상극한(Limit superior), 하극한(Limit inferior)

정의1

실수열 $(x_n)$이 유계일때

집합 $ \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \}$이 유한집합이 되는 실수 $v \in \mathbb{R}$들의 집합의 하한을 수열 $(x_n)$의 상극한이라 하고

$\lim \sup (x_n) = \inf \{ v \in \mathbb{R} : \text{ 집합 } \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \} \text{이 유한집합이다.} \}$로 표기한다.

 

집합 $ \{ n \in \mathbb{N} : x_n < w \}$가 유한집합이 되는 실수 $w \in \mathbb{R}$들의 집합의 상한을 수열 $(x_n)$의 하극한이라 하고

$\lim \inf (x_n) = \sup \{ w \in \mathbb{R} :  \text{ 집합 } \{ n \in \mathbb{N} : x_n < w \} \text{가 유한집합이다.} \}$로 표기한다.

 

 

 

정리5

임의의 실수 $v,w \in \mathbb{R}$와 임의의 실수열 $(x_n)$에 대해 다음이 성립한다.

1. $ \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \}$이 유한집합이기 위한 필요충분조건은

어떤 $m \in \mathbb{N}$이 존재하여 $v< x_n$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $n< m$인 것이다.

2. $ \{ n \in \mathbb{N} : x_n < w \}$가 유한집합이기 위한 필요충분조건은

어떤 $m \in \mathbb{N}$이 존재하여 $ x_n<w$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $n< m$인 것이다.

증명

1.

$ \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \}$이 공집합이면 공허하게 $v< x_n$일때 $n< m$이다.

$ \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \}$이 공집합이 아닌 유한집합이면

최대원소 정리로 $M = \max\{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \}$이 존재하여 $v< x_n$인 모든 $n \in \mathbb{N}$은 $n< M+1$이다.

역으로 어떤 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $v< x_n$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $n< m$이면

모든 $k \in \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \}$는 $k < m$이므로 $k \le m-1$이고

유한집합 $\{ 0,1,\cdots,m-1\}$에 대해 $ \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \}\subseteq \{ 0,1,\cdots, m-1\}$이 되어

유한집합 정리로 $\{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \}$은 유한집합이다.

2.

$ \{ n \in \mathbb{N} :  x_n<w \}$가 공집합이면 공허하게 $ x_n<w$일때 $n< m$이다.

$ \{ n \in \mathbb{N} :  x_n<w \}$가 공집합이 아닌 유한집합이면

최대원소 정리로 $M = \max\{ n \in \mathbb{N} :  x_n<w \}$이 존재하여 $ x_n<w$인 모든 $n \in \mathbb{N}$은 $n< M+1$이다.

역으로 어떤 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $ x_n<w$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $n< m$이면

모든 $k \in \{ n \in \mathbb{N} :  x_n<w \}$는 $k < m$이므로 $k \le m-1$이고

유한집합 $\{ 0,1,\cdots,m-1\}$에 대해 $ \{ n \in \mathbb{N} :  x_n<w \}\subseteq \{ 0,1,\cdots, m-1\}$이 되어

유한집합 정리로 $\{ n \in \mathbb{N} :  x_n<w \}$는 유한집합이다.

 

 

 

정리4

임의의 실수열 $(x_n)$이 유계이면 $\limsup (x_n) \in \mathbb{R}$과 $\liminf (x_n) \in \mathbb{R}$이 각각 유일하게 존재한다.

증명

$(x_n)$이 유계이므로 모든 원소가 $-M \le x_n \le M$이 되는 $M > 0$이 존재한다.

위 정리와 분류공리로 $V = \{ v \in \mathbb{R} : \text{ 집합 } \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \} \text{이 유한집합이다.} \}$일때

집합 $ \{ n \in \mathbb{N} : M < x_n \}$은 공집합이므로 유한집합이 되어 $M \in V$이고 $V$는 공집합이 아니다.

또 $v_0 < -M$인 $v_0 \in V$이 존재한다고 가정하면 

모든 원소가 $v_0 < -M \le x_n$이고 $\{ n \in \mathbb{N} : v_0 < x_n \}$은 무한집합이므로 모순이 되어

모든 $v \in V$에 대해 $-M \le v$이고 $V$는 아래로 유계이므로

하한 정리로 $\inf V = \limsup (x_n) \in \mathbb{R}$이 유일하게 존재한다.

위 정리와 분류공리로 $W = \{ w \in \mathbb{R} :  \text{ 집합 } \{ n \in \mathbb{N} : x_n < w \} \text{가 유한집합이다.} \}$일때

집합 $ \{ n \in \mathbb{N} :  x_n<-M \}$은 공집합이므로 유한집합이 되어 $-M \in W$이고 $W$는 공집합이 아니다.

또 $M< w_0$인 $w_0 \in W$이 존재한다고 가정하면 

모든 원소가 $x_n \le M < w_0$이고 $\{ n \in \mathbb{N} :  x_n< w_0 \}$은 무한집합이므로 모순이 되어

모든 $w \in W$에 대해 $w \le M$이고 $W$는 위로 유계이므로

상한 정리로 $\sup W = \liminf (x_n) \in \mathbb{R}$이 유일하게 존재한다.

 

 

 

정리1

실수열 $(x_n)$이 유계일때 다음은 동치이다.

1. $x = \lim \sup (x_n)$이다.

2. 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 

집합 $\{ n \in \mathbb{N} : x + \epsilon < x_n  \} $이 유한집합이고

집합 $\{ n \in \mathbb{N} : x - \epsilon < x_n  \}$이 무한집합이다.

3. 임의의 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $u_m = \sup \{ x_n : n \ge m \}$이면 $x = \inf \{ u_m : m \in \mathbb{N} \} = \displaystyle \lim_{m\to \infty} (u_m)$이다.

4. $S$가 $(x_n)$의 수렴하는 부분수열의 극한들의 집합이면 $x = \sup S$이다.

증명

$V = \{ v \in \mathbb{R} : \text{ 집합 } \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n \} \text{이 유한집합이다.} \}$일때

$V$가 위로 유계이면 모든 $v \in V$에 대해 $v \le \sup V < u$인 $V$의 상한 $\sup V$와 상계 $u$가 존재하여

$u <x_n$이면 $v< u < x_n$이므로 $\{ n \in \mathbb{N} : u < x_n  \}  \subseteq \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n  \}$이다.

따라서 유한집합 정리로 집합 $\{ n \in \mathbb{N} : u < x_n  \}$은 유한집합이고 $u \in V$가 되어

모든 $v \in V$에 대해 $v \le \sup V$임에 모순이므로 $V$는 위로 유계가 아니고

위 정리로 $\lim \sup (x_n) = \inf V \in \mathbb{R}$가 존재하여 $V$는 아래로만 유계이다.

$1 \to 2$

$x = \lim \sup (x_n) = \inf V $이므로 하한에 대한 정리로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x \le v < x + \epsilon $인 $v \in V$가 존재하여

$x + \epsilon < x_n$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하면 $v < x + \epsilon < x_n$이므로 $\{ n \in \mathbb{N} : x + \epsilon < x_n  \} \subseteq \{ n \in \mathbb{N} : v < x_n  \}$이 되어

유한집합 정리로 집합 $\{ n \in \mathbb{N} : x + \epsilon < x_n  \}$은 유한집합이고 $x + \epsilon \in V$이다.

또 $x$가 $V$의 하한이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x - \epsilon \notin V$이 되어 집합 $\{ n \in \mathbb{N} : x - \epsilon < x_n  \}$은 무한집합이다.

$2 \to 3$

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\{ k \in \mathbb{N} : x + \epsilon < x_k  \}$가 유한집합이므로

최대원소 정리로 $M = \max\{ k \in \mathbb{N} : x + \epsilon < x_k  \}$이 존재하고

$n \ge m = M + 1 $인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n \notin \{ k \in \mathbb{N} : x + \epsilon < x_k  \}$이므로

$x_n \le x + \epsilon$이 되어 $x + \epsilon$은 $\{ x_n : n \ge m \}$의 상계가 된다.

따라서 상한의 정의로 $u_m =\sup \{ x_n : n \ge m \} \le x + \epsilon$이고 하계의 정의로 $\inf \{ u_m : m \in \mathbb{N} \} \le u_m \le x + \epsilon $이다.

또 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\{ k \in \mathbb{N} : x - \epsilon < x_k  \}$가 무한집합이므로 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해

$n \ge m$이고 $n \in \{ k \in \mathbb{N} : x - \epsilon < x_k  \}$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여 $x - \epsilon <x_n \le u_m = \sup \{ x_n : n \ge m \}$이므로

$x - \epsilon$이 $u_m$의 하계가 되어 하한의 정의로 $x-\epsilon \le \inf \{ u_m : m \in \mathbb{N} \}$이다.

종합하여 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $x-\epsilon \le \inf \{ u_m : m \in \mathbb{N} \} \le x +\epsilon$이므로

$| \inf \{ u_m : m \in \mathbb{N} \} - x| \le \epsilon$이고 부등식 정리로 $\inf \{ u_m : m \in \mathbb{N} \}  = x$ 이다.

또 $\{ x_n : n \ge m+1 \}  \subseteq  \{ x_n : n \ge m \}$이므로 상한 정리로 수열 $(u_m = \sup \{ x_n : n \ge m \})$은 감소한다.

따라서 $(x_n)$이 유계이므로 $(u_m)$도 유계이고

단조수열 정리로 $\displaystyle \lim_{m\to \infty} (u_m) = \inf \{ u_m : m \in \mathbb{N} \}$이 되어 $x = \inf \{ u_m : m \in \mathbb{N} \} = \displaystyle \lim_{m\to \infty} (u_m)$이다.

$3 \to 4$

볼차노-바이어슈트라스 정리로 $(x_n)$의 수렴하는 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$가 존재하여 $S$는 공집합이 아니고

$(x_n)$이 유계이므로 수열의 극한정리로 $S$도 유계가 되어 $\sup S \in \mathbb{R}$가 존재한다.

임의의 $s \in S$에 대해 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (x_{n_k}) = s$인 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty $는 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $k \le n_k$이므로

상계의 정의로 $x_{n_k} \le u_k = \sup \{ x_n : n \ge k \}$이고 수열의 극한정리로 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (x_{n_k}) \le \lim_{k \to \infty} (u_k) =x$이다.

또 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 상한에 대한 정리로 $u_k - \dfrac{1}{k} < x_{m_k} \le u_k$인 $x_{m_k} \in \{ x_n : n \ge k \}$가 존재하여 

$m_k < m_{k+1}$이고 최소인 $m_k \in \mathbb{Z}^+$는 정렬성으로 유일하게 존재하므로 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{m_k})_{k = 1}^\infty$를 만들면

수열 정리로 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \left  (\frac{1}{k} \right) = 0$이므로

수열 극한의 선형성으로 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \left (u_k - \frac{1}{k} \right ) = \lim_{k \to \infty}(u_k) - \lim_{k \to \infty} \left (\frac{1}{k} \right )= \lim_{k \to \infty} (u_k) $이고

조임정리로 $x = \displaystyle \lim_{k\to \infty} (u_k) = \lim_{k \to \infty} (x_{m_k}) \in S$이다.

따라서 모든 $s \in S$에 대해 $s = \displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{n_k}) \le x = \lim_{k \to \infty}(x_{m_k})$이고 $x \in S$이므로 최대원소 정리로 $x = \sup S$이다.

$4 \to 1$

$w = \sup S$일때 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $ \{ n \in \mathbb{N} : w + \epsilon < x_n \}$이 무한집합이면 

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $1 \le n_k < n_{k+1}$이고 최소인 $n_k \in \{ n \in \mathbb{N} : w + \epsilon < x_n \}$는

정렬성으로 유일하게 존재하므로 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$을 만들 수 있고

$(x_n)$이 유계이므로 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$도 유계가 되어 볼차노-바이어슈트라스 정리로 수렴하는 부분수열 $(x_{n_{k_j}})_{j = 1}^\infty$가 존재한다.

$(x_{n_{k_j}})_{j = 1}^\infty$는 $(x_n)$의 부분수열이기도하므로

수열 부등식 정리로 $w + \epsilon \le \displaystyle \lim_{j \to \infty} (x_{n_{k_j}}) \in S$이고 $w = \sup S$임에 모순이 되어

$ \{ n \in \mathbb{N} : w + \epsilon < x_n \}$은 유한집합이고 $w + \epsilon \in V$이므로 하계의 정의로 $\lim \sup (x_n) = \inf V \le w+\epsilon$이다.

모든 $\epsilon > 0$에 대해 상한에 대한 정리로 $w - \dfrac{\epsilon}{2} < s$인 $s \in S$가 존재하고

$S$의 정의에 따라 $s$로 수렴하는 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$가 존재한다. 

수열의 수렴 정의로 $n_k\ge k\ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|x_{n_k} - s| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $ K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로 

$w - \epsilon < s - \dfrac{\epsilon}{2} < x_{n_k} < s+ \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $ \{ n \in \mathbb{N} : w - \epsilon < x_n \}$은 무한집합이 되어 $w - \epsilon \notin V$이고

$V$는 아래로만 유계이므로 $w -\epsilon \le \inf V = \lim \sup (x_n)$이다.

따라서 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $w -\epsilon \le \lim \sup (x_n)\le w+\epsilon$이므로 

$|\lim \sup (x_n) - w| \le \epsilon$이고 부등식 정리로 $\lim \sup (x_n) = w = \sup S$이다.

 

 

 

정리2

실수열 $(x_n)$이 유계일때 다음은 동치이다.

1. $x = \lim \inf (x_n)$이다.

2. 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 

집합 $\{ n \in \mathbb{N} : x_n < x - \epsilon   \}$이 유한집합이고

집합 $\{ n \in \mathbb{N} : x_n < x + \epsilon  \} $이 무한집합이다.

3. 임의의 $m \in \mathbb{N}$에 대해 $z_m = \inf \{ x_n : n \ge m \}$이면 $x = \sup \{ z_m : m \in \mathbb{N} \} = \displaystyle \lim_{m \to \infty} (z_m)$이다.

4. $S$가 $(x_n)$의 수렴하는 부분수열의 극한들의 집합이면 $x = \inf S$이다.

증명

$W = \{ w \in \mathbb{R} :  \text{ 집합 } \{ n \in \mathbb{N} : x_n < w \} \text{가 유한집합이다.} \}$일때

$W$가 아래로 유계이면 모든 $w \in W$에 대해 $z < \inf W \le w$인 $W$의 하한 $\inf W$와 하계 $z$가 존재하여

$x_n < z$이면 $x_n <z <  w$이므로 $\{ n \in \mathbb{N} :  x_n < z  \}  \subseteq \{ n \in \mathbb{N} :  x_n< w  \}$이다.

따라서 유한집합 정리로 집합 $\{ n \in \mathbb{N} :  x_n<z  \}$은 유한집합이고 $z \in W$가 되어

모든 $w \in W$에 대해 $\inf W \le w$임에 모순이므로 $W$는 아래로 유계가 아니고

위 정리로 $\lim \inf (x_n) = \sup W \in \mathbb{R}$가 존재하여 $W$는 위로만 유계이다.

$1 \to 2$

$x = \lim \inf (x_n) = \sup W $이므로 상한에 대한 정리로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $x -\epsilon < w \le x $ 인 $w \in W$가 존재하여

$ x_n < x - \epsilon$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하면 $ x_n < x - \epsilon < w$이므로 $\{ n \in \mathbb{N} :  x_n < x - \epsilon   \} \subseteq \{ n \in \mathbb{N} : x_n  <  w \}$가 되어

유한집합 정리로 $\{ n \in \mathbb{N} :  x_n < x - \epsilon   \}$은 유한집합이고 $x - \epsilon \in W$이다.

또 $x$가 $W$의 상한이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $x + \epsilon \notin W$이 되어 $\{ n \in \mathbb{N} : x_n < x + \epsilon  \} $은 무한집합이다.

$2 \to 3$

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\{ k \in \mathbb{N} : x_k < x - \epsilon   \}$가 유한집합이므로

최대원소 정리로 $M = \max\{ k \in \mathbb{N} : x_k < x - \epsilon  \}$이 존재하고

$n \ge m = M + 1 $인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 $n \notin \{ k \in \mathbb{N} : x_k <  x - \epsilon  \}$이므로

$x -\epsilon \le x_n$이 되어 $x - \epsilon$은 $\{ x_n : n \ge m \}$의 하계가 된다.

따라서 하한의 정의로 $x - \epsilon \le \inf \{ x_n : n \ge m \} = z_m $이고 상계의 정의로 $x - \epsilon \le z_m \le \sup \{ z_m : m \in \mathbb{N} \} $이다.

또 모든 $\epsilon > 0$에 대해 $\{ k \in \mathbb{N} :  x_k <x + \epsilon \}$이 무한집합이므로 모든 $m \in \mathbb{N}$에 대해

$n \ge m$이고 $n \in \{ k \in \mathbb{N} : x_k < x + \epsilon \}$인 $n \in \mathbb{N}$이 존재하여 $\inf \{ x_n : n \ge m \} = z_m \le x_n < x + \epsilon$이므로

$x + \epsilon$이 $z_m$의 상계가 되어 상한의 정의로 $\sup \{ z_m : m \in \mathbb{N} \} \le x+\epsilon$이다.

종합하여 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $x-\epsilon \le \sup \{ z_m : m \in \mathbb{N} \} \le x +\epsilon$이므로

$| \sup \{ z_m : m \in \mathbb{N} \} - x| \le \epsilon$이고 부등식 정리로 $\sup \{ z_m : m \in \mathbb{N} \}  = x$ 이다.

또 $\{ x_n : n \ge m+1 \}  \subseteq  \{ x_n : n \ge m \}$이므로 하한 정리로 수열 $(z_m = \inf \{ x_n : n \ge m \})$은 증가한다.

따라서 $(x_n)$이 유계이므로 $(z_m)$도 유계이고

단조수열 정리로 $\displaystyle \lim_{m \to \infty} (z_m) = \sup \{ z_m : m \in \mathbb{N} \}$이고 $x = \sup \{ z_m : m \in \mathbb{N} \} = \displaystyle \lim_{m \to \infty} (z_m)$이다.

$3 \to 4$

볼차노-바이어슈트라스 정리로 $(x_n)$의 수렴하는 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$가 존재하여 $S$는 공집합이 아니고

$(x_n)$이 유계이므로 수열의 극한정리로 $S$도 유계가 되어 $\inf S \in \mathbb{R}$가 존재한다.

임의의 $s \in S$에 대해 $\displaystyle \lim_{k\to \infty} (x_{n_k}) = s$인 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty $는 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $n_k \ge k$이므로

하계의 정의로 $z_k = \inf \{ x_n : n \ge k \} \le x_{n_k}$이고 수열의 극한정리로 $x = \displaystyle \lim_{k \to \infty} (z_k) \le \lim_{k \to \infty} (x_{n_k})$이다.

또 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 하한에 대한 정리로 $z_k \le x_{m_k} < z_k + \dfrac{1}{k}$인 $x_{m_k} \in \{ x_n : n \ge k \}$가 존재하여

$m_k < m_{k+1}$이고 최소인 $m_k \in \mathbb{Z}^+$는 정렬성으로 유일하게 존재하므로 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{m_k})_{k = 1}^\infty$를 만들면

수열 정리로 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} \left (\frac{1}{k} \right ) = 0$이므로

수열 덧셈 정리로 $\displaystyle \lim_{ k\to \infty} \left (z_k + \frac{1}{k} \right ) = \lim_{k\to \infty}(z_k) + \lim_{k \to \infty} \left (\frac{1}{k} \right )= \lim_{k\to \infty} (z_k) $이고

조임정리로 $x = \displaystyle \lim_{k \to \infty} (z_k) = \lim_{k\to \infty} (x_{m_k}) \in S$이다.

따라서 모든 $s \in S$에 대해 $ \displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{m_k}) = x \le \lim_{k \to \infty} (x_{n_k}) = s $이고 $x \in S$이므로 최소원소 정리로 $x = \inf S$이다.

$4 \to 1$

$u = \inf S$일때 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $ \{ n \in \mathbb{N} : x_n< u - \epsilon \}$이 무한집합이면

모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $1\le n_k < n_{k+1}$이고 최소인 $n_k \in \{ n \in \mathbb{N} :x_n < u - \epsilon \}$는

정렬성으로 유일하게 존재하므로 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$을 만들 수 있고

$(x_n)$이 유계이므로 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$도 유계가 되어 볼차노-바이어슈트라스 정리로 수렴하는 부분수열 $(x_{n_{k_j}})_{j = 1}^\infty$가 존재한다.

$(x_{n_{k_j}})_{j = 1}^\infty$는 $(x_n)$의 부분수열이기도하므로 $\displaystyle \lim_{j \to \infty} (x_{n_{k_j}}) \in S$이고

수열 부등식 정리로 $\displaystyle \lim_{j \to \infty} (x_{n_{k_j}}) \le u -\epsilon$이므로 $u = \inf S$임에 모순이 되어

$ \{ n \in \mathbb{N} :  x_n< u - \epsilon \}$은 유한집합이고 $u - \epsilon \in W$이므로 상계의 정의로 $u - \epsilon \le \sup W = \lim \inf (x_n) $이다.

모든 $\epsilon > 0$에 대해 하한에 대한 정리로 $s < u +\dfrac{\epsilon}{2}$인 $s \in S$가 존재하고 

$S$의 정의에 따라 $s$로 수렴하는 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k = 1}^\infty$가 존재한다. 

수열의 수렴 정의로 $n_k\ge k\ge K(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|x_{n_k} - s| < \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $ K(\frac{\epsilon}{2}) \in \mathbb{Z}^+$가 존재하므로 

$ s - \dfrac{\epsilon}{2} < x_{n_k} < s+ \dfrac{\epsilon}{2} < u + \epsilon$이고 $ \{ n \in \mathbb{N} :  x_n < u + \epsilon \}$은 무한집합이 되어 $u + \epsilon \notin W$이고

$W$는 위로만 유계이므로 $\lim \inf (x_n) = \sup W \le u +\epsilon$이다.

따라서 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 $u -\epsilon \le \lim \inf (x_n)\le u+\epsilon$이므로 

$|\lim \inf (x_n) - u| \le \epsilon$이고 부등식 정리로 $\lim \inf (x_n) = u = \inf S$이다.

 

 

 

정리3

유계인 실수열 $(x_n)$이 수렴하기 위한 필요충분조건은 $\lim \sup (x_n) = \lim \inf (x_n)$인 것이다.

증명

$(x_n)$의 수렴하는 부분수열의 극한들의 집합 $S$는 $(x_n)$이 유계이므로 

볼차노-바이어슈트라스 정리로 공집합이 아니고 $S$도 유계가 되어 $\inf S, \sup S \in \mathbb{R}$가 존재한다.

$(x_n)$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = x$로 수렴할때

발산 판정법으로 서로 다른 부분수열이 다른 극한으로 수렴하면 수열은 발산하므로 

$(x_n)$의 모든 수렴하는 부분수열은 $x$로 수렴하여 $S$에는 $x$만 존재하고 상한 하한 정리로 $\sup S = \inf S$가 된다.

따라서 상극한 정리와 하극한 정리로 $ \lim \sup (x_n) = \sup S = \inf S = \lim \inf (x_n) $이다.

역으로 $\lim \sup (x_n) = \lim \inf (x_n)$이면

상극한 정리와 하극한 정리로 $\sup S = \lim \sup (x_n) = \lim \inf (s_n) = \inf S$가 되어

$(x_n)$의 수렴하는 부분수열들이 모두 $x$로 수렴하고 부분수열 정리로 $(x_n)$는 $x$로 수렴한다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/18#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/18#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766