로피탈의 법칙(L'Hôpital's rule)

정리1($\dfrac{0}{0}$에 대한 유계구간에서의 로피탈의 법칙)

함수 $f,g : (a,b) \to \mathbb{R}$가

$a<b$인 열린구간 $(a,b)$에서 미분가능하고 모든 $x\in (a,b)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$일때 다음이 성립한다.

$a$에서 $f,g$의 우측극한이 $\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x) = 0 = \lim_{x\to a+}g(x)$일때

1. $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  = L \in \mathbb{R}$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f(x)}{g(x)} = L= \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  $이다 

2. $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f(x)}{g(x)} = -\infty = \lim_{x\to a+}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f(x)}{g(x)}=\infty = \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

$b$에서 $f,g$의 좌측극한이 $\displaystyle \lim_{x\to b-}f(x) = 0 = \lim_{x\to b-}g(x)$일때

1. $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =L\in \mathbb{R}$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f(x)}{g(x)}=-\infty = \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty =  \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이다.

증명

$a < \alpha <\beta < b$일때

$f$와 $g$가 $(\alpha,\beta) \subset [\alpha,\beta] \subset (a,b)$에서 미분가능하므로 미분의 연속성으로 $[\alpha,\beta]$에서 연속이고

모든 $x\in (\alpha,\beta)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$이므로 코시평균값 정리로 $\dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}$인 $u \in (\alpha,\beta)$가 존재한다.

 

$\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x) = 0 = \lim_{x\to a+}g(x)$일때

1.

$\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  = L \in \mathbb{R}$이면 우측극한의 정의로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0< x - a<\delta(\epsilon)$인 모든 $x\in (a,b)$가 $L - \epsilon <  \dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} < L + \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하여

$a <\alpha < u < \beta < \delta(\epsilon) + a$인 모든 열린 구간 $(\alpha, \beta)$에 대해

$L - \epsilon < \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}< L + \epsilon$인 $u$가 존재하고

편측극한의 부등식 정리로 $\displaystyle L - \epsilon \le \lim_{\alpha \to a+} \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} =  \lim_{\alpha \to a+} \frac{f(\beta) - 0}{g(\beta)-0} = \frac{f(\beta)}{g(\beta)} \le L + \epsilon$이다.

따라서 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0< \beta - a<\delta(\epsilon)$인 모든 $\beta \in (a,b)$가 $ \left | \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)} - L \right | \le \epsilon$이므로

우측극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to a+}  \frac{f(x)}{g(x)} = L $이다.

2,3

일반성을 잃지 않고 3번만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} = \infty$이면 우측 무한극한의 정의로 

모든 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $0< x - a<\delta(M)$인 모든 $x\in (a,b)$가 $M<\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$가 되는 $\delta(M) > 0$가 존재하여

$a <\alpha < u < \beta  < \delta(M) + a$인 모든 열린 구간 $(\alpha, \beta)$에 대해

$M < \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}$인 $u$가 존재하고

편측극한의 부등식 정리로 $\displaystyle M \le \lim_{\alpha \to a+} \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} =  \lim_{\alpha \to a+} \frac{f(\beta) - 0}{g(\beta)-0} = \frac{f(\beta)}{g(\beta)}$이다.

따라서 모든 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $0< \beta - a <\delta(M)$인 모든 $\beta \in (a,b)$가 $ M \le \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)} $이므로

우측 무한극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to a+}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty $이다.

 

$\displaystyle \lim_{x\to b-}f(x) = 0 = \lim_{x\to b-}g(x)$일때도 일반성을 잃지 않고 1,2,3이 성립한다.

 

 

 

정리2($\dfrac{0}{0}$에 대한 무한구간에서의 로피탈의 법칙)

함수 $f,g : (a,\infty) \to \mathbb{R}$가 무한 열린 구간 $(a,\infty)$에서 미분가능하고 모든 $x\in (a,\infty)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$일때 

$f,g$의 양의 무한대로의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = 0 = \lim_{x\to \infty}g(x)$이면 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  = L \in \mathbb{R}$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다 

2. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = -\infty = \lim_{x\to \infty}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty = \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이다.

함수 $f,g : (-\infty, b) \to \mathbb{R}$가 무한 열린 구간 $(-\infty,b)$에서 미분가능하고 모든 $x\in (-\infty,b)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$일때 

$f,g$의 음의 무한대로의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = 0 = \lim_{x\to -\infty}g(x)$이면 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =L\in \mathbb{R}$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = -\infty = \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty = \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $(a, \infty )$에 대해서만 증명한다.

$a < \alpha <\beta $일때

$f$와 $g$가 $(\alpha,\beta) \subset [\alpha,\beta] \subset (a,\infty)$에서 미분가능하므로 미분의 연속성으로 $[\alpha,\beta]$에서 연속이고

모든 $x\in (\alpha,\beta)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$이므로 코시평균값 정리로 $\dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}$인 $u \in (\alpha,\beta)$가 존재한다.

 

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = 0 = \lim_{x\to \infty}g(x)$일때

1.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  = L \in \mathbb{R}$이면 양의 무한극한의 정의로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x > K(\epsilon)$인 모든 $x\in (a,\infty)$가 $L - \epsilon <  \dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} < L + \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) > a$가 존재하여

$a <K(\epsilon) <\alpha < u < \beta $인 모든 열린 구간 $(\alpha, \beta)$에 대해

$L - \epsilon < \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}< L + \epsilon$인 $u$가 존재하고

함수극한의 부등식 정리로 $\displaystyle L - \epsilon \le \lim_{\beta \to \infty} \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} =  \lim_{\beta \to \infty} \frac{0-f(\alpha)}{0-g(\alpha)} = \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} \le L + \epsilon$이다.

따라서 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $a<K(\epsilon) <  \alpha $인 모든 $\alpha \in (a,\infty)$가 $ \left | \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)} - L \right | \le \epsilon$이므로

무한극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = L $이다.

2,3

일반성을 잃지 않고 3번만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} = \infty$이면 무한극한의 정의로 

모든 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $K(M) < x$인 모든 $x\in (a,\infty)$가 $M<\dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$가 되는 $K(M) > a$가 존재하여

$a <K(M)< \alpha < u < \beta$인 모든 열린 구간 $(\alpha, \beta)$에 대해

$M < \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}$인 $u$가 존재하고

함수극한의 부등식 정리로 $\displaystyle M \le \lim_{\beta \to \infty} \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} =  \lim_{\beta \to \infty} \frac{ 0 -f(\alpha) }{0-g(\alpha)} = \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}$이다.

따라서 모든 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $a<K(M)<  \alpha$인 모든 $\alpha \in (a,\infty)$가 $ M \le \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)} $이므로

무한극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty $이다.

 

 

 

정리5

$a<b$일때 정의역이 열린구간 $(a,b)$인 함수 $g : (a,b) \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x \in (a,b)$에 대해 $g(x) > 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to a+} g(x) = \infty$이면 임의의 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

2. 모든 $x \in (a,b)$에 대해 $g(x) < 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to a+} g(x) = -\infty$이면 임의의 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

3. 모든 $x \in (a,b)$에 대해 $g(x) > 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to b-} g(x) = \infty$이면 임의의 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to b-} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

4. 모든 $x \in (a,b)$에 대해 $g(x) < 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to b-} g(x) = -\infty$이면 임의의 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to b-} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $x \to a+$일때만 증명한다.

1.

$M > 0$이면

우측 무한극한의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 < x - a < \delta(\frac{M}{\epsilon})$인 모든 $x \in (a,b)$가

$g(x) > \dfrac{M}{\epsilon} >0$이 되는 $\delta(\frac{M}{\epsilon}) >0$가 존재하므로 $\epsilon > \dfrac{M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

따라서 우측극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

$M = 0$이면

모든 $x \in (a,b)$에 대해 $g(x) > 0 $이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\epsilon >  0 = \dfrac{M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

$M < 0$이면

우측 무한극한의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 < x - a < \delta(\frac{M}{-\epsilon})$인 모든 $x \in (a,b)$가

$g(x) > \dfrac{M}{-\epsilon} > 0$이 되는 $\delta(\frac{M}{-\epsilon}) >0$가 존재하므로 $\epsilon > \dfrac{-M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

따라서 우측극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

2.

$M > 0$이면

우측 무한극한의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 < x - a < \delta(\frac{M}{-\epsilon})$인 모든 $x \in (a,b)$가

$g(x)< \dfrac{M}{-\epsilon}<0 $이 되는 $\delta(\frac{M}{-\epsilon}) >0$가 존재하므로 $\epsilon > \dfrac{M}{-g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

따라서 우측극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

$M = 0$이면

모든 $x \in (a,b)$에 대해 $g(x) < 0 $이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\epsilon >  0 = \dfrac{M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

$M < 0$이면

우측 무한극한의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 < x - a < \delta(\frac{M}{\epsilon})$인 모든 $x \in (a,b)$가

$g(x) < \dfrac{M}{\epsilon} < 0$이 되는 $\delta(\frac{M}{\epsilon}) >0$가 존재하므로 $\epsilon > \dfrac{M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

따라서 우측극한의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to a+} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

 

 

 

정리3($\dfrac{f}{\infty}$에 대한 유계구간에서의 로피탈의 법칙)

함수 $f,g : (a,b) \to \mathbb{R}$가

$a<b$인 열린 구간 $(a,b)$에서 미분가능하고 모든 $x\in (a,b)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$일때 다음이 성립한다.

$a$에서 $g$의 우측 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to a+}g(x) = \infty$ 또는 $\displaystyle \lim_{x\to a+}g(x) = -\infty$일때

1. $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  = L \in \mathbb{R}$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  $이다 

2. $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f(x)}{g(x)} =-\infty = \lim_{x\to a+}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f(x)}{g(x)}=\infty =  \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

$b$에서 $g$의 좌측 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to b-}g(x) = \infty$ 또는 $\displaystyle \lim_{x\to b-}g(x) = -\infty$일때

1. $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =L\in \mathbb{R}$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f(x)}{g(x)} =L = \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f(x)}{g(x)}=-\infty =  \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to b-}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty = \lim_{x\to b-}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $a$에서 $g$의 우측 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to a+}g(x) = \infty$일때만 증명한다.

$a < \alpha <\beta < b$일때

$f$와 $g$가 $(\alpha,\beta) \subset [\alpha,\beta] \subset (a,b)$에서 미분가능하므로 미분의 연속성으로 $[\alpha,\beta]$에서 연속이고

모든 $x\in (\alpha,\beta)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$이므로 코시평균값 정리로 $\dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}$인 $u \in (\alpha,\beta)$가 존재한다.

1.

$\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  = L \in \mathbb{R}$이면 우측극한의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$0< x - a<  K(\epsilon) \le b-a $인 모든 $x$가 $L - \epsilon <  \dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} < L + \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) > 0$가 존재하므로

$a <\alpha < u < \beta  < K(\epsilon) + a$인 모든 열린 구간 $(\alpha, \beta)$에 대해

$L - \epsilon < \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}< L + \epsilon$인 $u$가 존재한다.

$\displaystyle \lim_{x\to a+} g(x) = \infty$이므로 우측 무한극한의 정의로

$0< x-a <  H(0) \le b - a$인 모든 $x$가 $g(x) > 0$이 되는 $H(0) > 0$이 존재하여

위 정리로 $a< \alpha <\beta < H(0) + a$인 임의의 $\beta$에 대해 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+} \frac{g(\beta)}{g(\alpha)} = 0$이므로

$\delta = \min \{ 1,   \epsilon, \frac{\epsilon}{|L| + 1} \} > 0$에 대해 $a<\alpha < H_\beta(\delta) + a \le \beta  < \min \{ K(\epsilon), H(0) \} + a$인 모든 $\alpha \in (a, \beta)$가

$0 < \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} = \left | \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} - 0 \right | < \delta \le 1$이 되는 $H_\beta(\delta) > 0$이 존재하고

$\dfrac{g(\alpha) - g(\beta)}{g(\alpha)} = 1 - \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} > 0$이므로

$(L - \epsilon)\cdot \left ( 1 -\dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) < \left(\dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta) - g(\alpha)} \right) \cdot \left (\dfrac{g(\alpha) - g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) = \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)} - \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)} < (L + \epsilon) \cdot \left ( 1 - \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) \text{ 가 되어}$

$ (L - \epsilon)\cdot \left ( 1 -\dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) + \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)} < \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)} < (L + \epsilon) \cdot \left ( 1 - \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) + \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)}  $이다.

또 위 정리로 $a< \alpha <\beta < H(0) + a$인 임의의 $\beta$에 대해 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+} \frac{f(\beta)}{g(\alpha)} = 0$이므로

$a<\alpha < K_\beta(\delta) + a \le \beta  < \min \{ K(\epsilon),H(0) \} + a$인 모든 $\alpha \in (a, \beta)$가

$\left | \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)} -0 \right | < \delta$가 되는 $ K_\beta(\delta) > 0$가 존재하여

$a<\alpha < \min \{ H_\beta( \delta) ,K_\beta(\delta) \} + a \le \beta  < \min \{ K(\epsilon), H(0) \} + a$인 모든 $\alpha \in (a, \beta)$에 대해

위 부등식이 성립하고 $-\delta < \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)}  < \delta$와 $0 < \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)}  < \delta$로 $1-\delta < 1- \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} < 1$이 성립한다.

따라서 $\delta = \min \{ 1, \epsilon, \frac{\epsilon}{|L| + 1} \} > 0$이므로

$L - \epsilon <L + \epsilon \le 0$일때

$(L - \epsilon) \cdot 1< (L - \epsilon) \cdot \left (1- \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) < (L - \epsilon) \cdot (1 - \delta)$이므로

$L - 2\cdot \epsilon \le L - \epsilon - \delta <L - \epsilon + \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)} < (L - \epsilon) \cdot \left (1- \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) +\dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)}< \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}$이고

$(L + \epsilon) \cdot 1\le (L + \epsilon) \cdot \left (1- \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) \le (L + \epsilon) \cdot (1 - \delta)$이므로

$\begin{align*} \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} & < (L + \epsilon) \cdot \left ( 1 - \frac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) + \frac{f(\beta)}{g(\alpha)} \\[0.5em] &  \le (L + \epsilon)\cdot (1 -\delta) + \frac{f(\beta)}{g(\alpha)} \\[0.5em] & < (L + \epsilon) \cdot (1-\delta) + \delta  = L + \epsilon - L\cdot \delta - \epsilon \cdot \delta + \delta = L + \epsilon - \delta \cdot (L - 1) - \epsilon \cdot \delta \\[0.5em] & < L + \epsilon - \delta \cdot (L -1) \text{ 이 되어} \end{align*}$

$L + \epsilon \le 0$과 $L \le -\epsilon <0<1$에 대해 $-(|L| + 1) = -|L| - 1\le L -1 < 0$이고

$0 < -\delta \cdot (L -1)\le -\delta \cdot (-1)\cdot (|L| + 1) = \delta \cdot (|L| + 1) \le \dfrac{\epsilon}{|L| + 1}\cdot (|L| + 1) = \epsilon$이므로

$\dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)} < L + \epsilon -\delta\cdot (L -1) \le L + 2\cdot \epsilon$이다.

$0 \le L - \epsilon < L + \epsilon $일때

$(L + \epsilon)\cdot (1-\delta) < (L + \epsilon )\cdot \left (1- \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right )  < (L+\epsilon) \cdot 1$이므로 

$\begin{align*} \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}  < (L + \epsilon) \cdot \left ( 1 - \frac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) + \frac{f(\beta)}{g(\alpha)} < L + \epsilon +\frac{f(\beta)}{g(\alpha)} < L + \epsilon +\delta \le L +2\cdot \epsilon \end{align*}$이고

$(L - \epsilon)\cdot (1-\delta) \le (L - \epsilon )\cdot \left (1- \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) \le (L - \epsilon) \cdot 1$이므로 

$\begin{align*} \frac{f(\alpha)}{g(\alpha)} & > (L - \epsilon) \cdot \left ( 1 - \frac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) + \frac{f(\beta)}{g(\alpha)} \\[0.5em] &  \ge (L - \epsilon)\cdot (1 -\delta) + \frac{f(\beta)}{g(\alpha)} \\[0.5em] & > (L - \epsilon) \cdot (1-\delta) - \delta  = L - \epsilon - L\cdot \delta + \epsilon \cdot \delta - \delta = L - \epsilon - \delta \cdot (L + 1) + \epsilon \cdot \delta \\[0.5em] & > L -\epsilon - \delta\cdot (L + 1) \text{ 이 되어} \end{align*}$

$0 \le L - \epsilon $과 $-1< 0< \epsilon \le L$에 대해 $0< L + 1 \le |L| +1$이고

$ -\epsilon =-\dfrac{\epsilon}{|L| +1}\cdot (|L| + 1) \le - \delta\cdot (|L| + 1)\le -\delta\cdot (L +1) < 0$이므로

$L - 2\cdot \epsilon  \le L - \epsilon - \delta \cdot (L + 1) < \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}$이다.

$ L - \epsilon < 0 < L + \epsilon $일때도 비슷하게 $L - 2\cdot \epsilon < \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)} < L + 2\cdot \epsilon$이므로

$0<\alpha -a< \min \{ H_\beta( \delta) ,K_\beta(\delta) \} \le \beta -a  < \min \{ K(\epsilon), H(0) \} \le b - a$인 모든 $\alpha \in (a, \beta)$에 대해

$\left | \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}  - L \right |< 2\cdot \epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f(x)}{g(x)} = L $이다.

2,3

일반성을 잃지 않고 3번만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 우측극한의 정의로 모든 $M > 1$에 대해

$0< x - a<\delta(M) \le b - a$인 모든 $x$가 $M <  \dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이 되는 $\delta(M) > 0$가 존재하므로

$a <\alpha < u < \beta < \delta(M) + a$인 모든 열린 구간 $(\alpha, \beta)$에 대해 $M <  \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)} = \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta) - g(\alpha)}$인 $u$가 존재하고

$\displaystyle \lim_{x \to a+} g(x) = \infty$이므로 우측 무한극한의 정의로

$0< x-a <  H(0) \le b - a$인 모든 $x$가 $g(x) > 0$이 되는 $H(0) > 0$이 존재한다.

위 정리로 $a< \alpha <\beta < H(0) + a$인 임의의 $\beta$에 대해 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+} \frac{g(\beta)}{g(\alpha)} = 0$이므로

$a<\alpha < K_\beta(\frac{1}{2}) + a \le \beta < \min\{ H(0) , \delta(M) \}+ a$인 모든 $\alpha \in (a,\beta)$가

$0 < \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} = \left | \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} - 0 \right | < \dfrac{1}{2}$이 되는 $K_\beta(\frac{1}{2}) >0$이 존재하여

$\dfrac{g(\alpha) - g(\beta)}{g(\alpha)} = 1 - \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} > \dfrac{1}{2}$이므로

$\dfrac{1}{2} \cdot M < \left (1 - \dfrac{g(\beta)}{g(\alpha)} \right )\cdot M <  \left ( \dfrac{g(\alpha) - g(\beta)}{g(\alpha)} \right ) \cdot \left ( \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta) - g(\alpha)} \right ) = \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)} - \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)}$이고

$\dfrac{1}{2} \cdot M + \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)} < \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}$이다.

또 위 정리로 $a< \alpha < \beta < H(0) + a$인 임의의 $\beta$에 대해 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+} \frac{f(\beta)}{g(\alpha)} = 0$이므로

$a<\alpha < H_\beta(\frac{1}{2}) + a \le \beta < \min\{ H(0) , \delta(M) \}+ a$인 모든 $\alpha \in (a, \beta)$가

$\left | \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)} - 0 \right |< \dfrac{1}{2}$이 되는 $H_\beta(\frac{1}{2}) > 0$이 존재하여 $-\dfrac{1}{2} < \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)}  < \dfrac{1}{2}$이고

$0<\alpha -a < \min\{H_\beta(\frac{1}{2}), K_\beta(\frac{1}{2}) \}  \le \beta -a < \min\{ H(0) , \delta(M) \} \le b-a$인 모든 $\alpha \in (a, \beta)$에 대해

$0< \dfrac{1}{2}\cdot (M - 1) =\dfrac{1}{2}\cdot M - \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2} \cdot M + \dfrac{f(\beta)}{g(\alpha)} < \dfrac{f(\alpha)}{g(\alpha)}$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to a+}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$이다.

 

 

 

정리6

함수 $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x \in (a,\infty)$에 대해 $g(x) > 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$이면 임의의 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

2. 모든 $x \in (a,\infty)$에 대해 $g(x) < 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = -\infty$이면 임의의 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

3. 모든 $x \in (-\infty,b)$에 대해 $g(x) > 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty$이면 임의의 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

4. 모든 $x \in (-\infty ,b)$에 대해 $g(x) < 0$이고 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = -\infty$이면 임의의 $M \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $x \to \infty$일때만 증명한다.

1.

$M > 0$이면

무한대 발산의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $K(\frac{M}{\epsilon}) < x $인 모든 $x \in (a,\infty)$가

$g(x) > \dfrac{M}{\epsilon} >0$이 되는 $K(\frac{M}{\epsilon}) > a$가 존재하므로 $\epsilon > \dfrac{M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

따라서 무한대 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

$M = 0$이면

모든 $x \in (a,\infty)$에 대해 $g(x) > 0 $이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\epsilon >  0 = \dfrac{M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

$M < 0$이면

무한대 발산의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $ K(\frac{M}{-\epsilon}) < x$인 모든 $x \in (a,\infty)$가

$g(x) > \dfrac{M}{-\epsilon} > 0$이 되는 $ K(\frac{M}{-\epsilon}) > a$가 존재하므로 $\epsilon > \dfrac{-M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

따라서 무한대 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

2.

$M > 0$이면

무한대 발산의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $K(\frac{M}{-\epsilon})<x$인 모든 $x \in (a,\infty)$가

$g(x)< \dfrac{M}{-\epsilon}<0 $이 되는 $  K(\frac{M}{-\epsilon}) > a$가 존재하므로 $\epsilon > \dfrac{M}{-g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

따라서 무한대 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

$M = 0$이면

모든 $x \in (a,\infty)$에 대해 $g(x) < 0 $이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\epsilon >  0 = \dfrac{M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

$M < 0$이면

무한대 발산의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $ K(\frac{M}{\epsilon}) < x$인 모든 $x \in (a,\infty)$가

$g(x) < \dfrac{M}{\epsilon} < 0$이 되는 $ K(\frac{M}{\epsilon}) > a$가 존재하므로 $\epsilon > \dfrac{M}{g(x)} = \left |\dfrac{M}{g(x)} - 0 \right | $이다.

따라서 무한대 수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{M}{g(x)} = 0$이다.

 

 

 

정리4($\dfrac{f}{\infty}$에 대한 무한구간에서의 로피탈의 법칙)

함수 $f,g : (a,\infty) \to \mathbb{R}$가 무한 열린 구간 $(a,\infty)$에서 미분가능하고 모든 $x\in (a,\infty)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$일때 

$f,g$의 양의 무한대로의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}g(x) = \infty$ 또는 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}g(x) = -\infty$이면 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  = L \in \mathbb{R}$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = L= \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이다 

2. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = - \infty = \lim_{x\to \infty}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} $이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty = \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이다.

함수 $f,g : (-\infty,b) \to \mathbb{R}$가 무한 열린 구간 $(-\infty,b)$에서 미분가능하고 모든 $x\in (-\infty,b)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$일때 

$f,g$의 음의 무한대로의 극한이 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}g(x) = \infty$ 또는 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}g(x) = -\infty$이면 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =L\in \mathbb{R}$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = L = \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = -\infty = \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty = \lim_{x\to -\infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $(a, \infty )$에 대해서만 증명한다.

$a < \alpha <\beta $일때

$f$와 $g$가 $(\alpha,\beta) \subset [\alpha,\beta] \subset (a,\infty)$에서 미분가능하므로 미분의 연속성으로 $[\alpha,\beta]$에서 연속이고

모든 $x\in (\alpha,\beta)$에 대해 $g^\prime(x) \ne 0$이므로 코시평균값 정리로 $\dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}$인 $u \in (\alpha,\beta)$가 존재한다.

1.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}  = L \in \mathbb{R}$이면 양의 무한대로의 극한의 정의로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $ x > K(\epsilon)$인 모든 $x\in (a,\infty)$가 $L - \epsilon <  \dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} < L + \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) > a$가 존재하므로

$a < K(\epsilon ) < \alpha < u < \beta $인 모든 열린 구간 $(\alpha, \beta)$에 대해

$L - \epsilon < \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta)-g(\alpha)} = \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)}< L + \epsilon$인 $u$가 존재한다.

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$이므로 $a< H(0) < x$인 모든 $x$가 $g(x) > 0$이 되는 $H(0) > a$이 존재하여

위 정리로 $a< H(0) < \alpha < \beta$인 임의의 $\alpha$에 대해 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty} \frac{g(\alpha)}{g(\beta)} = 0$이므로

$\delta = \min \{ 1, \epsilon , \frac{\epsilon}{|L| + 1} \} > 0$에 대해 $a< \max \{H(0), K(\epsilon) \} <\alpha < K_\alpha(\delta) <\beta $인 모든 $\beta \in (\alpha, \infty)$가

$0 < \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} < \delta \le 1$이 되는 $ K_\alpha(\delta) > \alpha$이 존재하고 $\dfrac{g(\beta) - g(\alpha)}{g(\beta)} = 1 - \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} > 0$이므로

$(L - \epsilon)\cdot \left ( 1 -\dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) < \left(\dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta) - g(\alpha)} \right) \cdot \left (\dfrac{g(\beta) - g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) = \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)} - \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)} < (L + \epsilon) \cdot \left ( 1 - \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) \text{ 가 되어}$

$ (L - \epsilon)\cdot \left ( 1 -\dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) + \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)} < \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)} < (L + \epsilon) \cdot \left ( 1 - \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) + \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)}  $이다.

또 위 정리로 $a< H(0) < \alpha < \beta$인 임의의 $\alpha$에 대해 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty} \frac{f(\alpha)}{g(\beta)} = 0$이므로

 $a< \max \{ H(0) , K(\epsilon) \} <\alpha < H_\alpha(\delta) <\beta $인 모든 $\beta \in (\alpha, \infty)$가 $\left | \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)} - 0 \right | < \delta$이 되는 $H_\alpha(\delta) > \alpha$가 존재하여

$a< \max \{ H(0) , K(\epsilon) \} <\alpha < \max \{ K_\alpha(\delta) , H_\alpha(\delta) \} <\beta $인 모든 $\beta \in (\alpha , \infty)$에 대해

위 부등식이 성립하고 $ -\delta < \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)}  < \delta$와 $0 < \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} < \delta $로 $1-\delta < 1-\dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} < 1$이 성립한다.

따라서 $\delta = \min \{ 1, \epsilon, \frac{\epsilon}{|L| + 1} \} > 0$이므로

$L - \epsilon <L + \epsilon \le 0$일때

$(L - \epsilon) \cdot 1< (L - \epsilon) \cdot \left (1- \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) < (L - \epsilon) \cdot (1 - \delta)$이므로

$L - 2\cdot \epsilon \le L - \epsilon - \delta <L - \epsilon + \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)} < (L - \epsilon) \cdot \left (1- \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) +\dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)}< \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)}$이고

$(L + \epsilon) \cdot 1\le (L + \epsilon) \cdot \left (1- \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) \le (L + \epsilon) \cdot (1 - \delta)$이므로

$\begin{align*} \frac{f(\beta)}{g(\beta)} & < (L + \epsilon) \cdot \left ( 1 - \frac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) + \frac{f(\alpha)}{g(\beta)} \\[0.5em] &  \le (L + \epsilon)\cdot (1 -\delta) + \frac{f(\alpha)}{g(\beta)} \\[0.5em] & < (L + \epsilon) \cdot (1-\delta) + \delta  = L + \epsilon - L\cdot \delta - \epsilon \cdot \delta + \delta = L + \epsilon - \delta \cdot (L - 1) - \epsilon \cdot \delta \\[0.5em] & < L + \epsilon - \delta \cdot (L -1) \text{ 이 되어} \end{align*}$

$L + \epsilon \le 0$과 $L \le -\epsilon <0<1$에 대해 $-(|L| + 1) = -|L| - 1\le L -1 < 0$이고

$0 < -\delta \cdot (L -1)\le -\delta \cdot (-1)\cdot (|L| + 1) = \delta \cdot (|L| + 1) \le \dfrac{\epsilon}{|L| + 1}\cdot (|L| + 1) = \epsilon$이므로

$\dfrac{f(\beta)}{g(\beta)} < L + \epsilon -\delta\cdot (L -1) \le L + 2\cdot \epsilon$이다.

$0 \le L - \epsilon < L + \epsilon $일때

$(L + \epsilon)\cdot (1-\delta) < (L + \epsilon )\cdot \left (1- \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right )  < (L+\epsilon) \cdot 1$이므로 

$\begin{align*} \frac{f(\beta)}{g(\beta)}  < (L + \epsilon) \cdot \left ( 1 - \frac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) + \frac{f(\alpha)}{g(\beta)} < L + \epsilon +\frac{f(\alpha)}{g(\beta)} < L + \epsilon +\delta \le L +2\cdot \epsilon \end{align*}$이고

$(L - \epsilon)\cdot (1-\delta) \le (L - \epsilon )\cdot \left (1- \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) \le (L - \epsilon) \cdot 1$이므로 

$\begin{align*} \frac{f(\beta)}{g(\beta)} & > (L - \epsilon) \cdot \left ( 1 - \frac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) + \frac{f(\alpha)}{g(\beta)} \\[0.5em] &  \ge (L - \epsilon)\cdot (1 -\delta) + \frac{f(\alpha)}{g(\beta)} \\[0.5em] & > (L - \epsilon) \cdot (1-\delta) - \delta  = L - \epsilon - L\cdot \delta + \epsilon \cdot \delta - \delta = L - \epsilon - \delta \cdot (L + 1) + \epsilon \cdot \delta \\[0.5em] & > L -\epsilon - \delta\cdot (L + 1) \text{ 이 되어} \end{align*}$

$0 \le L - \epsilon $과 $-1< 0< \epsilon \le L$에 대해 $0< L + 1 \le |L| +1$이고

$ -\epsilon =-\dfrac{\epsilon}{|L| +1}\cdot (|L| + 1) \le - \delta\cdot (|L| + 1)\le -\delta\cdot (L +1) < 0$이므로

$L - 2\cdot \epsilon  \le L - \epsilon - \delta \cdot (L + 1) < \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)}$이다.

$ L - \epsilon < 0 < L + \epsilon $일때도 비슷하게 $L - 2\cdot \epsilon < \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)} < L + 2\cdot \epsilon$이므로

$a< \max \{ H(0) , K(\epsilon) \} <\alpha < \max \{ K_\alpha(\delta) , H_\alpha(\delta) \} <\beta $인 모든 $\beta \in (\alpha , \infty)$에 대해

$\left | \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)}  - L \right |< 2\cdot \epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L $이다.

2,3

일반성을 잃지 않고 3번만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)} =  \infty$이면 양의 무한대로의 극한의 정의로

모든 $M > 1$에 대해 $K(M) < x $인 모든 $x\in (a,\infty)$가 $M <  \dfrac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$이 되는 $K(M) > a$가 존재하므로

$a < K(M)<\alpha < u < \beta $인 모든 열린 구간 $(\alpha, \beta)$에 대해 $M <  \dfrac{f^\prime(u)}{g^\prime(u)} = \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta) - g(\alpha)}$인 $u$가 존재한다.

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$이므로 $a< H(0) < x$인 모든 $x$가 $g(x) > 0$이 되는 $H(0) > a$이 존재하고

위 정리로 $a< H(0) < \alpha < \beta$인 임의의 $\alpha$에 대해 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty} \frac{g(\alpha)}{g(\beta)} = 0$이므로

$a<\max \{H(0), K(M)\}<\alpha < K_\alpha(\frac{1}{2}) <\beta $인 모든 $\beta \in (\alpha, \infty)$에 대해

$0 < \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} = \left | \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} - 0 \right |< \dfrac{1}{2}$이 되는 $K_\alpha(\frac{1}{2})>\alpha$이 존재하여 $\dfrac{g(\beta) - g(\alpha)}{g(\beta)} = 1 - \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} > \dfrac{1}{2}$이므로

$\dfrac{1}{2} \cdot M < \left (1 - \dfrac{g(\alpha)}{g(\beta)} \right )\cdot M <  \left ( \dfrac{g(\beta) - g(\alpha)}{g(\beta)} \right ) \cdot \left ( \dfrac{f(\beta) - f(\alpha)}{g(\beta) - g(\alpha)} \right ) = \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)} - \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)}$이고

$\dfrac{1}{2} \cdot M + \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)} < \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)}$이다.

또 위 정리로 $a< H(0) < \alpha < \beta$인 임의의 $\alpha$에 대해 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty} \frac{f(\alpha)}{g(\beta)} = 0$이므로

$a <\max \{ K(M), H(0) \}< \alpha < H_\alpha(\frac{1}{2}) <\beta $인 모든 $\beta \in (\alpha, \infty)$가

$\left | \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)} -0 \right | < \dfrac{1}{2}$이 되는 $H_\alpha(\frac{1}{2})> \alpha$이 존재하여 $-\dfrac{1}{2}< \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)}  < \dfrac{1}{2}$이고

$a<\max \{ K(M), H(0) \}<\alpha < \max \{ K_\alpha(\frac{1}{2}) , H_\alpha (\frac{1}{2}) \} <\beta $인 모든 $\beta \in (\alpha, \infty)$에 대해

$ 0< \dfrac{1}{2}\cdot (M - 1) =\dfrac{1}{2}\cdot M - \dfrac{1}{2} <  \dfrac{1}{2} \cdot M + \dfrac{f(\alpha)}{g(\beta)} < \dfrac{f(\beta)}{g(\beta)}$이므로 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}  \frac{f(x)}{g(x)} = \infty$이다.

 

 

 

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/31#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/31#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766