균등연속(Uniformly continuous)

정의1

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수가 $f : A \to \mathbb{R}$일때

모든 $\epsilon >0$에 대해 $|x - u|<\delta(\epsilon )$인 모든 $x,u \in A$가 $|f(x) - f(u)| <\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon)>0$이 존재하면

$f$를 $A$에서 균등연속이라고 한다.

$f$가 균등연속이 아니면 불균등연속이라 한다.

 

 

 

정리8

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$가 $A$에서 균등연속이면 $A$에서 연속이다.

증명

$f$가 $A$에서 균등연속이면 모든 $\epsilon >0$에 대해 $|x - c|<\delta(\epsilon )$인 모든 $x,c \in A$가

$|f(x) - f(c)| <\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon)>0$이 존재하므로 모든 $c\in A$에서 연속이 되어 $A$에서 연속이다.

 

 

 

정리1(불균등연속성 판정법)

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$에 대해 다음은 동치이다.

1. $f$는 $A$에서 균등연속이 아니다.

2. 어떤 $\epsilon_0 > 0$과 모든 $\delta >0$에 대해 $|x_{\delta} - u_{\delta}| < \delta$일때 $|f(x_{\delta}) - f(u_{\delta})| \ge \epsilon_0$인 $x_{\delta},u_{\delta} \in A$가 존재한다.

3. 어떤 $\epsilon_0 > 0$에 대해

모든 원소가 $x_n, u_n \in A$이고 $|f(x_n) - f(u_n)|\ge \epsilon_0$이 되는 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n - u_n) = 0$인 실수열 $(x_n),(u_n)$이 존재한다.

증명

$1 \to 2$

$f$는 $A$에서 균등연속이 아니면

균등연속 정의로 모든 $\epsilon >0$에 대해

$|x - u|<\delta(\epsilon)$인 모든 $x,u \in A$가 $|f(x) - f(u)| <\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon)>0$이 존재하지 않으므로

어떤 $\epsilon_0 >0$과 모든 $\delta>0$에 대해 $|x_{\delta} - u_{\delta}| < \delta$일때 $|f(x_{\delta}) - f(u_{\delta})| \ge \epsilon_0$인 $x_{\delta},u_{\delta} \in A$가 존재한다.

$2 \to 3$

어떤 $\epsilon_0 > 0$과 모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|x_n - u_n|<\dfrac{1}{n}$일때

$|f(x_n) - f(u_n)|\ge \epsilon_0$인 $x_n, u_n \in A$가 존재하므로

$|x_n - u_n - 0| < \dfrac{1}{n}$에 대해 수열의 극한 정리와 수열 수렴 정리로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n - u_n) = 0$이다.

$3 \to 1$

수열 수렴의 정의로 어떤 $\epsilon_0 > 0$과 모든 $\delta > 0$에 대해 $n \ge K(\delta)$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이

$|x_n - u_n - 0| = |x_n -u_n|<\delta$가 되는 자연수 $K(\delta) \in \mathbb{N}$가 존재하고

$|f(x_n) - f(u_n)| \ge \epsilon_0$이므로 $f$는 $A$에서 균등연속이 아니다.

 

 

 

정리2(균등연속성 정리)

함수 $f:[a,b] \to\mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면 $f$는 $[a,b]$에서 균등연속이다.

증명

$f$가 $[a,b]$에서 연속일때 균등연속이 아니면 위 정리로

어떤 $\epsilon_0 >0$에 대해 모든 원소가 $x_n , u_n \in [a,b]$이고 $|f(x_n) - f(u_n)| \ge \epsilon_0$이 되는

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n -u_n) = 0$인 실수열 $(x_n),(u_n)$이 존재한다.

$[a,b]$가 유계이므로 $(x_n)$도 유계이고

부분수열 정리로 어떤 수 $z$로 수렴하는 $(x_n)$의 부분수열 $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$가 존재한다.

또 모든 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $a \le x_{n_k} \le b$이므로 수열극한 정리로 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{n_k}) = z\in[a,b]$이고

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n -u_n) = 0$이므로 부분수열 정리로 $\displaystyle \lim_{k \to \infty} (x_{n_k} -u_{n_k}) = 0$가 되어

삼각부등식으로 모든 $\epsilon >0$에 대해 $n_k \ge k \ge K(\epsilon)$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가

$| u_{n_k} - z| = |u_{n_k} -x_{n_k} + x_{n_k} -z| \le |u_{n_k} - x_{n_k}| + |x_{n_k} - z| < \epsilon$이 되는 $K(\epsilon) \in \mathbb{Z}^+$이 존재하여

$(u_n)$의 부분수열 $(u_{n_k})_{k=1}^\infty$도 $z$로 수렴한다.

따라서 $f$는 $z \in [a,b]$에서 연속이므로 연속성 판정법으로 수열 $(f(x_{n_k}))_{k=1}^\infty,(f(u_{n_k}))_{k=1}^\infty$는 모두 $f(z)$로 수렴하여

$n_k \ge k \ge H(\epsilon_0)$인 모든 $k \in \mathbb{Z}^+$가

$|f(x_{n_k}) - f(u_{n_k})| = |f(x_{n_k}) -f(z) +f(z)-f(u_{n_k})| \le |f(x_{n_k}) - f(z)| + |f(u_{n_k}) -f(z)| < \epsilon_0$이 되는

$ H(\epsilon_0) \in \mathbb{Z}^+$가 존재한다.

하지만 $(x_n),(u_n)$의 모든 원소 $x_n , u_n \in [a,b]$에 대해 $|f(x_{n}) - f(u_{n})| \ge \epsilon_0$이므로 모순이 되어

$f$는 $[a,b]$에서 균등연속이다.

 

 

 

정의2(립시츠[Lipschitz] 함수)

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수가 $f : A \to \mathbb{R}$일때

어떤 $K >0$에 대해 모든 $x,u \in A$가 $|f(x) - f(u)| \le K \cdot |x-u|$이면 $f$를 $A$에서의 립시츠 함수로 정의한다.

 

 

 

정리3

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f:A \to\mathbb{R}$가 립시츠 함수이면 $f$는 $A$에서 균등연속이다.

증명

립시츠 함수의 정의로 어떤 $K >0$에 대해 모든 $x,u \in A$가 $|f(x) - f(u)| \le K \cdot |x-u|$이므로

모든 $\epsilon >0$에 대해 $|x - u|< \dfrac{\epsilon}{K}$인 모든 $x,u \in A$가

$|f(x) - f(u)|\le K\cdot |x-u| < K\cdot \dfrac{\epsilon}{K} = \epsilon$이 되어 $f$는 $A$에서 균등연속이다.

 

 

 

정리4

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f:A \to\mathbb{R}$가 $A$에서 균등연속이고

모든 원소가 $x_n\in A$인 실수열 $(x_n)$이 코시수열이면 실수열 $(f(x_n))$은 코시수열이다.

증명

$f$가 $A$에서 균등연속이므로 모든 $\epsilon >0$에 대해

$|x - u|<\delta(\epsilon )$인 모든 $x,u \in A$가 $|f(x) - f(u)| <\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon)>0$이 존재하고

$(x_n)$은 코시수열이므로 

$n,m \ge H(\delta(\epsilon))$인 모든 $n,m\in \mathbb{N}$이 $x_n,x_m \in A$이고 $|x_n - x_m| < \delta(\epsilon)$인 자연수 $H(\delta(\epsilon)) \in \mathbb{N}$이 존재하여

$|f(x_n) - f(x_m)| < \epsilon$임에 따라 수열 $(f(x_n))$은 코시수열이다.

 

 

 

정리5(연속 확장 정리)

$a< b$일때 함수 $f:(a,b) \to\mathbb{R}$가 열린구간 $(a,b)$에서 균등연속이기 위한 필요충분조건은

$\displaystyle \lim_{x\to a+}$$f(x) \in \mathbb{R}$와 $\displaystyle \lim_{x\to b-}$$f(x) \in \mathbb{R}$가 존재하여

모든 $x\in (a,b)$에 대해 $F(x) = f(x)$이고 $F(a) = \displaystyle \lim_{x\to a+}f(x)$와 $F(b) = \displaystyle \lim_{x\to b-}f(x)$가 성립하는

닫힌구간 $[a,b]$에서의 연속함수 $F:[a,b]\to \mathbb{R}$가 존재하는 것이다.

증명

$F$가 $[a,b]$에서 연속이면 위 정리로 $F$는 $[a,b]$에서 균등연속이므로 $f$는 $(a,b)$에서 균등연속이다.

역으로 $f$가 $(a,b)$에서 균등연속이면

모든 $\epsilon >0$에 대해 $|x - c|<\delta(\epsilon )$인 모든 $x,c \in (a,b)$가

$|f(x) - f(c)| <\epsilon$이 되는 $\delta (\epsilon)>0$이 존재하므로 $(a,b)$에서 연속이다.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = a$인 $(a,b)$에서의 수열 $(x_n)$은 수렴하므로 코시수열 정리로 코시수열이고

위 정리로 $(f(x_n))$도 코시수열이므로 코시수열 정리로 어떤 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = A \in \mathbb{R}$로 수렴하여

$n \ge H(\epsilon)$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $|f(x_n) -A |< \epsilon$이 되는 $H(\epsilon) \in \mathbb{N}$이 존재한다.

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (y_n) = a$인 $(a,b)$에서의 수열 $(y_n)$이 존재하면 

수열극한의 선형성으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n - y_n) = \lim_{n\to \infty}(x_n) - \lim_{n \to \infty}(y_n) = a- a = 0$이므로

$n \ge K(\delta(\epsilon))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해

$|x_n - y_n - 0| = |x_n - y_n| < \delta(\epsilon)$인 $ K(\delta(\epsilon)) \in \mathbb{N}$이 존재하여 균등연속성으로 $ |f(x_n) - f(y_n)| <\epsilon$이고

$n \ge \max \{H(\epsilon),K(\delta(\epsilon)) \}$인 모든 $n \in \mathbb{N}$에 대해 삼각부등식으로

$|f(y_n) - A| = |f(y_n) -f(x_n) + f(x_n) - A| \le |f(x_n) - f(y_n)| + |f(x_n) - A| < 2\cdot \epsilon$이므로

$\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(y_n)) = A $이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (x_n) = a$인 $(a,b)$에서의 모든 수열 $(x_n)$에 대해 $(f(x_n))$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(x_n)) = A \in \mathbb{R}$로 수렴하고

비슷하게 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (u_n) =b$인 $(a,b)$에서의 모든 수열 $(u_n)$에 대해서도 $(f(u_n))$이 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(u_n)) = B \in \mathbb{R}$로 수렴하여

수열 판정법으로 $\displaystyle \lim_{x\to a+}f(x) = A=  \lim_{n \to \infty} (f(x_n))$이고 $\displaystyle \lim_{x\to b-}f(x) = B = \lim_{n \to \infty} (f(u_n)) $이므로

$F$는 $(a,b)$에서는 자명하게 연속이고 $a,b$에서는 연속함수 정리로 연속이 되어 $F$는 $[a,b]$에서 연속이다.

 

 

 

정의3

공구간이 아닌 구간 $I$에 대해 $n \in $ $\mathbb{Z}^+$개의 구간으로 이루어진 $I$의 분할이 $\{ I_1,I_2,\cdots, I_n \}$일때

계단함수(step function) :

임의의 $k = 1,2,\cdots, n$와 상수 $c_k \in\mathbb{R}$와 모든 $x \in I_k$에 대해

함수 $s : I \to \mathbb{R}$의 축소함수 $s|_{I_k} : I_k \to \mathbb{R}$가 $s|_{I_k}(x) = c_k$인 상수함수일때

$s$를 계단함수로 정의한다.

조각별 선형함수(piecewise linear function) :

임의의 $k = 1,2,\cdots, n$와 상수 $a_k,b_k \in\mathbb{R}$와 모든 $x \in I_k$에 대해

함수 $g : I \to \mathbb{R}$의 축소함수 $g|_{I_k} : I_k \to \mathbb{R}$가 $g|_{I_k}(x) = a_k\cdot x + b_k$인 선형함수일때

$g$를 $I$에서의 조각별 선형함수로 정의한다.

 

 

 

정리6

함수 $f:[a,b] \to\mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일때

모든 $\epsilon >0$에 대해 모든 $x \in [a,b]$가 $|f(x)-s_{\epsilon}(x)| < \epsilon$이 되는 계단함수 $s_{\epsilon} : [a,b] \to \mathbb{R}$이 존재한다.

증명

$a =b$이면

$ s_\epsilon =f$는 모든 $x\in [a,b]$에 대해 $s_\epsilon(x) = f(x) = f(a)$인 계단함수이므로

모든 $\epsilon >0$에 대해 $|f(x)-s_{\epsilon}(x)| =0 < \epsilon$이다.

$a<b$일때

$f$가 $[a,b]$에서 연속이므로 위 정리로 균등연속이 되어

모든 $\epsilon >0$에 대해 $|x- y|<\delta(\epsilon)$인 모든 $x,y \in [a,b]$가 $|f(x) - f(y)|<\epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon)>0$이 존재한다.

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{m} < \dfrac{\delta(\epsilon)}{b-a}$인 양의 정수 $m \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $h = \dfrac{b-a}{m} < \delta(\epsilon)$를 정의하여

$[a,b]$를 $I_1 = [a,a+h]$와 $j = 2,3,\cdots,m$에 대해서는 $I_j = (a + (j-1)\cdot h,a+j\cdot h]$로 분할한 뒤

$k = 1,2,\cdots ,m$일때 계단함수를 모든 $x\in I_k$에 대해 $s_{\epsilon}(x) = f(a+k\cdot h)$로 정의하면

$x \in I_k $는 $|x - (a+k\cdot h)| \le \dfrac{b-a}{m} < \delta(\epsilon)$이므로 $|f(x) - s_{\epsilon}(x)| = |f(x) - f(a+k\cdot h)|< \epsilon$이 된다.

따라서 모든 $x \in [a,b] = I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_m$에 대해 $|f(x) - s_{\epsilon}(x)| < \epsilon$이 되어 정리가 성립한다.

 

 

 

정리7

함수 $f:[a,b] \to\mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일때

모든 $\epsilon >0$에 대해 모든 $x \in [a,b]$가 $|f(x)-g_{\epsilon}(x)| < \epsilon$이 되는 조각별 선형함수 $g_{\epsilon} : [a,b] \to \mathbb{R}$이 존재한다.

증명

$a =b$이면

$g_\epsilon =f$는 모든 $x\in [a,b]$에 대해 $g_\epsilon(x) = f(x) = f(a) = 0\cdot x + f(a)$인 조각별 선형함수이므로

모든 $\epsilon >0$에 대해 $|f(x)-g_{\epsilon}(x)| =0 < \epsilon$이다.

$a<b$일때

$f$가 $[a,b]$에서 연속이므로 위 정리로 균등연속이 되어

모든 $\epsilon >0$에 대해 $|x- y|<\delta(\epsilon)$인 모든 $x,y \in [a,b]$가 $|f(x) - f(y)|<\epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon)>0$이 존재한다.

아르키메데스 성질로 $\dfrac{1}{m} < \dfrac{\delta(\frac{\epsilon}{2})}{b-a}$인 양의 정수 $m \in \mathbb{Z}^+$이 존재하므로 $h = \dfrac{b-a}{m} < \delta(\frac{\epsilon}{2})$를 정의하여

$[a,b]$를 $I_1 = [a,a+h]$와 $j = 2,3,\cdots,m$에 대해서는 $I_j = (a + (j-1)\cdot h,a+j\cdot h]$로 분할한 뒤

$k = 1,2,\cdots ,m$일때 모든 $x \in I_k$에 대해

점 $(a +(k-1)\cdot h,f(a+(k-1)\cdot h))$와 점 $(a +k\cdot h,f(a+k\cdot h))$를 선형적으로 연결하도록

$g_{\epsilon}(x) = \dfrac{f(a+k\cdot h) - f(a+(k-1)\cdot h)}{(a+k \cdot h) - (a+(k-1)\cdot h)}\cdot (x - (a+k \cdot h)) + f(a+k\cdot h)$인 조각별 선형함수를 정의한다.

$x \in I_k $가 $|x - (a+k\cdot h)| \le \dfrac{b-a}{m} = h < \delta(\frac{\epsilon}{2}) $이므로 $|f(x) - f(a+k\cdot h)|< \dfrac{\epsilon}{2}$이고

$|(a + (k-1)\cdot h) - (a+k \cdot h) | = h < \delta(\frac{\epsilon}{2})$이므로 $|f(a + (k-1)\cdot h) - f(a+k\cdot h)|< \dfrac{\epsilon}{2}$가 되어

삼각부등식으로

$\begin{align*} |f(x) - g_{\epsilon}(x)| &= \left | f(x) -  \frac{f(a+k\cdot h) - f(a+(k-1)\cdot h)}{(a+k \cdot h) - (a+(k-1)\cdot h)}\cdot (x - (a+k \cdot h))  - f(a+k\cdot h) \right | \\[0.5em] &\le |f(x) - f(a+k\cdot h)| + \left | \frac{f(a+k\cdot h) - f(a+(k-1)\cdot h)}{(a+k \cdot h) - (a+(k-1)\cdot h)} \cdot (x - (a+k \cdot h))  \right | \\[0.5em] & \le |f(x) - f(a + k \cdot h)| + \left | \frac{f(a+k\cdot h)- f(a+(k-1)\cdot h)}{h} \right |\cdot h \\[0.5em] &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \quad \text{이 된다.} \end{align*}$

따라서 모든 $x \in [a,b] = I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_m$에 대해 $|f(x) - g_{\epsilon}(x)| < \epsilon$이 되어 정리가 성립한다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/25#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/25#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766