^{u_1} \cdot p_2^{u_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{u_k}$인 $u_1, u_2,\cdots, u_k \in \mathbb{N}$가 존재하여

$\begin{align*} p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}  = p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} \cdot p_1^{u_1} \cdot p_2^{u_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{u_k}  = p_1^{r_1+u_1} \cdot p_2^{r_2+u_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k+u_k}\end{align*}$이므로

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $m_i = r_i + u_i$이고 $0\le r_i \le m_i$이다.

또 치환 공리로 집합 $ P  = \{ p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} : (r_1,r_2,\cdots, r_k) \in N_{m_1} \times N_{m_2}\times \cdots \times N_{m_k} \}$가 존재하고

모든 $d \in $ $D_n$는 $n / d \in \mathbb{Z}$이므로 위에서 보였듯이 $d = p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k}$이고

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $0\le r_i \le m_i$인 $r_1, r_2,\cdots, r_k \in \mathbb{N}$가 존재하여 $d \in P$이고 $D_n \subseteq P$이다.

또 모든 $d \in P$는 $d = p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k}$이고 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $r_i = 0,1,2,\cdots, m_i$인 $r_i$가 존재하므로

$ n  = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}  =  (p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k}) \cdot (p_1^{m_1 - r_1} \cdot p_2^{m_2 - r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - r_k})$이고

$0\le m_i - r_i \le m_i$인 $p_1^{m_1 - r_1} \cdot p_2^{m_2 - r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - r_k} \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $n / d \in \mathbb{Z}$이고 $d \in D_n$이므로 $P \subseteq D_n$이다.

따라서 $P \subseteq D_n$이고 $D_n \subseteq P$이므로 집합정리로 $D_n = P$이다.

 

 

 

정리3

$n\ge 2$인 임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}$가 되는

서로 다른 소수 $p_1, p_2,\cdots, p_k \in \mathbb{Z}^+$와 중복가능한 $m_1, m_2,\cdots, m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하면

$\tau(n)$ $ = (m_1 +1)\cdot (m_2 + 1)\cdot \;\cdots \; \cdot (m_k +1) $이고 

$\sigma(n)$ $ = \dfrac{p_1^{m_1+1} -1}{p_1 -1}\cdot \dfrac{p_2^{m_2 + 1}}{p_2 -1}\cdot \;\cdots \; \cdot \dfrac{p_k^{m_k +1}-1}{p_k -1} $이다.

증명

위 정리로 $n$의 약수집합은 $D_n = \{ p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} : (r_1,r_2,\cdots, r_k) \in N_{m_1} \times N_{m_2}\times \cdots \times N_{m_k} \} $이고

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $p_i^{m_i}$의 약수집합은 $D_{p_i^{m_i}} = \{ p_i^0, p_i^1,p_i^2, \cdots, p_i^{m_i} \}$이다.

$D_{p_i^{m_i}}$들의 $k$-데카르트곱 $\displaystyle \prod_{i = 1}^k D_{p_i^{m_i}}$에서 $D_{n}$으로의 함수를

소수 $p_i$와 $r_i = 0,1,2,\cdots, m_i$에 대해 $f(p_1^{r_1},p_2^{r_2},\cdots, p_k^{r_k} ) = p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k}$로 정의할때

$\displaystyle f : \prod_{i = 1}^k D_{p_i^{m_i}} \to D_n$는 위 정리로 전사이고 산술의 기본정리로 단사이므로 전단사이다.

모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $D_{p_i^{m_i}} $는 $m_i + 1$개의 원소를 가지므로

$k$-데카르트곱 정리로 $\displaystyle \prod_{i = 1}^k D_{p_i^{m_i}}$는 $ (m_1 +1)\cdot (m_2 + 1)\cdot \;\cdots \; \cdot (m_k +1) $개의 원소를 갖고

$\displaystyle f : \prod_{i = 1}^k D_{p_i^{m_i}} \to D_n$가 전단사이므로

유한집합 정리로 $D_n$은 $\tau(n) = (m_1 +1)\cdot (m_2 + 1)\cdot \;\cdots \; \cdot (m_k +1) $개의 원소를 갖는다.

또 $D_n$의 원소들의 합은

$ \begin{align*} \sigma (n) & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1} \sum_{i_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \left ( p_1^{i_1} \cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \left ( p_1^{0} \cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} + p_1^{1} \cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} + \cdots + p_1^{m_1} \cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i_2 = 0}^{m_2} \sum_{i_3 = 0}^{m_3} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \left ( p_1^{0} + p_1^{1} + \cdots + p_1^{m_1} \right ) \cdot \left ( p_2^{i_2} \cdot p_3^{i_3} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} \right) \\[0.5em] & = \sum_{i_3 = 0}^{m_3} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \left ( p_1^{0} + p_1^{1} + \cdots + p_1^{m_1} \right ) \cdot \left ( p_2^{0} \cdot p_3^{i_k} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} + p_2^{1} \cdot p_3^{i_k} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} + \cdots + p_2^{m_2} \cdot p_3^{i_k} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i_3 = 0}^{m_3} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \left ( p_1^{0} + p_1^{1} + \cdots + p_1^{m_1} \right ) \cdot \left ( p_2^{0} + p_2^{1} + \cdots + p_2^{m_2} \right ) \cdot \left ( p_3^{i_3} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} \right) \\[0.5em] & \qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\[0.5em] & = \sum_{i_k = 0}^{m_k} \left ( p_1^{0} + p_1^{1} + \cdots + p_1^{m_1} \right ) \cdot \left ( p_2^{0} + p_2^{1} + \cdots + p_2^{m_2} \right ) \cdot \; \cdots \; \cdot \left ( p_{k-1}^{0} + p_{k-1}^{1} + \cdots + p_{k-1}^{m_{k-1}} \right ) \cdot \left ( p_k^{i_k} \right) \\[0.5em] & = \left ( p_1^{0} + p_1^{1} + \cdots + p_1^{m_1} \right ) \cdot \left ( p_2^{0} + p_2^{1} + \cdots + p_2^{m_2} \right ) \cdot \; \cdots \; \cdot \left ( p_{k}^{0} + p_{k}^{1} + \cdots + p_{k}^{m_{k}} \right )  \text{ 이고}\end{align*}$

$p_1, p_2,\cdots, p_k$는 소수이므로 급수정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, k$에 대해 $p_i^0 + p_i^1 + \cdots + p_i^{m_i} = \dfrac{1 - p_i^{m_i +1}}{1 - p_i}$가 되어

$D_n$의 원소들의 합은 $\sigma(n) = \dfrac{p_1^{m_1+1} -1}{p_1 -1}\cdot \dfrac{p_2^{m_2 + 1}}{p_2 -1}\cdot \;\cdots \; \cdot \dfrac{p_k^{m_k +1}-1}{p_k -1}$이다.

 

 

 

정리4

$\gcd(m,n)$ $= 1$인 임의의 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $i,j \in \mathbb{N}$에 대해 $\gcd(m^i,n^j) = 1$이다.

2. $m / d_1 \in \mathbb{Z}$이고 $n / d_2 \in \mathbb{Z}$인 모든 $d_1,d_2\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\gcd(d_1,d_2) = 1$이다.

증명

1.

$i = 0$이면 $\gcd(m^i,n^j)  = \gcd(1, n^j)= 1$이고 $j = 0$이면 $\gcd(m^i,n^j)  = \gcd(m^i, 1)= 1$이다.

$i \ge 1$이고 $j \ge 1$일때

$\gcd(m,n)= 1$이므로 서로소 정리로 $1 = \gcd(m\cdot m\cdot \; \cdots \; \cdot m,n) = \gcd(m^i,n)$이고

다시 서로소 정리로 $1 = \gcd(m^i, n\cdot n \cdot \; \cdots \; \cdot n) = \gcd(m^i,n^j) $이다.

2.

$m=1$ 또는 $n = 1$이면

약수 정리로 $d_1 = 1$ 또는 $d_2 = 1$이므로 $\gcd(d_1,d_2) = 1$이다.

$m>1$이고 $n > 1$일때

$m / d_1 \in \mathbb{Z}$과 $n / d_2 \in \mathbb{Z}$가 성립하고 $\gcd(d_1,d_2) \ne 1$인 $d_1,d_2 \in \mathbb{Z}^+$이 존재한다고 가정하면

 $\gcd(d_1,d_2) = d > 1$인 $d \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 $d_1/d \in \mathbb{Z}$이고 $ d_2/d \in \mathbb{Z}$이므로

약수 정리로 $m / d \in \mathbb{Z}$이고 $n / d \in \mathbb{Z}$이다.

하지만 $\gcd(m,n) = 1 < d$이므로 최대공약수 정의에 모순이 되어

$m / d_1 \in \mathbb{Z}$이고 $n / d_2 \in \mathbb{Z}$인 모든 $d_1,d_2\in \mathbb{Z}^+$는 $\gcd(d_1,d_2) = 1$이다.

 

 

 

정리5

산술함수 $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$가 곱셈적이면 다음이 성립한다.

1. $f(n) \ne 0$이 되는 $n \in \mathbb{Z}^+$이 존재하면 $f(1) = 1$이다.

2. $r \ge 2$인 $r \in \mathbb{Z}^+$개의 임의의 $n_1,n_2,\cdots, n_r \in \mathbb{Z}^+$이 $i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, r$에 대해

$\gcd(n_i,n_j)$ $= 1$이면 $f(n_1\cdot n_2 \cdot \; \cdots \; \cdot n_r) = f(n_1) \cdot f(n_2) \cdot \; \cdots \; \cdot f(n_r)$이다.

3. $n\ge 2$인 임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}$가 되는

서로 다른 소수 $p_1, p_2,\cdots, p_k \in \mathbb{Z}^+$와 중복가능한 $m_1, m_2,\cdots, m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하면

$f(n) = f(p_1^{m_1})\cdot f(p_2^{m_2}) \cdot \; \cdots \; \cdot f(p_k^{m_k})$이다.

4. 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$의 약수집합이 $D_n = \{ d_{1,n}, d_{2,n}, \cdots, d_{\tau(n),n} \}$일때

$\displaystyle F(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} f(d_{i,n})$으로 정의되는 산술함수 $F : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$는 곱셈적이다.

증명

1.

$\gcd(1,n) = 1$이므로 $f(n) \cdot 1 = f(n)= f(n\cdot 1) = f(n) \cdot f(1)$이고 $f(n) \ne 0$이므로 $1 = f(1)$이다.

2.

$r \ge 2$인 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$r = 2$이면 곱셈적함수의 정의로 성립한다.

$m \ge 2$인 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(n_1\cdot n_2 \cdot \; \cdots \; \cdot n_m) = f(n_1) \cdot f(n_2) \cdot \; \cdots \; \cdot f(n_m)$이라고 가정할때

임의의 $n_1,n_2,\cdots, n_m, n_{m+1} \in \mathbb{Z}^+$이 $i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, m,m+1$에 대해 $\gcd(n_i,n_j) = 1$이면 

서로소 정리로 $\gcd(n_1\cdot n_2 \cdot \; \cdots \; \cdot n_m,n_{m+1}) =1$이므로 곱셈적함수의 정의와 귀납가정으로

$\begin{align*} f(n_1\cdot n_2 \cdot \; \cdots \; \cdot n_m \cdot n_{m+1}) & = f(n_1 \cdot n_2 \cdot \; \cdots \; \cdot n_m) \cdot f(n_{m+1})  =  f(n_1) \cdot f(n_2) \cdot \; \cdots \; \cdot f(n_m) \cdot f(n_{m+1}) \text{ 이 되어} \end{align*}$

$r \ge 2$인 모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(n_1\cdot n_2 \cdot \; \cdots \; \cdot n_r) = f(n_1) \cdot f(n_2) \cdot \; \cdots \; \cdot f(n_r)$이다.

3.

$p_1, p_2,\cdots, p_k $는 서로 다른 소수이므로

$i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, k$에 대해 $\gcd(p_i, p_j)$ $= 1$이고 위 정리로 $\gcd(p_i^{m_i},p_j^{m_j}) = 1$이 되어

2번으로 $f(n)  = f(p_1^{m_1}\cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}) = f(p_1^{m_1})\cdot f(p_2^{m_2}) \cdot \; \cdots \; \cdot f(p_k^{m_k})$이다.

4.

$\gcd(m,n) = 1$이고 임의의 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$m = 1 $ 또는 $n = 1$일때

약수 정리로 $1 / d \in \mathbb{Z}$인 $d \in \mathbb{Z}^+$는 $d = 1$이므로 $D_1 = \{ 1 \}$이 되어 $\begin{align*} F(1) = \sum_{i = 1}^{\tau(1)} f(d_{i,1})  = f(1) \end{align*}$이고

일반성을 잃지 않고 $m = 1$이라 가정하면

$\begin{align*} F(m\cdot n) & = F(n) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} f(d_{i,n}) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} f( 1 \cdot d_{i,n}) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left (f( 1) \cdot f(d_{i,n}) \right ) \\[0.5em] &= f( 1) \cdot \left ( \sum_{i = 1}^{\tau(n)} f(d_{i,n}) \right ) \\[0.5em] & = \left ( \sum_{i = 1}^{\tau(1)} f(d_{i,1}) \right ) \cdot \left ( \sum_{i = 1}^{\tau(n)} f(d_{i,n}) \right ) \\[0.5em] & = F(1) \cdot F(n) \\[0.5em] & = F(m) \cdot F(n) \text{  이다.} \end{align*}$

$m > 1 $ 이고 $n > 1$일때

산술의 기본정리로 $m = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}$이고 $n = q_1^{n_1} \cdot q_2^{n_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s}$인

소수 $p_1, p_2,\cdots, p_k, q_1 ,q_2, \cdots, q_s \in \mathbb{Z}^+$와 $m_1, m_2,\cdots, m_k,n_1,n_2,\cdots, n_s \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고

$\gcd(m,n) = 1$이므로 위 정리로

$u = 1,2,\cdots, k$인 모든 $i_u =  0,1,2, \cdots, m_u$와 $v = 1,2,\cdots, s$인 모든 $ j_v = 0,1,2, \cdots,  n_v$에 대해

$\gcd(p_u^{i_u},q_v^{j_v}) = 1$이고 $\gcd( p_1^{i_1} \cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} , q_1^{j_1} \cdot q_2^{j_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s} )  = 1$이다.

또 $\gcd(p_u,q_v) = 1$이고 $p_u$와 $q_v$는 소수이므로 $p_u \ne q_v$가 되어 $p_1, p_2,\cdots, p_k, q_1 ,q_2, \cdots, q_s $는 모두 다른 소수이다.

따라서 $m \cdot n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k} \cdot q_1^{n_1} \cdot q_2^{n_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s}$이고

위 정리로 $m\cdot n$의 약수집합은 

$D_{m \cdot n} = \{ p_1^{i_1} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} \cdot q_1^{j_1} \cdot \;\cdots \; \cdot q_s^{j_s} : (i_1,\cdots, i_k,j_1,\cdots, j_s) \in N_{m_1} \times \cdots \times N_{m_k} \times N_{n_1} \times \cdots \times N_{n_s}  \} \text{ 이므로}$

모든 $d_{i,m\cdot n} \in D_{m\cdot n}$에 대해

$\begin{align*} m\cdot n & = p_1^{m_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k} \cdot q_1^{n_1} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s} \\[0.5em]& = (p_1^{i_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k}\cdot q_1^{j_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s}) \cdot (p_1^{m_1 - i_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - i_k} \cdot q_1^{n_1 - j_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s - j_s}) \\[0.5em] & = d_{i,m\cdot n} \cdot \dfrac{m\cdot n}{d_{i,m\cdot n}} \text{ 이 되는 }\end{align*}$

$m_1, m_2,\cdots, m_k ,n_1,n_2, \cdots, n_s \in \mathbb{Z}^+$보다 작거나 같은 어떤 $i_1, i_2, \cdots, i_k, j_1, j_2, \cdots, j_s \in \mathbb{N}$가 존재하므로

$\begin{align*} F(m\cdot n) & = \sum_{i = 1}^{\tau(m\cdot n)} f(d_{i,m\cdot n}) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1} \sum_{i_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{n_1} \sum_{j_2 = 0}^{n_2} \cdots \sum_{j_s = 0}^{n_s}  f( p_1^{i_1} \cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} \cdot q_1^{j_1} \cdot q_2^{j_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s} ) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1} \sum_{i_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{n_1} \sum_{j_2 = 0}^{n_2} \cdots \sum_{j_s = 0}^{n_s}  \left ( f( p_1^{i_1} \cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k}) \cdot f( q_1^{j_1} \cdot q_2^{j_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s} ) \right ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i_1 = 0}^{m_1} \sum_{i_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} f( p_1^{i_1} \cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k}) \right ) \cdot \left ( \sum_{j_1 = 0}^{n_1} \sum_{j_2 = 0}^{n_2} \cdots \sum_{j_s = 0}^{n_s} f( q_1^{j_1} \cdot q_2^{j_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s} ) \right ) \\[0.5em] & = \left ( \sum_{i = 1}^{\tau(m)} f(d_{i,m}) \right ) \cdot \left ( \sum_{j = 1}^{\tau(n)} f(d_{j, n}) \right ) \\[0.5em] & = F(m) \cdot F(n) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리6

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$의 약수집합이 $D_n = \{ d_{1,n}, d_{2,n}, \cdots, d_{\tau(n),n} \}$일때 다음이 성립한다.

1. $\psi(n) = 1$인 산술함수 $\psi : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$는 완전 곱셈적이다.

2. $\iota(n) = n$인 산술함수 $\iota : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$는 완전 곱셈적이다.

3. 산술함수 $\tau$는 곱셈적이고 1번의 $\psi$에 대해 $\displaystyle \tau(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \psi(d_{i,n})$이다.

4. 산술함수 $\sigma$는 곱셈적이고 2번의 $\iota$에 대해 $\displaystyle \sigma(n)  = \sum_{i = 1}^{\tau(n)}\iota(d_{i,n})$이다.

증명

1.

임의의 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\psi(m\cdot n) = 1 = 1\cdot 1 = \psi(m) \cdot \psi(n)$이다.

2.

임의의 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\iota(m\cdot n) = m\cdot n =  \iota(m) \cdot \iota(n)$이다.

3.

1번의 산술함수 $\psi$를 이용하여 $\displaystyle \tau(n) = \sum_{i= 1}^{\tau(n)} 1 = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \psi(d_{i,n})$이므로 위 정리로 $\tau$는 곱셈적이다.

4.

2번의 산술함수 $\iota$를 이용하여 $\displaystyle \sigma(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} d_{i,n}  = \sum_{i = 1}^{\tau(n)}\iota(d_{i,n})$이므로 위 정리로 $\sigma$는 곱셈적이다.

 

 

 

정의2(뫼비우스[Möbius] 뮤 함수)

임의의 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\mu(n) = \begin{cases} 1 , & n = 1 \text{ 일때} \\ 0 ,& n/p^2 \in \mathbb{Z} \text{ 인 소수 } p \text{가 존재할때} \\ (-1)^r , & n = p_1^1 \cdot p_2^1 \cdot \; \cdots \; \cdot p_r^1 \text{ 인 } r \in \mathbb{Z}^+\text{개의 서로 다른 소수 } p_1, p_2, \cdots , p_r  \text{이 존재할때}\end{cases}$

위와 같이 정의되는 산술함수 $\mu : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}$를 뫼비우스 $\mu$-함수로 정의한다. 

 

 

 

정리7

뫼비우스 $\mu$-함수에 대해 다음이 성립한다.

1. $\mu$는 곱셈적이다.

2. 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$의 약수집합이 $D_n = \{ d_{1,n}, d_{2,n}, \cdots, d_{\tau(n),n} \}$이면

$\displaystyle M(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \mu(d_{i,n})$인 산술함수 $M : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}$은 곱셈적이고 $\displaystyle M(n) =  \begin{cases} 1, & n = 1 \text{ 일때} \\ 0, & n > 1 \text{ 일때}  \end{cases}$ 이다.

증명

1.

$\gcd(m,n)$ $= 1$인 임의의 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$m = 1 $ 또는 $n = 1$일때

일반성을 잃지 않고 $m = 1$이라 가정하면 $\mu(m\cdot n)  = \mu(n) = 1\cdot \mu(n) = \mu(m) \cdot \mu(n)$이다.

$m > 1 $이고 $n > 1$일때

산술의 기본정리로 $m = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}$이고 $n = q_1^{n_1} \cdot q_2^{n_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s}$인

소수 $p_1, p_2,\cdots, p_k, q_1 ,q_2, \cdots, q_s \in \mathbb{Z}^+$와 $m_1, m_2,\cdots, m_k,n_1,n_2,\cdots, n_s \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고

$\gcd(m,n) = 1$이므로 위 정리로 모든 $u = 1,2,\cdots, k$와 모든 $v = 1,2,\cdots, s$에 대해

$\gcd(p_u,q_v) = 1$이고 $p_u$와 $q_v$는 소수이므로 $p_u \ne q_v$가 되어 $p_1, p_2,\cdots, p_k, q_1 ,q_2, \cdots, q_s $는 모두 다른 소수이다.

$m_u > 1$인 $u = 1,2,\cdots, k$가 존재하거나 $n_v > 1$인 $v = 1,2,\cdots, s$가 존재하면

$m / p_u^2 \in \mathbb{Z}$ 또는 $n / q_v^2 \in \mathbb{Z}$이므로 $(m\cdot n) / p_u^2 \in \mathbb{Z}$ 또는 $(m\cdot n) / q_v^2 \in \mathbb{Z}$이 되어

일반성을 잃지 않고 $m / p_u^2 \in \mathbb{Z}$이라 가정하면 $\mu(m\cdot n)  = 0 = 0\cdot \mu(n) = \mu(m) \cdot \mu(n)$이다.

$m_1 = m_2 = \cdots = m_k = 1 = n_1 = n_2 = \cdots = n_s$이면

$\begin{align*} \mu(m\cdot n) & = \mu(p_1 \cdot p_2 \cdot \; \cdots \; \cdot p_k \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot \; \cdots \; \cdot q_s) \\ & = (-1)^{k+s} \\[0.5em] & = (-1)^k \cdot (-1)^s \\[0.5em]& = \mu(p_1\cdot p_2 \cdot \; \cdots \; \cdot p_k) \cdot \mu(q_1 \cdot q_2 \cdot \; \cdots \; \cdot q_s) \\[0.5em] & = \mu(m)\cdot \mu(n) \text{ 이다.} \end{align*}$ 

2.

1번으로 $\mu$가 곱셈적이므로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle M(n)= \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \mu(d_{i,n})$인 산술함수 $M$도 위 정리로 곱셈적이다.

$n = 1$일때

약수 정리로 $1 / d \in \mathbb{Z}$인 $d \in \mathbb{Z}^+$는 $d = 1$이므로 $D_1 = \{ 1 \}$이 되어 $\begin{align*} M(1) = \sum_{i = 1}^{\tau(1)} \mu(d_{i,1})  = \mu(1) = 1 \end{align*}$이다.

$n > 1$일때

산술의 기본정리로 $n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}$인

서로 다른 소수 $p_1, p_2,\cdots, p_k  \in \mathbb{Z}^+$와 $m_1, m_2,\cdots, m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

모든 $i = 1,2,\cdots , k$에 대해 $p_i^{m_i}$의 약수집합은 위 정리로 $D_{p_i^{m_i}} = \{ p_i^0, p_i^1, p_i^2, \cdots, p_i^{m_i} \}$이고

뫼비우스 $\mu$-함수는 $\mu(p_i^0) = \mu(1) = 1 = - \mu(p_i^1)$이고 $0 = \mu(p_i^2) = \mu(p_i^3) = \mu(p_i^4) =\cdots $이다.

따라서 모든 $i = 1,2,\cdots , k$에 대해 $m_i \ge 1$이고 $M$은 곱셈적이므로 위 정리로

$\begin{align*} M(n) &= M(p_1^{m_1}) \cdot M(p_2^{m_2}) \cdot \; \cdots \; \cdot M(p_k^{m_k}) \\[0.5em] & = \left ( \sum_{j = 0}^{m_1}\mu(p_1^j) \right ) \cdot \left ( \sum_{j = 0}^{m_2}\mu(p_2^j) \right ) \cdot \; \cdots \; \cdot \left ( \sum_{j = 0}^{m_k}\mu(p_k^j) \right ) \\[0.5em] & = \left ( \sum_{j = 0}^{1}\mu(p_1^j) \right ) \cdot \left ( \sum_{j = 0}^{1}\mu(p_2^j) \right ) \cdot \; \cdots \; \cdot \left ( \sum_{j = 0}^{1}\mu(p_k^j) \right ) \\[0.5em] & = \left ( \mu(p_1^0) + \mu(p_1^1) \right ) \cdot \left ( \mu(p_2^0) + \mu(p_2^1) \right ) \cdot \; \cdots \; \cdot \left ( \mu(p_k^0) + \mu(p_k^1) \right ) \\[0.5em] & = \left ( 1 -1 \right ) \cdot \left ( 1-1 \right ) \cdot \; \cdots \; \cdot \left ( 1-1 \right ) \\[0.5em] & = 0 \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리8

자연수 집합 $\mathbb{N} = \{ 0,1,2,\cdots\}$과 교환법칙과 결합법칙을 만족하는 이항구조 $(S,+_S)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 함수 $h  :$ $\mathbb{N}^2$ $ \to S$는 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $\begin{align*} \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m-i} h(i,j) = \sum_{i = 0}^{m} \sum_{j = 0}^{m-i} h(j,i) \end{align*}$이다.

2. 임의의 $k \in \mathbb{Z}^+$와 임의의 함수 $h : $ $\mathbb{N}^{2k}$ $ \to S$는 모든 $m_1, m_2, \cdots,m_k \in \mathbb{N}$에 대해

$\begin{align*} \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1} \cdots \sum_{j_k = 0}^{m_k - i_k} h(i_1,\cdots, i_k,j_1,\cdots,j_k) = \sum_{i_1 = 0}^{m_1} \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1} \cdots \sum_{j_k = 0}^{m_k - i_k} h(j_1,\cdots, j_k , i_1,\cdots, i_k)  \text{ 이다.} \end{align*}$

3. 임의의 $k \in \mathbb{Z}^+$와 임의의 함수 $h : $ $\mathbb{N}^{2k}$ $ \to S$는 모든 $m_1, m_2, \cdots,m_k \in \mathbb{N}$에 대해

$\begin{align*} \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{i_1} \cdots \sum_{j_k = 0}^{ i_k} h(m_1 - i_1,\cdots, m_k- i_k,j_1,\cdots,j_k) = \sum_{i_1 = 0}^{m_1} \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{i_1} \cdots \sum_{j_k = 0}^{i_k} h(j_1,\cdots, j_k , m_1 - i_1,\cdots, m_k- i_k)  \text{ 이다.} \end{align*}$

증명

1.

$m \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용한다.

$m = 0$일때 $\begin{align*} \sum_{i = 0}^{0} \sum_{j = 0}^{0-i} h(i, j)  =  h(0,0) = \sum_{i = 0}^{0} \sum_{j = 0}^{0-i} h(j,i) \end{align*}$이다.

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다고 가정할때

모든 $(x,y) \in \mathbb{N}^2$에 대해 $h(x, y +1) = h_1(x, y)$인 함수 $h_1 : \mathbb{N}^2 \to S$를 정의하면

귀납가정으로 $\begin{align*}  \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n-i} h_1(i,j)   = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n-i} h_1(j,i)   \end{align*}$이므로

$\begin{align*} \sum_{i = 0}^{n+1} \sum_{j = 0}^{n+1-i} h(i,j) & = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n+1-i} h(i,j) +_S \sum_{j = 0}^{n+1 -(n+1)}h(n+1,j) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^{n} \left ( \sum_{j = 1}^{n+1-i} h(i,j) +_S h(i, 0) \right ) +_S \sum_{j = 0}^{0}h(n+1,j) \\[0.5em]& = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 1}^{n+1-i} h(i,j) +_S \sum_{i = 0}^{n} h(i, 0) +_S h(n+1,0) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n-i} h(i,j+1) +_S \sum_{i = 0}^{n+1} h(i, 0) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n-i} h_1(i,j) +_S \sum_{i = 0}^{n+1} h(i, 0) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n-i} h_1(j,i) +_S \sum_{j = 0}^{n+1} h(j, 0) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n-i} h(j,i+1) +_S \sum_{j = 0}^{n+1} h(j, 0) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{n+1} \sum_{j = 0}^{n-(i-1)} h(j,i) +_S \sum_{j = 0}^{n+1} h(j, 0) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{n+1} \sum_{j = 0}^{n+1-i} h(j,i) +_S \sum_{j = 0}^{n+1-0} h(j, 0) \\[0.5em] & = \sum_{i = 0}^{n+1} \sum_{j = 0}^{n+1-i} h(j,i) \text{  이 되어} \end{align*}$

모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다.

2.

$k \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$k = 1$일땐 1번으로 성립한다.

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다고 가정할때

모든 $(x_1, \cdots, x_{n} , y_1,\cdots y_n) \in \mathbb{N}^{2n}$에 대해

$\displaystyle \sum_{i_{n+1} = 0}^{m_{n+1}} \sum_{j_{n+1}}^{m_{n+1} - i_{n+1}}  h(x_1,\cdots,x_n, j_{n+1},y_1,\cdots, y_{n}, i_{n+1}) = h_n(x_1,\cdots,x_n, y_1,\cdots, y_n)$인 함수 $h_n : \mathbb{N}^{2n} \to S$과

모든 $(x_{n+1},y_{n+1}) \in \mathbb{N}^2$에 대해

$\begin{align*} \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots & \sum_{i_n=0}^{m_n}  \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1}  \cdots \sum_{j_n=0}^{m_n-i_n}  h (i_1,\cdots,i_n, x_{n+1}, j_1,\cdots ,j_n, y_{n+1}) = H(x_{n+1},y_{n+1}) \end{align*}$인 함수 $H : \mathbb{N}^{2} \to S$를 정의하면

1번과 귀납가정으로

$\begin{align*} \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots  \sum_{i_n=0}^{m_n} \sum_{i_{n+1}=0}^{m_{n+1}}  \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1} & \cdots \sum_{j_n=0}^{m_n-i_n} \sum_{j_{n+1} = 0}^{m_{n+1} - i_{n+1}} h (i_1,\cdots,i_n, i_{n+1}, j_1,\cdots ,j_n,j_{n+1}) \\[0.5em] & = \sum_{i_{n+1}=0}^{m_{n+1}} \sum_{j_{n+1} = 0}^{m_{n+1} - i_{n+1}} \left ( \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_n=0}^{m_n}   \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1}  \cdots \sum_{j_n=0}^{m_n-i_n} h (i_1,\cdots,i_n, i_{n+1}, j_1,\cdots ,j_n,j_{n+1}) \right ) \\[0.5em]& = \sum_{i_{n+1}=0}^{m_{n+1}} \sum_{j_{n+1} = 0}^{m_{n+1} - i_{n+1}} H(i_{n+1},j_{n+1}) \\[0.5em]& = \sum_{i_{n+1}=0}^{m_{n+1}} \sum_{j_{n+1} = 0}^{m_{n+1} - i_{n+1}} H(j_{n+1},i_{n+1}) \\[0.5em] & = \sum_{i_{n+1}=0}^{m_{n+1}} \sum_{j_{n+1} = 0}^{m_{n+1} - i_{n+1}} \left ( \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_n=0}^{m_n}   \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1}  \cdots \sum_{j_n=0}^{m_n-i_n} h (i_1,\cdots,i_n, j_{n+1}, j_1,\cdots ,j_n,i_{n+1}) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_n=0}^{m_n}   \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1}  \cdots \sum_{j_n=0}^{m_n-i_n} \left ( \sum_{i_{n+1}=0}^{m_{n+1}} \sum_{j_{n+1} = 0}^{m_{n+1} - i_{n+1}} h (i_1,\cdots,i_n, j_{n+1}, j_1,\cdots ,j_n,i_{n+1}) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_n=0}^{m_n}   \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1}  \cdots \sum_{j_n=0}^{m_n-i_n} h_n(i_1,\cdots,i_n, j_1,\cdots, j_n) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_n=0}^{m_n}   \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1}  \cdots \sum_{j_n=0}^{m_n-i_n} h_n(j_1,\cdots,j_n, i_1,\cdots, i_n) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_n=0}^{m_n}   \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1}  \cdots \sum_{j_n=0}^{m_n-i_n} \left ( \sum_{i_{n+1}=0}^{m_{n+1}} \sum_{j_{n+1} = 0}^{m_{n+1} - i_{n+1}} h (j_1,\cdots,j_n, j_{n+1}, i_1,\cdots ,i_n,i_{n+1}) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_n=0}^{m_n} \sum_{i_{n+1}=0}^{m_{n+1}}  \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1}  \cdots \sum_{j_n=0}^{m_n-i_n} \sum_{j_{n+1} = 0}^{m_{n+1} - i_{n+1}} h (j_1,\cdots,j_n, j_{n+1}, i_1,\cdots ,i_n,i_{n+1}) \text{ 이므로} \end{align*}$

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

3.

모든 $n = 1,2,\cdots, k$에 대해 $0\le i_n \le m_n$이고 $0\le m_n - i_n \le m_n$이므로 2번으로

$\begin{align*} \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k}  \sum_{j_1 = 0}^{i_1} & \cdots  \sum_{j_k = 0}^{ i_k}   h(m_1 - i_1,\cdots, m_k- i_k,j_1,\cdots,j_k)  \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1} \cdots \sum_{j_k = 0}^{m_k - i_k} h(m_1 - (m_1 - i_1),\cdots,m_k -(m_k - i_k),j_1,\cdots,j_k) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1} \cdots \sum_{j_k = 0}^{m_k - i_k} h(i_1,\cdots, i_k,j_1,\cdots,j_k) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{m_1-i_1} \cdots \sum_{j_k = 0}^{m_k - i_k} h(j_1,\cdots, j_k, i_1,\cdots, i_k) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{m_1-(m_1 - i_1)} \cdots \sum_{j_k = 0}^{m_k - (m_k - i_k)} h(j_1,\cdots, j_k, m_1 - i_1,\cdots, m_k -i_k) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}  \cdots \sum_{i_k=0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{i_1} \cdots \sum_{j_k = 0}^{ i_k} h(j_1,\cdots, j_k, m_1 - i_1,\cdots, m_k -i_k) \text{ 이다.} \end{align*}$

 

 

 

정리9(뫼비우스[Möbius] 반전 공식)

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$의 약수집합이 $D_n = \{ d_{1,n}, d_{2,n}, \cdots, d_{\tau(n),n} \}$일때

임의의 산술함수 $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$에 대해

$\displaystyle F(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} f(d_{i,n})$로 정의되는 산술함수 $F : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$와 뫼비우스 $\mu$-함수에 대해

$\displaystyle f(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu(d_{i,n})\cdot F \left (\frac{n}{d_{i,n}} \right ) \right ) = \sum_{i=1}^{\tau(n)} \left ( \mu \left (\frac{n}{d_{i,n}} \right )\cdot F(d_{i,n}) \right )$이 성립한다.

증명

$n = 1$일때 

약수 정리로 $1 / d \in \mathbb{Z}$인 $d \in \mathbb{Z}^+$는 $d = 1$이므로 $D_1 = \{ 1 \}$이 되어 $\begin{align*} F(1) = \sum_{i = 1}^{\tau(1)} f(d_{i,1})  = f(1) \end{align*}$이고

뫼비우스 $\mu$-함수는 $\mu(1) = 1$이므로 $\displaystyle f(1) = F(1) = \sum_{i = 1}^{\tau(1)} \left ( \mu(d_{i,1})\cdot F \left (\frac{1}{d_{i,1}} \right ) \right )= \sum_{i=1}^{\tau(1)} \left ( \mu \left (\frac{1}{d_{i,1}} \right )\cdot F(d_{i,1}) \right )$이다.

$n > 1$일때

$D_{n}$의 정의로 모든 $i = 1,2,\cdots, \tau(n)$에 대해 $n/ d_{i,n} \in \mathbb{Z}$이고 $n,d_{i,n} \in \mathbb{Z}^+$이므로 $\dfrac{n}{d_{i,n}} \in \mathbb{Z}^+$이고

산술의 기본정리로 $n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}$인

서로 다른 소수 $p_1, p_2,\cdots, p_k \in \mathbb{Z}^+$와 $m_1, m_2,\cdots, m_k \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여

위 정리로 $n$의 약수집합은 $ D_n = \{ p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} : (r_1,r_2,\cdots, r_k) \in N_{m_1} \times N_{m_2}\times \cdots \times N_{m_k} \}$이므로

모든 $d_{i,n} \in D_n$에 대해

$ n  = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}  = (p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k}) \cdot (p_1^{m_1 - r_1} \cdot p_2^{m_2 - r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - r_k}) = d_{i,n} \cdot \dfrac{n}{d_{i,n}}$인

$m_1, m_2,\cdots, m_k \in \mathbb{Z}^+$보다 작거나 같은 어떤 $r_1, r_2, \cdots, r_k \in \mathbb{N}$가 존재하여

위 정리와 뫼비우스 함수 정리로

$\begin{align*} \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu(d_{i,n})\cdot F \left (\frac{n}{d_{i,n}} \right ) \right ) & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \left ( \mu ( p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} ) \cdot F( p_1^{m_1 - r_1}\cdot p_2^{m_2 - r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - r_k} ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \left ( \mu ( p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} ) \cdot \left ( \sum_{i_1 = 0}^{m_1 -r_1} \sum_{i_2 = 0}^{m_2 -r_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k - r_k} f( p_1^{i_1}\cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} ) \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \sum_{i_1 = 0}^{m_1 -r_1} \sum_{i_2 = 0}^{m_2 -r_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k - r_k} \left ( \mu ( p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} )\cdot f( p_1^{i_1}\cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \sum_{i_1 = 0}^{m_1 -r_1} \sum_{i_2 = 0}^{m_2 -r_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k - r_k} \left ( \mu ( p_1^{i_1}\cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} )\cdot f( p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \left ( f( p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} ) \left ( \sum_{i_1 = 0}^{m_1 -r_1} \sum_{i_2 = 0}^{m_2 -r_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k - r_k} \mu ( p_1^{i_1}\cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} ) \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \left ( f( p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} ) \cdot M( p_1^{m_1 - r_1}\cdot p_2^{m_2 - r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - r_k} ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( f(d_{i,n})\cdot M \left (\frac{n}{d_{i,n}} \right ) \right ) \\[0.5em] & = f(n)\cdot M \left (\frac{n}{n} \right ) \\[0.5em] & = f(n) \text{ 이고 } \end{align*}$

비슷하게 위 정리와 뫼비우스 함수 정리로

$\begin{align*} \sum_{i=1}^{\tau(n)} \left ( \mu \left (\frac{n}{d_{i,n}} \right )\cdot F(d_{i,n}) \right ) & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \left ( \mu ( p_1^{m_1 - r_1}\cdot p_2^{m_2 - r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - r_k} ) \cdot F( p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \left ( \mu ( p_1^{m_1-r_1}\cdot p_2^{m_2-r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - r_k} ) \cdot \left ( \sum_{i_1 = 0}^{r_1} \sum_{i_2 = 0}^{r_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{r_k} f( p_1^{i_1}\cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} ) \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \sum_{i_1 = 0}^{r_1} \sum_{i_2 = 0}^{r_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{r_k} \left ( \mu ( p_1^{m_1-r_1}\cdot p_2^{m_2-r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k-r_k} )\cdot f( p_1^{i_1}\cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \sum_{i_1 = 0}^{r_1} \sum_{i_2 = 0}^{r_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{r_k} \left ( \mu ( p_1^{i_1}\cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} )\cdot f( p_1^{m_1-r_1}\cdot p_2^{m_2-r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k-r_k} ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \left ( f( p_1^{m_1-r_1}\cdot p_2^{m_2-r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k-r_k} ) \left ( \sum_{i_1 = 0}^{r_1} \sum_{i_2 = 0}^{r_2} \cdots \sum_{i_k = 0}^{r_k} \mu ( p_1^{i_1}\cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} ) \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{r_1 = 0}^{m_1} \sum_{r_2 = 0}^{m_2} \cdots \sum_{r_k = 0}^{m_k} \left ( f( p_1^{m_1-r_1}\cdot p_2^{m_2-r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k-r_k} ) \cdot M( p_1^{r_1}\cdot p_2^{r_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{r_k} ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( f \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right )\cdot M \left (d_{i,n} \right ) \right ) \\[0.5em] & = f\left (\frac{n}{1} \right )\cdot M \left (1 \right ) \\[0.5em] & = f(n) \text{ 이다. } \end{align*}$

 

 

 

정리10

임의의 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n$의 약수집합이 $D_n = \{ d_{1,n}, d_{2,n}, \cdots, d_{\tau(n),n} \}$일때

뫼비우스 $\mu$-함수와 $\tau,\sigma$에 대해 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle 1 = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right ) \cdot \tau(d_{i,n}) \right ) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu(d_{i,n}) \cdot \tau \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right ) \right )$

2. $\displaystyle n = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right ) \cdot \sigma(d_{i,n}) \right ) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu(d_{i,n}) \cdot \sigma \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right )  \right )$

3. $\displaystyle F(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} f(d_{i,n})$인 산술함수 $F,f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{C}$에 대해

$F$가 곱셈적이기 위한 필요충분조건은 $f$가 곱셈적인 것이다.

증명

1.

$\tau$는 위 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\psi(n) = 1$인 $\psi$에 대해 $\displaystyle \tau(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \psi(d_{i,n})$이므로

뫼비우스 반전 공식으로 $\displaystyle 1 = \psi(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right ) \cdot \tau(d_{i,n}) \right ) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu(d_{i,n}) \cdot \tau \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right ) \right )$이다.

2.

$\sigma$는 위 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\iota(n) = n$인 $\iota$에 대해 $\displaystyle \sigma(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \iota(d_{i,n})$이므로

뫼비우스 반전 공식으로 $\displaystyle n = \iota(n) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right ) \cdot \sigma(d_{i,n}) \right ) = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu(d_{i,n}) \cdot \sigma \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right )  \right )$이다.

3.

$\gcd(m,n) = 1$이고 임의의 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $F$가 곱셈적이라고 가정하면

$m = 1 $ 또는 $n = 1$일때 

약수 정리로 $1 / d \in \mathbb{Z}$인 $d \in \mathbb{Z}^+$는 $d = 1$이므로 $D_1 = \{ 1 \}$이 되어 $\begin{align*} F(1) = \sum_{i = 1}^{\tau(1)} f(d_{i,1})  = f(1) \end{align*}$이고

일반성을 잃지 않고 $m = 1$이라 가정하면 뫼비우스 반전 공식으로

$\begin{align*} f(m\cdot n) & = f(n) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left (\mu \left (\frac{n}{d_{i,n}} \right ) F\left (d_{i,n} \right ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu \left ( \frac{n}{d_{i,n}}\right ) F( 1 \cdot d_{i,n}) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \left ( \mu \left (\frac{n}{d_{i,n}} \right ) \cdot F( 1) \cdot F(d_{i,n}) \right ) \\[0.5em] &= F( 1) \cdot \left ( \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \mu \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right ) F(d_{i,n}) \right ) \\[0.5em] & = f(1) \cdot \left ( \sum_{i = 1}^{\tau(n)} \mu \left ( \frac{n}{d_{i,n}} \right ) \cdot F(d_{i,n}) \right ) \\[0.5em] & = f(1) \cdot f(n) \\[0.5em] & = f(m) \cdot f(n) \text{  이다.} \end{align*}$

$m > 1 $ 이고 $n > 1$일때

산술의 기본정리로 $m = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k}$이고 $n = q_1^{n_1} \cdot q_2^{n_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s}$인

소수 $p_1, p_2,\cdots, p_k, q_1 ,q_2, \cdots, q_s \in \mathbb{Z}^+$와 $m_1, m_2,\cdots, m_k,n_1,n_2,\cdots, n_s \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고

$\gcd(m,n) = 1$이므로 위 정리로

$u = 1,2,\cdots, k$인 모든 $i_u =  0,1,2, \cdots, m_u$와 $v = 1,2,\cdots, s$인 모든 $ j_v = 0,1,2, \cdots,  n_v$에 대해

$\gcd(p_u^{i_u},q_v^{j_v}) = 1$이고 $\gcd( p_1^{i_1} \cdot p_2^{i_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} , q_1^{j_1} \cdot q_2^{j_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s} )  = 1$이다.

또 $\gcd(p_u,q_v) = 1$이고 $p_u$와 $q_v$는 소수이므로 $p_u \ne q_v$가 되어 $p_1, p_2,\cdots, p_k, q_1 ,q_2, \cdots, q_s $는 모두 다른 소수이다.

따라서 $m \cdot n = p_1^{m_1} \cdot p_2^{m_2} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k} \cdot q_1^{n_1} \cdot q_2^{n_2} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s}$이고

위 정리로 $m\cdot n$의 약수집합은 

$D_{m \cdot n} = \{ p_1^{i_1} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} \cdot q_1^{j_1} \cdot \;\cdots \; \cdot q_s^{j_s} : (i_1,\cdots, i_k,j_1,\cdots, j_s) \in N_{m_1} \times \cdots \times N_{m_k} \times N_{n_1} \times \cdots \times N_{n_s}  \} \text{ 이므로}$

모든 $d_{i,m\cdot n} \in D_{m\cdot n}$에 대해

$\begin{align*} m\cdot n & = p_1^{m_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k} \cdot q_1^{n_1} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s} \\[0.5em] & = (p_1^{i_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k}\cdot q_1^{j_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s}) \cdot (p_1^{m_1 - i_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - i_k} \cdot q_1^{n_1 - j_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s - j_s}) \\[0.5em] & = d_{i,m\cdot n} \cdot \dfrac{m\cdot n}{d_{i,m\cdot n}} \text{ 이 되는 }\end{align*}$

$m_1, m_2,\cdots, m_k ,n_1,n_2, \cdots, n_s \in \mathbb{Z}^+$보다 작거나 같은 어떤 $i_1, i_2, \cdots, i_k, j_1, j_2, \cdots, j_s \in \mathbb{N}$가 존재하고

$\mu$는 뫼비우스 함수 정리로 곱셈적이므로 뫼비우스 반전 공식으로

$\begin{align*} f(m\cdot n) & = \sum_{i = 1}^{\tau(m\cdot n)} \left ( \mu \left ( \frac{m\cdot n}{d_{i,m\cdot n}} \right ) \cdot F(d_{i,m\cdot n}) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1}\cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{n_1} \cdots \sum_{j_s = 0}^{n_s}  \left (\mu ( p_1^{m_1 - i_1} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - i_k} \cdot q_1^{n_1 - j_1} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s - j_s}) \cdot F( p_1^{i_1} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k} \cdot q_1^{j_1} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s} ) \right ) \\[0.5em] & = \sum_{i_1 = 0}^{m_1} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \sum_{j_1 = 0}^{n_1} \cdots \sum_{j_s = 0}^{n_s}  \left (\mu ( p_1^{m_1 - i_1} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - i_k}) \cdot \mu( q_1^{n_1 - j_1} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s - j_s}) \cdot F( p_1^{i_1} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k}) \cdot F( q_1^{j_1} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s} ) \right ) \\[0.5em] & = \left (\sum_{i_1 = 0}^{m_1} \cdots \sum_{i_k = 0}^{m_k} \mu ( p_1^{m_1 - i_1} \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{m_k - i_k}) \cdot F( p_1^{i_1}  \cdot \; \cdots \; \cdot p_k^{i_k}) \right ) \cdot \left ( \sum_{j_1 = 0}^{n_1} \cdots \sum_{j_s = 0}^{n_s} \mu( q_1^{n_1 - j_1} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{n_s - j_s}) \cdot F( q_1^{j_1} \cdot \; \cdots \; \cdot q_s^{j_s} ) \right ) \\[0.5em] & = \left ( \sum_{i = 1}^{\tau(m)} \mu \left ( \frac{m}{d_{i,m}} \right ) \cdot F(d_{i,m}) \right ) \cdot \left ( \sum_{j = 1}^{\tau(n)} \mu \left ( \frac{ n}{d_{j, n}} \right ) \cdot F(d_{j, n}) \right ) \\[0.5em] & = f(m) \cdot f(n) \text{ 이다.} \end{align*}$

역으로 $f$가 곱셈적이면 위 정리로 $F$도 곱셈적이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/55#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/55#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

David M. Burton - Elementary Number Theory - 9780073383149