일반리만적분(Generalized Riemann integral)

정의1

닫힌구간의 게이지(gauge) :

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $\delta : [a,b] \to \mathbb{R}$가

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\delta(t) > 0$이면 $\delta$를 $[a,b]$에서 게이지라고 한다.

첨점분할의 미세성(fineness) : 

$\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$가 $a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$의 첨점분할일때

$[a,b]$에서의 게이지 $\delta : [a,b]\to (0,\infty)$가 모든 $i = 1,2,\cdots n$에 대해 $t_i \in [x_{i-1},x_i] \subseteq [t_i - \delta(t_i), t_i + \delta(t_i)]$이면

첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가 $\delta$-미세($\delta$-fine)하다고 한다.

 

 

 

정리1

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$가 $\delta$-미세하면

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $|x - t_i| \le \delta(t_i)$가 되는 $\dot{\mathcal{P}}$의 첨점 $t_i$가 존재한다.

증명

모든 $x \in [a,b]$는 $x \in [x_{i-1},x_i]$가 되는 $\dot{\mathcal{P}}$의 부분구간 $[x_{i-1},x_i]$가 존재하고

$\dot{\mathcal{P}}$가 $\delta$-미세하므로 $t_i -\delta(t_i) \le x_{i-1} \le x \le x_i \le t_i + \delta(t_i)$이다.

따라서 $\delta(t_i) > 0$이므로 $ -\delta(t_i) \le x -t_i \le  \delta(t_i)$이고 $|x - t_i| \le \delta(t_i)$이다.

 

 

 

정리2

$a<b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 게이지 $\delta,\gamma : [a,b] \to (0,\infty)$가 모든 $t \in [a,b]$에 대해 $0 < \delta(t) \le \gamma(t)$일때

$[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$가 $\delta$-미세하면 $\gamma$-미세하다.

증명

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $t - \gamma(t) \le t - \delta(t)$이고 $t + \delta(t) \le t + \gamma(t)$이므로

$\dot{\mathcal{P}}$가 $\delta$-미세하면 

$\dot{\mathcal{P}}$의 모든 첨점 $t_i \in [x_{i-1},x_i]$에 대해 $t_i - \gamma(t_i) \le t_i -\delta(t_i) \le x_{i-1} \le t_i \le x_i \le t_i + \delta(t_i) \le t_i +\gamma(t_i)$이고 

$t_i \in [x_{i-1},x_i] \subseteq [t_i - \delta(t_i), t_i + \delta(t_i)] \subseteq [t_i - \gamma(t_i),t_i +\gamma(t_i)]$이므로 $\dot{\mathcal{P}}$는 $\gamma$-미세하다.

 

 

 

정리3

$a< b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 게이지 $\delta : [a,b] \to (0,\infty)$에 대해

$\delta$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$가 존재한다.

증명

집합 $E$가 $\delta$-미세인 $[a,x]$의 첨점분할이 존재하는 모든 점 $x \in [a,b]$들의 집합일때

$\delta(a) > 0$이므로 $a -\delta(a) < a < x_0 < a + \delta(a)$인 $x_0 \in [a,b]$이 존재하여

$[a,x_0]$의 첨점분할 $\{([a,x_0],a)\}$는 $a \in [a, x_0] \subseteq [a- \delta(a), a+\delta(a)]$이므로 $\delta$-미세이고

$x_0 \in E$로 $E$는 공집합이 아니다.

모든 $x \in E$에 대해 $x \le b$이므로 $b$는 $E$의 상계가 되어 상한 $u = \sup E$는 $a < u \le b$이고

$\delta(u) > 0$이므로 상한 정리로 $u - \delta(u) < v \le u < u + \delta(u)$인 $v \in E$가 존재한다.

$v = u$이면 자명하게 $u \in E$이고

$v \ne u$이면 $u - \delta(u) < v < u < u + \delta(u)$이므로 $u \in [v,u] \subseteq [u- \delta(u),u +\delta(u)]$가 되어

$\delta$-미세인 $[a,v]$의 첨점분할이 $\dot{\mathcal{P}}_1$일때 $[a,u]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2 = \dot{\mathcal{P}}_1 \cup \{([v,u],u)\}$는 $\delta$-미세이므로 $u \in E$이다.

또 $u < b$라고 가정하면 $u < w < u + \delta(u)$인 $w \in [a,b]$가 존재하므로 $\delta$-미세인 $[a,u]$의 첨점분할이 $\dot{\mathcal{Q}}_1$일때

$\dot{\mathcal{Q}}_2 = \dot{\mathcal{Q}}_1 \cup \{ ([u,w],u) \}$는 $\delta$-미세인 $[a,w]$의 첨점분할이 되어 $w \in E$이므로 $u$가 $E$의 상계라는 가정에 모순이다.

따라서 $\sup E = u = b$이므로 $\delta$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할이 존재한다.

 

 

 

정의2

$a<b$이고 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수일때

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\delta_\epsilon$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$가

$|$$S(f;\dot{\mathcal{P}})$$\,- \, L | \le \epsilon$을 만족하는 $[a,b]$에서 게이지 $\delta_\epsilon : [a,b] \to (0,\infty)$이 존재하면

실수 $L \in \mathbb{R}$을 $[a,b]$에서 $f$의 일반리만적분이라하고 $f$가 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하다고 한다.

일반리만적분을 헨스톡-쿠르츠바일(Henstock-Kurzweil)적분 또는 게이지(gauge)적분이라고도 한다.

 

$[a,b]$에서의 모든 일반리만적분가능 함수족을 $\mathcal{R}^*[a,b]$로 정의한다.

아래 정리로 $f \in $ $\mathcal{R}[a,b]$이면 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이므로

$[a,b]$에서 $f$의 일반리만적분을 $\displaystyle L = \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x$로 리만적분과 똑같이 표기한다.

 

임의의 $c\in \mathbb{R}$에 대해 함수 $g : [c,c]\to \mathbb{R}$는 일반리만적분가능하다고 정의하고 $g\in \mathcal{R}^*[c,c]$로 표기한다.

또 $[c,c]$에서 $g$의 일반리만적분을 $\displaystyle \int_c^c g(x) \operatorname{d}\!x = 0$으로 정의한다.

 

$a\le b$이고 $h : [a,b] \to \mathbb{R}$가 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수일때 $h \in \mathcal{R}^*[a,b]$이면

구간이 뒤집혔을때의 일반리만적분을 $\displaystyle \int_b^a h(x)  \operatorname{d}\!x = -\int_a^b h(x)  \operatorname{d}\!x$로 정의한다.

 

 

 

정리4(유일성 정리)

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이면 $f$의 일반리만적분은 유일하다.

증명

$a=b$이면 위 정의로 $f$의 일반리만적분은 $0$이므로 $f$의 일반리만적분은 유일하다.

$a<b$이고 $L_1,L_2 \in \mathbb{R}$가 모두 $f$의 일반리만적분일때 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|$$S(f;\dot{\mathcal{P}}_1)$$ \,- \,L_1| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,b]$에서 게이지 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하고

$\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_2) - L_2| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,b]$에서 게이지 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재한다.

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\delta_{\epsilon}(t) = $ $\min$$\{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t)\} > 0$로 정의되는 함수 $\delta_{\epsilon}$은 $[a,b]$에서 게이지이고

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $0 < \delta_{\epsilon}(t) \le \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t)$이고 $0 < \delta_{\epsilon}(t) \le \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t)$이므로

위 정리로 $\delta_{\epsilon}$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$는 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이고 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이다.

따라서 삼각부등식으로

$|L_1 - L_2| = |L_1 - S(f;\dot{\mathcal{P}}) + S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L_2| \le | S(f;\dot{\mathcal{P}})-L_1 | + | S(f;\dot{\mathcal{P}})-L_2 | \le \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon $이므로

부등식 정리로 $L_1 = L_2$이다.

 

 

 

정리5(일관성 정리)

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$에 대해

$f \in $ $\mathcal{R}[a,b]$이고 $f$의 리만적분이 $L \in \mathbb{R}$이면 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이고 $f$의 일반리만적분도 $L$이다.

증명

$a=b$이면 리만적분의 정의와 일반리만적분의 정의로 $f$의 리만적분과 일반리만적분은 모두 $0$이다.

$a<b$일때 $f \in \mathcal{R}[a,b]$이므로 모든 $\epsilon >0$에 대해

$\lVert \dot{\mathcal{P}} \rVert $ $< \delta(\epsilon)$인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가 $|$$S(f;\dot{\mathcal{P}})$$\, -\, L| < \epsilon$을 만족하는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재한다.

선택 정리로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $\delta(\epsilon) > 0$를 선택할때

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\delta_{\epsilon}^*(t) = \dfrac{1}{4}\cdot \delta(\epsilon) > 0$으로 정의되는 함수 $\delta_{\epsilon}^*$는 $[a,b]$에서 게이지이고

$\delta_{\epsilon}^*$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}^* = \{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i = 1}^n$는 모든 $i = 1,2,\cdots, n$에 대해

$t_i - \dfrac{1}{4}\cdot \delta(\epsilon) = t_i - \delta_{\epsilon}^*(t_i)  \le x_{i-1} \le t_i \le x_i \le t_i + \delta_{\epsilon}^*(t_i) = t_i + \dfrac{1}{4}\cdot \delta(\epsilon) $이므로

$0<x_i - x_{i-1}\le 2 \cdot \delta_{\epsilon}^*(t_i) = \dfrac{1}{2}\cdot \delta(\epsilon) < \delta(\epsilon)$이고 $\lVert \dot{\mathcal{P}}^* \rVert \le \dfrac{1}{2}\cdot \delta(\epsilon) < \delta(\epsilon)$이다.

따라서 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}^*) - L| < \epsilon$이므로 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이고 $f$의 일반리만적분은 $L$이다.

 

 

 

정리6

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f, g : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f,g \in \mathcal{R}^*[a,b]$이면 다음이 성립한다.

1. 임의의 $k \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $F(x ) = k\cdot f(x)$로 정의되는

함수 $F: [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b F(x)\operatorname{d}\!x = k\cdot \int_{a}^b f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

2. 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $G(x) = f(x) + g(x)$로 정의되는

함수 $G : [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b G(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

3. 임의의 $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $H(x) = k_1 \cdot f(x) + k_2 \cdot g(x)$로 정의되는

함수 $H : [a,b]\to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b H(x) \operatorname{d}\!x = k_1 \cdot \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x + k_2 \cdot\int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

4. 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f(x)\le g(x)$이면 $\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x \le \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

증명

$\displaystyle \int_a^b  f (x) \operatorname{d}\!x = L$이고 $\displaystyle \int_a^b  g (x) \operatorname{d}\!x = M$일때

1.

$a = b$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_a^b F(x)\operatorname{d}\!x = 0 = k\cdot 0= k\cdot \int_{a}^b f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

$a< b$일때 $k = 0$이면 $F$는 상수함수이므로 리만적분 정리로 $[a,b]$에서 리만적분가능하고 $F$의 리만적분은 $0$이 되어

위 정리로 $F$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b F(x)\operatorname{d}\!x = 0 = k\cdot \int_{a}^b f(x)\operatorname{d}\!x$이다.

$k \ne 0$이면 $f$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하므로 임의의 $\epsilon >0$에 대해

$\delta_{\frac{\epsilon}{|k|}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가 $|$$S(f;\dot{\mathcal{P}})$$\, -\, L| \le \dfrac{\epsilon}{|k|}$를 만족하는 $[a,b]$에서 게이지 $\delta_{\frac{\epsilon}{|k|}}$가 존재하여

$\begin{align*} |S(F;\dot{\mathcal{P}}) - k\cdot L| & = \displaystyle \left | \sum_{i = 1}^n F(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - k\cdot L\right | \\[0.5em] & =\left |\sum_{i = 1}^n (k\cdot f(t_i))\cdot (x_i - x_{i-1}) - k\cdot L\right | \\[0.5em] & =\left |k\cdot \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - k\cdot L\right | \\[0.5em] & = |k|\cdot \left | \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot(x_i - x_{i-1})-L \right | \\[0.5em] & = |k|\cdot |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| \\[0.5em] & \le |k|\cdot \frac{\epsilon}{|k|} = \epsilon  \text{ 이므로}\end{align*}$

$\displaystyle \int_a^b F(x) \operatorname{d}\!x = k\cdot L  = k\cdot \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x $이다.

2.

$a = b$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_a^b G(x) \operatorname{d}\!x = 0 =0+0 = \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

$a<b$일때 $f,g$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하므로 임의의 $\epsilon >0$에 대해

$\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|$$S(f;\dot{\mathcal{P}}_1)$$\, -\, L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,b]$에서 게이지 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하고

$\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(g;\dot{\mathcal{P}}_2) - M| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,b]$에서 게이지 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하여

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\min$$\{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t) \} = \delta_{\epsilon}(t) > 0$으로 정의되는 함수 $\delta_{\epsilon}$는 $[a,b]$에서 게이지이고

위 정리로 $\delta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1} $는 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이고 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이다.

따라서 삼각부등식으로

$\begin{align*} | S(G ;\dot{\mathcal{P}}) - ( L+ M) | & = \left | \sum_{i = 1}^nG(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1})-( L+ M)\right |\\[0.5em] & = \left | \sum_{i = 1}^n ( f(t_i) + g(t_i))\cdot (x_{i} - x_{i-1}) - ( L+  M)   \right | \\[0.5em] & = \left | \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) -  L + \sum_{i = 1}^n g(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) -  M   \right | \\[0.5em] & \le  \left | \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) - L \right |+  \left | \sum_{i = 1}^n g(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) - M   \right | =  |S(f; \dot{\mathcal{P}}) - L| +  |S(g;\dot{\mathcal{P}}) - M| \\[0.5em] & \le  \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{  이므로} \end{align*}$

$\displaystyle \int_a^b G(x) \operatorname{d}\!x =  L +  M = \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

3.

1, 2번으로 $\displaystyle \int_a^b H(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b k_1\cdot f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^b k_2\cdot g(x) \operatorname{d}\!x = k_1\cdot \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x + k_2\cdot \int_a^b g(x)\operatorname{d}\!x$이다.

4.

$a=b$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x = 0 = \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

$a<b$일때 $f,g$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하므로 임의의 $\epsilon > 0$에 대해

$\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_1) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,b]$에서 게이지 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하고

$\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(g;\dot{\mathcal{P}}_2) - M| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,b]$에서 게이지 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하여

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\delta_{\epsilon}(t) = $ $\min$$\{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t) \} > 0$으로 정의되는 함수 $\delta_{\epsilon}$는 $[a,b]$에서 게이지이고

위 정리로 $\delta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1} $는 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이고 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이므로

$-\dfrac{\epsilon}{2} \le S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L \le \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $ -\dfrac{\epsilon}{2} \le S(g;\dot{\mathcal{P}}) - M \le \dfrac{\epsilon}{2}$이다.

따라서 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f(x)\le g(x)$이므로 

$\displaystyle S(f; \dot{\mathcal{P}}) = \sum_{i = 1}^n f(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) \le \sum_{i = 1}^n g(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) = S(g; \dot{\mathcal{P}})$이 되어

$L - \dfrac{\epsilon}{2} \le S(f; \dot{\mathcal{P}}) \le S(g;\dot{\mathcal{P}}) \le M +\dfrac{\epsilon}{2}$이고 $\displaystyle \int_a^b  f(x) \operatorname{d}\!x = L \le M +\epsilon = \int_a^b  g(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon $이므로

부등식 정리로 $\displaystyle \int_a^b  f(x) \operatorname{d}\!x \le \int_a^b  g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

정리7(적분 코시[Cauchy] 판정법)

$a<b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\eta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가

$|$$S(f;\dot{\mathcal{P}}) $$\,-\, S(f;\dot{\mathcal{Q}})| \le \epsilon$이 되는 $[a,b]$에서 게이지 $\eta_{\epsilon} : [a,b] \to (0,\infty)$가 존재하는 것이다.

증명

$f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이고 $\displaystyle \int_a^b  f (x) \operatorname{d}\!x = L$이면 $\delta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $|S(f;\dot{\mathcal{Q}}) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$인 $[a,b]$에서 게이지 $\delta_{\frac{\epsilon}{2}} : [a,b] \to (0,\infty)$가 존재한다.

모든 $t \in [a,b]$에 대해 $\eta_{\epsilon}(t) = \delta_{\frac{\epsilon}{2}}(t)$로 두면 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$는 $\eta_{\epsilon}$-미세이고 삼각부등식으로

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(g;\dot{\mathcal{Q}})| = |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L + L -S(g;\dot{\mathcal{Q}})| \le |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| +| S(g;\dot{\mathcal{Q}}) -L | \le \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon $이다.

역으로 정리의 조건을 만족하면

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\eta_{\frac{1}{n}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| \le \dfrac{1}{n}$이 되는 $[a,b]$에서 게이지 $\eta_{\frac{1}{n}} : [a,b] \to (0,\infty)$이 존재하므로

$\delta_\frac{1}{n}(t) = $ $\min$$\{ \eta_1(t),\eta_\frac{1}{2}(t),\cdots,\eta_\frac{1}{n}(t) \}$인 $[a,b]$에서 게이지 $\delta_\frac{1}{n} : [a,b] \to (0,\infty)$를 정의하고

선택정리와 위 정리로 $\delta_\frac{1}{n}$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_n$을 선택하여 실수열 $ (S(f;\dot{\mathcal{P}}_n))_{n =1}^\infty$을 정의할때

모든 $\alpha > 0$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}<\alpha$인 $n \in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$m \ge n$인 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dot{\mathcal{P}}_n $은 $\delta_\frac{1}{n}$-미세이고 $\dot{\mathcal{P}}_m$은 $\delta_\frac{1}{m}$-미세이므로 위 정리로 $\dot{\mathcal{P}}_n,\dot{\mathcal{P}}_m$은 $\eta_\frac{1}{n}$-미세가 되어

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - S(f;\dot{\mathcal{P}}_m)| \le \dfrac{1}{n}<\alpha$이므로 $(S(f;\dot{\mathcal{P}}_n))_{n=1}^\infty$은 코시수열이다.

코시수열 정리로 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} (S(f;\dot{\mathcal{P}}_m)) = A$인 실수 $A \in \mathbb{R}$가 존재하고

$m\ge n$인 모든 $m ,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $-\dfrac{1}{n} \le S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - S(f;\dot{\mathcal{P}}_m) \le \dfrac{1}{n}$이므로 수열 부등식 정리로

$-\dfrac{1}{n} \le S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - \displaystyle \lim_{m \to \infty} (S(f;\dot{\mathcal{P}}_m)) = S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - A \le \frac{1}{n}$이고 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - A| \le \dfrac{1}{n}$이다.

따라서 모든 $\epsilon > 0$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{K(\epsilon)} < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 

$\dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)}$와 $\delta_{\frac{1}{K(\epsilon)}}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}$는 삼각부등식으로

$\begin{align*} |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) -  A | & = |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)}) + S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)})- A | \\[0.5em] & \le |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)})| +| S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)})- A |  \\[0.5em] & \le \frac{1}{K(\epsilon)} + \frac{1}{K(\epsilon)} \\[0.5em] & \lt \frac{\epsilon}{2}  + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon  \text{  이 되어} \end{align*}$

$A$는 $f$의 일반리만적분이고 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이다.

 

 

 

정리8(적분 조임 정리)

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\displaystyle \int_a^b (\omega_\epsilon(x)- \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x \le \epsilon$이고 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) \le f(x) \le \omega_\epsilon(x)$가 되는

$\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in \mathcal{R}^*[a,b]$인 함수 $\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon : [a,b] \to \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

증명

$f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이면 모든 $\epsilon >0$에 대해 $\alpha_\epsilon= \omega_\epsilon = f$로 둘때 리만적분 정리와 위 정리로

$\displaystyle \int_a^b (\omega_\epsilon(x)- \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x =0\cdot (b-a)= 0 < \epsilon$이고 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) = f(x) = \omega_\epsilon(x)$이다.

역으로 정리의 조건을 만족할때 $a= b$이면 위 정의로 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이므로 $a<b$라고 가정하면

$\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in \mathcal{R}^*[a,b]$이고 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\delta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^n_{i = 1}$가

$\displaystyle -\epsilon \le $ $S(\alpha_\epsilon; \dot{\mathcal{P}})$ $\displaystyle - \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x  \le \epsilon$이고 $\displaystyle -\epsilon \le S(\omega_\epsilon; \dot{\mathcal{P}}) - \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x  \le \epsilon$이 되는

$[a,b]$에서 게이지 $\delta_{\epsilon} : [a,b] \to (0,\infty)$이 존재하여 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) \le f(x) \le \omega_\epsilon(x)$이므로

$\begin{align*} \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x -\epsilon & \le S(\alpha_\epsilon ; \dot{\mathcal{P}})  = \sum_{i = 1}^n \alpha_\epsilon(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & \le S(f ; \dot{\mathcal{P}})  = \sum_{i = 1}^n f (t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & \le S(\omega_\epsilon ; \dot{\mathcal{P}})  = \sum_{i = 1}^n \omega_\epsilon(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \le \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x  +\epsilon \text{ 이고} \end{align*}$

$\delta_{\epsilon}$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}$에 대해서도 $\displaystyle \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x - \epsilon \le S(f; \dot{\mathcal{Q}}) \le \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon$이다.

따라서 

$\displaystyle \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x - \epsilon - \left (\int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon \right) \le S(f; \dot{\mathcal{P}}) - S(f; \dot{\mathcal{Q}}) \le \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon - \left ( \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x - \epsilon \right ) $이고

적분의 선형성으로

$\displaystyle | S(f; \dot{\mathcal{P}}) - S(f; \dot{\mathcal{Q}}) | \le \int_a^b \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon - \int_a^b \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon = \int_a^b (\omega_\epsilon(x) - \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x +2\cdot \epsilon \le 3\cdot \epsilon $이다.

$\epsilon >0$은 임의이므로 코시판정법으로 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이다.

 

 

 

정리9(가법 정리)

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가

$f \in\mathcal{R}^*[a,b]$이기 위한 필요충분조건은 임의의 $c \in [a,b]$에 대해

$[a,c]$와 $[c,b]$로의 $f$의 축소함수 $f |_{ [a,c]}$와 $f |_{ [c,b]}$가 각각 $[a,c]$와 $[c,b]$에서 일반리만적분가능한 것이다.

이때 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^b f(x) \operatorname{d}\!x$가 성립한다.

증명

$[a,c]$와 $[c,b]$로의 $f$의 축소함수를 각각 $f_1 = f |_{ [a,c]}$과 $f_2 = f |_{ [c,b]}$로 정의한다.

$f_1$과 $f_2$가 $\displaystyle \int_a^c f_1(x) \operatorname{d}\!x = L_1$과 $\displaystyle \int_c^b f_2(x) \operatorname{d}\!x = L_2$로 일반리만적분가능할때

$a = c$ 또는 $c = b$이면 $f =f_2\in \mathcal{R}^*[c,b] = \mathcal{R}^*[a,b]$ 또는 $f =f_1\in \mathcal{R}^*[a,c] = \mathcal{R}^*[a,b]$이다.

$a< c< b$이면 모든 $\epsilon >0$에 대해

$\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_1) - L_1| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,c]$의 게이지 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하고

$\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[c,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(g;\dot{\mathcal{P}}_2) - L_2| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[c,b]$의 게이지 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하여

모든 $t \in [a,b]$에 대해

$\delta_{\epsilon}(t)= \begin{cases} \min\{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \;\frac{1}{2}(c-t) \}, & ( t\in [a,c) \text{ 일때} ) \\[0.5em] \min \{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(c), \; \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(c) \}, & ( t= c \text{ 일때} ) \\[0.5em] \min \{ \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \; \frac{1}{2}(t-c) \}, & ( t \in (c,b] \text{ 일때}) \end{cases}$  로 정의되는 함수 $\delta_{\epsilon}$는 $[a,b]$에서 게이지이고

$\delta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,b]$의 첨점분할은

$t_i \ne c$일때 $\dfrac{1}{2}|t_i -c|$항으로 인해 $ c \notin [x_{i-1},x_i] \subseteq [t_i - \delta_\epsilon(t_i), t_i + \delta_\epsilon(t_i)]$이므로

$c \in [x_{k-1},x_k] \subseteq [ t_k - \delta_\epsilon(t_k),t_k + \delta_\epsilon(t_k)]$인 부분구간에서는 항상 $([x_{k-1},x_k] , t_k = c)$로 첨점이 선택된다.

$\delta_{\epsilon}$-미세인 임의의 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}} = \{([x_{i-1},x_i] ,t_i) \}_{i=1}^n$에 대해

$c\in (a,b)$가 $\dot{\mathcal{Q}}$의 분할점일때

$\dot{\mathcal{Q}} = \dot{\mathcal{Q}}_1 \cup \dot{\mathcal{Q}}_2$가 되도록 $[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}_1$과 $[c,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}_2$로 나누면

$S(f; \dot{\mathcal{Q}})$ $ = S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) + S(f_2; \dot{\mathcal{Q}}_2)$이고 $\dot{\mathcal{Q}}$가 $\delta_{\epsilon}$-미세이므로 $\dot{\mathcal{Q}}_1$은 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이고 $\dot{\mathcal{Q}}_2$는 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이다.

따라서 삼각부등식으로

$|S(f;\dot{\mathcal{Q}}) - (L_1 + L_2)| = | S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) - L_1 + S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) - L_2| \le | S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) - L_1 | + | S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) -L_2 | \le \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon \text{  이고}$

$f \in\mathcal{R}^*[a,b]$이다.

$c\in (a,b)$가 $\dot{\mathcal{Q}}$의 분할점이 아닐때

$c \in [x_{k-1},x_k]$인 $\dot{\mathcal{Q}}$에 속한 순서쌍 $([x_{k-1},x_k], t_k = c)$가 존재하므로

$[a,c]$의 첨점분할을 $\dot{\mathcal{Q}}_1 = \{ ([x_0,x_1],t_1), ([x_1,x_2],t_2),\cdots, ([x_{k-2},x_{k-1}],t_{k-1}), ([x_{k-1},c],c) \}$로

$[c,b]$의 첨점분할을 $\dot{\mathcal{Q}}_2 = \{ ([c,x_k],c), ([x_k,x_{k+1}],t_{k+1}),\cdots, ([x_{n-2},x_{n-1}],t_{n-1}), ([x_{n-1},x_n],t_n) \}$로 나누면

$\begin{align*} S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) - S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) & = f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1}) - f(c)\cdot (c - x_{k-1}) - f(c)\cdot (x_k - c) \\[0.5em] & = f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1}) - f(c)\cdot (x_k - x_{k-1}) \\[0.5em] & = (f(t_k)-f(c))\cdot (x_k - x_{k-1})  = 0 \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 위와 같이 $|S(f;\dot{\mathcal{Q}}) - (L_1 + L_2)| \le \epsilon $이고 $f \in\mathcal{R}^*[a,b]$이다.

 

역으로 $f \in\mathcal{R}^*[a,b]$이고 $a = c$ 또는 $c = b$일때 일반성을 잃지 않고 $c = b$로 가정하면

$f =f_1\in \mathcal{R}^*[a,c] = \mathcal{R}^*[a,b]$와 위 정의로 $f_2 \in \mathcal{R}^*[c,b] = \mathcal{R}^*[c,c]$가 성립하고

$\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x =\int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x + 0 = \int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x +\int_c^c f(x)\operatorname{d}\!x= \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^b f(x) \operatorname{d}\!x\text{ 이다.}$

$a<c<b$이면 코시판정법으로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $\eta_{\epsilon}$-미세인

모든 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| \le \epsilon$이 되는 $[a,b]$의 게이지 $\eta_{\epsilon} : [a,b] \to (0,\infty)$가 존재하여

$\eta_{\epsilon}$-미세인 임의의 $[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1,\dot{\mathcal{Q}}_1$와 $\eta_{\epsilon}$-미세인 임의의 $[c,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$에 대해

$[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \dot{\mathcal{P}}_1 \cup \dot{\mathcal{P}}_2$와 $\dot{\mathcal{Q}} = \dot{\mathcal{Q}}_1 \cup \dot{\mathcal{P}}_2$는 $\eta_{\epsilon}$-미세이고

$|S(f_1;\dot{\mathcal{P}}_1) - S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1)| = |S(f_1;\dot{\mathcal{P}}_1) + S(f_2;\dot{\mathcal{P}}_2) - (S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) + S(f_2;\dot{\mathcal{P}}_2))| = |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| \le \epsilon\text{ 이므로}$

코시판정법으로 $f_1 \in \mathcal{R}^*[a,c]$이다.

일반성을 잃지 않고 $f_2$에 대해서도 적용하면 $f_2 \in \mathcal{R}^*[c,b]$가 되어 정리가 성립한다.

 

 

 

정리10

$a\le b$일때 정의역이 닫힌구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이면

$c\le d$인 닫힌구간 $[c,d] \subseteq [a,b]$로의 $f$의 축소함수 $f |_{ [c,d]}$는 $[c,d]$에서 일반리만적분가능하다.

증명

$c \in [a,b]$이므로 가법 정리로 $\displaystyle \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x)  \operatorname{d}\!x+\int_c^b f(x) \operatorname{d}\!x$와 $f |_{ [c,b]} \in \mathcal{R}^*[c,b]$가 성립하고

$d \in [c,b]$이므로 가법 정리로 $\displaystyle \int_c^b f(x) \operatorname{d}\!x = \int_c^d f(x)  \operatorname{d}\!x+\int_d^b f(x) \operatorname{d}\!x$와 $f |_{ [c,d]} \in \mathcal{R}^*[c,d]$가 성립한다.

 

 

 

정리12

$a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 임의의 영함수 $\psi : [a,b] \to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b \psi(x)  \operatorname{d}\!x = 0$이다.

증명

$a =b$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_a^b \psi(x)  \operatorname{d}\!x = 0$이다.

$a <b$일때 영함수의 정의로 집합 $\{x \in [a,b] : \psi(x) \ne 0 \} = Z$는 영집합이고

모든 양의 정수 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해

집합 $\{ x \in Z : m - 1 \le |\psi(x)| < m \} = Z_m$은 $Z_m \subseteq Z$이므로 영집합 정리로 영집합이 되어

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\displaystyle Z_m \subseteq \bigcup_{k = 1}^\infty (a_{k,m},b_{k,m})$이고 $\displaystyle \sum_{k = 1}^\infty (b_{k,m} - a_{k,m}) \le \frac{\epsilon}{m\cdot 2^m}$이 되는

열린구간들의 가산인 무한집합족 $\{(a_{k,m},b_{k,m})\}_{k=1}^{\infty}$가 존재한다.

함수 $\delta_{\epsilon} : [a,b] \to \mathbb{R}$를

모든 $t \in [a,b] \setminus Z$에 대해 $\delta_{\epsilon}(t) = 1$로

모든 $t \in Z$에 대해서는

$t \in Z_{m(t)}$가 되는 $m(t) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하고 $t \in (a_{k(t),m(t)},b_{k(t),m(t)})$인 $k(t) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로

$[t- \delta_{\epsilon}(t), t + \delta_{\epsilon}(t) ] \subset (a_{k(t),m(t)} , b_{k(t),m(t)})$가 되도록 $\delta_{\epsilon}(t) > 0$을 정의하면 $\delta_{\epsilon}$은 $[a,b]$에서 게이지이다.

$\delta_{\epsilon}$-미세인 임의의 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_i] ,t_i) \}_{i=1}^n$은

첨점이 $t_i \in [a,b]\setminus Z$이면 $\psi(t_i) = 0$이고

첨점이 $t_i \in Z$이면 $|\psi(t_i)| < m(t_i)$이고

$\displaystyle t _i \in [x_{i-1},x_i] \subseteq [t_i-\delta_{\epsilon}(t_i),t_i + \delta_{\epsilon}(t_i) ] \subset (a_{k(t_i),m(t_i)},b_{k(t_i),m(t_i)}) \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty (a_{k,m(t_i)},b_{k,m(t_i)}) \subseteq \bigcup_{m=1}^\infty \left ( \bigcup_{k=1}^\infty (a_{k,m},b_{k,m}) \right ) \text{ 이므로}$

삼각부등식과 급수정리로

$\begin{align*} |S(\psi; \dot{\mathcal{P}}) - 0| & = |S(\psi; \dot{\mathcal{P}})|  = \left | \sum_{i = 1}^n \psi(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \right | \\ & \le \sum_{i= 1}^n |\psi(t_i)|\cdot (x_i - x_{i-1}) = \sum_{\substack{ i \ge 1 \\ t_i \in Z}}^n |\psi(t_i)|  \cdot (x_i - x_{i-1}) \\ & \le  \sum_{\substack{ i \ge 1 \\ t_i \in Z}}^n m(t_i)  \cdot (x_i - x_{i-1}) \\ & \le  \sum_{\substack{ i \ge 1 \\ t_i \in Z}}^n m(t_i)  \cdot (b_{k(t_i),m(t_i)} - a_{k(t_i),m(t_i)}) \\ & \le \sum_{\substack{ i \ge 1 \\ t_i \in Z}}^n m(t_i)  \cdot \left ( \sum_{k= 1}^\infty (b_{k,m(t_i)} - a_{k,m(t_i)}) \right ) \\ & \le \sum_{m = 1}^\infty m  \cdot \left ( \sum_{k= 1}^\infty (b_{k,m} - a_{k,m}) \right )   \\  & \le  \sum_{m = 1}^\infty m  \cdot \frac{\epsilon}{m\cdot 2^m} = \sum_{m = 1}^\infty \frac{\epsilon}{2^m} = \epsilon \cdot \left ( \sum_{m = 0}^\infty \frac{1}{2^m} -1 \right ) = \epsilon \text{  이다.} \end{align*}$

따라서 $\psi \in \mathcal{R}^*[a,b]$이고 $\displaystyle \int_a^b \psi(x)  \operatorname{d}\!x = 0$이다.

 

 

 

정리13

함수 $g : [a,b] \to \mathbb{R}$가 $g \in \mathcal{R}^*[a,b]$일때

$a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$의 거의 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $f(x) = g(x)$로 정의되는 

함수 $f: [a,b] \to \mathbb{R}$는 $[a,b]$에서 일반리만적분가능하고 $\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x = \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

증명

$a=b$이면 위 정의로 $\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x = 0 = \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

$a<b$일때 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $h(x) = g(x) - f(x)$인 함수 $h : [a,b] \to \mathbb{R}$를 정의하면

$h$는 $[a,b]$의 거의 모든 $x \in [a,b]$에 대해 $h(x) = 0$이므로 $[a,b]$에서 영함수가 되어 

위 정리로 $h \in \mathcal{R}^*[a,b]$이고 $\displaystyle 0 =  \int_a^b h(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b (g(x) - f(x)) \operatorname{d}\!x$이다.

따라서 적분의 선형성으로 $\displaystyle \int_a^b -(g(x) - f(x)) \operatorname{d}\!x + \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x$이므로

$f \in \mathcal{R}^*[a,b]$이고 적분의 선형성으로

$\displaystyle \int_a^b f(x)  \operatorname{d}\!x =0 +\int_a^b f(x)\operatorname{d}\!x = \int_a^b(g(x) - f(x))\operatorname{d}\!x + \int_a^bf(x)\operatorname{d}\!x = \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/35#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/35#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766