거듭제곱 함수(Power function), 로그(Logarithm)

정의1

지수함수가 $E : \mathbb{R} \to (0,\infty)$이고 자연로그가 $L : (0,\infty) \to \mathbb{R}$일때

임의의 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in $ $(0,\infty)$에 대해

거듭제곱 정리로 $x^\alpha > 0$이고 자연로그 정리로 $\alpha \cdot \ln x = \ln x^\alpha$이므로

지수함수와 자연로그가 서로 역함수관계임에 따라 $x^\alpha = e^{\ln x^\alpha} = e^{\alpha \cdot \ln x}$가 되어

$f_\alpha(x) = x^\alpha = e^{\alpha\cdot \ln x} = E(\alpha \cdot L(x))$인 함수 $f_\alpha : (0,\infty) \to (0,\infty)$를 지수가 $\alpha$인 거듭제곱 함수로 정의한다.

$\alpha \ne 0$인 임의의 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $0^\alpha = 0$으로 정의하고 $0^0 = 1$로 정의한다.

 

 

 

정리1

임의의 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$와 모든 $x ,y \in $ $(0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $1^\alpha = 1$

2. $x^\alpha > 0$

3. $(x\cdot y)^\alpha = x^\alpha\cdot y^\alpha$

4. $y^{-\alpha} = \dfrac{1}{y^\alpha}$

5. $\left ( \dfrac{x}{y} \right )^\alpha = \dfrac{x^\alpha}{y^\alpha}$

증명

1.

지수함수 정리와 자연로그 정리로 $1^\alpha = e^{\alpha \cdot \ln 1} = e^{\alpha \cdot 0} = e^0 = 1$이다,

2.

지수함수 정리로 $x^\alpha = e^{\alpha \cdot \ln x} > 0$이다.

3.

지수함수 정리와 자연로그 정리로 $(x\cdot y)^\alpha = e^{\alpha \cdot \ln (x\cdot y)} = e^{\alpha\cdot (\ln x + \ln y)} = e^{\alpha \cdot \ln x} \cdot e^{\alpha \cdot \ln y} = x^\alpha\cdot y^\alpha$이다.

4.

$1 = e^{\alpha \cdot 0} = e^{\alpha \cdot (\ln y - \ln y)} = e^{\alpha\cdot \ln y}\cdot e^{ - \alpha \cdot \ln y} = y^\alpha \cdot y^{-\alpha}$이고 2번으로 $y^\alpha >0$이므로 $\dfrac{1}{y^\alpha} = y^{-\alpha}$이다.

5.

4번으로

$ \left ( \dfrac{x}{y} \right )^\alpha = (x\cdot y^{-1})^\alpha = e^{\alpha \cdot \ln (x\cdot y^{-1})} = e^{\alpha \cdot (\ln x - \ln y)} = e^{\alpha\cdot \ln x} \cdot e^{-\alpha\cdot \ln y} = x^\alpha\cdot y^{-\alpha} = x^\alpha\cdot \dfrac{1}{y^\alpha} = \dfrac{x^\alpha}{y^\alpha}$이다.

 

 

 

정리2

임의의 실수 $\alpha , \beta \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in $ $(0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $x^{\alpha+\beta} = x^\alpha \cdot x^\beta = x^{\beta + \alpha}$

2. $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha \cdot \beta} = (x^\beta)^\alpha $

3. $\alpha < \beta$이고 $x  > 1$이면 $x^\alpha < x^\beta$이다.

4. $\alpha < \beta$이고 $0 < x  < 1$이면 $x^\alpha > x^\beta$이다.

증명

1.

$x^{\alpha+\beta} = e^{(\alpha + \beta)\cdot \ln x} = e^{\alpha\cdot \ln x + \beta \cdot \ln x} = e^{\alpha\cdot \ln x}\cdot e^{\beta\cdot \ln x} = x^\alpha \cdot x^\beta = x^\beta \cdot x^\alpha$이고

$x^{\beta + \alpha} = e^{( \beta + \alpha )\cdot \ln x} = e^{\beta\cdot \ln x + \alpha \cdot \ln x} = e^{\beta \cdot \ln x}\cdot e^{\alpha \cdot \ln x} = x^\beta \cdot x^\alpha$이므로

$x^{\alpha+\beta} = x^\alpha \cdot x^\beta = x^{\beta + \alpha}$이다.

2.

$(x^\alpha)^\beta = e^{\beta\cdot \ln x^\alpha} = e^{\alpha \cdot \beta \cdot \ln x } = x^{\alpha \cdot \beta} = e^{\alpha\cdot \beta \cdot \ln x} = e^{\alpha \cdot \ln x^\beta} =  (x^\beta)^\alpha $

3.

$x > 1$에 대해 자연로그는 $(0,\infty)$에서 순증가하므로 자연로그 정리로 $0 = \ln 1 < \ln x$이고

$\alpha < \beta$이므로 $\alpha \cdot \ln x < \beta \cdot \ln x$가 된다.

따라서 지수함수는 $\mathbb{R}$에서 순증가하므로 $x^\alpha = e^{\alpha \cdot \ln x} < e^{\beta \cdot \ln x} = x^\beta$이다.

4.

$0 < x < 1$에 대해 자연로그는 $(0,\infty)$에서 순증가하므로 자연로그 정리로 $ \ln x< \ln 1 = 0$이고

$\alpha < \beta$이므로 $\alpha \cdot \ln x > \beta \cdot \ln x$가 된다.

따라서 지수함수는 $\mathbb{R}$에서 순증가하므로 $x^\alpha = e^{\alpha \cdot \ln x} > e^{\beta \cdot \ln x} = x^\beta$이다.

 

 

 

정리3

모든 실수 $\alpha , t \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in $ $(0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f(x) = x^\alpha$인 함수 $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$는 $(0,\infty)$에서 미분가능하여 $f'(x) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(x^\alpha) = \alpha \cdot x^{\alpha -1}$이다.

2. $g(t) = x^t$인 함수 $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여 $g'(t) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(x^t) =\ln x\cdot  x^t $이다.

증명

지수함수는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하고 자연로그는 $(0,\infty)$에서 미분가능하므로 연쇄법칙과 위 정리로

$f'(x) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(x^\alpha) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(e^{\alpha\cdot \ln x}) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(\alpha\cdot \ln x) \cdot e^{\alpha \cdot \ln x} = \dfrac{\alpha}{x} \cdot x^\alpha = \alpha \cdot x^{-1} \cdot x^\alpha = \alpha \cdot x^{\alpha -1}$이고

$g'(t) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(x^t) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(e^{t\cdot \ln x}) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(t\cdot \ln x) \cdot e^{t\cdot \ln x} = \ln x \cdot x^t $이다.

 

 

 

정리4

임의의 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$와 모든 $x  \in $ $(0,\infty)$에 대해 $f(x) = x^\alpha$인 함수가 $f:(0,\infty) \to \mathbb{R}$일때 다음이 성립한다.

1. $\alpha > 0$이면 $f$는 $(0,\infty)$에서 순증가하고 $\displaystyle \lim_{x \to 0+}$$x^\alpha = 0$과 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}$$x^\alpha= \infty$이 성립한다.

2. $\alpha < 0$이면 $f$는 $(0,\infty)$에서 순감소하고 $\displaystyle \lim_{x \to 0+}$$x^\alpha = \infty$와 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}$$x^\alpha= 0$이 성립한다.

3. $\displaystyle \lim_{x \to 0+}x^x = 1$

증명

1.

위 정리로 $\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(x^\alpha) = \alpha \cdot x^{\alpha - 1} = \alpha \cdot e^{(\alpha -1)\cdot \ln x} > 0$이므로 단조함수 미분정리로 $x^\alpha$는 $(0,\infty)$에서 순증가한다.

자연로그 정리로

$\displaystyle \lim_{x \to 0+} (\alpha \cdot \ln x ) = -\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} ( \alpha\cdot \ln x ) = \infty$이므로

지수함수 정리로

$\displaystyle \lim_{x \to 0 +} x^\alpha = \lim_{x \to 0+}e^{\alpha \cdot \ln x} = \lim_{y \to -\infty} e^y = 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^\alpha = \lim_{x \to \infty}e^{\alpha \cdot \ln x} = \lim_{y \to \infty} e^y = \infty$이다.

2.

위 정리로 $\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(x^\alpha) = \alpha \cdot x^{\alpha - 1} = \alpha \cdot e^{(\alpha -1)\cdot \ln x} < 0$이므로 단조함수 미분정리로 $x^\alpha$는 $(0,\infty)$에서 순감소한다.

자연로그 정리로

$\displaystyle \lim_{x \to 0+} ( \alpha \cdot \ln x ) = \infty$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} ( \alpha \cdot \ln x) = -\infty$이므로

지수함수 정리로

$\displaystyle \lim_{x \to 0 +} x^\alpha = \lim_{x \to 0+}e^{\alpha \cdot \ln x} = \lim_{y \to \infty} e^y = \infty$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^\alpha = \lim_{x \to \infty}e^{\alpha \cdot \ln x} = \lim_{y \to -\infty} e^y = 0$이다.

3.

$x \in (0,\infty)$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x= \infty$임은 자명하므로 함수극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}= 0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} -\frac{1}{x} = 0$이다.

자연로그 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to 0+}\ln x = -\infty$이므로

함수극한의 정의로 모든 $b \in \mathbb{R}$에 대해 $0 < x < \delta(b)$인 모든 $x \in (0,\infty)$가 $\ln x < b$가 되는 $\delta(b) > 0$가 존재하여

$\dfrac{1}{\delta(b)} <  t$인 모든 $t \in (0,\infty)$는 $0 < \dfrac{1}{t} < \delta(b)$가 되어 $\ln \frac{1}{t}  < b$이므로 함수극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \ln \textstyle{\frac{1}{t}} = -\infty$이다.

모든 $t \in (0,\infty)$에 대해 $t = t^1$과 $\dfrac{1}{t} = t^{-1}$은

위 정리로 $\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(t^1) = t^0 = 1$과 $\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(t^{-1}) = -t^{-2} = -\dfrac{1}{t^2}$로 미분가능하고

자연로그 정리로 모든 $x \in (0,\infty)$에 대해 $\ln x$가 $\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(\ln x) = \dfrac{1}{x}$로 미분가능하므로

연쇄법칙으로 $\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(\ln \frac{1}{t} )= \dfrac{1}{\frac{1}{t}}\cdot \left (-\dfrac{1}{t^2} \right ) = -\dfrac{1}{t}$이고

$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(\ln \frac{1}{t})}{\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(t)} = \lim_{t\to \infty}-\frac{1}{t} = 0$이므로 로피탈의 법칙으로 $\displaystyle \lim_{t\to \infty} \frac{1}{t} \cdot \ln {\textstyle \frac{1}{t}} = \lim_{t \to \infty} \frac{\ln \frac{1}{t}}{t} =  0$이 되어

함수극한의 정의로 모든 $\epsilon \in (0,\infty)$에 대해

$K(\epsilon) < t$인 모든 $t \in (0,\infty)$가 $\left |\dfrac{1}{t} \cdot \ln \frac{1}{t}  -0 \right | < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in (0,\infty)$가 존재하고

$0<x  < \dfrac{1}{K(\epsilon)}$인 모든 $x \in (0,\infty)$는 $K(\epsilon) < \dfrac{1}{x}$가 되어 $|x\cdot \ln x - 0| < \epsilon$이다.

따라서 지수함수 정리로 모든 $u \in \mathbb{R}$에서 $e^u$가 미분가능하므로 미분연속성으로 모든 $u \in \mathbb{R}$에 대해 $e^u$가 연속이고

$e^0 = 1$이므로 연속함수의 정의로 $|u  -0| < H(\epsilon)$인 모든 $u \in \mathbb{R}$가 $|e^u - 1| < \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in (0,\infty)$이 존재하여

$0<x -0   < \dfrac{1}{K(H(\epsilon))}$인 모든 $x \in (0,\infty)$가 $|x\cdot \ln x - 0| < H(\epsilon)$이므로 

거듭제곱함수의 정의로 $|x^x -1|  = |e^{\ln x^x} -1| = |e^{x\cdot \ln x} - 1| < \epsilon$이고 함수극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to 0+} x^x = 1$이다.

 

 

 

정리7

임의의 실수 $\alpha \in \mathbb{R}$와 모든 $x,y  \in $ $(0,\infty)$에 대해 다음이 성립한다.

1. 임의의 $t \in (0,1)$에 대해 $f(t) = \dfrac{t}{1-t}$인 함수 $f : (0,1)\to (0,\infty)$는 전단사이다.

2. $1< \alpha$이면 $x^\alpha + y^\alpha < (x + y)^\alpha$이다.

3. $\alpha < 1$이면 $(x+y)^\alpha <x^\alpha+y^\alpha$이다.

증명

1.

모든 $t \in (0,1)$는 $0< t <1$이고 $0< 1-t <1$이므로 $0 < \dfrac{t}{1-t}$이다.

위 정리로 $t^1 = t$는 $(0,1)$에서 미분가능하고

상수함수 미분정리와 미분의 선형성으로 $1-t$도 $(0,1)$에서 미분가능하여

미분 정리로 $f(t) = \dfrac{t}{1-t}$는 $(0,1)$에서 미분가능하고

$f'(t) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(t)\cdot (1-t) - t\cdot \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(1-t)}{(1-t)^2} = \dfrac{1-t - t\cdot (-1)}{(1-t)^2} = \dfrac{1}{(1-t)^2} > 0$이므로

단조함수 정리로 $f$는 $(0,1)$에서 순증가하여 단사이다.

$\displaystyle \lim_{t \to 1-}t = 1$이므로 모든 실수 $\epsilon >0$에 대해

$0 < 1- t <\delta(\frac{1}{2\cdot \epsilon}) $인 모든 $t \in (0,1)$가 $1-t =|t -1| < \dfrac{1}{2\cdot \epsilon}$이 되는 $\delta(\frac{1}{2\cdot \epsilon}) >0$이 존재하여

$0 < 1- t < $ $\min$$\{\delta(\frac{1}{\epsilon}),\frac{1}{2}\}$인 모든 $t \in (0,1)$에 대해 $0<\epsilon < \dfrac{1}{1-t}\cdot \dfrac{1}{2} < \dfrac{t}{1-t}$이므로 $\displaystyle \lim_{t \to 1-}\frac{t}{1-t} = \infty$이다.

$\displaystyle \lim_{t \to 0+} t = 0$이고 $\displaystyle \lim_{t \to 0+}1- t = 1$이므로

미분연속성으로 $f$가 $(0,1)$에서 연속임에 따라 연속함수 극한 정리와 함수의 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{t \to 0+}\frac{t}{1- t} = 0$이다.

따라서 구간 보존 정리로 $f$에 의한 $(0,1)$의 상 $f((0,1))$은 구간이므로

임의의 $y \in (0,\infty)$에 대해 $f(t) =y$인 $t \in (0,1)$가 존재하지 않는다고 가정하면

모든 $t \in (0,1)$에 대해 $f(t) \ne y$가 되어

$y < f(t)$이면 $\displaystyle \lim_{t \to 0+}f(t) = 0$이므로 $0<f(t_1)=|f(t_1) - 0|< y < f(t)$인 $t_1 \in (0,1)$이 존재하고

$f(t) < y$이면 $\displaystyle \lim_{t \to 1-}f(t) = \infty$이므로 $f(t) < y < f(t_2)$인 $t_2 \in (0,1)$가 존재하여 $y \in f((0,1))$이므로 모순이다.

따라서 모든 $y \in (0,\infty)$에 대해 $f(t) =y$인 $t \in (0,1)$가 존재하여 $f$는 전사이다.

2, 3

$x > 0$이고 $y > 0$이므로 1번으로 $0< \dfrac{x}{y} = \dfrac{t}{1-t} $인 $t \in (0,1)$가 존재하여

$1-t \in (0, 1)$이므로 $z = \dfrac{y}{1-t} > 0$로 두면 $x = \dfrac{t}{1-t}\cdot y = t\cdot z$이고 $y = (1-t)\cdot z$이다.

위 정리로 임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $z^\alpha > 0$이므로

$1< \alpha$이면

위 정리로 $t^1 > t^\alpha $와 $(1-t)^1 > (1- t)^\alpha $가 성립하여 $t^\alpha + (1-t)^\alpha < t + (1-t) = 1$이므로 위 정리로

$x^\alpha + y^\alpha =(t\cdot z)^\alpha + ((1-t)\cdot z)^\alpha = t^\alpha \cdot z^\alpha + (1-t)^\alpha\cdot z^\alpha  < 1\cdot z^\alpha = (t\cdot z + (1-t)\cdot z)^\alpha = (x+y)^\alpha $이고

$\alpha < 1$이면

위 정리로 $t^\alpha > t^1$과 $(1-t)^\alpha > (1- t)^1$이 성립하여 $t^\alpha + (1-t)^\alpha > t + (1-t) = 1$이므로 위 정리로

$x^\alpha + y^\alpha =(t\cdot z)^\alpha + ((1-t)\cdot z)^\alpha = t^\alpha \cdot z^\alpha + (1-t)^\alpha\cdot z^\alpha  > 1\cdot z^\alpha = (t\cdot z + (1-t)\cdot z)^\alpha = (x+y)^\alpha $이다.

 

 

 

정의2

$a > 0$이고 $a \ne 1$일때 모든 $x  \in $ $(0,\infty)$에 대해

$\log_a(x) = \dfrac{\ln x}{ \ln a}$인 $(0,\infty)$에서 $\mathbb{R}$로의 함수를 밑이 $a$인 $x$의 로그로 정의한다.

 

 

 

정리5

$a > 0$이고 $a \ne 1$일때

모든 $x  \in $ $(0,\infty)$에 대해 $a^{\log_a(x)} = x$이고

모든 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $\log_a(a^y) = y$이므로

밑이 $a$인 $x$의 로그는 모든 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $f(y) = a^y > 0$인 함수 $f :\mathbb{R} \to (0,\infty)$의 역함수이다.

증명

거듭제곱 함수 정의와 지수함수 정리로 모든 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $a^y = e^{y\cdot \ln a} > 0$가 성립하고

모든 $x \in (0,\infty)$에 대해 $a^{\log_a(x)} = e^{\log_a(x) \cdot \ln a} = e^{\frac{\ln x}{ \ln a}\cdot \ln a } = e^{\ln x} = x$이다.

또 자연로그 정리로 모든 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $\log_a(a^y) = \dfrac{\ln a^y}{\ln a } = y\cdot \dfrac{\ln a}{ \ln a} = y$이다.

 

 

 

정리6

$a > 0$이고 $a \ne 1$일때 밑이 $a$인 $x$의 로그에 대해 다음이 성립한다.

1. $\log_a(x)$는 모든 $x  \in $ $(0,\infty)$에서 미분가능하여 $\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(\log_a(x)) = \dfrac{1}{x\cdot \ln a}$이다.

2. 모든 $x,y \in (0,\infty)$에 대해 $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$이다.

3. $b > 0$이고 $b \ne 1$이면 모든 $x \in (0,\infty)$에 대해 $\log_a(x) = \dfrac{\ln b}{\ln a}\cdot \log_b(x)$이다.

4. $0< a < 1$이면 $\log_a$는 $(0,\infty)$에서 순감소하여 $\displaystyle \lim_{x \to 0+}$$\log_a(x) = \infty$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}$$\log_a(x) = -\infty$이다.

5. $a > 1$이면 $\log_a$는 $(0,\infty)$에서 순증가하여 $\displaystyle \lim_{x \to 0+}$$\log_a(x) = -\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}$$\log_a(x) = \infty$이다.

증명

1.

자연로그 정리와 미분의 선형성으로 $\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(\log_a(x)) = \dfrac{\dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(\ln x)}{\ln a}  = \dfrac{1}{x\cdot \ln a}$이다.

2.

자연로그 정리로 $\log_a(x \cdot y) = \dfrac{\ln (x\cdot y)}{ \ln a} = \dfrac{\ln x + \ln y}{ \ln a} = \log_a(x) + \log_a(y)$이다.

3.

$\log_a(x) = \dfrac{\ln x}{ \ln a} = \dfrac{\ln b}{\ln a}\cdot \dfrac{\ln x}{\ln b} = \dfrac{\ln b}{ \ln a} \cdot \log_b(x)$

4.

자연로그는 $(0,\infty)$에서 순증가하므로 $0< a < 1$이면 자연로그 정리로 $\ln a < 0 = \ln 1$이고

모든 $x \in (0,\infty)$에 대해 $\log_a(x) = \dfrac{\ln x}{\ln a}$이므로 $(0,\infty)$에서 순감소한다.

따라서 자연로그 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to 0+}\log_a(x) = \lim_{x\to 0+}\frac{\ln x}{\ln a} = \infty$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_a(x) = \lim_{x\to \infty}\frac{\ln x}{ \ln a} = -\infty$이다.

5.

자연로그는 $(0,\infty)$에서 순증가하므로 $1< a$이면 자연로그 정리로 $\ln 1 = 0 < \ln a$이고

모든 $x \in (0,\infty)$에 대해 $\log_a(x) = \dfrac{\ln x}{\ln a}$이므로 $(0,\infty)$에서 순증가한다.

따라서 자연로그 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to 0+}\log_a(x) = \lim_{x\to 0+}\frac{\ln x}{\ln a} = -\infty$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_a(x) = \lim_{x\to \infty}\frac{\ln x}{ \ln a} = \infty$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/43#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/43#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766