함수의 극한(Limit of function)

정의1

임의의 실수가 $c \in \mathbb{R}$이고 $A\subseteq \mathbb{R}$가 실수집합의 부분집합일때

모든 $\delta> 0$에 대해 $|x - c| < \delta$이고 $x \ne c$인 점 $x \in A$가 존재하면

$c$를 집합 $A$의 집적점(accumulation point)이라고 정의한다.

 

$A$에 속하는 임의의 $c\in A$가 $A$의 집적점이 아니면

$|x - c| < \delta_0$인 모든 $x \in A$에 대해 $x = c$가 되는 $\delta_0 > 0$이 존재하고

이때 $c$를 $A$의 고립점(isolated point)으로 정의한다.

 

 

 

정리20

실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $c \in \mathbb{R}$가 $A$의 집적점이기 위한 필요충분조건은

$c$의 모든 $\delta$-근방 $V_{\delta}(c) = (c - \delta, c +\delta)$에 대해 $x \ne c$이고 $x \in V_{\delta}(c)$인 $x \in A$가 존재하는 것이다.

2. $c \in A$가 $A$의 고립점이기 위한 필요충분조건은 

$A \cap V_{\delta_0}(c) = \{ c \}$가 되는 $c$의 $\delta_0$-근방 $V_{\delta_0}(c) = (c - \delta_0, c +\delta_0)$가 존재하는 것이다.

증명

1.

근방의 정리로 $|x - c| < \delta$와 $x \in V_{\delta}(c)$는 동치이므로 정리가 성립한다.

2.

근방의 정리로 $|x - c| < \delta_0$와 $x \in V_{\delta_0}(c)$는 동치이고

$c\in A$가 고립점이면 $x \in V_{\delta_0}(c)$인 모든 $x \in A$는 $x = c$이므로 $A \cap V_{\delta_0}(c) = \{ c \}$이다.

 

 

 

정리1

$c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $a_n \ne c$이고 $a_n \in A$인 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_n) = c$로 수렴하는 실수열 $(a_n)$이 존재하는 것이다.

증명

$c$가 $A$의 집적점이면 

모든 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|a_n - c| < \dfrac{1}{n}$이고 $a_n \ne c$인 점 $a_n \in A$이 존재한다.

따라서 수열의 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{1}{n} \right ) = 0$이므로 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_n) = c$이다.

역으로 조건을 만족하는 $(a_n)$이 존재하면

수열의 극한 정의로 모든 $\delta > 0$에 대해 $n \ge K(\delta)$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

$|a_n - c| < \delta$가 되는 자연수 $K(\delta) \in \mathbb{N}$가 존재하고 $c \ne a_n\in A$이므로 $c$는 $A$의 집적점이다.

 

 

 

정의2(엡실론-델타[$\epsilon$-$\delta$] 논법)

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때

모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<|x -c| < \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재할때 

실수 $L$을 $c$에서 함수 $f$의 극한으로 정의한다.

$L$이 $c$에서 함수 $f$의 극한이면 $f$가 $c$에서 $L$로 수렴한다고 하고 $\displaystyle L = \lim_{x \to c} f(x)$로 표기한다.

$c$에서 함수 $f$가 극한을 갖지 않으면 $f$가 $c$에서 발산한다고 한다.

 

 

 

정리21

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때 다음은 동치이다.

1. $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$

2. $L$의 모든 $\epsilon$-근방 $V_{\epsilon}(L)$에 대해

$x \ne c$인 모든 $x \in V_{\delta}(c) \cap A$가 $f(x)\in V_{\epsilon}(L)$가 되는 $c$의 $\delta$-근방 $V_{\delta}(c)$가 존재한다.

3. 모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<|x -c| \le \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L| \le \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재한다.

증명

$1 \leftrightarrow 2$

근방의 정리로 $x \ne c$인 모든 $x \in A$에 대해 $0< |x - c| < \delta$와 $x \in V_{\delta}(c) \cap A$는 동치이고

$|f(x) - L| < \epsilon$와 $f(x)\in V_{\epsilon}(L)$가 동치이므로 정리가 성립한다.

$1 \leftrightarrow 3$

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$이면

모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<|x -c| < \eta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $\eta(\epsilon) > 0$가 존재하고

$c$는 $A$의 집적점이므로 $0<|x_\epsilon -c| < \eta(\epsilon)$인 $x_\epsilon \in A$이 존재하여

$|x_\epsilon -c|= \delta(\epsilon) > 0$로 둘때 $0< |x -c|\le \delta(\epsilon)$인 모든 $x\in A$는

$0< |x -c|\le  \delta(\epsilon)= |x_\epsilon - c| < \eta(\epsilon)$임에 따라 $|f(x) - L|<\epsilon$이므로 $|f(x) - L| \le \epsilon$이다.

역으로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<|x -c| \le \delta(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $\delta(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하면

$0<|x -c| < \delta(\frac{\epsilon}{2}) $인 모든 $x \in A$도 $|f(x) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$가 되어 $|f(x) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2} <  \epsilon$이므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리2

실수 $c\in \mathbb{R}$가 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점일때 함수 $f : A \to \mathbb{R}$가 $c$에서 극한을 가지면 $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) $은 유일하다.

증명

$\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L_1$이고 $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L_2$라 가정하면 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 

$0< |x - c| < \delta(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L_1| < \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $|f(x) - L_2| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $\delta(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재한다.

따라서 삼각부등식으로

$|L_1 - L_2 | = |(L_1 - f(x)) + (f(x) - L_2)|\le |f(x) - L_1| + |f(x) - L_2| < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로

부등식 정리로 $L_1 = L_2$이다.

 

 

 

정리3(수열판정법)

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때

$\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty}(f(x_n)) = L$인 것이다.

증명

$\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 < |x -c| < \delta (\epsilon )$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon ) > 0$이 존재한다.

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n) = c$로 수렴하는 수열 $(x_n)$은

$n \ge K(\delta (\epsilon ))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $0<|x_n - c | < \delta (\epsilon )$이 되는 자연수 $K(\delta (\epsilon )) \in \mathbb{N}$가 존재하므로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\delta (\epsilon ))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

$|f(x_n) - L|<\epsilon$이 되어 수열수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = L$이다.

역은 대우로 증명한다.

$f$가 $c$에서 $L$로 수렴하지 않으면 엡실론-델타 논법으로 모든 $\epsilon >0$에 대해

$0<|x -c| < \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하지 않으므로

어떤 $\epsilon_0 >0$과 모든 $\delta > 0$에 대해 $0 < |x_\delta - c | < \delta$일때 $|f(x_\delta) - L| \ge \epsilon_0$이 되는 $x_\delta \in A$가 존재하여

모든 $k \in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 $0< |x_k -c| < \dfrac{1}{k} $일때 $|f(x_k) - L| \ge \epsilon_0$이 되는 $x_k \in A$가 존재한다.

따라서 선택정리로 수열 $(x_k)_{k =1}^\infty$를 만들때

수열 수렴 정리로 $\left (\dfrac{1}{k} \right )_{k = 1}^\infty$가 $0$으로 수렴하므로 수열 극한 정리로 $(x_k)_{k =1}^\infty$는 $c$로 수렴하여

실수열 $(f(x_k))_{k=1}^\infty$가 $L$로 수렴하지 않고 $\displaystyle \lim_{ k \to \infty} (x_{k}) = c$인 수열 $(x_k)_{k =1}^\infty$가 존재하므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리4(발산판정법)

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때 임의의 $ L \in \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

$f$가 $c$에서 $L$로 수렴하지 않기 위한 필요충분조건은 실수열 $(f(x_n))$이 $L$로 수렴하지 않는

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 실수열 $(x_n)$이 존재하는 것이다.

증명

수열판정법의 대우로 증명된다.

 

 

 

정의3

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때

어떤 실수 $M > 0$에 대해 모든 $x \in A\cap V_{\delta}(c)$가 $|f(x)| \le M$이 되는 $c$-의 $\delta$-근방 $V_{\delta}(c)$이 존재하면

$f$는 $c$의 $\delta$-근방에서 유계라고 정의한다.

 

 

 

정리5

$A\subseteq \mathbb{R}$의 함수 $f : A \to \mathbb{R}$가 $A$의 집적점 $c\in \mathbb{R}$에서 극한을 가지면 $f$는 $c$의 어떤 $\delta$-근방에서 유계이다.

증명

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$이면

$0<|x-c|< \delta (1)$인 모든 $x \in A$에 대해 $|f(x) - L|<1$이 되는 $\delta (1) > 0$이 존재하므로

부등식 정리로 $|f(x)| - |L| \le |f(x) - L|<1$이고 $|f(x)| < |L| +1$이다.

$c\notin A$이면 모든 $x \in A\cap V_{\delta (1)}(c)$에 대해 $|f(x)| < |L| +1$이고

$c\in A$이면 모든 $x \in A\cap V_{\delta (1)}(c)$에 대해 $|f(x)| \le $ $\max$$\{ |f(c)|, |L| +1\}$이므로

$f$는 $V_{\delta (1)}(c)$에서 유계이다.

 

 

 

정리6

$A\subseteq \mathbb{R}$의 함수 $f, g,h : A \to \mathbb{R}$가 $A$의 집적점 $c\in \mathbb{R}$에서 극한을 가지면 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) = M$이면 임의의 $a,b \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to c} (a \cdot f(x) + b \cdot g(x)) = a \cdot L + b \cdot M$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) = M$이면 $\displaystyle \lim_{x\to c} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$일때 모든 $x \in A$에 대해 $h(x) \ne 0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c} h(x) = H \ne 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to c} \left ( \frac{f(x)}{h(x)} \right ) = \frac{L}{H}$이다.

증명

수열 판정법으로 모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 수열 $(x_n)$에 대해

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = L$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (g(x_n)) = M$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (h(x_n)) = H \ne 0$이다.

1.

수열 극한의 선형성으로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a \cdot f(x_n) + b\cdot g(x_n) )  = a\cdot L + b \cdot M$이므로

수열 판정법으로 $\displaystyle \lim_{x\to c} (a \cdot f(x) + b \cdot g(x)) = a \cdot L + b \cdot M$이다.

2.

수열의 곱셈 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n) \cdot g(x_n) )=  L \cdot M$이므로 수열 판정법으로 $\displaystyle \lim_{x\to c} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$이다.

3.

$h(x_n) \ne 0$이므로 나눗셈 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{1}{h(x_n)} \right ) = \dfrac{1}{H}$이고

수열의 곱셈 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{f(x_n)}{h(x_n)} \right ) = \dfrac{L}{H}$이 되어 수열 판정법으로 $\displaystyle \lim_{x\to c} \left ( \frac{f(x)}{h(x)} \right ) = \frac{L}{H}$이다.

 

 

 

정리7

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때

임의의 $a,b \in \mathbb{R}$와 모든 $x \ne c$인 $x \in A$에 대해 $a \le f(x) \le b$이고 $f$가 $c$에서 극한을 가지면 $\displaystyle a\le \lim_{x \to c} f(x) \le b$이다.

증명

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$이면 수열 판정법으로

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L$이다.

$a \le f(x_n) \le b$를 가정하였으므로 수열의 극한 정리로 $a\le \displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) \le b$이고 $\displaystyle a\le \lim_{x\to c}f(x)= L \le b$이다.

 

 

 

정리8(조임정리)

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f ,g,h: A \to \mathbb{R}$가 함수일때

모든 $x \ne c$인 $x \in A$에 대해 $f(x) \le g(x) \le h(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L = \lim_{x \to c} h(x)$이면 $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = L$이다.

증명

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L= \lim_{x \to c} h(x)$이면 수열 판정법으로

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L = \lim_{n \to \infty} (h(x_n))$이다.

또 모든 $x \ne c$인 $x \in A$에 대해 $f(x) \le g(x) \le h(x)$이므로 $f(x_n) \le g(x_n) \le h(x_n)$이고

수열의 조임 정리를 적용하여 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (g(x_n)) = L $이므로 다시 수열 판정법으로 $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = L$이다.

 

 

 

정리9

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) > 0$이면 $x \ne c$인 모든 $x \in A \cap V_{\delta}(c)$에 대해 $f(x) > 0$인 $c$의 $\delta$-근방 $V_{\delta}(c)$이 존재한다.

2. $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) < 0$이면 $x \ne c$인 모든 $x \in A \cap V_{\delta}(c)$에 대해 $f(x) < 0$인 $c$의 $\delta$-근방 $V_{\delta}(c)$이 존재한다.

증명

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L \ne 0$이면 

$0<|x - c| < \delta (\frac{1}{2}|L|)$인 모든 $x \in A$에 대해 $|f(x) - L|<\dfrac{1}{2}|L|$인 $\delta (\frac{1}{2}|L|) > 0$가 존재한다.

1.

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L > 0$이면

$|L| = L$이고 부등식 정리로 $\dfrac{1}{2}L = -\dfrac{1}{2}L + L < f(x) < \dfrac{1}{2}L + L = \dfrac{3}{2}L$이므로

$0< \dfrac{1}{2}L < f(x)$가 되는 $c$의 $\delta$-근방 $V_{\delta(\frac{1}{2}L)}(c)$이 존재한다.

2.

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L < 0$이면

$|L| = -L$이고 부등식 정리로 $\dfrac{3}{2}L = \dfrac{1}{2}L + L < f(x) < -\dfrac{1}{2}L + L = \dfrac{1}{2}L$이므로

$f(x)< \dfrac{1}{2}L < 0$가 되는 $c$의 $\delta$-근방 $V_{\delta(-\frac{1}{2}L)}(c)$이 존재한다.

 

 

 

정리14

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L \in \mathbb{R}$이 존재하면 다음이 성립한다.

1. $\displaystyle \lim_{x\to c}|f(x)| = | \lim_{x \to c} f(x)|$

2. $\displaystyle \lim_{x\to c}\sqrt{f(x)} = \sqrt{ \lim_{x \to c} f(x)}$

증명

수열 판정법으로

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = L$이다.

1.

절댓값 수열에 대한 정리로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (|f(x_n)|)  =  |L|$이 되어 수열 판정법으로 $\displaystyle \lim_{x\to c}|f(x)| = |L| = | \lim_{x \to c} f(x)|$이다.

2.

$f(x_n) \ge 0$이므로 제곱근 수열에 대한 정리로

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (\sqrt{f(x_n)}) =  \sqrt{L}$이 되어 수열 판정법으로 $\displaystyle \lim_{x\to c}\sqrt{f(x)} = \sqrt{L} = \sqrt{ \lim_{x \to c} f(x)}$이다.

 

 

 

정의4

실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$의 함수 $f : A \to \mathbb{R}$의 편측극한을 다음과 같이 정의한다.

우측극한

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(c,\infty)$ $ = \{ x\in A : c < x \}$의 집적점일때

모든 $\epsilon >0 $에 대해 $0 < x - c < \delta (\epsilon )$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon ) > 0$이 존재할때

$L \in \mathbb{R}$을 $c$에서 $f$의 우측극한으로 정의하고 $\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = L$로 표기한다.

좌측극한

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(-\infty,c)$ $ = \{ x\in A : x < c \}$의 집적점일때

모든 $\epsilon >0 $에 대해 $0 < c - x < \delta (\epsilon )$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon ) > 0$이 존재할때

$L \in \mathbb{R}$을 $c$에서 $f$의 좌측극한으로 정의하고 $\displaystyle \lim_{x \to c-} f(x) = L$로 표기한다.

 

 

 

정리18

실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$의 함수 $f : A \to \mathbb{R}$에 대해

우측극한에 대한 정리

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(c,\infty)$의 집적점일때 $\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $c < x_n$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L$인 것이다.

좌측극한에 대한 정리

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(-\infty,c)$의 집적점일때 $\displaystyle \lim_{x\to c-} f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $x_n < c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L$인 것이다.

증명

일반성을 잃지 않고 우측 극한에 대해서만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) = L$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0 < x -c < \delta (\epsilon )$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon ) > 0$이 존재한다.

모든 원소가 $c < x_n $이고 $x_n \in A$인 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n) = c$로 수렴하는 수열 $(x_n)$은

$n \ge K(\delta (\epsilon ))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $0< x_n -c = |x_n - c|  < \delta (\epsilon )$이 되는 자연수 $K(\delta (\epsilon )) \in \mathbb{N}$가 존재하므로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\delta (\epsilon ))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

$|f(x_n) - L|<\epsilon$이 되어 수열수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = L$이다.

역은 대우로 증명한다.

$c$에서 $f$의 우측극한이 $L$이 아니면 우측 극한의 정의로 모든 $\epsilon >0$에 대해

$0<x -c < \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하지 않으므로

어떤 $\epsilon_0 >0$과 모든 $\delta > 0$에 대해 $0 < x_\delta - c  < \delta$일때 $|f(x_\delta) - L| \ge \epsilon_0$이 되는 $x_\delta \in A$가 존재하여

모든 $k \in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 $0< x_k -c < \dfrac{1}{k}$일때 $|f(x_{k}) - L| \ge \epsilon_0$이 되는 $x_k \in A$가 존재한다.

따라서 선택정리로 수열 $(x_k)_{k =1}^\infty$를 만들때

수열 수렴 정리로 $\left (\dfrac{1}{k} \right )_{k=1}^\infty$는 $0$으로 수렴하므로 수열 극한 정리로 $(x_k)_{k=1}^\infty$는 $c$로 수렴하여

실수열 $(f(x_k))_{k=1}^\infty$가 $L$로 수렴하지 않고 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{k}) = c$인 수열 $(x_k)_{k=1}^\infty$가 존재하므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리19

실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$의 함수 $f,g,h : A \to \mathbb{R}$에 대해

우측극한에 대한 정리

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(c,\infty)$의 집적점일때

1. $\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c+} g(x) = M$이면

임의의 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to c+} (\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)) = \alpha \cdot L + \beta \cdot M$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c+} g(x) = M$이면 $\displaystyle \lim_{x\to c+} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) = L$일때 $c<x$인 모든 $x \in A$에 대해

$h(x) \ne 0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c+} h(x) = H \ne 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to c+} \left ( \frac{f(x)}{h(x)} \right ) = \frac{L}{H}$이다.

4. 임의의 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$와 $c<x$인 모든 $x \in A$에 대해

$\alpha \le f(x) \le \beta$이고 $f$가 $x\to c+$일때 극한을 가지면 $\displaystyle \alpha \le \lim_{x \to c+} f(x) \le \beta$이다.

5. $c<x$인 모든 $x \in A$에 대해 $f(x) \le g(x) \le h(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = L = \lim_{x \to c+} h(x)$이면 $\displaystyle \lim_{x \to c+} g(x) = L$이다.

좌측극한에 대한 정리

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(-\infty,c)$의 집적점일때

1. $\displaystyle \lim_{x\to c-} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c-} g(x) = M$이면

임의의 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to c-} (\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)) = \alpha \cdot L + \beta \cdot M$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to c-} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c-} g(x) = M$이면 $\displaystyle \lim_{x\to c-} (f (x)\cdot g(x)) = L \cdot M$이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to c-} f(x) = L$일때 $x<c$인 모든 $x \in A$에 대해

$h(x) \ne 0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c-} h(x) = H \ne 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to c-} \left ( \frac{f(x)}{h(x)} \right ) = \frac{L}{H}$이다.

4. 임의의 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$와 $x<c$인 모든 $x \in A$에 대해

$\alpha \le f(x) \le \beta$이고 $f$가 $x\to c-$일때 극한을 가지면 $\displaystyle \alpha \le \lim_{x \to c-} f(x) \le \beta$이다.

5. $x<c$인 모든 $x \in A$에 대해 $f(x) \le g(x) \le h(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x \to c-} f(x) = L = \lim_{x \to c-} h(x)$이면 $\displaystyle \lim_{x \to c-} g(x) = L$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 우측 극한에 대해서만 증명한다.

1,2,3

위 정리로 모든 원소가 $c < x_n $이고 $x_n \in A$인 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = c$로 수렴하는 모든 수열 $(x_n)$에 대해

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = L$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (g(x_n)) = M$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (h(x_n)) = H \ne 0$이므로

수열 극한의 선형성, 나눗셈 정리, 곱셈 정리를 적용한 뒤 다시 위 정리를 적용하면 1,2,3이 성립한다.

4.

$\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = L$이면 위 정리로 모든 원소가 $c<x_n$이고 $x_n \in A$인

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = c$로 수렴하는 모든 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L$이다.

$a \le f(x_n) \le b$를 가정하였으므로 수열의 극한 정리로 $a\le \displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) \le b$이고 $a\le L \le b$이다.

5.

$\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = L= \lim_{x \to c+} h(x)$이면 위 정리로 모든 원소가 $c < x_n $이고 $x_n \in A$인

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = c$로 수렴하는 모든 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L = \lim_{n \to \infty} (h(x_n))$이다.

또 $c<x$인 모든 $x \in A$에 대해 $f(x) \le g(x) \le h(x)$이므로 $f(x_n) \le g(x_n) \le h(x_n)$이고

수열의 조임 정리를 적용하여 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (g(x_n)) = L $이므로 다시 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to c+} g(x) = L$이다.

 

 

 

정리10

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A \; \cap$ $(c,\infty)$와 $A \; \cap$ $(-\infty,c)$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = L = \lim_{x \to c -}f(x)$인 것이다.

증명

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$이면 

모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<|x -c| < \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$인 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하므로

$c<x $이면 $0 < x - c < \delta (\epsilon )$일때 $|f(x) - L|<\epsilon$이므로 $\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = L $이고

$x<c $이면 $0 < c - x < \delta (\epsilon )$일때 $|f(x) - L|<\epsilon$이므로 $\displaystyle \lim_{x \to c-} f(x) = L $이다.

역으로 $\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = L = \lim_{x \to c -}f(x)$이면 

모든 $\epsilon >0$에 대해 $c<x $일때 $0 < x - c < \delta (\epsilon )$이고 $x<c $일때 $0 < c - x < \delta (\epsilon )$인  

모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$가 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하므로

$0<|x -c| < \delta(\epsilon)$일때 $|f(x) - L|<\epsilon$가 되어 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = L$이다.

 

 

 

정리22

실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$의 함수 $f : A \to \mathbb{R}$에 대해

우측극한에 대한 정리

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(c,\infty)$의 집적점일때 $\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<x -c \le \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L| \le \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하는 것이다.

좌측극한에 대한 정리

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(-\infty,c)$의 집적점일때 $\displaystyle \lim_{x \to c-} f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<c -x \le \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L| \le \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하는 것이다.

증명

일반성을 잃지않고 우측극한에 대해서만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = L$이면 자명하게 성립한다.

역으로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $0<x -c \le \delta(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $\delta(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하면

$0<x -c < \delta(\frac{\epsilon}{2}) $인 모든 $x \in A$도 $|f(x) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2}$가 되어 $|f(x) - L| \le \dfrac{\epsilon}{2} <  \epsilon$이므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정의5

실수 $c \in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때 무한극한을 다음과 같이 정의한다.

1. 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $0<|x-c|<\delta (\alpha )$인 모든 $x \in A$가 $f(x) > \alpha$가 되는 $\delta (\alpha ) > 0$가 존재하면

$x\to c$일때 $f$는 $\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = \infty$로 표기한다.

2. 모든 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해 $0<|x-c|<\delta (\beta )$인 모든 $x \in A$가 $f(x) < \beta $가 되는 $\delta (\beta ) > 0$가 존재하면

$x\to c$일때 $f$는 $-\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = -\infty$로 표기한다.

 

편측극한으로는 다음과 같이 표현한다.

우측 무한극한

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(c,\infty)$ $ = \{ x\in A : c < x \}$의 집적점일때

모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $0 < x - c < \delta (\alpha )$인 모든 $x \in A$가 $f(x)>\alpha$가 되는 $\delta (\alpha) > 0$이 존재하면

$x\to c+$일때 $f$는 $\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = \infty$로 표기한다.

모든 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해 $0 < x - c < \delta (\beta )$인 모든 $x \in A$가 $f(x)< \beta$가 되는 $\delta (\beta) > 0$이 존재하면

$x\to c+$일때 $f$는 $-\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x \to c+} f(x) = -\infty$로 표기한다.

좌측 무한극한

$c \in \mathbb{R}$가 집합 $A \; \cap$ $(-\infty,c)$ $ = \{ x\in A : x < c \}$의 집적점일때

모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $0 < c - x < \delta (\alpha )$인 모든 $x \in A$가 $f(x)>\alpha$가 되는 $\delta (\alpha) > 0$이 존재하면

$x\to c-$일때 $f$는 $\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x \to c-} f(x) = \infty$로 표기한다.

모든 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해 $0 < c - x < \delta (\beta )$인 모든 $x \in A$가 $f(x)< \beta$가 되는 $\delta (\beta) > 0$이 존재하면

$x\to c-$일때 $f$는 $-\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x \to c-} f(x) = -\infty$로 표기한다.

 

 

 

정리16

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때

$x\to c$일때 $f \to \infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = \infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = \infty$인 것이다.

$x\to c$일때 $f \to -\infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = -\infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = -\infty$인 것이다.

 

실수 $c \in \mathbb{R}$가 $A \; \cap$ $(c,\infty)$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때

$x\to c+$일때 $f \to \infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) = \infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $c < x_n $이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = \infty$인 것이다.

$x\to c+$일때 $f \to -\infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to c+} f(x) = -\infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $c < x_n$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = -\infty$인 것이다.

 

실수 $c \in \mathbb{R}$가 $A \; \cap$ $(-\infty,c)$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때 

$x\to c-$일때 $f \to \infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to c-} f(x) = \infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $x_n<c $이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = \infty$인 것이다.

$x\to c-$일때 $f \to -\infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to c-} f(x) = -\infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $ x_n<c$이고 $x_n \in A$인 $c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = -\infty$인 것이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $x\to c$일때 $f \to \infty$에 대한 정리만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to c}f(x) = \infty$이면

모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $0<|x-c|<\delta (\alpha )$인 모든 $x \in A$가 $f(x) > \alpha$가 되는 $\delta (\alpha ) > 0$가 존재한다.

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n) = c$로 수렴하는 수열 $(x_n)$은

$n \ge K(\delta(\alpha))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $0<|x_n - c | < \delta (\alpha)$가 되는 자연수 $K(\delta (\alpha)) \in \mathbb{N}$가 존재하므로

모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $n \ge K(\delta (\alpha))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $f(x_n) > \alpha$가 되어

정발산의 정의로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = \infty$이다.

역은 대우로 증명한다.

$x\to c$일때 $f$가 $\infty$로 접근하지 않으면 무한극한의 정의로 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해

$0<|x-c|<\delta (\alpha)$인 모든 $x \in A$가 $f(x) > \alpha$이 되는 $\delta (\alpha) > 0$가 존재하지 않으므로

어떤 $\alpha_0 \in \mathbb{R}$과 모든 $\delta > 0$에 대해 $0 < |x_\delta - c | < \delta$일때 $f(x_\delta) \le \alpha_0$이 되는 $x_\delta \in A$가 존재하여

모든 $k \in $ $\mathbb{Z}^+$에 대해 $0< |x_{k} -c| < \dfrac{1}{k} $일때 $f(x_{k}) \le \alpha_0$이 되는 $x_{k} \in A$가 존재한다.

따라서 선택정리로 수열 $(x_k)_{k =1}^\infty$를 만들때

수열 수렴 정리로 $\left (\dfrac{1}{k} \right )_{k=1}^\infty$가 $0$으로 수렴하므로 수열 극한 정리로 $(x_k)_{k=1}^\infty$는 $c$로 수렴하여

실수열 $(f(x_k))_{k=1}^\infty$가 $\infty$로 정발산하지 않고 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{k}) = c$인 수열 $(x_{k})_{k=1}^\infty$가 존재하므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리11

실수 $c\in \mathbb{R}$가 $A\subseteq \mathbb{R}$의 집적점이고 $f : A \to \mathbb{R}$가 함수일때 다음이 성립한다.

$x\ne c$인 모든 $x \in A$에 대해 $f(x) \le g(x)$일때

1. $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = \infty$이면 $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = \infty$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = -\infty$이면 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = -\infty$이다.

증명

1. 

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = \infty$이면 모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해

$0< |x - c|<\delta (\alpha)$인 모든 $x\in A$가 $f(x) > \alpha$가 되는 $\delta (\alpha) > 0$가 존재하므로 

$g(x) \ge f(x) > \alpha$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c} g(x) = \infty$이다.

2.

$\displaystyle \lim_{x \to c} g(x) = -\infty$이면 모든 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해

$0< |x - c|<\delta (\beta)$인 모든 $x\in A$가 $g(x) < \beta$가 되는 $\delta (\beta) > 0$가 존재하므로

$f(x) \le g(x) < \beta$이고 $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = -\infty$이다.

 

 

 

정의6

$x \to \infty$일때 $f$의 극한

함수 $f : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $(a,\infty)$ $\subseteq  A$일때

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x > K(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $K(\epsilon) > a$가 존재하면

$L \in \mathbb{R}$을 $x \to \infty$일때 $f$의 극한이라고 하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = L$로 표기한다.

 

$x \to -\infty$일때 $f$의 극한

함수 $f : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $b \in \mathbb{R}$에 대해 $(-\infty, b)$ $\subseteq  A$일때

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x < K(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $K(\epsilon) < b$가 존재하면

$L \in \mathbb{R}$을 $x \to -\infty$일때 $f$의 극한이라고 하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L$로 표기한다.

 

 

 

정리12

$x \to \infty$에 대한 정리

함수 $f : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $(a,\infty)$ $\subseteq  A$일때

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $x_n > a$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \infty$인 모든 정발산수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L$인 것이다.

 

$x \to -\infty$에 대한 정리

함수 $f : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $b \in \mathbb{R}$에 대해 $(-\infty, b)$ $\subseteq  A$일때

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $x_n < b$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = -\infty$인 모든 정발산수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L$인 것이다.

증명

$x \to \infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = L$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x > K(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $K(\epsilon) > a$가 존재한다.

모든 원소가 $x_n > a$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n) = \infty$인 정발산수열 $(x_n)$은

$n \ge H(K(\epsilon))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $x_n > K(\epsilon)$이 되는 자연수 $H(K(\epsilon)) \in \mathbb{N}$이 존재하므로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge H(K(\epsilon))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

$|f(x_n) - L|<\epsilon$이 되어 수열수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = L$이다.

역은 대우로 증명한다.

$x \to \infty$일때 $f$의 극한이 $L$이 아니면 위 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$x > K(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $K(\epsilon) > a$가 존재하지 않으므로

어떤 $\epsilon_0 >0$과 모든 $\delta \in (a,\infty)$에 대해 $\delta< x_\delta$일때 $|f(x_\delta ) - L | \ge \epsilon_0$이 되는 $x_\delta \in A$가 존재하여

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a < n_k$이고 $k \le n_k$인 자연수 $n_k \in \mathbb{N}$가 존재하고

$n_k < x_k$일때 $|f(x_k) - L | \ge \epsilon_0$이 되는 $x_k \in A$가 존재한다.

따라서 선택정리로 수열 $(x_k)_{k =1}^\infty$를 만들때

$\displaystyle \lim_{k \to \infty} (k) = \infty$이고 $k \le n_k < x_k$이므로 정발산 정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (x_k) = \infty$가 되어

실수열 $(f(x_k))_{k=1}^\infty$가 $L$로 수렴하지 않고 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{k}) = \infty$인 정발산수열 $(x_{k})_{k=1}^\infty$가 존재하므로 정리가 성립한다.

 

$x \to -\infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = L$이면 

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x < K(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $K(\epsilon) < b$가 존재한다.

모든 원소가 $x_n < b$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n) = -\infty$인 정발산수열 $(x_n)$은

$n \ge H(K(\epsilon))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $x_n < K(\epsilon)$이 되는 자연수 $H(K(\epsilon)) \in \mathbb{N}$이 존재하므로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge H(K(\epsilon))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

$|f(x_n) - L|<\epsilon$이 되어 수열수렴의 정의로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = L$이다.

역방향은 대우로 증명한다.

$x \to -\infty$일때 $f$의 극한이 $L$이 아니면 위 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$x < K(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - L|<\epsilon$이 되는 $K(\epsilon) < b$가 존재하지 않으므로

어떤 $\epsilon_0 >0$과 모든 $\delta \in (-\infty,b)$에 대해 $x_\delta < \delta $일때 $|f(x_\delta ) - L | \ge \epsilon_0$이 되는 $x_\delta \in A$가 존재하여

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $ -n_k < b$이고 $k \le n_k$인 자연수 $n_k \in \mathbb{N}$가 존재하고

$ x_k < -n_k$일때 $|f(x_k) - L | \ge \epsilon_0$이 되는 $x_k \in A$가 존재한다.

따라서 선택정리로 수열 $(x_k)_{k =1}^\infty$를 만들때

$\displaystyle \lim_{k \to \infty} (-k) = -\infty$이고 $x_k < -n_k \le -k$이므로 정발산 정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (x_k) = -\infty$가 되어

실수열 $(f(x_k))_{k=1}^\infty$가 $L$로 수렴하지 않고 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{k}) = -\infty$인 정발산수열 $(x_{k})_{k=1}^\infty$가 존재하므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리15

$x \to \infty$에 대한 정리

함수 $f,g,h : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $(a,\infty)$ $\subseteq  A$일때

1. $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} g(x) = M$이면

임의의 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} (\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)) = \alpha \cdot L + \beta \cdot M$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} g(x) = M$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = L$일때 모든 $x \in (a,\infty)$에 대해

$h(x) \ne 0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} h(x) = H \ne 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left ( \frac{f(x)}{h(x)} \right ) = \frac{L}{H}$이다.

4. 임의의 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in (a,\infty)$에 대해

$\alpha \le f(x) \le \beta$이고 $f$가 $x\to \infty$일때 극한을 가지면 $\displaystyle \alpha \le \lim_{x \to \infty} f(x) \le \beta$이다.

5. 모든 $x \in (a,\infty)$에 대해 $f(x) \le g(x) \le h(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = L = \lim_{x \to \infty} h(x)$이면 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = L$이다.

 

$x \to -\infty$에 대한 정리

함수 $f,g,h : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $b \in \mathbb{R}$에 대해 $(-\infty,b)$ $\subseteq  A$일때

1. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x) = M$이면 

임의의 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$에 대해 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} (\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)) = \alpha \cdot L + \beta \cdot M$이다.

2. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = L$이고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x) = M$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} (f(x) \cdot g(x)) = L \cdot M$이다.

3. $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = L$일때 모든 $x \in (\infty,b)$에 대해

$h(x) \ne 0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} h(x) = H \ne 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \left ( \frac{f(x)}{h(x)} \right ) = \frac{L}{H}$이다.

4. 임의의 $\alpha,\beta \in \mathbb{R}$와 모든 $x \in (-\infty,b)$에 대해

$\alpha \le f(x) \le \beta$이고 $f$가 $x\to -\infty$일때 극한을 가지면 $\displaystyle \alpha \le \lim_{x \to -\infty} f(x) \le \beta$이다.

5. 모든 $x \in (-\infty,b)$에 대해 $f(x) \le g(x) \le h(x)$이고 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = L = \lim_{x \to -\infty} h(x)$이면 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = L$이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $x \to \infty$에 대해서만 증명한다.

1,2,3

위 정리로 모든 원소가 $x_n > a$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \infty$인 모든 수열 $(x_n)$에 대해

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = L$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (g(x_n)) = M$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (h(x_n)) = H \ne 0$이므로

수열 극한의 선형성, 나눗셈 정리, 곱셈 정리를 적용한 뒤 다시 위 정리를 적용하면 1,2,3이 성립한다.

4.

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = L$이면 위 정리로 

모든 원소가 $x_n > a$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \infty$인 모든 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L$이다.

$a \le f(x_n) \le b$를 가정하였으므로 수열의 극한 정리로 $a\le \displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) \le b$이고 $a\le L \le b$이다.

5.

$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = L= \lim_{x \to \infty} h(x)$이면 위 정리로

모든 원소가 $x_n > a$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \infty$인 모든 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = L = \lim_{n \to \infty} (h(x_n))$이다.

또 모든 $x \in (a,\infty)$에 대해 $f(x) \le g(x) \le h(x)$이므로 $f(x_n) \le g(x_n) \le h(x_n)$이고

수열의 조임 정리를 적용하여 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (g(x_n)) = L $이므로 다시 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = L$이다.

 

 

 

정의7

$x \to \infty$에 대한 정의

함수 $f : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $(a,\infty)$ $\subseteq A$일때

임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $x > K(\alpha)$인 모든 $x \in A$가 $f(x)>\alpha$가 되는 $K(\alpha) > a$가 존재하면

$x \to \infty$일때 $f$가 $\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = \infty$로 표기한다.

임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $x > K(\alpha)$인 모든 $x \in A$가 $f(x)<\alpha$가 되는 $K(\alpha) > a$가 존재하면

$x \to \infty$일때 $f$가 $-\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = -\infty$로 표기한다.

 

$x \to -\infty$에 대한 정의

함수 $f : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $b \in \mathbb{R}$에 대해 $(-\infty,b)$ $\subseteq A$일때

임의의 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해 $x < K(\beta)$인 모든 $x \in A$가 $f(x) >\beta$가 되는 $K(\beta) < b$가 존재하면

$x \to -\infty$일때 $f$가 $\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = \infty$로 표기한다.

임의의 $\beta \in \mathbb{R}$에 대해 $x < K(\beta)$인 모든 $x \in A$가 $f(x) < \beta$가 되는 $K(\beta) < b$가 존재하면

$x \to -\infty$일때 $f$가 $-\infty$로 접근한다고 하고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = -\infty$로 표기한다.

 

 

 

정리17

함수 $f : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $(a,\infty)$ $\subseteq A$일때

$x \to \infty$일때 $f \to \infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = \infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $a < x_n $이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \infty$인 모든 정발산 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = \infty$인 것이다.

$x \to \infty$일때 $f \to -\infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to \infty} f(x) = -\infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $a < x_n $이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = \infty$인 모든 정발산 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = -\infty$인 것이다.

 

함수 $f : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $b \in \mathbb{R}$에 대해 $(-\infty,b)$ $\subseteq A$일때

$x \to -\infty$일때 $f \to \infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = \infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $x_n< b $이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = -\infty$인 모든 정발산 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = \infty$인 것이다.

$x \to -\infty$일때 $f \to -\infty$에 대한 정리

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(x) = -\infty$이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $ x_n < b $이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = -\infty$인 모든 정발산 수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = -\infty$인 것이다.

증명

일반성을 잃지 않고 $x \to \infty$일때 $f \to \infty$에 대한 정리만 증명한다.

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = \infty$이면

임의의 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $x > K(\alpha)$인 모든 $x \in A$가 $f(x)>\alpha$가 되는 $K(\alpha) > a$가 존재한다.

모든 원소가 $x_n > a$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(x_n) = \infty$인 정발산수열 $(x_n)$은

$n \ge H(K(\alpha))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $x_n > K(\alpha)$가 되는 자연수 $H(K(\alpha)) \in \mathbb{N}$가 존재하므로

모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해 $n \ge H(K(\alpha))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

$f(x_n)>\alpha$가 되어 정발산의 정의로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = \infty$이다.

역방향은 대우로 증명한다.

$x \to \infty$일때 $f$가 $\infty$로 접근하지 않으면 위 정의로 모든 $\alpha > 0$에 대해

$x > K(\alpha)$인 모든 $x \in A$가 $f(x)>\alpha$이 되는 $K(\alpha) > a$이 존재하지 않으므로

어떤 $\alpha_0 >0$과 모든 $\delta \in (a,\infty)$에 대해 $\delta< x_\delta$일때 $f(x_\delta )\le \alpha_0$이 되는 $x_\delta \in A$가 존재하여

모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a < n_k$이고 $k \le n_k$인 자연수 $n_k \in \mathbb{N}$가 존재하고

$n_k < x_k$일때 $f(x_k) \le \alpha_0$이 되는 $x_k \in A$가 존재한다.

따라서 선택정리로 수열 $(x_k)_{k =1}^\infty$를 만들때

$\displaystyle \lim_{k \to \infty} (k) = \infty$이고 $k \le n_k < x_k$이므로 정발산 정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (x_k) = \infty$가 되어

실수열 $(f(x_k))_{k=1}^\infty$가 $\infty$로 정발산하지 않고 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{k}) = \infty$인 정발산수열 $(x_{k})_{k=1}^\infty$가 존재하므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리13

$x \to \infty$에 대한 정리

함수 $f,g : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $a \in \mathbb{R}$에 대해 $(a,\infty)$ $\subseteq A$일때

$x > a$인 모든 $x\in A$에 대해 $g(x) > 0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to \infty} \left (\frac{f(x)}{g(x)}\right) = L$이면 다음이 성립한다.

1. $L > 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = \infty$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$인 것이다.

2. $L < 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = -\infty$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$인 것이다.

 

$x \to -\infty$에 대한 정리

함수 $f,g : A \to \mathbb{R}$의 정의역 $A\subseteq \mathbb{R}$가 어떤 실수 $b \in \mathbb{R}$에 대해 $(-\infty,b)$ $\subseteq A$일때

$x < b$인 모든 $x \in A$ 대해 $g(x) > 0$이고 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = L$이면 다음이 성립한다.

1. $L > 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = \infty$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty$인 것이다.

2. $L < 0$이면 $\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = -\infty$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty$인 것이다.

증명

$x \to \infty$에 대한 정리

$L >0$이면

$x > K(\frac{1}{2}L)$ 모든 $x \in A$에 대해 $\left | \dfrac{f(x)}{g(x)} -L \right | < \dfrac{1}{2}L$인 $K(\frac{1}{2}L)>a$가 존재한다.

부등식 정리로 $ \dfrac{1}{2}L = -\dfrac{1}{2}L + L < \dfrac{f(x)}{g(x)}  < \dfrac{1}{2}L + L = \dfrac{3}{2}L$이고

$0<g(x)\dfrac{1}{2}L< f(x)<g(x)\dfrac{3}{2}L$이므로

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = \infty$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$이다.

$L < 0$이면

$x > K(-\frac{1}{2}L)$인 모든 $x \in A$에 대해 $\left | \dfrac{f(x)}{g(x)} -L \right | < -\dfrac{1}{2}L$인 $K(-\frac{1}{2}L)>a$가 존재한다.

부등식 정리로 $ \dfrac{3}{2}L = \dfrac{1}{2}L + L < \dfrac{f(x)}{g(x)}  < -\dfrac{1}{2}L + L = \dfrac{1}{2}L$이고

$g(x)\dfrac{3}{2}L< f(x)<g(x)\dfrac{1}{2}L<0$이므로

$\displaystyle \lim_{x\to \infty}f(x) = -\infty$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} g(x) = \infty$이다.

 

$x \to -\infty$에 대한 정리

$L >0$이면

$x < K(\frac{1}{2}L)$인 모든 $x \in A$에 대해 $\left | \dfrac{f(x)}{g(x)} -L \right | < \dfrac{1}{2}L$인 $K(\frac{1}{2}L)<b$가 존재한다.

부등식 정리로 $ \dfrac{1}{2}L = -\dfrac{1}{2}L + L < \dfrac{f(x)}{g(x)}  < \dfrac{1}{2}L + L = \dfrac{3}{2}L$이고

$0< g(x)\dfrac{1}{2}L< f(x)<g(x)\dfrac{3}{2}L$이므로

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = \infty$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty$이다.

$L < 0$이면

$x < K(-\frac{1}{2}L)$인 모든 $x \in A$에 대해 $\left | \dfrac{f(x)}{g(x)} -L \right | < -\dfrac{1}{2}L$인 $K(-\frac{1}{2}L)<b$가 존재한다.

부등식 정리로 $ \dfrac{3}{2}L = \dfrac{1}{2}L + L < \dfrac{f(x)}{g(x)}  < -\dfrac{1}{2}L + L = \dfrac{1}{2}L$이고

$g(x)\dfrac{3}{2}L< f(x)<g(x)\dfrac{1}{2}L<0$이므로

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) = -\infty$이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} g(x) = \infty$이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/22#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/22#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766