이상적분(Improper integral)

정의1

$a<b$일때 정의역이 구간 $(a,b]$인 함수 $f : (a,b] \to \mathbb{R}$가

모든 $\alpha \in (a, b)$에 대해 $f \in $ $\mathcal{R}[\alpha,b]$이고 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+}$$\displaystyle \int_\alpha^b f(x) \operatorname{d}\!x = A \in \mathbb{R}$가 존재하면

$A$를 $f$의 이상리만적분이라고 한다.

 

$a<b$일때 정의역이 구간 $[a,b)$인 함수 $f : [a,b) \to \mathbb{R}$가

모든 $\beta \in (a, b)$에 대해 $f \in $ $\mathcal{R}[a,\beta]$이고 $\displaystyle \lim_{\beta \to b-}$$\displaystyle \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = A \in \mathbb{R}$가 존재하면

$A$를 $f$의 이상리만적분이라고 한다.

 

정의역이 구간 $(-\infty,b]$인 함수 $f : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가

모든 $\alpha \in (-\infty, b)$에 대해 $f \in $ $\mathcal{R}[\alpha,b]$이고 $\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty}$$\displaystyle \int_\alpha^b f(x) \operatorname{d}\!x = A \in \mathbb{R}$가 존재하면

$A$를 $f$의 이상리만적분이라고 한다.

 

정의역이 구간 $[a,\infty)$인 함수 $f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가

모든 $\beta \in (a, \infty)$에 대해 $f \in $ $\mathcal{R}[a,\beta]$이고 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty}$$\displaystyle \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = A \in \mathbb{R}$가 존재하면

$A$를 $f$의 이상리만적분이라고 한다.

 

일반리만적분은 아래 정리들로 극한이 존재하면 일반리만적분가능하므로 이상적분을 따로 정의하지 않는다.

 

 

 

정리1(유계구간에서의 헤이크[Hake] 정리)

$a<b$일때 정의역이 닫힌 구간 $[a,b]$인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f \in $ $\mathcal{R}^*[a,b]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\beta \in (a,b)$에 대해 $f$의 축소함수가 $f |_{ [a,\beta]} \in \mathcal{R}^*[a,\beta]$이고 $\displaystyle \lim_{\beta \to b-}$$\displaystyle \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = A\in \mathbb{R} $가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{\beta \to b-}$$\displaystyle \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x =A = \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x $가 성립한다.

2. $f \in $ $\mathcal{R}^*[a,b]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\alpha \in (a,b)$에 대해 $f$의 축소함수가 $f |_{ [\alpha,b]} \in \mathcal{R}^*[\alpha,b]$이고 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+}$$\displaystyle \int_\alpha^b f(x) \operatorname{d}\!x = A \in \mathbb{R} $가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+}$$\displaystyle \int_\alpha^b f(x) \operatorname{d}\!x = A = \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x $가 성립한다.

증명

일반성을 잃지 않고 1번만 증명한다.

$f \in $ $\mathcal{R}^*[a,b]$이면 부정적분은 $[a,b]$에서 연속이므로 정리가 성립한다.

$\displaystyle \lim_{\beta \to b-} \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = A \in \mathbb{R}$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0< b - t < S(\epsilon)$인 모든 $t \in [a, b)$가 $ \displaystyle \left |\int_a^t f(x)\operatorname{d}\!x - A \right | < \epsilon$이 되는 $S(\epsilon) > 0$이 존재한다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a =\beta_0 < \beta_k <\beta_{k+1}< b$이고 $b = \displaystyle \lim_{k \to \infty} (\beta_k)$인 임의의 순증가수열 $(\beta_k)_{k=0}^\infty$는

$r \ge K(\epsilon)$인 모든 $r \in \mathbb{Z}^+$이 $0< b - \beta_r < \min \left \{ \dfrac{\epsilon}{|f(b)| + 1},S(\epsilon)  \right \}$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$r = K(\epsilon)$로 정의할때 $t \in [\beta_r, b)$이면 $\beta_r \le t <b <S(\epsilon) + \beta_r \le S(\epsilon) + t$이고 $\displaystyle \left |\int_a^t f(x)\operatorname{d}\!x - A \right | < \epsilon$이다.

또 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $[\beta_{k-1},\beta_k] \subseteq [a,\beta_k]$이므로 축소구간 정리로 $f \in \mathcal{R}^*[\beta_{k-1},\beta_k]$이 되어

$\delta_k$-미세인 모든 $[\beta_{k-1},\beta_k]$의 첨점분할 $\dot{ \mathcal{P}}_k$가 $\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{P}}_k) - \int_{\beta_{k-1}}^{\beta_k} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \le \dfrac{\epsilon}{2^k}$가 되는

$[\beta_{k-1},\beta_k]$에서 게이지 $\delta_k : [\beta_{k-1},\beta_k] \to (0,\infty)$가 존재한다.

모든 $t \in [a,b]$에 대해

$\delta(t) = \begin{cases} \min \left \{ \delta_1(\beta_0),\dfrac{1}{2}(\beta_1 - \beta_0) \right \}, & (t = \beta_0 = a \text{ 일때}) \\ \min \left \{ \delta_k(t), \dfrac{1}{2}(t - \beta_{k-1}), \dfrac{1}{2}(\beta_k - t) \right \}, & (k \ge 1 \text{ 이고 } t \in (\beta_{k-1},\beta_k) \text{ 일때}) \\\min \left \{\delta_{k}(\beta_{k}) ,\delta_{k+1}(\beta_{k}) , \dfrac{1}{2}(\beta_k - \beta_{k-1}), \dfrac{1}{2}(\beta_{k+1} - \beta_k)  \right \}, & (k \ge 1\text{ 이고 } t = \beta_k \text{ 일때}) \\ b - \beta_r, & (t =b \text{ 일때}) \end{cases} \text{ 로 정의되는}$

함수 $\delta :[a, b] \to (0,\infty)$는 $[a,b]$에서 게이지이고 

$\delta$-미세인 임의의 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i], t_i) \}_{i = 1}^n$는

$\dot{\mathcal{P}}$의 마지막 구간에서 $\beta_k \in [x_{n-1},x_n] \subseteq [\beta_k -\delta(\beta_k),\beta_k + \delta(\beta_k)]$인 $k\in \mathbb{Z}^+$가 존재하면

$\beta_k < \beta_{k+1} < b =x_n$이 되는데 게이지의 정의로 $\beta_k < \beta_k +\delta(\beta_k) \le \dfrac{1}{2}(\beta_k +\beta_{k+1} ) < \beta_{k+1} < x_n$이 되어

모순이므로 $\dot{\mathcal{P}}$의 마지막 구간에서는 항상 $([x_{n-1}, x_n = b], t_n = b) \in \dot{\mathcal{P}}$로 첨점이 선택되고

$b \in [x_{n-1},b] \subseteq [b - \delta(b),b + \delta(b)]$이므로 $ \beta_r = b -(b - \beta_r)  = b - \delta(b) \le x_{n-1}$이다.

따라서 $x_{n-1} \le \beta_s $이면 $K(\epsilon) = r\le s$이므로 $s \in \mathbb{Z}^+$가 $x_{n-1} \le \beta_s$를 만족하는 최소 양의 정수일때

$k = 1,2,\cdots, s-1$와 $i = 1,2,\cdots ,n-1$에 대해 게이지의 정의로

$\beta_k \in [x_{i-1},x_i]$이면

$([x_{i-1},x_i] , t_i = \beta_k) \in \dot{\mathcal{P}}$이고 $\beta_k \in [x_{i-1},x_i] \subseteq [\beta_k - \delta(\beta_k),\beta_k+\delta(\beta_k)]$이므로 $\beta_{k-1} ,\beta_{k+1} \notin [x_{i-1},x_i]$이다.

$\beta_k$가 분할점이면 $\dot{\mathcal{P}}$의 원소를 그대로

$\beta_k$가 분할점이 아니면 $\dot{\mathcal{P}}$가 $x_{i-1} < \beta_k < x_i$인 구간만 $([x_{i-1},\beta_k],\beta_k)$와 $([\beta_k,x_i],\beta_k)$로 분할하여

$[\beta_{k-1},\beta_{k}]$의 첨점분할 $Q_k$를 만들면 $\delta$-미세이므로 게이지 정리로 $\delta_k$-미세가 되어

$\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{\beta_{k-1}}^{\beta_k} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \le \dfrac{\epsilon}{2^k}$이고 $f(\beta_k) \cdot (\beta_k - x_{i-1}) + f(\beta_k)\cdot (x_i - \beta_k) = f(\beta_k)\cdot (x_i - x_{i-1})$이 된다.

비슷하게 $[\beta_{s-1},x_{n-1}] \subseteq [\beta_{s-1},\beta_{s}]$의 첨점분할 $Q_s$도 $\delta_s$-미세이므로

가법정리와 헨스톡 보조정리로 $\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{Q}}_s) - \int_{\beta_{s-1}}^{x_{n-1}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \le \dfrac{\epsilon}{2^s}$이다.

또 $\beta_r \le x_{n-1} \le \beta_s < b$이므로 $0 <b-\beta_s \le b- x_{n-1}\le  b - \beta_r < \min \left \{ \dfrac{\epsilon}{|f(b)| +1}, S(\epsilon) \right \}$이고

$|f(b)| \cdot(b - x_{n-1}) < (|f(b)| + 1)\cdot (b - x_{n-1}) < (|f(b)| +1)\cdot \dfrac{\epsilon}{|f(b)|+1} = \epsilon$이 되어

가법정리와 삼각부등식, 급수정리로 

$\begin{align*} |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - A| & = \left | \sum_{i= 1}^n (f(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1})) - A \right | = \left | \sum_{k = 1}^s S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) + f(b)\cdot (b - x_{n-1}) - A \right | \\[0.5em] & = \left | \sum_{k = 1}^s S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{a}^{x_{n-1}} f(x)\operatorname{d}\!x + \int_{a}^{x_{n-1}} f(x)\operatorname{d}\!x - A + f(b)\cdot (b - x_{n-1}) \right | \\[0.5em] & \le \left | \sum_{k = 1}^s S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{a}^{x_{n-1}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \left | \int_{a}^{x_{n-1}} f(x)\operatorname{d}\!x - A \right | + | f(b)\cdot (b - x_{n-1}) | \\[0.5em] & \lt \left | \sum_{k = 1}^{s-1} S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) + S(f;\dot{\mathcal{Q}}_s) - \left ( \int_{a}^{\beta_{s-1}} f(x)\operatorname{d}\!x + \int_{\beta_{s-1}}^{x_{n-1}} f(x)\operatorname{d}\!x \right ) \right | + \epsilon + | f(b) |\cdot (b - x_{n-1}) \\[0.5em] & \lt \left | \sum_{k = 1}^{s-1} S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{a}^{\beta_{s-1}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \left | S(f;\dot{\mathcal{Q}}_s) - \int_{\beta_{s-1}}^{x_{n-1}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \epsilon + \epsilon \\[0.5em] & \le \left | \sum_{k = 1}^{s-1} \left (S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{\beta_{k-1}}^{\beta_{k}} f(x)\operatorname{d}\!x \right )\right | + \frac{\epsilon}{2^s} + 2\cdot \epsilon \\[0.5em] & \le \sum_{k = 1}^{s-1} \left | S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{\beta_{k-1}}^{\beta_{k}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \frac{\epsilon}{2^s} + 2\cdot \epsilon \\[0.5em] & \le \sum_{k = 1}^{s-1} \frac{\epsilon}{2^k}+ \frac{\epsilon}{2^s} + 2\cdot \epsilon = \sum_{k = 1}^{s} \frac{\epsilon}{2^k}+ 2\cdot \epsilon \\[0.5em] & \le \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^k}+ 2\cdot \epsilon = \epsilon \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} \left (\frac{1}{2^k} -1 \right )+ 2\cdot \epsilon = 3\cdot \epsilon \text{   이고} \end{align*}$

 $\displaystyle \lim_{\beta \to b-} \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = A  = \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x $이다.

 

 

 

정의3($[a,\infty]$에서 일반리만적분)

무한구간의 게이지(gauge) :

$a\in \mathbb{R}$일때

모든 $x \in $ $[a,\infty]$에 대해 $0< \delta(x) < \infty$인 함수 $\delta : [a,\infty] \to (0,\infty)$를 $[a,\infty]$에서 게이지라 한다.

무한구간의 첨점분할 :

$a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n < x_{n+1} = \infty$이고 모든 $i = 1,2,\cdots , n,n+1$에 대해 $t_{i} \in [x_{i-1}, x_{i}]$일때

$\displaystyle [a,\infty] = \bigcup_{i= 1}^{n+1} [x_{i-1},x_{i}]$이고 $i \ne j$인 모든 $i,j = 1,2,\cdots , n,n+1$가 $(x_{i-1},x_i)\cap (x_{j-1},x_j) = \emptyset$이 되는

구간과 첨점의 순서쌍들의 집합족 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=1}^{n+1}$를 $[a,\infty]$의 첨점분할로 정의한다.

무한구간의 미세성(fineness) : 

$[a,\infty]$에서 게이지가 $\delta : [a,\infty] \to (0,\infty)$일때

모든 $i = 1,2,\cdots , n$에 대해 $t_{i} \in [x_{i-1},x_{i}] \subseteq [t_{i} - \delta(t_{i}),t_{i} +\delta(t_{i})]$이고

$t_{n+1} = \infty \in [x_{n},x_{n+1}] = [x_n,\infty] \subseteq [\frac{1}{\delta(\infty)},\infty]$인

$[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=1}^{n+1}$를 $\delta$-미세하다고 한다.

무한구간의 일반리만적분 :

함수 $f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 주어지면 $f(\infty) = 0$으로 정의하고

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\delta_\epsilon$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=1}^{n+1}$가

$\displaystyle |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - C| = \left | \sum_{i=1}^{n+1} (f(t_{i})\cdot (x_{i} - x_{i-1})) - C \right | \le \epsilon$이 되는 

$[a,\infty]$에서 게이지 $\delta_\epsilon : [a,\infty] \to (0,\infty)$와 실수 $C \in \mathbb{R}$가 존재할때

$f$가 $[a,\infty]$에서 일반리만적분가능하다고 하고 $\displaystyle C = \int_a^\infty f(x)\operatorname{d}\!x $를 $f$의 일반리만적분이라 한다.

$[a,\infty]$에서 일반리만적분가능 함수족을 $\mathcal{R}^*[a,\infty]$로 표기한다.

리만합 $S(f;\dot{\mathcal{P}})$의 마지막 항이 $f(t_{n+1}) \cdot (x_{n+1} - x_n) = f(\infty)\cdot (\infty - x_n) =$ $0\cdot \infty$ $ = 0$이 되어야하므로

$f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$를 확장하여 $f(\infty) = 0$으로 정의한다.

 

유계구간의 일반리만적분 정의와 같이 $f\in \mathcal{R}^*[a,\infty]$일때

$\displaystyle \int_\infty^a f(x)\operatorname{d}\!x = -\int_a^\infty f(x) \operatorname{d}\!x $와 임의의 $c \in [a,\infty]$에 대해 $\displaystyle \int_c^c f(x)\operatorname{d}\!x =0$을 정의한다.

 

 

 

정의4($[-\infty,b]$에서 일반리만적분)

무한구간의 게이지(gauge) :

$b\in \mathbb{R}$일때

모든 $x \in $ $[-\infty,b]$에 대해 $0< \delta(x) < \infty$인 함수 $\delta : [-\infty,b] \to (0,\infty)$를 $[-\infty,b]$에서 게이지라 한다.

무한구간의 첨점분할 :

$-\infty = x_{-1}< x_0 < x_1 < \cdots < x_n  = b$이고 모든 $i = 0,1,2,\cdots , n$에 대해 $t_{i} \in [x_{i-1}, x_{i}]$일때

$\displaystyle [-\infty,b] = \bigcup_{i=0}^{n} [x_{i-1},x_{i}]$이고 $i \ne j$인 모든 $i,j = 0,1,2,\cdots , n$가 $(x_{i-1},x_i)\cap (x_{j-1},x_j) = \emptyset$이 되는

구간과 첨점의 순서쌍들의 집합족 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=0}^{n}$를 $[-\infty,b]$의 첨점분할로 정의한다.

무한구간의 미세성(fineness) :

$[-\infty,b]$에서 게이지가 $\delta : [-\infty,b] \to (0,\infty)$일때

$t_{0} = -\infty \in [x_{-1},x_{0}] = [-\infty,x_0] \subseteq [ -\infty, -\frac{1}{\delta(-\infty)}]$이고

모든 $i = 1,2,\cdots , n$에 대해 $t_{i} \in [x_{i-1},x_{i}] \subseteq [t_{i} - \delta(t_{i}),t_{i} +\delta(t_{i})]$인

$[-\infty,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=0}^{n}$를 $\delta$-미세하다고 한다.

무한구간의 일반리만적분 : 

함수 $g : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 주어지면 $g(-\infty) = 0$으로 정의하고

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\delta_\epsilon$-미세인 모든 $[-\infty,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=0}^{n}$가

$\displaystyle |S(g;\dot{\mathcal{P}}) - C| = \left | \sum_{i=0}^n (g(t_{i})\cdot (x_{i} - x_{i-1})) - C \right | \le \epsilon$이 되는 

$[-\infty,b]$에서 게이지 $\delta_\epsilon : [-\infty,b] \to (0,\infty)$와 실수 $C \in \mathbb{R}$가 존재할때

$g$가 $[-\infty,b]$에서 일반리만적분가능하다고 하고 $\displaystyle C = \int_{-\infty}^b g(x)\operatorname{d}\!x $를 $g$의 일반리만적분이라 한다.

$[-\infty,b]$에서 일반리만적분가능 함수족을 $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$로 표기한다.

리만합 $S(g;\dot{\mathcal{P}})$의 첫번째 항이 $g(t_{0}) \cdot (x_{0} - x_{-1}) = g(-\infty)\cdot (x_0 - \infty) =$ $ 0 \cdot (-\infty) $ $= 0$이 되어야하므로

$g : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$를 확장하여 $g(-\infty) = 0$으로 정의한다.

 

유계구간의 일반리만적분 정의와 같이 $g \in \mathcal{R}^*[-\infty,b]$일때

$\displaystyle \int_{b}^{-\infty} g(x)\operatorname{d}\!x = -\int_{-\infty}^{b} g(x) \operatorname{d}\!x $와 임의의 $c \in [-\infty,b]$에 대해 $\displaystyle \int_{c}^{c} g(x)\operatorname{d}\!x =0$을 정의한다.

 

 

 

정의5($[-\infty,\infty]$에서 일반리만적분)

무한구간의 게이지(gauge) : 

모든 $x \in $ $[-\infty,\infty]$에 대해 $0< \delta(x) < \infty$인 함수 $\delta : [-\infty,\infty] \to (0,\infty)$를 $[-\infty,\infty]$에서 게이지라 한다.

무한구간의 첨점분할 : 

$-\infty = x_{-1}< x_0 < x_1 < \cdots < x_n <x_{n+1} = \infty$이고 모든 $i = 0,1,2,\cdots , n,n+1$에 대해 $t_{i} \in [x_{i-1}, x_{i}]$일때

$\displaystyle [-\infty,\infty] = \bigcup_{i=0}^{n+1} [x_{i-1},x_{i}]$이고 $i \ne j$인 모든 $i,j = 0,1,2,\cdots , n,n+1$가 $(x_{i-1},x_i)\cap (x_{j-1},x_j) = \emptyset$이 되는

구간과 첨점의 순서쌍들의 집합족 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=0}^{n+1}$를 $[-\infty,\infty]$의 첨점분할로 정의한다.

무한구간의 미세성(fineness) :

$[-\infty,\infty]$에서 게이지가 $\delta : [-\infty,\infty] \to (0,\infty)$일때

$t_{0} = -\infty \in [x_{-1},x_{0}] = [-\infty,x_0] \subseteq [ -\infty, -\frac{1}{\delta(-\infty)}]$이고

모든 $i = 1,2,\cdots , n$에 대해 $t_{i} \in [x_{i-1},x_{i}] \subseteq [t_{i} - \delta(t_{i}),t_{i} +\delta(t_{i})]$이고

$t_{n+1} = \infty \in [x_{n},x_{n+1}] = [x_n,\infty] \subseteq [\frac{1}{\delta(\infty)},\infty]$인

$[-\infty,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=0}^{n+1}$를 $\delta$-미세하다고 한다.

무한구간의 일반리만적분 : 

함수 $h : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 주어지면 $h(-\infty) = 0 = h(\infty)$로 정의하고

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\delta_\epsilon$-미세인 모든 $[-\infty,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=0}^{n+1}$가

$\displaystyle |S(h;\dot{\mathcal{P}}) - C| = \left | \sum_{i=0}^{n+1} (h(t_{i})\cdot (x_{i} - x_{i-1})) - C \right | \le \epsilon$이 되는 

$[-\infty,\infty]$에서 게이지 $\delta_\epsilon : [-\infty,\infty] \to (0,\infty)$와 실수 $C \in \mathbb{R}$가 존재할때

$[-\infty,\infty]$에서 일반리만적분가능하다고 하고 $\displaystyle C = \int_{-\infty}^\infty h(x)\operatorname{d}\!x $를 $h$의 일반리만적분이라 한다.

$[-\infty,\infty]$에서 일반리만적분가능 함수족을 $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$로 표기한다.

리만합 $S(h;\dot{\mathcal{P}})$의

첫번째 항은 $h(t_{0}) \cdot (x_{0} - x_{-1}) = h(-\infty)\cdot (x_0 - \infty) = $ $0\cdot (-\infty)$ $ = 0$이고

마지막 항은 $h(t_{n+1}) \cdot (x_{n+1} - x_n) = h(\infty)\cdot (\infty - x_n) = $ $0\cdot \infty$ $ = 0$이 되어야하므로

$h : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$를 확장하여 $h(\infty) = 0 = h(-\infty)$으로 정의한다.

 

유계구간의 일반리만적분 정의와 같이 $h \in \mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$일때

$\displaystyle \int_{\infty}^{-\infty} h(x)\operatorname{d}\!x = -\int_{-\infty}^{\infty} h(x) \operatorname{d}\!x $와 임의의 $c \in [-\infty,\infty]$에 대해 $\displaystyle \int_{c}^{c} h(x)\operatorname{d}\!x =0$을 정의한다.

 

 

 

정리2(커슨[Cousin] 미세성 정리)

다음이 성립한다.

1. 임의의 함수 $\delta : [a,\infty] \to (0,\infty)$가 $[a,\infty]$에서 게이지일때

$\delta$-미세가 되는 $[a,\infty]$의 첨점분할이 존재한다.

2. 임의의 함수 $\delta : [-\infty,b] \to (0,\infty)$가 $[-\infty,b]$에서 게이지일때

$\delta$-미세가 되는 $[-\infty,b]$의 첨점분할이 존재한다.

3. 임의의 함수 $\delta : [-\infty,\infty] \to (0,\infty)$가 $[-\infty,\infty]$에서 게이지일때

$\delta$-미세가 되는 $[-\infty,\infty]$의 첨점분할이 존재한다.

증명

1.

$\max$$\{a,\frac{1}{\delta(\infty)} \}$ $ < b$인 $b \in \mathbb{R}$에 대해

첨점분할 정리로 $\delta$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} =\{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i=1}^n$가 존재하고

 $\infty \in [x_n = b , \infty] \subseteq [\frac{1}{\delta(\infty)},\infty]$이므로 $\dot{\mathcal{P}} \cup \{([b,\infty],\infty)\}$는 $\delta$-미세인 $[a,\infty]$의 첨점분할이다.

2.

$a < $ $\min$$\{b,-\frac{1}{\delta(-\infty)} \}$인 $a \in \mathbb{R}$에 대해

첨점분할 정리로 $\delta$-미세인 $[a,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} =\{([x_{i-1},x_i],t_i) \}_{i=1}^n$가 존재하고

$-\infty \in [-\infty , x_{0} = a] \subseteq [-\infty, -\frac{1}{\delta(-\infty)}]$이므로 $\{([-\infty,a],-\infty) \} \cup \dot{\mathcal{P}}$는 $\delta$-미세인 $[-\infty,b]$의 첨점분할이다.

3.

1, 2번과 비슷하게 $\delta$-미세가 되는 $[-\infty,\infty]$의 첨점분할이 존재한다.

 

 

 

정리3

다음이 성립한다.

1. 함수 $\delta,\gamma : [a,\infty] \to (0,\infty)$가 $[a,\infty]$에서 게이지이고 모든 $t \in [a,\infty]$에 대해 $0<\delta(t)\le \gamma(t)$일때

$[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=1}^{n+1}$가 $\delta$-미세하면 $\gamma$-미세하다.

2. 함수 $\delta,\gamma : [-\infty,b] \to (0,\infty)$가 $[-\infty,b]$에서 게이지이고 모든 $t \in [-\infty,b]$에 대해 $0<\delta(t)\le \gamma(t)$일때 

$[-\infty,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=0}^{n}$가 $\delta$-미세하면 $\gamma$-미세하다.

3. 함수 $\delta,\gamma : [-\infty,\infty] \to (0,\infty)$가 $[-\infty,\infty]$에서 게이지이고 모든 $t \in [-\infty,\infty]$에 대해 $0<\delta(t)\le \gamma(t)$일때 

$[-\infty,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=0}^{n+1}$가 $\delta$-미세하면 $\gamma$-미세하다.

증명

1.

모든 $t \in [a,\infty]$에 대해

$0<t-\gamma(t)\le t- \delta(t)$와 $0<t+\delta(t)\le t+ \gamma(t)$가 성립하고 $\dfrac{1}{\gamma(t)} \le \dfrac{1}{\delta(t)}$이므로

$\dot{\mathcal{P}} $가 $\delta$-미세하면

$i = 1,2,\cdots ,n$일때 $t_i - \gamma(t_i) \le t_i -\delta(t_i) \le x_{i-1} \le t_i \le x_i \le t_i + \delta(t_i) \le t_i +\gamma(t_i)$이므로

$t_i \in [x_{i-1},x_i] \subseteq [t_i - \delta(t_i), t_i + \delta(t_i)] \subseteq [t_i - \gamma(t_i),t_i +\gamma(t_i)]$이고

$\dfrac{1}{\gamma(\infty)} \le \dfrac{1}{\delta(\infty)} \le x_{n}\le t_{n+1} \le x_{n+1} = \infty$이므로

$t_{n+1} =\infty \in [x_{n},x_{n+1}] = [x_n,\infty] \subseteq [\frac{1}{\delta(\infty)},\infty] \subseteq [\frac{1}{\gamma(\infty)},\infty]$이 되어 $\dot{\mathcal{P}}$는 $\gamma$-미세하다.

2.

모든 $t \in [-\infty,b]$에 대해

$0<t-\gamma(t)\le t- \delta(t)$와 $0<t+\delta(t)\le t+ \gamma(t)$가 성립하고 $-\dfrac{1}{\delta(t)} \le -\dfrac{1}{\gamma(t)}$이므로

$\dot{\mathcal{P}} $가 $\delta$-미세하면

$-\infty = x_{-1}\le t_{0} \le x_{0} \le -\dfrac{1}{\delta(-\infty)} \le -\dfrac{1}{\gamma(-\infty)} $이므로

$t_{0} = -\infty \in [x_{-1},x_{0}] = [-\infty,x_0] \subseteq [-\infty, -\frac{1}{\delta(-\infty)}] \subseteq [-\infty, -\frac{1}{\gamma(-\infty)}]$이고

$i = 1,2,\cdots ,n$일때 $t_i - \gamma(t_i) \le t_i -\delta(t_i) \le x_{i-1} \le t_i \le x_i \le t_i + \delta(t_i) \le t_i +\gamma(t_i)$이므로

$t_i \in [x_{i-1},x_i] \subseteq [t_i - \delta(t_i), t_i + \delta(t_i)] \subseteq [t_i - \gamma(t_i),t_i +\gamma(t_i)]$가 되어 $\dot{\mathcal{P}}$는 $\gamma$-미세하다.

3.

1, 2번과 비슷하게 $[-\infty,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$가 $\delta$-미세하면 $\gamma$-미세하다.

 

 

 

정리4(유일성 정리)

다음이 성립한다.

1. 함수 $f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 $f \in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이면 $f$의 일반리만적분은 유일하다.

2. 함수 $g : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 $g \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이면 $g$의 일반리만적분은 유일하다.

3. 함수 $h : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 $h \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이면 $h$의 일반리만적분은 유일하다.

증명

일반성을 잃지 않고 1번만 증명한다.

$L_1,L_2 \in \mathbb{R}$가 모두 $f$의 일반리만적분일때 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|$$S(f;\dot{\mathcal{P}}_1)$$ \,- \,L_1| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하고

$\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_2) - L_2| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재한다.

모든 $t \in [a,\infty]$에 대해 $\delta_{\epsilon}(t) = $ $\min$$\{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t)\} > 0$로 정의되는 함수 $\delta_{\epsilon}$은 $[a,\infty]$에서 게이지이고

모든 $t \in [a,\infty]$에 대해 $0 < \delta_{\epsilon}(t) \le \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t)$이고 $0 < \delta_{\epsilon}(t) \le \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t)$이므로

위 정리로 $\delta_{\epsilon}$-미세인 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$는 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이고 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이다.

따라서 삼각부등식으로

$|L_1 - L_2| = |L_1 - S(f;\dot{\mathcal{P}}) + S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L_2| \le |L_1 - S(f;\dot{\mathcal{P}}) | + |L_2 - S(f;\dot{\mathcal{P}}) | \le \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon $이므로

부등식 정리로 $L_1 = L_2$이다.

 

 

 

정리11

$[a,\infty]$에 대한 정리

모든 $x\in [a,\infty)$에 대해 $f(x) = 0$인 함수 $f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$는 $f \in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이고 $\displaystyle \int_a^\infty f(x)\operatorname{d}\!x = 0$이다.

$[-\infty,b]$에 대한 정리

모든 $x\in (-\infty,b]$에 대해 $f(x) = 0$인 함수 $f : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$는 $f,g \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이고 $\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x)\operatorname{d}\!x = 0$이다.

$[-\infty,\infty]$에 대한 정리

모든 $x\in (-\infty,\infty)$에 대해 $f(x) = 0$인 함수 $f : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 $f \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이고 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)\operatorname{d}\!x = 0$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $[a,\infty]$에 대해서만 증명한다.

$t_{n+1} = \infty$인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=1}^{n+1}$에 대해 $f(\infty) =f(t_{n+1}) = 0$으로 확장하면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\begin{align*}|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - 0| & = \left |\sum_{i = 1}^{n+1}  f(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - 0 \right | = \left |\sum_{i = 1}^{n+1}  0\cdot (x_i - x_{i-1})  \right |  = 0< \epsilon \end{align*}$이므로

$f\in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이고 $\displaystyle \int_a^\infty f(x) \operatorname{d}\!x = 0$이다.

 

 

 

정리5

$[a,\infty]$에 대한 정리

함수 $f, g : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 $f,g \in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 실수 $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in [a,\infty)$에 대해 $H(x) = k_1\cdot f(x) + k_2\cdot g(x)$인

함수 $H : [a,\infty)\to \mathbb{R}$는 $[a,\infty]$에서 일반리만적분가능하고 

$\displaystyle \int_a^\infty H(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^\infty (k_1\cdot f(x) + k_2\cdot g(x))\operatorname{d}\!x = k_1 \cdot \int_a^\infty f(x)  \operatorname{d}\!x + k_2 \cdot\int_a^\infty g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

2. 모든 $x \in [a,\infty)$에 대해 $f(x)\le g(x)$이면 $\displaystyle \int_a^\infty f(x)  \operatorname{d}\!x \le \int_a^\infty g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

$[-\infty,b]$에 대한 정리

함수 $f, g : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 $f,g \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 실수 $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in (-\infty,b]$에 대해 $H(x) = k_1\cdot f(x) + k_2\cdot g(x)$인

함수 $H : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$는 $[-\infty,b]$에서 일반리만적분가능하고 

$\displaystyle \int_{-\infty}^b H(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^b (k_1\cdot f(x) + k_2\cdot g(x))\operatorname{d}\!x = k_1 \cdot \int_{-\infty}^b f(x)  \operatorname{d}\!x + k_2 \cdot\int_{-\infty}^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

2. 모든 $x \in (-\infty,b]$에 대해 $f(x)\le g(x)$이면 $\displaystyle \int_{-\infty}^b f(x)  \operatorname{d}\!x \le \int_{-\infty}^b g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

$[-\infty,\infty]$에 대한 정리

함수 $f, g : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 $f,g \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$일때 다음이 성립한다.

1. 임의의 실수 $k_1, k_2 \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in (-\infty,\infty)$에 대해 $H(x) = k_1\cdot f(x) + k_2\cdot g(x)$인

함수 $H : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$는 $[-\infty,\infty]$에서 일반리만적분가능하고 

$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty H(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^\infty (k_1\cdot f(x) + k_2\cdot g(x))\operatorname{d}\!x = k_1 \cdot \int_{-\infty}^\infty f(x)  \operatorname{d}\!x + k_2 \cdot\int_{-\infty}^\infty g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

2. 모든 $x \in (-\infty,\infty)$에 대해 $f(x)\le g(x)$이면 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)  \operatorname{d}\!x \le \int_{-\infty}^\infty g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $[a,\infty]$에 대해서만 증명한다.

$\displaystyle \int_a^\infty f (x) \operatorname{d}\!x = L$이고 $\displaystyle \int_a^\infty  g (x) \operatorname{d}\!x = M$일때

1.

임의의 $k \in \mathbb{R}$와 임의의 $x \in [a,\infty)$에 대해 $F(x) = k\cdot f(x)$인 함수 $F:[a,\infty)\to \mathbb{R}$가

$F \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이고 $\displaystyle \int_a^\infty F(x) \operatorname{d}\!x  = k\cdot \int_a^\infty f(x)  \operatorname{d}\!x $임을 보인다.

$k = 0$이면 위 정리로 $F \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이고 $\displaystyle  \int_a^\infty F(x)\operatorname{d}\!x=0 =0\cdot L = k\cdot \int_a^\infty f (x) \operatorname{d}\!x $이다.

$k \ne 0$이면 $f \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이므로 임의의 $\epsilon > 0$에 대해

$\delta_{\frac{\epsilon}{|k|}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| \le \dfrac{\epsilon}{|k|}$가 되는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\delta_{\frac{\epsilon}{|k|}}$가 존재하여

$\begin{align*} |S(F;\dot{\mathcal{P}}) - k\cdot L| & = \displaystyle \left | \sum_{i = 1}^{n+1} F(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - k\cdot L\right | \\[0.5em] & =\left |\sum_{i = 1}^{n+1} (k\cdot f(t_i))\cdot (x_i - x_{i-1}) - k\cdot L\right | \\[0.5em] & =\left |k\cdot \sum_{i = 1}^{n+1} f(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) - k\cdot L\right | \\[0.5em] & = |k|\cdot \left | \sum_{i = 1}^{n+1} f(t_i)\cdot(x_i - x_{i-1})-L \right | \\[0.5em] & = |k|\cdot |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| \\[0.5em] & \le |k|\cdot \frac{\epsilon}{|k|} = \epsilon  \text{ 이므로}\end{align*}$

$\displaystyle \int_a^\infty F(x) \operatorname{d}\!x= \int_a^\infty k\cdot f(x)\operatorname{d}\!x = k\cdot L  = k\cdot \int_a^\infty f(x)  \operatorname{d}\!x $이다.

임의의 $x \in [a,\infty)$에 대해 $G(x) = f(x) + g(x)$인 함수 $G:[a,\infty)\to \mathbb{R}$가

$G \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이고 $\displaystyle \int_a^\infty G(x) \operatorname{d}\!x  = \int_a^\infty f(x)  \operatorname{d}\!x +\int_a^\infty g(x)\operatorname{d}\!x$임을 보인다.

$f ,g\in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이므로 임의의 $\epsilon >0$에 대해

$\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|$$S(f;\dot{\mathcal{P}}_1)$$\, -\, L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하고

$\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(g;\dot{\mathcal{P}}_2) - M| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하여

모든 $t \in [a,\infty]$에 대해 $\min$$\{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t) \} = \delta_{\epsilon}(t) > 0$으로 정의되는 함수 $\delta_{\epsilon}$는 $[a,\infty]$에서 게이지이고

위 정리로 $\delta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^{n+1}_{i = 1} $는 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이고 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이다.

따라서 삼각부등식으로

$\begin{align*} | S(G ;\dot{\mathcal{P}}) - ( L+ M) | & = \left | \sum_{i = 1}^{n+1}G(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1})-( L+ M)\right |\\[0.5em] & = \left | \sum_{i = 1}^{n+1} ( f(t_i) + g(t_i))\cdot (x_{i} - x_{i-1}) - ( L+  M)   \right | \\[0.5em] & = \left | \sum_{i = 1}^{n+1} f(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) -  L + \sum_{i = 1}^{n+1} g(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) -  M   \right | \\[0.5em] & \le  \left | \sum_{i = 1}^{n+1} f(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) - L \right |+  \left | \sum_{i = 1}^{n+1} g(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) - M   \right | =  |S(f; \dot{\mathcal{P}}) - L| +  |S(g;\dot{\mathcal{P}}) - M| \\[0.5em] & \le  \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \text{  이므로} \end{align*}$

$\displaystyle \int_a^\infty G(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^\infty (f(x) + g(x))\operatorname{d}\!x =  L +  M = \int_a^\infty f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^\infty g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

따라서 위에서 보인 것처럼 $H \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이고

$\displaystyle \int_a^\infty H(x) \operatorname{d}\!x =\int_a^\infty(k_1\cdot f(x) + k_2\cdot g(x))\operatorname{d}\!x= \int_a^\infty k_1\cdot f(x)  \operatorname{d}\!x + \int_a^\infty k_2\cdot g(x) \operatorname{d}\!x = k_1\cdot \int_a^\infty f(x) \operatorname{d}\!x + k_2\cdot \int_a^\infty g(x)\operatorname{d}\!x \text{ 이다.}$

2.

임의의 $\epsilon > 0$에 대해

$\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_1) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하고

$\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(g;\dot{\mathcal{P}}_2) - M| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하여

따라서 모든 $t \in [a,\infty]$에 대해 $\delta_{\epsilon}(t) = $ $\min$$\{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t) \} > 0$으로 정의되는 함수 $\delta_{\epsilon}$는 $[a,\infty]$에서 게이지이고

위 정리로 $\delta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^{n+1}_{i = 1} $는 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이고 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이므로

$-\dfrac{\epsilon}{2} \le S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L \le \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $ -\dfrac{\epsilon}{2} \le S(g;\dot{\mathcal{P}}) - M \le \dfrac{\epsilon}{2}$이다.

또 모든 $x \in [a,\infty]$에 대해 $f(x)\le g(x)$이므로 

$\displaystyle S(f; \dot{\mathcal{P}}) = \sum_{i = 1}^{n+1} f(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) \le \sum_{i = 1}^{n+1} g(t_i)\cdot (x_{i} - x_{i-1}) = S(g; \dot{\mathcal{P}})$이 되어

$L - \dfrac{\epsilon}{2} \le S(f; \dot{\mathcal{P}}) \le S(g;\dot{\mathcal{P}}) \le M +\dfrac{\epsilon}{2}$이고 $\displaystyle \int_a^\infty  f(x) \operatorname{d}\!x = L \le M +\epsilon = \int_a^\infty  g(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon $이므로

부등식 정리로 $\displaystyle \int_a^\infty  f(x) \operatorname{d}\!x \le \int_a^\infty  g(x) \operatorname{d}\!x$이다.

 

 

 

정리6(적분 코시[Cauchy] 판정법)

$[a,\infty]$에 대한 정리

함수 $f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 $f \in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\eta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가

$|$$S(f;\dot{\mathcal{P}}) $$\,-\, S(f;\dot{\mathcal{Q}})| \le \epsilon$이 되는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\eta_{\epsilon} : [a,\infty] \to (0,\infty)$가 존재하는 것이다.

$[-\infty,b]$에 대한 정리

함수 $g : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 $g \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\eta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[-\infty,b]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가

$|$$S(g;\dot{\mathcal{P}}) $$\,-\, S(g;\dot{\mathcal{Q}})| \le \epsilon$이 되는 $[-\infty,b]$에서 게이지 $\eta_{\epsilon} : [-\infty,b] \to (0,\infty)$가 존재하는 것이다.

$[-\infty,\infty]$에 대한 정리

함수 $h : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 $h \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\eta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[-\infty,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가

$|$$S(h;\dot{\mathcal{P}}) $$\,-\, S(h;\dot{\mathcal{Q}})| \le \epsilon$이 되는 $[-\infty,\infty]$에서 게이지 $\eta_{\epsilon} : [-\infty,\infty] \to (0,\infty)$가 존재하는 것이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $[a,\infty]$에 대해서만 증명한다.

$f \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이고 $\displaystyle \int_a^\infty  f (x) \operatorname{d}\!x = L$이면 $\delta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $|S(f;\dot{\mathcal{Q}}) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$인 $[a,\infty]$에서 게이지 $\delta_{\frac{\epsilon}{2}} : [a,\infty] \to (0,\infty)$가 존재한다.

모든 $t \in [a,\infty]$에 대해 $\eta_{\epsilon}(t) = \delta_{\frac{\epsilon}{2}}(t)$로 두면 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$는 $\eta_{\epsilon}$-미세이고 삼각부등식으로

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(g;\dot{\mathcal{Q}})| = |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L + L -S(g;\dot{\mathcal{Q}})| \le |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - L| +| S(g;\dot{\mathcal{Q}}) -L | \le \dfrac{\epsilon}{2} + \dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon $이다.

역으로 정리의 조건을 만족하면

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\eta_{\frac{1}{n}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| \le \dfrac{1}{n}$이 되는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\eta_{\frac{1}{n}} : [a,\infty] \to (0,\infty)$이 존재하므로

$\delta_\frac{1}{n}(t) = $ $\min$$\{ \eta_1(t),\eta_\frac{1}{2}(t),\cdots,\eta_\frac{1}{n}(t) \}$인 $[a,\infty]$에서 게이지 $\delta_\frac{1}{n} : [a,\infty] \to (0,\infty)$를 정의하고

선택정리와 위 정리로 $\delta_\frac{1}{n}$-미세인 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_n$을 선택하여 실수열 $ (S(f;\dot{\mathcal{P}}_n))_{n =1}^\infty$을 정의할때

모든 $\alpha > 0$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{n}<\alpha$인 $n \in \mathbb{Z}^+$이 존재하고

$m \ge n$인 모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\dot{\mathcal{P}}_n $은 $\delta_\frac{1}{n}$-미세이고 $\dot{\mathcal{P}}_m$은 $\delta_\frac{1}{m}$-미세이므로 위 정리로 $\dot{\mathcal{P}}_n,\dot{\mathcal{P}}_m$은 $\eta_\frac{1}{n}$-미세가 되어

$|S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - S(f;\dot{\mathcal{P}}_m)| \le \dfrac{1}{n}<\alpha$이므로 $(S(f;\dot{\mathcal{P}}_n))_{n=1}^\infty$은 코시수열이다.

코시수열 정리로 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} (S(f;\dot{\mathcal{P}}_m)) = A$인 실수 $A \in \mathbb{R}$가 존재하고

$m\ge n$인 모든 $m ,n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $-\dfrac{1}{n} \le S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - S(f;\dot{\mathcal{P}}_m) \le \dfrac{1}{n}$이므로 수열 부등식 정리로

$-\dfrac{1}{n} \le S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - \displaystyle \lim_{m \to \infty} (S(f;\dot{\mathcal{P}}_m)) = S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - A \le \frac{1}{n}$이고 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_n) - A| \le \dfrac{1}{n}$이다.

따라서 모든 $\epsilon > 0$에 대해 아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{K(\epsilon)} < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 

$\dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)}$와 $\delta_{\frac{1}{K(\epsilon)}}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}$는 삼각부등식으로

$\begin{align*} |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) -  A | & = |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)}) + S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)})- A | \\[0.5em] & \le |S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)})| +| S(f; \dot{\mathcal{P}}_{K(\epsilon)})- A |  \\[0.5em] & \le \frac{1}{K(\epsilon)} + \frac{1}{K(\epsilon)} \\[0.5em] & \lt \frac{\epsilon}{2}  + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon  \text{  이 되어} \end{align*}$

$A$는 $f$의 일반리만적분이고 $f \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이다.

 

 

 

정리7(적분 조임 정리)

$[a,\infty]$에 대한 정리

함수 $f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 $f \in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\displaystyle \int_a^\infty (\omega_\epsilon(x)- \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x \le \epsilon$이고 모든 $x \in [a,\infty)$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) \le f(x) \le \omega_\epsilon(x)$가 되는

$\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$인 함수 $\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

$[-\infty,b]$에 대한 정리

함수 $g : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 $g \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\displaystyle \int_{-\infty}^b (\omega_\epsilon(x)- \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x \le \epsilon$이고 모든 $x \in (-\infty,b]$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) \le g(x) \le \omega_\epsilon(x)$가 되는

$\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in \mathcal{R}^*[-\infty,b]$인 함수 $\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

$[-\infty,\infty]$에 대한 정리

함수 $h : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 $h \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty (\omega_\epsilon(x)- \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x \le \epsilon$이고 모든 $x \in (-\infty,\infty)$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) \le h(x) \le \omega_\epsilon(x)$가 되는

$\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in \mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$인 함수 $\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $[a,\infty]$에 대해서만 증명한다.

$f \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이면 모든 $\epsilon >0$에 대해 $\alpha_\epsilon= \omega_\epsilon = f$로 두면 정리가 성립한다.

역으로 정리의 조건을 만족하면 $\alpha_\epsilon, \omega_\epsilon \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이므로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\delta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i],t_i) \}^{n+1}_{i = 1}$가

$\displaystyle -\epsilon \le $ $S(\alpha_\epsilon; \dot{\mathcal{P}})$ $\displaystyle - \int_a^\infty \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x  \le \epsilon$이고 $\displaystyle -\epsilon \le S(\omega_\epsilon; \dot{\mathcal{P}}) - \int_a^\infty \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x  \le \epsilon$이 되는

$[a,\infty]$에서 게이지 $\delta_{\epsilon} : [a,\infty] \to (0,\infty)$이 존재한다.

모든 $x \in [a,\infty]$에 대해 $\alpha_{\epsilon}(x) \le f(x) \le \omega_\epsilon(x)$이므로

$\begin{align*} \int_a^\infty \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x -\epsilon & \le S(\alpha_\epsilon ; \dot{\mathcal{P}})  = \sum_{i = 1}^{n+1} \alpha_\epsilon(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & \le S(f ; \dot{\mathcal{P}})  = \sum_{i = 1}^{n+1} f (t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \\[0.5em] & \le S(\omega_\epsilon ; \dot{\mathcal{P}})  = \sum_{i = 1}^{n+1} \omega_\epsilon(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1}) \le \int_a^\infty \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x  +\epsilon \text{ 이고} \end{align*}$

$\delta_{\epsilon}$-미세인 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}$에 대해서도 $\displaystyle \int_a^\infty \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x - \epsilon \le S(f; \dot{\mathcal{Q}}) \le \int_a^\infty \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon$이다.

따라서 

$\displaystyle \int_a^\infty \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x - \epsilon - \left (\int_a^\infty \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon \right) \le S(f; \dot{\mathcal{P}}) - S(f; \dot{\mathcal{Q}}) \le \int_a^\infty \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon - \left ( \int_a^\infty \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x - \epsilon \right ) \text{  이고}$

적분의 선형성으로

$\displaystyle | S(f; \dot{\mathcal{P}}) - S(f; \dot{\mathcal{Q}}) | \le \int_a^\infty \omega_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon - \int_a^\infty \alpha_\epsilon(x) \operatorname{d}\!x + \epsilon = \int_a^\infty (\omega_\epsilon(x) - \alpha_\epsilon(x)) \operatorname{d}\!x +2\cdot \epsilon \le 3\cdot \epsilon $이다.

$\epsilon >0$은 임의이므로 코시 판정법으로 $f \in \mathcal{R}^*[a,\infty]$이다.

 

 

 

정리8(가법 정리)

$[a,\infty]$에 대한 정리

함수 $f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 $f \in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이기 위한 필요충분조건은 $c \in (a,\infty)$에 대해

$[a,c]$와 $[c,\infty)$로의 $f$의 축소함수 $f |_{ [a,c]}$와 $f |_{ [c,\infty)}$가 각각 $[a,c]$와 $[c,\infty]$에서 일반리만적분가능한 것이다.

이때 $\displaystyle \int_a^\infty f(x) \operatorname{d}\!x = \int_a^c f(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^\infty f(x) \operatorname{d}\!x$가 성립한다.

$[-\infty,b]$에 대한 정리

함수 $g : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 $g \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이기 위한 필요충분조건은 $c \in (-\infty,b)$에 대해

$(-\infty,c]$와 $[c,b]$로의 $g$의 축소함수 $g |_{ (-\infty,c]}$와 $g |_{ [c,b]}$가 각각 $[-\infty,c]$와 $[c,b]$에서 일반리만적분가능한 것이다.

이때 $\displaystyle \int_{-\infty}^b g(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^c g(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^b g(x) \operatorname{d}\!x$가 성립한다.

$[-\infty,\infty]$에 대한 정리

함수 $h : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 $h \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이기 위한 필요충분조건은 $c \in (-\infty,\infty)$에 대해

$(-\infty,c]$와 $[c,\infty)$로의 축소함수 $h |_{ (-\infty,c]}$와 $h |_{ [c,\infty)}$가 각각 $[-\infty,c]$와 $[c,\infty]$에서 일반리만적분가능한 것이다.

이때 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty h(x) \operatorname{d}\!x = \int_{-\infty}^c h(x) \operatorname{d}\!x + \int_c^\infty h(x) \operatorname{d}\!x$가 성립한다.

증명

일반성을 잃지 않고 $[a,\infty]$에 대해서만 증명한다.

$[a,c]$와 $[c,\infty)$로의 $f$의 축소함수를 각각 $f_1 = f |_{ [a,c]}$과 $f_2 = f |_{ [c,\infty)}$로 정의한다.

$f_1 \in$ $\mathcal{R}^*[a,c]$이고 $f_2 \in \mathcal{R}^*[c,\infty]$일때 $\displaystyle \int_a^c f_1(x) \operatorname{d}\!x = L_1$이고 $\displaystyle \int_c^\infty f_2(x) \operatorname{d}\!x = L_2$이면

모든 $\epsilon >0$에 대해

$\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1$이 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}_1) - L_1| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[a,c]$의 게이지 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재하고

$\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세인 모든 $[c,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$가 $|S(g;\dot{\mathcal{P}}_2) - L_2| \le \dfrac{\epsilon}{2}$를 만족하는 $[c,\infty]$의 게이지 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$가 존재한다.

모든 $t \in [a,\infty]$에 대해

$\delta_{\epsilon}(t)= \begin{cases} \min\{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \;\frac{1}{2}(c-t) \}, & ( t\in [a,c) \text{ 일때} ) \\ \min \{ \alpha_{\frac{\epsilon}{2}}(c), \; \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(c) \}, & ( t= c \text{ 일때} ) \\ \min \{ \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(t), \; \frac{1}{2}(t-c) \}, & ( t \in (c,\infty) \text{ 일때}) \\ \beta_{\frac{\epsilon}{2}}(\infty), & (t = \infty \text{ 일때}) \end{cases}$  로 정의되는함수 $\delta_{\epsilon}$는 $[a,\infty]$에서 게이지이고

$\delta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할은

$t_i \ne c$일때 $\dfrac{1}{2}|t_i -c|$항으로 인해 $ c \notin [x_{i-1},x_i] \subseteq [t_i - \delta_\epsilon(t_i), t_i + \delta_\epsilon(t_i)]$이므로

$c \in [x_{k-1},x_k] \subseteq [ t_k - \delta_\epsilon(t_k),t_k + \delta_\epsilon(t_k)]$인 부분구간에서는 항상 $([x_{k-1},x_k] , t_k = c)$로 첨점이 선택된다.

$\delta_{\epsilon}$-미세인 임의의 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}} = \{([x_{i-1},x_i] ,t_i) \}_{i=1}^{n+1}$에 대해

$c\in (a,\infty)$가 $\dot{\mathcal{Q}}$의 분할점일때

$\dot{\mathcal{Q}} = \dot{\mathcal{Q}}_1 \cup \dot{\mathcal{Q}}_2$가 되도록 $[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}_1$과 $[c,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{Q}}_2$로 나누면

$S(f; \dot{\mathcal{Q}})$ $ = S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) + S(f_2; \dot{\mathcal{Q}}_2)$이고 $\dot{\mathcal{Q}}$가 $\delta_{\epsilon}$-미세이므로 $\dot{\mathcal{Q}}_1$은 $\alpha_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이고 $\dot{\mathcal{Q}}_2$는 $\beta_{\frac{\epsilon}{2}}$-미세이다.

따라서 삼각부등식으로

$|S(f;\dot{\mathcal{Q}}) - (L_1 + L_2)| = | S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) - L_1 + S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) - L_2| \le | S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) - L_1 | + | S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) -L_2 | \le \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2}=\epsilon \text{  이고}$

$f \in\mathcal{R}^*[a,\infty]$이다.

$c\in (a,\infty)$가 $\dot{\mathcal{Q}}$의 분할점이 아닐때

$c \in [x_{k-1},x_k]$인 $\dot{\mathcal{Q}}$에 속한 순서쌍 $([x_{k-1},x_k], t_k = c)$가 존재하므로

$[a,c]$의 첨점분할을 $\dot{\mathcal{Q}}_1 = \{ ([x_0,x_1],t_1), ([x_1,x_2],t_2),\cdots, ([x_{k-2},x_{k-1}],t_{k-1}), ([x_{k-1},c],c) \}$로

$[c,\infty]$의 첨점분할을 $\dot{\mathcal{Q}}_2 = \{ ([c,x_k],c), ([x_k,x_{k+1}],t_{k+1}),\cdots, ([x_{n-1},x_{n}],t_{n}), ([x_{n},x_{n+1}],t_{n+1}) \}$로 나누면

$\begin{align*} S(f; \dot{\mathcal{Q}}) - S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) - S(f_2;\dot{\mathcal{Q}}_2) & = f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1}) - f(c)\cdot (c - x_{k-1}) - f(c)\cdot (x_k - c) \\[0.5em] & = f(t_k)\cdot (x_k - x_{k-1}) - f(c)\cdot (x_k - x_{k-1}) \\[0.5em] & = (f(t_k)-f(c))\cdot (x_k - x_{k-1})  = 0 \text{ 이다.} \end{align*}$

따라서 위와 같이 $|S(f;\dot{\mathcal{Q}}) - (L_1 + L_2)| \le \epsilon $이고 $f \in\mathcal{R}^*[a,\infty]$이다.

 

역으로 $f \in\mathcal{R}^*[a,\infty]$이면

무한구간 코시 판정법으로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $\eta_{\epsilon}$-미세인

모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}},\dot{\mathcal{Q}}$가 $|S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| \le \epsilon$이 되는 $[a,\infty]$의 게이지 $\eta_{\epsilon} : [a,\infty] \to (0,\infty)$가 존재한다.

$\eta_{\epsilon}$-미세인 임의의 $[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_1,\dot{\mathcal{Q}}_1$와 $\eta_{\epsilon}$-미세인 임의의 $[c,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_2$에 대해

$[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \dot{\mathcal{P}}_1 \cup \dot{\mathcal{P}}_2$와 $\dot{\mathcal{Q}} = \dot{\mathcal{Q}}_1 \cup \dot{\mathcal{P}}_2$는 $\eta_{\epsilon}$-미세이고

$|S(f_1;\dot{\mathcal{P}}_1) - S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1)| = |S(f_1;\dot{\mathcal{P}}_1) + S(f_2;\dot{\mathcal{P}}_2) - (S(f_1;\dot{\mathcal{Q}}_1) + S(f_2;\dot{\mathcal{P}}_2))| = |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - S(f;\dot{\mathcal{Q}})| \le \epsilon\text{ 이므로}$

유계구간 코시 판정법으로 $f_1 \in \mathcal{R}^*[a,c]$이다.

일반성을 잃지 않고 비슷하게 $f_2$에 무한구간 코시 판정법을 적용하면 $f_2 \in \mathcal{R}^*[c,\infty]$가 되어 정리가 성립한다.

 

 

 

정리9(무한 구간에서의 헤이크[Hake] 정리)

$[a,\infty]$에 대한 정리

함수 $f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 $f \in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\beta \in (a,\infty)$에 대해 $f$의 축소함수가 $f |_{ [a,\beta]} \in \mathcal{R}^*[a,\beta]$이고 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty}$$\displaystyle \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = A\in \mathbb{R} $가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty}$$\displaystyle \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x =A = \int_a^\infty f(x) \operatorname{d}\!x $가 성립한다.

$[-\infty,b]$에 대한 정리

함수 $g : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 $g \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\alpha \in (-\infty, b)$에 대해 $f$의 축소함수가 $f |_{ [\alpha,b]} \in \mathcal{R}^*[\alpha,b]$이고 $\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty}$$\displaystyle \int_\alpha^b f(x) \operatorname{d}\!x = A \in \mathbb{R} $가 존재하는 것이다.

이때 $\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty}$$\displaystyle \int_\alpha^b f(x) \operatorname{d}\!x = A = \int_{-\infty}^b f(x) \operatorname{d}\!x $가 성립한다.

증명

일반성을 잃지 않고 $[a,\infty]$에 대해서만 증명한다.

$\displaystyle \int_a^\infty f(x) \operatorname{d}\!x  = A$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\delta_{\epsilon}$-미세인 모든 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{([x_{i-1},x_{i}],t_{i})\}_{i=1}^{n+1}$가

$ |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - A| \le \dfrac{\epsilon}{3}$이 되는 $[a,\infty]$에서 게이지 $\delta_{\epsilon} : [a,\infty] \to (0,\infty)$이 존재한다.

$x_n < c $인 임의의 $c\in (a,\infty)$에 대해 가법정리로 $f \in $ $\mathcal{R}^*[a,c]$이므로

$\delta_{c,\epsilon}$-미세인 모든 $[a,c]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}}_c $가 $\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{P}}_c) -  \int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x \right | \le \dfrac{\epsilon}{3}$이 되는

모든 $t \in [a,c]$에 대해 $\delta_{c,\epsilon}(t) \le \delta_\epsilon(t)$인 $[a,c]$에서 게이지 $\delta_{c,\epsilon} : [a,c] \to (0,\infty)$이 존재한다.

따라서 $\dot{\mathcal{P}}^*_c = \dot{\mathcal{P}}_c \cup \{([c,\infty], \infty)\}$인 $[a,\infty]$의 첨점분할은 

$\dfrac{1}{\delta_\epsilon(\infty)} \le x_n < c < \infty$이므로 $[a,\infty]$에서 $\delta_\epsilon$-미세이고

$S(f; \dot{\mathcal{P}}^*_c) = S(f;\dot{\mathcal{P}}_c) + f(\infty)\cdot (\infty -c) = S(f;\dot{\mathcal{P}}_c) + 0\cdot (\infty - c) = S(f;\dot{\mathcal{P}}_c)$가 되어 삼각부등식으로

$\begin{align*} \left | \int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x - A \right | & = \left | \int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x - S(f; \dot{\mathcal{P}}^*_c) +S(f; \dot{\mathcal{P}}^*_c) - A \right | \\[0.5em] & \le \left | \int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x - S(f; \dot{\mathcal{P}}^*_c) \right |+ \left |S(f; \dot{\mathcal{P}}^*_c) - A \right | = \left | \int_a^c f(x)\operatorname{d}\!x - S(f; \dot{\mathcal{P}}_c) \right |+ \left |S(f; \dot{\mathcal{P}}^*_c) - A \right | \\[0.5em] & \le \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3} \\[0.5em] & \lt \epsilon \text{ 이고} \end{align*}$

$\displaystyle \lim_{\beta \to \infty}$$\displaystyle \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = A =\int_a^\infty f(x)\operatorname{d}\!x $이다.

 

$\displaystyle \lim_{\beta \to \infty} \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = A \in \mathbb{R}$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $ S(\epsilon) < t$인 모든 $t \in (a, \infty)$가 $ \displaystyle \left |\int_a^t f(x)\operatorname{d}\!x - A \right | < \epsilon$이 되는 $S(\epsilon) > a$이 존재하여

$a < \max \{ 0 , S(\epsilon)\} < b$인 모든 $b\in (a,\infty)$에 대해 $ \displaystyle \left |\int_a^b f(x)\operatorname{d}\!x - A \right | < \epsilon$이다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a =\beta_0 < \beta_k <\beta_{k+1}< \infty$이고 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (\beta_k) = \infty$인 임의의 순증가수열 $(\beta_k)_{k=0}^\infty$은

$r\ge K(\epsilon)$인 모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a < \max \{ 0 , S(\epsilon)\} < \beta_r $이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $r = K(\epsilon)$로 정의한다.

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f \in \mathcal{R}^* [a,\beta_k]$이고 $[\beta_{k-1},\beta_k] \subseteq [a,\beta_k]$이므로 축소구간 정리로 $f \in \mathcal{R}^*[\beta_{k-1},\beta_k]$가 되어

$\delta_k$-미세인 모든 $[\beta_{k-1},\beta_k]$의 첨점분할 $\dot{ \mathcal{P}}_k$가 $\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{P}}_k) - \int_{\beta_{k-1}}^{\beta_k} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \le \dfrac{\epsilon}{2^k}$가 되는

$[\beta_{k-1},\beta_k]$에서 게이지 $\delta_k : [\beta_{k-1},\beta_k] \to (0,\infty)$가 존재한다.

모든 $t \in [a,\infty]$에 대해

$\delta(t) = \begin{cases} \min \left \{ \delta_1(\beta_0),\dfrac{1}{2}(\beta_1 - \beta_0) \right \}, & (t = \beta_0 = a \text{ 일때}) \\ \min \left \{ \delta_k(t), \dfrac{1}{2}(t - \beta_{k-1}), \dfrac{1}{2}(\beta_k - t) \right \}, & (k \ge 1 \text{ 이고 } t \in (\beta_{k-1},\beta_k) \text{ 일때}) \\ \min \left \{\delta_{k}(\beta_{k}) ,\delta_{k+1}(\beta_{k}) , \dfrac{1}{2}(\beta_k - \beta_{k-1}), \dfrac{1}{2}(\beta_{k+1} - \beta_k)  \right \}, & (k \ge 1\text{ 이고 } t = \beta_k \text{ 일때}) \\ \dfrac{1}{\beta_r}, & (t = \infty \text{ 일때}) \end{cases}\text{  로 정의되는}$

함수 $\delta :[a, \infty] \to (0,\infty)$는 $[a,\infty]$에서 게이지이고 

$\delta$-미세인 임의의 $[a,\infty]$의 첨점분할 $\dot{\mathcal{P}} = \{ ([x_{i-1},x_i], t_i) \}_{i = 1}^{n+1}$는 게이지의 정의로

$[x_{n},x_{n+1}] \subseteq [\frac{1}{\delta(\infty)},\infty] = [\beta_r,\infty]$이므로 $\beta_r \le x_n$이고

$x_{n} \le \beta_s$이면 $K(\epsilon) =r\le s$이므로 $s \in \mathbb{Z}^+$가 $x_{n} \le \beta_s$를 만족하는 가장 작은 양의 정수일때

$k = 1,2,\cdots, s-1$와 $i = 1,2,\cdots ,n$에 대해 게이지의 정의로

$\beta_k \in [x_{i-1},x_i]$이면

$([x_{i-1},x_i] , t_i = \beta_k) \in \dot{\mathcal{P}}$이고 $\beta_k \in [x_{i-1},x_i] \subseteq [\beta_k - \delta(\beta_k),\beta_k+\delta(\beta_k)]$이므로 $\beta_{k-1} ,\beta_{k+1} \notin [x_{i-1},x_i]$이다.

$\beta_k$가 분할점이면 $\dot{\mathcal{P}}$의 원소를 그대로

$\beta_k$가 분할점이 아니면 $\dot{\mathcal{P}}$가 $x_{i-1} \le \beta_k \le x_i$인 구간만 $([x_{i-1},\beta_k],\beta_k)$와 $([\beta_k,x_i],\beta_k)$로 분할하여

$[\beta_{k-1},\beta_{k}]$의 첨점분할 $Q_k$를 만들면 $\delta$-미세이므로 게이지 정리로 $\delta_k$-미세가 되어

$\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{\beta_{k-1}}^{\beta_k} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \le \dfrac{\epsilon}{2^k}$이고 $f(\beta_k) \cdot (\beta_k - x_{i-1}) + f(\beta_k)\cdot (x_i - \beta_k) = f(\beta_k)\cdot (x_i - x_{i-1})$이 된다.

비슷하게 $[\beta_{s-1},x_{n}] \subseteq [\beta_{s-1},\beta_{s}]$의 첨점분할 $Q_s$도 $\delta_s$-미세이므로

가법정리와 헨스톡 보조정리로 $\displaystyle \left | S(f;\dot{\mathcal{Q}}_s) - \int_{\beta_{s-1}}^{x_{n}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | \le \dfrac{\epsilon}{2^s}$이다.

또 $\dot{\mathcal{Q}}_\infty = \{([x_n,\infty],\infty) \}$는 $S(f; \dot{\mathcal{Q}}_\infty) = f(\infty)\cdot (\infty - x_n) = 0$이므로

가법정리와 삼각부등식, 급수정리로 

$\begin{align*} |S(f;\dot{\mathcal{P}}) - A| & = \left | \sum_{i= 1}^{n+1} (f(t_i)\cdot (x_i - x_{i-1})) - A \right | = \left | \sum_{k = 1}^s S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) + S(f;\dot{\mathcal{Q}}_\infty) - A \right | \\[0.5em] & = \left | \sum_{k = 1}^s S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{a}^{x_{n}} f(x)\operatorname{d}\!x + \int_{a}^{x_{n}} f(x)\operatorname{d}\!x - A  \right | \\[0.5em] & \le \left | \sum_{k = 1}^s S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{a}^{x_{n}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \left | \int_{a}^{x_{n}} f(x)\operatorname{d}\!x - A \right | \\[0.5em] & \lt \left | \sum_{k = 1}^{s-1} S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) + S(f;\dot{\mathcal{Q}}_s) - \left ( \int_{a}^{\beta_{s-1}} f(x)\operatorname{d}\!x + \int_{\beta_{s-1}}^{x_{n}} f(x)\operatorname{d}\!x \right ) \right | + \epsilon  \\[0.5em] & \lt \left | \sum_{k = 1}^{s-1} S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{a}^{\beta_{s-1}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \left | S(f;\dot{\mathcal{Q}}_s) - \int_{\beta_{s-1}}^{x_{n}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \epsilon  \\[0.5em] & \le \left | \sum_{k = 1}^{s-1} \left (S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{\beta_{k-1}}^{\beta_{k}} f(x)\operatorname{d}\!x \right )\right | + \frac{\epsilon}{2^s} +  \epsilon \\[0.5em] & \le \sum_{k = 1}^{s-1} \left | S(f;\dot{\mathcal{Q}}_k) - \int_{\beta_{k-1}}^{\beta_{k}} f(x)\operatorname{d}\!x \right | + \frac{\epsilon}{2^s} +  \epsilon \\[0.5em] & \le \sum_{k = 1}^{s-1} \frac{\epsilon}{2^k}+ \frac{\epsilon}{2^s} +  \epsilon = \sum_{k = 1}^{s} \frac{\epsilon}{2^k}+  \epsilon \\[0.5em] & \le \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{\epsilon}{2^k}+  \epsilon = \epsilon \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} \left (\frac{1}{2^k} -1 \right )+  \epsilon = 2\cdot \epsilon \text{   이고} \end{align*}$

 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty} \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = A  = \int_a^\infty f(x) \operatorname{d}\!x $이다.

 

 

 

정리10

$[a,b)$에 대한 정리

함수 $F : [a,b) \to \mathbb{R}$가 $[a,b)$에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{\beta \to b-}$$F(\beta) \in \mathbb{R} $가 존재할때

가산집합 $E \subset [a,b)$를 제외한 모든 $x \in$ $[a,b) \setminus E$에 대해 $F$의 도함수가 존재하여 $f(x) = F'(x)$로

모든 $c\in E$에 대해 $f(c)$는 임의로 함수 $f : [a,b) \to \mathbb{R}$가 정의되면

$f(b)$를 임의로 정의할때 $f \in \mathcal{R}^*[a,b]$와 $\displaystyle \lim_{\beta \to b-} \int_a^\beta f(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to b-}F(\beta) - F(a) = \int_a^b f(x) \operatorname{d}\!x$가 성립한다.

$(a,b]$에 대한 정리

함수 $G : (a,b] \to \mathbb{R}$가 $(a,b]$에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+}$$G(\alpha) \in \mathbb{R}$가 존재할때

가산집합 $E \subset (a,b]$를 제외한 모든 $x \in$ $(a,b] \setminus E$에 대해 $G$의 도함수가 존재하여 $g(x) = G'(x)$로

모든 $c\in E$에 대해 $g(c)$는 임의로 함수 $g : (a,b] \to \mathbb{R}$가 정의되면

$g(a)$를 임의로 정의할때 $g \in \mathcal{R}^*[a,b]$와 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+} \int_\alpha^b g(x) \operatorname{d}\!x = G(b) -  \lim_{\alpha \to a+}G(\alpha) = \int_a^b g(x) \operatorname{d}\!x$가 성립한다.

$(a,b)$에 대한 정리

함수 $H : (a,b) \to \mathbb{R}$가 $(a,b)$에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{\alpha \to a+}$$H(\alpha) \in \mathbb{R}$와 $\displaystyle \lim_{\beta \to b-}$$H(\beta) \in \mathbb{R}$ 가 존재할때

가산집합 $E \subset (a,b)$를 제외한 모든 $x \in$ $(a,b) \setminus E$에 대해 $H$의 도함수가 존재하여 $h(x) = H'(x)$로

모든 $c\in E$에 대해 $h(c)$는 임의로 함수 $h : (a,b) \to \mathbb{R}$가 정의되면

$h(a)$와 $h(b)$를 임의로 정의할때

$h \in \mathcal{R}^*[a,b]$와 $\displaystyle \lim_{\substack{\beta \to b- \\ \alpha \to a+ }} \int_\alpha^\beta h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to b-}H(\beta) -  \lim_{\alpha \to a+}H(\alpha) = \int_a^b h(x)\operatorname{d}\!x$가 성립한다.

$[a,\infty)$에 대한 정리

함수 $F : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 $[a,\infty)$에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty}$$F(\beta) \in \mathbb{R} $가 존재할때

가산집합 $E \subset [a,\infty)$를 제외한 모든 $x \in$ $[a,\infty) \setminus E$에 대해 $F$의 도함수가 존재하여 $f(x) = F'(x)$로

모든 $c\in E$에 대해 $f(c)$는 임의로 함수 $f : [a,\infty) \to \mathbb{R}$가 정의되면

$f \in $ $\mathcal{R}^*[a,\infty]$이고 $\displaystyle \int_a^\infty f(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to \infty}F(\beta) - F(a)$이다.

$(-\infty,b]$에 대한 정리

함수 $G : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 $(-\infty,b]$에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty}$$G(\alpha) \in \mathbb{R} $가 존재할때

가산집합 $E \subset (-\infty,b]$를 제외한 모든 $x \in$ $(-\infty,b] \setminus E$에 대해 $G$의 도함수가 존재하여 $g(x) = G'(x)$로

모든 $c\in E$에 대해 $g(c)$는 임의로 함수 $g : (-\infty,b] \to \mathbb{R}$가 정의되면

$g \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,b]$이고 $\displaystyle \int_{-\infty}^b g(x) \operatorname{d}\!x = G(b) - \lim_{\alpha \to -\infty} G(\alpha)$이다.

$(-\infty,\infty)$에 대한 정리

함수 $H : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 $(-\infty,\infty)$에서 연속이고 $\displaystyle \lim_{\alpha \to -\infty}$$H(\alpha) \in \mathbb{R} $와 $\displaystyle \lim_{\beta \to \infty}$$H(\beta) \in \mathbb{R} $가 존재할때

가산집합 $E \subset (-\infty,\infty)$를 제외한 모든 $x \in$ $(-\infty,\infty) \setminus E$에 대해 $H$의 도함수가 존재하여 $h(x) = H'(x)$로

모든 $c\in E$에 대해 $h(c)$는 임의로 함수 $h : (-\infty,\infty) \to \mathbb{R}$가 정의되면

$h \in $ $\mathcal{R}^*[-\infty,\infty]$이고 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to \infty}H(\beta) - \lim_{\alpha \to -\infty} H(\alpha)$이다.

증명

유계구간에 대해서는 일반성을 잃지 않고 $(a,b)$에 대해서만 증명한다.

$\alpha<c < \beta$인 모든 $\alpha,c, \beta \in (a,b)$에 대해 기본정리 1형식으로

$h \in \mathcal{R}^*[c,\beta]$이므로 $\displaystyle \int_c^\beta h(x) \operatorname{d}\!x = H(\beta) - H(c)$이고

$h \in \mathcal{R}^*[\alpha,c]$이므로 $\displaystyle \int_\alpha^c h(x) \operatorname{d}\!x = H(c) - H(\alpha)$이다

따라서 $h(a)$와 $h(b)$를 임의로 정의하여 $h : [a,b] \to \mathbb{R}$로 가정하면 유계구간 hake 정리로 

$\displaystyle \int_c^b h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to b-} \int_c^\beta h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to b-} H(\beta) - H(c)$이고

$\displaystyle \int_{a}^c h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\alpha \to a+} \int_{\alpha}^c h(x) \operatorname{d}\!x =  H(c) - \lim_{\alpha \to a+} H(\alpha)$이므로

가법정리로

$\displaystyle \int_{a}^b h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to b-} H(\beta) - H(c) + H(c) - \lim_{\alpha \to a+} H(\alpha) = \lim_{\beta \to b-} H(\beta) - \lim_{\alpha \to a+} H(\alpha) = \lim_{\substack{\beta \to b- \\ \alpha \to a+ }} \int_\alpha^\beta h(x) \operatorname{d}\!x \text{ 이다.}$

 

무한 구간에 대해서는 일반성을 잃지 않고 $(-\infty,\infty)$에 대해서만 증명한다

$\alpha<c < \beta$인 모든 $\alpha,c, \beta \in (-\infty,\infty)$에 대해 기본정리 1형식으로

$h \in \mathcal{R}^*[c,\beta]$이므로 $\displaystyle \int_c^\beta h(x) \operatorname{d}\!x = H(\beta) - H(c)$이고

$h \in \mathcal{R}^*[\alpha,c]$이므로 $\displaystyle \int_\alpha^c h(x) \operatorname{d}\!x = H(c) - H(\alpha)$이다

따라서 무한구간 hake 정리로 

$\displaystyle \int_c^\infty h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to \infty} \int_c^\beta h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to \infty} H(\beta) - H(c)$이고

$\displaystyle \int_{-\infty}^c h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\alpha \to -\infty} \int_{\alpha}^c h(x) \operatorname{d}\!x =  H(c) - \lim_{\alpha \to -\infty} H(\alpha)$이므로

가법정리로 $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty h(x) \operatorname{d}\!x = \lim_{\beta \to \infty} H(\beta) - H(c) + H(c) - \lim_{\alpha \to -\infty} H(\alpha) = \lim_{\beta \to \infty} H(\beta) - \lim_{\alpha \to -\infty} H(\alpha) $이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/38#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/38#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766

Robert G. Bartle - A Morden Theory of Integration - 9780821808450