평균값 정리(Mean value theorem)

정의1

정의역이 집합 $A\subseteq \mathbb{R} $인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$와 임의의 $c \in A$에 대해

어떤 $\delta >0$가 존재하여 $c$의 $\delta$-근방이 $ V_\delta(c) \subseteq A$이고 모든 $x \in V_\delta(c)$에 대해

$f(x) \le f(c)$이면 $f$는 $c$에서 극댓값(relative maximum)을 갖는다고 하고

$f(c) \le f(x)$이면 $f$는 $c$에서 극솟값(relative minimum)을 갖는다고 한다.

$f$가 $c$에서 극댓값이나 극솟값을 가지면 $f$는 $c$에서 극값(relative extremum)을 갖는다고 정의한다.

 

 

 

정리1(내부 극값 정리)

정의역이 집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$가 $A$의 집적점인 $c \in A$에서 극값을 갖고 미분가능하면 $f^\prime(c) = 0$이다.

증명

도함수 정리로 $ \displaystyle f^\prime (c) = \lim_{x\to c} \left ( \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \right )$이므로 귀류법으로 $f^\prime(c) \ne 0$라고 가정할때

$f$가 $c$에서 극댓값을 가지면 어떤 $\delta _1>0$가 존재하여 모든 $x \in V_{\delta_1}(c)\subseteq A$에 대해 $f(x) \le f(c)$이다.

$ \displaystyle \lim_{x\to c} \left ( \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \right ) = f'(c) > 0$이면

함수극한 정리로 어떤 $\delta_2> 0$가 존재하여 $x\ne c$인 모든 $x \in V_{\delta_2}(c) \cap A$에 대해 $\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} > 0$이므로

$\delta = $ $\min$$\{ \delta_1,\delta_2\}$일때 근방의 정의로 $V_{\delta}(c) \subseteq V_{\delta_1}(c)\subseteq A$이고 $V_{\delta}(c) \cap A \subseteq V_{\delta_2}(c) \cap A$임에 따라

집합정리로 $V_{\delta}(c) = V_{\delta}\cap A$가 되어 $x > c$인 모든 $x\in V_\delta(c)\subseteq A$는

$f(x)-f(c)=\left (\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} \right )\cdot (x-c) > 0$이고 $f(x) > f(c)$이므로 모순이다.

비슷하게 $ \displaystyle \lim_{x\to c} \left ( \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \right )=f'(c) < 0$이면 $\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} < 0$이 되는 $c$의 $\delta$-근방이 존재하여

$x < c$일때 $f(x) - f(c)=\left (\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} \right )\cdot (x-c)  > 0$이고 $f(x) > f(c)$이므로 모순이다.

일반성을 잃지 않고 $f$가 $c$에서 극솟값을 갖을때에도 $f^\prime(c) \ne 0$이면 모순이 된다.

따라서 $f$가 $c$에서 극값을 가지고 $f^\prime(c) \ne 0$이면 모순이 되므로 $f^\prime(c) = 0$이다.

 

 

 

정리2(롤[Rolle] 정리)

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f(a) = f(b) = 0$이고 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능하면

$f^\prime(c) = 0$이 되는 $c \in (a,b)$가 적어도 하나 존재한다.

증명

모든 $x \in (a,b)$에 대해 $f(x) = 0$이면 상수함수의 미분으로 모든 $c \in (a,b)$에 대해 $f^\prime(c) = 0$이다.

$f(x) = 0$인 $x \in (a,b)$가 존재하면 구간을 $[a,x]$나 $[x , b]$ 로 나눌 수 있으므로

모든 $x \in (a,b)$에 대해 $f(x) \ne 0$라고 가정한다.

모든 $x \in (a,b)$에 대해 $f(x) > 0$이거나 $f(x) < 0$인데 $f(c_1) < 0 < f(c_2)$인 $c_1,c_2 \in (a,b)$가 존재한다고 하면

근의 위치 정리로 $f(c_3) = 0$인 $c_3 \in (a,b)$가 존재하므로 모든 $x \in (a,b)$에 대해 $f(x) \ne 0$인 가정에 모순이 된다.

따라서 모든 $x \in (a,b)$에 대해 $f(x) > 0$이라고 가정하면 $(a,b) \subset [a,b]$이므로

최대-최소 정리로 모든 $x \in (a,b)$에 대해 $\max f([a,b]) \ge f(x) > 0$인 $f$의 최댓값 $\max f([a,b])$가 존재하고

$f(c) = \max f([a,b]) > 0 = f(a) = f(b)$인 $c \in [a,b]$는 구간의 끝점이 아니므로 $c \in (a,b)$가 되어

$c$는 $f$의 극댓값이고 내부 극값 정리로 $f^\prime(c) = 0$이다.

일반성을 잃지 않고 모든 $x \in (a,b)$에 대해 $f(x) < 0$일때도 $f^\prime(c) = 0$인 $c \in (a,b)$가 존재하므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리3(평균값 정리)

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능하면

$f(b) - f(a) = f^\prime(c) \cdot (b-a)$가 되는 $c \in (a,b)$가 적어도 하나 존재한다.

증명

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\varphi(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}\cdot(x-a)$인 함수 $\varphi : [a,b] \to \mathbb{R}$를 정의하면

미분의 선형성과 연속의 선형성으로 $\varphi$는 $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분가능하다.

또 $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$이므로 롤의 정리로 $\varphi^\prime(c) = f^\prime(c) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = 0$이 되는 $c \in (a,b)$가 존재하여

$f^\prime(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$이므로 $f(b) - f(a) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot (b-a) = f^\prime(c) \cdot (b-a)$가 성립한다.

 

 

 

정리4

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능할때

모든 $x \in (a,b)$에 대해 $f^\prime(x) = 0$이면 $f$는 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f(x) = k\in \mathbb{R}$인 상수함수이다.

증명

$a < x \le b$일때 구간 $[a,x]$에 대해 $f$는 $[a,x]$에서 연속이고 $(a,x)$에서 미분가능하므로

평균값 정리로 $f(x) - f(a) = f^\prime(c) \cdot (x-a)$가 되는 $c \in (a,x)$가 존재한다.

모든 $c \in  (a,x) \subseteq (a,b)$에 대해 $f^\prime(c) = 0$이라 가정하였으므로 $f(x) - f(a) = 0$이다.

따라서 모든 $x\in (a,b]$에 대해 $f(x) = f(a)$이고 $f(a) = k$이면 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f(x) = k$이다.

 

 

 

정리5

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속인 함수 $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$가 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능할때

모든 $x \in (a,b)$에 대해 $f^\prime(x) = g^\prime(x)$이면 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f(x) = g(x) + k$가 되는 상수 $k \in \mathbb{R}$가 존재한다.

증명

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $h(x) = f(x) - g(x)$인 함수 $h$는 미분의 선형성과 연속의 선형성으로

$[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분가능하여 모든 $x \in (a,b)$에 대해 $h^\prime(x) = f^\prime(x) - g^\prime(x) = 0$이다.

$h$에 대해 위 정리를 적용하면

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $h(x) = f(x) - g(x) = k$인 $k \in \mathbb{R}$가 존재하여 $f(x) = g(x) + k$이다.

 

 

 

정리6

함수 $f : I \to \mathbb{R}$가 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$에서 미분가능할때 다음이 성립한다.

1. $f$가 $I$에서 증가하기 위한 필요충분조건은 모든 $x \in I$에 대해 $f^\prime(x) \ge 0$인 것이다.

2. $f$가 $I$에서 감소하기 위한 필요충분조건은 모든 $x \in I$에 대해 $f^\prime(x) \le 0$인 것이다.

3. 모든 $x \in I$에 대해 $f^\prime(x) > 0$이면 $f$는 $I$에서 순증가한다.

4. 모든 $x \in I$에 대해 $f^\prime(x) < 0$이면 $f$는 $I$에서 순감소한다.

증명

$f$는 $I$에서 미분가능하므로 미분연속성정리로 $I$에서 연속이다.

일반성을 잃지 않고 1,3번만 증명한다.

1.

모든 $x \in I$에 대해 $f^\prime(x) \ge 0$이면

$x_1<x_2$이고 $x_1,x_2 \in I$일때 닫힌 구간 $[x_1,x_2] \subseteq I$에 대해 $f$에 평균값 정리를 적용하여

$f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)\cdot (x_2 - x_1)$이 되는 $c \in (x_1,x_2)$가 존재하므로

$f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)\cdot (x_2 - x_1) \ge 0$이고 $f(x_2) \ge f(x_1)$이다.

$x_1<x_2$인 임의의 점 $x_1,x_2 \in I$에 대해 $f(x_1) \le f(x_2)$이므로 $f$는 $I$에서 증가한다.

역으로 $f$가 $I$에서 증가할때

$x ,c \in I$에 대해 $x - c>0$이면 $f(x) -f(c)\ge 0$이고 $x -c < 0$이면 $f(x) - f(c) \le 0$이므로

$x \ne c$인 모든 $x  \in I$에 대해 $\dfrac{f(x) - f(c)}{x-c} \ge 0$이다.

$f$는 임의의 $c\in I$에서 미분가능하므로 함수극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c} \left ( \frac{f(x) - f(c)}{x-c} \right ) = f^\prime(c) \ge 0$이다.

3.

모든 $x \in I$에 대해 $f^\prime(x) > 0$이면

$x_1<x_2$이고 $x_1,x_2 \in I$일때 닫힌 구간 $[x_1,x_2] \subseteq I$에 대해 $f$에 평균값 정리를 적용하여

$f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)\cdot (x_2 - x_1)$이 되는 $c \in (x_1,x_2)$가 존재하므로

$f(x_2) - f(x_1) = f^\prime(c)\cdot (x_2 - x_1) > 0$이고 $f(x_2) > f(x_1)$이다.

$x_1<x_2$인 임의의 점 $x_1,x_2 \in I$에 대해 $f(x_1) < f(x_2)$이므로 $f$는 $I$에서 순증가한다.

 

 

 

정리7(1계 도함수 판정법)

함수 $f : [a,b]  \to \mathbb{R}$가 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고

$c \in (a,b)$에 대해 $f$가 열린구간 $(a,c)$와 $(c,b)$에서 미분가능할때 다음이 성립한다.

1. $c - \delta < x < c$인 모든 $x\in (a,c)$에 대해 $f^\prime (x) \ge 0$이고

$c < x < c + \delta$인 모든 $x\in (c,b)$에 대해 $f^\prime (x)\le 0$이 되는

$V_\delta (c) \subset [a,b]$인 $c$의 $\delta$-근방 $V_\delta (c)$가 존재하면 $f$는 $c$에서 극댓값을 갖는다. 

2. $c - \delta < x < c$인 모든 $x \in (a,c)$에 대해 $f^\prime (x) \le 0$이고

$c < x < c + \delta$인 모든 $x\in (c,b)$에 대해 $f^\prime (x)\ge 0$이 되는

$V_\delta (c) \subset [a,b]$인 $c$의 $\delta$-근방 $V_\delta (c)$가 존재하면 $f$는 $c$에서 극솟값을 갖는다. 

증명

일반성을 잃지 않고 1번만 증명한다.

$a< c - \delta < x  < c < b$일때 $f$는 $[x,c]$에서 연속이고 $(x,c)$에서 미분가능하므로

평균값 정리로 $f(c) - f(x) = f^\prime(c_x)\cdot (c-x)$인 $c_x \in (x,c)$가 존재하고

$c - \delta < x < c_x < c $이므로 가정에 의해 $f(c) - f(x) = f^\prime(c_x)\cdot (c-x)\ge 0$이다.

따라서 $ c - \delta < x  < c $인 모든 $x$에 대해 $f(x) \le f(c)$이다.

 

마찬가지로 $a < c < c_x < x < c + \delta < b$일때

평균값 정리로 $f(x) - f(c) = f^\prime(c_x) \cdot (x-c) \le 0$이므로

 $ c  < x  < c+\delta $인 모든 $x$에 대해 $f(c) \ge f(x)$이다.

 

종합하여 모든 $x \in (c-\delta, c+\delta) = V_\delta (c) \subset [a,b]$에 대해 $f(x) \le f(c)$인

$c$의 $\delta$-근방 $V_\delta (c)$이 존재하므로 $f$는 $c$에서 극댓값을 갖는다. 

 

 

 

정리8

정의역이 공구간이나 퇴화구간이 아닌 구간 $I$인 함수 $f : I \to \mathbb{R}$가 $c \in I$에서 미분가능할때 다음이 성립한다.

1. $f^\prime(c) > 0$이면 $c < x < c+\delta$인 모든 $x \in I$에 대해 $f(c)< f(x)$가 되는 $\delta > 0$가 존재한다.

2. $f^\prime(c) < 0$이면 $c -\delta < x < c$인 모든 $x \in I$에 대해 $f(x)> f(c)$가 되는 $\delta > 0$가 존재한다.

증명

일반성을 잃지 않고 1번만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to c} \left ( \frac{f(x) -f(c)}{x-c} \right ) = f^\prime(c) > 0$이면

함수의 극한 정리로 $x \ne c$인 $x \in I \cap V_\delta(c)$에 대해 $\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} > 0$인 $\delta$-근방 $V_\delta(c)$이 존재한다.

따라서 $c -\delta <c<x<c+\delta$인 모든 $x \in I$에 대해

$(x-c)\cdot \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} = f(x) - f(c) > 0$이므로 $f(c) < f(x)$이다.

 

 

 

정리9(다르부[Darboux] 정리)

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 미분가능하고 $f^\prime(a) < k < f^\prime(b)$ 또는 $f^\prime(b) < k < f^\prime(a)$이면

$f^\prime(c) = k \in \mathbb{R}$가 되는 $c \in (a,b)$가 적어도 하나 존재한다.

증명

일반성을 잃지 않고 $f^\prime(a) < k < f^\prime(b)$라고 가정하면 $k - f^\prime(a) > 0$이고 $k - f^\prime(b) <0$이다.

$f$는 미분의 연속성으로 $[a,b]$에서 연속이고 $[a,b]$가 구간이므로 $x\in [a,b]$는 당연히 연속이다. 

따라서 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $g(x) = k\cdot x - f(x)$로 정의되는

함수 $g : [a,b]\to \mathbb{R}$는 연속의 선형성으로 $[a,b]$에서 연속이므로 최대-최소 정리로 $[a,b]$에서 최댓값을 갖는다.

미분의 선형성과 $x$의 미분으로 $g^\prime(a) = k - f^\prime(a) > 0$이므로

위 정리로 $g(a) < g(x)$인 $x\in(a,b]$가 존재하여 $a$에서 $g$는 최대가 아니고

비슷하게 $g^\prime(b) = k - f^\prime(b) < 0$이므로

위 정리로 $g(x) > g(b)$인 $x\in [a,b)$가 존재하여 $b$에서 $g$는 최대가 아니다.

따라서 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $g(c) \ge g(x)$인 $c \in (a,b)$가 존재하고 $c$는 구간의 끝점이 아니므로 $g$의 극댓값이다.

$c$에서 내부 극값 정리를 사용하여 $0 = g^\prime(c) = k - f^\prime(c)$이므로 $k = f^\prime(c)$이다.

 

 

 

정리10

$a<b$일때 함수 $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$가 모든 $x\in (a,b)$에 대해 $g(x) \ne 0$이면 다음이 성립한다.

1. $f$와 $g$가 $a$에서 미분가능할때 $f(a) = g(a) =0$이고 $g^\prime(a) \ne 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a+}$$\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f^\prime(a)}{g^\prime(a)}$이다.

2. $f$와 $g$가 $b$에서 미분가능할때 $f(b) = g(b) = 0$이고 $g^\prime(b) \ne 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-}$$\dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{f^\prime(b)}{g^\prime(b)}$이다.

증명

함수극한 정리로 어떤 점에서 도함수가 존재하면 편측극한형태의 도함수도 존재하고 그 점에서 값이 같다.

또 어떤 점에서 미분가능하면 미분의 연속성으로 그 점에서 연속이므로 극한들의 연산이 정의된다.

1.

$\begin{align*} \frac{f^\prime(a)}{g^\prime(a)} & = \frac{\displaystyle \lim_{x\to a+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\displaystyle \lim_{x\to a+} \frac{g(x)-g(a)}{x-a}} = \lim_{x\to a+} \frac{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac{g(x)-g(a)}{x-a}} = \lim_{x\to a+} \frac{f(x) - f(a)}{g(x)-g(a)}  = \lim_{x\to a+} \frac{f(x) - 0}{g(x) -0 }  = \lim_{x\to a+} \frac{f(x)}{g(x)} \end{align*}$

2.

$\begin{align*} \frac{f^\prime(b)}{g^\prime(b)} & = \frac{\displaystyle \lim_{x\to b-} \frac{f(x)-f(b)}{x-b}}{\displaystyle \lim_{x\to b-} \frac{g(x)-g(b)}{x-b}} = \lim_{x\to b-} \frac{\frac{f(x)-f(b)}{x-b}}{\frac{g(x)-g(b)}{x-b}} = \lim_{x\to b-} \frac{f(x) - f(b)}{g(x)-g(b)}  = \lim_{x\to b-} \frac{f(x) -0 }{g(x) - 0 }  = \lim_{x\to b-} \frac{ f(x)}{g(x)} \end{align*}$

 

 

 

정리11(코시[Cauchy] 평균값 정리)

함수 $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이고 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능할때

모든 $x \in (a,b)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$이면 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}$가 되는 $c \in (a,b)$가 존재한다.

증명

평균값 정리로 $g(b) - g(a) = g^\prime(k)\cdot (b-a)$인 $k \in (a,b)$가 존재하여 $g(b) - g(a) \ne 0$이므로

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $h(x) = \dfrac{f(b)- f(a)}{g(b) - g(a)}\cdot (g(x) - g(a)) - (f(x) - f(a))$인 

함수 $h : [a,b] \to \mathbb{R}$는 연속의 선형성과 미분의 선형성으로 $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분가능하다.

또 $h(a) = h(b) = 0$이므로 롤의 정리로 $h^\prime(c) = \dfrac{f(b)- f(a)}{g(b) - g(a)}\cdot g^\prime (c)  - f^\prime(c)  = 0$인 $c \in (a,b)$가 존재하여

$\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \dfrac{f^\prime(c)}{g^\prime(c)}$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/30#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/30#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766