수학/추상대수학

• 분수체(Field of fractions)

  수학/추상대수학 2024. 5. 26. 17:59

  정의1$(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$가 정역일때정역의 분수 :$b\ne 0_D$이고 $d \ne 0_D$인 임의의 $a,b,c,d \in D$에 대해$(a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d)$이기 위한 필요충분조건이 $a\cdot_D d = c\cdot_D b$인 데카르트곱 $D \times (D\setminus \{ 0_D\})$의 관계 $\mathcal{R}$의 동치류를$(D,+_D,\cdot_D,0_D,1_D)$의 분수 $a//b = [(a,b)]_{\mathcal{R}} = \{ (c,d) \in D \times (D \setminus \{ 0_D \}) : (a,b) \; \mathcal{R} \; (c,d) \}$로 정의한다.정역의 분수집합 :$Q = \{ x : \..

• 환(Ring)

  수학/추상대수학 2024. 2. 5. 15:22

  정의1환 :집합 $R$과 이항연산인 덧셈 $+ : R \times R \to R$과 곱셈 $\cdot : R \times R \to R$과상수 $0,1\in R$에 대해 아래 성질들을 만족하는 $5$-순서쌍 $(R,+,\cdot,0,1)$을 환으로 정의한다.연산의 순서를 명시하지 않으면 연산의 순서는괄호 $()$안에 묶인 연산이 가장 먼저 계산되고괄호 안이나 괄호가 없을때는곱셈이 1순위, 덧셈이 2순위로 연산된다.이항연산에 대해 닫힘 : 모든 $a, b \in R$에 대해 $a + b \in R$이다.모든 $a, b \in R$에 대해 $a \cdot b \in R$이다.덧셈에 대한 교환법칙 :모든 $a, b \in R$에 대해 $ a+b = b+a$이다.덧셈에 대한 역원 :모든 $a \in R$에 대해..

• 잉여류(coset), 잉여군(Factor group)

  수학/추상대수학 2023. 8. 29. 15:39

  정의1$(G,*)$가 이항구조일때 임의의 $a \in G$와 $H \subseteq G$인 임의의 집합 $H$에 대해집합 $a*H = \{ a* h : h \in H \} $를 $a$에 대한 $H$의 좌측 잉여류(left coset)로 정의하고집합 $H * a= \{ h*a : h \in H \}$를 $a$에 대한 $H$의 우측 잉여류(right coset)로 정의한다. 집합 $L$이 $H$의 좌측 잉여류이면 $L = a * H$가 되는 $a \in G$가 존재한다고 정의하고집합 $R$이 $H$의 우측 잉여류이면 $R = H * a$가 되는 $a \in G$가 존재한다고 정의한다.$(G,*,e)$가 군일때 아래 정리로 $(H,*,e)$가 $(G,*,e)$의 부분군이면 잉여류는 동치류이다. 정리1군 $..

• 대칭군(Symmetric group)

  수학/추상대수학 2023. 8. 19. 18:37

  정의1치환, 순열(permutation) :공집합이 아닌 임의의 집합 $A$에서 $A$로의 전단사 함수 $\phi : A \to A$를 $A$의 치환 또는 순열로 정의한다.집합 $A$의 모든 치환들의 집합족을 $S_A$로 표기한다.항등치환 :모든 $a \in A$에 대해 $\iota(a) = a$인 치환 $\iota \in S_A$를 항등치환으로 정의한다.대칭군 :아래 정리로 $(S_A,\circ,\iota)$는 군이므로 $(S_A,\circ,\iota)$를 $A$의 대칭군으로 정의한다.치환군, 순열군(permutation group) :대칭군 $(S_A,\circ,\iota)$의 임의의 부분군을 $A$의 치환군 또는 순열군으로 정의한다. 정리1공집합이 아닌 임의의 집합 $A$의 모든 치환들의 집합족..

• 순환군(Cyclic group)

  수학/추상대수학 2023. 8. 1. 20:22

  정의1$(G, *,e)$가 군이고 임의의 원소가 $a \in G$일때생성집합 : $\langle a \rangle^{\!*} = \{ $$ a^n$ $ : n \in \mathbb{Z} \}$인 집합을 $a$의 생성집합으로 정의한다.순환 부분군(cyclic subgroup) : $a$의 생성집합 $\langle a \rangle^{\!*}$에 대해 $(\langle a \rangle^*,*,e)$가 $(G,*,e)$의 부분군이면$(\langle a \rangle^{\!*},*,e)$를 $a$에 의해 생성된 $(G,*,e)$의 순환 부분군으로 정의하고 $a$를 $(\langle a \rangle^{\!*},*,e)$의 생성원으로 정의한다.$(G,*,e)$의 부분군 $(H,*,e)$가 $(G,*,e)$의 순..

• 군(Group)

  수학/추상대수학 2023. 7. 26. 22:33

  정의1군 :집합 $G$와 이항연산 $*:G\times G \to G$와 어떤 $e\in G$에 대해 아래 성질을 만족하는 $3$-순서쌍 $(G,*,e)$를 군으로 정의한다.$*$에 닫힘 : 모든 $a,b \in G$에 대해 $a * b \in G$이다.$*$에 대한 결합법칙 : 모든 $a ,b,c \in G$에 대해 $(a*b)*c = a*(b*c)$이다.$*$에 대한 항등원 : 모든 $s \in G$에 대해 $e* s = s = s*e$인 $e \in G$가 존재한다.$*$에 대한 역원 : 모든 $s \in G$에 대해 $s^{-1} * s = e = s* s^{-1}$인 $s$의 $*$에 대한 역원 $s^{-1} \in G$이 존재한다. 아벨군(Abelian group), 가환군 :이항연산에 대해 교..

• 이항연산(Binary operation)

  수학/추상대수학 2023. 7. 24. 23:30

  정의1이항연산 :집합 $S$위에서 이항연산은 데카르트곱 $S \times S$에서 $S$로의 함수 $* : S\times S \to S$이다.모든 $(a,b) \in S\times S$에 대해 $* \left (\,(a,b)\, \right ) \in S$를 $* \left (\, (a,b) \, \right ) = a * b$로 표기한다. $*$에 대해 닫힘(closed under $*$) : $S$의 부분집합이 $H \subseteq S$일때모든 $a,b \in H$에 대해 $a* b \in H$이면 $H$는 이항연산 $*$에 대해 닫혀있다고 한다.교환법칙, 가환적(commutative) : 모든 $a,b \in S$에 대해 $a * b = b*a$이면 이항연산 $*$가 가환적이다 또는 교환법칙을 만..

• 다항식(Polynomial)

  수학/추상대수학 2023. 7. 22. 12:18

  정의1$(R,+_R,\cdot_R,0_R,1_R)$이 환일때다항식 : 자연수집합 $\mathbb{N}$에서 $R$로의 임의의 함수 $a : \mathbb{N} \to R$를 계수(coefficient)가 $R$인 다항식으로 정의한다. 또 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a(k) = a_k$로 표기하고 $a_k \in R$를 다항식 $a$의 계수로 정의한다.계수가 $R$인 모든 다항식들의 집합족을 $P(R)$로 정의한다.부정원(indeterminate) :임의의 $n,k \in \mathbb{N}$에 대해 $(x^n)_k = \begin{cases} 1_R, & k = n\text{일때} \\ 0_R, & k \ne n \text{일때} \end{cases}$ 인 다항식 $x^n \in P..