리만적분(Riemann integral)

정의1

닫힌구간의 분할 :

임의의 양의 정수 $n\in \mathbb{Z}^+$과 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에 대해 $[a,b] = [x_0, x_1] \cup [x_1, x_2] \cup \cdots \cup [x_{n-1},x_n]$이고

모든 $i,j  = 1,2,\cdots, n $에 대해 $i \ne j$일때 $(x_{i-1} , x_{i}) $ $\cap \; (x_{j-1}, x_{j}) = \emptyset$인

$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n =b$가 되는 점들 $x_0,x_1,\cdots,x_{n-1} ,x_n \in [a,b]$이 끝점으로 구성되는

$[a,b]$의 닫힌부분구간들 $[x_0,x_1],[x_1,x_2],\cdots,[x_{n-1},x_n] \subseteq [a,b]$의 집합족을 

$[a,b]$의 분할 $\mathcal{P} = \{ [x_0,x_1], [x_1,x_2], \cdots , [x_{n-1},x_n] \} = \{ [x_{i-1},x_i] \}^n_{i = 1}$로 정의한다.

$x_0,x_1,\cdots,x_{n-1} ,x_n \in [a,b]$를 분할 $\mathcal{P}$의 분할점이라 하고

임의의 분할 $\mathcal{P}$의 노름(norm)을

$\mathcal{P}$에 속한 닫힌부분구간들의 길이의 최댓값 $\lVert \mathcal{P} \rVert = $ $\max$$\{ x_1 - x_0, x_2 - x_1, \cdots , x_n - x_{n-1} \}$으로 정의한다.

첨점분할 :

$a<b$인 $[a,b]$의 분할 $\mathcal{P}$의 원소인 $[a,b]$의 부분구간들에 속한 임의의 점 $t_i \in [x_{i-1},x_i]$를 첨점(tag)으로 정의하고

분할 $\mathcal{P}$의 부분구간과 그의 첨점으로 구성한 순서쌍 $([x_{i-1},x_i],t_i)$들의 집합을

$[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_0,x_1],t_1), ([x_1,x_2],t_2), \cdots , ([x_{n-1},x_n],t_n) \} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1}$로 정의한다.

임의의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$의 노름은

첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$을 구성하는 분할 $\mathcal{P}$의 노름 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert = \lVert \mathcal{P} \rVert = $ $\max$$\{ x_1 - x_0, x_2 - x_1, \cdots , x_n - x_{n-1} \}$으로 정의한다.

 

 

 

정의2

리만 합(Riemann sum) :

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1}$에 대응되는

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$의 리만 합은 $\displaystyle S(f; \dot{\mathcal{P}}) = \sum_{i = 1}^{n} f(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1})$로 정의된다.

리만적분(Riemann integral) :

$a<b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$에 대해

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가

$\displaystyle \left |\sum_{i = 1}^n  f(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - L \right | =  |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| < \epsilon$을 만족하는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하면

실수 $L \in \mathbb{R}$을 $[a,b]$에서 $f$의 리만적분이라 하고 $f$가 $[a,b]$에서 리만적분가능하다고 한다.

$[a,b]$에서의 모든 리만적분가능 함수족을 $\mathcal{R}[a,b]$로 정의한다.

$f$가 리만적분가능하면 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이고 $[a,b]$에서 $f$의 리만적분을 $\displaystyle L = \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x$로 표기한다.

리만적분은 상합, 하합을 사용하는 다르부적분과 동치이다.

 

 

 

정의4

정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$에 대해 $a= b= c$이면

$f$가 $[a,b] = \{ c\} = [c,c]$에서 리만적분가능하다고 정의하고 $[c,c]$에서 $f$의 리만적분을 $0$으로 정의한다.

또 $[c,c]$에서의 모든 리만적분가능 함수족을 $\mathcal{R}[c,c]$로 정의하고 $\displaystyle 0 = \int_c^c f(x)  \operatorname{d}\!x$로 표기한다.

 

 

 

정의3

정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이면

구간이 뒤집혔을때의 리만적분을 $\displaystyle \int^a_b f(x)  \operatorname{d}\!x = -\int^b_a f(x)  \operatorname{d}\!x$로 정의한다.

 

 

 

정리18

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 $f$의 리만적분가능하기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert \le \delta(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가

$\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{P}}) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | \le \epsilon$을 만족하는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하는 것이다.

증명

$f \in \mathcal{R}[a,b]$일때는 자명하다.

역으로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert \le \delta(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가

$\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{P}}) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | \le \frac{ \epsilon}{2}$를 만족하는 $\delta(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하면

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\frac{\epsilon}{2})$일때도 $\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{P}}) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | \le \frac{\epsilon}{2}$이고 $\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{P}}) - \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \right | \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$이므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리1

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이면 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 $f$의 리만적분은 유일하다.

증명

$a=b$이면 위 정의로 $f$의 리만적분은 $0$이므로 유일하다.

$a<b$이고 $L_1,L_2$가 모두 $f$의 리만적분일때 임의의 $\epsilon > 0$에 대해

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_1 \rVert < \delta_1(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_1) - L_1| < \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $\delta_1(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하고

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_2 \rVert < \delta_2(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_2) - L_2| < \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $\delta_2(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재한다.

$\min$$\{ \delta_1(\frac{\epsilon}{2}), \delta_2(\frac{\epsilon}{2}) \} = \delta(\epsilon) > 0$를 정의하면 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1} $에 대해 

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\epsilon) \le \delta_1(\frac{\epsilon}{2})$이고 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\epsilon) \le \delta_2(\frac{\epsilon}{2})$이므로 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L_1| < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L_2| < \dfrac{\epsilon}{2}$이다.

따라서 삼각부등식으로

$|L_1 - L_2| = |L_1 - S(f;\dot{\mathcal{P}}) + S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L_2| \le |L_1 - S(f;\dot{\mathcal{P}}) | + |L_2 - S(f;\dot{\mathcal{P}}) | < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon $이므로

부등식 정리로 $L_1 = L_2$이다.

 

 

 

정리10

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f(x) = k \in \mathbb{R}$인 상수함수이면

$f \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이고 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b k\operatorname{d}\!x = k\cdot (b - a)$이다.

증명

$a= b$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b k\operatorname{d}\!x = 0 = k\cdot 0 = k\cdot (b - a)$이다.

$a<b$일때 모든 $\epsilon >0$에 대해 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1}$가

$\begin{align*}|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - k\cdot (b-a)| & = \left |\sum_{i = 1}^n  f(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - k\cdot (b-a) \right | \\[0.5em]&= \left |\sum_{i = 1}^n  k\cdot (x_i - x_{i-1}) - k\cdot (b-a) \right | \\[0.5em]&= \left |k\cdot \sum_{i = 1}^n  (x_i - x_{i-1}) - k\cdot (b-a) \right | \\[0.5em]&= |k|\cdot \left |\sum_{i = 1}^n  (x_i - x_{i-1}) - (b-a) \right | \\[0.5em]&=  |k|\cdot \left | (b-a) - (b-a) \right |  \\[0.5em] &= 0\\[0.5em] & < \epsilon \text{ 이므로}\end{align*}$

$f\in \mathcal{R}[a,b]$이고 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = k\cdot (b - a)$이다.

 

 

 

정리3

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f, g : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f,g \in \mathcal{R}[a,b]$이면 다음이 성립한다.

1. 임의의 실수 $c \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $F(x) = c\cdot f(x)$로 정의되는 

함수 $F :[a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b F(x) \operatorname{d}\!x = c \cdot \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x $이다.

2. 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $G(x) = f(x) + g(x)$로 정의되는 

함수 $G :[a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b G(x) \operatorname{d}\!x =  \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$ 이다.

3. 임의의 실수 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $H(x) = \alpha \cdot f(x) + \beta\cdot g(x)$로 정의되는

함수 $H : [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b H(x) \operatorname{d}\!x = \alpha \cdot \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x + \beta \cdot\int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$ 이다.

4. 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f(x)\le g(x)$이면 $\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x \le \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

증명

$\displaystyle \int_a^b  f (x) \operatorname{d}\!x = L$이고 $\displaystyle \int_a^b  g (x) \operatorname{d}\!x = M$일때

1.

$a= b$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_a^b F(x) \operatorname{d}\!x = 0 = c\cdot 0 = c \cdot \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x $이다.

$a<b$일때 임의의 $\epsilon > 0$에 대해

$c = 0$이면 위 정리로 $\displaystyle \int_a^b F(x) \operatorname{d}\!x =c\cdot (b-a) = 0 =c\cdot L  = c\cdot \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x $이고

$c \ne 0$이면 $f$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하므로

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\frac{\epsilon}{|c|})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1} $가

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| < \dfrac{\epsilon}{|c|}$를 만족하는 $\delta(\frac{\epsilon}{|c|}) > 0$가 존재하여

$\begin{align*} |S(F;\dot{\mathcal{P}}) - c\cdot L| & = \displaystyle \left | \sum_{i = 1}^n F(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - c\cdot L\right | \\[0.5em] & =\left |\sum_{i = 1}^n (c\cdot f(t_i))\cdot (x_i - x_{i-1}) - c\cdot L\right | \\[0.5em] & =\left |c\cdot \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - c\cdot L\right | \\[0.5em] & = |c|\cdot \left | \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot(x_i - x_{i-1})-L \right | \\[0.5em] & = |c|\cdot |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| \\[0.5em] & < |c|\cdot \frac{\epsilon}{|c|} = \epsilon  \text{ 이므로}\end{align*}$

$\displaystyle \int_a^b F(x) \operatorname{d}\!x = c\cdot L  = c\cdot \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x $이다.

2.

$a= b$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_a^b G(x) \operatorname{d}\!x = 0 = 0+ 0 =  \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$ 이다.

$a<b$일때 $f,g$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하므로 임의의 $\epsilon > 0$에 대해

$\lVert \dot{\mathcal{P}_1} \rVert < \delta_1(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_1) - L| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $\delta_1(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하고

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_2 \rVert < \delta_2(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(g;\dot{\mathcal{P}}_2) - M| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $\delta_2(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하여

$\min$$\{ \delta_1(\frac{\epsilon}{2}), \delta_2(\frac{\epsilon}{2}) \} = \delta(\epsilon) > 0$를 정의하면

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1} $에 대해 삼각부등식으로

$\begin{align*} | S(G ;\dot{\mathcal{P}}) - ( L+ M) | & = \left | \sum_{i = 1}^nG(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1})-( L+ M)\right |\\[0.5em] & = \left | \sum_{i = 1}^n ( f(t_i) + g(t_i))\cdot (x_{i} - x_{i-1}) - ( L+  M)   \right | \\[0.5em] & = \left | \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) -  L + \sum_{i = 1}^n g(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) -  M   \right | \\[0.5em] & \le  \left | \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) - L \right |+  \left | \sum_{i = 1}^n g(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) - M   \right | =  |S(f; \dot{\mathcal{P}}) - L| +  |S(g;\dot{\mathcal{P}}) - M| \\[0.5em] & \lt  \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{  이므로} \end{align*}$

$\displaystyle \int_a^b G(x) \operatorname{d}\!x =  L +  M = \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

3.

1, 2번으로 $\displaystyle \int_a^b H(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b\alpha \cdot f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^b \beta\cdot g(x) \operatorname{d}\!x = \alpha \cdot \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x + \beta\cdot \int_a^b g(x)\operatorname{d}\!x$이다.

4.

$a= b$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x = 0 = \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

$a<b$일때 $f,g$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하므로 임의의 $\epsilon > 0$에 대해

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_1 \rVert < \delta_1(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_1) - L| < \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $\delta_1(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하고

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_2 \rVert < \delta_2(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(g;\dot{\mathcal{P}}_2) - M| < \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $\delta_2(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재한다.

따라서 $\min$$\{ \delta_1(\frac{\epsilon}{2}), \delta_2(\frac{\epsilon}{2}) \} = \delta(\epsilon) > 0$를 정의하면

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i], t_i) \}_{i =1}^n$에 대해

$-\dfrac{\epsilon}{2} < S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $ -\dfrac{\epsilon}{2} < S(g;\dot{\mathcal{P}}) - M < \dfrac{\epsilon}{2}$이다.

또 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f(x)\le g(x)$이므로 

$\displaystyle S(f; \dot{\mathcal{P}}) = \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) \le \sum_{i = 1}^n g(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) = S(g; \dot{\mathcal{P}})$이 되어

$L - \dfrac{\epsilon}{2} < S(f; \dot{\mathcal{P}}) \le S(g;\dot{\mathcal{P}}) < M +\dfrac{\epsilon}{2}$이고 $\displaystyle \int_a^b  f(x) \operatorname{d}\!x = L \lt M +\epsilon = \int_a^b  g(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon $이므로

부등식 정리로 $\displaystyle \int_a^b  f(x) \operatorname{d}\!x \le \int_a^b  g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

정리4(적분 코시[Cauchy] 판정법)

$a<b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert <\eta(\epsilon)$이고 $\lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert <\eta(\epsilon)$인

모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| < \epsilon$이 되는 $\eta(\epsilon)>0$가 존재하는 것이다.

증명

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이고 $\displaystyle \int_a^b  f (x) \operatorname{d}\!x = L$이면

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| < \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $\delta(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하고

$\lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert < \delta(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}$가 $|S(f;\dot{\mathcal{Q}}) - L| < \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $\delta(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재한다.

따라서 삼각부등식으로

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(g;\dot{\mathcal{Q}})| = |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L + L -S(g;\dot{\mathcal{Q}})| \le |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| +| S(g;\dot{\mathcal{Q}}) -L | \lt \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon $이다.

역으로 정리의 조건을 만족하면

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert <\eta(\frac{1}{n})$이고 $\lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert <\eta(\frac{1}{n})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$이

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| < \dfrac{1}{n}$이 되는 $\eta(\frac{1}{n})>0$가 존재하므로 $\min$$\{ \eta(1), \eta(\frac{1}{2}),\cdots,\eta(\frac{1}{n}) \} = \delta(\frac{1}{n}) > 0$을 정의하고

선택정리로 $\lVert \dot{\mathcal{P}}_n \rVert <\delta(\frac{1}{n})$인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_n$을 선택하여 실수열 $ (S(f;\dot{\mathcal{P}}_n))_{n =1}^\infty$을 정의할때

모든 $\alpha > 0$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}<\alpha$인 $n \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$m \ge n$인 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\lVert \dot{\mathcal{P}}_n \rVert <\delta(\frac{1}{n})\le \eta(\frac{1}{n})$과 $\lVert \dot{\mathcal{P}}_m \rVert < \delta(\frac{1}{m})\le \delta(\frac{1}{n})\le \eta(\frac{1}{n})$이 성립하여

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - S(f;\dot{\mathcal{P}}_m)| < \dfrac{1}{n} < \alpha$이므로 $ (S(f;\dot{\mathcal{P}}_n))_{n =1}^\infty$은 코시수열이다.

코시수열 정리로 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} (S(f;\dot{\mathcal{P}}_m)) = A$인 실수 $A \in \mathbb{R}$가 존재하고

$m\ge n$인 모든 $m ,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $-\dfrac{1}{n} < S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - S(f;\dot{\mathcal{P}}_m) < \dfrac{1}{n}$이므로 수열 부등식 정리로

$-\dfrac{1}{n} \le S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - \displaystyle \lim_{m\to \infty} (S(f;\dot{\mathcal{P}}_m)) = S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - A \le \frac{1}{n}$이고 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - A| \le \dfrac{1}{n}$이다.

따라서 모든 $\epsilon > 0$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{K(\epsilon)} < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)} \rVert <\delta(\frac{1}{K(\epsilon)})$와 $\lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert <\delta(\frac{1}{K(\epsilon)})$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}$는 삼각부등식으로

$\begin{align*} |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) -  A | & = |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)}) + S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)})- A | \\[0.5em] & \le |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)})| +| S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)})- A |  \\[0.5em] & < \frac{1}{K(\epsilon)} + \frac{1}{K(\epsilon)} \\[0.5em] & \lt \frac{\epsilon}{2}  + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon  \text{  이 되어} \end{align*}$

$A$는 $f$의 리만적분이고 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

 

 

 

정리5(적분 조임 정리)

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\displaystyle \int_a^b (\omega_\epsilon(x)- \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x < \epsilon$이고 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) \le f(x) \le \omega_\epsilon(x)$가 되는

$\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in $ $\mathcal{R}[a,b]$인 함수 $\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon : [a,b] \to \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

증명

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이면 모든 $\epsilon >0$에 대해 $\alpha_\epsilon= \omega_\epsilon = f$로 둘때

위 정리로 $\displaystyle \int_a^b (\omega_\epsilon(x)- \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x =0\cdot (b-a)= 0 < \epsilon$이고 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) = f(x) = \omega_\epsilon(x)$이다.

역으로 정리의 조건을 만족할때 $a=b$이면 위 정의로 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 $a<b$라고 가정하면

$\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1}$가

$\displaystyle -\epsilon < S(\alpha_\epsilon; \dot{\mathcal{P}}) - \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x  < \epsilon$이고 $\displaystyle -\epsilon < S(\omega_\epsilon; \dot{\mathcal{P}}) - \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x  < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재한다.

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) \le f(x) \le \omega_\epsilon(x)$이므로

$\begin{align*} \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x -\epsilon & < S(\alpha_\epsilon ; \dot{\mathcal{P}})  = \sum_{i = 1}^n \alpha_\epsilon(x)\cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & \le S(f ; \dot{\mathcal{P}})  = \sum_{i = 1}^n f (x)\cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & \le S(\omega_\epsilon ; \dot{\mathcal{P}})  = \sum_{i = 1}^n \omega_\epsilon(x)\cdot (x_i - x_{i-1}) \lt \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x  +\epsilon \text{ 이고} \end{align*}$

$\lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert < \delta(\epsilon)$인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}$에 대해서도 $\displaystyle \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x - \epsilon < S(f; \dot{\mathcal{Q}}) < \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon$이 되어

$\displaystyle \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x - \epsilon - \left (\int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon \right) < S(f; \dot{\mathcal{P}}) - S(f; \dot{\mathcal{Q}}) < \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon - \left ( \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x - \epsilon \right ) $이고

적분의 선형성으로

$\displaystyle | S(f; \dot{\mathcal{P}}) - S(f; \dot{\mathcal{Q}}) |< \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon - \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon = \int_a^b (\omega_\epsilon(x) - \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x +2\cdot \epsilon \lt 3\cdot \epsilon $이다.

따라서 $\epsilon >0$은 임의이므로 코시 판정법으로 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

 

 

 

정리7(유계성 정리)

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이면 $f$는 $[a,b]$에서 유계이다.

증명

$a= b$이면 모든 $x\in [a,b]$는 $ x = a$이므로 $f(x) = f(a)$가 되어 $f$는 $[a,b]$에서 유계이다.

$a<b$일때 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = L$이면

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(1)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| < 1$를 만족하는 $\delta(1) > 0$가 존재하므로

부등식 정리로 $|S(f;\dot{\mathcal{P}})| - |L| \le |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| < 1$이 되어 $|S(f;\dot{\mathcal{P}})|  < |L|+1$이다.

$f$가 $[a,b]$에서 유계가 아니라고 가정하면

$\lVert \mathcal{Q}\rVert < \delta(1)$인 임의의 $[a,b]$의 분할 $\mathcal{Q}=\{ [x_{i-1},x_i] \}_{i =1}^n$에 대해

$f$가 유계가 아닌 부분구간 $[x_{k-1},x_k]$가 적어도 하나 존재하므로 $i \ne k$일때 첨점은 $t_i = x_i$로 선택하고

$k$번째 첨점은 $\displaystyle \left | \sum_{\substack{ i= 1 \\ i\ne k}}^n f(t_i)\cdot (x_i -  x_{i-1}) \right | + |L| +1 < |f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1})| $가 되도록 $t_k \in [x_{k-1},x_k]$를 선택하여

$[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}} = \{ ([x_{i-1},x_i], t_i) \}_{i =1}^n$를 만들면

$\lVert \dot{\mathcal{Q}} \lVert =\lVert \mathcal{Q} \rVert < \delta(1)$이므로 $|S(f;\dot{\mathcal{Q}})|  < |L| + 1 $이고 부등식 정리로

$\begin{align*} |L| + 1 & <  |f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1})| - \left | \sum_{\substack{ i= 1 \\[0.5em] i\ne k}}^n f(t_i)\cdot (x_i -  x_{i-1}) \right |=|f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1})| - \left |- \sum_{\substack{ i= 1 \\[0.5em] i\ne k}}^n f(t_i)\cdot (x_i -  x_{i-1}) \right | \\[0.5em] &  \le \left | f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1}) -   \left(-\sum_{\substack{ i= 1 \\ i\ne k}}^n f(t_i)\cdot (x_i -  x_{i-1}) \right ) \right | =\left | \sum_{\substack{ i= 1}}^n f(t_i)\cdot (x_i -  x_{i-1}) \right | = |S(f;\dot{\mathcal{Q}})| \\[0.5em] & \lt |L| +1 \text{ 이 되어 모순이다.} \end{align*}$

따라서 $f$는 $[a,b]$에서 유계이다.

 

 

 

정리6(가법 정리)

$a \le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가

$f \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이기 위한 필요충분조건은 임의의 $c \in [a,b]$에 대해

$[a,c]$와 $[c,b]$로의 $f$의 축소함수 $f |_{ [a,c]}$와 $f |_{ [c,b]}$가 각각 $[a,c]$와 $[c,b]$에서 리만적분가능한 것이다.

이때 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^b f(x) \operatorname{d}\!x$가 성립한다.

증명

$[a,c]$와 $[c,b]$로의 $f$의 축소함수를 각각 $f_1 = f |_{ [a,c]}$과 $f_2 = f |_{ [c,b]}$로 정의한다.

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이고 $a = c$ 또는 $c = b$일때 일반성을 잃지 않고 $c = b$로 가정하면

$f =f_1\in \mathcal{R}[a,c] = \mathcal{R}[a,b]$와 위 정의로 $f_2 \in \mathcal{R}[c,b] = \mathcal{R}[c,c]$가 성립하고

$\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x =\int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x + 0 = \int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x +\int_c^c f(x)\operatorname{d}\!x= \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^b f(x) \operatorname{d}\!x\text{ 이다.}$

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이고 $a<c<b$일때

코시 판정법으로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert <\eta(\epsilon)$이고 $\lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert <\eta(\epsilon)$인

모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} ,\dot{\mathcal{Q}} $가 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| < \epsilon$이 되는 $\eta(\epsilon)>0$가 존재하여

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_1 \rVert <\eta(\epsilon)$이고 $\lVert \dot{\mathcal{Q}}_1 \rVert <\eta(\epsilon)$인 임의의 $[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1 , \dot{\mathcal{Q}}_1$와

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_2 \rVert <\eta(\epsilon)$인 임의의 $[c,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$에 대해

$[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \dot{\mathcal{P}}_1 \cup \dot{\mathcal{P}}_2$와 $\dot{\mathcal{Q}} = \dot{\mathcal{Q}}_1 \cup \dot{\mathcal{P}}_2$는 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert <\eta(\epsilon)$과 $\lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert <\eta(\epsilon)$이 성립하고

$|S(f_1;\dot{\mathcal{P}}_1) - S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1)| = |S(f_1;\dot{\mathcal{P}}_1) + S(f_2;\dot{\mathcal{P}}_2) - (S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) + S(f_2;\dot{\mathcal{P}}_2))| = |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| < \epsilon\text{ 이므로}$

코시 판정법으로 $f_1 \in \mathcal{R}[a,c]$이다.

일반성을 잃지 않고 $f_2$에 대해서도 적용하면 $f_2 \in \mathcal{R}[c,b]$가 되어 정리가 성립한다.

 

역으로 $f_1$과 $f_2$가 $\displaystyle \int_a^c f_1(x) \operatorname{d}\!x = L_1$과 $\displaystyle \int_c^b f_2(x) \operatorname{d}\!x = L_2$로 리만적분가능할때

$a = c$ 또는 $c = b$이면 $f =f_2\in \mathcal{R}[c,b] = \mathcal{R}[a,b]$ 또는 $f =f_1\in \mathcal{R}[a,c] = \mathcal{R}[a,b]$이다.

$a<c<b$일때 유계성 정리로 $f_1$과 $f_2$가 각각 $[a,c]$와 $[c,b]$에서 유계이므로

$f$도 $[a,b]$에서 유계가 되어 모든 $x\in [a,b]$에 대해 $|f(x)| \le M$이 되는 $M >0$이 존재한다.

모든 $\epsilon >0$에 대해

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_1 \rVert < \delta_1(\frac{\epsilon}{3})$인 모든 $[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|S(f_1;\dot{\mathcal{P}}_1) - L_1| < \dfrac{\epsilon}{3}$를 만족하는 $\delta_1(\frac{\epsilon}{3}) > 0$가 존재하고

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_2 \rVert < \delta_2(\frac{\epsilon}{3})$인 모든 $[c,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(f_2;\dot{\mathcal{P}}_2) - L_2| < \dfrac{\epsilon}{3}$를 만족하는 $\delta_2(\frac{\epsilon}{3}) > 0$가 존재한다.

$\min$$\{ \delta_1(\frac{\epsilon}{3}), \delta_2(\frac{\epsilon}{3}),\frac{\epsilon }{6M} \} = \delta(\epsilon) > 0$를 정의하고 $\lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert < \delta(\epsilon)$인 임의의 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}$에 대해

$c \in (a,b)$가 $\dot{\mathcal{Q}} = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$의 분할점일때

$x_0 =a < c< b =x_n $이므로 $c = x_k$인 $k = 1,2,\cdots, n-1$가 존재하여

$[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}_1 = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^k$과 $[c,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}_2 = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = k+1}^n$로 나누면

$\lVert \dot{\mathcal{Q}}_1 \rVert < \delta(\epsilon) \le \delta_1(\frac{\epsilon}{3})$이고 $\lVert \dot{\mathcal{Q}}_2 \rVert < \delta(\epsilon) \le \delta_2(\frac{\epsilon}{3})$이므로 삼각부등식으로

$|S(f;\dot{\mathcal{Q}}) - (L_1 + L_2) | = |S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) +S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) - L_1 - L_2 | \le |S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) - L_1 | +|S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) - L_2 | \lt \dfrac{\epsilon}{3} + \dfrac{\epsilon}{3} \lt \epsilon \text{ 이다.}$

$c \in (a,b)$가 $\dot{\mathcal{Q}} = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$의 분할점이 아닐때

$c \in (x_{k-1},x_k)$가 되는 $\dot{\mathcal{Q}}$에 속한 부분구간 $[x_{k-1},x_k]$가 존재하므로

$[a,c]$의 첨점분할을 $\dot{\mathcal{Q}}_1 = \{ ([x_0,x_1],t_1), ([x_1,x_2],t_2),\cdots, ([x_{k-2},x_{k-1}],t_{k-1}), ([x_{k-1},c],c) \}$로

$[c,b]$의 첨점분할을 $\dot{\mathcal{Q}}_2 = \{ ([c,x_k],c), ([x_k,x_{k+1}],t_{k+1}),\cdots, ([x_{n-2},x_{n-1}],t_{n-1}), ([x_{n-1},x_n],t_n) \}$로 나누면

$\begin{align*} S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) - S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) & = f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1}) - f(c)\cdot (c - x_{k-1}) - f(c)\cdot (x_k - c) \\[0.5em] & = f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1}) - f(c)\cdot (x_k - x_{k-1}) \\[0.5em] & = (f(t_k)-f(c))\cdot (x_k - x_{k-1}) \text{ 이다.} \end{align*}$

또 $\lVert \dot{\mathcal{Q}}_1 \rVert < \delta(\epsilon) \le \delta_1(\frac{\epsilon}{3})$이고 $\lVert \dot{\mathcal{Q}}_2 \rVert < \delta(\epsilon) \le \delta_2(\frac{\epsilon}{3})$이므로 삼각부등식과 부등식 정리로

$\begin{align*} |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - (L_1 + L_2)| & = |S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) + S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) + (f(t_k) - f(c))\cdot (x_k - x_{k-1}) - L_1 - L_2| \\[0.5em] & \le |S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) -L_1 | +| S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) -L_2 + (f(t_k) - f(c))\cdot (x_k - x_{k-1})| \\[0.5em] & \le |S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) -L_1 | +| S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) -L_2 |+ | (f(t_k) - f(c))\cdot (x_k - x_{k-1})| \\[0.5em] & < \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} + | f(t_k) - f(c)| \cdot \lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert \\[0.5em] & \le \frac{2\epsilon}{3} + (|f(t_k)| + |f(c)|) \cdot \lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert \\[0.5em] & \lt \frac{2\epsilon}{3} + 2M \cdot \frac{\epsilon}{6M} = \epsilon  \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 $\lVert \dot{\mathcal{Q}} \rVert < \delta(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}$가 $|S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - (L_1 + L_2)|$이 되는 $\delta(\epsilon) >0$이 존재하므로

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이고 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^b f(x) \operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

정리2

함수 $g : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $g \in \mathcal{R}[a,b]$일때

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 서로 다른 $m\in \mathbb{Z}^+$개의 점 $c_1,c_2,\cdots , c_m \in [a,b]$을 제외한

집합 $I_m = [a,b] $ $\setminus$ $ \{ c_1,c_2,\cdots, c_m \}$의 모든 $x \in I_m$에 대해 $f(x) = g(x)$이고

모든 $ j =1,2,\cdots,  m$에 대해 $f(c_j) \ne g(c_j)$인

함수 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x = \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

증명

$m \in $ $\mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 증명한다.

$m = 1$일때

모든 $x \in I_1 = [a,b]\setminus \{ c \}$에 대해 $f(x) = g(x)$이면 $c \in [x_{i-1},x_i]$인 $i = 1,2,\cdots, n$가 존재하여

$c \in (x_{i-1} ,x_i)$이면 $c$는 $[x_{i-1},x_i]$가 아닌 다른 구간의 첨점이 될 수 없고

$[x_{i-1},x_i] = [x_{i-1},c]$이고 $[c,x_{i+1}] = [x_i,x_{i+1}]$인 $i = 1,2,\cdots,n-1$가 존재하여

$([x_{i-1},x_i],t_i ) = ([x_{i-1},c],c)$와 $([c,x_{i+1}], c) =( [x_i,x_{i+1}],t_{i+1})$이 성립하면

$c$는 $c = t_i = t_{i+1}$인 두 개의 첨점으로 선택될 수 있다.

따라서 임의의 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i], t_i) \}_{i =1}^n$에 대해 많아야 두 점에서 $f$와 $g$의 값이 다르고

임의의 $i = 1,2,\cdots,n$에 대해 $x_{i} - x_{i-1} \le \lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert$이므로 부등식 정리로

$\begin{align*} | S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(g;\dot{\mathcal{P}})| & = \left |\sum_{i = 1}^n  (f(t_i) - g(t_i))\cdot (x_i - x_{i-1}) \right | \\[0.5em] & \le  \left |\sum_{i = 1}^n  (f(t_i) - g(t_i))\cdot \lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert \right | = \left |\sum_{i = 1}^n  (f(t_i) - g(t_i)) \right | \cdot \lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert  \\[0.5em] & \le 2\cdot \max \{ |f(t_i) - g(t_i)| : i = 1,2,\cdots, n\} \cdot \lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert  \\[0.5em] & \le 2 |  f(c) - g(c) | \cdot \lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert \\[0.5em] & \le 2(|  f(c)| +| g(c) | )\cdot \lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert \text{  가 되어} \end{align*}$

$\displaystyle \int_a^b g(x)  \operatorname{d}\!x = L$일때 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\delta_1(\epsilon) < \dfrac{\epsilon}{4(|f(c)| + |g(c)|)}$인 $\delta_1(\epsilon) > 0$이 존재하고

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta_2(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가 $|S(g; \dot{\mathcal{P}}) - L| <\dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $\delta_2(\epsilon) > 0$가 존재하므로

$\min$$\{ \delta_1(\epsilon), \delta_2(\epsilon) \} = \delta(\epsilon) > 0$를 정의하면 $\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\epsilon)$일때 삼각부등식으로

$\begin{align*} |S(f; \dot{\mathcal{P}}) - L| & =  |S(f; \dot{\mathcal{P}}) -S(g; \dot{\mathcal{P}}) + S(g; \dot{\mathcal{P}}) - L| \\[0.5em] & \le  |S(f; \dot{\mathcal{P}}) -S(g; \dot{\mathcal{P}})| + | S(g; \dot{\mathcal{P}}) - L| \\[0.5em] & \le 2(|f(c)| + |g(c)|) \cdot \lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert + \frac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & < 2(|f(c)| + |g(c)|) \cdot \delta(\epsilon) + \frac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & \le 2(|f(c)| + |g(c)|) \cdot \delta_1(\epsilon) + \frac{\epsilon}{2} \\[0.5em] & < 2(|f(c)| + |g(c)|) \cdot \frac{\epsilon}{4(|f(c)| + |g(c)|)} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이 되어} \end{align*}$

$f$는 $[a,b]$에서 리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x =L= \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x $이다.

 

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다고 가정하고

$c_1<c_2<\cdots<c_k<c_{k+1}$인 모든 $x\in I_{k+1} = [a,b] \setminus \{ c_1,c_2,\cdots, c_k, c_{k+1} \}$에 대해 $f(x) = g(x)$일때

$c_k < c< c_{k+1}$인 $c \in (a,b)$가 존재하여 $c_1,c_2,\cdots , c_k \in [a,c]$이고 $c_{k+1} \in [c,b]$이므로 $[a,c]$와 $[c,b]$에 대해

귀납가정으로 $\displaystyle \int_a^c f(x)  \operatorname{d}\!x = \int_a^c g(x) \operatorname{d}\!x$ 와 $\displaystyle \int_c^b f(x)  \operatorname{d}\!x = \int_c^b g(x) \operatorname{d}\!x$가 성립하고

가법 정리로 $\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_c^b f(x)  \operatorname{d}\!x = \int_a^c g(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^b g(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

따라서 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리8

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이면

$c\le d$인 닫힌구간 $[c,d] \subseteq [a,b]$로의 $f$의 축소함수 $f |_{ [c,d]}$는 $[c,d]$에서 리만적분가능하다.

증명

$c \in [a,b]$이므로 가법 정리로 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x)  \operatorname{d}\!x+\int_c^b f(x) \operatorname{d}\!x$와 $f |_{ [c,b]} \in \mathcal{R}[c,b]$가 성립하고

$d \in [c,b]$이므로 가법 정리로 $\displaystyle \int_c^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_c^d f(x)  \operatorname{d}\!x+\int_d^b f(x) \operatorname{d}\!x$와 $f |_{ [c,d]} \in \mathcal{R}[c,d]$가 성립한다.

 

 

 

정리11

$a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에 속하는 $c \le d$인 점 $c,d \in [a,b]$가 끝점인 구간 $J \subseteq [a,b]$에 대해

함수 $\varphi_J : [a,b] \to \mathbb{R}$가 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\varphi_J(x)=\begin{cases}1, & (x \in J) \\ 0,& (x \notin J) \end{cases}$로 정의되면 

$\varphi_J \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이고 $\displaystyle \int_a^b \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x = d - c$이다.

증명

$a =b$이면 위 정의로 $\varphi_J \in \mathcal{R}[a,b]$이고 $c ,d\in [a,b]$는 $a= c=d=b$이므로 $\displaystyle \int_a^b \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x = 0 = d - c$이다.

$a<b$이고 $c = d$이면 $J = \{ c\}$이거나 $J = \emptyset$이므로

모든 $x\in [a,b]$에 대해 $f(x) = 0$인 함수 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$는 위 정리로 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x =0\cdot (b-a) = 0  = d-c$가 되어

$J = \emptyset$이면 $f = \varphi_J$이므로 $\varphi_J \in \mathcal{R}[a,b]$와 $\displaystyle \int_a^b \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x = d - c$가 성립하고

$J = \{ c\}$이면 모든 $x\in [a,b] \setminus \{ c\}$에 대해 $f(x) = 0 = \varphi_J(x)$이므로

위 정리로 $\varphi_J \in \mathcal{R}[a,b]$와 $\displaystyle \int_a^b \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x = d - c$가 성립한다.

$a\le c < d \le b$일때

$f : [a,c] \to \mathbb{R}$가 모든 $x \in [a,c]$에 대해 $f(x) = 0$이고

$g : [d,b] \to \mathbb{R}$가 모든 $x \in [d,b]$에 대해 $g(x) = 0$이면 위 정리로 $\displaystyle \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x = 0 = \int_d^b g(x) \operatorname{d}\!x$이므로

$h : [c,d] \to \mathbb{R}$가 모든 $x \in [c,d]$에 대해 $h(x) = 1$로 정의될때 위 정리로 $\displaystyle \int_c^d h(x) \operatorname{d}\!x = d - c$이고

$J$는 $[c,d]$ 또는 $(c,d]$ 또는 $[c,d)$ 또는 $(c,d)$이므로

모든 $x \in [a,c] \setminus \{c\}$에 대해 $f(x) = \varphi_J(x)$가 되어 위 정의 또는 위 정리로 $\displaystyle 0 = \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x =\int_a^c \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x$이고

모든 $x \in [c,d] \setminus \{c, d\}$에 대해 $h(x) = \varphi_J(x)$가 되어 위 정리로 $\displaystyle d - c = \int_c^d h(x) \operatorname{d}\!x = \int_c^d \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x$이고

모든 $x \in [d,b] \setminus \{d\}$에 대해 $g(x) = \varphi_J(x)$가 되어 위 정의 또는 위 정리로 $\displaystyle 0 = \int_d^b g(x) \operatorname{d}\!x = \int_d^b \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x$이다.

따라서 가법 정리로 $\displaystyle \int_a^b \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^c \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x +\int_c^d \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x +\int_d^b \varphi_J(x) \operatorname{d}\!x = d - c$이다.

 

 

 

정리12

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 계단함수 $\varphi : [a,b] \to \mathbb{R}$은 $\varphi \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이다.

증명

$[a,b]$에 포함되는 구간이 $i \ne j$일때 $I_i \cap I_j = \emptyset$이고 $[a,b] = I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_n$일때

임의의 $k = 1,2,\cdots, n$와 모든 $x \in I_k$에 대해 상수 $\varphi(x) = c_k$이면

위 정리의 함수를 사용하여 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\displaystyle \varphi(x) = \sum_{ k = 1}^{n} c_k \cdot \varphi_{I_k}(x)$이므로

적분의 선형성으로 $\varphi \in \mathcal{R}[a,b]$이고 $I_k$의 끝점이 $\alpha_k \le \beta_k$이면 리만적분은 $\displaystyle \int_a^b \varphi(x) \operatorname{d}\!x  = \sum_{k=1}^{n} c_k \cdot ( \beta_k - \alpha_k)$이다.

 

 

 

정리13

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면 $f \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이다.

증명

$a =b$이면 위 정의로 $f\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

$a<b$일때 $f$가 $[a,b]$에서 연속이므로 균등연속성 정리로 균등연속이 되어 모든 $\epsilon >0$에 대해

$|u-v|< \delta(\frac{\epsilon}{b-a})$인 모든 $u,v \in [a,b]$가 $|f(u) - f(v)|< \dfrac{\epsilon}{b-a}$가 되는 $\delta(\frac{\epsilon}{b-a}) > 0$가 존재한다.

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\frac{\epsilon}{b-a})$인 임의의 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i], t_i) \}_{i =1}^n$에 속하는 모든 부분구간 $[x_{i-1},x_i]$에서

최대-최소 정리로 $f$가 최소가 되는 점 $u_i \in [x_{i_1},x_i]$와 최대가 되는 점 $v_i \in [x_{i_1},x_i]$가 존재하므로

$i = 1,2,\cdots ,n-1$인 모든 $x \in [x_{i-1},x_i)$에 대해 $\alpha_\epsilon(x) = f(u_i)$이고

모든 $x \in [x_{n-1},x_n]$에 대해 $\alpha_\epsilon(x) = f(u_n)$인 최솟값 계단함수 $\alpha_\epsilon : [a,b] \to \mathbb{R}$과

$i = 1,2,\cdots ,n-1$인 모든 $x \in [x_{i-1},x_i)$에 대해 $\omega_\epsilon(x) = f(v_i)$이고

모든 $x \in [x_{n-1},x_n]$에 대해 $\omega_\epsilon(x) = f(v_n)$인 최댓값 계단함수 $\omega_\epsilon : [a,b] \to \mathbb{R}$을 정의하면

모든 $x\in [a,b]$에 대해 $\alpha_\epsilon(x) \le f(x) \le \omega_\epsilon(x)$가 성립한다.

위 정리로 $\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in \mathcal{R}[a,b]$이고

적분 부등식 정리로 $\displaystyle \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x = \sum_{i = 1}^n f(u_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \le \sum_{i = 1}^{n} f(v_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) = \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x$이다.

또 $|u_i - v_i| \le x_i - x_{i-1} \le \lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert < \delta(\frac{\epsilon}{b-a})$이므로 $f(v_i) - f(u_i)< \dfrac{\epsilon}{b-a}$이고 적분의 선형성으로

$ \displaystyle 0 \le \int_a^b (\omega_\epsilon(x) - \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x = \sum_{i = 1}^n (f(v_i) - f(u_i))\cdot (x_i - x_{i-1}) \lt \sum_{i=1}^n \frac{\epsilon}{b-a}\cdot (x_i - x_{i-1}) = \epsilon$이다.

따라서 조임 정리로 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

 

 

 

정리14

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 단조이면 $f \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이다.

증명

$a =b$이면 위 정의로 $f\in \mathcal{R}[a,b]$이다.

$a<b$일때 일반성을 잃지 않고 $f$가 $[a,b]$에서 증가한다고 가정한다.

$f$가 $[a,b]$에서 상수함수이면 위 정리로 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 상수함수가 아니라 가정한다.

$f(a) < f(b)$이므로 $0< f(b) - f(a)$이고 아르키메데스 성질로 모든 $\epsilon >0$에 대해

$ \dfrac{\epsilon}{(f(b)-f(a))\cdot(b-a)} > \dfrac{1}{n}$이 되는 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여 $\epsilon > \dfrac{(f(b)-f(a))\cdot(b-a)}{n}$이다.

$[a,b] = [x_0,x_1] \cup [x_1,x_2] \cup \cdots \cup [x_{n-1},x_n]$이고

모든 $i,j  = 1,2,\cdots, n $에 대해 $i \ne j$일때 $(x_{i-1} , x_{i} ) \cap \; (x_{j-1}, x_{j}) = \emptyset$인

$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n =b$가 되는 점들로 구성되고

$i = 1,2,\cdots ,n$인 $x_{i-1}, x _{i} \in [a,b]$에 대해 $x_i -x_{i-1} = \dfrac{b-a}{n}$이면

$f$가 $[a,b]$에서 증가하므로 $x_{i-1} < x_i$에 대해 $f(x_{i-1})\le f(x_i)$이다.

$i = 1,2,\cdots ,n-1$인 모든 $x \in [x_{i-1},x_i)$에 대해 $\alpha_\epsilon(x) = f(x_{i-1})$이고

모든 $x \in [x_{n-1},x_n]$에 대해 $\alpha_\epsilon(x) = f(x_{n-1})$인 최솟값 계단함수 $\alpha_\epsilon : [a,b] \to \mathbb{R}$과

$i = 1,2,\cdots ,n-1$인 모든 $x \in [x_{i-1},x_i)$에 대해 $\omega_\epsilon(x) = f(x_i)$이고

모든 $x \in [x_{n-1},x_n]$에 대해 $\omega_\epsilon(x) = f(x_n)$인 최댓값 계단함수 $\omega_\epsilon : [a,b] \to \mathbb{R}$을 정의하면

위 정리로 $\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in \mathcal{R}[a,b]$이고 모든 $x\in [a,b]$에 대해 $\alpha_\epsilon(x) \le f(x) \le \omega_\epsilon(x)$가 성립하므로

적분 부등식 정리로

$\displaystyle \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x = \sum_{i = 1}^n f(x_{i-1})\cdot (x_i - x_{i-1}) = \frac{b-a}{n}\cdot \sum_{i = 1}^n f(x_{i-1})  \le \frac{b-a}{n}\cdot \sum_{i = 1}^n f(x_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} f(x_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) = \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x \text{  이다.}$

따라서 적분의 선형성으로

$ \displaystyle 0 \le \int_a^b (\omega_\epsilon - \alpha_\epsilon)(x) \operatorname{d}\!x = \frac{b-a}{n} \sum_{i = 1}^n (f(x_i) - f(x_{i-1})) = \frac{b-a}{n}\cdot (f(x_n) - f(x_0))  = \frac{b-a}{n}\cdot (f(b) - f(a))< \epsilon \text{  이므로}$

조임 정리로 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

 

 

 

정리15(적분 평균값 정리)

함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면 

$ \displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = f(c)\cdot (b-a)$가 되는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

증명

$f$가 $[a,b]$에서 연속이므로 위 정리로 $f \in$ $\mathcal{R}[a,b]$이고

최대-최소 정리로 모든 $x \in [a,b]$에 대해

$m\le f(x) \le M$이 되는 $f$의 최솟값 $f(x_*) = m$과 최댓값 $f(x^*) = M$이 존재한다.

위 정리와 적분의 선형성으로 $ \displaystyle \int_a^b m \operatorname{d}\!x = m\cdot (b-a)$이고 $ \displaystyle \int_a^b M \operatorname{d}\!x = M\cdot (b-a)$이므로

적분 부등식 정리로 $ \displaystyle \int_a^b m \operatorname{d}\!x = m\cdot (b-a) \le \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x \le M\cdot (b-a) = \int_a^b M \operatorname{d}\!x $이다.

따라서 구간 연속함수 정리로 $ \displaystyle  m = f(x_*) \le \dfrac{\int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x}{b-a} = f(c) \le f(x^*) = M $이 되는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

 

 

 

정리16

함수 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$가 $a \ge 0$인 닫힌구간 $[-a,a]$에 대해 $f \in$ $\mathcal{R}[-a,a]$이면 다음이 성립한다.

1. $f$가 짝함수이면 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x $이다.

2. $f$가 홀함수이면 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 0$이다.

증명

$a = 0$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 0 = 2\cdot \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x =0= 2\cdot \int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x $이다.

$a> 0$일때 가법 정리로 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x =  \int_{-a}^{0} f(x) \operatorname{d}\!x+ \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x$이므로

$[0,a]$로의 $f$의 축소함수를 $f_+ = f |_{ [0,a ]}$로 정의하고 $[-a,0]$으로의 $f$의 축소함수를 $f_- = f |_{ [-a,0]}$로 정의하면

모든 $\epsilon > 0$에 대해

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_+ \rVert < \delta_+(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[0,a]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_+ = \{ ([x_{i-1},x_i], t_i) \}_{i =1}^n$가

$\displaystyle \left |S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | < \frac{\epsilon}{2}$이 되는 $\delta_+(\frac{\epsilon}{2}) > 0$이 존재하고

$\lVert \dot{\mathcal{P}}_- \rVert < \delta_-( \frac{\epsilon}{2})$인 모든 $[-a,0]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_-$가

$\displaystyle \left |S(f_-; \dot{\mathcal{P}}_-) - \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x \right | < \frac{\epsilon}{2}$이 되는 $\delta_-(\frac{\epsilon}{2}) > 0$이 존재한다.

또 $\dot{\mathcal{P}}_+$의 분할점들은 $0 = x_0 < x_1 < \cdots < x_{n-1} < x_n = a$이므로

$-a = -x_n < -x_{n-1} < \cdots < -x_1 < -x_0 = 0$이 되어 $\lVert \dot{\mathcal{P}}_+ \rVert < \min\{\delta_+(\frac{\epsilon}{2}),\delta_-(\frac{\epsilon}{2}) \} \le \delta_+(\frac{\epsilon}{2})$이면

$\dot{\mathcal{P}}_- = \{ ([-x_{n -i+1},-x_{n-i}], -t_{n-i+1}) \}_{i =1}^n$인 $[-a,0]$의 첨점분할은 $\lVert \dot{\mathcal{P}}_- \rVert < \min\{\delta_+(\frac{\epsilon}{2}),\delta_-(\frac{\epsilon}{2}) \} \le \delta_-(\frac{\epsilon}{2})$이다.

1.

$f$가 짝함수이므로 모든 $x \in [0,a]$에 대해 $f_+(x) = f_-(-x)$이고 삼각부등식으로

$\begin{align*} \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x - \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x - S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) +S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x - \sum_{i = 1}^n f_+(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) + S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x - \sum_{i = 1}^n f_-(-t_i)\cdot (-x_{i-1} + x_{i}) + S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x - \sum_{i = 1}^n f_-(-t_{n-i+1})\cdot (-x_{n -i} + x_{n-i+1}) + S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x - S(f_-; \dot{\mathcal{P}}_-) + S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & \le \left | S(f_-; \dot{\mathcal{P}}_-)- \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \left | S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & \lt \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 부등식 정리로 $\displaystyle \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x =  \int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x $이므로 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 2\cdot \int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x $이다.

2.

$f$가 홀함수이므로 모든 $x \in [0,a]$에 대해 $f_+(x) = -f_-(-x)$이고 삼각부등식으로

$\begin{align*} \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x + \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x + S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) -S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) + \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x + \sum_{i = 1}^n f_+(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) + \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x + \sum_{i = 1}^n -f_-(-t_i)\cdot (-x_{i-1} + x_{i}) - S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) + \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x - \sum_{i = 1}^n f_-(-t_{n-i+1})\cdot (-x_{n -i} + x_{n-i+1}) - S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) + \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & = \left | \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x - S(f_-; \dot{\mathcal{P}}_-) - S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) + \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & \le \left | S(f_-; \dot{\mathcal{P}}_-)- \int_{-a}^{0} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \left | S(f_+; \dot{\mathcal{P}}_+) - \int_{0}^{a} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \\[0.5em] & \lt \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 부등식 정리로 $\displaystyle \int_{0}^a f(x) \operatorname{d}\!x + \int_{-a}^0 f(x) \operatorname{d}\!x =0 $이므로 $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \operatorname{d}\!x = 0$이다.

 

 

 

정리17(리만[Riemann] 적분가능성 판정법)

함수 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$가 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 유계일때 다음은 동치이다.

1. $f \in $ $\mathcal{R}[a,b]$

2. 어떤 $[a,b]$의 분할 $\mathcal{P}_\epsilon = \{[x_{i-1},x_i]\}_{i=1}^n$가 존재하여

$[a,b]$의 첨점 분할 $\dot{\mathcal{P}}_1 = \{([x_{i-1},x_i],w_i) \}_{i = 1}^n$과 $\dot{\mathcal{P}}_2 = \{([x_{i-1},x_i], z_i) \}_{i = 1}^n$가 부분구간이 서로 같고 첨점은 임의이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\displaystyle \left | \sum_{i=1}^n (f(w_i) - f(z_i))\cdot (x_i -x_{i-1}) \right | = |S(f;\dot{\mathcal{P}}_1) - S(f;\dot{\mathcal{P}}_2)| < \epsilon$이 성립한다.

3. $m_i = $ $\inf$$\{f(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\}$이고 $M_i = $ $\sup$$\{f(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\}$일때

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n (M_i - m_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) < \epsilon$이 되는 $[a,b]$의 분할 $\mathcal{P}_\epsilon = \{[x_{i-1},x_i]\}_{i=1}^n$가 존재한다.

증명

$1\to 2$

$f \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 코시 판정법을 만족하는 $\eta(\epsilon) > 0$이 존재하여

$\lVert \mathcal{P}_\epsilon \rVert < \eta(\epsilon)$인 $[a,b]$의 분할 $\mathcal{P}_\epsilon = \{[x_{i-1},x_i]\}_{i=1}^n$에 대해

$[a,b]$의 첨점 분할 $\dot{\mathcal{P}}_1 = \{([x_{i-1},x_i],w_i) \}_{i = 1}^n$과 $\dot{\mathcal{P}}_2 = \{([x_{i-1},x_i], z_i) \}_{i = 1}^n$가 부분구간이 서로 같고 첨점은 임의이면

노름의 정의로 $\lVert \dot{\mathcal{P}}_1 \rVert = \lVert \mathcal{P}\rVert < \eta(\epsilon)$이고 $\lVert \dot{\mathcal{P}}_2 \rVert =\lVert \mathcal{P}\rVert < \eta(\epsilon)$이므로 $\displaystyle |S(f;\dot{\mathcal{P}}_1) - S(f;\dot{\mathcal{P}}_2)| < \epsilon$이 된다.

$2\to 3$

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $[a,b]$의 분할 $\mathcal{P}_\frac{\epsilon}{2} = \{[x_{i-1},x_i]\}_{i=1}^n$이 존재하여

첨점만 임의인 $[a,b]$의 첨점 분할 $\dot{\mathcal{Q}}_1 = \{([x_{i-1},x_i],u_i) \}_{i = 1}^n$과 $\dot{\mathcal{Q}}_2 = \{([x_{i-1},x_i], v_i) \}_{i = 1}^n$에 대해

$\displaystyle |S(f;\dot{\mathcal{Q}}_1) - S(f;\dot{\mathcal{Q}}_2)| < \frac{\epsilon}{2}$이므로 $\displaystyle -\frac{\epsilon }{2}<S(f;\dot{\mathcal{Q}}_2) - S(f;\dot{\mathcal{Q}}_1) < \frac{\epsilon}{2}$이고 

$0 \le \sup\{f(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\}-\inf\{f(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\} = M_i - m_i$에 대해

하한 정리로 $m_i \le f(u_i) < m_i + \dfrac{\epsilon}{4\cdot (b-a)}$인 $u_i \in [x_{i-1},x_i]$가 존재하고

상한 정리로 $M_i - \dfrac{\epsilon}{4\cdot (b-a)} < f(v_i) \le M_i$인 $v_i \in [x_{i-1},x_i]$가 존재하여

$M_i - m_i - \dfrac{\epsilon}{2\cdot (b-a)} < f(v_i) - f(u_i)$이고 $M_i - m_i < f(v_i) - f(u_i) + \dfrac{\epsilon}{2\cdot (b-a)}$임에 따라

$\begin{align*} \sum_{i= 1}^n (M_i - m_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) & < \sum_{i= 1}^n \left (f(v_i) - f(u_i) + \frac{\epsilon}{2\cdot (b-a)}\right )\cdot(x_i - x_{i-1}) \\ & \quad =  \sum_{i= 1}^n (f(v_i) - f(u_i))\cdot(x_i - x_{i-1}) + \sum_{i=1}^n \frac{\epsilon}{2\cdot (b-a)} \cdot(x_i - x_{i-1}) \\ & \quad =  \sum_{i= 1}^n f(v_i) \cdot(x_i - x_{i-1}) - \sum_{i= 1}^n f(u_i)\cdot(x_i - x_{i-1}) + \frac{\epsilon}{2\cdot (b-a)} \cdot (b-a) \\ & \quad= S(f;\dot{\mathcal{Q}}_2) - S(f; \dot{\mathcal{Q}}_1) + \frac{\epsilon }{2} \\[0.5em] & \lt \frac{\epsilon }{2}+ \frac{\epsilon }{2} =\epsilon \text{ 이다.} \end{align*}$

$3\to 1$

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\displaystyle \sum_{i = 1}^n (M_i - m_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) < \epsilon$인 분할 $\mathcal{P}_\epsilon = \{[x_{i-1},x_i]\}_{i=1}^n$가 존재하므로

$i = 1,2,\cdots ,n-1$인 모든 $x \in [x_{i-1},x_i)$에 대해 $\alpha_\epsilon(x) = m_i = \inf\{f(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\}$이고

모든 $x \in [x_{n-1},x_n]$에 대해 $\alpha_\epsilon(x) = m_n$인 최솟값 계단함수 $\alpha_\epsilon : [a,b] \to \mathbb{R}$과

$i = 1,2,\cdots ,n-1$인 모든 $x \in [x_{i-1},x_i)$에 대해 $\omega_\epsilon(x) = M_i = \sup\{f(x) : x\in [x_{i-1},x_i]\}$이고

모든 $x \in [x_{n-1},x_n]$에 대해 $\omega_\epsilon(x) = M_n$인 최댓값 계단함수 $\omega_\epsilon : [a,b] \to \mathbb{R}$을 정의하면

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\alpha_\epsilon(x) \le f(x) \le \omega_\epsilon(x) $가 된다.

따라서 적분 정리로 계단함수는 적분가능하여

$\displaystyle \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x = \sum_{i=1}^n m_i\cdot (x_i-x_{i-1})$ 이고 $\displaystyle \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x = \sum_{i=1}^n M_i \cdot (x_i-x_{i-1})$ 이므로

적분의 선형성으로 $\displaystyle \int_a^b (\omega_\epsilon - \alpha_\epsilon)(x) \operatorname{d}\!x = \sum_{i=1}^n (M_i - m_i)\cdot (x_i-x_{i-1}) \lt \epsilon$임에 따라

조임정리로 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/33#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/33#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766