확장된 실수 집합

정의1

무한대(infinity) :

실수 집합 $\mathbb{R}$에 대해

$+\infty = \mathbb{R}$를 양(positive)의 무한대로 정의하고

$-\infty = \mathbb{R} \cup \{ +\infty \}$를 음(negative)의 무한대로 정의한다.

$+\infty, -\infty$를 모두 무한대라고 하고 양의 무한대를 $\infty = +\infty$로 표기할 수 있다.

확장된 실수(extended real number) :

임의의 실수 또는 무한대를 확장된 실수로 정의한다.

확장된 실수 $x$가 $x \in \mathbb{R}$이면 $x$를 유한(finite)이라 정의하고

확장된 실수 $x$가 $x \in \{ +\infty, -\infty \}$이면 $x$를 무한(infinite)이라 정의한다.

확장된 실수 집합 :

실수 집합 $\mathbb{R}$과 무한대 $+\infty, -\infty$의 합집합 $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty, -\infty\}$를 확장된 실수 집합으로 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 집합 $X$에 대해 $a_0 =  X$이 정의되고

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a_n$이 귀납적으로 정의될때 $a_{n+1} =  X \cup \{a_n\} $으로 정의되면

모든 $n \in \mathbb{N}$마다 유일하게 존재하는 $a_n$은 $a_n \notin X$이고 $m\ne n$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 $a_n \ne a_m$이다.

증명

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a_n$이 존재하고 $a_n \notin X$임을 귀납법으로 보인다.

$n = 0$일때

가정으로 $a_0 =  X$이 존재하고 $\{X \} \ne \emptyset$이므로 정칙성 공리로 $\{ X \} \cap X = \emptyset$이 되어 $a_0 = X \notin X$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a_k$가 존재하고 $a_k \notin X$일때

집합 정리로 $a_{k+1} = X \cup \{ a_k\}$이 존재하고 단일 원소집합은 $\{ X\cup \{ a_k\}\} \ne \emptyset$이므로

집합 정리와 정칙성 공리로 $(\{ X\cup \{a_k\}\} \cap X) \cup (\{ X\cup \{ a_k\}\} \cap \{a_k \}) = \{ X\cup \{ a_k\} \} \cap (X \cup \{ a_k\}) = \emptyset$이 되어

$ a_{k+1}= (X \cup \{ a_k\}) \notin X$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a_n$이 존재하고 $a_n \notin X$이다.

또 귀납적 정의와 비슷하게 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $a_n$이 재정의되지 않으므로 $a_n$은 유일하다.

$n < m$인 모든 $m \in \mathbb{N}$이 $a_n \ne a_m$임을 $n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법으로 보인다.

$n = 0$일때 $0 <m$인 어떤 $m \in \mathbb{N}$이 $a_0 = a_m$이라고 가정하면

$0<m$이므로 $m-1 \in \mathbb{N}$에 대해 $a_{m-1}$이 존재하여 $X=a_0 = a_m = X \cup \{ a_{m-1}\}$인데

집합 정리로 $\{ a_{m-1}\} \subseteq X$이므로 $a_{m-1} \in X$가 되어 $a_{m-1} \notin X$임에 모순이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $k < m$인 모든 $m \in \mathbb{N}$이 $a_k \ne a_m$이라고 가정할때

$k +1 < m$인 어떤 $m \in \mathbb{N}$이 $a_{k+1} = a_{m}$이라고 가정하면

$0\le k <k +1 <m$이므로 $k, m-1 \in \mathbb{N}$에 대해 $a_k, a_{m-1}$이 존재하여

$X\cup \{ a_k \} = a_{k+1} =a_m = X\cup \{ a_{m-1}\}$이고 $a_k,a_{m-1} \notin X$이므로 $a_k = a_{m-1}$인데

귀납가정으로 $k< m-1$에 대해 $a_k \ne a_{m-1}$임에 모순이므로 $k +1 < m$이면 $a_{k+1} \ne a_m$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n<m$인 모든 $m \in \mathbb{N}$은 $a_n \ne a_m$이고

자연수 부등식 정리로 $m\ne n$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$은 $n<m$이거나 $m <n$이므로 $a_n \ne a_m$이다.

 

 

 

정리2

다음이 성립한다.

무한대의 존재성 : 무한대 $+\infty, -\infty$가 존재한다.

확장된 실수집합의 존재성 : 확장된 실수집합 $\overline{\mathbb{R}}$이 존재한다.

실수와 무한대의 관계 : $+\infty \ne -\infty$이고 모든 실수 $x \in \mathbb{R}$는 $x \ne +\infty$와 $x\ne -\infty$가 성립한다.

증명

무한대의 존재성

실수집합 정리로 $+\infty = \mathbb{R}$가 존재하고 집합 정리로 $-\infty = \mathbb{R} \cup \{ +\infty \}$가 존재한다.

확장된 실수집합의 존재성

무한대의 존재성으로 $+\infty, -\infty$가 존재하므로 짝 공리와 집합 정리로 $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty,-\infty \}$가 존재한다.

실수와 무한대의 관계

위 정리로 $+\infty \ne -\infty$이고 $+\infty , -\infty \notin \mathbb{R}$이므로 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $x \ne +\infty$이고 $x\ne -\infty$이다.

 

 

 

정의2

실수집합이 $\mathbb{R}$이고 확장된 실수집합이 $\overline{\mathbb{R}}$일때 다음을 정의한다.

곱셈 :

$\overline{\mathbb{R}}$의 곱셈 $\cdot : \overline{\mathbb{R}} \times \overline{\mathbb{R}} \to \overline{\mathbb{R}}$은 다음과 같이 정의된다.

$\mathbb{R}$의 곱셈 $\cdot_\mathbb{R} : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$과 $x,y \in \mathbb{R}$에 대해 $x\cdot y = x \cdot_\mathbb{R} y$이다.

$x \in \mathbb{R}^+$에 대해 $x \cdot (+\infty) = +\infty = (+\infty) \cdot x$이고 $x \cdot (-\infty) = -\infty = (-\infty) \cdot x$이다.

$x \in \mathbb{R}^-$에 대해 $x \cdot (+\infty) = -\infty = (+\infty) \cdot x$이고 $x \cdot (-\infty) = +\infty = (-\infty) \cdot x$이다.

$0\in \mathbb{R}$에 대해 $0\cdot (+\infty) = 0 = (+\infty) \cdot 0$이고 $0\cdot (-\infty) = 0 = (-\infty) \cdot 0$이다.

$(+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty = (-\infty)\cdot (-\infty)$이고 $(+\infty) \cdot (-\infty) = -\infty = (-\infty)\cdot (+\infty)$이다.

덧셈 :

$\overline{\mathbb{R}}$의 덧셈 $+ : (\overline{\mathbb{R}}\times \overline{\mathbb{R}}) \setminus \{ (+\infty,-\infty),(-\infty,+\infty) \} \to \overline{\mathbb{R}}$는 이항연산이 아닌 다음과 같은 함수로 정의된다.

$\mathbb{R}$의 덧셈 $+_\mathbb{R} : \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$과 $x,y \in \mathbb{R}$에 대해 $x + y = x +_\mathbb{R} y$이다.

$x \in \mathbb{R}$에 대해 $x + (+\infty) = +\infty = (+\infty) + x$이고 $x + (-\infty) = -\infty = (-\infty) + x$이다.

$(+\infty) + (+\infty) = +\infty $이고 $(-\infty) + (-\infty) = -\infty $이다.

$(+\infty) + (-\infty) $와 $(-\infty) + (+\infty) $는 정의되지 않는다.

뺄셈 :

$-1,x \in \mathbb{R}$에 대해 $-x = (-1)\cdot x$로 정의하고

$-(+\infty) = (-1)\cdot (+\infty) = -\infty $와 $-(-\infty) = (-1)\cdot (-\infty) = +\infty$로 정의한다.

$x=+\infty = y$와 $x = -\infty = y$가 아닐때 $x,y \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 뺄셈을 $x - y = x + (-y)$로 정의한다.

절댓값 :

$|+\infty| = +\infty = |-\infty|$로 $\mathbb{R}$의 절댓값을 확장하여 $\overline{\mathbb{R}}$의 절댓값을 정의한다.

 

 

 

정의3

실수집합 $\mathbb{R}$의 부등식이 $\le_\mathbb{R}$일때 확장된 실수집합 $\overline{\mathbb{R}}$의 부등식 $\le,\ge,<,>$를 다음과 같이 정의한다.

모든 실수 $x,y \in \mathbb{R}$에 대해 $x\le_\mathbb{R} y$이기 위한 필요충분조건은 $x \le y$인 것이다.

$y \in \overline{\mathbb{R}}$가 모든 확장된 실수 $x \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $y \le x$이기 위한 필요충분조건은 $y = -\infty$인 것이다.

$y \in \overline{\mathbb{R}}$가 모든 확장된 실수 $x \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $x \le y$이기 위한 필요충분조건은 $y = +\infty$인 것이다.

임의의 $x,y \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $x \le y$이고 $x \ne y$이기 위한 필요충분조건은 $x < y$인 것이다.

임의의 $x,y \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $x \le y$이기 위한 필요충분조건은 $y \ge x$인 것이다.

임의의 $x,y \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $x < y$이기 위한 필요충분조건은 $y > x$인 것이다.

 

 

 

정리3

임의의 확장된 실수 $a,b,c \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 다음이 성립한다.

순서성질 : $a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 하나만 성립한다.

반사성 : $a\le a$

반대칭성 : $a = b$이기 위한 필요충분조건은 $a \le b$이고 $b \le a$인 것이다.

추이성 :

1. $a <b$이고 $b<c$이면 $a<c$이다.

2. $a \le b$이고 $b \le c$이면 $a\le c$이다.

3. $a \le b$이고 $b<c$이면 $a<c$이다.

4. $a < b$이고 $b \le c$이면 $a< c$이다.

순서와 연산 :

1. $a\le b$이면 $-b \le -a$이다.

2. $a < b$이면 $-b < -a$이다.

증명

순서성질

확장된 실수집합의 정의로 $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ +\infty,-\infty \}$이므로 모든 $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$는 $\mathbb{R}$ 또는 $\{ +\infty,-\infty \}$에 속한다.

$a \in \mathbb{R}$이고 $b \in \mathbb{R}$이면 부등식의 정의와 실수 부등식 정리로 성립한다.

$a \in \mathbb{R}$이고 $b =+\infty$이면

부등식의 정의로 $a \le +\infty$이고 위 정리로 $a\ne +\infty$이므로 부등식의 정의로 $a < +\infty = b$이다.

$a \in \mathbb{R}$이고 $b =-\infty$이면

부등식의 정의로 $-\infty\le a$이고 위 정리로 $-\infty \ne a$이므로 부등식의 정의로 $ b=-\infty< a$이다.

$a = +\infty $이고 $b =+\infty$이면 $a = +\infty= b$이다.

$a = +\infty$이고 $b = -\infty$이면

부등식의 정의로 $-\infty\le +\infty$이고 위 정리로 $-\infty \ne +\infty$이므로 부등식의 정의로 $b=-\infty < +\infty = a$이다.

$a = -\infty $이고 $b =-\infty$이면 $a = -\infty= b$이다.

따라서 모든 $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $a > b$ 또는 $a = b$ 또는 $a < b$ 중 하나만 성립한다.

반사성

실수 부등식의 반사성과 부등식의 정의로 모든 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $a \le a$이고

$-\infty,+\infty \in \overline{\mathbb{R}}$이므로 부등식의 정의로 $-\infty \le -\infty$이고 $+\infty \le +\infty$이다.

반대칭성

$a = b \in \mathbb{R}$이면 실수 부등식의 반대칭성과 부등식의 정의로 $a \le b$와 $b \le a$가 성립하고

$a = b \in \{ +\infty,-\infty \}$이면 부등식의 정의로 $a \le b$와 $b \le a$가 성립한다.

역으로 $a \le b$와 $b \le a$가 성립하면

$a,b \in \mathbb{R}$일때 실수 부등식의 반대칭성과 부등식의 정의로 $a = b$이다.

$b = +\infty$일때 모든 $x \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 부등식의 정의로 $x \le +\infty $이므로

$ +\infty \ne a$이면 $b=+\infty \le a$임에 모순이 되어 $a = +\infty$이고 $a = +\infty = b$이다.

$b = -\infty$일때 모든 $x \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 부등식의 정의로 $ -\infty \le x$이므로

$a \ne -\infty $이면 $a\le -\infty =b$임에 모순이 되어 $a = -\infty$이고 $a = -\infty = b$이다.

추이성

반대칭성과 부등식의 정의로 모든 $x \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해

$+\infty \le x$이면 $x \le +\infty$이므로 $x = +\infty$이고 $x \le -\infty$이면 $-\infty \le x$이므로 $x = -\infty$이다.

$a , b,c \in \mathbb{R}$이면 실수 부등식의 추이성과 부등식의 정의로 1, 2, 3, 4가 성립한다.

1.

$a,b ,c \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $a <b$이고 $b<c$일때

모든 $x \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 부등식의 정의로 $-\infty \le x $이고 $x \le +\infty $이므로 $a,b$는 $+\infty$일 수 없고 $b,c$는 $-\infty$일 수 없어

$a \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty\}$이고 $b \in \mathbb{R}$이고 $c \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty \}$이다.

$c = +\infty$일때 $a \le +\infty$이고 $a \ne +\infty$이므로 $a < +\infty = c$이다.

$a = -\infty$일때 $-\infty\le c$이고 $-\infty \ne c$이므로 $a = -\infty  < c$이다.

2.

$a,b ,c \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $a \le b$이고 $b\le c$일때

$c = +\infty$이면 부등식의 정의로 $a \le +\infty = c$이고 $a = -\infty$이면 부등식의 정의로 $a=-\infty\le c$이므로

$a = -\infty$이거나 $c = +\infty$이면 $a \le c$이다.

$a \ne -\infty$이고 $c \ne +\infty$일때

$b \in \{ +\infty,-\infty \}$라고 가정하면 $b = +\infty$일때 $b \le c$임에 모순이고 $b = -\infty$일때 $a\le b$임에 모순이므로 $b \in \mathbb{R}$이고

$a = +\infty$라고 가정하면 $a\le b$인 $b$는 $b = +\infty$인데 $b \le c$인 $c$가 $c = +\infty$가 되어 모순이므로 $a \in \mathbb{R}$이다,

$c = -\infty$라고 가정하면 $b \le c$인 $b$는 $b = -\infty$인데 $a\le b$인 $a$가 $a = -\infty$가 되어 모순이므로 $c \in \mathbb{R}$이다.

따라서 $a \ne -\infty$이고 $c \ne +\infty$이면 $a,b,c \in \mathbb{R}$이므로 $a \le c$이다.

3.

$a,b ,c \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $a \le b$이고 $b<c$일때

$c = +\infty $이면 $b < +\infty$로 $b \ne +\infty$이고 $a= +\infty$라고 가정하면 $b =+\infty$가 되어 모순이므로

$a \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty\}$이고 부등식의 정의로 $a \le +\infty =c$이므로 $a < c$이다.

$a = -\infty$일때 $c = -\infty$라고 가정하면 $b \le -\infty$가 되어 $b = -\infty$인데 $b < -\infty$이므로 모순이 되어

$c \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty \}$이고 부등식의 정의로 $a =-\infty \le c$이므로 $a < c$이다.

따라서 $a = -\infty$이거나 $c = +\infty$이면 $a < c$이다.

$a \ne -\infty$이고 $c \ne +\infty$일때

$b \in \{ +\infty,-\infty \}$라고 가정하면 $b = +\infty$일때 $b < c$임에 모순이고 $b = -\infty$일때 $a\le b$임에 모순이므로 $b \in \mathbb{R}$이고

$a = +\infty$라고 가정하면 $a\le b$인 $b$는 $b = +\infty$인데 $b < c$인 $c$가 존재할 수 없어 모순이므로 $a \in \mathbb{R}$이다,

$c = -\infty$라고 가정하면 $b < c$인 $b$는 존재할 수 없어 모순이므로 $c \in \mathbb{R}$이다.

따라서 $a \ne -\infty$이고 $c \ne +\infty$이면 $a,b,c \in \mathbb{R}$이므로 $a < c$이다.

4.

$a,b ,c \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $a < b$이고 $b \le c$일때

$c = +\infty $이면 $+\infty < b$인 $b$는 존재할 수 없으므로 $a \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty\}$이고 $a \le +\infty =c$이므로 $a < c$이다.

$a = -\infty$일때 $a < b$로 $b \ne -\infty$이므로 $b \le c$인 $c$는 $c \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty \}$이고 $a =-\infty \le c$이므로 $a < c$이다.

따라서 $a = -\infty$이거나 $c = +\infty$이면 $a < c$이다.

$a \ne -\infty$이고 $c \ne +\infty$일때

$b \in \{ +\infty,-\infty \}$라고 가정하면 $b = +\infty$일때 $b\le c$임에 모순이고 $b = -\infty$일때 $a< b$임에 모순이므로 $b \in \mathbb{R}$이고

$a = +\infty$라고 가정하면 $a< b$인 $b$는 존재할 수 없어 모순이므로 $a \in \mathbb{R}$이다.

$c = -\infty$라고 가정하면 $b \le c$인 $b$는 $b = -\infty$인데 $a <b$인 $a$가 존재할 수 없어 모순이므로 $c \in \mathbb{R}$이다.

따라서 $a \ne -\infty$이고 $c \ne +\infty$이면 $a,b,c \in \mathbb{R}$이므로 $a < c$이다.

순서와 연산

$a , b \in \mathbb{R}$이면 실수 부등식 정리와 부등식의 정의로 1, 2가 성립한다.

1.

$a\le b$일때

$b = +\infty$이면 위 정의로 $-b = -(+\infty) = -\infty$이고 $-a \in \overline{\mathbb{R}}$이므로 부등식의 정의로 $-b=-\infty \le -a$이다.

$a = -\infty$이면 위 정의로 $-a = -(-\infty) = +\infty$이고 $-b \in \overline{\mathbb{R}}$이므로 부등식의 정의로 $-b \le +\infty = -a$이다.

2.

$a < b$일때

$b = +\infty$이면 위 정의로 $-b = -(+\infty) = -\infty$이고 

$a \ne +\infty$이므로 $-a \in \mathbb{R} \cup \{ +\infty \}$가 되어 부등식의 정의로 $-b=-\infty < -a$이다.

$a = -\infty$이면 위 정의로 $-a = -(-\infty) = +\infty$이고

$b \ne -\infty$이므로 $-b \in \mathbb{R} \cup \{ -\infty\}$가 되어 부등식의 정의로 $-b < +\infty = -a$이다.

 

 

 

정리4

확장된 실수집합의 임의의 부분집합이 $X \subseteq \overline{\mathbb{R}}$이고 확장된 실수의 부등식 $\le$을 $\overline{\mathbb{R}}$의 이항관계로 정의할때

$(X,\le)$는 전순서이고 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $X$의 상한과 하한이 존재한다.

증명

위 정리로 모든 $x,y \in X$는 $x \le y$ 또는 $y \le x$가 성립하므로 $(X,\le)$는 전순서이다.

$X$가 공집합이면 모든 $u,w \in \overline{\mathbb{R}}$와 모든 $x \in X = \emptyset$에 대해

공허하게 $w\le x \le u$이므로 모든 $u,w \in \overline{\mathbb{R}}$는 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $\emptyset$의 상계이고 하계이다.

$(\emptyset ,\le) $의 모든 상계 $u \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\sup} \emptyset\le u$인 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\sup} \emptyset \in \overline{\mathbb{R}}$는 부등식의 정의로 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\sup} \emptyset = -\infty$이고

$(\emptyset ,\le) $의 모든 하계 $w \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 $w\le \underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\inf} \emptyset$인 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\inf} \emptyset\in \overline{\mathbb{R}}$는 부등식의 정의로 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\inf} \emptyset = +\infty$가 되어

$(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $\emptyset$의 상한 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\sup} \emptyset = -\infty$와 하한 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\inf} \emptyset = +\infty$가 존재한다.

$X$가 공집합이 아니고 $X \subseteq \mathbb{R}$일때

$X$가 유계이면 실수집합 정리로 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $X$의 상한과 하한이 존재한다.

$X$가 위로만 유계이면 실수집합 정리로 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $X$의 상한이 존재한다.

또 $X$가 아래로 유계가 아니므로 모든 $x \in X$에 대해 $w \le x$인 $w \in \mathbb{R}$가 존재하지 않고 $(X,\le)$는 전순서이므로

모든 $w \in \mathbb{R}$에 대해 $x < w$인 $x \in X$가 존재하여 모든 $x \in X$에 대해 $w \le x$인 모든 하계 $w \in \overline{\mathbb{R}}$는 $w = -\infty$이고

반사성과 부등식의 정의로 $w \le -\infty \le x$이므로 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $X$의 하한 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\inf} X = -\infty$가 존재한다.

$X$가 아래로만 유계이면 실수집합 정리로 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $X$의 하한이 존재한다.

또 $X$가 위로 유계가 아니므로 모든 $x \in X$에 대해 $x\le u$인 $u \in \mathbb{R}$가 존재하지 않고 $(X,\le)$는 전순서이므로

모든 $u \in \mathbb{R}$에 대해 $u<x $인 $x \in X$가 존재하여 모든 $x \in X$에 대해 $ x\le u$인 모든 상계 $u \in \overline{\mathbb{R}}$는 $u = +\infty$이고

반사성과 부등식의 정의로 $x\le +\infty \le u$이므로 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $X$의 상한 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\sup} X = +\infty$가 존재한다.

$X$가 유계가 아니면 비슷하게 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $X$의 하한 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\inf} X = -\infty$와 상한 $\underset{(\overline{\mathbb{R}},\le)}{\sup} X = +\infty$이 존재한다.

$-\infty \in X$이거나 $+\infty \in X$일때도

$(X \setminus \{ -\infty, +\infty \}) = \emptyset$ 또는 $(X \setminus \{ -\infty ,\infty\} ) \subseteq \mathbb{R}$이 되어 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $X \setminus \{ -\infty ,\infty\}$의 상한과 하한의 존재하고

부등식의 정의로 모든 $x \in X$에 대해 $-\infty \le x \le +\infty$이므로 $(\overline{\mathbb{R}},\le)$에서 $X$의 상한과 하한이 존재한다.

 

 

 

정의4

확장된 실수집합 $\overline{\mathbb{R}}$과 임의의 $a,b \in \overline{\mathbb{R}}$에 대해 다음을 정의한다.

무한 닫힌 구간 :

$[a, \infty] = \{x \in \overline{\mathbb{R}} : a\le x \le \infty \}$,

$[-\infty, b]  = \{x \in \overline{\mathbb{R}} : -\infty \le x \le b \}$.

무한 반 열린 구간 또는 무한 반 닫힌 구간 :

$(a, \infty]  = \{x \in \overline{\mathbb{R}} : a < x \le \infty \}$,

$[-\infty, b) = \{x \in \overline{\mathbb{R}} : -\infty \le x < b \}$.

확장된 실수집합의 구간 표현 : 

$\overline{\mathbb{R}} = [-\infty,\infty] = \{ x \in \overline{\mathbb{R}} : -\infty \le x \le \infty \}$

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/63#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/63#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662

Walter Rudin - Principles of Mathematical Analysis - 9788956152714