단조함수(Monotonic function)

정의1

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수가 $f : A \to \mathbb{R}$일때

임의의 부분집합 $B \subseteq A $의 모든 $x_1,x_2\in B$에 대해 

$x_1 \le x_2$이면 $f(x_1) \le f(x_2)$가 되는 $f$는 $B$에서 증가하고

$x_1 < x_2$이면 $f(x_1) < f(x_2)$가 되는 $f$는 $B$에서 순증가한다.

$x_1 \le x_2$이면 $f(x_1) \ge f(x_2)$가 되는 $f$는 $B$에서 감소하고

$x_1 < x_2$이면 $f(x_1) > f(x_2)$가 되는 $f$는 $B$에서 순감소한다.

$f$가 $B$에서 증가하거나 감소하면 $B$에서 단조 또는 $B$에서의 단조함수라 하고

$f$가 $B$에서 순증가하거나 순감소하면 $B$에서 순단조 또는 $B$에서의 순단조함수라 한다.

$f$가 $A$에서 순단조일때 $f(x_1) = f(x_2)$인 모든 $x_1,x_2\in A$가 일반성을 잃지 않고 $x_1< x_2$라고 가정하면

$f(x_1) < f(x_2)$ 또는 $f(x_1) > f(x_2)$가 되어 모순이므로 $f$가 $A$에서 순단조이면 $f$는 $A$에서 단사이다.

 

 

 

정리1

정의역이 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$인 함수 $f : I \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

$f$가 $I$에서의 증가함수일때

1. $c \in I$가 $I$의 왼쪽 끝점이 아니면 $\displaystyle \lim_{x\to c -}$$f(x) = $ $\sup$$\{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \}$이다.

2. $c \in I$가 $I$의 오른쪽 끝점이 아니면 $\displaystyle \lim_{x\to c +}$$f(x) = $ $\inf$$\{ f(x) : x\in I \text{  이고  } c <  x \}$이다.

$f$가 $I$에서의 감소함수일때

1. $c \in I$가 $I$의 왼쪽 끝점이 아니면 $\displaystyle \lim_{x\to c -}$$f(x) = $ $\inf$$\{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \}$

2. $c \in I$가 $I$의 오른쪽 끝점이 아니면 $\displaystyle \lim_{x\to c +}$$f(x) = $ $\sup$$\{ f(x) : x\in I \text{  이고  } c <  x \}$

증명

일반성을 잃지 않고 증가하는 경우만 증명한다.

1.

$c\in I$는 $I$의 왼쪽 끝점이 아니므로 집합 $\{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \}$은 공집합이 아니고

증가함수 정의에 따라 $x \in I$이고 $x <c$이면 $f(x) \le f(c)$이므로

위로 유계가 되어 완비성으로 상한 $\sup \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \} = L$이 존재한다.

임의의 $\epsilon >0$에 대해

상한 정리로 $L - \epsilon < f(x_{\epsilon}) \le L$이고 $x_{\epsilon}<c$인 $x_{\epsilon} \in I$이 존재하고

$f$는 증가하므로 $x_{\epsilon}<x < c$인 모든 $x\in I$가 $L - \epsilon < f(x_{\epsilon}) \le f(x) \le L < L + \epsilon$이 되어 $|f(x) - L| < \epsilon$이다.

따라서 편측극한의 정의로

$0<c - x < c-x_{\epsilon} = \delta(\epsilon)$인 모든 $x\in I$가 $\displaystyle |f(x) - L| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하여

$\displaystyle \lim_{x\to c -}f(x) = L = \sup \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \}$이다.

2.

1번과 비슷하게 $x \in I$이고 $c < x$이면 $f(c) \le f(x)$이므로 $\inf \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } c <  x \} = M$이 존재하고

임의의 $\epsilon >0$에 대해 하한 정리로 $M \le f(x_{\epsilon}) < M + \epsilon$이고 $c < x_{\epsilon}$인 $x_{\epsilon }\in I$이 존재한다.

$f$는 증가하므로 $c < x < x_{\epsilon}$인 모든 $x\in I$가 $M - \epsilon < M \le f(x) \le f(x_{\epsilon}) < M +\epsilon$이 되어 $|f(x) - M| < \epsilon$이다.

따라서 편측극한의 정의로

$0<x -c < x_{\epsilon} -c = \delta(\epsilon)$인 모든 $x\in I$가 $\displaystyle |f(x) - M| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하여

$\displaystyle \lim_{x\to c +}f(x) = M = \inf \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } c <  x \}$이다.

 

 

 

정리2

정의역이 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$인 함수 $f : I \to \mathbb{R}$와 $I$의 끝점이 아닌 $c \in I$에 대해 다음이 성립한다.

$f$가 $I$에서의 증가함수이면 다음은 동치이다.

1. $f$는 $c$에서 연속이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to c -}$$ f(x)=  f(c) = $ $\displaystyle \lim_{x\to c +} $$f(x)$

3. $\sup$$\{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \}$ $ = f(c) = $ $\inf$$\{ f(x) : x\in I \text{  이고  } c <  x \}$

$f$가 $I$에서의 감소함수이면 다음은 동치이다.

1. $f$는 $c$에서 연속이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to c -}$$f(x)=  f(c) = $ $\displaystyle \lim_{x\to c +}$$f(x)$

3. $\inf$$\{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \}$ $ = f(c) = $ $\sup$$\{ f(x) : x\in I \text{  이고  } c <  x \}$ 

증명

일반성을 잃지 않고 증가하는 경우만 증명한다.

집적점 정리로 $c$는 $I$의 집적점이다.

$1\to 2$

연속함수 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c } f(x) = f(c)$이고 편측극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c -} f(x)=  f(c) = \lim_{x\to c +} f(x)$이다.

$2 \to 3$

$c \in I$는 양 끝점이 아니므로 위 정리로 정리가 성립한다.

$3 \to 1$

위 정리로 $\displaystyle f(c) = \sup \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \} = \lim_{x\to c -}f(x)$이고

$\displaystyle f(c) = \inf \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } c <  x \}= \lim_{x\to c +} f(x)$이므로

$\displaystyle \lim_{x\to c +} f(x) = f(c) = \lim_{x\to c -}f(x)$이다.

따라서 편측극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c } f(x) = f(c)$이고 연속함수 정리로 $f$는 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리3

정의역이 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$인 함수 $f : I \to \mathbb{R}$에 대해

$a \in I$가 $I$의 왼쪽 끝점이면 다음이 성립한다.

$f$가 $I$에서 증가함수일때

$f$가 $a$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to a +}$$ f(x)=  f(a) = $ $\inf$$\{ f(x) : x\in I \text{ 이고 } a < x \}$인 것이다.

$f$가 $I$에서 감소함수일때

$f$가 $a$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to a +}$$f(x)=  f(a) = $ $\sup$$\{ f(x) : x \in I \text{ 이고 } a< x \}$인 것이다.

증명

일반성을 잃지 않고 증가하는 경우만 증명한다.

$f$가 $a$에서 연속이면 

연속함수 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) =f(a)$이고 $a \in I$가 $I$의 왼쪽 끝점이므로 모든 $x \in I$는 $a \le x$이다.

따라서 편측 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) =f(a)$이고

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) = \inf \{ f(x) : x\in I \text{ 이고 } a< x \} = f(a) $이므로 정리가 성립한다.

역으로 $\displaystyle \lim_{x\to a+} f(x) =f(a)$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 편측 극한의 정의로 

$0<x - a < \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in I$가 $|f(x) - f(a)|<\epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon)>0$가 존재하는데 

$a$가 $I$의 왼쪽 끝점이므로 모든 $x \in I$에 대해 $a\le x$이고

$x-a = |x-a| <\delta(\epsilon)$인 모든 $x \in I$가 $|f(x) - f(a)|<\epsilon$이므로 $f$는 $a$에서 연속이다.

 

 

 

정리4

정의역이 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$인 함수 $f : I \to \mathbb{R}$에 대해

$b \in I$가 $I$의 오른쪽 끝점이면 다음이 성립한다.

$f$가 $I$에서 증가함수일때

$f$가 $b$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to b -}$$f(x)=  f(b)=$ $\sup$$\{ f(x) :x \in I \text{ 이고 } x<b \}$이다.

$f$가 $I$에서 감소함수일때

$f$가 $b$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to b-}$$f(x)=  f(b)=$ $\inf$$\{ f(x) : x\in I \text{ 이고 } x< b \}$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 증가하는 경우만 증명한다.

$f$가 $b$에서 연속이면

연속함수 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to b} f(x) =f(b)$이고 $b \in I$가 $I$의 오른쪽 끝점이므로 모든 $x \in I$는 $x \le b$이다.

따라서 편측 극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x\to b-} f(x) =f(b)$이고

위 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to b-} f(x) = \sup \{ f(x) : x\in I \text{ 이고 } x< b \} = f(b) $이므로 정리가 성립한다.

역으로 $\displaystyle \lim_{x\to b-} f(x) =f(b)$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 편측 극한의 정의로 

$0<b - x < \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in I$가 $|f(x) - f(b)|<\epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon)>0$가 존재하는데 

$b$가 $I$의 오른쪽 끝점이므로 모든 $x \in I$에 대해 $x\le b$이고

$b-x = |x-b| <\delta(\epsilon)$인 모든 $x \in I$가 $|f(x) - f(b)|<\epsilon$이므로 $f$는 $b$에서 연속이다.

 

 

 

정의2

정의역이 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$인 함수 $f : I \to \mathbb{R}$에 대해

$f$가 $I$에서의 증가할때

$c \in I$가 $I$의 끝점이 아니면 $c$에서 $f$의 도약(jump)을

$\begin{align*} j_f(c) &= \lim_{x\to c +} f(x) - \lim_{x\to c -}f(x) =  \inf \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } c <  x \} - \sup \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \} \text{ 로 정의한다.} \end{align*}$

$a \in I$가 $I$의 왼쪽 끝점이면 $a$에서 $f$의 도약을

$\displaystyle j_f(a) = \lim_{x \to a+}f(x) - f(a) = \inf \{ f(x) : x\in I \text{ 이고 } a< x \} - f(a)$로 정의한다.

$b \in I$가 $I$의 오른쪽 끝점이면 $b$에서 $f$의 도약을

$\displaystyle j_f(b) =  f(b) - \lim_{x \to b-}f(x) = f(b)- \sup \{ f(x) : x\in I  \text{ 이고 } x <b\} $로 정의한다.

 

$f$가 $I$에서 감소할때 

$c \in I$가 $I$의 끝점이 아니면 $c$에서 $f$의 도약을

$\begin{align*} j_f(c) &= \lim_{x\to c -} f(x) - \lim_{x\to c +}f(x) =  \inf \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } x <  c \} - \sup \{ f(x) : x\in I \text{  이고  } c <  x \}  \text{ 로 정의한다.} \end{align*}$

$a \in I$가 $I$의 왼쪽 끝점이면 $a$에서 $f$의 도약을

$\displaystyle j_f(a) = f(a) - \lim_{x \to a+}f(x) =  f(a) - \sup \{ f(x) : x\in I \text{ 이고 } a<x  \} $로 정의한다.

$b \in I$가 $I$의 오른쪽 끝점이면 $b$에서 $f$의 도약을

$\displaystyle j_f(b) =   \lim_{x \to b-}f(x) - f(b) =  \inf \{ f(x) : x\in I \text{ 이고 } x<b \} -f(b)$로 정의한다.

 

 

 

정리5

공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$에 대해 $f : I \to \mathbb{R}$가 $I$에서의 단조함수일때

$c \in I$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $c$에서 도약이 $j_f(c) = 0$인 것이다.

증명

위 정리와 위 정리와 위 정리와 도약의 정의로 정리가 성립한다. 

 

 

 

정리6

공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$에 대해 $f : I \to \mathbb{R}$가 $I$에서의 단조함수이면

$f$가 불연속이 되는 점들의 집합 $D \subseteq I$는 가산집합이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $f$가 증가한다고 가정한다.

$I\ne \emptyset$이므로 $a\in I$가 존재하여 $a< b$인 임의의 $b\in \mathbb{R}$에 대해 집합 $D_b = \{ x \in [a,b]\cap I : j_f(x) \ne 0 \}$를 정의하고

$f$는 증가하므로 모든 $x_-, c,x_+ \in [a,b]\cap I$에 대해 $x_- \le c \le x_+$이면 $f(x_-)\le f(c) \le f(x_+)$가 되어

편측극한의 부등식 정리로 $\displaystyle \lim_{x_- \to c-}f(x_-) \le f(c) \le \lim_{x_+ \to c+} f(x_+)$이므로 $\displaystyle 0 \le \lim_{x_+ \to c+} f(x_+) - \lim_{x_- \to c-}f(x_-)$이고

모든 $x\in [a,b]\cap I$의 도약은 $ j_f(x) \ge 0$이 되어 $j_f(x) \ne 0$이면 $j_f(x) > 0$이다.

$a<b$인 임의의 $b\in I$와 임의의 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해

$a \le x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n \le b$인 $x_1, x_2,\cdots,x_n \in D_b$이 $n$개 존재할때

$a \le c_{1-}\le x_1 \le c_{1+} \le c_{2-} \le x_2 \le c_{2+} \le c_{3-} \le \cdots \le c_{n-1+} \le c_{n-} \le x_n \le c_{n+} \le b$인

모든 $c_{1-}, c_{1+}, c_{2-},c_{2+},\cdots , c_{n-},c_{n+}$에 대해

$f(a) \le f(c_{1-}) \le f(c_{1+})\le f(c_{2,-})\le f(c_{2+})\le \cdots \le f(c_{n-}) \le f(c_{n+}) \le f(b)$이므로

모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해 $[f(c_{i-}), f(c_{i+})] \subseteq [f(a), f(b)]$가 되어

구간 정리로 $f(c_{1+}) - f(c_{1-}) + f(c_{2+}) - f(c_{2-}) + \cdots + f(c_{n+}) - f(c_{n-}) \le f(b) - f(a)$이고

편측극한의 부등식 정리로

$\displaystyle \lim_{c_{1+} \to x_1+} f(c_{1+}) - \lim_{c_{1-} \to x_1 -}f(c_{1-})  +\cdots + \lim_{c_{n+}\to x_n+} f(c_{n+}) - \lim_{c_{n-} \to x_n -}f(c_{n-})  =  j_f(x_1) + \cdots + j_f(x_n)\le f(b)- f(a) \text{ 이다.}$

$i = 1,2,\cdots, m$이고 $j_f(x_i) \ge \dfrac{f(b) - f(a)}{m}$인 $x_i \in D_b$가 $m \in \mathbb{Z}^+$개 존재할때

$j_f(x_1) + j_f(x_2) +\cdots + j_f(x_m) \ge f(b) - f(a)$이므로 $x_i \ne x_{m+1}$인 $x_{m+1} \in D_b$이 존재한다고 가정하면 

$j_f(x_{m+1}) > 0$이고 $j_f(x_1) + j_f(x_2) +\cdots + j_f(x_m) + j_f(x_{m+1}) > f(b) - f(a)$이므로 위 부등식에 모순이 되어

$j_f(x) \ge \dfrac{f(b) - f(a)}{m}$인 $x \in D_b$는 $m$개이하이고 집합 $A_m = \{ x \in D_b : j_f(x) \ge \frac{f(b) - f(a)}{m} \}$이 가산집합임에 따라

가산집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{m = 1}^\infty A_m = \{ x \in D_b : j_f(x) \ge 0 \} = D_b$는 가산집합이다.

$[a,\infty)\cap I = [a,b]$인 $b \in \mathbb{R}$가 존재하면 $b\in I$이므로 $D_b$는 가산집합이 되어

$a< x<b$인 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $D_x \subseteq D_b$임에 따라 가산집합 정리로 $D_x$는 가산집합이고

$b \le x$인 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $[a,x]\cap I = [a,b]$이므로 $D_b = D_x$가 되어 $D_x$는 가산집합이다.

$[a,\infty)\cap I = [a,b)$인 $b \in \mathbb{R}$가 존재하면 

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n_0}<b-a$인 $n_0\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $n_0\le n$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{n_0}< b-a$이고

$0 = \dfrac{1}{n}- \dfrac{1}{n} < b - a - \dfrac{1}{n}$이므로 $a < b -\dfrac{1}{n} < b$가 되어 $[a,b-\frac{1}{n}]\subseteq [a,b)$이고

$b-\dfrac{1}{n}\in I$임에 따라 $D_{b-\frac{1}{n}}$는 가산집합이므로 가산집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{ n= n_0}^\infty D_{b-\frac{1}{n}} = D_b$는 가산집합이다.

$a< x<b$인 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $D_x \subseteq D_b$임에 따라 가산집합 정리로 $D_x$는 가산집합이고

$b \le x$인 모든 $x\in \mathbb{R}$에 대해 $[a,x]\cap I = [a,b)$이므로 $D_b = D_x$가 되어 $D_x$는 가산집합이다.

$[a,\infty)\cap I = [a,\infty)$이면 $a < b$인 모든 $b\in \mathbb{R}$에 대해 $b\in I$이므로 $D_b$는 가산집합이다.

따라서 $a<b$인 모든 $b\in \mathbb{R}$에 대해 $D_b$는 가산집합이므로

아르키메데스 성질로 $a<n_0$인 $n_0\in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $n_0\le n$인 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $D_n$은 가산집합이 되어

가산집합 정리로 $\displaystyle \bigcup_{n = n_0}^\infty D_{n} =  \{ x \in [a,\infty)\cap I : j_f(x) > 0 \} = D_{\infty}$는 가산집합이고

비슷하게 $D_{-\infty} = \{ x \in (-\infty,a]\cap I : j_f(x) > 0 \}$도 가산집합이므로

가산집합 정리로 $D_{-\infty} \cup D_{\infty} =  \{ x \in (-\infty,\infty)\cap I : j_f(x) > 0 \}$는 가산이고

도악은 편측극한의 차로 정의되어 함수극한 정리로 $j_f(x) \ne 0 $인 $x\in I$에서 $f$가 불연속임에 따라

$f$가 불연속이 되는 점들의 집합 $D_{-\infty} \cup D_{\infty} \subseteq I$는 가산집합이다.

 

 

 

정리7(연속역함수 정리)

함수 $f : I \to \mathbb{R}$가 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$에서의 순단조이고 연속이면

모든 $x\in I$에 대해 $f_1(x) = f(x)$인

함수 $f_1:I\to f(I)$의 역함수 $g : f(I) \to I$가 존재하고 $g$는 $f(I)$에서 순단조이고 연속이다.

이때 $f$가 순증가하면 $g$도 순증가하고 $f$가 순감소하면 $g$도 순감소한다.

증명

일반성을 잃지 않고 순증가하는 경우만 증명한다.

구간 보존 정리로 $f(I)$는 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간이다.

$f(x_1) = f(x_2)$인 임의의 $x_1,x_2\in I$가 $x_1< x_2$라고 가정하면

$f$는 순증가하므로 $f(x_1) < f(x_2)$가 되어 모순임에 따라 $x_1 =x_2$이고 $f$는 $I$에서 단사이므로

함수 정리로 $f_1$은 전단사가 되어 역함수 정리로 역함수 $f_1^{-1} = g : f(I) \to I$가 존재한다.

임의의 $x_1 , x_2 \in I$에 대해 $f(x_1)< f(x_2)$이면 $f$는 단사이므로 $x_1\ne x_2$이고

$x_2 < x_1$이라고 가정하면 순증가의 정의로 $f(x_1)< f(x_2) < f(x_1)$가 되어 모순임에 따라

역함수의 정의로 $g(f(x_1)) = f_1^{-1}(f_1(x_1))=x_1<x_2 = f_1^{-1}(f_1(x_2))= g(f(x_2))$이므로 $g$는 $f(I)$에서 순증가한다.

$g$가 불연속이 되는 $y_0 \in f(I)$이 존재한다고 가정하면

증가함수의 정의와 상한, 하한의 정의와 위 정리와 위 정리와 위 정리로 

$g(y_0) < \inf \{ g(y) : y\in f(I) \text{ 이고 } y_0< y\}$ 또는 $\sup \{ g(y) : y\in f(I)\text{ 이고 }y< y_0 \} < g(y_0)$이고

$f(I)$가 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간임에 따라 

$g(y_0) < \inf \{ g(y) : y\in f(I) \text{ 이고 } y_0< y\}\le g(y_2)$이고 $y_0< y_2$인 $y_2\in f(I)$가 존재하거나

$g(y_1)\le \sup \{ g(y) : y\in f(I)\text{ 이고 }y< y_0 \} < g(y_0)$이고 $y_1< y_0$인 $y_1\in f(I)$이 존재하여 조밀성으로

$g(y_0) < x < \inf \{ g(y) : y\in f(I) \text{ 이고 } y_0< y\}\le g(y_2)$ 또는

$g(y_1)\le \sup \{ g(y) : y\in f(I)\text{ 이고 }y< y_0 \} < x < g(y_0)$인 $x\in \mathbb{R}$가 존재하므로

함수 정리로 $g(f(I)) =f_1^{-1}(f_1(I)) = I$가 구간임에 따라 구간 정리로 $x\in I$인데

$g$는 전사이므로 $x=g(y)$인 $y\in f(I)$가 존재하여

$g(y_0) < g(y)  < \inf \{ g(y) : y\in f(I) \text{ 이고 } y_0< y\}\le g(y_2)$ 또는

$g(y_1)\le \sup \{ g(y) : y\in f(I)\text{ 이고 }y< y_0 \} < g(y) < g(y_0)$이고

순증가의 정의와 역함수의 정의로 $y_0<y$ 또는 $y<y_0$임에 따라

상한, 하한의 정의에 모순이므로 $g$는 $f(I)$에서 연속이다.

 

 

 

정리10

다음이 성립한다.

1. 모든 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$과 모든 $x \in [0, \infty)$에 대해 $f(x) = x^n$인

함수 $f : [0,\infty) \to [0,\infty)$는 $[0, \infty)$에서 연속이고 순증가한다.

2. 홀수인 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x \in \mathbb{R}$에 대해 $g(x) = x^{m}$인

함수 $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$는 $\mathbb{R}$에서 연속이고 순증가한다.

3. 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x \in (0, \infty)$에 대해 $h(x) = x^{-n}$인

함수 $h : (0,\infty) \to (0,\infty)$는 $(0,\infty)$에서 연속이고 순감소한다.

증명

실수 $x\in \mathbb{R}$가 연속임은 자명하므로

연속함수 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x\cdot x \cdot \; \cdots \; \cdot x = x^n$은 $\mathbb{R}$에서 연속이다.

1.

부등식 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0\le x < y$일때 $0^n \le x^n < y^n$으로 $[0, \infty)$에서 순증가하므로

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f$는 $[0, \infty)$에서 순증가하고 모든 $x \in [0, \infty)$에 대해 $f(x) = x^n\ge 0$이다.

2.

$0\le x < y$일때 $-y < -x \le 0$이므로

$0 \le (-x)^2 < (-y)^2$이고 부등식 정리로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $((-x)^2)^n = (-x)^{2n} < (-y)^{2n} =((-y)^2)^n$이다.

또 $(-y)^{2n+1}= (-y)^{2n}\cdot (-y) < (-x)^{2n}\cdot (-y) < (-x)^{2n}\cdot (-x) = (-x)^{2n+1}$이므로 $(-\infty ,0]$에서 순증가한다.

따라서 $x < 0 <y$이면 $x^{2n+1} < 0^{2n+1}$이고 부등식 정리로 $0^{2n+1} < y^{2n+1}$이 되어 $x^{2n+1} < 0^{2n+1} < y^{2n+1}$이고

1번으로 $[0, \infty)$에서 순증가하므로 $m \in \mathbb{Z}^+$이 홀수일때 $g$는 $\mathbb{R}$에서 순증가한다.

3.

부등식 정리로 $ 0 = 0^n  < x^n$이므로 연속함수 정리로 $\dfrac{1}{x^n} = x^{-n}$은 $(0,\infty)$에서 연속이다.

1번으로 $0< x < y$일때 $x^n < y^n$이므로 $\dfrac{1}{y^n} < \dfrac{1}{x^n}$으로 $h$는 $(0,\infty)$에서 순감소한다.

또 $x^n > 0$이고 $x^n \cdot x^{-n} = 1 > 0$이므로 부등식 정리로 모든 $x \in (0, \infty)$에 대해 $h(x) = x^{-n} > 0$이다.

 

 

 

정의3

위 정리로 모든 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$과 모든 $x \in [0, \infty)$에 대해 $f(x) = x^n$인

함수 $f : [0,\infty) \to [0,\infty)$는 $[0,\infty)$에서 연속이고 순증가하므로

연속 역함수 정리로 $[0,\infty)$에서 연속이고 순증가하는 $f$의 역함수 $g : [0,\infty) \to [0,\infty)$가 존재하여

$g(f(x)) = g(x^n) = (x^n)^{\frac{1}{n}} = x = (x^\frac{1}{n})^n = f(x^\frac{1}{n}) = f(g(x))$이다.

따라서 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{x}$을 $n$제곱근으로 정의하고

모든 $m ,n\in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x \ge 0$에 대해 유리수 거듭제곱을 $x^{\frac{m}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^m$으로 정의한다.

 

또 $x >0$에 대해 $x^{-\frac{1}{n}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{x}}$이고 거듭제곱의 정의로 $x^0 = 1$이므로 

모든 정수 $m\in \mathbb{Z}$과 모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$과 모든 $x > 0$에 대해

유리수 거듭제곱을 $x^{\frac{m}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^{m}$으로 정의한다.

 

$x > 0$일때

모든 원소가 $r_n \in \mathbb{Q}$이고 임의의 무리수 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (r_n) = z \in \mathbb{I}$로 수렴하는 임의의 유리수열 $(r_n)$에 대해

무리수 거듭제곱을 $\displaystyle  \lim_{n \to \infty} (x^{r_n}) = x^z$로 정의한다.

아래 정리로 모든 $(r_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x^{r_n}) = x^z$는 유일하게 존재한다.

 

 

 

정리8

정수 $m \in \mathbb{Z}$과 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $x > 0$이면 $x^{\frac{m}{n}} = (x^m)^{\frac{1}{n}}$이다.

증명

$z > 0$이면 거듭제곱 정리로 $(z^m)^n = z^{mn} = (z^n)^m$이므로 $y = x^{\frac{m}{n}} = (x^{\frac{1}{n}})^m$이면 

$y^n = (x^{\frac{m}{n}})^n = ((x^{\frac{1}{n}})^m)^n = ((x^{\frac{1}{n}})^n)^m = x^m$이므로 $ x^{\frac{m}{n}} = y =(x^m)^{\frac{1}{n}}$이다.

 

 

 

정리9

유리수 $r,s \in \mathbb{Q}$에 대해 $x > 0$일때 다음이 성립한다.

1. $x^r \cdot x^s = x^{r+s} = x^s \cdot x^r$

2. $(x^r)^s = x^{rs} = (x^s)^r$

3. $x > 1$이면 $m_1< m_2$인 정수 $m_1,m_2 \in \mathbb{Z}$에 대해 $x^{m_1} < x^{m_2}$이다.

4. $0<x < 1$이면 $m_1< m_2$인 정수 $m_1,m_2 \in \mathbb{Z}$에 대해 $x^{m_1} > x^{m_2}$이다.

5. $r < s$이고 $x  > 1$이면 $x^r < x^s$이다.

6. $r< s$이고 $0 < x  < 1$이면 $x^r > x^s$이다.

7. $1^r = 1$

증명

유리수는 순서성질로 $r = \dfrac{m}{n}$이고 $s = \dfrac{p}{q}$인 정수 $m,p \in \mathbb{Z}$와 양의 정수 $n,q \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

$r = \dfrac{mq}{nq}$이고 $s = \dfrac{pn}{qn}$이므로 $y = x^{\frac{1}{nq}}$일때

1.

위 정의와 거듭제곱 정리로

$x^r \cdot x^s = (x^{\frac{1}{nq}})^{mq} \cdot (x^{\frac{1}{nq}})^{pn} = y^{mq} \cdot y^{pn} = y^{mq + pn} = (x^{\frac{1}{nq}})^{mq + pn} = x^{\frac{mq + pn}{nq}} =x^{r+s}$이고

비슷하게 $x^s \cdot x^r = (x^{\frac{1}{nq}})^{pn+mq} = (x^{\frac{1}{nq}})^{mq + pn} = x^{\frac{mq + pn}{nq}} =x^{r+s} $이다.

2.

위 정리와 거듭제곱 정리로

$(x^r)^s = (((x^{\frac{1}{nq}})^{mq})^{pn})^{\frac{1}{qn}} = ((x^{\frac{1}{nq}})^{mq\cdot pn})^{\frac{1}{qn}} = (x^{\frac{1}{nq}})^{\frac{mq\cdot pn}{qn}} = (x^{\frac{1}{nq}})^{mp} = x^{\frac{mp}{nq}} = x^{rs}$이고

비슷하게 $(x^s)^r = (((x^{\frac{1}{qn}})^{pn})^{mq})^{\frac{1}{nq}}= ((x^{\frac{1}{qn}})^{pn\cdot mq})^{\frac{1}{nq}} = ((x^{\frac{1}{nq}})^{mq\cdot pn})^{\frac{1}{qn}}  = x^{rs}$이다.

3.

$1< x$일때 양의 정수 $n_1,n_2 \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n_1< n_2$이면 

부등식 정리로 $x^{n_1} < x^{n_2}$이므로

$-n_2 < -n_1$에 대해서도 $\dfrac{1}{x^{n_2}} = x^{-n_2} < x^{-n_1} =\dfrac{1}{x^{n_1}}$이 된다.

또 $-n_1 <0< n_1$이므로 부등식 정리로 $x^0 = 1 = 1^{n_1} <  x^{n_1}$이고 $x^{-n_1} < 1 = x^0$이 되어

$m_1< m_2$인 모든 정수 $m_1,m_2 \in \mathbb{Z}$에 대해 $x^{m_1} < x^{m_2}$이다.

4.

$0< x<1$일때 양의 정수 $n_1,n_2 \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$n_1< n_2$이면 

부등식 정리로 $x^{n_2} < x^{n_1}$이므로

$-n_2 < -n_1$에 대해서도 $\dfrac{1}{x^{n_1}} = x^{-n_1} < x^{-n_2} =\dfrac{1}{x^{n_2}}$가 된다.

또 $-n_1 <0< n_1$이므로 부등식 정리로 $0^{n_1} < x^{n_1} < 1^{n_1} = 1 = x^0 $이고 $ x^0 = 1< x^{-n_1} $이 되어

$m_1< m_2$인 모든 정수 $m_1,m_2 \in \mathbb{Z}$에 대해 $x^{m_2} < x^{m_1}$이다.

5.

$1< x$이고 $r = \dfrac{mq}{nq} < \dfrac{pn}{qn} = s$이므로 $mq < pn$이고 3번으로 $ x^{mq} < x^{pn}$이다.

따라서 부등식 정리와 2번으로 $x^r = x^\frac{mq}{nq} = (x^{mq})^\frac{1}{nq} <  (x^{pn})^\frac{1}{nq} = x^\frac{pn}{nq} = x^s$이다.

6.

$0 < x < 1$이고 $r = \dfrac{mq}{nq} < \dfrac{pn}{qn} = s$이므로 $mq < pn$이고 4번으로 $ x^{mq} > x^{pn}$이다.

따라서 부등식 정리와 2번으로 $x^r = x^\frac{mq}{nq} = (x^{mq})^\frac{1}{nq} > (x^{pn})^\frac{1}{nq} = x^\frac{pn}{nq} = x^s$이다.

7.

정수 거듭제곱 정리로 $1^m = 1 = 1^n$이므로 위 정리로 $1^r = 1^\frac{m}{n} = (1^m)^\frac{1}{n} = (1^n)^\frac{1}{n} = 1^\frac{n}{n} = 1^1 = 1$이다.

 

 

 

정리11

$x > 0$일때 다음이 성립한다.

1. 모든 $r \in \mathbb{Q}$에 대해 $x^r > 0$이다.

2. 실수열 $(x^{-\frac{1}{k}})_{k =1}^\infty$와 $(x^{\frac{1}{k}})_{k =1}^\infty$에 대해 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}( x^\frac{1}{k}) = 1 = \lim_{k\to \infty} (x^{-\frac{1}{k}})$이다.

3. 모든 원소가 $r_n \in \mathbb{Q}$이고 임의의 무리수 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (r_n) = z \in \mathbb{I}$로 수렴하는

모든 유리수열 $(r_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x^{r_n}) = x^z \in \mathbb{R}$는 유일하게 존재한다.

4. 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $x^\alpha > 0$이다.

증명

1.

$x > 0$이므로

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 거듭제곱 정리로 $0 = 0^n < x^n$이고 부등식 정리로 $0 < \dfrac{1}{x^n}=x^{-n}$이다.

또 $x^0 = 1$이므로 모든 $m \in \mathbb{Z}$에 대해 $x^m > 0$이고 $n$제곱근 정리로 $0 < x^\frac{1}{n}$이다.

모든 $r \in \mathbb{Q}$은 $r = \dfrac{m}{n}$인 $n \in \mathbb{Z}^+$과 $m \in \mathbb{Z}$이 존재하여 $x^{\frac{m}{n}} = (x^m)^\frac{1}{n} > 0$이므로 모든 $r \in \mathbb{Q}$에 대해 $x^r > 0$이다.

2.

1번으로 $0<x^{-1}$이고 위 정리로 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $(x^{-1})^\frac{1}{k} = x^{-\frac{1}{k}}$이므로

모든 $x > 0$가 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}( x^\frac{1}{k}) = 1 $이면 $\displaystyle \lim_{k \to \infty}(x^{-\frac{1}{k}}) =\lim_{k\to \infty}( (x^{-1})^\frac{1}{k}) = 1 $이므로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}( x^\frac{1}{k}) = 1 $만 증명한다.

$x > 1$일때

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $1+\epsilon > 1$이므로 $0 < \dfrac{1}{1+\epsilon} < 1$이 되어 수열 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \frac{1}{(1+\epsilon)^n} = 0$이고

1번으로 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0<(1+\epsilon)^n$이므로 정발산 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (1+\epsilon)^n = \infty$이다.

정발산의 정의로 모든 $x > 0$에 대해 $n\ge K(x)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이

$ x < (1+\epsilon)^n$이 되는 $K(x) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하여 부등식 정리로 $x^\frac{1}{n} < 1+\epsilon$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $0 < \dfrac{1}{k+1} < \dfrac{1}{k}$이고 위 정리 5번으로 $1 = x^0 < x^\frac{1}{k+1} < x^\frac{1}{k}$이므로

$n\ge K(x)$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $1 < x^{\frac{1}{n}} < 1 + \epsilon$이 되어

$-\epsilon <0< x^\frac{1}{n} -1 <\epsilon$이고 수열 수렴정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}( x^\frac{1}{k}) = 1 $이다.

$0 < x < 1$일때

$1 < \dfrac{1}{x}$에 대해 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} \left ( \frac{1}{x^\frac{1}{k}} \right ) = 1 $이고 1번으로 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $0< \frac{1}{x^\frac{1}{k}}$이므로 수열 수렴정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}( x^\frac{1}{k}) = 1 $이다.

$x = 1$일때 위 정리와 상수열 수렴정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty}( 1^\frac{1}{k}) = \lim_{k \to \infty}(1) = 1 $이다.

3.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (r_n) = z $이므로 유계성 정리로

모든 원소가 $0 \le |r_n| < M$인 $M \in \mathbb{Q}$이 존재하여 $-M < r_n < M$이다.

존재성

코시수열 정리로 $(r_n)$은 코시수열이므로

모든 양의 정수 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $m, n \ge H(\frac{1}{k})$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$이

$|r_n -r_m | = |r_n - z + z -r_m|  \le |r_n - z| + |r_m - z| < \dfrac{1}{k}$가 되는 $H(\frac{1}{k}) \in \mathbb{N}$이 존재하여

$-\dfrac{1}{k} < r_n - r_m < \dfrac{1}{k}$이다.

$x > 1$일때

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $-\dfrac{1}{k}<-\dfrac{1}{k+1}<0 < \dfrac{1}{k+1} < \dfrac{1}{k}$이므로

위 정리 5번으로 $x^{-\frac{1}{k}} < x^{-\frac{1}{k+1}} < 1 = x^0 < x^\frac{1}{k+1} < x^\frac{1}{k}$이다.

또 $m, n \ge H(\frac{1}{k})$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 $-\dfrac{1}{k}<r_n - r_m < \dfrac{1}{k}$이므로 $x^{-\frac{1}{k}}<x^{r_n - r_m} < x^\frac{1}{k}$이고

2번으로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$k \ge K(\epsilon)$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $|x^\frac{1}{k} - 1| <\epsilon$이고 $|x^{-\frac{1}{k}} - 1| <\epsilon$이 되는 $ K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$m, n \ge H(\frac{1}{K(\epsilon)})$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 $ -\epsilon < x^{-\frac{1}{K(\epsilon)}}-1 <x^{r_n - r_m} -1<x^\frac{1}{K(\epsilon)} - 1 <\epsilon$이다.

따라서 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 위 정리 5번으로 $x^{-M} <x^{r_n} < x^M$이고

$m, n \ge H(\frac{1}{K(\epsilon)})$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해

$\begin{align*} |x^{r_n} - x^{r_m}| & = |x^{r_m} \cdot (x^{r_n - r_m} - 1) | = |x^{r_m}| \cdot |x^{r_n - r_m} -1| \\[0.5em] & < \max \{ |x^M|, |x^{-M}| \} \cdot |x^{r_n -r_m} - 1| \\[0.5em] & < \max \{ |x^M|,|x^{-M}| \} \cdot \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$(x^{r_n})$은 코시수열이고 코시수열 정리로 수렴한다.

$0 < x  < 1$일때

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $-\dfrac{1}{k}<-\dfrac{1}{k+1}<0 < \dfrac{1}{k+1} < \dfrac{1}{k}$이므로

위 정리 6번으로 $x^{\frac{1}{k}} < x^{\frac{1}{k+1}} < 1 = x^0 < x^{-\frac{1}{k+1}} < x^{-\frac{1}{k}}$이다.

또 $m, n \ge H(\frac{1}{k})$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 $-\dfrac{1}{k}<r_n - r_m < \dfrac{1}{k}$이므로 $x^{\frac{1}{k}}<x^{r_n - r_m} < x^{-\frac{1}{k}}$이고

2번으로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$k \ge K(\epsilon)$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가 $|x^\frac{1}{k} - 1| <\epsilon$이고 $|x^{-\frac{1}{k}} - 1| <\epsilon$이 되는 $ K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$m, n \ge H(\frac{1}{K(\epsilon)})$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해 $ -\epsilon < x^{\frac{1}{K(\epsilon)}}-1 <x^{r_n - r_m} -1<x^{-\frac{1}{K(\epsilon)}} - 1 <\epsilon$이다.

따라서 모든 원소가 $-M < r_n < M$이므로 위 정리 6번으로 $x^{M} <x^{r_n} < x^{-M}$이고

$m, n \ge H(\frac{1}{K(\epsilon)})$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$에 대해

$\begin{align*} |x^{r_n} - x^{r_m}| & = |x^{r_m} \cdot (x^{r_n - r_m} - 1) | = |x^{r_m}| \cdot |x^{r_n - r_m} -1| \\[0.5em] & < \max \{ |x^M|, |x^{-M}| \} \cdot |x^{r_n -r_m} - 1| \\[0.5em] & < \max \{ |x^M|,|x^{-M}| \} \cdot \epsilon \text{ 이므로} \end{align*}$

$(x^{r_n})$은 코시수열이고 코시수열 정리로 수렴한다.

$x = 1$일때

$(r_n)$의 모든 원소 $r_n$이 $x^{r_n} = 1^{r_n} = 1$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|x^{r_n} - 1| = 0 < \epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x^{r_n}) =1$이다.

유일성

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (r_n) = z =  \lim_{n \to \infty} (p_n)$이고 모든 원소가 $p_n \in \mathbb{Q}$인 유리수열 $(p_n)$이 존재할때

$x^{p_n} - x^{r_n} = x^{p_n - r_n} \cdot x^{r_n} - x^{r_n} = x^{r_n} \cdot (x^{p_n-r_n} -1)$이고

수열극한의 선형성으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(p_n - r_n) = \lim_{n\to \infty}(p_n) - \lim_{n\to\infty} (r_n) = z-z = 0$이므로

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n\ge H(\frac{1}{k})$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $-\dfrac{1}{k}< p_n - r_n < \dfrac{1}{k}$가 되는 $H(\frac{1}{k}) \in \mathbb{N}$가 존재한다.

위에서 보인것과 비슷하게 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge H(\frac{1}{K(\epsilon)})$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

$ -\epsilon < x^{\frac{1}{K(\epsilon)}}-1 \le x^{p_n - r_n} -1  \le x^{-\frac{1}{K(\epsilon)}} - 1 <\epsilon$ 또는

$ -\epsilon < x^{-\frac{1}{K(\epsilon)}}-1 \le x^{p_n - r_n} -1 \le x^{\frac{1}{K(\epsilon)}} - 1 <\epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x^{p_n}) = y_1$과 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x^{r_n}) = y_2$로 두면

$n\ge H_p(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $|x^{p_n} - y_1| < \epsilon$이 되는 $H_p(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하고

$n\ge H_r(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $|x^{r_n} - y_2| < \epsilon$이 되는 $H_r(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하여

$n\ge \max \{ H_p(\epsilon) ,H_r(\epsilon), H(\frac{1}{K(\epsilon)}) \}$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해

삼각부등식으로

$\begin{align*} |y_1 - y_2 | & = |y_1 - x^{p_n} + x^{p_n} - x^{r_n} + x^{r_n} - y_2| \\[0.5em] & \le |x^{p_n} - y_1| + |x^{p_n} - x^{r_n}| + |x^{r_n} - y_2| \\[0.5em] & < \epsilon + |x^{r_n}| \cdot |x^{p_n - r_n} -1| + \epsilon \\[0.5em] & < 2\cdot \epsilon + \max \{ |x^{M} |,|x^{-M}| \} \cdot \epsilon= (2 + \max \{ |x^{M}| ,|x^{-M}| \})\cdot \epsilon \text{ 이고 } \end{align*}$

$\epsilon > 0$이 임의이므로 부등식 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x^{r_n}) = y_1 = y_2 = \lim_{n\to \infty}(x^{p_n})$이다.

4.

무리수 거듭제곱의 정의로 임의의 무리수 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (r_n) = z \in \mathbb{I}$로 수렴하고

모든 원소가 $r_n \in \mathbb{Q}$인 임의의 유리수열 $(r_n)$에 대해

$\displaystyle x^z = \lim_{n \to \infty} (x^{r_n})$이므로 유계성 정리로 $-M < r_n < M$인 $M \in \mathbb{Q}$이 존재한다.

$x > 1$이면

위 정리 5번으로 $ x^{-M} < x^{r_n}$이 되어 극한부등식 정리와 1번으로 $\displaystyle 0< x^{-M} = \lim_{n \to \infty} (x^{-M}) \le \lim_{n\to \infty} (x^{r_n}) = x^z$이고

 $0 < x  < 1$이면

위 정리 6번으로 $x^{M} < x^{r_n}$이므로 극한부등식 정리와 1번으로 $\displaystyle 0< x^{M} = \lim_{n \to \infty} (x^{M}) \le \lim_{n\to \infty} (x^{r_n}) = x^z$이다.

따라서 $z \in \mathbb{I}$가 임의이므로 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $x^\alpha > 0$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/27#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/27#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766

Terence Tao - Analysis 1 - 9791156646662