함수(Function)

정의1

함수(function) :

$A,B$가 집합일때

모든 $a \in A$에 대해 $(a,b) \in f$인 $b\in B$가 유일하게 존재하여

모든 $a \in A$에 대해 임의의 $b_1,b_2\in B$가 $(a,b_1) \in f$이고 $(a,b_2) \in f$이면 $b_1 = b_2$를 만족하는 

데카르트 곱 $A \times B$의 부분집합 $f \subseteq A \times B$를 $A$에서 $B$로의 함수 또는 사상 $f : A \to B$로 정의한다.

$(a,b) \in f$일때 $b$를 $a$에서 $f$의 값(value) 또는 $f$에 의한 $a$의 상(image)이라 하고 $b = f(a)$로 표기한다.

정의역(domain) :

$f : A \to B$가 함수일때 집합 $D(f) = A$ 또는 $\operatorname{dom} f = A$를 $f$의 정의역으로 정의한다.

치역(range) :

$f : A \to B$가 함수일때 $R(f) = \{ f(x) : x \in A \} $ 또는 $\operatorname{ran} f = \{ f(x) : x \in A \} $를 $f$의 치역으로 정의하고

$b \in R(f)$이기 위한 필요충분조건은 $f(a) =b$인 $a \in A$가 존재하는 것이다.

공역(codomain) :

$f : A \to B$가 함수일때 $C(f) = B$ 또는 $\operatorname{cod} f = B$를 $f$의 공역으로 정의한다.

상(image) :

$f : A \to B$가 함수일때 임의의 부분집합 $E\subseteq A$에 대해

집합 $f(E) = \{ f(x) : x \in E \} $를 $f$에 의한 $E$의 상으로 정의하고

$b \in f(E)$이기 위한 필요충분조건은 $f(a) =b$인 $a \in E$가 존재하는 것이다.

역상(inverse image) :

$f : A \to B$가 함수일때 임의의 집합 $H$에 대해

집합 $f^{-1}(H) = \left \{ x \in A  :  f(x) \in H \right \} $를 $f$에 의한 $H$의 역상으로 정의하고

$a \in f^{-1}(H)$이기 위한 필요충분조건은 $f(a) =b$인 $b \in H$가 존재하는 것이다.

 

 

 

정리12

임의의 집합 $A,B,C$에 대해 다음이 성립한다.

함수의 존재성 :

변수 $x,y$에 대한 명제함수가 $P(x,y)$일때 모든 $a \in A$에 대해 $P(a,b) \equiv \mathbf{T}$인 $b \in B$가 유일하게 존재하면

집합 $f = \{ (a,b) \in A \times B : P(a,b) \equiv \mathbf{T} \}$가 존재하여 $f$는 $f:A\to B$인 함수이다.

함수의 상등 :

함수 $f : A \to B$와 함수 $g: A\to C$가 모든 $a \in A$에 대해 $f(a) = g(a)$이기 위한 필요충분조건은 $f = g$인 것이다.

함수의 상의 존재성 :

함수 $f : A \to B$와 임의의 부분집합 $E \subseteq A$에 대해 집합 $f(E)$가 유일하게 존재한다.

함수의 역상의 존재성 :

함수 $f : A \to B$와 임의의 집합 $H$에 대해 집합 $f^{-1}(H)$가 유일하게 존재한다.

함수의 치역의 존재성 :

함수 $f : A \to B$에 대해 집합 $R(f)$가 유일하게 존재하고 $R(f) = f(A)$이다.

함수의 비어있는 역상 :

함수 $f : A \to B$와 임의의 집합 $H$에 대해 $f(A) \cap H =\emptyset$이면 $f^{-1}(H) = \emptyset$이다.

증명

함수의 존재성

분류 공리로 집합 $f = \{ (a,b) \in A\times B :  P(a,b) \equiv \mathbf{T} \}$가 존재하고

모든 $a \in A$에 대해 $P(a,b) \equiv \mathbf{T}$인 $b \in B$가 유일하게 존재하여 $(a,b) \in f$이므로 $f$는 $f:A\to B$인 함수이다.

함수의 상등

$f = g$이면 함수의 정의로 모든 $a \in A$에 대해

$(a,b) \in f \subseteq A\times B$인 $b\in B$가 존재하고 $(a,b) \in f=g\subseteq A\times C$이므로 데카르트 곱의 정의로 $b\in C$이고 

$(a,c) \in g \subseteq A\times C$인 $c\in C$가 존재하고 $(a,c) \in g = f\subseteq A\times B$이므로 데카르트 곱의 정의로 $c\in B$가 되어

$b,c\in B$에 대해 $(a,b) \in f$이고 $(a,c)\in f$임에 따라 함수의 정의로 $f(a)=b =c= g(a)$이다.

역으로 모든 $a \in A$에 대해 $f(a) = g(a)$이면

모든 $a \in A$에 대해 $(a, f(a)) \in f$이므로 $(a, f(a)) = (a, g(a)) \in g$가 되어 $f \subseteq g$이고

모든 $a \in A$에 대해 $(a, g(a)) \in g$이므로 $(a, g(a)) = (a, f(a)) \in f$가 되어 $g \subseteq f$이므로 집합정리로 $f = g$이다.

함수의 상의 존재성

함수의 정의로 모든 $a \in E\subseteq A$에 대해 $(a,b) \in f$인 $b \in B$가 유일하게 존재하므로

치환 공리로 집합 $f(E) = \{ b  :  \text{어떤 } a \in E \text{ 에 대해 } (a,b) \in f  \} $가 존재하고 $f(E)$는 $f$에 의한 $E$의 상이다.

또 $E_1 = E_2 $인 $ E_1, E_2\subseteq A$에 대해

$y \in f(E_1)$이면 $y = f(x)$인 $x\in E_1 = E_2$가 존재하여 $y =f(x) \in f(E_2)$이므로 $f(E_1) \subseteq f(E_2)$이고

비슷하게 $f(E_2) \subseteq f(E_1)$이므로 집합정리로 $f(E_1)  =f(E_2)$가 되어

$E \subseteq A$인 임의의 $E$에 대해 $f(E)$는 유일하다.

함수의 역상의 존재성 

분류 공리로 $f$에 의한 $H$의 역상 $ f^{-1}(H) = \{ a \in A  :   \text{ 어떤 }b\in H \text{ 에 대해 }(a ,b) \in f \}$가 존재한다.

또 $H_1 = H_2$인 임의의 $H_1,H_2$에 대해

$x \in f^{-1}(H_1)$이면 $f(x) =y$인 $y \in H_1 = H_2$가 존재하여 $x \in f^{-1}(H_2)$이므로 $f^{-1}(H_1) \subseteq f^{-1}(H_2)$이고

비슷하게 $f^{-1}(H_2) \subseteq f^{-1}(H_1)$이므로 집합정리로 $f^{-1}(H_1) = f^{-1}(H_2)$가 되어

임의의 $H$에 대해 $f^{-1}(H)$는 유일하다.

함수의 치역의 존재성

함수의 상의 존재성으로 $f$에 의한 $A$의 상 $f(A)$가 유일하게 존재하고

치역 $R(f)$와 $f$에 의한 $A$의 상 $f(A)$의 정의가 같으므로 $R(f) = f(A)$이다.

함수의 비어있는 역상

$f(A) \cap H =\emptyset$일때 $f^{-1}(H) \ne \emptyset$이라고 가정하면

$x \in f^{-1}(H)$가 존재하여 $y = f(x)$인 $y\in H$가 존재하고 $x\in A$이므로 $y = f(x) \in f(A)$인데

$y\in f(A)\cap H = \emptyset$임에 따라 공집합의 정의에 모순이다.

따라서 $f(A) \cap H =\emptyset$이면 $f^{-1}(H) = \emptyset$이다.

 

 

 

정의2

집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수가 $f : X \to Y$일때

단사(one to one, injective) : 

모든 $a,b \in X$에 대해 $f(a) = f(b)$이면 $a=b$인 함수 $f$를 $X$에서 단사 또는 단사라고 한다.

전사(onto, surjective) :

모든 $y \in Y$에 대해 $f(x) = y$인 $x \in X$가 존재하는 함수 $f$를 $Y$로의 전사 또는 전사라고 한다.

전단사(bijective) :

$f$가 전사이고 단사이면 $f$를 전단사 또는 $X$에서 $Y$로의 전단사라고 한다.

 

 

 

정리13

공집합 $\emptyset$과 임의의 집합 $A$에 대해 다음이 성립한다.

공함수의 존재성 : 함수 $f : \emptyset \to A$가 존재한다.

공함수의 유일성 : 함수 $f : \emptyset \to A$는 유일하다.

단사인 공함수 : 함수 $f : \emptyset \to A$는 $\emptyset$에서 단사이다.

전단사인 공함수 : $A = \emptyset$이기 위한 필요충분조건은 함수 $f : \emptyset \to A$가 $\emptyset$에서 $A$로의 전단사인 것이다.

증명

공함수의 존재성

$f : \emptyset \to A$가 존재하려면 모든 $x \in \emptyset$에 대해 $(x,a) \in f$인 $a \in A$가 유일하게 존재하는데

$x \in \emptyset$가 존재하지 않으므로 함수 정의가 공허하게 성립하여 모든 $A$에 대해 $f : \emptyset \to A$가 존재한다.

공함수의 유일성

$g : \emptyset \to A$가 존재한다고 가정하면 $x \in \emptyset$가 존재하지 않으므로

모든 $x \in \emptyset$에 대해 $f(x) = g(x)$가 공허하게 성립하여 함수의 상등으로 $f = g$이고 $f : \emptyset \to A$는 유일하다.

단사인 공함수

 $a,b \in \emptyset$가 존재하지 않으므로 모든 $a,b \in \emptyset$에 대해 $f(a) = f(b)$이면 $a = b$인

단사에 대한 명제가 공허하게 성립하여 $f$는 $\emptyset$에서 단사이다.

전단사인 공함수

$A = \emptyset$일때

$y \in \emptyset = A$가 존재하지 않으므로 모든 $y \in A =\emptyset $에 대해 $f(x) = y$인 $x\in \emptyset$가 존재하는

전사에 대한 명제가 공허하게 성립하여 $f$는 $A =\emptyset$로의 전사이다.

또 $A = \emptyset$에 대해 $f$는 $\emptyset$에서 단사이므로 $f$는 $\emptyset$에서 $A$로의 전단사이다.

역으로 $f : \emptyset \to A$가 $\emptyset$에서 $A$로의 전단사일때 $A \ne \emptyset$이라고 가정하면

$y \in A$가 존재하여 $f$가 $A$로의 전사이므로 $f(x) = y$인 $x \in \emptyset$가 존재하는데

공집합의 정의로 $x \notin \emptyset$이므로 모순이 되어 $A = \emptyset$이다.

 

 

 

정리9

집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수 $f : X \to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 단사이기 위한 필요충분조건은 모든 $a,b \in X$에 대해 $a \ne b$이면 $f(a) \ne f(b)$인 것이다.

2. $f$가 전사이기 위한 필요충분조건은 $R(f) = f(X) $ $= Y$인 것이다.

증명

1.

$f$가 단사이고 $a \ne b$일때 $f(a) = f(b)$가 되는 $a,b \in X$가 존재한다고 가정하면

$f$가 단사이고 $f(a) = f(b)$이므로 $a=b$가 되어 모순이다.

따라서 $f$가 단사일때 모든 $a,b \in X$에 대해 $a \ne b$이면 $f(a) \ne f(b)$이다.

역으로 모든 $a,b \in X$에 대해 $a \ne b$이면 $f(a) \ne f(b)$일때 $f$가 단사가 아니라 가정하면

$f(x_1) = f(x_2)$일때 $x_1 \ne x_2$가 되는 $x_1,x_2 \in X$가 존재하여 모순이다.

따라서 모든 $a,b \in X$에 대해 $a \ne b$일때 $f(a) \ne f(b)$가 되면 $f$는 단사이다.

2.

$f$가 전사이면

모든 $y \in Y$에 대해 $y = f(x) \in f(X)$인 $x \in X$가 존재하므로 $Y \subseteq f(X) = R(f)$이고

치역의 정의로 인해 $R(f) = f(X) \subseteq Y$이므로 집합정리로 $R(f) = f(X) = Y $이다.

역으로 $R(f) = f(X) = Y$이면

모든 $y \in Y = f(X)$에 대해 $y = f(x)$인 $x \in X$가 존재하여 $f$는 전사이다.

 

 

 

정리8

집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수 $f : X \to Y$가 단사이고 $X_1 \subseteq X$일때

모든 $x \in X_1$에 대해 $f_{1}(x) = f(x)$인 함수 $f_{1} : X_1 \to f(X_1)$은 전단사이다.

증명

모든 $a,b \in X_1$에 대해 $f(a)=f_1(a) = f_1(b) = f(b)$이면 $f$가 단사이므로 $a=b$가 되어 $f_{1}$은 단사이다.

또 $f$에 의한 $X_1$의 상은 $f(X_1) =  \{ f(x)  :    x \in X_1 \} \subseteq Y$이므로

모든 $y \in f(X_1)$에 대해 $f_{1}(x) =y = f(x) $인 $x \in X_1$가 존재하여 $f_{1}$는 전사이다.

따라서 $f_{1} : X_1 \to f(X_1)$은 전단사이다.

 

 

 

정의3

집합 $A$에서 집합 $B$로의 함수가 $f : A \to B$일때

모든 $a \in A$에 대해 $f^{-1}(f(a)) = a$이고 

모든 $b \in B$에 대해 $f(f^{-1}(b)) = b$인 함수 $f^{-1} : B\to A$를 $f$의 역함수(inverse)로 정의한다.

$f$의 역함수가 존재하면 $f$를 가역(invertible)이라 한다.

아래 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1}$이 존재하기 위한 필요충분조건은 $f$가 전단사인 것이다.

 

 

 

정리10

집합 $A$에서 집합 $B$로의 함수 $f : A \to B$에 대해 다음이 성립한다.

역함수의 존재성 :

$f$가 전단사이면 $f$의 역함수 $f^{-1} : B \to A$이 존재한다.

역함수의 동치 :

$f$의 역함수 $f^{-1} : B \to A$이 존재할때

모든 $a \in A$와 모든 $b\in B$에 대해 $f(a) = b$이기 위한 필요충분조건은 $a = f^{-1}(b)$인 것이다.

역함수의 유일성 :

$f$의 역함수 $f^{-1} : B \to A$이 존재하면 $f^{-1}$은 유일하다.

역함수의 역함수 :

$f$의 역함수 $f^{-1} : B \to A$이 존재하면 $f^{-1}$은 전단사이고 $f^{-1}$의 역함수가 존재하여 $(f^{-1})^{-1} = f$이다.

역함수와 전단사 :

$f$의 역함수 $f^{-1} : B \to A$이 존재하면 $f$는 전단사이다.

함수의 역상과 역함수의 상 :

$f$의 역함수 $f^{-1} : B \to A$이 존재하면

임의의 부분집합 $H \subseteq B$에 대해 $\{ x\in A : f(x) \in H\} = f^{-1}(H) = \{ f^{-1}(y): y\in H\}$이다.

증명

역함수의 존재성, 역함수의 동치

분류 공리로 $f^{-1} = \{ (b,a) \in B \times A : (a,b) \in f \}$인 집합이 존재하고 $f$는 전단사이므로

모든 $b \in B$에 대해 $f(a) =b$인 $a \in A$가 유일하게 존재하여 

임의의 $a_1,a_2 \in A$가 $(b,a_1) \in f^{-1}$이고 $(b,a_2) \in f^{-1}$이면

$(a_1,b) \in f$이고 $(a_2,b) \in f$이므로 $a_1 =a = a_2$가 되어 $f^{-1}$은 $f^{-1} : B \to A$인 함수이다.

따라서 모든 $a \in A$에 대해 $f(a) = b$이면 $(a,b) \in f$이므로 $(b,a) \in f^{-1}$가 되어 $a = f^{-1}(b) = f^{-1}(f(a))$이고

역으로 모든 $b \in B$에 대해 $f^{-1}(b) = a$이면 $(b,a) \in f^{-1}$이므로 $(a,b) \in f$가 되어 $f(f^{-1}(b)) =f(a) = b$이므로

$f^{-1}$은 $f$의 역함수이다.

역함수의 유일성

$f$의 역함수를 $g,h : B \to A$로 두면

모든 $a \in A$와 모든 $b\in B$에 대해 $f(a) = b$일때 $g(b)=a = h(b)$이므로

함수의 상등으로 $g = h$가 되어 $f$의 역함수 $f^{-1}$은 유일하다.

역함수의 역함수

모든 $y_1, y_2 \in B$에 대해

$x_1 = f^{-1}(y_1) = f^{-1}(y_2) = x_2$이면 $f(x_1) = y_1 = y_2 = f(x_2)$이므로 단사의 정의로 $f^{-1}$은 단사이고

모든 $x \in A$에 대해

함수의 정의로 $f(x) = y$인 $y \in B$가 존재하고 $f^{-1}(y) = x$이므로 전사의 정의로 $f^{-1}$은 전사가 되어

$f^{-1}$은 전단사이고 $f^{-1}$의 역함수 $(f^{-1})^{-1} : A \to B$가 존재한다.

따라서 모든 $a \in A$에 대해 역함수의 동치로

$(f^{-1})^{-1}(a) = b \in B$이면 $a = f^{-1}(b)$이고 $a = f^{-1}(b)$이면 $f(a) = b$가 되어 함수의 상등으로 $(f^{-1})^{-1} = f$이다.

역함수와 전단사

$f^{-1}$이 존재하면 $f^{-1}$의 역함수 $(f^{-1})^{-1} =f$가 존재하여 $(f^{-1})^{-1} = f$는 전단사이다.

함수의 역상과 역함수의 상

임의의 $x\in \{ x\in A : f(x) \in H\}$는 $y=f(x)$인 $y \in H\subseteq B$가 존재하므로 $f^{-1}(y) = x$가 되어

$x\in \{ f^{-1}(y): y\in H\}$이고 $\{ x\in A : f(x) \in H\} \subseteq \{ f^{-1}(y): y\in H\}$이다.

임의의 $x\in \{ f^{-1}(y): y\in H\}$는 $x = f^{-1}(y)$인 $y\in H\subseteq B$가 존재하므로 $f(x) = y$가 되어

$x \in \{ x\in A : f(x) \in H\}$이고 $\{f^{-1}(y):y\in H\}\subseteq \{ x\in A : f(x) \in H\}$이므로

집합정리로 $\{ x\in A : f(x) \in H\} = \{ f^{-1}(y): y\in H\}$이다.

 

 

 

정의4

집합 $A,B,C,D$에 대해 $f : A \to B$와 $g : C \to D$가 함수이고 $f(A)$ $ \subseteq C$일때

모든 $x \in A$에 대해 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$인 함수 $g \circ f : A \to D$를 $g$와 $f$의 합성함수로 정의한다.

 

 

 

정의5

집합 $A$에서 집합 $B$로의 함수 $f : A \to B$와 $A_{1} \subseteq A$인 집합 $A_1$에 대해

모든 $x \in A_{1}$에 대해 $f |_{A_{1}}(x) = f(x)$를 만족하는 함수 $f |_{A_{1}} : A_1  \to B$를

$f$의 정의역을 $A_{1}$로 축소 또는 제한한 $f$의 축소함수 또는 제한함수로 정의한다.

 

 

 

정리16

함수 $f : A \to B$와 $g : C \to D$에 대해 다음이 성립한다.

합성함수의 존재성 : $f(A) \subseteq C$일때 $g$와 $f$의 합성함수 $g \circ f : A \to D$가 유일하게 존재한다.

축소함수의 존재성 : $A_{1} \subseteq A$인 임의의 집합 $A_1$로의 $f$의 축소함수 $f |_{A_{1}} : A_1  \to B$가 유일하게 존재한다.

증명

합성함수의 존재성

분류 공리로 집합 $g\circ f = \{  (a,d) \in A\times D : (a,b) \in f \text{인 } b \in f(A)\text{가 존재하여 } (b,d) \in g \}$가 존재하고

임의의 $(a,d) \in g\circ f$에 대해 함수의 정의로 $f(a) = b \in f(A) \subseteq C$가 유일하게 존재하여

$g(b) = d$는 유일하므로 $g\circ f$는 $g \circ f : A \to D$인 함수이고

모든 $a \in A$에 대해 $(g \circ f)(a) = d = g(b) = g(f(a)) $인 $g$와 $f$의 합성함수이다.

또 $f_1 = f_2$인 $f_1,f_2 : A \to B$가 $f_1(A),f_2(A) \subseteq C$이면

함수의 상등으로 모든 $a \in A$에 대해 $f_1(a) = f_2(a)$이고 $g$는 함수이므로

$(g\circ f_1)(a) = g(f_1(a)) = g(f_2(a)) =(g\circ f_2)(a)$가 되어 함수의 상등으로 $g\circ f_1 = g\circ f_2$이고

$g_1 = g_2$인 $g_1,g_2 : C \to D$도 모든 $c \in C$에 대해 $g_1(c) = g_2(c)$이고 $f(A) \subseteq C$이므로

모든 $a \in A$에 대해 $(g_1\circ f)(a) = g_1(f(a)) = g_2(f(a)) =(g_2\circ f)(a)$가 되어

함수의 상등으로 $g_1\circ f = g_2\circ f$이므로 $g$와 $f$의 합성함수 $g \circ f : A \to D$는 유일하다.

축소함수의 존재성

분류 공리로 집합 $f|_{A_1} = \{ (a,b) \in A_1 \times B : (a,b) \in f \}$이 존재하여

$f$가 함수이므로 $f |_{A_{1}} : A_1  \to B$은 함수이고 모든 $a\in A$에 대해 $f|_{A_1}(a) = b = f(a)$인 $A_1$로의 $f$의 축소함수이다.

또 축소함수의 정의와 함수의 상등으로 $A_1$로의 $f$의 축소함수 $f|_{A_1}$은 유일하다.

 

 

 

정리7

집합 $A$에서 집합 $B$로의 함수 $f : A \to B$가 단사일때 $A_{1} \subseteq A$로의 $f$의 축소함수 $f |_{A_{1}} : A_{1} \to B$은 단사이다.

증명

모든 $a,b \in A_{1}$에 대해 $f |_{A_{1}}(a) = f(a) = f(b) = f |_{A_{1}}(b)$이면 $f$가 단사이므로 $a = b$이고 $f|_{A_{1}} : A_{1} \to B$은 단사이다.

 

 

 

정리4

집합 $A$에서 집합 $B$로의 함수 $f : A \to B$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $E\subseteq A$에 대해 $E\subseteq f^{-1}(f(E))$이다.

2. $f$가 단사이면 임의의 $E\subseteq A$에 대해 $f^{-1}(f(E)) = E$이다.

3. 임의의 집합 $H$에 대해 $f(f^{-1}(H)) \subseteq H$이다.

4. $f$가 전사이면 임의의 $H\subseteq B$에 대해 $f(f^{-1}(H)) = H$이다.

증명

1.

상과 역상의 정의로 $f(E) = \{ f(x)  :  x\in E \}$이고 $f^{-1}(f(E)) = \{ x \in A  :   f(x)\in f(E) \}$이다.

$x \in E$이면 $x\in E\subseteq A$이고 $f(x) \in f(E)$이므로 $x \in f^{-1}(f(E))$가 되어 $E \subseteq f^{-1}(f(E))$이다.

2.

$x \in f^{-1}(f(E))$이면 $f(x)  \in f(E)$이므로 $f(x)  = f(\overline{x})$인 $\overline{x} \in E\subseteq A$가 존재하여

$f$가 단사임에 따라 $x = \overline{x} \in E$이고 $f^{-1}(f(E)) \subseteq E$이다.

따라서 1번으로 $E \subseteq f^{-1}(f(E))$이므로 집합정리로 $f^{-1}(f(E)) = E$이다.

3.

상과 역상의 정의로 $f^{-1}(H) = \{ x \in A  :   f(x)\in H \}$이고 $f(f^{-1}(H)) = \{ f(x)  :  x\in f^{-1}(H) \}$이다.

$y \in f(f^{-1}(H)) $이면 $f(x) = y$인 $x  \in f^{-1}(H)$가 존재하여 $y=f(x)\in H$이므로 $f(f^{-1}(H)) \subseteq H$이다.

4.

$y\in H $이면 $y\in H\subseteq B$이므로 $f$가 전사임에 따라 $f(x)=y$인 $x\in A$가 존재하여

$ f(x)=y \in H$이고 $x \in f^{-1}(H)$이므로 $y =f(x) \in f(f^{-1}(H))$임에 따라 $H \subseteq f(f^{-1}(H))$이다.

따라서 3번으로 $f(f^{-1}(H)) \subseteq H$이므로 집합정리로 $f(f^{-1}(H)) = H$이다.

 

 

 

정리2

집합 $A$에서 집합 $B$로의 함수 $f : A \to B$가 단사이면

모든 $x\in D(f) = A$에 대해 $(g \circ f)(x) =x$이고

모든 $y \in R(f) = f(A)$에 대해 $(f \circ g)(y) = y$인 함수 $g : R(f) \to A$가 존재한다.

증명

$f$가 단사이므로 모든 $x \in A$에 대해 $f(x) = h(x)$인 위 정리로 함수 $h : A \to R(f)$는 전단사이다.

$h$의 역함수를 $g = h^{-1} : R(f) \to A$로 정의하면

위 정리로 모든 $x \in A$와 모든 $y \in R(f)$에 대해 $y = h(x) = f(x)$이기 위한 필요충분조건은 $g(y) = x$이므로

$(g\circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = x$이고 $(f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y$이다.

 

 

 

정리3

집합 $A,B,C$에 대해 함수 $f : A \to B$와 $g : B \to C$이면 다음이 성립한다.

1. $f, g$가 단사이면 합성함수 $g \circ f : A \to C$도 단사이다.

2. $f, g$가 전사이면 합성함수 $g \circ f : A \to C$도 전사이다.

3. $f, g$가 전단사이면 합성함수 $g \circ f : A \to C$도 전단사이고 역함수는 $(g\circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$이다.

증명

1.

$f$와 $g$가 단사이므로 모든 $a,b \in A$에 대해

$(g \circ f)(a) = g(f(a)) = g(f(b))=(g \circ f)(b) $이면 $f(a) = f(b)$이고

$f(a) = f(b)$이면 $a = b$이므로 $g \circ f$는 단사이다.

2.

$f$와 $g$가 전사이므로 모든 $y \in B$에 대해 $f(x) = y$인 $x\in A$가 존재하고

모든 $z \in C$에 대해 $g(y)=z$인 $y \in B$가 존재하므로 

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z$이고 $g \circ f$는 전사이다.

3.

$f$와 $g$가 전단사이면 1, 2번으로 합성함수 $g \circ f : A \to C$는 전단사이고

역함수 정리로 $f,g,g\circ f$의 역함수 $f^{-1} : B\to A$과 $g^{-1} : C\to B$과 $(g \circ f)^{-1} : C \to A$이 존재한다.

따라서 모든 $c \in C$에 대해 $(g\circ f)(a) = c$인 $a \in A$가 존재하여

역함수의 정의로 $g^{-1}(c) = g^{-1}((g\circ f)(a)) = g^{-1}(g(f(a))) = f(a)$이고

역함수 정리로 $(f^{-1} \circ g^{-1})(c) = f^{-1}(g^{-1}(c)) = f^{-1}(f(a)) = a = (g\circ f)^{-1}(c)$이므로

함수의 상등으로 $(g\circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$이다.

 

 

 

정리1

$A,B,C$가 집합일때 함수 $f : A \to B$와 $g : B \to C$에 대해 다음이 성립한다.

1. $g \circ f$가 단사이면 $f$는 단사이다.

2. $g \circ f$가 전사이면 $g$는 전사이다.

증명

1.

모든 $a,b \in A$에 대해 $f(a) = f(b)$이면

함수의 정의로 $(g\circ f)(a) = g(f(a)) = g(f(b))=(g\circ f)(b)$이고 $g\circ f$가 단사이므로 $a = b$가 되어 $f$는 단사이다.

2.

$g\circ f$가 전사이면 모든 $c \in C$에 대해 $(g \circ f)(a) = g(f(a))=c$인 $a\in A$가 존재하고

$f$가 함수이므로 $f(a) = b$이고 $g(b) = g(f(a)) = c$인 $b\in B$가 존재하여 $g$는 전사이다.

 

 

 

정리5

$A,B,C$가 집합일때 함수 $f : A \to B$와 $g : B \to C$의 합성함수 $g\circ f : A \to C$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 부분집합 $E \subseteq A$에 대해 $(g\circ f)(E) = g(f(E))$이다.

2. 임의의 집합 $H$에 대해 $(g \circ f)^{-1}(H) = f^{-1}(g^{-1}(H))$이다.

증명

1.

상의 정의로 $z \in g(f(E)) = \{ g(y) : y \in f(E) \}$이면

$z = g(y)$인 $y \in f(E)$가 존재하고 $y = f(x)$인 $x \in E$가 존재하여

합성함수의 정의로 $z = g(z) = g(f(x)) = (g\circ f)(x) \in (g\circ f)(E)$이므로 $g(f(E)) \subseteq (g\circ f)(E)$이다.

$z \in (g\circ f)(E)$이면

$z = (g\circ f)(x)$인 $x \in E$가 존재하고 $f(x) \in f(E)$이므로

합성함수의 정의로 $z = (g\circ f)(x) = g(f(x)) \in g(f(E))$가 되어 $(g\circ f)(E) \subseteq g(f(E))$이다.

따라서 집합정리로 $ g(f(E))  = (g\circ f)(E)$이다.

2.

역상의 정의로 $x \in f^{-1}(g^{-1}(H)) = \left \{ x \in A \; : \;  f(x)\in g^{-1}(H) \right \}$이면

$f(x) = y \in g^{-1}(H) = \left \{ y \in B \; : \;  g(y)\in H \right \}$이고 $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) \in H$이므로

$x \in (g\circ f)^{-1}(H) = \left \{ x \in A \; : \;  (g\circ f)(x)\in H \right \}$가 되어 $f^{-1}(g^{-1}(H)) \subseteq (g \circ f)^{-1}(H)$이다.

$x \in (g\circ f)^{-1}(H)$이면

$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) \in H$이고 $f(x) = y \in g^{-1}(H)$이므로

$x \in f^{-1}(g^{-1}(H))$가 되어 $(g \circ f)^{-1}(H) \subseteq f^{-1}(g^{-1}(H))$이다.

따라서 집합정리로 $(g \circ f)^{-1}(H) = f^{-1}(g^{-1}(H))$이다.

 

 

 

정리6

함수 $f,g$의 합성함수 $g\circ f$와 $f \circ g$가 정의될때

모든 $x \in D(f)$에 대해 $(g\circ f)(x) = x$이고 모든 $y \in D(g)$에 대해 $(f\circ g)(y) = y$이면 $g$는 $f$의 역함수 $g = f^{-1}$이다.

증명

모든 $x \in D(f)$에 대해 $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = x$이면 $g\circ f$는 단사이므로 위 정리로 $f$는 단사이다.

모든 $y \in D(g)$에 대해 $(f\circ g)(y) = f(g(y)) = y$이면 $f \circ g$는 전사이므로 위 정리로 $f$는 전사이다.

$f$가 전단사이므로 역함수 $f^{-1}$가 존재하고 역함수 정리로

모든 $y \in D(g)$에 대해 $f(g(y))=y$이기 위한 필요충분조건이 $g(y) = f^{-1}(y)$이므로 $g = f^{-1}$이다.

 

 

 

정리15

집합 $X$의 부분집합이 $A_1,A_2 \subseteq X$이고 임의의 집합이 $Y,B_1,B_2$일때 함수 $f : X \to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)$

2. $f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$

3. $f$가 단사이면 $f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2)$이다.

4. $f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$

5. $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$

증명

1.

$y \in f(A_1 \cup A_2) = \{ f(x) : x \in A_1 \cup A_2 \}$이면

$y = f(x)$인 $x \in A_1 \cup A_2$가 존재하고 $x \in A_1$ 또는 $x \in A_2$이므로

$y=f(x) \in f(A_1) $ 또는 $y=f(x) \in f(A_2)$가 되어 $y=f(x) \in f(A_1) \cup f(A_2)$이므로

$f(A_1 \cup A_2) \subseteq f(A_1) \cup f(A_2)$이다.

$y \in f(A_1) \cup f(A_2) = \{ f(x) : x \in A_1 \} \cup \{ f(x) : x \in A_2 \}$이면

$y \in f(A_1)$ 또는 $y \in f(A_2)$이므로 $y= f(x_1)$인 $x_1 \in A_1$이 존재하거나 $y= f(x_2)$인 $x_2 \in A_2$가 존재하여

$x_1,x_2 \in A_1 \cup A_2$이고 $ f(x_1), f(x_2) \in f(A_1 \cup A_2)$이므로 $y  \in f(A_1 \cup A_2)$이고

$f(A_1) \cup f(A_2) \subseteq f(A_1 \cup A_2)$이다.

따라서 집합정리로 $f(A_1 \cup A_2) = f(A_1) \cup f(A_2)$이다.

2.

$y \in f(A_1 \cap A_2) = \{ f(x) : x \in A_1 \cap A_2 \}$이면

$y = f(x)$인 $x \in A_1 \cap A_2$가 존재하여 $x \in  A_1 \cap A_2 \subseteq A_1$이고 $x \in  A_1 \cap A_2 \subseteq A_2$이므로

$y = f(x) \in f(A_1)$이고 $y = f(x) \in f(A_2)$가 되어 $y = f(x) \in f(A_1)  \cap f(A_2)$이므로

$f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$이다.

3.

$f$가 단사이고 $y \in f(A_1) \cap f(A_2) = \{ f(x) : x \in A_1 \} \cap \{ f(x) : x \in A_2 \}$이면

$y \in f(A_1)$이고 $y \in f(A_2)$이므로 $y= f(x_1)$인 $x_1 \in A_1$이 존재하고 $y= f(x_2)$인 $x_2 \in A_2$가 존재한다.

$f(x_1) = y = f(x_2)$이고 $f$가 단사이므로 $x_1 = x_2 \in A_1 \cap A_2$가 되어 $y \in f(A_1 \cap A_2)$이고

$f(A_1) \cap f(A_2) \subseteq f(A_1 \cap A_2)$이다.

따라서 2번으로 $f(A_1 \cap A_2) \subseteq f(A_1) \cap f(A_2)$이므로 집합정리로 $f(A_1 \cap A_2) = f(A_1) \cap f(A_2)$이다.

4.

$x \in f^{-1}(B_1 \cup B_2) = \{ x \in X : f(x) \in B_1 \cup B_2 \}$이면

$f(x) \in B_1 \cup B_2$이므로 $f(x) \in B_1 $ 또는 $f(x) \in B_2$이고 $x \in f^{-1}(B_1) $ 또는 $x \in f^{-1}(B_2)$가 되어

$x \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$이고 $f^{-1}(B_1 \cup B_2) \subseteq f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$이다.

$x \in f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)  = \{ x\in X : f(x) \in B_1 \} \cup \{ x\in X : f(x) \in B_2 \}$이면 

$f(x) \in B_1 $ 또는 $f(x) \in B_2$이므로 $f(x) \in B_1 \cup B_2$이고 $x \in f^{-1}(B_1 \cup B_2)$가 되어

$f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2) \subseteq f^{-1}(B_1 \cup B_2)$이고 집합정리로 $f^{-1}(B_1 \cup B_2) = f^{-1}(B_1) \cup f^{-1}(B_2)$이다.

5.

$x \in f^{-1}(B_1 \cap B_2) = \{ x \in X : f(x) \in B_1 \cap B_2 \}$이면

$ f(x) \in B_1 \cap B_2$이므로 $f(x) \in B_1 $이고 $f(x) \in B_2$가 되어 $x \in f^{-1}(B_1) $이고 $x \in f^{-1}(B_2)$이므로

$x \in f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$이고 $f^{-1}(B_1 \cap B_2) \subseteq f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$이다.

$x \in f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)  = \{ x \in X : f(x) \in B_1 \} \cap \{ x \in X: f(x) \in B_2 \}$이면

$f(x) \in B_1 $이고 $f(x) \in B_2$이므로 $ f(x) \in B_1 \cap B_2$가 되어 $x \in f^{-1}(B_1 \cap B_2)$이고

$f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2) \subseteq f^{-1}(B_1 \cap B_2)$이므로 집합정리로 $f^{-1}(B_1 \cap B_2) = f^{-1}(B_1) \cap f^{-1}(B_2)$이다.

 

 

 

정리17

임의의 집합 $X,Y$와 함수 $f : X \to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f^{-1}(Y) = X = f^{-1}(f(X))$

2. 임의의 집합 $B_1,B_2$에 대해 $f^{-1}(B_1\setminus B_2) = f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2)$이다.

3. $f$가 전단사이면 $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$와 임의의 $A \subseteq X$에 대해 $f(A) = (f^{-1})^{-1}(A)$이다.

4. 임의의 부분집합 $A_1,A_2\subseteq X$에 대해 $f(A_1) \setminus f(A_2) \subseteq f(A_1\setminus A_2)$이다.

5. $f$가 단사이면 임의의 $A_1,A_2\subseteq X$에 대해 $f(A_1) \setminus f(A_2) =f(A_1\setminus A_2)$이다.

증명

1.

자명하게 $f^{-1}(Y) = \{ x \in X : f(x) \in Y \} \subseteq X$이고

모든 $x \in X$는 $f(x) \in Y$이므로 $x \in f^{-1}(Y)$가 되어 $X\subseteq f^{-1}(Y)$이고 집합정리로 $f^{-1}(Y) = X$이다.

또 자명하게 $f^{-1}(f(X)) = \{ x \in X : f(x) \in f(X) \} \subseteq X$이고

모든 $x \in X$는 $f(x) \in f(X)$이므로 $x \in f^{-1}(f(X))$가 되어 $X\subseteq f^{-1}(f(X))$이고 집합정리로 $f^{-1}(f(X)) = X$이다.

2.

임의의 $x\in f^{-1}(B_1\setminus B_2)$는 $f(x) \in B_1\setminus B_2$이므로 $f(x) \in B_1$이고 $f(x)\notin B_2$가 되어

$x \in f^{-1}(B_1)$이고 $x\notin f^{-1}(B_2)$이므로 $x \in f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2)$이고 $f^{-1}(B_1\setminus B_2) \subseteq f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2)$이다.

임의의 $x \in f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2)$는 $x\in f^{-1}(B_1)$이고 $x \notin f^{-1}(B_2)$이므로 

$f(x) \in B_1$이고 $f(x)\notin B_2$가 되어 $f(x) \in B_1\setminus B_2$이므로 $x \in f^{-1}(B_1\setminus B_2)$이고

$f^{-1}(B_1)\setminus f^{-1}(B_2) \subseteq f^{-1}(B_1 \setminus B_2)$이므로 집합정리로 $f^{-1}(B_1\setminus B_2) = f^{-1}(B_1) \setminus f^{-1}(B_2)$이다.

3.

$f$가 전단사이므로 위 정리로 $f^{-1}$이 존재하고 $f^{-1}$에 의한 $A$의 역상은 $(f^{-1})^{-1}(A) = \{y\in Y : f^{-1}(y) \in A\}$이다.

임의의 $y\in f(A)$는

$f(x) = y$인 $x \in A$가 존재하여 $f^{-1}(y) = x\in A$이므로 $y\in (f^{-1})^{-1}(A) $이고 $f(A) \subseteq (f^{-1})^{-1}(A)$이다.

또 임의의 $y\in (f^{-1})^{-1}(A)$는 $x=f^{-1}(y)\in A$가 되어 $f(x) = y$이므로 $y\in f(A)$이고 $(f^{-1})^{-1}(A) \subseteq f(A)$이므로

집합정리로 $f(A) = (f^{-1})^{-1}(A)$이다.

4.

$f(A_1) \setminus f(A_2) \not\subseteq f(A_1\setminus A_2)$라고 가정하면

$y\in (f(A_1) \setminus f(A_2)) \setminus f(A_1\setminus A_2)$가 존재하는데 $f(A_1) \subseteq f(A_1\cup A_2)$이므로 집합정리와 위 정리와 집합정리로

$ (f(A_1) \setminus f(A_2)) \setminus f(A_1\setminus A_2) = f(A_1) \setminus (f(A_2)\cup f(A_1\setminus A_2)) = f(A_1)\setminus f(A_2\cup (A_1\setminus A_2)) = f(A_1)\setminus f(A_1\cup A_2) = \emptyset \text{ 이 되어 모순이다.}$

따라서 $f(A_1) \setminus f(A_2) \subseteq f(A_1\setminus A_2)$이다.

5.

$f(A_1\setminus A_2) \subseteq f(A_1)$이고 $f$는 단사이므로 위 정리로

$f(A_1\setminus A_2)\cap f(A_2) = f((A_1\setminus A_2) \cap A_2) = f(\emptyset) = \emptyset$이 되어 집합정리로 $f(A_1\setminus A_2) \subseteq f(A_1) \setminus f(A_2)$이다.

또 4번으로 $f(A_1) \setminus f(A_2) \subseteq f(A_1\setminus A_2)$이므로 집합정리로 $f(A_1) \setminus f(A_2) =f(A_1\setminus A_2)$이다.

 

 

 

정리14

$n \in $ $\mathbb{N}$개의 원소를 갖는 임의의 유한집합 $A,B$와 임의의 집합 $C$에 대해 다음이 성립한다.

1. $A\subseteq X$인 함수 $f : X \to C$가 단사이면 $f$에 의한 $A$의 상 $f(A)$는 $n$개의 원소를 갖는다.

2. $A\subseteq X$인 함수 $f: X \to C$에 의한 $A$의 상 $f(A)$는 $r \le n$인 $r \in \mathbb{N}$개의 원소를 갖는 유한집합이다.

3. 함수 $g : A \to B$가 단사이기 위한 필요충분조건은 전사인 것이다.

4. 임의의 가산집합 $E$에 대해 $E \subseteq X$인 함수 $h : X \to C$에 의한 $E$의 상 $h(E)$는 가산집합이다.

증명

1.

위 정리로 모든 $a \in A$에 대해 $f(a) = f_1(a)$인 함수 $f_1 : A \to f(A)$은 전단사이므로

$n = 0$이면 유한집합의 정의로 $A = \emptyset$이 되어 $f(A)$는 $0$개의 원소를 갖고

$n \in \mathbb{Z}^+$이면

유한집합의 정의로 전단사함수 $f_2 : \mathbb{Z}_n \to A$가 존재하므로 위 정리로 $f_1 \circ f_2 : \mathbb{Z}_n \to f(A)$는 전단사가 되어

유한집합의 정의로 $f(A)$는 $n$개의 원소를 갖는다.

2.

모든 $a \in A$에 대해 $f(a) = f_1(a)$인 함수 $f_1 : A \to f(A)$은 $f_1(A)=f(A)$이므로

$n = 0$이면

유한집합의 정의로 $A = \emptyset$이고 위 정리로 $f_1$은 단사가 되어 1번으로 $f_1(A)=f(A)$는 $0$개의 원소를 갖는다.

$n\in \mathbb{Z}^+$이면 $A$의 원소개수에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$일때 $f_1(a) = f_1(b)$인 모든 $a,b \in A$는 단일 원소집합의 정의로 $a = b$이므로

$f_1$는 단사가 되어 1번으로 $f_1(A)=f(A)$는 $1$개의 원소를 갖는다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립하고 $A$가 $k + 1$개의 원소를 갖을때

$A$에서 임의의 $a \in A$를 제거한 집합 $A \setminus \{ a \}$는 유한집합 정리로 $k$개의 원소를 갖으므로

귀납가정으로 $f(A \setminus \{ a \})$는 $1$개이상 $k$개이하의 원소를 갖는 유한집합이다.

또 $f(\{ a\})$는 위에서 보였듯이 $1$개의 원소를 갖는 유한집합이고 위 정리로 $f(A\setminus \{ a \}) \cup f(\{a\}) = f(A)$이므로

$f(A\setminus \{ a \}) \cap f(\{a\}) = \emptyset$이면 유한집합 정리로 $f(A)$는 $2$개이상 $k+1$개이하의 원소를 갖는 유한집합이다.

$f(A\setminus \{ a \}) \cap f(\{a\}) \ne \emptyset$이면

$y \in f(A\setminus \{ a \}) \cap f(\{a\}) \subseteq f(\{ a\})$가 존재하고 $f(\{a\})$의 원소는 유일하므로

모든 $y \in f(\{a\})$에 대해 $y \in f(A\setminus \{ a \}) \cap f(\{a\}) \subseteq f( A \setminus \{ a\})$가 되어 집합 정리로

$f(\{a\}) \subseteq f(A\setminus \{ a \}) = f(A \setminus \{ a\}) \cup f(\{ a \}) = f(A)$이고 $f(A)$는 $1$개이상 $k$개이하의 원소를 갖는 유한집합이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

3.

$n = 0$이면 유한집합의 정의로 $A = \emptyset = B$이므로 위 정리로 $g$는 전단사이다.

$n \in \mathbb{Z}^+$일때 유한집합의 정의로 전단사함수 $f_1 : \mathbb{Z}_n \to A$과 $f_2 : \mathbb{Z}_n \to B$가 존재하여

$g$가 단사이면 

위 정리로 모든 $a \in A$에 대해 $g_1(a) = g(a)$인 함수 $g_1 : A \to g(A)$는 전단사이므로

합성함수 정리로 $g_1 \circ f_1 : \mathbb{Z}_n \to g(A)$도 전단사이고 유한집합의 정의로 $g(A)$는 $n$개의 원소를 갖는다.

따라서 $g(A) \subseteq B$이므로 유한집합 정리로 $g(A) = B$가 되어 위 정리로 $g$는 전사이다.

$g$가 전사이면

모든 $b \in B$에 대해 $g(a) = b$인 $a \in A$가 존재하므로

$B = \{ b_1, b_2, \cdots, b_n \}$일때 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A_i = \{ a \in A : g(a) = b_i \}$인 집합은 공집합이 아니다.

모든 $a_i \in A_i$에 대해 $a_i \in A$이므로 $A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n \subseteq A$이고

$g$는 함수이므로 모든 $a \in A$에 대해 $g(a) = b_i$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하여 $a \in A_i$이므로 

$A \subseteq A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$이고 집합정리로 $A = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$이다.

$i\ne j$인 임의의 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해

$A_i \cap A_j \ne \emptyset$이라 가정하면 $a \in A_i \cap A_j$가 존재하여 $b_i = g(a) = b_j$이므로 모순이 되어

$i\ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots, n$에 대해 $A_i \cap A_j = \emptyset$이다.

$g$가 단사가 아니라 가정하면

$g(a_1) = b_i = g(a_2)$일때 $a_1 \ne a_2$인 $a_1,a_2 \in A$가 존재하므로 원소개수가 두개이상인 $A_i$가 존재한다.

따라서 유한집합 정리로 $A = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n$가 $n$개보다 많은 원소를 갖게되어 모순이므로

$g$가 전사이면 단사이다.

4.

$E$가 유한집합일때 2번으로 $h(E)$는 유한집합이므로 가산집합이다.

$E$가 무한집합일때 $E\ne \emptyset$이므로 $x\in E$가 존재하여 $h(x)\in h(E)$임에 따라 $h(E)\ne \emptyset$이고

모든 $x \in E$에 대해 $h_1(x) = h(x)$인 함수 $h_1 : E \to h(E)$은 $h_1(E) = h(E)$이므로 위 정리로 전사이다.

$E$가 가부번이므로 전단사함수 $f_1 : \mathbb{N} \to E$이 존재하고

합성함수 정리로 $h_1 \circ f_1 :\mathbb{N} \to h(E)$은 전사임에 따라 가산집합 정리로 $h(E)$는 가산이다.

 

 

 

정리11

체 $(F,+_F,\cdot_F,0,1)$의 공집합이 아닌 부분집합 $S \subseteq F$에서 $F$로의 모든 함수들의 집합족 $\mathcal{F}(S\to F)$에 대해

$S$에서 $F$로의 임의의 함수가 $f,g \in \mathcal{F}(S\to F)$이고 임의의 스칼라가 $c \in F$일때 임의의 $s \in S$에 대해

벡터합이 $(f+g)(s) = f(s) +_F g(s)$로

스칼라곱이 $(c\cdot f)(s) = c\cdot_F f(s) $로

$\vec{0}(s) = 0$인 함수 $\vec{0} \in \mathcal{F}(S\to F)$가 영벡터로 정의되면 $(\mathcal{F}(S\to F),+,\cdot,\vec{0})$은 $F$-벡터공간이다.

증명

아래 벡터공간의 성질을 모두 만족하므로 $(\mathcal{F}(S\to F),+,\cdot,\vec{0})$은 $F$-벡터공간이다.

영벡터

모든 $s \in S$에 대해 $\vec{0}(s) = 0 \in F$이므로 $\vec{0} \in \mathcal{F}(S\to F)$이다.

벡터합에 대해 닫힘

임의의 $f,g \in \mathcal{F}(S\to F)$와 체의 덧셈 $+_F$는 함수이고

모든 $s \in S$에 대해 $(f+g)(s) = f(s) +_F g(s) \in F$이므로 $f+g \in \mathcal{F}(S\to F)$이다.

스칼라곱에 대해 닫힘

임의의 $f \in \mathcal{F}(S\to F)$와 체의 곱셈 $\cdot_F$는 함수이고

임의의 $c \in F$와 모든 $s \in S$에 대해 $(c\cdot f)(s) = c\cdot_F f(s)\in F$이므로 $ c\cdot f \in \mathcal{F}(S\to F)$이다.

1.

임의의 $f,g \in \mathcal{F}(S\to F)$와 모든 $s \in S$에 대해

$(f+g)(s) = f(s) +_F g(s) = g(s) +_F f(s) = (g+f)(s)$이므로 함수의 상등으로 $f + g = g+ f$이다.

2.

임의의 $f,g,h \in \mathcal{F}(S\to F)$와 모든 $s \in S$에 대해 

$((f+g)+h)(s) =(f +g)(s) +_F h(s) = f(s) +_F g(s) +_F h(s) = f(s) +_F (g+h)(s) = (f +(g+h))(s) \text{ 이므로}$

함수의 상등으로 $(f + g)+h = f +(g+ h)$이다.

3.

임의의 $f \in \mathcal{F}(S\to F)$와 모든 $s \in S$에 대해

$(f + \vec{0})(s) = f(s) +_F \vec{0}(s) = f(s) +_F 0 = f(s)$이므로 함수의 상등으로 $f + \vec{0} = f$이다.

4.

모든 $s \in S$와 $f, (-1)\cdot f \in \mathcal{F}(S\to F)$에 대해

$(f + ((-1)\cdot f))(s) = f(s) +_F ((-1)\cdot f)(s) = f(s) +_F ((-1)\cdot_F f(s)) = f(s) +_F (-f(s)) = 0 = \vec{0}(s)$이므로

함수의 상등으로 $f + ((-1) \cdot f) = \vec{0}$인 $(-1)\cdot f \in \mathcal{F}(S\to F)$이 존재한다.

5.

모든 $s \in S$와 $f, 1\cdot f \in \mathcal{F}(S\to F)$에 대해

$(1\cdot f)(s) = 1\cdot_F f(s) = f(s) $이므로 함수의 상등으로 $1\cdot f = f$이다.

6.

임의의 $f \in \mathcal{F}(S\to F)$와 임의의 $a,b \in F$와 모든 $s \in S$에 대해

$((a\cdot_F b) \cdot f)(s) = (a\cdot_F b)\cdot_F f(s)  = a\cdot_F (b\cdot_F  f(s)) = a\cdot_F (b\cdot f)(s) = (a\cdot (b\cdot f))(s) $이므로

함수의 상등으로 $(a\cdot_F b) \cdot f = a\cdot (b\cdot f)$이다.

7.

임의의 $f,g \in \mathcal{F}(S\to F)$와 임의의 $a \in F$와 모든 $s \in S$에 대해

$(a\cdot (f+g))(s) = a\cdot_F (f + g)(s) = a\cdot_F (f(s) +_F g(s)) = a\cdot_F f(s) +_F a\cdot_F g(s) = (a\cdot f)(s) +_F (a\cdot g)(s) = ((a\cdot f) + (a\cdot g))(s)\text{ 이므로}$

함수의 상등으로 $a\cdot(f+g) = a\cdot f + a\cdot g$이다.

8.

임의의 $f \in \mathcal{F}(S\to F)$와 임의의 $a,b \in F$와 모든 $s \in S$에 대해

$((a+_Fb)\cdot f)(s) = (a+_Fb)\cdot_F f(s) = a\cdot_F f(s) +_F b\cdot_F f(s) = (a\cdot f)(s) +_F (b\cdot f)(s) = ((a\cdot f) + (b\cdot f))(s)\text{ 이므로}$

함수의 상등으로 $(a +_F b) \cdot f = a\cdot f + b\cdot f$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/6#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/6#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766

Fred H. Croom - Principles of Topology - 9791156646402

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662