코시수열(Cauchy sequence)

정의1

$(x_n)_{n = n_0}^\infty$이 실수열일때 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n, m\in \mathbb{N}$이

$|x_n - x_m| < \epsilon$이 되는 자연수 $H(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하는 $(x_n)_{n = n_0}^\infty$을 코시수열로 정의한다.

실수열을 $(x_{n})$인 형태로 표기하면 $n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$을 $n,m \ge H(\epsilon)$으로 표기하고

$H(\epsilon)$을 실수열 $(x_{n})$의 정의역의 최소원소보다 크거나 같다고 가정한다.

 

 

 

정리6

실수열 $(x_n)_{n= n_0}^\infty$이 코시수열이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n,m \ge H(\epsilon) \ge n_0$인 모든 $n, m\in \mathbb{N}$이 $|x_n - x_m| \le \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재하는 것이다.

증명

$(x_n)_{n= n_0}^\infty$이 코시수열일때는 자명하다.

역으로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n,m \ge H(\frac{\epsilon}{2}) \ge n_0$인 모든 $n, m\in \mathbb{N}$이 $|x_n - x_m| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $H(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{N}$이 존재하면

$|x_n - x_m| \le \dfrac{\epsilon}{2} < \epsilon$이므로 $(x_n)_{n= n_0}^\infty$은 코시수열이다.

 

 

 

정리1

코시수열은 유계이다.

증명

$(x_n)_{n= n_0}^\infty$이 코시수열일때

$n \ge H(1)\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $|x_n - x_{H(1)}| < 1$이 되는 자연수 $H(1) \in \mathbb{N}$이 존재하므로

부등식 정리로 $|x_n | -  |x_{H(1)}|  \le |x_n - x_{H(1)}| < 1$이고 $|x_n | < |x_{H(1)}| +1$이다.

$M = $ $\max$$ \{ |x_1|, |x_2|, \cdots , | x_{H(1)-1}|, |x_{H(1)}| +1\}$을 정의하면

$n\ge n_0$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $|x_n| \le M $이 되어 $(x_n)_{n= n_0}^\infty$은 유계이다.

 

 

 

정리2

실수열 $(x_n)$이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $(x_n)$이 코시수열인 것이다.

증명

$(x_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$로 수렴한다면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n \ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $|x_n - x| < \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 자연수 $K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{N}$가 존재한다.

따라서 $n,m \ge  K(\frac{\epsilon}{2})$일때 

삼각부등식으로 $|x_n - x_m| = |(x_n - x) + (x - x_m)| \le |x_n - x| + |x_m - x| < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로 

$(x_n)$은 코시수열이다.

 

$(x_n)$이 코시수열이면 위 정리로 $(x_n)$은 유계이므로 

볼차노-바이어슈트라스 정리로 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{n_k}) = x$로 수렴하는 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$가 존재하여

수열의 수렴 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n_k \ge k \ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가

$|x_{n_k} - x| < \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

또 코시수열의 정의로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n,m \ge H(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$이

$|x_n - x_m| < \dfrac{\epsilon}{2}$이 되는 $H(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

따라서 $n,k \ge $ $\max$$ \left \{ K(\frac{\epsilon}{2}), H(\frac{\epsilon}{2}) \right \}$이면 삼각부등식으로

$|x_n - x| = |(x_n - x_{n_k}) + (x_{n_k} - x)| \le |x_n - x_{n_k}| + | x_{n_k}-x| <\dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon $이므로

$(x_n)$은 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$로 수렴한다.

 

 

 

정리3

실수열 $\left (\dfrac{1}{n} \right)_{n = 1}^\infty$은 코시수열이다.

증명

모든 $\epsilon > 0$에 대해 아르키메데스 성질로 $0< \dfrac{1}{H(\epsilon)}< \dfrac{\epsilon}{2}$인 양의 정수 $H(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로

$n,m\ge H(\epsilon)$이면 $\dfrac{1}{n} \le \dfrac{1}{H(\epsilon)}< \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $\dfrac{1}{m}\le \dfrac{1}{H(\epsilon)}< \dfrac{\epsilon}{2}$이다.

따라서 삼각부등식으로 $\left| \dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{m} \right | \le \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m} < \dfrac{\epsilon}{2}+\dfrac{\epsilon}{2} = \epsilon$이므로 $\left (\dfrac{1}{n} \right)_{n= 1}^\infty$은 코시수열이다.

 

 

 

정의2

$(x_n)_{n=1}^\infty$이 실수열일때

어떤 $0< C <1$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_{n+2} - x_{n+1}| \le C\cdot |x_{n+1} -x_n|$이면

$(x_n)_{n=1}^\infty$을 축약(contractive)수열로 정의한다.

 

 

 

정리4

축약수열은 코시수열이고 수렴한다.

증명

$(x_n)_{n = 1}^\infty$이 축약수열일때 어떤 $0< C <1$에 대해

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$이 $|x_{n+2} - x_{n+1}| \le C\cdot |x_{n+1} -x_n| \le C^2\cdot |x_n - x_{n-1}| \le \cdots \le C^n\cdot |x_2-x_1|$이고

$m>n $인 임의의 $m, n\in \mathbb{Z}^+$에 대해

부등식 정리로 $0< C^{m-n} < 1^{m-n} = 1$이고 기하급수의 합공식으로 ${\displaystyle \sum_{k = 0}^n C^k = \frac{1-C^{n+1}}{1-C}}$이므로

삼각부등식으로

$\begin{align*} |x_m - x_n| & = |(x_m - x_{m-1}) + (x_{m-1} - x_{m-2}) +  \cdots + (x_{n+1} - x_n)| \\[0.5em] & \le |x_m - x_{m-1}| + |x_{m-1} - x_{m-2}| +  \cdots + |x_{n+1} - x_n| \\[0.5em] & \le (C^{m-2} + C^{m-3} + \cdots + C^{n-1})\cdot |x_2 - x_1| = C^{n-1} \cdot \frac{1-C^{m-n}}{1-C} \cdot |x_2 - x_1| \\ & \le C^{n-1}\cdot \frac{1}{1-C}\cdot |x_2 - x_1|  \quad \text{이다.}\end{align*}$

$|x_2 - x_1| = 0$이면 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|x_m - x_n| =0 < \epsilon$이므로 $(x_n)_{n=1}^\infty$은 코시수열이고

$|x_2 - x_1| \ne 0$이면

수열 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (C^n) = 0$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $n -1 \ge  K(\epsilon \cdot \frac{1-C}{|x_2 - x_1|})$인 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이

$|C^{n-1} - 0| = C^{n-1} < \epsilon \cdot \dfrac{1-C}{|x_2 - x_1|}$이 되는 $K(\epsilon \cdot \frac{1-C}{|x_2 - x_1|}) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$m>n>n-1\ge K(\epsilon \cdot \frac{1-C}{|x_2 - x_1|})$일때

$|x_m - x_n|  \le C^{n-1}\cdot \dfrac{1}{1-C} \cdot |x_2 - x_1|  < \epsilon \cdot \dfrac{1-C}{|x_2 - x_1|} \cdot \dfrac{1}{1-C} \cdot |x_2 - x_1| = \epsilon$이므로 $(x_n)_{n=1}^\infty$은 코시수열이다.

따라서 코시수열은 위 정리로 수렴하여 축약수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$은 수렴한다.

 

 

 

정리5

어떤 $0< C <1$에 대해 모든 $n \in \mathbb{Z}^+$이 $|x_{n+2} - x_{n+1}| \le C\cdot |x_{n+1} -x_n|$인

축약수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$로 수렴하면 모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 다음이 성립한다.

1.  $|x - x_n| \le \dfrac{C^{n-1}}{1-C} \cdot |x_2 - x_1|$ 

2. $|x - x_n| \le \dfrac{1}{1-C} \cdot |x_{n+1} - x_{n}|$

증명

$0<C <1$이므로 기하급수의 합공식으로 ${\displaystyle \sum_{k = 0}^n C^k = \frac{1-C^{n+1}}{1-C}}$이다.

1.

$m>n $인 모든 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 삼각부등식과 기하급수의 합공식으로

$\begin{align*} |x_m - x_n| & = |(x_m - x_{m-1}) + (x_{m-1} - x_{m-2}) +  \cdots + (x_{n+1} - x_n)| \\[0.5em] & \le |x_m - x_{m-1}| + |x_{m-1} - x_{m-2}| +  \cdots + |x_{n+1} - x_n| \\[0.5em] & \le (C^{m-2} + C^{m-3} + \cdots + C^{n-1})\cdot |x_2 - x_1| \\[0.5em] & \qquad = C^{n-1}\cdot \frac{1-C^{m-n}}{1-C}\cdot |x_2 - x_1| =  \frac{C^{n-1}}{1-C}\cdot |x_2 - x_1| -  \frac{C^{m+1}}{1-C}\cdot |x_2 - x_1| \quad \text{이다.}\end{align*}$

수열의 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} (|x_m - x_n|) = |x - x_n|$이고 $C$에 대한 극한정리로 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} (C^m) = 0$이므로

극한의 부등식 정리와 극한의 선형성으로 

$\begin{align*} |x-x_n| &= \lim_{m \to \infty} (|x_m - x_n|) \\[0.5em] & \le  \lim_{m \to \infty} \left ( \frac{C^{n-1}}{1-C}\cdot |x_2 - x_1| -  \frac{C^{m+1}}{1-C}\cdot |x_2 - x_1|  \right ) = \frac{C^{n-1}}{1-C}\cdot |x_2 - x_1| \quad \text{이다.} \end{align*}$

2.

먼저 $|x_{n+k+1} - x_{n+k}|\le C^k \cdot |x_{n+1} - x_n|$이 성립함을 $k\in \mathbb{Z}^+$에 대한 귀납법으로 보인다.

$k = 1$이면 축약수열 정의에 따라 $|x_{n+2} - x_{n+1}|\le C\cdot |x_{n+1} - x_n|$가 성립한다.

모든 $m \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|x_{n+m+1} - x_{n+m}|\le C^m\cdot |x_{n+1} - x_n|$이 성립한다고 가정하면

$|x_{n+m+2} - x_{n+m+1}| \le C \cdot |x_{n+m+1} - x_{n+m}| \le C^{m+1}\cdot |x_{n+1} - x_n|$이므로 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 성립한다.

따라서 $m > n$인 모든 $m,n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 삼각부등식과 기하급수의 합공식으로

$\begin{align*} |x_m - x_n| & = |(x_m - x_{m-1}) + (x_{m-1} - x_{m-2}) +  \cdots + (x_{n+1} - x_n)| \\[0.5em] & \le |x_m - x_{m-1}| + |x_{m-1} - x_{m-2}| +  \cdots + |x_{n+1} - x_n|  \\[0.5em] & \le (C^{m-n-1} + \cdots + C + 1) \cdot |x_{n+1} - x_n| \\[0.5em] & \qquad = \frac{1-C^{m-n}}{1-C} \cdot |x_{n+1} - x_n| =  \frac{1}{1-C} \cdot |x_{n+1} - x_{n}| -  \frac{C^{m-n}}{1-C} \cdot |x_{n+1} - x_{n}| \quad \text{이다.}\end{align*}$

수열의 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} (|x_m - x_n|) = |x - x_n|$이고 $C$에 대한 극한정리로 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} (C^m) = 0$이므로

극한의 부등식 정리와 극한의 선형성으로 

$\begin{align*} |x-x_n| &= \lim_{m \to \infty} (|x_m - x_n|) \\[0.5em] & \le  \lim_{m \to \infty} \left ( \frac{1}{1-C} \cdot |x_{n+1} - x_n| -  \frac{C^{m-n}}{1-C}\cdot |x_{n+1} - x_n| \right ) = \frac{1}{1-C}\cdot |x_{n+1} - x_n|\quad \text{이다.} \end{align*}$

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/19#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/19#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766