연속함수(Continuous function)

정의1

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수가 $f : A \to \mathbb{R}$일때

임의의 $c \in A$와 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$|x - c|< \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - f(c)| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하면

$f$를 $c$에서 연속이라 정의한다.

$f$가 $c$에서 연속이 아니면 $f$는 $c$에서 불연속이라 정의한다.

 

$B \subseteq A\subseteq \mathbb{R}$일때

함수 $f : A \to \mathbb{R}$가 $B$의 모든 점에서 연속이면 $f$를 $B$에서 연속이라고 정의한다.

 

 

 

정리13

$A\subseteq \mathbb{R}$가 실수집합의 부분집합일때 함수 $f : A \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. $f$가 $c \in A$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $f(c)$의 모든 $\epsilon$-근방 $V_{\epsilon}(f(c))$에 대해

모든 $x \in A \cap V_{\delta(\epsilon)}(c)$가 $f(x) \in V_{\epsilon}(f(c))$이 되는 $c$의 $\delta(\epsilon)$-근방 $V_{\delta(\epsilon)}(c)$이 존재하는 것이다.

2. $c \in A$가 $A$의 집적점일때 $f$가 $c$에서 연속이기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \lim_{x\to c}$$f(x) = f(c)$인 것이다.

3. $f$가 $c \in A$에서 연속이기 위한 필요충분조건은

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|x - c| \le \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - f(c)| \le \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하는 것이다.

증명

1.

근방의 정리로 모든 $x \in A$에 대해 $|x - c|< \delta(\epsilon)$와 $x \in A \cap V_{\delta(\epsilon)}(c)$는 동치이고

$|f(x) - f(c)| < \epsilon$과 $f(x) \in V_{\epsilon}(f(c))$은 동치이므로 정리가 성립한다.

2.

$f$가 $c \in A$에서 연속이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|x - c|< \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - f(c)| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하여

$x \ne c$이면 $0 < |x - c|< \delta(\epsilon)$이므로 엡실론-델타 논법으로 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c)$이다.

$\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c)$이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $0< |x - c|< \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - f(c)| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$가 존재하고

$x = c$이면 $|x - c| = 0 < \delta(\epsilon)$과 $|f(x) - f(c)| = 0 < \epsilon$이 성립하므로 $f$는 $c$에서 연속이다.

3.

$f$가 $c$에서 연속이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|x - c| < \eta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - f(c)| < \epsilon$이 되는 $\eta(\epsilon) > 0$이 존재하여

조밀성으로 $0<\delta(\epsilon) <\eta(\epsilon)$인 $\delta(\epsilon) \in \mathbb{R}$가 존재하므로

$|x - c| \le \delta(\epsilon) < \eta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$는 $|f(x) - f(c)| < \epsilon$임에 따라 $|f(x) - f(c)| \le \epsilon$이다.

역으로 조건이 성립하면 

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|x - c| \le \delta(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - f(c)| \le \dfrac{\epsilon}{2}$가 되는 $\delta(\frac{\epsilon}{2}) > 0$가 존재하여

$|x - c| < \delta(\frac{\epsilon}{2})$인 모든 $x\in A$는 $|f(x) - f(c)| \le \dfrac{\epsilon}{2}$이고 $|f(x) - f(c)| \le \dfrac{\epsilon}{2} <  \epsilon$이므로 정리가 성립한다.

 

 

 

정리1(연속성 수열 판정법)

$A\subseteq \mathbb{R}$가 실수집합의 부분집합일때

함수 $f : A \to \mathbb{R} $가 임의의 $c \in A$에서 연속이기 위한 필요충분조건은

모든 원소가 $x_n \in A$인 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n) = c$로 수렴하는 모든 실수열 $(x_n)$에 대해 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = f(c)$인 것이다.

증명

$f$가 $c$에서 연속이면

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|x - c|< \delta(\epsilon)$인 모든 $x \in A$가 $|f(x) - f(c)| < \epsilon$이 되는 $\delta(\epsilon) > 0$이 존재하고

모든 원소가 $x_n \in A$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n) = c$인 수열 $(x_n)$에 대해

수열 수렴의 정의로 $n \ge K(\delta(\epsilon))$인 모든 $n \in \mathbb{N}$이 $ |x_n - c| < \delta(\epsilon)$인 자연수 $K(\delta(\epsilon)) \in \mathbb{N}$가 존재하므로

$|f(x_n) - f(c)|< \epsilon$이 되어 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = f(c)$가 성립한다.

역으로 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (f(x_n)) = f(c)$일때

$c \in A$가 $A$의 집적점이면

모든 원소가 $x_n \ne c$이고 $x_n \in A$인 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n) = c$로 수렴하는 수열 $(x_n)$에 대해서도 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (f(x_n)) = f(c)$이므로

함수극한의 수열판정법으로 $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = f(c)$가 되어 위 정리로 $f$는 $c$에서 연속이다.

$c \in A$가 $A$의 집적점이 아니면

고립점 정리로 $A\cap V_\delta(c) = \{ c\}$인 $c$의 $\delta$-근방 $V_\delta(c)=(c-\delta,c+\delta)$가 존재하여

$|x -c| < \delta$인 모든 $x \in A$는 $x \in A\cap V_\delta(c) = \{ c\}$이고 $x =c$이므로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|f(x) - f(c)| = |f(c) - f(c)| = 0<\epsilon$이 되어 $f  $는 $c $에서 연속이다.

 

 

 

정리2(불연속성 수열 판정법)

$A\subseteq \mathbb{R}$가 실수집합의 부분집합일때

함수 $f : A \to \mathbb{R} $가 임의의 점 $c \in A$에서 불연속이기 위한 필요충분조건은

모든 자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대해 $x_n \in A$이고 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} (x_n) = c$일때

수열 $(f(x_n))$이 $f(c)$로 수렴하지 않는 실수열 $(x_n)$이 존재하는 것이다.

증명

위 정리의 대우로 성립한다.

 

 

 

정리3

$B \subseteq A\subseteq \mathbb{R}$가 실수집합의 부분집합일때 $B$에서 연속인 함수 $f,g,h : A \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $a,b \in \mathbb{R}$와 임의의 $x \in A$에 대해 $F(x) = a\cdot f(x) + b\cdot g(x)$인 함수 $F :A\to \mathbb{R}$는 $B$에서 연속이다.

2. 임의의 $x \in A$에 대해 $G(x) = f(x)\cdot g(x)$인 함수 $G :A\to \mathbb{R}$는 $B$에서 연속이다.

3. 모든 $x \in A$에 대해 $h(x) \ne 0$이면 $H(x) = \dfrac{f(x)}{h(x)}$인 함수 $H :A\to \mathbb{R}$는 $B$에서 연속이다.

증명

임의의 점 $c \in B$에 대해 증명한다.

$c$가 $A$의 집적점이 아니면 집적점 정리로 $A \cap V_{\delta}(c) = \{ c \}$인 $\delta$-근방 $V_{\delta}(c)$이 존재한다.

1.

모든 $x \in A \cap V_{\delta}(c)$는 $x = c$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$|F(x) - F(c)| = |(a \cdot f(x) + b\cdot g(x)) - (a\cdot f(c) + b\cdot g(c))| = 0 <\epsilon$이 되어 위 정리로 $F$는 $c$에서 연속이다.

2.

모든 $x \in A \cap V_{\delta}(c)$는 $x = c$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$|G(x) - G(c)| = | f(x)  \cdot g(x) -  f(c) \cdot g(c) | = 0 <\epsilon$이 되어 위 정리로 $G$는 $c$에서 연속이다.

3.

모든 $x \in A \cap V_{\delta}(c)$는 $x = c$이고 $h(x) =h(c) \ne 0$이므로 모든 $\epsilon > 0$에 대해

$|H(x) - H(c)| =\left | \dfrac{f(x)}{h(x)} - \dfrac{f(c)}{h(c)} \right | = 0 <\epsilon$이 되어 위 정리로 $H$는 $c$에서 연속이다.

 

$c$가 $A$의 집적점이면

$f,g,h$가 $c$에서 연속이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to c}f(x) = f(c)$이고 $\displaystyle \lim_{x \to c}g(x) = g(c)$이고 $\displaystyle \lim_{x \to c}h(x) = h(c) \ne 0$이다.

1.

함수의 극한 정리로

$\displaystyle \lim_{x \to c}F(x) =\lim_{x\to c}(a\cdot f(x)+ b \cdot g(x)) = (a\cdot f(c) + b\cdot g(c)) =F(c)$이므로 위 정리로 $F$는 $c$에서 연속이다.

2.

함수의 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}G(x)= \lim_{x \to c}(f(x) \cdot g(x))= (f(c) \cdot g(c)) = G(c)$이므로 위 정리로 $G$는 $c$에서 연속이다.

3.

함수의 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}H(x)=\lim_{x \to c} \left( \frac{f(x)}{h(x)} \right ) = \left ( \frac{f(c)}{h(c)} \right)=H(c)$이므로 위 정리로 $H$는 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리4

$B \subseteq A\subseteq \mathbb{R}$인 실수집합의 부분집합 $B$에서 연속인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 $x\in A$에 대해 $F(x)= |f(x)|$인 함수 $F :A\to \mathbb{R}$는 $B$에서 연속이다.

2. 모든 $x\in A$에 대해 $f(x) \ge 0$일때 $G(x) = \sqrt{f(x)}$인 함수 $G :A\to \mathbb{R}$는 $B$에서 연속이다.

증명

임의의 점 $c \in B$에 대해 증명한다.

$c$가 $A$의 집적점이 아니면 집적점 정리로 $A \cap V_{\delta}(c) = \{ c \}$인 $\delta$-근방 $V_{\delta}(c)$이 존재한다.

1.

모든 $x \in A \cap V_{\delta}(c)$는 $x = c$이므로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|F(x) - F(c)|=\left | |f(x)|  -  | f(c)|  \right | = 0 <\epsilon$이 되어 위 정리로 $F$는 $c$에서 연속이다.

2.

모든 $x \in A \cap V_{\delta}(c)$는 $x = c$이므로

모든 $\epsilon > 0$에 대해 $|G(x) - G(c)|=\left | \sqrt{f(x)}  -  \sqrt{ f(c)}  \right | = 0 <\epsilon$이 되어 위 정리로 $G$는 $c$에서 연속이다.

 

$c$가 $A$의 집적점이면 $f$가 $c$에서 연속이므로 위 정리로 $\displaystyle \lim_{x \to c}f(x) = f(c)$이다.

1.

함수의 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}F(x)= \lim_{x \to c} |f(x)|  = |f(c)| = F(c)$이므로 위 정리로 $F$는 $c$에서 연속이다.

2.

함수의 극한 정리로 $\displaystyle \lim_{x\to c}G(x)=\lim_{x \to c} \sqrt{f(x)}  = \sqrt{f(c)} = G(c)$이므로 위 정리로 $G$는 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정리5

실수집합의 부분집합 $A,B\subseteq \mathbb{R}$와 $C \subseteq A$에 대해

$C$에서 연속인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$에 의한 $A$의 상이 $f(A) \subseteq B$일때 

$g : B \to \mathbb{R}$가 $f(C)$에서 연속이면 합성함수 $g \circ f : A \to \mathbb{R}$는 $C$에서 연속이다.

증명

임의의 점 $c \in C$에 대해 증명한다.

$g$가 $f(c) \in f(C)$에서 연속이므로 위 정리로 $g(f(c))$의 임의의 $\epsilon$-근방 $V_{\epsilon}( g(f(c)) ) $에 대해

모든 $y \in B \cap V_{\delta}(f(c)) $가 $g(y) \in V_{\epsilon}( g(f(c)) ) = V_{\epsilon}( (g \circ f)(c) )$가 되는 $f(c)$의 $\delta$-근방 $V_{\delta}(f(c))$이 존재하고

$f$가 $c$에서 연속이므로 위 정리로 $f(c)$의 $\delta$-근방 $V_{\delta}(f(c))$에 대해

모든 $x \in A \cap V_{\gamma}(c)$가 $f(x) \in V_{\delta}(f(c))$가 되는 $c$의 $\gamma$-근방 $V_{\gamma}(c)$이 존재하여

$f(x)\in f(A\cap V_\gamma(c)) \subseteq f(A) \subseteq B$이므로 $f(x) \in B\cap V_\delta(f(c))$이다.

따라서 $(g\circ f)(c)$의 임의의 $\epsilon$-근방 $V_{\epsilon}( (g\circ f)(c) ) $에 대해

모든 $x \in A \cap V_{\gamma}(c)$가 $(g\circ f)(x) \in V_{\epsilon}( (g \circ f)(c) )$이므로 위 정리로 $g \circ f $는 $c$에서 연속이다.

 

 

 

정의2

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수 $f : A \to \mathbb{R}$가

어떤 실수 $M > 0$에 대해 모든 $x \in A$가 $|f(x)| \le M$이면 $f$를 $A$에서 유계라 정의한다.

$f$가 $A$에서 유계가 아니면 모든 $M>0$에 대해 $|f(x_M)| > M$이 되는 점 $x _M \in A$이 존재한다.

 

 

 

정리6(유계성 정리)

함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면 $f$는 $[a,b]$에서 유계이다.

증명

$f$가 $[a,b]$에서 유계가 아니라고 가정하면

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|f(x_n)| > n$이 되는 $x_n \in [a,b]$이 존재하여

정렬성으로 수열 $(x_n)_{n = 1}^\infty$을 만들 수 있고 $[a,b]$가 유계이므로 실수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$도 유계가 되어

부분수열정리로 어떤 수 $x$로 수렴하는 $(x_n)_{n=1}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_r})_{r=1}^\infty$이 존재한다.

$a \le x_{n_r} \le b$이므로 수열의 극한 정리로 $a \le \displaystyle \lim_{r \to \infty} ( x_{n_r}) = x \le b$이고 $x \in [a,b]$이다.

따라서 $f$는 $x$에서 연속이고 연속성 판정법으로 $\displaystyle \lim_{r \to \infty} (f(x_{n_r})) = f(x)$이므로

유계수열 정리로 수렴하는 수열 $(f(x_{n_r}))_{r=1}^\infty$은 유계이다.

하지만 모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 $|f(x_{n_r})| > n_r \ge r$을 가정하였으므로 모순이 되어 $f$는 $[a,b]$에서 유계이다.

 

 

 

정의3

정의역이 실수집합의 부분집합 $A\subseteq \mathbb{R}$인 함수가 $f : A \to \mathbb{R}$일때

어떤 $x^* \in A$에 대해 모든 $x \in A$가 $\max$ $f(A)$ $ = f(x^*) \ge f(x)$이면 $f$가 $A$에서 최댓값을 갖는다고 하고

어떤 $x_* \in A$에 대해 모든 $x \in A$가 $\min$ $f(A)$ $ = f(x_*) \le f(x)$이면 $f$가 $A$에서 최솟값을 갖는다고 한다.

이때 $x^*$를 $f$의 최대점이라하고 $x_*$를 $f$의 최소점이라 한다.

 

 

 

정리7(최대-최소 정리)

함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면

$f$는 $[a,b]$에서 최댓값 $\max f([a,b])$와 최솟값 $\min f([a,b])$가 존재한다.

증명

유계성 정리로 $f$의 상 $f([a,b]) = \{ f(x) : x \in [a,b] \}$는 유계이므로

완비성에 의해 상한과 하한이 존재한다.

 

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 

상한정리로 $\sup f([a,b]) - \dfrac{1}{n} < f(x_n) \le \sup f([a,b])$가 되는 $x_n \in [a,b]$이 존재하므로

선택정리로 실수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$을 정의하면 $[a,b]$가 유계이므로 $(x_n)_{n=1}^\infty$도 유계가 되어

부분수열정리로 어떤 수 $x^*$로 수렴하는 $(x_n)_{n=1}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_r})_{r=1}^\infty$이 존재한다.

$x_{n_r} \in [a,b]$이므로 $a \le x_{n_r} \le b$이고 

수열의 극한 정리로 $a \le \displaystyle \lim_{r \to \infty} ( x_{n_r}) = x^* \le b$이고 $x^* \in [a,b]$이다.

따라서 $f$는 $x^*$에서 연속이므로 연속성 판정법으로 $\displaystyle \lim_{r \to \infty} (f(x_{n_r})) = f(x^*)$이고

모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 부분수열의 정의로 $1\le n_r$이므로 $\sup f([a,b]) - \dfrac{1}{n_r} < f(x_{n_r}) \le \sup f([a,b])$가 되어

수열 정리와 부분수열 정리로 $ \displaystyle \lim_{r \to \infty} \left (\frac{1}{n_r} \right ) = 0$이므로 조임정리로 $\displaystyle \lim_{r \to \infty} (f(x_{n_r})) = f(x^*) = \sup f([a,b])$이다.

상계의 정의로 모든 $f(x) \in f([a,b])$에 대해 $f(x) \le f(x^*)$이고

$x^* \in [a,b]$이므로 $\sup f([a,b]) = f(x^*) \in f([a,b])$가 되어 최대원소 정리로 $\max f([a,b]) = \sup f([a,b])$이고

$f$는 $[a,b]$에서 최댓값을 갖는다.

 

모든 양의 정수 $n \in \mathbb{Z}^+$에 대해 

하한정리로 $\inf f([a,b])  \le f(x_n) < \inf f([a,b]) + \dfrac{1}{n}$이 되는 $x_n \in [a,b]$이 존재하므로

선택정리로 실수열 $(x_n)_{n=1}^\infty$을 정의하면 $[a,b]$가 유계이므로 $(x_n)_{n=1}^\infty$도 유계가 되어

부분수열정리로 $x_* \in [a,b]$로 수렴하는 $(x_n)_{n=1}^\infty$의 부분수열 $(x_{n_r})_{r=1}^\infty$이 존재한다.

따라서 $f$는 $x_*$에서 연속이므로 연속성 판정법으로 $\displaystyle \lim_{r \to \infty} (f(x_{n_r})) = f(x_*)$이고

모든 $r \in \mathbb{Z}^+$에 대해 부분수열의 정의로 $1\le n_r$이므로 $\inf f([a,b]) \le f(x_{n_r}) < \inf f([a,b]) + \dfrac{1}{n_r}$이 되어

조임정리로 $\displaystyle \lim_{r \to \infty} (f(x_{n_r})) = f(x_*) = \inf f([a,b])$이다.

하계의 정의로 모든 $f(x) \in f([a,b])$에 대해 $f(x_*) \le f(x)$이고

$x^* \in [a,b]$이므로 $ \inf f([a,b]) = f(x_*) \in f([a,b])$가 되어 최소원소 정리로 $\min f([a,b]) = \inf f([a,b])$이고

$f$는 $[a,b]$에서 최솟값을 갖는다.

 

 

 

정리8(근의 위치 정리)

함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$가 $a < b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일때

$f(a) < 0 < f(b)$ 또는 $f(a) > 0 > f(b)$이면 $f(c) = 0$이 되는 $c \in$ $(a,b)$가 존재한다.

증명

일반성을 잃지 않고 $f(a) < 0 < f(b)$라 가정한다.

$[a,b] = [a_1,b_1]$와 $p_1 = \dfrac{1}{2}(a_1+b_1)$를 정의할때 $f(p_1) = 0$이면 $c = p_1$이므로 정리가 성립한다.

$f(p_1) \ne 0$이면

$f(p_1) > 0$일때는 $[a_2,b_2] = [a_1,p_1]$로 정의하고 $f(p_1) < 0$일때는 $[a_2,b_2] = [p_1,b_1]$로 정의하여 

$[a_2,b_2] \subset [a_1,b_1]$이고 $ f(a_2) < 0 < f(b_2)$이다.

위 과정을 반복하여 모든 양의 정수 $k \in \mathbb{Z}^+$에 대해

$[a_k,b_k]$와 $p_k = \dfrac{1}{2}(a_k+b_k)$를 정의할때 $f(p_k) = 0$이면 $c = p_k$이므로 정리가 성립하고

$f(p_k) \ne 0$이면 

$f(p_k) > 0$일때는 $[a_{k+1},b_{k+1}] = [a_k,p_k]$로 정의하고 

$f(p_k) < 0$일때는 $[a_{k+1},b_{k+1}] = [p_k,b_k]$로 정의하면

$[a_{k+1},b_{k+1}] \subset [a_k,b_k]$이고 $ f(a_{k+1}) < 0 < f(b_{k+1}) $이다.

따라서 $f(p_n) = 0$인 $n\in \mathbb{Z}^+$이 존재하면 $c = p_n$이므로 정리가 성립하고

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(p_n) \ne 0$이면

$f(a_n) < 0 < f(b_n)$이고 $[a_n,b_n]\subset \cdots \subset [a_2,b_2] \subset [a_1,b_1] = [a,b] $인

축소구간열 $([a_n,b_n])_{n=1}^\infty$이 귀납적으로 정의된다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $f(p_n) \ne 0$이라고 가정할때 $[a_n,b_n]$의 길이는

$b_n - a_n = \dfrac{b_{n-1} + a_{n-1}}{2} - a_{n-1} = \dfrac{b_{n-1} - a_{n-1}}{2}$이거나 $b_n - a_n = b_{n-1} - \dfrac{b_{n-1} + a_{n-1}}{2} = \dfrac{b_{n-1} - a_{n-1}}{2} $이므로

$b_n - a_n = \dfrac{b_{n-1} - a_{n-1}}{2^1}  = \cdots = \dfrac{b_1 - a_1}{2^{n-1}} =\dfrac{b - a}{2^{n-1}}$이다.

$(b_n - a_n)_{n =1}^\infty$은 순감소수열이 되어 단조수열 정리로 수열의 하한으로 수렴하고

수열극한의 선형성과 수열극한 정리과 꼬리수열 정리로

$\displaystyle \inf \{ b_n - a_n : n \in \mathbb{Z}^+ \}= \lim_{n\to \infty} (b_n - a_n) = (b-a)\cdot  \lim_{n \to \infty} \left (\frac{1}{2^{n-1}} \right )  = (b-a) \cdot \lim_{n\to \infty} \left ( \frac{1}{2^n}\right)= 0 $이므로

축소구간 정리로 모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_n \le c \le b_n$인 $c$가 존재한다.

모든 $n\in \mathbb{Z}^+$에 대해 $a_n , b_n \in [a,b]$이므로

수열 $(a_n)_{n=1}^\infty$과 $(b_n)_{n=1}^\infty$은 유계이고 정의로 인해 단조수열이므로 단조수열 정리로 수렴하여

수열극한의 선형성으로 $\displaystyle 0 = \lim_{n \to \infty} (b_n - a_n) = \lim_{n \to \infty}(b_n) - \lim_{n \to \infty}(a_n)$이고 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} (b_n) = \lim_{n \to \infty}(a_n)$이므로

조임정리로 $ \displaystyle \lim_{n\to \infty} (a_n) = c = \lim_{n \to \infty}(b_n)$이다.

따라서 $f$가 $c\in [a_n , b_n] \subseteq [a,b]$에서 연속이므로 연속성 판정법으로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(a_n)) = f(c) = \lim_{n \to \infty} (f(b_n))$이고

수열극한 부등식 정리로 

$f(a_n) < 0 $이므로 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(a_n)) = f(c) \le 0$이고 $0 < f(b_n)$이므로 $0 \le f(c) = \displaystyle \lim_{n\to \infty} (f(b_n))$이 되어

$f(c) = 0$이다.

또 $c \in [a,b]$는 $f(a) < f(c) < f(b)$이므로 $a\ne c$이고 $b \ne c$가 되어 $c \in (a,b)$이다.

 

 

 

정리9(볼차노[Bolzano] 중간값 정리)

구간 $I$에서 연속인 함수 $f:I \to \mathbb{R}$가 $a\ne b$인 임의의 $a,b \in I$와 임의의 $k \in \mathbb{R}$에 대해

$f(a) < k < f(b)$이면 $f(c) = k$이 되는 $c \in I$가 존재하여 $c\in (a,b)$ 또는 $c\in (b,a)$이다.

증명

$a<b$일때 연속함수의 선형성으로

모든 $x\in I$에 대해 $g(x) = f(x) - k$인 함수 $g$는 $[a,b] \subseteq I$에서 연속이고 $g(a) < 0 <g(b)$이다.

따라서 근의 위치 정리로 $g(c) = 0 = f(c) -k$인 $c \in (a,b)$가 존재하여 $f(c) = k$이다.

$b<a$일때 연속함수의 선형성으로

모든 $x\in I$에 대해 $h(x) = k - f(x)$인 함수 $h$는 $[b,a] \subseteq I$에서 연속이고 $h(b) < 0 <h(a)$이다.

따라서 근의 위치 정리로 $h(c) = 0 = k - f(c)$인 $c \in (b,a)$가 존재하여 $f(c) = k$이다.

 

 

 

정리10

함수 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속일때

$f([a,b])$에 대해 $\min f([a,b]) \le k \le \max f([a,b])$이면 $f(c) = k$가 되는 $c \in [a,b]$가 존재한다.

증명

최대-최소 정리로 $\min f([a,b]) = f(c_*) \le k \le f(c^*) = \max f([a,b])$가 되는

최소점 $c_* \in [a,b]$와 최대점 $c^* \in [a,b]$가 존재하므로

$f(c_*) = k$ 또는 $f(c^*) = k$이면 정리가 성립하고

$f(c_*) \ne k$이고 $f(c^*) \ne k$이면 $ f(c_*) < k < f(c^*)$이므로

볼차노 중간값 정리로 $f(c) = k$가 되는 $c\in [a,b]$가 존재한다.

 

 

 

정리11

함수 $f: [a,b] \to\mathbb{R}$가 $a\le b$인 닫힌구간 $[a,b]$에서 연속이면

$f$에 의한 $[a,b]$ 상은 $f([a,b]) = [\min f([a,b]), \max f([a,b]) ]$인 유계 닫힌구간이다.

증명

최대-최소 정리로 $\min f([a,b]),\max f([a,b])$가 존재하고

모든 $x \in [a,b]$에 대해 $\min f([a,b])\le f(x) \le \max f([a,b])$이므로 $f([a,b]) \subseteq [\min f([a,b]),\max f([a,b])]$이다.

또 위 정리로 임의의 $k \in [\min f([a,b]), \max f([a,b])]$에 대해

$f(c) = k$인 $c \in [a,b]$가 존재하므로 $k = f(c) \in f([a,b])$가 되어

$[\min f([a,b]),\max f([a,b])] \subseteq f([a,b])$이고 $f([a,b]) = [\min f([a,b]),\max f([a,b])]$이다.

 

 

 

정리12(구간 보존 정리)

함수 $f:I \to\mathbb{R}$가 구간 $I$에서 연속이면 $f$에 의한 $I$의 상 $f(I)$도 구간이다.

증명

$I = \emptyset$이면 $f(I) = \emptyset$이므로 $f(I)$는 공구간이다.

$I = \{ c\}$인 $c\in \mathbb{R}$가 존재하면 $f(I) = \{ f(c)\}$이므로 $f(I)$는 퇴화구간이다.

$\alpha < \beta$인 임의의 $\alpha , \beta \in f(I)$가 존재하면

$\alpha = f(a)$이고 $\beta = f(b)$인 $a,b \in I$가 존재하여 $f(a) = \alpha \ne \beta = f(b)$임에 따라 $a\ne b$이므로

볼차노 중간값 정리로 임의의 $k \in (\alpha, \beta)$에 대해

$k = f(c) \in f(I)$인 $c \in I$가 존재하여 $[\alpha, \beta] \subseteq f(I)$임에 따라 특성화 정리로 $f(I)$는 구간이다.

 

 

 

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정의의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/24#def번호

번호는 해당 정의 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

정리의 링크 : 

https://openknowledgevl.tistory.com/24#thm번호

번호는 해당 정리 옆에 붙어있는 작은 숫자입니다.

 

위 내용은 아래의 출처를 기반으로 정리한 내용입니다.

틀린 내용이 존재할 수 있습니다.

 

출처(저자 - 제목 - ISBN13)

Robert G. Bartle - Introduction to real analysis - 9788993543766