수학/위상수학

• 위상공간의 분리가능성(Separability)

  수학/위상수학 2025. 6. 13. 16:59

  정의1위상공간이 $(X,\mathcal{T})$이고 임의의 부분집합이 $E\subseteq X$일때조밀집합 :$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 폐포가 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E) = X$이면 $E$가 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀하다(dense)고 정의하고 $E$를 $(X,\mathcal{T})$에서 조밀집합으로 정의한다.조밀한 곳이 없는 집합 :$(X,\mathcal{T})$에서 $E$의 폐포 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$에 대해 $(X,\mathcal{T})$에서 $\underset{(X,\mathcal{T})}{\operatorname{cl}}(E)$의 내부..

• 위상공간(Topological space)

  수학/위상수학 2025. 4. 11. 18:24

  정의1위상공간 :임의의 집합 $X$에 대해 모든 $O\in \mathcal{T}$가 $O\subseteq X$인 임의의 집합족 $\mathcal{T}$가 아래 4가지 성질을 만족하면 순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 위상공간으로 정의하고 $\mathcal{T}$를 $X$의 위상이라 정의한다.1. $X\in \mathcal{T}$2. 공집합 $\emptyset$에 대해 $\emptyset\in \mathcal{T}$이다.3. 모든 $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{T}$의 합집합은 $\displaystyle \bigcup \mathcal{F} \in \mathcal{T}$이다.4. 모든 $O_1,O_2\in \mathcal{T}$의 유한 교집합은 $O_1\cap O_2\in ..

• 거리공간에서의 함수의 성질

  수학/위상수학 2024. 4. 23. 21:12

  정의1거리공간이 $(X,d_X),(Y,d_Y)$이고 정의역이 임의의 $E \subseteq X$인 함수가 $f:E\to Y$일때 임의의 $L \in Y$과 임의의 $(X,d_X)$에서 $E$의 집적점 $c \in $ $\underset{(X,d_X)}{E'}$와 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해$00$이 존재하면$L $을 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 $f$의 극한으로 정의한다.또 $f$가 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 $L$로 수렴한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X ,d_Y}f(x) = L$로 표기한다. 정리1거리공간이 $(X,d_X),(Y,d_Y)$이고 임의의 부분집합이 $E \subseteq X..

• 거리공간에서의 완비성, 연속성, 조밀성, 콤팩트성, 연결성

  수학/위상수학 2024. 4. 6. 15:06

  정의1거리공간의 코시수열 : 거리공간이 $(X,d)$이고 $X$의 수열이 $(x_n)_{n =n_0}^\infty$일때모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해 $n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$인 모든 자연수 $n, m\in \mathbb{N}$이$d(x_n , x_m) $(x_n)_{n =n_0}^\infty$을 $(X,d)$의 코시수열로 정의한다.$X$의 수열을 $(x_{n})$인 형태로 표기하면 $n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$을 $n,m \ge H(\epsilon)$으로 표기하고$H(\epsilon)$을 $(x_{n})$의 정의역의 최소원소보다 크거나 같다고 가정한다.거리공간의 축약(contractive)수열 : 거리공간이 $(X,d)$이고 $X$의 수열이..

• 거리공간(Metric space)

  수학/위상수학 2024. 3. 20. 14:28

  정의1거리공간 :임의의 집합 $X$와 함수 $d : $ $X\times X$ $ \to $ $[0 ,\infty)$가 아래 4가지 성질을 만족할때순서쌍 $(X,d)$를 거리공간으로 정의하고 함수 $d$를 $X$의 거리함수(distance function)로 정의한다.1. 모든 $x \in X$에 대해 $d(x,x) = 0$이다.2. $x \ne y$인 모든 $x ,y \in X$에 대해 $d(x,y) > 0$이다.3. 모든 $x ,y \in X$에 대해 $d(x,y) = d(y,x)$이다.4. 모든 $x ,y ,z \in X$에 대해 $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$이다.부분거리공간 :거리공간 $(X,d)$과 임의의 부분집합 $Y\subseteq X$에 대해 아래 정리로 $(Y,d)$는..