삼각함수(Trigonometric functions)

정리1

모든 실수 $x \in \mathbb{R}$에서 $2$번 미분가능하여 $C''(x) = -C(x) $와 $S''(x) = -S(x)$가 성립하고

$C(0) = 1 = S'(0) $과 $S(0) = 0 = C'(0)$을 만족하는 함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 존재한다.

증명

 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $C_1(x) = 1$이고 $S_1(x) = x$인 함수 $C_1 , S_1 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$은

자명하게 $\mathbb{R}$에서 연속이므로 리만 적분정리로 모든 닫힌구간에서 리만 적분가능하다.

또 부정적분 정리로 적분가능한 함수의 부정적분은 $\mathbb{R}$에서 연속이므로 $\mathbb{R}$에서 $\mathbb{R}$로의 함수열 $(C_n)_{n=1}^\infty$과 $(S_n)_{n=1}^\infty$을

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\displaystyle S_n(x) = \int_0^x C_n(t) \operatorname{d}\!t$와 $\displaystyle C_{n+1}(x) = 1 - \int_0^x S_n(t)\operatorname{d}\!t$로 정의할 수 있다.

귀납법을 사용하여 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해

$C_{n +1}(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!}-\cdots + (-1)^n \cdot \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$이고

$S_{n +1}(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!}-\cdots + (-1)^n \cdot \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$임을 보인다.

$n = 1$일때

$C_{1}(x) =  (-1)^0 \cdot \dfrac{x^{2\cdot 0}}{ (2\cdot 0)!} = 1$이고

$S_{1}(x) = (-1)^0 \cdot \dfrac{x^{2\cdot 0 + 1}}{(2\cdot 0 +1 )!} = x$이므로

도함수 정리와 기본정리 $1$형식으로

$\displaystyle C_2(x)  = 1 - \int_0^x S_1(t) \operatorname{d}\!t = 1 - \int_0^x t \operatorname{d}\!t = 1 - \frac{x^2}{2!}$이고

$\displaystyle S_2(x) = \int_0^x C_2(t) \operatorname{d}\!t = \int_0^x \left ( 1- \frac{t^2}{2!} \right ) \operatorname{d}\!t   = x - \frac{x^3}{3!}$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$C_{k +1}(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!}-\cdots + (-1)^n \cdot \dfrac{x^{2k}}{(2k)!}$이고

$S_{k +1}(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!}-\cdots + (-1)^n \cdot \dfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$이라고 가정하면

도함수 정리와 기본정리 $1$형식으로

$\begin{align*} C_{k+2}(x)  & =  1 - \int_0^x S_{k+1}(t)\operatorname{d}\!t  \\[0.5em] & = 1 - \int_0^x \left ( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}-\cdots + (-1)^n \cdot \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} \right ) \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = 1 - \left [ \frac{1}{2}\cdot t^2 - \frac{1}{4} \cdot \frac{t^4}{3!} + \frac{1}{6}\cdot \frac{t^6}{5!}-\cdots + (-1)^n \cdot \frac{1}{2k+2} \cdot \frac{x^{2k+2}}{(2k+1)!} \right ]_{t= 0}^{t= x} \\[0.5em] & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}+ \cdots + (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^{2k+2}}{(2k+2)!} \text{ 이고}  \end{align*}$

$\begin{align*} S_{k+2}(x) & = \int_0^x C_{k+2}(t) \operatorname{d}\!x \\[0.5em] & = \int_0^x \left ( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}+ \cdots + (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^{2k+2}}{(2k+2)!} \right ) \operatorname{d}\!t \\[0.5em] & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^2}{5!} - \frac{x^7}{7!}+ \cdots + (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^{2k+3}}{(2k+3)!} \text{ 이므로} \end{align*}$

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 

$C_{n +1}(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!}-\cdots + (-1)^n \cdot \dfrac{x^{2n}}{(2n)!}$이고

$S_{n +1}(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!}-\cdots + (-1)^n \cdot \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$이다.

 

임의의 실수 $A > 0$에 대해 $|x| \le A$이면 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 부등식 정리로 $|x|^k \le A^k$이고

$m>n > 2A$이면 $ \dfrac{1}{4} > \dfrac{A}{2n} > \dfrac{A}{2n+1} $이므로

$\dfrac{1}{4^{2m -2n-2}} \ge \dfrac{A^{2m -2n-2}}{(2n+1)^{2m - 2n-2}} \ge \dfrac{A^{2m - 2n-2}}{(2n +1) \cdot (2n+2)\cdot \; \cdots \; \cdot (2m-2)  } = \dfrac{A^{2m-2n-2} \cdot (2n)! }{(2m-2)!}$이고

삼각부등식과 급수 정리로

$\begin{align*} |C_m(x) - C_n| & = \left |  1 - \frac{x^2}{2!} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!} + (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}+ \cdots + (-1)^{m-1} \frac{x^{2m-2}}{(2m-2)!} - 1 + \frac{x^2}{2!}- \cdots - (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-2)!}\right | \\[0.5em] & = \left |  (-1)^{n} \frac{x^{2n}}{(2n)!}+ (-1)^{n +1 } \frac{x^{2n +2}}{(2n +2)!} + \cdots + (-1)^{m-1} \frac{x^{2m-2}}{(2m-2)!} \right | \\[0.5em] & \le \frac{|x|^{2n}}{(2n)!}+ \frac{|x|^{2n +2}}{(2n +2)!} + \cdots + \frac{|x|^{2m-2}}{(2m-2)!} \\[0.5em] & \le \frac{A^{2n}}{(2n)!}+ \frac{A^{2n +2}}{(2n +2)!} + \cdots + \frac{A^{2m-2}}{(2m-2)!} = \frac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \left ( 1+ \frac{A^{2} \cdot (2n)!}{(2n +2)!} + \cdots + \frac{A^{2m-2n-2}\cdot (2n)!}{(2m-2)!} \right ) \\[0.5em] & \le \frac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \left ( 1+ \frac{1}{4^2} + \cdots + \frac{1}{4^{2m-2n-2}} \right ) = \frac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \sum_{k= 0}^{m-n-1} \left ( \frac{1}{4} \right )^{2k} = \frac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{1 - (\frac{1}{4})^{2m-2n-1} }{1- (\frac{1}{4})^2 } \\[0.5em] & \lt \frac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{1 }{1- (\frac{1}{4})^2 } = \frac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{1 }{1- \frac{1}{16} } = \frac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{16}{15} \text{ 이다.} \end{align*}$

수열 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{A^n}{n!} \right ) = 0$이므로 부분수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{A^{2n}}{(2n)!} \right ) = 0$이 되어

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $ \dfrac{A^{2n}}{(2n)!}= \left |\dfrac{A^{2n}}{(2n)!} - 0  \right | < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon ) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$m>n > \max \{ K(\epsilon), 2A \}$일때 모든 $x \in [-A,A]$에 대해 $|C_m(x) - C_n(x)| <  \dfrac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \dfrac{16}{15} < \epsilon \cdot \dfrac{16}{15} $이므로

균등수렴 정리로 $(C_n)_{n=1}^\infty$이 $[-A,A]$에서 균등수렴하는 함수 $C : [-A,A] \to \mathbb{R}$가 존재한다.

또 $m>n > \max \{ K(\epsilon), 2A \}$일때 모든 $x \in [-A,A]$에 대해 절댓값 적분 정리로

$\displaystyle \left | S_m(x) - S_n(x) \right | = \left | \int _0^x C_m(t)  - C_n(t) \operatorname{d}\!t \right | \le \frac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{16}{15} \cdot |x - 0| \le \frac{A^{2n}}{(2n)!} \cdot \frac{16}{15} \cdot A < \epsilon \cdot \frac{16A}{15}$이므로

균등수렴 정리로 $(S_n)_{n=1}^\infty$이 $[-A,A]$에서 균등수렴하는 함수 $S : [-A,A] \to \mathbb{R}$가 존재한다.

$\displaystyle S_n(x) = \int_0^x C_n(t) \operatorname{d}\!t$이고 $\displaystyle C_{n+1}(x) = 1 - \int_0^x S_n(t)\operatorname{d}\!t$이므로

기본정리 $2$형식으로 $S_n'(x) = C_n(x)$이고 $C_{n+1}'(x) = -S_n(x)$가 되어

$|S_m'(x) - S_n'(x)| = |C_m(x) - C_n(x)| < \epsilon \cdot \dfrac{16}{15} $와

$| C_{m+1}'(x) - C_{n+1}'(x)| = |-S_m(x) + S_n(x)| < \epsilon \cdot \dfrac{16A}{15}$가 성립하고 도함수열 균등수렴 정리로

도함수열 $(S_n')_{n=1}^\infty$과 $(C_n')_{n=1}^\infty$은 $[-A,A]$에서 각각 도함수 $S',C' : [-A,A] \to \mathbb{R}$로 균등수렴한다.

따라서 모든 $x \in [-A,A]$에 대해 

$C'(x) = \displaystyle \lim_{n\to \infty} (C_{n+1}'(x)) = \lim_{n \to \infty} (-S_n(x)) = -S(x) $와

$S'(x) = \displaystyle \lim_{n\to \infty} (S_n'(x)) = \lim_{n \to \infty} (C_n(x)) = C(x)$가 성립하고

$A> 0$가 임의이므로 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $C'(x) = -S(x)$이고 $S'(x) = C(x)$이다.

다시 미분하면 $C''(x) = -S'(x) = -C(x)$와 $S''(x) = C'(x) = -S(x)$가 성립하고

$S'(0) = C(0) =  \displaystyle \lim_{n\to \infty} (C_{n+1}(0)) =  \lim_{n \to \infty} \left ( 1 - \frac{0^2}{2!} + \frac{0^4}{4!}-\cdots + (-1)^n \cdot \frac{0^{2n}}{(2n)!} \right )= 1 $과

$ C'(0)=S(0) = \displaystyle \lim_{n\to \infty} (S_{n+1}(0)) = \lim_{n \to \infty} \left ( 0 - \frac{0^3}{3!} + \frac{0^5}{5!}-\cdots + (-1)^n \cdot \frac{0^{2n+1}}{(2n+1)!} \right ) = 0$이 성립한다.

 

 

 

정리2

위 정리와 같이 정의되는 함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $C,S$는 모든 $x \in \mathbb{R}$에서 $n$번 미분가능하여

$C^{(n)}(x) = -S^{(n-1)}(x)$이고 $S^{(n)}(x) = C^{(n-1)}(x)$이다.

2. 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 피타고라스(Pythagoras) 항등식 $(C(x))^2 + (S(x))^2 = 1$이 성립한다.

증명

1.

$n \in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 1$일때 위 정리로 성립하고

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$와 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $C^{(k)}(x) = -S^{(k-1)}(x)$이고 $S^{(k)}(x) = C^{(k-1)}(x)$이면

$C^{(k+1)}(x) = (C^{(k)})'(x) = -(S^{(k-1)})'(x) = - S^{(k)}(x)$이고

$S^{(k+1)}(x) = (S^{(k)})'(x) = (C^{(k-1)})'(x) = C^{(k)}(x)$이므로

모든 자연수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $C^{(n)}(x) = -S^{(n-1)}(x)$이고 $S^{(n)}(x) = C^{(n-1)}(x)$이다.

2.

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $f(x) = (C(x))^2 + (S(x))^2$인 함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 정의하면

미분 법칙과 1번으로

$\begin{align*} f'(x) & = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(C(x)\cdot C(x)) + \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(S(x)\cdot S(x)) \\[0.5em] & = 2\cdot C'(x)\cdot C(x) + 2\cdot S'(x)\cdot S(x)  \\[0.5em] & = -2\cdot S(x)\cdot C(x) + 2\cdot C(x)\cdot S(x) = 0 \text{ 이므로} \end{align*}$

상수함수 미분 정리로 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $f(x) = k $인 상수 $k \in \mathbb{R}$이 존재하고

위 정리로 $f(0) = (C(0))^2 + (S(0))^2 = 1^2 + 0^2 = 1 =  k$이므로 

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $f(x) = (C(x))^2 + (S(x))^2 = 1$이다.

 

 

 

정리3

위 정리와 같이 정의되는 함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 유일하다.

증명

위 정리와 같이 정의되는 함수 $C_1,C_2,S_1,S_2 : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 존재할때

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $F(x) = C_1(x) - C_2(x)$인 함수 $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$는

미분의 선형성으로 $F''(x) = C_1''(x) - C_2''(x) = -C_1(x) + C_2(x) = -F(x)$이고

$F'(x) = C_1'(x) - C_2'(x) = -S_1(x) + S_2(x)$이므로

$F(0) = C_1(0) - C_2(0) = 1-1 =0 = -0 + 0 = -S_1(0) + S_2(0) = C_1'(0) - C_2'(0) = F'(0)$이 되어

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $F^{(n)}(0) = F(0) = 0$이다.

끝점이 $x\ne 0$인 $x\in \mathbb{R}$와 $0$인 닫힌구간 $I_x$에 대해 테일러 정리를 적용하면

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\begin{align*} F(x) & = F(0) + \frac{F'(0)}{1!}\cdot (x-0) +\cdots \frac{F^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}(x-0)^{n-1} + \frac{F^{(n)}(c_n)}{n!}(x-0)^n \\[0.5em] & = \frac{F^{(n)}(c_n)}{n!}x^n  \text{ 인} \end{align*}$

$c_n \in I_x$이 존재한다.

$F^{(n)}$이 $I_x$에서 미분가능하므로 미분연속성으로 $I_x$에서 연속이고

유계성 정리로 모든 $t \in I_x$에 대해 $|F^{(n)}(t)| \le M_x$인 $M_x > 0$가 존재하여

$|F(x)| =\dfrac{|F^{(n)}(c_n)| \cdot |x|^n}{n!} \le \dfrac{M_x\cdot |x|^n}{n!}$이다.

따라서 수열 극한의 선형성과 수열 수렴 정리로 모든 $x \in \mathbb{R} \setminus \{ 0\}$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (\frac{M_x\cdot |x|^n}{n!} \right ) = 0$이므로

$F(x) = C_1(x) - C_2(x) = 0 $이고 $C_1(x) = C_2(x)$와 $C_1(0) =1 = C_1(0)$이 성립하여

$C_1= C_2$이므로 위 정리와 같이 정의되는 함수 $C$는 유일하다.

일반성을 잃지 않고 $S_1(x) = S_2(x)$이므로 위 정리와 같이 정의되는 함수 $S$도 유일하다.

 

 

 

정의1

위 정리와 같이 정의되는 함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 존재하고 유일성 정리로 유일하므로

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해

$C(x) = \cos x$인 함수 $C = \cos : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 코사인(cosine) 함수로 정의하고

$S(x) = \sin x$인 함수 $S = \sin : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 사인(sine) 함수로 정의한다.

$I = \{ x \in \mathbb{R}: \cos x \ne 0\}$일때 모든 $x \in I$에 대해

$T(x) = \tan x = \dfrac{\sin x}{ \cos x} = \dfrac{S(x)}{C(x)}$인 함수 $T = \tan : I \to \mathbb{R}$를 탄젠트(tangent) 함수로 정의한다.

코사인, 사인, 탄젠트를 모두 삼각함수로 정의한다.

 

 

 

정리4

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $f''(x) = -f(x)$인 함수 $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 어떤 $\alpha , \beta \in \mathbb{R}$가 존재하여

삼각함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$와 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $f(x) = \alpha \cdot C(x) + \beta\cdot S(x)$가 성립한다.

증명

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $g(x) = f(0)\cdot C(x) + f'(0)\cdot S(x)$인 함수 $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 정의하면

위 정리와 미분의 선형성으로

$g'(x) = -f(0)\cdot S(x) + f'(0)\cdot C(x)$와 $g''(x) = -f(0)\cdot C(x) - f'(0)\cdot S(x) = - g(x)$가 성립하고

$g(0) = f(0)\cdot C(0) + f'(0)\cdot S(0) = f(0)$이고 $g'(0) = -f(0)\cdot S(0) + f'(0)\cdot C(0) = f'(0)$이다.

따라서 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $h(x) = f(x) - g(x)$인 함수 $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 정의하면

$h(0) = f(0) - g(0) = f(0) - f(0) = 0$와 $h'(0) = f'(0) - g'(0) = f'(0) - f'(0) = 0$이 성립하고

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $h''(x) = f''(x) - g''(x) = -f(x) + g(x)  = -h(x)$이므로

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $h^{(n)}(0) = h(0) = 0$이다.

끝점이 $x\ne 0$인 $x\in \mathbb{R}$와 $0$인 닫힌구간 $I_x$에 대해 테일러 정리를 적용하면

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$\begin{align*} h(x) & = h(0) + \frac{h'(0)}{1!}\cdot (x-0) +\cdots \frac{h^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}(x-0)^{n-1} + \frac{h^{(n)}(c_n)}{n!}(x-0)^n \\[0.5em] & = \frac{h^{(n)}(c_n)}{n!}x^n  \text{ 인} \end{align*}$

$c_n \in I_x$이 존재한다.

$h^{(n)}$이 $I_x$에서 미분가능하므로 미분연속성으로 $I_x$에서 연속이고

유계성 정리로 모든 $t \in I_x$에 대해 $|h^{(n)}(t)| \le M_x$인 $M_x > 0$가 존재하여

$|h(x)| =\dfrac{|h^{(n)}(c_n)| \cdot |x|^n}{n!} \le \dfrac{M_x\cdot |x|^n}{n!}$이다.

따라서 수열 극한의 선형성과 수열 수렴 정리로 모든 $x \in \mathbb{R}\setminus \{0\}$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left (\frac{M_x\cdot |x|^n}{n!} \right ) = 0$이므로

$f(x) - g(x) = h(x) = 0$이고 $f(x) = g(x) = f(0)\cdot C(x) + f'(0)\cdot S(x)$와

$f(0) = f(0)\cdot 1 + f'(0)\cdot 0  = f(0)\cdot C(0) + f'(0)\cdot S(0) $이 성립한다.

 

 

 

정리5

삼각함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $C$는 짝함수이고 $S$는 홀함수이다.

2. 모든 $x,y \in \mathbb{R}$에 대해 덧셈공식

$C(x+y) = C(x)\cdot C(y) - S(x)\cdot S(y)$와 $S(x+y) = S(x)\cdot C(y) + C(x)\cdot S(y)$가 성립한다.

3. $x\ge 0$인 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 

$-x \le S(x) \le x$이고

$1 - \dfrac{1}{2}x^2 \le C(x) \le 1$이고

$x - \dfrac{1}{6}x^3 \le S(x) \le x$이고

$1 - \dfrac{1}{2}x^2 \le C(x) \le 1 -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{24}x^4$이다.

증명

1.

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $\varphi(x) = C(-x)$인 함수 $\varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 정의하면

$\varphi(0) = C(-0) = 1$이고 연쇄법칙으로 $\varphi'(x) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(C(-x)) = -C'(-x) = S(-x)$이므로

$\varphi'(0) = S(-0) = 0$이고 연쇄법칙으로 $\varphi''(x) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(S(-x)) = -S'(-x) = -C(-x) = -\varphi(x)$이므로

유일성 정리로 $C(x) = \varphi(x) = C(-x)$이다.

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $\phi(x) = -S(-x)$인 함수 $\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 정의하면

$\phi(0) = -S(-0) = 0$이고 연쇄법칙으로 $\phi'(x) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(-S(-x)) = S'(-x) = C(-x)$이므로

$\phi'(0) = C(-0) = 1$이고 연쇄법칙으로 $\phi''(x) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}(C(-x)) = -C'(-x) = S(-x) = -\phi(x)$이므로

유일성 정리로 $S(x) = \phi(x) = -S(-x)$이다.

2.

$y \in \mathbb{R}$를 고정하고 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $f(x) = C(x +y)$인 함수 $f :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 정의하면

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $f''(x) = C''(x+y) = -C(x+y) = -f(x)$이므로

위 정리로 $f(x) =C(x+y) = \alpha \cdot C(x) + \beta \cdot S(x)$를 만족하는 $\alpha , \beta \in \mathbb{R}$가 존재한다.

$f(0) = C(y) = \alpha\cdot C(0) + \beta\cdot S(0) = \alpha$이고

$f'(0) = C'(0 + y) = -S(y) = - \alpha \cdot S(0) + \beta \cdot C(0) = \beta$이므로

$f(x) =C(x+y) = C(y) \cdot C(x) - S(y) \cdot S(x)$이다.

$y \in \mathbb{R}$를 고정하고 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $g(x) = S(x +y)$인 함수 $g :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 정의하면

모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $g''(x) = S''(x+y) = -S(x+y) = -g(x)$이므로

위 정리로 $g(x) =S(x+y) = \alpha \cdot C(x) + \beta \cdot S(x)$를 만족하는 $\alpha , \beta \in \mathbb{R}$가 존재한다.

$g(0) = S(y) = \alpha\cdot C(0) + \beta\cdot S(0) = \alpha$이고

$g'(0) = S'(0 + y) = C(y) = - \alpha \cdot S(0) + \beta \cdot C(0) = \beta$이므로

$g(x) = S(x+y) = S(y) \cdot C(x) + C(y) \cdot S(x)$이다.

3.

$S,C$는 $\mathbb{R}$에서 연속이므로 리만 적분정리로 모든 닫힌구간에서 리만 적분가능하다.

모든 $x > 0$에 대해

피타고라스 항등식으로 $|C(x)| = \sqrt{1- (S(x))^2} \le 1 $이고 $|S(x)| = \sqrt{1- (C(x))^2} \le 1 $이므로

적분 정리와 상수함수 적분정리로 $\displaystyle -\int_0^x 1 \operatorname{d}\!t = -x \le \int_0^x C(t) \operatorname{d}\!t \le x = \int_0^x 1\operatorname{d}\!t $이고 

기본정리 $1$형식으로 $\displaystyle -x \le \int_0^x C(t) \operatorname{d}\!t = S(x) - S(0) = S(x) \le x $이다.

다시 적분하면 

$\displaystyle - \int_0^x t \operatorname{d}\!t = -\frac{1}{2}x^2 \le \int_0^x S(t) \operatorname{d}\!t = -C(x) + C(0) = 1 - C(x)  \le \frac{1}{2}x^2 = \int_0^x t \operatorname{d}\!t $이고

$1-\dfrac{1}{2}x^2 \le C(x) \le 1 \le 1+\dfrac{1}{2}x^2$이다.

계속하여

$\displaystyle \int_0^x \left ( 1-\frac{1}{2}x^2 \right ) \operatorname{d}\!t = x - \frac{1}{6}x^3 \le \int_0^x C(t) \operatorname{d}\!t = S(x) \le x = \int_0^x 1 \operatorname{d}\!t $이고

$\displaystyle \int_0^x \left ( t - \frac{1}{6}t^3 \right ) \operatorname{d}\!t = \frac{1}{2}x^2 - \dfrac{1}{24}x^4 \le \int_0^x S(t) \operatorname{d}\!t = 1 - C(x) \le \frac{1}{2}x^2 = \int_0^x t \operatorname{d}\!t $이므로

$1 - \dfrac{1}{2}x^2 \le C(x) \le 1 -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{24}x^4$이다.

 

 

 

정리6

삼각함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해 

$C (\frac{\pi}{2}) = 0$이 되는 $\dfrac{\pi}{2} = $ $\min$$ \{ x \in (0,\infty) : C(x) = 0 \} $가 존재하여

모든 $x \in [ 0, \frac{\pi}{2} )$에 대해 $C(x) > 0$이고 $\dfrac{\pi}{2} \in $ $[\sqrt{2},\sqrt{6 -2\sqrt{3}}]$이다.

또 $\pi = \min \{ x \in (0,\infty) : S(x) = 0 \} $가 성립하여 $S(\pi) = 0$이다.

증명

위 정리로 $x \ge 0$일때 $1 - \dfrac{1}{2}x^2 \le C(x) \le 1 -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{24}x^4$이므로

$1 - \dfrac{1}{2}x^2 = 0$이 되는 $x = \sqrt{2} > 0$에 대해

$1 - \dfrac{1}{2}(\sqrt{2})^2 = 0 \le C(\sqrt{2}) \le \dfrac{1}{6} = 1 -\dfrac{1}{2}(\sqrt{2})^2 + \dfrac{1}{24}(\sqrt{2})^4  $이고

$ 1 -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{24}x^4 = 0$이 되는 $x = \sqrt{6 - 2\sqrt{3}} > 0$에 대해

$1 - \dfrac{1}{2}(\sqrt{6 - 2\sqrt{3}})^2 = \sqrt{3} -2  \le C(\sqrt{6 - 2\sqrt{3}}) \le 0= 1 -\dfrac{1}{2}(\sqrt{6 - 2\sqrt{3}})^2 + \dfrac{1}{24}(\sqrt{6 - 2\sqrt{3}})^4$이므로

$\sqrt{3} -2  \le C(\sqrt{6 - 2\sqrt{3}}) \le 0 \le C(\sqrt{2}) \le \dfrac{1}{6}$이 되어

근 위치 정리로 $\{ x \in [\sqrt{2},\sqrt{6-2\sqrt{3}}] : C(x) = 0 \} \subseteq \{ x\in (0,\infty): C(x) = 0\}$은 공집합이 아니고

완비성으로 $\gamma =$ $\inf$$ \{ x \in (0,\infty) : C(x) = 0 \}$가 존재한다.

모든 $a \in [0,\sqrt{2})$는 $0\le a^2 < 2$이므로 $0 = 1 - \dfrac{1}{2}\cdot 2 < 1-\dfrac{1}{2}a^2 \le C(a)$가 되어

모든 $x \in \{ x\in (0,\infty): C(x) = 0\}$에 대해 $\sqrt{2}\le x$이고 하한의 정의로 $0< \sqrt{2} \le \gamma \le x$이다.

$C(a)\le 0$인 $a \in [0,\gamma)$가 존재한다고 가정하면

$C(a) = 0$일때는 $0 \le a < \gamma$이므로 하한의 정의에 모순이고

$C(a) < 0$일때는 위 정리로 $C(a) < 0 < 1 = C(0)$이므로 근 위치 정리로 $C(b) = 0$인 $b \in (0, a)$가 존재하여

$0 < b < a < \gamma$로 하한의 정의에 모순이므로 모든 $a \in [0,\gamma)$에 대해 $C(a) > 0$이다.

$C(\gamma) < 0 $이라고 가정하면

$C(\gamma) < 0 < 1 = C(0)$이므로 근 위치 정리로 $C(a) = 0$인 $a \in (0,\gamma)$가 존재하여 하한의 정의에 모순이고

$C(\gamma) > 0 $이라고 가정하면

모든 $a \in [0,\gamma]$에 대해 위 정리로 $S'(a) = C(a) > 0$이므로 단조함수 정리로 $S$는 $[0,\gamma]$에서 순증가하고

모든 $a \in (0,\gamma]$에 대해 $C'(a) = -S(a) < 0 = -S(0)$이므로 $C$는 $[0,\gamma]$에서 순감소하여

모든 $x \in \{ x \in (0,\infty) : C(x) = 0 \}$는 $C(0) > C(a) \ge C(\gamma) > 0 = C(x) $이고 $\gamma < x$인데

위 정리로 $C$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하여 미분연속성으로 $\mathbb{R}$에서 연속이므로 연속함수 정리와 함수의 극한정리로

$\gamma < y < \gamma + 2\delta$인 모든 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $C(y) > 0 $인 $\delta > 0$가 존재하여

$ x\le \gamma +\delta $이면 $\gamma < x\le \gamma +\delta < \gamma + 2\delta$이므로 $0=C(x) > 0$이 되어 모순이므로 $\gamma < \gamma + \delta < x$이고

$\gamma + \delta$는 $\{ x \in (0,\infty) : C(x) = 0 \}$의 하계가 되어 $\gamma$가 하한임에 모순이므로

$C(\gamma) = 0$이고 $\gamma \in \{ x \in [\sqrt{2},\sqrt{6-2\sqrt{3}}] : C(x) = 0 \} \subseteq \{ x\in (0,\infty): C(x) = 0\}$이 되어

최소원소 정리로 $\gamma = \min \{ x \in (0, \infty) : C(x) = 0 \}$이고 $\gamma \in  [\sqrt{2},\sqrt{6-2\sqrt{3}}] $이다.

또 덧셈공식으로 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $S(2x) =S(x+x) = 2\cdot S(x )\cdot C(x)$이므로

$S(2\gamma) = 0 = 2\cdot S(\gamma)\cdot C(\gamma)$가 되어 $ 2\gamma \in \{ x \in (0,\infty) : S(x) = 0 \} $이고

위 정리로 $S'(0) = C(0) = 1 > 0$이므로 미분 정리로 모든 $x \in (0,\delta)$에 대해 $0=S(0) < S(x)$인 $\delta > 0$가 존재하여

하한의 정의로 모든 $ x \in \{ x \in (0,\infty) : S(x) = 0 \} $는 $0< \delta \le \inf \{ x\in (0,\infty) : S(x) = 0\}\le x$이다.

따라서 $0< 2\beta =\inf \{ x \in (0,\infty) : S(x) = 0 \} < 2\gamma$인 $\beta \in (0,\infty)$가 존재한다고 가정하면

$0 = S(2\beta) = 2\cdot S(\beta) \cdot C(\beta)$이고 $0< \beta < \gamma$이므로

$C(\beta) > 0$가 되어 $S(\beta) = 0$이고 $0< \beta < 2\beta$이므로 하한의 정의에 모순이 되어

$2\gamma =\inf \{ x \in (0,\infty) : S(x) = 0 \}$이고 최소원소 정리로 $2\gamma = \min \{ x \in (0,\infty) : S(x) = 0 \} $이다.

 

 

 

정리7

삼각함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$와 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $C(x + 2\pi) = C(x)$이고 $S(x + 2\pi) = S(x)$이다.

2. $S(x) = C(\frac{\pi}{2} - x) = -C(x + \frac{\pi}{2})$이고 $C(x) = S(\frac{\pi}{2} - x) = S(x + \frac{\pi}{2})$이다.

3. 모든 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $C(x) = (-1)^n\cdot C(x + n \pi)$이고 $S(x) = (-1)^n\cdot S(x + n\pi)$이다.

4. 모든 $t \in (0,\pi)$에 대해 $S(t) > 0$이다.

5. $S(x) = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\dfrac{x}{\pi} \in $ $\mathbb{Z}$인 것이다.

6. $C(x) = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\dfrac{x}{\pi} + \dfrac{1}{2} \in \mathbb{Z}$인 것이다.

증명

1.

덧셈공식으로 $S(2x) =S(x+x) = 2\cdot S(x )\cdot C(x)$이므로

위 정리로 $S(\pi) = 0$이고 $S(2\pi) = 0= 2\cdot S(\pi)\cdot C(\pi)$이다.

또 피타고라스 항등식으로 $1 = (S(2\pi))^2 + (C(2\pi))^2 = (C(2\pi))^2 $이고

덧셈공식으로 $C(2x) = C(x+x) = (C(x))^2 - (S(x))^2$이므로

$C(2\pi) = (C(\pi))^2 - (S(\pi))^2 =(C(\pi))^2  > 0$이 되어 $C(2\pi) = 1$이다.

따라서 덧셈공식으로

$C(x+2\pi) = C(x)\cdot C(2\pi) - S(x)\cdot S(2\pi) = C(x)$이고

$S(x+2\pi) = S(x)\cdot C(2\pi) + C(x)\cdot S(2\pi) = S(x)$이다.

2.

위 정리로 $C(\frac{\pi}{2}) = 0$이고 

피타고라스 항등식으로 $1 = (S(\frac{\pi}{2}) )^2+ (C(\frac{\pi}{2}))^2 = (S(\frac{\pi}{2}))^2 $이다.

또 위 정리로 모든 $x \in [ 0, \frac{\pi}{2} )$에 대해 $S'(x) = C(x) > 0$이므로

단조함수 미분 정리로 $S$는 $[ 0, \frac{\pi}{2} )$에서 순증가하고 $ S(\frac{\pi}{4}) > S(0) = 0$이 되어

$S(\frac{\pi}{2}) = 2\cdot S(\frac{\pi}{4})\cdot C(\frac{\pi}{4}) > 0$이고 $S(\frac{\pi}{2}) = 1$이다.

따라서 위 정리로

$C(\frac{\pi}{2}- x) = C(\frac{\pi}{2})\cdot C(-x) - S(\frac{\pi}{2})\cdot S(-x) = -S(-x) = S(x)$와

$S(\frac{\pi}{2}-x) = S(\frac{\pi}{2})\cdot C(-x) + C(\frac{\pi}{2})\cdot S(-x) = C(-x) = C(x)$가 성립하고

$C(x+\frac{\pi}{2}) = C(x)\cdot C(\frac{\pi}{2}) - S(x)\cdot S(\frac{\pi}{2}) = -S(x)$와

$S(x+\frac{\pi}{2}) = S(x)\cdot C(\frac{\pi}{2}) + C(x)\cdot S(\frac{\pi}{2}) = C(x)$가 성립한다.

3.

모든 $t \in \mathbb{R}$에 대해 2번과 위 정리로

$C(t - \frac{\pi}{2}) =C(-(\frac{\pi}{2} -t)) = C(\frac{\pi}{2} - t) = -C(t + \frac{\pi}{2})$이므로 $C(t) = -C(t + \pi)$이고

$-S(t - \frac{\pi}{2}) = -S(-(\frac{\pi}{2} - t))= S(\frac{\pi}{2} - t) = S(t + \frac{\pi}{2})$이므로 $S(t) = -S(t + \pi)$이다.

$n\ge 0$이면 $n \in \mathbb{N}$이므로 $n$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 0$일때는 $C(x) = (-1)^0\cdot C(x + 0 \pi)$이고 $S(x) = (-1)^0\cdot S(x + 0\pi)$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $C(x) = (-1)^k\cdot C(x + k \pi)$이고 $S(x) = (-1)^k\cdot S(x + k\pi)$이면

$C(x) = (-1)^k\cdot C(x + k \pi) = (-1)^{k} \cdot (-C(x + k\pi + \pi)) = (-1)^{k+1}\cdot C(x + (k+1)\pi)$이고

$S(x) = (-1)^k\cdot S(x + k\pi) = (-1)^k \cdot (-S(x + k\pi + \pi)) = (-1)^{k+1} \cdot S(x + (k+1)\pi)$가 되어

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다.

$n < 0$이면 $-n \in \mathbb{N}$이므로 위 정리로

$C(x) = C(-x)  = (-1)^{-n}\cdot C(-x - n \pi) = \dfrac{1}{(-1)^n}\cdot C(-(-x -n\pi)) = (-1)^n \cdot C(x + n\pi)$이고

$\begin{align*}S(x) & = -S(-x) \\[0.5em] & = (-1)\cdot (-1)^{-n}\cdot S(-x - n \pi) \\[0.5em] & = \frac{1}{(-1)^n}\cdot (-1)\cdot (-S(-(-x -n\pi))) \\[0.5em] & = (-1)^n\cdot (-1)^2 \cdot S(x + n\pi) \\[0.5em] & = (-1)^n\cdot S(x+n\pi) \text{ 이다.}\end{align*}$

4.

위 정리로 모든 $t \in [ 0, \frac{\pi}{2})$에 대해 $C(t) > 0$이므로

위 정리와 2번으로 모든 $t \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에 대해 $S(t + \frac{\pi}{2}) = C(t) > 0$가 되어 모든 $t \in (0,\pi)$에 대해 $S(t) > 0$이다.

5.

$S(x) = 0$일때

아르키메데스 성질로 $m\le \dfrac{x}{\pi} < m +1$인 $m \in \mathbb{Z}$이 존재하고 위 정리로 $\pi > 0$이므로  

$m\pi \le x < (m+1)\pi$이고 $0\le x - m\pi < \pi$인데 $0< x - m\pi < \pi$이라고 가정하면

3, 4번으로 $0=(-1)^{m}\cdot S(x) = S(x - m\pi) > 0$이므로 모순이 되어 $x - m\pi = 0$이고 $\dfrac{x}{\pi} = m \in \mathbb{Z}$이다.

역으로 $\dfrac{x}{\pi} = m \in \mathbb{Z}$일때

$m \ge 0$이면 $m \in \mathbb{N}$이므로 $m$에 대한 귀납법을 사용한다.

$m = 0$이면 $x = 0$이므로 위 정리로 $S(0) = 0$이다.

모든 $\dfrac{x}{\pi} = k \in \mathbb{N}$에 대해 $S(x) = 0$이라고 가정할때 $\dfrac{t}{\pi} = k+1$이면 $t - \pi = k\pi$이고 $\dfrac{t -\pi}{\pi} = k$이므로

3번과 귀납가정으로 $S(t) = -S(t - \pi) = 0$이 되어 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $\dfrac{x}{\pi} = m$이면 $S(x) = 0$이다.

$m < 0$이면 $\dfrac{-x}{\pi} =-m \in \mathbb{N}$이므로 위 정리로 $S(x) = -S(-x) = 0$이다.

6.

2, 5번으로 $C(x) =S(x +\frac{\pi}{2}) = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\dfrac{x}{\pi} + \dfrac{1}{2} =\dfrac{x +\frac{\pi}{2}}{\pi} \in \mathbb{Z}$인 것이다.

 

 

 

정리8

삼각함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $t \in [0,\pi]$에 대해 $C(t) = c(t)$인 함수 $c :[0,\pi] \to [-1,1]$는 전단사이고 $[0,\pi]$에서 순감소한다.

2. 모든 $t \in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$에 대해 $S(t) = s(t)$인 함수 $s : [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \to [-1,1]$는 전단사이고 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$에서 순증가한다.

3. $x^2 + y^2 = 1$인 모든 $x,y \in \mathbb{R}$에 대해 $x = S(\theta)$이고 $y = C(\theta)$인 $\theta \in (-\pi,\pi]$가 유일하게 존재한다.

증명

1.

모든 $t \in [0,\pi]$에 대해 피타고라스 항등식으로 $(S(t))^2 + (C(t))^2 = 1$이므로 $(C(t))^2 = 1 - (S(t))^2$이고

절댓값 정리로 $|c(t)|=|C(t)| = \sqrt{(C(t))^2} = \sqrt{1- (S(t))^2}$가 되어 $c(t) \in [-1,1]$이고

위 정리와 위 정리로 $t \in ( 0,\pi )$일때 $C'(t) = -S(t) < 0$이므로 단조함수 정리로 $c$는 $(0,\pi)$에서 순감소한다.

위 정리와 위 정리로 $ c(0) = 1 > -1 = c(\pi)$이고 $S(t) = 0$이기 위한 필요충분조건은 $\dfrac{t}{\pi} \in \{ 0, 1\}$인 것이므로

피타고라스 항등식으로 모든 $t \in ( 0,\pi )$에 대해 $c(0)=1> c(t) > -1 = c(\pi)$가 되어 $c$는 $[0,\pi]$에서 순감소한다.

따라서 $c$는 단사이고 위 정리로 $C$는 $[0,\pi]$에서 미분가능하므로 미분연속성으로 $[0,\pi]$에서 연속이 되어

연속함수 정리로 $c([0,\pi]) =C([0,\pi]) = [\min C([0,\pi]), \max C([0,\pi])] = [-1,1]$이고 함수 정리로 $c$는 전사이다.

2.

피타고라스 항등식으로 $(S(t))^2 + (C(t))^2 = 1$이므로 $(S(t))^2 = 1 - (C(t))^2$이고

절댓값 정리로 $|s(t)|=|S(t)| = \sqrt{(S(t))^2} = \sqrt{1- (C(t))^2}$가 되어 $s(t) \in [-1,1]$이고

위 정리로 $s(t) = S(t) = -C(t + \frac{\pi}{2}) = -c(t + \frac{\pi}{2})$이므로 1번으로 $s$는 $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$에서 순증가하고 전단사이다.

3.

$x^2 + y^2 = 1$인 모든 $x,y \in \mathbb{R}$는 $y^2 = 1 -x^2$이고 절댓값 정리로 $|y| = \sqrt{y^2} = \sqrt{1- x^2}$이다.

$x = 0$이면 $y \in \{ -1,1\}$이고

위 정리로 $x = 0 = S(\theta)$이기 위한 필요충분조건은 $\dfrac{\theta}{\pi} \in \mathbb{Z}$인 것이므로

$\dfrac{\theta}{\pi} \in \{ 0,1\}$이면 $\theta \in \{  0,\pi \} \subseteq (-\pi,\pi]$이고 위 정리와 위 정리로 $y = C(\theta) \in \{ 1,-1\}$이다.

$x \in (0, 1]$이면 $y \in \{  -\sqrt{1-x^2} , \sqrt{1 - x^2}\}$이고

2번과 위 정리로 $x = S(\theta_1)$인 $\theta_1 \in (0,\frac{\pi}{2}]$과

$-x = S(\theta_2 -\pi) = -S(\theta_2)$인 $\theta_2 -\pi \in [-\frac{\pi}{2}, 0)$가 유일하게 존재하여 $x = S(\theta_2)$이고 $\theta_2 \in [\frac{\pi}{2}, \pi)$이다.

또 $C(0) = 1$과 $C(\frac{\pi}{2}) = 0$이 성립하므로 1번으로 $C((0,\frac{\pi}{2}]) = [0,1)$이고

위 정리로 $-1 = -C(0) = C(\pi)$이므로 $C([\frac{\pi}{2},\pi)) = (-1, 0]$이 되어

피타고라스 항등식으로 $\sqrt{1 - (S(\theta_1))^2} = y = C(\theta_1)$이거나 $-\sqrt{1 - (S(\theta_2))^2} = y = C(\theta_2)$이다.

$x \in [-1, 0)$이면

$-x \in (0,1]$이므로 $-x = S(\theta)$이고 $y = C(\theta)$인 $\theta \in (0,\pi)$가 유일하게 존재하여

위 정리로 $-x = S(\theta) = -S(-\theta)$이고 $y = C(\theta) = C(-\theta)$인 $-\theta \in (-\pi, 0)$가 유일하게 존재한다.

 

 

 

정리9

삼각함수 $C,S :\mathbb{R} \to \mathbb{R}$와 $I = \{ x \in \mathbb{R}: C(x) \ne 0\}$인 탄젠트 함수 $T : I \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $I = $ $\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}$$(-\frac{\pi}{2}+n\pi , \frac{\pi}{2} + n\pi)$

2. 모든 $n \in \mathbb{Z}$과 모든 $x \in I$에 대해 $T(x) = T(x + n\pi)$이다.

3. $T$는 $I$에서 미분가능하고 모든 $x \in I$에 대해 $T'(x) = 1 + (T(x))^2$이다.

4. $T$는 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에서 순증가하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}+} T(x) = -\infty$와 $\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-} T(x) = \infty$가 성립한다.

5. 모든 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에 대해 $T(x) = t(x)$인 함수 $t : (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\to \mathbb{R}$는 전단사이다.

6. 5번의 함수 $t$의 역함수 $t^{-1} : \mathbb{R} \to (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$는 $\mathbb{R}$에서 미분가능하고 모든 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $(t^{-1})'(y) = \dfrac{1}{1+y^2}$이다.

증명

1.

임의의 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 열린구간 $(-\frac{\pi}{2}+n\pi, \frac{\pi}{2} + n\pi)$의 길이는 $\dfrac{\pi}{2} + n\pi - \left ( -\dfrac{\pi}{2} + n\pi\right ) = \pi$이므로

모든 $x \in \mathbb{R} \setminus  \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}$$(-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2} + n\pi) $는 $x = -\dfrac{\pi}{2} + n\pi$인 $n \in \mathbb{Z}$이 존재하여

$\dfrac{x}{\pi} = -\dfrac{1}{2} + n$이고 $\dfrac{x}{\pi} + \dfrac{1}{2} = n \in \mathbb{Z}$이므로 위 정리로 $C(x) = 0$이 되어

$x \in \mathbb{R}\setminus I$이고 $\mathbb{R} \setminus  \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}$$(-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2} + n\pi)  \subseteq \mathbb{R} \setminus I$이다.

또 비슷하게 $\mathbb{R} \setminus I \subseteq\mathbb{R} \setminus  \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}$$(-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2} + n\pi) $이므로 집합의 상등으로

$\mathbb{R} \setminus  \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}$$(-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2} + n\pi)  = \mathbb{R} \setminus I$가 되어 집합 정리로 $ \displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{Z}}$$(-\frac{\pi}{2}+n\pi,\frac{\pi}{2} + n\pi)  = I$이다.

2.

1번으로 모든 $x \in I$는 $x \in (-\frac{\pi}{2}+m\pi,\frac{\pi}{2}+m\pi)$인 $m \in \mathbb{Z}$이 존재하여

모든 $n \in \mathbb{Z}$에 대해 $x + n\pi \in (-\frac{\pi}{2} + (m +n)\pi , \frac{\pi}{2} + (m+n)\pi) \subseteq I$이고

탄젠트 함수의 정의와 위 정리로 $T(x) = \dfrac{S(x)}{C(x)} = \dfrac{(-1)^n\cdot S(x + n\pi)}{(-1)^n\cdot C(x + n\pi)} = \dfrac{S(x +n\pi)}{C(x+n\pi)} = T(x+n\pi)$이다.

3.

위 정리로 $S,C$는 $I \subseteq \mathbb{R}$에서 미분가능하고 모든 $x \in I$에 대해 $C(x) \ne 0$이므로

미분 정리로 $T = \dfrac{S}{C}$는 $I$에서 미분가능하고

$T'(x) = \dfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!x}\left (\dfrac{S(x)}{C(x)} \right ) = \dfrac{S'(x)\cdot C(x) - S(x)\cdot C'(x)}{(C(x))^2} = \dfrac{C(x) \cdot C(x) - S(x) \cdot (-S(x))}{(C(x))^2} = 1 + \left(\dfrac{S(x)}{C(x)}\right )^2 = 1+ (T(x))^2 \text{ 이다.}$

4.

1, 3번으로 모든 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \subseteq I$에 대해 $T'(x) = 1 + (T(x))^2 \ge 1 > 0 $이므로

단조함수 정리로 $T$는 $ (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에서 순증가하고

위 정리로 $S,C$는 $ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \in \mathbb{R}$에서 미분가능하므로 미분연속성으로 $ -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \in \mathbb{R}$에서 연속이 되어

연속함수 정리와 편측극한 정리와 위 정리와 위 정리로

$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+}$$C(x) = C(-\frac{\pi}{2}) = 0 $과 $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-}$$C(x) = C(\frac{\pi}{2}) = 0  $과

$\displaystyle \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}+}$$S(x) = S(-\frac{\pi}{2}) = -1$과 $\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}-}$$S(x) = S(\frac{\pi}{2}) = 1$이 성립한다.

위 정리와 위 정리로 모든 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에 대해 $1<\sqrt{2}\le \dfrac{\pi}{2}$와 $C(-x) = C(x) > 0$이 성립하고

위 정리와 위 정리로 모든 $x \in (-\frac{\pi}{2}, -1)$에 대해 $ S(x) < S(-1) <  S(0) = 0$이므로

우측극한의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 < x - \left (-\dfrac{\pi}{2}\right ) < \delta(\frac{-S(-1)}{\epsilon})$인

모든 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$가 $C(x) = |C(x)  -0|< \dfrac{-S(-1)}{\epsilon}$이 되는 $\delta(\frac{-S(-1)}{\epsilon}) > 0$가 존재하여

$0 < x - \left (-\dfrac{\pi}{2}\right ) < $ $\min$$\{\delta(\frac{-S(-1)}{\epsilon}), \frac{\pi}{2} -1\}$인 모든 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에 대해

$T(x) =\dfrac{S(x)}{C(x)} < S(x) \cdot \dfrac{\epsilon}{-S(-1)} < S(-1)\cdot \dfrac{\epsilon}{-S(-1)} = -\epsilon < 0$이므로

우측 무한극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}+} T(x) = -\infty$이다.

비슷하게 모든 $x \in (1,\frac{\pi}{2})$에 대해 $0 = S(0) < S(1) < S(x)$이고 좌측극한의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$0 < \dfrac{\pi}{2} -x < \delta(\frac{S(1)}{\epsilon})$인 모든 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$가 $C(x) = |C(x)  -0|< \dfrac{S(1)}{\epsilon}$이 되는 $\delta(\frac{S(1)}{\epsilon}) > 0$가 존재하므로

$0 < \dfrac{\pi}{2} -x< \min\{\delta(\frac{S(1)}{\epsilon}),\frac{\pi}{2}-1\}$인 모든 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에 대해

$0<\epsilon< S(1) \cdot \dfrac{\epsilon}{S(1)}< S(x)\cdot \dfrac{\epsilon}{S(1)} < \dfrac{S(x)}{C(x)} = T(x)$이므로 좌측 무한극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-} T(x) = \infty$이다.

5.

4번으로 $t$는 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에서 순증가하므로 $t$는 단사이다.

2번으로 $t$는 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에서 미분가능하므로 미분연속성으로 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에서 연속이 되어

구간 보존 정리로 $t$에 의한 $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$의 상 $t((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))$는 구간이다.

임의의 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $t(x) =y$인 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$가 존재하지 않는다고 가정할때

모든 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에 대해 $t(x) \ne y$가 되어

$y < t(x)$이면 4번으로 $\displaystyle \lim_{x\to -\frac{\pi}{2}+} T(x) = -\infty$이므로 $t(x_1)< y < t(x)$인 $x_1 \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$이 존재하고

$t(x) < y$이면 4번으로 $\displaystyle \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-} T(x) = \infty$이므로 $t(x) < y < t(x_2)$인 $x_2 \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$가 존재하여

$y \in t((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))$이므로 모순이다.

따라서 모든 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $t(x) =y$인 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$가 존재하여 $t$는 전사이다.

6.

5번과 역함수 정리로 $t$의 역함수 $t^{-1}$이 존재하고 3번으로 모든 $x \in (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$에 대해 $t'(x) = 1 + (t(x))^2  > 0$이므로

역함수의 미분법으로 모든 $y \in \mathbb{R}$에 대해 $(t^{-1})'(y) = \dfrac{1}{t'(t^{-1}(y))} = \dfrac{1}{1 + (t(t^{-1}(y)))^2} = \dfrac{1}{1+y^2}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/44#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/44#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766