급수(Series)

정의1

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$이 실수열일때

$s_{n_0} = x_{n_0}$

$s_{n_0 +1} = s_{n_0} + x_{n_0+1} = x_{n_0 } + x_{n_0+ 1}$

          $\vdots$

$s_{n} = s_{n-1} + x_{n} = x_{n_0} + x_{n_0+1} + \cdots +x_{n-1}+ x_n $으로 정의되는 

수열 $(s_{n})_{n = n_0}^\infty$를 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 의해 생성된 무한급수 또는 급수라 한다.

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 원소 $x_n$을 급수의 항(terms)이라 하고 수열 $(s_n)_{n =n_0}^\infty$의 원소 $s_n$를 급수의 부분합(partial sums)이라 한다.

실수열의 수렴과 같이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(s_n) = \sum_{n = n_0}^{\infty} x_n$이 존재하면 급수가 수렴한다고 하고 수렴하지 않으면 발산한다고한다.

실수열과 비슷하게 $(x_n)$의 정의역의 최소원소를 표기하지 않고

$(s_n)$이 $(x_n)$에 의해 생성된 무한급수라고 하면 최소원소를 $(x_n)$과 동일한 임의의 자연수로 가정한다.

 

 

 

정리1

모든 자연수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $\displaystyle 0+1 + 2 +\cdots + n = \sum_{k = 0}^{n} k  = \dfrac{1}{2}\cdot n \cdot (n+1)$이 성립한다.

증명

$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 0$이면 $0 = \dfrac{1}{2}\cdot 0\cdot (0+1)$로 성립한다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다고 가정하면

$\begin{align*} (0+1 + 2 +\cdots + k) + (k+1) & = \dfrac{1}{2}\cdot k \cdot (k+1) + (k+1) \\[0.5em] & = (k+1)\cdot \left (\dfrac{1}{2}\cdot k + 1\right ) \\[0.5em] & = \dfrac{1}{2}\cdot (k+1)\cdot (k + 2)  \text{ 이므로} \end{align*}$

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리2

모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $\displaystyle 0^2 + 1^2 + 2^2 +\cdots + n^2 = \sum_{k = 0}^{n} k^2  = \dfrac{1}{6} \cdot n\cdot (n+1) \cdot (2n+1)$이 성립한다.

증명

$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 0$이면 $0^2  = 0 = \dfrac{1}{6}\cdot 0\cdot (0+1) \cdot (2\cdot 0 +1)$로 성립한다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다고 가정하면

$\begin{align*} (0^2 +1^2 + 2^2 +\cdots + k^2) + (k+1)^2 &= \dfrac{1}{6}\cdot k\cdot (k+1) \cdot (2k+1) + (k+1)^2 \\[0.5em] &= (k+1) \cdot \left (\frac{1}{6}\cdot k\cdot (2k+1) +(k+1) \right ) \\[0.5em] &= \frac{1}{6}\cdot (k+1)\cdot (2k^2+k +6k+6) \\[0.5em] &= \frac{1}{6}\cdot (k+1) \cdot (2k^2+7k+6) \\[0.5em] &= \frac{1}{6}\cdot (k+1) \cdot (k+2) \cdot (2k+3) \quad \text{이므로} \end{align*}$

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리3

$r \ne 1$인 임의의 실수 $r\in \mathbb{R}$와 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$\displaystyle \sum_{k = 0}^{n} r^k = 1 + r^1+r^2+\cdots + r^n = \frac{1-r^{n+1}}{1-r}$이다.

증명

$n \in \mathbb{N}$에 대한 귀납법을 사용한다.

$n = 0$이면 거듭제곱의 정의로 $r^0 = 1 = \dfrac{1-r}{1-r} = \dfrac{1-r^{0+1}}{1-r}$이다.

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다고 가정하면

$ 1 + r + \cdots + r^k + r^{k+1} = \dfrac{1-r^{k+1}}{1-r} + r^{k+1} = \dfrac{1-r^{k+1}+r^{k+1} - r^{k+2}}{1-r} = \dfrac{1-r^{k+2}}{1-r}$이므로

모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 정리가 성립한다.

 

 

 

정리4

$|r|<1$인 임의의 실수 $r \in \mathbb{R}$와 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$s_{n} = 1 +r+r^2 + \cdots + r^n = \displaystyle \sum_{k = 0}^n r^k$이면 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} (s_n) =  \frac{1}{1-r}$이다.

증명

$|r|<1$이므로 위 정리로 $s_n = 1 + r +r^2 +\cdots + r^n=\dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}$이므로 $s_n \cdot (1-r) = 1-r^{n+1}$이 되어

$1-s_n \cdot (1-r) =r^{n+1}$이고 $\dfrac{1}{1-r} - s_n  = \dfrac{r^{n+1}}{1-r}$이므로 $\left  | s_n - \dfrac{1}{1-r} \right | = \dfrac{|r|^{n+1}}{|1-r|} =\dfrac{|r|}{|1-r|} \cdot |r|^n $이다.

따라서 꼬리수열 정리와 수열의 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (r^n) =\lim_{n\to \infty}(r^{n+1}) = 0$이므로

절댓값 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (|r|^n) = 0$이고 $\dfrac{|r|}{|1-r|} > 0$임에 따라 수렴정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (s_n) = \frac{1}{1-r}$이다.

 

 

 

정리5($n$항 판정법)

실수열 $(x_n)$에 의해 생성된 급수열 $(s_n)$이 수렴하면 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = 0$이다.

증명

급수의 정의로 $x_{n+1} = s_{n+1} - s_n$이므로 꼬리수열 정리와 극한의 선형성으로 

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \lim_{n \to \infty} (x_{n+1}) = \lim_{n \to \infty} (s_{n+1} - s_n) = \lim_{n \to \infty} (s_{n+1}) - \lim_{n \to \infty} (s_n) = \lim_{n \to \infty} (s_n) - \lim_{n \to \infty} (s_n) = 0$이다.

 

 

 

정리6(급수 코시[Cauchy] 판정법)

실수열 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$에 의해 생성된 급수열 $(s_n)_{n=n_0}^\infty$이 수렴하기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $m >n \ge M(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$이

$|s_m - s_n| = |x_{n+1} + x_{n+2}+\cdots+x_m| < \epsilon$이 되는 자연수 $M(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하는 것이다.

증명

$(s_n)_{n=n_0}^\infty$이 수렴하면

코시수열 정리로 $(s_n)_{n=n_0}^\infty$은 코시수열이므로 

모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $m >n \ge M(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$이

$|s_m - s_n| = |x_{n+1} + x_{n+2}+\cdots+x_m| < \epsilon$이 되는 $M(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재한다. 

역으로 정리의 식을 만족하면

$(s_n)_{n=n_0}^\infty$은 코시수열이므로 코시수열 정리로 $(s_n)_{n=n_0}^\infty$은 수렴한다.

 

 

 

정리7

실수열 $(x_n)_{n=n_0}^\infty$의 원소가 $n\ge n_0$인 모든 자연수 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $x_n \ge 0$일때

$(x_n)_{n=n_0}^\infty$에 의해 생성된 급수열 $(s_n)_{n=n_0}^\infty$이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(s_n)_{n=n_0}^\infty$이 유계인 것이다.

이때 $(s_n)_{n=n_0}^\infty$은 $\displaystyle \sum_{n = n_0}^{\infty} x_n = \displaystyle \lim_{n \to \infty} (s_n) = \sup \{ s_n : n \in \mathbb{N} \}$인 상한으로 수렴한다.

증명

$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $x_n \ge 0$이므로 $(s_n)_{n=n_0}^\infty$은 $s_{n_0} \le s_{n_0+1} \le \cdots \le s_n \le \cdots$로 단조증가한다.

따라서 단조수열 정리로 $(s_n)_{n=n_0}^\infty$가 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(s_n)_{n=n_0}^\infty$가 유계인 것이고

$\displaystyle \sum_{n = n_0}^{\infty} x_n = \displaystyle \lim_{n \to \infty} (s_n) = \sup \{ s_n : n \in \mathbb{N} \}$가 성립한다.

 

 

 

정리8(비교판정법)

실수열 $(x_n)$에 의해 생성된 급수열이 $(s_n)$이고 실수열 $(y_n)$에 의해 생성된 급수열이 $(t_n)$일때

$n \ge K$인 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $0\le x_n \le y_n$인 자연수 $K \in \mathbb{N}$가 존재하면 다음이 성립한다.

1. $(t_n)$이 수렴하면 $(s_n)$도 수렴한다.

2. $(s_n)$이 발산하면 $(t_n)$도 발산한다.

증명

1.

$(t_n)$이 수렴하면 위 정리로 모든 $\epsilon > 0$에 대하여 $m >n \ge M(\epsilon)$인 모든 $n,m \in \mathbb{N}$이

$|t_m - t_n| = |y_{n+1} + y_{n+2}+\cdots+y_m |< \epsilon$이 되는 자연수 $M(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하므로

$m > n \ge$ $\max$$ \{ K, M(\epsilon) \}$이면 $0\le x_n  \le y_n $이고

$|s_m - s_n| = |x_{n+1} + x_{n+2}+\cdots+x_m | \le |y_{n+1} + y_{n+2}+\cdots+y_m | < \epsilon $이므로 위 정리로 $(s_n)$은 수렴한다.

2.

1번의 대우로 성립한다.

 

 

 

정리9(극한 비교판정법)

실수열 $(x_n)$과 $(y_n)$의 모든 원소가 $x_n > 0$이고 $y_n > 0$일때

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{x_n}{y_n} \right ) = r$인 극한이 존재하면 

$(x_n)$에 의해 생성된 급수열 $(s_n)$과 $(y_n)$에 의해 생성된 급수열 $(t_n)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $r \ne 0$일때 $(s_n)$이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(t_n)$이 수렴하는 것이다.

2. $r = 0$일때 $(t_n)$이 수렴하면 $(s_n)$도 수렴한다.

증명

1.

모든 원소가 $x_n > 0$이고 $y_n > 0$이므로 $\dfrac{x_n}{y_n} > 0$이 되어

수열의 극한 정리와 가정에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{x_n}{y_n} \right ) = r > 0$이다.

또 수열 수렴의 정리로 $n \ge K(\frac{1}{2}\cdot r)$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

$\dfrac{1}{2}\cdot r = r -\dfrac{1}{2}\cdot r< \dfrac{x_n}{y_n} < r+\dfrac{1}{2}\cdot r = \dfrac{3}{2}\cdot r$이 되는 $K(\frac{1}{2}\cdot r) \in \mathbb{N}$이 존재하므로

$\dfrac{1}{2}\cdot r \cdot y_n < x_n < \dfrac{3}{2}\cdot r\cdot y_n$이다.

따라서 $0 < \dfrac{1}{2}\cdot r\cdot y_n < x_n$과  $0<x_n < \dfrac{3}{2}\cdot r\cdot y_n$에 대한 비교판정법과 극한의 선형성으로

$(s_n)$이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(t_n)$이 수렴하는 것이다.

2.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{x_n}{y_n} \right ) = 0$이면

$n\ge K(1)$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $\dfrac{x_n}{y_n} = \left | \dfrac{x_n}{y_n} - 0 \right | < 1$이 되는 $K(1) \in \mathbb{N}$이 존재하므로

$0< x_n < y_n$이고 비교판정법으로 $(t_n)$이 수렴하면 $(s_n)$도 수렴한다.

 

 

 

-------------------------------------------------------------------------------

정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/21#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/21#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766