거리공간에서의 함수의 성질

정의1

거리공간이 $(X,d_X),(Y,d_Y)$이고 정의역이 임의의 $E \subseteq X$인 함수가 $f:E\to Y$일때

임의의 $L \in Y$과 임의의 $(X,d_X)$에서 $E$의 집적점 $c \in $ $\underset{(X,d_X)}{E'}$와 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해

$0<d_X(x,c)<\delta(\epsilon)$인 모든 $x\in E$가 $d_Y(f(x),L) < \epsilon$이 되는 실수 $\delta(\epsilon)>0$이 존재하면

$L $을 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 $f$의 극한으로 정의한다.

또 $f$가 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 $L$로 수렴한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X ,d_Y}f(x) = L$로 표기한다.

 

 

 

정리1

거리공간이 $(X,d_X),(Y,d_Y)$이고 임의의 부분집합이 $E \subseteq X$일때

함수 $f:E\to Y$가 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c \in $ $\underset{(X,d_X)}{E'}$에서 극한이 존재하면 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X, d_Y}$$f(x) $는 유일하다.

증명

$\displaystyle\lim_{x \to c}^{E,d_X, d_Y} f(x) = L_1$이고 $\displaystyle\lim_{x \to c}^{E,d_X, d_Y} f(x) = L_2$라 가정하면

임의의 실수 $\epsilon > 0$에 대해 $0< d_X(x , c) < \delta(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x \in E$가

$d_Y(f(x) , L_1) < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $d_Y(f(x) , L_2) < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 실수 $\delta(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재한다.

따라서 거리공간의 성질로 $d_Y(L_1 , L_2) \le d_Y(L_1 , f(x)) + d_Y(f(x) , L_2) < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로

실수 부등식 정리로 $d_Y(L_1,L_2) = 0$이고 거리공간 정리로 $L_1 = L_2$이다.

 

 

 

정리2

거리공간이 $(X,d_X),(Y,d_Y)$이고 임의의 부분집합이 $E \subseteq X$일때

함수 $f:E\to Y$와 임의의 $(X,d_X)$에서 $E$의 집적점 $c \in $ $\underset{(X,d_X)}{E'}$에 대해 다음은 동치이다.

1. $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X, d_Y}$$f(x) = L$

2. $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(X,d_X)}$$(x_n)= c$인 모든 $E\setminus \{ c\}$의 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}^{(Y,d_Y)}(f(x_n)) = L$이다.

3. $L\in V$인 모든 $(Y,d_Y)$에서 열린집합 $V$에 대해 

$x\ne c$인 모든 $x\in E\cap U$가 $f(x) \in V$이고 $c \in U$인 $(X,d_X)$에서 열린집합 $U$가 존재한다.

증명

$1\leftrightarrow 2$

$\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X,d_Y} f(x) = L$이면

모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해 $0 < d_X(x,c) < \delta (\epsilon )$인 모든 $x \in E$가 $d_Y(f(x), L)<\epsilon$이 되는 실수 $\delta (\epsilon ) > 0$이 존재한다.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}^{(X,d_X)}(x_n) = c$인 $E\setminus \{ c\}$의 수열 $(x_n)$은 모든 원소가 $x_n\ne c$이므로 거리공간의 성질로 $d_X(x_n,c)>0$이고

$n \ge K(\delta (\epsilon ))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $0<d_X(x_n , c ) < \delta (\epsilon )$이 되는 자연수 $K(\delta (\epsilon )) \in \mathbb{N}$가 존재하므로

모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\delta (\epsilon ))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $d_Y(f(x_n) , L)<\epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}^{(Y,d_Y)} (f(x_n)) = L$이다.

역은 대우로 증명한다.

$f$가 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 $L$로 수렴하지 않으면 모든 실수 $\epsilon >0$에 대해

$0<d_X(x ,c)< \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in E$가 $d_Y(f(x) , L)<\epsilon$이 되는 실수 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하지 않으므로

어떤 실수 $\epsilon_0 >0$과 모든 실수 $\delta > 0$에 대해 $0 < d_X(x_\delta , c ) < \delta$일때 $d_Y(f(x_\delta) , L) \ge \epsilon_0$이 되는 $x_\delta \in E$가 존재하여

모든 $k \in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 $0< d_X(x_k,c) < \dfrac{1}{k} $일때 $d_Y(f(x_k) , L) \ge \epsilon_0$이 되는 $x_k \in E$가 존재한다.

따라서 선택정리로 $E\setminus \{c\}$의 수열 $(x_k)_{k =1}^\infty$를 만들때

실수열 수렴 정리로 $\left (\dfrac{1}{k} \right )_{k = 1}^\infty$가 $0$으로 수렴하므로 실수열 극한 정리로 $(d_X(x_k,c))_{k=1}^\infty$가 $0$으로 수렴하여

$Y$의 수열 $(f(x_k))_{k=1}^\infty$는 $(Y,d_Y)$에서 $L$로 수렴하지 않고

$(X,d_X)$에서 $\displaystyle \lim_{ k \to \infty}^{(X,d_X)} (x_{k}) = c$로 수렴하는 $(x_k)_{k =1}^\infty$가 존재하므로 정리가 성립한다.

$1\leftrightarrow 3$

$\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X,d_Y} f(x) = L$일때

$L\in V$인 모든 $(Y,d_Y)$에서 열린집합 $V$에 대해 열린집합 정리로 $\underset{(Y,d_Y)}{B}(L,r) \subseteq V$인 실수 $r > 0$이 존재하고

거리공간 극한의 정의로 $0<d_X(x,c)<\delta(r)$인 모든 $x \in E$가 $d_Y(f(x),L)< r$인 실수 $\delta(r) > 0$이 존재하므로

열린공의 정의로 $x\ne c$인 모든 $x \in E \cap \underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta(r))$는 $f(x) \in \underset{(Y,d_Y)}{B}(L,r) \subseteq V$이고

열린집합 정리로 $ \underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta(r))$는 $(X,d_X)$에서 열린집합이므로 정리가 성립한다.

역으로 3번을 만족할때

모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해 $\underset{(Y,d_Y)}{B}(L,\epsilon)$은 열린집합 정리로 $(Y,d_Y)$에서 열린집합이고 $L\in \underset{(Y,d_Y)}{B}(L,\epsilon)$이므로

$x\ne c$인 모든 $x\in E\cap U$가 $f(x) \in \underset{(Y,d_Y)}{B}(L,\epsilon)$이고 $c \in U$인 $(X,d_X)$에서 열린집합 $U$가 존재하여

열린집합 정리로 $\underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta(\epsilon))\subseteq U$인 실수 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하므로

$x\ne c$이고 $x\in \underset{(X,d_X)}{B}(c,\delta(\epsilon))$인 모든 $x \in E$는 $0< d_X(x,c) < \delta(\epsilon)$이고 $x\in E\cap U$가 되어

$f(x) \in \underset{(Y,d_Y)}{B}(L,\epsilon)$이고 $d_Y(f(x),L)<\epsilon$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X,d_Y} f(x) = L$이다.

 

 

 

정리3

거리공간이 $(X,d_X),(Y,d_Y)$이고 임의의 부분집합이 $E \subseteq X$일때 $c \in $ $\underset{(X,d_X)}{E'}$인 임의의 $c\in E$에 대해

함수 $f: E \to Y$가 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X, d_Y}$$f(x) = f(c)$인 것이다..

증명

$f$가 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 연속이면 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해

$d_X(x,c) <\delta(\epsilon)$인 모든 $x \in E$가 $d_Y(f(x),f(c))<\epsilon$이 되는 실수 $\delta(\epsilon) >0$이 존재하여

$x\ne c$이면 거리공간의 성질로 $0<d_X(x,c) <\delta(\epsilon)$이므로 거리공간 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X, d_Y}f(x) = f(c)$이다.

역으로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d_X, d_Y}f(x) = f(c)$이면 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해

$0<d_X(x,c) <\delta(\epsilon)$인 모든 $x \in E$가 $d_Y(f(x),f(c))<\epsilon$이 되는 실수 $\delta(\epsilon) >0$이 존재하고

$x = c$이면 거리공간의 성질로 $d_X(x,c) = 0<\delta(\epsilon)$과 $d_Y(f(x),f(c)) = 0<\epsilon$이 성립하므로

$f$는 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리5

콤팩트거리공간 $(X,d_X)$에서 거리공간 $(Y,d_Y)$로의 연속함수 $f : X\to Y$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 균등연속함수이다.

2. $f$가 전단사이면 $f$의 역함수 $f^{-1}:Y\to X$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수이다.

증명

1.

$X = \emptyset$이면 공허하게 $f$가 균등연속함수의 정의를 만족한다.

$X \ne \emptyset$일때 $f$는 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$에 대해 모든 $x_0\in X$에서 연속이므로 모든 실수 $\epsilon >0$에 대해

$d_X(x_0,x)<\delta_\epsilon(x_0)$인 모든 $x \in X$가 $d_Y(f(x_0),f(x))<\epsilon$이 되는 $\delta_\epsilon(x_0) > 0$이 존재하여

선택정리로 $\delta_\epsilon(x_0) > 0$을 선택할때 $X = \displaystyle \bigcup_{x_0\in X }$ $\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,\frac{\delta_\epsilon(x_0)}{2})$이고

열린공 정리로 모든 $x_0\in X$에 대해 $\underset{(X,d_X)}{B}(x_0,\frac{\delta_\epsilon(x_0)}{2})$는 $(X,d_X)$에서 열린집합이므로

콤팩트 정리로 $n_\epsilon \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $X = \displaystyle \bigcup_{i= 1 }^{n_\epsilon}$ $\underset{(X,d_X)}{B}(x_i,\frac{\delta_\epsilon(x_i)}{2})$인 $x_1,x_2,\cdots,x_{n_\epsilon}\in X$이 존재한다.

최소원소 정리로 $\delta(\epsilon) = \min \{ \frac{\delta_\epsilon(x_1)}{2},\frac{\delta_\epsilon(x_2)}{2},\cdots, \frac{\delta_\epsilon(x_{n_\epsilon})}{2}\} > 0$이 존재하고

$d_X(x,u)<\delta(\epsilon)$인 모든 $x,u\in X = \displaystyle \bigcup_{i= 1 }^{n_\epsilon}$ $\underset{(X,d_X)}{B}(x_i,\frac{\delta_\epsilon(x_i)}{2})$는 $x\in \underset{(X,d_X)}{B}(x_i,\frac{\delta_\epsilon(x_i)}{2})$인 $i = 1,2,\cdots,n_\epsilon$가 존재하므로

열린공의 정의로 $d_X(x_i,x)<\dfrac{\delta_\epsilon(x_i)}{2} < \delta_\epsilon(x_i)$이고

거리공간의 성질로 $d_X(x_i,u)\le d_X(x_i,x) + d_X(x,u) < \dfrac{\delta_\epsilon(x_i)}{2} + \delta(\epsilon)\le \dfrac{\delta_\epsilon(x_i)}{2} + \dfrac{\delta_\epsilon(x_i)}{2} = \delta_\epsilon(x_i)$가 되어

$d_Y(f(x_i),f(x))<\epsilon$이고 $d_Y(f(x_i),f(u))<\epsilon$이므로

$d_Y(f(x),f(u))\le d_Y(f(x),f(x_i))+d_Y(f(x_i),f(u))<2\cdot \epsilon$이다.

따라서 $\epsilon >0$이 임의이므로 $(X,d_X)$가 콤팩트거리공간이면 $f$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 균등연속함수이다.

2.

$f$가 전단사이므로 역함수 정리로 $f^{-1}:Y \to X$이 존재한다.

$X = \emptyset$일때 $f$는 전단사이므로 함수정리로 $Y = \emptyset$이 되어 $f^{-1}$은 공허하게 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수이다.

$X \ne \emptyset$일때 

$(X,d_X)$는 콤팩트거리공간이므로 $X$는 $(X,d_X)$에서 콤팩트하고 임의의 $(X,d_X)$에서 열린집합 $O$에 대해

$X\setminus O$는 $(X,d_X)$에서 닫힌집합이므로 콤팩트 정리로 $X\setminus O$는 $(X,d_X)$에서 콤팩트하다.

또 $f$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이므로 연속함수 정리로 $f(X\setminus O)$는 $(Y,d_Y)$에서 콤팩트하여

콤팩트 정리로 $f(X\setminus O)$는 $(Y,d_Y)$에서 닫힌집합이고 $f$가 전단사이므로

함수정리와 함수정리로 $f(X) \setminus f(O) = Y\setminus f(O)$가 되어 $f(O) = (f^{-1})^{-1}(O)$는 $(Y,d_Y)$에서 열린집합이다.

따라서 모든 $(X,d_X)$에서 열린집합 $O$에 대해 $(f^{-1})^{-1}(O)$는 $(Y,d_Y)$에서 열린집합이므로

연속함수 정리로 $f^{-1}$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리9

거리공간이 $(X,d)$이고 $1$차원 유클리드 거리공간이 $(\mathbb{C},d_2)$일때

함수 $f,g : E\to \mathbb{C}$가 임의의 $c \in $ $\underset{(X,d)}{E'}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d, d_2}$$f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}g(x) = M$이면 다음이 성립한다.

1. 임의의 복소수 $z,w \in \mathbb{C}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}(z\cdot f(x) + w\cdot g(x)) = z\cdot L + w\cdot M$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}( f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$

3. 모든 $x\in E$에 대해 $g(x)\ne 0$이고 $M\ne 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}\left (\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M}$이다.

4. $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2} |f(x)|  = |L| $

5. $L$의 켤레복소수 $\overline{L}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2} \overline{f(x)}  = \overline{L} $이다.

증명

임의의 $z,w\in \mathbb{C}$에 대해 $d_2(z,w) = (|z-w|^2)^\frac{1}{2} = |z - w|$이고

$\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}f(x) = L$과 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}g(x) = M$이 성립하므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}^{(X,d)}(x_n) = c$인 임의의 $E\setminus \{ c\}$의 수열 $(x_n)$에 대해

복소수열 $(f(x_n))$과 $(g(x_n))$이 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(f(x_n)) = L$과 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(g(x_n)) = M$으로 수렴한다.

1.

복소수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(z\cdot f(x_n) + w\cdot g(x_n)) = z\cdot L + w\cdot M$이므로

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}(z\cdot f(x) + w\cdot g(x)) = z\cdot L + w\cdot M$이다.

2.

복소수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(f(x_n) \cdot g(x_n)) = L \cdot M$이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}( f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$이다.

3.

모든 $x\in E$에 대해 $g(x)\ne 0$이므로 $(x_n)$의 모든 원소가 $g(x_n) \ne 0$이 되어

복소수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left (\frac{f(x_n)}{g(x_n)}\right ) = \frac{L}{M}$이고 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}\left (\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{L}{M}$이다.

4.

복소수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(|f(x_n)|) = |L| $이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2} |f(x)|  = |L| $이다.

5.

복소수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(\overline{f(x_n)} ) = \overline{L} $이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2} \overline{f(x)}  = \overline{L} $이다.

 

 

 

정리10

거리공간 $(X,d)$와 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해

함수 $f,g : X\to \mathbb{C}$가 부분집합 $E\subseteq X$의 모든 점에서 연속일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 복소수 $z,w \in \mathbb{C}$와 모든 $x\in X$에 대해 $F(x) = z\cdot f(x) + w\cdot g(x)$인

함수 $F:X\to \mathbb{C}$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이다.

2. 모든 $x\in X$에 대해 $G(x) = f(x)\cdot g(x)$인

함수 $G:X\to \mathbb{C}$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이다.

3. 모든 $x\in X$에 대해 $g(x)\ne 0$이면 $H(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)}$인

함수 $H: X\to \mathbb{C}$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이다.

4. 모든 $x\in X$에 대해 $f_1(x) = |f(x)|$인 함수 $f_1:X\to \mathbb{C}$은 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이다.

5. 모든 $x\in X$에 대해 $f_2(x) = \overline{f(x)}$인 함수 $f_2:X\to \mathbb{C}$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $E$의 모든 점에서 연속이다.

증명

임의의 점 $c \in E$에 대해 증명한다.

$c\notin $ $\underset{(X,d)}{E'}$이면 집적점 정리로 $E \cap \underset{(X,d)}{B}(c,r) = \{ c \}$인 실수 $r>0$이 존재하여

모든 $x\in E \cap \underset{(X,d)}{B}(c,r)$는 $x = c$이고 $d(x,c) = 0<r$이므로 모든 실수 $\epsilon > 0$에 대해

1.

$d_2(F(x),F(c))=|F(x) - F(c)| = |(z \cdot f(x) + w\cdot g(x)) - (z\cdot f(c) + w\cdot g(c))| = 0 <\epsilon$이 되어

$F$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

2.

$d_2(G(x),G(c))=|G(x) - G(c)| = | f(x)  \cdot g(x) -  f(c) \cdot g(c) | = 0 <\epsilon$이 되어 

$G$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

3.

$d_2(H(x),H(c)) = |H(x) - H(c)| =\left | \dfrac{f(x)}{g(x)} - \dfrac{f(c)}{g(c)} \right | = 0 <\epsilon$이 되어

$H$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

4.

$d_2(f_1(x),f_1(c)) = |f_1(x) - f_1(c)| =\left | |f(x)| - |f(c)| \right | = 0 <\epsilon$이 되어

$f_1$은 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

5.

$d_2(f_2(x),f_2(c)) = |f_2(x) - f_2(c)| =\left | \overline{f(x)} - \overline{f(c)} \right | = 0 <\epsilon$이 되어

$f_2$은 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

 

$c\in \underset{(X,d)}{E'}$이면

$f,g$가 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}f(x) = f(c)$와 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}g(x) = g(c)$가 성립한다.

1.

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to c}^{E,d,d_2}F(x) =\lim_{x\to c}^{E,d,d_2}(z\cdot f(x)+ w \cdot g(x)) = (z\cdot f(c) + w\cdot g(c)) =F(c)$이므로

위 정리로 $F$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

2.

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}G(x)= \lim_{x \to c}^{E,d,d_2}(f(x) \cdot g(x))= (f(c) \cdot g(c)) = G(c)$이므로

위 정리로 $G$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

3.

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}H(x)=\lim_{x \to c}^{E,d,d_2} \left( \frac{f(x)}{h(x)} \right ) = \left ( \frac{f(c)}{h(c)} \right)=H(c)$이므로

위 정리로 $H$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

4.

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}f_1(x)=\lim_{x \to c}^{E,d,d_2} |f(x)| =|f(c)|=f_1(c)$이므로

위 정리로 $f_1$은 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

5.

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}^{E,d,d_2}f_2(x)=\lim_{x \to c}^{E,d,d_2} \overline{f(x)} =\overline{f(c)}=f_2(c)$이므로

위 정리로 $f_2$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{C},d_2)$에 대해 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리4

실수집합 $\mathbb{R}$과 복소수집합 $\mathbb{C}$에 대해 $\mathbb{F}\in \{ \mathbb{R},\mathbb{C}\}$일때

임의의 $p \in $ $[1,\infty]$에 대한 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$차원 민코프스키 거리공간 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에 대해 다음이 성립한다.

볼차노[Bolzano]-바이어슈트라스[Weierstrass] 정리 :

$\mathbb{F}^n$의 수열 $(x_m)$이 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 유계이면 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 수렴하는 $(x_m)$의 부분수열이 존재한다.

완비성 :

$\mathbb{F}^n$의 수열 $(x_m)$이 $(\mathbb{F}^n,d_p)$의 코시수열이기 위한 필요충분조건은 $(x_m)$이 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 수렴하는 것이다.

따라서 $(\mathbb{F}^n,d_p)$는 완비거리공간이다.

완전유계성과 유계성 :

임의의 $E \subseteq \mathbb{F}^n$가 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 완전유계이기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 유계인 것이다.

하이네[Heine]-보렐[Borel] 정리 :

임의의 $E \subseteq \mathbb{F}^n$가 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 콤팩트하기 위한 필요충분조건은 $E$가 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 유계인 닫힌집합인 것이다.

증명

볼차노-바이어슈트라스 정리

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$n = 1$일때 민코프스키 거리함수 $d_p:\mathbb{F}\times \mathbb{F}\to [0,\infty)$는

실수 거듭제곱 정리와 실수 거듭제곱의 정의로 모든 $z,w\in \mathbb{F}$에 대해 $d_p(z,w) = (|z-w|^p)^{\frac{1}{p}} = |z-w|\in \mathbb{R}$이고

$\mathbb{F}$의 수열 $(x_m)=(x_m)_{m=m_0}^\infty$이 $(\mathbb{F},d_p)$에서 유계이면

$m\ge m_0$인 모든 $m\in \mathbb{N}$에 대해 $d_p(x_{m},x_{m_0})\le M$인 실수 $M>0$이 존재한다.

절댓값 정리로 $|x_m| -|x_{m_0}|\le |x_{m} - x_{m_0}|=d_p(x_{m},x_{m_0})\le M$이고 $|x_m| \le M +|x_{m_0}|$이므로

수열 $(x_m)$은 유계가 되어 $(x_m)$의 부분수열 $(x_{m_k})_{k=1}^\infty$에 대해

실수열 정리 또는 복소수열 정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}(x_{m_k}) = x\in \mathbb{F}$가 존재함에 따라

민코프스키 거리공간 정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}^{(\mathbb{F},d_p)}(x_{m_k}) = x$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립하고 $\mathbb{F}^{k+1}$의 수열 $(x_m)$이 $(\mathbb{F}^{k+1},d_p)$에서 유계일때

거리공간 유계 정리로 $0_{k+1} = (0,0,\cdots, 0,0) \in \mathbb{F}^{k+1}$과 어떤 실수 $M >0$에 대해

$(x_m)$의 모든 원소 $x_m =(x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,k},x_{m,k+1})\in \mathbb{F}^{k+1}$이

$d_p(x_m,0_{k+1}) = \displaystyle \left (\sum_{i = 1}^{k+1}|x_{m,i} - 0|^{p}\right)^\frac{1}{p}  = (|x_{m,1}|^p + |x_{m,2}|^p +\cdots + |x_{m,k}|^p +|x_{m,k+1}|^p)^\frac{1}{p}\le M$이므로

실수 거듭제곱 정리와 실수 거듭제곱 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해

$|x_{m,i}|^p \le |x_{m,1}|^p + |x_{m,2}|^p +\cdots +|x_{m,k}|^p + |x_{m,k+1}|^p\le M^p$이고 $|x_{m,i}|\le M$이다.

또 $\displaystyle \left (\sum_{i = 1}^{k}|x_{m,i} - 0|^{p}\right)^\frac{1}{p} \le M$이므로 모든 원소가 $a_m =(x_{m,1},x_{m,2},\cdots, x_{m,k}) \in \mathbb{F}^{k}$인

$\mathbb{F}^k$의 수열 $(a_m)$은 유계가 되어 귀납가정으로

$p$에 대한 $k$차원 민코프스키 거리공간에서 수렴하는 $(a_m)$의 부분수열 $(a_{m_r})_{r=1}^\infty$가 존재하고

$(a_{m_r})_{r=1}^\infty$의 첨수에 대해 $\mathbb{F}^{k+1}$의 수열 $(x_{m_r})_{r=1}^\infty$은 $(x_m)$의 부분수열이므로 유계가 되어

$\mathbb{F}$의 수열 $(x_{m_r,k+1})_{r = 1}^\infty$은 위와 비슷하게 수렴하는 $(x_{m_r,k+1})_{r = 1}^\infty$의 부분수열 $(x_{m_{r_q},k+1})_{q = 1}^\infty$가 존재한다.

$(x_{m_{r_q},k+1})_{q = 1}^\infty$의 첨수에 대해 $\mathbb{F}^{k+1}$의 수열 $(x_{m_{r_q}})_{q=1}^\infty$는 $(x_{m_r})_{r=1}^\infty$의 부분수열이므로 $(x_m)$의 부분수열이고

$\mathbb{F}^k$의 수열 $(a_{m_{r_q}})_{q=1}^\infty$는 $(a_{m_r})_{r=1}^\infty$의 부분수열이므로

부분수열 정리로 $p$에 대한 $k$차원 민코프스키 거리공간에서 수렴하여

민코프스키 거리공간 정리로 모든 $i = 1,2,\cdots, k,k+1$에 대해 수열 $(x_{m_{r_q},i})_{q = 1}^\infty$는 수렴하고

다시 민코프스키 거리공간 정리로 $(x_m)$의 부분수열 $(x_{m_{r_q}})_{q=1}^\infty$는 $(\mathbb{F}^{k+1},d_p)$에서 수렴한다.

따라서 모든 $n \in\mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

완비성

$(x_m)$이 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 수렴하면 코시수열 정리로 $(x_m)$은 $(\mathbb{F}^n,d_p)$의 코시수열이다.

역으로 $(x_m)$이 $(\mathbb{F}^n,d_p)$의 코시수열이면 코시수열 정리와 완전유계 정리로 $(x_m)$은 유계이므로

볼차노-바이어슈트라스 정리로 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 수렴하는 $(x_m)$의 부분수열이 존재하여

코시수열 정리로 $(x_m)$은 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 수렴한다.

완전유계성과 유계성

$E$가 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 완전유계이면 완전유계 정리로 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 유계이다.

$E$가 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 유계이면 $E$의 임의의 수열 $(x_m)$도 유계이므로

볼차노-바이어슈트라스 정리로 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 수렴하는 $(x_m)$의 부분수열 $(x_{m_k})_{k=1}^\infty$가 존재하여

코시수열 정리로 $(x_{m_k})_{k=1}^\infty$는 $(\mathbb{F}^n,d_p)$의 코시수열이므로 완전유계 정리로 $E$는 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 완전유계이다.

하이네-보렐 정리

$E$가 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 콤팩트하면 콤팩트 정리와 완전유계 정리로 $E$는 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 유계인 닫힌집합이다.

역으로 $E$가 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 유계인 닫힌집합이면 $E$의 임의의 수열 $(x_m)$도 유계이므로

볼차노-바이어슈트라스 정리로 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 수렴하는 $(x_m)$의 부분수열 $(x_{m_k})_{k=1}^\infty$가 존재하여

닫힌집합 정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}^{(\mathbb{F}^n,d_p)}(x_{m_k})\in E$이고 $E$는 $(\mathbb{F}^n,d_p)$에서 콤팩트하다.

 

 

 

정리8

거리공간 $(X,d)$에서 $1$차원 유클리드 거리공간 $(\mathbb{R},d_2)$로의 연속함수 $f : X\to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

최소-최대 정리 : $E\ne\emptyset$인 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,d)$에서 콤팩트하면 $\max$ $f(E)$와 $\min$ $f(E)$가 존재한다.

중간값 정리 : 임의의 $E\subseteq X$가 $(X,d)$에서 연결집합일때 

임의의 $a,b\in E$와 임의의 $y\in \mathbb{R}$에 대해 $f(a)\le y\le f(b)$이면 $f(c) = y$인 $c \in E$가 존재한다.

증명

최소-최대 정리

$E$가 $(X,d)$에서 콤팩트하고 $f$가 $(X,d)$에서 $(\mathbb{R},d_2)$로의 연속함수이므로

콤팩트 정리로 $f(E)$도 $(\mathbb{R},d_2)$에서 콤팩트하여 콤팩트 정리와 완전유계 정리로 $f(E)$는 $(\mathbb{R},d_2)$에서 유계이다. 

또 $E \ne \emptyset$이므로 $x \in E$가 존재하여 $f(x) \in f(E)$이고 $f(E) \ne \emptyset$이므로

실수집합의 완비성으로 $\sup f(E),\inf f(E) \in \mathbb{R}$가 존재한다.

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 

상한정리로 $\sup f(E) - \dfrac{1}{n} < f(x_n) \le \sup f(E)$가 되는 $x_n \in E$이 존재하므로

선택정리로 $E$의 수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$을 정의하면 $E$가 $(X,d)$에서 콤팩트하므로 

$(X,d)$에서 어떤 수 $x^* \in E$로 수렴하는 $(x_n)_{n=1}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_r})_{r=1}^\infty$이 존재한다.

따라서 $f$는 $(X,d)$와 $(\mathbb{R},d_2)$에 대해 $x^*$에서 연속이므로 연속 정리로 $\displaystyle \lim_{r \to \infty} (f(x_{n_r})) = f(x^*)$이고

모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 부분수열의 정의로 $1\le n_r$이므로 $\sup f(E) - \dfrac{1}{n_r} < f(x_{n_r}) \le \sup f(E)$가 되어

실수열 정리와 부분수열 정리로 $ \displaystyle \lim_{r \to \infty} \left (\frac{1}{n_r} \right ) = 0$이므로 조임정리로 $\displaystyle \lim_{r \to \infty} (f(x_{n_r})) = f(x^*) = \sup f(E)$이고

$\sup f(E) = f(x^*) \in f(E)$가 되어 최대원소 정리로 $\max f(E) = \sup f(E)$가 존재한다.

비슷하게 $\min f(E) = \inf f(E)$도 존재한다.

중간값 정리

$E$가 $(X,d)$에서 연결집합이므로 $E \ne \emptyset$이다.

$E$가 단일 원소집합일때 

임의의 $a,b\in E$는 $a =b$이므로 임의의 $y\in \mathbb{R}$가 $f(a)\le y\le f(b)$이면 $f(a)= y = f(b)$이다.

$E$가 단일 원소집합이 아니면 $E$는 적어도 두 점을 포함하고 $f$가 $(X,d)$에서 $(\mathbb{R},d_2)$로의 연속함수이므로

연결집합 정리로 $f(E)$는 $(\mathbb{R},d_2)$에서 연결집합이 되어

구간의 연결성으로 $f(E)$는 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간이다.

따라서 임의의 $a,b\in E$와 임의의 $y\in \mathbb{R}$에 대해 $f(a)\le y\le f(b)$일때 $f(a) = f(b)$이면 $f(a) = y=f(b)$이고

$f(a) < f(b)$이면 구간정리로 $y \in [f(a),f(b)] \subseteq f(E)$가 되어 $f(c) = y$인 $c\in E$가 존재한다.

 

 

 

정의3

거리공간이 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$이고 함수가 $f : X \to Y$일때

등거리(isometric) :

$f$가 전단사이고 모든 $a,b \in X$에 대해 $d_X(a,b) = d_Y(f(a),f(b))$이면

$f$를 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 등거리변환(isometry)으로 정의한다.

또 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 등거리변환이 존재하면 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$를 등거리라고 정의한다.

위상동형(homeomorphic) :

$f$가 전단사이고 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수일때

$f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$이 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수이면

$f$를 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 위상동형사상(homeomorphism)으로 정의한다.

또 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 위상동형사상이 존재하면 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$를 위상동형이라 정의한다.

항등함수 :

임의의 집합 $A$의 모든 $a \in A$에 대해 $i_A(a) = a$인 함수 $i_A : A\to A$를 $A$의 항등함수로 정의한다.

 

 

 

정리6

거리공간 $(X,d_1),(X,d_2)$와 $X$의 항등함수 $i_X : X\to X$에 대해 다음이 성립한다.

1. $i_X$는 전단사이고 $i_X$의 역함수는 $i_X^{-1} = i_X$이고 $i_X$와 $i_X^{-1}$는 $(X,d_1)$에서 $(X,d_1)$로의 연속함수이다.

2. 어떤 실수 $M > 0$에 대해 모든 $x,y \in X$가

$d_1(x,y)\le M\cdot d_2(x,y)$이면 $i_X$는 $(X,d_2)$에서 $(X,d_1)$로의 연속함수이다.

3. 어떤 실수 $M_1,M_2 > 0$에 대해 모든 $x,y\in X$가

$d_1(x,y)\le M_2\cdot d_2(x,y)$이고 $d_2(x,y)\le M_1\cdot d_1(x,y)$이면 $i_X$는 $(X,d_1)$에서 $(X,d_2)$로의 위상동형사상이다.

증명

1.

모든 $x \in X$에 대해 $i_X(x) = x$이므로 $i_X$는 자명하게 전사이고

$i_X(x) = i_X(y)$인 모든 $x,y \in X$에 대해 $x = i_X(x) = i_X(y) = y$이므로 단사가 되어

역함수 정리로 $i_X$의 역함수 $i_X^{-1} : X\to X$가 존재하고

모든 $x \in X$에 대해 $i_X(x) = x = i_X^{-1}(i_X(x)) = i_X^{-1}(x)$가 되어 $i_X^{-1} = i_X$이다.

또 모든 실수 $\epsilon >0$와 모든 $c \in X$에 대해

$d_1(x,c) < \epsilon$인 모든 $x \in X$는 $d_1(i_X^{-1}(x),i_X^{-1}(c)) =d_1(i_X(x),i_X(c)) = d_1(x,c) < \epsilon$이므로

$i_X$와 $i_X^{-1}$는 $(X,d_1)$에서 $(X,d_1)$로의 연속함수이다.

2.

모든 실수 $\epsilon >0$와 모든 $c \in X$에 대해

$d_2(x,c) < \dfrac{\epsilon}{M}$인 모든 $x \in X$는 $d_1(i_X(x),i_X(c))=d_1(x,c) \le M\cdot d_2(x,c) < M\cdot \dfrac{\epsilon}{M} = \epsilon$이므로

$(X,d_2)$에서 $(X,d_1)$로의 연속함수이다.

3.

1, 2번으로 $i_X$는 전단사인 $(X,d_1)$에서 $(X,d_2)$로의 연속함수이고

1, 2번으로 $i_X=i_X^{-1}$은 $(X,d_2)$에서 $(X,d_1)$로의 연속함수이므로 $i_X$는 $(X,d_1)$에서 $(X,d_2)$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

정리11

거리공간 $(X,d_X)$에서 거리공간 $(Y,d_Y)$로의 등거리변환 $f : X\to Y$와

거리공간 $(Y,d_Y)$에서 거리공간 $(Z,d_Z)$로의 등거리변환 $g:Y\to Z$에 대해 다음이 성립한다.

항등함수의 반사성 : $X$의 항등함수 $i_X : X\to X$는 $(X,d_X)$에서 $(X,d_X)$로의 등거리변환이다.

대칭성 : $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 등거리변환이다.

추이성 : 합성함수 $g\circ f:X\to Z$는 $(X,d_X)$에서 $(Z,d_Z)$로의 등거리변환이다.

등거리변환의 연속성 : $f$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이다.

증명

반사성

임의의 $(X,d_X) \in \mathcal{B}$에 대해 위 정리로 $i_X$는 전단사이고

모든 $a,b \in X$에 대해 $d_X(a,b) = d_X(i_X(a),i_X(b))$이므로 $i_X$는 $(X,d_X)$에서 $(X,d_X)$로의 등거리변환이다.

대칭성

등거리변환의 정의로 $f$는 전단사이므로 모든 $c,d \in Y = f(X)$는 $f(a) = c$와 $f(b) = d$가 되는 $a,b \in X$가 존재하고

역함수 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1}$이 존재하여 $a = f^{-1}(c)$와 $b = f^{-1}(d)$가 성립하므로

등거리변환의 정의로 $d_Y(c,d) = d_Y(f(a),f(b)) = d_X(a,b) = d_X(f^{-1}(c),f^{-1}(d))$이고

$f^{-1} $은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 등거리변환이다.

추이성

등거리변환의 정의로 $f,g$는 전단사이므로 함수정리로 $g\circ f$는 전단사가 되어

모든 $a,b \in X$에 대해 $d_X(a,b) = d_Y(f(a),f(b)) = d_Z(g(f(a)),g(f(b))) = d_Z((g\circ f)(a),(g\circ f)(b))$이고

$g\circ f$는 $(X,d_X)$에서 $(Z,d_Z)$로의 등거리변환이다.

등거리변환의 연속성

등거리변환의 정의로 $f$는 전단사이고 모든 $a,b \in X$에 대해 $d_X(a,b) = d_Y(f(a),f(b))$이므로

모든 실수 $\epsilon >0$와 모든 $c \in X$에 대해 $d_X(x,c) < \epsilon$인 모든 $x \in X$는 $d_Y(f(x),f(c)) =d_X(x,c) < \epsilon$이 되어

$f$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이다.

 

 

 

정리12

거리공간 $(X,d_X)$에서 거리공간 $(Y,d_Y)$로의 위상동형사상 $f : X\to Y$와

거리공간 $(Y,d_Y)$에서 거리공간 $(Z,d_Z)$로의 위상동형사상 $g:Y\to Z$에 대해 다음이 성립한다.

반사성 : $X$의 항등함수 $i_X : X\to X$는 $(X,d_X)$에서 $(X,d_X)$로의 위상동형사상이다.

대칭성 : $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 위상동형사상이다.

추이성 : 합성함수 $g\circ f:X\to Z$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 위상동형사상이다.

증명

반사성

위 정리로 $i_X$는 전단사이고 $i_X$와 $i_X$의 역함수 $i_X^{-1}$은 $(X,d_X)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수이므로

$i_X$는 $(X,d_X)$에서 $(X,d_X)$로의 위상동형사상이다.

대칭성

위상동형사상의 정의로 $f$의 역함수 $f^{-1}$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수이고

역함수 정리로 $f^{-1}$은 전단사이므로 $f^{-1}$의 역함수 $(f^{-1})^{-1} = f$가 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수임에 따라

 $f^{-1}$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 위상동형사상이다.

추이성

위상동형사상의 정의로 $f$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이고 $g$는 $(Y,d_X)$에서 $(Z,d_Z)$로의 연속함수이므로

연속함수 정리로 $g\circ f$는 $(X,d_X)$에서 $(Z,d_Z)$로의 연속함수이고

$f,g$가 전단사임에 따라 함수정리로 $g\circ f$도 전단사이다.

또 $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수이고

$g$의 역함수 $g^{-1} : Z\to Y$은 $(Z,d_Z)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이므로

함수정리로 $g\circ f $의 역함수 $(g\circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$은 연속함수 정리로 $(Z,d_Z)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수가 되어

$g\circ f $는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 위상동형사상이다.

 

 

 

정리7

거리공간들의 임의의 집합 $\mathcal{B}$가 존재할때 다음이 성립한다.

1. 임의의 $(X,d_X),(Y,d_Y) \in \mathcal{B}$에 대해

$((X,d_X),(Y,d_Y)) \in \mathcal{I}$이기 위한 필요충분조건이 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$가 등거리인 관계 $\mathcal{I}$는 $\mathcal{B}$의 동치관계이다.

2. 임의의 $(X,d_X),(Y,d_Y) \in \mathcal{B}$에 대해

$((X,d_X),(Y,d_Y)) \in \mathcal{H}$이기 위한 필요충분조건이 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$가 위상동형인 관계 $\mathcal{H}$는 $\mathcal{B}$의 동치관계이다.

3. 거리공간 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$가 등거리이면 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$는 위상동형이다.

증명

1.

임의의 $(X,d_X) \in \mathcal{B}$에 대해

위 정리로 $X$의 항등함수 $i_X : X\to X$는 $(X,d_X)$에서 $(X,d_X)$로의 등거리변환이므로 $((X,d_X),(X,d_X)) \in \mathcal{I}$이다.

임의의 $(X,d_X),(Y,d_Y) \in \mathcal{B}$에 대해 $((X,d_X),(Y,d_Y)) \in \mathcal{I}$이면

$(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 등거리변환 $f: X\to Y$가 존재하여

위 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 등거리변환이므로 $((Y,d_Y),(X,d_X)) \in \mathcal{I}$이다.

임의의 $(X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z) \in \mathcal{B}$에 대해 $((X,d_X),(Y,d_Y)) \in \mathcal{I}$이고 $((Y,d_Y),(Z,d_Z)) \in \mathcal{I}$이면

$(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 등거리변환 $f: X\to Y$가 존재하고

$(Y,d_Z)$에서 $(Z,d_Z)$로의 등거리변환 $g: Y\to Z$가 존재하므로

위 정리로 $g\circ f : X\to Z$는 $(X,d_X)$에서 $(Z,d_Z)$로의 등거리변환이 되어 $((X,d_X),(Z,d_Z)) \in \mathcal{I}$이다.

따라서 $\mathcal{I}$는 $\mathcal{B}$의 동치관계이다.

2.

임의의 $(X,d_X) \in \mathcal{B}$에 대해 위 정리로

$X$의 항등함수 $i_X : X\to X$는 $(X,d_X)$에서 $(X,d_X)$로의 위상동형사상이므로 $((X,d_X),(X,d_X)) \in \mathcal{H}$이다.

임의의 $(X,d_X),(Y,d_Y) \in \mathcal{B}$에 대해 $((X,d_X),(Y,d_Y)) \in \mathcal{H}$이면

$(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 위상동형사상 $f:X\to Y$가 존재하여

위 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 위상동형사상이므로 $((Y,d_Y),(X,d_X)) \in \mathcal{H}$이다.

임의의 $(X,d_X),(Y,d_Y),(Z,d_Z) \in \mathcal{B}$에 대해 $((X,d_X),(Y,d_Y)) \in \mathcal{H}$이고 $((Y,d_Y),(Z,d_Z)) \in \mathcal{H}$이면

$(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 위상동형사상 $f:X\to Y$가 존재하여

$(Y,d_X)$에서 $(Z,d_Z)$로의 위상동형사상 $g : Y\to Z$가 존재하여

위 정리로 $g\circ f :X\to Z$는 $(X,d_X)$에서 $(Z,d_Z)$로의 위상동형사상이므로 $((X,d_X),(Z,d_Z)) \in \mathcal{H}$이다.

따라서 $\mathcal{H}$는 $\mathcal{B}$의 동치관계이다.

3.

$(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 등거리변환 $f: X\to Y$가 존재하여

위 정리로 $f$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 연속함수이고 등거리변환의 정의로 $f$는 전단사이다.

또 위 정리로 $f$의 역함수 $f^{-1} : Y\to X$은 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 등거리변환이고

위 정리로 $f^{-1}$도 $(Y,d_Y)$에서 $(X,d_X)$로의 연속함수가 되어

$f$는 $(X,d_X)$에서 $(Y,d_Y)$로의 위상동형사상이므로 $(X,d_X)$와 $(Y,d_Y)$는 위상동형이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/70#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/70#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Terence Tao - Analysis 2 - 9791156646808

Walter Rudin - Principles of Mathmatical Analysis - 9788956152714